Жүйеде бір ғана шешім болғанда. Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу

Анық болғандай Крамер теоремасы, жүйені шешу кезінде сызықтық теңдеулерҮш жағдай болуы мүмкін:

Бірінші жағдай: сызықтық теңдеулер жүйесінің бірегей шешімі бар

(жүйе тұрақты және белгілі)

Екінші жағдай: сызықтық теңдеулер жүйесінің шешімдерінің шексіз саны бар

(жүйе тұрақты және белгісіз)

** ,

анау. белгісіздер мен бос мүшелердің коэффициенттері пропорционал.

Үшінші жағдай: сызықтық теңдеулер жүйесінің шешімі жоқ

(жүйе сәйкес емес)

Сонымен жүйе мбар сызықтық теңдеулер nайнымалылар деп аталады бірлескен емес, егер оның жалғыз шешімі болмаса, және буын, егер оның кем дегенде бір шешімі болса. Шешімі бір ғана теңдеулер жүйесі деп аталады белгілі, және біреуден көп – белгісіз.

Крамер әдісі арқылы сызықтық теңдеулер жүйесін шешу мысалдары

Жүйе берілсін

.

Крамер теоремасы негізінде

………….
,

Қайда
-

жүйенің анықтаушысы. Қалған анықтауыштарды бағанды ​​сәйкес айнымалының коэффициенттерімен (белгісіз) бос мүшелермен ауыстыру арқылы аламыз:

2-мысал.

.

Демек, жүйе белгілі. Оның шешімін табу үшін анықтауыштарды есептейміз

Крамер формулаларын пайдалана отырып, біз табамыз:

Сонымен, (1; 0; -1) жүйенің жалғыз шешімі болып табылады.

3 X 3 және 4 X 4 теңдеулер жүйесінің шешімдерін тексеру үшін Крамердің шешу әдісін қолданатын онлайн калькуляторды пайдалануға болады.

Егер сызықтық теңдеулер жүйесінде бір немесе бірнеше теңдеулерде айнымалылар болмаса, онда анықтауышта сәйкес элементтер нөлге тең! Бұл келесі мысал.

3-мысал.Крамер әдісі арқылы сызықтық теңдеулер жүйесін шешіңіз:

.

Шешім. Жүйенің анықтауышын табамыз:

Теңдеулер жүйесіне және жүйенің анықтауышына мұқият қарап, анықтауыштың бір немесе бірнеше элементтері нөлге тең болған жағдайда сұраққа жауапты қайталаңыз. Демек, анықтауыш нөлге тең емес, сондықтан жүйе анықталған. Оның шешімін табу үшін белгісіздердің анықтауыштарын есептейміз

Крамер формулаларын пайдалана отырып, біз табамыз:

Сонымен, жүйенің шешімі (2; -1; 1) болады.

6. Сызықтық алгебралық теңдеулердің жалпы жүйесі. Гаусс әдісі.

Біздің есімізде, Крамер ережесі мен матрицалық әдіс жүйенің шешімдері шексіз көп немесе сәйкес келмейтін жағдайларда жарамсыз. Гаусс әдісі – кез келген сызықтық теңдеулер жүйесінің шешімін табудың ең қуатты және әмбебап құралы, қай әрбір жағдайдабізді жауапқа жетелейді! Әдіс алгоритмінің өзі үш жағдайда да бірдей жұмыс істейді. Егер Крамер және матрицалық әдістер анықтауыштарды білуді қажет етсе, Гаусс әдісін қолдану үшін тек арифметикалық амалдарды білу қажет, бұл оны мектеп оқушылары үшін де қолжетімді етеді. бастауыш сыныптар.

Алдымен сызықтық теңдеулер жүйесі туралы аздаған білімді жүйелеп алайық. Сызықтық теңдеулер жүйесі:

1) Бірегей шешімге ие болыңыз.
2) Шешімі шексіз көп.
3) Шешім жоқ (бол бірлескен емес).

Гаусс әдісі шешімді табудың ең күшті және әмбебап құралы болып табылады кез келгенсызықтық теңдеулер жүйесі. Есімізде болса, Крамер ережесі және матрицалық әдісЖүйеде шексіз көп шешімдер бар немесе сәйкес келмейтін жағдайларда жарамсыз. Ал белгісіздерді тізбектей жою әдісі Бәрібірбізді жауапқа жетелейді! Бұл сабақта біз №1 жағдай үшін Гаусс әдісін қайта қарастырамыз (жүйенің жалғыз шешімі), мақала No2-3 тармақтардың жағдайларына арналған. Әдістің алгоритмі үш жағдайда да бірдей жұмыс істейтінін ескертемін.

Қайта оралайық ең қарапайым жүйесыныптан Сызықтық теңдеулер жүйесін қалай шешуге болады?
және оны Гаусс әдісімен шешу.

Бірінші қадам - ​​жазу кеңейтілген жүйе матрицасы:
. Коэффициенттер қандай принциппен жазылғанын бәрі көре алады деп ойлаймын. Матрицаның ішіндегі тік сызықтың ешқандай математикалық мәні жоқ - бұл дизайнның қарапайымдылығы үшін жай ғана сызылған сызық.

Анықтама:Есте сақтауды ұсынамын шарттарсызықтық алгебра. Жүйе матрицасытек белгісіздерге арналған коэффициенттерден тұратын матрица, бұл мысалда жүйенің матрицасы: . Кеңейтілген жүйе матрицасы– бұл жүйенің бірдей матрицасы және бос терминдер бағанасы, бұл жағдайда: . Қысқалық үшін матрицалардың кез келгенін жай матрица деп атауға болады.

Кеңейтілген жүйе матрицасы жазылғаннан кейін онымен кейбір әрекеттерді орындау қажет, олар да деп аталады. элементарлық түрлендірулер.

Келесі элементар түрлендірулер бар:

1) Жолдарматрицалар қайта реттеуге боладыкейбір жерлерде. Мысалы, қарастырылып жатқан матрицада сіз бірінші және екінші жолдарды ауыртпалықсыз қайта реттей аласыз:

2) Егер матрицада пропорционалды (ерекше жағдайда - бірдей) жолдар болса (немесе пайда болса), онда сіз жоюБіреуін қоспағанда, бұл жолдардың барлығы матрицадан. Мысалы, матрицаны қарастырайық . Бұл матрицада соңғы үш жол пропорционалды, сондықтан олардың біреуін ғана қалдыру жеткілікті: .

3) Егер түрлендірулер кезінде матрицада нөлдік жол пайда болса, онда ол да болуы керек жою. Мен сызбаймын, әрине, нөлдік сызық - бұл сызық барлық нөлдер.

4) Матрица жолы болуы мүмкін көбейту (бөлу)кез келген нөмірге нөл емес. Мысалы, матрицаны қарастырайық. Мұнда бірінші жолды –3-ке бөліп, екінші жолды 2-ге көбейткен жөн: . Бұл әрекет өте пайдалы, себебі ол матрицаның әрі қарай түрлендірулерін жеңілдетеді.

5) Бұл түрлендіру ең көп қиындықтарды тудырады, бірақ іс жүзінде күрделі ештеңе жоқ. Матрицаның жолына болады санға көбейтілген басқа жолды қосыңыз, нөлден өзгеше. Практикалық мысалдан матрицамызды қарастырайық: . Алдымен мен трансформацияны егжей-тегжейлі сипаттаймын. Бірінші жолды –2-ге көбейтіңіз: , Және екінші жолға бірінші жолды –2 көбейтіндісін қосамыз: . Енді бірінші жолды «артқа» –2-ге бөлуге болады: . Көріп отырғаныңыздай, ҚОСЫЛҒАН жол LI – өзгерген жоқ. ӘрқашанҚОСЫЛҒАН жол өзгереді UT.

Іс жүзінде, әрине, олар оны егжей-тегжейлі жазбайды, бірақ қысқаша жазады:

Тағы да: екінші жолға –2-ге көбейтілген бірінші жолды қосты. Жол әдетте ауызша немесе жобада көбейтіледі, ойша есептеу процесі келесідей болады:

«Мен матрицаны қайта жазамын және бірінші жолды қайта жазамын: »

«Бірінші баған. Төменгі жағында мен нөлді алуым керек. Сондықтан жоғарыдағыны –2: ге көбейтіп, екінші жолға біріншісін қосамын: 2 + (–2) = 0. Нәтижені екінші жолға жазамын: »

«Енді екінші баған. Жоғарғы жағында -1-ді -2-ге көбейтемін: . Екінші жолға біріншісін қосамын: 1 + 2 = 3. Нәтижені екінші жолға жазамын: »

«Ал үшінші баған. Жоғарғы жағында -5-ті -2-ге көбейтемін: . Екінші жолға біріншісін қосамын: –7 + 10 = 3. Нәтижені екінші жолға жазамын: »

Осы мысалды мұқият түсініп, дәйекті есептеу алгоритмін түсініңіз, егер сіз мұны түсінсеңіз, онда Гаусс әдісі іс жүзінде қалтаңызда. Бірақ, әрине, біз бұл трансформация бойынша әлі де жұмыс істейтін боламыз.

Элементар түрлендірулер теңдеулер жүйесінің шешімін өзгертпейді

! НАЗАР АУДАРЫҢЫЗ: қарастырылатын манипуляциялар пайдалана алмайды, егер сізге матрицалар «өздігінен» берілетін тапсырма ұсынылса. Мысалы, «классикалық» матрицалармен амалдарЕшбір жағдайда матрицалардың ішіндегі ештеңені қайта реттеуге болмайды!

Жүйемізге оралайық. Ол іс жүзінде бөліктерге бөлінеді.

Жүйенің кеңейтілген матрицасын жазып алайық және элементар түрлендірулерді қолданып, оны азайтайық сатылы көрініс:

(1) Бірінші жол екінші жолға қосылып, –2-ге көбейтілді. Және тағы да: неге бірінші жолды –2-ге көбейтеміз? Төменгі жағында нөлге жету үшін, бұл екінші жолдағы бір айнымалыдан құтылуды білдіреді.

(2) Екінші жолды 3-ке бөліңіз.

Элементарлы түрлендірулердің мақсаты – матрицаны қадамдық пішінге келтіріңіз: . Тапсырманы құрастыру кезінде олар қарапайым қарындашпен «баспалдақтарды» белгілейді, сонымен қатар «қадамдарда» орналасқан сандарды айналдырады. «Қадамдық көзқарас» терминінің өзі толығымен теориялық емес, ғылыми және оқу әдебиетіжиі аталады трапеция тәрізді көрініснемесе үшбұрышты көрініс.

Элементарлы түрлендірулер нәтижесінде біз алдық эквивалентбастапқы теңдеулер жүйесі:

Енді жүйені қарама-қарсы бағытта «тарату» керек - төменнен жоғарыға дейін бұл процесс деп аталады Гаусс әдісіне кері.

Төменгі теңдеуде бізде дайын нәтиже бар: .

Жүйенің бірінші теңдеуін қарастырайық және оған бұрыннан белгілі «y» мәнін қоямыз:

Гаусс әдісі үш белгісізі бар үш сызықтық теңдеулер жүйесін шешуді талап ететін ең жиі кездесетін жағдайды қарастырайық.

