ویژگی های طول برداری در فضای اقلیدسی. فضاهای اقلیدسی

فضای اقلیدسی

فضای اقلیدسی(همچنین فضای اقلیدسی) - در معنای اصلی، فضایی که ویژگی های آن با بدیهیات هندسه اقلیدسی توصیف می شود. در این صورت فرض می شود که فضا دارای بعد 3 باشد.

در معنای امروزی، در معنای کلی تر، می تواند یکی از اشیاء مشابه و نزدیک به هم را که در زیر تعریف شده است، مشخص کند. معمولاً فضای اقلیدسی -بعدی را با نشان می‌دهند، اگرچه اغلب از علامت کاملاً قابل قبول استفاده می‌شود.

,

در ساده ترین حالت ( هنجار اقلیدسی):

جایی که (در فضای اقلیدسی همیشه می توانید مبنایی را انتخاب کنید که در آن ساده ترین نسخه صادق باشد).

2. فضای متریک، مربوط به فضایی که در بالا توضیح داده شد. یعنی با متریک وارد شده طبق فرمول:

,

تعاریف مرتبط

• زیر متریک اقلیدسیرا می توان به عنوان متریک توصیف شده در بالا و همچنین متریک ریمانی مربوطه درک کرد.

• منظور ما از اقلیدسی محلی معمولاً این است که هر فضای مماس یک منیفولد ریمانی، یک فضای اقلیدسی با تمام خصوصیات بعدی است، برای مثال، توانایی (به دلیل صاف بودن متریک) برای معرفی مختصات در یک همسایگی کوچک از یک نقطه که در آن فاصله بیان می شود (تا مقداری قدر) همانطور که در بالا توضیح داده شد.

• یک فضای متریک به صورت محلی اقلیدسی نامیده می شود اگر بتوان مختصاتی را روی آن معرفی کرد که در آن متریک در همه جا (یا حداقل در یک دامنه محدود) اقلیدسی (به معنای تعریف دوم) خواهد بود - که برای مثال، منیفولد ریمانی با انحنای صفر.

مثال ها

نمونه های گویا از فضاهای اقلیدسی فضاهای زیر هستند:

مثال انتزاعی تر:

تغییرات و تعمیم

همچنین ببینید

پیوندها

بنیاد ویکی مدیا 2010.

ببینید «فضای اقلیدسی» در فرهنگ‌های دیگر چیست:

فضای برداری با ابعاد محدود با حاصل ضرب اسکالر قطعی مثبت. مستقیم است. تعمیم فضای سه بعدی معمولی در فضای E. مختصات دکارتی وجود دارد که حاصل ضرب اسکالر بردارهای (xy) x... دایره المعارف فیزیکی

فضایی که خواص آن در هندسه اقلیدسی بررسی می شود. در مفهوم گسترده تر، فضای اقلیدسی یک فضای برداری n بعدی است که در آن حاصل ضرب اسکالر ... فرهنگ لغت دایره المعارفی بزرگ

فضای اقلیدسی- فضایی که ویژگی های آن با بدیهیات هندسه اقلیدسی توصیف می شود. به صورت ساده شده، فضای اقلیدسی را می توان به عنوان فضایی در یک صفحه یا در یک حجم سه بعدی تعریف کرد که در آن مختصات مستطیلی (دکارتی) داده می شود و... ... آغاز علوم طبیعی مدرن

فضای اقلیدسی- فضای برداری چند بعدی (n بعدی)، فضای برداری (خطی) را ببینید... فرهنگ لغت اقتصادی و ریاضی

فضای اقلیدسی- - [L.G. Sumenko. فرهنگ لغت انگلیسی-روسی در زمینه فناوری اطلاعات. M.: شرکت دولتی TsNIIS، 2003.] موضوعات فناوری اطلاعاتبه طور کلی فضای دکارتی EN ... راهنمای مترجم فنی

فضایی که خواص آن در هندسه اقلیدسی بررسی می شود. در مفهوم گسترده تر، فضای اقلیدسی یک فضای برداری n بعدی است که در آن حاصل ضرب اسکالر تعریف می شود. * * * فضای اقلیدسی اوکلیدس... ... فرهنگ لغت دایره المعارفی

