اصل برهم نهی فرمولاسیون میدان های الکتریکی. قدرت میدان الکتریکی

بازوی دوقطبی - بردار هدایت شده در امتداد محور دوقطبی از یک بار منفی به یک بار مثبت و برابر با فاصله بین آنها.

گشتاور دوقطبی الکتریکی p e- بردار منطبق در جهت با بازوی دوقطبی و برابر حاصلضرب مدول بار و بازو:

اجازه دهید r- فاصله تا نقطه A از وسط محور دوقطبی. سپس، با توجه به آن r>>l.

2) قدرت میدان در نقطه B بر روی عمود،به محور دوقطبی از مرکز آن در r'>>l.

از همین رو

برهمکنش بارهای الکتریکی از طریق نوع خاصی از ماده تولید شده توسط ذرات باردار انجام می شود - میدان الکتریکی . بارهای الکتریکی خصوصیات فضای اطراف خود را تغییر می دهند. این خود را در این واقعیت نشان می دهد که بار دیگری در نزدیکی جسم باردار قرار می گیرد (بیایید آن را بنامیم آزمایش) نیرو اعمال می شود (شکل 2). با بزرگی این نیرو می توان «شدت» میدان ایجاد شده توسط بار را قضاوت کرد q. برای اینکه نیروی وارد بر بار آزمایشی میدان الکتریکی را دقیقاً در یک نقطه معین از فضا مشخص کند، بار آزمایشی باید آشکارا باشد. نقطه.

شکل 2

با قرار دادن شارژ آزمایشی q و غیرهدر فاصله ای rاز شارژ q(شکل 2)، متوجه خواهیم شد که نیرویی بر آن وارد می شود که بزرگی آن به اندازه بار آزمایشی گرفته شده بستگی دارد. q و غیره .

L
با این حال، به راحتی می توان دریافت که برای همه هزینه های آزمایشی این نسبت اف/ q و غیره یکسان خواهد بود و فقط به مقادیر بستگی دارد qو r، فیلد شارژ را تعریف می کند qدر این نقطه r. بنابراین طبیعی است که این نسبت را به عنوان کمیتی در نظر بگیریم که «شدت» را مشخص می کند یا، همانطور که می گویند، تنش میدان الکتریکی (در این مورد، میدان شارژ نقطه ای):

.

بنابراین، قدرت میدان الکتریکی آن است مشخصه قدرت . از نظر عددی برابر با نیروی وارد بر بار آزمایشی است q و غیره = 1+ در این قسمت قرار می گیرد.

قدرت میدان - بردار . جهت آن با جهت منطبق است بردار نیرو ، بر روی شارژ نقطه ای قرار داده شده در این زمینه عمل می کند. بنابراین، اگر در یک میدان الکتریکی با شدت یک شارژ نقطه ای قرار دهید q، سپس نیرو بر روی آن عمل می کند:

ابعاد قدرت میدان الکتریکی در SI:
.

نشان دادن میدان الکتریکی با استفاده از آن راحت است خطوط برق . خط نیرو خطی است که بردار مماس آن در هر نقطه با جهت بردار شدت میدان الکتریکی در آن نقطه منطبق است. به طور کلی پذیرفته شده است که خطوط نیرو از بارهای مثبت شروع می شوند و با بارهای منفی به پایان می رسند (یا تا بی نهایت می روند) و هیچ جا قطع نمی شوند.

میدان الکتریکی اطاعت می کند اصل برهم نهی (افزودن)، که می تواند به صورت زیر فرموله شود: شدت میدان الکتریکی ایجاد شده در نقطه خاصی از فضا توسط یک سیستم بارها برابر است با مجموع بردار شدت میدان الکتریکی ایجاد شده در همان نقطه در فضا توسط هر یک از بارها به طور جداگانه:

.

