محاسبه مساحت یک شکل محدود شده توسط یک منحنی پارامتریک تعریف شده. محاسبه حجم اجسام چرخشی با استفاده از چرخش انتگرالی معین حول محور oy حجم

بخش ها: ریاضیات

نوع درس: ترکیبی

هدف از درس:یاد بگیرید که حجم اجسام انقلاب را با استفاده از انتگرال محاسبه کنید.

وظایف:

ادغام توانایی شناسایی ذوزنقه های منحنی از تعدادی شکل هندسی و توسعه مهارت محاسبه مساحت ذوزنقه های منحنی.
مفهوم را بشناسید شکل حجمی;
یاد بگیرید که حجم اجسام چرخش را محاسبه کنید.
توسعه تفکر منطقی، گفتار ریاضی شایسته، دقت در ساختن نقاشی ها را ترویج دهید.
پرورش علاقه به موضوع، عمل کردن با مفاهیم و تصاویر ریاضی، پرورش اراده، استقلال و پشتکار در دستیابی به نتیجه نهایی.

در طول کلاس ها

I. لحظه سازمانی.

با سلام از طرف گروه اهداف درس را به دانش آموزان منتقل کنید.

انعکاس. ملودی آرام.

- می خواهم درس امروز را با یک تمثیل شروع کنم. «روزی روزگاری مرد خردمندی زندگی می کرد که همه چیز را می دانست. مردی می خواست ثابت کند که حکیم همه چیز را نمی داند. پروانه ای را در کف دستانش گرفت و پرسید: حکیم به من بگو کدام پروانه در دستان من است: مرده یا زنده؟ و خودش فکر می کند: «اگر زنده بگوید او را می کشم، مرده بگوید او را آزاد می کنم». حکیم پس از تفکر، پاسخ داد: "همه چیز در دستان شماست". (ارائه.اسلاید)

- پس بیایید امروز مثمر ثمر کار کنیم، ذخیره جدیدی از دانش به دست آوریم و مهارت ها و توانایی های کسب شده را در زندگی آینده و فعالیت های عملی به کار ببریم. "همه چیز در دستان شماست".

II. تکرار مطالبی که قبلا مطالعه شده است.

- نکات اصلی مطالب قبلاً مورد مطالعه را به خاطر بسپاریم. برای انجام این کار، بیایید کار را کامل کنیم "کلمات اضافی را حذف کنید."(اسلاید.)

(دانش آموز به I.D می رود. از پاک کن برای حذف کلمه اضافی استفاده می کند.)

- درست "دیفرانسیل". سعی کنید کلمات باقیمانده را با یک کلمه مشترک نامگذاری کنید. (حساب انتگرال.)

– بیایید مراحل و مفاهیم اصلی مرتبط با حساب انتگرال را به خاطر بسپاریم..

” دسته ریاضی ” .

ورزش. شکاف ها را بازیابی کنید. (دانش آموز بیرون می آید و کلمات مورد نیاز را با خودکار می نویسد.)

- بعداً چکیده ای در مورد کاربرد انتگرال ها خواهیم شنید.

در نوت بوک کار کنید.

- فرمول نیوتن-لایبنیتس توسط فیزیکدان انگلیسی ایزاک نیوتن (1643-1727) و فیلسوف آلمانی گوتفرید لایب نیتس (1646-1716) مشتق شده است. و این تعجب آور نیست، زیرا ریاضیات زبانی است که خود طبیعت به آن صحبت می کند.

- بیایید در نظر بگیریم که چگونه از این فرمول برای حل مسائل عملی استفاده می شود.

مثال 1: مساحت شکل محدود شده با خطوط را محاسبه کنید

راه حل: بیایید نمودارهایی از توابع را در صفحه مختصات بسازیم . بیایید مساحت شکلی را که باید پیدا شود انتخاب می کنیم.

III. یادگیری مطالب جدید.

- به صفحه نمایش توجه کنید. در تصویر اول چه چیزی نشان داده شده است؟ (اسلاید) (شکل یک شکل صاف را نشان می دهد.)

- در تصویر دوم چه چیزی نشان داده شده است؟ آیا این رقم صاف است؟ (اسلاید) (شکل یک شکل سه بعدی را نشان می دهد.)

- در فضا، روی زمین و در زندگی روزمرهما نه تنها با ارقام مسطح، بلکه سه بعدی نیز مواجه هستیم، اما چگونه می توان حجم چنین اجسامی را محاسبه کرد؟ مثلا حجم یک سیاره، دنباله دار، شهاب سنگ و غیره.

- مردم هم هنگام ساختن خانه و هم هنگام ریختن آب از یک ظرف به ظرف دیگر به حجم فکر می کنند. قواعد و تکنیک‌های محاسبه حجم‌ها باید پدیدار می‌شد، اینکه چقدر دقیق و معقول بودند، بحث دیگری است.

پیام یک دانش آموز (تیورینا ورا.)

سال 1612 برای ساکنان شهر لینز اتریش، جایی که اخترشناس مشهور یوهانس کپلر در آن زندگی می کرد، به ویژه برای انگور بسیار پربار بود. مردم در حال آماده کردن بشکه های شراب بودند و می خواستند بدانند که چگونه به طور عملی حجم آنها را تعیین کنند. (اسلاید 2)

- بنابراین، آثار مورد توجه کپلر پایه و اساس یک جریان کامل از تحقیقات را که در ربع آخر قرن هفدهم به اوج خود رسید، گذاشت. طراحی در آثار I. Newton و G.V. لایب نیتس حساب دیفرانسیل و انتگرال. از آن زمان به بعد، ریاضیات متغیرها جایگاه پیشرو در سیستم دانش ریاضی را به خود اختصاص داد.

- امروز من و شما در چنین فعالیت های عملی شرکت خواهیم کرد، بنابراین،

موضوع درس ما: "محاسبه حجم اجسام چرخش با استفاده از یک انتگرال معین." (اسلاید)

– با انجام کار زیر با تعریف بدنه چرخشی آشنا خواهید شد.

"هزارتو".

Labyrinth (لغت یونانی) به معنای زیر زمین رفتن است. هزارتو شبکه پیچیده ای از مسیرها، گذرگاه ها و اتاق های به هم پیوسته است.

اما این تعریف "شکسته" بود و نکاتی به شکل فلش بر جای گذاشت.

ورزش. راهی برای خروج از موقعیت گیج کننده پیدا کنید و تعریف را یادداشت کنید.

اسلاید. "دستورالعمل نقشه" محاسبه حجم ها.

با کمک انتگرال معینشما می توانید حجم یک جسم خاص، به ویژه، یک بدنه چرخشی را محاسبه کنید.

جسم چرخشی جسمی است که از چرخاندن یک ذوزنقه منحنی به دور قاعده آن به دست می آید (شکل 1 و 2).

حجم چرخش با یکی از فرمول های زیر محاسبه می شود:

1. حول محور OX

2. ، اگر چرخش ذوزنقه منحنی حول محور op-amp.

هر دانش آموز کارت آموزشی دریافت می کند. معلم بر نکات اصلی تأکید می کند.

– معلم راه حل های مثال های روی تخته را توضیح می دهد.

بیایید گزیده ای از افسانه معروف A. S. Pushkin "داستان تزار سلطان، پسر باشکوه و توانا شاهزاده Guidon Saltanovich و شاهزاده زیبای Swan" را در نظر بگیریم. (اسلاید 4):

…..
و قاصد مست آورد
در همان روز دستور به شرح زیر است:
"پادشاه به پسران خود دستور می دهد،
بدون اتلاف وقت،
و ملکه و اولاد
مخفیانه به ورطه آب بینداز.»
کاری برای انجام دادن وجود ندارد: پسران،
نگران حاکمیت
و به ملکه جوان،
جمعیتی به اتاق خواب او آمدند.
آنها اراده پادشاه را اعلام کردند -
او و پسرش سهم بدی دارند،
ما فرمان را با صدای بلند خواندیم،
و ملکه در همان ساعت
مرا با پسرم در بشکه گذاشتند،
قیر زدند و راندند
و آنها مرا به اوکیان راه دادند -
این همان چیزی است که تزار سلطان دستور داد.

حجم بشکه چقدر باید باشد تا ملکه و پسرش در آن جا شوند؟

- وظایف زیر را در نظر بگیرید

1. حجم جسمی را که با چرخش حول محور منحنی ذوزنقه منحنی محدود شده با خطوط به دست می آید، بیابید: x 2 + y 2 = 64، y = -5، y = 5، x = 0.

جواب: 1163 سانتی متر 3 .

حجم جسم حاصل از چرخش ذوزنقه سهموی حول محور آبسیسا را بیابید. y =، x = 4، y = 0.

IV. ادغام مواد جدید

مثال 2. حجم جسمی را که از چرخش گلبرگ به دور محور x تشکیل شده است محاسبه کنید. y = x 2، y 2 = x.

بیایید نمودارهایی از تابع بسازیم. y = x 2، y 2 = x. برنامه y2 = xتبدیل به فرم y= .

ما داریم V = V 1 – V 2بیایید حجم هر تابع را محاسبه کنیم

- اکنون، بیایید به برج ایستگاه رادیویی در مسکو در Shabolovka نگاه کنیم که بر اساس طرح مهندس برجسته روسی، آکادمیک افتخاری V. G. Shukhov ساخته شده است. از بخش هایی تشکیل شده است - هیپربولوئیدهای چرخش. علاوه بر این، هر یک از آنها از میله های فلزی مستقیم ساخته شده است که دایره های مجاور را به هم متصل می کند (شکل 8، 9).

- بیایید مشکل را در نظر بگیریم.

حجم جسمی که با چرخش کمان های هذلولی به دست می آید را بیابید حول محور خیالی آن، همانطور که در شکل نشان داده شده است. 8، کجا

مکعب واحدها

تکالیف گروهی دانش آموزان با کارها قرعه کشی می کنند، روی کاغذ واتمن نقاشی می کشند و یکی از نمایندگان گروه از کار دفاع می کند.

گروه 1.

اصابت! اصابت! ضربه ای دیگر!
توپ به سمت دروازه پرواز می کند - BALL!
و این یک توپ هندوانه است
سبز، گرد، خوش طعم.
بهتر نگاه کن - چه توپی!
از چیزی جز دایره ساخته نشده است.
هندوانه را دایره ای برش دهید
و طعم آنها را بچشید.

حجم بدن حاصل از چرخش حول محور OX تابع محدود را به دست آورید

خطا! نشانک تعریف نشده است.

- لطفا به من بگویید که این رقم را کجا می بینیم؟

خانه وظیفه برای 1 گروه سیلندر (اسلاید) .

"سیلندر - چیست؟" - از بابام پرسیدم.
پدر خندید: کلاه بالا کلاه است.
برای داشتن یک ایده درست،
یک استوانه، فرض کنید، یک قوطی حلبی است.
لوله قایق بخار - سیلندر،
لوله روی پشت بام ما هم

همه لوله ها شبیه یک سیلندر هستند.
و مثالی مثل این زدم -
کلیدوسکوپ عشق من,
نمی توانی چشم از او بردار،
و همچنین شبیه یک استوانه است.

- ورزش. تکلیف: نمودار تابع و محاسبه حجم.

گروه 2. مخروط (اسلاید).

مامان گفت: و حالا
داستان من در مورد مخروط خواهد بود.
ستارگان با کلاه بلند
در تمام طول سال ستاره ها را می شمارد.
مخروط - کلاه ستارگان.
او اینگونه است. فهمیده شد؟ خودشه.
مامان پشت میز ایستاده بود
داخل بطری ها روغن ریختم.
-قیف کجاست؟ بدون قیف
دنبالش بگرد. در حاشیه نمانید.
- مامان، من تکون نمی خورم.
در مورد مخروط بیشتر توضیح دهید.
– قیف به شکل مخروط آبخوری است.
بیا زود برام پیداش کن
من نتونستم قیف رو پیدا کنم
اما مامان یک کیف درست کرد،
مقوا را دور انگشتم پیچیدم
و او به طرز ماهرانه ای آن را با یک گیره ثابت کرد.
روغن جاری است، مامان خوشحال است،
مخروط درست بیرون آمد.

ورزش. حجم جسمی که با چرخش حول محور آبسیسا به دست می آید را محاسبه کنید

خانه وظیفه گروه دوم هرم(اسلاید).

من عکس رو دیدم در این تصویر
در صحرای شنی یک هرم وجود دارد.
همه چیز در هرم فوق العاده است،
نوعی رمز و راز در آن نهفته است.
و برج اسپاسکایا در میدان سرخ
هم برای کودکان و هم برای بزرگسالان بسیار آشناست.
اگر به برج نگاه کنید، معمولی به نظر می رسد،
چه چیزی بالای آن است؟ هرم!

ورزش.تکلیف: تابع را رسم کنید و حجم هرم را محاسبه کنید

– حجم ها بدن های مختلفما بر اساس فرمول اولیه برای حجم اجسام با استفاده از انتگرال محاسبه کردیم.

این تأیید دیگری است بر اینکه انتگرال معین پایه ای برای مطالعه ریاضیات است.

-خب حالا یه کم استراحت کنیم.

جفت پیدا کن

ملودی ریاضی دومینوی پخش می شود.

جاده ای که خودم دنبالش بودم هرگز فراموش نمی شود...

کار تحقیقاتی. کاربرد انتگرال در اقتصاد و فناوری.

تست برای دانش آموزان قوی و فوتبال ریاضی.

