بردارها از نظر مدول برابر هستند. یافتن طول یک بردار، مثال ها و راه حل ها

بیایید طول یک بردار را از مختصات آن (در یک سیستم مختصات مستطیلی)، از مختصات نقطه شروع و انتهای بردار و از قضیه کسینوس (با توجه به 2 بردار و زاویه بین آنها) پیدا کنیم.

بردار یک قطعه مستقیم جهت دار است.طول این قطعه مقدار عددی بردار را تعیین می کند و نامیده می شودطول بردار یا مدول بردار.

1. محاسبه طول یک بردار از مختصات آن

اگر مختصات بردار در یک سیستم مختصات مستطیلی مسطح (دو بعدی) داده شود، به عنوان مثال. x و y مشخص هستند، سپس طول بردار را می توان با استفاده از فرمول پیدا کرد

در مورد بردار در فضا، مختصات سوم اضافه می شود

در بیان MS EXCEL =ROOT(SUMKV(B8:B9))به شما امکان می دهد مدول یک بردار را محاسبه کنید (فرض می شود که هماهنگ کننده های بردار وارد سلول ها می شوند. B8: B9، فایل نمونه را ببینید).

تابع SUMMQ() مجموع مربع های آرگومان ها را برمی گرداند. در این حالت معادل فرمول =B8*B8+B9*B9 است.

فایل مثال طول بردار در فاصله را نیز محاسبه می کند.

یک فرمول جایگزین است =ROOT(SUMPRODUCT(B8:B9,B8:B9)).

2. یافتن طول یک بردار از طریق مختصات نقاط

اگر بردار از طریق مختصات نقطه شروع و پایان آن داده می شود، سپس فرمول متفاوت خواهد بود =ROOT(SUMVARE(C28:C29,B28:B29))

فرمول فرض می کند که مختصات نقطه شروع و پایان در محدوده ها وارد شده است C28: C29 و B28: B29 به ترتیب.

تابع SUMMQDIFFERENCE() درمجموع اختلاف مجذور مقادیر مربوطه را در دو آرایه برمی‌گرداند.

اساساً، فرمول ابتدا مختصات بردار (تفاوت بین مختصات متناظر نقاط) را محاسبه می کند، سپس مجموع مربع های آنها را محاسبه می کند.

3. یافتن طول یک بردار با استفاده از قضیه کسینوس

اگر باید طول یک بردار را با استفاده از قضیه کسینوس پیدا کنید، معمولاً 2 بردار (ماژول های آنها و زاویه بین آنها) داده می شود.

بیایید طول بردار c را با استفاده از فرمول پیدا کنیم =ROOT(SUM(B43:C43)-2*B43*C43*COS(B45))

در سلول ها B43: B43 شامل طول بردارهای a و b و سلول است B45 - زاویه بین آنها بر حسب رادیان (به کسری از PI()).

اگر زاویه بر حسب درجه مشخص شود، فرمول کمی متفاوت خواهد بود =ROOT(B43*B43+C43*C43-2*B43*C43*COS(B46*PI()/180))

توجه داشته باشید: برای وضوح، در یک سلول با مقدار زاویه بر حسب درجه، می توانید از , برای مثال، مقاله را ببینید

با قدر و جهت مشخص می شود. به عنوان مثال، در هندسه و در علوم طبیعی، بردار قطعه جهت دار یک خط در فضای اقلیدسی (یا در یک صفحه) است.

یکی از مفاهیم اساسی جبر خطی است. هنگام استفاده از کلی ترین تعریف، تقریباً تمام اشیاء مورد مطالعه در جبر خطی بردار هستند، از جمله ماتریس ها، تانسورها، با این حال، اگر این اشیاء در بافت اطراف وجود داشته باشند، یک بردار به ترتیب به عنوان یک بردار ردیف یا یک بردار ستون درک می شود. تانسور رتبه اول خواص عملیات بردارها در حساب بردار بررسی می شود.

تعیین ها [ | ]

وکتور نشان داده شده توسط یک مجموعه n (\displaystyle n)عناصر (جزء) a 1 , a 2 , … , a n (\displaystyle a_(1),a_(2),\ldots,a_(n))به طرق زیر تعیین می شود:

⟨ a 1 , a 2 , … , a n ⟩ , (a 1 , a 2 , … , a n) , ( a 1 , a 2 , … , a n ) (\displaystyle \langle a_(1),a_(2), \ldots,a_(n)\,\rangle ,\ \left(a_(1),a_(2),\ldots,a_(n)\,\right),\(a_(1),a_(2) ,\ldots,a_(n)\,\)).

برای تأکید بر اینکه این یک بردار است (و نه یک اسکالر)، از یک نوار، یک فلش یا یک فونت پررنگ یا گوتیک استفاده کنید:

a ¯ , a → , a , a , a . (\displaystyle (\bar (a))،\ (\vec (a))،\mathbf (a) ,(\mathfrak (A))،\ (\mathfrak (a)).)

جمع بردارها تقریباً همیشه با علامت مثبت نشان داده می شود:

a → + b → (\displaystyle (\vec (a))+(\vec (b))).

ضرب در یک عدد به سادگی بدون علامت خاصی در کنار آن نوشته می شود، به عنوان مثال:

k b → (\displaystyle k(\vec (b))),

علاوه بر این، شماره معمولا در سمت چپ نوشته می شود.

هیچ علامت برداری به طور کلی پذیرفته شده وجود ندارد؛ از فونت پررنگ، یک خط یا فلش بالای یک حرف، الفبای گوتیک و غیره استفاده می شود.

در هندسه [ | ]

در هندسه، بردارها به معنای قطعات جهت دار هستند. این تعبیر اغلب در گرافیک کامپیوتری برای ساختن نقشه های نور با استفاده از نرمال های سطحی استفاده می شود. همچنین می توانید از بردارها برای یافتن مساحت اشکال مختلف مانند مثلث ها و متوازی الاضلاع و همچنین حجم اجسام: چهار وجهی و متوازی الاضلاع استفاده کنید.
گاهی اوقات جهت با یک بردار مشخص می شود.

یک بردار در هندسه به طور طبیعی با ترجمه (ترجمه موازی) مقایسه می شود که به وضوح منشأ نام آن را روشن می کند (lat. vector, حامل). در واقع، هر پاره جهت‌دار به‌طور منحصربه‌فرد نوعی ترجمه موازی یک صفحه یا فضا را تعریف می‌کند، و بالعکس، یک ترجمه موازی به‌طور منحصربه‌فرد یک قطعه جهت‌دار منفرد را تعریف می‌کند (به‌طور واضح - اگر همه بخش‌های جهت‌دار با جهت و طول یکسان را برابر در نظر بگیریم - یعنی آنها را بردارهای آزاد در نظر بگیرید).

تفسیر یک بردار به عنوان یک انتقال به ما امکان می دهد تا عملیات اضافه کردن بردارها را به روشی طبیعی و به طور شهودی آشکار - به عنوان ترکیب (کاربرد متوالی) دو (یا چند) انتقال معرفی کنیم. همین امر در مورد عملیات ضرب یک بردار در یک عدد صدق می کند.

در جبر خطی[ | ]

تعریف کلی[ | ]

کلی ترین تعریف بردار با استفاده از جبر عمومی ارائه می شود:

• بیایید نشان دهیم F (\displaystyle (\mathfrak (F)))(گوتیک F) میدانی با عناصر زیاد F (\displaystyle F)، عملیات افزودنی + (\displaystyle +)، عملیات ضربی ∗ (\displaystyle *)و عناصر خنثی مربوطه: واحد افزایشی و واحد ضربی 1 (\displaystyle 1).
• بیایید نشان دهیم V (\displaystyle (\mathfrak (V)))(گوتیک پنجم) گروهی آبلی با عناصر بسیار V (\displaystyle V)، عملیات افزودنی + (\displaystyle +)و بر این اساس با واحد افزودنی 0 (\displaystyle \mathbf (0)).

به عبارت دیگر، اجازه دهید F = ⟨ F ; + , ∗ ⟩ (\displaystyle (\mathfrak (F))=\langle F;+,*\rangle )و V = ⟨ V ; + ⟩ (\displaystyle (\mathfrak (V))=\langle V;+\rangle).

اگر عملیاتی باشد F × V → V (\displaystyle F\time V\to V)، به طوری که برای هر کسی a , b ∈ F (\displaystyle a,b\in F)و برای هر x , y ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) ,\mathbf (y) \در V)روابط زیر برقرار است:

وکتور به عنوان دنباله[ | ]

بردار- (توالی، چندتایی) عناصر همگن. این کلی ترین تعریف است به این معنا که ممکن است اصلاً عملیات بردار معمولی مشخص نشده باشد، ممکن است تعداد آنها کمتر باشد، یا ممکن است بدیهیات فضای خطی معمول را برآورده نکنند. به این شکل است که یک بردار در برنامه نویسی درک می شود، جایی که، به عنوان یک قاعده، با یک نام شناسه با براکت های مربع نشان داده می شود (به عنوان مثال، هدف - شی). لیست خواص مدل های مورد قبول در آن است

ماژول برداری- قدر برداری - [L.G. Sumenko. فرهنگ لغت انگلیسی به روسی در زمینه فناوری اطلاعات. M.: State Enterprise TsNIIS، 2003.] موضوعات فناوری اطلاعات به طور کلی مترادف مقدار برداری EN مقدار مطلق یک بردار ...

ماژول برداری- vektoriaus modulis statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. مقدار مطلق vok برداری Vektorbetrag، m rus. طول برداری، f; مدول برداری، m pranc. module d'un vecteur, m ... Fizikos terminų žodynas

- (از لاتین modulus “small pîvan”): ویکی‌واژه دارای مقاله “module” Mo ... ویکی‌پدیا

یک ماژول (از مدول لاتین "اندازه کوچک") بخشی جدایی ناپذیر است، قابل تفکیک یا حداقل از نظر ذهنی از کلی. ماژولار معمولاً به چیزی گفته می شود که از قطعات کاملاً مشخصی تشکیل شده باشد که اغلب می توان آنها را حذف یا اضافه کرد بدون اینکه آن چیز را از بین ببرد... ... ویکی پدیا

مقدار مطلق یا مدول یک عدد واقعی یا مختلط x فاصله x تا مبدا است. به طور دقیق تر: قدر مطلق یک عدد واقعی x یک عدد غیر منفی است که با |x| و به صورت زیر تعریف می شود: ... ... ویکی پدیا

ماژول بردار موج- - [L.G. Sumenko. فرهنگ لغت انگلیسی به روسی در زمینه فناوری اطلاعات. M.: State Enterprise TsNIIS، 2003.] موضوعات فناوری اطلاعات به طور کلی EN بزرگی بردار انتشار ... راهنمای مترجم فنی

ماژول کانولور بردار کد پاکت- - [L.G. Sumenko. فرهنگ لغت انگلیسی به روسی در زمینه فناوری اطلاعات. M.: State Enterprise TsNIIS، 2003.] موضوعات فناوری اطلاعات به طور کلی ماژول کانولوشن کدبردار شکل EN ... راهنمای مترجم فنی

مدول یک عدد مختلط طول بردار مربوط به این عدد است: . مدول یک عدد مختلط z را معمولاً | نشان می دهند z | یا ر. بگذارید اعداد واقعی به گونه ای باشند که یک عدد مختلط (نشان گذاری معمول). سپس اعداد ... ویکی پدیا

ماژول در ریاضیات، 1) M. (یا قدر مطلق) یک عدد مختلط z = x + iy عدد ═ است (ریشه با علامت مثبت گرفته می شود). هنگام نمایش یک عدد مختلط z به شکل مثلثاتی z = r (cos j + i sin j)، عدد واقعی r برابر است با... ... دایره المعارف بزرگ شوروی

گروه آبلیان با حلقه ای از اپراتورها. M تعمیم یک فضای برداری (خطی) بر روی میدان K برای حالتی است که K با مقداری حلقه جایگزین شود. یک حلقه A داده شود.یک گروه آبلیان افزودنی مناز. یک ماژول را ترک کرد، در صورت تعریف... ... دایره المعارف ریاضی

بالاخره این موضوع گسترده و مورد انتظار را گرفتم. هندسه تحلیلی. ابتدا کمی در مورد این بخش از ریاضیات عالی ... مطمئناً اکنون یک دوره هندسه مدرسه با قضایای متعدد، اثبات‌ها، نقاشی‌ها و غیره را به خاطر دارید. چه چیزی را پنهان کنیم، موضوعی مورد علاقه و اغلب مبهم برای بخش قابل توجهی از دانش آموزان. هندسه تحلیلی، به اندازه کافی عجیب، ممکن است جالب تر و قابل دسترس تر به نظر برسد. صفت "تحلیلی" به چه معناست؟ دو عبارت کلیشه ای ریاضی بلافاصله به ذهن می رسد: «روش حل گرافیکی» و «روش حل تحلیلی». روش گرافیکیالبته با ساخت نمودارها و نقشه ها همراه است. تحلیلییا روششامل حل مشکلات است به طور عمدهاز طریق عملیات جبری در این راستا، الگوریتم حل تقریباً تمام مسائل هندسه تحلیلی ساده و شفاف است؛ اغلب کافی است فرمول های لازم را با دقت اعمال کنید - و پاسخ آماده است! خیر، البته، ما به هیچ وجه نمی توانیم بدون طراحی این کار را انجام دهیم، و علاوه بر این، برای درک بهتر مطالب، سعی می کنم آنها را فراتر از ضرورت ذکر کنم.

دوره تازه افتتاح شده دروس هندسه از نظر تئوری کامل نیست، بلکه بر حل مسائل عملی متمرکز است. من فقط آنچه را که از نظر من از نظر عملی مهم است، در سخنرانی های خود خواهم گنجاند. اگر در مورد هر زیربخش به کمک کامل تری نیاز دارید، من ادبیات کاملاً در دسترس زیر را توصیه می کنم:

1) چیزی که بدون شوخی، چندین نسل با آن آشنا هستند: کتاب هندسه مدرسه، نویسندگان - L.S. آتاناسیان و شرکت. این رختکن مدرسه تاکنون 20 (!) تجدید چاپ را پشت سر گذاشته است که البته محدودیتی برای آن وجود ندارد.

2) هندسه در 2 جلد. نویسندگان L.S. آتاناسیان، بازیلف وی.تی.. این ادبیات برای دبیرستان است، شما نیاز دارید جلد اول. کارهایی که به ندرت با آنها روبرو می شوم ممکن است از دید من خارج شوند و این آموزش کمک ارزشمندی خواهد بود.

هر دو کتاب را می توان به صورت آنلاین به صورت رایگان دانلود کرد. علاوه بر این، می توانید از آرشیو من با راه حل های آماده استفاده کنید که در صفحه موجود است دانلود مثال در ریاضی بالاتر.

در بین ابزارها، من دوباره توسعه خودم را پیشنهاد می کنم - بسته نرم افزاریدر هندسه تحلیلی، که زندگی را تا حد زیادی ساده می کند و در زمان بسیار صرفه جویی می کند.

فرض بر این است که خواننده با مفاهیم و اشکال هندسی اساسی آشنا است: نقطه، خط، صفحه، مثلث، متوازی الاضلاع، متوازی الاضلاع، مکعب و غیره. توصیه می شود برخی از قضایا را به خاطر بسپارید، حداقل قضیه فیثاغورث، سلام به تکرار کنندگان)

و اکنون به ترتیب در نظر خواهیم گرفت: مفهوم بردار، اقدامات با بردارها، مختصات بردار. خواندن ادامه مطلب را توصیه می کنم مهمترین مقاله حاصل ضرب نقطه ای بردارها، و همچنین بردار و حاصلضرب مخلوط بردارها. یک کار محلی - تقسیم یک بخش از این نظر - نیز اضافی نخواهد بود. بر اساس اطلاعات فوق می توانید مسلط شوید معادله یک خط در یک صفحهبا ساده ترین نمونه راه حل ها، که اجازه خواهد داد حل مسائل هندسه را یاد بگیرید. مقالات زیر نیز مفید هستند: معادله یک هواپیما در فضا, معادلات یک خط در فضا، مسائل اساسی در یک خط مستقیم و یک صفحه، بخش های دیگر هندسه تحلیلی. طبیعتاً در این مسیر وظایف استاندارد در نظر گرفته خواهد شد.

مفهوم برداری. وکتور رایگان

ابتدا اجازه دهید تعریف مدرسه از یک بردار را تکرار کنیم. بردارتماس گرفت جهت دارقسمتی که ابتدا و انتهای آن مشخص شده است:

در این حالت، ابتدای قطعه نقطه است، انتهای قطعه نقطه است. خود بردار با نشان داده می شود. جهتضروری است، اگر فلش را به انتهای دیگر بخش منتقل کنید، یک بردار دریافت می کنید، و این قبلاً وجود دارد وکتور کاملا متفاوت. تشخیص مفهوم بردار با حرکت یک جسم فیزیکی راحت است: باید موافق باشید، ورود به درهای یک موسسه یا خروج از درهای یک موسسه چیزهای کاملاً متفاوتی است.

راحت است که نقاط جداگانه یک هواپیما یا فضا را به اصطلاح در نظر بگیرید بردار صفر. برای چنین بردار، پایان و آغاز بر هم منطبق است.

!!! توجه داشته باشید: در اینجا و بیشتر، می توانید فرض کنید که بردارها در یک صفحه قرار دارند یا می توانید فرض کنید که آنها در فضا قرار دارند - ماهیت مطالب ارائه شده برای هواپیما و فضا معتبر است.

نام گذاری ها:بسیاری بلافاصله متوجه چوب بدون فلش در نام شدند و گفتند، یک فلش نیز در بالا وجود دارد! درست است، شما می توانید آن را با یک فلش بنویسید: ، اما این امکان نیز وجود دارد ورودی که در آینده از آن استفاده خواهم کرد. چرا؟ ظاهراً این عادت به دلایل عملی ایجاد شد؛ تیراندازان من در مدرسه و دانشگاه بسیار متفاوت و پشمالو بودند. در ادبیات آموزشی، گاهی اوقات آنها اصلاً به خط میخی زحمت نمی‌دهند، بلکه حروف را به صورت پررنگ برجسته می‌کنند: و بدین ترتیب نشان می‌دهند که این یک بردار است.

این سبک شناسی بود و اکنون در مورد روش های نوشتن بردارها:

1) وکتورها را می توان با دو حرف بزرگ لاتین نوشت:
و غیره در این مورد، حرف اول لزومانقطه شروع بردار و حرف دوم نقطه پایان بردار را نشان می دهد.

2) وکتورها نیز با حروف کوچک لاتین نوشته می شوند:
به ویژه، بردار ما را می توان برای اختصار با یک حرف لاتین کوچک دوباره طراحی کرد.

طولیا مدولیک بردار غیر صفر طول قطعه نامیده می شود. طول بردار صفر صفر است. منطقی.

طول بردار با علامت مدول نشان داده می شود:

ما یاد خواهیم گرفت که چگونه طول یک بردار را پیدا کنیم (یا بسته به اینکه چه کسی آن را تکرار می کنیم) کمی بعد.

این اطلاعات اولیه در مورد بردارها بود که برای همه دانش آموزان آشنا بود. در هندسه تحلیلی به اصطلاح وکتور رایگان.

به بیان ساده - بردار را می توان از هر نقطه ترسیم کرد:

ما عادت داریم که چنین بردارهایی را برابر بنامیم (تعریف بردارهای مساوی در زیر ارائه خواهد شد)، اما از نقطه نظر ریاضی محض، آنها همان بردار یا همان بردار هستند. وکتور رایگان. چرا رایگان؟ زیرا در طول حل مسائل، می توانید این یا آن بردار مدرسه را به هر نقطه از صفحه یا فضایی که نیاز دارید، "ضمیمه" کنید. این یک ویژگی بسیار جالب است! یک بخش جهت دار با طول و جهت دلخواه را تصور کنید - می توان آن را بی نهایت بار و در هر نقطه از فضا "کلون" کرد، در واقع، در همه جا وجود دارد. چنین دانشجویی وجود دارد که می گوید: هر استادی یک لعنتی در مورد بردار می دهد. از این گذشته ، این فقط یک قافیه شوخ نیست ، همه چیز تقریباً درست است - یک بخش کارگردانی شده را نیز می توان به آنجا اضافه کرد. اما برای شادی عجله نکنید، این خود دانش آموزان هستند که اغلب رنج می برند =)

بنابراین، وکتور رایگان- این یک دسته از بخش های هدایت شده یکسان تعریف مدرسه از یک بردار، که در ابتدای پاراگراف ارائه شده است: "به یک بخش جهت دار، یک بردار می گویند..." دلالت دارد. خاصیک بخش جهت دار گرفته شده از یک مجموعه معین، که به نقطه خاصی در صفحه یا فضا گره خورده است.

لازم به ذکر است که از دیدگاه فیزیک، مفهوم بردار آزاد به طور کلی نادرست است و نکته کاربرد مهم است. در واقع، یک ضربه مستقیم از همان نیرو به بینی یا پیشانی، که برای بیان مثال احمقانه من کافی است، پیامدهای متفاوتی را به دنبال دارد. با این حال، غیر رایگانبردارها نیز در دوره vyshmat یافت می شوند (آنجا نروید :)).

اقدامات با بردارها خط خطی بردارها

یک دوره هندسه مدرسه تعدادی از اقدامات و قوانین را با بردار پوشش می دهد: جمع بر اساس قانون مثلث، جمع بر اساس قانون متوازی الاضلاع، قانون تفاوت بردار، ضرب یک بردار در عدد، حاصل ضرب اسکالر بردارها و غیره.به عنوان نقطه شروع، اجازه دهید دو قانون را که مخصوصاً برای حل مسائل هندسه تحلیلی مرتبط هستند، تکرار کنیم.

قانون اضافه کردن بردارها با استفاده از قانون مثلث

دو بردار غیر صفر دلخواه را در نظر بگیرید و :

باید مجموع این بردارها را پیدا کنید. با توجه به اینکه همه بردارها آزاد در نظر گرفته می شوند، بردار را کنار می گذاریم پایانبردار:

مجموع بردارها بردار است. برای درک بهتر این قانون، توصیه می‌شود یک معنای فیزیکی در آن قرار دهید: اجازه دهید مقداری از بدن در امتداد بردار و سپس در امتداد بردار حرکت کند. سپس مجموع بردارها بردار مسیر به دست آمده با شروع در نقطه عزیمت و پایان در نقطه رسیدن است. یک قانون مشابه برای مجموع هر تعداد بردار فرموله شده است. همانطور که آنها می گویند، بدن می تواند مسیر خود را بسیار باریک در امتداد یک زیگزاگ، یا شاید در خلبان خودکار - در امتداد بردار حاصل از مجموع طی کند.

به هر حال، اگر بردار به تعویق افتاد از آغاز شدهبردار، سپس معادل را بدست می آوریم قانون متوازی الاضلاعافزودن بردارها

اول، در مورد هم خطی بردارها. دو بردار نامیده می شوند خطی، اگر روی یک خط یا روی خطوط موازی قرار بگیرند. به طور کلی، ما در مورد بردارهای موازی صحبت می کنیم. اما در رابطه با آنها همیشه از صفت "هم خط" استفاده می شود.

دو بردار خطی را تصور کنید. اگر فلش های این بردارها در یک راستا باشند، چنین بردارهایی نامیده می شوند کارگردانی مشترک. اگر فلش ها در جهت های مختلف باشند، بردارها خواهند بود جهت های مخالف.

نام گذاری ها:هم خطی بردارها با نماد موازی معمول نوشته می شود: , در حالی که جزئیات ممکن است: (بردارها هم جهت هستند) یا (بردارها خلاف جهت هستند).

کاربردار غیر صفر روی یک بردار برداری است که طول آن برابر است و بردارها و هم جهت و خلاف جهت آن هستند.

قانون ضرب یک بردار در یک عدد با کمک یک تصویر ساده تر است:

بیایید با جزئیات بیشتری به آن نگاه کنیم:

1 مسیر. اگر ضریب منفی باشد، بردار تغییر جهت می دهدبرعکس

2) طول. اگر ضریب در داخل یا وجود داشته باشد، پس طول بردار کاهش می دهد. بنابراین، طول بردار نصف طول بردار است. اگر مدول ضریب بزرگتر از یک باشد، طول بردار افزایشبه موقع.

3) لطفا توجه داشته باشید که همه بردارها خطی هستند، در حالی که یک بردار از طریق دیگری بیان می شود، برای مثال، . برعکس آن هم درست است: اگر بتوان یک بردار را از طریق دیگری بیان کرد، آنگاه چنین بردارهایی لزوماً هم خط هستند. بدین ترتیب: اگر یک بردار را در یک عدد ضرب کنیم، به صورت خطی می‌شویم(نسبت به اصل) بردار.

4) بردارها به طور مشترک هدایت می شوند. بردارها و همچنین کارگردانی مشترک هستند. هر بردار گروه اول نسبت به هر بردار گروه دوم جهت مخالف دارد.

کدام بردارها برابرند؟

دو بردار اگر در یک جهت و طول یکسان باشند با هم برابرند. توجه داشته باشید که هم جهتی به معنای هم خطی بودن بردارها است. این تعریف نادرست (زائد) خواهد بود اگر بگوییم: "دو بردار مساوی هستند اگر هم خط و هم جهت و دارای طول یکسان باشند."

از نقطه نظر مفهوم بردار آزاد، بردارهای مساوی همان بردار هستند، همانطور که در پاراگراف قبل بحث شد.

مختصات برداری در هواپیما و در فضا

اولین نکته در نظر گرفتن بردارها در صفحه است. اجازه دهید یک سیستم مختصات مستطیلی دکارتی را به تصویر بکشیم و آن را از مبدأ مختصات رسم کنیم تنهابردارها و:

بردارها و قائم. متعامد = عمود بر. توصیه می کنم کم کم به اصطلاحات عادت کنید: به جای موازی و عمود، به ترتیب از کلمات استفاده می کنیم. هم خطی بودنو متعامد بودن.

تعیین:متعامد بردارها با علامت عمودی معمول نوشته می شود، به عنوان مثال: .

بردارهای مورد بررسی نامیده می شوند بردارهای مختصاتیا orts. این بردارها تشکیل می شوند اساسروی سطح من فکر می کنم که مبنای چیست برای بسیاری به طور مستقیم روشن است؛ اطلاعات دقیق تر را می توان در مقاله یافت وابستگی خطی (غیر) بردارها. اساس بردارهابه عبارت ساده، اساس و منشأ مختصات کل سیستم را تعریف می کند - این نوعی پایه است که یک زندگی هندسی کامل و غنی بر آن می جوشد.

گاهی اوقات پایه ساخته شده نامیده می شود متعارفاساس صفحه: "ارتو" - چون بردارهای مختصات متعامد هستند، صفت "normalized" به معنای واحد است، یعنی. طول بردارهای پایه برابر با یک است.

تعیین:اساس معمولاً در پرانتز نوشته می شود که داخل آن به ترتیب دقیقبردارهای پایه ذکر شده اند، به عنوان مثال: . بردارهای مختصات ممنوع استتنظیم مجدد.

هربردار هواپیما تنها راهبیان شده به صورت:
، جایی که - شمارهکه نامیده می شوند مختصات برداریدر این مبنا و خود بیان تماس گرفت تجزیه برداریبر اساس .

شام سرو شده:

بیایید با حرف اول الفبا شروع کنیم: . ترسیم به وضوح نشان می دهد که هنگام تجزیه یک بردار به یک پایه، مواردی که قبلاً مورد بحث قرار گرفت استفاده می شود:
1) قانون ضرب بردار در عدد: و ;
2) جمع بردارها طبق قانون مثلث: .

اکنون به صورت ذهنی بردار را از هر نقطه دیگری از صفحه رسم کنید. کاملاً آشکار است که زوال او "بی امان او را دنبال خواهد کرد." اینجا آزادی بردار است - بردار "همه چیز را با خود حمل می کند." این ویژگی، البته، برای هر بردار صادق است. خنده دار است که خود بردارهای پایه (رایگان) لازم نیست از مبدا رسم شوند، یکی را می توان مثلاً در پایین سمت چپ و دیگری را در بالا سمت راست ترسیم کرد و چیزی تغییر نمی کند! درست است، شما نیازی به انجام این کار ندارید، زیرا معلم نیز اصالت را نشان می دهد و در مکانی غیرمنتظره به شما "اعتبار" می دهد.

بردارها دقیقاً قانون ضرب یک بردار در یک عدد را نشان می دهند، بردار با بردار پایه هم جهت است، بردار مخالف بردار پایه است. برای این بردارها، یکی از مختصات برابر با صفر است، می‌توانید آن را با دقت به این صورت بنویسید:


و بردارهای پایه، اتفاقا، اینگونه هستند: (در واقع، آنها از طریق خودشان بیان می شوند).

و در نهایت: ، . به هر حال، تفریق برداری چیست و چرا من در مورد قانون تفریق صحبت نکردم؟ جایی در جبر خطی، یادم نیست کجاست، اشاره کردم که تفریق یک مورد خاص از جمع است. بنابراین، بسط بردارهای "de" و "e" به راحتی به صورت مجموع نوشته می شوند: . نقشه را دنبال کنید تا ببینید که جمع خوب قدیمی بردارها طبق قانون مثلث چقدر در این موقعیت ها کار می کند.

تجزیه در نظر گرفته شده از فرم گاهی اوقات تجزیه برداری نامیده می شود در سیستم ort(یعنی در سیستمی از بردارهای واحد). اما این تنها راه برای نوشتن بردار نیست، گزینه زیر رایج است:

یا با علامت مساوی:

خود بردارهای پایه به صورت زیر نوشته می شوند: و

یعنی مختصات بردار در داخل پرانتز مشخص شده است. در مسائل عملی از هر سه گزینه علامت گذاری استفاده می شود.

شک داشتم که صحبت کنم، اما به هر حال می گویم: مختصات برداری را نمی توان دوباره مرتب کرد. به شدت در وهله اولمختصاتی را می نویسیم که با بردار واحد مطابقت دارد، به شدت در رتبه دوممختصاتی را می نویسیم که با بردار واحد مطابقت دارد. در واقع، و دو بردار متفاوت هستند.

ما مختصات را در هواپیما فهمیدیم. حالا بیایید به بردارها در فضای سه بعدی نگاه کنیم، اینجا تقریبا همه چیز یکسان است! فقط یک مختصات دیگر اضافه می کند. ساختن نقاشی های سه بعدی سخت است، بنابراین من خودم را به یک بردار محدود می کنم، که برای سادگی آن را از مبدا کنار می گذارم:

هروکتور فضای سه بعدی تنها راهگسترش بر اساس متعارف:
، مختصات بردار (عدد) در این مبنا کجاست.

نمونه ای از تصویر: . بیایید ببینیم قوانین برداری در اینجا چگونه کار می کنند. ابتدا بردار را در یک عدد ضرب کنید: (فلش قرمز)، (فلش سبز) و (فلش تمشک). ثانیاً، در اینجا مثالی از جمع چند بردار، در این مورد سه، آورده شده است: . بردار مجموع از نقطه شروع اولیه (ابتدای بردار) شروع می شود و در نقطه پایانی رسیدن (انتهای بردار) به پایان می رسد.

همه بردارهای فضای سه بعدی، طبیعتاً، نیز آزاد هستند؛ سعی کنید بردار را به صورت ذهنی از هر نقطه دیگری کنار بگذارید، و خواهید فهمید که تجزیه آن «با آن باقی خواهد ماند».

مشابه مورد مسطح، علاوه بر نوشتن نسخه های دارای براکت به طور گسترده استفاده می شوند: یا .

اگر یک (یا دو) بردار مختصات در بسط وجود نداشته باشد، صفرها به جای آنها قرار می گیرند. مثال ها:
بردار (با دقت ) - بیا بنویسیم ؛
بردار (با دقت ) - بیا بنویسیم ؛
بردار (با دقت ) - بیا بنویسیم .

بردارهای پایه به صورت زیر نوشته می شوند:

این، شاید، تمام حداقل دانش نظری لازم برای حل مسائل هندسه تحلیلی باشد. ممکن است اصطلاحات و تعاریف زیادی وجود داشته باشد، بنابراین توصیه می‌کنم قوری‌ها این اطلاعات را دوباره بخوانند و دوباره درک کنند. و رجوع هر از چند گاهی به درس پایه برای هر خواننده ای مفید خواهد بود تا مطالب را بهتر جذب کند. هم خطی، متعامد، مبنای متعامد، تجزیه برداری - این مفاهیم و مفاهیم دیگر اغلب در آینده استفاده خواهند شد. متذکر می شوم که مطالب موجود در سایت برای قبولی در آزمون نظری یا گفتگوی هندسه کافی نیست ، زیرا من با دقت تمام قضایا (و بدون اثبات) را رمزگذاری می کنم - به ضرر سبک علمی ارائه ، اما یک نکته مثبت برای درک شما از عنوان. برای دریافت اطلاعات دقیق تئوری، لطفاً به پروفسور آتاناسیان تعظیم کنید.

و به قسمت عملی آن می رویم:

ساده ترین مسائل هندسه تحلیلی
اعمال با بردارها در مختصات

بسیار توصیه می شود که یاد بگیرید چگونه وظایفی را که کاملاً خودکار در نظر گرفته می شوند و فرمول ها را حل کنید حفظ کردن، حتی لازم نیست عمداً آن را به خاطر بسپارید، آنها خودشان آن را به خاطر خواهند آورد =) این بسیار مهم است، زیرا سایر مسائل هندسه تحلیلی بر اساس ساده ترین مثال های ابتدایی است و صرف زمان اضافی برای خوردن پیاده ها آزار دهنده خواهد بود. . نیازی به بستن دکمه های بالای پیراهن نیست، چیزهای زیادی از دوران مدرسه برای شما آشناست.

ارائه مطالب یک دوره موازی را دنبال می کند - هم برای هواپیما و هم برای فضا. به این دلیل که تمام فرمول های ... را خودتان خواهید دید.

چگونه از دو نقطه بردار پیدا کنیم؟

اگر دو نقطه از صفحه داده شود، بردار دارای مختصات زیر است:

اگر دو نقطه در فضا داده شود، بردار مختصات زیر را دارد:

به این معنا که، از مختصات انتهای بردارباید مختصات مربوطه را کم کنید ابتدای بردار.

ورزش:برای همان نقاط، فرمول های یافتن مختصات بردار را بنویسید. فرمول ها در پایان درس.

مثال 1

با توجه به دو نقطه از هواپیما و . مختصات برداری را پیدا کنید

راه حل:طبق فرمول مناسب:

به طور متناوب، می توان از ورودی زیر استفاده کرد:

زیبایی‌شناسان در این مورد تصمیم خواهند گرفت:

شخصاً به نسخه اول ضبط عادت کرده ام.

پاسخ:

با توجه به شرط، نیازی به ساخت یک نقشه (که برای مسائل هندسه تحلیلی معمول است) نبود، اما برای روشن شدن برخی نکات برای آدمک ها، تنبل نخواهم بود:

حتما باید بفهمی تفاوت بین مختصات نقطه و مختصات برداری:

مختصات نقطه- اینها مختصات معمولی در یک سیستم مختصات مستطیلی هستند. من فکر می کنم همه می دانند که چگونه از کلاس پنجم تا ششم نقاط را در یک هواپیمای مختصات ترسیم کنند. هر نقطه دارای یک مکان دقیق در هواپیما است و نمی توان آنها را به جایی منتقل کرد.

مختصات بردار- این گسترش آن بر اساس اساس، در این مورد است. هر بردار آزاد است، بنابراین در صورت تمایل یا نیاز، می توانیم به راحتی آن را از نقطه دیگری در هواپیما دور کنیم. جالب است که برای بردارها اصلاً نیازی به ساخت محور یا سیستم مختصات مستطیلی ندارید، فقط به یک پایه نیاز دارید، در این مورد به یک پایه متعارف صفحه.

به نظر می رسد رکورد مختصات نقاط و مختصات بردارها مشابه باشد: و معنی مختصاتکاملا ناهمسان، و شما باید به خوبی از این تفاوت آگاه باشید. این تفاوت البته در مورد فضا نیز صدق می کند.

خانم ها و آقایان بیایید دستمان را پر کنیم:

مثال 2

الف) امتیاز و داده می شود. بردارها و .
ب) امتیاز داده شده است و . بردارها و .
ج) امتیاز و داده شده است. بردارها و .
د) امتیاز داده شده است. بردارها را پیدا کنید .

شاید همین کافی باشد. اینها نمونه هایی هستند که می توانید خودتان تصمیم بگیرید، سعی کنید از آنها غافل نشوید، نتیجه می دهد ;-). نیازی به کشیدن نقاشی نیست. راه حل و پاسخ در پایان درس.

در حل مسائل هندسه تحلیلی چه چیزی مهم است؟مهم است که بسیار مراقب باشید تا از اشتباه استادانه «دو به علاوه دو برابر با صفر» اجتناب کنید. اگر جایی اشتباه کردم فورا عذرخواهی میکنم =)

چگونه طول یک قطعه را پیدا کنیم؟

طول، همانطور که قبلا ذکر شد، با علامت مدول نشان داده می شود.

اگر دو نقطه از صفحه داده شود و سپس طول قطعه را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد

اگر دو نقطه در فضا داده شود، می توان طول قطعه را با استفاده از فرمول محاسبه کرد

توجه داشته باشید: اگر مختصات مربوطه با هم عوض شوند، فرمول‌ها درست می‌مانند، اما گزینه اول استانداردتر است.

مثال 3

راه حل:طبق فرمول مناسب:

پاسخ:

برای وضوح، من یک نقاشی خواهم کرد

بخش خط - این یک بردار نیست، و، البته، شما نمی توانید آن را به جایی منتقل کنید. علاوه بر این، اگر به مقیاس ترسیم کنید: 1 واحد. = 1 سانتی متر (دو سلول نوت بوک)، سپس پاسخ به دست آمده را می توان با یک خط کش معمولی با اندازه گیری مستقیم طول قطعه بررسی کرد.

بله، راه حل کوتاه است، اما چند نکته مهم دیگر در آن وجود دارد که می خواهم توضیح دهم:

اولاً در پاسخ، بعد «واحدها» را قرار می دهیم. این وضعیت نمی‌گوید چه چیزی است، میلی‌متر، سانتی‌متر، متر یا کیلومتر. بنابراین، یک راه حل ریاضی درست، فرمول کلی خواهد بود: "واحدها" - به اختصار "واحدها".

ثانیا، اجازه دهید مطالب مدرسه را تکرار کنیم، که نه تنها برای کار در نظر گرفته شده مفید است:

توجه کن به تکنیک مهم – حذف ضریب از زیر ریشه. در نتیجه محاسبات، یک نتیجه داریم و سبک ریاضی خوب شامل حذف عامل از زیر ریشه (در صورت امکان) است. با جزئیات بیشتر، این روند به این صورت است: . بدیهی است که باقی گذاشتن پاسخ به همان شکلی که هست اشتباه نخواهد بود - اما مسلماً نقص و استدلالی سنگین برای سخن گفتن از جانب معلم خواهد بود.

در اینجا موارد رایج دیگری وجود دارد:

به عنوان مثال، اغلب ریشه تعداد نسبتاً زیادی تولید می کند. در چنین مواقعی چه باید کرد؟ با استفاده از ماشین حساب بررسی می کنیم که آیا عدد بر 4 بخش پذیر است یا خیر. بله، به طور کامل تقسیم شد، به این ترتیب: . یا شاید دوباره بتوان عدد را بر 4 تقسیم کرد؟ . بدین ترتیب: . آخرین رقم عدد فرد است، بنابراین تقسیم بر 4 برای بار سوم بدیهی است که کار نخواهد کرد. بیایید سعی کنیم بر 9 تقسیم کنیم: . در نتیجه:
آماده.

نتیجه:اگر در زیر ریشه عددی به دست آوریم که نمی توان آن را به طور کلی استخراج کرد، سپس سعی می کنیم عامل را از زیر ریشه حذف کنیم - با استفاده از یک ماشین حساب بررسی می کنیم که آیا عدد بر تقسیم پذیر است: 4، 9، 16، 25، 36، 49 و غیره

هنگام حل مسائل مختلف، اغلب با ریشه ها مواجه می شود؛ همیشه سعی کنید عواملی را از زیر ریشه استخراج کنید تا از نمره پایین تر و مشکلات غیرضروری جلوگیری کنید و راه حل های خود را بر اساس نظرات معلم نهایی کنید.

بیایید ریشه های مربع و سایر قدرت ها را نیز تکرار کنیم:

قوانین عملکرد با قدرت ها به شکل کلی را می توان در کتاب درسی جبر مدرسه یافت، اما من فکر می کنم از مثال های ارائه شده، همه چیز یا تقریباً همه چیز از قبل روشن است.

کار برای راه حل مستقل با یک بخش در فضا:

مثال 4

امتیاز و داده می شود. طول قطعه را پیدا کنید.

راه حل و پاسخ در پایان درس است.

چگونه طول یک بردار را پیدا کنیم؟

اگر یک بردار صفحه داده شود، طول آن با فرمول محاسبه می شود.

اگر بردار فضایی داده شود، طول آن با فرمول محاسبه می شود .