ضرب و تقسیم کسرها. کسری

ضرب و تقسیم کسرها.

توجه!
اضافی وجود دارد
مواد در بخش ویژه 555.
برای کسانی که خیلی "نه خیلی..." هستند
و برای کسانی که "خیلی...")

این عمل بسیار زیباتر از جمع و تفریق است! چون راحت تره به عنوان یادآوری، برای ضرب یک کسری در یک کسری، باید اعداد را ضرب کنید (این صورت‌گر نتیجه خواهد بود) و مخرج‌ها (این مخرج خواهد بود). به این معنا که:

مثلا:

همه چیز فوق العاده ساده است. و لطفا به دنبال مخرج مشترک نباشید! اینجا نیازی به او نیست...

برای تقسیم کسری بر کسری باید معکوس کرد دومین(این مهم است!) کسر کنید و آنها را ضرب کنید، یعنی:

مثلا:

اگر با ضرب یا تقسیم با اعداد صحیح و کسری برخورد کردید، اشکالی ندارد. مانند جمع، از یک عدد کامل کسری می‌سازیم که در مخرج یک باشد - و ادامه می‌دهیم! مثلا:

در دبیرستان اغلب باید با کسری های سه طبقه (یا حتی چهار طبقه!) سر و کار داشته باشید. مثلا:

چگونه می توانم این کسری را مناسب جلوه دهم؟ بله خیلی ساده! از تقسیم دو نقطه ای استفاده کنید:

اما ترتیب تقسیم را فراموش نکنید! برخلاف ضرب، اینجا خیلی مهم است! البته 4:2 یا 2:4 را اشتباه نخواهیم گرفت. اما اشتباه کردن در یک کسری سه طبقه آسان است. لطفاً به عنوان مثال توجه کنید:

در حالت اول (عبارت سمت چپ):

در دوم (عبارت سمت راست):

آیا تفاوت را احساس می کنید؟ 4 و 1/9!

چه چیزی ترتیب تقسیم را تعیین می کند؟ یا با براکت، یا (مانند اینجا) با طول خطوط افقی. چشم خود را توسعه دهید و اگر براکت یا خط تیره وجود ندارد، مانند:

سپس تقسیم و ضرب کنید به ترتیب از چپ به راست!

و یک تکنیک بسیار ساده و مهم دیگر. در اقدامات با درجه، برای شما بسیار مفید خواهد بود! بیایید یک را بر هر کسری تقسیم کنیم، به عنوان مثال، بر 13/15:

شات برگشت! و این همیشه اتفاق می افتد. وقتی 1 را بر هر کسری تقسیم می کنیم، نتیجه همان کسر است، فقط وارونه.

این برای عملیات با کسری است. موضوع بسیار ساده است، اما خطاهای بیش از حد کافی را می دهد. توجه داشته باشید توصیه عملی، و تعداد آنها (خطا) کمتر خواهد بود!

نکات کاربردی:

1. مهمترین چیز هنگام کار با عبارات کسری دقت و توجه است! اینها کلمات کلی نیست، آرزوهای خوب نیست! این یک ضرورت جدی است! تمام محاسبات را در آزمون یکپارچه دولتی به عنوان یک کار تمام عیار، متمرکز و واضح انجام دهید. بهتر است دو خط اضافی در پیش نویس خود بنویسید تا اینکه هنگام انجام محاسبات ذهنی به هم بریزید.

2. در مثال هایی با انواع متفاوتکسری - به کسرهای معمولی بروید.

3. همه کسری ها را کم می کنیم تا متوقف شوند.

4. عبارات کسری چند سطحی را با استفاده از تقسیم از طریق دو نقطه به عبارات عادی کاهش می دهیم (به ترتیب تقسیم را دنبال می کنیم!).

5. یک واحد را بر یک کسری در سر خود تقسیم کنید، به سادگی کسر را برگردانید.

در اینجا وظایفی وجود دارد که باید حتماً آنها را انجام دهید. پاسخ ها بعد از تمام وظایف داده می شود. از مطالب این موضوع و نکات کاربردی استفاده کنید. تخمین بزنید که چند مثال را به درستی حل کرده اید. اولین بار! بدون ماشین حساب! و نتیجه گیری درست ...

به یاد داشته باشید - پاسخ صحیح است دریافتی از زمان دوم (مخصوصا سوم) حساب نمی شود!زندگی سخت چنین است.

بنابراین، در حالت امتحانی حل کنید ! به هر حال، این در حال حاضر آماده سازی برای آزمون دولتی واحد است. مثال را حل می کنیم، آن را بررسی می کنیم، مورد بعدی را حل می کنیم. ما همه چیز را تصمیم گرفتیم - دوباره از اول تا آخر بررسی کردیم. اما تنها سپسبه پاسخ ها نگاه کنید

محاسبه:

تصمیم گرفتی؟

ما به دنبال پاسخ هایی هستیم که با شما مطابقت داشته باشد. من عمداً آنها را به دور از وسوسه و به اصطلاح به طور نامرتب و به دور از وسوسه نوشتم ... اینها، پاسخ ها، با نقطه ویرگول نوشته شده اند.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

حالا ما نتیجه گیری می کنیم. اگر همه چیز درست شد، برای شما خوشحالم! محاسبات اولیه با کسرها مشکل شما نیست! می توانید کارهای جدی تری انجام دهید. اگر نه...

بنابراین شما یکی از دو مشکل را دارید. یا هر دو در یک زمان.) عدم آگاهی و (یا) بی توجهی. اما این قابل حل چالش ها و مسائل.

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست با تایید فوری بیایید یاد بگیریم - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.

