ساختن مماس بر دایره های مماس. موقعیت نسبی دو دایره

معمولا در چنین مشکلی به شما یک دایره و یک نقطه داده می شود. برای ساختن مماس بر دایره لازم است و مماس باید از یک نقطه معین عبور کند.

اگر محل نقطه مشخص نشده باشد، باید سه مورد احتمالی مکان نقطه به طور جداگانه مشخص شود.

اگر نقطه ای در داخل دایره ای قرار داشته باشد که توسط یک دایره محدود شده است، نمی توان از طریق آن مماس ایجاد کرد.
اگر نقطه ای روی یک دایره قرار گیرد، مماس با ساختن خطی عمود بر شعاع رسم شده به نقطه داده شده ساخته می شود.
اگر نقطه ای خارج از دایره ای باشد که توسط یک دایره محدود شده است، قبل از ایجاد مماس، نقطه ای از دایره جستجو می شود که باید از آن عبور کند.

برای حل حالت دوم، روی خط مستقیمی که شعاع روی آن قرار دارد، پاره ای ساخته می شود که برابر با شعاع است و در طرف دیگر نقطه روی دایره قرار دارد. بنابراین، یک نقطه در یک دایره معلوم می شود که وسط یک قطعه برابر با دو برابر شعاع است. در مرحله بعد، دو دایره ساخته می شود که شعاع آنها برابر با دو برابر شعاع دایره اصلی است و مراکز در انتهای قطعه برابر با دو برابر شعاع است. یک خط مستقیم از هر نقطه تلاقی این دایره ها و نقطه ای که با شرایط مسئله مشخص شده است رسم می شود. میانه عمود بر شعاع دایره اصلی، یعنی عمود بر آن، و بنابراین مماس بر دایره خواهد بود.

شما می توانید مورد سوم را، زمانی که نقطه خارج از دایره محدود شده توسط دایره قرار دارد، به صورت زیر حل کنید. لازم است یک قطعه ایجاد شود که مرکز یک دایره و یک نقطه داده شده را به هم متصل کند. سپس، وسط آن را با ساختن یک عمود میانه (که در پاراگراف قبل توضیح داده شد) پیدا کنید. پس از این، یک دایره (یا بخشی از آن) بکشید. نقطه تلاقی دایره ساخته شده و نقطه ای که با شرایط مسئله مشخص می شود، نقطه ای است که مماس از آن عبور می کند، که از نقطه ای که با شرایط مسئله مشخص می شود نیز می گذرد. یک خط مماس از دو نقطه شناخته شده رسم می شود.

برای اثبات مماس بودن خط مستقیم ساخته شده، باید زاویه تشکیل شده توسط شعاع دایره که با شرایط مسئله و پاره ای که نقطه تلاقی دایره ها را با نقطه ای که با شرایط شکل داده شده است، در نظر گرفت. مسئله. این زاویه بر روی یک نیم دایره (قطر دایره ساخته شده) قرار دارد که به معنای مستقیم است. یعنی شعاع عمود بر خط ساخته شده است. بنابراین خط ساخته شده مماس است.

اهداف درس

آموزشی - تکرار، تعمیم و آزمایش دانش با موضوع: "مماس بر دایره"؛ توسعه مهارت های اساسی
رشدی - برای توسعه توجه دانش آموزان، پشتکار، پشتکار، تفکر منطقی، گفتار ریاضی.
آموزشی - از طریق درس، نگرش توجه نسبت به یکدیگر را پرورش دهید، توانایی گوش دادن به رفقا، کمک متقابل و استقلال را القا کنید.
مفهوم مماس، نقطه تماس را معرفی کنید.
ویژگی مماس و علامت آن را در نظر بگیرید و کاربرد آنها را در حل مسائل در طبیعت و فناوری نشان دهید.

اهداف درس

ایجاد مهارت در ساخت مماس با استفاده از خط کش مقیاس، نقاله و مثلث رسم.
مهارت حل مسئله دانش آموزان را آزمایش کنید.
از تسلط بر تکنیک های الگوریتمی اساسی برای ساخت مماس بر دایره اطمینان حاصل کنید.
توسعه توانایی به کارگیری دانش نظری در حل مسئله.
تفکر و گفتار دانش آموزان را توسعه دهید.
روی توسعه مهارت‌های مشاهده، توجه به الگوها، تعمیم و استدلال از طریق قیاس کار کنید.
ایجاد علاقه به ریاضیات.

طرح درس

پیدایش مفهوم مماس.
تاریخچه مماس.
تعاریف هندسی
قضایای اساسی
ساختن مماس بر دایره.
تحکیم.

