در بسیاری از مسائل مربوط به متغیرهای تصادفی با توزیع نرمال، لازم است که احتمال سقوط یک متغیر تصادفی، تابع یک قانون نرمال با پارامترها، بر روی بخش از تا تعیین شود. برای محاسبه این احتمال از فرمول کلی استفاده می کنیم

تابع توزیع کمیت کجاست.

بیایید تابع توزیع یک متغیر تصادفی را که طبق یک قانون عادی با پارامترها توزیع شده است، پیدا کنیم. چگالی توزیع مقدار برابر است با:

از اینجا تابع توزیع را پیدا می کنیم

. (6.3.3)

اجازه دهید تغییری در متغیر در انتگرال ایجاد کنیم (6.3.3)

و بیایید آن را به این شکل قرار دهیم:

(6.3.4)

انتگرال (6.3.4) از طریق توابع ابتدایی بیان نمی شود، اما می توان آن را از طریق یک تابع خاص محاسبه کرد. انتگرال معیناز عبارت یا (به اصطلاح انتگرال احتمال) که جداول برای آن کامپایل شده است. انواع مختلفی از این توابع وجود دارد، به عنوان مثال:

;

و غیره. استفاده از کدام یک از این عملکردها سلیقه ای است. ما به عنوان چنین تابعی را انتخاب خواهیم کرد

. (6.3.5)

به راحتی می توان فهمید که این تابع چیزی بیش از یک تابع توزیع برای یک متغیر تصادفی توزیع شده معمولی با پارامترها نیست.

اجازه دهید موافقت کنیم که تابع را تابع توزیع عادی بنامیم. پیوست (جدول 1) شامل جداول مقادیر تابع است.

اجازه دهید تابع توزیع (6.3.3) کمیت را با پارامترها و از طریق تابع توزیع نرمال بیان کنیم. به طور مشخص،

حالا بیایید احتمال سقوط یک متغیر تصادفی در بخش از تا را پیدا کنیم. طبق فرمول (6.3.1)

بنابراین، ما احتمال توزیع یک متغیر تصادفی بر اساس یک قانون نرمال را با هر پارامتری از طریق تابع توزیع استاندارد مربوط به ساده ترین قانون نرمال با پارامترهای 0.1 به یک بخش بیان کردیم. توجه داشته باشید که آرگومان های تابع در فرمول (6.3.7) معنای بسیار ساده ای دارند: فاصله انتهای سمت راست بخش تا مرکز پراکندگی وجود دارد که در انحرافات استاندارد بیان می شود. - همان فاصله برای انتهای سمت چپ مقطع، و اگر انتهای آن در سمت راست مرکز پراکندگی قرار گیرد، این فاصله مثبت و اگر به سمت چپ باشد منفی در نظر گرفته می شود.

مانند هر تابع توزیع، تابع دارای ویژگی های زیر است:

3. - عملکرد غیر کاهشی.

علاوه بر این، از تقارن توزیع نرمال با پارامترهای نسبت به مبدا، نتیجه می‌شود که

با استفاده از این ویژگی، به بیان دقیق، می توان جداول تابع را فقط به مقادیر آرگومان مثبت محدود کرد، اما برای جلوگیری از عملیات غیر ضروری (تفریق از یک)، جدول ضمیمه 1 مقادیری را برای آرگومان های مثبت و منفی ارائه می دهد.

در عمل، ما اغلب با مشکل محاسبه احتمال سقوط یک متغیر تصادفی با توزیع نرمال در ناحیه ای مواجه می شویم که نسبت به مرکز پراکندگی متقارن است. بیایید چنین مقطعی از طول را در نظر بگیریم (شکل 6.3.1). بیایید با استفاده از فرمول (6.3.7) احتمال برخورد با این ناحیه را محاسبه کنیم:

با در نظر گرفتن خاصیت (6.3.8) تابع و دادن فرم فشرده تر به سمت چپ فرمول (6.3.9)، فرمولی برای احتمال یک متغیر تصادفی توزیع شده بر اساس قانون عادی به دست می آوریم. مساحت متقارن با توجه به مرکز پراکندگی:

. (6.3.10)

بیایید مشکل زیر را حل کنیم. اجازه دهید قطعات متوالی طول را از مرکز پراکندگی رسم کنیم (شکل 6.3.2) و احتمال سقوط یک متغیر تصادفی در هر یک از آنها را محاسبه کنیم. از آنجایی که منحنی نرمال متقارن است، کافی است چنین قطعاتی را فقط در یک جهت رسم کنیم.

