Фибоначчи теориясы. Алтын қатынас - бұл не? Фибоначчи сандары дегеніміз не? ДНҚ спиралының, қабықшаның, галактиканың және Египет пирамидаларының ортақтығы қандай? Фибоначчи сандар сериясының өзіндік қызықты үлгілері бар

Фибоначчи сандары - Forex-те - математикалық қатынас және Forex-те техникалық талдаудың әртүрлі әдістері мен стратегияларының негізі. Бұл сандар Форекс нарығының көптеген басқа стратегиялары үшін негіз болып табылады.

Оның құрметіне, сәл кейінірек, мұндай сандар тізбегі негізін қалаушының атымен аталды - « Фибоначчи сериясы».

Осы кітаптың көмегімен еуропалықтар сандар тізбегін үнді-арабша үйренді, содан кейін рим сандары математика мен геометрияда қолданыстан шығарылды. Леонардо Фибоначчидің барлық жұмыстары, физика, математика, астрономия және дамуына орасан зор пайда әкелді. Бірегей Фибоначчи формуласының өзі таңқаларлық қарапайым: 1, 2, 3, 5, 8 (және т.б. ad infinitum).

Фибоначчи сандар сериясының өте ерекше ерекшеліктері бар, атап айтқанда, әрбір сан алдыңғысымен байланысты. Екі көршілес Фибоначчи санының қосындысы алғашқы екеуінен кейінгі санды береді. Мысал ретінде мынаны келтіруге болады: 2 + 2 = 4. Кез келген санның алдыңғы санға қатынасы 1,618 алтын ортасына жақын мәнге ие.Мысалы: 13: 8 = 1,625; немесе 21: 13 = 1,615; тағыда басқа.
Леонардо Фибоначчи тізбегінің тағы бір мысалын қарастырайық:

Сандардың қатынасы 0,618 мәнінің айналасында қалай өзгеретініне назар аударыңыз!

Шындығында, Леонардо Фибоначчидің өзі мұны бірінші ашқан адам деп саналмайды сандар қатары. Өйткені бұл математикалық байланыстың іздері музыкада, биологияда, сәулетте табылған. Тіпті планеталар мен бүкіл күн жүйесінің орналасуы да осы ережелерге негізделген.

Фибоначчи сандарын гректер Парфенонды салу кезінде, ал мысырлықтар Гизада әйгілі пирамиданы салған кезде құрылыста пайдаланған. «Сандық ортаның» бірегей қасиеттері Платон, Пифагор, Архимед және Леонардо да Винчи сияқты ежелгі дәуірдің ең ірі ғалымдарына да белгілі болды.

Таңғажайып Фибоначчи саны үлгісі

Леонардо Фибоначчи сандық қатынасы және түзету деңгейінің % қатынасы.

Әдетте, түзету әрқашан 3 секіруден тұрады...

Кәдімгі түзету 2 түрге бөлінеді:

• бұл зигзаг 5, 3, 5,
• және де жазық толқын 3, 3, 5.

Төртіншіден, әдетте, соңғы қалыптасқан толқынның алдында үнемі үшбұрыштар пайда болады. Бұл формация да түзетуші толқын В болуы мүмкін.

Әрбір толқын кішігірім толқындарға бөлінеді және ұзынырақтың құрамдас бөлігі болып табылады.

Бір импульстік толқын созылады, ал қалған екеуі, әдетте, мөлшері мен қалыптасу уақыты бойынша бірдей болуы керек.

Фибоначчи коэффициенттері және осы сандар арқылы алынған түзету өлшемдерінің қатынасы табу үшін пайдаланылады.

Түзету мөлшері мен алдыңғы тренд қозғалысы арасындағы қатынас әдетте тең: 62, 50, 38 пайыз.

Ауыстыру әдісі былай дейді: баға динамикасының бірдей көрінісін қатарынан 2 рет күтпеу керек.

Белсенді бұқа нарығы алдыңғы 4 толқынның басынан төмен түсе алмайды.

Сонымен қатар, 4 толқын біріншімен қиылыспауы керек.

Элиот теориясының негізгі критерийлері:

1) толқын пішіні;
2) олардың ұзындықтарының қатынасы;
3) олардың даму кезеңі.

Бұған қоса, біз жоғарыда айтқанымыздай, көптеген басқалары Леонардо Фибоначчиден алынған дәйектілікке негізделген, бұл сайттағы материалдарда сөзсіз қозғалады.

• Аударма

Кіріспе

Бағдарламашылар қазірге дейін Фибоначчи сандарымен қаныққан болуы керек. Оларды есептеу мысалдары барлық жерде қолданылады. Барлығы осы сандар не беретініне байланысты ең қарапайым мысалрекурсия. Олар сонымен қатар динамикалық бағдарламалаудың жақсы үлгісі болып табылады. Бірақ нақты жобада оларды осылай есептеу керек пе? Керек емес. Рекурсия да, динамикалық бағдарламалау да идеалды нұсқалар емес. Жылжымалы нүкте сандарын қолданатын жабық формула емес. Енді мен мұны қалай дұрыс жасау керектігін айтамын. Бірақ алдымен барлық белгілі шешім нұсқаларын қарастырайық.

Код Python 3-ке арналған, бірақ ол Python 2-мен де жұмыс істеуі керек.

Бастау үшін анықтаманы еске сала кетейін:

F n = F n-1 + F n-2

Және F 1 = F 2 =1.

Жабық формула

Біз егжей-тегжейлерді өткізіп жібереміз, бірақ қызығушылық танытқандар формуланың шығарылуымен танысады. Идея F n = x n болатын кейбір х бар деп болжау, содан кейін х табу.

Нені білдіреді

x n-2 азайтыңыз

Квадрат теңдеуді шешу:

Мұнда ϕ=(1+√5)/2 «алтын қатынас» өседі. Бастапқы мәндерді ауыстырып, тағы бірнеше есептеулер жасай отырып, біз мыналарды аламыз:

Бұл біз Fn есептеу үшін қолданатын нәрсе.

__future__ импорт бөлімінен импорттау math def fib(n): SQRT5 = math.sqrt(5) PHI = (SQRT5 + 1) / 2 return int(PHI ** n / SQRT5 + 0,5)

Жақсы:
Кішкентай n үшін жылдам және оңай
Жаман:
Жылжымалы нүкте операциялары қажет. Үлкен n үлкен дәлдікті қажет етеді.
Жауыз:
Қолданылуы күрделі сандар F n есептеу математикалық тұрғыдан әдемі, бірақ компьютерлік көзқарас тұрғысынан ұсқынсыз.

Рекурсия

Ең айқын шешім - сіз бұрын бірнеше рет көрген шешім, ең алдымен, рекурсия дегеннің мысалы ретінде. Толық болу үшін тағы да қайталаймын. Python-да оны бір жолда жазуға болады:

Fib = lambda n: fib(n - 1) + fib(n - 2), егер n > 2 басқа 1

Жақсы:
Математикалық анықтамаға сәйкес өте қарапайым іске асыру
Жаман:
Экспоненциалды орындалу уақыты. Үлкен n үшін бұл өте баяу
Жауыз:
Стек толып кетуі

Есте сақтау

Рекурсиялық шешімде үлкен мәселе бар: бір-бірін қайталайтын есептеулер. fib(n) шақырылғанда, fib(n-1) және fib(n-2) есептеледі. Бірақ fib(n-1) есептелсе, ол қайтадан фиб(n-2) дербес түрде санайды - яғни fib(n-2) екі рет есептеледі. Дәлелді жалғастырсақ, fib(n-3) үш рет есептелетінін көреміз, т.б. Қиылыстар тым көп.

Сондықтан нәтижелерді қайта санамау үшін жай ғана есте сақтау керек. Бұл шешім уақыт пен жадты сызықтық түрде тұтынады. Мен шешімімде сөздікті пайдаланамын, бірақ қарапайым массив де пайдаланылуы мүмкін.

M = (0: 0, 1: 1) def fib(n): егер M ішіндегі n: қайтару M[n] M[n] = fib(n - 1) + fib(n - 2) қайтару M[n]

(Python тілінде мұны functools.lru_cache декораторы арқылы да жасауға болады.)

Жақсы:
Тек рекурсияны жад шешіміне айналдырыңыз. Экспоненциалды орындау уақытын көбірек жадты тұтынатын сызықтық орындауға түрлендіреді.
Жаман:
Көп жадты жоғалтады
Жауыз:
Рекурсия сияқты стек толып кетуі мүмкін

Динамикалық бағдарламалау

Есте сақтау арқылы шешкеннен кейін бізге алдыңғы нәтижелердің барлығы қажет емес, тек соңғы екеуі ғана керек екені белгілі болады. Сондай-ақ, fib(n)-ден басталып, артқа қарай жүрудің орнына, fib(0)-дан басталып, алға қарай жүруге болады. Келесі кодта сызықтық орындалу уақыты және тіркелген жадты пайдалану бар. Іс жүзінде шешімнің жылдамдығы одан да жоғары болады, өйткені рекурсивті функция шақырулары және олармен байланысты жұмыстар жоқ. Және код қарапайымырақ көрінеді.

Бұл шешім жиі динамикалық бағдарламалаудың мысалы ретінде келтіріледі.

Def fib(n): a = 0 b = 1 диапазондағы __ үшін(n): a, b = b, a + b қайтару a

Жақсы:
Шағын n, қарапайым код үшін жылдам жұмыс істейді
Жаман:
Сызықтық орындалу уақыты
Жауыз:
Ерекше ештеңе жоқ.

