نمودارهای توابع مختلف چگونه به نظر می رسند. توابع و نمودارهای آنها

وقتی واقعاً فهمیدید که یک تابع چیست (ممکن است مجبور شوید درس را بیش از یک بار بخوانید)، در حل مسائل مربوط به توابع اطمینان بیشتری خواهید داشت.

در این درس به چگونگی حل انواع اساسی مسائل تابع و نمودار توابع خواهیم پرداخت.

چگونه مقدار یک تابع را بدست آوریم

بیایید تکلیف را در نظر بگیریم. تابع با فرمول "y = 2x − 1" داده می شود

1. "y" را با "x = 15" محاسبه کنید
2. مقدار "x" را پیدا کنید که در آن مقدار "y" برابر با "19- باشد".

برای محاسبه "y" برای "x = 15" کافی است به جای "x" مقدار عددی مورد نیاز در تابع را جایگزین کنید.

رکورد راه حل به شکل زیر است:

y(15) = 2 15 − 1 = 30 − 1 = 29

برای پیدا کردن "x" از "y" شناخته شده، باید یک مقدار عددی را به جای "y" در فرمول تابع جایگزین کنید.

یعنی اکنون برعکس، برای جستجوی "x" عدد "-19" را به جای "y" در تابع "y = 2x - 1" جایگزین می کنیم.

−19 = 2x − 1

ما یک معادله خطی با مجهول "x" به دست آورده ایم که طبق قوانین حل معادلات خطی حل می شود.

یاد آوردن!

قانون حمل در معادلات را فراموش نکنید.

وقتی از سمت چپ معادله به سمت راست منتقل می شود (و بالعکس)، حرف یا عدد علامت را به مقابل.

−19 = 2x − 1
0 = 2x − 1 + 19
−2x = −1 + 19
-2x = 18

همانطور که با راه حل معادله خطیبرای پیدا کردن مجهول، اکنون باید ضرب کنید هر دو سمت چپ و راستبه "-1" برای تغییر علامت.

−2x = 18 | · (-1)
2x = -18

حالا هر دو سمت چپ و راست را بر "2" تقسیم کنید تا "x" را پیدا کنید.

2x = 18 | (: 2)
x=9

چگونه بررسی کنیم که آیا برابری برای یک تابع صادق است یا خیر

بیایید تکلیف را در نظر بگیریم. تابع با فرمول "f(x) = 2-5x" به دست می آید.

آیا برابری "f(-2) = -18" درست است؟

برای بررسی اینکه آیا برابری درست است، باید مقدار عددی "x = -2" را با تابع "f(x) = 2-5x" جایگزین کنید و آن را با آنچه در محاسبات به دست می آورید مقایسه کنید.

مهم!

هنگام جایگزینی عدد منفی به جای x، حتما آن را در پرانتز قرار دهید.

اشتباه

درست

با استفاده از محاسبات، "f(-2) = 12" را دریافت کردیم.

این به این معنی است که "f(-2) = -18" برای تابع "f(x) = 2-5x" یک برابری واقعی نیست.

چگونه بررسی کنیم که یک نقطه به نمودار یک تابع تعلق دارد؟

تابع "y = x 2-5x + 6" را در نظر بگیرید

باید دریابید که آیا نقطه با مختصات (1; 2) به نمودار این تابع تعلق دارد یا خیر.

برای این کار نیازی به ساخت نموداری از تابع داده شده نیست.

یاد آوردن!

برای تعیین اینکه آیا یک نقطه به یک تابع تعلق دارد یا نه، کافی است مختصات آن را با تابع جایگزین کنید (مختصات در امتداد محور "Ox" به جای "x" و مختصات در امتداد محور "Oy" به جای "y").

در صورت امکان برابری واقعییعنی نقطه متعلق به تابع است.

بیایید به وظیفه خود برگردیم. بیایید مختصات نقطه (1؛ 2) را با تابع "y = x 2 - 5x + 6" جایگزین کنیم.

به جای "x"، "1" را جایگزین می کنیم. به جای "y"، "2" را جایگزین می کنیم.

2 = 1 2 − 5 1 + 6
2 = 1 − 5 + 6
2 = −4 + 6
2 = 2 (درست)

ما یک برابری صحیح به دست آورده ایم، به این معنی که نقطه با مختصات (1; 2) متعلق به تابع داده شده است.

حالا بیایید نقطه را با مختصات (0; 1) بررسی کنیم. آیا او تعلق دارد
تابع "y = x 2 − 5x + 6"؟

به جای "x"، "0" را جایگزین می کنیم. به جای "y"، "1" را جایگزین می کنیم.

1 = 0 2 − 5 0 + 6
1 = 0 − 0 + 6
1 = 6 (اشتباه)

در این صورت برابری درستی به دست نیاوردیم. این بدان معنی است که نقطه با مختصات (0; 1) به تابع "y = x 2 - 5x + 6" تعلق ندارد.

نحوه بدست آوردن مختصات یک نقطه تابع

شما می توانید مختصات یک نقطه را از هر نمودار یک تابع بگیرید. سپس باید مطمئن شوید که هنگام جایگزینی مختصات در فرمول تابع، برابری صحیح به دست آمده است.

تابع "y(x) = -2x + 1" را در نظر بگیرید. ما قبلا برنامه آن را در درس قبل ساخته ایم.

بیایید در نمودار تابع "y(x) = -2x + 1" را پیدا کنیم که برابر با "y" برای x = 2 است.

برای انجام این کار، از مقدار "2" در محور "Ox"، عمود بر نمودار تابع رسم می کنیم. از نقطه تلاقی عمود بر نمودار تابع، عمود دیگری بر محور Oy رسم می کنیم.

مقدار حاصل "-3" در محور "Oy" مقدار مورد نظر "y" خواهد بود.

بیایید مطمئن شویم که مختصات نقطه را برای x = 2 به درستی گرفته ایم
در تابع "y(x) = -2x + 1".

برای انجام این کار، x = 2 را با فرمول تابع "y(x) = -2x + 1" جایگزین می کنیم. اگر عمود را به درستی رسم کنیم، باید به y = -3 نیز ختم شود.

y(2) = -2 2 + 1 = -4 + 1 = -3

در محاسبات نیز y = −3 به دست آوردیم.

این بدان معنی است که ما مختصات را به درستی از نمودار تابع بدست آورده ایم.

مهم!

مطمئن شوید که همه مختصات به دست آمده از یک نقطه را از نمودار تابع با جایگزین کردن مقادیر "x" در تابع بررسی کنید.

هنگام تعویض مقدار عددی"x" در تابع، نتیجه باید همان مقدار "y" باشد که در نمودار دریافت کردید.

هنگام بدست آوردن مختصات نقاط از نمودار یک تابع، احتمال اشتباه وجود دارد، زیرا رسم عمود بر محورها "با چشم" انجام می شود.

تنها جایگزینی مقادیر در فرمول تابع نتایج دقیقی را به دست می دهد.

ابتدا سعی کنید دامنه تابع را پیدا کنید:

توانستی مدیریت کنی؟ بیایید پاسخ ها را با هم مقایسه کنیم:

آیا همه چیز درست است؟ آفرین!

حالا بیایید سعی کنیم محدوده مقادیر تابع را پیدا کنیم:

پیدا شد؟ بیایید مقایسه کنیم:

فهمیدم؟ آفرین!

بیایید دوباره با نمودارها کار کنیم، فقط اکنون کمی پیچیده تر است - هم دامنه تعریف تابع و هم محدوده مقادیر تابع را پیدا کنید.

نحوه پیدا کردن دامنه و محدوده یک تابع (پیشرفته)

این چیزی است که اتفاق افتاد:

من فکر می کنم شما نمودارها را فهمیده اید. حالا بیایید سعی کنیم دامنه تعریف یک تابع را مطابق با فرمول ها پیدا کنیم (اگر نمی دانید چگونه این کار را انجام دهید، بخش مربوط به آن را بخوانید):

توانستی مدیریت کنی؟ بیایید بررسی کنیم پاسخ می دهد:

1. ، از آنجایی که عبارت رادیکال باید بزرگتر یا مساوی صفر باشد.
2. ، زیرا نمی توانید بر صفر تقسیم کنید و عبارت رادیکال نمی تواند منفی باشد.
3. ، از آنجا که، به ترتیب، برای همه.
4. ، زیرا نمی توانید بر صفر تقسیم کنید.

