در متوازی الاضلاع مستطیل شکل. مجموع زاویه ها و مساحت متوازی الاضلاع را محاسبه کنید: خصوصیات و ویژگی ها

کلمه مرکب "متوازی الاضلاع"؟ و پشت آن یک شکل بسیار ساده نهفته است.

خوب، یعنی ما دو خط موازی گرفتیم:

عبور از دو نفر دیگر:

و در داخل یک متوازی الاضلاع وجود دارد!

متوازی الاضلاع چه ویژگی هایی دارد؟

ویژگی های متوازی الاضلاع

یعنی اگر به مسئله متوازی الاضلاع داده شود از چه چیزی می توانید استفاده کنید؟

قضیه زیر به این سوال پاسخ می دهد:

بیایید همه چیز را با جزئیات ترسیم کنیم.

چه مفهومی داره نکته اول قضیه? و واقعیت این است که اگر متوازی الاضلاع داشته باشید، مطمئناً خواهید داشت

نکته دوم به این معنی است که اگر متوازی الاضلاع وجود داشته باشد، پس قطعاً:

خوب، و در نهایت، نکته سوم به این معنی است که اگر متوازی الاضلاع دارید، مطمئن شوید که:

آیا می بینید که چه ثروت انتخاب وجود دارد؟ در مشکل از چه چیزی استفاده کنیم؟ سعی کنید روی مسئله کار تمرکز کنید یا فقط همه چیز را یکی یکی امتحان کنید - برخی از "کلیدها" انجام خواهند داد.

حالا بیایید یک سوال دیگر از خود بپرسیم: چگونه می توانیم متوازی الاضلاع را "با دید" تشخیص دهیم؟ برای یک چهارضلعی چه اتفاقی باید بیفتد تا ما حق داشته باشیم به آن «عنوان» متوازی الاضلاع بدهیم؟

چندین علامت متوازی الاضلاع به این سوال پاسخ می دهند.

نشانه های متوازی الاضلاع.

توجه! شروع.

متوازی الاضلاع.

لطفاً توجه داشته باشید: اگر حداقل یک علامت در مشکل خود پیدا کردید، مطمئناً متوازی الاضلاع دارید و می توانید از تمام ویژگی های متوازی الاضلاع استفاده کنید.

2. مستطیل

من فکر می کنم که اصلاً برای شما خبری نخواهد بود

سوال اول: آیا مستطیل متوازی الاضلاع است؟

البته که هست! پس از همه، او دارد - به یاد داشته باشید، علامت 3 ما؟

و البته از اینجا نتیجه می شود که در یک مستطیل، مانند هر متوازی الاضلاع، مورب ها بر نقطه تقاطع به نصف تقسیم می شوند.

اما مستطیل یک ویژگی متمایز نیز دارد.

خاصیت مستطیل

چرا این ویژگی متمایز است؟ زیرا هیچ متوازی الاضلاع دیگری قطرهای برابر ندارد. بیایید آن را واضح تر بیان کنیم.

لطفا توجه داشته باشید: برای تبدیل شدن به یک مستطیل، یک چهار ضلعی باید ابتدا متوازی الاضلاع شود و سپس برابری قطرها را نشان دهد.

3. الماس

و دوباره سوال: آیا لوزی متوازی الاضلاع است یا نه؟

با راست کامل - متوازی الاضلاع، زیرا دارای و است (ویژگی 2 ما را به خاطر بسپارید).

و باز هم چون لوزی متوازی الاضلاع است پس باید تمام خصوصیات متوازی الاضلاع را داشته باشد. این بدان معناست که در یک لوزی، زوایای مقابل برابر، اضلاع مقابل موازی و مورب ها در نقطه تقاطع نصف می شوند.

خواص لوزی

به تصویر نگاه کن:

همانطور که در مورد یک مستطیل، این ویژگی ها متمایز هستند، یعنی برای هر یک از این ویژگی ها می توان نتیجه گرفت که این فقط یک متوازی الاضلاع نیست، بلکه یک لوزی است.