با استفاده از فرمول (6.3.7) متوجه می شویم:

(6.3.11)

همانطور که از این داده ها مشخص است، احتمال برخورد هر یک از سگمنت های زیر (پنجم، ششم و...) با دقت 001/0 برابر با صفر است.

با گرد کردن احتمالات وارد شدن به بخش ها به 0.01 (به 1٪)، سه عدد به دست می آوریم که به راحتی قابل یادآوری است:

0,34; 0,14; 0,02.

مجموع این سه مقدار 0.5 است. این به این معنی است که برای یک متغیر تصادفی با توزیع نرمال، تمام پراکندگی (با دقت کسری از درصد) در منطقه قرار می گیرد.

این اجازه می دهد تا با دانستن انحراف معیار و انتظارات ریاضی یک متغیر تصادفی، به طور تقریبی محدوده مقادیر عملا ممکن آن را نشان دهیم. این روش برای تخمین محدوده مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی در شناخته شده است آمار ریاضی"قانون سه سیگما" نامیده می شود. قانون سه سیگما همچنین متضمن روش تقریبی برای تعیین انحراف استاندارد یک متغیر تصادفی است: حداکثر انحراف عملی ممکن را از میانگین گرفته و آن را بر سه تقسیم کنید. البته این روش خشن را تنها در صورتی می توان توصیه کرد که روش های دقیق تری برای تعیین وجود نداشته باشد.

مثال 1. یک متغیر تصادفی که بر اساس یک قانون عادی توزیع شده است نشان دهنده خطا در اندازه گیری فاصله معین است. هنگام اندازه گیری، یک خطای سیستماتیک در جهت تخمین بیش از حد 1.2 (m) مجاز است. انحراف استاندارد خطای اندازه گیری 0.8 (m) است. این احتمال را پیدا کنید که انحراف مقدار اندازه گیری شده از مقدار واقعی از 1.6 (m) در مقدار مطلق تجاوز نکند.

راه حل. خطای اندازه گیری یک متغیر تصادفی است که تابع قانون عادی با پارامترها و . باید احتمال افتادن این کمیت روی بخش از تا را پیدا کنیم. طبق فرمول (6.3.7) داریم:

با استفاده از جداول تابع (ضمیمه، جدول 1)، متوجه می شویم:

; ,

مثال 2. احتمال مشابهی را که در مثال قبل وجود داشت، بیابید، اما به شرطی که خطای سیستماتیک وجود نداشته باشد.

راه حل. با استفاده از فرمول (6.3.10)، با فرض، در می یابیم:

مثال 3. هدفی که شبیه یک نوار (بزرگراه) است که عرض آن 20 متر است در جهت عمود بر بزرگراه شلیک می شود. هدف گیری در امتداد خط مرکزی بزرگراه انجام می شود. انحراف معیار در جهت تیراندازی برابر با m است. یک خطای سیستماتیک در جهت تیراندازی وجود دارد: زیر شلیک 3 متر است. احتمال برخورد به بزرگراه را با یک شلیک پیدا کنید.

معروف ترین و پرکاربردترین قانون در نظریه احتمال، قانون توزیع نرمال یا قانون گاوس .

ویژگی اصلیقانون توزیع نرمال این است که هست قانون نهاییبرای سایر قوانین توزیع

توجه داشته باشید که برای توزیع نرمال تابع انتگرال به شکل زیر است:

.

بگذارید اکنون نشان دهیمکه معنای احتمالی پارامترها به صورت زیر است: آ انتظار ریاضی است، - انحراف معیار (یعنی) توزیع نرمال:

الف) با تعریف انتظار ریاضی از یک متغیر تصادفی پیوسته، داریم

واقعا

,

زیرا در زیر علامت انتگرال وجود دارد تابع فرد، و حدود ادغام در مورد مبدا متقارن است.

- انتگرال پواسون .

بنابراین، انتظار ریاضی یک توزیع نرمال برابر با پارامتر است آ .

ب) با تعریف واریانس یک متغیر تصادفی پیوسته و با در نظر گرفتن اینکه می توانیم بنویسیم

.

