توابع معکوس که مقادیر منحصر به فردی می دهند. §7

فرض کنید یک تابع معین y = f (x) داریم که کاملاً یکنواخت (کاهشی یا افزایشی) و در دامنه تعریف x ∈ a پیوسته است. ب محدوده مقادیر آن y∈ c ; d و در بازه c. d در این حالت یک تابع تعریف شده x = g (y) با محدوده مقادیر a خواهیم داشت. ب تابع دوم نیز پیوسته و کاملاً یکنواخت خواهد بود. با توجه به y = f (x) یک تابع معکوس خواهد بود. یعنی زمانی که y = f (x) روشن باشد، می توانیم در مورد تابع معکوس x = g (y) صحبت کنیم فاصله داده شدهیا کاهش می یابد یا افزایش می یابد.

این دو تابع f و g به صورت متقابل معکوس خواهند بود.

چرا ما حتی به مفهوم توابع معکوس نیاز داریم؟

برای حل معادلات y = f (x) که دقیقاً با استفاده از این عبارات نوشته شده اند به این نیاز داریم.

فرض کنید باید یک راه حل برای معادله cos (x) = 1 3 پیدا کنیم. راه حل های آن همه نقاط خواهد بود: x = ± a rc c o s 1 3 + 2 π · k، k ∈ Z

به عنوان مثال، توابع کسینوس و کسینوس معکوس نسبت به یکدیگر خواهند بود.

برای یافتن توابعی که معکوس با توابع داده شده هستند، به چندین مسئله نگاه می کنیم.

مثال 1

وضعیت:تابع معکوس برای y = 3 x + 2 چیست؟

راه حل

دامنه تعاریف و محدوده مقادیر تابع مشخص شده در شرط مجموعه تمام اعداد واقعی است. بیایید سعی کنیم این معادله را از طریق x، یعنی با بیان x از طریق y، حل کنیم.

x = 1 3 y - 2 3 بدست می آوریم. این تابع معکوس است که ما نیاز داریم، اما y آرگومان در اینجا خواهد بود و x تابع خواهد بود. بیایید آنها را دوباره مرتب کنیم تا نمادی آشناتر به دست آوریم:

پاسخ:تابع y = 1 3 x - 2 3 معکوس y = 3 x + 2 خواهد بود.

هر دو متقابل هستند توابع معکوسرا می توان به صورت زیر ترسیم کرد:

تقارن هر دو نمودار را در رابطه با y = x می بینیم. این خط نیمساز ربع اول و سوم است. نتیجه اثبات یکی از ویژگی های توابع معکوس متقابل است که در ادامه به آن خواهیم پرداخت.

بیایید مثالی بزنیم که در آن باید تابع لگاریتمی را که معکوس یک تابع نمایی معین است، پیدا کنیم.

مثال 2

وضعیت:تعیین کنید کدام تابع برای y = 2 x معکوس خواهد بود.

راه حل

برای یک تابع معین، دامنه تعریف همه اعداد واقعی است. محدوده مقادیر در بازه 0 قرار دارد. + ∞ . حال باید x را بر حسب y بیان کنیم، یعنی معادله مشخص شده را بر حسب x حل کنیم. x = log 2 y را دریافت می کنیم. بیایید متغیرها را دوباره مرتب کنیم و y = log 2 x را بدست آوریم.

در نتیجه، ما توابع نمایی و لگاریتمی را به دست آورده‌ایم که در کل دامنه تعریف، متقابلاً معکوس یکدیگر خواهند بود.

پاسخ: y = log 2 x.

در نمودار، هر دو تابع به شکل زیر خواهند بود:

ویژگی های اساسی توابع معکوس متقابل

در این پاراگراف ویژگی های اصلی توابع y = f (x) و x = g (y) را فهرست می کنیم که متقابلاً معکوس هستند.

تعریف 1

1. ما قبلاً اولین ویژگی را استخراج کردیم: y = f (g (y)) و x = g (f (x)).
2. ویژگی دوم از مورد اول به دست می آید: دامنه تعریف y = f (x) با محدوده مقادیر تابع معکوس x = g (y) منطبق خواهد شد و بالعکس.
3. نمودارهای توابعی که معکوس هستند با توجه به y = x متقارن خواهند بود.
4. اگر y = f (x) در حال افزایش باشد، x = g (y) افزایش می یابد و اگر y = f (x) کاهش می یابد، x = g (y) نیز کاهش می یابد.

توصیه ما به شما این است که به مفاهیم حوزه تعریف و دامنه معنای توابع دقت کافی داشته باشید و هرگز آنها را اشتباه نگیرید. فرض کنید دو تابع معکوس داریم y = f (x) = a x و x = g (y) = log a y. طبق ویژگی اول، y = f (g (y)) = a log a y. این برابری فقط در مورد مقادیر مثبت y صادق خواهد بود و برای مقادیر منفی لگاریتم تعریف نشده است، بنابراین عجله نکنید که یک log a y = y را یادداشت کنید. حتما بررسی کنید و اضافه کنید که این فقط زمانی درست است که y مثبت باشد.

اما برابری x = f (g (x)) = log a a x = x برای هر مقدار واقعی x صادق خواهد بود.