فضا که خواص آن در هندسه اقلیدسی بررسی می شود. در معنای گسترده تر، E. p. نامیده می شود. فضای برداری n بعدی، که در آن حاصل ضرب اسکالر ... علوم طبیعی. فرهنگ لغت دایره المعارفی

فضا که ویژگی های آن با بدیهیات هندسه اقلیدسی توصیف شده است. در یک مفهوم کلی تر، فضای E. یک فضای برداری واقعی محدود بعدی Rn با حاصل ضرب اسکالر (x، y)، x، در مختصات مناسب انتخاب شده است... ... دایره المعارف ریاضی

- (در ریاضیات) فضایی که خواص آن با بدیهیات هندسه اقلیدسی توصیف می شود (به هندسه اقلیدسی مراجعه کنید). در یک مفهوم کلی تر، فضای E. را یک فضای برداری n بعدی می نامند که در آن می توان تعدادی خاص را معرفی کرد... ... بزرگ دایره المعارف شوروی

- [به نام یونانی دیگر. ریاضیات اقلیدس (Eukleides؛ قرن 3 قبل از میلاد)] فضایی شامل چند بعدی است که در آن می توان مختصات x1,..., xn را معرفی کرد تا فاصله p (M, M) بین نقاط M (x1 ..., x n) و M (x 1، .... xn) شاید... ... فرهنگ لغت بزرگ دایره المعارفی پلی تکنیک

§3. ابعاد و اساس فضای برداری

ترکیب خطی بردارها

ترکیب خطی پیش پا افتاده و غیر پیش پا افتاده

بردارهای وابسته خطی و مستقل خطی

ویژگی های فضای برداری مرتبط با وابستگی خطی بردارها

پفضای برداری بعدی

ابعاد فضای برداری

تجزیه یک بردار به یک پایه

§4. انتقال به یک پایه جدید

ماتریس انتقال از پایه قدیمی به جدید

مختصات برداری در پایه جدید

§5. فضای اقلیدسی

حاصلضرب عددی

فضای اقلیدسی

طول (هنجار) بردار

ویژگی های طول برداری

زاویه بین بردارها

بردارهای متعامد

پایه ارتونرمال

§ 3. ابعاد و اساس فضای برداری

مقداری فضای برداری (V، Å، ∘) را روی میدان در نظر بگیرید آر. اجازه دهید برخی از عناصر مجموعه V باشد، i.e. بردارها

ترکیب خطیبردارها هر برداری است که برابر با مجموع حاصلضرب این بردارها توسط عناصر دلخواه میدان باشد آر(یعنی روی اسکالر):

اگر همه اسکالرها برابر با صفر باشند، چنین ترکیب خطی نامیده می شود ناچیز(ساده ترین)، و .

اگر حداقل یک اسکالر غیر صفر باشد، ترکیب خطی نامیده می شود غیر پیش پا افتاده.

بردارها نامیده می شوند مستقل خطی، اگر فقط ترکیب خطی بی اهمیت این بردارها برابر باشد با:

بردارها نامیده می شوند وابسته خطی، اگر حداقل یک ترکیب خطی غیر پیش پا افتاده از این بردارها برابر با .

مثال. مجموعه ای از مجموعه های مرتب شده چهارگانه را در نظر بگیرید اعداد واقعییک فضای برداری بر روی میدان اعداد حقیقی است. وظیفه: بفهمید که آیا بردارها هستند یا خیر , و وابسته به خط

راه حل.

بیایید یک ترکیب خطی از این بردارها بسازیم: , جایی که اعداد مجهول هستند. ما نیاز داریم که این ترکیب خطی برابر با بردار صفر باشد: .

در این برابری بردارها را به صورت ستونی از اعداد می نویسیم:

اگر اعدادی وجود داشته باشند که این تساوی برای آنها برقرار است و حداقل یکی از اعداد برابر با صفر نباشد، این یک ترکیب خطی غیر پیش پا افتاده است و بردارها به صورت خطی وابسته هستند.