1. کار نیروهای میدان الکترواستاتیک، پتانسیل. محافظه کاری نیروهای الکترواستاتیک، ارتباط بین e و . نقطه و پتانسیل شارژ توزیع شده

همانطور که از قانون کولن بر می آید، نیرویی که بر یک بار نقطه ای وارد می شود qدر میدان الکتریکی ایجاد شده توسط بارهای دیگر است مرکزی . بگذارید آن را به خاطر بیاوریم مرکزینیرویی نامیده می شود که خط عمل آن در امتداد بردار شعاع متصل کننده یک نقطه ثابت باشد در باره(مرکز میدان) با هر نقطه از مسیر. از «مکانیک» معلوم است که همه چیز نیروهای مرکزی هستند پتانسیل . کار این نیروها وابسته نیستروی شکل مسیر حرکت بدنی که روی آن عمل می کنند و برابر با صفردر امتداد هر کانتور بسته (مسیر حرکت). همانطور که در میدان الکترواستاتیک اعمال می شود:

.

یعنی کار نیروهای میدانی برای جابجایی یک بار qاز نقطه 1 تا نقطه 2 از نظر بزرگی برابر است و علامت مخالف کار حرکت بار از نقطه 2 به نقطه 1 بدون توجه به شکل مسیر حرکت است. در نتیجه، کار نیروهای میدان برای حرکت یک بار را می توان با تفاوت در انرژی های بالقوه بار در نقاط اولیه و نهایی مسیر حرکت نشان داد:

.

معرفی کنیم پتانسیل میدان الکترواستاتیک φ با مشخص کردن آن به عنوان یک رابطه:

, (بعد در SI:
).

سپس کار نیروهای میدانیبا حرکت یک بار نقطه ای qاز نقطه 1 تا 2 خواهد بود:

اختلاف پتانسیل
ولتاژ الکتریکی نامیده می شود. بعد ولتاژ، مانند پتانسیل، [U] = B است.

اعتقاد بر این است که هیچ میدان الکتریکی در بی نهایت وجود ندارد، به این معنی
. این به شما اجازه می دهد که بدهید تعیین پتانسیل چگونه کاری که باید انجام شود برای جابجایی شارژq= 1+ از بینهایت تا یک نقطه معین در فضا.بنابراین، پتانسیل میدان الکتریکی آن است ویژگی های انرژی

اصل برهم نهی

فرض کنید ما سه امتیاز داریم. این اتهامات متقابل هستند. می توانید آزمایشی انجام دهید و نیروهایی را که روی هر بار اعمال می شود اندازه گیری کنید. برای یافتن مجموع نیرویی که دوم و سوم بر روی یک بار با آن وارد می شوند، باید نیروهایی را که هر یک از آنها بر اساس قانون متوازی الاضلاع عمل می کنند، اضافه کرد. این سوال مطرح می شود که اگر نیروها بر اساس قانون کولن محاسبه شوند، آیا نیروی اندازه گیری شده ای که بر هر یک از بارها وارد می شود برابر است با مجموع نیروهای وارد شده توسط دو بار دیگر؟ تحقیقات نشان داده است که نیروی اندازه گیری شده برابر است با مجموع نیروهای محاسبه شده طبق قانون کولن در قسمت دو بار. این نتیجه تجربی در قالب گزاره هایی بیان می شود:

• نیروی برهمکنش بین دو بار نقطه ای در صورت وجود بارهای دیگر تغییر نمی کند.
• نیروی وارد بر یک بار نقطه ای از دو بار نقطه ای برابر است با مجموع نیروهای وارد بر آن از هر یک از بارهای نقطه ای در غیاب دیگری.

این عبارت را اصل برهم نهی می نامند. این اصل یکی از پایه های دکترین الکتریسیته است. به اندازه قانون کولن مهم است. تعمیم آن در مورد بسیاری از اتهامات آشکار است. اگر چندین منبع میدانی وجود داشته باشد (تعداد بارهای N)، نیروی حاصله که بر بار آزمایشی q عمل می کند را می توان به صورت زیر یافت:

\[\overrightarrow(F)=\sum\limits^N_(i=1)(\overrightarrow(F_(ia)))\left(1\right),\]

که در آن $\overrightarrow(F_(ia))$ نیرویی است که با آن شارژ $q_i$ بر روی شارژ q عمل می کند، اگر بارهای N-1 دیگری وجود نداشته باشد.