شبیه ساز ریاضی

2. مجموعه تمام پاد مشتق های یک تابع معین نامیده می شود

الف) انتگرال نامعین،

ب) عملکرد،

ب) تمایز

7. حجم جسمی را که با چرخش حول محور آبسیس یک ذوزنقه منحنی شکل که با خطوط محدود شده است، بدست آورید:

D/Z. حجم بدنه های انقلاب را محاسبه کنید.

انعکاس.

دریافت انعکاس در فرم سنک واین(پنج خط).

خط 1 - نام موضوع (یک اسم).

خط دوم - شرح موضوع در دو کلمه، دو صفت.

خط 3 - شرح عمل در این موضوع در سه کلمه.

خط 4 عبارتی از چهار کلمه است که نگرش به موضوع (یک جمله کامل) را نشان می دهد.

خط 5 مترادفی است که اصل موضوع را تکرار می کند.

جلد.
انتگرال معین، تابع انتگرال پذیر.
ما می سازیم، می چرخیم، محاسبه می کنیم.
جسمی که از چرخش ذوزنقه خمیده (در اطراف قاعده آن) به دست می آید.
بدنه چرخشی (جسم هندسی حجمی).

نتیجه (اسلاید).

یک انتگرال معین پایه خاصی برای مطالعه ریاضیات است که کمکی بی بدیل در حل مسائل عملی می کند.
موضوع "انتگرال" به وضوح ارتباط بین ریاضیات و فیزیک، زیست شناسی، اقتصاد و فناوری را نشان می دهد.
توسعه علم مدرنبدون استفاده از انتگرال غیر قابل تصور است. در این راستا لازم است مطالعه آن در چارچوب آموزش متوسطه تخصصی آغاز شود!

درجه بندی. (همراه با تفسیر.)

عمر خیام بزرگ - ریاضیدان، شاعر، فیلسوف. او ما را تشویق می کند که بر سرنوشت خود مسلط باشیم. گزیده ای از آثار او را بشنویم:

خواهی گفت این زندگی یک لحظه است.
قدر آن را بدانید، از آن الهام بگیرید.
هر قدر خرج کنی، میگذره.
فراموش نکنید: او مخلوق شماست.

هنگامی که معنای هندسی یک انتگرال معین را فهمیدیم، به فرمولی رسیدیم که می توان از آن برای یافتن مساحت ذوزنقه منحنی شکل محدود شده توسط محور x و خطوط مستقیم استفاده کرد. x = a، x = bو همچنین یک تابع پیوسته (غیر منفی یا غیر مثبت). y = f(x).گاهی اوقات تعیین تابعی که شکل را در فرم پارامتریک محدود می کند راحت تر است، یعنی. وابستگی عملکردی را از طریق پارامتر t بیان کنید. در این مطلب، ما نشان خواهیم داد که چگونه می توانید مساحت یک شکل را در صورتی که توسط یک منحنی تعریف شده پارامتری محدود شده است، پیدا کنید.

پس از توضیح تئوری و استخراج فرمول، به چند مثال معمولی برای یافتن مساحت چنین ارقامی نگاه می کنیم.

فرمول اساسی برای محاسبه

فرض کنید یک ذوزنقه منحنی داریم که مرزهای آن خطوط مستقیم x = a، x = b، محور Ox و یک منحنی پارامتریک تعریف شده x = φ (t) y = ψ (t) و توابع x = φ (t) و y = ψ (t) در بازه α پیوسته هستند. β، α< β , x = φ (t) будет непрерывно возрастать на нем и φ (α) = a , φ (β) = b .

تعریف 1

برای محاسبه مساحت ذوزنقه در چنین شرایطی، باید از فرمول S (G) = ∫ α β ψ (t) · φ " (t) d t استفاده کنید.

ما آن را از فرمول مساحت ذوزنقه منحنی S (G) = ∫ a b f (x) d x با جایگزینی x = φ (t) y = ψ (t) استخراج کردیم:

S (G) = ∫ a b f (x) d x = ∫ α β ψ (t) d (φ (t)) = ∫ α β ψ (t) φ " (t) d t

تعریف 2

با در نظر گرفتن کاهش یکنواخت تابع x = φ (t) در بازه β. α، β< α , нужная формула принимает вид S (G) = - ∫ β α ψ (t) · φ " (t) d t .

اگر تابع x = φ (t) یکی از تابع‌های ابتدایی نباشد، باید قوانین اساسی افزایش و کاهش یک تابع در بازه را به خاطر بسپاریم تا مشخص کنیم که آیا افزایش یا کاهش خواهد داشت.

در این پاراگراف چندین مشکل را با استفاده از فرمول مشتق شده در بالا تجزیه و تحلیل خواهیم کرد.