Матрицалық алгебра

Ақырында, ең аз жарықтандырылған, бірақ уақыт пен жадты тиімді пайдаланатын ең дұрыс шешім. Оны кез келген біртекті сызықтық реттілікке де кеңейтуге болады. Идея матрицаларды пайдалану болып табылады. Тек соны көру жеткілікті

Ал мұның жалпылауы осылай дейді

Біз бұрын алған x үшін екі мән, олардың бірі алтын қатынас болды меншікті мәндерматрицалар. Сондықтан тұйық формуланы шығарудың тағы бір жолы матрицалық теңдеу мен сызықтық алгебраны қолдану болып табылады.

Неліктен бұл формула пайдалы? Өйткені дәрежені логарифмдік уақытта жасауға болады. Бұл квадраттау арқылы жасалады. Мәселе мынада

Бірінші өрнек жұп А үшін, екіншісі тақ үшін қолданылады. Матрицалық көбейтулерді ұйымдастыру ғана қалады және бәрі дайын. Бұл келесі кодқа әкеледі. Мен pow рекурсивті орындалуын жасадым, себебі оны түсіну оңайырақ. Итеративті нұсқасын мына жерден қараңыз.

Def pow(x, n, I, mult): """ x мәнін n дәрежесіне қайтарады. I - mult-ке көбейтілетін сәйкестік матрицасы және n - натурал """, егер n == 0 болса: I қайтарады. elif n == 1: қайтару x else: y = pow(x, n // 2, I, mult) y = mult(y, y) егер n % 2: y = mult(x, y) қайтару y def identity_matrix (n): """n бойынша n сәйкестік матрицасын қайтарады""" r = тізім(ауқым(n)) қайтару [ r ішіндегі j үшін] def matrix_multiply(A, B): BT = тізім(zip(*B) ) қайтару [ А-дағы_а_жолы үшін] def fib(n): F = pow([, ], n, сәйкестік_матрица(2), матрицаны_көбейту) қайтару F

Жақсы:
Тұрақты жад көлемі, логарифмдік уақыт
Жаман:
Код күрделірек
Жауыз:
Матрицалармен жұмыс істеу керек, бірақ олар соншалықты жаман емес

Өнімділікті салыстыру

Динамикалық бағдарламалау нұсқасы мен матрицаны ғана салыстырған жөн. Оларды n санындағы символдар саны бойынша салыстырсақ, матрицалық шешім сызықтық, ал динамикалық программалаумен шешім экспоненциалды болады. Практикалық мысал ретінде екі жүз мыңнан астам цифры бар fib(10 ** 6) санын есептеу табылады.

N=10**6
fib_матрицасын есептеу: fib(n) тек 208988 цифрдан тұрады, есептеуге 0,24993 секунд қажет болды.
fib_dynamic есептеу: fib(n) тек 208988 цифрдан тұрады, есептеуге 11,83377 секунд қажет болды.

Теориялық ескертулер

Жоғарыдағы кодпен тікелей байланысты болмаса да, бұл ескерту әлі де белгілі бір қызығушылық тудырады. Келесі графикті қарастырыңыз:

Ұзындығы n А-дан В-ға дейінгі жолдардың санын есептейік. Мысалы, n = 1 үшін бізде бір жол бар, 1. n = 2 үшін бізде тағы бір жол бар, 01. n = 3 үшін бізде екі жол бар, 001 және 101 А-дан В-ға дейінгі ұзындығы n жолдар саны Fn-ге дәл тең болатынын өте қарапайым көрсетуге болады. Графикке іргелес матрицаны жазып алып, біз жоғарыда сипатталған матрицаны аламыз. Бұл белгілі нәтижеА іргелес матрицаны ескере отырып, A n-дегі көріністер графиктегі n ұзындықтағы жолдардың саны (Год Вил Хантинг фильмінде айтылған мәселелердің бірі) болатын граф теориясынан.

Неліктен қабырғаларда мұндай белгілер бар? Графиктегі жолдардың шексіз тізбегіндегі символдардың шексіз тізбегін қарастырғанда, символдық динамика жүйесінің бір түрі болып табылатын «соңғы типті ішкі жылжулар» деп аталатын нәрсені аласыз. Ақырлы түрдегі бұл ерекше ығысу «алтын қатынастың ауысуы» ретінде белгілі және «тыйым салынған сөздер» (11) жиынтығымен белгіленеді. Басқаша айтқанда, біз екі бағытта да шексіз болатын екілік тізбектерді аламыз және олардың бірде-бір жұбы көршілес болмайды. Бұл динамикалық жүйенің топологиялық энтропиясы ϕ алтын қатынасына тең. Бұл санның математиканың әртүрлі салаларында мезгіл-мезгіл пайда болуы қызықты.

Тегтер: тегтерді қосыңыз

Сіз математиканы «барлық ғылымдардың патшайымы» деп атағанын естідіңіз бе? Сіз бұл мәлімдемемен келісесіз бе? Математика сіз үшін оқулықтағы қызықсыз есептердің жиынтығы болып қала бергенде, сіз бұл ғылымның сұлулығын, жан-жақтылығын және тіпті юморын әрең сезінесіз.

Бірақ математикада бізге ортақ заттар мен құбылыстар туралы қызықты бақылаулар жасауға көмектесетін тақырыптар бар. Тіпті біздің Ғаламның жаратылу құпиясының пердесіне енуге тырысыңыз. Әлемде математиканың көмегімен сипаттауға болатын қызықты үлгілер бар.

Фибоначчи сандарымен таныстыру

Фибоначчи сандарысандар тізбегінің элементтерін ата. Онда қатардағы әрбір келесі сан алдыңғы екі санды қосу арқылы алынады.

Мысал реті: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987…

Сіз оны келесідей жаза аласыз:

F 0 = 0, F 1 = 1, F n = F n-1 + F n-2, n ≥ 2

Теріс мәндері бар Фибоначчи сандар қатарын бастауға болады n. Оның үстіне, бұл жағдайда реттілік екі жақты (яғни теріс және оң сандарды қамтиды) және екі бағытта да шексіздікке ұмтылады.

Мұндай реттілікке мысал: -55, -34, -21, -13, -8, 5, 3, 2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 , 34, 55.

Бұл жағдайда формула келесідей көрінеді:

F n = F n+1 - F n+2немесе мұны істеуге болады: F -n = (-1) n+1 Fn.

Біз қазір «Фибоначчи сандары» деп білетін нәрсе ежелгі үнді математиктеріне олар Еуропада қолданыла бастағанға дейін белгілі болды. Ал бұл атау негізінен бір үзіліссіз тарихи анекдот. Фибоначчидің өзі көзі тірісінде өзін ешқашан Фибоначчи деп атамағанынан бастайық – бұл есім Пизалық Леонардоға ол қайтыс болғаннан кейін бірнеше ғасыр өткен соң ғана атала бастады. Бірақ барлығын ретімен айтайық.

Пизалық Леонардо, яғни Фибоначчи

Математик болған саудагердің ұлы, кейіннен орта ғасырлардағы Еуропаның бірінші ірі математикі ретінде ұрпақтан танылды. Кем дегенде, Фибоначчи нөмірлерінің арқасында (олар, есімізге түсірейік, әлі олай аталмаған). Бұл туралы ол 13 ғасырдың басында «Liber abaci» («Абакус кітабы», 1202) еңбегінде сипаттаған.

Мен әкеммен бірге Шығысқа саяхаттадым, Леонардо араб мұғалімдерінен математиканы оқыды (және сол күндері олар осы мәселеде және басқа да көптеген ғылымдар бойынша ең жақсы мамандардың бірі болды). Антикалық дәуір математиктерінің еңбектері және Ежелгі Үндістанараб аудармаларында оқыды.

Оқығандарының барлығын жан-жақты түсініп, өзінің ізденімпаз ақыл-ойын пайдалана отырып, Фибоначчи математика бойынша бірнеше ғылыми трактаттар жазды, оның ішінде жоғарыда аталған «Абакус кітабы» да бар. Бұған қосымша мен жасадым:

• «Practica geometriae» («Практика геометрия», 1220);
• «Флос» («Гүл», 1225 - кубтық теңдеулер туралы зерттеу);
• «Liber quadratorum» («Квадраттар кітабы», 1225 - анықталмаған квадрат теңдеулер бойынша есептер).

Ол математикалық турнирлердің үлкен жанкүйері болды, сондықтан трактаттарында әртүрлі математикалық есептерді талдауға көп көңіл бөлді.

Леонардоның өмірі туралы өмірбаяндық мәліметтер өте аз қалды. Ол математика тарихына енген Фибоначчи есіміне келетін болсақ, ол оған тек 19 ғасырда берілген.

Фибоначчи және оның мәселелері

Фибоначчиден кейін кейінгі ғасырларда математиктер арасында өте танымал болған көптеген есептер қалды. Біз қоян мәселесін қарастырамыз, ол Фибоначчи сандары арқылы шешіледі.

Қояндар тек бағалы жүн емес

Фибоначчи келесі шарттарды қойды: осындай қызықты тұқымның жаңа туған қояндарының (еркек және аналық) жұбы бар, олар үнемі (екінші айдан бастап) ұрпақ береді - әрқашан бір жаңа жұп қоян. Сондай-ақ, сіз болжағандай, еркек пен әйел.

Бұл шартты қояндар жабық жерге орналастырылып, ынта-жігермен өседі. Сондай-ақ, қоянның жұмбақ ауруынан бірде-бір қоян өлмейтіні қарастырылған.