اصل برهم نهی (1) اجازه می دهد تا با استفاده از قانون برهمکنش بین بارهای نقطه ای، نیروی برهمکنش بین بارهای واقع در جسمی با ابعاد محدود محاسبه شود. برای این کار لازم است که هر یک از بارها را به بارهای کوچک dq که می توان آنها را بارهای نقطه ای در نظر گرفت، تقسیم کرد، آنها را جفت گرفت، نیروی اندرکنش را محاسبه کرد و بردار نیروهای حاصل را جمع کرد.

تفسیر میدانی اصل برهم نهی

اصل برهم نهی یک تفسیر میدانی دارد: قدرت میدان دو بار نقطه ای برابر است با مجموع شدت هایی که توسط هر یک از بارها در غیاب دیگری ایجاد می شود.

به طور کلی، اصل برهم نهی با توجه به کشش ها را می توان به صورت زیر نوشت:

\[\overrightarrow(E)=\sum(\overrightarrow(E_i))\left(2\right).\]

جایی که $(\overrightarrow(E))_i=\frac(1)(4\pi (\varepsilon )_0)\frac(q_i)(\varepsilon r^3_i)\overrightarrow(r_i)\ $ شدت بار نقطه i-ام، $\overrightarrow(r_i)\ $ بردار شعاع است که از بار i-امین به نقطه ای در فضا کشیده شده است. عبارت (1) به این معنی است که شدت میدان هر تعداد بار نقطه ای برابر است با مجموع شدت میدان هر یک از بارهای نقطه ای، در صورتی که دیگری وجود نداشته باشد.

با تمرین مهندسی تایید شده است که اصل برهم نهی تا قدرت میدان بسیار بالا رعایت می شود. میدان های موجود در اتم ها و هسته ها دارای قدرت های بسیار قابل توجهی هستند (از مرتبه $(10)^(11)-(10)^(17)\frac(B)(m)$)، اما حتی برای آنها اصل برهم نهی وجود دارد. در محاسبه سطوح انرژی اتم ها استفاده شد و داده های محاسباتی با داده های آزمایشی با دقت زیادی مطابقت داشت. البته لازم به ذکر است که در فواصل بسیار کوچک (از مرتبه $\sim (10)^(-15)m$) و بسیار زیاد میدان های قویاصل برهم نهی ممکن است برقرار نباشد. بنابراین، برای مثال، در سطح هسته‌های سنگین، نقاط قوت به مرتبه $\sim (10)^(22)\frac(V)(m)$ می‌رسند، اصل برهم‌نهی برآورده می‌شود، اما در قدرت 10$ )^(20)\frac(V)(m)$ غیرخطی‌های برهمکنش کوانتومی - مکانیکی بوجود می‌آیند.

اگر بار به طور مداوم توزیع شود (نیازی به در نظر گرفتن گسستگی وجود ندارد)، آنگاه قدرت میدان کل به صورت زیر در نظر گرفته می شود:

\[\overrightarrow(E)=\int(d\overrightarrow(E))\ \left(3\right).\]

در رابطه (3)، ادغام بر روی ناحیه توزیع بار انجام می شود. اگر بارها در امتداد خط توزیع شوند ($\tau =\frac(dq\ )(dl)-linear\ density\ توزیع\ charge$)، سپس ادغام در (3) در طول خط انجام می شود. اگر بارها در سطح و تراکم سطحتوزیع $\sigma =\frac(dq\ )(dS)$، سپس روی سطح ادغام کنید. اگر با توزیع بار حجمی سر و کار داشته باشیم، یکپارچه سازی بر روی حجم انجام می شود: $\rho =\frac(dq\ )(dV)$، که $\rho$ چگالی توزیع بار حجمی است.