یکپارچه سازی توسط قطعات، قرار دادن ، بیایید پیدا کنیم

از این رو .

بنابراین، انحراف معیار توزیع نرمال برابر با پارامتر است.

در صورت و توزیع نرمالتوزیع نرمال شده (یا نرمال استاندارد) نامیده می شود. سپس، بدیهی است که چگالی نرمال شده (دیفرانسیل) و تابع توزیع انتگرالی نرمال شده به ترتیب به شکل زیر نوشته می شود:

(همانطور که می دانید تابع لاپلاس (به درس 5 مراجعه کنید) یا انتگرال احتمال نامیده می شود. هر دو تابع، یعنی جدول بندی شده و مقادیر آنها در جداول مربوطه ثبت می شود).

خواص توزیع نرمال (خواص منحنی نرمال):

1. بدیهی است، یک تابع در کل خط اعداد.

2. یعنی منحنی نرمال بالای محور قرار دارد اوه .

3. ، یعنی محور اوه به عنوان مجانب افقی نمودار عمل می کند.

4. یک منحنی نرمال متقارن با یک خط مستقیم است x = a (بر این اساس، نمودار تابع متقارن با محور است OU ).

بنابراین، ما می توانیم بنویسیم: .

5. .

6. نشان دادن این نکته آسان است و نقاط عطف منحنی نرمال هستند (این را خودتان ثابت کنید).

7.بدیهی است که

اما از آنجایی که ، آن . بعلاوه بنابراین، تمام لحظات فرد برابر با صفر هستند.

حتی برای لحظاتی می توانیم بنویسیم:

8. .

9. .

10. ، جایی که .

11. برای مقادیر منفی متغیر تصادفی: , که در آن .

13. احتمال سقوط یک متغیر تصادفی در یک مقطع متقارن نسبت به مرکز توزیع برابر است با:

مثال 3. نشان دهید که یک متغیر تصادفی با توزیع نرمال است ایکس از انتظارات ریاضی منحرف می شود م(ایکس) نه بیشتر از .

راه حل. برای توزیع عادی: .

به عبارت دیگر، احتمال اینکه قدر مطلق انحراف است فراتر خواهد رفتسه برابر انحراف معیار بسیار کوچک است، یعنی برابر با 0.0027. این بدان معنی است که تنها در 0.27٪ موارد ممکن است این اتفاق بیفتد. چنین وقایعی را بر اساس اصل عدم امکان وقوع حوادث بعید می توان عملاً غیرممکن دانست.

بنابراین، رویدادی با احتمال 0.9973 را می توان عملاً قابل اعتماد در نظر گرفت، یعنی متغیر تصادفی از انتظارات ریاضی بیش از انحراف ندارد.

مثال 4. دانستن ویژگی های توزیع نرمال یک متغیر تصادفی ایکس - استحکام کششی فولاد: کیلوگرم بر میلی متر مربع و کیلوگرم بر میلی متر مربع، احتمال به دست آوردن فولاد با مقاومت کششی از 31 کیلوگرم بر میلی متر مربع تا 35 کیلوگرم بر میلی متر مربع را پیدا کنید.

راه حل.

3. توزیع نمایی (قانون توزیع نمایی)

نمایی توزیع احتمال یک متغیر تصادفی پیوسته است. ایکس ، که با یک تابع دیفرانسیل توصیف می شود (چگالی توزیع)

جایی که یک مقدار مثبت ثابت است.

توزیع نمایی تعریف شده است یکیپارامتر. این ویژگی توزیع نمایی نشان دهنده مزیت آن در مقایسه با توزیع هایی است که به تعداد بیشتری از پارامترها بستگی دارند. معمولاً پارامترها ناشناخته هستند و تخمین آنها (مقادیر تقریبی) باید یافت شود. البته ارزیابی یک پارامتر آسانتر از دو یا سه و غیره است.

نوشتن تابع توزیع نمایی انتگرال آسان است:

ما توزیع نمایی را با استفاده از یک تابع دیفرانسیل تعریف کردیم. واضح است که با استفاده از تابع انتگرال می توان آن را تعیین کرد.

