Түзу пирамиданың бүйір бетінің ауданы тең. Әртүрлі пирамидалардың бүйір бетінің ауданы

Пирамида деп қандай фигураны айтамыз? Біріншіден, бұл көп қырлы. Екіншіден, бұл көпбұрыштың табанында ерікті көпбұрыш бар, ал пирамиданың қабырғалары (бүйір беттері) міндетті түрде бір ортақ төбеге жиналатын үшбұрыштар пішініне ие болады. Енді терминді түсініп, пирамиданың бетінің ауданын қалай табуға болатынын білейік.

Мұндай геометриялық дененің бетінің ауданы негіз және оның бүкіл бүйір бетінің аудандарының қосындысынан тұратыны анық.

Пирамида табанының ауданын есептеу

Есептеу формуласын таңдау біздің пирамиданың астында жатқан көпбұрыштың пішініне байланысты. Ол біркелкі болуы мүмкін, яғни ұзындығы бірдей жақтарымен немесе біркелкі емес. Екі нұсқаны да қарастырайық.

Негізі дұрыс көпбұрыш

Мектеп курсынан біз білеміз:

• шаршының ауданы оның қабырғасының квадратының ұзындығына тең болады;
• Тең бүйірлі үшбұрыштың ауданы оның қабырғасының квадратын 4-ке бөлген және үштің квадрат түбірімен көбейткенге тең.

Бірақ та бар жалпы формула, кез келген дұрыс көпбұрыштың ауданын (Sn) есептеу үшін: осы көпбұрыштың периметрін (P) оған сызылған шеңбердің радиусына (r) көбейту керек, содан кейін нәтижені екіге бөлу керек: Sn = 1/2P*r.

Негізінде дұрыс емес көпбұрыш орналасқан

Оның ауданын табу схемасы - алдымен бүкіл көпбұрышты үшбұрыштарға бөлу, олардың әрқайсысының ауданын формула бойынша есептеу: 1/2a*h (мұндағы a - үшбұрыштың табаны, h - төмендетілген биіктік. осы негіз), барлық нәтижелерді қосыңыз.

Пирамиданың бүйір бетінің ауданы

Енді пирамиданың бүйір бетінің ауданын есептейік, яғни. оның барлық бүйір жақтарының аудандарының қосындысы. Мұнда да 2 нұсқа бар.

1. Бізде ерікті пирамида болсын, яғни. табанында дұрыс емес көпбұрыш бар біреуі. Содан кейін әр беттің ауданын бөлек есептеп, нәтижелерді қосу керек. Пирамиданың қабырғалары анықтамасы бойынша тек үшбұрыштар болуы мүмкін болғандықтан, есептеу жоғарыда аталған формула бойынша жүзеге асырылады: S=1/2a*h.
2. Біздің пирамида дұрыс болсын, яғни. оның табанында дұрыс көпбұрыш жатыр, ал пирамида төбесінің проекциясы оның центрінде. Содан кейін бүйір бетінің ауданын (Sb) есептеу үшін негіз көпбұрышының периметрі (P) мен бүйір жағының биіктігінің (h) көбейтіндісінің жартысын табу жеткілікті (барлық беттер үшін бірдей) ): Sb = 1/2 P*h. Көпбұрыштың периметрі оның барлық қабырғаларының ұзындықтарын қосу арқылы анықталады.

Тұрақты пирамиданың жалпы бетінің ауданы оның табанының ауданын бүкіл бүйір бетінің ауданымен қосу арқылы табылады.

Мысалдар

Мысалы, бірнеше пирамидалардың бетінің аудандарын алгебралық түрде есептейік.

Үшбұрышты пирамиданың бетінің ауданы

Мұндай пирамиданың негізінде үшбұрыш орналасқан. So=1/2a*h формуласы арқылы табанның ауданын табамыз. Біз пирамиданың әр бетінің ауданын табу үшін бірдей формуланы қолданамыз, оның да үшбұрышты пішіні бар және біз 3 аумақты аламыз: S1, S2 және S3. Пирамиданың бүйір бетінің ауданы барлық аудандардың қосындысына тең: Sb = S1+ S2+ S3. Қабырғалары мен табанының аудандарын қосу арқылы біз қалаған пирамиданың жалпы бетінің ауданын аламыз: Sp= So+ Sb.

Төртбұрышты пирамиданың бетінің ауданы

Бүйір бетінің ауданы 4 мүшенің қосындысы болып табылады: Sb = S1+ S2+ S3+ S4, олардың әрқайсысы үшбұрыштың ауданы формуласы арқылы есептеледі. Ал төртбұрыштың пішініне байланысты негіздің аумағын іздеу керек болады - тұрақты немесе тұрақты емес. Пирамиданың жалпы бетінің ауданы табанының ауданы мен берілген пирамиданың жалпы бетінің ауданын қосу арқылы қайтадан алынады.

көп қырлы фигура, оның негізі көпбұрыш, ал қалған беттері ортақ төбесі бар үшбұрыштармен берілген.

Егер негізі шаршы болса, онда пирамида деп аталады төртбұрышты, егер үшбұрыш болса – онда үшбұрышты. Пирамиданың биіктігі оның төбесінен табанына перпендикуляр түсірілген. Ауданды есептеу үшін де қолданылады апотема– оның төбесінен түсірілген бүйір бетінің биіктігі.
Пирамиданың бүйір бетінің ауданының формуласы оның бүйір беттерінің бір-біріне тең аудандарының қосындысы болып табылады. Дегенмен, бұл есептеу әдісі өте сирек қолданылады. Негізінде пирамиданың ауданы негіздің периметрі мен апотема арқылы есептеледі:

Пирамиданың бүйір бетінің ауданын есептеудің мысалын қарастырайық.

ABCDE негізі және F төбесімен пирамида берілсін. AB =BC =CD =DE =EA =3 см Апотема a = 5 см Пирамиданың бүйір бетінің ауданын табыңыз.
Периметрді табайық. Негіздің барлық шеттері тең болғандықтан, бесбұрыштың периметрі мынаған тең болады:
Енді пирамиданың бүйірлік ауданын табуға болады:

Тұрақты үшбұрышты пирамиданың ауданы

Тұрақты үшбұрышты пирамида дұрыс үшбұрыш жатқан табаннан және ауданы бірдей үш бүйір бетінен тұрады.
Тұрақты үшбұрышты пирамиданың бүйір бетінің ауданы формуласын әртүрлі тәсілдермен есептеуге болады. Сіз периметр мен апотеманы пайдаланып әдеттегі есептеу формуласын қолдана аласыз немесе бір беттің ауданын тауып, оны үшке көбейте аласыз. Пирамиданың беті үшбұрыш болғандықтан, біз үшбұрыштың ауданы үшін формуланы қолданамыз. Ол үшін апотема мен негіздің ұзындығы қажет болады. Тұрақты үшбұрышты пирамиданың бүйір бетінің ауданын есептеудің мысалын қарастырайық.

Апотемасы a = 4 см және табаны b = 2 см болатын пирамида берілген.Пирамиданың бүйір бетінің ауданын табыңыз.
Алдымен бүйірлік беттердің бірінің ауданын табыңыз. Бұл жағдайда ол болады:
Формуладағы мәндерді ауыстырыңыз:
Кәдімгі пирамиданың барлық қабырғалары бірдей болғандықтан, пирамиданың бүйір бетінің ауданы үш бетінің аудандарының қосындысына тең болады. Сәйкесінше:

Кесілген пирамиданың ауданы

КесілгенПирамида - бұл пирамида және оның көлденең қимасы табанына параллель болатын көп қырлы.
Кесілген пирамиданың бүйір бетінің ауданы үшін формула өте қарапайым. Аудан негіздері мен апотеманың периметрлерінің қосындысының жартысының көбейтіндісіне тең:

Осы геометриялық фигура және оның қасиеттері туралы сұрақтарды оқымас бұрын кейбір терминдерді түсіну керек. Пирамида туралы естіген адам Египеттегі алып ғимараттарды елестетеді. Ең қарапайымдары осылай көрінеді. Бірақ олар болады әртүрлі түрлеріжәне фигуралар, яғни геометриялық фигуралар үшін есептеу формуласы әртүрлі болады.

Фигураның түрлері

Пирамида – геометриялық фигура , бірнеше жүзді білдіретін және білдіретін. Негізінде, бұл сол көпбұрыш, оның негізінде көпбұрыш жатыр, ал бүйірлерінде бір нүктеде - шыңда қосылатын үшбұрыштар бар. Фигураның екі негізгі түрі бар:

• дұрыс;
• қысқартылған.

Бірінші жағдайда негізі дұрыс көпбұрыш. Мұнда барлық бүйір беттер теңөздері мен фигураның өзі перфекционисттің көзін қуантады.

Екінші жағдайда екі негіз бар - ең төменгі жағында үлкен және үстіңгі жағында шағын, негізгінің пішінін қайталайды. Басқаша айтқанда, кесілген пирамида деп табанына параллель құрылған көлденең қимасы бар көпбұрышты айтады.

Терминдер мен белгілер

Негізгі терминдер:

• Тұрақты (теңбүйірлі) үшбұрыш- бұрыштары тең және қабырғалары тең үш фигура. Бұл жағдайда барлық бұрыштар 60 градус болады. Фигура қалыпты көп қырлылардың ең қарапайымы болып табылады. Егер бұл фигура негізде жатса, онда мұндай көпбұрышты тұрақты үшбұрыш деп атайды. Егер негізі шаршы болса, пирамида кәдімгі төртбұрышты пирамида деп аталады.
• Шың– жиектер түйіскен ең биік нүкте. Шыңның биіктігі пирамиданың шыңынан табанына дейін созылатын түзу сызық арқылы қалыптасады.
• Жиек– көпбұрыштың жазықтықтарының бірі. Ол үшбұрышты пирамида жағдайында үшбұрыш түрінде немесе кесілген пирамида үшін трапеция түрінде болуы мүмкін.
• Бөлім – жалпақ фигура, диссекция нәтижесінде түзілген. Оны бөліммен шатастырмау керек, өйткені бөлім бөлімнің артында не тұрғанын да көрсетеді.
• Апотем- пирамиданың төбесінен табанына дейін сызылған кесінді. Бұл сонымен қатар екінші биіктік нүктесі орналасқан беттің биіктігі. Бұл анықтама дұрыс көпбұрышқа қатысты ғана жарамды. Мысалы, егер бұл кесілген пирамида болмаса, онда бет үшбұрыш болады. Бұл жағдайда бұл үшбұрыштың биіктігі апотема болады.

Аудан формулалары

Пирамиданың бүйір бетінің ауданын табыңызкез келген түрін бірнеше жолмен жасауға болады. Егер фигура симметриялы болмаса және әр түрлі жақтары бар көпбұрыш болса, онда бұл жағдайда барлық беттердің қосындысы арқылы жалпы бет ауданын есептеу оңайырақ. Басқаша айтқанда, әр беттің ауданын есептеп, оларды біріктіру керек.

Қандай параметрлер белгілі екеніне байланысты квадратты, трапецияны, ерікті төртбұрышты және т.б. есептеуге арналған формулалар қажет болуы мүмкін. Әртүрлі жағдайларда формулалардың өздеріайырмашылықтары да болады.

Тұрақты фигура жағдайында аумақты табу әлдеқайда оңай. Бірнеше негізгі параметрлерді білу жеткілікті. Көп жағдайда мұндай сандар үшін есептеулер арнайы талап етіледі. Сондықтан төменде сәйкес формулалар беріледі. Әйтпесе, бәрін бірнеше бетке жазып шығуға тура келеді, бұл сізді тек шатастырып, шатастырады.

Есептеудің негізгі формуласыТұрақты пирамиданың бүйір бетінің ауданы келесі пішінге ие болады:

S=½ Па (P - негіздің периметрі және апотема)

Бір мысалды қарастырайық. Көпбұрыштың A1, A2, A3, A4, A5 кесінділері бар табаны бар және олардың барлығы 10 см-ге тең.Апотем 5 см-ге тең болсын.Алдымен периметрді табу керек. Негіздің барлық бес беті бірдей болғандықтан, оны келесідей табуға болады: P = 5 * 10 = 50 см Содан кейін біз негізгі формуланы қолданамыз: S = ½ * 50 * 5 = 125 см квадрат.

Тұрақты үшбұрышты пирамиданың бүйір бетінің ауданыесептеу ең оңай. Формула келесідей көрінеді:

S =½* ab *3, мұндағы a - апотема, b - негіздің беті. Мұндағы үш фактор негіздің беттерінің санын білдіреді, ал бірінші бөлігі - бүйір бетінің ауданы. Бір мысалды қарастырайық. Апотемасы 5 см, негізі шеті 8 см болатын фигура берілген.Есептейміз: S = 1/2*5*8*3=60 см квадрат.

Кесілген пирамиданың бүйір бетінің ауданыЕсептеу сәл қиынырақ. Формула келесідей көрінеді: S =1/2*(p_01+ p_02)*a, мұндағы p_01 және p_02 - негіздердің периметрі және апотема. Бір мысалды қарастырайық. Төртбұрышты фигура үшін табанының қабырғаларының өлшемдері 3 және 6 см, ал апотема 4 см делік.

Мұнда алдымен табандардың периметрлерін табу керек: р_01 =3*4=12 см; р_02=6*4=24 см.Мәндерді негізгі формулаға ауыстыру қалды және біз мынаны аламыз: S =1/2*(12+24)*4=0,5*36*4=72 см квадрат.

Осылайша, кез келген күрделіліктегі кәдімгі пирамиданың бүйір бетінің ауданын табуға болады. Сіз абай болуыңыз керек және шатастырмауыңыз керекбұл есептеулер бүкіл көпбұрыштың жалпы ауданымен. Егер сізге әлі де мұны істеу керек болса, көпбұрыштың ең үлкен негізінің ауданын есептеп, оны көпбұрыштың бүйір бетінің ауданына қосыңыз.

Бейне

Бұл бейне әртүрлі пирамидалардың бүйір бетінің ауданын қалай табуға болатыны туралы ақпаратты біріктіруге көмектеседі.

Кәдімгі үшбұрышты пирамидада SABC R- қабырғаның ортасы AB, С- жоғарғы.
Бұл белгілі SR = 6, ал бүйір бетінің ауданы тең 36 .
Кесіндінің ұзындығын табыңыз б.з.д..

Сурет салайық. Кәдімгі пирамиданың бүйір беттері тең қабырғалы үшбұрыштар.

Сызық сегменті С.Р.- медиана негізге дейін төмендетілді, демек, бүйір бетінің биіктігі.

Тұрақты үшбұрышты пирамиданың бүйір бетінің ауданы аудандардың қосындысына тең
үш бірдей бүйір беті S жағы = 3 S ABS. Осы жерден S ABS = 36: 3 = 12- бет аймағы.

Үшбұрыштың ауданы оның табаны мен биіктігінің көбейтіндісінің жартысына тең
S ABS = 0,5 AB SR. Ауданы мен биіктігін біле отырып, біз негіздің жағын табамыз AB = BC.
12 = 0,5 AB 6
12 = 3 AB
AB = 4

Жауап: 4

Сіз мәселеге екінші жағынан қарай аласыз. Негіз жағы болсын AB = BC = a.
Содан кейін бет аймағы S ABS = 0,5 AB SR = 0,5 a 6 = 3a.

Үш беттің әрқайсысының ауданы тең 3а, үш беттің ауданы тең 9а.
Есептің шарты бойынша пирамиданың бүйір бетінің ауданы 36-ға тең.
S жағы = 9a = 36.
Осы жерден a = 4.

Анықтама. Бүйір жиегі- бұл үшбұрыш, оның бір бұрышы пирамиданың төбесінде жатыр, ал қарама-қарсы қабырғасы табан жағымен (көпбұрыш) сәйкес келеді.

Анықтама. Бүйір қабырғалары- бұл бүйірлік беттердің ортақ жақтары. Пирамиданың шеттері көпбұрыштың бұрыштарындай көп.

Анықтама. Пирамида биіктігі- бұл пирамиданың төбесінен табанына түсірілген перпендикуляр.

Анықтама. Апотем- бұл пирамиданың төбесінен табан жағына түсірілген пирамиданың бүйір бетіне перпендикуляр.

Анықтама. Диагональды қима- бұл пирамиданың пирамиданың төбесінен және табанының диагоналы арқылы өтетін жазықтықтың кесіндісі.

Анықтама. Дұрыс пирамиданегізі дұрыс көпбұрыш, ал биіктігі табанның ортасына түсетін пирамида.

Пирамиданың көлемі мен бетінің ауданы

Формула. Пирамиданың көлемібазаның ауданы мен биіктігі бойынша:

Пирамиданың қасиеттері

Егер барлық бүйір жиектер тең болса, онда пирамиданың негізін айнала шеңбер сызуға болады, ал табанның ортасы шеңбердің центрімен сәйкес келеді. Сондай-ақ, жоғарыдан түсірілген перпендикуляр негіздің (шеңбердің) ортасынан өтеді.

Егер барлық бүйір жиектер тең болса, онда олар бірдей бұрыштарда негіз жазықтығына еңкейеді.

Бүйір қабырғалары негіз жазықтығымен түзілгенде тең болады тең бұрыштарнемесе пирамида табанының айналасында шеңберді сипаттауға болатын болса.

Егер бүйір беттері негіз жазықтығына бірдей бұрышпен қисайған болса, онда пирамиданың табанына шеңберді жазуға болады, ал пирамиданың жоғарғы жағы оның ортасына проекцияланады.

Егер бүйірлік беттер негіз жазықтығына бірдей бұрышта қисайса, онда бүйірлік беттердің апотемалары тең болады.

Тұрақты пирамиданың қасиеттері

1. Пирамиданың төбесі негіздің барлық бұрыштарынан бірдей қашықтықта орналасқан.

2. Барлық бүйір жиектер бірдей.

3. Барлық бүйір қабырғалары негізге бірдей бұрышпен еңкейтілген.

4. Барлық бүйір беттердің апотемасы тең.

5. Барлық бүйір беттердің аудандары тең.

6. Барлық беттердің екібұрышты (жалпақ) бұрыштары бірдей.

7. Пирамиданың айналасында шарды сипаттауға болады. Шектелген шардың ортасы шеттердің ортасынан өтетін перпендикулярлардың қиылысу нүктесі болады.

8. Шарды пирамидаға сыйғызуға болады. Шет пен негіз арасындағы бұрыштан шығатын биссектрисалардың қиылысу нүктесі сызылған шардың центрі болады.

9. Іштей сызылған шардың центрі шеңберленген сфераның центрімен сәйкес келсе, онда төбесіндегі жазық бұрыштардың қосындысы π-ке тең немесе керісінше, бір бұрыш π/n-ге тең, мұндағы n - сан. пирамиданың табанындағы бұрыштардың саны.

Пирамида мен шар арасындағы байланыс

Пирамиданың төңірегінде шарды суреттеуге болады, егер пирамиданың негізінде көп қырлы шеңбер болса, оның айналасында шеңберді сипаттауға болады (қажетті және жеткілікті шарт). Шар центрі пирамиданың бүйір шеттерінің орта нүктелері арқылы перпендикуляр өтетін жазықтықтардың қиылысу нүктесі болады.

Кез келген үшбұрышты немесе дұрыс пирамиданың айналасындағы шарды сипаттауға әрқашан болады.

Пирамиданың ішкі екі қырлы бұрыштарының биссектриса жазықтықтары бір нүктеде қиылысатын болса, шарды пирамидаға сызуға болады (қажетті және жеткілікті шарт). Бұл нүкте шардың орталығы болады.

Пирамиданың конуспен қосылуы

Конус пирамидаға сызылған деп аталады, егер олардың төбелері сәйкес келсе, ал конустың табаны пирамида табанына сызылған.

Пирамиданың апотемалары бір-біріне тең болса, конусты пирамидаға жазуға болады.

Конус пирамиданың айналасында сызылған деп аталады, егер олардың төбелері сәйкес келсе және конустың табаны пирамида табанының айналасында шектелген болса.

Конусты пирамиданың айналасында сипаттауға болады, егер пирамиданың барлық бүйір шеттері бір-біріне тең болса.

Пирамида мен цилиндр арасындағы байланыс

Пирамиданың жоғарғы жағы цилиндрдің бір табанында, ал пирамиданың табаны цилиндрдің басқа табанында сызылған болса, оны пирамида цилиндрге сызылған деп атайды.

Пирамиданың табанының айналасында шеңберді сипаттауға болатын болса, цилиндрді пирамиданың айналасында сипаттауға болады.

Анықтама. Кесілген пирамида (пирамидалық призма)пирамида табаны мен табанына параллель қима жазықтығы арасында орналасқан көпбұрыш. Осылайша, пирамиданың негізі үлкенірек және үлкенірекке ұқсас кішірек негізге ие. Бүйір беттері трапеция тәрізді.

Анықтама. Үшбұрышты пирамида (тетраэдр)үш беті мен табаны ерікті үшбұрыштар болатын пирамида.

Тетраэдрдің төрт беті, төрт төбесі және алты қыры бар, мұнда кез келген екі шетінің ортақ төбелері жоқ, бірақ жанаспайды.

Әрбір шың үш жақтан және пайда болатын шеттерден тұрады үшбұрышты бұрыш.

Тетраэдр төбесін қарама-қарсы бетінің центрімен қосатын кесінді деп аталады тетраэдрдің медианасы(GM).

Бимедианжанаспайтын қарама-қарсы шеттердің ортаңғы нүктелерін қосатын сегмент (KL) деп аталады.

Тетраэдрдің барлық бимедиандары мен медианалары бір нүктеде (S) қиылысады. Бұл жағдайда бимедиандар екіге бөлінеді, ал медианалар жоғарыдан бастап 3:1 қатынасында бөлінеді.

Анықтама. Көлбеу пирамидашеттерінің бірі табанымен доғал бұрыш (β) құрайтын пирамида болып табылады.

Анықтама. Тік бұрышты пирамидабүйір беттерінің бірі негізге перпендикуляр болатын пирамида болып табылады.

Анықтама. Сүйір бұрышты пирамида- апотемі негіз жағының ұзындығының жартысынан астамы болатын пирамида.

Анықтама. Доғал пирамида- апотемасы негіз жағының ұзындығының жартысынан аз болатын пирамида.

Анықтама. Тұрақты тетраэдр- барлық төрт беті тең қабырғалы үшбұрыштар болатын тетраэдр. Бұл бес дұрыс көпбұрыштың бірі. Дұрыс тетраэдрде барлық екі қырлы бұрыштар (беттер арасындағы) және үшбұрыштар (төбесінде) тең.

Анықтама. Тік бұрышты тетраэдршыңында үш жиегі арасында тік бұрыш болатын тетраэдр деп аталады (шеттері перпендикуляр). Үш бет қалыптасады тікбұрышты үшбұрышты бұрышжәне беттері тікбұрышты үшбұрыштар, ал негізі ерікті үшбұрыш. Кез келген тұлғаның апотемасы апотем түсетін негіздің жарты жағына тең.

Анықтама. Изоэдрлік тетраэдрбүйір беттері бір-біріне тең, ал табаны дұрыс үшбұрыш болатын тетраэдр деп аталады. Мұндай тетраэдрдің тең қабырғалы үшбұрыштар болып табылатын беттері болады.

Анықтама. Ортоцентрлік тетраэдржоғарыдан қарама-қарсы бетке түсірілген барлық биіктіктер (перпендикулярлар) бір нүктеде қиылысатын тетраэдр деп аталады.

Анықтама. Жұлдызды пирамиданегізі жұлдызды көп қырлы деп атайды.

Анықтама. Бипирамида- екі түрлі пирамидадан тұратын көп қырлы (пирамидаларды кесуге де болады) ортақ жер, ал төбелері базалық жазықтықтың қарама-қарсы жақтарында жатады.