نشانه های الماس

و دوباره توجه کنید: نه فقط یک چهارضلعی که قطرهای آن عمود هستند، بلکه باید متوازی الاضلاع وجود داشته باشد. مطمئن شوید:

خیر البته اگرچه قطرهای آن عمود بر هم هستند و قطر آن نیمساز زوایا و. اما... مورب ها با نقطه تقاطع به نصف تقسیم نمی شوند، بنابراین - متوازی الاضلاع نیست، و بنابراین لوزی نیست.

یعنی مربع در آن واحد مستطیل و لوزی است. بذار ببینیم چه اتفاقی میافتد.

مشخص است چرا؟ - لوزی نیمساز زاویه A است که برابر است با. این بدان معنی است که آن را به دو زاویه در امتداد تقسیم می کند (و همچنین).

خوب، کاملاً واضح است: قطرهای یک مستطیل برابر هستند. قطرهای یک لوزی عمود بر هم هستند و به طور کلی متوازی الاضلاع مورب ها بر نقطه تقاطع به نصف تقسیم می شوند.

سطح متوسط

خواص چهارضلعی. متوازی الاضلاع

ویژگی های متوازی الاضلاع

توجه! کلمات " خواص متوازی الاضلاع"یعنی اگر در وظیفه شماست وجود داردمتوازی الاضلاع، سپس تمام موارد زیر را می توان استفاده کرد.

قضیه خصوصیات متوازی الاضلاع.

در هر متوازی الاضلاع:

بیایید درک کنیم که چرا این همه درست است، به عبارت دیگر ما ثابت خواهیم کردقضیه

پس چرا 1) درست است؟

اگر متوازی الاضلاع باشد، پس:

دراز کشیده متقاطع
مثل صلیب دراز کشیده

این یعنی (طبق معیار II: و - عمومی.)

خوب، همین است، همین است! - ثابت.

اما اتفاقا! ما هم ثابت کردیم 2)!

چرا؟ اما (به تصویر نگاه کنید)، یعنی دقیقاً به این دلیل.

فقط 3 عدد باقی مانده است).

برای انجام این کار، شما هنوز هم باید مورب دوم را بکشید.

و اکنون می بینیم که - طبق مشخصه II (زوایای و ضلع "بین" آنها).

خواص ثابت شده! بیایید به نشانه ها برویم.

نشانه های متوازی الاضلاع

به یاد بیاورید که علامت متوازی الاضلاع به سؤال "از کجا می دانید؟" پاسخ می دهد که یک شکل متوازی الاضلاع است.

در آیکون ها به این صورت است:

چرا؟ خوب است که بفهمیم چرا - همین کافی است. اما نگاه کن:

خوب، ما متوجه شدیم که چرا علامت 1 درست است.

خوب، حتی ساده تر است! بیایید دوباره یک مورب رسم کنیم.

یعنی:

واین نیز آسان است. اما... متفاوت!

به معنای، . وای! اما همچنین - داخلی یک طرفه با سکانت!

بنابراین این واقعیت به این معنی است که.

و اگر از طرف دیگر نگاه کنید، پس - داخلی یک طرفه با یک سکنت! و بنابراین.

میبینی چقدر عالیه؟!

و باز هم ساده:

دقیقا همینطوره و

توجه کنید:اگر پیدا کردی حداقلیک علامت متوازی الاضلاع در مشکل شما، پس شما دارید دقیقامتوازی الاضلاع و می توانید استفاده کنید هر کسخواص متوازی الاضلاع

برای وضوح کامل، به نمودار نگاه کنید:

خواص چهارضلعی. مستطیل.

خواص مستطیل:

نکته 1) کاملاً واضح است - پس از همه، علامت 3 () به سادگی انجام می شود

و نکته 2) - خیلی مهم. بنابراین، بیایید آن را ثابت کنیم

این یعنی در دو طرف (و - عمومی).

خوب، از آنجایی که مثلث ها مساوی هستند، پس هیپوتانوس آنها نیز برابر هستند.

ثابت کرد که!

و تصور کنید، تساوی قطرها یک ویژگی متمایز یک مستطیل در بین تمام متوازی الاضلاع است. یعنی این گفته درست است^

بیایید بفهمیم چرا؟

یعنی (منظور زوایای متوازی الاضلاع است). اما اجازه دهید یک بار دیگر به یاد داشته باشیم که متوازی الاضلاع است و بنابراین.

