فرمول n اعداد پیشروی حسابی. فرمول برای ترم n یک پیشرفت حسابی

ریاضیات مانند نقاشی و شعر زیبایی خاص خود را دارد.

دانشمند روسی، مکانیک N.E. ژوکوفسکی

کارهای بسیار رایج در کنکور ریاضی مسائل مربوط به مفهوم است پیشرفت حسابی. برای حل موفقیت آمیز چنین مسائلی، باید دانش خوبی از خواص پیشروی حسابی داشته باشید و مهارت های خاصی در کاربرد آنها داشته باشید.

اجازه دهید ابتدا خصوصیات اساسی یک پیشروی حسابی را یادآوری کنیم و مهم ترین فرمول ها را ارائه کنیم, مرتبط با این مفهوم

تعریف. دنباله اعداد, که در آن هر عبارت بعدی با همان عدد قبلی متفاوت است, پیشرفت حسابی نامیده می شود. در این مورد شمارهتفاوت پیشرفت نامیده می شود.

برای پیشرفت حسابی، فرمول های زیر معتبر هستند:

, (1)

جایی که . فرمول (1) فرمول عبارت کلی یک پیشروی حسابی نامیده می‌شود و فرمول (2) نشان‌دهنده ویژگی اصلی یک پیشروی حسابی است: هر جمله از پیشروی با میانگین حسابی عبارت‌های همسایه و .

توجه داشته باشید که دقیقاً به دلیل این خاصیت است که پیشرفت مورد بررسی "حساب" نامیده می شود.

فرمول های (1) و (2) فوق به صورت زیر تعمیم داده می شوند:

(3)

برای محاسبه مقداراولین شرایط یک پیشرفت حسابیفرمول معمولا استفاده می شود

(5) کجا و .

اگر فرمول (1) را در نظر بگیریم), سپس از فرمول (5) به دست می آید

اگر نشان دهیم، پس

جایی که . از آنجایی که فرمول های (7) و (8) تعمیم فرمول های مربوطه (5) و (6) هستند.

به خصوص ، از فرمول (5) به شرح زیر است، چی

برای اکثر دانش‌آموزان، ویژگی پیشروی حسابی که از طریق قضیه زیر فرمول‌بندی می‌شود کمی شناخته شده است.

قضیه.اگر پس از آن

اثباتاگر پس از آن

قضیه ثابت شده است.

مثلا ، با استفاده از قضیه، می توان نشان داد که

بیایید به بررسی نمونه های معمولی از حل مسائل در موضوع "پیشرفت حسابی" بپردازیم.

مثال 1.بگذار باشد. پیدا کردن .

راه حل.با استفاده از فرمول (6) بدست می آوریم. از آنجا که و پس از آن یا .

مثال 2.بگذارید سه برابر بزرگتر باشد و وقتی بر ضریب تقسیم شود، نتیجه 2 و باقیمانده 8 می شود. تعیین کنید و .

راه حل.از شرایط مثال، سیستم معادلات به دست می آید

از آنجایی که , و , سپس از سیستم معادلات (10) بدست می آوریم

راه حل این سیستم معادلات و .

مثال 3.پیدا کردن اگر و .

راه حل.طبق فرمول (5) داریم یا . با این حال، با استفاده از ویژگی (9)، ما به دست می آوریم.

از آنجا که و، سپس از برابری معادله به شرح زیر استیا .

مثال 4.پیدا کنید اگر .

راه حل.طبق فرمول (5) داریم

با این حال، با استفاده از قضیه، می توانیم بنویسیم

از اینجا و از فرمول (11) بدست می آوریم.

مثال 5. داده شده: . پیدا کردن .

راه حل.از آن به بعد. با این حال، بنابراین.

مثال 6.اجازه دهید، و. پیدا کردن .

راه حل.با استفاده از فرمول (9) به دست می آوریم. بنابراین، اگر، پس یا .

از آنجایی که و سپس در اینجا ما یک سیستم معادلات داریم

با حل آن، به دست می آوریم و .

ریشه طبیعی معادلهاست .

مثال 7.پیدا کردن اگر و .

راه حل.از آنجایی که طبق فرمول (3) آن را داریم، پس سیستم معادلات از شرایط مسئله تبعیت می کند

اگر عبارت را جایگزین کنیمبه معادله دوم سیستم، سپس می گیریم یا .

ریشه های یک معادله درجه دوم هستندو .

بیایید دو مورد را در نظر بگیریم.

1. اجازه دهید، سپس. از آن زمان و پس از آن .

در این صورت طبق فرمول (6) داریم

2. اگر، پس، و

پاسخ: و.

مثال 8.معلوم است که و. پیدا کردن .

راه حل.با در نظر گرفتن فرمول (5) و شرط مثال می نویسیم و .

این به معنای سیستم معادلات است

اگر معادله اول سیستم را در 2 ضرب کنیم و سپس آن را به معادله دوم اضافه کنیم، به دست می آید.

طبق فرمول (9) داریم. در این راستا از (12) نتیجه می شود.یا .

از آن زمان و پس از آن .

پاسخ: .

مثال 9.پیدا کردن اگر و .

راه حل.از آنجا که , و به شرط , سپس یا .

از فرمول (5) معلوم است، چی . از آن به بعد.

از این رو، در اینجا ما یک سیستم معادلات خطی داریم

از اینجا می گیریم و . با در نظر گرفتن فرمول (8) می نویسیم.

مثال 10.معادله را حل کنید.

راه حل.از معادله داده شده نتیجه می شود که . بیایید فرض کنیم که , و . در این مورد .

با توجه به فرمول (1) می توانیم بنویسیم یا .

از آنجایی که معادله (13) تنها ریشه مناسب را دارد.

مثال 11.حداکثر مقدار را به شرطی که و .

راه حل.از آنجایی که، پس پیشرفت حسابی مورد بررسی در حال کاهش است. در این راستا، عبارت زمانی حداکثر مقدار خود را می گیرد که تعداد حداقل جمله مثبت پیشرفت باشد.

اجازه دهید از فرمول (1) و واقعیت استفاده کنیم، آن و . سپس آن را می گیریم یا .

از آن پس یا . با این حال، در این نابرابریبزرگترین عدد طبیعی، از همین رو .

اگر مقادیر و در فرمول (6) جایگزین شوند، دریافت می کنیم.

پاسخ: .

مثال 12.مجموع همه دو رقمی را تعیین کنید اعداد طبیعیکه با تقسیم بر 6، 5 باقی می ماند.