1-мысал

Гаусс әдісімен теңдеулер жүйесін шешіңіз:

Жүйенің кеңейтілген матрицасын жазайық:

Енді мен шешімді шешу кезінде келетін нәтижені бірден шығарамын:

Тағы да айтамын, біздің мақсатымыз – элементар түрлендірулерді қолдана отырып, матрицаны сатылы пішінге келтіру. Неден бастау керек?

Алдымен сол жақ жоғарғы санға қараңыз:

Әрқашан дерлік осында болуы керек бірлік. Жалпы айтқанда, –1 (және кейде басқа сандар) болады, бірақ қалай болғанда да, әдетте бір жерде орналасады. Бірлікті қалай ұйымдастыруға болады? Біз бірінші бағанға қараймыз - бізде дайын бірлік бар! Бірінші түрлендіру: бірінші және үшінші жолдарды ауыстырыңыз:

Енді бірінші жол шешімнің соңына дейін өзгеріссіз қалады. Енді жақсы.

Жоғарғы сол жақ бұрыштағы бірлік реттелген. Енді мына жерлерде нөлдерді алу керек:

Біз «қиын» түрлендіру арқылы нөлдерді аламыз. Алдымен біз екінші жолды қарастырамыз (2, –1, 3, 13). Бірінші орында нөлге жету үшін не істеу керек? Керек екінші жолға –2-ге көбейтілген бірінші жолды қосыңыз. Ойша немесе жобада бірінші жолды –2-ге көбейтіңіз: (–2, –4, 2, –18). Біз дәйекті түрде (қайта ойша немесе жоба бойынша) толықтыруды орындаймыз, екінші жолға біз бірінші жолды қосамыз, қазірдің өзінде –2-ге көбейтілген:

Нәтижені екінші жолға жазамыз:

Үшінші жолды да солай қарастырамыз (3, 2, –5, –1). Бірінші позицияда нөлді алу үшін сізге қажет үшінші жолға –3-ке көбейтілген бірінші жолды қосыңыз. Ойша немесе жобада бірінші жолды –3-ке көбейтіңіз: (–3, –6, 3, –27). ЖӘНЕ үшінші жолға –3-ке көбейтілген бірінші жолды қосамыз:

Нәтижені үшінші жолға жазамыз:

Іс жүзінде бұл әрекеттер әдетте ауызша орындалады және бір қадаммен жазылады:

Барлығын бірден және бір уақытта санаудың қажеті жоқ. Есептеу тәртібі және нәтижелерді «жазу». дәйектіжәне әдетте бұл келесідей: алдымен біз бірінші жолды қайта жазамыз, және өзімізді баяу үрлейміз - ДАЙЫСТЫ және МАҚСАТпен:


Мен жоғарыда есептеулердің психикалық процесін талқыладым.

Бұл мысалда мұны істеу оңай, біз екінші жолды –5-ке бөлеміз (өйткені барлық сандар 5-ке қалдықсыз бөлінеді). Бұл ретте үшінші жолды –2-ге бөлеміз, себебі сан неғұрлым аз болса, соғұрлым көп болады қарапайым шешім:

Қосулы соңғы кезеңқарапайым түрлендірулер үшін мұнда тағы бір нөлді алу керек:

Осыған үшінші жолға –2-ге көбейтілген екінші жолды қосамыз:


Бұл әрекетті өзіңіз анықтауға тырысыңыз - екінші жолды ойша –2-ге көбейтіп, қосуды орындаңыз.

Соңғы орындалатын әрекет - нәтиженің шаш үлгісі, үшінші жолды 3-ке бөліңіз.

Элементар түрлендірулер нәтижесінде сызықтық теңдеулердің эквивалентті жүйесі алынды:

Керемет.

Енді Гаусс әдісінің кері нұсқасы іске қосылады. Теңдеулер төменнен жоғарыға қарай «босайды».

Үшінші теңдеуде бізде дайын нәтиже бар:

Екінші теңдеуді қарастырайық: . «Zet» мағынасы бұрыннан белгілі, осылайша:

Соңында, бірінші теңдеу: . «Игрек» және «зет» белгілі, бұл жай ғана мәселе:

Жауап:

Бірнеше рет атап өтілгендей, кез келген теңдеулер жүйесі үшін табылған шешімді тексеру мүмкін және қажет, бақытымызға орай, бұл оңай және жылдам.

2-мысал

Бұл өз бетінше шешуге мысал, қорытынды жобаның үлгісі және сабақ соңында жауап.

Айта кету керек, сіздің шешімнің орындалу барысыменің шешім қабылдау процесімен сәйкес келмеуі мүмкін, және бұл Гаусс әдісінің ерекшелігі. Бірақ жауаптар бірдей болуы керек!

3-мысал

Гаусс әдісімен сызықтық теңдеулер жүйесін шешу

Жүйенің кеңейтілген матрицасын жазып алайық және элементар түрлендірулерді қолдана отырып, оны сатылы түрге келтірейік:

Біз жоғарғы сол жақ «қадамға» қараймыз. Онда бізде болуы керек. Мәселе мынада, бірінші бағанда бірліктер мүлдем жоқ, сондықтан жолдарды қайта реттеу ештеңені шешпейді. Мұндай жағдайларда блок элементар түрлендіру арқылы ұйымдастырылуы керек. Мұны әдетте бірнеше жолмен жасауға болады. Мен мұны жасадым:
(1) Бірінші жолға –1-ге көбейтілген екінші жолды қосамыз. Яғни, біз ойша екінші жолды –1-ге көбейтіп, бірінші және екінші жолдарды қостық, ал екінші жол өзгермеді.

Енді жоғарғы сол жақта «минус бір» бар, ол бізге өте қолайлы. +1 алғысы келетін кез келген адам қосымша қозғалысты орындай алады: бірінші жолды –1-ге көбейтіңіз (оның белгісін өзгертіңіз).

(2) 5-ке көбейтілген бірінші жол екінші жолға, 3-ке көбейтілген бірінші жол үшінші жолға қосылды.

(3) Бірінші жол –1-ге көбейтілді, негізінен бұл сұлулық үшін. Үшінші жолдың белгісі де өзгертіліп, екінші орынға ауыстырылды, осылайша екінші «қадамда» бізде қажетті бірлік болды.

(4) Үшінші жолға екінші жол қосылып, 2-ге көбейтілді.

(5) Үшінші жол 3-ке бөлінді.

Есептердегі қатені көрсететін нашар белгі (сирек, қате) «жаман» төменгі сызық болып табылады. Яғни, егер бізде төмендегідей нәрсе болса, және сәйкесінше, , онда жоғары ықтималдық дәрежесімен элементар түрлендірулер кезінде қате жіберілді деп айта аламыз.

Біз керісінше есептейміз, мысалдарды құрастыру кезінде олар көбінесе жүйенің өзін қайта жазбайды, бірақ теңдеулер «тікелей берілген матрицадан алынады». Кері инсульт, еске саламын, төменнен жоғарыға қарай жұмыс істейді. Иә, мына сыйлық:

Жауап: .

4-мысал

Гаусс әдісімен сызықтық теңдеулер жүйесін шешу

Бұл сізге өзіңіз шешуге болатын мысал, ол біршама күрделірек. Біреу шатастырса, жақсы. Толық шешім және сабақтың соңында дизайн үлгісі. Сіздің шешіміңіз менің шешімімнен басқаша болуы мүмкін.

Соңғы бөлімде Гаусс алгоритмінің кейбір мүмкіндіктерін қарастырамыз.
Бірінші ерекшелігі - кейде жүйелік теңдеулерде кейбір айнымалылар жоқ, мысалы:

Кеңейтілген жүйелік матрицаны қалай дұрыс жазуға болады? Мен бұл туралы сабақта айтқан болатынмын. Крамер ережесі. Матрицалық әдіс. Жүйенің кеңейтілген матрицасында жетіспейтін айнымалылардың орнына нөлдерді қоямыз:

Айтпақшы, бұл өте оңай мысал, өйткені бірінші бағанда бір нөл бар және орындалатын қарапайым түрлендірулер аз.

Екінші ерекшелігі - бұл. Барлық қарастырылған мысалдарда біз «қадамдарға» –1 немесе +1 қойдық. Басқа сандар болуы мүмкін бе? Кейбір жағдайларда олар мүмкін. Жүйені қарастырыңыз: .

Мұнда жоғарғы сол жақ «қадамда» бізде екі бар. Бірақ біз бірінші бағандағы барлық сандар 2-ге қалдықсыз бөлінетінін байқаймыз - ал екіншісі екі және алты. Ал жоғарғы сол жақтағы екеуі бізге жарасады! Бірінші қадамда келесі түрлендірулерді орындау қажет: екінші жолға –1 көбейтілген бірінші жолды қосыңыз; үшінші жолға –3-ке көбейтілген бірінші жолды қосыңыз. Осылайша біз бірінші бағандағы қажетті нөлдерді аламыз.

Немесе басқа дәстүрлі мысал: . Мұнда екінші «қадамдағы» үшеу де бізге сәйкес келеді, өйткені 12 (нөл алу керек жер) 3-ке қалдықсыз бөлінеді. Келесі түрлендіруді орындау қажет: үшінші жолға –4-ке көбейтілген екінші жолды қосыңыз, нәтижесінде бізге қажет нөл алынады.

Гаусс әдісі әмбебап, бірақ бір ерекшелігі бар. Сіз басқа әдістерді (Крамер әдісі, матрицалық әдіс) бірінші рет қолдана отырып, жүйелерді шешуді сенімді түрде үйрене аласыз - олардың өте қатаң алгоритмі бар. Бірақ Гаусс әдісіне сенімді болу үшін оны жақсы меңгеріп, кем дегенде 5-10 жүйені шешу керек. Сондықтан, бастапқыда есептеулерде шатасулар мен қателер болуы мүмкін және бұл жерде ерекше немесе қайғылы ештеңе жоқ.

Терезенің сыртындағы жаңбырлы күзгі ауа-райы.... Сондықтан көп нәрсені қалайтындардың барлығына күрделі мысалтәуелсіз шешім үшін:

5-мысал

Төрт белгісізі бар төрт сызықтық теңдеулер жүйесін Гаусс әдісі арқылы шешіңіз.

Мұндай тапсырма тәжірибеде сирек емес. Менің ойымша, бұл бетті мұқият зерттеген шәйнек те мұндай жүйені интуитивті түрде шешу алгоритмін түсінеді. Негізінде, бәрі бірдей - тек көбірек әрекеттер бар.

Сабақта жүйенің шешімі жоқ (үйлесімсіз) немесе шексіз көп шешімдері бар жағдайлар талқыланады. Үйлесімсіз жүйелер және ортақ шешімі бар жүйелер. Онда Гаусс әдісінің қарастырылған алгоритмін түзетуге болады.

Сәттілік тілеймін!

Шешімдер мен жауаптар:

2-мысал: Шешім: Жүйенің кеңейтілген матрицасын жазып алайық және элементар түрлендірулерді қолданып, оны сатылы түрге келтірейік.


Орындалған элементарлық түрлендірулер:
(1) Бірінші жол екінші жолға қосылып, –2-ге көбейтілді. Бірінші жол үшінші жолға қосылып, –1-ге көбейтілді. Назар аударыңыз!Мұнда сіз үшінші жолдан біріншіні алып тастауға азғырылуы мүмкін; Мен оны алып тастамауға кеңес беремін - қателік қаупі айтарлықтай артады. Жай ғана бүктеңіз!
(2) Екінші жолдың таңбасы өзгертілді (–1-ге көбейтілді). Екінші және үшінші жолдар ауыстырылды. назар аударыңыз, «қадамдарда» біз тек біреуге ғана емес, сонымен қатар –1-ге де қанағаттанамыз, бұл одан да ыңғайлы.
(3) 5-ке көбейтілген үшінші жолға екінші жол қосылды.
(4) Екінші жолдың таңбасы өзгертілді (–1-ге көбейтілді). Үшінші жол 14-ке бөлінді.

Кері:

Жауап: .

4-мысал: Шешім: Жүйенің кеңейтілген матрицасын жазып алайық және элементар түрлендірулерді қолданып, оны сатылы түрге келтірейік:

Орындалған түрлендірулер:
(1) Бірінші жолға екінші жол қосылды. Осылайша, қажетті бірлік жоғарғы сол жақ «қадамда» ұйымдастырылған.
(2) 7-ге көбейтілген бірінші жол екінші жолға, 6-ға көбейтілген бірінші жол үшінші жолға қосылды.

Екінші «қадаммен» бәрі нашарлайды, оған «үміткерлер» 17 және 23 сандары болып табылады және бізге бір немесе –1 керек. (3) және (4) түрлендірулер қажетті бірлікті алуға бағытталған болады

(3) Екінші жол үшінші жолға қосылып, –1-ге көбейтілді.
(4) Үшінші жол екінші жолға қосылып, –3-ке көбейтілді.
Екінші қадамда қажетті элемент алынды. .
(5) Екінші жол үшінші жолға қосылып, 6-ға көбейтілді.

Сабақтардың бөлігі ретінде Гаусс әдісіЖәне Ортақ шешімі бар үйлеспейтін жүйелер/жүйелерқарастырдық біртекті емес сызықтық теңдеулер жүйесі, Қайда тегін мүше(ол әдетте оң жақта) кем дегенде біреуітеңдеулерден нөлден өзгеше болды.
Ал енді, жақсы қыздырудан кейін матрицалық дәреже, біз техниканы жылтыратуды жалғастырамыз элементарлық түрлендірулерқосулы біртекті сызықтық теңдеулер жүйесі.
Бірінші абзацтарға сүйене отырып, материал қызықсыз және орташа болып көрінуі мүмкін, бірақ бұл әсер алдамшы. Техникалық техниканың одан әрі дамуымен қатар, көп болады жаңа ақпарат, сондықтан осы мақаладағы мысалдарды елемеуге тырысыңыз.

Шешім. A= . r(A) мәнін табайық. Өйткені матрицаАл 3х4 тәртібі бар ең жоғары тәртіпкәмелетке толмағандар 3-ке тең. Оның үстіне барлық үшінші ретті кәмелетке толмағандар нөлге тең (оны өзіңіз тексеріңіз). білдіреді, r(A)< 3. Возьмем главный негізгі кіші = -5-4 = -9 ≠ 0. Сондықтан r(A) =2.

қарастырайық матрица МЕН = .

Кіші үшінші тапсырыс ≠ 0. Демек r(C) = 3.

r(A) болғандықтан ≠ r(C) , онда жүйе сәйкес емес.

2-мысал.Теңдеулер жүйесінің үйлесімділігін анықтаңыз

Бұл жүйе дәйекті болып шықса, шешіңіз.

Шешім.

A = , C = . r(A) ≤ 3, r(C) ≤ 4 екені анық. detC = 0 болғандықтан, r(C)< 4. қарастырайық кәмелетке толмаған үшінші тапсырыс, А және С матрицасының сол жақ жоғарғы бұрышында орналасқан: = -23 ≠ 0. Сонымен r(A) = r(C) = 3.

Сан белгісіз n=3 жүйесінде. Бұл жүйенің бірегей шешімі бар дегенді білдіреді. Бұл жағдайда төртінші теңдеу алғашқы үшеуінің қосындысын білдіреді және оны елемеуге болады.

Крамер формулалары бойыншах 1 = -98/23, x 2 = -47/23, x 3 = -123/23 аламыз.

2.4. Матрицалық әдіс. Гаусс әдісі

жүйесі nсызықтық теңдеулербірге nбелгісіздерді шешуге болады матрицалық әдіс X = A -1 B формуласына сәйкес (Δ кезінде ≠ 0), ол екі бөлікті де А -1-ге көбейту арқылы (2) алынады.

Мысал 1. Теңдеулер жүйесін шешіңіз

матрицалық әдіс (2.2 бөлімде бұл жүйе Крамер формулалары арқылы шешілді)

Шешім. Δ = 10 ≠ 0 A = - азғындалмаған матрица.

= (қажетті есептеулерді жасау арқылы мұны өзіңіз тексеріңіз).

A -1 = (1/Δ)х= .

X = A -1 V = x= .

Жауап: .

Практикалық тұрғыданматрицалық әдіс және формулалар Крамересептеулердің үлкен көлемімен байланысты, сондықтан артықшылық беріледі Гаусс әдісі, ол белгісіздерді дәйекті түрде жоюдан тұрады. Ол үшін теңдеулер жүйесі үшбұрышты кеңейтілген матрицасы бар эквивалентті жүйеге келтіріледі (негізгі диагональдан төмен барлық элементтер нөлге тең). Бұл әрекеттер алға жылжу деп аталады. Алынған үшбұрышты жүйеден айнымалылар дәйекті алмастырулар (кері) арқылы табылады.

2-мысал. Жүйені Гаусс әдісімен шешіңіз

(Жоғарыда бұл жүйе Крамер формуласы мен матрицалық әдіс арқылы шешілді).

Шешім.

Тікелей қозғалыс. Кеңейтілген матрицаны жазып алайық және элементар түрлендірулерді қолданып, оны үшбұрышты түрге келтірейік:

~ ~ ~ ~ .

Біз алып жатырмыз жүйесі

Кері қозғалыс.Соңғы теңдеуден біз табамыз X 3 = -6 және осы мәнді екінші теңдеуге ауыстырыңыз:

X 2 = - 11/2 - 1/4X 3 = - 11/2 - 1/4(-6) = - 11/2 + 3/2 = -8/2 = -4.

X 1 = 2 -X 2 + X 3 = 2+4-6 = 0.

Жауап: .

2.5. Сызықтық теңдеулер жүйесінің жалпы шешімі

Сызықтық теңдеулер жүйесі берілсін = б мен(мен=). r(A) = r(C) = r болсын, яғни. жүйе бірлескен болып табылады. Нөлден басқа r ретінің кез келген миноры болып табылады негізгі кіші.Жалпылықты жоғалтпай, базистік минор А матрицасының бірінші r (1 ≤ r ≤ min(m,n)) жолдары мен бағандарында орналасқан деп есептейміз. Соңғысын алып тастау m-r теңдеулеріжүйелер үшін қысқартылған жүйені жазамыз:

бұл түпнұсқаға тең. Белгісіздерді атайық x 1 ,….x rнегізгі, және x r +1 ,…, x rбос және бос белгісіздері бар мүшелерді қиық жүйенің теңдеулерінің оң жағына жылжытыңыз. Негізгі белгісіздерге қатысты жүйені аламыз:

бос белгісіз мәндердің әрбір жиыны үшін x r +1 = С 1 ,…, x n = С n-rбір ғана шешімі бар x 1 (C 1 ,…, C n-r),…, x r (C 1 ,…, C n-r),Крамер ережесі бойынша табылды.

Сәйкес шешімқысқартылған, сондықтан бастапқы жүйенің пішіні бар:

X(C 1 ,…, C n-r) = - жүйенің жалпы шешімі.

Егер жалпы шешімде біз кейбір бос белгісіздерді береміз сандық мәндер, онда жартылай деп аталатын сызықтық жүйенің шешімін аламыз.

Мысал. Үйлесімділікті орнату және жүйенің жалпы шешімін табу

Шешім. A = , C = .

Сонымен Қалай r(A)= r(C) = 2 (бұны өзіңіз қараңыз), онда бастапқы жүйе дәйекті және шешімдердің шексіз санына ие (өйткені r< 4).

Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешу сызықтық алгебраның негізгі мәселелерінің бірі болып табылады. Бұл міндеттің маңызды міндеті бар қолданылатын мәнғылыми-техникалық есептерді шешу кезінде, сонымен қатар, ол есептеу математикасында, математикалық физикада көптеген алгоритмдерді енгізуде және эксперименттік зерттеулердің нәтижелерін өңдеуде көмекші болып табылады.

Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесітүріндегі теңдеулер жүйесі деп аталады: (1)

Қайда – белгісіз; - тегін мүшелер.

Теңдеулер жүйесін шешу(1) жүйеде (1) белгісіздердің орнына қойылған кез келген сандар жиынын шақырыңыз жүйенің барлық теңдеулерін дұрыс сандық теңдіктерге түрлендіреді.

теңдеулер жүйесі деп аталады буын, егер оның кем дегенде бір шешімі болса, және бірлескен емес, егер оның шешімдері болмаса.

Бір мезгілдегі теңдеулер жүйесі деп аталады белгілі, егер оның бір бірегей шешімі болса, және белгісіз, егер оның кем дегенде екі түрлі шешімі болса.

Екі теңдеулер жүйесі деп аталады эквивалентнемесе эквивалент, егер оларда бірдей шешімдер жинағы болса.

Жүйе (1) деп аталады біртекті, егер бос шарттар нөлге тең болса:

Біртекті жүйе әрқашан дәйекті - оның шешімі бар (мүмкін жалғыз емес).

Егер (1) жүйеде болса, онда бізде жүйе бар nбар сызықтық теңдеулер nбелгісіз: Қайда – белгісіз; - белгісіздер үшін коэффициенттер, - тегін мүшелер.

Сызықтық жүйенің жалғыз шешімі, шексіз көп шешімі болуы мүмкін немесе шешімі мүлдем болмауы мүмкін.

Екі белгісізі бар екі сызықтық теңдеулер жүйесін қарастырайық

Егер жүйеде бірегей шешім болса;

Егер онда жүйеде шешімдер жоқ;

Егер онда жүйеде шешімдердің шексіз саны болады.

Мысал.Жүйеде сандар жұбының бірегей шешімі бар

Жүйеде шешімдердің шексіз саны бар. Мысалы, берілген жүйенің шешімдері жұп сандар және т.б.

Жүйенің шешімі жоқ, өйткені екі санның айырмасы екі түрлі мән қабылдай алмайды.

Анықтама. Екінші ретті анықтауышпішіннің өрнегі деп аталады:

.

Анықтаушы D символымен белгіленеді.

Сандар А 11, …, А 22 анықтауыштың элементтері деп аталады.

Элементтер арқылы құрылған диагональ А 11 ; А 22 деп аталады негізгіэлементтері арқылы құрылған диагональ А 12 ; А 21 − жағы

Сонымен, екінші ретті анықтауыш негізгі және қосалқы диагональдар элементтерінің көбейтінділерінің айырмасына тең.

Жауап сан екенін ескеріңіз.

Мысал.Анықтауыштарды есептейік:

Екі белгісізі бар екі сызықтық теңдеулер жүйесін қарастырайық: Қайда X 1, X 2 – белгісіз; А 11 , …, А 22 – белгісіздер үшін коэффициенттер, б 1 , б 2 – тегін мүшелер.

Егер екі белгісізі бар екі теңдеулер жүйесінің бірегей шешімі болса, оны екінші ретті анықтауыштардың көмегімен табуға болады.

Анықтама.Белгісіздер үшін коэффициенттерден тұратын анықтауыш деп аталады Жүйе анықтаушысы: D=.

D анықтауышының бағандары сәйкесінше үшін коэффициенттерін қамтиды X 1 және сағат , X 2. Екеуін таныстырайық қосымша квалификациялаушы,бағандардың бірін бос мүшелер бағанымен ауыстыру арқылы жүйенің анықтауышынан алынады: D 1 = D 2 = .

Теорема 14(Крамер, n=2 жағдай үшін).Жүйенің анықтауышы D болса нөлден (D¹0) өзгеше болса, жүйеде формулалар арқылы табылған бірегей шешім болады:

Бұл формулалар деп аталады Крамер формулалары.

Мысал.Крамер ережесін пайдаланып жүйені шешейік:

Шешім.Сандарды табайық

Жауап.

Анықтама. Үшінші ретті анықтауышпішіннің өрнегі деп аталады:

Элементтер А 11; А 22 ; А 33 – негізгі диагональды құрайды.

Сандар А 13; А 22 ; А 31 – бүйірлік диагональ құрайды.

Плюс белгісі бар жазба мыналарды қамтиды: негізгі диагональдағы элементтердің көбейтіндісі, қалған екі мүшесі негізгі диагональға параллель табандары бар үшбұрыштардың төбелерінде орналасқан элементтердің көбейтіндісі. Минус мүшелері екінші реттік диагональға қатысты сол схема бойынша құрылады.

Мысал.Анықтауыштарды есептейік:

Қайда – белгісіз; - белгісіздер үшін коэффициенттер, - тегін мүшелер.

Бірегей шешім жағдайында үш белгісізі бар 3 сызықтық теңдеулер жүйесін 3-ші ретті анықтауыштардың көмегімен шешуге болады.

D жүйесінің анықтауышы мына түрде болады:

Қосымша үш анықтауышты енгізейік:

Теорема 15(Крамер, n=3 жағдай үшін).Жүйенің анықтауышы D болса нөлден өзгеше болса, жүйеде Крамер формулалары арқылы табылған бірегей шешім болады:

Мысал.Жүйені шешейік Крамер ережесі бойынша.

Шешім.Сандарды табайық

Крамер формулаларын қолданып, бастапқы жүйенің шешімін табайық:

Жауап.

Крамер теоремасы теңдеулер саны белгісіздер санына тең болғанда және D жүйесінің анықтаушысы нөлге тең емес болғанда қолданылатынын ескеріңіз.

Егер жүйенің анықтауышы нөлге тең болса, онда бұл жағдайда жүйеде не шешімдер болмауы мүмкін, не шешімдердің шексіз саны болуы мүмкін. Бұл жағдайлар бөлек зерттеледі.

Бір ғана жағдайды атап өтейік. Егер жүйенің анықтауышы нөлге тең болса (D=0) және қосымша анықтауыштардың ең болмағанда біреуі нөлден өзгеше болса, онда жүйенің шешімдері жоқ, яғни ол сәйкес емес.

Крамер теоремасын жүйеге жалпылауға болады nбар сызықтық теңдеулер nбелгісіз: Қайда – белгісіз; - белгісіздер үшін коэффициенттер, - тегін мүшелер.

Белгісіздері бар сызықтық теңдеулер жүйесінің анықтаушысы болса онда жүйенің жалғыз шешімі Крамер формулалары арқылы табылады:

Қосымша біліктілік D анықтауышынан алынады, егер оның құрамында белгісіз үшін коэффициенттер бағаны болса x iбос мүшелер бағанымен ауыстырыңыз.

D, D 1 , … , D анықтауыштарына назар аударыңыз nтәртібі бар n.

Сызықтық теңдеулер жүйесін шешудің Гаусс әдісі

Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешудің кең таралған әдістерінің бірі белгісіздерді тізбектей жою әдісі болып табылады. -Гаусс әдісі. Бұл әдіс алмастыру әдісінің жалпылауы болып табылады және бір белгісізі бар бір теңдеу қалғанша белгісіздерді дәйекті түрде жоюдан тұрады.

Әдіс сызықтық теңдеулер жүйесінің кейбір түрлендірулеріне негізделген, нәтижесінде бастапқы жүйеге эквивалентті жүйе алынады. Әдіс алгоритмі екі кезеңнен тұрады.

Бірінші кезең деп аталады тікеГаусс әдісі. Ол теңдеулерден белгісіздерді дәйекті түрде жоюдан тұрады. Ол үшін бірінші қадамда жүйенің бірінші теңдеуін келесіге бөліңіз (әйтпесе жүйенің теңдеулерін қайта реттеңіз). Олар алынған келтірілген теңдеудің коэффициенттерін белгілейді, оны коэффициентке көбейтеді және оны жүйенің екінші теңдеуінен шығарады, сол арқылы оны екінші теңдеуден алып тастайды (коэффициент нөлге тең).

Қалған теңдеулермен де солай жасаңыз және барлық теңдеулерде екіншіден бастап, үшін коэффициенттер тек нөлдерден тұратын жаңа жүйені алыңыз. Алынған жаңа жүйе бастапқы жүйеге тең болатыны анық.

Егер , үшін жаңа коэффициенттердің барлығы нөлге тең болмаса, оларды үшінші және келесі теңдеулерден бірдей алып тастауға болады. Бұл операцияны келесі белгісіздер үшін жалғастыра отырып, жүйе үшбұрыш деп аталатын пішінге келтіріледі:

Мұндағы белгілер түрлендіру нәтижесінде өзгерген сандық коэффициенттер мен бос мүшелерді көрсетеді.

Жүйенің соңғы теңдеуінен қалған белгісіздер бірегей әдіспен, содан кейін тізбекті ауыстыру арқылы анықталады.

Түсініктеме.Кейде түрлендірулер нәтижесінде кез келген теңдеуде барлық коэффициенттер мен оң жағы нөлге айналады, яғни теңдеу 0=0 сәйкестікке айналады. Жүйеден мұндай теңдеуді жою арқылы белгісіздер санымен салыстырғанда теңдеулер саны азаяды. Мұндай жүйенің жалғыз шешімі болуы мүмкін емес.

Егер Гаусс әдісін қолдану барысында кез келген теңдеу 0 = 1 түріндегі теңдікке айналса (белгісіздер үшін коэффициенттер 0-ге айналады, ал оң жағы нөлдік емес мәнді қабылдайды), онда бастапқы жүйенің шешімі жоқ, өйткені мұндай теңдік кез келген белгісіз мәндер үшін жалған.

Үш белгісізі бар үш сызықтық теңдеулер жүйесін қарастырайық:

(2)

Қайда – белгісіз; - белгісіздер үшін коэффициенттер, - тегін мүшелер.

Теңдеулер жүйесі әртүрлі процестерді математикалық модельдеу үшін экономикалық секторда кеңінен қолданылады. Мысалы, өндірісті басқару және жоспарлау, логистикалық маршруттар (көлік мәселесі) немесе жабдықты орналастыру мәселелерін шешу кезінде.

Теңдеулер жүйесі тек математикада ғана емес, сонымен қатар физикада, химияда, биологияда популяция санын табу есептерін шешуде қолданылады.

Сызықтық теңдеулер жүйесі деп ортақ шешімін табу қажет бірнеше айнымалысы бар екі немесе одан да көп теңдеулерді айтады. Барлық теңдеулер шынайы теңдікке айналатын немесе тізбектің жоқтығын дәлелдейтін сандар тізбегі.

Сызықтық теңдеу

ax+by=c түріндегі теңдеулер сызықтық деп аталады. x, y белгілеулері - мәнін табу керек белгісіздер, b, a - айнымалылардың коэффициенттері, с - теңдеудің бос мүшесі.
Теңдеуді сызу арқылы шешу түзу сияқты болады, оның барлық нүктелері көпмүшенің шешімі болып табылады.

Сызықтық теңдеулер жүйесінің түрлері

Ең қарапайым мысалдар екі айнымалы X және Y болатын сызықтық теңдеулер жүйесі болып саналады.

F1(x, y) = 0 және F2(x, y) = 0, мұндағы F1,2 - функциялар және (x, y) - функцияның айнымалылары.

Теңдеулер жүйесін шешу - бұл жүйе шынайы теңдікке айналатын мәндерді (x, y) табуды немесе x пен у сәйкес мәндерінің жоқтығын анықтауды білдіреді.

Нүктенің координатасы ретінде жазылған мәндер жұбы (x, y) сызықтық теңдеулер жүйесінің шешімі деп аталады.

Егер жүйелерде бір ортақ шешім болса немесе шешімі болмаса, олар эквивалент деп аталады.

Сызықтық теңдеулердің біртекті жүйелері деп оң жағы нөлге тең жүйелерді айтады. Теңдік белгісінен кейінгі оң жақ бөліктің мәні болса немесе функция арқылы өрнектелсе, мұндай жүйе гетерогенді болады.

Айнымалылар саны екіден әлдеқайда көп болуы мүмкін, онда үш немесе одан да көп айнымалысы бар сызықтық теңдеулер жүйесінің мысалы туралы айту керек.

Жүйелермен бетпе-бет келгенде, мектеп оқушылары теңдеулер саны міндетті түрде белгісіздер санымен сәйкес келуі керек деп есептейді, бірақ олай емес. Жүйедегі теңдеулер саны айнымалыларға тәуелді емес, олардың саны қалағанша көп болуы мүмкін.

Теңдеулер жүйесін шешудің қарапайым және күрделі әдістері

Мұндай жүйелерді шешудің жалпы аналитикалық әдісі жоқ, барлық әдістер сандық шешімдерге негізделген. Мектеп математика курсында ауыстыру, алгебралық қосу, алмастыру, сонымен қатар графикалық және матрицалық әдістер, Гаусс әдісімен шешу сияқты әдістер толық сипатталған.

Шешім әдістерін оқытудағы негізгі міндет – жүйені дұрыс талдап, әрбір мысал бойынша оңтайлы шешім алгоритмін табуды үйрету. Ең бастысы - әрбір әдіс үшін ережелер мен әрекеттер жүйесін жаттау емес, белгілі бір әдісті қолдану принциптерін түсіну.

7-сыныптың жалпы білім беретін оқу бағдарламасында сызықтық теңдеулер жүйесінің мысалдарын шешу өте қарапайым және жан-жақты түсіндіріледі. Кез келген математика оқулығында бұл бөлімге жеткілікті көңіл бөлінеді. Гаусс және Крамер әдісі арқылы сызықтық теңдеулер жүйесінің мысалдарын шешу жоғары оқу орындарының алғашқы жылдарында толығырақ зерттеледі.

Ауыстыру әдісі арқылы жүйелерді шешу

Ауыстыру әдісінің әрекеттері бір айнымалының мәнін екіншісімен өрнектеуге бағытталған. Өрнек қалған теңдеуге ауыстырылады, содан кейін ол бір айнымалысы бар пішінге келтіріледі. Жүйедегі белгісіздердің санына байланысты әрекет қайталанады

Ауыстыру әдісін қолданып, 7-сыныптағы сызықтық теңдеулер жүйесінің мысалының шешімін берейік:

Мысалдан көріп отырғанымыздай, х айнымалысы F(X) = 7 + Y арқылы өрнектелді. Алынған өрнек жүйенің 2-ші теңдеуіне X орнына ауыстырылды, 2-ші теңдеуде бір Y айнымалысын алуға көмектесті. . Бұл мысалды шешу оңай және Y мәнін алуға мүмкіндік береді.Соңғы қадам - ​​алынған мәндерді тексеру.

Сызықтық теңдеулер жүйесінің мысалын ауыстыру арқылы шешу әрқашан мүмкін емес. Теңдеулер күрделі болуы мүмкін және айнымалыны екінші белгісіз арқылы өрнектеу әрі қарай есептеулер үшін тым қиын болады. Жүйеде 3-тен көп белгісіз болса, ауыстыру арқылы шешу де орынсыз.

Сызықтық біртекті емес теңдеулер жүйесінің мысалын шешу:

Алгебралық қосу арқылы шешу

Қосу әдісін қолданып жүйелердің шешімдерін іздеу кезінде теңдеулер мүше бойынша қосылып, әртүрлі сандарға көбейтіледі. Түпкі мақсатматематикалық амалдар – бір айнымалысы бар теңдеу.

Қолданбалар үшін бұл әдістәжірибе мен бақылау қажет. 3 немесе одан да көп айнымалы болған кезде қосу әдісі арқылы сызықтық теңдеулер жүйесін шешу оңай емес. Алгебралық қосу теңдеулерде бөлшек пен ондық болған кезде қолдануға ыңғайлы.

Шешу алгоритмі:

1. Теңдеудің екі жағын да белгілі бір санға көбейтіңіз. Нәтижесінде арифметикалық әрекетайнымалының коэффициенттерінің бірі 1-ге тең болуы керек.
2. Алынған өрнек мүшесін термин бойынша қосып, белгісіздердің бірін табыңыз.
3. Қалған айнымалыны табу үшін алынған мәнді жүйенің 2-ші теңдеуіне ауыстырыңыз.

Жаңа айнымалыны енгізу арқылы шешу әдісі

Жүйе екіден көп емес теңдеулердің шешімін табуды талап етсе, жаңа айнымалыны енгізуге болады; белгісіздер саны да екіден көп болмауы керек.

Әдіс жаңа айнымалыны енгізу арқылы теңдеулердің бірін жеңілдету үшін қолданылады. Жаңа теңдеу енгізілген белгісіз үшін шешіледі, ал алынған мән бастапқы айнымалыны анықтау үшін қолданылады.

Мысал t жаңа айнымалысын енгізу арқылы жүйенің 1-ші теңдеуін стандартты квадрат үшмүшеге келтіруге болатынын көрсетеді. Дискриминантты табу арқылы көпмүшені шешуге болады.

Белгілі формуланы пайдаланып дискриминанттың мәнін табу керек: D = b2 - 4*a*c, мұндағы D - қажетті дискриминант, b, a, c - көпмүшенің көбейткіштері. Берілген мысалда a=1, b=16, c=39, сондықтан D=100. Егер дискриминант нөлден үлкен болса, онда екі шешім бар: t = -b±√D / 2*a, егер дискриминант нөлден кіші болса, онда бір шешім бар: x = -b / 2*a.

Алынған жүйелердің шешімі қосу әдісімен табылады.

Жүйелерді шешудің визуалды әдісі

3 теңдеу жүйесі үшін қолайлы. Бұл әдіс координат осінде жүйеге кіретін әрбір теңдеудің графиктерін құрудан тұрады. Қисықтардың қиылысу нүктелерінің координаталары жүйенің жалпы шешімі болады.

Графикалық әдіс бірқатар нюанстарға ие. Сызықтық теңдеулер жүйесін визуалды түрде шешудің бірнеше мысалын қарастырайық.

Мысалдан көрініп тұрғандай, әрбір жол үшін екі нүкте тұрғызылды, х айнымалысының мәндері ерікті түрде таңдалды: 0 және 3. x мәндерінің негізінде у үшін мәндер табылды: 3 және 0. Координаталары (0, 3) және (3, 0) болатын нүктелер графикте белгіленіп, түзу арқылы қосылды.

Екінші теңдеу үшін қадамдарды қайталау керек. Түзулердің қиылысу нүктесі жүйенің шешімі болып табылады.

Келесі мысал сызықтық теңдеулер жүйесінің графикалық шешімін табуды талап етеді: 0,5x-y+2=0 және 0,5x-y-1=0.

Мысалдан көрініп тұрғандай, жүйенің шешімі жоқ, өйткені графиктер параллель және олардың бүкіл ұзындығы бойынша қиылыспайды.

2 және 3 мысалдардағы жүйелер ұқсас, бірақ құрастырылған кезде олардың шешімдері әртүрлі екені анық болады. Жүйенің шешімі бар немесе жоқ екенін айту әрқашан мүмкін емес екенін есте ұстаған жөн, әрқашан графикті құру қажет.

Матрица және оның сорттары

Матрицалар сызықтық теңдеулер жүйесін қысқаша жазу үшін қолданылады. Матрица - сандармен толтырылған кестенің ерекше түрі. n*m-де n - жолдар және m - бағандар бар.

Матрица бағандар мен жолдар саны тең болған кезде квадрат болады. Матрица-вектор дегеніміз - жолдардың шексіз мүмкін саны бар бір бағанның матрицасы. Бірлері диагональдардың біреуінің бойында және басқа нөлдік элементтерден тұратын матрица сәйкестік деп аталады.

Кері матрица матрица болып табылады, оны көбейткенде бастапқы матрица бірлік матрицаға айналады; мұндай матрица тек бастапқы шаршы үшін бар.

Теңдеулер жүйесін матрицаға түрлендіру ережелері

Теңдеулер жүйесіне қатысты теңдеулердің коэффициенттері мен бос мүшелері матрицалық сандар түрінде жазылады, бір теңдеу матрицаның бір жолы болып табылады.

Матрицалық жол нөлге тең емес деп аталады, егер жолдың кем дегенде бір элементі нөлге тең болмаса. Сондықтан, егер теңдеулердің кез келгенінде айнымалылар саны әр түрлі болса, онда жетіспейтін белгісіздің орнына нөлді енгізу керек.

Матрицаның бағандары айнымалыларға қатаң сәйкес келуі керек. Бұл х айнымалысының коэффициенттерін тек бір бағанға жазуға болатындығын білдіреді, мысалы, бірінші, белгісіз у коэффициенті - тек екіншісінде.

Матрицаны көбейту кезінде матрицаның барлық элементтері ретімен санға көбейтіледі.

Кері матрицаны табу нұсқалары

Кері матрицаны табу формуласы өте қарапайым: K -1 = 1 / |K|, мұндағы K -1 кері матрица және |K| матрицаның анықтаушысы болып табылады. |Қ| нөлге тең болмауы керек, онда жүйенің шешімі болады.

Детерминантты екі-екі матрица үшін оңай есептеуге болады, тек диагональ элементтерін бір-біріне көбейту керек. «Үштен үш» опциясы үшін |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 формуласы бар. + a 3 b 2 c 1 . Сіз формуланы пайдалана аласыз немесе жұмыста бағандар мен элементтер қатарларының нөмірлері қайталанбауы үшін әр жолдан және әр бағаннан бір элементті алу керек екенін есте сақтай аласыз.

Матрицалық әдіс арқылы сызықтық теңдеулер жүйесіне мысалдарды шешу

Шешімді табудың матрицалық әдісі айнымалылар мен теңдеулер саны көп жүйелерді шешу кезінде қолайсыз жазбаларды азайтуға мүмкіндік береді.

Мысалда a nm – теңдеулердің коэффициенттері, матрица – вектор x n – айнымалылар, ал b n – бос мүшелер.

Гаусс әдісі арқылы жүйелерді шешу

Жоғары математикада Гаусс әдісі Крамер әдісімен бірге зерттеледі, ал жүйелердің шешімдерін табу процесі Гаусс-Крамер шешу әдісі деп аталады. Бұл әдістер сызықтық теңдеулері көп жүйелердің айнымалыларын табу үшін қолданылады.

Гаусс әдісі алмастыру және алгебралық қосу арқылы шешімдерге өте ұқсас, бірақ жүйелі. Мектеп курсында 3 және 4 теңдеулер жүйелері үшін Гаусс әдісімен шешу қолданылады. Әдістің мақсаты - жүйені инверттелген трапеция түріне келтіру. Алгебралық түрлендірулер мен алмастырулар арқылы бір айнымалының мәні жүйенің теңдеулерінің бірінде табылады. Екінші теңдеу 2 белгісізі бар өрнек, ал 3 және 4 сәйкесінше 3 және 4 айнымалысы бар өрнек.

Жүйені сипатталған пішінге келтіргеннен кейін одан әрі шешім белгілі айнымалыларды жүйенің теңдеулеріне ретімен ауыстыруға келтіріледі.

7-сыныпқа арналған мектеп оқулықтарында Гаусс әдісі бойынша шешімнің мысалы келесідей сипатталған:

Мысалдан көрініп тұрғандай, (3) қадамда екі теңдеу алынды: 3x 3 -2x 4 =11 және 3x 3 +2x 4 =7. Кез келген теңдеулерді шешу x n айнымалыларының бірін табуға мүмкіндік береді.

Мәтінде айтылған 5-теоремада жүйенің теңдеулерінің бірі эквиваленттімен ауыстырылса, онда алынған жүйе де бастапқыға тең болады деп көрсетілген.

Гаусс әдісін оқушыларға түсіну қиын орта мектеп, бірақ математика және физика сабақтарында тереңдетілген оқыту бағдарламаларына қабылданған балалардың тапқырлығын дамытудың ең қызықты әдістерінің бірі болып табылады.

Жазуды жеңілдету үшін есептеулер әдетте келесідей орындалады:

Теңдеулердің және бос мүшелердің коэффициенттері матрица түрінде жазылады, мұнда матрицаның әрбір жолы жүйенің теңдеулерінің біріне сәйкес келеді. теңдеудің сол жағын оң жағынан ажыратады. Рим сандары жүйедегі теңдеулердің санын көрсетеді.

Алдымен, жұмыс істейтін матрицаны, содан кейін жолдардың бірімен орындалатын барлық әрекеттерді жазыңыз. Алынған матрица «көрсеткі» белгісінен кейін жазылады және қажетті алгебралық амалдар нәтижеге жеткенше жалғасады.

Нәтиже диагональдарының бірі 1-ге тең, ал қалған барлық коэффициенттері нөлге тең болатын матрица болуы керек, яғни матрица бірлік пішінге келтіріледі. Теңдеудің екі жағындағы сандармен есептеулер жүргізуді ұмытпау керек.

Бұл жазу әдісі азырақ және көптеген белгісіздерді тізімдеу арқылы алаңдамауға мүмкіндік береді.

Кез келген шешім әдісін ақысыз пайдалану мұқият болуды және біраз тәжірибені қажет етеді. Барлық әдістер қолданбалы сипатта бола бермейді. Шешімдерді табудың кейбір әдістері адам қызметінің белгілі бір саласында жақсырақ, ал басқалары білім беру мақсатында бар.

Сызықтық жүйенің шешімін табу
Bodrenko.com сайтындағы портативті Windows қолданбалары

§2. Сызықтық жүйенің шешімін табу

Кронеккер-Капелли теоремасы сызықтық жүйенің үйлесімділігінің қажетті және жеткілікті шартын белгілейді, бірақ бұл жүйенің шешімдерін табудың жолын бермейді.
Бұл бөлімде сызықтық жүйенің шешімдерін табамыз (3.1). Алдымен, негізгі матрицаның нөлге тең емес анықтаушысы бар квадраттық теңдеулер жүйесінің қарапайым жағдайын қарастырамыз, содан кейін (3.1) түрінің жалпы сызықтық жүйесінің барлық шешімдерінің жиынын табуға көшеміз.
1. Негізгі матрицаның нөлге тең емес анықтауышы бар сызықтық теңдеулер квадраттық жүйесі.Сызықтық теңдеулер квадраттық жүйесі берілсін

негізгі матрицаның Δ нөлдік емес анықтауышымен

Мұндай жүйенің бірегей шешімі бар екенін дәлелдейміз және біз бұл шешімді табамыз. Біріншіден, біз (3.10) жүйенің бір ғана шешімі болуы мүмкін екенін дәлелдейміз (яғни, (3.10) жүйенің шешімінің бірегейлігін оның бар екендігі туралы болжаммен дәлелдейміз).
Бұл сандарды (3.10) жүйеге ауыстырған кезде бұл жүйенің барлық теңдеулері сәйкестендіруге айналатындай (яғни, жүйенің қандай да бір шешімі бар ( 3.10) x 1, x 2,..., x n). Содан кейін сәйкестіктерді (3.10) сәйкесінше A 1j , A 2j ,..., A nj алгебралық толықтауыштарға (3.11) матрицаның Δ анықтауышының j-ro бағанының элементтеріне көбейтіп, содан кейін алынған сәйкестіктерді қоса отырып, ( кез келген j саны үшін 1, 2,..., n-ге тең)

j-ro бағанының элементтерінің сәйкес алгебралық толықтауыштары бойынша i-ші бағанның элементтерінің көбейтінділерінің қосындысы i ≠ j үшін нөлге тең және (3.11) матрицасының Δ анықтауышына тең екенін ескерсек. i = j (1-тармақтың §2 4-тармағының 4° қасиетін қараңыз), біз соңғы теңдіктен аламыз

x j Δ = b 1 A 1j + b 2 A 2j + ... + b n A nj. (3.12)

Таңба арқылы белгілейікΔ j (б мен ) (немесе қысқаша айтқанда, таңбаΔ j ) анықтауыштан алынған анықтауышΔ негізгі матрицаны (3.11) оның j-ші бағанын бос терминдер бағанымен ауыстыру арқылы b 1 , б 2 ,...,б n (барлық басқа бағандарды өзгеріссіз сақтау Δ ).
(3.12) оң жағында дәл Δ j (b i) анықтауышы бар екенін ескеріңіз (бұны тексеру үшін Δ j (b i) анықтауышының i-ші элементтері бойынша кеңеюін жазу жеткілікті. баған) және бұл теңдік пішінді алады

Δ x j = Δ j (3.13)

(3.11) матрицаның Δ анықтауышы нөлге тең емес болғандықтан (3.13) теңдіктері қатынастарға эквивалентті болады.

Сондықтан біз мұны дәлелдедік шешімі х болса 1 , x 2 ,...,X n анықтауышпен (3.10) жүйесіΔ нөлден өзгеше негізгі матрица (3.11) болса, онда бұл шешім (3.14) формулалары бойынша бірегей түрде анықталады..
(3.14) формулалар шақырылады Крамер формулалары.
Крамер формулалары осы уақытқа дейін шешімнің бар екендігі туралы болжаммен алынғанын және оның бірегейлігін дәлелдейтінін тағы бір рет атап өтейік.
(3.10) жүйенің шешімі бар екенін дәлелдеу ғана қалады. Ол үшін Кронекер-Капелли теоремасының күшімен негізгі матрицаның рангі (3.11) кеңейтілген матрицаның рангіне тең екенін дәлелдеу жеткілікті (шешім бар екенін дәлелдеудің басқа жолы бар). жүйесі (3.10), ол Крамер формулаларымен (3.14) анықталған x 1, x 2,...,x n сандары (3.10) жүйенің барлық теңдеулерін сәйкестендіруге айналдыратынын тексеруден тұрады)

бірақ бұл анық, өйткені Δ ≠ 0 қатынасына байланысты негізгі матрицаның дәрежесі n-ге тең, ал n жолды қамтитын кеңейтілген матрицаның (3.15) рангі n санынан үлкен бола алмайды, сондықтан негізгі матрицаның рангіне тең.
Бұл мұны толығымен дәлелдейді негізгі матрицаның анықтауышы нөлден өзгеше болатын сызықтық теңдеулердің квадраттық жүйесі (3.10), сонымен қатар Крамер формулаларымен (3.14) анықталатын бірегей шешімі бар.

Біз дәлелдеген тұжырымды матрицалық әдісті қолдану арқылы одан да қарапайым түрде орнатуға болады. Ол үшін (§ 1 1-тармақтағыдай) жүйені (3.10) оның эквивалентті матрицалық теңдеуімен ауыстырамыз.

AX = B, (3.16)

мұндағы А – жүйенің негізгі матрицасы (3.11), ал Х және В – бағандар,

оның біріншісі анықталуға тиіс, ал екіншісі беріледі.
А матрицасының Δ анықтауышы нөлден өзгеше болғандықтан, А -1 кері матрицасы бар (7-параграф, §2, 1-тарауды қараңыз).
(3.10) жүйенің шешімі бар деп есептейік, яғни. (3.16) матрицалық теңдеуді сәйкестендіруге айналдыратын Х бағаны бар. Сол жақта көрсетілген сәйкестікті кері A -1 матрицасына көбейтсек, біз аламыз

A -1 (AX) = A -1 V. (3.17)

Енді үш матрицаның көбейтіндісінің біріктіру қасиетіне байланысты (2-параграф, § 1, 1-тарауды қараңыз) және A -1 A = E қатынасына байланысты екенін ескерейік, мұндағы E - сәйкестік матрицасы (параграфты қараңыз). 7, §2, 1-тарау), A -1 (AX) = (A -1 A)X = EX = X, сондықтан (3.17) нүктесінен аламыз.

X = A -1 V. (3.18)

Теңдікті кеңейту (3.18) және кері матрицаның түрін ескере отырып (А.41 формуланы қараңыз) 2-тармақтың 7-тармағынан. 1), Х бағанының элементтері үшін Крамер формулаларын аламыз.
Сонымен, біз (3.16) матрицалық теңдеудің шешімі бар болса, оның Крамер формулаларына эквивалентті (3.18) қатынасы арқылы бірегей түрде анықталатынын дәлелдедік.
(3.18) қатынасымен анықталған Х бағаны шын мәнінде (3.16) матрицалық теңдеудің шешімі екенін тексеру оңай,
яғни, бұл теңдеуге ауыстырылғанда, оны сәйкестендіруге айналдырады. Шын мәнінде, егер Х бағаны (3.18) теңдігімен анықталса, онда AX = A(A -1 B) = (AA -1)B = EB = B.
Сонымен, егер А матрицасының Δ анықтауышы нөлден өзгеше болса (яғни бұл матрица сингулярлы емес болса), онда (3.16) матрица теңдеуінің бірегей шешімі бар, сонымен қатар ( 3.18), Крамер формулаларына баламалы.
Мысал. Квадраттық сызықтық теңдеулер жүйесінің шешімін табайық

негізгі матрицаның нөлге тең емес анықтауышымен

Өйткені

онда Крамер формулаларының арқасында қарастырылып отырған жүйенің жалғыз шешімі х 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3, x 4 = 4 түрінде болады.
Крамер формулаларының негізгі маңыздылығы мынада: олар сызықтық теңдеулердің квадраттық жүйесін (нөлге тең емес анықтауышы бар) теңдеулердің коэффициенттері мен еркін мүшелер арқылы шешуге арналған айқын өрнекті береді. Крамер формулаларын практикалық қолдану өте қиын есептеулерді қамтиды (n белгісізі бар n теңдеу жүйесін шешу үшін (n + 1) n-ші ретті анықтауышты есептеу керек). Бұған мынаны қосу керек: егер теңдеулер мен бос мүшелердің коэффициенттері кез келген өлшенетін физикалық шамалардың тек жуық мәндері болса немесе есептеу процесінде дөңгелектенсе, онда Крамер формулаларын қолдану үлкен қателіктерге және кейбір жағдайларда орынсыз.
4-тараудың §4-те А.Н.-ға байланысты регуляризация әдісі ұсынылатын болады. Тихонов және теңдеулер коэффициенттерінің матрицасын және бос мүшелер бағандарын көрсету дәлдігіне сәйкес келетін дәлдікпен сызықтық жүйенің шешімін табуға мүмкіндік береді және тарауда. 6 сызықтық жүйелерді шешудің итеративті әдістері туралы түсінік береді, бұл жүйе белгісіздердің дәйекті жуықтауын қолдана отырып шешуге мүмкіндік береді.
Қорытындылай келе, бұл бөлімде (3.10) жүйенің негізгі матрицасының Δ анықтауышы жойылатын жағдайды қарастырудан шығарғанымызды атап өтеміз. Бұл іс қамтылатын болады жалпы теориякелесі абзацта берілген n белгісізі бар m сызықтық теңдеулер жүйесі.
2. Жалпы сызықтық жүйенің барлық шешімдерін табу.Енді n белгісізі бар m сызықтық теңдеулердің жалпы жүйесін қарастырайық (3.1). Бұл жүйе дәйекті және оның негізгі және кеңейтілген матрицаларының рангі r санына тең деп алайық. Жалпылықты жоғалтпай, негізгі матрицаның (3.2) базистік миноры осы матрицаның сол жақ жоғарғы бұрышында орналасқан деп болжауға болады (жалпы жағдай (3.1) жүйедегі теңдеулер мен белгісіздерді қайта орналастыру арқылы осы жағдайға келтіріледі).
Сонда негізгі матрицаның (3.2) де, кеңейтілген матрицаның да (3.8) бірінші r жолдары осы матрицалардың базистік жолдары болып табылады (себебі негізгі және кеңейтілген матрицалардың рангтары екеуі де r-ге тең, негізгі матрицаның миноры. бір уақытта кеңейтілген матрицаның базистік миноры болады) , және 1.6 теорема бойынша минор негізіндегі кеңейтілген матрицаның (1.8) жолдарының әрқайсысы (r + 1)-ші жолдан бастап, сызықтық комбинациясы болып табылады. осы матрицаның бірінші r жолдары.
(3.1) жүйе тұрғысынан бұл (r + 1)-ші теңдеуден басталатын осы жүйенің әрбір теңдеуі осы жүйенің бірінші r теңдеулерінің сызықтық комбинациясы (яғни салдары) екенін білдіреді. яғни (3.1) жүйесінің бірінші r теңдеулерінің кез келген шешімі осы жүйенің барлық келесі теңдеулерінің сәйкестіктеріне айналады.).
Осылайша (3.1) жүйенің тек бірінші r теңдеулерінің барлық шешімдерін табу жеткілікті. (3.1) жүйенің бірінші r теңдеулерін түрінде жазып, қарастырайық

Егер x r+1 ,...,x n белгісіздерге c r+1 ,...,c n толық ерікті мәндерін берсек, онда (1.19) жүйесі r белгісіз x үшін r сызықтық теңдеулердің квадраттық жүйесіне айналады. 1 , x 2 , ..., x r , ал бұл жүйенің бас матрицасының анықтаушысы (3.2) матрицаның нөлдік базистік миноры болып табылады. Алдыңғы абзацтың нәтижелеріне байланысты бұл жүйеде (3.19) Крамер формулаларымен анықталған бірегей шешім бар, яғни ерікті түрде таңдалған c r+1 ,...,c n үшін c 1 ,.. сандарының бірегей жиыны бар. .,c r , (3.19) жүйенің барлық теңдеулерін сәйкестендіруге айналдырып, Крамер формулаларымен анықталады.
Бұл бірегей шешімді жазу үшін, (3.2) матрицаның негізгі миноры M алынған анықтауыштың j-ro бағанын d 1, d 2 сандарымен алмастыру арқылы M j (d i) символымен белгілеуге келісеміз, ...,d i,..., d r (М-ның барлық басқа бағандары өзгертілмей сақталады). Содан кейін (3.19) жүйенің шешімін Крамер формулаларын қолданып және анықтауыштың сызықтық қасиетін пайдаланып, аламыз.

(3.20) формулалары x j = c j (j = 1, 2,......, r) белгісіздердің мәндерін белгісіздер, бос мүшелер және r+1, арқылы ерікті берілген параметрлердің коэффициенттері арқылы өрнектейді. ..., n-мен.
Соны дәлелдеп көрейік (3.20) формулаларда (3.1) жүйенің кез келген шешімі бар. Шынында да, c (0) 1 , c (0) 2 ,...,c (0) r , c (0) r+1 , ...,c (0) n көрсетілген жүйенің ерікті шешімі болсын. . Сонда бұл (3.19) жүйенің шешімі. Бірақ (3.19) жүйесінен c (0) 1 , c (0) 2 ,...,c (0) r шамалар с (0) r+1 , ...,c (0) шамалары арқылы бірмәнді анықталады. ) n және дәл Крамер формулалары бойынша (3.20). Осылайша, бірге r+1 = c (0) r+1 , ..., бірге n = c (0) n (3.20) формулалар қарастырылатын шешімді дәл береді c (0) 1 , с (0) 2 ,...,c (0) r , с (0) r+1 , ..., б (0) n .
Түсініктеме.Егер (3.1) жүйенің негізгі және кеңейтілген матрицаларының r дәрежесі n белгісіздер санына тең болса, онда бұл жағдайда (3.20) қатынастар формулаларға айналады.

жүйенің бірегей шешімін анықтау (3.1). Осылайша, (3.1) жүйе оның негізгі және кеңейтілген матрицаларының r дәрежесі n белгісіздер санына тең (және m теңдеулерінің санынан кіші немесе оған тең) болған жағдайда бірегей шешімі бар (яғни, ол анықталған).
Мысал. Сызықтық жүйенің барлық шешімдерін табайық

Бұл жүйенің негізгі және кеңейтілген матрицаларының дәрежесі екіге тең екенін тексеру оңай (яғни, бұл жүйе үйлесімді) және негізгі минор M негізгі матрицаның сол жақ жоғарғы бұрышында деп болжауға болады. , яғни. . Бірақ содан кейін, соңғы екі теңдеуден бас тартып, 3 және 4 арқылы ерікті түрде орнату арқылы біз жүйені аламыз

x 1 - x 2 = 4 - c 3 + c 4,

x 1 + x 2 = 8 - 2c 3 - 3c 4,

одан Крамер формулалары арқылы мәндерді аламыз

x 1 = c 1 = 6 - 3/2 c 3 - c 4, x 2 = c 2 = 2 - 1/2 c 3 - 2c 4. (3,22)

Сонымен төрт сан

(6 - 3/2 c 3 - c 4,2 - 1/2 c 3 - 2c 4,c 3, c 4) (3.23)

c 3 және c 4 еркін берілген мәндері үшін олар (3.21) жүйенің шешімін құрайды, ал (3.23) жолда осы жүйенің барлық шешімдері қамтылған.

3. Шешімдер жиынының қасиеттері біртекті жүйе. Енді жоғарыдағыдай (3.2) матрицаның r-ге тең рангі бар, ал базистік минор M осының жоғарғы сол жақ бұрышында орналасқан деп есептей отырып, n белгісіз (3.7) m сызықтық теңдеулердің біртекті жүйесін қарастырайық. матрица. Осы уақытта барлық b i нөлге тең болғандықтан (3.20) формулалардың орнына келесі формулаларды аламыз:

белгісіздердің коэффициенттері арқылы x j = c j (j = 1, 2,..., r) белгісіздердің мәндерін және ерікті берілген c r+1 ,...,c n мәндерін өрнектеу. Алдыңғы абзацта дәлелденген нәрсеге байланысты (3.24) формулаларында біртекті жүйенің (3.7) кез келген шешімі бар..
Енді жиынтықтың екеніне көз жеткізейік біртекті жүйенің барлық шешімдерінің (3.7) сызықтық кеңістігін құрайды.
X 1 = (x (1) 1, x (1) 2,...,x (1) n) және X 2 = (x (2) 1, x (2) 2,...,x () болсын. 2) n) біртекті жүйенің екі ерікті шешімі (3.7), ал λ кез келген нақты сан. Біртекті жүйенің (3.7) әрбір шешімі n санның барлық реттелген жиынының A n сызықтық кеңістігінің элементі болғандықтан, екі жиынның әрқайсысының

X 1 + X 2 = (x (1) 1 + x (2) 1 ,..., x (1) n + x (2) n)

λ X 1 = (λ x (1) 1 ,...,λ x (1) n)

біртекті жүйенің шешімі болып табылады (3.7).
(3.7) жүйенің кез келген теңдеуін, мысалы, i-ші теңдеуді қарастырайық және белгісіздердің орнына көрсетілген жиындардың элементтерін осы теңдеуге қоямыз. X 1 және X 2 біртекті жүйенің шешімдері екенін ескерсек, бізде болады

және бұл X 1 + X 2 және λ X 1 жиындары біртекті жүйенің (3.7) шешімдері екенін білдіреді.
Сонымен, біртекті жүйенің барлық шешімдерінің жиыны (3.7) сызықтық кеңістікті құрайды, оны R символымен белгілейміз.
Осы R кеңістігінің өлшемін тауып, оған базис тұрғызайық.
Біртекті жүйенің матрицасының рангі (3.7) r-ге тең деген болжаммен дәлелдейік, біртекті жүйенің (3.7) барлық шешімдерінің R сызықтық кеңістігі А сызықтық кеңістігіне изоморфты. n-r (n - r) сандардың барлық реттелген жиындары(A m кеңістігі 3-мысалда, 1-бөлім, 1-бөлім, 2-тарауда енгізілген).

Біртекті жүйенің (3.7) әрбір шешімін (c 1 ,...,c r , c r+1 ,...,c n) элементімен (c r+1 ,...,c n) байланыстырайық. ғарыш А n-r c r+1 ,...,c n сандарын (3.24) формулаларды пайдалана отырып, ерікті түрде және әрбір таңдауда таңдауға болатындықтан, олар (3.7) жүйенің шешімін бірмәнді анықтайды, онда біз белгілеген сәйкестік бір-бір. Әрі қарай, егер кеңістіктің c (1) r+1 ,...,c (1) n және c (2) r+1 ,...,c (2) n элементтері болса. А n-r(c (1) 1 ,...,c (1) r , c (1) r+1 ,...,c (1) n) және (c (2) 1 ,...) элементтеріне сәйкес келеді. ,c (2) r , c (2) r+1 ,...,c (2) n) R кеңістігі, онда (3.24) формулаларынан бірден (c (1) r+1) элементі шығады. + c (2 ) r+1 ,...,c (1) n +c (2) n) (c (1) 1 + c (2) 1 ,...,c (1) элементіне сәйкес келеді. r + c (2) r , c (1) r+1 + c (2) r+1 ,...,c (1) n +c (2) n) және элемент (λ c (1) r+1 ,... ,λ c (1) n) кез келген нақты λ үшін (λ c (1) 1 ,...,λ c (1) r , λ c (1) r+1 ,) элементіне сәйкес келеді. ...,λ c (1 ) n). Бұл біз белгілеген сәйкестіктің изоморфизм екенін дәлелдейді.
Сонымен, n белгісізі бар біртекті жүйенің (3.7) барлық шешімдерінің R сызықтық кеңістігі және негізгі матрицаның рангі r-ге тең кеңістікке изоморфты болады. А n-rжәне, демек, n - r өлшемі бар.
Біртекті жүйенің (3.7) сызықты тәуелсіз шешімдерінің кез келген жиыны (2.5 теоремасының күші бойынша) барлық шешімдердің R кеңістігінде базис құрайды және біртекті жүйе шешімдерінің іргелі жиыны (3.7) деп аталады. .
Шешімдердің іргелі жиынтығын құру үшін кеңістіктегі кез келген негізден бастауға болады А n-r. Осы негізге сәйкес келетін (3.7) жүйенің шешімдер жиыны изоморфизмге байланысты сызықты тәуелсіз болады және сондықтан шешімдердің іргелі жиынтығы болады.
Е 1 = (1, 0, 0,..., 0), e 2 = (1, 1, 0,) ең қарапайым базиске сәйкес келетін (3.7) жүйе шешімдерінің іргелі жиынтығына ерекше назар аударылады. .., 0), ... , e n-r = (0, 0, 0,..., 1) бос орындар А n-rжәне біртекті жүйенің ерітінділерінің қалыпты іргелі жиыны (3.7) деп аталады.
(3.24) формулалар арқылы базис минорының дәрежесі мен орналасуы туралы жоғарыда келтірілген болжамдар бойынша біртекті жүйенің (3.7) шешімдерінің қалыпты іргелі жиыны келесідей болады:

Базистің анықтамасы бойынша біртекті жүйенің кез келген Х шешімі (3.7) түрінде ұсынылуы мүмкін.

X= C 1 X 1 + C 2 X 2 + ... + C n-r X n-r , (3.26)

мұндағы C 1, C 2, ..., C n-r кейбір тұрақтылар. (3.26) формула біртекті жүйенің (3.7) кез келген шешімін қамтитындықтан, бұл формула қарастырылып отырған біртекті жүйенің жалпы шешімін береді.
Мысал. Біртекті теңдеулер жүйесін қарастырайық:

алдыңғы параграфтың соңындағы мысалда талданған біртекті емес жүйеге (3.21) сәйкес келеді. Онда біз бұл жүйенің матрицасының r дәрежесі екіге тең екенін анықтадық және негіз ретінде көрсетілген матрицаның сол жақ жоғарғы бұрышындағы минорды алдық.
Алдыңғы абзацтың соңында жүргізілген пайымдауды қайталай отырып, формулалардың орнына (3.22) қатынастарды аламыз.

c 1 = - 3/2 c 3 - c 4, c 2 = - 1/2 c 3 - 2c 4,

ерікті түрде таңдалған c 3 және c 4 үшін жарамды. Осы қатынастарды пайдалана отырып (әуелі c 3 =1,c 4 =0, содан кейін c 3 = 0,c 4 = 1 деп есептей отырып) (3.27) жүйенің екі шешімінің қалыпты іргелі жиынын аламыз:

X 1 = (-3/2,-1/2,1,0), X 2 = (-1,-2, 0,1). (3,28)

мұндағы C 1 және C 2 ерікті тұрақтылар.
Бұл бөлімді қорытындылау үшін біртекті емес сызықтық жүйенің (3.1) және сәйкес біртекті жүйенің (3.7) шешімдері арасында байланыс орнатамыз (белгісіздер үшін бірдей коэффициенттермен). Келесі екі тұжырымды дәлелдеп көрейік.
1°. Біртекті емес жүйенің (3.1) кез келген шешімімен сәйкес біртекті жүйенің (3.7) кез келген ерітіндісінің қосындысы (3.1) жүйенің шешімі болып табылады.
Шындығында, егер c 1 ,...,c n (3.1) жүйенің шешімі болса, a d 1 ,...,d n сәйкес біртекті жүйенің (3.7) шешімі болса, онда кез келгенінде алмастыру (мысалы, i-ші ) жүйенің теңдеуі (3.1) белгісіз сандардың орнына c 1 + d 1 ,...,c n + d n , аламыз

Q.E.D.
2°. Біртекті емес жүйенің екі ерікті шешімдерінің айырмасы (3.1) сәйкес біртекті жүйенің (3.7) шешімі болып табылады.
Шын мәнінде, егер c" 1 ,...,c" n және c" 1 ,...,c" n (3.1) жүйесінің екі ерікті шешімі болса, онда кез келгенінде (мысалы, i-де) алмастыру th) c" 1 - c" 1 ,...,c" n - c" n белгісіз сандарының орнына (3.7) жүйенің теңдеуін аламыз.

Q.E.D.
Дәлелденген мәлімдемелерден мынаны аңғаруға болады: Біртекті емес жүйенің (3.1) бір шешімін тауып, оны сәйкес біртекті жүйенің (3.7) әрбір ерітіндісіне қосып, біртекті емес жүйенің (3.1) барлық ерітінділерін аламыз.
Басқа сөзбен, біртекті емес жүйенің нақты шешімі (3.1) мен сәйкес біртекті жүйенің жалпы шешімі (3.7) қосындысы біртекті емес жүйенің (3.1) жалпы шешімін береді.
Біртекті емес жүйенің (3.1) белгілі бір шешімі ретінде бұл шешімді қабылдау заңды (жоғарыдағыдай жүйенің негізгі және кеңейтілген матрицаларының (3.1) қатарлары r-ге тең және негізгі минор осы матрицалардың сол жақ жоғарғы бұрышында орналасқан)

ол (3.20) формулаларда c r+1 ,...,c n барлық сандарын нөлге теңестірсек, алынады. Осы нақты шешімді сәйкес біртекті жүйенің жалпы шешіміне (3.26) қосып, біртекті емес жүйенің (3.1) жалпы шешімі үшін келесі өрнекті аламыз:

X= X 0 + C 1 X 1 + C 2 X 2 + ... + C n-r X n-r . (3,30)

Бұл өрнекте X 0 белгілі бір шешімді (3.29) білдіреді, C 1 , C 2 , ... , C n-r - ерікті тұрақтылар, ал X 1 , X 2 ,... , X n-r - қалыпты негізгі жиынның элементтері. ерітінділердің (3.25) сәйкес біртекті жүйесі.
Осылайша, алдыңғы абзацтың соңында қарастырылған біртекті емес жүйе (3.21) үшін (3.29) түрінің нақты шешімі X 0 = (6,2,0, 0) тең.
Осы нақты шешімді сәйкес біртекті жүйенің (3.27) жалпы шешіміне (3.28) қосып, біртекті емес жүйенің (3.21) келесі жалпы шешімін аламыз:

X = (6,2,0, 0) + C 1 (-3/2,-1/2,1,0) + C 2 (-1,-2, 0,1). (3,31)

Мұндағы C 1 және C 2 ерікті тұрақтылар.
4. Сызықтық жүйелерді шешу бойынша қорытынды сөз.Алдыңғы параграфтарда әзірленген сызықтық жүйелерді шешу әдістері
матрицаның рангін есептеу және оның негізін минор табу қажеттілігіне сүйенеді. Негізгі минор табылғаннан кейін шешім анықтауыштарды есептеу техникасына және Крамер формулаларын қолдануға келеді.
Матрицаның дәрежесін есептеу үшін келесі ережені қолдануға болады: матрицаның рангін есептеу кезінде төменгі дәрежелі кәмелетке толмағандардан жоғары дәрежелі кәмелетке толмағандарға өту керек; Оның үстіне, егер k ретті нөлдік емес минор M табылған болса, онда тек қана шекаралас (k+1) ретті минорлар.(яғни олардың ішінде кіші М бар) бұл кәмелетке толмаған М; егер барлық шекаралас кіші реттілер (k + 1) нөлге тең болса, матрицаның дәрежесі k-ға тең(шын мәнінде, көрсетілген жағдайда матрицаның барлық жолдары (бағандары) оның k қатарларының (бағандарының) сызықтық корпусына жатады, олардың қиылысында кіші M бар, ал көрсетілген сызықтық корпустың өлшемі k-ға тең).
Матрицаның рангін есептеудің басқа ережесін де көрсетейік. Матрицаның жолдарымен (бағандарымен) орындауға болатынын ескеріңіз үш элементарлық операция, бұл матрицаның дәрежесін өзгертпейтін: 1) екі жолды (немесе екі бағанды) ауыстыру, 2) жолды (немесе бағанды) кез келген нөлдік емес коэффициентке көбейту, 3) бір жолға (бағанға) қосу басқа жолдардың (бағандардың) ерікті сызықтық комбинациясы (1) және 2) операциялар матрицаның сызықты тәуелсіз жолдарының (бағандарының) максималды санын өзгертпеуіне байланысты бұл үш операция матрицаның дәрежесін өзгертпейді, және 3) операция осы операцияны орындағанға дейін бар барлық жолдардың (бағандардың) сызықтық аралығы осы операцияны орындағаннан кейін алынған барлық жолдардың (бағандардың) сызықтық конвертімен сәйкес келетін қасиетіне ие.
Құрамында m жол мен n баған бар ||a ij || матрицасы бар екенін айтамыз. диагональпішіні, егер оның 11, a 22,.., a rr-ден басқа барлық элементтері нөлге тең болса, мұндағы r = min(m, n). Мұндай матрицаның дәрежесі r-ге тең екені анық.
Соған көз жеткізейік кез келген матрицаны үш элементар операцияны қолдану

қиғаш пішінге келтіруге болады(бұл оның дәрежесін есептеуге мүмкіндік береді).

Шын мәнінде, егер (3.31) матрицаның барлық элементтері нөлге тең болса, онда бұл матрица диагональдық түрге келтірілді. Ана болса
қабырғалардың (3.31) нөлдік емес элементтері бар, содан кейін екі жолды және екі бағанды ​​қайта реттеу арқылы a 11 элементінің нөл емес екеніне көз жеткізуге болады. Матрицаның бірінші жолын 11 -1-ге көбейткеннен кейін a 11 элементін бірге айналдырамыз. Матрицаның j-ro бағанынан әрі қарай шегеру (j = 2, 3,..., n үшін) бірінші бағанды ​​i1-ге көбейту, содан кейін келесіден алу i-ші жол(i = 2, 3,..., n үшін) бірінші жолды i1-ге көбейткенде (3.31) орнына келесі түрдегі матрицаны аламыз:

Фреймге түсірілген матрицамен бұрын сипатталған амалдарды орындап, сол сияқты әрекет етуді жалғастыра отырып, ақырғы қадамдардан кейін диагональды матрицаны аламыз.
Алдыңғы абзацтарда көрсетілген сызықтық жүйелерді шешу әдістері, сайып келгенде, Крамер формулаларының аппаратын қолданатын, теңдеулер мен бос мүшелердің коэффициенттерінің мәндері шамамен берілген немесе осы мәндер берілген жағдайда үлкен қателіктерге әкелуі мүмкін. есептеу барысында дөңгелектенеді.
Бұл, ең алдымен, негізгі анықтауышқа (немесе базистік минорға) сәйкес келетін матрица болған жағдайға қатысты. нашар кондицияланған(яғни, осы матрицаның элементтеріндегі «кіші» өзгерістер кері матрицаның элементтеріндегі «үлкен» өзгерістерге сәйкес келгенде). Әрине, бұл жағдайда сызықтық жүйенің шешімі болады тұрақсыз(яғни, теңдеулер коэффициенттерінің мәндеріндегі «кіші» өзгерістер және бос мүшелер шешімдегі «үлкен» өзгерістерге сәйкес келеді).
Көрсетілген жағдайлар шешімді табудың басқа да (Крамер формулаларынан өзгеше) теориялық алгоритмдерін де, сызықтық жүйелерді шешудің сандық әдістерін де әзірлеу қажеттілігіне әкеледі.
§4 4 тарауда біз танысамыз регуляризация әдісі А.Н. Тихоновадеп аталатынды табу қалыпты(яғни басына ең жақын) сызықтық жүйенің шешімі.
6-тарау деп аталатындар туралы негізгі ақпаратты береді итерациялық әдістербелгісіздердің дәйекті жуықтауын пайдалана отырып, осы жүйелерді шешуге мүмкіндік беретін сызықтық жүйелердің шешімдері.