کسر یک یا چند جزء از یک کل است که معمولاً یک (1) در نظر گرفته می شود. همانند اعداد طبیعی، می‌توانید تمام عملیات‌های اساسی حسابی (جمع، تفریق، تقسیم، ضرب) را با کسر انجام دهید؛ برای این کار باید ویژگی‌های کار با کسرها را بدانید و انواع آن‌ها را تشخیص دهید. چند نوع کسر وجود دارد: اعشاری و معمولی یا ساده. هر نوع کسر ویژگی های خاص خود را دارد، اما هنگامی که به طور کامل نحوه کار با آنها را درک کردید، می توانید هر مثالی را با کسر حل کنید، زیرا اصول اولیه انجام محاسبات حسابی با کسری را می دانید. بیایید به مثال هایی از نحوه تقسیم کسری بر یک عدد کامل با استفاده از انواع مختلف کسر نگاه کنیم.

نحوه تقسیم کسر ساده بر عدد طبیعی?
کسرهای معمولی یا ساده، کسرهایی هستند که به صورت نسبتی از اعداد نوشته می‌شوند که در بالای کسر، تقسیم‌کننده (مخرج) و در پایین آن، تقسیم‌کننده (مخرج) کسر مشخص شده است. چگونه می توان چنین کسری را بر یک عدد کامل تقسیم کرد؟ بیایید به یک مثال نگاه کنیم! فرض کنید باید 8/12 را بر 2 تقسیم کنیم.

برای انجام این کار باید تعدادی عمل انجام دهیم:
بنابراین، اگر با وظیفه تقسیم کسری بر یک عدد کامل روبرو شویم، نمودار حل چیزی شبیه به این خواهد بود:

به روشی مشابه، می توانید هر کسری معمولی (ساده) را بر یک عدد صحیح تقسیم کنید.

چگونه یک عدد اعشاری را بر یک عدد کامل تقسیم کنیم؟
اعشار کسری است که از تقسیم یک واحد به ده، هزار و غیره به دست می آید. عملیات حسابیبا کسرهای اعشاری بسیار ساده هستند.

بیایید به مثالی از نحوه تقسیم کسری بر یک عدد کامل نگاه کنیم. فرض کنید باید کسر اعشاری 0.925 را بر عدد طبیعی 5 تقسیم کنیم.

به طور خلاصه، اجازه دهید در مورد دو نکته اصلی که هنگام انجام عملیات تقسیم کسرهای اعشاری بر یک عدد صحیح مهم هستند صحبت کنیم:

• برای تقسیم یک کسری اعشاری بر یک عدد طبیعی، از تقسیم طولانی استفاده می شود.
  
• کاما در یک ضریب زمانی قرار می گیرد که تقسیم کل قسمت سود سهام کامل شود.
  

با اعمال این قوانین ساده، همیشه می توانید به راحتی هر اعشاری یا را تقسیم کنید کسر سادهتوسط یک عدد صحیح

شما می توانید همه چیز را با کسر انجام دهید، از جمله تقسیم. این مقاله تقسیم بندی را نشان می دهد کسرهای معمولی. تعاریف ارائه خواهد شد و مثال هایی مورد بحث قرار خواهد گرفت. اجازه دهید در مورد تقسیم کسرها بر اعداد طبیعی و بالعکس صحبت کنیم. تقسیم کسری مشترک بر یک عدد مختلط بحث خواهد شد.

تقسیم کسرها

تقسیم معکوس ضرب است. هنگام تقسیم، عامل مجهول در یافت می شود کار معروفو عامل دیگر، جایی که معنای داده شده آن با کسرهای معمولی حفظ می شود.

اگر لازم است یک کسری مشترک a b را بر c d تقسیم کنیم، سپس برای تعیین چنین عددی باید در مقسوم علیه c d ضرب شود، این در نهایت سود یک b را به دست می دهد. بیایید یک عدد بدست آوریم و آن را a b · d c بنویسیم، جایی که d c معکوس عدد c d است. تساوی ها را می توان با استفاده از ویژگی های ضرب نوشت، یعنی: a b · d c · c d = a b · d c · c d = a b · 1 = a b که عبارت a b · d c ضریب تقسیم a b بر c d است.

از اینجا قانون تقسیم کسرهای معمولی را بدست آورده و فرموله می کنیم:

تعریف 1

برای تقسیم کسری مشترک a b بر c d، باید سود تقسیمی را در متقابل تقسیم کننده ضرب کنید.

بیایید قانون را به شکل یک عبارت بنویسیم: a b: c d = a b · d c

قواعد تقسیم به ضرب می رسد. برای اینکه به آن پایبند باشید، باید درک خوبی از ضرب کسرها داشته باشید.

بیایید به بررسی تقسیم کسرهای معمولی بپردازیم.

مثال 1

9 7 را بر 5 3 تقسیم کنید. نتیجه را به صورت کسری بنویسید.

راه حل

عدد 5 3 کسر متقابل 3 5 است. استفاده از قانون برای تقسیم کسرهای معمولی ضروری است. این عبارت را به صورت زیر می نویسیم: 9 7: 5 3 = 9 7 · 3 5 = 9 · 3 7 · 5 = 27 35.

پاسخ: 9 7: 5 3 = 27 35 .

هنگام تقلیل کسرها، اگر صورت از مخرج بزرگتر باشد، کل قسمت را جدا کنید.

مثال 2

تقسیم 8 15: 24 65. جواب را به صورت کسری بنویسید.

راه حل

برای حل، باید از تقسیم به ضرب حرکت کنید. بیایید آن را به این شکل بنویسیم: 8 15: 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

کاهش لازم است و این کار به صورت زیر انجام می شود: 8 65 15 24 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

کل قسمت را انتخاب کنید و 13 9 = 1 4 9 را دریافت کنید.

پاسخ: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .

تقسیم کسر غیرعادی بر یک عدد طبیعی

ما از قانون تقسیم کسری بر یک عدد طبیعی استفاده می کنیم: برای تقسیم b بر یک عدد طبیعی n، فقط باید مخرج را در n ضرب کنید. از اینجا عبارت را بدست می آوریم: a b: n = a b · n.

قاعده تقسیم نتیجه قاعده ضرب است. بنابراین، نشان دادن یک عدد طبیعی به صورت کسری، تساوی از این نوع را به دست می دهد: a b: n = a b: n 1 = a b · 1 n = a b · n.

این تقسیم کسری بر عدد را در نظر بگیرید.

مثال 3

کسر 16 45 را بر عدد 12 تقسیم کنید.

راه حل

بیایید قانون تقسیم کسری بر عدد را اعمال کنیم. عبارتی از فرم 16 45 بدست می آوریم: 12 = 16 45 · 12.

بیایید کسر را کاهش دهیم. ما 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 5 = 4 135 بدست می آوریم.

پاسخ: 16 45: 12 = 4 135 .

تقسیم یک عدد طبیعی بر کسری

قانون تقسیم نیز مشابه است Oقانون تقسیم یک عدد طبیعی بر یک کسر معمولی: برای تقسیم عدد طبیعی n بر کسری معمولی a b، لازم است عدد n را در متقابل کسری a b ضرب کنیم.

بر اساس قاعده، n داریم: a b = n · b a، و به لطف قانون ضرب یک عدد طبیعی در کسری معمولی، عبارت خود را به شکل n می گیریم: a b = n · b a. لازم است این تقسیم بندی را با ذکر مثال بررسی کنیم.

مثال 4

25 را بر 15 تقسیم کنید 28.

راه حل

ما باید از تقسیم به ضرب حرکت کنیم. بیایید آن را به شکل عبارت 25 بنویسیم: 15 28 = 25 28 15 = 25 28 15. بیایید کسر را کاهش دهیم و نتیجه را به صورت کسر 46 2 3 دریافت کنیم.

پاسخ: 25: 15 28 = 46 2 3 .

تقسیم کسری بر عدد مختلط

وقتی کسر مشترک را بر یک عدد مختلط تقسیم می کنید، می توانید به راحتی شروع به تقسیم کسرهای معمولی کنید. شما باید یک عدد مختلط را به کسر نامناسب تبدیل کنید.

مثال 5

کسر 35 16 را بر 3 1 8 تقسیم کنید.

راه حل

از آنجایی که 3 1 8 یک عدد مختلط است، بیایید آن را به عنوان یک کسر نامناسب نشان دهیم. سپس 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8 به دست می آوریم. حالا بیایید کسرها را تقسیم کنیم. ما 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10 بدست می آوریم

پاسخ: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .

تقسیم یک عدد مختلط مانند اعداد معمولی انجام می شود.

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

محتوای درس

جمع کردن کسری با مخرج مشابه

دو نوع جمع کسر وجود دارد:

1. جمع کردن کسرهایی با مخرج مشابه؛
2. جمع کسری با مخرج های مختلف.

ابتدا جمع کسری با مخرج مشابه را مطالعه می کنیم. اینجا همه چیز ساده است. برای جمع کردن کسرهایی با مخرج یکسان، باید اعداد آنها را جمع کنید و مخرج را بدون تغییر رها کنید.

به عنوان مثال، بیایید کسرها و . اعداد را اضافه کنید و مخرج را بدون تغییر رها کنید:

این مثال را به راحتی می توان فهمید اگر پیتزا را به یاد بیاوریم که به چهار قسمت تقسیم شده است. اگر پیتزا را به پیتزا اضافه کنید، پیتزا دریافت خواهید کرد:

مثال 2.کسر و .

جواب کسری نامناسب بود. هنگامی که پایان کار فرا می رسد، مرسوم است که از شر کسرهای نامناسب خلاص شوید. برای خلاص شدن از شر کسری نامناسب، باید کل قسمت آن را انتخاب کنید. در مورد ما، کل قسمت به راحتی جدا می شود - دو تقسیم بر دو یک خواهد بود:

اگر پیتزای دو قسمتی را به یاد بیاوریم، این مثال را به راحتی می توان فهمید. اگر پیتزای بیشتری به پیتزا اضافه کنید، یک پیتزا کامل دریافت می کنید:

مثال 3. کسر و .

دوباره اعداد را جمع می کنیم و مخرج را بدون تغییر می گذاریم:

این مثال را به راحتی می توان فهمید اگر پیتزا را به یاد بیاوریم که به سه قسمت تقسیم شده است. اگر پیتزای بیشتری به پیتزا اضافه کنید، پیتزا دریافت خواهید کرد:

مثال 4.مقدار یک عبارت را پیدا کنید

این مثال دقیقاً به همان روش قبلی حل شده است. اعداد باید اضافه شوند و مخرج بدون تغییر باقی بماند:

بیایید سعی کنیم راه حل خود را با استفاده از یک نقاشی به تصویر بکشیم. اگر پیتزا را به یک پیتزا اضافه کنید و پیتزاهای بیشتری اضافه کنید، 1 پیتزا کامل و پیتزا بیشتر خواهید داشت.

همانطور که می بینید، هیچ چیز پیچیده ای در مورد جمع کسری با مخرج یکسان وجود ندارد. کافی است قوانین زیر را درک کنید:

1. برای اضافه کردن کسرهایی با مخرج یکسان، باید اعداد آنها را اضافه کنید و مخرج را بدون تغییر رها کنید.

جمع کسری با مخرج های مختلف

حالا بیایید یاد بگیریم که چگونه کسری را با مخرج های مختلف جمع کنیم. هنگام جمع کردن کسرها، مخرج کسرها باید یکسان باشد. اما آنها همیشه یکسان نیستند.

به عنوان مثال، کسرها را می توان اضافه کرد زیرا آنها دارند مخرج های مشابه.

اما کسرها را نمی توان فوراً اضافه کرد، زیرا این کسرها مخرج های مختلفی دارند. در چنین مواردی، کسرها باید به یک مخرج (مشترک) کاهش یابد.

روش های مختلفی برای کاهش کسرها به مخرج یکسان وجود دارد. امروز ما تنها به یکی از آنها نگاه خواهیم کرد، زیرا روش های دیگر ممکن است برای یک مبتدی پیچیده به نظر برسند.

ماهیت این روش این است که ابتدا LCM مخرج هر دو کسر جستجو می شود. سپس LCM بر مخرج کسر اول تقسیم می شود تا اولین عامل اضافی به دست آید. آنها همین کار را با کسر دوم انجام می دهند - LCM بر مخرج کسر دوم تقسیم می شود و یک عامل اضافی دوم به دست می آید.

سپس صورت و مخرج کسرها در ضرایب اضافی آنها ضرب می شوند. در نتیجه این اعمال، کسری هایی که مخرج های متفاوتی داشتند به کسری هایی تبدیل می شوند که مخرج های یکسانی دارند. و ما قبلاً می دانیم که چگونه چنین کسرهایی را اضافه کنیم.

مثال 1. بیایید کسرهای و را جمع کنیم

اول از همه، ما کمترین مضرب مشترک مخرج هر دو کسر را پیدا می کنیم. مخرج کسر اول عدد 3 و مخرج کسر دوم عدد 2 است. کمترین مضرب مشترک این اعداد 6 است.

LCM (2 و 3) = 6

حال به کسرها و . ابتدا LCM را بر مخرج کسر اول تقسیم کنید و اولین عامل اضافی را بدست آورید. LCM عدد 6 است و مخرج کسر اول عدد 3 است.

عدد 2 حاصل اولین ضریب اضافی است. آن را تا کسر اول یادداشت می کنیم. برای انجام این کار، یک خط مایل کوچک روی کسری ایجاد کنید و فاکتور اضافی موجود در بالای آن را بنویسید:

با کسر دوم هم همین کار را می کنیم. LCM را بر مخرج کسر دوم تقسیم می کنیم و عامل اضافی دوم را بدست می آوریم. LCM عدد 6 است و مخرج کسر دوم عدد 2 است.

عدد 3 حاصل، دومین ضریب اضافی است. آن را تا کسر دوم یادداشت می کنیم. مجدداً یک خط مایل کوچک روی کسر دوم ایجاد می کنیم و فاکتور اضافی موجود در بالای آن را می نویسیم:

اکنون همه چیز را برای اضافه کردن آماده کرده ایم. باقی مانده است که صورت و مخرج کسرها را در عوامل اضافی آنها ضرب کنیم:

با دقت نگاه کنید که به چه چیزی رسیده ایم. ما به این نتیجه رسیدیم که کسری هایی که مخرج های متفاوتی دارند به کسری هایی تبدیل می شوند که مخرج های یکسانی دارند. و ما قبلاً می دانیم که چگونه چنین کسرهایی را اضافه کنیم. بیایید این مثال را تا آخر بیان کنیم:

این مثال را کامل می کند. معلوم می شود که اضافه می کند.

بیایید سعی کنیم راه حل خود را با استفاده از یک نقاشی به تصویر بکشیم. اگر پیتزا را به پیتزا اضافه کنید، یک پیتزا کامل و یک ششم دیگر پیتزا دریافت خواهید کرد:

کاهش کسرها به مخرج یکسان (مشترک) نیز می تواند با استفاده از یک تصویر به تصویر کشیده شود. با کاهش کسرها و به یک مخرج مشترک، کسرها و . این دو کسر با همان تکه های پیتزا نشان داده می شوند. تنها تفاوت این است که این بار آنها به سهام مساوی تقسیم می شوند (به همان مخرج تقلیل می یابد).

اولین نقاشی نشان دهنده کسری (چهار قطعه از شش قطعه) و نقاشی دوم نشان دهنده یک کسری (سه قطعه از شش قطعه) است. با اضافه کردن این قطعات به دست می آید (هفت قطعه از شش). این کسر نامناسب است، بنابراین کل قسمت آن را برجسته کردیم. در نتیجه، ما دریافت کردیم (یک پیتزا کامل و ششمین پیتزا).

لطفا توجه داشته باشید که ما این مثال را با جزئیات بیش از حد توضیح داده ایم. که در موسسات آموزشینوشتن با این جزئیات مرسوم نیست. شما باید بتوانید به سرعت LCM مخرج ها و فاکتورهای اضافی به آنها را بیابید و همچنین عوامل اضافی یافت شده را به سرعت در صورت و مخرج خود ضرب کنید. اگر در مدرسه بودیم، باید این مثال را به صورت زیر بنویسیم:

اما همچنین وجود دارد سمت عقبمدال ها اگر در مراحل اول مطالعه ریاضیات جزییات یادداشت برداری نکنید، سوالاتی از این دست ظاهر می شوند. «این عدد از کجا می آید؟»، «چرا کسرها ناگهان به کسرهای کاملاً متفاوت تبدیل می شوند؟ «.

برای آسان تر کردن جمع کردن کسر با مخرج های مختلف، می توانید از دستورالعمل های گام به گام زیر استفاده کنید:

1. LCM مخرج کسرها را بیابید.
2. LCM را بر مخرج هر کسری تقسیم کنید و برای هر کسر یک عامل اضافی بدست آورید.
3. صورت و مخرج کسرها را در فاکتورهای اضافی ضرب کنید.
4. کسری را اضافه کنید که مخرج یکسانی دارند.
5. اگر جواب کسری نامناسب بود، کل قسمت آن را انتخاب کنید.