با این حال هنوز یک نکته بی پاسخ دیگر داریم...

من یک بار دیگر تعریف را تکرار می کنم و بر آن تأکید می کنم:

متوجه شدید؟ کلمه "مجرد" یک عنصر بسیار بسیار مهم در تعریف ما است. سعی می کنم با انگشتانم آن را برای شما توضیح دهم.

فرض کنید تابعی داریم که با یک خط مستقیم تعریف شده است. . در، ما این مقدار را با "قاعده" خود جایگزین می کنیم و آن را دریافت می کنیم. یک مقدار با یک مقدار مطابقت دارد. حتی می‌توانیم جدولی از مقادیر مختلف بسازیم و این تابع را نمودار کنیم تا خودمان ببینیم.

"نگاه کن! - شما می گویید "دوبار اتفاق می افتد!" پس شاید سهمی تابع نباشد؟ نه، این است!

دو بار ظاهر شدن " " دلیلی برای متهم کردن سهمی به ابهام نیست!

واقعیت این است که هنگام محاسبه برای، ما یک بازی دریافت کردیم. و هنگام محاسبه با، یک بازی دریافت کردیم. پس درست است، سهمی یک تابع است. به نمودار نگاه کنید:

فهمیدم؟ اگر نه، شما بروید نمونه زندگیخیلی دور از ریاضی!

فرض کنید ما گروهی از متقاضیان داریم که در هنگام ارائه مدارک با یکدیگر ملاقات کردند و هر یک از آنها در گفتگویی به محل زندگی خود گفتند:

موافقم، این امکان وجود دارد که چندین پسر در یک شهر زندگی کنند، اما غیرممکن است که یک نفر همزمان در چندین شهر زندگی کند. این مانند یک نمایش منطقی از "پارابولا" ما است - چندین X مختلف مربوط به یک بازی است.

حالا بیایید مثالی بیاوریم که در آن وابستگی یک تابع نیست. فرض کنید همین بچه ها به ما گفتند برای چه تخصص هایی درخواست داده اند:

در اینجا ما یک وضعیت کاملا متفاوت داریم: یک نفر می تواند به راحتی اسناد را برای یک یا چند جهت ارسال کند. به این معنا که یک عنصرمجموعه ها در مکاتبات قرار می گیرند چندین عنصرانبوهی به ترتیب، این یک تابع نیست.

بیایید دانش خود را در عمل آزمایش کنیم.

از روی تصاویر مشخص کنید که چه چیزی یک تابع است و چه چیزی نیست:

فهمیدم؟ و اینجاست پاسخ می دهد:

• تابع - B، E است.
• تابع نیست - A، B، D، D.

می پرسی چرا؟ بله، این دلیل است:

در تمام تصاویر به جز که در)و E)چندین برای یک وجود دارد!

من مطمئن هستم که اکنون می توانید به راحتی یک تابع را از یک غیر تابع تشخیص دهید، بگویید یک آرگومان چیست و یک متغیر وابسته چیست و همچنین محدوده مقادیر مجاز یک آرگومان و محدوده تعریف یک تابع را تعیین کنید. . بیایید به بخش بعدی برویم - چگونه یک تابع را تنظیم کنیم؟

روش های تعیین یک تابع

به نظر شما معنی کلمات چیست؟ "تنظیم تابع"? درست است، این بدان معناست که برای همه توضیح دهید که در این مورد از چه عملکردی صحبت می کنیم. علاوه بر این، آن را طوری توضیح دهید که همه شما را به درستی درک کنند و نمودارهای تابعی که توسط افراد بر اساس توضیحات شما ترسیم شده است، یکسان باشد.

چطور می توانم آن را انجام بدهم؟ چگونه یک تابع تنظیم کنیم؟ساده ترین روشی که قبلاً بیش از یک بار در این مقاله استفاده شده است با استفاده از فرمولیک فرمول می نویسیم و با جایگزین کردن یک مقدار در آن مقدار را محاسبه می کنیم. و همانطور که به یاد دارید، یک فرمول یک قانون است، قاعده ای که توسط آن برای ما و شخص دیگری روشن می شود که چگونه X به Y تبدیل می شود.

معمولاً این دقیقاً همان کاری است که آنها انجام می دهند - در وظایف ما توابع آماده را می بینیم که توسط فرمول ها مشخص شده اند ، با این حال ، راه های دیگری برای تنظیم یک تابع وجود دارد که همه آن را فراموش می کنند و بنابراین سؤال "چگونه می توانید یک تابع را تنظیم کنید؟" بافل ها بیایید همه چیز را به ترتیب درک کنیم و با روش تحلیلی شروع کنیم.

روش تحلیلی تعیین یک تابع

روش تحلیلی تعیین یک تابع با استفاده از فرمول است. این جهانی ترین، جامع ترین و بدون ابهام ترین روش است. اگر یک فرمول دارید، پس کاملاً همه چیز را در مورد یک تابع می دانید - می توانید جدولی از مقادیر را از آن بسازید، می توانید یک نمودار بسازید، تعیین کنید که کجا افزایش می یابد و کجا کاهش می یابد، به طور کلی، آن را مطالعه کنید. تمام و کمال.

بیایید عملکرد را در نظر بگیریم. تفاوت در چیست؟

"چه مفهومی داره؟" - تو پرسیدی. الان توضیح میدم

یادآوری می کنم که در علامت گذاری به عبارت داخل پرانتز آرگومان گفته می شود. و این استدلال می تواند هر بیانی باشد، نه لزوما ساده. بر این اساس، آرگومان هر چه باشد (عبارت داخل پرانتز) به جای آن در عبارت می نویسیم.

در مثال ما به این صورت خواهد بود:

بیایید کار دیگری مربوط به روش تحلیلی تعیین یک تابع را در نظر بگیریم که در امتحان خواهید داشت.

مقدار عبارت را در پیدا کنید.

مطمئنم که در ابتدا با دیدن چنین تعبیری ترسیدید، اما مطلقاً هیچ چیز ترسناکی در آن وجود ندارد!

همه چیز مانند مثال قبلی است: هر استدلالی (عبارت داخل پرانتز) باشد، به جای آن در عبارت می نویسیم. به عنوان مثال، برای یک تابع.

در مثال ما چه باید کرد؟ در عوض باید بنویسید و در عوض -:

عبارت حاصل را کوتاه کنید:

همین!

کار مستقل

حال سعی کنید معنی عبارات زیر را خودتان پیدا کنید:

1. ، اگر
2. ، اگر

توانستی مدیریت کنی؟ بیایید پاسخ های خود را با هم مقایسه کنیم: ما به این واقعیت عادت کرده ایم که تابع دارای فرم باشد

حتی در مثال‌هایمان، تابع را دقیقاً به این صورت تعریف می‌کنیم، اما از نظر تحلیلی می‌توان مثلاً تابع را به صورت ضمنی مشخص کرد.

سعی کنید خودتان این تابع را بسازید.

توانستی مدیریت کنی؟

اینجوری ساختمش

بالاخره چه معادله ای به دست آوردیم؟

درست! خطی، به این معنی که نمودار یک خط مستقیم خواهد بود. بیایید جدولی بسازیم تا مشخص کنیم کدام نقاط متعلق به خط ما هستند:

این دقیقاً همان چیزی است که ما در مورد آن صحبت می کردیم ... یکی مربوط به چندین است.

بیایید سعی کنیم آنچه را که اتفاق افتاد ترسیم کنیم:

آیا چیزی که ما دریافت کردیم یک تابع است؟

درست است، نه! چرا؟ سعی کنید با کمک نقاشی به این سوال پاسخ دهید. چی به دست آوردی؟

"زیرا یک مقدار با چندین مقدار مطابقت دارد!"

از این چه نتیجه ای می توانیم بگیریم؟

درست است، یک تابع همیشه نمی تواند به طور صریح بیان شود، و آنچه به عنوان یک تابع "مستدل" می شود همیشه یک تابع نیست!

روش جدولی برای تعیین یک تابع

همانطور که از نام آن پیداست، این روش یک علامت ساده است. بله بله. مثل همان چیزی که من و شما قبلا ساخته ایم. مثلا:

در اینجا شما بلافاصله متوجه یک الگو شدید - Y سه برابر بزرگتر از X است. و اکنون وظیفه "با دقت فکر کردن": آیا فکر می کنید تابعی که به شکل جدول داده می شود معادل یک تابع است؟

بیایید زیاد حرف نزنیم، اما بکشیم!

بنابراین. تابع مشخص شده توسط والپیپر را به روش های زیر ترسیم می کنیم:

آیا تفاوت را میبینید؟ همه چیز در مورد نقاط مشخص شده نیست! نگاه دقیقتری بینداز:

الان دیدی؟ وقتی تابعی را به صورت جدولی تعریف می کنیم، فقط نقاطی را که در جدول داریم روی نمودار نمایش می دهیم و خط (مانند مورد ما) فقط از آنها عبور می کند. وقتی تابعی را به صورت تحلیلی تعریف می کنیم، می توانیم هر نقطه ای را بگیریم و عملکرد ما محدود به آنها نیست. این ویژگی خاص است. یاد آوردن!

روش گرافیکی ساخت تابع

روش گرافیکی ساخت یک تابع کمتر راحت نیست. ما تابع خود را رسم می کنیم، و شخص دیگری که علاقه مند است می تواند پیدا کند که y در یک x معین با چه چیزی برابر است و غیره. روش های گرافیکی و تحلیلی از رایج ترین آنها هستند.

با این حال، در اینجا باید آنچه را که در همان ابتدا در مورد آن صحبت کردیم را به خاطر بسپارید - هر "squiggle" ترسیم شده در سیستم مختصات یک تابع نیست! یادت میاد؟ در هر صورت، من تعریف تابع چیست را در اینجا کپی می کنم:

به عنوان یک قاعده، مردم معمولاً دقیقاً سه روش را برای تعیین یک تابع که مورد بحث قرار دادیم نام می‌برند - تحلیلی (با استفاده از فرمول)، جدولی و گرافیکی، کاملاً فراموش می‌کنند که یک تابع را می‌توان به صورت شفاهی توصیف کرد. مثل این؟ بله خیلی ساده!

توصیف شفاهی عملکرد

چگونه یک تابع را به صورت شفاهی توصیف کنیم؟ بیایید مثال اخیر خود را در نظر بگیریم - . این تابع را می توان اینگونه توصیف کرد: "هر مقدار واقعی x با مقدار سه گانه آن مطابقت دارد." همین. هیچ چیز پیچیده ای نیست. شما، البته، اعتراض خواهید کرد - "اینطور وجود دارد توابع پیچیده، که به سادگی نمی توان شفاهی آنها را پرسید!» بله، چنین هستند، اما توابعی وجود دارند که توصیف شفاهی آنها آسان تر از تعریف کردن با یک فرمول است. به عنوان مثال: "هر مقدار طبیعی x مربوط به تفاوت بین اعدادی است که از آنها تشکیل شده است و مقدار کوچک گرفته می شود. بالاترین رقمدر رکورد شماره موجود است." حال بیایید ببینیم که چگونه توصیف شفاهی ما از تابع در عمل پیاده سازی می شود:

بزرگترین رقم در یک عدد معین به ترتیب مینیوند است، سپس:

انواع اصلی توابع

حالا بیایید به جالب ترین بخش برویم - بیایید به انواع اصلی توابعی که با آنها کار کرده اید/در حال کار هستید و در درس ریاضیات مدرسه و دانشگاه کار خواهید کرد نگاهی بیندازیم، یعنی بیایید به اصطلاح با آنها آشنا شویم. ، و به آنها بدهید توضیح مختصر. در مورد هر تابع در بخش مربوطه بیشتر بخوانید.

تابع خطی

تابعی از فرم Where، اعداد واقعی هستند.

نمودار این تابع یک خط مستقیم است، بنابراین ساخت یک تابع خطی به یافتن مختصات دو نقطه ختم می شود.

موقعیت خط مستقیم در صفحه مختصات به ضریب زاویه ای بستگی دارد.

دامنه یک تابع (معروف به دامنه مقادیر آرگومان معتبر) است.

محدوده مقادیر - .

تابع درجه دوم

تابع فرم، جایی که

نمودار تابع یک سهمی است؛ وقتی شاخه های سهمی به سمت پایین هستند، وقتی شاخه ها به سمت بالا هستند.

بسیاری از ویژگی های یک تابع درجه دوم به مقدار تفکیک کننده بستگی دارد. تفکیک کننده با استفاده از فرمول محاسبه می شود

موقعیت سهمی در صفحه مختصات نسبت به مقدار و ضریب در شکل نشان داده شده است:

دامنه

محدوده مقادیر به حداکثر تابع داده شده (نقطه راس سهمی) و ضریب (جهت شاخه های سهمی) بستگی دارد.

نسبت معکوس

تابعی که با فرمول، Where

عدد را ضریب تناسب معکوس می گویند. بسته به مقدار، شاخه های هذلولی در مربع های مختلفی قرار دارند:

دامنه - .

محدوده مقادیر - .

خلاصه و فرمول های اساسی

1. تابع قاعده ای است که طبق آن هر عنصر از یک مجموعه با یک عنصر از مجموعه مرتبط است.

• - این فرمولی است که یک تابع را نشان می دهد، یعنی وابستگی یک متغیر به متغیر دیگر.
• - مقدار متغیر یا آرگومان؛
• - کمیت وابسته - زمانی تغییر می کند که آرگومان تغییر کند، یعنی طبق هر فرمول خاصی که وابستگی یک کمیت به کمیت دیگر را منعکس می کند.

2. مقادیر آرگومان معتبر، یا دامنه یک تابع، چیزی است که با امکاناتی که تابع در آن معنا پیدا می کند، مرتبط است.

3. محدوده عملکرد- با توجه به مقادیر قابل قبول، این همان ارزش هایی است که می گیرد.

4. 4 راه برای تنظیم یک تابع وجود دارد:

• تحلیلی (با استفاده از فرمول)؛
• جدولی
• گرافیکی
• توصیف شفاهی

5. انواع اصلی توابع:

• : ، جایی که، اعداد واقعی هستند.
• : ، جایی که؛
• : ، جایی که.

دانش توابع ابتدایی پایه، خواص و نمودارهای آنهامهمتر از دانستن جداول ضرب نیست. آنها مانند پایه هستند، همه چیز بر اساس آنها است، همه چیز از آنها ساخته شده و همه چیز به آنها می رسد.

در این مقاله ما تمام توابع اصلی اصلی را فهرست می کنیم، نمودارهای آنها را ارائه می دهیم و بدون نتیجه گیری یا اثبات ارائه می دهیم ویژگی های توابع ابتدایی پایهطبق طرح:

• رفتار یک تابع در مرزهای دامنه تعریف، مجانب عمودی (در صورت لزوم، طبقه بندی مقاله نقاط ناپیوستگی یک تابع را ببینید).
• زوج و فرد؛
• فواصل تحدب (تحدب به سمت بالا) و تقعر (تحدب به سمت پایین)، نقاط عطف (در صورت لزوم به مقاله تحدب یک تابع، جهت تحدب، نقاط عطف، شرایط تحدب و خمش مراجعه کنید).
• مجانب مورب و افقی؛
• نقاط منفرد توابع؛
• خواص ویژه برخی از توابع (به عنوان مثال، کوچکترین دوره مثبت توابع مثلثاتی).

اگر به یا علاقه مند هستید، می توانید به این بخش های تئوری بروید.

توابع ابتدایی اولیهعبارتند از: تابع ثابت (ثابت)، ریشه nام، تابع توان، تابع نمایی، لگاریتمی، مثلثاتی و مثلثاتی معکوس.

پیمایش صفحه.

عملکرد دائمی

یک تابع ثابت بر روی مجموعه تمام اعداد حقیقی با فرمول تعریف می شود که در آن C مقداری واقعی است. یک تابع ثابت هر مقدار واقعی متغیر مستقل x را با همان مقدار متغیر وابسته y - مقدار C مرتبط می کند. تابع ثابت را ثابت نیز می گویند.

نمودار یک تابع ثابت یک خط مستقیم موازی با محور x و عبور از نقطه با مختصات (0,C) است. به عنوان مثال، نمودارهایی از توابع ثابت y=5، y=-2 و را نشان خواهیم داد که در شکل زیر به ترتیب با خطوط سیاه، قرمز و آبی مطابقت دارند.