به معنای، . خوب، البته، نتیجه می شود که هر یک از آنها! بالاخره باید در کل بدهند!

بنابراین آنها ثابت کردند که اگر متوازی الاضلاعناگهان (!) مورب ها برابر می شوند، سپس این دقیقا یک مستطیل.

ولی! توجه کن!این در مورد است متوازی الاضلاع! نه فقط هر کسییک چهار ضلعی با قطرهای مساوی مستطیل است و فقطمتوازی الاضلاع!

خواص چهارضلعی. لوزی

و دوباره سوال: آیا لوزی متوازی الاضلاع است یا نه؟

با راست کامل - متوازی الاضلاع، زیرا دارای (ویژگی 2 ما را به خاطر بسپارید).

و باز هم، چون لوزی متوازی الاضلاع است، باید تمام خصوصیات متوازی الاضلاع را داشته باشد. این بدان معناست که در یک لوزی، زوایای مقابل برابر، اضلاع مقابل موازی و مورب ها در نقطه تقاطع نصف می شوند.

اما خواص ویژه ای نیز وجود دارد. فرمول بندی کنیم.

خواص لوزی

چرا؟ خوب، از آنجایی که یک لوزی متوازی الاضلاع است، بنابراین قطرهای آن به نصف تقسیم می شوند.

چرا؟ بله، به همین دلیل است!

به عبارت دیگر، مورب ها نیمساز گوشه های لوزی بودند.

همانطور که در مورد یک مستطیل، این ویژگی ها هستند متمایز، هر یک از آنها نیز نشانه لوزی است.

نشانه های الماس

چرا این هست؟ و نگاه کن،

یعنی هر دواین مثلث ها متساوی الساقین هستند.

برای لوزی بودن، یک چهارضلعی ابتدا باید متوازی الاضلاع شود و سپس ویژگی 1 یا ویژگی 2 را نشان دهد.

خواص چهارضلعی. مربع

یعنی مربع در آن واحد مستطیل و لوزی است. بذار ببینیم چه اتفاقی میافتد.

مشخص است چرا؟ مربع - لوزی - نیمساز زاویه ای است که برابر است. این بدان معنی است که آن را به دو زاویه در امتداد تقسیم می کند (و همچنین).

چرا؟ خوب، بیایید فقط قضیه فیثاغورث را برای ...

خلاصه و فرمول های اساسی

خواص متوازی الاضلاع:

اضلاع مقابل برابرند: , .
زوایای مقابل برابر هستند: , .
زوایای یک طرف جمع می شوند: , .
مورب ها با نقطه تقاطع به نصف تقسیم می شوند: .

خواص مستطیل:

قطرهای مستطیل برابر است: .
مستطیل متوازی الاضلاع است (برای مستطیل تمام خصوصیات متوازی الاضلاع برآورده می شود).

خواص لوزی:

قطرهای لوزی عمود بر هم هستند: .
قطرهای یک لوزی نیمساز زوایای آن هستند: ; ; ; .
لوزی متوازی الاضلاع است (برای لوزی تمام خصوصیات متوازی الاضلاع برآورده می شود).

خواص مربع:

مربع لوزی و مستطیل در یک زمان است، بنابراین، برای یک مربع تمام ویژگی های یک مستطیل و یک لوزی برآورده می شود. و:

خب موضوع تموم شد اگر این خطوط را می خوانید، به این معنی است که شما بسیار باحال هستید.

زیرا تنها 5 درصد از مردم می توانند به تنهایی بر چیزی مسلط شوند. و اگر تا انتها بخوانید، در این 5 درصد هستید!

حالا مهمترین چیز.

شما نظریه این موضوع را درک کرده اید. و، تکرار می کنم، این ... این فقط فوق العاده است! شما در حال حاضر بهتر از اکثریت قریب به اتفاق همسالان خود هستید.

مشکل اینجاست که ممکن است این کافی نباشد...

برای چی؟

برای گذراندن موفقیت آمیز آزمون دولتی یکپارچه، برای ورود به دانشگاه با بودجه و مهمتر از همه، مادام العمر.

من شما را به هیچ چیز متقاعد نمی کنم، فقط یک چیز را می گویم ...

افرادی که تحصیلات خوبی دریافت کرده اند بسیار بیشتر از کسانی که آن را دریافت نکرده اند، درآمد دارند. این آمار است.

اما این موضوع اصلی نیست.

نکته اصلی این است که آنها خوشحال تر هستند (چنین مطالعاتی وجود دارد). شاید به این دلیل که فرصت های بیشتری پیش روی آنها باز می شود و زندگی روشن تر می شود؟ نمی دانم...

اما خودت فکر کن...

چه چیزی لازم است تا مطمئن شوید که در آزمون یکپارچه دولتی بهتر از دیگران باشید و در نهایت شادتر باشید؟

با حل مشکلات مربوط به این موضوع، دست خود را به دست آورید.

در طول امتحان از شما تئوری سوال نمی شود.

شما نیاز خواهید داشت حل مشکلات در برابر زمان.

و اگر آنها را حل نکرده باشید (خیلی!)، قطعاً در جایی مرتکب اشتباه احمقانه ای خواهید شد یا به سادگی وقت نخواهید داشت.

مانند ورزش است - برای اینکه مطمئن شوید باید آن را چندین بار تکرار کنید.

مجموعه را در هر کجا که می خواهید پیدا کنید، لزوما با راه حل ها، تجزیه و تحلیل دقیقو تصمیم بگیرید، تصمیم بگیرید، تصمیم بگیرید!

شما می توانید از وظایف ما (اختیاری) استفاده کنید و ما البته آنها را توصیه می کنیم.

برای اینکه در استفاده از وظایف ما بهتر شوید، باید به افزایش عمر کتاب درسی YouClever که در حال حاضر در حال خواندن آن هستید کمک کنید.

چگونه؟ دو گزینه وجود دارد:

قفل تمام کارهای پنهان در این مقاله را باز کنید -
باز کردن قفل دسترسی به تمام وظایف پنهان در تمام 99 مقاله کتاب درسی - خرید کتاب درسی - 899 RUR

بله، ما 99 مقاله از این قبیل در کتاب درسی خود داریم و دسترسی به تمام وظایف و تمام متون پنهان در آنها بلافاصله باز می شود.

دسترسی به تمام کارهای پنهان برای کل عمر سایت فراهم شده است.

در نتیجه...

اگر وظایف ما را دوست ندارید، دیگران را پیدا کنید. فقط در تئوری متوقف نشوید.

"فهمیده" و "من می توانم حل کنم" مهارت های کاملاً متفاوتی هستند. شما به هر دو نیاز دارید.

مشکلات را پیدا کنید و آنها را حل کنید!

متوازی الاضلاع چهار ضلعی است که اضلاع مقابل آن به صورت جفت موازی هستند (شکل 233).

برای متوازی الاضلاع دلخواه خواص زیر برقرار است:

1. اضلاع مقابل متوازی الاضلاع با هم برابرند.

اثبات در متوازی الاضلاع ABCD قطر AC را رسم می کنیم. مثلث های ACD و AC B با هم برابرند، زیرا دارای یک ضلع مشترک AC و دو جفت زاویه مساوی در مجاورت آن هستند:

(مانند زوایای متقاطع با خطوط موازی AD و BC). این یعنی و مانند اضلاع مثلث های مساوی که در مقابل زوایای مساوی قرار دارند، که باید ثابت شود.

2. زوایای متضاد یک متوازی الاضلاع برابر است:

3. زوایای مجاور متوازی الاضلاع، یعنی زوایای مجاور یک ضلع، جمع و غیره.

اثبات خواص 2 و 3 بلافاصله از ویژگی های زاویه برای خطوط موازی به دست می آید.

4. قطرهای متوازی الاضلاع در نقطه تقاطع خود یکدیگر را نصف می کنند. به عبارت دیگر،

اثبات مثلث‌های AOD و BOC متجانس هستند، زیرا اضلاع AD و BC آنها با هم برابر هستند (خاصیت 1) و زوایای مجاور آنها (مانند زوایای متقاطع برای خطوط موازی). از اینجا نتیجه می شود که اضلاع متناظر این مثلث ها با هم برابرند: AO که باید ثابت شود.

هر یک از این چهار ویژگی متوازی الاضلاع را مشخص می کند، یا به قول خودشان ویژگی مشخصه آن است، یعنی هر چهار ضلعی که حداقل یکی از این ویژگی ها را داشته باشد متوازی الاضلاع است (و بنابراین، هر سه ویژگی دیگر را دارد).

اجازه دهید اثبات را برای هر ویژگی جداگانه انجام دهیم.

1. اگر اضلاع مقابل یک چهار ضلعی جفت با هم برابر باشند، متوازی الاضلاع است.

اثبات بگذارید چهارضلعی ABCD دارای اضلاع AD و BC، AB و CD به ترتیب برابر باشند (شکل 233). بیایید قطر AC را رسم کنیم. مثلث های ABC و CDA با داشتن سه جفت ضلع مساوی همخوان خواهند بود.

اما سپس زوایای BAC و DCA برابر هستند و . موازی اضلاع BC و AD از برابری زوایای CAD و ACB حاصل می شود.

2. اگر چهار ضلعی دارای دو جفت زاویه مقابل هم باشد، متوازی الاضلاع است.

اثبات اجازه دهید . از آن زمان هر دو طرف AD و BC موازی هستند (بر اساس موازی خطوط).

3. صورت بندی و اثبات را به خواننده واگذار می کنیم.

4. اگر قطرهای یک چهارضلعی در نقطه تلاقی یکدیگر را نصف کنند، آن چهارضلعی متوازی الاضلاع است.

اثبات اگر AO = OS، BO = OD (شکل 233)، آنگاه مثلث‌های AOD و BOC برابر هستند، زیرا دارای زوایای مساوی (عمودی!) در راس O هستند که بین جفت‌های اضلاع مساوی AO و CO، BO و DO محصور شده‌اند. از تساوی مثلث ها نتیجه می گیریم که ضلع AD و BC برابر هستند. اضلاع AB و CD نیز برابر هستند و چهار ضلعی مطابق با خاصیت مشخصه G متوازی الاضلاع است.

بنابراین، برای اثبات متوازی الاضلاع بودن یک چهارضلعی، کافی است صحت هر یک از چهار ویژگی را تأیید کنیم. از خواننده دعوت می شود تا به طور مستقل یکی دیگر از ویژگی های متوازی الاضلاع را اثبات کند.

5. اگر چهار ضلعی دارای یک جفت ضلع مساوی و موازی باشد، متوازی الاضلاع است.

گاهی به هر جفت ضلع موازی متوازی الاضلاع، قاعده آن، سپس دو ضلع دیگر را ضلع جانبی می گویند. پاره خط مستقیم عمود بر دو ضلع متوازی الاضلاع که بین آنها محصور شده است، ارتفاع متوازی الاضلاع نامیده می شود. متوازی الاضلاع در شکل 234 دارای ارتفاع h است که به اضلاع AD و BC کشیده شده است، ارتفاع دوم آن با قطعه نشان داده می شود.

خلاصه درس.

جبر پایه هشتم

معلم Sysoy A.K.

مدرسه 1828

موضوع درس: متوازی الاضلاع و خواص آن

نوع درس: ترکیبی

اهداف درس:

1) از جذب یک مفهوم جدید - متوازی الاضلاع و ویژگی های آن اطمینان حاصل کنید

2) به توسعه مهارت ها و توانایی ها برای حل مسائل هندسی ادامه دهید.

3) توسعه فرهنگ گفتار ریاضی

طرح درس:

1. لحظه سازمانی

(اسلاید 1)

این اسلاید بیانیه ای از لوئیس کارول را نشان می دهد. دانش آموزان از هدف درس مطلع می شوند. آمادگی دانش آموزان برای درس بررسی می شود.

2. به روز رسانی دانش

(اسلاید 2)

در هیئت مدیره وظایف برای کار شفاهی است. معلم از دانش آموزان دعوت می کند تا در مورد این مشکلات فکر کنند و دست خود را برای کسانی که درک می کنند چگونه مشکل را حل کنند بالا ببرند. پس از حل دو مسئله، دانش آموزی برای اثبات قضیه بر روی مجموع زوایا به تابلو فراخوانده می شود که به طور مستقل بر روی نقشه ساختارهای اضافی می سازد و قضیه را به صورت شفاهی اثبات می کند.

دانش آموزان از فرمول مجموع زوایای یک چند ضلعی استفاده می کنند:

3. بخش اصلی

(اسلاید 3)

تعریف متوازی الاضلاع روی تخته. معلم در مورد یک شکل جدید صحبت می کند و تعریفی را تدوین می کند و با استفاده از نقاشی توضیحات لازم را ارائه می دهد. سپس در قسمت شطرنجی ارائه با استفاده از نشانگر و خط کش نحوه رسم متوازی الاضلاع را نشان می دهد (چند مورد ممکن است)

(اسلاید 4)

معلم اولین ویژگی متوازی الاضلاع را فرموله می کند. از دانش‌آموزان دعوت می‌کند تا از نقاشی بگویند چه چیزی داده شده و چه چیزی باید ثابت شود. پس از این، وظیفه داده شده روی تابلو ظاهر می شود. دانش آموزان حدس می زنند (شاید با کمک معلم) که تساوی های مورد نیاز باید از طریق تساوی مثلث ها ثابت شود که با رسم قطر می توان به آن رسید (یک مورب روی تخته ظاهر می شود). در مرحله بعد، دانش آموزان دلیل مساوی بودن مثلث ها را حدس می زنند و علامت مساوی بودن مثلث ها را نام می برند (شکل مربوطه ظاهر می شود). آنها به صورت شفاهی حقایقی را که برای مساوی کردن مثلث ها ضروری است، به اشتراک می گذارند (همانطور که آنها را نام می برند، تجسم مربوطه ظاهر می شود). در مرحله بعد، دانش آموزان ویژگی مثلث های متجانس را فرموله می کنند، آن را به عنوان نقطه 3 برهان نشان می دهند و سپس به طور مستقل اثبات قضیه را به صورت شفاهی تکمیل می کنند.

(اسلاید 5)

معلم خاصیت دوم متوازی الاضلاع را فرموله می کند. رسم متوازی الاضلاع روی تخته ظاهر می شود. معلم پیشنهاد می کند از تصویر استفاده کنید تا بگویید چه چیزی داده شده است و چه چیزی باید اثبات شود. پس از اینکه دانش آموزان به درستی آنچه داده شده است و آنچه نیاز به اثبات دارد گزارش دادند، شرط قضیه ظاهر می شود. دانش‌آموزان حدس می‌زنند که تساوی اجزای قطرها از طریق تساوی مثلث‌ها قابل اثبات است.AOBو C.O.D.. با استفاده از ویژگی قبلی متوازی الاضلاع، حدس می زنیم که اضلاع برابر هستندABو سی دی. سپس می فهمند که باید زوایای مساوی را بیابند و با استفاده از خواص خطوط موازی، برابری زوایای مجاور اضلاع مساوی را ثابت کنند. این مراحل در اسلاید به تصویر کشیده می شوند. صدق قضیه از برابری مثلث ها ناشی می شود - دانش آموزان آن را می گویند و تجسم مربوطه در اسلاید ظاهر می شود.

(اسلاید 6)

معلم سومین ویژگی متوازی الاضلاع را فرموله می کند. با توجه به زمان باقی مانده تا پایان درس، معلم می تواند به دانش آموزان این فرصت را بدهد که خودشان این ویژگی را ثابت کنند یا به صورت بندی آن اکتفا کنند و خود اثبات را به عنوان تکلیف به دانش آموزان بسپارند. اثبات را می توان بر اساس مجموع زوایای یک چند ضلعی محاطی که در ابتدای درس تکرار شد، یا بر اساس مجموع زوایای یک طرفه داخلی دو خط موازی باشد.آگهیو قبل از میلاد مسیح.و برای مثال یک سکانتAB.

4. تعمیر مواد

در این مرحله دانش آموزان از قضایای آموخته شده قبلی برای حل مسائل استفاده می کنند. دانش آموزان ایده هایی را برای حل مسئله به طور مستقل انتخاب می کنند. از آنجایی که گزینه‌های طراحی ممکن زیادی وجود دارد و همه آنها به این بستگی دارد که دانش‌آموزان چگونه به دنبال راه‌حلی برای مشکل هستند، هیچ تصویرسازی از راه‌حل برای مشکلات وجود ندارد و دانش‌آموزان به‌طور مستقل هر مرحله از راه‌حل را روی یک تابلوی جداگانه ترسیم می‌کنند. با ثبت راه حل در دفترچه یادداشت

(اسلاید 7)

شرط وظیفه ظاهر می شود. معلم پیشنهاد می کند که "داده شده" را با توجه به شرایط فرمول بندی کنید. پس از اینکه دانش‌آموزان یک عبارت کوتاه از شرط را به درستی یادداشت کردند، «Given» روی تخته ظاهر می‌شود. روند حل مشکل ممکن است به شکل زیر باشد:

بیایید ارتفاع BH را ترسیم کنیم (تجسم شده)

مثلث AHB یک مثلث قائم الزاویه است. زاویه A برابر با زاویه C و برابر با 30 0 است (با توجه به خاصیت زوایای مقابل در متوازی الاضلاع). 2BH =AB (با ویژگی ساق در مقابل زاویه 30 0 در یک مثلث قائم الزاویه قرار دارد). بنابراین AB = 13 سانتی متر.

AB = CD، BC = AD (با توجه به خاصیت اضلاع مقابل در متوازی الاضلاع) پس AB = CD = 13 سانتی متر. از آنجایی که محیط متوازی الاضلاع 50 سانتی متر است، پس BC = AD = (50 – 26): 2 = 12 سانتی متر.

پاسخ: AB = CD = 13 سانتی متر، BC = AD = 12 سانتی متر.

(اسلاید 8)

شرط وظیفه ظاهر می شود. معلم پیشنهاد می کند که "داده شده" را با توجه به شرایط فرمول بندی کنید. سپس "Given" روی صفحه ظاهر می شود. با استفاده از خطوط قرمز، یک چهار ضلعی برجسته می شود که در مورد آن باید متوازی الاضلاع بودن آن را ثابت کنید. روند حل مشکل ممکن است به شکل زیر باشد:

زیرا BK و MD بر یک خط عمود هستند، سپس خطوط BK و MD موازی هستند.

از طریق زوایای مجاور می توان نشان داد که مجموع زوایای یک طرفه داخلی در خطوط مستقیم BM و KD و مقطع MD برابر با 180 0 است. بنابراین، این خطوط موازی هستند.

از آنجایی که BMDK چهار ضلعی دارای اضلاع مخالف به صورت جفت موازی است، پس این چهار ضلعی متوازی الاضلاع است.

5. پایان درس. رفتار نتایج.

(اسلاید 8)

سوالات مربوط به موضوع جدید در اسلاید ظاهر می شود که دانش آموزان به آنها پاسخ می دهند.

اثبات

اول از همه، بیایید AC مورب را رسم کنیم. ما دو مثلث داریم: ABC و ADC.

از آنجایی که ABCD متوازی الاضلاع است، موارد زیر صادق است:

بعد از میلاد || BC \Rightarrow \ Angle 1 = \ Angle 2مثل دراز کشیدن متقاطع

AB || CD\Rightarrow\angle3 =\angle 4مثل دراز کشیدن متقاطع

بنابراین، \ مثلث ABC = \مثلث ADC (با توجه به معیار دوم: و AC رایج است).

و بنابراین، \ مثلث ABC = \مثلث ADC، سپس AB = CD و AD = BC.

ثابت شده!

2. زوایای مقابل یکسان هستند.

اثبات

با توجه به اثبات خواص 1ما آن را میدانیم \ زاویه 1 = \ زاویه 2 ، \ زاویه 3 = \ زاویه 4. بنابراین مجموع زوایای مقابل برابر است با: \ زاویه 1 + \ زاویه 3 = \ زاویه 2 + \ زاویه 4. با توجه به اینکه \مثلث ABC = \مثلث ADC ما \زاویه A = \زاویه C ، \زاویه B = \زاویه D را دریافت می کنیم.

ثابت شده!

3. مورب ها با نقطه تقاطع به نصف تقسیم می شوند.

اثبات

بیایید یک مورب دیگر رسم کنیم.

توسط دارایی 1می دانیم که اضلاع مقابل یکسان هستند: AB = CD. یک بار دیگر، به زوایای مساوی متقاطع توجه کنید.

بنابراین، با توجه به معیار دوم برای تساوی مثلث ها (دو زاویه و ضلع بین آنها) مشخص می شود که \ مثلث AOB = \مثلث COD. یعنی BO = OD (مقابل گوشه های \زاویه 2 و \زاویه 1) و AO = OC (به ترتیب در مقابل گوشه های \زاویه 3 و \زاویه 4).

ثابت شده!

نشانه های متوازی الاضلاع

اگر فقط یک ویژگی در مشکل شما وجود داشته باشد، آن شکل متوازی الاضلاع است و می توانید از تمام ویژگی های این شکل استفاده کنید.

برای حفظ بهتر، توجه داشته باشید که علامت متوازی الاضلاع به سؤال زیر پاسخ می دهد - "چگونه بفهمیم؟". یعنی چگونه می توان فهمید که یک شکل داده شده متوازی الاضلاع است.

1. متوازی الاضلاع چهار ضلعی است که دو ضلع آن برابر و موازی باشند.

AB = CD ; AB || CD\Rightarrow ABCD یک متوازی الاضلاع است.

اثبات

بیایید نگاه دقیق تری بیندازیم. چرا AD || قبل از میلاد مسیح؟

\ مثلث ABC = \مثلث ADC توسط دارایی 1: AB = CD، AC - مشترک و \ زاویه 1 = \ زاویه 2 به صورت متقاطع با AB و CD موازی و AC متقاطع قرار دارد.

اما اگر \ مثلث ABC = \مثلث ADC , آنگاه \ زاویه 3 = \زاویه 4 (به ترتیب مقابل AB و CD قرار دارد). و بنابراین پس از میلاد || قبل از میلاد (\زاویه 3 و \زاویه 4 - آنهایی که به صورت ضربدری قرار دارند نیز برابر هستند).

اولین علامت درست است.

2. متوازی الاضلاع چهار ضلعی است که اضلاع مقابل آن با هم برابر باشند.

AB = CD، AD = BC \Rightarrow ABCD متوازی الاضلاع است.

اثبات

بیایید این علامت را در نظر بگیریم. بیایید دوباره AC مورب را رسم کنیم.

توسط دارایی 1\ مثلث ABC = \مثلث ACD .

نتیجه می شود که: \زاویه 1 = \زاویه 2 \Rightarrow AD || قبل از میلاد مسیح.و \ زاویه 3 = \ زاویه 4 \ راست فلش AB || سی دییعنی ABCD متوازی الاضلاع است.

علامت دوم درست است.

3. متوازی الاضلاع چهار ضلعی است که زوایای مقابل آن برابر است.

\ زاویه A = \ زاویه C ، \ Angle B = \ Angle D \Rightarrow ABCD- متوازی الاضلاع.

اثبات

2 \alpha + 2 \beta = 360^(\circ)(از آنجایی که ABCD یک چهار ضلعی است و \ زاویه A = \ زاویه C ، \ زاویه B = \ زاویه D بر اساس شرط).

معلوم می شود که \alpha + \beta = 180^(\circ) . اما \آلفا و \بتا در قسمت AB یک طرفه داخلی هستند.

و اینکه \alpha + \beta = 180^(\circ) نیز به این معنی است که AD || قبل از میلاد مسیح.

علاوه بر این، \alpha و \beta در بخش AD یک طرفه داخلی هستند. و این یعنی AB || سی دی.

علامت سوم صحیح است.

4. متوازی الاضلاع چهارضلعی است که قطرهای آن بر نقطه تقاطع به نصف تقسیم می شوند.

AO = OC ; BO = OD\متوازی الاضلاع فلش راست.

اثبات

BO = OD; AO = OC، \ زاویه 1 = \ زاویه 2 به صورت عمودی \Rightarrow \مثلث AOB = \مثلث COD, فلش راست \ زاویه 3 = \ زاویه 4و \Rightarrow AB || سی دی.

به طور مشابه BO = OD; AO = OC، \ زاویه 5 = \ زاویه 6 \ راست فلش \ مثلث AOD = \ مثلث BOC \ راست فلش \ زاویه 7 = \ زاویه 8و \Rightarrow AD || قبل از میلاد مسیح.

علامت چهارم صحیح است.