پیدایش مفهوم مماس

مفهوم مماس یکی از قدیمی ترین مفاهیم در ریاضیات است. در هندسه مماس بر دایره به خطی گفته می شود که دقیقاً یک نقطه تقاطع با آن دایره دارد. قدیمی ها با استفاده از قطب نما و خط کش می توانستند مماس ها را به یک دایره و بعداً به بخش های مخروطی بکشند: بیضی ها، هذلولی ها و سهمی ها.

تاریخچه مماس

علاقه به مماس ها در دوران مدرن احیا شد. سپس منحنی هایی کشف شد که برای دانشمندان باستان ناشناخته بود. برای مثال، گالیله سیکلوئید را معرفی کرد و دکارت و فرما مماس بر آن ساختند. در ثلث اول قرن هفدهم. آنها شروع به درک این موضوع کردند که مماس یک خط مستقیم است که "نزدیک ترین مجاورت" به منحنی در یک محله کوچک از یک نقطه داده شده است. تصور موقعیتی که در آن ایجاد مماس بر منحنی در یک نقطه (شکل) غیرممکن باشد، آسان است.

تعاریف هندسی

دایره- مکان هندسی نقاط روی صفحه با فاصله مساوی از یک نقطه معین که مرکز آن نامیده می شود.

دایره.

تعاریف مرتبط

پاره ای که مرکز یک دایره را با هر نقطه روی آن (و همچنین طول این قطعه) وصل می کند نامیده می شود شعاعحلقه ها
قسمتی از صفحه که به یک دایره محدود می شود نامیده می شود اطراف.
پاره ای که دو نقطه روی یک دایره را به هم متصل می کند آن نامیده می شود وتر. آکوردی که از مرکز دایره عبور می کند نامیده می شود قطر.
هر دو نقطه واگرا روی یک دایره آن را به دو قسمت تقسیم می کند. هر یک از این قسمت ها نامیده می شود قوسحلقه ها اندازه یک قوس می تواند اندازه زاویه مرکزی مربوط به آن باشد. یک قوس در صورتی نیم دایره نامیده می شود که قسمتی که انتهای آن را به هم وصل می کند یک قطر باشد.
خط مستقیمی که دقیقاً یک نقطه مشترک با دایره داشته باشد نامیده می شود مماسبه یک دایره، و نقطه مشترک آنها را نقطه مماس خط و دایره می نامند.
خط مستقیمی که از دو نقطه روی یک دایره می گذرد نامیده می شود جدا کردن.
زاویه مرکزی در یک دایره، زاویه صفحه ای است که یک راس در مرکز آن قرار دارد.
زاویه ای که راس آن بر روی دایره قرار دارد و اضلاع آن این دایره را قطع می کنند نامیده می شود زاویه حکاکی شده.
دو دایره با یک مرکز مشترک نامیده می شوند متحدالمرکز.

خط مماس- خط مستقیمی که از نقطه ای روی منحنی می گذرد و در این نقطه تا مرتبه اول با آن منطبق است.

مماس بر دایرهیک خط مستقیم است که یک نقطه مشترک با یک دایره دارد.

خط مستقیمی که از نقطه ای روی دایره ای در همان صفحه عمود بر شعاع رسم شده به این نقطه می گذرد. مماس نامیده می شود. در این حالت به این نقطه از دایره نقطه مماس می گویند.

جایی که در موارد ما "a" یک خط مستقیم است که بر یک دایره مماس است، نقطه "A" نقطه مماس است. در این حالت، a⊥OA (خط مستقیم a عمود بر شعاع OA است).

آنها گفتند که دو دایره لمس می کنند، اگر یک نقطه مشترک داشته باشند. این نقطه نامیده می شود نقطه تماس دایره ها. از طریق نقطه تماس می توانید مماس بر یکی از دایره ها بکشید که مماس بر دایره دیگر نیز است. لمس دایره ها می تواند داخلی یا خارجی باشد.

اگر مرکز دایره ها در یک سمت مماس قرار گیرند، مماس داخلی نامیده می شود.

مماس خارجی نامیده می شود اگر مراکز دایره ها در طرف مقابل مماس قرار گیرند

a مماس مشترک دو دایره است، K نقطه مماس است.

قضایای اساسی

قضیهدر مورد مماس و مقطع

اگر مماس و سکونت از نقطه ای خارج از دایره کشیده شوند، مربع طول مماس برابر است با حاصلضرب سکنت و قسمت بیرونی آن: MC 2 = MA MB.

قضیه.شعاع رسم شده به نقطه مماس دایره عمود بر مماس است.

قضیه.اگر شعاع عمود بر یک خط در نقطه ای که یک دایره را قطع می کند، این خط بر این دایره مماس است.

اثبات

برای اثبات این قضایا، باید به خاطر داشته باشیم که عمود از یک نقطه به یک خط چیست. این کوتاه ترین فاصله از این نقطه تا این خط است. اجازه دهید فرض کنیم که OA عمود بر مماس نیست، اما یک خط مستقیم OS عمود بر مماس وجود دارد. طول سیستم عامل شامل طول شعاع و یک بخش خاص قبل از میلاد است که مطمئناً از شعاع بیشتر است. بنابراین، می توان آن را برای هر خطی ثابت کرد. نتیجه می گیریم که شعاع، شعاع کشیده شده به نقطه تماس، کوتاه ترین فاصله تا مماس از نقطه O است، یعنی. سیستم عامل عمود بر مماس است. در اثبات قضیه معکوس، از این موضوع پیش خواهیم رفت که مماس تنها یک نقطه مشترک با دایره دارد. بگذارید این خط مستقیم یک نقطه مشترک B با دایره داشته باشد. مثلث AOB مستطیل است و دو ضلع آن برابر با شعاع هستند که اینطور نیست. بنابراین، متوجه می شویم که این خط مستقیم به جز نقطه A، نقطه مشترک دیگری با دایره ندارد، یعنی. مماس است.

قضیه.پاره های مماس ترسیم شده از یک نقطه به دایره مساوی هستند و خط مستقیمی که این نقطه را به مرکز دایره متصل می کند، زاویه بین مماس ها را تقسیم می کند.

اثبات

اثبات بسیار ساده است. با استفاده از قضیه قبلی، ادعا می کنیم که OB بر AB عمود است و OS بر AC عمود است. مثلث قائم الزاویه ABO و ACO در ساق و هیپوتنوز برابر هستند (OB=OS - شعاع، AO - کل). بنابراین اضلاع آنها AB=AC و زوایای OAC و OAB برابر هستند.

قضیه.بزرگی زاویه ای که توسط یک مماس و یک وتر با یک نقطه مشترک روی یک دایره تشکیل شده است برابر با نیمی از قدر زاویه ای کمان محصور در بین اضلاع آن است.

اثبات

زاویه NAB را در نظر بگیرید که توسط یک مماس و یک وتر تشکیل شده است. بیایید قطر AC را رسم کنیم. مماس عمود بر قطر کشیده شده به نقطه تماس است، بنابراین ∠CAN=90 o. با دانستن قضیه، می بینیم که زاویه آلفا (a) برابر با نصف مقدار زاویه ای قوس BC یا نصف زاویه BOS است. ∠NAB=90 o -a، از اینجا ∠NAB=1/2(180 o -∠BOC)=1/2∠AOB یا = نصف مقدار زاویه ای قوس BA می گیریم. و غیره.

قضیه.اگر یک مماس و یک مقطع از یک نقطه به یک دایره رسم شود، آنگاه مربع پاره مماس از یک نقطه معین به نقطه مماس برابر است با حاصلضرب طول قطعات متقاطع از یک نقطه معین به نقاط. تقاطع آن با دایره

اثبات

در شکل، این قضیه به این صورت است: MA 2 = MV * MC. بیایید آن را ثابت کنیم. با توجه به قضیه قبل، زاویه MAC برابر با نصف مقدار زاویه ای قوس AC است، همچنین زاویه ABC برابر با نصف مقدار زاویه ای قوس AC مطابق قضیه است، بنابراین این زاویه ها با هر یک برابر است. دیگر. با توجه به این که مثلث های AMC و BMA در راس M دارای زاویه مشترک هستند، شباهت این مثلث ها را در دو زاویه بیان می کنیم (علامت دوم). از شباهت داریم: MA/MB=MC/MA که از آن MA 2 =MB*MC می گیریم

ساخت مماس بر دایره

حالا بیایید سعی کنیم آن را بفهمیم و دریابیم که برای ایجاد مماس بر دایره چه کاری باید انجام شود.

در این مورد، به عنوان یک قاعده، مشکل یک دایره و یک نقطه می دهد. و من و شما باید یک مماس بر دایره بسازیم تا این مماس از یک نقطه معین عبور کند.

در صورتی که مکان یک نقطه را نمی دانیم، بیایید مواردی از مکان های احتمالی نقاط را در نظر بگیریم.

اولاً، یک نقطه ممکن است داخل یک دایره باشد که توسط یک دایره مشخص محدود شده است. در این صورت امکان ساخت مماس از طریق این دایره وجود ندارد.

در حالت دوم، نقطه روی یک دایره قرار دارد و می توانیم با کشیدن خطی عمود بر شعاع که به نقطه ای که برای ما شناخته شده است، مماس بسازیم.

ثالثاً، فرض کنید نقطه خارج از دایره قرار دارد که توسط دایره محدود شده است. در این حالت، قبل از ساختن مماس، لازم است نقطه ای از دایره پیدا شود که مماس باید از آن عبور کند.

با مورد اول، امیدوارم همه چیز برای شما روشن باشد، اما برای حل گزینه دوم باید یک قطعه بر روی خط مستقیمی که شعاع روی آن قرار دارد بسازیم. این قطعه باید برابر با شعاع و قطعه ای باشد که روی دایره طرف مقابل قرار دارد.

در اینجا می بینیم که نقطه ای از دایره وسط قطعه ای است که برابر با دو برابر شعاع آن است. مرحله بعدی ساخت دو دایره خواهد بود. شعاع این دایره ها برابر با دوبرابر شعاع دایره اصلی خواهد بود و در انتهای قطعه مرکز قرار دارد که برابر با دو برابر شعاع دایره است. اکنون می توانیم از هر نقطه تلاقی این دایره ها و یک نقطه معین یک خط مستقیم بکشیم. چنین خط مستقیمی میانه عمود بر شعاع دایره ای است که در ابتدا ترسیم شده است. بنابراین، می بینیم که این خط بر دایره عمود است و از این نتیجه می شود که بر دایره مماس است.

در گزینه سوم، نقطه ای خارج از دایره داریم که با یک دایره محدود می شود. در این حالت ابتدا قطعه ای می سازیم که مرکز دایره ارائه شده و نقطه داده شده را به هم متصل می کند. و سپس وسط آن را پیدا می کنیم. اما برای این لازم است که یک نیمساز عمود بر هم بسازیم. و شما از قبل می دانید که چگونه آن را بسازید. سپس باید یک دایره یا حداقل بخشی از آن را بکشیم. حال می بینیم که نقطه تلاقی دایره داده شده با دایره تازه ساخته شده نقطه ای است که مماس از آن عبور می کند. از نقطه ای هم می گذرد که با توجه به شرایط مشکل مشخص شد. و در نهایت، از طریق دو نقطه ای که می دانید، می توانید یک خط مماس رسم کنید.

و در نهایت برای اینکه ثابت کنیم خط مستقیمی که ساختیم مماس است باید به زاویه ای که از شعاع دایره و قطعه شناخته شده با شرط و اتصال نقطه تلاقی دایره ها تشکیل شده است توجه کنیم. با نقطه ای که شرط مسئله داده شده است. اکنون می بینیم که زاویه حاصل روی یک نیم دایره قرار دارد. و از اینجا نتیجه می شود که این زاویه راست است. در نتیجه، شعاع بر خط تازه ساخته شده عمود خواهد بود و این خط مماس است.

ساخت مماس.

ساخت خطوط مماس یکی از آن مشکلاتی است که منجر به تولد حساب دیفرانسیل شد. اولین اثر منتشر شده مربوط به حساب دیفرانسیل، نوشته لایب نیتس، با عنوان «روش جدید ماکزیمم و کمینه، و همچنین مماس ها، که نه کمیت های کسری و غیر منطقی، و نه نوع خاصی از حساب، مانعی برای آن نیست» نام داشت.

دانش هندسی مصریان باستان.

اگر سهم بسیار ناچیز ساکنان باستانی دره بین دجله و فرات و آسیای صغیر را در نظر نگیریم، هندسه قبل از 1700 قبل از میلاد در مصر باستان سرچشمه گرفته است. در طول فصل بارانی استوایی، نیل ذخایر آب خود را دوباره پر کرد و سرریز شد. آب مناطقی از زمین های زیر کشت را پوشانده بود و برای اهداف مالیاتی لازم بود تعیین شود که چه مقدار زمین از دست رفته است. نقشه برداران از یک طناب محکم به عنوان ابزار اندازه گیری استفاده می کردند. مشوق دیگر برای انباشت دانش هندسی توسط مصریان، فعالیت های آنها مانند ساخت اهرام و هنرهای زیبا بود.

سطح دانش هندسی را می توان از روی نسخه های خطی باستانی که به طور خاص به ریاضیات اختصاص دارد و چیزی شبیه به کتاب های درسی یا بهتر است بگوییم کتاب های مسئله ای هستند قضاوت کرد که در آن راه حل هایی برای مسائل مختلف عملی ارائه شده است.