ویژگی های یک تابع ثابت

• دامنه: کل مجموعه اعداد واقعی.
• تابع ثابت زوج است.
• محدوده مقادیر: مجموعه ای متشکل از مفردبا .
• یک تابع ثابت غیرافزاینده و بدون کاهش است (به همین دلیل ثابت است).
• بی معنی است که در مورد تحدب و تقعر یک ثابت صحبت کنیم.
• هیچ مجانبی وجود ندارد.
• تابع از نقطه (0,C) صفحه مختصات عبور می کند.

ریشه درجه n.

بیایید تابع ابتدایی پایه را در نظر بگیریم که با فرمول n - عدد طبیعی، بزرگتر از یک

ریشه درجه n، n یک عدد زوج است.

بیایید با تابع ریشه n برای مقادیر زوج توان ریشه n شروع کنیم.

به عنوان مثال، در اینجا یک تصویر با تصاویر نمودارهای تابع است و با خطوط مشکی، قرمز و آبی مطابقت دارند.

نمودارهای توابع ریشه زوج دارای ظاهری مشابه برای سایر مقادیر توان است.

ویژگی های تابع ریشه n برای زوج n.

ریشه n، n یک عدد فرد است.

تابع ریشه n با یک توان ریشه فرد n بر روی کل مجموعه اعداد حقیقی تعریف می شود. به عنوان مثال، در اینجا نمودارهای تابع هستند و با منحنی های سیاه، قرمز و آبی مطابقت دارند.

برای سایر مقادیر فرد از توان ریشه، نمودارهای تابع ظاهری مشابه خواهند داشت.

ویژگی های تابع ریشه n برای فرد n.

تابع توان.

تابع توان با فرمولی از فرم داده می شود.

بیایید شکل نمودارهای یک تابع توان و خواص یک تابع توان را بسته به مقدار توان در نظر بگیریم.

بیایید با یک تابع توان با توان عدد صحیح a شروع کنیم. در این مورد، ظاهر نمودارهای توابع توان و خواص توابع به یکنواختی یا عجیب بودن توان و همچنین به علامت آن بستگی دارد. بنابراین، ابتدا توابع توان را برای مقادیر مثبت فرد نمایی a، سپس برای نماهای مثبت زوج، سپس برای نماهای منفی فرد و در نهایت برای زوج منفی a در نظر می گیریم.

ویژگی های توابع توان با توان های کسری و غیر منطقی (و همچنین نوع نمودارهای این توابع توانی) به مقدار توان a بستگی دارد. آنها را اولاً برای a از صفر تا یک، ثانیاً برای بزرگتر از یک، ثالثا، برای a از منهای یک به صفر، چهارم، برای کمتر از منهای یک در نظر می گیریم.

در پایان این بخش برای کامل بودن تابع توان با توان صفر را توضیح می دهیم.

تابع توان با توان مثبت فرد.

بیایید تابع توانی را با نماهای مثبت فرد در نظر بگیریم، یعنی با a = 1،3،5، ....

شکل زیر نمودارهای توابع قدرت - خط سیاه، - خط آبی، - خط قرمز، - خط سبز را نشان می دهد. برای a=1 داریم تابع خطی y=x.

ویژگی های تابع توان با نما مثبت فرد.

تابع توان با نما حتی مثبت.

بیایید یک تابع توان با توان مثبت در نظر بگیریم، یعنی برای a = 2،4،6،....

به عنوان مثال، نمودارهایی از توابع قدرت - خط سیاه، - خط آبی، - خط قرمز ارائه می دهیم. برای a=2 داریم تابع درجه دوم، که نمودار آن است سهمی درجه دوم.

ویژگی های یک تابع توان با توان مثبت زوج.

تابع توان با توان منفی فرد.

به نمودارهای تابع توان برای مقادیر منفی فرد توان نگاه کنید، یعنی برای = -1، -3، -5، ....

شکل نمودارهای توابع قدرت را به عنوان مثال نشان می دهد - خط سیاه، - خط آبی، - خط قرمز، - خط سبز. برای a=-1 داریم نسبت معکوس، که نمودار آن است هذلولی.

ویژگی های یک تابع توان با توان منفی فرد.

تابع توان با توان منفی حتی.

بیایید به تابع توان برای a=-2،-4،-6،… برویم.

شکل نمودارهای توابع قدرت - خط سیاه، - خط آبی، - خط قرمز را نشان می دهد.

ویژگی های تابع توان با توان منفی زوج.

تابع توانی با توان گویا یا غیرمنطقی که مقدار آن بزرگتر از صفر و کوچکتر از یک است.

توجه داشته باشید!اگر a یک کسر مثبت با مخرج فرد باشد، برخی از نویسندگان دامنه تعریف تابع توان را بازه می دانند. مقرر شده است که توان a یک کسر تقلیل ناپذیر است. اکنون نویسندگان بسیاری از کتاب های درسی جبر و اصول تجزیه و تحلیل، توابع توان را با یک توان به شکل کسری با مخرج فرد برای مقادیر منفی استدلال تعریف نمی کنند. ما دقیقاً به این دیدگاه پایبند خواهیم بود، یعنی مجموعه را حوزه های تعریف توابع توان با توان های مثبت کسری در نظر می گیریم. توصیه می کنیم دانش آموزان نظر معلم خود را در مورد این نکته ظریف بدانند تا از اختلاف نظر جلوگیری شود.

اجازه دهید تابع توانی را با توان منطقی یا غیرمنطقی a و .

اجازه دهید نمودارهایی از توابع توان را برای a=11/12 (خط سیاه)، a=5/7 (خط قرمز)، (خط آبی)، a=2/5 (خط سبز) ارائه کنیم.

تابع توانی با توان غیر صحیح گویا یا غیرمنطقی بزرگتر از یک.

اجازه دهید یک تابع توان با توان غیر صحیح گویا یا غیرمنطقی a و .

اجازه دهید نمودارهایی از توابع توان ارائه شده توسط فرمول ها را ارائه کنیم (خطوط مشکی، قرمز، آبی و سبز به ترتیب).

>

برای سایر مقادیر توان a، نمودارهای تابع ظاهری مشابه خواهند داشت.

خواص تابع توان در .

تابع توانی با توان واقعی که بزرگتر از منهای یک و کوچکتر از صفر است.

توجه داشته باشید!اگر a یک کسر منفی با مخرج فرد باشد، برخی از نویسندگان دامنه تعریف تابع توان را بازه می دانند. . مقرر شده است که توان a یک کسر تقلیل ناپذیر است. اکنون نویسندگان بسیاری از کتاب های درسی جبر و اصول تجزیه و تحلیل، توابع توان را با یک توان به شکل کسری با مخرج فرد برای مقادیر منفی استدلال تعریف نمی کنند. ما دقیقاً به این دیدگاه پایبند خواهیم بود، یعنی دامنه های تعریف توابع توان با نماهای منفی کسری کسری را به ترتیب یک مجموعه در نظر می گیریم. توصیه می کنیم دانش آموزان نظر معلم خود را در مورد این نکته ظریف بدانند تا از اختلاف نظر جلوگیری شود.

بیایید به تابع قدرت، kgod برویم.

برای داشتن یک ایده خوب از شکل نمودارهای توابع قدرت برای، مثال هایی از نمودار توابع ارائه می کنیم. (به ترتیب منحنی های مشکی، قرمز، آبی و سبز).

ویژگی های تابع توان با توان a، .

یک تابع توان با توان واقعی غیر صحیح که کمتر از منهای یک است.

اجازه دهید نمونه هایی از نمودارهای توابع قدرت را برای ، به ترتیب با خطوط سیاه، قرمز، آبی و سبز به تصویر کشیده شده اند.

ویژگی های یک تابع توان با ضریب منفی غیرصحیح کمتر از منهای یک.

هنگامی که a = 0، یک تابع داریم - این یک خط مستقیم است که از آن نقطه (0;1) حذف می شود (توافق شد که به عبارت 0 0 اهمیتی داده نشود).

تابع نمایی.

یکی از توابع ابتدایی اصلی تابع نمایی است.

نمودار تابع نمایی، که در آن و بسته به مقدار پایه a اشکال متفاوتی دارد. بیایید این را بفهمیم.

ابتدا حالتی را در نظر بگیرید که پایه تابع نمایی از صفر تا یک مقدار بگیرد، یعنی .

به عنوان مثال، نمودارهایی از تابع نمایی را برای a = 1/2 – خط آبی، a = 5/6 – خط قرمز ارائه می کنیم. نمودارهای تابع نمایی برای سایر مقادیر پایه از بازه ظاهری مشابه دارند.

ویژگی های تابع نمایی با پایه کوچکتر از یک.

اجازه دهید به سراغ موردی برویم که پایه تابع نمایی بزرگتر از یک باشد، یعنی .

به عنوان یک تصویر، ما نمودارهایی از توابع نمایی - خط آبی و - خط قرمز را ارائه می دهیم. برای مقادیر دیگر پایه بزرگتر از یک، نمودارهای تابع نمایی ظاهری مشابه خواهند داشت.

ویژگی های تابع نمایی با پایه بزرگتر از یک.

تابع لگاریتمی

تابع ابتدایی پایه بعدی تابع لگاریتمی است، که در آن، . تابع لگاریتمی فقط برای مقادیر مثبت آرگومان تعریف می شود، یعنی برای .

نمودار یک تابع لگاریتمی بسته به مقدار پایه a شکل های مختلفی دارد.

بیایید با مورد شروع کنیم که .

به عنوان مثال، نمودارهای تابع لگاریتمی را برای a = 1/2 - خط آبی، a = 5/6 - خط قرمز ارائه می‌کنیم. برای مقادیر دیگر پایه بیش از یک، نمودارهای تابع لگاریتمی ظاهری مشابه خواهند داشت.

ویژگی های تابع لگاریتمی با پایه کوچکتر از یک.

بیایید به سراغ موردی برویم که پایه تابع لگاریتمی بزرگتر از یک () باشد.

بیایید نمودارهای توابع لگاریتمی - خط آبی، - خط قرمز را نشان دهیم. برای سایر مقادیر پایه بزرگتر از یک، نمودارهای تابع لگاریتمی ظاهری مشابه خواهند داشت.

ویژگی های تابع لگاریتمی با پایه بزرگتر از یک.

توابع مثلثاتی، خواص و نمودارهای آنها.

همه توابع مثلثاتی (سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت) متعلق به توابع ابتدایی پایه هستند. اکنون به نمودارهای آنها نگاه می کنیم و خواص آنها را فهرست می کنیم.

توابع مثلثاتی دارای مفهوم هستند فرکانس(تکرار مقادیر تابع برای مقادیر آرگومان های مختلف که با دوره متفاوت با یکدیگر هستند ، جایی که T دوره است)، بنابراین، یک مورد به لیست ویژگی های توابع مثلثاتی اضافه شده است. "کوچکترین دوره مثبت". همچنین، برای هر تابع مثلثاتی، مقادیر آرگومانی را که در آن تابع مربوطه ناپدید می شود، نشان می دهیم.

حالا بیایید به ترتیب به تمام توابع مثلثاتی بپردازیم.

تابع سینوسی y = sin(x) .

اجازه دهید نموداری از تابع سینوسی رسم کنیم که به آن "موج سینوسی" می گویند.

ویژگی های تابع سینوس y = sinx.

تابع کسینوس y = cos(x).

نمودار تابع کسینوس (که "کسینوس" نامیده می شود) به شکل زیر است:

ویژگی های تابع کسینوس y = cosx.

تابع مماس y = tan(x) .

نمودار تابع مماس (به نام "تانژانتوئید") به شکل زیر است:

ویژگی های تابع مماس y = tanx.

تابع کوتانژانت y = ctg(x) .

بیایید نموداری از تابع کتانژانت رسم کنیم (به آن "کتانژانتوئید" می گویند):

ویژگی های تابع کوتانژانت y = ctgx.

توابع مثلثاتی معکوس، خواص و نمودارهای آنها.

توابع مثلثاتی معکوس (سینوس قوس، کسینوس قوس، مماس قوس و کوتانژانت قوس) توابع ابتدایی اولیه هستند. اغلب، به دلیل پیشوند "قوس"، توابع مثلثاتی معکوس را توابع قوس می نامند. اکنون به نمودارهای آنها نگاه می کنیم و خواص آنها را فهرست می کنیم.

تابع آرکسین y = arcsin(x).

بیایید تابع آرکسین را رسم کنیم:

ویژگی های تابع قوس مماس y = arcctg(x) .

کتابشناسی - فهرست کتب.

• کولموگروف A.N.، Abramov A.M.، Dudnitsyn Yu.P. و دیگران جبر و آغاز تحلیل: Proc. برای کلاس های 10-11 موسسات آموزشی عمومی
• ویگودسکی ام.یا. کتاب راهنمای ریاضیات ابتدایی.
• Novoselov S.I. جبر و توابع ابتدایی.
• تومانوف اس.آی. جبر ابتدایی. کتابچه راهنمای خودآموزی

توابع ابتدایی پایه، خصوصیات ذاتی آنها و نمودارهای مربوطه یکی از مبانی دانش ریاضی است که از نظر اهمیت مشابه جدول ضرب است. توابع ابتدایی اساس، پشتیبان مطالعه همه مسائل نظری هستند.

مقاله زیر مطالب کلیدی را در مورد موضوع توابع ابتدایی اولیه ارائه می دهد. ما اصطلاحات را معرفی می کنیم، آنها را تعاریف می کنیم. بیایید هر نوع توابع ابتدایی را با جزئیات مطالعه کنیم و خواص آنها را تجزیه و تحلیل کنیم.

انواع زیر از توابع ابتدایی اساسی متمایز می شوند:

تعریف 1

• تابع ثابت (ثابت)؛
• ریشه n ام؛
• تابع توان؛
• تابع نمایی؛
• تابع لگاریتمی؛
• توابع مثلثاتی؛
• توابع مثلثاتی برادرانه

یک تابع ثابت با فرمول: y = C (C یک عدد واقعی معین است) تعریف می شود و همچنین یک نام دارد: ثابت. این تابع مطابقت هر مقدار واقعی متغیر مستقل x را با همان مقدار متغیر y - مقدار C تعیین می کند.

نمودار یک ثابت خط مستقیمی است که موازی با محور آبسیسا است و از نقطه ای با مختصات (0, C) می گذرد. برای وضوح، نمودارهایی از توابع ثابت y = 5، y = - 2، y = 3، y = 3 (به ترتیب با رنگ های سیاه، قرمز و آبی در نقاشی نشان داده شده است) ارائه می دهیم.

تعریف 2

این تابع ابتدایی با فرمول y = x n تعریف می شود (n عدد طبیعی بزرگتر از یک است).

بیایید دو تغییر تابع را در نظر بگیریم.

1. ریشه n ام، n - عدد زوج

برای وضوح، نقاشی را نشان می دهیم که نمودارهایی از این توابع را نشان می دهد: y = x، y = x 4 و y = x8. این ویژگی ها به ترتیب رنگ بندی شده اند: مشکی، قرمز و آبی.

نمودارهای یک تابع با درجه زوج برای سایر مقادیر توان ظاهری مشابه دارند.

تعریف 3

ویژگی های تابع ریشه n، n یک عدد زوج است

• دامنه تعریف - مجموعه تمام اعداد حقیقی غیر منفی [ 0 , + ∞) ;
• وقتی x = 0، تابع y = x n مقداری برابر با صفر دارد.
• داده شده تابع-عملکرد نمای کلی(نه زوج است و نه فرد)؛
• محدوده: [ 0 , + ∞) ;
• این تابع y = x n با نماهای ریشه زوج در کل دامنه تعریف افزایش می یابد.
• تابع دارای یک تحدب با جهت رو به بالا در کل دامنه تعریف است.
• هیچ نقطه عطفی وجود ندارد.
• هیچ مجانبی وجود ندارد.
• نمودار تابع برای n زوج از نقاط (0; 0) و (1; 1) عبور می کند.

1. ریشه n ام، n - عدد فرد

چنین تابعی بر روی کل مجموعه اعداد واقعی تعریف می شود. برای وضوح، نمودار توابع را در نظر بگیرید y = x 3، y = x 5 و x 9 . در نقاشی آنها با رنگ ها نشان داده شده اند: سیاه، قرمز و رنگ ابیو به ترتیب منحنی ها.

سایر مقادیر فرد از توان ریشه تابع y = x n نموداری از نوع مشابه به دست می دهد.

تعریف 4

ویژگی های تابع ریشه n، n یک عدد فرد است

• دامنه تعریف - مجموعه تمام اعداد واقعی.
• این تابع فرد است.
• محدوده مقادیر - مجموعه تمام اعداد واقعی؛
• تابع y = x n برای نماهای ریشه فرد در کل دامنه تعریف افزایش می یابد.
• تابع دارای تقعر در بازه (-∞ ; 0 ] و تحدب در بازه [0, + ∞) است.
• نقطه عطف دارای مختصات (0; 0) است.
• هیچ مجانبی وجود ندارد.
• نمودار تابع برای n فرد از نقاط (- 1 ; - 1)، (0 ; 0) و (1 ; 1) عبور می کند.

تابع توان

تعریف 5

تابع توان با فرمول y = x a تعریف می شود.

ظاهر نمودارها و خصوصیات تابع به مقدار توان بستگی دارد.

• وقتی یک تابع توان دارای یک توان صحیح a است، آنگاه نوع نمودار تابع توان و خصوصیات آن به زوج یا فرد بودن توان و همچنین نشانی که نما دارد بستگی دارد. بیایید همه این موارد خاص را با جزئیات بیشتر در زیر در نظر بگیریم.
• توان می تواند کسری یا غیر منطقی باشد - بسته به این، نوع نمودارها و ویژگی های تابع نیز متفاوت است. ما موارد خاص را با تعیین چندین شرط تجزیه و تحلیل خواهیم کرد: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
• یک تابع توان می تواند یک توان صفر داشته باشد؛ ما همچنین این مورد را با جزئیات بیشتری در زیر تجزیه و تحلیل خواهیم کرد.

بیایید تابع قدرت را تجزیه و تحلیل کنیم y = x a، وقتی a یک عدد مثبت فرد باشد، به عنوان مثال، a = 1، 3، 5...

برای وضوح، نمودارهای این توابع توان را نشان می دهیم: y = x (رنگ گرافیکی سیاه) y = x 3 (رنگ آبی نمودار)، y = x 5 (رنگ قرمز نمودار)، y = x 7 (رنگ گرافیکی سبز). وقتی a = 1 باشد، تابع خطی y = x را دریافت می کنیم.

تعریف 6

ویژگی های تابع توان زمانی که توان فرد مثبت باشد

• تابع برای x ∈ در حال افزایش است (- ∞ ; + ∞) ;
• تابع دارای تحدب برای x ∈ (-∞ ; 0 ] و تقعر برای x ∈ [ 0 ; + ∞) است (به استثنای تابع خطی).
• نقطه عطف دارای مختصات (0 ; 0) است (به استثنای تابع خطی).
• هیچ مجانبی وجود ندارد.
• نقاط عبور تابع: (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

بیایید تابع قدرت را تجزیه و تحلیل کنیم y = x a، وقتی a یک عدد مثبت زوج باشد، به عنوان مثال، a = 2، 4، 6...

برای وضوح، نمودارهای این توابع قدرت را نشان می دهیم: y = x 2 (رنگ گرافیکی سیاه)، y = x 4 (رنگ آبی نمودار)، y = x 8 (رنگ قرمز نمودار). وقتی a = 2 باشد، یک تابع درجه دوم به دست می آوریم که نمودار آن یک سهمی درجه دوم است.

تعریف 7

ویژگی های تابع توان زمانی که توان آن حتی مثبت باشد:

• دامنه تعریف: x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• کاهش برای x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
• تابع دارای تقعر برای x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• هیچ نقطه عطفی وجود ندارد.
• هیچ مجانبی وجود ندارد.
• نقاط عبور تابع: (- 1 ; 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

شکل زیر نمونه هایی از نمودارهای تابع توان را نشان می دهد y = x a وقتی a یک عدد منفی فرد باشد: y = x - 9 (رنگ گرافیکی سیاه)؛ y = x - 5 (رنگ آبی نمودار). y = x - 3 (رنگ قرمز نمودار). y = x - 1 (رنگ گرافیکی سبز). وقتی a = - 1 باشد، نسبت معکوس را بدست می آوریم که نمودار آن هذلولی است.

تعریف 8

ویژگی های تابع توان زمانی که توان فرد منفی باشد:

وقتی x = 0، ناپیوستگی از نوع دوم را به دست می آوریم، زیرا lim x → 0 - 0 x a = - ∞، lim x → 0 + 0 x a = + ∞ برای a = - 1، - 3، - 5، .... بنابراین، خط مستقیم x = 0 مجانبی عمودی است.

• محدوده: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• تابع فرد است زیرا y (- x) = - y (x);
• تابع برای x ∈ - ∞ در حال کاهش است. 0 ∪ (0 ; + ∞) ;
• تابع دارای تحدب برای x ∈ (- ∞ ; 0) و تقعر برای x ∈ (0 ; + ∞) است.
• هیچ نقطه عطفی وجود ندارد.

k = lim x → ∞ x a x = 0، b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0، زمانی که a = - 1، - 3، - 5، . . . .

• نقاط عبور تابع: (- 1 ; - 1) , (1 ; 1) .

شکل زیر نمونه هایی از نمودارهای تابع توان y = x a را در زمانی که a یک عدد منفی زوج است نشان می دهد: y = x - 8 (رنگ گرافیکی سیاه)؛ y = x - 4 (رنگ آبی نمودار). y = x - 2 (رنگ قرمز نمودار).

تعریف 9

ویژگی های تابع توان زمانی که توان آن حتی منفی باشد:

• دامنه تعریف: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

وقتی x = 0، ناپیوستگی نوع دوم را به دست می آوریم، زیرا lim x → 0 - 0 x a = + ∞، lim x → 0 + 0 x a = + ∞ برای a = - 2، - 4، - 6، …. بنابراین، خط مستقیم x = 0 مجانبی عمودی است.

• تابع زوج است زیرا y(-x) = y(x);
• تابع برای x ∈ (- ∞ ; 0) افزایش و برای x ∈ 0 کاهش می یابد. + ∞ ;
• تابع دارای تقعر در x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• هیچ نقطه عطفی وجود ندارد.
• مجانب افقی - خط مستقیم y = 0، زیرا:

k = lim x ∞ x a x = 0، b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 وقتی a = - 2، - 4، - 6، . . . .

• نقاط عبور تابع: (- 1 ; 1) , (1 ; 1) .

از همان ابتدا، به جنبه زیر توجه کنید: در موردی که a یک کسر مثبت با مخرج فرد است، برخی از نویسندگان بازه - ∞ را به عنوان دامنه تعریف این تابع توان در نظر می گیرند. + ∞، با این شرط که توان a یک کسر تقلیل ناپذیر است. در حال حاضر، نویسندگان بسیاری از نشریات آموزشی در مورد جبر و اصول تجزیه و تحلیل، توابع توان را تعریف نمی کنند، جایی که توان کسری با مخرج فرد برای مقادیر منفی استدلال است. علاوه بر این، دقیقاً به این موقعیت پایبند خواهیم بود: مجموعه [ 0 ; + ∞). توصیه به دانش آموزان: برای جلوگیری از اختلاف نظر، نظر معلم را در این مورد بیابید.

بنابراین، اجازه دهید به تابع قدرت نگاه کنیم y = x a، وقتی توان یک عدد گویا یا غیرمنطقی باشد، مشروط بر اینکه 0 باشد< a < 1 .

اجازه دهید توابع قدرت را با نمودارها نشان دهیم y = x a وقتی a = 11 12 (رنگ گرافیکی سیاه). a = 5 7 (رنگ قرمز نمودار)؛ a = 1 3 (رنگ آبی نمودار)؛ a = 2 5 (رنگ سبز نمودار).

سایر مقادیر توان a (0 ارائه شده است< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

تعریف 10

ویژگی های تابع توان در 0< a < 1:

• محدوده: y ∈ [ 0 ; + ∞)؛
• تابع برای x ∈ [ 0 ; + ∞)؛
• تابع برای x ∈ محدب است (0 ; + ∞);
• هیچ نقطه عطفی وجود ندارد.
• هیچ مجانبی وجود ندارد.

بیایید تابع قدرت را تجزیه و تحلیل کنیم y = x a، وقتی توان یک عدد گویا یا غیر منطقی غیر صحیح باشد، مشروط بر اینکه a > 1 باشد.

اجازه دهید تابع توان را با نمودارها نشان دهیم y = x a تحت شرایط داده شده با استفاده از توابع زیر به عنوان مثال: y = x 5 4 , y = x 4 3 , y = x 7 3 , y = x 3 π (به ترتیب نمودارهای سیاه، قرمز، آبی، سبز).

سایر مقادیر توان a، با یک > 1، نمودار مشابهی را نشان می دهد.

تعریف 11

ویژگی های تابع توان برای > 1:

• دامنه تعریف: x ∈ [ 0 ; + ∞)؛
• محدوده: y ∈ [ 0 ; + ∞)؛
• این تابع تابعی از شکل کلی است (نه فرد است و نه زوج).
• تابع برای x ∈ [ 0 ; + ∞)؛
• تابع برای x ∈ (0 ; + ∞) تقعر دارد (وقتی 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
• هیچ نقطه عطفی وجود ندارد.
• هیچ مجانبی وجود ندارد.
• نقاط عبور تابع: (0 ; 0) , (1 ; 1) .

لطفاً توجه داشته باشید وقتی a یک کسری منفی با مخرج فرد است، در آثار برخی از نویسندگان این نظر وجود دارد که دامنه تعریف در این مورد فاصله - ∞ است. 0 ∪ (0 ; + ∞) با این هشدار که توان a یک کسری تقلیل ناپذیر است. در حال حاضر نویسندگان مواد آموزشیدر جبر و اصول تجزیه و تحلیل، توابع توان را با یک توان به صورت کسری با مخرج فرد برای مقادیر منفی استدلال تعیین نکنید. علاوه بر این، ما دقیقاً به این دیدگاه پایبند هستیم: مجموعه (0 ; + ∞) را به عنوان دامنه تعریف توابع توان با توان های منفی کسری در نظر می گیریم. توصیه برای دانش آموزان: دیدگاه معلم خود را در این مرحله برای جلوگیری از اختلاف نظر روشن کنید.

بیایید موضوع را ادامه دهیم و تابع قدرت را تجزیه و تحلیل کنیم y = x a ارائه شده است: - 1< a < 0 .

اجازه دهید رسم نمودارهای توابع زیر را ارائه دهیم: y = x - 5 6، y = x - 2 3، y = x - 1 2 2، y = x - 1 7 (سیاه، قرمز، آبی، رنگ سبز از خطوط، به ترتیب).

تعریف 12

ویژگی های تابع توان در - 1< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ وقتی - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• محدوده: y ∈ 0 ; + ∞ ;
• این تابع تابعی از شکل کلی است (نه فرد است و نه زوج).
• هیچ نقطه عطفی وجود ندارد.

رسم زیر نمودارهایی از توابع توان y = x - 5 4، y = x - 5 3، y = x - 6، y = x - 24 7 (به ترتیب رنگ‌های سیاه، قرمز، آبی، سبز منحنی‌ها) را نشان می‌دهد.

تعریف 13

ویژگی های تابع توان برای a< - 1:

• دامنه تعریف: x ∈ 0 ; + ∞ ;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ وقتی a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• محدوده: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• این تابع تابعی از شکل کلی است (نه فرد است و نه زوج).
• تابع برای x ∈ 0 کاهش می یابد. + ∞ ;
• تابع دارای یک تقعر برای x ∈ 0 است. + ∞ ;
• هیچ نقطه عطفی وجود ندارد.
• مجانب افقی - خط مستقیم y = 0.
• نقطه عبور تابع: (1; 1) .

وقتی a = 0 و x ≠ 0، تابع y = x 0 = 1 را به دست می آوریم، که خطی را که نقطه (0؛ 1) از آن حذف می شود را مشخص می کند (توافق شد که به عبارت 0 0 هیچ معنایی داده نشود. ).

تابع نمایی شکل دارد y = a x، که در آن a > 0 و a ≠ 1، و نمودار این تابع بر اساس مقدار پایه a متفاوت به نظر می رسد. بیایید موارد خاص را در نظر بگیریم.

ابتدا بیایید به وضعیتی نگاه کنیم که پایه تابع نمایی از صفر تا یک (0) داشته باشد.< a < 1) . یک مثال خوب، نمودارهای توابع برای a = 1 2 (رنگ آبی منحنی) و a = 5 6 (رنگ قرمز منحنی) است.

نمودارهای تابع نمایی برای سایر مقادیر پایه در شرایط 0 ظاهری مشابه خواهند داشت.< a < 1 .

تعریف 14

ویژگی های تابع نمایی زمانی که پایه کوچکتر از یک باشد:

• محدوده: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• این تابع تابعی از شکل کلی است (نه فرد است و نه زوج).
• یک تابع نمایی که پایه آن کمتر از یک است در کل دامنه تعریف کاهش می یابد.
• هیچ نقطه عطفی وجود ندارد.
• مجانب افقی - خط مستقیم y = 0 با متغیر x تمایل به + ∞.

حال حالتی را در نظر بگیرید که پایه تابع نمایی بزرگتر از یک باشد (a > 1).

اجازه دهید این مورد خاص را با نموداری از توابع نمایی y = 3 2 x (رنگ آبی منحنی) و y = e x (رنگ قرمز نمودار) نشان دهیم.

سایر مقادیر پایه، واحدهای بزرگتر، ظاهری مشابه به نمودار تابع نمایی می دهد.

تعریف 15

ویژگی های تابع نمایی زمانی که پایه بزرگتر از یک باشد:

• دامنه تعریف - کل مجموعه اعداد واقعی.
• محدوده: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• این تابع تابعی از شکل کلی است (نه فرد است و نه زوج).
• یک تابع نمایی که پایه آن بزرگتر از یک است به صورت x ∈ - ∞ افزایش می یابد. + ∞ ;
• تابع دارای یک تقعر در x ∈ - ∞ است. + ∞ ;
• هیچ نقطه عطفی وجود ندارد.
• مجانب افقی - خط مستقیم y = 0 با متغیر x تمایل به - ∞.
• نقطه عبور تابع: (0; 1) .

تابع لگاریتمی به شکل y = log a (x)، که در آن a > 0، a ≠ 1 است.

چنین تابعی فقط برای مقادیر مثبت آرگومان تعریف می شود: برای x ∈ 0; + ∞ .

نمودار یک تابع لگاریتمی بر اساس مقدار پایه a ظاهر متفاوتی دارد.

اجازه دهید ابتدا وضعیتی را در نظر بگیریم که 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

سایر مقادیر پایه، نه واحدهای بزرگتر، نوع مشابهی از نمودار را ارائه می دهند.

تعریف 16

ویژگی های یک تابع لگاریتمی زمانی که پایه کوچکتر از یک باشد:

• دامنه تعریف: x ∈ 0 ; + ∞ . همانطور که x از سمت راست به صفر میل می کند، مقادیر تابع به +∞ تمایل دارند.
• محدوده مقادیر: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• این تابع تابعی از شکل کلی است (نه فرد است و نه زوج).
• لگاریتمی
• تابع دارای یک تقعر برای x ∈ 0 است. + ∞ ;
• هیچ نقطه عطفی وجود ندارد.
• هیچ مجانبی وجود ندارد.

حال بیایید به حالت خاصی که پایه تابع لگاریتمی بزرگتر از یک است نگاه کنیم: a > 1 . رسم زیر نمودارهای توابع لگاریتمی y = log 3 2 x و y = ln x (به ترتیب رنگ های آبی و قرمز نمودارها) را نشان می دهد.

مقادیر دیگر پایه بزرگتر از یک نوع مشابهی از نمودار را ارائه می دهند.

تعریف 17

ویژگی های یک تابع لگاریتمی زمانی که پایه بزرگتر از یک باشد:

• دامنه تعریف: x ∈ 0 ; + ∞ . از آنجایی که x از سمت راست به صفر میل می کند، مقادیر تابع به - ∞ تمایل دارند.
• محدوده مقادیر: y ∈ - ∞ ; + ∞ (کل مجموعه اعداد واقعی)؛
• این تابع تابعی از شکل کلی است (نه فرد است و نه زوج).
• تابع لگاریتمی برای x ∈ 0 در حال افزایش است. + ∞ ;
• تابع برای x ∈ 0 محدب است. + ∞ ;
• هیچ نقطه عطفی وجود ندارد.
• هیچ مجانبی وجود ندارد.
• نقطه عبور تابع: (1; 0) .

توابع مثلثاتی سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت هستند. بیایید به ویژگی های هر یک از آنها و گرافیک مربوطه نگاه کنیم.

به طور کلی، تمام توابع مثلثاتی با خاصیت تناوب مشخص می شوند، یعنی. هنگامی که مقادیر توابع برای مقادیر مختلف آرگومان تکرار می شوند، با دوره f (x + T) = f (x) (T دوره است). بنابراین، مورد "کوچکترین دوره مثبت" به لیست ویژگی های توابع مثلثاتی اضافه می شود. علاوه بر این، مقادیر آرگومان را نشان خواهیم داد که در آن تابع مربوطه صفر می شود.

1. تابع سینوس: y = sin(x)

نمودار این تابع را موج سینوسی می نامند.

تعریف 18

ویژگی های تابع سینوس:

• دامنه تعریف: کل مجموعه اعداد حقیقی x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• تابع زمانی که x = π · k ناپدید می شود، جایی که k ∈ Z (Z مجموعه اعداد صحیح است).
• تابع برای x ∈ - π 2 + 2 π · k در حال افزایش است. π 2 + 2 π · k، k ∈ Z و کاهش برای x ∈ π 2 + 2 π · k. 3 π 2 + 2 π · k، k ∈ Z;
• تابع سینوس دارای ماکزیمم های محلی در نقاط π2 + 2 π · k است. 1 و حداقل های محلی در نقاط - π 2 + 2 π · k; - 1، k ∈ Z;
• تابع سینوس مقعر است وقتی x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k، k ∈ Z و محدب زمانی که x ∈ 2 π · k; π + 2 π k، k ∈ Z;
• هیچ مجانبی وجود ندارد

1. تابع کسینوس: y = cos(x)

نمودار این تابع را موج کسینوس می نامند.

تعریف 19

ویژگی های تابع کسینوس:

• دامنه تعریف: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• کوچکترین دوره مثبت: T = 2 π.
• محدوده مقادیر: y ∈ - 1 ; 1 ;
• این تابع زوج است، زیرا y (- x) = y (x);
• تابع برای x ∈ - π + 2 π · k در حال افزایش است. 2 π · k، k ∈ Z و کاهش برای x ∈ 2 π · k. π + 2 π k، k ∈ Z;
• تابع کسینوس دارای حداکثرهای محلی در نقاط 2 π · k است. 1، k ∈ Z و حداقل های محلی در نقاط π + 2 π · k. - 1، k ∈ z;
• تابع کسینوس مقعر است وقتی x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π · k , k ∈ Z و محدب وقتی x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k، k ∈ Z;
• نقاط عطف دارای مختصات π 2 + π · k هستند. 0 , k ∈ Z
• هیچ مجانبی وجود ندارد

1. تابع مماس: y = t g (x)

نمودار این تابع نامیده می شود مماس

تعریف 20

ویژگی های تابع مماس:

• دامنه تعریف: x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π · k، که در آن k ∈ Z (Z مجموعه اعداد صحیح است).
• رفتار تابع مماس در مرز دامنه تعریف lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ ، lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ . بنابراین، خطوط مستقیم x = π 2 + π · k k ∈ Z مجانب عمودی هستند.
• تابع زمانی که x = π · k برای k ∈ Z ناپدید می شود (Z مجموعه اعداد صحیح است).
• محدوده مقادیر: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• این تابع فرد است، زیرا y (- x) = - y (x) ;
• تابع با افزایش - π 2 + π · k ; π 2 + π · k، k ∈ Z;
• تابع مماس برای x ∈ مقعر است [π · k; π 2 + π · k ) ، k ∈ Z و محدب برای x ∈ (- π 2 + π · k ؛ π · k ] , k ∈ Z ;
• نقاط عطف دارای مختصات π · k ; 0 , k ∈ Z ;

1. تابع کوتانژانت: y = c t g (x)

نمودار این تابع کوتانژانتوئید نامیده می شود. .

تعریف 21

ویژگی های تابع کوتانژانت:

• دامنه تعریف: x ∈ (π · k ؛ π + π · k) ، که در آن k ∈ Z (Z مجموعه اعداد صحیح است).

رفتار تابع کتانژانت در مرز دامنه تعریف lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . بنابراین، خطوط مستقیم x = π · k k ∈ Z مجانب عمودی هستند.

• کوچکترین دوره مثبت: T = π.
• تابع زمانی که x = π 2 + π · k برای k ∈ Z ناپدید می شود (Z مجموعه اعداد صحیح است).
• محدوده مقادیر: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• این تابع فرد است، زیرا y (- x) = - y (x) ;
• تابع برای x ∈ π · k در حال کاهش است. π + π k، k ∈ Z;
• تابع کوتانژانت برای x∈ مقعر است (π · k؛ π 2 + π · k ]، k ∈ Z و محدب برای x ∈ [ - π 2 + π · k ؛ π · k)، k ∈ Z .
• نقاط عطف دارای مختصات π 2 + π · k هستند. 0 , k ∈ Z ;
• مجانب مایل یا افقی وجود ندارد.

توابع مثلثاتی معکوس عبارتند از: آرکسین، آرکوزین، تانژانت و قوس. اغلب، به دلیل وجود پیشوند "قوس" در نام، توابع مثلثاتی معکوس را توابع قوس می نامند. .

1. تابع سینوس قوس: y = a rc sin (x)

تعریف 22

ویژگی های تابع آرکسین:

• این تابع فرد است، زیرا y (- x) = - y (x) ;
• تابع آرکسین دارای یک تقعر برای x ∈ 0 است. 1 و تحدب برای x ∈ - 1 ; 0 ;
• نقاط عطف دارای مختصات (0; 0) هستند که همچنین صفر تابع است.
• هیچ مجانبی وجود ندارد

1. تابع کسینوس قوس: y = a r c cos (x)

تعریف 23

ویژگی های تابع کسینوس قوس:

• دامنه تعریف: x ∈ - 1 ; 1 ;
• محدوده: y ∈ 0 ; π;
• این تابع یک شکل کلی است (نه زوج و نه فرد).
• تابع در کل دامنه تعریف کاهش می یابد.
• تابع کسینوس قوس دارای یک تقعر در x ∈ - 1 است. 0 و تحدب برای x ∈ 0. 1 ;
• نقاط عطف دارای مختصات 0 هستند. π 2;
• هیچ مجانبی وجود ندارد

1. تابع قطبی: y = a r c t g (x)

تعریف 24

ویژگی های تابع قطبی:

• دامنه تعریف: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• محدوده مقادیر: y ∈ - π 2 ; π 2;
• این تابع فرد است، زیرا y (- x) = - y (x) ;
• تابع در کل دامنه تعریف در حال افزایش است.
• تابع متقاطع دارای تقعر برای x ∈ (-∞ ; 0 ] و تحدب برای x ∈ [ 0 ; + ∞) است.
• نقطه عطف دارای مختصاتی است (0; 0) که صفر تابع نیز می باشد.
• مجانب افقی خطوط مستقیم y = - π 2 به عنوان x → - ∞ و y = π 2 به عنوان x → + ∞ هستند (در شکل، مجانب خطوط سبز هستند).

1. تابع مماس قوس: y = a r c c t g (x)

تعریف 25

ویژگی های تابع آرکوتانژانت:

• دامنه تعریف: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• محدوده: y ∈ (0; π) ;
• این تابع یک شکل کلی است.
• تابع در کل دامنه تعریف کاهش می یابد.
• تابع کتانژانت قوس دارای یک تقعر برای x ∈ [ 0 ; + ∞) و تحدب برای x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
• نقطه عطف دارای مختصات 0 است. π 2;
• مجانب افقی خطوط مستقیم y = π در x → - ∞ (خط سبز در نقاشی) و y = 0 در x → + ∞ هستند.

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید