11-ден бөлшекпен барлық амалдар. Жай бөлшектермен амалдар

496. Табу X, Егер:

497. 1) Белгісіз санның 3/10 бөлігіне 10 1/2 қосса, 13 1/2 шығады. Белгісіз санды табыңыз.

2) Белгісіз санның 7/10 бөлігінен 10 1/2 азайтса, 15 2/5 шығады. Белгісіз санды табыңыз.

498 *. Белгісіз санның 3/4 бөлігінен 10-ды азайтып, алынған айырманы 5-ке көбейтсе, 100 шығады. Санды табыңыз.

499 *. Егер белгісіз санды оның 2/3 бөлігіне көбейтсеңіз, 60 шығады.Бұл қандай сан?

500 *. Белгісіз санға бірдей соманы, сондай-ақ 20 1/3 қоссаңыз, сіз 105 2/5 аласыз. Белгісіз санды табыңыз.

501. 1) Төртбұрышты егісте картоптың өнімділігі гектарына орта есеппен 150 центнерді құрайды, ал кәдімгі егістікте бұл көрсеткіштің 3/5 бөлігін құрайды. Картопты шаршы кластер әдісімен отырғызса, 15 га алқаптан қанша картоп алуға болады?

2) Тәжірибелі жұмысшы 1 сағатта 18 бөлшекті, ал тәжірибесіз жұмысшы осы мөлшердің 2/3 бөлігін шығарды. Тәжірибелі жұмысшы 7 сағаттық тәулікте тағы қанша бөлшек шығара алады?

502. 1) Ішінде жиналған пионерлер үш күн 56 кг әртүрлі тұқымдар. Бірінші күні жалпы көлемнің 3/14 бөлігі, екінші күні бір жарым есе, ал үшінші күні қалған астық жиналды. Үшінші күні пионерлер неше килограмм тұқым жинады?

2) Бидайды ұнтақтау кезінде нәтиже: ұн бидайдың жалпы көлемінің 4/5 бөлігі, жарма – ұннан 40 есе аз, ал қалғаны кебек. 3 тонна бидайды ұнтақтау кезінде қанша ұн, жарма және кебек бөлек өндірілді?

503. 1) Үш гаражға 460 көлік сыяды. Бірінші гаражға кіретін автомобильдер саны екінші гаражға сәйкес келетін автомобильдер санының 3/4 бөлігін құрайды, ал үшінші гаражда біріншіге қарағанда 1 1/2 есе көп автомобильдер бар. Әр гаражға неше көлік сыяды?

2) Үш цехы бар зауытта 6000 жұмысшы жұмыс істейді. Екінші цехта біріншіге қарағанда 1/2 есе аз жұмысшылар, ал үшінші цехтағы жұмысшылар саны екінші цехтағы жұмысшылардың 5/6 бөлігін құрайды. Әр цехта қанша жұмысшы бар?

504. 1) Керосин құйылған цистернадан алдымен 2/5, содан кейін жалпы керосиннің 1/3 бөлігі құйылды, содан кейін резервуарда 8 тонна керосин қалды. Бакте бастапқыда қанша керосин болды?

2) Велосипедшілер үш күн бойы жарысты. Бірінші күні олар бүкіл жолдың 4/15 бөлігін, екінші күні - 2/5 бөлігін, ал үшінші күні қалған 100 шақырымды жүріп өтті. Велосипедшілер үш күнде қанша жол жүрді?

505. 1) Мұзжарғыш кеме мұз айдынында үш күн бойы шайқасты. Бірінші күні барлық қашықтықтың 1/2 бөлігін, екінші күні қалған қашықтықтың 3/5 бөлігін және үшінші күні қалған 24 км-ді жүріп өтті. Мұзжарғыштың үш күнде жүріп өткен жолының ұзындығын табыңыз.

2) Мектеп оқушыларының үш тобы ауылды көгалдандыру мақсатында ағаш отырғызды. Бірінші жасақ барлық ағаштардың 7/20 бөлігін, екіншісі қалған ағаштардың 5/8 бөлігін, ал үшіншісі қалған 195 ағашты отырғызды. Үш команда барлығы неше ағаш отырғызды?

506. 1) Комбайн бір учаскеден бидайды үш күнде жинады. Бірінші күні барлық учаскенің 5/18 бөлігінен, екінші күні қалған алқаптың 7/13 бөлігінен, үшінші күні қалған 30 1/2 алқаптан егін жинады. гектар. Әр гектардан орта есеппен 20 центнерден бидай жиналды. Жалпы аудан бойынша қанша бидай жиналды?

2) Бірінші күні раллиге қатысушылар бүкіл маршруттың 3/11 бөлігін, екінші күні қалған бағыттың 7/20 бөлігін, үшінші күні жаңа қалдықтың 5/13 бөлігін, төртінші күні қалған жолды басып өтті. 320 км. Митингтің жүру жолы қанша?

507. 1) Бірінші күні машина бүкіл қашықтықтың 3/8 бөлігін, екінші күні бірінші жолдың 15/17 бөлігін, ал үшінші күні қалған 200 км жолды жүріп өтті. Автокөлік 10 км жолға 1 3/5 кг бензин жұмсаса, қанша бензин жұмсалды?

2) Қала төрт ауданнан тұрады. Ал барлық қала тұрғындарының 4/13-і бірінші ауданда, бірінші аудан тұрғындарының 5/6-сы екінші, бірінші аудан тұрғындарының 4/11-і үшінші ауданда тұрады; екі аудан қосылып, төртінші ауданда 18 мың адам тұрады. Орта есеппен бір адам тәулігіне 500 г нан тұтынатын болса, қала тұрғындарының барлығына 3 күнде қанша нан қажет?

508. 1) Турист бірінші күні бүкіл жолдың 10/31 бөлігін, екінші күні бірінші күні жүрген жолының 9/10 бөлігін, ал үшінші күні қалған жолды, ал үшінші күні 12 жаяу жүрді. км екінші күнге қарағанда көп. Турист үш күнде неше километр жол жүрді?

2) Автокөлік А қаласынан В қаласына дейінгі барлық бағытты үш күнде жүріп өтті. Бірінші күні машина барлық қашықтықтың 7/20 бөлігін, екінші күні қалған қашықтықтың 8/13 бөлігін, ал үшінші күні машина бірінші күнмен салыстырғанда 72 км-ге аз жүрді. А және В қалаларының арақашықтығы қандай?

509. 1) Атқару комитеті үш зауыттың жұмысшыларына бақша телімі үшін жер бөлді. Бірінші зауытқа жалпы учаскелердің 9/25 бөлігі, екінші зауытқа біріншіге бөлінген учаскелердің 5/9 бөлігі, үшіншіге - қалған учаскелер бөлінді. Бірінші зауытқа үшіншіден 50-ге аз жер бөлінген болса, үш зауыттың жұмысшыларына барлығы қанша жер учаскесі бөлінді?

2) Ұшақ үш күнде Мәскеуден полярлық станцияға қысқы жұмысшылардың ауысымын жеткізді. Бірінші күні ол барлық қашықтықтың 2/5 бөлігін, екінші күні бірінші күні жүріп өткен қашықтықтың 5/6 бөлігін, ал үшінші күні екінші күнгіден 500 км кем ұшты. Ұшақ үш күнде қанша қашықтыққа ұшты?

510. 1) Зауытта үш цех болды. Бірінші цехтағы жұмысшылар саны зауыттағы барлық жұмысшылардың 2/5 бөлігін құрайды; екінші цехта біріншіге қарағанда 1 1/2 есе аз, ал үшінші цехта екіншісіне қарағанда 100 жұмысшы көп. Зауытта қанша жұмысшы бар?

2) Колхозға көршілес үш ауылдың тұрғындары кіреді. Бірінші ауылдағы отбасылар саны колхоздағы барлық отбасының 3/10 бөлігін құрайды; екінші ауылда отбасы саны біріншіге қарағанда 1 1/2 есе көп, ал үшінші ауылда екінші ауылға қарағанда 420 отбасы кем. Колхозда қанша отбасы бар?

511. 1) Артель бірінші аптада шикізат қорының 1/3 бөлігін, екінші аптада қалған 1/3 бөлігін пайдаланды. Егер бірінші аптада шикізат шығыны екінші аптаға қарағанда 3/5 тоннаға артық болса, артельде қанша шикізат қалды?

2) Әкелінген көмірдің 1/6 бөлігі бірінші айда үйді жылытуға, ал қалғанының 3/8 бөлігі екінші айда жұмсалды. Екінші айда бірінші айға қарағанда 13/4 артық жұмсалса, үйді жылытуға қанша көмір қалады?

512. Колхоздың жалпы жерінің 3/5-і астық егуге бөлінген, қалған жерінің 13/36-сы бақшалар мен шабындықтар, қалған жері орман, ал колхоздың егіс алқабы. 217 га көбірек аумақормандар, дәнді дақылдарға бөлінген жердің 1/3 бөлігіне қара бидай, қалған бөлігіне бидай егіледі. Колхоз неше гектар жерге бидай, қанша гектарға қара бидай екті?

513. 1) Трамвай бағыты 14 3/8 км. Бұл бағыт бойынша трамвай 18 аялдама жасайды, бір аялдама орташа есеппен 1 ​​1/6 минутқа дейін жұмсайды. Бүкіл бағыт бойынша трамвайдың орташа жылдамдығы сағатына 12 1/2 км құрайды. Трамвай бір сапарды қанша уақытта аяқтайды?

2) Автобус бағыты 16 км. Бұл бағыт бойынша автобус әрқайсысы 3/4 минуттан 36 аялдама жасайды. орта есеппен әрқайсысы. Автобустың орташа жылдамдығы сағатына 30 км. Автобус бір бағытқа қанша уақыт алады?

514*. 1) Қазір сағат 6. кештер. Өткен күннен қалған күннің қай бөлігі және күннің қай бөлігі қалды?

2) Пароход ағыспен екі қала арасындағы қашықтықты 3 күнде жүреді. және сол қашықтықты 4 күнде кері қайтарады. Салдар бір қаладан екінші қалаға қарай неше күнде жүзеді?

515. 1) Ұзындығы 6 2/3 м, ені 5 1/4 м бөлмеде еден төсеу үшін қанша тақта қолданылады, егер әр тақтайдың ұзындығы 6 2/3 м, ал ені 3/ ұзындығы 80?

2) Тік бұрышты платформаның ұзындығы 45 1/2 м, ал ені ұзындығының 5/13 бөлігін құрайды. Бұл аймақ ені 4/5 м жолмен шектеседі.Жолдың ауданын табыңыз.

516. Орташа мәнді табыңыз арифметикалық сандар:

517. 1) Екі санның арифметикалық ортасы 6 1/6. Сандардың бірі 3 3/4. Басқа санды табыңыз.

2) Екі санның арифметикалық ортасы 14 1/4. Осы сандардың бірі 15 5/6. Басқа санды табыңыз.

518. 1) Жүк пойызы жолда үш сағат жүрді. Бірінші сағатта ол 36 1/2 км, екіншіде 40 км, үшіншіде 39 3/4 км жол жүрді. Пойыздың орташа жылдамдығын табыңыз.

2) Автомобиль алғашқы екі сағатта 81 1/2 км, ал келесі 2 1/2 сағатта 95 км жол жүрді. Ол сағатына орта есеппен неше километр жүрді?

519. 1) Тракторшы жер жырту тапсырмасын үш күнде орындады. Бірінші күні 12 1/2 га, екінші күні 15 3/4 га, үшінші күні 14 1/2 га жер жыртты. Тракторшы күніне орта есеппен қанша гектар жер жыртты?

2) Үш күндік туристік саяхатқа шыққан бір топ мектеп оқушылары бірінші күні жолда 6 жарым сағат, екінші күні 7 сағат жолда болды. ал үшінші күні - 4 2/3 сағат. Мектеп оқушылары күніне орта есеппен қанша сағат жол жүрді?

520. 1) Үйде үш отбасы тұрады. Бірінші отбасында пәтерді жарықтандыру үшін 3 шам, екіншісінде 4, үшіншіде 5 шам бар. Егер барлық шамдар бірдей болса және электр энергиясының жалпы төлемі (барлық үй үшін) 7 1/5 рубль болса, әрбір отбасы электр энергиясы үшін қанша төлеуі керек?

2) Үш отбасы тұратын пәтерде жылтыратушы еденді жылтыратып жатқан. Бірінші отбасының тұрғын ауданы 36 1/2 шаршы метр болды. м, екіншісі - 24 1/2 шаршы. м, ал үшінші - 43 ш. м.Барлық жұмыс үшін 2 рубль төленді. 08 коп. Әр отбасы қанша төледі?

521. 1) Бау-бақша учаскесінде картоп 50 түптен 1 1/10 кг, 70 бұтадан 4/5 кг, 80 түптен 9/10 кг-нан жиналды. Әр бұтадан орта есеппен неше килограмм картоп жиналады?

2) Егістік бригадасы 300 гектар алқаптағы күздік бидайдың 1 гектарынан 20 1/2 центнер, 80 гектардан 1 гектардан 24 центнерге дейін, 20 гектардан 28 1/2 центнерден өнім алды. 1 га. 1 гектары бар бригадада орташа өнім қанша?

522. 1) Екі санның қосындысы 7 1/2. Бір сан екіншісінен 4 4/5 артық. Мына сандарды табыңдар.

2) Татар және Керчь бұғаздарының енін білдіретін сандарды қоссақ, 11 7/10 км шығады. Татар бұғазы Керчь бұғазынан 3 1/10 км кең. Әр бұғаздың ені қанша?

523. 1) Үш санның қосындысы 35 2/3. Бірінші сан екіншісінен 5 1/3 артық және үшіншіден 3 5/6 артық. Мына сандарды табыңдар.

2) Аралдар Жаңа Жер, Сахалин мен Северная Земля бірге 196 7/10 мың шаршы метр аумақты алып жатыр. км. Новая Земля ауданы 44 1/10 мың шаршы метрді құрайды. км артық аумақ Северная Земляжәне 5 1/5 мың ш. км Сахалин ауданынан үлкен. Көрсетілген аралдардың әрқайсысының ауданы қанша?

524. 1) Пәтер үш бөлмеден тұрады. Бірінші бөлменің ауданы 24 3/8 шаршы. м және пәтердің бүкіл алаңының 13/36 бөлігін құрайды. Екінші бөлменің ауданы 8 1/8 шаршы метр. үштен бірінің ауданынан м артық. Екінші бөлменің ауданы қанша?

2) Велосипедші үш күндік жарыста бірінші күні жолда 3 1/4 сағат болды, бұл жалпы жол жүру уақытының 13/43 бөлігін құрады. Екінші күні ол үшінші күнге қарағанда 1/2 сағат артық жүрді. Велосипедші жарыстың екінші күні неше сағат жол жүрді?

525. Үш темірдің салмағы 17 1/4 кг. Егер бірінші бөліктің салмағы 1 1/2 кг-ға, екіншісінің салмағы 2 1/4 кг-ға азайса, онда барлық үш бөліктің салмағы бірдей болады. Әрбір темірдің салмағы қанша болды?

526. 1) Екі санның қосындысы 15 1/5. Егер бірінші санды 3 1/10 кемітсе, ал екіншісін 3 1/10 көбейтсе, онда бұл сандар тең болады. Әр сан неге тең?

2) Екі қорапта 38 1/4 кг жарма болды. Егер сіз бір қораптан екіншісіне 4 3/4 кг жарма құйсаңыз, онда екі жәшікте бірдей мөлшерде жарма болады. Әр қорапта қанша жарма бар?

527 . 1) Екі санның қосындысы 17 17 / 30. Егер сіз бірінші саннан 5 1/2 азайтып, оны екіншісіне қоссаңыз, онда бірінші сан екіншісінен 2 17/30 артық болады. Екі санды да тап.

2) Екі қорапта 24 1/4 кг алма бар. Егер сіз бірінші жәшіктен екіншісіне 3 1/2 кг ауыстырсаңыз, біріншісінде екіншісіне қарағанда 3/5 кг көп алма болады. Әр қорапта неше килограмм алма бар?

528 *. 1) Екі санның қосындысы 8 11/14, ал олардың айырмасы 2 3/7. Мына сандарды табыңдар.

2) Қайық өзен бойымен сағатына 15 1/2 км жылдамдықпен, ал ағысқа қарсы сағатына 8 1/4 км жылдамдықпен қозғалды. Өзен ағынының жылдамдығы қандай?

529. 1) Екі гаражда 110 машина бар, ал олардың біреуінде екіншісіне қарағанда 1 1/5 есе көп. Әр гаражда қанша көлік бар?

2) Екі бөлмеден тұратын пәтердің ауданы 47 1/2 шаршы метрді құрайды. м.Бір бөлменің ауданы екіншісінің ауданының 8/11 бөлігін құрайды. Әр бөлменің ауданын табыңыз.

530. 1) Мыс пен күмістен тұратын қорытпаның салмағы 330 г.Бұл қорытпадағы мыстың салмағы күміс салмағының 5/28 бөлігін құрайды. Қорытпада қанша күміс және қанша мыс бар?

2) Екі санның қосындысы 6 3/4, ал бөлімі 3 1/2. Мына сандарды табыңдар.

531. Үш санның қосындысы 22 1/2. Екінші сан 3 1/2 есе, ал үшіншісі 2 1/4 есе біріншіден көп. Мына сандарды табыңдар.

532. 1) Екі санның айырмасы 7-ге тең; үлкен санды кіші санға бөлу бөлімі 5 2/3. Мына сандарды табыңдар.

2) Екі санның айырмасы 29 3/8, ал олардың еселік қатынасы 8 5/6. Мына сандарды табыңдар.

533. Сыныптағы қатыспаған оқушылар саны қатысқан оқушылар санының 3/13 бөлігін құрайды. Қатысушылардан 20 адам көп болса, тізім бойынша сыныпта қанша оқушы бар?

534. 1) Екі санның айырмасы 3 1/5. Бір сан екіншісінің 5/7 бөлігін құрайды. Мына сандарды табыңдар.

2) Әкесі ұлынан 24 жас үлкен. Ұлының жасы әкесінің жасының 5/13 бөлігіне тең. Әкесі неше жаста, ұлы неше жаста?

535. Бөлшектің бөлімі оның алымынан 11 бірлік артық. Бөлшектің бөлімі алымынан 3 3/4 есе көп болса, бөлшектің мәні неге тең?

No536 - 537 ауызша.

536. 1) Бірінші сан екінші санның 1/2 бөлігін құрайды. Екінші сан біріншіден неше есе артық?

2) Бірінші сан екінші санның 3/2 бөлігін құрайды. Екінші сан бірінші санның қай бөлігі?

537. 1) Бірінші санның 1/2 бөлігі екінші санның 1/3 бөлігіне тең. Екінші сан бірінші санның қай бөлігі?

2) Бірінші санның 2/3 бөлігі екінші санның 3/4 бөлігіне тең. Екінші сан бірінші санның қай бөлігі? Бірінші сан екінші санның қай бөлігі?

538. 1) Екі санның қосындысы 16. Екінші санның 1/3 бөлігі бірінші санның 1/5 бөлігіне тең болса, осы сандарды табыңыз.

2) Екі санның қосындысы 38. Бірінші санның 2/3 бөлігі екінші санның 3/5 бөлігіне тең болса, осы сандарды табыңыз.

539 *. 1) Екі бала бірге 100 саңырауқұлақ жинады. Бірінші баланың жинаған саңырауқұлақтарының 3/8 бөлігі екінші баланың жинаған саңырауқұлақтарының 1/4-іне сандық түрде тең. Әр бала қанша саңырауқұлақ жинады?

2) Мекемеде 27 адам жұмыс істейді. Барлық еркектердің 2/5 бөлігі барлық әйелдердің 3/5-іне тең болса, қанша еркек жұмыс істейді және қанша әйел жұмыс істейді?

540 *. Үш бала волейбол добын сатып алды. Бірінші ұлдың үлесінің 1/2 бөлігі екіншісінің 1/3 бөлігіне немесе үшіншісінің 1/4 бөлігіне тең болатынын және үшінші ұлдың үлесі екенін біле отырып, әрбір ұлдың үлесін анықтаңыз. бала біріншісінің жарнасынан 64 тиын артық.

541 *. 1) Бір сан екіншісінен 6-ға артық.Бір санның 2/5 бөлігі екіншісінің 2/3 бөлігіне тең болса, осы сандарды табыңыз.

2) Екі санның айырмасы 35. Бірінші санның 1/3 бөлігі екінші санның 3/4 бөлігіне тең болса, осы сандарды табыңыз.

542. 1) Бірінші топ кейбір жұмыстарды 36 күнде, ал екіншісі 45 күнде аяқтай алады. Екі топ бірігіп жұмыс істеп, бұл жұмысты неше күнде бітіреді?

2) Екі қала арасындағы жолды жолаушылар пойызы 10 сағатта, ал жүк пойызы бұл жолды 15 сағатта өтеді. Екі пойыз бұл қалалардан бір уақытта бір-біріне қарай шықты. Олар неше сағаттан кейін кездеседі?

543. 1) Жылдам пойыз екі қала арасындағы қашықтықты 6 1/4 сағатта, ал жолаушылар пойызы 7 1/2 сағатта өтеді. Екі қаладан бір уақытта бір-біріне қарай шықса, бұл пойыздар неше сағаттан кейін кездеседі? (Дөңгелек жауап 1 сағатқа жуық.)

2) Екі қаладан бір мезгілде екі мотоциклші бір-біріне қарай кетті. Бір мотоциклші бұл қалалар арасындағы бүкіл қашықтықты 6 сағатта, ал екіншісі 5 сағатта жүре алады. Мотоциклшілер кеткеннен кейін неше сағаттан кейін кездеседі? (Дөңгелек жауап 1 сағатқа жуық.)

544. 1) Әртүрлі жүк көтергіштігі бар үш көлік бөлек жұмыс істейтін кейбір жүктерді тасымалдай алады: біріншісі 10 сағатта, екіншісі 12 сағатта. ал үшіншісі 15 сағатта.Олар бірге жұмыс істеп бір жүкті неше сағатта тасымалдай алады?

2) Екі пойыз бір мезгілде екі станциядан бір-біріне қарай шығады: бірінші пойыз осы станциялар арасындағы қашықтықты 12 1/2 сағатта, ал екіншісі 18 3/4 сағатта өтеді. Пойыздар шыққаннан кейін неше сағаттан соң кездеседі?

545. 1) Ваннаға екі шүмек қосылған. Олардың біреуі арқылы ваннаны 12 минутта, екіншісі арқылы 1 1/2 есе жылдам толтыруға болады. Екі шүмекті бірден ашсаңыз, ваннаның 5/6 бөлігін толтыру үшін қанша минут қажет?

2) Екі машинистка қолжазбаны қайта теру керек. Бірінші жүргізуші бұл жұмысты 3 1/3 күнде, ал екіншісі 1 1/2 есе жылдам орындай алады. Екі машинистка бір уақытта жұмыс істесе, жұмысты аяқтау үшін неше күн қажет?

546. 1) Бассейн бірінші құбырмен 5 сағатта толтырылады, ал екінші құбыр арқылы оны 6 сағатта босатуға болады.Егер екі құбырды бір уақытта ашса, бассейн неше сағаттан кейін толық толтырылады?

Ескерту. Бір сағаттан кейін бассейн (оның сыйымдылығының 1/5 - 1/6) толтырылады.

2) Екі трактор егістік алқапты 6 сағатта жыртты. Жалғыз жұмыс істейтін бірінші трактор бұл алқапты 15 сағатта жыртуға болады.Ал екінші жалғыз трактор бұл алқапты жыртуға қанша сағат кетеді?

547 *. Екі пойыз бір уақытта екі станциядан бір-біріне қарай шығып, 18 сағаттан кейін кездеседі. босатылғаннан кейін. Бірінші пойыз осы қашықтықты 1 тәулік 21 сағатта жүріп өтсе, екінші пойыз станциялар арасындағы қашықтықты қанша уақытта жүріп өтеді?

548 *. Бассейн екі құбырмен толтырылған. Алдымен олар бірінші құбырды ашты, содан кейін 3 3/4 сағаттан кейін бассейннің жартысы толтырылғаннан кейін олар екінші құбырды ашты. 2 1/2 сағат бірге жұмыс істегеннен кейін бассейн толып қалды. Екінші құбыр арқылы сағатына 200 шелек су құйылған болса, бассейннің сыйымдылығын анықтаңыз.

549. 1) Ленинградтан Мәскеуге шабарман пойызы 3/4 минутта 1 км жол жүреді. Осы пойыз Мәскеуден шыққаннан кейін 1/2 сағаттан кейін Мәскеуден Ленинградқа жылдам пойыз шықты, оның жылдамдығы жедел пойыздың 3/4 жылдамдығына тең болды. Мәскеу мен Ленинградтың арасы 650 км болса, курьерлік пойыз кеткеннен кейін 2 1/2 сағаттан кейін пойыздар бір-бірінен қандай қашықтықта болады?

2) Колхоздан қалаға дейін 24 км. Колхоздан жүк көлігі 1 шақырым жолды 2 жарым минутта жүреді. 15 минуттан кейін. Осы көлік қаладан шыққан соң, бір велошабандоз жүк көлігінің жылдамдығынан жарты жылдамдықпен колхозға шықты. Велосипедші қанша уақыттан кейін жүк көлігін қарсы алады?

550. 1) Бір ауылдан жаяу адам шықты. Жаяу жүргінші кеткеннен кейін 4 1/2 сағаттан кейін велосипедші сол бағытта жүрді, оның жылдамдығы жаяу жүргіншінің жылдамдығынан 2 1/2 есе көп болды. Жаяу жүргінші шыққаннан кейін неше сағаттан кейін велосипедші оны басып озады?

2) Жылдам пойыз 3 сағатта 187 1/2 км, ал жүк пойызы 6 сағатта 288 км жол жүрді. Жүк пойызы шыққаннан кейін 7 1/4 сағаттан кейін сол бағытта жедел жәрдем көлігі кетеді. Жүк пойызын қуып жету үшін жылдам пойыз қанша уақыт алады?

551. 1) Облыс орталығына жол өтетін екі колхоздан екі колхозшы бір мезгілде атпен ауданға шықты. Олардың біріншісі сағатына 8 3/4 км жүрсе, екіншісі біріншісінен 1 1/7 есе көп болды. Екінші колхозшы 3 4/5 сағаттан кейін біріншісін қуып жетті. Колхоздар арасындағы қашықтықты анықтаңыз.

2) Орташа жылдамдығы сағатына 60 км болатын Мәскеу-Владивосток пойызы жөнелтілгеннен кейін 26 1/3 сағаттан кейін ТУ-104 ұшағы сол бағытта, жылдамдығынан 14 1/6 есе жылдамдықпен көтерілді. пойыздың. Ұшақ жөнелтілгеннен кейін неше сағаттан кейін пойызға жетеді?

552. 1) Өзен бойындағы қалалардың ара қашықтығы 264 км. Пароход бұл қашықтықты ағыс бойымен 18 сағатта жүріп өтті, бұл уақыттың 1/12 бөлігін тоқтаумен өткізді. Өзеннің жылдамдығы сағатына 1 1/2 км. Пароход тынық суда тоқтамай 87 км жол жүру үшін қанша уақыт керек еді?

2) Моторлы қайық өзен бойымен 207 км жолды 13 1/2 сағатта жүріп өтті, бұл уақыттың 1/9 бөлігін аялдамаларға жұмсады. Өзеннің жылдамдығы сағатына 1 3/4 км. Бұл қайық тынық суда 2 1/2 сағатта қанша км жүре алады?

553. Қайық су қоймасы арқылы 52 шақырым қашықтықты 3 сағат 15 минутта тоқтаусыз жүріп өтті. Одан әрі өзен бойымен жылдамдығы сағатына 1 3/4 км болатын ағысқа қарсы жүріп, бұл қайық 2 1/4 сағатта 28 1/2 км жолды жүріп өтіп, бірдей ұзақтықта 3 аялдама жасады. Қайық әр аялдамада неше минут күтті?

554. Сағат 12-де Ленинградтан Кронштадтқа. Пароход түс ауа жолға шығып, бұл қалалар арасындағы қашықтықты 1 жарым сағатта жүріп өтті. Жолда сағат 12:18-де Кронштадттан Ленинградқа бет алған тағы бір кемені кездестірді. және біріншіден 1 1/4 есе жылдамдықпен жүру. Екі кеме қай уақытта кездесті?

555. Пойыз 630 шақырым жолды 14 сағатта жүріп өтуі керек еді. Осы қашықтықтың 2/3 бөлігін жүріп өткен ол 1 сағат 10 минутқа қамауға алынды. Ол межелі жерге кідіріссіз жету үшін жолын қандай жылдамдықпен жалғастыруы керек?

556. 4:20-да Таңертең жүк пойызы Киевтен Одессаға орташа жылдамдығы сағатына 31 1/5 км жолға шықты. Біраз уақыттан кейін оны қарсы алуға Одессадан пошта пойызы шықты, оның жылдамдығы жүк пойызының жылдамдығынан 1 17/39 есе жоғары болды және жүк пойызын жөнелткеннен кейін 6 1/2 сағаттан кейін қарсы алды. Киев пен Одесса арасындағы қашықтық 663 км болса, пошта пойызы Одессадан қай уақытта шықты?

557*. Сағат түскі уақытты көрсетеді. Сағат пен минут тізбегінің сәйкес келуі үшін қанша уақыт қажет?

558. 1) Зауытта үш цех бар. Бірінші цехтағы жұмысшылар саны зауыттың барлық жұмысшыларының 9/20 бөлігін құрайды, екінші цехта біріншіге қарағанда 1 1/2 есе, ал үшінші цехта 300 жұмысшы кем жұмыс істейді. екінші. Зауытта қанша жұмысшы бар?

2) Қалада үш орта мектеп бар. Бірінші мектептегі оқушылар саны осы үш мектептің барлық оқушыларының 3/10 құрайды; екінші мектепте біріншіге қарағанда 1/2 есе көп, ал үшінші мектепте екіншіге қарағанда 420 оқушыға кем. Үш мектепте неше оқушы бар?

559. 1) Бір ауданда екі комбайншы жұмыс істеді. Бір комбайн бүкіл учаскенің 9/16 бөлігін, екінші сол учаскенің 3/8 бөлігін жинаған соң, бірінші комбайн екіншісіне қарағанда 97 1/2 гектар артық жинағаны белгілі болды. Орта есеппен әр гектардан 32 1/2 центнер астық бастырылды. Әр комбайншы неше центнер астық бастырды?

2) Екі ағайынды фотоаппарат сатып алды. Біреуінде камера құнының 5/8, екіншісінде 4/7, ал біріншісінде 2 рубль болды. 25 тиын екіншісінен артық. Барлығы құрылғы құнының жартысын төледі. Барлығында қанша ақша қалды?

560. 1) А қаласынан В қаласына қарай жолаушылар көлігі шығады, олардың арасындағы қашықтық 215 км, сағатына 50 км жылдамдықпен. Осы уақытта жүк көлігі В қаласынан А қаласына бет алды. Егер жүк көлігінің сағаттық жылдамдығы жеңіл автомобильдің жылдамдығынан 18/25 болса, жеңіл көлік жүк көлігіне жеткенше неше километр жүрді?

2) А және В қалалары арасында 210 км. Жолаушылар көлігі А қаласынан В қаласына бет алды. Осы уақытта жүк көлігі В қаласынан А қаласына бет алды. Егер жеңіл автомобиль сағатына 48 км жылдамдықпен келе жатса, ал жүк көлігінің сағатына жылдамдығы жеңіл автомобильдің жылдамдығының 3/4 бөлігін құраса, жүк көлігі жеңіл автокөлікті қарсы алғанға дейін неше километр жол жүрді?

561. Колхоз бидай мен қара бидай жинады. Қара бидайға қарағанда бидай 20 гектарға артық егілді. Қара бидайдың жалпы өнімі бидайдың да, қара бидайдың да 1 га-дан 20 ц өнім алған кезде жалпы бидай дақылының 5/6 бөлігін құрады. Колхоз бидай мен қара бидайдың бүкіл өнімінің 7/11 бөлігін мемлекетке өткізіп, қалған астықты өз қажеттілігін қанағаттандыруға қалдырды. Мемлекетке сатылған нанды шығару үшін екі тонналық көліктер қанша рет жүру керек болды?

562. Наубайханаға қара бидай мен бидай ұны әкелінді. Бидай ұнының салмағы қара бидай ұнының салмағының 3/5 бөлігін құрап, бидай ұнынан 4 тоннаға артық қара бидай ұны әкелінді. Наубайхана осы ұннан қанша бидай және қанша қара нан пісіреді, егер нан өнімдері жалпы ұнның 2/5 бөлігін құраса?

563. Жұмысшылар бригадасы үш күннің ішінде екі колхоз арасындағы тас жолды жөндеу бойынша барлық жұмыстың 3/4 бөлігін аяқтады. Бірінші күні бұл тас жолдың 2 2/5 шақырымы жөнделсе, екінші күні біріншіге қарағанда 1 1/2 есе, үшінші күні алғашқы екі күнде бірге жөнделгеннің 5/8 бөлігі жөнделді. Колхоздар арасындағы тас жолдың ұзындығын табыңыз.

564. Кестедегі бос орындарды толтырыңыз, мұнда S - тіктөртбұрыштың ауданы, А- тіктөртбұрыштың табаны, а h-тіктөртбұрыштың биіктігі (ені).

565. 1) Тік бұрышты жер телімінің ұзындығы 120 м, ал ені оның ұзындығының 2/5 бөлігін құрайды. Сайттың периметрі мен ауданын табыңыз.

2) Тік бұрышты кесіндінің ені 250 м, ал ұзындығы енінен 1 1/2 есе. Сайттың периметрі мен ауданын табыңыз.

566. 1) Тіктөртбұрыштың периметрі 6 1/2 дюйм, табаны биіктігінен 1/4 дюймге үлкен. Осы тіктөртбұрыштың ауданын табыңыз.

2) Тік төртбұрыштың периметрі 18 см, биіктігі табанынан 2 1/2 см кем. Тіктөртбұрыштың ауданын табыңыз.

567. 30-суретте көрсетілген фигуралардың аудандарын тіктөртбұрыштарға бөлу және өлшеу арқылы тіктөртбұрыштың өлшемдерін табу арқылы есептеңіз.

568. 1) Сылақ қаңылтырының өлшемдері 2 м х л 1/2 м болса, ұзындығы 4 1/2 м және ені 4 м болатын бөлменің төбесін жабу үшін қанша парақ құрғақ сылақ қажет болады?

2) Ұзындығы 4 1/2 м, ені 3 1/2 м еден төсеу үшін ұзындығы 4 1/2 м, ені 1/4 м қанша тақтай қажет?

569. 1) Ұзындығы 560 м, ені 3/4 болатын тікбұрышты учаскеге бұршақ себілді. 1 гектарға 1 центнер егілген болса, учаскеге егу үшін қанша тұқым қажет болды?

2) Төртбұрышты алқаптан гектарына 25 центнер бидай жиналды. Егер танаптың ұзындығы 800 м, ал ені оның ұзындығының 3/8 бөлігін құраса, бүкіл танаптан қанша бидай жиналды?

570 . 1) Ұзындығы 78 3/4 м және ені 56 4/5 м төртбұрышты жер учаскесі оның 4/5 бөлігін ғимараттар алатындай етіп салынған. Ғимараттардың астындағы жердің ауданын анықтаңыз.

2) Ұзындығы 9/20 км, ені ұзындығының 4/9 бөлігін құрайтын төртбұрышты жер учаскесіне колхоз бау-бақша салуды жоспарлап отыр. Әр ағашқа орташа есеппен 36 шаршы метр аумақ қажет болса, бұл баққа қанша ағаш отырғызылады?

571. 1) Бөлмені қалыпты күндізгі жарықтандыру үшін барлық терезелердің ауданы еденнің кем дегенде 1/5 бөлігі болуы керек. Ұзындығы 5 1/2 м және ені 4 м бөлмеде жарықтың жеткілікті екенін анықтаңыз. Бөлмеде 1 1/2 м х 2 м өлшемді бір терезе бар ма?

2) Алдыңғы есептің шартын пайдаланып, сіздің сыныбыңызда жарықтың жеткілікті екенін анықтаңыз.

572. 1) Сарайдың өлшемдері 5 1/2 м х 4 1/2 м х 2 1/2 м, биіктігінің 3/4 бөлігін толтырса және 1 куб. . м пішеннің салмағы 82 кг?

2) Ағаш үйіндісінің пішіні бар тік бұрышты параллелепипед, өлшемдері 2 1/2 м х 3 1/2 м х 1 1/2 м., 1 куб болса, ағаш үйіндісінің салмағы қандай. м отынның салмағы 600 кг?

573. 1) Тік бұрышты аквариум биіктігінің 3/5 бөлігіне дейін сумен толтырылған. Аквариумның ұзындығы 1 1/2 м, ені 4/5 м, биіктігі 3/4 м.Аквариумға неше литр су құйылады?

2)Тік бұрышты параллелепипед түріндегі бассейннің ұзындығы 6 1/2 м, ені 4 м, биіктігі 2 м.Бауыз биіктігінің 3/4 бөлігіне дейін сумен толтырылған. Бассейнге құйылған судың мөлшерін есептеңіз.

574. Ұзындығы 75 м, ені 45 м болатын тікбұрышты жер учаскесінің айналасына қоршау салу керек. Тақтаның қалыңдығы 2 1/2 см, ал қоршау биіктігі 2 1/4 м болса, оның құрылысына қанша текше метр тақталар кіруі керек?

575. 1) Минут қандай бұрыш және сағат тілісағат 13-те? сағат 15-те? сағат 17-де? сағат 21-де? 23:30да?

2) Сағат тілі 2 сағатта неше градусқа айналады? сағат 5? сағат 8? 30 мин.?

3) Жарты шеңберге тең доға неше градустан тұрады? 1/4 шеңбер? Шеңбердің 1/24 бөлігі? 5/24 шеңбер?

576. 1) Транспортирді пайдаланып: а) тік бұрышты; б) 30° бұрыш; в) 60° бұрыш; г) 150° бұрыш; д) 55° бұрыш.

2) Транспортирдің көмегімен фигураның бұрыштарын өлшеп, әр фигураның барлық бұрыштарының қосындысын табыңдар (31-сурет).

577. Мына қадамдарды орындаңыз:

578. 1) Жартылай шеңбер екі доғаға бөлінген, олардың біреуі екіншісінен 100° үлкен. Әрбір доғаның өлшемін табыңыз.

2) Жартылай шеңбер екі доғаға бөлінген, олардың біреуі екіншісінен 15° кем. Әрбір доғаның өлшемін табыңыз.

3) Жартылай шеңбер екі доғаға бөлінген, олардың біреуі екіншісінен екі есе үлкен. Әрбір доғаның өлшемін табыңыз.

4) Жартылай шеңбер екі доғаға бөлінген, олардың біреуі екіншісінен 5 есе кіші. Әрбір доғаның өлшемін табыңыз.

579. 1) «КСРО-дағы халықтың сауаттылығы» диаграммасында (32-сурет) халықтың жүз адамға шаққандағы сауатты адамдардың саны көрсетілген. Диаграммадағы деректерге және оның масштабына сүйене отырып, көрсетілген жылдардың әрқайсысы үшін сауатты ерлер мен әйелдердің санын анықтаңыз.

Нәтижелерді кестеге жазыңыз:

2) «Кеңес елшілері ғарышқа» (33-сурет) диаграммасының мәліметтерін пайдаланып, тапсырмаларды құрыңыз.

580. 1) «Бесінші сынып оқушысының күнделікті тәртібі» (34-сурет) дөңгелек диаграммасы бойынша кестені толтырыңыз және сұрақтарға жауап беріңіз: ұйқыға тәуліктің қай бөлігі бөлінеді? үй тапсырмасы үшін? мектепке?

2) Күнделікті жұмысыңыз туралы дөңгелек диаграмма құрастырыңыз.

Бұл бөлім келесі әрекеттерді қамтиды жай бөлшектер. Егер аралас сандармен математикалық операцияны орындау қажет болса, онда аралас бөлшекті кезектен тыс бөлшекке айналдырып, қажетті амалдарды орындап, қажет болған жағдайда соңғы нәтижені аралас сан түрінде қайтадан ұсыну жеткілікті. . Бұл операция төменде сипатталатын болады.

Бөлшекті азайту

Математикалық операция. Бөлшекті азайту

\frac(m)(n) бөлігін азайту үшін оның алымы мен бөлгішінің ең үлкен ортақ бөлгішін табу керек: gcd(m,n), содан кейін бөлшектің алымы мен бөлімін осы санға бөлу керек. Егер GCD(m,n)=1 болса, онда бөлшекті азайтуға болмайды. Мысал: \frac(20)(80)=\frac(20:20)(80:20)=\frac(1)(4)

Әдетте, бірден ең үлкен ортақ бөлгішті табу қиын іс болып көрінеді, ал тәжірибеде бөлшек бірнеше кезеңмен азайтылады, алым мен бөлгіштен айқын ортақ көбейткіштерді кезең-кезеңмен бөліп алады. \frac(140)(315)=\frac(28\cdot5)(63\cdot5)=\frac(4\cdot7\cdot5)(9\cdot7\cdot5)=\frac(4)(9)

Бөлшектерді ортақ бөлімге келтіру

Математикалық операция. Бөлшектерді ортақ бөлімге келтіру

\frac(a)(b) және \frac(c)(d) екі бөлшекті ортақ бөлгішке келтіру үшін сізге қажет:

• бөлгіштердің ең кіші ортақ еселігін табыңыз: M=LMK(b,d);
• бірінші бөлшектің алымы мен бөлімін М/б көбейту (одан кейін бөлшектің бөлімі М санына тең болады);
• екінші бөлшектің алымы мен бөлімін M/d көбейтіңіз (одан кейін бөлшектің бөлімі М санына тең болады).

Осылайша, бастапқы бөлшектерді бөлгіштері бірдей бөлшектерге айналдырамыз (ол М санына тең болады).

Мысалы, \frac(5)(6) және \frac(4)(9) бөлшектерінде LCM(6,9) = 18 болады. Содан кейін: \frac(5)(6)=\frac(5\cdot3) (6 \cdot3)=\frac(15)(18);\quad\frac(4)(9)=\frac(4\cdot2)(9\cdot2)=\frac(8)(18) . Осылайша, алынған бөлшектердің ортақ бөлімі болады.

Тәжірибеде бөлгіштердің ең кіші ортақ еселігін (LCM) табу әрқашан қарапайым тапсырма бола бермейді. Сондықтан ортақ бөлгіш ретінде бастапқы бөлшектердің бөлгіштерінің көбейтіндісіне тең сан таңдалады. Мысалы, \frac(5)(6) және \frac(4)(9) бөлшектері N=6\cdot9 ортақ бөлгішке келтіріледі:

\frac(5)(6)=\frac(5\cdot9)(6\cdot9)=\frac(45)(54);\quad\frac(4)(9)=\frac(4\cdot6)( 9\cdot6)=\frac(24)(54)

Бөлшектерді салыстыру

Математикалық операция. Бөлшектерді салыстыру

Екі жай бөлшекті салыстыру үшін сізге қажет:

• алынған бөлшектердің алымдарын салыстыру; алымы үлкен бөлшек үлкенірек болады.

Мысалы, \frac(9)(14)

Бөлшектерді салыстыру кезінде бірнеше ерекше жағдайлар бар:

1. Екі бөлшектен бірдей бөлгіштерменАлымы үлкен бөлшек үлкен болады. Мысалы, \frac(3)(15)
2. Екі бөлшектен бірдей сандарменБөлгіші кішірек бөлшек үлкенірек болады. Мысалы, \frac(4)(11)>\frac(4)(13)
3. Бір мезгілде болатын бөлшек үлкен алым және кіші бөлгіш, Көбірек. Мысалы, \frac(11)(3)>\frac(10)(8)

Назар аударыңыз! 1-ереже кез келген бөлшектерге қолданылады, егер олардың ортақ бөлімі оң сан болса. 2 және 3 ережелер оң бөлшектерге (алымы мен бөлгіші нөлден үлкен) қолданылады.

Бөлшектерді қосу және азайту

Математикалық операция. Бөлшектерді қосу және азайту

Екі бөлшекті қосу үшін сізге қажет:

• оларды ортақ бөлгішке келтіру;
• олардың алымдарын қосып, азайтқышты өзгеріссіз қалдырыңыз.

Мысал: \frac(7)(9)+\frac(4)(7)=\frac(7\cdot7)(9\cdot7)+\frac(4\cdot9)(7\cdot9)=\frac(49) )(63)+\frac(36)(63)=\frac(49+36)(63)=\frac(85)(63)

Бір бөлшектен екіншісін алу үшін сізге қажет:

• бөлшектерді ортақ бөлімге келтіру;
• Бірінші бөлшектің алымынан екінші бөлшектің алымын алып, бөлімін өзгеріссіз қалдырамыз.

Мысал: \frac(4)(15)-\frac(3)(5)=\frac(4)(15)-\frac(3\cdot3)(5\cdot3)=\frac(4)(15) -\frac(9)(15)=\frac(4-9)(15)=\frac(-5)(15)=-\frac(5)(3\cdot5)=-\frac(1)( 3)

Егер бастапқы бөлшектердің бастапқыда ортақ бөлімі болса, онда 1-қадам (ортақ бөлгішке келтіру) өткізілмейді.

Аралас санды бұрыс бөлшекке және керісінше түрлендіру

Математикалық операция. Аралас санды бұрыс бөлшекке және керісінше түрлендіру

Аралас бөлшекті бұрыс бөлшекке айналдыру үшін аралас бөлшектің барлық бөлігін бөлшек бөлігімен қосу жеткілікті. Мұндай қосындының нәтижесі бұрыс бөлшек болады, оның алымы аралас бөлшектің алымы бар бөлшектің бүтін бөлігінің көбейтіндісінің қосындысына тең, ал бөлімі өзгеріссіз қалады. Мысалы, 2\frac(6)(11)=2+\frac(6)(11)=\frac(2\cdot11)(11)+\frac(6)(11)=\frac(2\cdot11+ 6)(11)=\frac(28)(11)

Бұрыс бөлшекті аралас санға айналдыру үшін:

• бөлшектің алымын оның бөліміне бөлу;
• бөлудің қалдығын алымға жазып, бөлгішті сол күйінде қалдыру;
• бөлу нәтижесін бүтін бөлікке жазыңыз.

Мысалы, бөлшек \frac(23)(4) . 23:4=5,75-ке бөлгенде, яғни бүтін бөлігі 5-ке, бөліндінің қалдығы 23-5*4=3 болады. Содан кейін аралас сан жазылады: 5\frac(3)(4) . \frac(23)(4)=\frac(5\cdot4+3)(4)=5\frac(3)(4)

Ондық бөлшекті бөлшекке түрлендіру

Математикалық операция. Ондық бөлшекті бөлшекке түрлендіру

Ондық бөлшекті жай бөлшекке айналдыру үшін сізге қажет:

1. бөлгіш ретінде онның n-ші дәрежесін алайық (мұнда n - ондық таңбалардың саны);
2. алым ретінде ондық бөлшектен кейінгі санды алыңыз (егер бастапқы санның бүтін бөлігі нөлге тең болмаса, онда барлық алдыңғы нөлдерді де алыңыз);
3. нөлдік емес бүтін бөлігі алымға ең басында жазылады; нөлдік бүтін бөлігі түсірілген.

1-мысал: 0,0089=\frac(89)(10000) (4 ондық орын бар, сондықтан бөлгіште 10 4 =10000 бар, бүтін бөлігі 0 болғандықтан, алым басында нөлсіз ондық бөлшектен кейінгі санды қамтиды)

2-мысал: 31.0109=\frac(310109)(10000) (алымдауда ондық бөлшектен кейінгі санды барлық нөлдермен жазамыз: “0109”, содан кейін оның алдына бастапқы “31” санының бүтін бөлігін қосамыз)

Ондық бөлшектің бүтін бөлігі нөлге тең болмаса, оны аралас бөлшекке айналдыруға болады. Ол үшін бүтін бөлігі нөлге тең (1 және 2 нүктелер) сияқты санды жай бөлшекке түрлендіреміз және жай бөлшектің алдына бүтін бөлікті қайта жазамыз – бұл аралас санның бүтін бөлігі болады. . Мысалы:

3,014=3\фрак(14)(100)

Бөлшекті ондық бөлшекке айналдыру үшін алымды бөлгішке бөлу жеткілікті. Кейде сіз шексіз ондықпен аяқталасыз. Бұл жағдайда қажетті ондық бөлшекке дейін дөңгелектеу керек. Мысалдар:

\frac(401)(5)=80,2;\quad \frac(2)(3)\шамамен0,6667

Бөлшектерді көбейту және бөлу

Математикалық операция. Бөлшектерді көбейту және бөлу

Екі жай бөлшекті көбейту үшін бөлшектердің алымдары мен бөлгіштерін көбейту керек.

\frac(5)(9)\cdot\frac(7)(2)=\frac(5\cdot7)(9\cdot2)=\frac(35)(18)

Бір жай бөлшекті екіншісіне бөлу үшін бірінші бөлшекті екіншісінің кері бөлігіне көбейту керек ( кері бөлшек- алымы мен бөлгіші ауыстырылатын бөлшек.

\frac(5)(9):\frac(7)(2)=\frac(5)(9)\cdot\frac(2)(7)=\frac(5\cdot2)(9\cdot7)= \frac(10)(63)

Бөлшектердің бірі натурал сан болса, онда жоғарыда көрсетілген көбейту және бөлу ережелері күшінде қалады. Сіз жай ғана бүтін санның бөлгіші біреуге тең болатын бірдей бөлшек екенін ескеруіңіз керек. Мысалы: 3:\frac(3)(7)=\frac(3)(1):\frac(3)(7)=\frac(3)(1)\cdot\frac(7)(3) = \frac(3\cdot7)(1\cdot3)=\frac(7)(1)=7

Сабақтың мазмұны

Бөлгіштері ұқсас бөлшектерді қосу

Бөлшектерді қосудың екі түрі бар:

1. Бөлгіштері ұқсас бөлшектерді қосу
2. Бөлгіштері әртүрлі бөлшектерді қосу

Алдымен бөлгіштері ұқсас бөлшектерді қосуды үйренейік. Мұнда бәрі қарапайым. Бөлінгіштері бірдей бөлшектерді қосу үшін олардың алымдарын қосып, азайтқышты өзгеріссіз қалдыру керек. Мысалы, және бөлшектерді қосайық. Алымдарды қосып, азайғышты өзгеріссіз қалдырыңыз:

Бұл мысалды төрт бөлікке бөлінген пиццаны еске түсірсек, оңай түсінуге болады. Пиццаға пицца қоссаңыз, сіз пицца аласыз:

2-мысал.Бөлшектерді қосыңыз және .

Жауап бұрыс бөлшек болып шықты. Тапсырманың соңы келгенде, дұрыс емес бөлшектерден құтылу әдеттегідей. Дұрыс емес бөлшектен құтылу үшін оның бүкіл бөлігін таңдау керек. Біздің жағдайда, бүкіл бөлік оңай оқшауланған - екеуі екіге бөлінген бірге тең:

Бұл мысалды екі бөлікке бөлінген пицца туралы еске түсірсек, оңай түсінуге болады. Пиццаға көбірек пицца қоссаңыз, бір тұтас пицца аласыз:

3-мысал. Бөлшектерді қосыңыз және .

Қайтадан алымдарды қосып, бөлгішті өзгеріссіз қалдырамыз:

Бұл мысалды үш бөлікке бөлінген пиццаны еске түсірсек, оңай түсінуге болады. Пиццаға көбірек пицца қоссаңыз, сіз пицца аласыз:

4-мысал.Өрнектің мәнін табыңыз

Бұл мысал алдыңғы мысалдармен бірдей шешілген. Алымдарды қосу керек, ал бөлгіш өзгеріссіз қалдырылады:

Шешімімізді сурет арқылы бейнелеуге тырысайық. Егер сіз пиццаға пицца қосып, көбірек пицца қоссаңыз, 1 тұтас пицца және одан да көп пицца аласыз.

Көріп отырғаныңыздай, бөлгіштері бірдей бөлшектерді қосуда күрделі ештеңе жоқ. Келесі ережелерді түсіну жеткілікті:

1. Бөлінгіші бірдей бөлшектерді қосу үшін олардың алымдарын қосып, бөлгішті өзгеріссіз қалдыру керек;

Бөлгіштері әртүрлі бөлшектерді қосу

Енді бөлгіштері әртүрлі бөлшектерді қосуды үйренейік. Бөлшектерді қосқанда бөлшектердің бөлгіштері бірдей болуы керек. Бірақ олар әрқашан бірдей бола бермейді.

Мысалы, бөлшектерді қосуға болады, өйткені оларда бар бірдей бөлгіштер.

Бірақ бөлшектерді бірден қосу мүмкін емес, өйткені бұл бөлшектердің бөлгіштері әртүрлі. Мұндай жағдайларда бөлшектерді бірдей (ортақ) бөлгішке келтіру керек.

Бөлшектерді бір бөлгішке келтірудің бірнеше жолы бар. Бүгін біз олардың біреуін ғана қарастырамыз, өйткені басқа әдістер жаңадан бастағандар үшін күрделі болып көрінуі мүмкін.

Бұл әдістің мәні мынада: алдымен екі бөлшектің деноминаторларының LCM ізделеді. Содан кейін LCM бірінші қосымша көбейткішті алу үшін бірінші бөлшектің бөлгішіне бөлінеді. Олар екінші бөлшекпен де солай істейді - LCM екінші бөлшектің бөлгішіне бөлінеді және екінші қосымша коэффициент алынады.

Бөлшектердің алымдары мен бөлгіштері содан кейін олардың қосымша көбейткіштеріне көбейтіледі. Осы әрекеттердің нәтижесінде бөлгіштері әртүрлі бөлшектер бөлгіштері бірдей бөлшектерге айналады. Ал біз мұндай бөлшектерді қалай қосу керектігін білеміз.

1-мысал. Бөлшектерді қосамыз және

Ең алдымен, екі бөлшектің де бөлгіштерінің ең кіші ортақ еселігін табамыз. Бірінші бөлшектің бөлімі 3 саны, ал екінші бөлшектің бөлімі 2 саны. Бұл сандардың ең кіші ортақ еселігі 6-ға тең.

LCM (2 және 3) = 6

Енді бөлшек және дегенге оралайық. Алдымен LCM-ді бірінші бөлшектің бөлгішіне бөліп, бірінші қосымша көбейткішті алыңыз. LCM – 6 саны, ал бірінші бөлшектің бөлгіші – 3 саны. 6-ны 3-ке бөлсек, 2 шығады.

Алынған 2 саны бірінші қосымша көбейткіш болып табылады. Біз оны бірінші бөлшекке жазамыз. Ол үшін бөлшектің үстіне кішкене қиғаш сызық жүргізіп, оның үстінде табылған қосымша көбейткішті жазыңыз:

Екінші бөлшекпен де солай істейміз. LCM-ді екінші бөлшектің бөлгішіне бөліп, екінші қосымша көбейткішті аламыз. LCM – 6 саны, ал екінші бөлшектің бөлгіші – 2. 6-ны 2-ге бөлсек, 3 шығады.

Алынған 3 саны екінші қосымша көбейткіш болып табылады. Біз оны екінші бөлшекке жазамыз. Тағы да, біз екінші бөлшектің үстінен кішкене қиғаш сызық жасаймыз және оның үстінде табылған қосымша көбейткішті жазамыз:

Енді бізде қосу үшін барлығы дайын. Бөлшектердің алымдары мен бөлгіштерін олардың қосымша көбейткіштеріне көбейту қалады:

Неге келгенімізді мұқият қараңыз. Біз бөлгіштері әртүрлі бөлшектердің бөлгіштері бірдей бөлшектерге айналғаны туралы қорытындыға келдік. Ал біз мұндай бөлшектерді қалай қосу керектігін білеміз. Осы мысалды соңына дейін алайық:

Бұл мысалды аяқтайды. қосу үшін шығады.

Шешімімізді сурет арқылы бейнелеуге тырысайық. Егер сіз пиццаға пицца қоссаңыз, сіз бір тұтас пицца мен алтыдан бір пиццаны аласыз:

Бөлшектерді бірдей (ортақ) бөлгішке келтіруді сурет арқылы да бейнелеуге болады. Бөлшектерді және ортақ бөлімді азайтып, біз және бөлшектерді алдық. Бұл екі бөлшек бірдей пицца бөліктерімен ұсынылатын болады. Жалғыз айырмашылығы, бұл жолы олар тең үлестерге бөлінеді (бірдей бөлгішке дейін азайтылады).

Бірінші сызба бөлшекті (алтыдан төрт бөлік), ал екінші сызба бөлшекті (алтыдан үш бөлік) көрсетеді. Осы бөліктерді қосқанда біз аламыз (алтыдан жеті дана). Бұл бөлшек дұрыс емес, сондықтан біз оның барлық бөлігін бөлектедік. Нәтижесінде біз (бір тұтас пицца және тағы бір алтыншы пицца) алдық.

Біз бұл мысалды тым егжей-тегжейлі сипаттағанымызды ескеріңіз. IN оқу орындарыМұндай егжей-тегжейлі жазу әдетке жатпайды. Бөлінгіштердің де, оларға қосымша көбейткіштердің де LCM-ін жылдам таба білу керек, сондай-ақ табылған қосымша көбейткіштерді алымдар мен бөлгіштерге жылдам көбейту керек. Егер біз мектепте болсақ, бұл мысалды былай жазуымыз керек еді:

Бірақ та бар арт жағымедальдар. Егер сіз математиканы оқудың алғашқы кезеңдерінде егжей-тегжейлі жазбалар жасамасаңыз, онда осындай сұрақтар пайда бола бастайды. «Бұл сан қайдан шыққан?», «Неліктен бөлшектер кенеттен мүлде басқа бөлшектерге айналады? «.

Бөлгіштері әртүрлі бөлшектерді қосуды жеңілдету үшін келесі қадамдық нұсқауларды қолдануға болады:

1. Бөлшектердің бөлгіштерінің СКМ-ін табыңыз;
2. LCM-ді әрбір бөлшектің бөлгішіне бөліңіз және әрбір бөлшек үшін қосымша көбейткіш алыңыз;
3. Бөлшектердің алымдары мен бөлгіштерін олардың қосымша көбейткіштеріне көбейту;
4. Бөлгіштері бірдей бөлшектерді қосу;
5. Егер жауап бұрыс бөлшек болып шықса, онда оның толық бөлігін таңдаңыз;

2-мысал.Өрнектің мәнін табыңыз .

Жоғарыда келтірілген нұсқауларды қолданайық.

1-қадам. Бөлшектердің бөлімін табыңыз

Екі бөлшектің де бөлімін табыңыз. Бөлшектердің бөлгіштері 2, 3 және 4 сандары болып табылады

2-қадам. LCM-ді әрбір бөлшектің бөлгішіне бөліңіз және әрбір бөлшек үшін қосымша көбейткіш алыңыз

LCM-ді бірінші бөлшектің бөлгішіне бөліңіз. LCM - 12 саны, ал бірінші бөлшектің бөлгіші 2 саны. 12-ні 2-ге бөлсек, біз 6 аламыз. Бірінші қосымша көбейткіш 6 алдық. Оны бірінші бөлшектің үстіне жазамыз:

Енді біз LCM-ді екінші бөлшектің бөліміне бөлеміз. LCM – 12 саны, ал екінші бөлшектің бөлгіші – 3 саны. 12-ні 3-ке бөлсек, 4 шығады. Екінші қосымша көбейткішті аламыз 4. Оны екінші бөлшектің үстіне жазамыз:

Енді біз LCM-ді үшінші бөлшектің бөліміне бөлеміз. LCM – 12 саны, ал үшінші бөлшектің бөлгіші – 4 саны. 12-ні 4-ке бөлсек, біз 3 аламыз. Үшінші қосымша көбейткішті аламыз 3. Оны үшінші бөлшектің үстіне жазамыз:

3-қадам. Бөлшектердің алымдары мен бөлгіштерін олардың қосымша көбейткіштеріне көбейту

Алымдар мен бөлгіштерді олардың қосымша көбейткіштеріне көбейтеміз:

4-қадам. Бөлгіштері бірдей бөлшектерді қосыңыз

Бөлгіштері әртүрлі бөлшектердің бөлгіштері бірдей (ортақ) бөлшектерге айналуы туралы қорытындыға келдік. Осы бөлшектерді қосу ғана қалады. Оны қосыңыз:

Қосымша бір жолға сәйкес келмеді, сондықтан біз қалған өрнекті келесі жолға жылжыттық. Бұл математикада рұқсат етілген. Өрнектер бір жолға сыймаған жағдайда келесі жолға ауыстырылады және бірінші жолдың соңына және жаңа жолдың басына теңдік белгісін (=) қою керек. Екінші жолдағы теңдік белгісі бұл бірінші жолдағы өрнектің жалғасы екенін көрсетеді.

Қадам 5. Жауап бұрыс бөлшек болып шықса, оның толық бөлігін таңдаңыз

Біздің жауабымыз бұрыс бөлшек болып шықты. Біз оның тұтас бір бөлігін бөліп көрсетуіміз керек. Біз атап өтеміз:

Жауап алдық

Бөлгіштері ұқсас бөлшектерді азайту

Бөлшектерді алудың екі түрі бар:

1. Бөлгіштері ұқсас бөлшектерді азайту
2. Бөлгіштері әртүрлі бөлшектерді азайту

Алдымен бөлгіштері ұқсас бөлшектерді азайтуды үйренейік. Мұнда бәрі қарапайым. Бір бөлшектен басқа бөлшекті алу үшін бірінші бөлшектің алымынан екінші бөлшектің алымын азайту керек, бірақ бөлгішті сол күйінде қалдыру керек.

Мысалы, өрнектің мәнін табайық. Бұл мысалды шешу үшін бірінші бөлшектің алымынан екінші бөлшектің алымын алып, ал бөлгішті өзгеріссіз қалдыру керек. Мұны істейік:

Бұл мысалды төрт бөлікке бөлінген пиццаны еске түсірсек, оңай түсінуге болады. Егер сіз пиццадан пицца кессеңіз, сіз пицца аласыз:

2-мысал.Өрнектің мәнін табыңыз.

Қайтадан бірінші бөлшектің алымынан екінші бөлшектің алымын азайтып, бөлімін өзгеріссіз қалдырыңыз:

Бұл мысалды үш бөлікке бөлінген пиццаны еске түсірсек, оңай түсінуге болады. Егер сіз пиццадан пицца кессеңіз, сіз пицца аласыз:

3-мысал.Өрнектің мәнін табыңыз

Бұл мысал алдыңғы мысалдармен бірдей шешілген. Бірінші бөлшектің алымынан қалған бөлшектердің алымдарын алып тастау керек:

Көріп отырғаныңыздай, бөлгіштері бірдей бөлшектерді азайтуда күрделі ештеңе жоқ. Келесі ережелерді түсіну жеткілікті:

1. Бір бөлшектен басқа бөлшекті алу үшін бірінші бөлшектің алымынан екінші бөлшектің алымын азайту керек, ал бөлімін өзгеріссіз қалдыру керек;
2. Егер жауап бұрыс бөлшек болып шықса, онда оның барлық бөлігін бөлектеу керек.

Бөлгіштері әртүрлі бөлшектерді азайту

Мысалы, бөлшектен бөлшекті азайтуға болады, себебі бөлшектердің бөлгіштері бірдей. Бірақ бөлшектен бөлшекті азайтуға болмайды, өйткені бұл бөлшектердің бөлгіштері әртүрлі. Мұндай жағдайларда бөлшектерді бірдей (ортақ) бөлгішке келтіру керек.

Ортақ бөлгіш әртүрлі бөлгіштері бар бөлшектерді қосқанда қолданған принцип арқылы табылады. Ең алдымен, екі бөлшектің де бөлгіштерінің LCM-ін табыңыз. Содан кейін LCM бірінші бөлшектің бөлгішіне бөлінеді және бірінші қосымша көбейткіш алынады, ол бірінші бөлшектің үстіне жазылады. Сол сияқты, LCM екінші бөлшектің бөлгішіне бөлінеді және екінші бөлшектің үстіне жазылатын екінші қосымша көбейткіш алынады.

Содан кейін бөлшектер олардың қосымша көбейткіштеріне көбейтіледі. Осы амалдардың нәтижесінде бөлгіштері әртүрлі бөлшектерді бөлгіштері бірдей бөлшектерге айналдырады. Ал біз мұндай бөлшектерді қалай азайту керектігін білеміз.

1-мысал.Өрнектің мағынасын табыңыз:

Бұл бөлшектердің бөлгіштері әртүрлі, сондықтан оларды бірдей (ортақ) бөлгішке келтіру керек.

Алдымен екі бөлшектің деноминаторларының LCM-ін табамыз. Бірінші бөлшектің бөлімі 3 саны, ал екінші бөлшектің бөлімі 4 саны. Бұл сандардың ең кіші ортақ еселігі 12-ге тең.

LCM (3 және 4) = 12

Енді бөлшектерге оралайық және

Бірінші бөлшек үшін қосымша көбейткіш табайық. Ол үшін LCM-ді бірінші бөлшектің бөлгішіне бөліңіз. LCM – 12 саны, ал бірінші бөлшектің бөлгіші – 3 саны. 12-ні 3-ке бөлсек, 4 шығады. Бірінші бөлшектің үстіне төрт санын жаз:

Екінші бөлшекпен де солай істейміз. LCM-ді екінші бөлшектің бөлгішіне бөліңіз. LCM – 12 саны, ал екінші бөлшектің бөлімі – 4. 12-ні 4-ке бөлсек, 3 шығады. Екінші бөлшектің үстіне үш санын жаз:

Енді біз азайтуға дайынбыз. Бөлшектерді олардың қосымша көбейткіштеріне көбейту қалады:

Біз бөлгіштері әртүрлі бөлшектердің бөлгіштері бірдей бөлшектерге айналғаны туралы қорытындыға келдік. Ал біз мұндай бөлшектерді қалай азайту керектігін білеміз. Осы мысалды соңына дейін алайық:

Жауап алдық

Шешімімізді сурет арқылы бейнелеуге тырысайық. Егер сіз пиццадан пиццаны кессеңіз, сіз пицца аласыз

Бұл шешімнің егжей-тегжейлі нұсқасы. Егер біз мектепте болсақ, бұл мысалды қысқарақ шешуге тура келеді. Мұндай шешім келесідей болады:

Бөлшектерді ортақ бөлімге келтіруді сурет арқылы да бейнелеуге болады. Осы бөлшектерді ортақ бөлімге келтіріп, біз және бөлшектерін алдық. Бұл фракциялар бірдей пицца тілімдерімен көрсетіледі, бірақ бұл жолы олар тең үлестерге бөлінеді (бірдей бөлгішке дейін азайтылады):

Бірінші суретте бөлшек (он екіден сегіз бөлік), ал екінші суретте бөлшек (он екіден үш бөлік) көрсетілген. Сегіз бөліктен үш бөлікті кесу арқылы біз он екі бөліктен бес бөлік аламыз. Бөлшек осы бес бөлікті сипаттайды.

2-мысал.Өрнектің мәнін табыңыз

Бұл бөлшектердің бөлгіштері әртүрлі, сондықтан алдымен оларды бірдей (ортақ) бөлгішке келтіру керек.

Осы бөлшектердің бөлгіштерінің СКМ-ін табайық.

Бөлшектердің бөлгіштері 10, 3 және 5 сандары. Бұл сандардың ең кіші ортақ еселігі 30-ға тең.

LCM(10, 3, 5) = 30

Енді әрбір бөлшек үшін қосымша көбейткіштерді табамыз. Ол үшін LCM-ді әрбір бөлшектің бөлгішіне бөліңіз.

Бірінші бөлшек үшін қосымша көбейткіш табайық. LCM – 30 саны, ал бірінші бөлшектің бөлгіші – 10. 30-ды 10-ға бөлсек, бірінші қосымша көбейткіш 3-ті аламыз. Оны бірінші бөлшектің үстіне жазамыз:

Енді екінші бөлшек үшін қосымша көбейткіш табамыз. LCM-ді екінші бөлшектің бөлгішіне бөліңіз. LCM – 30 саны, ал екінші бөлшектің бөлгіші – 3 саны. 30-ды 3-ке бөлсек, екінші қосымша 10-ды аламыз. Оны екінші бөлшектің үстіне жазамыз:

Енді үшінші бөлшек үшін қосымша көбейткіш табамыз. LCM-ді үшінші бөлшектің бөліміне бөліңіз. LCM – 30 саны, ал үшінші бөлшектің бөлгіші – 5. 30-ды 5-ке бөлсек, үшінші қосымша көбейткіш 6-ны аламыз. Оны үшінші бөлшектің үстіне жазамыз:

Енді бәрі шегеруге дайын. Бөлшектерді олардың қосымша көбейткіштеріне көбейту қалады:

Бөлгіштері әртүрлі бөлшектердің бөлгіштері бірдей (ортақ) бөлшектерге айналуы туралы қорытындыға келдік. Ал біз мұндай бөлшектерді қалай азайту керектігін білеміз. Осы мысалды аяқтайық.

Мысалдың жалғасы бір жолға сыймайды, сондықтан жалғасын келесі жолға ауыстырамыз. Жаңа жолдағы теңдік белгісін (=) ұмытпаңыз:

Жауап қалыпты бөлшек болып шықты, бәрі бізге сәйкес келетін сияқты, бірақ ол тым ауыр және ұсқынсыз. Біз оны қарапайым етуіміз керек. Не істеуге болады? Бұл бөлшекті қысқартуға болады.

Бөлшекті азайту үшін оның алымы мен бөлімін 20 және 30 сандарының (GCD) санына бөлу керек.

Сонымен, 20 және 30 сандарының gcd мәнін табамыз:

Енді біз мысалға ораламыз және бөлшектің алымы мен бөлімін табылған gcd-ге бөлеміз, яғни 10-ға.

Жауап алдық

Бөлшекті санға көбейту

Бөлшекті санға көбейту үшін бөлшектің алымын сол санға көбейтіп, бөлімін өзгеріссіз қалдыру керек.

1-мысал. Бөлшекті 1 санына көбейту.

Бөлшектің алымын 1 санына көбейтіңіз

Жазуды жарты 1 рет алу деп түсінуге болады. Мысалы, бір рет пицца алсаңыз, сіз пицца аласыз

Көбейту заңдарынан егер көбейткіш пен көбейткіш ауыстырылса, көбейтінді өзгермейтінін білеміз. Егер өрнек ретінде жазылса, онда көбейтінді әлі де -ге тең болады. Тағы да, бүтін сан мен бөлшекті көбейту ережесі жұмыс істейді:

Бұл белгіні біреудің жартысын алу деп түсінуге болады. Мысалы, егер 1 тұтас пицца болса және біз оның жартысын алсақ, онда бізде пицца болады:

2-мысал. Өрнектің мәнін табыңыз

Бөлшектің алымын 4-ке көбейтіңіз

Жауап бұрыс бөлшек болды. Оның барлық бөлігін бөлектеп көрейік:

Өрнекті төрттен екіні 4 рет алу деп түсінуге болады. Мысалы, сіз 4 пицца алсаңыз, екі бүтін пицца аласыз

Ал көбейткіш пен көбейткішті ауыстырсақ, өрнегін аламыз. Ол да 2-ге тең болады. Бұл өрнекті төрт тұтас пиццадан екі пицца алу деп түсінуге болады:

Бөлшекке көбейтілетін сан мен бөлшектің бөлгіші, егер олардың ортақ көбейткіші біреуден үлкен болса, шешіледі.

Мысалы, өрнекті екі жолмен бағалауға болады.

Бірінші жол. 4 санын бөлшектің алымына көбейтіп, бөлшектің бөлімін өзгеріссіз қалдыр:

Екінші жол. Көбейтілетін төрт пен бөлшектің бөлгішіндегі төртеуін азайтуға болады. Бұл төрттіктерді 4-ке азайтуға болады, өйткені екі төрттіктің ең үлкен ортақ бөлгіші төрттің өзі:

Бірдей нәтиже алдық 3. Төрттіктерді азайтқаннан кейін олардың орнына жаңа сандар қалыптасады: екі. Бірақ бірді үшке көбейтіп, одан кейін бірге бөлу ештеңені өзгертпейді. Сондықтан шешімді қысқаша жазуға болады:

Қысқартуды біз бірінші әдісті қолдануды шешкен кезде де орындауға болады, бірақ 4 саны мен 3 алымын көбейту кезеңінде азайтуды қолдануды шештік:

Бірақ, мысалы, өрнекті тек бірінші жолмен ғана есептеуге болады - 7-ні бөлшектің бөлгішіне көбейтіп, бөлгішті өзгеріссіз қалдырыңыз:

Бұл 7 саны мен бөлшектің бөлгішінің бірден үлкен ортақ бөлгіші болмайтындығына байланысты және сәйкесінше жойылмайды.

Кейбір оқушылар көбейтіліп жатқан санды және бөлшектің алымын қателесіп қысқартады. Сіз мұны істей алмайсыз. Мысалы, келесі жазба дұрыс емес:

Бөлшекті азайту мынаны білдіреді алымы да, бөлімі дебірдей санға бөлінеді. Өрнек жағдайында бөлу тек алыммен орындалады, өйткені бұл жазу жазумен бірдей. Бөлу тек алымда орындалатынын, ал бөлгіште бөлу болмайтынын көреміз.

Бөлшектерді көбейту

Бөлшектерді көбейту үшін олардың алымдары мен бөлгіштерін көбейту керек. Жауап бұрыс бөлшек болып шықса, оның барлық бөлігін бөлектеу керек.

1-мысал.Өрнектің мәнін табыңыз.

Жауап алдық. Бұл фракцияны азайтқан жөн. Бөлшекті 2-ге азайтуға болады. Сонда соңғы шешім келесі пішінді алады:

Өрнекті жарты пиццадан пицца алу деп түсінуге болады. Бізде жарты пицца бар делік:

Осы жартының үштен екісін қалай алуға болады? Алдымен сіз осы жартыны үш тең ​​бөлікке бөлуіңіз керек:

Осы үш бөліктен екеуін алыңыз:

Біз пицца жасаймыз. Пицца үш бөлікке бөлінгенде қандай болатынын есте сақтаңыз:

Осы пиццаның бір бөлігі мен біз алған екі бөлік бірдей өлшемдерге ие болады:

Басқаша айтқанда, біз бірдей мөлшердегі пицца туралы айтып отырмыз. Сондықтан өрнектің мәні

2-мысал. Өрнектің мәнін табыңыз

Бірінші бөлшектің алымын екінші бөлшектің бөліміне, ал бірінші бөлшектің бөлімін екінші бөлшектің бөліміне көбейтіңіз:

Жауап бұрыс бөлшек болды. Оның барлық бөлігін бөлектеп көрейік:

3-мысал.Өрнектің мәнін табыңыз

Бірінші бөлшектің алымын екінші бөлшектің бөліміне, ал бірінші бөлшектің бөлімін екінші бөлшектің бөліміне көбейтіңіз:

Жауабы жай бөлшек болып шықты, бірақ қысқартылған болса жақсы болар еді. Бұл бөлшекті азайту үшін осы бөлшектің алымы мен бөлімін 105 және 450 сандарының ең үлкен ортақ бөлгішіне (GCD) бөлу керек.

Сонымен, 105 және 450 сандарының gcd мәнін табайық:

Енді жауабымыздың алымы мен бөлімін қазір тапқан gcd-ге бөлеміз, яғни 15-ке.

Бүтін санды бөлшек түрінде көрсету

Кез келген бүтін санды бөлшек түрінде беруге болады. Мысалы, 5 санын ретінде көрсетуге болады. Бұл бестің мағынасын өзгертпейді, өйткені өрнек «бес саны бірге бөлінген» дегенді білдіреді және бұл, біз білетіндей, беске тең:

Өзара сандар

Енді біз өте таныс боламыз қызықты тақырыпматематикада. Ол «кері сандар» деп аталады.

Анықтама. Санға керіа көбейтілген кездегі сана біреуін береді.

Бұл анықтамада айнымалының орнына ауыстырайық анөмірі 5 және анықтаманы оқып көріңіз:

Санға кері 5 көбейтілген кездегі сан 5 біреуін береді.

5-ке көбейткенде бір болатын санды табуға болады ма? Бұл мүмкін болып шықты. Бесті бөлшек түрінде елестетейік:

Содан кейін бұл бөлшекті өзіне көбейтіңіз, алым мен бөлгішті ауыстырыңыз. Басқаша айтқанда, бөлшекті тек төңкеріп, өзіне көбейтейік:

Мұның нәтижесінде не болады? Бұл мысалды шешуді жалғастырсақ, біз мынаны аламыз:

Бұл 5 санына кері сан екенін білдіреді, өйткені 5-ке көбейткенде бір шығады.

Санның кері мәнін кез келген басқа бүтін сан үшін де табуға болады.

Сондай-ақ кез келген басқа бөлшектің кері мәнін табуға болады. Мұны істеу үшін оны аударыңыз.

Бөлшекті санға бөлу

Бізде жарты пицца бар делік:

Оны екіге тең бөлейік. Әр адам қанша пицца алады?

Пиццаның жартысын бөлгеннен кейін әрқайсысы пиццадан тұратын екі тең бөлік алынғанын көруге болады. Сондықтан барлығы пицца алады.

1º. Бүтін сандар - Бұл санау кезінде қолданылатын сандар. Барлық натурал сандар жиыны N арқылы белгіленеді, яғни N=(1, 2, 3, …).

Бөлшекбірліктің бірнеше бөлшектерінен тұратын сан. Жай бөлшек- натурал сан түрдегі сан nбірліктің неше тең бөлікке бөлінетінін және натурал санды көрсетеді мосындай қанша тең бөлік алынғанын көрсетеді. Сандар мЖәне nсәйкес шақырылады алымЖәне бөлгішбөлшектер

Алым бөлгіштен кіші болса, бөлшек деп аталады дұрыс; егер алым азайғышқа тең немесе одан үлкен болса, онда бөлшек деп аталады қате. Бүтін және бөлшек бөлігінен тұратын сан деп аталады аралас сан.

Мысалы,
- жай бөлшектер;
- бұрыс жай бөлшектер, 1 аралас сан.

2º. Қарапайым бөлшектермен операцияларды орындау кезінде келесі ережелерді есте сақтау керек:

1)Бөлшектің негізгі қасиеті. Бөлшектің алымы мен бөлімі бірдей натурал санға көбейтілсе немесе бөлінсе, берілгенге тең бөлшек шығады.

Мысалы, а)
; б)
.

Бөлшектің алымы мен бөлімін бір емес ортақ бөлгішке бөлу деп аталады. бөлшекті азайту.

2) Аралас санды бұрыс бөлшек түрінде көрсету үшін оның бүтін бөлігін бөлшек бөлігінің бөліміне көбейтіп, алынған көбейтіндіге бөлшек бөлігінің алымын қосу керек, алынған санды бөлшектің алымы ретінде жазу керек, және бөлгішті сол күйінде қалдырыңыз.

Сол сияқты кез келген натурал санды кез келген бөлімі бар бұрыс бөлшек түрінде жазуға болады.

Мысалы, а)
, өйткені
; б)
және т.б.

3) Бұрыс бөлшекті аралас сан түрінде жазу (яғни бүтін бөлшекті бұрыс бөлшектен бөлу) үшін алымды бөлгішке бөлу керек, бөлімнің бөлімін бүтін бөлік ретінде, қалған бөлігін алым ретінде алу керек. , ал бөлгішті сол күйінде қалдырыңыз.

Мысалы, а)
, 200 жылдан бастап: 7 = 28 (қалған 4); б)
, 20-дан бастап: 5 = 4 (қалған 0).

4) Бөлшектерді ең кіші ортақ бөлгішке келтіру үшін осы бөлшектердің бөлгіштерінің ең кіші ортақ еселігін (LCM) табу керек (ол олардың ең кіші ортақ бөлімі болады), ең кіші ортақ бөлімін осы бөлшектердің бөлгіштеріне бөлу керек ( яғни бөлшектер үшін қосымша көбейткіштерді табу) , әрбір бөлшектің алымы мен бөлімін оның қосымша көбейткішіне көбейту.

Мысалы, бөлшектерді берейік
ең кіші ортақ бөлгішке:

,
,
;

630: 18 = 35, 630: 10 = 63, 630: 21 = 30.

білдіреді,
;
;
.

5) Жай бөлшектерге арифметикалық амалдарды орындау ережелері:

а) Бөлгіштері бірдей бөлшектерді қосу және азайту келесі ереже бойынша орындалады:

.

б) Бөлшектері әртүрлі бөлшектерді қосу және азайту алдымен бөлшектерді ең кіші ортақ бөліміне келтіргеннен кейін а) ережесі бойынша жүзеге асырылады.

в) Аралас сандарды қосу және азайту кезінде оларды бұрыс бөлшектерге айналдыруға болады, содан кейін а) және b) ережелерін орындауға болады.

г) Бөлшектерді көбейту кезінде келесі ережені қолданыңыз:

.

д) Бір бөлшекті екінші бөлшекке бөлу үшін дивидендті бөлгіштің кері бөлігіне көбейту керек:

.

е) Аралас сандарды көбейту және бөлу кезінде алдымен бұрыс бөлшектерге айналдырылады, содан кейін г) және е) ережелері қолданылады.

3º. Бөлшектермен барлық амалдарға мысалдарды шешу кезінде алдымен жақшадағы амалдар орындалатынын есте сақтаңыз. Жақшаның ішінде де, сыртында да алдымен көбейту және бөлу, содан кейін қосу және азайту орындалады.

Мысал арқылы жоғарыда аталған ережелердің орындалуын қарастырайық.

Мысал 1. Есептеңіз:
.

1)
;

2)
;

5)
. Жауабы: 3.