مثال 1

وضعیت: مساحت شکلی را که توسط خطی که با معادلات شکل x = 2 cos t y = 3 sin t تشکیل شده است، بیابید.

راه حل

پارامتری داریم خط داده شده. از نظر گرافیکی می توان آن را به صورت بیضی با دو نیم محور 2 و 3 نمایش داد. تصویر را ببینید:

بیایید سعی کنیم مساحت 1 4 شکل حاصل را که ربع اول را اشغال می کند، پیدا کنیم. منطقه در بازه x ∈ a است. b = 0 ; 2. سپس مقدار حاصل را در 4 ضرب کنید و مساحت کل شکل را پیدا کنید.

در اینجا پیشرفت محاسبات ما است:

x = φ (t) = 2 cos t y = ψ (t) = 3 sin t φ α = a ⇔ 2 cos α = 0 ⇔ α = π 2 + πk , k ∈ Z , φ β = b ⇔ 2 cos β = 2 ⇔ β = 2 πk , k ∈ Z

با k برابر با 0، بازه β را بدست می آوریم. α = 0 ; π 2. تابع x = φ (t) = 2 cos t به طور یکنواخت روی آن کاهش می یابد (برای جزئیات بیشتر، مقاله توابع ابتدایی اصلی و خواص آنها را ببینید). این بدان معنی است که می توانید فرمول محاسبه مساحت را اعمال کنید و با استفاده از فرمول نیوتن-لایبنیتس انتگرال معین را پیدا کنید:

- ∫ 0 π 2 3 sin t · 2 cos t " d t = 6 ∫ 0 π 2 sin 2 t d t = 3 ∫ 0 π 2 (1 - cos (2 t) d t = = 3 · t - sin (2 t) 2 0 π 2 = 3 π 2 - گناه 2 π 2 2 - 0 - گناه 2 0 2 = 3 π 2

این بدان معنی است که مساحت شکل داده شده توسط منحنی اصلی برابر با S (G) = 4 · 3 π 2 = 6 π خواهد بود.

پاسخ: S(G) = 6π

اجازه دهید توضیح دهیم که هنگام حل مشکل بالا، می توان نه تنها یک چهارم بیضی، بلکه نیمی از آن - بالا یا پایین را نیز گرفت. یک نیمه در بازه x ∈ a قرار خواهد گرفت. b = - 2 ; 2. در این صورت خواهیم داشت:

φ (α) = a ⇔ 2 cos α = - 2 ⇔ α = π + π k، k ∈ Z، φ (β) = b ⇔ 2 cos β = 2 ⇔ β = 2 π k، k ∈ Z

بنابراین، با k برابر با 0، ما β را دریافت می کنیم. α = 0 ; π. تابع x = φ (t) = 2 cos t در این بازه به طور یکنواخت کاهش می یابد.

پس از این، مساحت نصف بیضی را محاسبه می کنیم:

- ∫ 0 π 3 sin t · 2 cos t " d t = 6 ∫ 0 π sin 2 t d t = 3 ∫ 0 π (1 - cos (2 t) d t = = 3 · t - sin (2 t) 2 0 π = 3 π - sin 2 π 2 - 0 - sin 2 0 2 = 3 π

مهم است که توجه داشته باشید که شما فقط می توانید بالا یا پایین را بگیرید، اما نه سمت راست یا چپ.

شما می توانید یک معادله پارامتری برای یک بیضی معین ایجاد کنید که مرکز آن در مبدا قرار دارد. شبیه x = a · cos t y = b · sin t خواهد بود. همانطور که در مثال بالا پیش می رویم، فرمولی برای محاسبه مساحت بیضی S e l و p با a = πab به دست می آوریم.

می توانید دایره ای را که مرکز آن در مبدا قرار دارد با استفاده از معادله x = R · cos t y = R · sin t تعریف کنید که t یک پارامتر و R شعاع این دایره است. اگر بلافاصله از فرمول مساحت یک بیضی استفاده کنیم، فرمولی به دست می آوریم که با آن می توانیم مساحت یک دایره با شعاع R را محاسبه کنیم: S k r y r a = πR 2 .

بیایید یک مشکل دیگر را بررسی کنیم.

مثال 2

وضعیت: مساحت شکل را پیدا کنید که با یک منحنی پارامتریک تعریف شده x = 3 cos 3 t y = 2 sin 3 t محدود می شود.

راه حل

اجازه دهید فوراً روشن کنیم که این منحنی شکل یک سیارک کشیده دارد. معمولاً سیارک با استفاده از معادله ای به شکل x = a · cos 3 t y = a · sin 3 t بیان می شود.

حال بیایید نحوه ساخت چنین منحنی را با جزئیات بررسی کنیم. بیایید بر اساس نکات فردی بسازیم. این متداول ترین روش است و برای اکثر وظایف قابل استفاده است. بیشتر نمونه های پیچیدهنیاز به حساب دیفرانسیل برای شناسایی یک تابع تعریف شده به صورت پارامتری.

x = φ (t) = 3 cos 3 t، y = ψ (t) = 2 sin 3 t داریم.

این توابع برای تمام مقادیر واقعی t تعریف شده اند. برای sin و cos معلوم است که دوره ای هستند و دوره آنها 2 پی است. با محاسبه مقادیر توابع x = φ (t) = 3 cos 3 t، y = ψ (t) = 2 sin 3 t برای برخی t = t 0 ∈ 0؛ 2 π π 8 , π 4 , 3 π 8 , π 2 , . . . ، 15 π 8، امتیاز x 0 را دریافت می کنیم. y 0 = (φ (t 0)؛ ψ (t 0)).

بیایید یک جدول از مقادیر کل ایجاد کنیم:

t 0	0	π 8	π 4	3 π 8	π 2	5 π 8	3 π 4	7 π 8	π
x 0 = φ (t 0)	3	2 . 36	1 . 06	0 . 16	0	- 0 . 16	- 1 . 06	- 2 . 36	- 3
y 0 = ψ (t 0)	0	0 . 11	0 . 70	1 . 57	2	1 . 57	0 . 70	0 . 11	0

t 0	9 π 8	5 π 4	11 π 8	3 π 2	13 π 8	7 π 4	15 π 8	2π
x 0 = φ (t 0)	- 2 . 36	- 1 . 06	- 0 . 16	0	0 . 16	1 . 06	2 . 36	3
y 0 = ψ (t 0)	- 0 . 11	- 0 . 70	- 1 . 57	- 2	- 1 . 57	- 0 . 70	- 0 . 11	0

پس از این، نقاط مورد نیاز را روی هواپیما علامت بزنید و آنها را با یک خط وصل کنید.

حال باید مساحت آن قسمت از شکل را که در ربع مختصات اول قرار دارد را پیدا کنیم. برای آن x ∈ a; b = 0 ; 3:

φ (α) = a ⇔ 3 cos 3 t = 0 ⇔ α = π 2 + πk , k ∈ Z , φ (β) = b ⇔ 3 cos 3 t = 3 ⇔ β = 2 πk , k ∈ Z

اگر k برابر با 0 باشد، بازه β را بدست می آوریم. α = 0 ; π 2 و تابع x = φ (t) = 3 cos 3 t به طور یکنواخت روی آن کاهش می یابد. حالا فرمول مساحت را گرفته و محاسبه می کنیم:

- ∫ 0 π 2 2 sin 3 t · 3 cos 3 t " d t = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t · cos 2 t d t = = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t · (1 - sin 2 t) d t = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t d t - ∫ 0 π 2 sin 6 t d t

ما انتگرال های معینی را به دست آورده ایم که با استفاده از فرمول نیوتن-لایبنیتس قابل محاسبه هستند. ضد مشتقات این فرمول را می توان با استفاده از فرمول مکرر J n (x) = - cos x · sin n - 1 (x) n + n - 1 n J n - 2 (x) یافت که در آن J n (x) = ∫ گناه n x d x .

🔻 sin 4 t d t = - cos t · sin 3 t 4 + 3 4 ∫ sin 2 t d t = = - cos t · sin 3 t 4 + 3 4 - cos t · sin t 2 + 1 2 ∫ sin 0 t d t = = - cos t sin 3 t 4 - 3 cos t sin t 8 + 3 8 t + C ⇒ ∫ 0 π 2 sin 4 t d t = - cos t sin 3 t 4 - 3 cos t sin t 8 + 3 8 t 0 π 2 = 3 π 16 ∫ sin 6 t d t = - cos t · sin 5 t 6 + 5 6 ∫ sin 4 t d t ⇒ ∫ 0 π 2 sin 6 t d t = - cos t · sin 5 t 6 0 π 2 + 5 6 ∫ 0 π 2 sin 4 t d t = 5 6 3 π 16 = 15 π 96

مساحت یک چهارم رقم را محاسبه کردیم. برابر است با 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t d t - ∫ 0 π 2 sin 6 t d t = 18 3 π 16 - 15 π 96 = 9 π 16.

اگر این مقدار را در 4 ضرب کنیم، مساحت کل شکل را به دست می آوریم - 9 π 4.

