Сызықтық теңсіздіктер. Мысалдармен егжей-тегжейлі теория

Теңсіздік белгішелері туралы не білу керек? Белгішесі бар теңсіздіктер Көбірек (> ), немесе Аздау (< ) деп аталады қатаң.Белгішелермен артық немесе тең (≥ ), аз немесе тең (≤ ) деп аталады қатаң емес.Белгіше тең емес (≠ ) бөлек тұрады, бірақ сонымен бірге осы белгіше арқылы мысалдарды үнемі шешуге тура келеді. Ал біз шешеміз.)

Белгішенің өзі шешім процесіне көп әсер етпейді. Бірақ шешімнің соңында соңғы жауапты таңдағанда, белгішенің мағынасы толық күшінде пайда болады! Міне, біз төменде мысалдарда көретін боламыз. Онда әзілдер бар...

Теңдіктер сияқты теңсіздіктер де бар адал және опасыз.Мұнда бәрі қарапайым, айла жоқ. 5 дейік > 2 – нағыз теңсіздік. 5 < 2 - дұрыс емес.

Бұл дайындық теңсіздіктер үшін жұмыс істейді кез-келгенжәне қорқынышты дәрежеге дейін қарапайым.) Сізге екі (тек екі!) элементар әрекетті дұрыс орындау керек. Бұл әрекеттер бәріне таныс. Бірақ, өзіне тән, бұл әрекеттердегі қателер теңсіздіктерді шешудегі басты қателік болып табылады, иә... Сондықтан бұл әрекеттерді қайталау керек. Бұл әрекеттер келесідей аталады:

Теңсіздіктердің бірдей түрлендірулері.

Теңсіздіктердің бірдей түрлендірулері теңдеулердің бірдей түрлендірулеріне өте ұқсас. Негізі бұл басты мәселе. Айырмашылықтар сіздің басыңыздан өтеді және... міне, сіз.) Сондықтан мен бұл айырмашылықтарды ерекше атап өтемін. Сонымен, теңсіздіктердің бірінші бірдей түрлендіруі:

1. Бірдей санды немесе өрнекті теңсіздіктің екі жағына да қосуға (азайтуға) болады. Кез келген. Бұл теңсіздік белгісін өзгертпейді.

Тәжірибеде бұл ереже таңбаның өзгеруімен теңсіздіктің сол жағынан оңға (және керісінше) терминдерді ауыстыру ретінде қолданылады. Терминнің теңсіздігі емес, таңбасының өзгеруімен! Бірден-бір ережесі теңдеулер ережесімен бірдей. Бірақ теңсіздіктердегі келесі бірдей түрлендірулер теңдеудегілерден айтарлықтай ерекшеленеді. Сондықтан мен оларды қызыл түспен белгілеймін:

2. Теңсіздіктің екі жағын бірдей нәрсеге көбейтуге (бөлуге) боладыоңсаны. Кез келген үшіноң Өзгермейді.

3. Теңсіздіктің екі жағын бірдей нәрсеге көбейтуге (бөлуге) боладытеріссаны. Кез келген үшінтеріссаны. Осыдан теңсіздік белгісікерісінше өзгереді.

Сіз теңдеуді кез келген нәрсеге көбейтуге/бөлуге болатынын есте сақтаңыз (үміттенемін...). Және кез келген сан үшін және Х әрпі бар өрнек үшін. Тек нөл болмаса. Бұл оны жасайды, теңдеу, не ыстық, не суық.) Ол өзгермейді. Бірақ теңсіздіктер көбейтуге/бөлуге аса сезімтал.

Ұзақ есте сақтаудың айқын мысалы. Күмән тудырмайтын теңсіздікті жазайық:

5 > 2

Екі жағын көбейтіңіз +3, Біз алып жатырмыз:

15 > 6

Қарсылықтарыңыз бар ма? Қарсылық жоқ.) Ал егер бастапқы теңсіздіктің екі жағын да көбейтсек -3, Біз алып жатырмыз:

15 > -6

Ал бұл өтірік.) Толық өтірік! Халықты алдау! Бірақ теңсіздік белгісін керісінше ауыстырған кезде бәрі орнына келеді:

15 < -6

Мен тек өтірік пен алдау туралы ант беріп отырған жоқпын.) «Теңдік белгісін өзгертуді ұмытып кетіппін...»- Бұл үйтеңсіздіктерді шешудегі қателер. Бұл елеусіз және қарапайым ереже көптеген адамдарға зиян тигізді! Олар ұмытып кеткен...) Сондықтан мен ант етемін. Мүмкін есімде болар...)

Әсіресе мұқият адамдар теңсіздікті Х әрпі бар өрнекке көбейтуге болмайтынын байқайды. Зейінділерге құрмет!) Неге болмасқа? Жауап қарапайым. Біз бұл өрнектің Х белгісін білмейміз. Ол оң, теріс болуы мүмкін... Сондықтан көбейтуден кейін қай теңсіздік белгісін қоятынымызды білмейміз. Мен оны өзгертуім керек пе, жоқ па? Белгісіз. Әрине, бұл шектеуді (теңсіздікті х бар өрнекке көбейтуге/бөлуге тыйым салу) айналып өтуге болады. Егер сізге шынымен керек болса. Бірақ бұл басқа сабақтарға арналған тақырып.

Бұл теңсіздіктердің барлық бірдей түрлендірулері. Олар жұмыс істейтінін тағы бір рет еске сала кетейін кез келгентеңсіздіктер Енді сіз белгілі бір түрлерге ауыса аласыз.

Сызықтық теңсіздіктер. Шешімі, мысалдары.

Сызықтық теңсіздіктер – х бірінші дәрежеде болатын және х-ке бөлінбейтін теңсіздіктер. Түрі:

x+3 > 5х-5

Мұндай теңсіздіктер қалай шешіледі? Оларды шешу өте оңай! Атап айтқанда: көмегімен біз ең түсініксіз сызықтық теңсіздікті азайтамыз тікелей жауапқа.Бұл шешім. Мен шешімнің негізгі тұстарын бөліп көрсетемін. Ақылсыз қателіктерді болдырмау үшін.)

Мына теңсіздікті шешейік:

x+3 > 5х-5

Біз оны дәл сызықтық теңдеу сияқты шешеміз. Жалғыз айырмашылықпен:

Біз теңсіздік белгісін мұқият қадағалаймыз!

Бірінші қадам - ​​ең көп таралған. Х белгісімен - солға, Хсыз - оңға... Бұл қарапайым және қиындықсыз бірінші бірдей түрлендіру.) Тек тасымалданатын терминдердің белгілерін өзгертуді ұмытпаңыз.

Теңсіздік белгісі қалады:

x-5x > -5-3

Міне, ұқсастары.

Теңсіздік белгісі қалады:

4x > -8

Соңғы бірдей түрлендіруді қолдану қалды: екі жағын -4-ке бөліңіз.

Бөліңіз теріссаны.

Теңсіздік белгісі керісінше өзгереді:

X < 2

Бұл жауап.

Барлық сызықтық теңсіздіктер осылай шешіледі.

Назар аударыңыз! 2-нүкте ақ түсті, яғни. боялмаған. Ішінде бос. Бұл оның жауапқа қосылмағанын білдіреді! Мен оны әдейі сау етіп салдым. Математикадағы мұндай нүкте (бос, сау емес!)) деп аталады тесілген нүкте.

Осьтегі қалған сандарды белгілеуге болады, бірақ қажет емес. Біздің теңсіздігімізге қатысы жоқ бөгде сандар шатастыруы мүмкін, иә... Тек сандар көрсеткі бағытында өсетінін есте сақтау керек, яғни. сандар 3, 4, 5 және т.б. болып табылады Оңғаекі, ал сандар 1, 0, -1, т.б. - Солға.

x теңсіздігі < 2 - қатаң. X екіден қатаң түрде аз. Егер күмәндансаңыз, тексеру оңай. Күмәнді санды теңсіздікке ауыстырамыз және ойлаймыз: «Екі екіден кем? Жоқ, әрине!» Дәл солай. Теңсіздік 2 < 2 дұрыс емес.Оның орнына екі дұрыс емес.

Біреуі жақсы ма? Әрине. Аз... Ал нөл жақсы, ал -17, және 0,34... Иә, екіден аз барлық сандар жақсы! Және тіпті 1,9999.... Аз болса да, бірақ аз!

Ендеше осы сандардың барлығын сан осіне белгілейік. Қалай? Мұнда опциялар бар. Бірінші нұсқа - көлеңкелеу. Біз тінтуірді суреттің үстіне жылжытамыз (немесе планшеттегі суретті түртеміз) және x шартына сәйкес келетін барлық x аймағы көлеңкеленгенін көреміз < 2 . Осымен болды.

Екінші мысалды пайдаланып екінші нұсқаны қарастырайық:

X ≥ -0,5

Ось сызыңыз және -0,5 санын белгілеңіз. Бұл сияқты:

Айырмашылықты байқадыңыз ба?) Иә, байқамау қиын... Бұл нүкте қара! Боялған. Бұл -0,5 дегенді білдіреді жауапқа кіреді.Бұл жерде, айтпақшы, тексеру біреуді шатастыруы мүмкін. ауыстырайық:

-0,5 ≥ -0,5

Қалайша? -0,5 -0,5 артық емес! Және тағы басқа белгіше бар ...

Бәрі жақсы. Әлсіз теңсіздікте белгішеге сәйкес келетіннің бәрі қолайлы. ЖӘНЕ теңжақсы, және Көбірекжақсы. Сондықтан жауапқа -0,5 қосылады.

Сонымен, біз осьте -0,5 деп белгіледік, -0,5-тен жоғары барлық сандарды белгілеу қалады. Бұл жолы мен қолайлы x мәндерінің аймағын белгілеймін тағзым(сөзінен доға), көлеңкеден гөрі. Біз курсорды сызбаның үстіне апарамыз және осы садақты көреміз.

Көлеңке мен қолдар арасында ерекше айырмашылық жоқ. Мұғалімнің айтқанын орындаңыз. Мұғалім жоқ болса, аркаларды сызыңыз. Күрделі тапсырмаларда көлеңкелеу онша айқын емес. Сіз шатастыруыңыз мүмкін.

Осылайша сызықтық теңсіздіктер оське салынады. Теңсіздіктердің келесі қасиетіне көшейік.

Теңсіздіктердің жауабын жазу.

Теңдеулер жақсы болды.) x тауып, жауабын жаздық, мысалы: x=3. Теңсіздіктерде жауап жазудың екі түрі бар. Біреуі соңғы теңсіздік түрінде. Қарапайым істер үшін жақсы. Мысалы:

X< 2.

Бұл толық жауап.

Кейде бір нәрсені, бірақ басқа түрде, сандық аралықпен жазу керек. Содан кейін жазба өте ғылыми болып көрінеді):

x ∈ (-∞; 2)

Белгіше астында ∈ сөз жасырылған «тиісті».

Жазба келесідей оқылады: x минус шексіздіктен екіге дейінгі интервалға жатады қамтымайды. Өте логикалық. X барлық мүмкін сандардан минус шексіздіктен екіге дейінгі кез келген сан болуы мүмкін. Қос X болуы мүмкін емес, бұл сөз бізге айтады «қосылмаған».

Жауаптың қай жерде екені анық «қосылмаған»? Бұл факт жауапта көрсетілген дөңгелекекеуінен кейін бірден жақша. Егер екеуі қосылса, жақша болады шаршы.Мынадай: ]. Келесі мысалда осындай жақша қолданылады.

Жауабын жазып көрейік: x ≥ -0,5 аралықпен:

x ∈ [-0,5; +∞)

Оқиды: x минус 0,5 аралығына жатады, оның ішінде,плюс шексіздікке.

Шексіздікті ешқашан қосу мүмкін емес. Бұл сан емес, символ. Сондықтан мұндай жазбаларда шексіздік әрқашан оған іргелес болады жақша.

Жазудың бұл түрі бірнеше бос орындардан тұратын күрделі жауаптар үшін ыңғайлы. Бірақ - тек соңғы жауаптар үшін. Әрі қарай шешім күтілетін аралық нәтижелерде қарапайым теңсіздік түріндегі әдеттегі пішінді қолданған дұрыс. Біз мұны тиісті тақырыптарда қарастырамыз.

Теңсіздіктері бар танымал тапсырмалар.

Сызықтық теңсіздіктердің өзі қарапайым. Сондықтан тапсырмалар жиі қиындайды. Сондықтан ойлану керек болды. Бұл, егер сіз үйренбеген болсаңыз, бұл өте жағымды емес.) Бірақ бұл пайдалы. Мен осындай тапсырмалардың мысалдарын көрсетемін. Сіз оларды үйрену үшін емес, бұл қажет емес. Және мұндай мысалдарды кездестіргенде қорықпау үшін. Аздап ойланыңыз - бұл қарапайым!)

1. 3x - 3 теңсіздігінің кез келген екі шешімін табыңыз< 0

Не істеу керек екені анық болмаса, математиканың негізгі ережесін есте сақтаңыз:

Егер сізге не қажет екенін білмесеңіз, қолыңыздан келгенін жасаңыз!)

X < 1

Сонымен? Ерекше ештеңе жоқ. Олар бізден не сұрап жатыр? Бізге теңсіздіктің шешімі болып табылатын екі нақты санды табу сұралады. Анау. жауапқа сәйкес келеді. Екі кез келгенсандар. Шындығында, бұл түсініксіз.) 0 және 0,5 жұптары қолайлы. Жұп -3 және -8. Бұл жұптардың саны шексіз! Қай жауап дұрыс?!

Мен жауап беремін: бәрі! Әрқайсысы біреуден кіші кез келген сандар жұбы, дұрыс жауап болады.Қайсысын қалайтыныңызды жазыңыз. Әрі қарай жүрейік.

2. Теңсіздікті шеш:

4x - 3 ≠ 0

Бұл пішіндегі тапсырмалар сирек кездеседі. Бірақ, көмекші теңсіздіктер ретінде, мысалы, ODZ-ті тапқанда немесе функцияның анықталу облысын тапқанда, олар үнемі пайда болады. Мұндай сызықтық теңсіздікті кәдімгі сызықтық теңдеу ретінде шешуге болады. "=" белгісінен басқа барлық жерде ғана ( тең) белгісін қойыңыз ≠ " (тең емес). Теңсіздік белгісі бар жауапқа осылай қарайсыз:

X ≠ 0,75

Көбірек күрделі мысалдар, басқаша жасаған дұрыс. Теңдіктен теңсіздікті жасаңыз. Бұл сияқты:

4x - 3 = 0

Оны үйреткендей жайбарақат шешіп, жауап алыңыз:

x = 0,75

Ең бастысы, ең соңында, соңғы жауапты жазғанда, біз x-ті тапқанымызды ұмытпаңыз, ол береді теңдік.Ал бізге керек - теңсіздік.Сондықтан бізге бұл X керек емес.) Және оны дұрыс таңбамен жазуымыз керек:

X ≠ 0,75

Бұл тәсіл қателерді азайтады. Теңдеулерді автоматты түрде шешетіндер. Ал теңдеулерді шешпейтіндер үшін теңсіздіктер іс жүзінде пайдасыз...) Танымал тапсырманың тағы бір мысалы:

3. Теңсіздіктің ең кіші бүтін шешімін табыңыз:

3(x - 1) < 5x + 9

Алдымен теңсіздікті шешеміз. Жақшаларды ашамыз, жылжытамыз, ұқсастарын әкелеміз... Біз аламыз:

X > - 6

Осылай болған жоқ па!? Сіз белгілерді орындадыңыз ба!? Ал мүшелердің белгілерінің артында, ал теңсіздік белгісінің артында...

Тағы да ойланайық. Жауапқа да, шартқа да сәйкес келетін нақты санды табуымыз керек «ең кіші бүтін сан».Егер бұл сізге бірден түспесе, кез келген нөмірді алып, оны анықтауға болады. Екі минус алтыдан ба? Әрине! Сәйкес кішірек сан бар ма? Әрине. Мысалы, нөл -6-дан үлкен. Және одан да аз? Бізге ең кішкентай нәрсе керек! Минус үш минус алтыдан көп! Сіз үлгіні ұстай аласыз және сандарды ақымақтықпен қарауды тоқтата аласыз, солай ма?)

-6-ға жақын санды алайық. Мысалы, -5. Жауабы орындалды, -5 > - 6. -5-тен кіші, бірақ -6-дан үлкен басқа санды табуға болады ма? Сіз, мысалы, -5,5... Тоқтаңыз! Бізге айтылады тұтасшешім! Айналмайды -5,5! Минус алты ше? Ух! Теңсіздік қатаң, минус 6 минус 6-дан кем емес!

Сондықтан дұрыс жауап -5.

Мәндерді таңдау арқылы үміттенеміз жалпы шешімбәрі түсінікті. Тағы бір мысал:

4. Теңсіздікті шеш:

7 < 3x+1 < 13

Апыр-ай! Бұл өрнек деп аталады үштік теңсіздік.Қатаң айтқанда, бұл теңсіздіктер жүйесінің қысқартылған түрі. Бірақ мұндай үштік теңсіздіктерді кейбір тапсырмаларда әлі де шешуге тура келеді... Оны ешқандай жүйесіз шешуге болады. Бірдей түрлендірулер бойынша.

Жеңілдету керек, бұл теңсіздікті таза X-ке келтіру керек. Бірақ... Нені қайда көшіру керек?! Міне, солға және оңға жылжу екенін есте сақтаудың уақыты келді қысқа нысаныбірінші сәйкестендіру трансформациясы.

Ал толық пішін келесідей естіледі: Кез келген санды немесе өрнекті теңдеудің екі жағына да қосуға/азайтуға болады (теңсіздік).

Мұнда үш бөлік бар. Сондықтан біз барлық үш бөлікке бірдей түрлендірулерді қолданамыз!

Олай болса, теңсіздіктің ортаңғы бөлігін алып тастаймыз. Бүкіл ортаңғы бөліктен біреуін шегерейік. Теңсіздік өзгермеуі үшін қалған екі бөліктен бір бөлікті алып тастаймыз. Бұл сияқты:

7 -1< 3x+1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

Бұл жақсы, солай ма?) Барлық үш бөлікті үшке бөлу ғана қалды:

2 < X < 4

Осымен болды. Бұл жауап. X екіден (қосылмаған) төртке (қосылмаған) кез келген сан болуы мүмкін. Бұл жауап аралықпен де жазылады; мұндай жазбалар квадрат теңсіздіктерде болады. Мұнда олар ең көп таралған нәрсе.

Сабақтың соңында ең маңыздысын қайталаймын. Сызықтық теңсіздіктерді шешудегі табыс сызықтық теңдеулерді түрлендіру және жеңілдету қабілетіне байланысты. Егер бір уақытта теңсіздік белгісін қараңыз,ешқандай проблемалар болмайды. Саған тілерім осы. Мәселе жоқ.)

Егер сізге бұл сайт ұнаса...

Айтпақшы, менде тағы бірнеше қызықты сайттар бар.)

Мысалдар шешуге жаттығып, өз деңгейіңізді білуге ​​болады. Жедел тексеру арқылы тестілеу. Үйренейік - қызығушылықпен!)

Функциялармен және туындылармен танысуға болады.

Теңсіздіксандар, айнымалылар немесе өрнектер таңба арқылы байланысқан жазба<, >, немесе . Яғни, теңсіздікті сандарды, айнымалыларды немесе өрнектерді салыстыру деп атауға болады. Белгілер < , > , ⩽ Және ⩾ деп аталады теңсіздік белгілері.

Теңсіздіктердің түрлері және олардың оқылу жолы:

Мысалдардан көрініп тұрғандай, барлық теңсіздіктер екі бөліктен тұрады: сол және оң, теңсіздік белгілерінің бірімен байланысқан. Теңсіздіктердің бөліктерін байланыстыратын белгісіне қарай қатаң және қатаң емес болып бөлінеді.

Қатаң теңсіздіктер- бөліктері таңба арқылы байланысқан теңсіздіктер< или >. Қатаң емес теңсіздіктер- бөліктері немесе белгісімен байланысатын теңсіздіктер.

Алгебрадағы салыстырудың негізгі ережелерін қарастырайық:

• Кез келген оң сан нөлден үлкен.
• Кез келген теріс сан нөлден кіші.
• Екі теріс санның абсолютті мәні кішірекі үлкен болады. Мысалы, -1 > -7.
• аЖәне боң:

  а - б > 0,

  Бұл аКөбірек б (а > б).

