Жеңілдетілген көбейту формулалары. Мысалдармен қысқартылған көбейту формулалары

Қысқартылған көбейту формулалары.

Қысқартылған көбейту формулаларын оқу: қосындының квадраты және екі өрнектің айырмасының квадраты; екі өрнектің квадраттарының айырмасы; екі өрнектің қосындысының кубы және айырымының кубы; екі өрнектің кубтарының қосындысы мен айырмасы.

Мысалдар шешуде қысқартылған көбейту формулаларын қолдану.

Өрнектерді, көбейткіш көпмүшелерді жеңілдету және көпмүшелерді стандартты түрге келтіру үшін қысқартылған көбейту формулалары қолданылады. Қысқартылған көбейту формулаларын жатқа білу керек.

a, b R болсын. Сонда:

1. Екі өрнектің қосындысының квадраты теңбірінші өрнектің квадраты плюс бірінші өрнектің екі есе көбейтіндісі және екінші плюс екінші өрнектің квадраты.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

2. Екі өрнектің айырмасының квадраты теңбірінші өрнектің квадраты бірінші өрнектің екі есе көбейтіндісін және екінші плюс екінші өрнектің квадратын шегереді.

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

3. Квадраттардың айырмашылығыекі өрнек осы өрнектердің айырмасының және олардың қосындысының көбейтіндісіне тең.

a 2 - b 2 = (a -b) (a+b)

4. Қосындының кубыекі өрнек бірінші өрнектің кубына плюс бірінші өрнектің квадратының көбейтіндісін үш есе, ал екінші плюс бірінші өрнектің көбейтіндісін және екінші өрнектің квадратын және екінші өрнектің текшесін үш есе көбейтуге тең.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. Айырмашылық кубекі өрнек бірінші өрнектің кубын шегеріп, бірінші өрнектің квадратының көбейтіндісін үш есе, ал екінші плюс бірінші өрнектің көбейтіндісін үш есе және екінші өрнектің квадратын шегеріп, екінші өрнектің кубына тең.

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

6. Текшелердің қосындысыекі өрнек бірінші және екінші өрнектер қосындысының және осы өрнектердің айырмасының толық емес квадратының көбейтіндісіне тең.

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)

7. Текшелердің айырмашылығыекі өрнек бірінші және екінші өрнектердің айырмасының осы өрнектер қосындысының толық емес квадратына көбейтіндісіне тең.

a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Мысалдар шешуде қысқартылған көбейту формулаларын қолдану.

1-мысал.

Есептеу

а) Екі өрнектің қосындысының квадратының формуласын пайдаланып, бізде

(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

б) Екі өрнектің айырмасының квадратының формуласын қолданып, аламыз

98 2 = (100 – 2) 2 = 100 2 - 2 100 2 + 2 2 = 10000 – 400 + 4 = 9604

2-мысал.

Есептеу

Екі өрнектің квадраттарының айырмасының формуласын қолданып, аламыз

3-мысал.

Өрнекті жеңілдету

(х - у) 2 + (х + у) 2

Екі өрнектің қосындысының квадраты мен айырмасының квадратының формулаларын қолданайық

(x - y) 2 + (x + y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 = 2x 2 + 2y 2

Бір кестедегі қысқартылған көбейту формулалары:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Қашан және т. Төменде біз ең танымал формулаларды қарастырамыз және олардың қалай алынғанын талдаймыз.

Қосындының квадраты

Екі мономиалдың қосындысын квадраттайық, мысалы: \((a+b)^2\). Квадраттау дегеніміз санды немесе өрнекті өзіне көбейту, яғни \((a+b)^2=(a+b)(a+b)\). Енді біз жай ғана жақшаларды ашып, оларды біз жасағандай көбейтіп, ұқсас терминдерді келтіре аламыз. Біз алып жатырмыз:

Ал аралық есептеулерді тастап, тек бастапқы және соңғы өрнектерді ғана жазсақ, соңғы формуланы аламыз:

Шаршы қосынды:\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)

Көптеген студенттер оны жатқа үйренеді. Ал енді сіз бұл формуланы қалай шығаруға болатынын білесіз, егер сіз кенеттен ұмытып қалсаңыз, оны әрқашан жасай аласыз.
Жарайды, бірақ оны қалай қолдануға болады және бұл формула не үшін қажет? Қосындының квадраты екі мүшенің қосындысын квадраттау нәтижесін жылдам жазуға мүмкіндік береді. Бір мысалды қарастырайық.

Мысал . Жақшаларды жаю: \((x+5)^2\)
Шешім :

Екінші жағдайда нәтиже қаншалықты жылдам және аз күш жұмсалғанына назар аударыңыз. Осы және басқа формулаларды автоматизм деңгейіне дейін меңгерген кезде, ол одан да жылдам болады: сіз жай ғана жауапты бірден жаза аласыз. Сондықтан оларды АЗАЙТЫЛҒАН көбейту формулалары деп атайды. Сондықтан оларды білу және оларды қолдануды үйрену, әрине, тұрарлық.

Қалай болғанда да, біз мұны атап өтеміз \(a\)Және \(b\)Кез келген өрнек болуы мүмкін - принцип өзгеріссіз қалады. Мысалы:

Егер сіз соңғы екі мысалдағы кейбір түрлендірулерді кенеттен түсінбесеңіз, тақырыпты қайталаңыз.

Мысал . \((1+5x)^2-12x-1 \) өрнегін стандартты пішінге түрлендіріңіз.

Шешім :

Жауап: \(25x^2-2x\).

Маңызды!Формулаларды «алға» бағытта ғана емес, «кері» бағытта да қолдануды үйрену керек.

Мысал . \((368)^2+2·368·132+(132)^2\) өрнектің мәнін калькуляторсыз есептеңіз.

Шешім :

Жауап: \(250 000\).

Шаршы айырмашылық

Жоғарыда мономалдар қосындысының формуласын таптық. Енді айырмашылықтың формуласын табайық, яғни \((a-b)^2\):

Неғұрлым қысқаша түрде бізде:

Квадрат айырмасы: \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)

Ол алдыңғы сияқты қолданылады.

Мысал . \((2a-3)^2-4(a^2-a)\) өрнегін жеңілдетіп, оның мәнін \(a=\frac(17)(8)\) бойынша табыңыз.

Шешім :

Жауап: \(8\).

Квадраттардың айырмашылығы

Сонымен, біз плюсі ​​бар екі жақшаның және минусы бар екі жақшаның көбейтіндісінің жағдайларын қарастырдық. Қалған жағдай таңбалары әртүрлі бірдей жақшалардың көбейтіндісі. Не болатынын көрейік:

Біз формуланы алдық:

Квадраттардың айырмашылығы \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)

Бұл формула жұмыс істеу кезінде ең жиі қолданылатын формулалардың бірі болып табылады.