Біз бір жылда қанша қоян алатынымызды есептеуіміз керек.

• 1 айдың басында 1 жұп қоянымыз бар. Айдың соңында олар жұптасады.
• Екінші ай - бізде қазірдің өзінде 2 жұп қоян бар (жұптың ата-анасы бар + 1 жұп олардың ұрпақтары).
• Үшінші ай: Бірінші жұп жаңа жұпты, екінші жұп жұпты дүниеге әкеледі. Барлығы – 3 жұп қоян.
• Төртінші ай: Бірінші жұп жаңа жұпты туады, екінші жұп уақытты босқа өткізбейді және сонымен қатар жаңа жұпты туады, үшінші жұп әлі тек жұптауда. Барлығы – 5 жұп қоян.

Қояндар саны nші ай = алдыңғы айдағы жұп қояндар саны + жаңа туған жұптар саны (бұдан 2 ай бұрын жұп қояндар болғандай жұп қояндар саны да сондай). Мұның бәрі жоғарыда келтірілген формуламен сипатталады: F n = F n-1 + F n-2.

Осылайша, біз қайталанатын (түсіндірме туралы) аламыз рекурсия– төменде) сандар тізбегі. Әрбір келесі сан алдыңғы екеуінің қосындысына тең:

1. 1 + 1 = 2
2. 2 + 1 = 3
3. 3 + 2 = 5
4. 5 + 3 = 8
5. 8 + 5 = 13
6. 13 + 8 = 21
7. 21 + 13 = 34
8. 34 + 21 = 55
9. 55 + 34 = 89
10. 89 + 55 = 144
11. 144 + 89 = 233
12. 233+ 144 = 377 <…>

Сіз тізбекті ұзақ уақыт бойы жалғастыра аласыз: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987<…>. Бірақ біз белгілі бір кезеңді - бір жылды белгілегендіктен, бізді 12-ші «қозғалыста» алынған нәтиже қызықтырады. Анау. Тізбектің 13-мүшесі: 377.

Есептің жауабы: барлық көрсетілген шарттар орындалса 377 қоян алынады.

Фибоначчи сандар тізбегінің қасиеттерінің бірі өте қызықты. Бір қатардан екі жұпты алып, үлкен санды кіші санға бөлсеңіз, нәтиже бірте-бірте жақындайды. алтын қатынас(бұл туралы кейінірек мақалада оқи аласыз).

Математикалық тұрғыдан алғанда, «қарым-қатынастың шегі a n+1Кімге а налтын қатынасқа тең».

Сандар теориясының қосымша мәселелері

1. 7-ге бөлінетін санды табыңыз. Сондай-ақ, оны 2, 3, 4, 5, 6-ға бөлсеңіз, қалдық бір болады.
2. Шаршы санды табыңыз. Оған 5-ті қоссаңыз немесе 5-ті азайтсаңыз, қайтадан шаршы сан шығатыны белгілі.

Бұл мәселелердің жауабын өзіңіз іздеуді ұсынамыз. Осы мақалаға түсініктемелерде бізге опцияларыңызды қалдыра аласыз. Содан кейін біз сіздің есептеулеріңіз дұрыс болғанын айтамыз.

Рекурсияны түсіндіру

Рекурсия– осы объектіні немесе процесті қамтитын объект немесе процестің анықтамасы, сипаттамасы, бейнесі. Яғни, мәні бойынша объект немесе процесс өзінің бір бөлігі болып табылады.

Рекурсия математика мен информатикада, тіпті өнерде және танымал мәдениетте кеңінен қолданылады.

Фибоначчи сандары қайталану қатынасы арқылы анықталады. Нөмір үшін n>2 n- e саны тең (n – 1) + (n – 2).

Алтын қатынас туралы түсінік беру

алтын қима- бүтінді (мысалы, кесіндіні) келесі принцип бойынша байланысқан бөліктерге бөлу: үлкен бөлік кішіге бүтін мән сияқты (мысалы, екі сегменттің қосындысы) қатысты болады. үлкен бөлігіне.

Алтын қатынас туралы алғашқы ескертуді Евклидтің «Элементтер» трактатынан табуға болады (шамамен б.з.б. 300 ж.). Тұрақты тіктөртбұрышты тұрғызу контексінде.

Бізге таныс терминді айналымға 1835 жылы неміс математигі Мартин Ом енгізген.

Егер алтын қатынасты шамамен сипаттайтын болсақ, ол екі тең емес бөлікке пропорционалды бөлуді білдіреді: шамамен 62% және 38%. Сандық мағынада алтын қатынас - бұл сан 1,6180339887 .

Алтын қатынасты табады практикалық қолдануВ бейнелеу өнері(Леонардо да Винчи және басқа Ренессанс суретшілерінің картиналары), сәулет өнері, кино («Батыл корабль С. Езенштейннің Потемкині») және т.б. Ұзақ уақыт бойы алтын қатынас ең эстетикалық пропорция деп есептелді. Бұл пікір бүгінгі күні де танымал. Зерттеу нәтижелеріне сәйкес, адамдардың көпшілігі бұл пропорцияны ең сәтті нұсқа ретінде қабылдамайды және оны тым ұзартылған (пропорционалды емес) деп санайды.

• Бөлім ұзындығы бірге = 1, А = 0,618, б = 0,382.
• Қатынас біргеКімге А = 1, 618.
• Қатынас біргеКімге б = 2,618

Енді Фибоначчи сандарына оралайық. Оның тізбегінен қатарынан екі мүше алайық. Үлкен санды кіші санға бөліп, шамамен 1,618 алыңыз. Ал енді біз сол үлкенірек санды және қатардың келесі мүшесін (яғни, одан да көп санды) қолданамыз - олардың қатынасы ерте 0,618.

Мысал: 144, 233, 377.

233/144 = 1,618 және 233/377 = 0,618

Айтпақшы, егер сіз тізбектің басынан бастап сандармен бірдей тәжірибе жасауға тырыссаңыз (мысалы, 2, 3, 5), ештеңе жұмыс істемейді. Шамамен. Алтын қатынас ережесі тізбектің басында әрең орындалады. Бірақ серия бойымен қозғалып, сандар көбейген сайын, ол керемет жұмыс істейді.

Ал Фибоначчи сандарының барлық қатарын есептеу үшін бірінен соң бірі келетін тізбектің үш мүшесін білу жеткілікті. Сіз мұны өзіңіз көре аласыз!

Алтын төртбұрыш және Фибоначчи спиралы

Фибоначчи сандары мен алтын қатынас арасындағы тағы бір қызықты параллель «алтын тіктөртбұрыш» деп аталады: оның қабырғалары 1,618-ден 1-ге пропорцияда. Бірақ біз 1,618 санының не екенін білеміз, солай емес пе?

Мысалы, Фибоначчи қатарының екі қатарынан мүшесін алайық - 8 және 13 - және келесі параметрлері бар тіктөртбұрышты тұрғызайық: ені = 8, ұзындығы = 13.

Содан кейін біз үлкен төртбұрышты кішіректерге бөлеміз. Міндетті шарт: Тіктөртбұрыштардың қабырғаларының ұзындықтары Фибоначчи сандарына сәйкес болуы керек. Анау. Үлкен тіктөртбұрыштың қабырғасының ұзындығы екі кіші тіктөртбұрыштың қабырғаларының қосындысына тең болуы керек.

Бұл суретте жасалу жолы (ыңғайлы болу үшін сандар латын әріптерімен қойылған).

Айтпақшы, тіктөртбұрыштарды кері ретпен салуға болады. Анау. Қабырғасы 1 болатын квадраттармен салуды бастаңыз. Жоғарыда айтылған қағиданы басшылыққа ала отырып, қабырғалары Фибоначчи сандарына тең фигуралар аяқталады. Теориялық тұрғыдан мұны шексіз жалғастыруға болады – түптеп келгенде, Фибоначчи қатары формальды түрде шексіз.

Суретте алынған тіктөртбұрыштардың бұрыштарын тегіс сызықпен қосатын болсақ, логарифмдік спираль аламыз. Дәлірек айтқанда, оның ерекше жағдайы - Фибоначчи спиралы. Ол, атап айтқанда, оның шекарасы жоқ және пішінін өзгертпеуімен сипатталады.

Осындай спираль табиғатта жиі кездеседі. Моллюстраның қабығы - ең жарқын мысалдардың бірі. Оның үстіне, Жерден көруге болатын кейбір галактикалардың спираль пішіні бар. Теледидардағы ауа райы болжамына назар аударсаңыз, спутниктерден суретке түсіру кезінде циклондардың спираль тәрізді пішіні бар екенін байқаған боларсыз.

Бір қызығы, ДНҚ спиралі алтын қима ережесіне де бағынады - сәйкес үлгіні оның иілу аралықтарынан көруге болады.

Мұндай таңғажайып «кездейсоқтықтар» сананы толқытып, Әлем өміріндегі барлық құбылыстар бағынатын қандай да бір жалғыз алгоритм туралы әңгіме қозғамай қоймайды. Енді сіз бұл мақаланың неге осылай аталғанын түсінесіз бе? Ал математика сізге қандай таңғажайып дүниелерді аша алады?

Табиғаттағы Фибоначчи сандары

Фибоначчи сандары мен алтын қатынас арасындағы байланыс қызықты үлгілерді ұсынады. Табиғатта және тіпті уақытында Фибоначчи сандарына ұқсас тізбектерді табуға тырысу қызықты болатыны соншалық. тарихи оқиғалар. Ал табиғат шынымен де мұндай болжамдарды тудырады. Бірақ біздің өміріміздегі барлық нәрсені математика арқылы түсіндіруге және сипаттауға бола ма?