اصل برهم نهی، در اصل به شخص اجازه می دهد تا $\overrightarrow(E)$ را برای هر نقطه در فضا از توزیع بار فضایی شناخته شده تعیین کند.

مثال 1

تخصیص: بارهای نقطه ای یکسان q در راس مربعی با ضلع a قرار دارند. نیروی وارد شده بر هر بار توسط سه بار دیگر را تعیین کنید.

اجازه دهید نیروهای وارد بر یکی از بارها را در راس مربع به تصویر بکشیم (انتخاب مهم نیست، زیرا بارها یکسان هستند) (شکل 1). نیروی حاصله را که بر روی شارژ $q_1$ اثر می‌گذارد به صورت زیر می‌نویسیم:

\[\overrightarrow(F)=(\overrightarrow(F))_(12)+(\overrightarrow(F))_(14)+(\overrightarrow(F))_(13)\ \left(1.1\right ).\]

نیروهای $(\overrightarrow(F))_(12)$ و $(\overrightarrow(F))_(14)$ از نظر قدر مساوی هستند و می توان آنها را به صورت زیر یافت:

\[\چپ|(\overrightarrow(F))_(12)\right|=\left|(\overrightarrow(F))_(14)\right|=k\frac(q^2)(a^2 )\ \چپ(1.2\راست)،\]

که $k=9 (10)^9\frac(Nm^2)(C)^2).$

ما مدول نیرو $(\overrightarrow(F))_(13)$ را نیز طبق قانون کولن خواهیم یافت، با دانستن اینکه قطر مربع برابر است با:

بنابراین ما داریم:

\[\left|(\overrightarrow(F))_(13)\right|=k\frac(q^2)(2a^2)\ \left(1.4\right)\]

بیایید محور OX را همانطور که در شکل نشان داده شده است هدایت کنیم. 1، معادله (1.1) را طرح می کنیم، ماژول های نیروی حاصل را جایگزین می کنیم، به دست می آوریم:

پاسخ: نیروی وارد بر هر یک از بارها در راس مربع برابر است با: $F=\frac(kq^2)(a^2)\left(\frac(2\sqrt(2)+1) (2)\راست) .$

مثال 2

تکلیف: یک بار الکتریکی به طور یکنواخت در امتداد یک نخ نازک با چگالی خطی یکنواخت $\tau$ توزیع می شود. یک عبارت برای قدرت میدان در فاصله $a$ از انتهای نخ در امتداد ادامه آن پیدا کنید. طول نخ $l$ است.

اجازه دهید یک بار نقطه‌ای $dq$ روی نخ انتخاب کنیم و برای آن از قانون کولن عبارت قدرت میدان الکترواستاتیک را بنویسیم:

در یک نقطه معین، تمام بردارهای کششی به طور مساوی در امتداد محور X هدایت می شوند، بنابراین، داریم:

از آنجایی که شارژ، با توجه به شرایط مشکل، به طور یکنواخت روی نخ با چگالی خطی $\tau $ توزیع می شود، می توانیم موارد زیر را بنویسیم:

بیایید معادله (2.4) را جایگزین معادله (2.1) کرده و ادغام کنیم:

پاسخ: قدرت میدان نخ در نقطه مشخص شده با فرمول محاسبه می شود: $E=\frac(k\tau l)(a(l+a)).$

یکی از وظایفی که الکترواستاتیک برای خود تعیین می کند، ارزیابی پارامترهای میدان برای توزیع ثابت بارها در فضا است. و اصل برهم نهی یکی از گزینه های حل چنین مشکلی است.