قدیمی ترین نسخه خطی ریاضی مصریان توسط دانش آموز خاصی بین سال های 1800 تا 1600 کپی شده است. قبل از میلاد مسیح. از یک متن قدیمی تر این پاپیروس توسط مصر شناس روسی ولادیمیر سمنوویچ گولنیشچف پیدا شد. در مسکو - در موزه هنرهای زیبا به نام A.S. پوشکین، و پاپیروس مسکو نامیده می شود.

پاپیروس ریاضی دیگری که دو تا سیصد سال دیرتر از مسکو نوشته شده است، در لندن نگهداری می شود. نام دارد: «دستورالعمل در مورد چگونگی دستیابی به دانش از همه چیزهای تاریک، همه اسرار که چیزها در خود پنهان می کنند ... طبق آثار قدیمی، کاتب احمس این را نوشته است.» این نسخه خطی «پاپیروس احمس» یا پاپیروس Rhind - به نام انگلیسی که این پاپیروس را در مصر پیدا کرده و خرید. پاپیروس اهمس راه حل هایی را برای 84 مسئله شامل محاسبات مختلف ارائه می دهد که ممکن است در عمل مورد نیاز باشد.

حفظ حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل، ما یک خط مشی رازداری ایجاد کرده ایم که نحوه استفاده و ذخیره اطلاعات شما را شرح می دهد. لطفاً رویه‌های حفظ حریم خصوصی ما را مرور کنید و اگر سؤالی دارید با ما در میان بگذارید.

جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی

اطلاعات شخصی به داده هایی اشاره دارد که می توان از آنها برای شناسایی یا تماس با یک فرد خاص استفاده کرد.

ممکن است در هر زمانی که با ما تماس می گیرید از شما خواسته شود اطلاعات شخصی خود را ارائه دهید.

در زیر چند نمونه از انواع اطلاعات شخصی که ممکن است جمع آوری کنیم و نحوه استفاده از این اطلاعات آورده شده است.

چه اطلاعات شخصی جمع آوری می کنیم:

هنگامی که درخواستی را در سایت ارسال می کنید، ممکن است اطلاعات مختلفی از جمله نام، شماره تلفن، آدرس ایمیل و غیره شما را جمع آوری کنیم.

نحوه استفاده ما از اطلاعات شخصی شما:

اطلاعات شخصی که جمع آوری می کنیم به ما امکان می دهد با پیشنهادات منحصر به فرد، تبلیغات و سایر رویدادها و رویدادهای آینده با شما تماس بگیریم.
هر از گاهی، ممکن است از اطلاعات شخصی شما برای ارسال اعلان‌ها و ارتباطات مهم استفاده کنیم.
ما همچنین ممکن است از اطلاعات شخصی برای مقاصد داخلی مانند انجام ممیزی، تجزیه و تحلیل داده ها و تحقیقات مختلف به منظور بهبود خدمات ارائه شده و ارائه توصیه هایی در مورد خدمات خود به شما استفاده کنیم.
اگر در قرعه کشی جوایز، مسابقه یا تبلیغات مشابه شرکت می کنید، ممکن است از اطلاعاتی که شما ارائه می دهید برای اجرای چنین برنامه هایی استفاده کنیم.

افشای اطلاعات به اشخاص ثالث

ما اطلاعات دریافتی از شما را در اختیار اشخاص ثالث قرار نمی دهیم.

استثناها:

در صورت لزوم - مطابق با قانون، رویه قضایی، در مراحل قانونی و / یا بر اساس درخواست های عمومی یا درخواست های ارگان های دولتی در فدراسیون روسیه - اطلاعات شخصی خود را افشا کنید. همچنین اگر تشخیص دهیم که چنین افشایی برای اهداف امنیتی، اجرای قانون یا سایر اهداف مهم عمومی ضروری یا مناسب است، ممکن است اطلاعاتی درباره شما فاش کنیم.
در صورت سازماندهی مجدد، ادغام یا فروش، ممکن است اطلاعات شخصی را که جمع آوری می کنیم به شخص ثالث جانشین مربوطه منتقل کنیم.

حفاظت از اطلاعات شخصی

ما اقدامات احتیاطی - از جمله اداری، فنی و فیزیکی - را برای محافظت از اطلاعات شخصی شما در برابر از دست دادن، سرقت، و سوء استفاده، و همچنین دسترسی غیرمجاز، افشا، تغییر و تخریب انجام می دهیم.

احترام به حریم خصوصی شما در سطح شرکت

برای اطمینان از ایمن بودن اطلاعات شخصی شما، استانداردهای حریم خصوصی و امنیتی را به کارمندان خود ابلاغ می کنیم و شیوه های حفظ حریم خصوصی را به شدت اجرا می کنیم.

وزارت آموزش و پرورش و علوم فدراسیون روسیه

موسسه آموزشی بودجه شهرداری

شهر نووسیبیرسک "Gymnasium No. 4"

بخش: ریاضیات

پژوهش

در این مورد:

خواص دو دایره لمسی

دانش آموزان پایه دهم:

خزیاخمتوف رادیک ایلداروویچ

زوبارف اوگنی ولادیمیرویچ

سرپرست:

LL. بارینووا

معلم ریاضی

بالاترین رده صلاحیت

§ 1. مقدمه…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

§ 1.1 موقعیت نسبی دو دایره……………………………………………………………3

§ 2 خواص و شواهد آنها……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

§ 2.1 خاصیت 1………………………………………………………………………………………………………………………………….

§ 2.2 خاصیت 2…………………………………………………………………………………………………………

§ 2.3 خاصیت 3…………………………………………………………………………………………………………

§ 2.4 خاصیت 4…………………………………………………………………………………………………………

§ 2.5 خاصیت 5…………………………………………………………………………………………………

§ 2.6 خاصیت 6………………………………………………………………………………………………………

§ 3 وظایف………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

مراجع………………………………………………………………………………………………….13

§ 1. معرفی

بسیاری از مسائل مربوط به دو دایره مماس را می توان با دانستن برخی از ویژگی هایی که در ادامه ارائه خواهد شد به طور خلاصه و ساده تر حل کرد.

موقعیت نسبی دو دایره

برای شروع، اجازه دهید موقعیت نسبی احتمالی دو دایره را مشخص کنیم. ممکن است 4 مورد مختلف وجود داشته باشد.

1. دایره ها ممکن است قطع نشوند.

2. تقاطع.

3. یک نقطه از بیرون را لمس کنید.

4. لمس در یک نقطه از داخل.

§ 2. خواص و ادله آنها

بیایید مستقیماً به سمت اثبات خواص برویم.

§ 2.1 اموال 1

پاره های بین نقاط تلاقی مماس ها با دایره ها برابر یکدیگر و برابر با دو شعاع میانگین هندسی از دایره های داده شده است.

اثبات 1. O 1 A 1 و O 2 B 1 - شعاع های کشیده شده به نقاط تماس.

2. О 1 А 1 ┴ А 1 В 1، О2В1 ┴ А 1 В 1 → О 1 А 1 ║ О 2 В 1. (طبق نکته 1)

▲O 1 O 2 D - مستطیل، زیرا О 2 D ┴ О 2 В 1
O 1 O 2 = R + r، O 2 D = R – r

طبق قضیه فیثاغورث A 1 B 1 = 2√Rr

(O 1 D 2 =(R+r) 2 -(R-r) 2 =R 2 +2Rr+r2-R 2 +2Rr-r 2 =√4Rr=2√Rr)

A 2 B 2 = 2√Rr (به طور مشابه ثابت شد)

1) شعاع ها را در نقاط تقاطع مماس ها با دایره ها رسم می کنیم.

2) این شعاع ها عمود بر مماس ها و موازی یکدیگر خواهند بود.

3) یک عمود از مرکز دایره کوچکتر به شعاع دایره بزرگتر پایین بیاوریم.

4) هیپوتنوز مثلث قائم الزاویه حاصل برابر است با مجموع شعاع دایره ها. ساق با اختلاف آنها برابر است.

5) با استفاده از قضیه فیثاغورث رابطه مورد نیاز را بدست می آوریم.

§ 2.2 اموال 2

نقاط تقاطع یک خط مستقیم که نقطه مماس دایره ها را قطع می کند و در هیچ یک از آنها با مماس ها قرار نمی گیرد، بخش های مماس خارجی را که توسط نقاط مماس محدود شده اند، به نصف تقسیم می کنند، که هر یک از آنها برابر است با میانگین هندسی شعاع این دایره ها.

اثبات 1.ام‌اس= MA 1 (به عنوان بخش های مماس)

2.MC = MV 1 (به عنوان بخش های مماس)

3.A 1 M = MV 1 = √Rr، A 2 N = NB 2 = √Rr (طبق نکات 1 و 2 )

گزاره های مورد استفاده در اثبات پاره های مماس ترسیم شده از یک نقطه به یک دایره مشخص با هم برابرند. ما از این ویژگی برای هر دو دایره داده شده استفاده می کنیم.

§ 2.3 اموال 3

طول پاره مماس داخلی محصور بین مماس های خارجی برابر است با طول پاره مماس خارجی بین نقاط تماس و برابر با دو شعاع میانگین هندسی دایره های داده شده است.

اثبات این نتیجه از ویژگی قبلی حاصل می شود.

MN = MC + CN = 2MC = 2A 1 M = A 1 B 1 = 2√Rr

§ 2.4 اموال 4

مثلثی که از مراکز دایره های مماس و نقطه وسط قطعه مماس بین شعاع های کشیده شده به نقاط تماس تشکیل شده است مستطیل شکل است. نسبت پاهای آن برابر است با نصاب ریشه های شعاع این دایره ها.

اثبات 1.MO 1 نیمساز زاویه A 1 MS است، MO 2 نیمساز زاویه B 1 MS است، زیرا مرکز دایره ای که در یک زاویه محاط شده است روی نیمساز این زاویه قرار دارد.

2.طبق نقطه 1 РО 1 MS + РСМО 2 = 0.5(РА1МС + РСМВ 1) = 0.5p = p/2

3.РО 1 MO 2 – مستقیم. MC ارتفاع مثلث O 1 MO 2 است، زیرا مماس MN بر شعاع های کشیده شده به نقاط تماس عمود است → مثلث های O 1 MC و MO 2 C مشابه هستند.

4.O 1 M / MO 2 = O 1 C / MC = r / √Rr = √r / R (مشابه)

گزاره های مورد استفاده در اثبات 1) مرکز دایره ای که در یک زاویه محاط شده است روی نیمساز این زاویه قرار دارد. پایه های یک مثلث نیمساز زاویه ها هستند.

2) با استفاده از مساوی بودن زوایای تشکیل شده به این ترتیب متوجه می شویم که زاویه مورد نظر ما زاویه قائمه است. نتیجه می گیریم که این مثلث در واقع قائم الزاویه است.

3) شباهت مثلث هایی را ثابت می کنیم که ارتفاع آنها (از آنجایی که مماس بر شعاع های کشیده شده بر نقاط مماس عمود است) مثلث قائم الزاویه را تقسیم می کند و با تشابه نسبت لازم را به دست می آوریم.

§ 2.5 اموال 5

مثلثی که از نقطه تماس دایره ها با یکدیگر و نقاط تلاقی دایره ها با مماس ایجاد می شود مستطیل شکل است. نسبت پاهای آن برابر است با نصاب ریشه های شعاع این دایره ها.

اثبات

▲A 1 MC و ▲SMV 1 متساوی الساقین هستند → ÐMA 1 C = ÐMSA 1 = α، ÐMV 1 C = ÐMSV 1 = β.

2α + 2β + RA 1 MC + RSMV 1 = 2p → 2α + 2β = 2p - (RA 1 MC + RSMV 1) = 2p - p = p، α + β = p/2

اما RA 1 SV 1 = α + β → RA 1 SV 1 - مستقیم → RA 1 CO 2 = RS 1 O 2 = p/2 - β = α

▲A 1 MC و ▲CO 2 B 1 مشابه هستند → A 1 C / SV 1 = MC / O 2 B 1 = √Rr / R = √r / R

گزاره های مورد استفاده در اثبات 1) مجموع زوایای مثلث ها را با بهره گیری از متساوی الساقین بودن آنها یادداشت می کنیم. متساوی الساقین مثلث ها با استفاده از خاصیت تساوی قطعات مماس ثابت می شود.

2) با نوشتن مجموع زوایا به این ترتیب متوجه می شویم که مثلث مورد نظر دارای زاویه قائمه است بنابراین مستطیل است. قسمت اول بیانیه ثابت شده است.

3) با استفاده از تشابه مثلث ها (برای توجیه آن از علامت تشابه در دو زاویه استفاده می کنیم) نسبت ساق های یک مثلث قائم الزاویه را می یابیم.

§ 2.6 اموال 6

چهارضلعی که از نقاط تلاقی دایره ها با مماس تشکیل می شود ذوزنقه ای است که می توان دایره ای را در آن حک کرد.

اثبات 1.▲A 1 RA 2 و ▲B 1 PB 2 متساوی الساقین هستند زیرا A 1 P = RA 2 و B 1 P = PB 2 به عنوان قطعات مماس → ▲A 1 RA 2 و ▲B 1 PB 2 - مشابه.

2.A 1 A 2 ║ B 1 B 2، زیرا زوایای مربوطه تشکیل شده در تقاطع مقطع A 1 B 1 برابر است.

MN - خط وسط با توجه به ویژگی 2 → A 1 A 2 + B 1 B 2 = 2MN = 4√Rr

A 1 B 1 + A 2 B 2 = 2√Rr + 2√Rr = 4√Rr = A 1 A 2 + B 1 B 2 → در ذوزنقه A 2 A 1 B 1 B 2 مجموع پایه ها برابر است به مجموع اضلاع و این شرط لازم و کافی برای وجود دایره محاط است.

گزاره های مورد استفاده در اثبات 1) اجازه دهید دوباره از ویژگی قطعات مماس استفاده کنیم. با کمک آن، متساوی الساقین مثلث هایی که از نقطه تلاقی مماس ها و نقاط مماس تشکیل شده اند را ثابت خواهیم کرد.

2) از اینجا نتیجه می شود که این مثلث ها مشابه و پایه های آنها موازی هستند. بر این اساس نتیجه می گیریم که این چهار ضلعی ذوزنقه است.

3) با استفاده از خاصیت (2) که قبلا ثابت کردیم، خط وسط ذوزنقه را پیدا می کنیم. برابر است با دو شعاع متوسط هندسی دایره ها. در ذوزنقه حاصل، مجموع قاعده ها برابر با مجموع اضلاع است و این شرط لازم و کافی برای وجود دایره محاط است.

§ 3. مشکلات

بیایید به یک مثال عملی نگاه کنیم که چگونه می توانید حل یک مسئله را با استفاده از ویژگی های ذکر شده در بالا ساده کنید.

مشکل 1

در مثلث ABC ضلع AC = 15 سانتی متر در مثلث یک دایره حک شده است. دایره دوم اولین و اضلاع AB و BC را لمس می کند. در سمت AB، نقطه F و در سمت BC، نقطه M انتخاب شده است تا بخش FM مماس مشترکی بر دایره ها باشد. نسبت مساحت مثلث BFM و AFMC چهار ضلعی را بیابید، اگر FM 4 سانتی متر باشد و نقطه M از مرکز یک دایره دو برابر از مرکز دایره دیگر فاصله داشته باشد.

داده شده: FM-مماس کل AC=15cm FM=4cm O 2 M=2О 1 M

S BFM /S AFMC را پیدا کنید

راه حل:

1)FM=2√Rr,O 1 M/O 2 M=√r/R

2)2√Rr=4، √r/R=0.5 →r=1،R=4; PQ=FM=4

3)▲BO 1 P و ▲BO 2 Q مشابه هستند → BP/BQ=O 1 P/O 2 Q، BP/(BP+PQ)=r/R،BP/(BP+4)=0.25؛BP = 4/3

4)FM+BP=16/3، S FBM =r*P FBM =1*(16/3)=16/3; AC+BQ=15+4/3+4=61/3

5)S ABC =R*P ABC =4*(61/3)=244/3 → S BFM /S AFMC =(16/3):(244/3)=4/61

مشکل 2

دو دایره مماس با نقطه مشترک آنها D و یک مماس مشترک FK که از این نقطه عبور می کنند در یک مثلث متساوی الساقین ABC محاط شده اند. اگر قاعده مثلث AC = 9 سانتی متر و پاره ضلع مثلث محصور بین نقاط مماس دایره ها 4 سانتی متر باشد، فاصله بین مراکز این دایره ها را بیابید.

داده شده: ABC - مثلث متساوی الساقین؛ FK - مماس مشترک دایره های محاطی. AC = 9 سانتی متر؛ NE = 4 سانتی متر

راه حل:

بگذارید خطوط مستقیم AB و CD در نقطه O قطع شوند. سپس OA = OD، OB = OC، بنابراین CD = = AB = 2√Rr

نقاط O 1 و O 2 روی نیمساز زاویه AOD قرار دارند. نیمساز مثلث متساوی الساقین AOD ارتفاع آن است، بنابراین AD ┴ O 1 O 2 و BC ┴ O 1 O 2، یعنی

بعد از میلاد ║ قبل از میلاد و ABCD - ذوزنقه متساوی الساقین.

بخش MN خط وسط آن است، بنابراین AD + BC = 2MN = 2AB = AB + CD

بنابراین می توان دایره ای را در این ذوزنقه حک کرد.

فرض کنید AP ارتفاع ذوزنقه باشد، مثلث قائم الزاویه ARB و O 1 FO 2 شبیه هم هستند، بنابراین AP/O 1 F = AB/O 1 O 2 .

از اینجا متوجه می شویم که

کتابشناسی - فهرست کتب

ضمیمه روزنامه «اول شهریور» «ریاضیات» شماره 43 1382
آزمون دولتی یکپارچه 2010. ریاضیات. وظیفه C4. گوردین آر.ک.