راه حل.اجازه دهید با مجموعه تمام اعداد طبیعی دو رقمی نشان دهیم، یعنی. . در مرحله بعد، یک زیرمجموعه متشکل از آن عناصر (اعداد) مجموعه می سازیم که با تقسیم بر عدد 6، باقیمانده 5 به دست می آید.

نصب آسان، چی . به طور مشخص ، که عناصر مجموعهیک پیشرفت حسابی را تشکیل می دهند، که در آن و .

برای تعیین کاردینالیته (تعداد عناصر) مجموعه، فرض می کنیم که . از آنجایی که و از فرمول (1) یا . با در نظر گرفتن فرمول (5) به دست می آوریم.

مثال های بالا از حل مسئله به هیچ وجه نمی توانند ادعا کنند که جامع هستند. این مقاله بر اساس تحلیل نوشته شده است روش های مدرنحل مسائل معمولی در یک موضوع معین برای مطالعه عمیق تر روش های حل مسائل مربوط به پیشروی حسابی، توصیه می شود به فهرست مقالات توصیه شده مراجعه کنید.

1. مجموعه مسائل در ریاضیات برای متقاضیان کالج / ویرایش. M.I. اسکانوی. - م.: صلح و آموزش، 2013. – 608 ص.

2. Suprun V.P. ریاضیات برای دانش آموزان دبیرستانی: بخش های اضافی برنامه درسی مدرسه. - M.: Lenand / URSS، 2014. – 216 ص.

3. Medynsky M.M. دوره کامل ریاضیات ابتدایی در مسائل و تمرینات. کتاب 2: توالی اعداد و پیشرفت ها. - M.: Editus، 2015. – 208 ص.

هنوز سوالی دارید؟

برای کمک گرفتن از استاد راهنما، ثبت نام کنید.

وب سایت، هنگام کپی کردن مطالب به طور کامل یا جزئی، پیوند به منبع مورد نیاز است.

برخی از افراد کلمه "پیشرفت" را با احتیاط به عنوان یک اصطلاح بسیار پیچیده از شاخه های ریاضیات عالی می دانند. در همین حال، ساده ترین پیشروی حسابی کار تاکسی متر است (جایی که هنوز وجود دارند). و درک ماهیت (و در ریاضیات هیچ چیز مهمتر از "درک ماهیت" نیست) یک دنباله حسابی با تجزیه و تحلیل چند مفهوم ابتدایی چندان دشوار نیست.

دنباله اعداد ریاضی

یک دنباله عددی معمولاً به مجموعه ای از اعداد گفته می شود که هر کدام عدد مخصوص به خود را دارند.

a 1 اولین عضو دنباله است.

و 2 جمله دوم دنباله است.

و 7 هفتمین عضو دنباله است.

و n n امین عضو دنباله است.

با این حال، هیچ مجموعه ای از اعداد و ارقام دلخواه ما را مورد توجه قرار نمی دهد. ما توجه خود را بر روی یک دنباله عددی متمرکز خواهیم کرد که در آن مقدار جمله n با عدد ترتیبی آن با رابطه ای که می تواند به وضوح به صورت ریاضی فرموله شود، مرتبط است. به عبارت دیگر: مقدار عددی عدد n تابعی از n است.

a مقدار عضوی از یک دنباله عددی است.

ن - او شماره سریال;

f(n) تابعی است که در آن عدد ترتیبی در دنباله عددی n آرگومان است.

تعریف

یک پیشروی حسابی معمولاً دنباله ای عددی نامیده می شود که در آن هر جمله بعدی با همان عدد بزرگتر (کمتر) از جمله قبلی است. فرمول n ام یک دنباله حسابی به شرح زیر است:

a n - مقدار عضو فعلی پیشرفت حسابی.

یک n+1 - فرمول عدد بعدی؛

د - اختلاف (عدد معین).

به راحتی می توان تعیین کرد که اگر اختلاف مثبت باشد (d>0)، آنگاه هر عضو بعدی از سری مورد بررسی بیشتر از قبلی خواهد بود و چنین پیشروی حسابی افزایش می یابد.

در نمودار زیر به راحتی می توان فهمید که چرا دنباله اعداد "افزایش" نامیده می شود.

در مواردی که تفاوت منفی است (د<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

مقدار عضو مشخص شده

گاهی اوقات لازم است مقدار هر عبارت دلخواه a n یک پیشرفت حسابی تعیین شود. این را می توان با محاسبه متوالی مقادیر تمام اعضای پیشرفت حسابی، از اول تا مورد نظر، انجام داد. با این حال، این مسیر همیشه قابل قبول نیست، به عنوان مثال، نیاز به یافتن ارزش عبارت پنج هزارم یا هشت میلیونی است. محاسبات سنتی زمان زیادی می برد. با این حال، یک پیشرفت حسابی خاص را می توان با استفاده از فرمول های خاصی مطالعه کرد. همچنین یک فرمول برای جمله n وجود دارد: مقدار هر جمله از یک پیشروی حسابی را می توان به عنوان مجموع جمله اول پیشروی با اختلاف پیشروی، ضرب در تعداد جمله مورد نظر، کاهش داد، تعیین کرد. یکی

فرمول جهانی برای افزایش و کاهش پیشرفت است.

مثالی از محاسبه مقدار یک عبارت معین

اجازه دهید مشکل زیر را برای یافتن مقدار n ام یک پیشروی حسابی حل کنیم.

شرط: یک پیشرفت حسابی با پارامترها وجود دارد:

جمله اول دنباله 3 است.

تفاوت در سری اعداد 1.2 است.

وظیفه: باید مقدار 214 عبارت را پیدا کنید

راه حل: برای تعیین مقدار یک عبارت داده شده، از فرمول استفاده می کنیم:

a(n) = a1 + d(n-1)

با جایگزینی داده های دستور مشکل به عبارت، داریم:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6

پاسخ: جمله 214 دنباله برابر با 258.6 است.

مزایای این روش محاسبه واضح است - کل راه حل بیش از 2 خط طول نمی کشد.

مجموع تعداد معینی از اصطلاحات

خیلی اوقات، در یک سری حسابی معین، لازم است مجموع مقادیر برخی از بخش های آن تعیین شود. برای انجام این کار، نیازی به محاسبه مقادیر هر عبارت و سپس جمع کردن آنها نیست. این روش در صورتی قابل استفاده است که تعداد عبارت هایی که جمع آنها باید یافت شود کم باشد. در موارد دیگر، استفاده از فرمول زیر راحت تر است.

مجموع عبارات یک پیشروی حسابی از 1 به n برابر است با مجموع جمله اول و nام که در تعداد عبارت n ضرب و بر دو تقسیم می شود. اگر در فرمول مقدار عبارت n با عبارت پاراگراف قبلی مقاله جایگزین شود، دریافت می کنیم:

مثال محاسبه

به عنوان مثال، اجازه دهید یک مشکل را با شرایط زیر حل کنیم:

جمله اول دنباله صفر است.

تفاوت 0.5 است.

مشکل مستلزم تعیین مجموع اصطلاحات سری از 56 تا 101 است.

راه حل. بیایید از فرمول برای تعیین میزان پیشرفت استفاده کنیم:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

ابتدا مجموع مقادیر 101 عبارت پیشرفت را با جایگزین کردن شرایط داده شده مسئله خود در فرمول تعیین می کنیم:

s 101 = (2∙0 + 0.5∙(101-1))∙101/2 = 2525

بدیهی است که برای فهمیدن مجموع شرایط پیشرفت از 56 به 101 باید S 55 را از S 101 کم کرد.

s 55 = (2∙0 + 0.5∙(55-1))∙55/2 = 742.5

بنابراین، مجموع پیشروی حسابی برای این مثال به صورت زیر است:

s 101 - s 55 = 2,525 - 742.5 = 1,782.5

مثالی از کاربرد عملی پیشروی حسابی

در پایان مقاله، اجازه دهید به مثال یک دنباله حسابی ارائه شده در پاراگراف اول - تاکسی متر (ماشین تاکسی) برگردیم. بیایید این مثال را در نظر بگیریم.

سوار شدن به تاکسی (که شامل 3 کیلومتر سفر می شود) 50 روبل هزینه دارد. هر کیلومتر بعدی با نرخ 22 روبل در کیلومتر پرداخت می شود. مسافت سفر 30 کیلومتر است. هزینه سفر را محاسبه کنید.

1. بیایید 3 کیلومتر اول را که قیمت آن در هزینه فرود گنجانده شده است دور بریزیم.

30 - 3 = 27 کیلومتر.

2. محاسبه بیشتر چیزی نیست جز تجزیه یک سری اعداد حسابی.

تعداد اعضا - تعداد کیلومترهای طی شده (منهای سه نفر اول).

ارزش عضو جمع است.

اولین عبارت در این مشکل برابر با 1 = 50 روبل خواهد بود.

اختلاف پیشرفت d = 22 r.

عدد مورد نظر ما مقدار ترم (27+1) پیشرفت حسابی است - قرائت متر در پایان کیلومتر 27 27.999 ... = 28 کیلومتر است.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

محاسبات داده های تقویم برای یک دوره دلخواه طولانی بر اساس فرمول هایی است که توالی های عددی خاصی را توصیف می کند. در نجوم، طول مدار از نظر هندسی به فاصله جرم آسمانی تا ستاره بستگی دارد. علاوه بر این، سری های اعداد مختلف با موفقیت در آمار و سایر حوزه های کاربردی ریاضیات استفاده می شود.

نوع دیگری از دنباله اعداد هندسی است

پیشرفت هندسی با نرخ تغییر بیشتر در مقایسه با پیشرفت حسابی مشخص می شود. تصادفی نیست که در سیاست، جامعه شناسی و پزشکی، برای نشان دادن سرعت بالای انتشار یک پدیده خاص، مثلاً یک بیماری در هنگام اپیدمی، می گویند که این روند در پیشرفت هندسی پیشرفت می کند.

جمله N از سری اعداد هندسی با مورد قبلی متفاوت است زیرا در یک عدد ثابت ضرب می شود - مخرج، به عنوان مثال، جمله اول 1 است، مخرج معادل 2 است، سپس:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32،

b n - مقدار ترم فعلی پیشرفت هندسی.

b n+1 - فرمول عبارت بعدی پیشرفت هندسی.

q مخرج پیشرفت هندسی (عددی ثابت) است.

اگر نمودار یک پیشروی حسابی یک خط مستقیم باشد، یک پیشروی هندسی تصویر کمی متفاوت را ترسیم می کند:

همانطور که در مورد حساب، پیشروی هندسی فرمولی برای مقدار یک عبارت دلخواه دارد. هر نهمین جمله از یک تصاعد هندسی برابر است با حاصل ضرب اولین جمله و مخرج پیشرفت به توان n یک کاهش می یابد:

مثال. ما یک تصاعد هندسی داریم که جمله اول برابر با 3 و مخرج پیشروی برابر با 1.5 است. بیایید ترم پنجم پیشرفت را پیدا کنیم

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1.5 4 = 15.1875

مجموع تعداد معینی از عبارت ها نیز با استفاده از فرمول خاصی محاسبه می شود. مجموع n جمله اول یک تصاعد هندسی برابر است با تفاوت بین حاصل ضرب nامین ترمز پیشرفت و مخرج آن و جمله اول پیشروی، تقسیم بر مخرج کاهش بر یک:

اگر b n با استفاده از فرمول مورد بحث در بالا جایگزین شود، مقدار مجموع n جمله اول سری اعداد مورد بررسی به شکل زیر خواهد بود:

مثال. پیشروی هندسی با جمله اول برابر با 1 شروع می شود. مخرج آن 3 است. بیایید مجموع هشت جمله اول را پیدا کنیم.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

نوع درس:یادگیری مطالب جدید

اهداف درس:

• گسترش و تعمیق درک دانش آموزان از مسائل حل شده با استفاده از پیشرفت حسابی. سازماندهی فعالیت‌های جستجوی دانش‌آموزان هنگام استخراج فرمول مجموع n جمله اول یک پیشرفت حسابی.
• توسعه توانایی به دست آوردن مستقل دانش جدید و استفاده از دانش از قبل به دست آمده برای دستیابی به یک وظیفه معین.
• ایجاد تمایل و نیاز به تعمیم حقایق به دست آمده، توسعه استقلال.

وظایف:

• خلاصه و نظام مند دانش موجود در مورد موضوع "پیشرفت حسابی"؛
• فرمول هایی برای محاسبه مجموع n جمله اول یک پیشرفت حسابی استخراج کنید.
• آموزش نحوه استفاده از فرمول های به دست آمده هنگام حل مسائل مختلف.
• توجه دانش آموزان را به روش یافتن مقدار یک عبارت عددی جلب کنید.

تجهیزات:

• کارت هایی با وظایف برای کار در گروه ها و جفت ها؛
• مقاله ارزیابی؛
• ارائه"پیشرفت حسابی."

I. به روز رسانی دانش پایه.

1. کار مستقل به صورت دو نفره.

گزینه 1:

پیشرفت حسابی را تعریف کنید. یک فرمول تکراری را بنویسید که یک پیشرفت حسابی را تعریف می کند. لطفاً یک مثال از پیشروی حسابی ارائه دهید و تفاوت آن را مشخص کنید.

گزینه دوم:

فرمول n ام یک پیشروی حسابی را بنویسید. صدمین جمله پیشرفت حسابی را بیابید ( a n}: 2, 5, 8 …
در این زمان، دو دانش آموز پشت تخته در حال آماده سازی پاسخ به سوالات مشابه هستند.
دانش آموزان کار شریک خود را با بررسی آنها روی تخته ارزیابی می کنند. (برگ هایی با پاسخ ها تحویل داده می شود.)

2. لحظه بازی.

تمرین 1.

معلم.من به مقداری پیشرفت حسابی فکر کردم. فقط دو سوال از من بپرس تا بعد از جواب ها سریع ترم هفتم این پیشرفت را نام ببری. (1، 3، 5، 7، 9، 11، 13، 15…)

سوالات دانش آموزان.

1. ترم ششم پیشرفت چیست و چه تفاوتی دارد؟
2. ترم هشتم پیشرفت چیست و چه تفاوتی دارد؟

اگر سؤال دیگری وجود نداشته باشد، معلم می تواند آنها را تحریک کند - "ممنوعیت" در مورد d (تفاوت)، یعنی نمی توان پرسید که تفاوت با چه چیزی برابر است. شما می توانید سوال بپرسید: ترم 6 پیشرفت برابر است و ترم 8 ترم برابر با چیست؟

وظیفه 2.

20 عدد روی تابلو نوشته شده است: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

معلم با پشت به تخته می ایستد. دانش آموزان شماره را صدا می کنند و معلم بلافاصله خود شماره را صدا می کند. توضیح دهید چگونه می توانم این کار را انجام دهم؟

معلم فرمول ترم n را به خاطر می آورد a n = 3n – 2و با جایگزینی مقادیر مشخص شده n، مقادیر مربوطه را پیدا می کند a n.

II. تنظیم یک کار یادگیری

من پیشنهاد می کنم یک مشکل باستانی را حل کنم که قدمت آن به هزاره دوم قبل از میلاد برمی گردد و در پاپیروس های مصری یافت شده است.

وظیفه:به شما گفته شود: 10 پیمانه جو را بین 10 نفر تقسیم کنید، تفاوت هر نفر با همسایه اش 8/1 پیمانه است.

• این مشکل چگونه با مبحث پیشروی حسابی مرتبط است؟ (هر نفر بعدی 1/8 اندازه بیشتر دریافت می کند، یعنی تفاوت d=1/8، 10 نفر است، یعنی n=10.)
• به نظر شما معیار شماره 10 به چه معناست؟ (مجموع تمام شرایط پیشرفت.)
• چه چیز دیگری باید بدانید تا تقسیم جو با توجه به شرایط مشکل آسان و ساده باشد؟ (اولین ترم پیشرفت.)

هدف درس- به دست آوردن وابستگی مجموع شرایط پیشرفت به تعداد آنها، جمله اول و تفاوت و بررسی اینکه آیا مشکل در زمان های قدیم به درستی حل شده است یا خیر.

قبل از استنباط فرمول، بیایید ببینیم مصریان باستان چگونه مشکل را حل کردند.

و آن را به صورت زیر حل کردند:

1) 10 معیار: 10 = 1 اندازه - سهم متوسط;
2) 1 پیمانه ∙ = 2 پیمانه - دو برابر شده است میانگیناشتراک گذاری.
دو برابر شد میانگینسهم مجموع سهام شخص پنجم و ششم است.
3) 2 پیمانه – 1/8 پیمانه = 1 7/8 پیمانه – دو برابر سهم نفر پنجم.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - کسری از یک پنجم. و غیره، می توانید سهم هر فرد قبلی و بعدی را پیدا کنید.

دنباله را می گیریم:

III. حل مشکل.

1. به صورت گروهی کار کنید

گروه اول:مجموع 20 عدد طبیعی متوالی را پیدا کنید: S 20 =(20+1)∙10 =210.

به طور کلی

گروه دوم:مجموع اعداد طبیعی از 1 تا 100 را بیابید (افسانه گاوس کوچک).

S 100 = (1+100)∙50 = 5050

نتیجه:

گروه سوم:مجموع اعداد طبیعی 1 تا 21 را بیابید.

راه حل: 1+21=2+20=3+19=4+18…

نتیجه:

گروه چهارم:مجموع اعداد طبیعی از 1 تا 101 را بیابید.

نتیجه:

این روش برای حل مسائل در نظر گرفته شده "روش گاوس" نامیده می شود.

2. هر گروه راه حل مسئله را روی تخته ارائه می کند.

3. تعمیم راه حل های پیشنهادی برای یک پیشروی حسابی دلخواه:

a 1، a 2، a 3،…، a n-2، a n-1، a n.
S n =a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +…+ a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

بیایید این مجموع را با استفاده از استدلال مشابه پیدا کنیم:

4. آیا مشکل را حل کرده ایم؟(آره.)

IV. درک اولیه و کاربرد فرمول های به دست آمده هنگام حل مسائل.

1. بررسی راه حل یک مسئله باستانی با استفاده از فرمول.

2. کاربرد فرمول در حل مسائل مختلف.

3. تمرین هایی برای توسعه توانایی اعمال فرمول ها در هنگام حل مسائل.

الف) شماره 613

داده شده: ( a n) -پیشرفت حسابی؛

(a n): 1، 2، 3، …، 1500

پیدا کردن: S 1500

راه حل: , a 1 = 1 و 1500 = 1500،

ب) با توجه به: ( a n) -پیشرفت حسابی؛
(a n): 1، 2، 3، …
S n = 210

پیدا کردن: n
راه حل:

V. کار مستقل با تأیید متقابل.

دنیس به عنوان پیک شروع به کار کرد. در ماه اول حقوق او 200 روبل بود، در هر ماه بعد 30 روبل افزایش یافت. در کل در یک سال چقدر درآمد داشت؟

داده شده: ( a n) -پیشرفت حسابی؛
a 1 = 200، d = 30، n = 12
پیدا کردن: S 12
راه حل:

پاسخ: دنیس برای سال 4380 روبل دریافت کرد.

VI. آموزش تکلیف.

1. بخش 4.3 - اشتقاق فرمول را یاد بگیرید.
2. №№ 585, 623 .
3. با استفاده از فرمول مجموع n جمله اول یک پیشروی حسابی، مسئله ای ایجاد کنید که بتوان آن را حل کرد.