مثال 2.مقدار یک عبارت را پیدا کنید .

بیایید از دستورالعمل های داده شده در بالا استفاده کنیم.

مرحله 1. LCM مخرج کسرها را پیدا کنید

LCM مخرج هر دو کسر را پیدا کنید. مخرج کسرها اعداد 2 و 3 و 4 هستند

مرحله 2. LCM را بر مخرج هر کسری تقسیم کنید و برای هر کسری یک عامل اضافی بدست آورید.

LCM را بر مخرج کسر اول تقسیم کنید. LCM عدد 12 است و مخرج کسر اول عدد 2 است. 12 را بر 2 تقسیم می کنیم، عدد 6 به دست می آید. اولین عامل اضافی 6 را به دست می آوریم. آن را بالای کسری اول می نویسیم:

اکنون LCM را بر مخرج کسر دوم تقسیم می کنیم. LCM عدد 12 است و مخرج کسر دوم عدد 3 است. 12 را بر 3 تقسیم کنید، عدد 4 بدست می آید. دومین عامل اضافی 4 را بدست می آوریم. آن را بالای کسر دوم می نویسیم:

اکنون LCM را بر مخرج کسر سوم تقسیم می کنیم. LCM عدد 12 است و مخرج کسر سوم عدد 4 است. 12 را بر 4 تقسیم کنید، عدد 3 به دست می آید. سومین عامل اضافی 3 را بدست می آوریم. آن را بالای کسر سوم می نویسیم:

مرحله 3. صورت و مخرج کسرها را در فاکتورهای اضافی ضرب کنید

صورت‌ها و مخرج‌ها را در فاکتورهای اضافی ضرب می‌کنیم:

مرحله 4. کسری با مخرج یکسان را اضافه کنید

ما به این نتیجه رسیدیم که کسری هایی که مخرج های متفاوتی دارند به کسری هایی تبدیل می شوند که مخرج های یکسانی (مشترک) دارند. تنها چیزی که باقی می ماند اضافه کردن این کسرها است. اضافه کنید:

اضافه در یک خط جا نمی شد، بنابراین ما عبارت باقی مانده را به خط بعدی منتقل کردیم. این در ریاضیات مجاز است. وقتی یک عبارت در یک خط قرار نمی گیرد به سطر بعدی منتقل می شود و لازم است علامت مساوی (=) در انتهای سطر اول و در ابتدای سطر جدید قرار دهیم. علامت مساوی در خط دوم نشان می دهد که این ادامه عبارتی است که در خط اول بود.

مرحله 5. اگر جواب کسری نامناسب بود، کل قسمت آن را انتخاب کنید

جواب ما کسر نامناسبی بود. ما باید یک بخش کامل از آن را برجسته کنیم. برجسته می کنیم:

جواب گرفتیم

تفریق کسری با مخرج مشابه

دو نوع تفریق کسرها وجود دارد:

1. تفریق کسری با مخرج مشابه
2. تفریق کسری با مخرج های مختلف

ابتدا بیایید یاد بگیریم که چگونه کسرها را با مخرج مشابه کم کنیم.

برای تفریق کسر دیگری از یک کسر، باید صورت کسر دوم را از کسر اول کم کنید و مخرج را بدون تغییر رها کنید.

برای مثال، بیایید مقدار عبارت را پیدا کنیم. برای حل این مثال، باید صورت کسر دوم را از صورت کسر اول کم کنید و مخرج آن را بدون تغییر رها کنید. بیا انجامش بدیم:

این مثال را به راحتی می توان فهمید اگر پیتزا را به یاد بیاوریم که به چهار قسمت تقسیم شده است. اگر پیتزا را از پیتزا جدا کنید، پیتزا دریافت خواهید کرد:

مثال 2.مقدار عبارت را پیدا کنید.

باز هم از صورت کسر اول، کسر دوم را کم کنید و مخرج را بدون تغییر رها کنید:

این مثال را به راحتی می توان فهمید اگر پیتزا را به یاد بیاوریم که به سه قسمت تقسیم شده است. اگر پیتزا را از پیتزا جدا کنید، پیتزا دریافت خواهید کرد:

مثال 3.مقدار یک عبارت را پیدا کنید

این مثال دقیقاً به همان روش قبلی حل شده است. از شماره‌گذار کسر اول باید شمارنده‌های کسرهای باقی‌مانده را کم کنید:

همانطور که می بینید، هیچ چیز پیچیده ای در مورد تفریق کسری با مخرج یکسان وجود ندارد. کافی است قوانین زیر را درک کنید:

1. برای تفریق کسر دیگری از یک کسر، باید صورت کسر دوم را از کسر اول کم کنید و مخرج را بدون تغییر رها کنید.
2. اگر جواب کسری نامناسب بود، باید کل قسمت آن را برجسته کنید.

تفریق کسری با مخرج های مختلف

به عنوان مثال، می توانید یک کسری را از یک کسر کم کنید، زیرا کسرها مخرج های یکسانی دارند. اما شما نمی توانید کسری را از یک کسر کم کنید، زیرا این کسرها مخرج های مختلفی دارند. در چنین مواردی، کسرها باید به یک مخرج (مشترک) کاهش یابد.

مخرج مشترک با استفاده از همان اصل که ما هنگام جمع کردن کسری با مخرج های مختلف استفاده می کردیم، پیدا می شود. اول از همه، LCM مخرج هر دو کسر را پیدا کنید. سپس LCM بر مخرج کسر اول تقسیم می شود و اولین عامل اضافی بدست می آید که بالای کسر اول نوشته شده است. به همین ترتیب، LCM بر مخرج کسر دوم تقسیم می شود و یک عامل اضافی دوم به دست می آید که بالای کسر دوم نوشته می شود.