بیایید کارهای زیر را انجام دهیم:

بنابراین، مشکل به حل سیستم کاهش می یابد معادلات خطی:

با حل آن، دریافت می کنیم:

رتبه های ماتریس های توسعه یافته و اصلی سیستم برابر و کمتر از تعداد مجهولات است، بنابراین سیستم دارای تعداد بی نهایت جواب است.

بگذار پس و .

بنابراین، برای این بردارها یک ترکیب خطی غیر پیش پا افتاده وجود دارد، به عنوان مثال at، که برابر با بردار صفر است، به این معنی که این بردارها به صورت خطی وابسته هستند.

بیایید برخی را یادداشت کنیم ویژگی های فضای برداری مرتبط با وابستگی خطی بردارها:

1. اگر بردارها به صورت خطی وابسته باشند، حداقل یکی از آنها ترکیبی خطی از بقیه است.

2. اگر در بین بردارها بردار صفر وجود داشته باشد، این بردارها به صورت خطی وابسته هستند.

3. اگر برخی از بردارها به صورت خطی وابسته باشند، همه این بردارها به صورت خطی وابسته هستند.

فضای برداری V نامیده می شود پفضای برداری بعدی، اگر حاوی باشد پبردارهای مستقل خطی و هر مجموعه ای از ( پ+ 1) بردارها به صورت خطی وابسته است.

عدد پتماس گرفت بعد فضای برداری، و نشان داده می شود کم نور (V)از "بعد" انگلیسی - بعد (اندازه گیری، اندازه، ابعاد، اندازه، طول و غیره).

کلیت پبردارهای مستقل خطی پفضای برداری بعدی نامیده می شود اساس.

(*)

قضیه(در مورد تجزیه یک بردار بر اساس): هر بردار یک فضای برداری را می توان (و به روشی منحصر به فرد) به عنوان ترکیبی خطی از بردارهای پایه نشان داد.:

فرمول (*) نامیده می شود تجزیه برداری بر اساسو اعداد – مختصات برداریدر این مبنا .

یک فضای برداری می تواند بیش از یک یا حتی بی نهایت پایه داشته باشد. در هر مبنای جدید، همان بردار مختصات متفاوتی خواهد داشت.

§ 4. انتقال به یک پایه جدید

در جبر خطی، اگر مختصات یک بردار در پایه قدیمی مشخص باشد، اغلب مشکل پیدا کردن مختصات یک بردار در مبنای جدید ایجاد می‌شود.

بیایید به برخی نگاه کنیم پفضای برداری -بعدی (V، +، ·) روی میدان آر. بگذارید دو پایه در این فضا وجود داشته باشد: قدیمی و جدید .

وظیفه: مختصات بردار را در پایه جدید پیدا کنید.

اجازه دهید بردارهای پایه جدید در پایه قدیمی دارای بسط باشند:

,

بیایید مختصات بردارها را در ماتریس بنویسیم نه در ردیف، همانطور که در سیستم نوشته شده اند، بلکه در ستون ها:

ماتریس حاصل نامیده می شود ماتریس انتقالاز پایه قدیمی تا جدید

ماتریس انتقال مختصات هر بردار را در پایه قدیم و جدید با رابطه زیر به هم متصل می کند:

,

مختصات مورد نظر بردار در پایه جدید کجاست.

بنابراین، وظیفه یافتن مختصات بردار در یک مبنای جدید به حل معادله ماتریس کاهش می یابد: ایکس- ماتریس-ستون مختصات برداری در پایه قدیمی، آ- ماتریس انتقال از پایه قدیمی به جدید، ایکس* – ماتریس-ستون مورد نیاز مختصات برداری در پایه جدید. از معادله ماتریس بدست می آوریم:

بنابراین، مختصات برداری در پایه ای جدیداز برابری بدست می آید:

.

مثال.بر اساس معینی، تجزیه های برداری داده شده است:

مختصات بردار را در پایه پیدا کنید.

راه حل.

1. بیایید ماتریس انتقال را به یک مبنای جدید بنویسیم، یعنی. مختصات بردارها را در پایه قدیمی در ستون ها می نویسیم:

2. ماتریس را پیدا کنید آ –1:

3. ضرب را انجام دهید، جایی که مختصات بردار هستند:

پاسخ: .

§ 5. فضای اقلیدسی

بیایید به برخی نگاه کنیم پفضای برداری بعدی (V، +، ·) روی میدان اعداد واقعی آر. بگذارید پایه ای از این فضا باشد.

اجازه دهید در این فضای برداری معرفی کنیم متریک، یعنی بیایید روشی را برای اندازه گیری طول و زاویه تعیین کنیم. برای انجام این کار، مفهوم یک محصول اسکالر را تعریف می کنیم.

حتی در مدرسه، همه دانش‌آموزان با مفهوم «هندسه اقلیدسی» آشنا می‌شوند، که مفاد اصلی آن حول چندین بدیهیات مبتنی بر عناصر هندسی مانند یک نقطه، یک صفحه، یک خط مستقیم و حرکت متمرکز است. همه آنها با هم چیزی را تشکیل می دهند که مدت ها به عنوان "فضای اقلیدسی" شناخته می شود.

اقلیدسی که بر اساس اصل ضرب اسکالر بردارها استوار است، یک مورد خاص از فضای خطی (آفین) است که تعدادی از الزامات را برآورده می کند. اولاً، حاصل ضرب اسکالر بردارها کاملاً متقارن است، یعنی بردار با مختصات (x;y) از نظر کمی با بردار با مختصات (y;x) یکسان است، اما در جهت مخالف است.

ثانیاً اگر یک ضرب اسکالر یک بردار با خودش انجام شود، نتیجه این عمل مثبت خواهد بود. تنها استثنا موردی خواهد بود که مختصات اولیه و نهایی این بردار برابر با صفر باشد: در این حالت، حاصلضرب آن با خودش نیز برابر با صفر خواهد بود.

ثالثاً، حاصلضرب اسکالر توزیعی است، یعنی امکان تجزیه یکی از مختصات آن به مجموع دو مقدار، که هیچ تغییری در نتیجه نهایی ضرب اسکالر بردارها نخواهد داشت. در نهایت، چهارم اینکه هنگام ضرب بردارها در یک چیز، حاصل ضرب اسکالر آنها نیز به همان مقدار افزایش می یابد.

اگر تمام این چهار شرط برآورده شود، با اطمینان می توان گفت که این فضای اقلیدسی است.

از نقطه نظر عملی، فضای اقلیدسی را می توان با مثال های خاص زیر مشخص کرد:

1. ساده‌ترین حالت، وجود مجموعه‌ای از بردارها با یک محصول اسکالر است که طبق قوانین اساسی هندسه تعریف شده است.
2. فضای اقلیدسی نیز به دست می آید اگر توسط بردارها مجموعه محدود معینی از اعداد حقیقی را با فرمول معینی که مجموع یا حاصل ضرب عددی آنها را توصیف می کند، درک کنیم.
3. یک مورد خاص از فضای اقلیدسی باید به عنوان فضای تهی شناخته شود که در صورتی به دست می آید که طول اسکالر هر دو بردار برابر با صفر باشد.

فضای اقلیدسی دارای تعدادی ویژگی خاص است. اولاً، ضریب اسکالر را می توان از هر دو عامل اول و دوم حاصل ضرب اسکالر از براکت خارج کرد، نتیجه هیچ تغییری نخواهد داشت. ثانیاً، همراه با توزیع عنصر اول محصول اسکالر، توزیع عنصر دوم نیز عمل می کند. علاوه بر این، علاوه بر مجموع اسکالر بردارها، در صورت تفریق بردارها، توزیع نیز رخ می دهد. در نهایت، ثالثاً، هنگام ضرب اسکالر یک بردار در صفر، نتیجه نیز برابر با صفر خواهد بود.

بنابراین، فضای اقلیدسی مهمترین مفهوم هندسی است که در حل مسائل با موقعیت نسبی بردارها نسبت به یکدیگر مورد استفاده قرار می گیرد، که برای مشخص کردن آن مفهومی مانند حاصلضرب اسکالر استفاده می شود.

تعریف فضای اقلیدسی

تعریف 1. فضای خطی واقعی نامیده می شود اقلیدسی، اگر عملیاتی را تعریف می کند که هر دو بردار را به هم مرتبط می کند ایکسو yاز این عدد فضایی به نام حاصل ضرب اسکالر بردارها ایکسو yو تعیین شده است(x,y)، که برای آن شرایط زیر وجود دارد:

1. (x,y) = (y,x);

2. (x + y,z) = (x,z) + (y,z) ، که در آن z- هر بردار متعلق به یک فضای خطی معین.

3. (?x,y) = ? (x,y) ، جایی که ? - هر تعداد؛

4. (x,x)؟ 0 و (x,x) = 0 x = 0.

به عنوان مثال، در یک فضای خطی از ماتریس های تک ستونی، حاصل ضرب اسکالر بردارها

را می توان با فرمول تعیین کرد

فضای بعد اقلیدسی n En را نشان می دهد. توجه کنید که هم فضاهای اقلیدسی محدود بعدی و هم فضای بی‌بعدی اقلیدسی وجود دارد.

تعریف 2. طول (مدول) بردار x در فضای اقلیدسی En تماس گرفت (x,x)و آن را به این صورت نشان دهید: |x| = (x,x). برای هر بردار فضای اقلیدسیطولی وجود دارد و بردار صفر برابر با صفر است.

ضرب بردار غیر صفر ایکسدر هر عدد ، یک بردار می گیریم، طول که برابر با یک است. این عملیات نامیده می شود جیره بندی بردار ایکس.

به عنوان مثال، در فضای ماتریس های تک ستونی طول بردار را می توان با فرمول تعیین کرد:

نابرابری کوشی-بونیاکوفسکی

اجازه دهید x؟ En و y؟ En - هر دو بردار. اجازه دهید ثابت کنیم که این نابرابری برای آنها صادق است:

(نابرابری کوشی-بونیاکوفسکی)

اثبات بگذار باشد؟ - هر عدد واقعی بدیهی است که (?x ? y،?x ? y) ? 0. از طرفی با توجه به خواص محصول اسکالر می توانیمنوشتن

گرفتش

ممیز این سه جمله ای درجه دوم نمی تواند مثبت باشد، یعنی. ، که از آن به شرح زیر است:

نابرابری ثابت شده است.

نابرابری مثلثی

اجازه دهید ایکسو y- بردارهای دلخواه فضای اقلیدسی En، i.e. ایکس? En و y? En.

این را ثابت کنیم . (نابرابری مثلث).

اثبات بدیهی است که از طرف دیگر،. با در نظر گرفتن نابرابری کوشی-بونیاکوفسکی، به دست می آوریم

نابرابری مثلث ثابت شده است.

هنجار فضای اقلیدسی

تعریف 1 . فضای خطی?تماس گرفت متریک، در صورت وجود دو عنصر این فضا ایکسو yمنطبق بر غیر منفیعدد؟ (x,y)، فاصله بین نامیده می شود ایکسو y , (? (x,y)? 0) و اجرا می شوندشرایط (بدیهیات):

1) ? (x,y) = 0 ایکس = y

2) ? (x,y) = ? (y،x)(تقارن)؛

3) برای هر سه بردار ایکس, yو zاین فضا؟ (x,y) ? ? (x,z) + ? (z,y).

اظهار نظر. عناصر یک فضای متریک معمولاً نقاط نامیده می شوند.

فضای اقلیدسی En متریک است و به عنوان فاصله بین بردارهای x En و y؟ En را می توان گرفت ایکس ? y.

بنابراین، برای مثال، در فضای ماتریس های تک ستونی، که در آن

از این رو

تعریف 2 . فضای خطی?تماس گرفت نرمال شده، اگر هر بردار ایکساز این فضا با یک غیر منفی همراه است شماره تماس گرفت عرف ایکس. در این مورد، بدیهیات برآورده می شوند:

به راحتی می توان فهمید که یک فضای هنجاری یک فضای متریک است stvom. در واقع، به عنوان فاصله بین ایکسو yمی توان گرفت . در اقلیدسیفضای En به عنوان هنجار هر بردار x؟ En طول آن است،آن ها .

بنابراین، فضای اقلیدسی En یک فضای متریک است و علاوه بر این، فضای اقلیدسی En یک فضای هنجاری است.

زاویه بین بردارها

تعریف 1 . زاویه بین بردارهای غیر صفر آو بفضای اقلیدسیکیفیت E nشماره ای را نام ببرید که برای آن

تعریف 2 . بردارها ایکسو yفضای اقلیدسی Enنامیده می شوند متعامدکتانی، اگر برابری برای آنها برقرار باشد (x,y) = 0.

اگر ایکسو y- غیر صفر هستند، پس از تعریف به دست می آید که زاویه بین آنها برابر است

توجه داشته باشید که بردار صفر طبق تعریف، متعامد به هر بردار در نظر گرفته می شود.

مثال . در فضای هندسی (مختصات)?3 که است یک مورد خاص از فضای اقلیدسی، بردارهای واحد من, jو کمتعامد متقابل

پایه ارتونرمال

تعریف 1 . پایه e1,e2 ,...,en فضای اقلیدسی En نامیده می شود متعامدکتانی، اگر بردارهای این مبنا متعامد زوجی باشند، یعنی. اگر

تعریف 2 . اگر همه بردارهای پایه متعامد e1, e2 ,...,en واحد هستند، i.e. ه i = 1 (i = 1,2,...,n) ، سپس پایه فراخوانی می شود متعارف، یعنی برایمبنای متعارف

قضیه. (بر اساس ساخت یک پایه متعارف)

در هر فضای اقلیدسی E n پایه های متعامد وجود دارد.

اثبات . اجازه دهید قضیه را برای قضیه اثبات کنیم n = 3.

اجازه دهید E1،E2،E3 مبنای دلخواه فضای اقلیدسی E3 باشند بیایید یک پایه متعارف بسازیمدر این فضابگذارید کجا قرار دهیم ? - تعدادی عدد واقعی که انتخاب می کنیمبه طوری که (e1,e2 ) = 0، سپس به دست می آوریم

و چه چیزی آشکار است؟ = 0 اگر E1 و E2 متعامد باشند، یعنی. در این مورد e2 = E2، و ، زیرا این بردار پایه است.

با توجه به اینکه (e1 ,e2 ) = 0 بدست می آوریم

واضح است که اگر e1 و e2 متعامد بردار E3 باشند، i.e. در این مورد باید e3 = E3 را بگیریم. وکتور E3؟ 0 زیرا E1، E2 و E3 به صورت خطی مستقل هستند،بنابراین e3 0.

علاوه بر این، از استدلال فوق چنین استنباط می شود که e3 را نمی توان به شکل نمایش داد ترکیب خطی بردارهای e1 و e2، بنابراین بردارهای e1، e2، e3 به صورت خطی مستقل هستند.سیم ها و متعامد به صورت زوجی هستند، بنابراین، می توان آنها را به عنوان مبنایی برای اقلیدسی در نظر گرفت.فضای E3. تنها چیزی که باقی می ماند این است که پایه ساخته شده را عادی کنیم، که برای آن کافی استهر یک از بردارهای ساخته شده را بر طول آن تقسیم کنید. سپس می گیریم

بنابراین ما مبنایی ایجاد کرده ایم - مبنای متعارف. قضیه ثابت شده است.

روش کاربردی برای ساخت یک پایه متعارف از یک دلخواه اساس نامیده می شود فرآیند متعامد سازی . توجه داشته باشید که در مرحله اثباتقضیه، ما ثابت کردیم که بردارهای متعامد زوجی به صورت خطی مستقل هستند. بجزاگر یک مبنای متعارف در En است، پس برای هر بردار x؟ Enتنها یک تجزیه وجود دارد

که در آن x1، x2،...، xn مختصات بردار x در این مبنای متعارف هستند.

زیرا

سپس برابری (*) را به صورت اسکالر ضرب می کنیم، ما گرفتیم .

در ادامه فقط پایه های متعارف را در نظر خواهیم گرفت و بنابراین برای سهولت در نوشتن، صفرها در بالای بردارهای پایه قرار دارندما حذف خواهیم کرد.