این نکته را فراموش نکنید، به خصوص اگر باید با توابع مثلثاتی و مثلثاتی معکوس کار کنید. بنابراین، a rc sin sin 7 π 3 ≠ 7 π 3 است، زیرا محدوده آرکسین π 2 است. π 2 و 7 π 3 در آن گنجانده نشده است. ورودی صحیح خواهد بود

a r c sin sin 7 π 3 = a r c sin sin 2 π + π 3 = = a r c sin sin π 3 = π 3

اما sin a r c sin 1 3 = 1 3 یک برابری صحیح است، یعنی. sin (a r c sin x) = x برای x ∈ - 1 ; 1 و a r c sin (sin x) = x برای x ∈ - π 2 ; π 2. همیشه مراقب دامنه و دامنه توابع معکوس باشید!

• توابع اساسی متقابل معکوس: توابع قدرت

اگر تابع توان y = x a داشته باشیم، برای x > 0 تابع توان x = y 1 a نیز معکوس آن خواهد بود. بیایید حروف را جایگزین کنیم و به ترتیب y = x a و x = y 1 a را بدست آوریم.

در نمودار آنها به این شکل خواهند بود (موارد با ضریب مثبت و منفی a):

• توابع معکوس متقابل اصلی: نمایی و لگاریتمی

بیایید a را در نظر بگیریم که یک عدد مثبت خواهد بود که برابر با 1 نیست.

نمودارهایی برای توابع با > 1 و a< 1 будут выглядеть так:

• توابع معکوس متقابل اصلی: مثلثاتی و مثلثاتی معکوس

اگر بخواهیم سینوس و آرکسین شاخه اصلی را رسم کنیم، به این شکل خواهد بود (به عنوان ناحیه نور برجسته نشان داده شده است).

بگذارید یک تابع y=f(x) وجود داشته باشد، X دامنه تعریف آن است، Y محدوده مقادیر آن است. می دانیم که هر x 0  مربوط به یک مقدار واحد است y 0 =f(x 0)، y 0 Y.

ممکن است معلوم شود که هر y (یا قسمت آن  1) نیز با یک x منفرد از X مطابقت دارد.

سپس می گویند در ناحیه  (یا قسمت آن  ) تابع x=y به عنوان تابع معکوس برای تابع y=f(x) تعریف می شود.

مثلا:

ایکس =(); Y=$

از آنجایی که این تابع در بازه $X$ نزولی و پیوسته است، پس در بازه $Y=$ که در این بازه نیز نزولی و پیوسته است (قضیه 1).

بیایید x$ را محاسبه کنیم:

\ \

$x$ مناسب را انتخاب کنید:

پاسخ:تابع معکوس $y=-\sqrt(x)$.

مشکلات در یافتن توابع معکوس

در این قسمت توابع معکوس را برای برخی از توابع ابتدایی در نظر می گیریم. ما مشکلات را طبق طرحی که در بالا داده شده حل خواهیم کرد.

مثال 2

تابع معکوس تابع $y=x+4$ را پیدا کنید

بیایید $x$ را از معادله $y=x+4$ پیدا کنیم:

مثال 3

تابع معکوس تابع $y=x^3$ را پیدا کنید

راه حل.

از آنجایی که تابع در کل دامنه تعریف در حال افزایش و پیوسته است، بنابراین، طبق قضیه 1، تابع معکوس پیوسته و فزاینده بر روی آن دارد.

بیایید $x$ را از معادله $y=x^3$ پیدا کنیم:

یافتن مقادیر مناسب $x$

مقدار در مورد ما مناسب است (زیرا دامنه تعریف همه اعداد است)

بیایید متغیرها را دوباره تعریف کنیم، دریافتیم که تابع معکوس شکل دارد

مثال 4

تابع معکوس تابع $y=cosx$ را در بازه $$ پیدا کنید

راه حل.

تابع $y=cosx$ را در مجموعه $X=\left$ در نظر بگیرید. در مجموعه $X$ پیوسته و در حال کاهش است و مجموعه $X=\left$ را روی مجموعه $Y=[-1,1]$ ترسیم می کند، بنابراین، با قضیه وجود تابع یکنواخت معکوس پیوسته، تابع $y=cosx$ در مجموعه $Y$ یک تابع معکوس وجود دارد که در مجموعه $Y=[-1,1]$ نیز پیوسته و در حال افزایش است و مجموعه $[-1,1]$ را ترسیم می کند. به مجموعه $\left$.

بیایید $x$ را از معادله $y=cosx$ پیدا کنیم:

یافتن مقادیر مناسب $x$

بیایید متغیرها را دوباره تعریف کنیم، دریافتیم که تابع معکوس شکل دارد

مثال 5

تابع معکوس تابع $y=tgx$ را در بازه $\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$ پیدا کنید.

راه حل.

تابع $y=tgx$ را در مجموعه $X=\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$ در نظر بگیرید. در مجموعه $X$ پیوسته و در حال افزایش است و مجموعه $X=\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$ را روی مجموعه $Y نگاشت می کند. =R$، بنابراین با قضیه وجود تابع یکنواخت معکوس پیوسته، تابع $y=tgx$ در مجموعه $Y$ دارای تابع معکوس است که در مجموعه $Y=R نیز پیوسته و در حال افزایش است. $ و مجموعه $R$ را روی مجموعه $\left(- \frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$ ترسیم می کند.