سپس کسرها در عوامل اضافی خود ضرب می شوند. در نتیجه این عملیات، کسری هایی که مخرج های متفاوتی داشتند، به کسری هایی تبدیل می شوند که مخرج های یکسانی دارند. و ما قبلاً می دانیم که چگونه چنین کسرهایی را کم کنیم.

مثال 1.معنی عبارت را پیدا کنید:

این کسرها مخرج های مختلفی دارند، بنابراین باید آنها را به یک مخرج (مشترک) کاهش دهید.

ابتدا LCM مخرج هر دو کسر را پیدا می کنیم. مخرج کسر اول عدد 3 و مخرج کسر دوم عدد 4 است. کمترین مضرب مشترک این اعداد 12 است.

LCM (3 و 4) = 12

حال به کسرها و

بیایید یک عامل اضافی برای کسر اول پیدا کنیم. برای انجام این کار، LCM را بر مخرج کسر اول تقسیم کنید. LCM عدد 12 است و مخرج کسر اول عدد 3 است. 12 را بر 3 تقسیم کنید، عدد 4 را بدست می آوریم. بالای کسر اول یک عدد چهار بنویسید:

با کسر دوم هم همین کار را می کنیم. LCM را بر مخرج کسر دوم تقسیم کنید. LCM عدد 12 است و مخرج کسر دوم عدد 4 است. 12 را بر 4 تقسیم کنید، عدد 3 بدست می آید. روی کسر دوم یک عدد سه بنویسید:

اکنون برای تفریق آماده هستیم. باقی مانده است که کسرها را در عوامل اضافی آنها ضرب کنیم:

ما به این نتیجه رسیدیم که کسری هایی که مخرج های متفاوتی دارند به کسری هایی تبدیل می شوند که مخرج های یکسانی دارند. و ما قبلاً می دانیم که چگونه چنین کسرهایی را کم کنیم. بیایید این مثال را تا آخر بیان کنیم:

جواب گرفتیم

بیایید سعی کنیم راه حل خود را با استفاده از یک نقاشی به تصویر بکشیم. اگر پیتزا را از پیتزا جدا کنید، پیتزا می گیرید

این نسخه دقیق راه حل است. اگر در مدرسه بودیم، باید این مثال را کوتاه‌تر حل می‌کردیم. چنین راه حلی به شکل زیر است:

کاهش کسرها به مخرج مشترک نیز می تواند با استفاده از یک تصویر به تصویر کشیده شود. با تقلیل این کسرها به یک مخرج مشترک، کسرهای و . این کسری ها با تکه های پیتزا یکسان نشان داده می شوند، اما این بار به سهم های مساوی تقسیم می شوند (به مخرج یکسان کاهش می یابد):

تصویر اول کسری را نشان می دهد (هشت قطعه از دوازده) و تصویر دوم کسری را نشان می دهد (سه قطعه از دوازده). با بریدن سه تکه از هشت تکه، از دوازده تکه پنج قطعه بدست می آید. کسری این پنج قطعه را توصیف می کند.

مثال 2.مقدار یک عبارت را پیدا کنید

این کسرها مخرج های مختلفی دارند، بنابراین ابتدا باید آنها را به یک مخرج (مشترک) کاهش دهید.

بیایید LCM مخرج این کسرها را پیدا کنیم.

مخرج کسرها اعداد 10، 3 و 5 هستند که کمترین مضرب مشترک این اعداد 30 است.

LCM(10، 3، 5) = 30

اکنون برای هر کسری فاکتورهای اضافی پیدا می کنیم. برای این کار، LCM را بر مخرج هر کسر تقسیم کنید.

بیایید یک عامل اضافی برای کسر اول پیدا کنیم. LCM عدد 30 است و مخرج کسر اول عدد 10 است. 30 را بر 10 تقسیم کنید، اولین عامل اضافی 3 را بدست می آوریم. آن را بالای کسر اول می نویسیم:

اکنون یک عامل اضافی برای کسر دوم پیدا می کنیم. LCM را بر مخرج کسر دوم تقسیم کنید. LCM عدد 30 است و مخرج کسر دوم عدد 3 است. 30 را بر 3 تقسیم کنید، ضریب دوم اضافی 10 به دست می آید. آن را بالای کسر دوم می نویسیم:

اکنون یک عامل اضافی برای کسر سوم پیدا می کنیم. LCM را بر مخرج کسر سوم تقسیم کنید. LCM عدد 30 است و مخرج کسر سوم عدد 5 است. 30 را بر 5 تقسیم کنید، سومین عامل اضافی 6 را بدست می آوریم. آن را بالای کسر سوم می نویسیم:

اکنون همه چیز برای تفریق آماده است. باقی مانده است که کسرها را در عوامل اضافی آنها ضرب کنیم:

ما به این نتیجه رسیدیم که کسری هایی که مخرج های متفاوتی دارند به کسری هایی تبدیل می شوند که مخرج های یکسانی (مشترک) دارند. و ما قبلاً می دانیم که چگونه چنین کسرهایی را کم کنیم. بیایید این مثال را تمام کنیم.

ادامه مثال در یک خط قرار نمی گیرد، بنابراین ادامه را به خط بعدی منتقل می کنیم. علامت مساوی (=) را در خط جدید فراموش نکنید:

معلوم شد که پاسخ کسری منظم است، و به نظر می رسد همه چیز برای ما مناسب است، اما بیش از حد دست و پا گیر و زشت است. باید ساده ترش کنیم چه کاری می توان کرد؟ می توانید این کسر را کوتاه کنید.

برای کاهش یک کسری، باید صورت و مخرج آن را بر (GCD) اعداد 20 و 30 تقسیم کنید.

بنابراین، gcd اعداد 20 و 30 را پیدا می کنیم:

اکنون به مثال خود باز می گردیم و صورت و مخرج کسر را بر gcd یافت شده تقسیم می کنیم، یعنی بر 10.

جواب گرفتیم

ضرب کسری در عدد

برای ضرب کسری در یک عدد، باید صورت کسری را در آن عدد ضرب کنید و مخرج آن را بدون تغییر رها کنید.

مثال 1. کسری را در عدد 1 ضرب کنید.

عدد کسری را در عدد 1 ضرب کنید

ضبط را می توان به صورت نیمی از 1 بار در نظر گرفت. به عنوان مثال، اگر یک بار پیتزا بخورید، پیتزا دریافت می کنید

از قوانین ضرب می دانیم که اگر ضرب و ضریب مبادله شوند، حاصلضرب تغییر نمی کند. اگر عبارت به صورت نوشته شود، محصول همچنان برابر خواهد بود. دوباره، قانون ضرب یک عدد کامل و یک کسری کار می کند:

این نماد را می توان به عنوان گرفتن نیمی از یک درک کرد. به عنوان مثال، اگر 1 پیتزا کامل باشد و نصف آن را برداریم، پیتزا خواهیم داشت:

مثال 2. مقدار یک عبارت را پیدا کنید

عدد کسر را در 4 ضرب کنید

پاسخ کسری نامناسب بود. بیایید تمام قسمت آن را برجسته کنیم:

این عبارت را می توان به صورت دو چهارم 4 بار در نظر گرفت. به عنوان مثال، اگر 4 پیتزا بگیرید، دو پیتزا کامل دریافت خواهید کرد

و اگر ضریب و ضریب را عوض کنیم، عبارت . همچنین برابر با 2 خواهد بود. این عبارت را می توان به صورت گرفتن دو پیتزا از چهار پیتزا کامل فهمید:

عددی که در کسری ضرب می شود و مخرج کسری در صورتی حل می شود که ضریب مشترک آنها بیشتر از یک باشد.

به عنوان مثال، یک عبارت را می توان به دو صورت ارزیابی کرد.

راه اول. عدد 4 را در صورت کسر ضرب کنید و مخرج کسر را بدون تغییر رها کنید:

راه دوم. چهار ضرب و چهار در مخرج کسر را می توان کاهش داد. این چهار را می توان به 4 کاهش داد، زیرا بزرگترین مقسوم علیه مشترک برای دو چهار، خود چهار است:

ما همان نتیجه را گرفتیم 3. پس از کاهش چهار عدد، اعداد جدیدی به جای آنها تشکیل می شود: دو عدد. اما ضرب یک در سه و سپس تقسیم بر یک چیزی را تغییر نمی دهد. بنابراین، راه حل را می توان به طور خلاصه نوشت:

حتی زمانی که تصمیم گرفتیم از روش اول استفاده کنیم می توان کاهش را انجام داد، اما در مرحله ضرب عدد 4 و عدد 3 تصمیم گرفتیم از کاهش استفاده کنیم:

اما برای مثال، عبارت را فقط می توان به روش اول محاسبه کرد - 7 را در مخرج کسری ضرب کنید و مخرج را بدون تغییر رها کنید:

این به این دلیل است که عدد 7 و مخرج کسری مقسوم علیه مشترک بزرگتر از یک ندارند و بر این اساس لغو نمی شوند.

برخی از دانش آموزان به اشتباه عدد در حال ضرب و عدد کسری را کوتاه می کنند. شما نمی توانید این کار را انجام دهید. به عنوان مثال، ورودی زیر صحیح نیست:

کاهش کسری به این معنی است هم صورت و هم مخرجبه همان عدد تقسیم خواهد شد. در وضعیت عبارت، تقسیم فقط در صورت شمار انجام می شود، زیرا نوشتن این همان نوشتن است. می بینیم که تقسیم فقط در صورت انجام می شود و در مخرج تقسیم صورت نمی گیرد.

ضرب کسرها

برای ضرب کسرها باید صورت و مخرج آنها را ضرب کنید. اگر جواب کسری نامناسب بود، باید کل قسمت آن را برجسته کنید.

مثال 1.مقدار عبارت را پیدا کنید.

جواب گرفتیم. توصیه می شود این کسر را کاهش دهید. کسر را می توان به 2 کاهش داد. سپس محلول نهایی به شکل زیر خواهد بود:

این عبارت را می توان به صورت گرفتن پیتزا از نصف پیتزا فهمید. فرض کنید نصف پیتزا داریم:

چگونه دو سوم از این نیمه را بگیریم؟ ابتدا باید این نیمه را به سه قسمت مساوی تقسیم کنید:

و از این سه قطعه دو عدد بردارید:

پیتزا درست میکنیم به یاد داشته باشید که وقتی پیتزا به سه قسمت تقسیم می شود چه شکلی می شود:

یک تکه از این پیتزا و دو تکه ای که ما برداشتیم ابعاد یکسانی دارند:

به عبارت دیگر، ما در مورد پیتزای هم اندازه صحبت می کنیم. بنابراین ارزش عبارت است

مثال 2. مقدار یک عبارت را پیدا کنید

صورت کسر اول را در کسر دوم و مخرج کسر اول را در مخرج کسر دوم ضرب کنید:

پاسخ کسری نامناسب بود. بیایید تمام قسمت آن را برجسته کنیم:

مثال 3.مقدار یک عبارت را پیدا کنید

صورت کسر اول را در کسر دوم و مخرج کسر اول را در مخرج کسر دوم ضرب کنید:

جواب کسری منظم بود اما اگر کوتاه می شد خوب بود. برای کاهش این کسر باید صورت و مخرج این کسر را بر بزرگترین مقسوم علیه مشترک (GCD) اعداد 105 و 450 تقسیم کنید.

بنابراین، بیایید gcd اعداد 105 و 450 را پیدا کنیم:

اکنون صورت و مخرج پاسخ خود را بر gcd که اکنون پیدا کرده ایم، یعنی بر 15 تقسیم می کنیم.

نمایش یک عدد کامل به صورت کسری

هر عدد کامل را می توان به صورت کسری نشان داد. به عنوان مثال، عدد 5 را می توان به صورت . این معنی پنج را تغییر نمی دهد، زیرا این عبارت به معنای "عدد پنج تقسیم بر یک" است و همانطور که می دانیم برابر با پنج است:

اعداد متقابل

اکنون با بسیار آشنا می شویم موضوع جالبدر ریاضیات به آن "اعداد معکوس" می گویند.

تعریف. معکوس به عددآ عددی است که وقتی در آن ضرب شودآ یکی می دهد.

بیایید در این تعریف به جای متغیر جایگزین کنیم آشماره 5 و سعی کنید تعریف را بخوانید:

معکوس به عدد 5 عددی است که وقتی در آن ضرب شود 5 یکی می دهد.

آیا می توان عددی را پیدا کرد که با ضرب در 5 یک عدد بدست آورد؟ معلوم می شود امکان پذیر است. بیایید پنج را به صورت کسری تصور کنیم:

سپس این کسر را در خودش ضرب کنید، فقط صورت و مخرج را عوض کنید. به عبارت دیگر، بیایید کسر را در خودش ضرب کنیم، فقط وارونه:

در نتیجه این اتفاق چه خواهد شد؟ اگر به حل این مثال ادامه دهیم، یکی به دست می آید:

این بدان معنی است که معکوس عدد 5 عدد است، زیرا وقتی 5 را در ضرب می کنیم یک به دست می آید.

متقابل یک عدد را می توان برای هر عدد صحیح دیگری نیز یافت.

شما همچنین می توانید متقابل هر کسری دیگر را پیدا کنید. برای انجام این کار، فقط آن را برگردانید.

تقسیم کسری بر عدد

فرض کنید نصف پیتزا داریم:

بیایید آن را به طور مساوی بین دو تقسیم کنیم. هر نفر چقدر پیتزا می گیرد؟

مشاهده می شود که پس از تقسیم نصف پیتزا دو تکه مساوی به دست آمد که هر کدام یک پیتزا را تشکیل می دهند. بنابراین همه یک پیتزا می گیرند.

) و مخرج به مخرج (مخرج حاصل را می گیریم).

فرمول ضرب کسر:

مثلا:

قبل از شروع ضرب اعداد و مخرج، باید بررسی کنید که آیا کسر قابل کاهش است یا خیر. اگر بتوانید کسر را کاهش دهید، انجام محاسبات بیشتر برای شما آسان تر خواهد بود.

تقسیم کسر مشترک بر کسری.

تقسیم کسری که شامل اعداد طبیعی است.

آنقدرها هم که به نظر می رسد ترسناک نیست. همانطور که در مورد جمع، عدد صحیح را به کسری با یک در مخرج تبدیل می کنیم. مثلا:

ضرب کسرهای مختلط

قوانین ضرب کسر (مخلوط):

• تبدیل کسرهای مختلط به کسرهای نامناسب.
• ضرب در صورت و مخرج کسرها؛
• کسر را کاهش دهید؛
• اگر کسری نامناسب بدست آورید، کسر نامناسب را به کسر مختلط تبدیل می کنیم.

توجه داشته باشید!برای ضرب یک کسر مختلط در کسر مختلط دیگر، ابتدا باید آنها را به شکل کسرهای نامناسب تبدیل کنید و سپس طبق قانون ضرب کسرهای معمولی ضرب کنید.

روش دوم برای ضرب کسری در یک عدد طبیعی.

ممکن است استفاده از روش دوم ضرب کسر مشترک در عدد راحت تر باشد.

توجه داشته باشید!برای ضرب کسری در یک عدد طبیعی، باید مخرج کسر را بر این عدد تقسیم کنید و صورت را بدون تغییر رها کنید.

از مثال بالا، واضح است که استفاده از این گزینه زمانی راحت تر است که مخرج کسری بدون باقیمانده بر یک عدد طبیعی تقسیم شود.

کسرهای چند طبقه

در دبیرستان اغلب با کسرهای سه طبقه (یا بیشتر) مواجه می‌شویم. مثال:

برای آوردن چنین کسری به شکل معمول خود، از تقسیم از طریق 2 نقطه استفاده کنید:

توجه داشته باشید!هنگام تقسیم کسرها، ترتیب تقسیم بسیار مهم است. مراقب باشید، اینجا به راحتی گیج می شود.

توجه داشته باشید، مثلا:

هنگام تقسیم یک بر هر کسری، نتیجه همان کسر خواهد بود، فقط معکوس:

نکات کاربردی برای ضرب و تقسیم کسر:

1. مهمترین چیز هنگام کار با عبارات کسری دقت و توجه است. تمام محاسبات را با دقت و دقیق، متمرکز و واضح انجام دهید. بهتر است چند خط اضافی در پیش نویس خود بنویسید تا اینکه در محاسبات ذهنی گم شوید.

2. در کارهای با انواع کسرها به سراغ نوع کسرهای معمولی بروید.

3. همه کسرها را کم می کنیم تا زمانی که دیگر امکان کاهش وجود نداشته باشد.

4. عبارات کسری چند سطحی را با استفاده از تقسیم از طریق 2 نقطه به عبارات معمولی تبدیل می کنیم.

5. یک واحد را بر یک کسری در سر خود تقسیم کنید، به سادگی کسر را برگردانید.