• Екі тең емес санның айырмасы болса аЖәне бтеріс:

  а - б < 0,

  Бұл аАздау б (а < б).

• Егер сан нөлден үлкен болса, онда ол оң болады:

  а> 0, яғни а- оң сан.

• Егер сан нөлден кіші болса, онда ол теріс болады:

  а < 0, значит а- теріс сан.

Эквивалентті теңсіздіктер- басқа теңсіздіктердің салдары болып табылатын теңсіздіктер. Мысалы, егер аАздау б, Бұл бКөбірек а:

а < бЖәне б > а- эквивалентті теңсіздіктер

Теңсіздіктердің қасиеттері

1. Егер теңсіздіктің екі жағына бірдей санды қосса немесе екі жағынан бірдей санды азайтса, эквивалентті теңсіздік шығады, яғни

   Егер а > б, Бұл а + в > б + в Және а - в > б - в

   Бұдан шығатыны, қарама-қарсы таңбалы теңсіздік мүшелерін бір бөліктен екінші бөлікке ауыстыруға болады. Мысалы, теңсіздіктің екі жағына қосу а - б > в - г Авторы г, Біз алып жатырмыз:

   а - б > в - г

   а - б + г > в - г + г

   а - б + г > в

2. Егер теңсіздіктің екі жағы да бірдей оң санға көбейтілсе немесе бөлінсе, онда эквивалентті теңсіздік шығады, яғни
3. Егер теңсіздіктің екі жағы да бірдей теріс санға көбейтілсе немесе бөлінсе, онда берілгенге қарама-қарсы теңсіздік шығады, яғни теңсіздіктің екі бөлігін де теріс санға көбейткенде немесе бөлгенде таңба теңсіздікті керісінше өзгерту керек.

   Бұл қасиет екі жағын -1-ге көбейту және теңсіздіктің таңбасын керісінше өзгерту арқылы теңсіздіктің барлық мүшелерінің белгілерін өзгерту үшін қолданылады:

   -а + б > -в

   (-а + б) · -1< (-в) · -1

   а - б < в

   Теңсіздік -а + б > -в теңсіздікке тең а - б < в

Мысалы, теңсіздік \(x>5\) өрнегі болып табылады.

Теңсіздіктердің түрлері:

Егер \(a\) және \(b\) сандар немесе , онда теңсіздік шақырылады сандық. Бұл шын мәнінде екі санды салыстыру. Мұндай теңсіздіктер бөлінеді адалЖәне опасыз.

Мысалы:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\(17+3\geq 115\) қате сандық теңсіздік, себебі \(17+3=20\) және \(20\) \(115\) мәнінен кіші (және одан үлкен немесе тең емес) .

Егер \(a\) және \(b\) айнымалысы бар өрнектер болса, онда бізде бар айнымалысы бар теңсіздік. Мұндай теңсіздіктер мазмұнына қарай түрлерге бөлінеді:

\(2x+1\geq4(5-x)\)				Бірінші қуатқа ғана айнымалы
\(3x^2-x+5>0\)				Екінші дәрежеде (квадрат) айнымалы бар, бірақ одан жоғары дәрежелер (үшінші, төртінші және т.б.) жоқ.
\(\log_(4)((x+1))<3\)
\(2^(x)\leq8^(5x-2)\)

... тағыда басқа.

Теңсіздіктің шешімі қандай?

Теңсіздікке айнымалының орнына санды қойсаңыз, ол санға айналады.

Егер х үшін берілген мән бастапқы теңсіздікті шынайы санға айналдырса, онда ол деп аталады теңсіздіктің шешімі. Олай болмаса, бұл мән шешім емес. Және теңсіздікті шешу– оның барлық шешімдерін табу керек (немесе олардың жоқтығын көрсету).

Мысалы,\(7\) санын \(x+6>10\) сызықтық теңсіздігіне қойсақ, дұрыс сандық теңсіздікті аламыз: \(13>10\). Ал \(2\) орнына қойсақ, \(8>10\) қате сандық теңсіздік пайда болады. Яғни, \(7\) бастапқы теңсіздіктің шешімі, бірақ \(2\) емес.

Алайда \(x+6>10\) теңсіздігінің басқа шешімдері бар. Шынында да, \(5\), және \(12\), \(138\) орнына қойғанда дұрыс сандық теңсіздіктерді аламыз... Және барлық мүмкін болатын шешімдерді қалай табуға болады? Бұл үшін олар пайдаланады Біздің жағдайымыз үшін бізде:

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

Яғни, төрттен жоғары кез келген сан бізге сәйкес келеді. Енді жауабын жазу керек. Теңсіздіктердің шешімдері әдетте сандық түрде жазылады, оларды қосымша көлеңкелеу арқылы сандар осінде белгілейді. Біздің жағдайда бізде:

Жауап: \(x\in(4;+\infty)\)

Теңсіздік белгісі қашан өзгереді?

Студенттер шынымен «жақсы көретін» теңсіздіктердің бір үлкен тұзағы бар:

Теңсіздікті теріс санға көбейткенде (немесе бөлгенде) ол кері болады («көп» «кем», «көп немесе тең» «кіші немесе тең» және т.б.)

Неліктен бұл болып жатыр? Мұны түсіну үшін \(3>1\) сандық теңсіздігінің түрлендірулерін қарастырайық. Бұл дұрыс, үш саны біреуден үлкен. Алдымен оны кез келген оң санға көбейтіп көрейік, мысалы, екі:

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

Көріп отырғанымыздай, көбейтуден кейін теңсіздік ақиқат болып қалады. Және қандай оң санға көбейтсек те, біз әрқашан дұрыс теңсіздікті аламыз. Енді теріс санға көбейтіп көрейік, мысалы, минус үш:

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

Нәтижесі дұрыс емес теңсіздік, өйткені минус тоғыз минус үштен кем! Яғни, теңсіздік ақиқат болуы үшін (сондықтан, көбейтіндінің теріске айналуы «заңды» болды) салыстыру белгісін келесідей өзгерту керек: \(−9<− 3\).
Бөлу кезінде ол дәл осылай жұмыс істейді, оны өзіңіз тексере аласыз.

Жоғарыда жазылған ереже тек сандық емес теңсіздіктердің барлық түрлеріне қолданылады.

Мысалы: \(2(x+1)-1) теңсіздігін шешіңіз<7+8x\)
Шешімі:

\(2x+2-1<7+8x\)	Таңбаларды өзгертуді ұмытпай, \(8x\) солға, ал \(2\) және \(-1\) оңға жылжайық.
\(2x-8x<7-2+1\)
\(-6x<6\) \(|:(-6)\)	Теңсіздіктің екі жағын да \(-6\-ға бөлейік, "аздан" "көпке" өзгертуді ұмытпаймыз.
	Осьте сандық интервалды белгілейік. Теңсіздік, сондықтан біз \(-1\) мәннің өзін «шығарып» аламыз және оны жауап ретінде қабылдамаймыз.
	Жауабын интервал ретінде жазайық

Жауап: \(x\in(-1;\infty)\)

Теңсіздіктер және мүгедектік

Теңсіздіктер, теңдеулер сияқты, -ға, яғни x мәндеріне шектеулер қоюы мүмкін. Тиісінше, DZ сәйкес қабылданбайтын мәндер шешімдер ауқымынан шығарылуы керек.

Мысалы: \(\sqrt(x+1) теңсіздігін шешіңіз.<3\)

Шешімі: Сол жақтың \(3\) кіші болуы үшін, радикалды өрнек \(9\)-ден кіші болуы керек екені анық (әйткені \(9\)-дан \(3\)). Біз алып жатырмыз:

\(x+1<9\) \(|-1\)
\(x<8\)

Барлық? \(8\) мәнінен кіші x мәні бізге сәйкес келе ме? Жоқ! Өйткені, мысалы, талапқа сәйкес келетін \(-5\) мәнін алсақ, ол бастапқы теңсіздіктің шешімі болмайды, өйткені ол теріс санның түбірін есептеуге әкеледі.

\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)

Сондықтан, біз X мәніне қатысты шектеулерді де ескеруіміз керек - бұл түбірдің астында теріс сан болатындай болуы мүмкін емес. Осылайша, бізде x үшін екінші талап бар:

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

Ал х соңғы шешім болуы үшін ол екі талапты бірден қанағаттандыруы керек: ол \(8\) (шешім болуы үшін) және \(-1\) мәнінен үлкен болуы керек (негізінде рұқсат етілген). Оны сандар сызығына салып, бізде соңғы жауап бар:

Жауап: \(\сол[-1;8\оң)\)

Құпиялықты сақтау біз үшін маңызды. Осы себепті біз сіздің ақпаратыңызды қалай пайдаланатынымызды және сақтайтынымызды сипаттайтын Құпиялылық саясатын әзірледік. Құпиялылық тәжірибелерімізді қарап шығыңыз және сұрақтарыңыз болса, бізге хабарлаңыз.

Жеке ақпаратты жинау және пайдалану

Жеке ақпарат белгілі бір адамды анықтау немесе байланысу үшін пайдаланылуы мүмкін деректерге жатады.

Бізбен байланысқан кез келген уақытта сізден жеке ақпаратыңызды беру сұралуы мүмкін.

Төменде біз жинай алатын жеке ақпарат түрлерінің және мұндай ақпаратты қалай пайдалана алатынымыздың кейбір мысалдары берілген.

Біз қандай жеке ақпаратты жинаймыз:

• Сайтта өтініш жіберген кезде біз әртүрлі ақпаратты, соның ішінде атыңызды, телефон нөміріңізді, электрондық пошта мекенжайыңызды және т.б. жинай аламыз.

Жеке ақпаратыңызды қалай қолданамыз:

• Біз жинайтын жеке ақпарат бізге бірегей ұсыныстар, жарнамалық акциялар және басқа оқиғалар мен алдағы оқиғалар туралы сізбен байланысуға мүмкіндік береді.
• Уақыт өте келе біз сіздің жеке ақпаратыңызды маңызды хабарламалар мен хабарламаларды жіберу үшін пайдалана аламыз.
• Сондай-ақ біз жеке ақпаратты біз ұсынатын қызметтерді жақсарту және қызметтерімізге қатысты ұсыныстар беру үшін аудиттер жүргізу, деректерді талдау және әртүрлі зерттеулер сияқты ішкі мақсаттарда пайдалана аламыз.
• Егер сіз ұтыс ойынына, конкурсқа немесе ұқсас науқанға қатыссаңыз, біз сіз берген ақпаратты осындай бағдарламаларды басқару үшін пайдалана аламыз.

Ақпаратты үшінші тұлғаларға ашу

Біз сізден алынған ақпаратты үшінші тұлғаларға жария етпейміз.

Ерекшеліктер:

• Қажет болған жағдайда - заңға сәйкес, сот тәртібімен, сот ісін жүргізуде және/немесе Ресей Федерациясының мемлекеттік органдарының қоғамдық сұраныстары немесе сұраулары негізінде - жеке мәліметтеріңізді жария ету. Сондай-ақ, мұндай ашу қауіпсіздік, құқық қорғау немесе басқа да қоғамдық маңызды мақсаттар үшін қажет немесе сәйкес екенін анықтасақ, сіз туралы ақпаратты аша аламыз.
• Қайта ұйымдастыру, біріктіру немесе сату жағдайында біз жинаған жеке ақпаратты тиісті мұрагерге үшінші тарапқа бере аламыз.

Жеке ақпаратты қорғау

Біз сіздің жеке ақпаратыңызды жоғалудан, ұрланудан және теріс пайдаланудан, сондай-ақ рұқсатсыз кіруден, жария етуден, өзгертуден және жоюдан қорғау үшін сақтық шараларын, соның ішінде әкімшілік, техникалық және физикалық шараларды қабылдаймыз.

Компания деңгейінде құпиялылығыңызды құрметтеу

Сіздің жеке ақпаратыңыздың қауіпсіз болуын қамтамасыз ету үшін біз қызметкерлерге құпиялылық пен қауіпсіздік стандарттарын хабарлаймыз және құпиялылық тәжірибесін қатаң түрде орындаймыз.

Теңсіздіктердің анықтамасы және негізгі қасиеттері.

Анықтамалар:

Теңсіздіктер форманың өрнектері деп аталады а ≤ b) ,a>b (a ≥ b) ,

Қайда аЖәне бсандар немесе функциялар болуы мүмкін.

Рәміздер<(≤ ) , >( ≥ ) деп аталадытеңсіздік белгілеріжәне сәйкесінше оқыңыз:

аз (кіші немесе тең), үлкен (үлкен немесе тең).

> және таңбалары арқылы жазылатын теңсіздіктер< ,называются қатаң,

және белгілері бар теңсіздіктер≥ және ≤,-қатаң емес.

Пішіннің теңсіздіктері а деп аталадықос теңсіздіктер

және сәйкесінше оқыңыз: xКөбірек а, бірақ аз б (xартық немесе тең а, бірақ аз немесе тең б ).

Теңсіздіктің екі түрі бар:сандық ( 2>0,7;½<6 ) Жәнеайнымалысы бар теңсіздіктер (5 x-40>0 ; x²-2x<0 ) .

Сандық теңсіздіктердің қасиеттері:

• Егер a>b, Бұл б ; Егер а , Бұл b>a .
• Егер а Және б , Бұл а .
• Егер а Және в- онда кез келген сан a+c .
• Егер а Және c>0, Бұл ак Егер а және с<0, то ac>bc.
• Егер а Және в , Бұл a+c .
• Егер а Және в , мұндағы a, b, c, d оң сандар, онда ак .

Сандық интервалдар

Теңсіздік	Сандық интервал	Аты алшақтық	Геометриялық түсіндіру
		a және b,a ұштары бар тұйық интервал (сегмент).
		a және b,a ұштары бар ашық аралық (интервал).
		a және b,a ұштары бар жартылай ашық интервалдар (жартылай интервалдар).
		шексіз интервалдар (сәулелер)
		шексіз интервалдар (ашық сәулелер)
		шексіз интервал (сан сызығы)

ТУРАЛЫ негізгі анықтамалары мен қасиеттері.

Анықтамалар :

Теңсіздікті шешу бір айнымалымен айнымалының мәні шақырылады,

мысық Бұл оны шынайы сандық теңсіздікке айналдырады.

Теңсіздікті шешу- оның барлық шешімдерін табу немесе шешімдердің жоқтығын дәлелдеу дегенді білдіреді.

Шешімдері бірдей теңсіздіктер деп аталадыэквивалент.

Шешімі жоқ теңсіздіктер де эквивалент деп саналады.

Теңсіздіктерді шешу кезінде мыналар қолданыладықасиеттері :

1) Теңсіздіктің бір бөлігіне көшсек

қарама-қарсы таңбалы басқа термин,

2) Теңсіздіктің екі жағы да көбейтілсе немесе

бірдей оң санға бөлу,

онда біз оған эквивалентті теңсіздікті аламыз.

3) Теңсіздіктің екі жағы да көбейтілсе немесе

бірдей теріс санға бөлу,

теңсіздік белгісін өзгерту қарама-қарсы,

онда біз оған эквивалентті теңсіздікті аламыз.

Трансформация процесіндегі көптеген теңсіздіктер сызықтық теңсіздіктерге дейін қысқарады.