بیایید $x$ را از معادله $y=tgx$ پیدا کنیم:

یافتن مقادیر مناسب $x$

بیایید متغیرها را دوباره تعریف کنیم، دریافتیم که تابع معکوس شکل دارد

رونوشت

1 توابع معکوس متقابل دو تابع f و g به صورت متقابل معکوس نامیده می شوند اگر فرمول های y=f(x) و x=g(y) رابطه یکسانی را بین متغیرهای x و y بیان کنند، یعنی. اگر برابری y=f(x) درست باشد اگر و فقط اگر برابری x=g(y) درست باشد: y=f(x) x=g(y) اگر دو تابع f و g متقابل معکوس باشند، آنگاه g تابع معکوس f نامیده می شود و برعکس، f تابع معکوس g است. به عنوان مثال، y=10 x و x=lgy توابع معکوس متقابل هستند. شرط وجود یک تابع متقابل معکوس یک تابع f معکوس دارد اگر از رابطه y=f(x)، متغیر x را بتوان به طور یکتا از طریق y بیان کرد. توابعی وجود دارند که نمی‌توان استدلال را از طریق مقدار داده‌شده تابع بیان کرد. به عنوان مثال: 1. y= x. برای یک عدد مثبت معین y، دو مقدار آرگومان x وجود دارد که x = y. به عنوان مثال، اگر y=2، آنگاه x=2 یا x= - 2. این به این معنی است که نمی توان x را بدون ابهام از طریق y بیان کرد. بنابراین، این تابع یک متقابل ندارد. 2. y=x 2. x=، x= - 3. y=sinx. برای مقدار معین y (y 1)، مقادیر بی نهایت x وجود دارد به طوری که y=sinx است. تابع y=f(x) معکوس دارد اگر هر خط مستقیم y=y 0 نمودار تابع y=f(x) را بیش از یک نقطه قطع کند (اگر y 0 این کار را انجام دهد ممکن است اصلا نمودار را قطع نکند. به محدوده مقادیر تابع f تعلق ندارد. این شرط را می توان متفاوت فرموله کرد: معادله f(x)=y 0 برای هر y 0 حداکثر یک جواب دارد. شرطی که یک تابع دارای معکوس باشد، اگر تابع به شدت افزایش یا کاهش یابد، قطعاً برآورده می شود. اگر f به شدت افزایش می یابد، برای دو مقدار مختلف آرگومان مقادیر متفاوتی می گیرد، زیرا مقدار بزرگتر آرگومان با مقدار بزرگتری تابع مطابقت دارد. در نتیجه، معادله f(x)=y برای یک تابع کاملاً یکنواخت حداکثر یک جواب دارد. تابع نمایی y=a x کاملاً یکنواخت است، بنابراین تابع لگاریتمی معکوس دارد. بسیاری از توابع معکوس ندارند. اگر برای مقداری b معادله f(x)=b بیش از یک جواب داشته باشد، تابع y=f(x) معکوس ندارد. در یک نمودار، این بدان معنی است که خط y=b نمودار تابع را در بیش از یک نقطه قطع می کند. به عنوان مثال، y=x 2 ; y=sinx; y=tgx.

2 ابهام حل معادله f(x)=b را می توان با کاهش دامنه تعریف تابع f برطرف کرد تا محدوده مقادیر آن تغییر نکند، بلکه هر مقدار را یک بار بگیرد. به عنوان مثال، y=x 2، x 0; y=sinx، ; y=tgx،. قانون کلی برای یافتن تابع معکوس برای یک تابع: 1. حل معادله برای x، ما پیدا می کنیم. 2. با تغییر نام های متغیر x به y و y به x، تابع معکوس متغیر داده شده را به دست می آوریم. خصوصیات توابع معکوس متقابل هویتها فرض کنید f و g توابع معکوس متقابل باشند. این بدان معنی است که برابری های y=f(x) و x=g(y) معادل هستند: f(g(y))=y و g(f(x))=x. برای مثال، 1. فرض کنید f یک تابع نمایی و g یک تابع لگاریتمی باشد. دریافت می کنیم: i. 2. توابع y=x2، x0 و y= متقابلا معکوس هستند. ما دو هویت داریم: و برای x 0. دامنه تعریف فرض کنید f و g متقابلاً معکوس باشند. دامنه تابع f با دامنه تابع g منطبق است و برعکس دامنه تابع f با دامنه تابع g منطبق است. مثال. دامنه تعریف تابع نمایی کل محور عددی R است و محدوده مقادیر آن مجموعه تمام اعداد مثبت است. برای یک تابع لگاریتمی برعکس است: دامنه تعریف مجموعه همه اعداد مثبت است و دامنه مقادیر کل مجموعه R است. به شدت در حال افزایش است. اثبات فرض کنید x 1 و x 2 دو عددی باشند که در دامنه تعریف تابع g و x 1 قرار دارند.

3 نمودار توابع معکوس متقابل قضیه. فرض کنید f و g دو تابع معکوس باشند. نمودارهای توابع y=f(x) و x=g(y) نسبت به نیمساز زاویه how با یکدیگر متقارن هستند. اثبات با تعریف توابع معکوس متقابل، فرمول‌های y=f(x) و x=g(y) وابستگی یکسانی را بین متغیرهای x و y بیان می‌کنند، به این معنی که این وابستگی با همان نمودار منحنی C نشان داده می‌شود. منحنی C یک نمودار توابع y=f(x) است. بیایید یک نقطه دلخواه P(a; b) C را در نظر بگیریم. این به این معنی است که b=f(a) و در همان زمان a=g(b). اجازه دهید یک نقطه Q متقارن با نقطه P نسبت به نیمساز زاویه xy بسازیم. نقطه Q دارای مختصات (b; a) خواهد بود. از آنجایی که a=g(b)، پس نقطه Q متعلق به نمودار تابع y=g(x) است: در واقع، برای x=b، مقدار y=a برابر با g(x) است. بنابراین، تمام نقاط متقارن با نقاط منحنی C نسبت به خط مستقیم نشان داده شده در نمودار تابع y=g(x) قرار دارند. نمونه هایی از توابع که نمودارهای آنها متقابل معکوس هستند: y=e x و y=lnx; y=x 2 (x 0) و y= ; y=2x4 و y= +2.

4 مشتق تابع معکوس، فرض کنید f و g دو تابع معکوس باشند. نمودارهای توابع y=f(x) و x=g(y) نسبت به نیمساز زاویه how با یکدیگر متقارن هستند. بیایید نقطه x=a را گرفته و مقدار یکی از توابع را در این نقطه محاسبه کنیم: f(a)=b. سپس با تعریف تابع معکوس g(b)=a. نقاط (a; f(a))=(a; b) و (b; g(b))=(b; a) در مورد خط مستقیم l متقارن هستند. از آنجایی که منحنی ها متقارن هستند، مماس های آنها نسبت به خط مستقیم l متقارن هستند. از تقارن، زاویه یکی از خطوط با محور x برابر است با زاویه خط دیگر با محور y. اگر یک خط مستقیم زاویه α را با محور x تشکیل دهد، ضریب زاویه ای آن برابر با k 1 = tgα است. سپس خط مستقیم دوم دارای ضریب زاویه ای k 2 =tg(α)=ctgα= است. بنابراین، ضرایب زاویه ای خطوط متقارن نسبت به خط مستقیم l متقابلا معکوس هستند، یعنی. k 2 =، یا k 1 k 2 = 1. با حرکت به مشتقات و با در نظر گرفتن اینکه شیب مماس مقدار مشتق در نقطه تماس است، نتیجه می گیریم: مقادیر مشتقات توابع معکوس متقابل در نقاط مربوطه متقابلا معکوس هستند، به عنوان مثال. 1. ثابت کنید که تابع f(x) = x 3، برگشت پذیر است. راه حل. y=f(x)=x 3. تابع معکوس تابع y=g(x)= خواهد بود. بیایید مشتق تابع g: را پیدا کنیم. آن ها =. وظیفه 1. ثابت کنید که تابع داده شده توسط فرمول معکوس است 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)

5 مثال 2. تابع معکوس تابع y=2x+1 را بیابید. راه حل. تابع y=2x+1 در حال افزایش است بنابراین معکوس دارد. بیایید x را تا y بیان کنیم: دریافت می کنیم.. با حرکت به نمادهای پذیرفته شده کلی، پاسخ: وظیفه 2. توابع معکوس را برای این توابع پیدا کنید 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)




سخنرانی 20 قضیه در مورد تابع مختلط مشتق. فرض کنید y = f(u)، و u= u(x). تابع y را بسته به آرگومان x بدست می آوریم: y = f(u(x)). آخرین تابع تابعی از تابع یا تابع پیچیده نامیده می شود.

فصل 9 درجه درجه با توان عدد صحیح. 0 = 0; 0 = ; 0 = 0. > 0 > 0 ; > >.. >. اگر زوج باشد، پس ()< (). Например, () 0 = 0 < 0 = = () 0. Если нечетно, то () >(). به عنوان مثال، () = > = = ()، بنابراین

آنچه ما مطالعه خواهیم کرد: درس با موضوع: مطالعه یک تابع برای یکنواختی. کاهش و افزایش توابع. رابطه مشتق و یکنواختی یک تابع. دو قضیه مهم در مورد یکنواختی. مثال ها. بچه ها، ما

معادله خطی a x = b دارای: یک راه حل منحصر به فرد، برای 0; مجموعه ای بی نهایت از راه حل ها، با a = 0، b = 0. هیچ راه حلی ندارد، برای a = 0، b 0. معادله درجه دوم ax 2 + bx + c = 0 دارای: دو متفاوت است.