اصل برهم نهی

اجازه دهید وجود بارهای سه نقطه ای را در تعامل با یکدیگر فرض کنیم. با کمک آزمایش می توان نیروهای وارد بر هر یک از بارها را اندازه گیری کرد. برای یافتن مجموع نیرویی که دو بار دیگر روی یک بار وارد می کنند، باید نیروهای هر یک از این دو را طبق قانون متوازی الاضلاع جمع کنید. در این مورد، سوال منطقی این است: آیا نیروی اندازه گیری شده ای که بر هر یک از بارها وارد می شود و مجموع نیروهای دو بار دیگر با یکدیگر برابر هستند، اگر نیروها بر اساس قانون کولن محاسبه شوند؟ نتایج تحقیق پاسخ مثبتی به این سوال نشان می‌دهد: در واقع، نیروی اندازه‌گیری شده برابر است با مجموع نیروهای محاسبه‌شده طبق قانون کولمب در مورد بارهای دیگر. این نتیجه گیری در قالب مجموعه ای از گزاره ها نوشته می شود و اصل برهم نهی نامیده می شود.

تعریف 1

اصل برهم نهی:

• نیروی برهمکنش بین دو بار نقطه ای در صورت وجود بارهای دیگر تغییر نمی کند.
• نیروی وارد بر یک بار نقطه ای از دو بار نقطه ای دیگر برابر است با مجموع نیروهای وارد بر آن از هر یک از بارهای نقطه ای در غیاب دیگری.

اصل برهم نهی میدان های بار یکی از پایه های مطالعه پدیده ای مانند الکتریسیته است: اهمیت آن با اهمیت قانون کولمب قابل مقایسه است.

در موردی که در مورد مجموعه ای از بارهای N (یعنی چندین منبع میدانی) صحبت می کنیم، کل نیروی تجربه شده توسط بار آزمایشی qرا می توان با فرمول تعیین کرد:

F → = ∑ i = 1 N F i a →

که در آن F i a → نیرویی است که با آن بر بار تأثیر می گذارد qشارژ q i اگر شارژ N - 1 دیگری وجود نداشته باشد.

با استفاده از اصل برهم نهی با استفاده از قانون برهمکنش بین بارهای نقطه ای، می توان نیروی برهمکنش بین بارهای موجود روی جسمی با ابعاد محدود را تعیین کرد. برای این منظور، هر بار به بارهای کوچک d q تقسیم می شود (ما آنها را بارهای نقطه ای در نظر می گیریم)، ​​که سپس به صورت جفت گرفته می شوند. نیروی اندرکنش محاسبه شده و در نهایت جمع بردار نیروهای حاصل انجام می شود.

تفسیر میدانی اصل برهم نهی

تفسیر میدانی: شدت میدان دو بار نقطه ای مجموع شدت هایی است که هر یک از بارها در غیاب دیگری ایجاد می کند.

برای موارد کلی، اصل برهم نهی با توجه به کشش ها دارای نماد زیر است:

E → = ∑ E i →،

که در آن E i → = 1 4 π ε 0 q i ε r i 3 r i → شدت بار نقطه i است، r i → شعاع بردار است که از بار i ام به نقطه خاصی در فضا کشیده شده است. این فرمول به ما می گوید که شدت میدان هر تعداد بار نقطه ای، مجموع شدت میدان هر یک از بارهای نقطه ای است، اگر دیگری وجود نداشته باشد.

تمرین مهندسی انطباق با اصل برهم نهی را حتی برای قدرت میدان بسیار بالا تأیید می کند.

میدان های موجود در اتم ها و هسته ها قدرت قابل توجهی دارند (از مرتبه 10 11 - 10 17 ولت متر)، اما حتی در این مورد نیز از اصل برهم نهی برای محاسبه سطوح انرژی استفاده شد. در این مورد، نتایج محاسبات با داده‌های تجربی با دقت بالایی مطابقت داشت.

با این حال، همچنین باید توجه داشت که در مورد فواصل بسیار کوچک (در حدود 10-15 متر) و میدان های بسیار قوی، اصل برهم نهی احتمالاً رعایت نمی شود.

مثال 1

به عنوان مثال، در سطح هسته های سنگین با قدرتی حدود 10 22 ولت متر، اصل برهم نهی برقرار است و در قدرت 10 20 ولت متر، غیرخطی های مکانیکی کوانتومی برهمکنش ایجاد می شود.

هنگامی که توزیع بار پیوسته است (یعنی نیازی به در نظر گرفتن گسستگی نیست)، قدرت میدان کل با فرمول ارائه می شود:

E → = ∫ d E → .

در این ورودی، ادغام در منطقه توزیع شارژ انجام می شود:

• هنگامی که بارها در طول خط توزیع می شوند (τ = d q d l - چگالی توزیع بار خطی)، ادغام در طول خط انجام می شود.
• هنگامی که بارها روی سطح توزیع می شوند (σ = d q d S - چگالی توزیع سطح)، ادغام روی سطح انجام می شود.
• با توزیع بار حجمی (ρ = d q d V - چگالی توزیع حجمی)، ادغام بر روی حجم انجام می شود.

اصل برهم نهی یافتن E → برای هر نقطه در فضا برای نوع شناخته شده توزیع بار فضایی را ممکن می سازد.

بارهای نقطه ای یکسان q داده می شوند که در راس مربعی با ضلع a قرار دارند. باید مشخص شود که از سه بار دیگر چه نیرویی به هر بار وارد می شود.

راه حل

در شکل 1، نیروهایی را که بر هر یک از بارهای داده شده در رأس مربع تأثیر می گذارند، نشان می دهیم. از آنجایی که شرط بیان می کند که هزینه ها یکسان هستند، می توان هر یک از آنها را برای تصویر انتخاب کرد. بیایید نیروی جمع مؤثر بر بار q 1 را بنویسیم:

F → = F 12 → + F 14 → + F 13 → .

نیروهای F 12 → و F 14 → از نظر قدر مساوی هستند، آنها را به صورت زیر تعریف می کنیم:

F 13 → = k q 2 2 a 2 .

طراحی 1

اکنون جهت محور O X را تنظیم می کنیم (شکل 1)، معادله F → = F 12 → + F 14 → + F 13 → طراحی می کنیم، ماژول های نیروی به دست آمده در بالا را در آن قرار می دهیم و سپس:

F = 2 k q 2 a 2 · 2 2 + k q 2 2 a 2 = k q 2 a 2 2 2 + 1 2 .

پاسخ:نیرویی که بر هر یک از بارهای داده شده در رأس مربع اعمال می شود برابر است با F = k q 2 a 2 2 2 + 1 2.

مثال 3

بار الکتریکی داده می شود که به طور یکنواخت در امتداد یک نخ نازک (با چگالی خطی τ) توزیع می شود. لازم است عبارتی بنویسید که قدرت میدان را در فاصله a از انتهای نخ در امتداد ادامه آن تعیین می کند. طول نخ - l .

طراحی 2

راه حل

اولین قدم ما برجسته کردن یک شارژ نقطه ای روی نخ خواهد بود d q. اجازه دهید برای آن، مطابق با قانون کولمب، رکوردی بنویسیم که قدرت میدان الکترواستاتیک را بیان می کند:

d E → = k d q r 3 r → .

در یک نقطه معین، تمام بردارهای کششی در امتداد محور OX جهت یکسانی دارند، سپس:

d E x = k d q r 2 = d E .

شرط مشکل این است که بار دارای یک توزیع یکنواخت در امتداد نخ با چگالی معین باشد و ما موارد زیر را می نویسیم:

بیایید این ورودی را در عبارت نوشته شده قبلی جایگزین قدرت میدان الکترواستاتیکی کنیم، ادغام کنیم و بدست آوریم:

E = k ∫ a l + a τ d r r 2 = k τ - 1 r a l + a = k τ l a (l + a) .

پاسخ:شدت میدان در نقطه نشان داده شده با فرمول E = k τ l a (l + a) تعیین می شود.

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید