Бірінші туындының геометриялық және механикалық мағынасы. Туындының механикалық мағынасы Екінші туындының физикалық немесе механикалық мағынасы

Нұсқаулық карта №20

Тақырыбы/Тақырып: « Екінші туынды және оның физикалық мағынасы».

Мақсаты/ Мақсаты:

Жанаманың теңдеуін, сонымен қатар жанаманың ОК осіне еңкею бұрышының тангенсін таба білу. Функцияның өзгеру жылдамдығын, сондай-ақ үдеуін таба білу.

Зерттелетін фактілер мен ұғымдарды салыстыру және жіктеу дағдыларын қалыптастыруға жағдай жасау.

Тәрбие жұмысына жауапкершілікпен қарауға, жанама теңдеуді табуда, сонымен қатар функцияның өзгеру жылдамдығы мен үдеуін табуда соңғы нәтижеге жетуге ерік-жігер мен табандылыққа тәрбиелеу.

Теориялық материал:

(Геометриялық мағына алынған)

Функция графигінің жанама теңдеуі:

1-мысал: 2-ші ұятсыз нүктедегі функция графигіне жанаманың теңдеуін табайық.

Жауабы: у = 4х-7

Абсцисса x o нүктесіндегі функция графигіне жанаманың k бұрыштық коэффициенті f / (x o) тең (k= f / (x o)). Берілген нүктедегі функция графигіне жанаманың көлбеу бұрышы тең

arctg k = arctg f / (x o), яғни. k= f / (x o)= тг

2-мысал: Синус толқыны қандай бұрышта координат басындағы х осін қияды?

Берілген функцияның графигі х осімен қиылысу бұрышы осы нүктедегі f(x) функциясының графигіне жүргізілген жанаманың а көлбеуіне тең. Туындыны табайық: Туындының геометриялық мағынасын ескере отырып, бізде: және а = 60°. Жауабы: =60 0 .

Егер функцияның анықталу облысындағы әрбір нүктеде туындысы болса, онда оның туындысы -ның функциясы болады. Функция, өз кезегінде, деп аталатын туынды болуы мүмкін екінші ретті туындыфункциялары (немесе екінші туынды) және белгісімен белгіленеді.

3-мысал: Функцияның екінші туындысын табыңыз: f(x)=x 3 -4x 2 +2x-7.

Алдымен, f"(x)=(x 3 -4x 2 +2x-7)’=3x 2 -8x+2 функциясының бірінші туындысын табайық,

Сонда, алынған бірінші туындының екінші туындысын табамыз

f""x)=(3x 2 -8x+2)’’=6x-8. Жауабы: f""x) = 6x-8.

(Екінші туындының механикалық мағынасы)

Егер нүкте түзу сызықты қозғалса және оның қозғалыс заңы берілсе, онда нүктенің үдеуі жолдың уақытқа қатысты екінші туындысына тең болады:

Материалдық дененің жылдамдығы жолдың бірінші туындысына тең, яғни:

Материалдық дененің үдеуі жылдамдықтың бірінші туындысына тең, яғни:

4-мысал: Дене s (t) = 3 + 2t + t 2 (m) заңы бойынша түзу сызықты қозғалады. Оның t = 3 с уақытындағы жылдамдығы мен үдеуін анықтаңыз. (Қашықтық метрмен, уақыт секундпен өлшенеді).
Шешім
v (т) = s΄ (т) =(3+2t+t 2)’= 2 + 2т
а (т) = v΄ (т) =(2+2т)’= 2 (м/с 2)
v(3) = 2 + 2∙3 = 8 (м/с). Жауабы: 8 м/с; 2 м/с 2 .

Практикалық бөлім:

1 опция	2-нұсқа	3-нұсқа	4-нұсқа	5-нұсқа
Берілген М нүктесі арқылы өтетін жанаманың х осіне көлбеу бұрышының тангенсін табыңыз. f функциясының графигі.
f(x)=x 2 , M(-3;9)	f(x)=x 3 , M(-1;-1)
x 0 абсциссасы бар нүктедегі f функциясының графигіне жанаманың теңдеуін жазыңыз.
f(x)=x 3 -1, x 0 =2	f(x)=x 2 +1, x 0 =1	f(x)= 2x-x 2, x 0 = -1	f(x)=3sinx, x 0 =	f(x)= x 0 = -1
Абсцисса x 0 нүктесінде f функциясына жанаманың еңісін табыңыз.
Функцияның екінші туындысын табыңыз:
			f(x)= 2cosx-x 2	f(x)= -2sinx+x 3
Дене x (t) заңы бойынша түзу сызықты қозғалады. Қазіргі уақытта оның жылдамдығы мен үдеуін анықтаңыз уақыт т. (Орын ауыстыру метрмен, уақыт секундпен өлшенеді).
x(t)=t 2 -3t, t=4	x(t)=t 3 +2t, t=1	x(t)=2t 3 -t 2 , t=3	x(t)=t 3 -2t 2 +1,t=2	x(t)=t 4 -0,5t 2 =2, t=0,5

Бақылау сұрақтары:

Туындының физикалық мағынасын не деп санайсыз – ол лездік жылдамдық па әлде орташа жылдамдық па?

Кез келген нүкте арқылы функция графигіне жүргізілген жанама мен туынды ұғымының арасында қандай байланыс бар?

M(x 0 ;f(x 0)) нүктесіндегі функцияның графигіне жанаманың анықтамасы қандай?

Екінші туындының механикалық мағынасы қандай?

Туынды(нүктедегі функциялар) – функцияның (берілген нүктедегі) өзгеру жылдамдығын сипаттайтын дифференциалдық есептеудің негізгі түсінігі. Ол функция өсімінің оның аргументінің өсіміне қатынасының шегі ретінде анықталады, өйткені мұндай шек бар болса, аргумент өсімі нөлге ұмтылады. Ақырғы туындысы бар функция (бір нүктеде) дифференциалданатын (сол нүктеде) деп аталады.

Туынды. Кейбір функцияларды қарастырайық ж = f (x ) екі нүктеде x 0 және x 0 + : f (x 0) және f (x 0 +). Мұнда арқылы аргументтің кейбір шағын өзгерісін білдіреді, деп аталады аргумент өсімі; сәйкес, екі функция мәні арасындағы айырмашылық: f (x 0 + )  f (x 0 ) аталады функция өсімі.Туындыфункциялары ж = f (x ) нүктесінде x 0 шектеу деп аталады:

Егер бұл шектеу болса, онда функция f (x ) аталады дифференциалданатыннүктесінде x 0 . Функцияның туындысы f (x ) келесідей белгіленеді:

Туындының геометриялық мағынасы. Функцияның графигін қарастырайық ж = f (x ):

1-суреттен функция графигінің кез келген екі А және В нүктесі үшін:

мұндағы АВ секантының көлбеу бұрышы.

Осылайша, айырмашылық қатынасы секанттың еңісіне тең. Егер сіз А нүктесін бекітіп, В нүктесін оған қарай жылжытсаңыз, онда ол шектеусіз төмендейді және 0-ге жақындайды, ал АВ секанс АС жанамасына жақындайды. Демек, айырмашылық қатынасының шегі А нүктесіндегі жанаманың еңісіне тең. Бұдан былай шығады: Функцияның нүктедегі туындысы деп осы нүктедегі осы функцияның графигіне жанаманың көлбеуін айтады.Бұл не геометриялық мағынасы туынды.

Тангенс теңдеуі. А нүктесіндегі функцияның графигіне жанаманың теңдеуін шығарайық ( x 0 , f (x 0 )). Жалпы, көлбеу коэффициенті бар түзудің теңдеуі f ’(x 0 ) пішіні бар:

ж = f ’(x 0 ) · x + b .

Табу б, Тангенстің А нүктесі арқылы өтетінін пайдаланып көрейік:

f (x 0 ) = f ’(x 0 ) · x 0 +б ,

осы жерден, б = f (x 0 ) – f ’(x 0 ) · x 0 , және оның орнына осы өрнекті қойыңыз б, аламыз жанама теңдеу:

ж =f (x 0 ) + f ’(x 0 ) · ( x – x 0 ) .

Туындының механикалық мағынасы. Ең қарапайым жағдайды қарастырайық: материалдық нүктенің координат осі бойымен қозғалысы және қозғалыс заңы берілген: координат xқозғалатын нүкте – белгілі функция x (т) уақыт т. бастап уақыт аралығы ішінде т 0 дейін т 0 + нүкте қашықтыққа жылжиды: x (т 0 + )  x (т 0) = , және оның орташа жылдамдық тең: v а =  . 0-де орташа жылдамдық белгілі бір мәнге ұмтылады, ол аталады лездік жылдамдық v ( т 0 ) уақыттың материалдық нүктесі т 0 . Бірақ туынды анықтамасы бойынша бізде:

осы жерден, v (т 0 ) = x' (т 0 ), яғни. жылдамдық координатаның туындысы болып табылады Авторы уақыт. Бұл не механикалық сезімтуынды . Сияқты, үдеу – жылдамдықтың уақытқа қатысты туындысы: а = v' (т).

8. Туындылар кестесі және дифференциалдау ережелері

Туындының не екенін біз «Туындының геометриялық мағынасы» мақаласында айттық. Егер функция график арқылы берілсе, оның әрбір нүктесіндегі туындысы функция графигіне жанаманың жанамасына тең. Ал егер функция формула арқылы берілсе, туындылар кестесі мен дифференциалдау ережелері, яғни туындыны табу ережелері көмектеседі.

Жазықтықтағы материалдық нүкте берілсін. Оның координат осі бойымен қозғалу заңы $ x(t) $ заңымен сипатталады, мұнда $ t $ уақытты көрсетеді. Содан кейін $ t_0 $ -дан $ t_0 + \Delta t $ дейінгі уақытта нүкте $ \Delta x = x(t_0+\Delta t) - x(t_0) $ жолын өтеді. Солай екен орташа жылдамдықмұндай нүкте мына формула бойынша табылады: $$ v_(cp) = \frac(\Delta x)(\Delta t) $$

Егер $ \Delta t $ нөлге ұмтылса, онда орташа жылдамдықтың мәні деп аталатын мәнге бейім болады. лездік жылдамдық$t_0$ нүктесінде:

$$ \lim_(\Delta t \0-ден) \frac(\Delta x)(\Delta t) = v(t_0) $$

Туындыны шек арқылы анықтай отырып, біз жылдамдық пен материалдық нүктенің қозғалыс заңы арасындағы байланысты аламыз:

$$ v(t_0) = \lim_(\Delta \0-ге) \frac(\Delta x)(\Delta t) = x"(t_0) $$

Шешімдердің мысалдары

1-мысал

$ x(t) = t^2+3t-1 $ заңы бойынша қозғалатын $ t_0 = 1 $ уақытындағы материалдық нүктенің лездік жылдамдығын есептеңіз.

Шешім

Туындының механикалық мағынасын анықтай отырып, біз материалдық нүктенің жылдамдық заңын аламыз: $$ v(t) = x"(t) = (t^2+3t-1)" = 2т + 3 $$ Есеп шарттарынан $ t_0 = 1 $ уақыт моментін біле отырып, біз осы уақыт моментіндегі жылдамдықты табамыз: $$ v(t_0) = 2\cdot 1 + 3 = 2 + 3 = 5 $$ $ t_0 = 1 $ сәттегі нүктенің лездік жылдамдығы $ v = 5 $ тең екенін анықтадық. Мәселеңізді шеше алмасаңыз, оны бізге жіберіңіз. Біз егжей-тегжейлі шешімді береміз. Есептеу барысын қарап, ақпарат ала аласыз. Бұл мұғалімнің бағасын дер кезінде алуға көмектеседі!

Жауап

$$ v(t_0) = 5 $$

2-мысал

Материалдық нүктенің қозғалысы $ x(t)=t^2-t+3 $ заңымен берілген. $ t_0 $ уақыттың қай нүктесінде бұл нүктенің жылдамдығы нөлге тең болатынын табыңыз.

Шешім

Жылдамдық қозғалыс жолы заңының туындысы болғандықтан:

Туындының механикалық мағынасы

Туындының механикалық түсіндірмесін алғаш рет И.Ньютон берген. Ол келесідей: уақыттың берілген сәтіндегі материалдық нүктенің қозғалыс жылдамдығы жолдың уақытқа қатысты туындысына тең, яғни. Сонымен, егер материалдық нүктенің қозғалыс заңы теңдеу арқылы берілсе, онда нүктенің кез келген белгілі бір уақыт моментіндегі лездік жылдамдығын табу үшін туындыны тауып, оған сәйкес t мәнін қою керек.

Екінші ретті туынды және оның механикалық мағынасы

Біз аламыз (Лисичкин В.Т. Соловейчик И.Л. «математика» 240-бет оқулығында жасалған теңдеу):

Осылайша, дененің берілген моменттегі түзу сызықты қозғалысының үдеуі берілген момент үшін есептелген уақытқа қатысты жолдың екінші туындысына тең.Бұл екінші туындының механикалық мағынасы.

Дифференциалдың анықтамасы және геометриялық мағынасы

Анықтама 4.Функция өсімшесінің негізгі бөлігі функцияның өсімшесіне қатысты сызықты, тәуелсіз айнымалының өсіміне қатысты сызықтық деп аталады. дифференциалфункциясы және d арқылы белгіленеді, яғни. .

Функцияның дифференциалы геометриялық түрде x және?x-тің берілген мәндері үшін M (x; y) нүктесінде жүргізілген жанама ординатасының өсімімен бейнеленеді.

Есептеу дифференциал - .

Дифференциалды жуықтап есептеулерде қолдану - , функция өсімінің жуық мәні оның дифференциалымен сәйкес келеді.

Теорема 1.Егер дифференциалданатын функция берілген интервалда өссе (кемітсе), онда бұл функцияның туындысы бұл интервалда теріс (оң емес) болмайды.

2-теорема.Туынды функция болса белгілі бір аралықта оң (теріс) болса, онда бұл аралықтағы функция монотонды түрде артады (монотонды түрде азаяды).

Енді функцияның монотондылық интервалдарын табу ережесін тұжырымдаймыз

1. Осы функцияның туындысын есептеңдер.

2. Нөл болатын немесе жоқ нүктелерді табыңыз. Бұл нүктелер деп аталады сынифункциясы үшін

3. Табылған нүктелердің көмегімен функцияның анықталу облысы интервалдарға бөлінеді, олардың әрқайсысында туынды өз таңбасын сақтайды. Бұл интервалдар монотондылық интервалдары болып табылады.

4. Табылған аралықтардың әрқайсысының белгісін тексеріңіз. Егер қарастырылып отырған аралықта болса, онда бұл аралықта ол артады; егер, онда ол осындай аралықта азаяды.

Есептің шарттарына байланысты монотондылық интервалдарын табу ережесін жеңілдетуге болады.

Анықтама 5.Егер нүктенің кейбір маңайындағы кез келген х үшін теңсіздік орындалса, нүкте функцияның максимум (минимум) нүктесі деп аталады.

Егер функцияның максимум (минимум) нүктесі болса, онда олар осылай дейді (ең аз)нүктесінде. Максималды және минималды функциялар атауды біріктіреді экстремумфункциялары, ал максимум мен минимум нүктелері шақырылады экстремум нүктелері (экстремум нүктелері).

Теорема 3.(экстремумның қажетті белгісі). Егер функцияның экстремум нүктесі болса және туындысы осы нүктеде бар болса, онда ол нөлге тең болады: .

Теорема 4.(экстремумның жеткілікті белгісі). Егер x а арқылы өткенде туынды таңбасын өзгертсе, онда а функцияның экстремум нүктесі болады.

Туынды зерттеулердегі негізгі мәселелер:

1. Туындыны табыңыз.

2. Функцияның анықталу облысынан барлық критикалық нүктелерді табыңыз.

3. Критикалық нүктелерден өткенде функция туындысының таңбаларын қойып, экстремум нүктелерін жаз.

4. Әрбір шеткі нүктедегі функция мәндерін есептеңіз.

Материалдық нүкте болсын Мзаң бойынша түзу сызықпен қозғалады S = f(t).Бұрыннан белгілі болғандай, туынды S t 'нүктенің берілген уақыттағы жылдамдығына тең: S t '= V.

Бір сәтте рұқсат етіңіз тнүктенің жылдамдығы V-ге тең, ал сәтте t +Dt –жылдамдық болып табылады V+DV, яғни белгілі бір уақыт аралығында Дтжылдамдығы сома бойынша өзгерді Д.В..

Қатынас уақыт бойынша нүкте қозғалысының орташа үдеуін білдіреді Дт. Бұл қатынастың шегі Dt®0нүктенің үдеуі деп аталады МҚазір тжәне әріппен белгіленеді A: Сонымен, жолдың уақытқа қатысты екінші туындысы нүктенің түзу сызықты қозғалысының үдеуінің шамасы,яғни .

Жоғары ретті дифференциалдар

Болсын y=f(x)дифференциалданатын функция және оның аргументі X– тәуелсіз айнымалы. Сонда оның бірінші дифференциалы да функция болады X, сіз осы функцияның дифференциалын таба аласыз.

Функцияның дифференциалының дифференциалы оның екінші дифференциалы (немесе екінші ретті дифференциалы) деп аталады және былай белгіленеді: .

Берілген функцияның екінші ретті дифференциалы осы функцияның екінші ретті туындысына тәуелсіз айнымалының дифференциалының квадратына тең: .

Дифференциалдық есептеулерді қолдану

Функция шақырылады арту (азаю)) аралықта ( а; б), кез келген екі ұпай үшінx 1 Жәнеx 2 теңсіздікті қанағаттандыратын көрсетілген интервалдан теңсіздік орындалады ().

Көбейтудің (азаюының) қажетті шарты: аралықта дифференциалданатын функция болса ( а, б) артады (кемітеді), онда бұл функцияның туындысы осы интервалда теріс емес (оң емес) болады.() .

Көбею (азаю) үшін жеткілікті шарт:Егер дифференциалданатын функцияның туындысы белгілі бір аралықта оң (теріс) болса, онда функция осы аралықта артады (кемітеді).

Функция f(x)нүктесінде x 1Онда бар максимум, егер бар болса X f(x 1)>f(x), сағ x ¹x 1 .

Функция f(x)нүктесінде x 1Онда бар минимум, егер бар болса Xнүктенің кейбір маңайынан келесі теңсіздік орындалады: f(x 1) , сағ x ¹x 1 .

Функцияның экстремумы жергілікті экстремум деп аталады, өйткені экстремум түсінігі тек х 1 нүктесінің жеткілікті шағын маңайымен байланысты. Сонымен, бір аралықта функцияның бірнеше экстремумдары болуы мүмкін және бір нүктедегі минимум екінші нүктедегі максимумнан үлкен болуы мүмкін. Интервалдың белгілі бір нүктесінде максимум немесе минимумның болуы осы нүктеде функция орындалатынын білдірмейді f(x) осы аралықта ең үлкен немесе ең кіші мәнді қабылдайды.

Экстремумның қажетті шарты: дифференциалданатын функцияның экстремум нүктесінде оның туындысы нөлге тең.

Экстремумның жеткілікті шарты: Егер дифференциалданатын функцияның қандай да бір х 0 нүктесіндегі туындысы нөлге тең болса және осы мән арқылы өткенде таңбасын өзгертсе, онда f (x 0) саны функцияның экстремумы болып табылады, ал егер белгі плюстен минусқа өзгереді, содан кейін минустан плюске дейін максимум, содан кейін минимум.

Үздіксіз функцияның туындысы нөлге тең немесе жоқ нүктелер критикалық деп аталады.

Функцияны экстремум үшін тексеру оның барлық экстремумдарын табуды білдіреді. Экстремум үшін функцияны зерттеу ережесі:

1). Функцияның критикалық нүктелерін табыңыз y = f(x)және олардың ішінен функцияның анықталу облысының ішкі нүктелері болып табылатындарды ғана таңдау;

2). Туындының таңбасын зерттеңіз f"(x)таңдалған сыни нүктелердің әрқайсысының сол және оң жағына;

3). Экстремумның жеткілікті шартына сүйене отырып, экстремум нүктелерін (бар болса) жазып, олардағы функцияның мәндерін есептеңіз.

табу үшін ең жоғары және ең төменгі мәнсегменттегі функцияны орындау үшін бірнеше кезеңді орындау қажет:

1). f’(x)=0 теңдеуін шешу арқылы функцияның критикалық токтарын табыңыз.

2). Егер сыни нүктелер сегментке түссе, онда критикалық нүктелердегі және интервал шекараларындағы мәндерді табу керек. Егер сыни нүктелер сегментке түспесе (немесе олар жоқ), онда функция мәндері сегменттің шекарасында ғана табылады.

3). Алынған функция мәндерінің ішінен ең үлкенін және ең кішісін таңдап, жауапты жазыңыз, мысалы, пішінде: ; .

Мәселені шешу

2.1-мысал. Функцияның дифференциалын табыңыз: .

Шешім.Функция дифференциалының 2 қасиетіне және дифференциалдың анықтамасына сүйене отырып, бізде:

2.2-мысал. Функцияның дифференциалын табыңыз:

Шешім. Функцияны былай жазуға болады: , . Сонда бізде:

2.3-мысал. Функцияның екінші туындысын табыңыз:

Шешім. Функцияны түрлендірейік.

Бірінші туындыны табайық:

екінші туындыны табайық:

.

2.4-мысал. Функцияның екінші ретті дифференциалын табыңыз .

Шешім.Есептеу үшін өрнек негізінде екінші ретті дифференциалды табайық:

Алдымен бірінші туындыны табайық:

; екінші туындыны табайық: .

2.5-мысал. Абцисса нүктесінде жүргізілген қисыққа жанаманың бұрыштық коэффициентін табыңыз x=2 .

Шешім. Туындының геометриялық мағынасына сүйене отырып, көлбеу абсциссасы тең болатын нүктедегі функцияның туындысына тең болады. X . Біз табамыз .

Функция графигіне жанаманың бұрыштық коэффициентін есептейік.

Мысал 2.6. Белгілі бір уақытта бактериялардың популяциясы т (тсағатпен өлшенеді) жиынтықтар жеке тұлғалар. Бактериялардың өсу жылдамдығын табыңыз. Берілген уақытта бактериялардың өсу жылдамдығын табыңыз t=5сағат.

Шешім.Бактерия популяциясының өсу қарқыны уақыт бойынша бірінші туынды болып табылады т: .

Егер t=5сағат, содан кейін. Демек, бактериялардың өсу жылдамдығы сағатына 1000 дара болады.

2.7-мысал. Дененің енгізілген препаратқа реакциясы қан қысымының жоғарылауында, дене температурасының төмендеуінде, жүрек соғу жиілігінің өзгеруінде немесе басқа физиологиялық көрсеткіштерде көрінуі мүмкін. Реакция дәрежесі препараттың тағайындалған дозасына байланысты. Егер Xтағайындалған дәрінің дозасын және реакция дәрежесін көрсетеді сағфункциясы арқылы сипатталады . Қандай бағамен XРеакция максималды ма?

Шешім. Туындыны табайық .

Критикалық нүктелерді табайық: ⇒ . ⇒ Демек, бізде екі маңызды нүкте бар: . Мән тапсырма шарттарын қанағаттандырмайды.

Екінші туындыны табайық . -дегі екінші туындының мәнін есептейік. . Бұл дегеніміз - максималды жауап беретін доза деңгейі.

Өздігінен шешуге мысалдар

Функцияның дифференциалын табыңыз:

1. .

2. .

3. .

4.

Мына функциялардың екінші туындыларын табыңыз:

6. .

Келесі функциялар үшін екінші ретті туындыларды табыңыз және екінші ретті дифференциалдарды жазыңыз:

9. .

11. Экстремум үшін функцияны зерттеңіз.

12. Функцияның ең үлкен және ең кіші мәндерін табыңыз сегментте.

13. Функцияның өсу және кему аралықтарын, ең үлкен және ең кіші нүктелерін және осьтермен қиылысу нүктелерін табыңыз:

14. Нүктенің қозғалыс заңының нысаны бар . Осы нүктенің жылдамдық пен үдеу заңын анықтаңыз.

15. Нүктенің қозғалыс теңдеуі (m) түрінде болады. 1) нүктенің s және s уақыттарындағы орнын табыңыз; 2) уақыт бойынша осы нүктелер арасындағы өткен уақыттың орташа жылдамдығы; 3) белгіленген уақыттағы лездік жылдамдықтар; 4) белгілі бір уақыт аралығындағы орташа үдеу; 5) белгіленген уақыттағы лездік үдеулер.

Үйге тапсырма.

Тәжірибе:

Функцияның дифференциалын табыңыз:

1. ;

2. ;

Функцияның екінші ретті туындыларын табыңыз:

4.

5.

Екінші ретті дифференциалдарды табыңыз

6. .

7. Нүкте заң бойынша түзу сызықты қозғалады. Жылдамдық пен үдеу уақытын есептеңіз және.

Функциялардың өсу және кему аралықтарын табыңыз:

9. .

10. Глюкозаны енгізу кезінде оның адам қанындағы мөлшері сәйкес өлшем бірліктермен көрсетілгеннен кейін тсағат болады . a) қандағы глюкозаның өзгеру жылдамдығын табыңыз. t =1 h; б) t =2 h.

Теория.

1. «Бірнеше аргументтердің туындылары мен функцияларының дифференциалдары. Бірнеше аргументтердің дифференциалдық функциясын қолдану».

2. Осы нұсқаулықтың 3-сабағы.

3. Павлушков И.В. және басқалар 101-113, 118-121 беттер.

Сабақ 3. Бірнеше аргументтердің функциясының туындылары мен дифференциалдары

Тақырыптың өзектілігі: математиканың бұл бөлімі бірқатар қолданбалы есептерді шешуде кеңінен қолданылады, өйткені көптеген физикалық, биологиялық және химиялық құбылыстар бір емес, бірнеше айнымалыларға (факторларға) тәуелділікпен сипатталады.

Сабақтың мақсаты: бірнеше айнымалы функциялардың жеке туындылары мен дифференциалдарын табуды үйрету.

Мақсатты міндеттер:

Білу: екі айнымалы функция туралы түсінік; екі айнымалы функцияның жеке туындылары туралы түсінік; бірнеше айнымалы функцияның толық және жеке дифференциалдары туралы түсінік;

істей алуы керек: бірнеше айнымалы функциялардың туындылары мен дифференциалдарын табу.

Теориялық курстан қысқаша мәлімет

Негізгі ұғымдар

z айнымалысы екі аргумент x және y функциясы деп аталады, егер кейбір мәндер жұптарына қандай да бір ережеге немесе заңға сәйкес белгілі бір z мәні тағайындалған болса. Екі аргументтің функциясы арқылы белгіленеді.

Функция кеңістіктегі тікбұрышты координаталар жүйесіндегі бет ретінде көрсетіледі. Екі айнымалы функцияның графигі үш өлшемді х кеңістігіндегі нүктелер жиыны болып табылады

Жұмыс деп аталады ішінара дифференциал z=f(x,y) функциясы Xжәне тағайындалады.

Толық дифференциалдық функция

Функцияның дифференциалы - бұл функцияның жеке туындыларының көбейтінділерінің қосындысы және сәйкес тәуелсіз айнымалылардың өсімі, яғни. . Өйткені Және онда біз жаза аламыз: немесе .