6 مشکلات منجر به مفهوم مشتق Let نقطه مادیطبق قانون s f (t) در یک خط مستقیم در یک جهت حرکت می کند، جایی که t زمان و s مسیر است. قابل عبور بر اساس نقطهدر طول زمان t اجازه دهید یک لحظه خاص را یادداشت کنیم

بانک وظایف در مورد موضوع "مشتق" ریاضیات پایه یازدهم (پایه) دانش آموزان باید بدانند / درک کنند: مفهوم مشتق. تعریف مشتق. قضایا و قواعد برای یافتن مشتقات حاصل جمع، تفاوت، حاصلضرب

معنی هندسی مشتق نمودار تابع y=f(x) و مماس در نقطه P 0 (x 0 ؛ f(x 0)) را در نظر بگیرید. بیایید شیب مماس بر نمودار را در این نقطه پیدا کنیم. زاویه تمایل مماس P 0

تابع درجه دوم در مسائل مختلف Dikhtyar MB اطلاعات پایه یک تابع درجه دوم (مثلثی مربع) تابعی از شکل y ax bx c است که در آن abc، اعداد داده شده و توابع درجه دومدر

مفهوم تابع مشتق اجازه دهید یک تابع در مجموعه X تعریف شده باشد و یک نقطه X نقطه داخلی آن نقاطی باشد که یک همسایگی X برای آنها وجود دارد.

سخنرانی 5 مشتقات توابع ابتدایی پایه چکیده: تفاسیر فیزیکی و هندسی از مشتق تابع یک متغیر ارائه شده است، نمونه هایی از تمایز توابع و قوانین در نظر گرفته شده است.

1 SA Lavrenchenko سخنرانی 12 توابع معکوس 1 مفهوم تابع معکوس تعریف 11 یک تابع اگر بیش از یک بار مقداری را دریافت نکند، یک به یک نامیده می شود، تابعی که پس از آن

گروه ریاضی و علوم کامپیوتر عناصر ریاضیات عالی مجتمع آموزشی و روش شناسیماژول حساب دیفرانسیل برای دانش‌آموزان آموزش حرفه‌ای متوسطه که با استفاده از فناوری‌های راه دور تحصیل می‌کنند، گردآوری شده توسط:

فصل 5 مطالعه توابع با استفاده از فرمول تیلور حد فاصل محلی یک تابع تعریف تابع = f (در نقطه c به حداکثر (حداقل) محلی می رسد، اگر امکان تعیین δ > به گونه ای باشد که افزایش آن وجود داشته باشد.

ماژول «کاربرد پیوستگی و مشتق. کاربرد مشتق در مطالعه توابع." کاربرد پیوستگی.. روش فاصله.. مماس بر نمودار. فرمول لاگرانژ 4. کاربرد مشتق

سخنرانی 9. مشتقات و دیفرانسیل های مرتبه بالاتر، خواص آنها. نقاط افراطی تابع. قضایای فرما و رول. اجازه دهید تابع y در یک بازه [b] قابل تفکیک باشد. در این مورد، مشتق آن

گروه ریاضی و علوم کامپیوتر تجزیه و تحلیل ریاضی مجتمع آموزشی و روش شناختی برای دانشجویان آموزش عالی در حال تحصیل با استفاده از فناوری های راه دور ماژول 4 کاربردهای مشتق گردآوری شده توسط: دانشیار

فصل 1. محدودیت ها و تداوم 1. مجموعه های عددی 1 0. اعداد واقعیاز ریاضیات مدرسه می دانید N اعداد صحیح طبیعی Z گویا Q و اعداد R واقعی اعداد طبیعی و صحیح

سخنرانی 19 مشتق و کاربردهای آن. تعریف مشتق. اجازه دهید یک تابع y=f(x) داشته باشیم که در یک بازه تعریف شده است. برای هر مقدار آرگومان x از این بازه، تابع y=f(x)

حساب دیفرانسیل مفاهیم و فرمول های اساسی تعریف 1 مشتق تابع در یک نقطه حد نسبت افزایش تابع به افزایش آرگومان است، مشروط بر اینکه افزایش آرگومان

مبحث 8. توابع نمایی و لگاریتمی. 1. تابع نمایی، نمودار و ویژگی های آن در عمل اغلب از توابع y=2 x,y=10 x,y=(1 2x),y=(0,1) x و غیره استفاده می شود، یعنی تابع شکل y=a x

44 مثال مشتق کل یک تابع مختلط = sin v cos w را پیدا کنید که در آن v = ln + 1 w = 1 با استفاده از فرمول (9) d v w v w = v w d sin cos + cos cos + 1 sin sin 1 اکنون دیفرانسیل کل مختلط را بیابید تابع f

وظایف برای راه حل مستقل. دامنه تابع 6x را پیدا کنید. مماس زاویه میل بر محور x مماس عبوری از نقطه M (;) نمودار تابع را بیابید. مماس زاویه را پیدا کنید

موضوع تابع عددی، خصوصیات و نمودار آن مفهوم تابع عددی دامنه تعریف و مجموعه مقادیر یک تابع اجازه دهید یک مجموعه عددی X داده شود قانونی که هر عدد X را با یک عدد منحصر به فرد مرتبط می کند.

سخنرانی 23 محدب و مقعر نمودار تابع نقطه عطف نمودار تابع y=f(x) در بازه (a; b) محدب نامیده می شود اگر زیر هر یک از مماس های آن در این بازه قرار گیرد نمودار.

مبحث تئوری حدود درس عملی دنباله اعداد تعریف دنباله اعداد دنباله های محدود و نامحدود دنباله های یکنواخت بی نهایت کوچک

توابع عددی و دنباله های عددی D. V. Lytkina NPP، ترم I D. V. Lytkina (SibGUTI) تجزیه و تحلیل ریاضی NPP، ترم I 1 / 35 مطالب 1 تابع عددی مفهوم تابع توابع عددی.

بانک وظایف با موضوع "مشتق" کلاس ریاضیات (نمایه) دانش آموزان باید بدانند / درک کنند: مفهوم مشتق. تعریف مشتق. قضایا و قواعد برای یافتن مشتقات حاصل جمع، تفاوت، حاصلضرب

آ. آ. اندازه گیری خطر: چارچوب چارچوب. راهنمای آموزشی رزومه برای SPO - ویرایش، تصحیح و تکمیل شده توسط آکادمی علوم روسیه مترادف

A.V. ریاضیات Zemlyanko. جبر و اصول تحلیل Voronezh مطالب موضوع 1. خصوصیات اساسی یک تابع... 6 1.1. تابع عددی ... 6 1.2. نمودار یک تابع ... 9 1.3. تبدیل نمودار تابع ...

موضوع. تابع. روش های تکلیف. تابع ضمنی تابع معکوس. طبقه بندی توابع عناصر نظریه مجموعه ها. مفاهیم پایه یکی از مفاهیم اساسی ریاضیات مدرن مفهوم مجموعه است.

اجازه دهید یک مجموعه عددی D R داده شود.اگر هر عدد x D مرتبط باشد مفرد y، سپس می گویند که یک تابع عددی روی مجموعه D داده می شود: y = f (x)، x D. مجموعه D نامیده می شود.

توابع چند متغیر 11. تعریف تابعی از چند متغیر. محدودیت و تداوم FNP 1. تعریف تابعی از چندین متغیر DEFINITION. اجازه دهید X = ( 1 n i X i R ) U R. تابع

ریاضیات برای همه Y.L. Kalinovsky محتویات 1 نمودار توابع. قسمت اول................................. 5 1.1 مقدمه 5 1.1.1 مفهوم مجموعه.. ...................................... 5 1.1.

کار عملی 6 موضوع: «مطالعه کامل توابع. رسم نمودارها" هدف کار: یادگیری کاوش توابع طبق یک طرح کلی و ساختن نمودارها. در نتیجه تکمیل کار، دانشجو باید:

فصل 8 توابع و نمودارها متغیرها و وابستگی های بین آنها. دو کمیت اگر نسبت آنها ثابت باشد مستقیماً متناسب نامیده می شوند، یعنی اگر =، کجا یک عدد ثابت است که با تغییرات تغییر نمی کند.

سخنرانی 2. عملیات با فضاهای فرعی، تعداد پایه ها، تعداد پایه ها و تعداد زیرفضاهای بعد k. نتایج اصلی سخنرانی 2. 1) U V، U + V، dim(u + V). 2) شمارش تعداد هواپیماها در F 4 2.

سوال 5. عملکرد، روش های انتساب. نمونه هایی از توابع ابتدایی و گرافیک آنها. اجازه دهید دو مجموعه دلخواه X و Y داده شوند. یک تابع قاعده ای است که توسط آن می توان هر عنصر از مجموعه X را پیدا کرد.

سخنرانی 4 توابع عددی یک واقعی مفهوم متغیرتوابع روشهای تعیین یک تابع ویژگیهای اساسی توابع تابع مختلط 4 تابع معکوس مفهوم تابع روشهای تعیین تابع اجازه دهید D

سخنرانی ها فصل توابع چندین متغیر مفاهیم اساسی برخی از توابع چندین متغیر به خوبی شناخته شده اند. اجازه دهید چند مثال برای محاسبه مساحت یک مثلث، فرمول هرون S شناخته شده است.

تداوم توابع تداوم یک تابع در یک نقطه محدودیت های یک طرفه تعریف عدد A را حد تابع f(x) از سمت چپ می گویند زیرا x به a تمایل دارد اگر برای هر عددی چنین عددی وجود داشته باشد.

کار تحقیقی ریاضیات "کاربرد خواص اکسترومی یک تابع برای حل معادلات" تکمیل شده توسط: النا گودکووا، دانش آموز کلاس یازدهم مدرسه متوسطه "G" MBOU "Anninsky Lyceum" شهرک شهری. سر آنا:

آژانس فدرال آموزش ----- دانشگاه پلی تکنیک ایالتی سنت پترزبورگ AI Surygin EF Izotova OA Novikova TA Chaikina Mathematics توابع ابتدایی و نمودارهای آنها آموزشی

توابع چند متغیر توابع یک متغیر مستقل تمام وابستگی های موجود در طبیعت را پوشش نمی دهد. بنابراین طبیعی است که مفهوم شناخته شده وابستگی عملکردی را گسترش داده و معرفی کنیم

مفهوم تابع روشهای تعیین تابع ویژگیهای تابع معکوس حد تابع حد تابع در نقطه محدودیتهای یک طرفه حد تابع در x بی نهایت عملکرد عالی 4 سخنرانی

بخش حساب دیفرانسیل توابع یک و چند متغیر تابع آرگومان واقعی اعداد حقیقی اعداد صحیح مثبت را اعداد طبیعی می نامند افزودن به اعداد طبیعی

Sergey A Belyaev صفحه 1 حداقل ریاضی قسمت 1 نظری 1 آیا تعریف صحیح است؟کمترین مضرب مشترک دو اعداد صحیح کوچکترین عددی است که بر هر یک از اعداد داده شده بخش پذیر است

بخش 2 نظریه حدود موضوع دنباله های اعداد تعریف دنباله اعداد 2 دنباله های محدود و نامحدود 3 دنباله های یکنواخت 4 بی نهایت کوچک و

تمایز یک تابع به طور ضمنی داده شده را در نظر بگیرید (,) = C (C = const) این معادله تابع ضمنی را تعریف می کند () فرض کنید ما این معادله را حل کرده ایم و عبارت صریح = () را پیدا کرده ایم.

وظایف تستبرای آمادگی برای امتحان در رشته "ریاضی" برای دانش آموزان بخش مکاتباتمشتق تابع y=f() نامیده می شود: f A) B) f C) f f اگر در یک محله از نقطه تابع

متغیرها و کمیت های ثابت در نتیجه اندازه گیری کمیت های فیزیکی (زمان، مساحت، حجم، جرم، سرعت و غیره) آنها مقادیر عددی. ریاضیات با کمیت ها سر و کار دارد، حواس پرتی

تجزیه و تحلیل ریاضی بخش: مقدمه ای بر تجزیه و تحلیل موضوع: مفهوم تابع (تعریف اساسی، طبقه بندی، ویژگی های اساسی رفتار) مدرس Rozhkova S.V. 2012 ادبیات Piskunov N.S. دیفرانسیل

درس 7 قضایای مقدار میانگین. قاعده L'Hôpital 7. قضایای مربوط به میانگین قضایای میانگین سه قضیه هستند: رول، لاگرانژ و کوشی که هر کدام قضیه قبلی را تعمیم می‌دهند. این قضایا نیز نامیده می شوند

سخنرانی تهیه شده توسط دانشیار Musina MV تداوم یک تابع اجازه دهید تابع y = f(x) در نقطه x تعریف شود و در برخی از همسایگی های این نقطه تابع y = f(x) در نقطه x پیوسته نامیده می شود. وجود دارد

تمایز توابع یک متغیر مفهوم مشتق، معنای هندسی و فیزیکی آن مسائلی که منجر به مفهوم مشتق می شود تعیین مماس S به خط y f (x) در نقطه A x. f (

13. مشتقات جزئی از مرتبه های بالاتر Let = دارند و روی D O تعریف می شوند. و به طور کلی

وزارت آموزش و پرورش جمهوری بلاروس مؤسسه آموزشی "دانشگاه دولتی گرودنو به نام یانکا کوپالا" Yu.Yu. گنزدوفسکی، V.N. Gorbuzov، P.F. پرونویچ نمایی و لگاریتمی

فصل سخنرانی مجموعه ها و عملیات بر روی آنها مفهوم مجموعه مفهوم مجموعه به ابتدایی ترین مفاهیم ریاضی اشاره دارد که از طریق مفاهیم ساده تر تعریف نمی شوند.

سخنرانی 8 تمایز یک تابع پیچیده را در نظر بگیرید تابع پیچیده t t t f که در آن ϕ t t t t t t t f t t t t t t t t قضیه فرضیه اجازه دهید توابع در نقطه ای از Nt t t قابل تمایز باشند و تابع f قابل تفکیک باشد.

سخنرانی 3 مادون تابعی از چندین متغیر اجازه دهید تابعی از چندین متغیر u = f (x, x) در دامنه D تعریف شود و نقطه x (x, x) = متعلق به این دامنه باشد تابع u = f ( x، x) دارد

سوال نابرابری ها، سیستم نابرابری های خطی بیایید عباراتی را در نظر بگیریم که شامل یک علامت نابرابری و یک متغیر:. >، - +x است نابرابری های خطیبا یک متغیر x.. 0 یک نابرابری درجه دوم است.

مشکلات بخش با پارامترها نظر مشکلات مربوط به پارامترها به طور سنتی وظایف پیچیده ای در ساختار آزمون دولتی یکپارچه، از متقاضی نه تنها دانش کلیه روش ها و تکنیک های حل مختلف را می طلبد

2.2.7. کاربرد دیفرانسیل در محاسبات تقریبی دیفرانسیل تابع y = به x بستگی دارد و قسمت اصلی افزایش x است. شما همچنین می توانید از فرمول استفاده کنید: dy d سپس خطای مطلق این است:

فصل 6 حساب دیفرانسیل تابع یک متغیر مسائل منجر به مفهوم مشتق مسئله سرعت غیر یکنواخت حرکت مستقیم S - قانون حرکت خطی ناهموار

خط روی صفحه معادله کلی یک خط. قبل از ورود معادله کلیخط در یک هواپیما، تعریف کلی یک خط را معرفی می کنیم. تعریف. معادله ای به شکل F(x,y)=0 (1) معادله خطی L نامیده می شود

کمیته آموزش عمومی و حرفه ای منطقه لنینگراد بودجه دولتی موسسه آموزشی حرفه ای منطقه لنینگراد "کالج آلومینیوم ولخوف" روش شناسی

قوانین مشتق و تمایز اجازه دهید تابع y = f افزایشی y f 0 f 0 مربوط به افزایش آرگومان دریافت کند 0 تعریف اگر محدودیتی در نسبت افزایش تابع y به فراخوان وجود داشته باشد.

دانشگاه دولتی مسکو دانشگاه فنیبه نام N.E. دانشکده باومن " علوم پایه» گروه مدلسازی ریاضی ع.ح. کاویاکوویکوف، A.P. کرمنکو

توابع معکوس مسائلی که در آنها توابع معکوس دخیل هستند در شاخه های مختلف ریاضیات و کاربردهای آن یافت می شود.یکی از حوزه های مهم ریاضیات مسائل معکوس در نظریه انتگرال است.

سیستم مسائل مربوط به مبحث "معادله مماس" علامت شیب مماس رسم شده به نمودار تابع y f () را در نقاط با ابسیساهای a، b، c a) تعیین کنید.

توابع معکوس متقابل

بگذارید تابع کاملاً یکنواخت (افزایش یا کاهش) و پیوسته در دامنه تعریف ، دامنه مقادیر این تابع باشد ، سپس در بازه یک تابع کاملاً یکنواخت پیوسته با دامنه مقادیر تعریف می شود که معکوس است .

به عبارت دیگر، منطقی است که در مورد یک تابع معکوس در یک بازه زمانی خاص صحبت کنیم، اگر در این بازه افزایش یا کاهش یابد.

کارکرد f و g متقابل معکوس نامیده می شوند.

اصلاً چرا مفهوم توابع معکوس را در نظر می گیریم؟

این به دلیل مشکل حل معادلات ایجاد می شود. راه حل ها با استفاده از توابع معکوس نوشته می شوند.

در نظر بگیریم چندین مثال از یافتن توابع معکوس .

بیایید با توابع معکوس خطی شروع کنیم.

تابع معکوس برای.

این تابع خطی است و نمودار آن یک خط مستقیم است. این بدان معنی است که تابع در کل دامنه تعریف یکنواخت است. بنابراین، ما به دنبال تابع معکوس آن در کل دامنه تعریف خواهیم بود.

.

بیان کنیم ایکس از طریق y (به عبارت دیگر، بیایید معادله را حل کنیم ایکس ).

- این تابع معکوس است، هرچند در اینجا y - استدلال، و ایکس تابع این استدلال است. برای اینکه عادات در نمادگذاری را از بین نبرید (این اهمیت اساسی ندارد)، ترتیب حروف را مجدداً تنظیم کنید ایکس و y ، خواهد نوشت .

بنابراین، و متقابل توابع معکوس هستند.

در اینجا یک تصویر گرافیکی از توابع خطی معکوس متقابل وجود دارد.


واضح است که نمودارها نسبت به یک خط مستقیم متقارن هستند (نصف سازهای ربع اول و سوم). این یکی از ویژگی های توابع معکوس متقابل است که در ادامه به آن پرداخته خواهد شد.

تابع معکوس را پیدا کنید.

این تابع مربع است؛ نمودار یک سهمی است که راس آن در یک نقطه است.

.

تابع در افزایش و کاهش می یابد. این بدان معناست که شما می توانید تابع معکوس را برای یک تابع معین در یکی از دو بازه جستجو کنید.

اجازه دهید، و، با مبادله x و y، تابع معکوس را در یک بازه معین بدست آوریم: .





تابع معکوس را پیدا کنید.

این تابع مکعب است؛ نمودار یک سهمی مکعبی است که راس آن در یک نقطه است.

.

تابع در افزایش می یابد. این بدان معنی است که می توان برای یک تابع معکوس در کل دامنه تعریف، یک تابع معکوس جستجو کرد.

و با تعویض x و y تابع معکوس به دست می آید.

بیایید این را در یک نمودار نشان دهیم.




بیایید لیست کنیم ویژگی های توابع معکوس متقابل و.

و.

از ویژگی اول مشخص است که دامنه تعریف یک تابع با دامنه مقادیر تابع مطابقت دارد و بالعکس.

نمودارهای توابع معکوس متقابل با توجه به یک خط مستقیم متقارن هستند.

اگر زیاد شود زیاد می شود و اگر کم شود کم می شود.

برای یک تابع داده شده، تابع معکوس را پیدا کنید:

برای یک تابع داده شده، نمودارهای معکوس و نمودار تابع معکوس و معکوس را پیدا کنید: دریابید که آیا برای یک تابع معکوس تابع معکوس وجود دارد یا خیر. اگر بله، تابع معکوس را به صورت تحلیلی تعریف کنید، نموداری از تابع داده شده و معکوس رسم کنید: دامنه و محدوده تابعی را که معکوس تابع است پیدا کنید اگر:

1. محدوده مقادیر هر یک از توابع معکوس متقابل را بیابید و اگر دامنه تعریف آنها نشان داده شد:

آیا توابع متقابل معکوس هستند اگر:

1. تابع معکوس داده شده را پیدا کنید. نمودارهایی از این توابع معکوس متقابل را در یک سیستم مختصات بسازید:

   آیا این تابع معکوس خودش است: تابع معکوس این یکی را مشخص کنید و نمودار آن را رسم کنید: