Көпмүшелерді бөлу. Көпмүшені қалдықпен көпмүшеге бөлу Көпмүшені биномға бөлу мысалдары

Көпмүшелерден құралған бұрыс бөлшекті көпмүше мен дұрыс бөлшектің қосындысы ретінде көрсетуге болатыны дәлелденген. Көпмүшелерді бұрышпен бөлу және бағанмен көбейту мысалдары егжей-тегжейлі талданады.

Мазмұны

Теорема

P k болсын (x),Qn (x)тиісінше k және n дәрежелерінің х айнымалысындағы, k ≥ n болатын көпмүшелер. (x)Сонда P k көпмүшесі
(1) келесі формада жалғыз түрде ұсынылуы мүмкін: Pk,
(x) = S k-n (x) Q n (x) + U n-1 (x) (x)мұндағы S k-n - k-n, U n- дәрежелі көпмүше 1(x) 1 - n-ден жоғары емес дәрежелі көпмүше

, немесе нөл.

Дәлелдеу
;
;
;
,
Көпмүшенің анықтамасы бойынша:

Мұндағы p i, q i – белгілі коэффициенттер, s i, u i – белгісіз коэффициенттер.
.
Белгілеуді енгізейік: (1) :
;
(2) .
ауыстырайық 1 Оң жақтағы бірінші мүшесі k дәрежелі көпмүше.
Екінші және үшінші мүшелердің қосындысы дәрежесі k-ден жоғары емес көпмүше болып табылады.
.

x k үшін коэффициенттерді теңестірейік: (2) :
.
p k = s k-n q n .
Демек, s k-n = p k / q n. 1 Теңдеуді түрлендірейік
(3) .

Белгісін енгізейік: . (1) s k-n = p k / q n болғандықтан, онда x k үшін коэффициент нөлге тең болады. Сондықтан - бұл k-ден жоғары емес дәрежелі көпмүше - 1 , . Сонда алдыңғы теңдеуді келесі түрде қайта жазуға болады: Бұл теңдеудің пішіні теңдеумен бірдей, тек k мәні болды
,
Аздау. Мұны қайталау - k-n, U n- дәрежелі көпмүше.

k-n процедурасы 0 рет, біз мына теңдеуді аламыз:

одан U n- көпмүшесінің коэффициенттерін анықтаймыз.

Сонымен, біз барлық белгісіз коэффициенттерді анықтадық s i, ul. (1) Сонымен қатар, s k-n ≠ (x).
(4) .
Лемма дәлелденген. (x)Көпмүшелерді бөлу - k-n, U n- дәрежелі көпмүшеТеңдеудің екі жағын бөлу

Qn бойынша (4) , біз аламыз:

Ондық сандарға ұқсастық бойынша, S k-n 10 бөлшектің немесе бөлімнің бүтін бөлігі деп аталады, U n-
.
- бөлімнің қалған бөлігі. Алымдағы көпмүшенің дәрежесі бөлгіштегі көпмүшенің дәрежесінен кіші болатын көпмүшенің бөлімін меншікті бөлшек деп атайды. Алымдағы көпмүшенің дәрежесі бөлгіштегі көпмүшенің дәрежесінен үлкен немесе оған тең болатын көпмүшелердің бөлігін бұрыс бөлшек деп атайды. 10 .

2, 6, 5, 8, 4, 7 сандары санның 10 дәрежесіне кеңею коэффициенттері болып табылады.

Сондықтан сандарды бөлуге қолданылатын бөлу ережесін (кейде ұзақ бөлу деп те атайды) көпмүшелерге қолдануға болады. Жалғыз айырмашылығы, көпмүшелерді бөлу кезінде тоғыздан үлкен сандарды ең үлкен сандарға айналдырудың қажеті жоқ. Нақты мысалдар арқылы көпмүшелерді бұрышпен бөлу процесін қарастырайық.

.

Көпмүшелерді бұрышпен бөлуге мысал 4 ≥ 2 Мұнда алым төртінші дәрежелі көпмүшені қамтиды. Бөлгіш – екінші дәрежелі көпмүше. бері

, онда бөлшек дұрыс емес. Көпмүшелерді бұрышпен (бағанда) бөліп, бүкіл бөлікті таңдайық: берейікегжей-тегжейлі сипаттама

1.1 бөлу процесі. Бастапқы көпмүшелерді сол және оң жақ бағандарға жазамыз. Бөлгіш көпмүшенің астына оң жақ бағанға көлденең сызық (бұрыш) сызыңыз. Бұл сызықтың астында, бұрыштың астында бөлшектің тұтас бөлігі болады.

1.2 Бүкіл бөліктің бірінші мүшесін табамыз (бұрыш астында). Ол үшін алымның бас мүшесін бөлгіштің бас мүшесіне бөлеміз: . Көбейту 2 x 2 x бойынша:
2 - 3 x + 5

1.3 . Нәтижені сол жақ бағанға жазамыз:

.

Сол жақ бағандағы көпмүшелердің айырмасын аламыз:
.

Сонымен, біз аралық нәтиже алдық: 3 Оң жақтағы бөлшек дұрыс емес, себебі алымдағы көпмүшенің дәрежесі ( 2 ) бөлгіштегі көпмүшенің дәрежесінен үлкен немесе оған тең (
2.1 ). Біз есептеулерді қайталаймыз. Енді ғана бөлшектің алымы сол жақ бағанның соңғы жолында.

2.2 Алымның бас мүшесін бөлгіштің бас мүшесіне бөлейік: ;

2.3 Бөлгішке көбейту: ;


Ал сол жақ бағанның соңғы жолынан шегеріңіз: ;
.

Аралық нәтиже:
3.1 ;
3.2 ;
3.3 ;


Оң жақта дұрыс емес бөлшек болғандықтан, біз есептеулерді қайталаймыз.
.
Сонымен бізде: 1 < 2 Оң бөлшектің алымындағы көпмүшенің дәрежесі бөлгіштегі көпмүшенің дәрежесінен кіші,

;
.Сондықтан бөлшек дұрыс.
2 x 2 - 4 x + 1 8 - бұл тұтас бөлік;

x-

- бөлімнің қалған бөлігі.
.

2-мысал

Бөлшектің бүтін бөлігін таңдап, бөлімнің қалған бөлігін табыңыз:
.

Біз алдыңғы мысалдағыдай әрекеттерді орындаймыз:

Мұнда бөлімнің қалдығы нөлге тең:

Көпмүшелерді бағанға көбейту

Сондай-ақ, бүтін сандарды көбейту сияқты бағандағы көпмүшелерді көбейтуге болады. Нақты мысалдарды қарастырайық.
.

1

2.1
.

2.2
.

2.3
.
Көпмүшелерді бағанға көбейтуге мысал

3
;
;
;
.

Көпмүшелердің көбейтіндісін табыңыз:

x-

Нәтижені х дәрежелерін теңестіре отырып, бағанға жазамыз.
.

Бағандағы көпмүшелерді көбейту кезінде х айнымалысының бірдей дәрежелерін бірінің астына жазу маңызды. Егер х-тің кейбір дәрежелері жоқ болса, онда олар анық жазылады, нөлге көбейтіледі немесе бос орындар қалдырылады.

Бұл мысалда кейбір дәрежелер жоқ. Сондықтан біз оларды нөлге көбейтіп, анық жазамыз:
.
Бағандағы көпмүшелерді көбейту.

1 Бастапқы көпмүшелерді бір-бірінің астына бағанға жазып, түзу жүргіземіз.

2.1 Екінші көпмүшенің ең төменгі мүшесін бірінші көпмүшеге көбейтіңіз:
.
Нәтижені бағанға жазамыз.

2.2 Екінші көпмүшенің келесі мүшесі нөлге тең. Демек, оның бірінші көпмүше бойынша көбейтіндісі де нөлге тең. Нөлдік жол жазылмауы мүмкін.

2.3 Екінші көпмүшенің келесі мүшесін бірінші көпмүшеге көбейтіңіз:
.
Көпмүшелерді бағанға көбейтуге мысал

2.3 Екінші көпмүшенің келесі (ең жоғары) мүшесін бірінші көпмүшеге көбейтеміз:
.
Көпмүшелерді бағанға көбейтуге мысал

3 Екінші көпмүшенің барлық мүшелері біріншіге көбейтілгеннен кейін, түзу жүргізіп, х дәрежелері бірдей мүшелерді қосыңыз:
.

Жалпы көрінісмономиялық

f(x)=ax n, Мұнда:

-а- жиындардың кез келгеніне жатуы мүмкін коэффициент N, Z, Q, R, C

-x- айнымалы

-nжиынға жататын көрсеткіш Н

Екі мономдік бірдей айнымалы және бірдей көрсеткішке ие болса, ұқсас болады.

Мысалдар: 3х2Және -5х2; ½x 4Және 2√3x4

Бір-біріне ұқсамайтын мономдардың қосындысы көпмүше (немесе көпмүше) деп аталады. Бұл жағдайда мономалдар көпмүшенің мүшелері болып табылады. Құрамында екі мүшесі бар көпмүше бином (немесе бином) деп аталады.
Мысалы: p(x)=3x 2 -5; h(x)=5x-1
Құрамында үш мүшесі бар көпмүше үшмүше деп аталады.

Бір айнымалысы бар көпмүшенің жалпы көрінісі

Қайда:

• a n ,a n-1 ,a n-2 ,...,a 1 ,a 0- көпмүшелік коэффициенттер. Олар натурал, бүтін, рационал, нақты немесе күрделі сандар болуы мүмкін.
• а п- ең үлкен көрсеткіші бар терминнің коэффициенті (жетекші коэффициент)
• а 0- көрсеткіші ең кіші мүшенің коэффициенті (бос мүше немесе тұрақты)
• n- көпмүшелік дәрежесі

1-мысал
p(x)=5x 3 -2x 2 +7x-1

• коэффициенттері бар үшінші дәрежелі көпмүше 5, -2, 7 Және -1
• 5 - жетекші коэффициент
• -1 - тегін мүше
• x- айнымалы

2-мысал
h(x)=-2√3x 4 +½x-4

• коэффициенттері бар төртінші дәрежелі көпмүше -2√3.½Және -4
• -2√3 - жетекші коэффициент
• -4 - тегін мүше
• x- айнымалы

Көпмүшелерді бөлу

p(x)Және q(x)- екі көпмүше:
p(x)=a n x n +a n-1 x n-1 +...+a 1 x 1 +a 0
q(x)=a p x p +a p-1 x p-1 +...+a 1 x 1 +a 0

Бөлудің бөлімі мен қалдығын табу p(x)қосулы q(x), келесі алгоритмді пайдалану керек:

1. Дәреже p(x)артық немесе тең болуы керек q(x).
2. Екі көпмүшені де дәреженің кему ретімен жазуымыз керек. Егер кірсе p(x)ешқандай дәрежесі бар термин жоқ, оны 0 коэффициентімен қосу керек.
3. Жетекші мүше p(x)жетекші мүшеге бөлінеді q(x), ал нәтиже бөлу сызығының астына (бөлгіште) жазылады.
4. Нәтижені барлық мүшелерге көбейтіңіз q(x)және нәтижені шарттардың астына қарама-қарсы таңбалармен жаз p(x)тиісті дәрежелері бар.
5. Терминдер бойынша бірдей өкілеттіктері бар шарттарды қосыңыз.
6. Қалған шарттарды нәтижеге тағайындаймыз p(x).
7. Алынған көпмүшенің бас мүшесін көпмүшенің бірінші мүшесіне бөл q(x)және 3-6 қадамдарды қайталаңыз.
8. Бұл процедура жаңадан алынған көпмүше одан кіші дәрежеге ие болғанша қайталанады q(x). Бұл көпмүше бөлімнің қалдығы болады.
9. Бөлу сызығының астында жазылған көпмүше бөлудің (бөліндінің) нәтижесі болып табылады.

1-мысал
1 және 2-қадам) $p(x)=x^5-3x^4+2x^3+7x^2-3x+5 \\ q(x)=x^2-x+1$

3) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

4) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

5) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

6) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

/ -2х 4 -х 3 +7х 2 -3х+5

7) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

/ -2x 4 +x 3 +7x 2 -3x+5

2x 4 -2x 3 +2x 2

/ -х 3 +9х 2 -3х+5

8) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

/ -2х 4 -х 3 +7х 2 -3х+5

2x 4 -2x 3 +2x 2

/ -х 3 +9х 2 -3х+5

/ 6x-3 STOP

x 3 -2x 2 -x+8 --> C(x) Жеке

Жауабы: p(x) = x 5 - 3x 4 + 2x 3 + 7x 2 - 3x + 5 = (x 2 - x + 1)(x 3 - 2x 2 - x + 8) + 6x - 3

2-мысал
p(x)=x 4 +3x 2 +2x-8
q(x)=x 2 -3x

X 4 +0x 3 +3x 2 +2x-8

/ 3x 3 +3x 2 +2x-8

/ 38x-8 r(x) ТОҚТАТУ

x 2 +3x+12 --> C(x) Бөлшек

Жауабы: x 4 + 3x 2 + 2x - 8 = (x 2 - 3x)(x 2 + 3x + 12) + 38x - 8

Бірінші дәрежелі көпмүшеге бөлу

Бұл бөлуді жоғарыда аталған алгоритм арқылы немесе Хорнер әдісі арқылы одан да жылдам орындауға болады.
Егер f(x)=a n x n +a n-1 x n-1 +...+a 1 x+a 0, көпмүшені келесі түрде қайта жазуға болады f(x)=a 0 +x(a 1 +x(a 2 +...+x(a n-1 +a n x)...))

q(x)- бірінші дәрежелі көпмүше ⇒ q(x)=mx+n
Сонда бөлімдегі көпмүше дәрежесі болады n-1.

Хорнер әдісі бойынша $x_0=-\frac(n)(m)$.
b n-1 =a n
b n-2 =x 0 .b n-1 +a n-1
b n-3 =x 0 .b n-2 +a n-2
...
b 1 =x 0 .b 2 +a 2
b 0 =x 0 .b 1 +a 1
r=x 0 .b 0 +a 0
Қайда b n-1 x n-1 +b n-2 x n-2 +...+b 1 x+b 0- жеке. Қалдық нөлдік дәрежелі көпмүше болады, өйткені қалдықтағы көпмүшенің дәрежесі бөлгіштің дәрежесінен кіші болуы керек.
Қалдықпен бөлу ⇒ p(x)=q(x).c(x)+r ⇒ p(x)=(mx+n).c(x)+rегер $x_0=-\frac(n)(m)$
Ескертіп қой p(x 0)=0.c(x 0)+r ⇒ p(x 0)=r

3-мысал
p(x)=5x 4 -2x 3 +4x 2 -6x-7
q(x)=x-3
p(x)=-7+x(-6+x(4+x(-2+5x))))
x 0 =3

b 3 =5
b 2 =3,5-2=13
b 1 =3,13+4=43 ⇒ c(x)=5x 3 +13x 2 +43x+123; r=362
b 0 =3,43-6=123
r=3,123-7=362
5x 4 -2x 3 +4x 2 -6x-7=(x-3)(5x 3 +13x 2 +43x+123)+362

4-мысал
p(x)=-2x 5 +3x 4 +x 2 -4x+1
q(x)=x+2
p(x)=-2x 5 +3x 4 +0x 3 +x 2 -4x+1
q(x)=x+2
x 0 =-2
p(x)=1+x(-4+x(1+x(0+x(3-2x))))

b 4 =-2          b 1 =(-2).(-14)+1=29
b 3 =(-2).(-2)+3=7     b 0 =(-2).29-4=-62
b 2 =(-2).7+0=-14     r=(-2).(-62)+1=125
⇒ c(x)=-2x 4 +7x 3 -14x 2 +29x-62; r=125
-2x 5 +3x 4 +x 2 -4x+1=(x+2)(-2x 4 +7x 3 -14x 2 +29x-62)+125

5-мысал
p(x)=3x 3 -5x 2 +2x+3
q(x)=2x-1
$x_0=\frac(1)(2)$
p(x)=3+x(2+x(-5+3x))
b 2 =3
$b_1=\frac(1)(2)\cdot 3-5=-\frac(7)(2)$
$b_0=\frac(1)(2)\cdot \left(-\frac(7)(2)\оң)+2=-\frac(7)(4)+2=\frac(1)(4) )$
$r=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(4)+3=\frac(1)(8)+3=\frac(25)(8) \оң жақ көрсеткі c(x)= 3x^2-\frac(7)(2)x+\frac(1)(4)$
$\Rightarrow 3x^3-5x^2+2x+3=(2x-1)(3x^2--\frac(7)(2)x+\frac(1)(4))+\frac(25) (8)$
Қорытынды
Бірден жоғары дәрежелі көпмүшелікке бөлетін болсақ, бөлім мен қалдықты табу үшін алгоритмді пайдалануымыз керек. 1-9 .
Бірінші дәрежелі көпмүшеге бөлсек mx+n, содан кейін үлесті және қалдықты табу үшін $x_0=-\frac(n)(m)$ арқылы Хорнер әдісін қолдану керек.
Бізді бөлімнің қалған бөлігі ғана қызықтырса, оны табу жеткілікті p(x 0).
6-мысал
p(x)=-4x 4 +3x 3 +5x 2 -x+2
q(x)=x-1
x 0 =1
r=p(1)=-4,1+3,1+5,1-1+2=5
r=5

Бүгін біз көпмүшелерді бір-біріне бөлуді үйренеміз және жай сандарға ұқсастық арқылы бөлуді бұрышпен орындаймыз. Бұл өте пайдалы әдіс, өкінішке орай, көптеген мектептерде оқытылмайды. Сондықтан мына бейне сабақты мұқият тыңдаңыз. Мұндай бөлуде күрделі ештеңе жоқ.

Алдымен екі санды бір-біріне бөлейік:

Мұны қалай жасауға болады? Ең алдымен, біз көптеген биттерді кесіп тастадық, нәтижесінде пайда болады сандық мәнбөлетінімізден де көп болды. Бір цифрды кесіп тастасақ, бес шығады. Он жеті беске сыймайтыны анық, сондықтан аздық етеді. Біз екі санды аламыз - біз 59 аламыз - бұл қазірдің өзінде он жетіден асады, сондықтан операцияны орындай аламыз. Сонда он жеті 59-ға неше рет сәйкес келеді? Үшеуін алайық. Нәтижені 59-ның астына көбейтіп жазамыз. Барлығы 51-ді аламыз. Алып тастасақ, «сегіз» аламыз. Енді біз келесі цифрды алып тастаймыз - бес. 85-ті он жетіге бөліңіз. Бес алайық. Он жетіні беске көбейтейік, сонда 85 шығады. Алып тастасақ, нөл шығады.

Нақты мысалдарды шешу

№1 тапсырма

Енді сол қадамдарды сандармен емес, көпмүшелермен орындайық. Мысалы, мынаны алайық:

\[\frac(((x)^(2))+8x+15)(x+5)=x+3\]

Назар аударыңыз, егер сандарды бір-біріне бөлу кезінде біз дивиденд әрқашан бөлгіштен үлкен болады дегенді білдірсек, онда көпмүшелерді бұрышқа бөлген жағдайда, дивидендтің дәрежесі бөлгіштен үлкен болуы керек. Біздің жағдайда бәрі тәртіппен - біз екінші және бірінші дәрежелі құрылыстармен жұмыс істейміз.

Сонымен, бірінші қадам: бірінші элементтерді салыстырыңыз. Сұрақ: $((x)^(2))$ алу үшін $x$ санын неге көбейту керек? Әлбетте, тағы $x$. $x+5$ санын біз тапқан $x$ санына көбейтіңіз. Бізде $((x)^(2))+5$ бар, оны дивидендтен алып тастаймыз. Бұл $3x$ қалады. Енді келесі терминді алып тастаймыз - он бес. Бірінші элементтерді қайтадан қарастырайық: $3x$ және $x$. $3x$ алу үшін $x$-ды нешеге көбейту керек? Әлбетте, үш. $x+5$ мүшесін үшке көбейтеміз. Біз шегергенде, біз нөлге ие боламыз.

Көріп отырғаныңыздай, бұрышпен бөлудің бүкіл операциясы дивиденд пен бөлгіштің ең жоғары коэффициенттерін салыстыруға дейін қысқартылды. Бұл сандарды бөлуге қарағанда оңайырақ. Сандардың белгілі бір санын таңдаудың қажеті жоқ - біз әр қадамда ең жоғары элементтерді салыстырамыз. Бұл бүкіл алгоритм.

№2 есеп

Қайталап көрейік:

\[\frac(((x)^(2))+x-2)(x-1)=x+2\]

Бірінші қадам: жетекші коэффициенттерді қараңыз. $((x)^(2))$ жазу үшін $x$ санын қаншаға көбейту керек? Мүшені мүшеге көбейтеміз. Назар аударыңыз, шегерген кезде біз дәл $2x$ аламыз, өйткені

Біз -2-ні алып тастаймыз және қайтадан бөлгіштің ең жоғары элементімен алынған бірінші коэффициентті салыстырамыз. Жалпы, біз «әдемі» жауап алдық.

Екінші мысалға көшейік:

\[\frac(((x)^(3))+2((x)^(2))-9x-18)(x+3)=(x)^(2))-x-6\ ]

Бұл жолғы дивиденд үшінші дәрежелі көпмүше болып табылады. Бірінші элементтерді бір-бірімен салыстырайық. $((x)^(3))$ алу үшін $x$ $((x)^(2))$ көбейту керек. Алғаннан кейін $9x$ алып тастаймыз. Бөлінгішті $-x$-ға көбейтіп, шегеріңіз. Соның салдарынан сөзіміз толығымен екіге бөлінді. Жауабын жазамыз.

№3 тапсырма

Соңғы тапсырмаға көшейік:

\[\frac(((x)^(3))+3((x)^(2))+50)(x+5)=((x)^(2))-2x+10\]

$((x)^(3))$ мен $x$ салыстырайық. $((x)^(2))$ көбейту керек екені анық. Нәтижесінде өте «әдемі» жауап алғанымызды көреміз. Оны жазып алайық.

Бұл бүкіл алгоритм. Мұнда екі негізгі нүкте бар:

1. Әрқашан дивиденд пен бөлгіштің бірінші дәрежесін салыстырыңыз - біз мұны әр қадамда қайталаймыз;
2. Түпнұсқа өрнекте қандай да бір дәрежелер жоқ болса, оларды бұрышқа бөлу кезінде қосу керек, бірақ нөлдік коэффициенттермен, әйтпесе жауап дұрыс емес болады.

Бұл бөлімде даналық пен айла жоқ.

Бүгінгі сабақтың материалы ешқашан еш жерде өзінің «таза» түрінде табылмайды. Ол мектептерде сирек оқытылады. Дегенмен, көпмүшелерді бір-біріне бөлу мүмкіндігі жоғары дәрежелі теңдеулерді, сондай-ақ «күрделілігі артқан» есептердің барлық түрлерін шешу кезінде сізге көп көмектеседі. Бұл әдіссіз сізге көпмүшеліктерді көбейтуге, коэффициенттерді таңдауға тура келеді - және нәтижеге кепілдік берілмейді. Дегенмен, көпмүшелерді де бұрышпен бөлуге болады - жай сандар сияқты! Өкінішке орай, бұл әдіс мектептерде оқытылмайды. Көптеген мұғалімдер көпмүшелерді бұрышқа бөлу жоғары математика саласындағы керемет күрделі нәрсе деп санайды. Мен сізді сендіруге асығамын: бұл олай емес. Шындығында, көпмүшелерді бөлу тұрақты сандарды бөлуге қарағанда оңайырақ! Сабақты бақылаңыз және өзіңіз көріңіз. :) Жалпы, бұл әдісті міндетті түрде қабылдаңыз. Көпмүшелерді бір-біріне бөлу мүмкіндігі жоғары дәрежелі теңдеулерді шешуде және басқа стандартты емес есептерде сізге өте пайдалы болады.

Бұл бейне көпмүшелермен жұмыс істейтіндерге, әсіресе жоғары дәрежелерге көмектеседі деп үміттенемін. Бұл жоғары сынып оқушыларына да, университет студенттеріне де қатысты. Мұның бәрі мен үшін. Кездескенше!

Кейбір анықтамалардан бастайық. Көпмүшелік n-ші дәреже(немесе n-ші рет) $P_n(x)=\sum\limits_(i=0)^(n)a_(i)x^(n-i)=a_(0)x^(n) пішінінің өрнегін шақырамыз. )+ a_(1)x^(n-1)+a_(2)x^(n-2)+\ldots+a_(n-1)x+a_n$. Мысалы, $4x^(14)+87x^2+4x-11$ өрнегі дәрежесі $14$ болатын көпмүше болып табылады. Оны былай белгілеуге болады: $P_(14)(x)=4x^(14)+87x^2+4x-11$.

$a_0$ коэффициенті $P_n(x)$ көпмүшесінің жетекші коэффициенті деп аталады. Мысалы, $4x^(14)+87x^2+4x-11$ полиномы үшін жетекші коэффициент $4$ ($x^(14)$ алдындағы сан). $a_n$ саны $P_n(x)$ көпмүшесінің бос мүшесі деп аталады. Мысалы, $4x^(14)+87x^2+4x-11$ үшін тегін термин $(-11)$. Енді осы беттегі материалды ұсыну шын мәнінде негізделетін теоремаға жүгінейік.

$P_n(x)$ және $G_m(x)$ кез келген екі көпмүшелік үшін $Q_p(x)$ және $R_k(x)$ көпмүшеліктерін табуға болады, осылайша теңдігі болады.

\begin(теңдеу) P_n(x)=G_m(x)\cdot Q_p(x)+R_k(x) \end(теңдеу)

және $k< m$.

«$P_n(x)$ көпмүшесін $G_m(x)$ көпмүшесіне бөлу» тіркесі «$P_n(x)$ көпмүшесін (1) түрінде көрсету» дегенді білдіреді. $P_n(x)$ көпмүшені бөлінетін, $G_m(x)$ көпмүшені бөлгіш, $Q_p(x)$ көпмүшені $P_n(x)$ $G_m(x)$-ға бөлу бөлімі деп атаймыз. , және $ R_k(x)$ көпмүшесі - $P_n(x)$ $G_m(x)$ бөлген кездегі қалдық. Мысалы, $P_6(x)=12x^6+3x^5+16x^4+6x^3+8x^2+2x+1$ және $G_4(x)=3x^4+4x^2 көпмүшелері үшін +2 $ келесі теңдікті алуға болады:

$$ 12x^6+3x^5+16x^4+6x^3+8x^2+2x+1=(3x^4+4x^2+2)(4x^2+x)+2x^3+1 $$

Мұнда $P_6(x)$ көпмүшесі бөлінетін, $G_4(x)$ көпмүшесі бөлгіш, $Q_2(x)=4x^2+x$ көпмүшесі $P_6(x)$ бөлгіші. $G_4(x) $ және $R_3(x)=2x^3+1$ көпмүшесі $P_6(x)$ $G_4(x)$-ға бөлудің қалдығы. Қалдықтың дәрежесі (яғни 3) бөлгіштің дәрежесінен (яғни 4) кіші екенін ескеріңіз, сондықтан теңдік шарты орындалады.

Егер $R_k(x)\эквив 0$ болса, онда $P_n(x)$ көпмүшесі $G_m(x)$ көпмүшесіне қалдықсыз бөлінетін деп аталады. Мысалы, $21x^6+6x^5+105x^2+30x$ көпмүшесі $3x^4+15$ көпмүшесіне қалдықсыз бөлінеді, өйткені теңдік орындалады:

$$ 21x^6+6x^5+105x^2+30x=(3x^4+15)\cdot(7x^2+2x) $$

Мұнда $P_6(x)=21x^6+6x^5+105x^2+30x$ көпмүшесі бөлінеді; көпмүшелік $G_4(x)=3x^4+15$ - бөлгіш; және $Q_2(x)=7x^2+2x$ көпмүшесі $P_6(x)$ бөліндісі $G_4(x)$. Қалғаны нөлге тең.

Көпмүшені көпмүшеге бөлу үшін көбінесе «бағанға» бөлу немесе оны «бұрыш» деп те атайды. Бұл әдісті мысалдар арқылы жүзеге асыруды қарастырайық.

Мысалдарға көшпес бұрын мен тағы бір терминмен таныстырамын. Ол жалпы қабылданбайды, және біз оны материалды ұсынуға ыңғайлы болу үшін ғана қолданамыз. Осы беттің қалған бөлігінде $P_n(x)$ көпмүшесінің ең жоғарғы элементін $a_(0)x^(n)$ өрнегі деп атаймыз. Мысалы, $4x^(14)+87x^2+4x-11$ полиномы үшін жетекші элемент $4x^(14)$ болады.

№1 мысал

Ұзын бөлу арқылы $10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5$ мәнін $5x^2-x+2$-ға бөліңіз.

Сонымен бізде екі көпмүше бар, $P_5(x)=10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5$ және $G_2(x)=5x^2-x+2$. Біріншісінің дәрежесі $5$, ал екіншісінің дәрежесі $2$. $P_5(x)$ көпмүшесі дивиденд, ал $G_2(x)$ көпмүшесі бөлгіш болып табылады. Біздің міндетіміз бөлінді мен қалдықты табу. Біз мәселені кезең-кезеңімен шешеміз. Біз сандарды бөлу үшін бірдей белгілерді қолданамыз:

Бірінші қадам

$P_5(x)$ көпмүшесінің жетекші элементін (яғни $10x^5$) $Q_2(x)$ көпмүшесінің жетекші элементіне (яғни $5x^2$) бөлейік:

$$ \frac(10x^5)(5x^2)=2x^(5-2)=2x^3. $$

Алынған $2x^3$ өрнегі бөлімнің бірінші элементі болып табылады:

$5x^2-x+2$ көпмүшесін $2x^3$-ға көбейтіп, мынаны алыңыз:

$$ 2x^3\cdot (5x^2-x+2)=10x^5-2x^4+4x^3 $$

Нәтижені жазып алайық:

Енді $10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5$ көпмүшесінен $10x^5-2x^4+4x^3$ көпмүшесін алып тастаңыз:

$$ 10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5-(10x^5-2x^4+4x^3)=5x^4-16x^3+25x^2-2x+ 5 $$

Бұл бірінші қадамды аяқтайды. Біз алған нәтижені кеңейтілген түрде жазуға болады:

$$ 10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5=(5x^2-x+2)\cdot 2x^3+5x^4-16x^3+25x^2-2x +5 $$

$5x^4-16x^3+25x^2-2x+5$ (яғни 4) көпмүшесінің дәрежесі $5x^2-x+2$ (яғни 2) көпмүшесінің дәрежесінен үлкен болғандықтан, онда процесті бөлуді жалғастыру керек. Екінші қадамға көшейік.

Екінші қадам

Енді $5x^4-16x^3+25x^2-2x+5$ және $5x^2-x+2$ көпмүшелерімен жұмыс істейміз. Бірінші қадамдағыдай, бірінші көпмүшенің ең жоғары элементін (яғни $5x^4$) екінші көпмүшенің ең жоғары элементіне (яғни $5x^2$) бөлеміз:

$$ \frac(5x^4)(5x^2)=x^(4-2)=x^2. $$

Алынған $x^2$ өрнегі бөлімнің екінші элементі болып табылады. Бөліндіге $x^2$ қосайық

$5x^2-x+2$ көпмүшесін $x^2$-ға көбейтіп, мынаны алыңыз:

$$ x^2\cdot (5x^2-x+2)=5x^4-x^3+2x^2 $$

Нәтижені жазып алайық:

Енді $5x^4-16x^3+25x^2-2x+5$ көпмүшесінен $5x^4-x^3+2x^2$ көпмүшесін алып тастаңыз:

$$ 5x^4-16x^3+25x^2-2x+5-(5x^4-x^3+2x^2)=-15x^3+23x^2-2x+5 $$

Осы көпмүшені сызықтың астына қосайық:

Бұл екінші қадамды аяқтайды. Алынған нәтижені кеңейтілген түрде жазуға болады:

$$ 10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5=(5x^2-x+2)\cdot (2x^3+x^2)-15x^3+23x^2 -2x+5 $$

$-15x^3+23x^2-2x+5$ (яғни 3) көпмүшесінің дәрежесі $5x^2-x+2$ (яғни 2) көпмүшесінің дәрежесінен үлкен болғандықтан, бөлуді жалғастырамыз. процесс. Үшінші қадамға көшейік.

Үшінші қадам

Енді $-15x^3+23x^2-2x+5$ және $5x^2-x+2$ көпмүшелерімен жұмыс істейміз. Алдыңғы қадамдардағыдай, бірінші көпмүшенің ең жоғары элементін (яғни $-15x^3$) екінші көпмүшенің ең жоғары элементіне (яғни $5x^2$) бөлеміз:

$$ \frac(-15x^3)(5x^2)=-3x^(2-1)=-3x^1=-3x. $$

Алынған $(-3x)$ өрнегі бөлімнің үшінші элементі болып табылады. Бөліндіге $-3x$ қосайық

$5x^2-x+2$ көпмүшесін $(-3x)$ көбейтіп, мынаны алыңыз:

$$ -3x\cdot (5x^2-x+2)=-15x^3+3x^2-6x $$

Нәтижені жазып алайық:

Енді $-15x^3+23x^2-2x+5$ көпмүшесінен $-15x^3+3x^2-6x$ көпмүшесін алып тастаңыз:

$$ -15x^3+23x^2-2x+5-(-15x^3+3x^2-6x)=20x^2+4x+5 $$

Осы көпмүшені сызықтың астына қосайық:

Бұл үшінші қадамды аяқтайды. Алынған нәтижені кеңейтілген түрде жазуға болады:

$$ 10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5=(5x^2-x+2)\cdot (2x^3+x^2-3x)+20x^2+4x +5 $$

$20x^2+4x+5$ (яғни 2) көпмүшесінің дәрежесі $5x^2-x+2$ (яғни 2) көпмүшесінің дәрежесіне тең болғандықтан, бөлу процесін жалғастырамыз. Төртінші қадамға көшейік.

Төртінші қадам

Енді $20x^2+4x+5$ және $5x^2-x+2$ көпмүшелерімен жұмыс істейміз. Алдыңғы қадамдардағыдай, бірінші көпмүшенің ең жоғары элементін (яғни $20x^2$) екінші көпмүшенің ең жоғары элементіне (яғни $5x^2$) бөлеміз:

$$ \frac(20x^2)(5x^2)=4x^(2-2)=4x^0=4. $$

Алынған $4$ саны бөлімнің төртінші элементі болып табылады. Бөліндіге $4$ қосайық

$5x^2-x+2$ көпмүшесін $4$-ға көбейтіп, мынаны алыңыз:

$$ 4\cdot (5x^2-x+2)=20x^2-4x+8 $$

Нәтижені жазып алайық:

Енді $20x^2+4x+5$ көпмүшесінен $20x^2-4x+8$ көпмүшесін алып тастайық.