VII. جمع بندی درس.

1. برگه امتیاز

2. جملات را ادامه دهید

• امروز سر کلاس یاد گرفتم...
• فرمول های آموخته شده ...
• من معتقدم که…

3. آیا می توانید مجموع اعداد 1 تا 500 را پیدا کنید؟ از چه روشی برای حل این مشکل استفاده خواهید کرد؟

کتابشناسی - فهرست کتب.

1. جبر، پایه نهم. کتاب درسی موسسات آموزش عمومی. اد. G.V. دوروفیوا.م.: "روشنگری"، 2009.

هنگام مطالعه جبر در دبیرستان (پایه نهم)، یکی از موضوعات مهم مطالعه دنباله های عددی است که شامل پیشرفت ها - هندسی و حسابی است. در این مقاله به یک پیشروی حسابی و مثال هایی همراه با راه حل خواهیم پرداخت.

پیشروی حسابی چیست؟

برای درک این موضوع، لازم است پیشروی مورد نظر را تعریف کنیم و همچنین فرمول های اساسی را ارائه کنیم که بعداً در حل مسائل مورد استفاده قرار خواهند گرفت.

پیشروی حسابی یا جبری مجموعه ای از اعداد گویا مرتب شده است که هر جمله آن با مقداری ثابت با عبارت قبلی متفاوت است. این مقدار تفاوت نامیده می شود. یعنی با دانستن هر عضوی از یک سری اعداد مرتب شده و تفاوت، می توانید کل پیشروی حسابی را بازیابی کنید.

بیایید یک مثال بزنیم. دنباله اعداد زیر یک پیشرفت حسابی خواهد بود: 4، 8، 12، 16، ...، زیرا تفاوت در این مورد 4 است (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). اما مجموعه اعداد 3، 5، 8، 12، 17 را دیگر نمی توان به نوع پیشرفت مورد بررسی نسبت داد، زیرا تفاوت برای آن یک مقدار ثابت نیست (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

فرمول های مهم

اجازه دهید فرمول های اساسی را که برای حل مسائل با استفاده از پیشروی حسابی مورد نیاز است، ارائه کنیم. اجازه دهید با نماد a n n امین عضو دنباله را نشان دهیم، جایی که n یک عدد صحیح است. تفاوت را با حرف لاتین d نشان می دهیم. سپس عبارات زیر معتبر هستند:

1. برای تعیین مقدار n ام فرمول زیر مناسب است: a n = (n-1)*d+a 1 .
2. برای تعیین مجموع n جمله اول: S n = (a n +a 1)*n/2.

برای درک هر نمونه ای از پیشروی حسابی با راه حل در کلاس نهم، کافی است این دو فرمول را به خاطر بسپارید، زیرا هر گونه مشکلی از نوع مورد بررسی بر اساس استفاده از آنها است. همچنین باید به یاد داشته باشید که تفاوت پیشرفت با فرمول تعیین می شود: d = a n - a n-1.

مثال شماره 1: یافتن یک اصطلاح ناشناخته

بیایید یک مثال ساده از یک پیشروی حسابی و فرمول هایی که برای حل آن باید استفاده شود، بیاوریم.

بگذارید دنباله 10، 8، 6، 4، ... داده شود، باید پنج عبارت را در آن پیدا کنید.

از شرایط مسئله از قبل چنین است که 4 عبارت اول شناخته شده است. پنجم را می توان به دو صورت تعریف کرد:

1. بیایید ابتدا تفاوت را محاسبه کنیم. ما داریم: d = 8 - 10 = -2. به طور مشابه، می توانید هر دو عضو دیگر را که در کنار یکدیگر ایستاده اند، ببرید. به عنوان مثال، d = 4 - 6 = -2. از آنجا که مشخص است که d = a n - a n-1، پس d = a 5 - a 4، که از آن به دست می آوریم: a 5 = a 4 + d. مقادیر شناخته شده را جایگزین می کنیم: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. روش دوم همچنین نیاز به آگاهی از تفاوت پیشرفت مورد نظر دارد، بنابراین ابتدا باید آن را همانطور که در بالا نشان داده شده است تعیین کنید (d = -2). با دانستن اینکه جمله اول a 1 = 10 است، از فرمول n عدد دنباله استفاده می کنیم. داریم: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2*n. با جایگزینی n = 5 به آخرین عبارت، به دست می آوریم: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

همانطور که می بینید، هر دو راه حل به یک نتیجه منجر شد. توجه داشته باشید که در این مثال تفاوت پیشرفت d یک مقدار منفی است. به این دنباله ها نزولی می گویند، زیرا هر جمله بعدی از جمله قبلی کمتر است.

مثال شماره 2: تفاوت پیشرفت

حالا بیایید کار را کمی پیچیده کنیم، بیایید مثالی از چگونگی ارائه دهیم

مشخص است که در برخی جمله اول برابر با 6 و جمله هفتم برابر با 18 است.

بیایید از فرمول برای تعیین عبارت مجهول استفاده کنیم: a n = (n - 1) * d + a 1 . بیایید داده های شناخته شده از شرط را در آن جایگزین کنیم، یعنی اعداد a 1 و a 7، داریم: 18 = 6 + 6 * d. از این عبارت می توانید به راحتی تفاوت را محاسبه کنید: d = (18 - 6) /6 = 2. بنابراین، بخش اول مسئله را پاسخ دادیم.

برای بازگرداندن دنباله به جمله هفتم، باید از تعریف پیشروی جبری استفاده کنید، یعنی a 2 = a 1 + d، a 3 = a 2 + d و غیره. در نتیجه، کل دنباله را بازیابی می کنیم: a 1 = 6، a 2 = 6 + 2=8، a 3 = 8 + 2 = 10، a 4 = 10 + 2 = 12، a 5 = 12 + 2 = 14 ، a 6 = 14 + 2 = 16، a 7 = 18.

مثال شماره 3: ترسیم یک پیشرفت

بیایید مشکل را حتی بیشتر پیچیده کنیم. حال باید به این سوال پاسخ دهیم که چگونه یک پیشروی حسابی را پیدا کنیم. می توان مثال زیر را ارائه داد: دو عدد داده شده است، به عنوان مثال - 4 و 5. لازم است یک پیشروی جبری ایجاد شود تا سه عبارت دیگر بین آنها قرار گیرد.

قبل از شروع حل این مشکل، باید بدانید که اعداد داده شده چه جایگاهی را در پیشرفت آینده اشغال خواهند کرد. از آنجایی که سه عبارت دیگر بین آنها وجود خواهد داشت، پس 1 = -4 و 5 = 5. پس از ایجاد این، به مسئله می رویم، که مشابه مورد قبلی است. باز هم، برای ترم n که از فرمول استفاده می کنیم، به دست می آوریم: a 5 = a 1 + 4 * d. از: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2.25. چیزی که در اینجا به دست آوردیم یک مقدار صحیح تفاوت نیست، بلکه یک عدد گویا است، بنابراین فرمول های پیشروی جبری یکسان باقی می مانند.

حالا بیایید تفاوت پیدا شده را به 1 اضافه کنیم و عبارت های از دست رفته پیشرفت را بازیابی کنیم. دریافت می کنیم: a 1 = - 4، a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75، a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5، a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75، a 5 = 2.75 + 2.25 = 5، که منطبق با با شرایط مشکل

مثال شماره 4: ترم اول پیشرفت

بیایید به بیان مثال هایی از پیشروی حسابی با حل ادامه دهیم. در تمام مسائل قبلی، عدد اول پیشروی جبری مشخص بود. حالا بیایید یک مسئله از نوع دیگری را در نظر بگیریم: اجازه دهید دو عدد داده شود، که در آن 15 = 50 و 43 = 37. لازم است پیدا کنیم که این دنباله با کدام عدد شروع می شود.

فرمول های استفاده شده تا کنون دانش 1 و d را فرض می کنند. در بیانیه مشکل، چیزی در مورد این اعداد مشخص نیست. با این وجود، ما عباراتی را برای هر عبارت در مورد اطلاعات موجود می نویسیم: a 15 = a 1 + 14 * d و a 43 = a 1 + 42 * d. ما دو معادله دریافت کردیم که در آنها 2 کمیت مجهول وجود دارد (a 1 و d). این بدان معنی است که مسئله به حل یک سیستم معادلات خطی کاهش می یابد.

ساده ترین راه برای حل این سیستم، بیان یک 1 در هر معادله و سپس مقایسه عبارات به دست آمده است. معادله اول: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; معادله دوم: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. با معادل سازی این عبارات، به دست می آوریم: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d، از آنجا تفاوت d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0.464 (فقط 3 رقم اعشار داده شده است).

با دانستن d، می توانید از هر یک از 2 عبارت بالا برای 1 استفاده کنید. به عنوان مثال، ابتدا: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0.464) = 56.496.

اگر در مورد نتیجه به دست آمده شک دارید، می توانید آن را بررسی کنید، به عنوان مثال، ترم 43 پیشرفت را که در شرط مشخص شده است، تعیین کنید. دریافت می کنیم: a 43 = a 1 + 42 * d = 56.496 + 42 * (- 0.464) = 37.008. خطای کوچک به این دلیل است که از گرد کردن به هزارم در محاسبات استفاده شده است.

مثال شماره 5: مبلغ

حال بیایید به چندین مثال با راه حل هایی برای مجموع یک پیشرفت حسابی نگاه کنیم.

یک پیشروی عددی به شکل زیر داده شود: 1، 2، 3، 4، ...،. چگونه می توان مجموع 100 عدد از این اعداد را محاسبه کرد؟

به لطف توسعه فناوری رایانه، می توان این مشکل را حل کرد، یعنی تمام اعداد را به ترتیب اضافه کرد که به محض فشار دادن کلید Enter رایانه این کار را انجام می دهد. با این حال، اگر توجه داشته باشید که سری اعداد ارائه شده یک پیشرفت جبری است و اختلاف آن برابر با 1 است، مشکل را می توان به صورت ذهنی حل کرد. a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

جالب است بدانید که این مشکل "گاوسی" نامیده می شود زیرا در آغاز قرن هجدهم آلمانی مشهور که هنوز تنها 10 سال داشت توانست در چند ثانیه آن را در ذهن خود حل کند. پسر فرمول جمع یک پیشروی جبری را نمی دانست، اما متوجه شد که اگر اعداد انتهای دنباله را به صورت جفت جمع کنید، همیشه همان نتیجه را می گیرید، یعنی 1 + 100 = 2 + 99. = 3 + 98 = ...، و از آنجایی که این مجموع دقیقاً 50 خواهد بود (100 / 2)، پس برای به دست آوردن پاسخ صحیح کافی است 50 را در 101 ضرب کنید.

مثال شماره 6: مجموع عبارت از n تا m

مثال معمولی دیگر از مجموع یک پیشروی حسابی به شرح زیر است: با توجه به یک سری اعداد: 3، 7، 11، 15، ...، باید دریابید که مجموع عبارت های آن از 8 تا 14 برابر است با چه چیزی. .

مشکل از دو طریق حل می شود. اولین مورد شامل یافتن عبارات مجهول از 8 تا 14 و سپس جمع کردن آنها به ترتیب است. از آنجایی که اصطلاحات کمی وجود دارد، این روش کاملاً کار فشرده نیست. با این وجود، برای حل این مشکل با استفاده از روش دوم، که جهانی تر است، پیشنهاد می شود.

ایده این است که فرمولی برای مجموع پیشرفت جبری بین ترم‌های m و n بدست آوریم که در آن n > m اعداد صحیح هستند. برای هر دو مورد، دو عبارت برای جمع می نویسیم:

1. S m = m * (a m + a 1) / 2.
2. S n = n * (a n + a 1) / 2.

از آنجایی که n > m، بدیهی است که مجموع 2 شامل اولین است. نتیجه آخر یعنی اگر تفاضل این مجموع را بگیریم و عبارت a m را به آن اضافه کنیم (در صورت گرفتن اختلاف از مجموع S n کسر شود) پاسخ لازم را برای مسئله به دست خواهیم آورد. داریم: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). لازم است که فرمول های n و m را در این عبارت جایگزین کنید. سپس دریافت می کنیم: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

فرمول حاصل تا حدودی دست و پا گیر است، با این حال، مجموع S mn فقط به n، m، a 1 و d بستگی دارد. در مورد ما، a 1 = 3، d = 4، n = 14، m = 8. با جایگزینی این اعداد، به دست می آوریم: S mn = 301.

همانطور که از راه‌حل‌های بالا مشاهده می‌شود، همه مسائل مبتنی بر آگاهی از عبارت ترم n و فرمول مجموع مجموع جمله‌های اول هستند. قبل از شروع حل هر یک از این مشکلات، توصیه می شود که شرایط را به دقت بخوانید، به وضوح آنچه را که باید پیدا کنید، درک کنید و تنها پس از آن راه حل را ادامه دهید.

نکته دیگر این است که برای سادگی تلاش کنید، یعنی اگر بتوانید بدون استفاده از محاسبات پیچیده ریاضی به سؤالی پاسخ دهید، باید دقیقاً این کار را انجام دهید، زیرا در این مورد احتمال اشتباه کمتر است. به عنوان مثال، در مثال یک پیشروی حسابی با حل شماره 6، می توان در فرمول S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m متوقف شد و مسئله کلی را به وظایف فرعی جداگانه تقسیم کنید (در این مورد ابتدا عبارت a n و a m را پیدا کنید).

اگر در مورد نتیجه به دست آمده شک دارید، توصیه می شود همانطور که در برخی از مثال های ارائه شده انجام شد، آن را بررسی کنید. ما متوجه شدیم که چگونه یک پیشرفت حسابی را پیدا کنیم. اگر آن را بفهمید، آنقدرها هم سخت نیست.

به عنوان مثال، دنباله \(2\); \(5\); \(8\); \(یازده\)؛ \(14\)... یک تصاعد حسابی است، زیرا هر عنصر بعدی با عنصر قبلی سه تفاوت دارد (با جمع سه عنصر می توان از عنصر قبلی به دست آورد):

در این پیشرفت، تفاوت \(d\) مثبت است (برابر با \(3\)) و بنابراین هر جمله بعدی از جمله قبلی بیشتر است. چنین پیشرفت هایی نامیده می شود افزایش می یابد.

با این حال، \(d\) همچنین می تواند یک عدد منفی باشد. مثلا، در پیشروی حسابی \(16\); \(10\)؛ \(4\); \(-2\); \(-8\)... اختلاف پیشرفت \(d\) برابر با منهای شش است.

و در این صورت هر عنصر بعدی کوچکتر از عنصر قبلی خواهد بود. این پیشرفت ها نامیده می شوند در حال کاهش.

نماد پیشرفت حسابی

پیشرفت با یک حرف کوچک لاتین نشان داده می شود.

اعدادی که یک پیشروی را تشکیل می دهند نامیده می شوند اعضا(یا عناصر).

آنها با همان حرف به عنوان یک پیشرفت حسابی نشان داده می شوند، اما با یک شاخص عددی برابر با تعداد عنصر به ترتیب.

برای مثال، پیشروی حسابی \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) از عناصر \(a_1=2\) تشکیل شده است. \(a_2=5\); \(a_3=8\) و غیره.

به عبارت دیگر، برای پیشرفت \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

حل مسائل پیشروی حسابی

در اصل، اطلاعات ارائه شده در بالا برای حل تقریباً هر مشکل پیشروی حسابی (از جمله موارد ارائه شده در OGE) کافی است.

مثال (OGE). پیشروی حسابی با شرایط \(b_1=7; d=4\) مشخص می شود. \(b_5\) را پیدا کنید.
راه حل:

پاسخ: \(b_5=23\)

مثال (OGE). سه جمله اول یک تصاعد حسابی آورده شده است: \(62; 49; 36…\) مقدار اولین جمله منفی این پیشرفت را بیابید.
راه حل:

	اولین عناصر دنباله به ما داده شده است و می دانیم که این یک پیشرفت حسابی است. یعنی هر عنصر با همسایه خود به همان تعداد متفاوت است. بیایید با کم کردن عنصر قبلی از عنصر بعدی دریابیم که کدام یک: \(d=49-62=-13\).
	اکنون می توانیم پیشرفت خود را به عنصر (نفی اول) مورد نیاز خود بازگردانیم.
	آماده. میتونی جواب بنویسی

پاسخ: \(-3\)

مثال (OGE). با توجه به چندین عنصر متوالی یک پیشروی حسابی: \(…5; x; 10; 12.5...\) مقدار عنصر مشخص شده با حرف \(x\) را بیابید.
راه حل:

	برای پیدا کردن \(x\)، باید بدانیم که عنصر بعدی چقدر با عنصر قبلی تفاوت دارد، به عبارت دیگر، تفاوت پیشرفت. بیایید آن را از دو عنصر مجاور شناخته شده پیدا کنیم: \(d=12.5-10=2.5\).
	و اکنون می‌توانیم به راحتی آنچه را که به دنبال آن هستیم پیدا کنیم: \(x=5+2.5=7.5\).
	آماده. میتونی جواب بنویسی

پاسخ: \(7,5\).

مثال (OGE). پیشروی حسابی با شرایط زیر تعریف می شود: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) مجموع شش جمله اول این پیشرفت را بیابید.
راه حل:

	ما باید مجموع شش ترم اول پیشرفت را پیدا کنیم. اما معانی آنها را نمی دانیم؛ تنها عنصر اول به ما داده شده است. بنابراین، ابتدا مقادیر را یک به یک با استفاده از آنچه به ما داده شده محاسبه می کنیم: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) و با محاسبه شش عنصر مورد نیاز، مجموع آنها را پیدا می کنیم.
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	مقدار مورد نیاز پیدا شده است.

پاسخ: \(S_6=9\).

مثال (OGE). در پیشروی حسابی \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). تفاوت این پیشرفت را پیدا کنید.
راه حل:

پاسخ: \(d=7\).

فرمول های مهم برای پیشرفت حسابی

همانطور که می بینید، بسیاری از مسائل مربوط به پیشرفت حسابی را می توان به سادگی با درک نکته اصلی حل کرد - اینکه یک پیشروی حسابی زنجیره ای از اعداد است و هر عنصر بعدی در این زنجیره با اضافه کردن همان عدد به عدد قبلی به دست می آید. تفاوت پیشرفت).

با این حال، گاهی اوقات موقعیت‌هایی پیش می‌آید که تصمیم‌گیری «سر به سر» بسیار ناخوشایند است. به عنوان مثال، تصور کنید که در اولین مثال ما نیاز داریم نه عنصر پنجم \(b_5\)، بلکه سیصد و هشتاد و ششمین \(b_(386)\ را پیدا کنیم. آیا باید چهار \(385\) بار اضافه کنیم؟ یا تصور کنید که در مثال ماقبل آخر باید مجموع هفتاد و سه عنصر اول را پیدا کنید. از شمردن خسته میشی...

بنابراین، در چنین مواردی، آنها مسائل را "سر به سر" حل نمی کنند، بلکه از فرمول های ویژه ای استفاده می کنند که برای پیشرفت حسابی به دست آمده است. و اصلی ترین آنها فرمول nامین ترم پیشرفت و فرمول مجموع \(n\) اولین جمله ها هستند.

فرمول \(n\)امین عبارت: \(a_n=a_1+(n-1)d\)، که در آن \(a_1\) اولین جمله پیشرفت است.
\(n\) - تعداد عنصر مورد نیاز.
\(a_n\) - مدت پیشرفت با عدد \(n\).

این فرمول به ما اجازه می دهد تا به سرعت حتی عنصر سه صدم یا میلیونم را پیدا کنیم، تنها با دانستن اولین و تفاوت پیشرفت.

مثال. پیشروی حسابی با شرایط مشخص می شود: \(b_1=-159\); \(d=8.2\). \(b_(246)\) را پیدا کنید.
راه حل:

پاسخ: \(b_(246)=1850\).

فرمول مجموع n عبارت اول: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\)، که در آن

\(a_n\) - آخرین ترم جمع شده؛

مثال (OGE). پیشروی حسابی با شرایط \(a_n=3.4n-0.6\) مشخص می شود. مجموع اولین \(25\) عبارت های این پیشرفت را بیابید.
راه حل:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25\)		برای محاسبه مجموع بیست و پنج جمله اول باید ارزش جمله اول و بیست و پنجم را بدانیم. پیشرفت ما با فرمول ترم n بسته به تعداد آن داده می شود (برای جزئیات بیشتر، نگاه کنید به). بیایید اولین عنصر را با جایگزین کردن یکی به جای \(n\) محاسبه کنیم.
\(n=1;\) \(a_1=3.4·1-0.6=2.8\)		حالا بیایید عبارت بیست و پنجم را با جایگزین کردن بیست و پنج به جای \(n\) پیدا کنیم.
\(n=25;\) \(a_(25)=3.4·25-0.6=84.4\)		خوب حالا به راحتی می توانیم مقدار مورد نیاز را محاسبه کنیم.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2.8+84.4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		پاسخ آماده است.

پاسخ: \(S_(25)=1090\).

برای مجموع \(n\) جمله های اول، می توانید فرمول دیگری دریافت کنید: فقط باید \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) به جای \(a_n\) فرمول را جایگزین کنید \(a_n=a_1+(n-1)d\). ما گرفتیم:

فرمول مجموع n عبارت اول: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)، جایی که

\(S_n\) - مجموع مورد نیاز \(n\) عناصر اولیه.
\(a_1\) - اولین ترم جمع شده؛
\(d\) - تفاوت پیشرفت؛
\(n\) - تعداد عناصر در کل.

مثال. مجموع اولین ترم های \(33\)-ex پیشروی حسابی را بیابید: \(17\); \(15.5\); \(14\)…
راه حل:

پاسخ: \(S_(33)=-231\).

مسائل پیچیده تر پیشرفت حسابی

اکنون شما تمام اطلاعات مورد نیاز برای حل تقریباً هر مشکل پیشروی حسابی را دارید. بیایید موضوع را با در نظر گرفتن مسائلی به پایان برسانیم که در آنها نه تنها باید فرمول ها را اعمال کنید، بلکه کمی فکر کنید (در ریاضیات این می تواند مفید باشد ☺)

مثال (OGE). مجموع تمام عبارات منفی پیشرفت را بیابید: \(-19.3\); \(-19\); \(-18.7\)…
راه حل:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		کار بسیار شبیه به کار قبلی است. ما شروع به حل یک چیز می کنیم: ابتدا \(d\) را پیدا می کنیم.
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)		اکنون می‌خواهم \(d\) را در فرمول جمع قرار دهم... و در اینجا یک تفاوت ظریف ظاهر می‌شود - ما \(n\) را نمی‌دانیم. به عبارت دیگر، ما نمی دانیم که چند عبارت باید اضافه شود. چگونه متوجه شویم؟ بیایید فکر کنیم. وقتی به اولین عنصر مثبت رسیدیم اضافه کردن عناصر را متوقف خواهیم کرد. یعنی باید تعداد این عنصر را دریابید. چگونه؟ بیایید فرمول محاسبه هر عنصر یک پیشرفت حسابی را بنویسیم: \(a_n=a_1+(n-1)d\) برای مورد خود.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19.3+(n-1)·0.3\)		ما باید \(a_n\) را بزرگتر از صفر کنیم. بیایید دریابیم که در چه زمانی \(n\) این اتفاق خواهد افتاد.
\(-19.3+(n-1)·0.3>0\)
\((n-1)·0.3>19.3\) \(|:0.3\)		هر دو طرف نابرابری را بر \(0.3\) تقسیم می کنیم.
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)		منهای یک را منتقل می کنیم، فراموش نمی کنیم که علائم را تغییر دهیم
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\)		بیا حساب کنیم...
\(n>65,333…\)		...و معلوم می شود که اولین عنصر مثبت دارای عدد \(66\) خواهد بود. بر این اساس، آخرین منفی دارای \(n=65\) است. در هر صورت، بیایید این را بررسی کنیم.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19.3+(65-1)·0.3=-0.1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19.3+(66-1)·0.3=0.2\)		بنابراین باید اولین عناصر \(65\) را اضافه کنیم.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19.3)+(65-1)0.3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38.6+19.2)(2)\)\(\cdot 65=-630.5\)		پاسخ آماده است.

پاسخ: \(S_(65)=-630.5\).

مثال (OGE). پیشروی حسابی با شرایط مشخص می شود: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). حاصل جمع عنصر \(26\)th تا عنصر \(42\) را بیابید.
راه حل:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	در این مشکل شما همچنین باید مجموع عناصر را پیدا کنید، اما نه از اول، بلکه از \(26\)th. برای چنین موردی فرمولی نداریم. چگونه تصمیم بگیریم؟ آسان است - برای به دست آوردن مجموع از \(26\)ام به \(42\)ام، ابتدا باید مجموع \(1\)ام به \(42\)ام را پیدا کنید و سپس از آن کم کنید. از آن مجموع از اول تا \(25\)ام (تصویر را ببینید).
	برای پیشرفت ما \(a_1=-33\)، و تفاوت \(d=4\) (بالاخره، این چهار مورد است که به عنصر قبلی اضافه می کنیم تا عنصر بعدی را پیدا کنیم). با دانستن این موضوع، مجموع اولین عناصر \(42\)-y را پیدا می کنیم.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	اکنون مجموع اولین عناصر \(25\).
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	و در نهایت پاسخ را محاسبه می کنیم.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

پاسخ: \(S=1683\).

برای پیشروی حسابی چندین فرمول دیگر وجود دارد که در این مقاله به دلیل کاربرد عملی کم آنها را در نظر نگرفتیم. با این حال، شما به راحتی می توانید آنها را پیدا کنید.