دقیقاً به همین ترتیب، می توانیم ثابت کنیم که مساحت اختر را که با معادلات x = a · cos 3 t y = a · sin 3 t به دست می آید، می توان با فرمول S a stroid = 3 πa 2 8 پیدا کرد. و مساحت شکل که با خط x = a · cos 3 t y = b · sin 3 t محدود شده است، با استفاده از فرمول S = 3 πab 8 محاسبه می شود.

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

قبل از اینکه به فرمول های سطح یک انقلاب بپردازیم، فرمول مختصری از خود سطح انقلاب ارائه می دهیم. سطح یک چرخش، یا همان چیزی که یک سطح از بدنه چرخشی است، یک شکل فضایی است که از چرخش یک قطعه تشکیل شده است. ABمنحنی حول محور گاو نر(تصویر زیر).

اجازه دهید یک ذوزنقه منحنی را تصور کنیم که از بالا توسط بخش ذکر شده از منحنی محدود شده است. جسمی که از چرخش این ذوزنقه حول همان محور تشکیل شده است گاو نر، و جسم چرخشی است. و مساحت سطح چرخش یا سطح بدنه چرخش، پوسته بیرونی آن است، بدون احتساب دایره هایی که در اثر چرخش حول محور خطوط مستقیم ایجاد می شود. ایکس = آو ایکس = ب .

توجه داشته باشید که یک بدنه چرخشی و بر این اساس، سطح آن نیز می تواند با چرخش شکل نه حول محور تشکیل شود. گاو نر، و حول محور اوه.

محاسبه مساحت سطح چرخش مشخص شده در مختصات مستطیلی

معادله را در مختصات مستطیلی در صفحه بگذارید y = f(ایکس) منحنی مشخص شده است که چرخش آن حول محور مختصات بدنه ای از چرخش را تشکیل می دهد.

فرمول محاسبه سطح چرخش به شرح زیر است:

(1).

مثال 1.مساحت سطح پارابولوئید را که از چرخش حول محور آن تشکیل شده است، بیابید گاو نرقوس سهمی مربوط به تغییر ایکساز جانب ایکس= 0 به ایکس = آ .

راه حل. اجازه دهید به صراحت تابعی را که قوس سهمی را تعریف می کند بیان کنیم:

بیایید مشتق این تابع را پیدا کنیم:

قبل از استفاده از فرمول برای یافتن مساحت یک سطح چرخش، بیایید آن قسمت از انتگرال آن را بنویسیم که نشان دهنده ریشه است و مشتقی را که در آنجا پیدا کردیم جایگزین کنیم:

پاسخ: طول قوس منحنی است

مثال 2.مساحت سطحی را که با چرخش حول یک محور تشکیل شده است، پیدا کنید گاو نرسیارک

راه حل. کافی است مساحت سطح حاصل از چرخش یک شاخه از سیارک واقع در ربع اول را محاسبه کرده و در 2 ضرب کنیم. از معادله سیارک، تابعی را که باید جایگزین کنیم به صراحت بیان می کنیم. فرمول برای یافتن سطح چرخش:

ما از 0 تا ادغام می کنیم آ:

محاسبه مساحت سطح چرخش مشخص شده به صورت پارامتری

اجازه دهید موردی را در نظر بگیریم که منحنی تشکیل دهنده سطح چرخش توسط معادلات پارامتریک داده شود

سپس سطح چرخش با فرمول محاسبه می شود

(2).

مثال 3.مساحت سطح چرخش را که از چرخش حول یک محور تشکیل شده است، بیابید اوهشکل محصور شده توسط یک سیکلوئید و یک خط مستقیم y = آ. سیکلوئید با معادلات پارامتری به دست می آید

راه حل. بیایید نقاط تقاطع سیکلوئید و خط مستقیم را پیدا کنیم. معادله یک سیکلوئید و معادله یک خط مستقیم y = آ، بیایید پیدا کنیم

از این نتیجه می شود که مرزهای ادغام مطابقت دارند

اکنون می توانیم فرمول (2) را اعمال کنیم. بیایید مشتقات را پیدا کنیم:

بیایید عبارت رادیکال را در فرمول بنویسیم و مشتقات پیدا شده را جایگزین کنیم:

بیایید ریشه این عبارت را پیدا کنیم:

بیایید آنچه را که پیدا کردیم با فرمول (2) جایگزین کنیم:

بیایید یک جایگزین انجام دهیم:

و بالاخره پیدا می کنیم

از فرمول های مثلثاتی برای تبدیل عبارات استفاده شد

پاسخ: مساحت سطح انقلاب است.

محاسبه مساحت سطح چرخش مشخص شده در مختصات قطبی

اجازه دهید منحنی، که چرخش آن سطح را تشکیل می دهد، در مختصات قطبی مشخص شود.

اجازه دهید نمونه‌هایی از کاربرد فرمول حاصل را در نظر بگیریم، که به ما امکان می‌دهد مساحت ارقام محدود شده توسط خطوط پارامتریک را محاسبه کنیم.

مثال.

مساحت یک شکل محدود به خطی را محاسبه کنید که معادلات پارامتری آن به شکل .

راه حل.

در مثال ما، خط تعریف شده به صورت پارامتریک، یک بیضی با نیم محورهای 2 و 3 واحد است. بیایید آن را بسازیم.

بیایید مساحت ربع بیضی واقع در ربع اول را پیدا کنیم. این ناحیه در فاصله زمانی قرار دارد . ما مساحت کل شکل را با ضرب مقدار حاصل در چهار محاسبه می کنیم.

آن چه که ما داریم:

برای k = 0 بازه را دریافت می کنیم . در این بازه تابع یکنواخت کاهش می یابد (به بخش مراجعه کنید). فرمول را برای محاسبه مساحت و یافتن انتگرال معین با استفاده از فرمول نیوتن لایبنیتس اعمال می کنیم:

بنابراین، مساحت شکل اصلی برابر است با .

اظهار نظر.

یک سوال منطقی مطرح می شود: چرا یک چهارم بیضی را گرفتیم و نیمی را نه؟ امکان دیدن نیمه بالایی (یا پایینی) شکل وجود داشت. او در فاصله است . برای این مورد ما دریافت می کنیم

یعنی برای k = 0 بازه را بدست می آوریم. در این بازه تابع یکنواخت کاهش می یابد.

سپس مساحت نصف بیضی به صورت پیدا می شود

اما شما نمی توانید نیمه راست یا چپ بیضی را بگیرید.

نمایش پارامتریک یک بیضی در مرکز مبدأ و نیم محورهای a و b به شکل . اگر به همان روشی که در مثال تحلیل شده عمل کنیم، می گیریم فرمول محاسبه مساحت یک بیضی .

دایره ای با مرکز در مبدا شعاع R از طریق پارامتر t توسط سیستم معادلات مشخص می شود. اگر از فرمول به دست آمده برای مساحت یک بیضی استفاده کنید، می توانید بلافاصله بنویسید فرمول برای یافتن مساحت دایرهشعاع R: .

بیایید یک مثال دیگر را حل کنیم.

مثال.

مساحت یک شکل محدود شده توسط یک منحنی مشخص شده به صورت پارامتری را محاسبه کنید.

راه حل.

با کمی نگاه کردن به آینده، منحنی یک سیارک "دراز" است. (Astroid دارای نمایش پارامتری زیر است).

اجازه دهید در مورد ساخت منحنی که شکل را محدود می کند، با جزئیات صحبت کنیم. نقطه به نقطه آن را می سازیم. به طور معمول، چنین ساختاری برای حل اکثر مشکلات کافی است. در موارد پیچیده تر، مطالعه دقیق یک تابع تعریف شده به صورت پارامتری با استفاده از حساب دیفرانسیل بدون شک مورد نیاز خواهد بود.

در مثال ما.

این توابع برای تمام مقادیر واقعی پارامتر t تعریف شده اند و از خصوصیات سینوس و کسینوس می دانیم که تناوبی با دوره دو پی هستند. بنابراین، محاسبه مقادیر تابع برای برخی (مثلا ، مجموعه ای از امتیازها را دریافت می کنیم .

برای راحتی، بیایید مقادیر را در جدول قرار دهیم:

نقاط روی صفحه را علامت گذاری می کنیم و به طور مداوم آنها را با یک خط به هم وصل می کنیم.

اجازه دهید مساحت منطقه واقع در ربع مختصات اول را محاسبه کنیم. برای این منطقه .

در k=0 بازه را می گیریم ، که در آن تابع یکنواخت کاهش می یابد. برای یافتن مساحت از فرمول استفاده می کنیم:

ما انتگرال های قطعی حاصل را با استفاده از فرمول نیوتن-لایب نیتس محاسبه می کنیم و ضد مشتقات فرمول نیوتن-لایب نیتس را با استفاده از فرمول تکراری شکل پیدا می کنیم. ، جایی که .

بنابراین، مساحت شکل یک چهارم است ، سپس مساحت کل شکل برابر است با .

به همین ترتیب، می توان نشان داد که منطقه سیارکیبه عنوان واقع شده است و مساحت شکل محدود شده با خط با فرمول محاسبه می شود.