Фибоначчи тізбегін пайдаланып сипаттауға болатын тірі заттардың мысалдары:

• өсімдіктердегі жапырақтардың (және бұтақтардың) орналасуы - олардың арасындағы қашықтық Фибоначчи сандарымен (филлотаксис) корреляцияланады;

• күнбағыс тұқымдарының орналасуы (тұқымдар әртүрлі бағытта бұралған спиральдардың екі қатарында орналасқан: бір қатар сағат тілімен, екіншісі сағат тіліне қарсы);

• қарағай конусының таразыларының орналасуы;
• гүл жапырақтары;
• ананас жасушалары;
• адам қолындағы саусақ фалангтарының ұзындықтарының қатынасы (шамамен) т.б.

Комбинаторика есептері

Фибоначчи сандары комбинаторика есептерін шешуде кеңінен қолданылады.

КомбинаторикаБелгіленген жиыннан элементтердің белгілі бір санын таңдауды, санауды және т.б. зерттейтін математиканың бір бөлімі.

Орта мектеп деңгейіне арналған комбинаторика есептерінің мысалдарын қарастырайық (көз - http://www.problems.ru/).

№1 тапсырма:

Леша 10 баспалдақпен көтеріледі. Бір кезде не бір адым, не екі адым секіреді. Леша баспалдақпен қанша жолмен көтеріле алады?

Лешаның баспалдақпен көтерілу жолдарының саны nқадамдарды белгілейік және n.Осыдан шығады а 1 = 1, а 2= 2 (яғни, Леша бір немесе екі қадаммен секіреді).

Сондай-ақ, Лешаның баспалдақтан секіретіні келісілді n> 2 қадамдар. Ол бірінші рет екі қадам секірді делік. Бұл мәселенің шарттарына сәйкес ол басқа секіру керек дегенді білдіреді n – 2қадамдар. Содан кейін көтерілуді аяқтау жолдарының саны ретінде сипатталады a n–2. Ал егер Леша алғаш рет бір қадам ғана секірді деп есептесек, онда өрмелеуді аяқтау жолдарының санын былай сипаттаймыз. a n–1.

Осыдан мынадай теңдік аламыз: a n = a n–1 + a n–2(таныс көрінеді, солай емес пе?).

Біз білетіндіктен а 1Және а 2және есеп шарттарына сәйкес 10 қадам бар екенін есте сақтаңыз, барлығын ретімен есептеңіз және n: а 3 = 3, а 4 = 5, а 5 = 8, а 6 = 13, а 7 = 21, а 8 = 34, а 9 = 55, а 10 = 89.

Жауабы: 89 жол.

№2 тапсырма:

Ұзындығы 10 әріптен тұратын сөздердің санын табу керек, олар тек «a» және «b» әріптерінен тұрады және қатарда екі «b» әріпі болмауы керек.

арқылы белгілейік а нсөздердің ұзындығы nтек «а» және «б» әріптерінен тұратын және қатарында екі «б» әріпі жоқ әріптер. білдіреді, а 1= 2, а 2= 3.

Кезекті а 1, а 2, <…>, а нбіз оның әрбір келесі мүшелерін алдыңғылары арқылы білдіреміз. Демек, ұзындықтағы сөздердің саны n«б» қос әрпі жоқ және «а» әрпінен басталатын әріптер a n–1. Ал егер сөз ұзақ болса nәріптер «б» әрпінен басталады, мұндай сөздегі келесі әріп «а» болуы қисынды (есептің шарттарына сәйкес екі «б» болуы мүмкін емес). Демек, ұзындықтағы сөздердің саны nбұл жағдайда әріптерді деп белгілейміз a n–2. Бірінші және екінші жағдайда да кез келген сөз (ұзындығы n – 1Және n – 2тиісінше әріптер) қосарлы «b» жоқ.

Неге екенін дәлелдей алдық a n = a n–1 + a n–2.

Енді есептеп көрейік а 3= а 2+ а 1= 3 + 2 = 5, а 4= а 3+ а 2= 5 + 3 = 8, <…>, а 10= а 9+ а 8= 144. Ал біз таныс Фибоначчи тізбегін аламыз.

Жауабы: 144.

№3 тапсырма:

Ұяшықтарға бөлінген таспа бар деп елестетіңіз. Оң жаққа кетіп, шексіз созылады. Таспаның бірінші шаршысына шегіртке қойыңыз. Ол таспаның қай ұяшығында болса да, ол тек оңға қарай жылжи алады: не бір ұяшық, не екі. Шегірткенің таспаның басынан секіруінің неше жолы бар n- жасушалар?

Шегірткенің белдеу бойымен қозғалу тәсілдерінің санын белгілейік n- жасушалар ұнайды а н. Мұндай жағдайда а 1 = а 2= 1. Сондай-ақ n+1Шегіртке --ші ұяшыққа неден кіре алады n-ші ұяшық немесе оның үстінен секіру арқылы. Осы жерден a n + 1 = a n – 1 + а н. Қайда а н = Fn – 1.

Жауап: Fn – 1.

Ұқсас есептерді өзіңіз құрастырып, сыныптастарыңызбен математика сабағында шешуге тырысуға болады.

Танымал мәдениеттегі Фибоначчи сандары

Әрине солай әдеттен тыс құбылыс, Фибоначчи сандары сияқты, назар аудармайды. Бұл қатаң тексерілген үлгіде әлі де тартымды және тіпті жұмбақ нәрсе бар. Фибоначчи тізбегі әртүрлі жанрдағы заманауи танымал мәдениеттің көптеген туындыларында қандай да бір түрде «жарық» болғаны таңқаларлық емес.

Олардың кейбіреулері туралы айтып береміз. Ал сіз өзіңізді қайтадан іздеуге тырысасыз. Егер сіз оны тапсаңыз, оны түсініктемелерде бізбен бөлісіңіз - біз де қызықпыз!

• Фибоначчи сандары Дэн Браунның «Да Винчи коды» бестселлерінде айтылған: Фибоначчи тізбегі кітаптың басты кейіпкерлері сейфті ашу үшін пайдаланатын код ретінде қызмет етеді.
• 2009 жылы американдық «Ешкім мырза» фильмінде бір эпизодта үйдің мекенжайы Фибоначчи тізбегінің бөлігі болып табылады - 12358. Сонымен қатар, басқа эпизодта бас кейіпкертелефон нөміріне қоңырау шалу керек, ол іс жүзінде бірдей, бірақ аздап бұрмаланған (5-тен кейінгі қосымша сан): 123-581-1321.
• 2012 жылғы «Байланыс» сериясында басты кейіпкер, аутизммен ауыратын бала әлемде болып жатқан оқиғалардың заңдылықтарын ажырата алады. Соның ішінде Фибоначчи сандары арқылы. Және бұл оқиғаларды сандар арқылы да басқарыңыз.
• Java ойын әзірлеушілеріне арналған Ұялы телефондар Doom RPG деңгейлердің біріне құпия есікті орналастырды. Оны ашатын код - Фибоначчи тізбегі.
• 2012 жылы ресейлік Splin рок-тобы «Оптикалық алдау» концепті альбомын шығарды. Сегізінші трек «Фибоначчи» деп аталады. Топ жетекшісі Александр Васильевтің өлеңдері Фибоначчи сандарының тізбегі бойынша ойнайды. Кезекті тоғыз мүшенің әрқайсысы үшін сәйкес жолдар саны бар (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21):

0 Пойыз жолға шықты

1 Бір буын үзіліп қалды

1 Бір жеңі дірілдеп кетті

2 Болды, заттарды ал

Болды, заттарды ал

3 Қайнаған суды сұрау

Пойыз өзенге барады

Пойыз тайга арқылы өтеді<…>.

• лимерик ( шағын өлеңбелгілі бір форма - әдетте бес жол, белгілі бір рифмалық схемасы бар, мазмұны жағынан әзіл-оспақ, бірінші және соңғы жолдар бір-бірін қайталайды немесе ішінара қайталайды) Джеймс Линдон күлкілі мотив ретінде Фибоначчи тізбегіне сілтемені де пайдаланады:

Фибоначчи әйелдерінің тығыз тағамы

Бұл тек олардың пайдасы үшін болды, басқа ештеңе жоқ.

Әйелдер қауесет бойынша таразылады,

Олардың әрқайсысы алдыңғы екеуі сияқты.

Қорытындылайық

Бүгін біз сізге көптеген қызықты және пайдалы нәрселерді айта алдық деп үміттенеміз. Мысалы, енді сіз айналаңыздағы табиғаттан Фибоначчи спиралін іздей аласыз. Мүмкін сіз «өмірдің, ғаламның және жалпы құпияны» аша алатын адам боларсыз.

Комбинаторика есептерін шығарғанда Фибоначчи сандарының формуласын қолданыңыз. Сіз осы мақалада сипатталған мысалдарға сене аласыз.

веб-сайт, материалды толық немесе ішінара көшіру кезінде дереккөзге сілтеме қажет.

Биггстің «Тұманнан хеджер шықты» кітабының материалдарына негізделген.

Фибоначчи сандары

Фибоначчи ұзақ өмір сүрді, әсіресе өз уақытында, ол бірқатар математикалық есептерді шешуге, оларды өзінің «Абакус кітабы» (13 ғасырдың басы) көлемді еңбегінде тұжырымдауға арнады. Ол әрқашан сандар мистицизміне қызығушылық танытты - ол Архимедтен немесе Евклидтен кем түспейтін шығар. байланысты тапсырмалар квадрат теңдеулер, Фибоначчиге дейін қойылған және ішінара шешілген, мысалы, атақты Омар Хайям, ғалым және ақын; дегенмен Фибоначчи қояндарды көбейту мәселесін тұжырымдады, одан шыққан қорытындылар оның атын ғасырлар бойы жоғалтуға мүмкіндік бермеді.

Қысқаша айтқанда, тапсырма келесідей. Жан-жағынан дуалмен қоршалған жерге бір жұп қоян қойылды, кез келген жұп қоян өмірінің екінші айынан бастап ай сайын басқа жұп туады. Уақыт өте келе қояндардың көбеюі келесі ретпен сипатталады: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, т.б. Математикалық тұрғыдан алғанда, реттілік жай ғана бірегей болып шықты, өйткені оның бірқатар тамаша қасиеттері болды:

• кез келген екі қатардағы сандардың қосындысы қатардағы келесі сан болып табылады;

• реттегі әрбір санның бесіншіден бастап алдыңғыға қатынасы 1,618;

• кез келген санның квадраты мен сол жақтағы екі санның квадраты арасындағы айырмашылық Фибоначчи саны болады;

• көрші сандардың квадраттарының қосындысы Фибоначчи саны болады, ол квадрат сандардың ең үлкенінен кейінгі екі позиция

Осы табылғандардың ішінде екіншісі ең қызықты, себебі ол «алтын қатынас» деп аталатын 1,618 санын пайдаланады. Бұл сан ежелгі гректерге белгілі болды, олар оны Парфенон құрылысы кезінде пайдаланды (айтпақшы, кейбір деректерге сәйкес, Орталық банк гректерге қызмет етті). Бір қызығы, 1,618 санын табиғатта микро және макро масштабта табуға болады - ұлу қабығындағы спиральдық бұрылыстардан ғарыштық галактикалардың үлкен спиральдарына дейін.

Ежелгі мысырлықтар жасаған Гизадағы пирамидаларда құрылыс кезінде Фибоначчи сериясының бірнеше параметрлері де болды. Бір жағы екіншісінен 1,618 есе үлкен тіктөртбұрыш көзге ең жағымды көрінеді - бұл қатынасты Леонардо да Винчи өз картиналары үшін пайдаланған, ал күнделікті мағынада ол терезелер немесе есіктер жасау кезінде қолданылған. Мақаланың басындағы суреттегідей толқынды да Фибоначчи спиралы ретінде көрсетуге болады.

Тірі табиғатта Фибоначчи тізбегі жиі кездеседі - оны тырнақтарда, тістерде, күнбағыстарда, паук торларында және тіпті бактериялардың өсуінен табуға болады. Қажет болса, консистенциясы адамның бетінде және денесінде барлығында дерлік кездеседі. Дегенмен, табиғи және тарихи құбылыстарда Фибоначчи сандарын табатын көптеген мәлімдемелер дұрыс емес - бұл қалаған нәтижеге дәл емес сәйкестік болып шығатын қарапайым миф.

Қаржы нарықтарындағы Фибоначчи сандары

Фибоначчи сандарын қаржы нарығына қолданумен ең жақын араласқандардың бірі Р.Эллиот болды. Оның жұмысы бекер болған жоқ, өйткені Фибоначчи теориясын қолданатын нарықтық сипаттамалар жиі «Эллиот толқындары» деп аталады. Мұндағы нарықтардың дамуы үш қадам алға және екі қадам артқа дейінгі суперциклдерден адам дамуының үлгісіне негізделген.

Адамзаттың сызықты емес дамып келе жатқаны барлығына дерлік анық - білім Ежелгі Египетал Демокриттің атомистік ілімі орта ғасырларда толығымен жоғалды, т.б. шамамен 2000 жылдан кейін. Дегенмен, біз қадамдар теориясын және олардың санын шындық ретінде қабылдасақ та, әрбір қадамның өлшемі түсініксіз болып қалады, бұл Эллиот толқындарын бастар мен құйрықтардың болжау күшімен салыстыруға мүмкіндік береді. Бастапқы нүкте және толқындар санын дұрыс есептеу теорияның негізгі әлсіздігі болды және солай болады.

Соған қарамастан, теорияның жергілікті жетістіктері болды. Эллиоттың студенті деп санауға болатын Боб Претчер 1980 жылдардың басындағы бұқалар нарығын дұрыс болжап, 1987 жылды бұрылыс нүктесі ретінде көрді. Бұл іс жүзінде болды, содан кейін Боб өзін данышпан ретінде сезінді - кем дегенде, басқалардың алдында ол инвестициялық гуру болды.

Prechter's Elliott Wave Theorist жазылымы сол жылы 20 000-ға дейін өсті.дегенмен, ол 1990-шы жылдардың басында төмендеді, өйткені американдық нарықтың одан әрі болжанған «қияметі мен қараңғылығы» сәл кідіртуге шешім қабылдады. Дегенмен, бұл жапон нарығы үшін жұмыс істеді және бір толқынға «кешіккен» теорияның бірқатар жақтаушылары өз капиталынан немесе өз компанияларының клиенттерінің капиталынан айырылды. Дәл осылай және бірдей табыспен олар көбінесе теорияны валюта нарығындағы саудаға қолдануға тырысады.

Эллиот толқындары әртүрлі сауда кезеңдерін қамтиды - апта сайынғыдан бастап, оны стандартты техникалық талдау стратегияларына ұқсас етеді, ондаған жылдардағы есептеулерге дейін, яғни. іргелі болжамдар аумағына енеді. Бұл толқындардың санын өзгерту арқылы мүмкін болады. Жоғарыда айтылған теорияның әлсіз жақтары оны ұстанушыларға толқындардың сәйкессіздігі туралы емес, олардың арасындағы өздерінің қате есептеулері және бастапқы ұстанымның дұрыс анықтамасы туралы айтуға мүмкіндік береді. Бұл лабиринт сияқты - сізде дұрыс карта болса да, сіз дәл қай жерде екеніңізді түсінсеңіз ғана оны ұстануға болады. Әйтпесе картаның пайдасы болмайды. Эллиот толқындары жағдайында сіздің орналасқан жеріңіздің дұрыстығына ғана емес, сонымен қатар картаның дәлдігіне де күмәнданудың барлық белгілері бар.

қорытындылар

Адамзаттың толқындық дамуының нақты негізі бар – орта ғасырларда соғыстар салыстырмалы түрде тыныш бейбіт өмірге орын берген кезде инфляция мен дефляция толқындары бір-бірімен алмасып отырды. Табиғатта Фибоначчи тізбегін байқау, кем дегенде, кейбір жағдайларда да күмән тудырмайды. Сондықтан Құдай кім деген сұраққа әркім өзінше жауап беруге құқылы: математик немесе кездейсоқ сандар генераторы. Менің жеке пікірім: толқын ұғымында адамзат тарихы мен нарықтарының барлығын көрсетуге болатынымен, әрбір толқынның биіктігі мен ұзақтығын ешкім болжай алмайды.

Жұмыс мәтіні суретсіз және формуласыз орналастырылған.
Толық нұсқажұмыс PDF форматындағы «Жұмыс файлдары» қойындысында қолжетімді

Кіріспе

МАТЕМАТИКАНЫҢ ЕҢ ЖОҒАРЫ МАҚСАТЫ – БІЗДІ ҚОРШАП ЖАТҚАН ХАОСТА ЖАСЫРЫН ТӘРТІПті ТАБУ.

Винер Н.

Адам өмір бойы білімге ұмтылады, қоршаған дүниені зерттеуге тырысады. Ал бақылау барысында жауапты қажет ететін сұрақтар туындайды. Жауаптар табылды, бірақ жаңа сұрақтар туындайды. Археологиялық олжаларда, уақыт пен кеңістікте бір-бірінен алшақ жатқан өркениет іздерінде бір ғана элемент – спираль түріндегі өрнек кездеседі. Кейбіреулер оны күннің символы деп санайды және оны аңызға айналған Атлантидамен байланыстырады, бірақ оның шынайы мағынасы белгісіз. Галактика мен атмосфералық циклонның пішіндері, жапырақтардың сабақтағы орналасуы және күнбағыстағы тұқымдардың орналасуы қандай ортақ? Бұл үлгілер 13 ғасырдағы ұлы итальян математигі ашқан таңғажайып Фибоначчи тізбегі «алтын» спиральға түседі.

Фибоначчи сандарының тарихы

Фибоначчи сандары дегенді бірінші рет математика мұғалімінен естідім. Сонымен қатар, мен бұл сандардың реті қалай біріктірілгенін білмедім. Бұл реттілік шын мәнінде немен танымал, ол адамға қалай әсер етеді, мен сізге айтқым келеді. Леонардо Фибоначчи туралы аз мәлімет бар. Тіпті оның нақты туған күні де жоқ. Оның 1170 жылы Италияның Пиза қаласында көпес отбасында дүниеге келгені белгілі. Фибоначчидің әкесі сауда мәселелері бойынша Алжирге жиі баратын, ал Леонардо араб мұғалімдерінен математиканы оқыған. Кейіннен ол бірнеше математикалық еңбектер жазды, олардың ең әйгілісі сол кездегі барлық дерлік арифметикалық және алгебралық ақпаратты қамтитын «Абакус кітабы» болып табылады. 2

Фибоначчи сандары – бірқатар қасиеттері бар сандар тізбегі. Фибоначчи бұл сандар тізбегін 1202 жылы қояндар туралы практикалық есепті шешуге тырысқанда кездейсоқ тапты. «Біреу қоянның табиғаты бір айдан кейін бір жұп болатындай болса, бір жылда қанша жұп қоян туатынын білу үшін, жан-жағынан қабырғамен қоршалған белгілі бір жерге бір жұп қоян орналастырған. қояндардың саны басқа жұп туады, ал қояндар сіз туғаннан кейінгі екінші айдан бастап туады». Есепті шешу барысында әрбір жұп қоян өмір бойы тағы екі жұп туып, кейін өлетінін ескерді. Сандар тізбегі осылай пайда болды: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... Бұл тізбекте әрбір келесі сан алдыңғы екі санның қосындысына тең. Ол Фибоначчи тізбегі деп аталды. Математикалық қасиеттертізбектер

Мен бұл тізбекті зерттегім келді және оның кейбір қасиеттерін аштым. Бұл үлгі бар үлкен мән. Тізбек шамамен 1,618 белгілі бір тұрақты қатынасқа баяу жақындап келеді, ал кез келген санның келесіге қатынасы шамамен 0,618 құрайды.

Фибоначчи сандарының бірқатар қызықты қасиеттерін байқауға болады: көршілес екі сан салыстырмалы жай сандар; әрбір үшінші сан жұп; әрбір он бесінші нөлмен аяқталады; әрбір төртінші үшке еселік. Егер сіз Фибоначчи тізбегінен кез келген 10 көрші санды таңдап, оларды қоссаңыз, әрқашан 11-ге еселік санды аласыз. Бірақ бұл бәрі емес. Әрбір қосынды берілген қатардың жетінші мүшесіне көбейтілген 11 санына тең. Міне, тағы бір қызықты мүмкіндік. Кез келген n үшін тізбектің біріншіn мүшесінің қосындысы әрқашан қатардың (n+ 2)-ші және бірінші мүшесінің айырмасына тең болады. Бұл фактіні мына формуламен өрнектеуге болады: 1+1+2+3+5+…+an=a n+2 - 1. Енді біздің қолымызда келесі қулық бар: барлық мүшелердің қосындысын табу

берілген екі мүшенің арасындағы реттілік үшін сәйкес (n+2)-x мүшелерінің айырмасын табу жеткілікті. Мысалы, a 26 +…+a 40 = a 42 - a 27. Енді Фибоначчи, Пифагор және «алтын қатынас» арасындағы байланысты іздеп көрейік. Адамзаттың математикалық кемеңгерлігінің ең әйгілі дәлелі Пифагор теоремасы: кез келген тікбұрышты үшбұрышта гипотенузаның квадраты оның катеттерінің квадраттарының қосындысына тең: c 2 =b 2 +a 2. Геометриялық тұрғыдан біз барлық жақтарды қарастыра аламыз тікбұрышты үшбұрыш, оларға салынған үш шаршының қабырғалары ретінде. Пифагор теоремасы тікбұрышты үшбұрыштың қабырғаларына салынған шаршылардың жалпы ауданы гипотенузаға салынған шаршының ауданына тең екенін айтады. Тікбұрышты үшбұрыштың қабырғаларының ұзындықтары бүтін сандар болса, онда олар Пифагор үштіктері деп аталатын үш саннан тұратын топты құрайды. Фибоначчи тізбегін пайдаланып, мұндай үштіктерді табуға болады. Тізбектен кез келген төрт қатарлы санды, мысалы, 2, 3, 5 және 8 алып, келесідей тағы үш санды құрастырайық: 1) екі шеткі санның көбейтіндісі: 2*8=16;2) қос көбейтінді ортадағы екі санның: 2* (3*5)=30;3) екі орташа санның квадраттарының қосындысы: 3 2 +5 2 =34; 34 2 =30 2 +16 2. Бұл әдіс кез келген төрт қатарлы Фибоначчи саны үшін жұмыс істейді. Фибоначчи сериясындағы кез келген үш қатарынан сан болжамды түрде әрекет етеді. Егер сіз екі шеткі санды көбейтіп, нәтижені орташа санның квадратымен салыстырсаңыз, нәтиже әрқашан бір-бірінен ерекшеленеді. Мысалы, 5, 8 және 13 сандары үшін мынаны аламыз: 5*13=8 2 +1. Егер сіз бұл қасиетке геометриялық тұрғыдан қарасаңыз, сіз біртүрлі нәрсені байқайсыз. Шаршыны бөліңіз

Өлшемі 8x8 (барлығы 64 кішкентай шаршы) төрт бөлікке, жақтарының ұзындығы Фибоначчи сандарына тең. Енді осы бөліктерден 5х13 өлшемді тіктөртбұрыш саламыз. Оның ауданы 65 шағын шаршыны құрайды. Қосымша шаршы қайдан келеді? Мәселе мынада, мінсіз тіктөртбұрыш қалыптаспаған, бірақ бұл қосымша аумақ бірлігін беретін кішкентай бос орындар қалады. Паскаль үшбұрышының да Фибоначчи тізбегімен байланысы бар. Тек Паскаль үшбұрышының сызықтарын бірінің астына жазып, содан кейін элементтерді диагональ бойынша қосу керек. Нәтиже – Фибоначчи тізбегі.

Енді бір қабырғасы екіншісінен 1,618 есе ұзын алтын төртбұрышты қарастырайық. Бір қарағанда, ол бізге кәдімгі төртбұрыш болып көрінуі мүмкін. Дегенмен, екі қарапайым банк картасымен қарапайым тәжірибе жасайық. Олардың төменгі жақтары бір түзуде болатындай етіп біреуін көлденең, екіншісін тігінен орналастырайық. Көлденең картада қиғаш сызықты сызып, оны ұзартсақ, оның тік картаның оң жақ жоғарғы бұрышынан дәл өтетінін көреміз – бұл жағымды тосынсый. Мүмкін, бұл кездейсоқтық, немесе, мүмкін, бұл төртбұрыштар және басқалар геометриялық фигуралар, «алтын қатынасты» қолдану әсіресе көзді қуантады. Леонардо да Винчи өзінің шедеврін жасау кезінде алтын қатынас туралы ойлады ма? Бұл екіталай сияқты. Дегенмен, ол эстетика мен математиканың байланысына үлкен мән берген деп айтуға болады.

Табиғаттағы Фибоначчи сандары

Алтын арақатынастың сұлулықпен байланысы тек адамның қабылдау мәселесі емес. Табиғаттың өзі Ф-ға ерекше рөл бөлген сияқты. Егер сіз шаршыларды «алтын» тіктөртбұрышқа дәйекті түрде жазсаңыз, содан кейін әр шаршыға доға сызыңыз, логарифмдік спираль деп аталатын талғампаз қисық аласыз. Бұл мүлдем математикалық қызығушылық емес. 5

Керісінше, бұл тамаша сызық жиі кездеседі физикалық әлем: наутилустың қабығынан галактикалардың құшағына дейін және гүлденген раушан гүл жапырақтарының талғампаз спиральында. Алтын қатынас пен Фибоначчи сандары арасындағы байланыстар көп және таңқаларлық. Раушан гүлінен өте ерекшеленетін гүлді - тұқымы бар күнбағысты қарастырайық. Біз көретін бірінші нәрсе - тұқымдар екі түрлі спираль түрінде орналасқан: сағат тілімен және сағат тіліне қарсы. Спиральдарды сағат тілімен санайтын болсақ, біз қарапайым болып көрінетін екі санды аламыз: 21 және 34. Бұл өсімдіктердің құрылымында Фибоначчи сандарын табуға болатын жалғыз мысал емес.

Табиғат бізге Фибоначчи сандарымен сипатталған біртекті объектілердің орналасуының көптеген мысалдарын береді. Кішкентай өсімдік бөліктерінің әртүрлі спиральдық орналасуында әдетте спиральдардың екі отбасын ажыратуға болады. Бұл отбасылардың бірінде спиральдар сағат тілімен бұралса, екіншісінде сағат тіліне қарсы бұралған. Бір және басқа түрдегі спираль сандары жиі көршілес Фибоначчи сандары болып шығады. Сонымен, қарағайдың жас бұтағын алып, инелер төменгі солдан жоғары оңға қарай екі спираль құрайтынын байқау оңай. Көптеген конустарда тұқымдар конустың сабағына ақырын оралып, үш спираль түрінде орналасады. Олар бес спираль түрінде орналасқан, олар тік оралады қарама-қарсы бағытта. Үлкен конустарда 5 және 8, тіпті 8 және 13 спиральдарды байқауға болады. Фибоначчи спиральдары ананаста да анық көрінеді: әдетте олардың саны 8 және 13 болады.

Цикорий өсіндісі кеңістікке күшті лақтырылады, тоқтайды, жапырақты босатады, бірақ бұл уақыт біріншіге қарағанда қысқа, қайтадан ғарышқа лақтыру жасайды, бірақ аз күшпен одан да кішірек өлшемдегі жапырақты шығарады және қайтадан лақтырылады. . Оның өсу серпіні «алтын» бөлімге пропорционалды түрде біртіндеп төмендейді. Фибоначчи сандарының орасан зор рөлін бағалау үшін айналамыздағы табиғаттың сұлулығына қарау керек. Фибоначчи сандарын мөлшерде табуға болады

әрбір өсіп тұрған өсімдіктің сабағында және жапырақшаларының санында бұтақтары.

Кейбір гүлдердің жапырақшаларын санап көрейік – 3 жапырақшасы бар ирис, 5 жапырақшасы бар примула, 13 жапырақшасы бар тырнақгүл, 34 жапырақты жүгері гүлі, 55 жапырақшасы бар астра т.б. Бұл кездейсоқтық па, әлде табиғат заңы ма? Мыңжапырақтың сабақтары мен гүлдеріне қараңыз. Осылайша, жалпы Фибоначчи тізбегі табиғатта кездесетін «Алтын» сандардың көріністерінің үлгісін оңай түсіндіре алады. Бұл заңдар біздің санамызға және оларды қабылдау немесе қабылдамау ниетімізге қарамастан әрекет етеді. «Алтын» симметрия үлгілері энергетикалық ауысуларда көрінеді элементар бөлшектер, кейбіреулерінің құрылымында химиялық қосылыстар, планеталық және ғарыштық жүйелерде, тірі ағзалардың гендік құрылымдарында, адамның жеке мүшелерінің және тұтастай алғанда дененің құрылымында, сонымен қатар биоритмдерде және мидың жұмысында және көру қабылдауында көрінеді.

Сәулет өнеріндегі Фибоначчи сандары

«Алтын қатынас» адамзат тарихындағы көптеген тамаша сәулет туындыларында да айқын көрінеді. Ежелгі Грекия мен Ежелгі Египет математиктері бұл коэффициенттерді Фибоначчиден көп бұрын білген және оларды «алтын қатынас» деп атаған. Гректер Парфенонды салуда «алтын қатынас» принципін, ал мысырлықтар Гизаның Ұлы пирамидасын пайдаланды. Құрылыс технологиясының жетістіктері және жаңа материалдардың дамуы ХХ ғасыр сәулетшілеріне жаңа мүмкіндіктер ашты. Америкалық Фрэнк Ллойд Райт органикалық сәулеттің негізгі жақтаушылардың бірі болды. Өлерінен аз уақыт бұрын ол Нью-Йорктегі Соломон Гуггенхайм мұражайының дизайнын жасады, ол төңкерілген спираль болып табылады, ал мұражайдың іші наутилус қабығына ұқсайды. Поляк-израиль сәулетшісі Зви Хеккер де 1995 жылы аяқталған Берлиндегі Хайнц Галински мектебінің жобасында спиральды құрылымдарды пайдаланды. Хеккер орталық шеңбері бар күнбағыс идеясын қайдан бастады

Барлық сәулет элементтері әртүрлі. Ғимарат біріктірілген

шектеулі адам білімінің өзара әрекеттесуін және табиғаттың басқарылатын хаосын бейнелейтін ортогональды және концентрлік спиральдар. Оның архитектурасы Күннің қозғалысын бақылайтын өсімдікке еліктейді, сондықтан сыныптар күні бойы жарықтандырылады.

Массачусетс штатының Кембридж қаласында (АҚШ) орналасқан Квинси саябағында «алтын» спиралды жиі кездестіруге болады. Саябақты 1997 жылы суретші Дэвид Филлипс жобалаған және жақын жерде орналасқан Математика институтыСаз. Бұл мекеме математикалық зерттеулердің атақты орталығы болып табылады. Квинси саябағында сіз «алтын» спиральдар мен металл қисық сызықтар, екі раковинаның рельефтері және шаршы түбір белгісі бар жартас арасында серуендеуге болады. Белгіде «алтын» қатынас туралы ақпарат бар. Тіпті велосипед тұрағы F белгісін пайдаланады.

Психологиядағы Фибоначчи сандары

Психологияда адамның өмір жолындағы жан құрылымы мен қызметтеріндегі өзгерістерді белгілейтін бетбұрыстар, дағдарыстар мен революциялар атап өтілді. Егер адам осы дағдарыстарды сәтті жеңсе, онда ол бұрын өзі ойламаған жаңа таптың мәселелерін шешуге қабілетті болады.

Іргелі өзгерістердің болуы өмір уақытын рухани қасиеттерді дамытудың шешуші факторы ретінде қарастыруға негіз береді. Өйткені, табиғат біз үшін уақытты жомарттықпен өлшемейді, «ол қанша болса да, сонша болады», бірақ даму процесі жүзеге асуы үшін жеткілікті:

дене құрылымдарында;

сезімдерде, ойлауда және психомоторлық дағдыларда - олар алғанға дейін гармониямеханизмнің пайда болуы және іске қосылуы үшін қажет

шығармашылық;

адамның энергетикалық потенциалының құрылымында.

Дененің дамуын тоқтату мүмкін емес: бала ересек болады. Шығармашылық механизмімен бәрі оңай емес. Оның дамуын тоқтатып, бағытын өзгертуге болады.

Уақытты қуып жетуге мүмкіндік бар ма? Сөзсіз. Бірақ бұл үшін сіз өзіңізбен көп жұмыс істеуіңіз керек. Еркін дамитын нәрсе, әрине, ерекше күш-жігерді қажет етпейді: бала еркін дамып, бұл орасан зор жұмысты байқамайды, өйткені еркін даму процесі өзіне зорлық-зомбылықсыз жасалады.

Күнделікті санада өмір жолының мәні қалай түсініледі? Қарапайым адам мұны осылай көреді: төменгі жағында туу бар, жоғарыда өмірдің гүлденуі бар, содан кейін бәрі төмен түседі.

Данышпан айтады: бәрі әлдеқайда күрделі. Өрлеуді кезеңдерге бөледі: балалық, жастық, жастық... Неге бұлай? Жауап бере алатындар аз, дегенмен бәрі бұл өмірдің жабық, ажырамас кезеңдері екеніне сенімді.

Шығармашылық механизмінің қалай дамитынын білу үшін В.В. Клименко математиканы, атап айтқанда Фибоначчи сандарының заңдарын және «алтын бөлімнің» пропорциясын - табиғат пен адам өмірінің заңдарын қолданды.

Фибоначчи сандары өмір сүрген жылдар санына қарай өмірімізді кезеңдерге бөледі: 0 - кері санаудың басы - бала дүниеге келді. Оған психомоторлық дағдылар, ойлау, сезім, қиял ғана емес, сонымен қатар операциялық энергетикалық әлеует әлі де жетіспейді. Ол жаңа өмірдің, жаңа үйлесімділіктің бастауы;

1 - бала жүруді игерді және өзінің жақын ортасын меңгеруде;

2 - сөйлеуді түсінеді және ауызша нұсқауларды қолдана отырып әрекет етеді;

3 - сөз арқылы әрекет етеді, сұрақ қояды;

5 - «мейірімділік ғасыры» - балаға әлемді өзінің тұтастығымен қабылдауға мүмкіндік беретін психомоторлық, есте сақтау, қиял және сезімдердің үйлесімділігі;

8 - сезімдер бірінші орынға шығады. Оларға қиял қызмет етеді, ал ойлау өзінің сыншылдығы арқылы өмірдің ішкі және сыртқы үйлесімділігін қолдауға бағытталған;

13 - дарындылық механизмі жұмыс істей бастайды, мұрагерлік процесінде алынған материалды түрлендіруге, жеке дарындылықты дамытуға бағытталған;

21 - шығармашылық механизмі үйлесімділік жағдайына жақындады және талантты жұмысты орындауға талпыныс жасалуда;

34— ойлау, сезім, қиял және психомоторлық дағдылардың үйлесімділігі: тапқыр жұмыс істеу қабілеті туады;

55 - бұл жаста, жан мен тәннің үйлесімділігі сақталса, адам жаратушы болуға дайын. Тағыда басқа…

Fibonacci Numbers серифтері дегеніміз не? Оларды өмір жолындағы бөгеттермен салыстыруға болады. Бұл бөгеттер әрқайсымызды күтіп тұр. Ең алдымен, сіз олардың әрқайсысын жеңіп шығуыңыз керек, содан кейін бір жақсы күн бұзылғанша, келесіге еркін ағынға жол ашқанша, даму деңгейіңізді шыдамдылықпен көтеруіңіз керек.

Енді біз жасқа байланысты дамудың осы негізгі нүктелерінің мағынасын түсінгеннен кейін, мұның бәрі қалай болатынын шешуге тырысайық.

B1 жылбала жүруді меңгереді. Бұған дейін ол дүниені алдыңғы жағымен бастан кешірді. Енді ол әлемді өз қолдарымен таниды - бұл ерекше адамдық артықшылық. Жануар кеңістікте қозғалады, ал ол оқу арқылы кеңістікті игеріп, өзі тұратын аумақты меңгереді.

2 жыл- сөзді түсініп, соған сәйкес әрекет жасайды. Ол мынаны білдіреді:

бала үйренеді ең аз сомасөздер – мағыналары мен іс-әрекет тәсілдері;

одан әлі ажыраған жоқ қоршаған ортажәне қоршаған ортамен тұтастыққа біріктіріледі,

сондықтан ол біреудің нұсқауы бойынша әрекет етеді. Бұл жаста ол ата-анасына ең мойынсұнғыш және ұнамды. Нәзіктік адамнан бала танымдық тұлғаға айналады.

3 жыл- өз сөзімен әрекет ету. Бұл адамның қоршаған ортадан бөлінуі болды - және ол өз бетінше әрекет ететін адам болуды үйренеді. Осы жерден ол:

қоршаған ортаға және ата-анаға, балабақша тәрбиешілеріне және т.б. саналы түрде қарсы тұрады;

өз егемендігін жүзеге асырады және тәуелсіздік үшін күреседі;

жақын және танымал адамдарды өз еркіне бағындыруға тырысады.

Енді бала үшін сөз – әрекет. Міне, белсенді адам осы жерден басталады.

5 жыл- «рақымдылық дәуірі». Ол үйлесімділіктің тұлғасы. Ойындар, билер, епті қозғалыстар - бәрі үйлесімділікке қаныққан, оны адам өз күшімен меңгеруге тырысады. Үйлесімді психомоторлы мінез-құлық жаңа жағдайды жасауға көмектеседі. Сондықтан бала психомоторлық белсенділікке бағытталған және ең белсенді әрекеттерге ұмтылады.

Сезімталдық жұмыстың өнімдерін материалдандыру мыналар арқылы жүзеге асырылады:

қоршаған ортаны және өзімізді осы әлемнің бір бөлігі ретінде көрсету мүмкіндігі (біз естиміз, көреміз, ұстаймыз, иіс аламыз және т.б. - бұл процесс үшін барлық сезімдер жұмыс істейді);

сыртқы дүниені, соның ішінде өзін жобалау қабілеті

(екінші табиғатты, гипотезаларды жасау – ертең анау-мынау жасау, жаңа машина құрастыру, мәселені шешу), сыни ойлау, сезім және қиял күштерімен;

екінші, техногендік табиғатты, қызмет өнімдерін (нақты объектілермен және процестермен жоспарларды, нақты психикалық немесе психомоторлық әрекеттерді жүзеге асыру) жасау мүмкіндігі.

5 жылдан кейін қиял механизмі алға шығып, басқаларға үстемдік ете бастайды. Бала қиял-ғажайып бейнелер жасай отырып, орасан зор жұмыс жасайды, ертегілер мен мифтер әлемінде өмір сүреді. Баланың гипертрофияланған қиялы ересектерде таң қалдырады, өйткені қиял шындыққа сәйкес келмейді.

8 жыл— сезімдер бірінші орынға шығады және өзінің сезім стандарттары (танымдық, моральдық, эстетикалық) бала қатесіз болғанда туындайды:

белгілі мен белгісізді бағалайды;

адамгершілікті азғыннан, адамгершілікті азғыннан ажыратады;

өмірге қауіп төндіретін нәрседен сұлулық, хаостан үйлесімділік.

13 жас— шығармашылық механизмі жұмыс істей бастайды. Бірақ бұл оның толық қуатында жұмыс істейді деген сөз емес. Механизмнің бір элементі алға шығады, ал қалғандарының барлығы оның жұмысына ықпал етеді. Егер осы дәуірдің өзінде оның құрылымын үнемі дерлік қайта құратын үйлесімділік сақталса, жастар келесі бөгетке ауыртпалықсыз жетеді, оны байқамай жеңеді және революциялық жаста өмір сүреді. Төңкерісшіл жаста жас алға жаңа қадам жасауы керек: жақын қоғамнан бөлініп, ондағы үйлесімді өмір мен белсенділік. Әрқайсымыздың алдымызда туындайтын бұл мәселені әркім шеше алмайды.

21 жаста.Егер революционер өмірдің алғашқы үйлесімді шыңын сәтті еңсерсе, онда оның дарындылық механизмі дарынды орындауға қабілетті.

жұмыс. Сезімдер (танымдық, моральдық немесе эстетикалық) кейде ойлауға көлеңке түсіреді, бірақ жалпы барлық элементтер үйлесімді жұмыс істейді: сезім әлемге ашық, ал логикалық ойлау осы шыңнан заттардың өлшемдерін атауға және табуға қабілетті.

Шығармашылық механизмі қалыпты дамып, белгілі бір жемістерді алуға мүмкіндік беретін күйге жетеді. Ол жұмысқа кіріседі. Бұл жаста сезім механизмі алға шығады. Қиял мен оның өнімдері сезім мен ақыл арқылы бағаланатындықтан, олардың арасында антагонизм пайда болады. Сезім жеңеді. Бұл қабілет бірте-бірте күшке ие болады және бала оны пайдалана бастайды.

34 жаста- тепе-теңдік пен үйлесімділік, дарындылықтың өнімді тиімділігі. Оңтайлы энергетикалық әлеуетпен толықтырылған ойлаудың, сезім мен қиялдың, психомоторлық дағдылардың үйлесімділігі және тұтастай алғанда механизм - тамаша жұмысты орындау мүмкіндігі туады.

55 жыл- адам жасаушы бола алады. Өмірдің үшінші үйлесімді шыңы: ойлау сезім күшін бағындырады.

Фибоначчи сандары адамның даму кезеңдерін білдіреді. Адамның бұл жолдан тоқтаусыз өтуі ата-анасы мен ұстазына, тәрбие жүйесіне, одан кейін – өзіне және адамның қалай үйреніп, өзін жеңетініне байланысты.

Өмір жолында адам 7 қарым-қатынас объектісін ашады:

Туған күннен 2 жасқа дейін - жақын ортаның физикалық және объективті әлемін ашу.

2 жастан 3 жасқа дейін - өзін-өзі тану: «Мен өзіммін».

3 жастан 5 жасқа дейін - сөйлеу, белсенді сөздер әлемі, үйлесімділік және «Мен - сен» жүйесі.

5 жастан 8 жасқа дейін - басқа адамдардың ойлары, сезімдері және бейнелері әлемін ашу - «Мен - Біз» жүйесі.

8 жастан 13 жасқа дейін – адамзаттың данышпандары мен таланттары шешкен міндеттер мен мәселелер әлемінің ашылуы – «Мен – Руханият» жүйесі.

13 жастан 21 жасқа дейін - белгілі мәселелерді өз бетінше шешу қабілетінің ашылуы, ойлар, сезімдер және қиял белсенді жұмыс істей бастағанда «Мен - Ноосфера» жүйесі пайда болады.

21 жастан 34 жасқа дейін – жасампаздық қабілетінің ашылуы жаңа әлемнемесе оның фрагменттері – «Мен – Жаратушымын» өзін-өзі түсіну туралы түсінік.

Өмір жолы кеңістіктік-уақыттық құрылымға ие. Ол көптеген өмірлік параметрлермен анықталатын жас және жеке фазалардан тұрады. Адам белгілі бір дәрежеде өз өмірінің жағдайларын меңгеріп, өз тарихын жасаушыға және қоғам тарихын жасаушыға айналады. Өмірге деген шынайы шығармашылық көзқарас, дегенмен, бірден пайда бола бермейді, тіпті әрбір адамда бола бермейді. Өмір жолының фазалары арасында бар генетикалық байланыстар, және бұл оның табиғи сипатын анықтайды. Бұдан, негізінен, оның алғашқы фазалары туралы білім негізінде болашақ дамуды болжауға болатыны шығады.

Астрономиядағы Фибоначчи сандары

Астрономия тарихынан 18 ғасырдағы неміс астрономы И.Тиций Фибоначчи сериясын пайдалана отырып, планеталар арасындағы қашықтықтарда заңдылық пен тәртіпті тапқаны белгілі. күн жүйесі. Бірақ бір жағдай заңға қайшы болып көрінді: Марс пен Юпитер арасында планета болмаған. Бірақ 19 ғасырдың басында Титий қайтыс болғаннан кейін. аспанның осы бөлігін шоғырландырылған бақылау астероидтар белдеуінің ашылуына әкелді.

Қорытынды

Зерттеу барысында мен Фибоначчи сандары акциялар бағасын техникалық талдауда кеңінен қолданылатынын білдім. Фибоначчи сандарын тәжірибеде қолданудың қарапайым тәсілдерінің бірі белгілі бір оқиғаның, мысалы, бағаның өзгеруінен кейін болатын уақыт аралығын анықтау болып табылады. Аналитик алдыңғы ұқсас оқиғадан Фибоначчи күндерінің немесе апталарының белгілі бір санын (13,21,34,55 және т.б.) есептеп, болжам жасайды. Бірақ мұны анықтау мен үшін әлі де қиын. Фибоначчи орта ғасырдың ең ұлы математигі болғанымен, Фибоначчидің жалғыз ескерткіштері - Пиза мұнарасының алдындағы мүсін және оның есімімен аталатын екі көше: бірі Пизада, екіншісі Флоренцияда. Дегенмен, көрген-білгенімнің барлығына байланысты табиғи сұрақтар туындайды. Бұл сандар қайдан келді? Оны идеал етуге тырысқан ғаламның сәулетшісі кім? Әрі қарай не болады? Бір сұрақтың жауабын тапқан соң келесісін аласыз. Егер сіз оны шешсеңіз, сіз екі жаңасын аласыз. Олармен күрескеннен кейін тағы үшеуі пайда болады. Оларды да шешкеннен кейін, сізде бес шешілмеген болады. Содан кейін сегіз, он үш, т.б. Екі қолдың бес саусағы бар екенін ұмытпаңыз, оның екеуі екі фалангтан, сегізі үштен тұрады.

Әдебиет:

Волошинов А.В. «Математика және өнер», М., Білім, 1992 ж.

Воробьев Н.Н. «Фибоначчи сандары», М., Наука, 1984 ж.

Стахов А.П. «Да Винчи коды және Фибоначчи сериясы», Санкт-Петербург форматы, 2006 ж

Ф.Корвалан «Алтын қатынас. Сұлулықтың математикалық тілі», М., Де Агостини, 2014 ж.

Максименко С.Д. «Өмірдің сезімтал кезеңдері және олардың кодтары».

«Фибоначчи сандары». Wikipedia