Нпішіннің теңдігі ah> б(О , ҚайдаА Жәнеб - кейбір сандар

Қоңырау шалды бір айнымалысы бар сызықтық теңсіздіктер.

Егер a>0 , содан кейін теңсіздік ax>bэквиваленттеңсіздік

және көптеген шешімдертеңсіздіктер арасында алшақтық бар

Егер а<0 , содан кейін теңсіздік ax>bтеңсіздікке тең

және көптеген шешімдертеңсіздіктер арасында алшақтық бар

теңсіздік формасын алады 0∙ x>b, яғни. оның шешімдері жоқ , Егер b≥0,

және кез келген үшін дұрыс x,Егер б<0 .

Бір айнымалысы бар теңсіздіктерді шешудің аналитикалық әдісі.

Бір айнымалысы бар теңсіздіктерді шешу алгоритмі

• Теңсіздіктің екі жағын да түрлендіру.
• Ұқсас шарттарды көрсетіңіз.
• Теңсіздіктердің қасиеттеріне сүйене отырып, теңсіздіктерді қарапайым түріне келтіру.
• Жауабын жазыңыз.

Теңсіздіктерді шешуге мысалдар келтірейік .

1-мысал. Шешіңіз 3x≤ 15 теңсіздігі бар.

Шешімі:

ТУРАЛЫтеңсіздік бөліктері жоқ

Рбөлейік оң 3 санына(2-мүлік): x ≤ 5.

Теңсіздіктің шешімдер жиыны (-∞;5] ) сандық интервалмен берілген.

Жауап:(- ∞;5]

Мысал 2 . Шешіңіз -10 x≥34 теңсіздігі бар.

Шешімі:

ТУРАЛЫтеңсіздік бөліктері жоқРбөлейік теріс санға -10,

бұл жағдайда теңсіздік белгісін керісінше өзгертеміз(мүлік 3) : x ≤ - 3,4.

Теңсіздіктің шешімдер жиыны (-∞;-3,4] аралықпен берілген.

Жауап: (-∞;-3,4] .

3-мысал. Шешіңіз 18+6x>0 теңсіздігі бар.

Шешімі:

Қарама-қарсы таңбалы 18 мүшесін теңсіздіктің сол жағына жылжытайық(1-қасиет): 6x>-18.

Екі жағын 6-ға бөліңіз (мүлік 2):

x>-3.

Теңсіздіктің шешімдер жиыны (-3;+∞) интервалымен берілген.

Жауап: (-3;+∞ ).

4-мысал.Шешіңіз 3 (x-2)-4(x+2) теңсіздігі бар<2(x-3)-2.

Шешімі:

Жақшаларды ашайық: 3х-6-4х-8<2x-6-2 .

Құрамында белгісізі бар мүшелерді сол жаққа жылжытайық,

және белгісізді қамтымайтын терминдер оң жаққа (мүлік 1) :

3x-4x-2x<6+8-6-2.

Міне, бірнеше ұқсас терминдер:-3x<6.

Екі жағын -3-ке бөліңіз (мүлік 3) :

x>-2.

Теңсіздіктің шешімдер жиыны (-2;+∞) интервалымен берілген.

Жауап: (-2;+∞ ).

Мысал 5 . Шешіңіз теңсіздік бар

Шешімі:

Теңсіздіктің екі жағын да бөлшектердің ең кіші ортақ бөліміне көбейтейік,

теңсіздікке, яғни 6-ға қосылады(мүлік 2).

Біз алып жатырмыз:

,

2x-3x≤12.

Осы жерден, - x≤12,x≥-12 .

Жауап: [ -12;+∞ ).

Мысал 6 . Шешіңіз 3(2-х)-2>5-3х теңсіздігі бар.

Шешімі:

6-3х-2>5-3х, 4-3х>5-3х,-3х+3х>5-4.

Ұқсас мүшелерді теңсіздіктің сол жағына беріп, нәтижесін 0 түрінде жазайық∙ x>1.

Алынған теңсіздіктің шешімі жоқ, өйткені кез келген х мәні үшін

ол 0 сандық теңсіздігіне айналады< 1, не являющееся верным.

Бұл оған эквивалентті берілген теңсіздіктің шешімі жоқ дегенді білдіреді.

Жауап:шешімдер жоқ.

Мысал 7 . Шешіңіз 2(x+1)+5>3-(1-2x) теңсіздігі бар.

Шешімі:

Жақшаларды ашу арқылы теңсіздікті жеңілдетейік:

2x+2+5>3-1+2x, 2x+7>2+2x,2x-2x>2-7, 0∙ x>-5.

Алынған теңсіздік х-тің кез келген мәні үшін дұрыс,

өйткені кез келген х үшін сол жағы нөлге тең және 0>-5.

Теңсіздіктің шешімдер жиыны (-∞;+∞) интервалы болып табылады.

Жауап:(-∞;+∞ ).

Мысал 8 . x-тің қандай мәндерінде өрнек мағынасы бар:

б)

Шешімі:

а) Арифметикалық квадрат түбірдің анықтамасы бойынша

келесі теңсіздікті қанағаттандыру керек 5x-3 ≥0.

Шеше отырып, 5x≥3, x≥0,6 аламыз.

Сонымен, бұл өрнек аралықтағы барлық x үшін мағынасы бар)