Мысал . Бөлшекті азайтыңыз \(\frac(x^2-9)(x-3)\) .

Шешім :

Жауап: \(x+3\).

Мысал .Факторизация \(25x^4-m^(10) t^6\).
Шешім :

Бұл сіз білуіңіз керек үш негізгі формула Міндетті түрде! Сондай-ақ текшелері бар формулалар бар (жоғарыдан қараңыз), оларды есте сақтау немесе оларды тез шығару мүмкіндігі бар. Іс жүзінде бір есепте бірден бірнеше осындай формулалар жиі кездесетінін атап өтейік - бұл қалыпты жағдай. Тек формулаларды байқап, оларды мұқият қолдануды үйреніңіз, сонда бәрі жақсы болады.

Мысал (қосымша!) .Бөлшекті азайт.
Шешім :

\(\frac(x^2-4xy-9+4y^2)(x-2y+3)\)\(=\)		Бір қарағанда, бұл тыныш сұмдық және бұл туралы ештеңе істеу мүмкін емес (біз «жатып өлу» опциясын мұқият қарастырмаймыз). Дегенмен, алымдардың соңғы екі мүшесін ауыстырып, жақшаларды қосып көрейік (тек түсінікті болу үшін).
\(\frac((x^2-4xy+4y^2)-9)(x-2y+3)\)\(=\)		Енді жақшадағы терминдерді аздап түрлендірейік: \(4xy\) \(2 x 2y\) түрінде жазамыз, және \(4y^2\) \((2y)^2\) ретінде.
\(\frac((x^2-4xy+(2y)^2)-9)(x-2y+3)\)\(=\)		Енді мұқият қарап, жақшада \(a=x\), \(b=2y\) болатын квадрат айырмасының формуласы бар екенін байқаймыз. Біз оның бойымен шаршыдағы жақшалар пішініне дейін құлатамыз. Сонымен қатар біз тоғызды \(3\) квадраты ретінде көрсетеміз.
\(\frac((x-2y)^2-3^2)(x-2y+3)\)\(=\)		Тағы да біз алымға мұқият қараймыз... ойланамыз... ойланамыз... және квадраттар айырмасының формуласын байқаймыз, онда \(a=(x-2y)\), \(b=3\) бар. . Біз оны екі жақшаның көбейтіндісіне ыдыратамыз.
\(\frac((x-2y-3)(x-2y+3))(x-2y+3)\)\(=\)		Ал енді алымның екінші жақшасын және толық бөлгішті азайтамыз.
		Жауабы дайын.

Сабақтың мазмұны

Екі өрнектің қосындысының квадраты

Көпмүшені көпмүшеге көбейтуді айтарлықтай жеңілдетуге болатын бірқатар жағдайлар бар. Мысалы, бұл жағдай (2 x+ 3ж) 2 .

Өрнек (2 x+ 3ж) 2 – әрқайсысы (2) тең екі көпмүшені көбейту x+ 3ж)

(2x+ 3ж) 2 = (2x+ 3ж)(2x+ 3ж)

Көпмүшені көпмүшеге көбейтуді алдық. Оны орындайық:

(2x+ 3ж) 2 = (2x+ 3ж)(2x+ 3ж) = 4x 2 + 6xy + 6xy + 9ж 2 = 4x 2 + 12xy+ 9ж 2

Яғни, өрнек (2 x+ 3ж) 2 тең 4x 2 + 12xy + 9ж 2

(2x+ 3ж) 2 = 4x 2 + 12xy+ 9ж 2

Қарапайымырақ ұқсас мысалды шешейік:

(a+b) 2

Өрнек ( a+b) 2 – әрқайсысы (-ға тең) екі көпмүшені көбейту a+b)

(a+b) 2 = (a+b)(a+b)

Мына көбейтуді орындайық:

(a+b) 2 = (a+b)(a+b) = а 2 + аб + аб + б 2 = а 2 + 2аб + б 2

Яғни, өрнек (a+b) 2 тең а 2 + 2аб + б 2

(a+b) 2 = а 2 + 2аб + б 2

Бұл жағдай ( a+b) 2 кез келгенге ұзартылуы мүмкін аЖәне б. Бірінші мысалды біз шештік, атап айтқанда (2 x+ 3ж) 2 сәйкестендіру арқылы шешуге болады (a+b) 2 = а 2 + 2аб + б 2 . Ол үшін айнымалылардың орнына ауыстыру керек аЖәне бөрнектен сәйкес терминдер (2 x+ 3ж) 2 . Бұл жағдайда айнымалы а 2-мүшеге сәйкес келеді x, және айнымалы б 3-мүшеге сәйкес келеді ж

а = 2x

б = 3ж

Содан кейін біз сәйкестендіруді пайдалана аламыз (a+b) 2 = а 2 + 2аб + б 2 , бірақ айнымалылардың орнына аЖәне бөрнектерді ауыстыру керек 2 xжәне 3 жтиісінше:

(2x+ 3ж) 2 = (2x) 2 + 2 × 2 x× 3 ж + (3ж) 2 = 4x 2 + 12xy+ 9ж 2

Өткен жолы сияқты біз көпмүшені алдық 4x 2 + 12xy+ 9ж 2 . Шешім әдетте санадағы барлық қарапайым түрлендірулерді орындай отырып, қысқаша жазылады:

(2x+ 3ж) 2 = 4x 2 + 12xy+ 9ж 2

Жеке басын куәландыратын (a+b) 2 = а 2 + 2аб + б 2 екі өрнектің қосындысының квадратының формуласын атады. Бұл формуланы келесідей оқуға болады:

Екі өрнектің қосындысының квадраты бірінші өрнектің квадратына плюс бірінші өрнектің екі есе көбейтіндісіне және екіншісі плюс екінші өрнектің квадратына тең.

(2 + 3) 2 өрнегін қарастырайық. Оны екі жолмен есептеуге болады: жақшаға қосуды орындап, алынған нәтиженің квадратын алу немесе екі өрнектің қосындысының квадраты формуласын қолдану.

Бірінші жол:

(2 + 3) 2 = 5 2 = 25

Екінші жол:

(2 + 3) 2 = 2 2 + 2 × 2 × 3 + 3 2 = 4 + 12 + 9 = 25

2-мысал. Өрнекті түрлендіру (5 а+ 3) 2 көпмүшеге.

Екі өрнектің қосындысының квадратының формуласын қолданайық:

(a+b) 2 = а 2 + 2аб + б 2

(5a+ 3) 2 = (5а) 2 + 2 × 5 a × 3 + 3 2 = 25а 2 + 30а + 9

білдіреді, (5a+ 3) 2 = 25а 2 + 30а + 9.

Осы мысалды қосынды формуласының квадратын қолданбай шешуге тырысайық. Біз бірдей нәтиже алуымыз керек:

(5a+ 3) 2 = (5a+ 3)(5a+ 3) = 25а 2 + 15а + 15а + 9 = 25а 2 + 30а + 9

Екі өрнектің қосындысының квадратының формуласы геометриялық мағынаға ие. Шаршының ауданын есептеу үшін оның жағын екінші дәрежеге көтеру керек екенін есте ұстаймыз.

Мысалы, қабырғасы бар шаршының ауданы атең болады а 2. Егер сіз шаршының қабырғасын көбейтсеңіз б, онда аудан тең болады ( a+b) 2

Келесі суретті қарастырыңыз:

Бұл суретте көрсетілген шаршының жағы ұлғайғанын елестетіп көрейік б. Шаршының барлық қабырғалары тең. Егер оның жағы ұлғайса б, содан кейін қалған жақтары да артады б

Нәтижесінде алдыңғысынан үлкенірек жаңа шаршы пайда болады. Оны анық көру үшін жетіспейтін жақтарды толықтырайық:

Бұл шаршының ауданын есептеу үшін оған енгізілген квадраттар мен тіктөртбұрыштарды бөлек есептеп, нәтижелерді қосуға болады.

Алдымен қабырғасы бар шаршыны есептей аласыз а- оның ауданы тең болады а 2. Содан кейін қабырғалары бар тіктөртбұрыштарды есептеуге болады аЖәне б- олар тең болады аб. Содан кейін қабырғасы бар квадратты есептей аласыз б

Нәтиже облыстардың келесі сомасы болып табылады:

а 2 + ab+ab + б 2

Бірдей тіктөртбұрыштардың аудандарының қосындысын 2-ге көбейту арқылы ауыстыруға болады аб, бұл сөзбе-сөз мағынасында болады «AB тік төртбұрышының ауданын екі рет қайталаңыз» . Алгебралық түрде бұл ұқсас терминдерді келтіру арқылы алынады абЖәне аб. Нәтиже – өрнек а 2 + 2аб+ б 2 , бұл екі өрнектің қосындысының квадратының формуласының оң жағы:

(a+b) 2 = а 2 + 2аб+ б 2

Екі өрнектің айырмасының квадраты

Екі өрнектің квадраттық айырмасының формуласы келесідей:

(a − b) 2 = а 2 − 2аб + б 2

Екі өрнектің айырмасының квадраты бірінші өрнектің квадратынан бірінші өрнектің екі еселенген көбейтіндісін шегеріп, екіншісі плюс екінші өрнектің квадратына тең.

Екі өрнектің айырмасының квадратының формуласы екі өрнектің қосындысының квадратының формуласы сияқты шығарылады. Өрнек ( a − b) 2 - әрқайсысы (-ға тең) екі көпмүшенің көбейтіндісі a − b)

(a − b) 2 = (a − b)(a − b)

Егер сіз осы көбейтуді орындасаңыз, сіз көпмүшені аласыз а 2 − 2аб + б 2

(a − b) 2 = (a − b)(a − b) = а 2 − аб− аб+ б 2 = а 2 − 2аб + б 2

1-мысал. Өрнекті түрлендіру (7 x− 5) 2 көпмүшеге.

Екі өрнектің айырмасының квадратының формуласын қолданайық:

(a − b) 2 = а 2 − 2аб + б 2

(7x− 5) 2 = (7x) 2 − 2 × 7 x × 5 + 5 2 = 49x 2 − 70x + 25

білдіреді, (7x− 5) 2 = 49x 2 + 70x + 25.

Бұл мысалды квадраттық айырмашылық формуласын қолданбай шешуге тырысайық. Біз бірдей нәтиже алуымыз керек:

(7x− 5) 2 = (7x− 5) (7x− 5) = 49x 2 − 35x − 35x + 25 = 49x 2 − 70x+ 25.

Екі өрнектің айырмасының квадратының формуласы да геометриялық мағынаға ие. Егер қабырғасы бар шаршының ауданы болса атең а 2, содан кейін қабырғасы кішірейтілген шаршының ауданы б, тең болады ( a − b) 2

Келесі суретті қарастырыңыз:

Бұл суретте көрсетілген шаршының қабырғасы кішірейтілген деп елестетіп көрейік б. Шаршының барлық қабырғалары тең. Бір жағы азайса б, содан кейін қалған жақтары да азаяды б

Нәтиже - алдыңғысынан кішірек жаңа шаршы. Ол суретте сары түспен белгіленген. Оның жағы тең а− бөйткені ескі жағы абойынша азайған б. Бұл шаршының ауданын есептеу үшін шаршының бастапқы ауданынан алуға болады а 2 Ескі шаршының қабырғаларын азайту процесінде алынған тіктөртбұрыштардың аудандарын шегеріңіз. Мына тіктөртбұрыштарды көрсетейік:

Содан кейін келесі өрнекті жазуға болады: ескі шаршы а 2 минус аумақ абминус ауданы ( a − b)б

а 2 − аб − (a − b)б

Өрнекте жақшаларды кеңейтейік ( a − b)б

а 2 − ab−ab + б 2

Ұқсас терминдерді қарастырайық:

а 2 − 2аб + б 2

Нәтиже – өрнек а 2 − 2аб + б 2 , бұл екі өрнектің айырмасының квадратының формуласының оң жағы:

(a − b) 2 = а 2 − 2аб + б 2

Шаршы қосынды және квадраттық айырмашылық формулалары әдетте аталады қысқартылған көбейту формулалары. Бұл формулалар көпмүшелерді көбейту процесін айтарлықтай жеңілдетеді және тездетеді.

Бұрын көпмүшенің мүшесін бөлек қарастырғанда оның алдында тұрған таңбамен бірге қарастыру керектігін айтқанбыз.

Бірақ қысқартылған көбейту формулаларын қолданғанда, бастапқы көпмүшенің таңбасы осы терминнің өзіндік белгісі ретінде қарастырылмауы керек.

Мысалы, өрнек берілген болса (5 x − 2ж) 2 және біз формуланы қолданғымыз келеді (a − b) 2 = а 2 − 2аб + б 2 , оның орнына б 2 ауыстыру керек ж, −2 емес ж. Бұл ұмытуға болмайтын формулалармен жұмыс істеу ерекшелігі.

(5x − 2ж) 2
а = 5x
б = 2ж
(5x − 2ж) 2 = (5x) 2 − 2 × 5 x× 2 ж + (2ж) 2 = 25x 2 − 20xy + 4ж 2

Егер −2 орнына қойсақ ж, онда бұл бастапқы өрнектің жақшаларындағы айырмашылық қосындымен ауыстырылғанын білдіреді:

(5x − 2ж) 2 = (5x + (−2ж)) 2

және бұл жағдайда квадрат айырма формуласын емес, квадрат қосынды формуласын пайдалану керек:

(5x + (−2ж) 2
а = 5x
б = −2ж
(5x + (−2ж)) 2 = (5x) 2 + 2 × 5 x× (−2 ж) + (−2ж) 2 = 25x 2 − 20xy + 4ж 2

Ерекшелік пішіннің өрнектері болуы мүмкін (x− (−ж)) 2 . Бұл жағдайда формуланы пайдаланады (a − b) 2 = а 2 − 2аб + б 2 орнына бауыстырылуы керек (- ж)

(x− (−ж)) 2 = x 2 − 2 × x× (− ж) + (−ж) 2 = x 2 + 2xy + ж 2

Бірақ пішіннің квадраттық өрнектері x − (−ж), азайтуды қосумен ауыстыру ыңғайлырақ болады x+y. Содан кейін бастапқы өрнек ( x+ж) 2 және айырманың орнына қосындының квадратының формуласын қолдануға болады:

(x+ж) 2 = x 2 + 2xy + ж 2

Қосындының кубы және айырманың кубы

Екі өрнектің қосындысының кубы мен екі өрнектің айырмасының кубының формулалары келесідей:

(а + б) 3 = а 3 + 3а 2 б + 3аб 2 + б 3

(a − b) 3 = а 3 − 3а 2 б + 3аб 2 − б 3

Екі өрнектің қосындысының кубының формуласын келесідей оқуға болады:

Екі өрнектің қосындысының кубы бірінші өрнектің кубына плюс бірінші өрнектің квадратының көбейтіндісін үш есеге, ал екінші плюс бірінші өрнек пен екінші өрнектің квадратының көбейтіндісін үш есе көбейту плюс өрнектің кубына тең. екінші өрнек.

Ал екі өрнектің айырмашылығының кубының формуласын келесідей оқуға болады:

Екі өрнектің айырымының кубы бірінші өрнектің текшесін шегеріп, бірінші өрнектің квадратының көбейтіндісін үш есеге, ал екінші плюс бірінші өрнектің көбейтіндісін үш есеге және екінші өрнектің квадратын шегергенге тең. екінші өрнек.

Есептерді шығарғанда бұл формулаларды жатқа білген жөн. Есіңізде болмаса, проблема жоқ! Сіз оларды өзіңіз алып тастай аласыз. Біз мұны қалай жасау керектігін білеміз.

Қосындының кубының формуласын өзіміз шығарайық:

(a+b) 3

Өрнек ( a+b) 3 – әрқайсысы (-ға тең) үш көпмүшенің көбейтіндісі а+ б)

(a+b) 3 = (а+ б)(а+ б)(а+ б)

Бірақ өрнек ( a+b) 3 деп те жазуға болады (а+ б)(а+ б) 2

(a+b) 3 = (а+ б)(а+ б) 2

Бұл жағдайда фактор ( а+ б) 2 – екі өрнектің қосындысының квадраты. Бұл қосындының квадраты өрнекке тең а 2 + 2аб + б 2 .

Содан кейін ( a+b) 3 деп жазуға болады (а+ б)(а 2 + 2аб + б 2) .

(a+b) 3 = (а+ б)(а 2 + 2аб + б 2)

Ал бұл көпмүшені көпмүшеге көбейту. Оны орындайық:

(a+b) 3 = (а+ б)(а 2 + 2аб + б 2) = а 3 + 2а 2 б + аб 2 + а 2 б + 2аб 2 + б 3 = а 3 + 3а 2 б + 3аб 2 + б 3

Сол сияқты, екі өрнектің айырмасының текшесі үшін формуланы шығаруға болады:

(a − b) 3 = (a - б)(а 2 − 2аб + б 2) = а 3 − 2а 2 б + аб 2 − а 2 б + 2аб 2 − б 3 = а 3 − 3а 2 б+ 3аб 2 − б 3

1-мысал. Өрнекті түрлендіру ( x+ 1) 3 көпмүшеге.

(а + б) 3 = а 3 + 3а 2 б + 3аб 2 + б 3

(x+ 1) 3 = x 3+3× x 2 × 1 + 3 × x× 1 2 + 1 3 = x 3 + 3x 2 + 3x + 1

Бұл мысалды екі өрнектің қосындысының текшесінің формуласын қолданбай шешуге тырысайық

(x+ 1) 3 = (x+ 1)(x+ 1)(x+ 1) = (x+ 1)(x 2 + 2x + 1) = x 3 + 2x 2 + x + x 2 + 2x + 1 = x 3 + 3x 2 + 3x + 1

2-мысал. Өрнекті түрлендіру (6а 2 + 3б 3) 3 көпмүшеге айналдырады.

Екі өрнектің қосындысының кубы үшін формуланы қолданайық:

(а + б) 3 = а 3 + 3а 2 б + 3аб 2 + б 3

(6а 2 + 3б 3) 3 = (6а 2) 3 + 3 × (6 а 2) 2×3 б 3 + 3 × 6 а 2 × (3б 3) 2 + (3б 3) 3 = 216а 6 + 3 × 36 а 4×3 б 3 + 3 × 6 а 2×9 б 6 + 27б 9

3-мысал. Өрнекті түрлендіру ( n 2 − 3) 3 көпмүшеге.

(a − b) = а 3 − 3а 2 б + 3аб 2 − б 3

(n 2 − 3) 3 = (n 2) 3 − 3 × ( n 2) 2 × 3 + 3 × n 2 × 3 2 − 3 3 = n 6 − 9n 4 + 27n 2 − 27

4-мысал. Өрнекті түрлендіру (2x 2 − x 3) 3 көпмүшеге айналдырады.

Екі өрнектің айырмасының кубы үшін формуланы қолданайық:

(a − b) = а 3 − 3а 2 б + 3аб 2 − б 3

(2x 2 − x 3) 3 = (2x 2) 3 − 3 × (2 x 2) 2× x 3 + 3 × 2 x 2×( x 3) 2 − (x 3) 3 =
8x 6 − 3 × 4 x 4× x 3 + 3 × 2 x 2× x 6 − x 9 =
8x 6 − 12x 7 + 6x 8 − x 9

Екі өрнектің айырмасын олардың қосындысына көбейту

Екі өрнектің айырмасын олардың қосындысына көбейту керек есептер бар. Мысалы:

(a − b)(a+b)

Бұл өрнекте екі өрнектің айырмашылығы аЖәне ббірдей екі өрнектің қосындысына көбейтіледі. Мына көбейтуді орындайық:

(a − b)(a+b) = а 2 + аб − аб − б 2 = а 2 − б 2

Яғни, өрнек (a − b)(a+b) тең а 2 − б 2

(a − b)(a+b) = а 2 − б 2

Екі өрнектің айырмасын олардың қосындысына көбейткенде, осы өрнектердің квадраттарының айырмасын алатынымызды көреміз.

Екі өрнек пен олардың қосындысының айырмасының көбейтіндісі осы өрнектердің квадраттарының айырмасына тең.

Болып жатқан (a − b)(a+b) кез келген адамға таратуға болады аЖәне б. Қарапайым тілмен айтқанда, егер есепті шешу кезінде екі өрнектің айырмасын олардың қосындысына көбейту керек болса, онда бұл көбейтуді осы өрнектердің квадраттарының айырмасына ауыстыруға болады.

1-мысал. Көбейтуді орындаңыз (2x − 5)(2x + 5)

Бұл мысалда өрнектердің айырмашылығы 2-ге тең xжәне 5 бірдей өрнектердің қосындысына көбейтілген. Содан кейін формула бойынша (a − b)(a+b) = а 2 − б 2 бізде бар:

(2x − 5)(2x + 5) = (2x) 2 − 5 2

Оң жағын есептейік, біз 4 аламыз x 2 − 25

(2x − 5)(2x + 5) = (2x) 2 − 5 2 = 4x 2 − 25

Бұл мысалды формуланы қолданбай шешуге тырысайық (a − b)(a+b) = а 2 − б 2 . Біз бірдей нәтиже аламыз 4 x 2 − 25

(2x − 5)(2x + 5) = 4x 2 − 10x + 10x − 25 = 4x 2 − 25

2-мысал. Көбейтуді орындаңыз (4x − 5ж)(4x + 5ж)

(a − b)(a+b) = а 2 − б 2

(4x − 5ж)(4x + 5ж) = (4x) 2 − (5ж) 2 = 16x 2 − 25ж 2

3-мысал. Көбейтуді орындаңыз (2а+ 3б)(2а− 3б)

Екі өрнектің айырмасын олардың қосындысына көбейту формуласын қолданайық:

(a − b)(a+b) = а 2 − б 2

(2a+ 3б)(2a - 3б) = (2а) 2 − (3б) 2 = 4а 2 − 9б 2

Бұл мысалда терминдердің қосындысы 2-ге тең ажәне 3 босы терминдердің айырмашылығынан ертерек орналасты. Және формулада (a − b)(a+b) = а 2 − б 2 айырмашылық ертерек орналасқан.

Факторлардың қалай орналасатыны маңызды емес ( a − b) V ( a+b) формулада. Оларды былай жазуға болады (a − b)(a+b) , Сонымен (a+b)(a − b) . Нәтиже бәрібір бірдей болады а 2 − б 2, себебі факторларды қайта реттеуден өнім өзгермейді.

Сонымен, бұл мысалда факторлар (2 a+ 3б) және 2 a - 3б) деп жазуға болады (2a+ 3б)(2a - 3б) , Сонымен (2a - 3б)(2a+ 3б) . Нәтиже әлі 4 болады а 2 − 9б 2 .

3-мысал. Көбейтуді орындаңыз (7 + 3x)(3x − 7)

Екі өрнектің айырмасын олардың қосындысына көбейту формуласын қолданайық:

(a − b)(a+b) = а 2 − б 2

(7 + 3x)(3x − 7) = (3x) 2 − 7 2 = 9x 2 − 49

4-мысал. Көбейтуді орындаңыз (x 2 − ж 3)(x 2 + ж 3)

(a − b)(a+b) = а 2 − б 2

(x 2 − ж 3)(x 2 + ж 3) = (x 2) 2 − (ж 3) 2 = x 4 − ж 6

5-мысал. Көбейтуді орындаңыз (−5x− 3ж)(5x− 3ж)

Өрнекте (−5 x− 3ж) жақшаның ішіне −1 қоямыз, сонда бастапқы өрнек келесі пішінді алады:

(−5x− 3ж)(5x− 3ж) = −1(5x + 3ж)(5x − 3ж)

Жұмыс (5x + 3ж)(5x − 3ж) оны квадраттардың айырмашылығымен ауыстырыңыз:

(−5x− 3ж)(5x− 3ж) = −1(5x + 3ж)(5x − 3ж) = −1((5x) 2 − (3ж) 2)

Квадраттардың айырмашылығы жақшаға алынды. Егер бұл жасалмаса, онда −1 тек (5) көбейтіледі x) 2 . Және бұл қатеге және бастапқы өрнектің мәнінің өзгеруіне әкеледі.

(−5x− 3ж)(5x− 3ж) = −1(5x + 3ж)(5x − 3ж) = −1((5x) 2 − (3ж) 2) = −1(25x 2 − 9x 2)

Енді −1 санын жақшадағы өрнекке көбейтіп, соңғы нәтижені алыңыз:

(−5x− 3ж)(5x− 3ж) = −1(5x + 3ж)(5x − 3ж) = −1((5x) 2 − (3ж) 2) =
−1(25x 2 − 9ж 2) = −25x 2 + 9ж 2

Екі өрнектің айырмасын олардың қосындысының жеке квадратына көбейту

Екі өрнектің айырмасын олардың қосындысының жартылай квадратына көбейту керек есептер бар. Бұл бөлік келесідей көрінеді:

(a − b)(а 2 + аб + б 2)

Бірінші көпмүше ( a − b) екі өрнектің айырмасы, ал екіншісі көпмүше (а 2 + аб + б 2) осы екі өрнек қосындысының жартылай квадраты болып табылады.

Қосындының жартылай квадраты пішіннің көпмүшесі болып табылады а 2 + аб + б 2 . Бұл қосындының әдеттегі квадратына ұқсас а 2 + 2аб + б 2

Мысалы, өрнек 4x 2 + 6xy + 9ж 2 2 өрнектерінің қосындысының толық емес квадраты болып табылады xжәне 3 ж .

Шынында да, өрнектің бірінші термині 4x 2 + 6xy + 9ж 2 , атап айтқанда 4 x 2 - 2 өрнектің квадраты x, бері (2 x) 2 = 4x 2. Экспрессияның үшінші термині 4x 2 + 6xy + 9ж 2 , атап айтқанда 9 ж 2 - 3 өрнектің квадраты ж, бері (3 ж) 2 = 9ж 2. Ортадағы мүше 6 xy, 2 өрнектерінің туындысы болып табылады xжәне 3 ж.

Сонымен, айырманы көбейтейік ( a − b) қосындының толық емес квадраты бойынша а 2 + аб + б 2

(a − b)(а 2 + аб + б 2) = а(а 2 + ab + b 2) − б(а 2 + аб + б 2) =
а 3 + а 2 б + аб 2 − а 2 б − аб 2 − б 3 = а 3 − б 3

Яғни, өрнек (a − b)(а 2 + аб + б 2) тең а 3 − б 3

(a − b)(а 2 + аб + б 2) = а 3 − б 3

Бұл сәйкестік екі өрнектің айырмасын олардың қосындысының жеке квадратына көбейту формуласы деп аталады. Бұл формуланы келесідей оқуға болады:

Екі өрнектің айырмасы мен олардың қосындысының жеке квадратының көбейтіндісі осы өрнектердің кубтарының айырмасына тең.

1-мысал. Көбейтуді орындаңыз (2x − 3ж)(4x 2 + 6xy + 9ж 2)

Бірінші көпмүше (2 x − 3ж) екі өрнектің айырмасы 2 xжәне 3 ж. Екінші көпмүше 4x 2 + 6xy + 9ж 2 бұл екі өрнектің қосындысының жартылай квадраты 2 xжәне 3 ж. Бұл формуланы ұзақ есептеулерсіз пайдалануға мүмкіндік береді (a − b)(а 2 + аб + б 2) = а 3 − б 3 . Біздің жағдайда көбейту (2x − 3ж)(4x 2 + 6xy + 9ж 2) текшелердің айырмасымен алмастыруға болады 2 xжәне 3 ж

(2x − 3ж)(4x 2 + 6xy + 9ж 2) = (2x) 3 − (3ж) 3 = 8x 3 − 27ж 3

(a − b)(а 2 + аб+ б 2) = а 3 − б 3 . Біз бірдей нәтиже аламыз, бірақ шешім ұзағырақ болады:

(2x − 3ж)(4x 2 + 6xy + 9ж 2) = 2x(4x 2 + 6xy + 9ж 2) − 3ж(4x 2 + 6xy + 9ж 2) =
8x 3 + 12x 2 ж + 18xy 2 − 12x 2 ж − 18xy 2 − 27ж 3 = 8x 3 − 27ж 3

2-мысал. Көбейтуді орындаңыз (3 − x)(9 + 3x + x 2)

Бірінші көпмүше (3 − x) екі өрнектің айырмасы, ал екінші көпмүше осы екі өрнектің қосындысының жеке квадраты. Бұл формуланы пайдалануға мүмкіндік береді (a − b)(а 2 + аб + б 2) = а 3 − б 3

(3 − x)(9 + 3x + x 2) = 3 3 − x 3 = 27 − x 3

Екі өрнектің қосындысын олардың айырмасының жеке квадратына көбейту

Екі өрнектің қосындысын олардың айырмасының жартылай квадратына көбейту керек есептер бар. Бұл бөлік келесідей көрінеді:

(a+b)(а 2 − аб + б 2)

Бірінші көпмүше ( a+b (а 2 − аб + б 2) бұл екі өрнектің айырмасының толық емес квадраты.

Айырманың жартылай квадраты пішіннің көпмүшесі болып табылады а 2 − аб + б 2 . Бұл қалыпты айырмашылық квадратына ұқсайды а 2 − 2аб + б 2 тек ондағы бірінші және екінші өрнектердің көбейтіндісі екі еселенбейді.

Мысалы, өрнек 4x 2 − 6xy + 9ж 2 2 өрнектерінің айырмасының толық емес квадраты болып табылады xжәне 3 ж.

(2x) 2 − 2x× 3 ж + (3ж) 2 = 4x 2 − 6xy + 9ж 2

Бастапқы мысалға оралайық. Қосындыны көбейтейік a+bайырманың жартылай квадраты бойынша а 2 − аб + б 2

(a+b)(а 2 − аб + б 2) = а(а 2 − ab + b 2) + б(а 2 − аб + б 2) =
а 3 − а 2 б + аб 2 + а 2 б − аб 2 + б 3 = а 3 + б 3

Яғни, өрнек (a+b)(а 2 − аб + б 2) тең а 3 + б 3

(a+b)(а 2 − аб + б 2) = а 3 + б 3

Бұл сәйкестік екі өрнектің қосындысын олардың айырмасының толық емес квадратына көбейту формуласы деп аталады. Бұл формуланы келесідей оқуға болады:

Екі өрнектің қосындысы мен олардың айырымының жеке квадратының көбейтіндісі осы өрнектердің кубтарының қосындысына тең.

1-мысал. Көбейтуді орындаңыз (2x + 3ж)(4x 2 − 6xy + 9ж 2)

Бірінші көпмүше (2 x + 3ж) екі өрнектің қосындысы 2 xжәне 3 ж, және екінші көпмүше 4x 2 − 6xy + 9ж 2 бұл осы өрнектердің айырмасының толық емес квадраты. Бұл формуланы ұзақ есептеулерсіз пайдалануға мүмкіндік береді (a+b)(а 2 − аб + б 2) = а 3 + б 3 . Біздің жағдайда көбейту (2x + 3ж)(4x 2 − 6xy + 9ж 2) текшелердің қосындысымен алмастыруға болады 2 xжәне 3 ж

(2x + 3ж)(4x 2 − 6xy + 9ж 2) = (2x) 3 + (3ж) 3 = 8x 3 + 27ж 3

Сол мысалды формуланы қолданбай шешуге тырысайық (a+b)(а 2 − аб+ б 2) = а 3 + б 3 . Біз бірдей нәтиже аламыз, бірақ шешім ұзағырақ болады:

(2x + 3ж)(4x 2 − 6xy + 9ж 2) = 2x(4x 2 − 6xy + 9ж 2) + 3ж(4x 2 − 6xy + 9ж 2) =
8x 3 − 12x 2 ж + 18xy 2 + 12x 2 ж − 18xy 2 + 27ж 3 = 8x 3 + 27ж 3

2-мысал. Көбейтуді орындаңыз (2x+ ж)(4x 2 − 2xy + ж 2)

Бірінші көпмүше (2 x+ ж) екі өрнектің қосындысы және екінші көпмүше (4x 2 − 2xy + ж 2) осы өрнектердің айырмасының толық емес квадраты болып табылады. Бұл формуланы пайдалануға мүмкіндік береді (a+b)(а 2 − аб+ б 2) = а 3 + б 3

(2x+ ж)(4x 2 − 2xy + ж 2) = (2x) 3 + ж 3 = 8x 3 + ж 3

Сол мысалды формуланы қолданбай шешуге тырысайық (a+b)(а 2 − аб+ б 2) = а 3 + б 3 . Біз бірдей нәтиже аламыз, бірақ шешім ұзағырақ болады:

(2x+ ж)(4x 2 − 2xy + ж 2) = 2x(4x 2 − 2xy + ж 2) + ж(4x 2 − 2xy + ж 2) =
8x 3 − 4x 2 ж + 2xy 2 + 4x 2 ж − 2xy 2 + ж 3 = 8x 3 + ж 3

Өз бетінше шешуге арналған тапсырмалар

Сізге сабақ ұнады ма?
Біздің қосылыңыз жаңа топВКонтакте және жаңа сабақтар туралы хабарландырулар алуды бастаңыз

Қысқартылған көбейту формулалары (FMF) сандар мен өрнектерді дәрежеге шығару және көбейту үшін қолданылады. Көбінесе бұл формулалар есептеулерді ықшам әрі жылдам жүргізуге мүмкіндік береді.

Бұл мақалада біз қысқартылған көбейтудің негізгі формулаларын тізіп, оларды кестеде топтастырамыз, осы формулаларды қолдану мысалдарын қарастырамыз, сонымен қатар қысқартылған көбейту формулаларын дәлелдеу принциптеріне тоқталамыз.

Алғаш рет 7-сыныпқа арналған Алгебра курсы аясында ФМУ тақырыбы қарастырылады. Төменде 7 негізгі формула берілген.

Қысқартылған көбейту формулалары

1. қосындының квадратының формуласы: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
2. квадрат айырмасының формуласы: a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2
3. қосынды текше формуласы: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
4. Айырма текше формуласы: a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
5. квадрат айырмасының формуласы: a 2 - b 2 = a - b a + b
6. текшелер қосындысының формуласы: a 3 + b 3 = a + b a 2 - a b + b 2
7. кубтардың айырымы формуласы: a 3 - b 3 = a - b a 2 + a b + b 2

Бұл өрнектердегі a, b, c әріптері кез келген сандар, айнымалылар немесе өрнектер болуы мүмкін. Қолдануға ыңғайлы болу үшін негізгі жеті формуланы жатқа үйренген дұрыс. Оларды кестеге қойып, рамкамен қоршап, төменде көрсетейік.

Алғашқы төрт формула сәйкесінше екі өрнектің қосындысының немесе айырмасының квадратын немесе кубын есептеуге мүмкіндік береді.

Бесінші формула өрнектердің квадраттары арасындағы айырмашылықты олардың қосындысы мен айырмасын көбейту арқылы есептейді.

Алтыншы және жетінші формулалар сәйкесінше өрнектердің қосындысы мен айырмасын айырманың толық емес квадратына және қосындының толық емес квадратына көбейту болып табылады.

Қысқартылған көбейту формуласын кейде қысқартылған көбейту сәйкестіктері деп те атайды. Бұл таңқаларлық емес, өйткені әрбір теңдік сәйкестік болып табылады.

Практикалық мысалдарды шешу кезінде сол және оң жақтары ауыстырылған қысқартылған көбейту формулалары жиі қолданылады. Бұл әсіресе көпмүшені көбейткіштерге бөлу кезінде ыңғайлы.

Қосымша қысқартылған көбейту формулалары

7-сыныптың алгебра курсымен шектеліп қалмай, FSU кестесіне тағы бірнеше формулаларды қосайық.

Алдымен Ньютонның биномдық формуласын қарастырайық.

a + b n = C n 0 · a n + C n 1 · a n - 1 · b + C n 2 · a n - 2 · b 2 + . . + C n n - 1 · a · b n - 1 + C n n · b n

Мұндағы C n k - Паскаль үшбұрышындағы n жолында пайда болатын биномдық коэффициенттер. Биномдық коэффициенттер мына формула бойынша есептеледі:

C n k = n ! k! · (n - k) ! = n (n - 1) (n - 2) . . (n - (k - 1)) k !

Көріп отырғанымыздай, айырма мен қосындының квадраты мен кубы үшін FSF сәйкесінше n=2 және n=3 үшін Ньютон биномдық формуласының ерекше жағдайы болып табылады.

Бірақ егер қосындыда күшке көтерілу керек екіден көп термин болса ше? Үш, төрт немесе одан да көп мүшелердің қосындысының квадратының формуласы пайдалы болады.

a 1 + a 2 + . . + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 + . . + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 + . . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 + . . + 2 a 2 a n + 2 a n - 1 a n

Пайдалы болуы мүмкін тағы бір формула - екі мүшенің n-ші дәрежелері арасындағы айырмашылық формуласы.

a n - b n = a - b a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 + . . + a 2 b n - 2 + b n - 1

Бұл формула әдетте екі формулаға бөлінеді - сәйкесінше жұп және тақ дәрежелер үшін.

Тіпті 2 м индикаторлар үшін:

а 2 м - б 2 м = а 2 - б 2 а 2 м - 2 + а 2 м - 4 б 2 + а 2 м - 6 б 4 +. . + b 2 м - 2

2м+1 тақ дәрежелер үшін:

а 2 м + 1 - б 2 м + 1 = а 2 - б 2 а 2 м + а 2 м - 1 б + а 2 м - 2 б 2 +. . + b 2 м

Квадраттардың айырмашылығы мен текшелердің формулаларының айырмашылығы, сіз ойлағандай, сәйкесінше n = 2 және n = 3 үшін осы формуланың ерекше жағдайлары болып табылады. Текшелердің айырмасы үшін b да - b ауыстырылады.

Қысқартылған көбейту формулаларын қалай оқуға болады?

Әрбір формулаға сәйкес тұжырымдарды береміз, бірақ алдымен формулаларды оқу принципін түсінеміз. Мұны істеудің ең қолайлы жолы - мысал. Екі санның қосындысының квадратының ең бірінші формуласын алайық.

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2.

Олар айтады: a және b екі өрнектің қосындысының квадраты бірінші өрнектің квадратының қосындысына, өрнектердің екі есе көбейтіндісінің және екінші өрнектің квадратының қосындысына тең.

Барлық басқа формулалар осылай оқылады. a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 айырмасының квадраты үшін жазамыз:

a және b екі өрнектің айырмасының квадраты осы өрнектердің квадраттарының қосындысынан бірінші және екінші өрнектердің екі есе көбейтіндісін шегергенге тең.

a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 формуласын оқып көрейік. a және b екі өрнектің қосындысының кубы осы өрнектердің кубтарының қосындысына тең, бірінші өрнектің квадратының көбейтіндісін екіншісіне үш есе, ал екінші өрнектің квадратының көбейтіндісін үш есе көбейтеді. бірінші өрнек.

a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3 текшелерінің айырымы формуласын оқуға көшейік. a және b екі өрнектің арасындағы айырманың текшесі бірінші өрнек пен екінші өрнектің квадратының үш еселенген көбейтіндісін алып тастағандағы бірінші өрнектің кубына, плюс екінші өрнек пен бірінші өрнектің квадратының үш еселенген көбейтіндісіне тең. , екінші өрнектің текшесін алып тастаңыз.

Бесінші a 2 - b 2 = a - b a + b (квадраттардың айырымы) формуласы былай оқылады: екі өрнектің квадраттарының айырмасы екі өрнектің айырмасы мен қосындысының көбейтіндісіне тең.

Ыңғайлы болу үшін a 2 + a b + b 2 және a 2 - a b + b 2 сияқты өрнектер сәйкесінше қосындының толық емес квадраты және айырманың толық емес квадраты деп аталады.

Осыны ескере отырып, кубтардың қосындысы мен айырмасының формулаларын келесідей оқуға болады:

Екі өрнектің кубтарының қосындысы осы өрнектердің қосындысының және олардың айырымының жеке квадратының көбейтіндісіне тең.

Екі өрнектің кубтарының айырмасы осы өрнектер арасындағы айырма мен олардың қосындысының жартылай квадратының көбейтіндісіне тең.

FSU дәлелі

FSU дәлелдеу өте қарапайым. Көбейтудің қасиеттеріне сүйене отырып, жақшадағы формулалардың бөліктерін көбейтеміз.

Мысалы, квадрат айырмасының формуласын қарастырыңыз.

a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2.

Өрнекті екінші дәрежеге көтеру үшін бұл өрнекті өзіне көбейту керек.

a - b 2 = a - b a - b.

Жақшаларды кеңейтейік:

a - b a - b = a 2 - a b - b a + b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 .

Формула дәлелденген. Қалған FSUs дәл осылай дәлелденген.

FSU қолданбасының мысалдары

Қысқартылған көбейту формулаларын қолданудың мақсаты - өрнектерді жылдам және қысқаша көбейту және дәрежеге көтеру. Дегенмен, бұл FSU қолдану аясының толық көлемі емес. Олар өрнектерді азайтуда, бөлшектерді азайтуда және көпмүшелерді көбейткіштерге бөлуде кеңінен қолданылады. Мысалдар келтірейік.

Мысал 1. FSU

9 у - (1 + 3 у) 2 өрнегін жеңілдетейік.

Квадраттардың қосындысын формуланы қолданып, мынаны аламыз:

9 ж - (1 + 3 ж) 2 = 9 ж - (1 + 6 ж + 9 ж 2) = 9 ж - 1 - 6 ж - 9 ж 2 = 3 ж - 1 - 9 ж 2

Мысал 2. FSU

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 бөлігін азайтайық.

Алымдағы өрнек текшелердің айырмасы, ал бөлгіштегі квадраттардың айырмасы екенін ескереміз.

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z .

Біз азайтамыз және аламыз:

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z

FSU сонымен қатар өрнектердің мәндерін есептеуге көмектеседі. Ең бастысы, формуланы қайда қолдану керектігін байқай білу. Мұны мысалмен көрсетейік.

79 санының квадратын алайық. Күрделі есептеулердің орнына былай жазайық:

79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .

Көрінетін сияқты, күрделі есептеуқысқартылған көбейту формулалары мен көбейту кестелерін қолдану арқылы жылдам орындалады.

Тағы бір маңызды нүкте- биномның квадратын анықтау. 4 x 2 + 4 x - 3 өрнегін 2 x 2 + 2 · 2 · x · 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4 түрлендіруге болады. Мұндай түрлендірулер интеграцияда кеңінен қолданылады.

Мәтінде қатені байқасаңыз, оны бөлектеп, Ctrl+Enter пернелерін басыңыз

Көпмүшені көпмүшеге көбейту

! Кімге көпмүшені көпмүшеге көбейту, бір көпмүшенің әрбір мүшесін екінші көпмүшенің әрбір мүшесіне көбейтіп, алынған көбейтінділерді қосу керек.

Сақ болыңыз! Әр терминнің өзіндік белгісі бар.

Қысқартылған көбейту формулаларыКөпмүшеліктер - бұл көпмүшелерді көбейтудің 7 (жеті) жалпы жағдайы.

Анықтамалар жәнеҚысқартылған көбейту формулалары. Кесте

Кесте 2. Қысқартылған көбейту формулаларының анықтамалары (үлкейту үшін басыңыз)

Шаршыға арналған үш қысқартылған көбейту формуласы

1. Шаршы қосындының формуласы.

Қосындының квадратыекі өрнек бірінші өрнектің квадратына плюс бірінші өрнектің екі есе көбейтіндісіне және екіншісі плюс екінші өрнектің квадратына тең.

Формуланы жақсырақ түсіну үшін алдымен өрнекті жеңілдетейік (қосынды квадратының формуласын кеңейтіңіз)

Енді көбейткіштерге бөлейік (формуланы жию)

Факторинг кезіндегі әрекеттер тізбегі:

1. қай мономдардың квадраты болғанын анықтаңыз ( 5 Және 3м);
2. олардың қос көбейтіндісі формуланың ортасында тұрғанын тексеріңіз (2 5 3м = 30 м);
3. жауабын жаз (5 + 3м) 2.

2. Шаршы айырым формуласы

Шаршы айырмашылықекі өрнек бірінші өрнектің квадратынан бірінші өрнектің екі есе көбейтіндісін шегеріп, екіншісі плюс екінші өрнектің квадратына тең.

Алдымен өрнекті жеңілдетейік (формуланы кеңейтіңіз):

Содан кейін керісінше, оны көбейткіштерге жіктейік (формуланы жию):

3. Шаршы айырым формуласы

Екі өрнектің қосындысының көбейтіндісі мен олардың айырмасы осы өрнектердің квадраттарының айырмасына тең.

Формуланы жиып алайық (көбейтуді орындаймыз)

Енді формуланы кеңейтейік (көбейткіш)

Текшелер үшін қысқартылған төрт көбейту формуласы

4. Екі санның қосындысының кубының формуласы

Екі өрнектің қосындысының кубы бірінші өрнектің кубына плюс бірінші өрнектің квадратының көбейтіндісін үш есеге, ал екінші плюс бірінші өрнек пен екінші өрнектің квадратының көбейтіндісін үш есе көбейту плюс өрнектің кубына тең. екінші өрнек.

Формуланы «жиырату» кезіндегі әрекеттер тізбегі:

1. текшеленген мономдарды табыңыз (мұнда 4xЖәне 1 );
2. орташа шарттарды формулаға сәйкестігін тексеру;
3. жауабын жаз.

5. Екі санның айырмасының кубының формуласы

Екі өрнектің айырымының кубы бірінші өрнектің текшесін шегеріп, бірінші өрнектің квадратының көбейтіндісін үш есеге, ал екінші плюс бірінші өрнектің көбейтіндісін үш есеге және екінші өрнектің квадратын шегергенге тең. екінші өрнек.

6. Текшелердің қосындысының формуласы

Екі өрнектің кубтарының қосындысы бірінші және екінші өрнектердің қосындысының және осы өрнектердің айырмасының толық емес квадратының көбейтіндісіне тең.

Және кері:

7. Кубтардың айырмашылығы формуласы

Екі өрнектің текшелерінің айырмасы бірінші және екінші өрнектер арасындағы айырманың көбейтіндісіне және осы өрнектер қосындысының жартылай квадратына тең.

Қысқартылған көбейту формулаларын қолдану. Кесте

Формулаларды практикада қолдану мысалы (ауызша есептеу).

Тапсырма:Қабырғасы а = 71 см болатын шаршының ауданын табыңыз.

Шешімі: S = a 2. Шаршы қосынды формуласын пайдаланып, бізде бар

71 2 = (70 + 1) 2 = 70 2 + 2*70*1 + 1 2 = 4900 + 140 + 1 = 5041 см 2

Жауап: 5041 см 2