اظهار نظر: یک متغیر تصادفی پیوسته را در نظر بگیرید تی - مدت زمان عملکرد بدون خرابی محصول. مقادیر پذیرفته شده آن با نشان داده می شود تی ، . تابع توزیع تجمعی تعریف می کند احتمال شکستمحصولات در یک دوره زمانی تی . در نتیجه، احتمال عملیات بدون خرابی در همان زمان، مدت زمان تی ، یعنی احتمال رخداد مخالف برابر است با

توزیع نرمال ( توزیع نرمال) - نقش مهمی در تجزیه و تحلیل داده ها دارد.

گاهی به جای اصطلاح طبیعی توزیعاز اصطلاح استفاده کنید توزیع گاوسیبه افتخار K. Gauss (اصطلاحات قدیمی تر که امروزه عملاً استفاده نمی شوند: قانون گاوس، توزیع گاوس-لاپلاس).

توزیع نرمال تک متغیره

یک توزیع نرمال چگالی دارد:

در این فرمول، پارامترهای ثابت هستند میانگین, - استاندارد انحراف.

نمودارهای چگالی برای پارامترهای مختلف داده شده است.

تابع مشخصه توزیع نرمال به شکل زیر است:

متمایز کردن عملکرد مشخصه و تنظیم t = 0، لحظه های هر ترتیبی را بدست می آوریم.

منحنی چگالی توزیع نرمال متقارن است و در این نقطه یک حداکثر منفرد برابر با

پارامتر انحراف استاندارد از 0 تا ∞ متغیر است.

میانگین از -∞ تا +∞ متغیر است.

با افزایش پارامتر، منحنی در امتداد محور گسترش می یابد ایکس، با نزدیک شدن به 0، در اطراف مقدار متوسط ​​کوچک می شود (پارامتر مشخص کننده گسترش، پراکندگی است).

وقتی تغییر می کند منحنی در امتداد محور جابجا می شود ایکس(نمودارها را ببینید).

با تغییر پارامترها و مدل های مختلفی به دست می آوریم متغیرهای تصادفی، ناشی از تلفن.

یک کاربرد معمولی از قانون عادی در تجزیه و تحلیل، به عنوان مثال، داده های مخابراتی، مدل سازی سیگنال ها، توصیف نویز، تداخل، خطاها و ترافیک است.

نمودارهای توزیع عادی تک متغیره

شکل 1. نمودار چگالی توزیع نرمال: میانگین 0، انحراف معیار 1 است

شکل 2. نمودار چگالی توزیع نرمال استاندارد با نواحی حاوی 68% و 95% از کل مشاهدات

شکل 3. نمودارهای چگالی توزیع های نرمال با میانگین صفر و انحراف های مختلف (=0.5، =1، =2)

شکل 4 نمودارهای دو توزیع نرمال N(-2،2) و N(3،2).

توجه داشته باشید که مرکز توزیع هنگام تغییر پارامتر تغییر کرده است.

اظهار نظر

در یک برنامه آمارنام N(3،2) به قانون نرمال یا گاوسی با پارامترهای: میانگین = 3 و انحراف استاندارد = 2 اشاره دارد.

در ادبیات، گاهی اوقات پارامتر دوم به عنوان تفسیر می شود پراکندگی، یعنی مربعانحراف معیار.

محاسبه نقاط درصد توزیع نرمال با استفاده از یک ماشین حساب احتمال آمار

با استفاده از یک ماشین حساب احتمال آمارشما می توانید ویژگی های مختلف توزیع ها را بدون توسل به جداول دست و پا گیر مورد استفاده در کتاب های قدیمی محاسبه کنید.

مرحله 1.راه اندازی کنیم تحلیل و بررسی / ماشین حساب احتمال / توزیع ها.

در قسمت توزیع، را انتخاب کنید طبیعی.

شکل 5. راه اندازی ماشین حساب توزیع احتمال

گام 2.ما پارامترهای مورد علاقه ما را نشان می دهیم.

به عنوان مثال، می خواهیم کمیک 95 درصدی یک توزیع نرمال را با میانگین 0 و انحراف معیار 1 محاسبه کنیم.

بیایید این پارامترها را در فیلدهای ماشین حساب نشان دهیم (میانگین و انحراف استاندارد فیلدهای ماشین حساب را ببینید).

پارامتر p=0.95 را وارد می کنیم.

چک باکس "Reverse f.r." به طور خودکار ظاهر خواهد شد. کادر "زمان بندی" را علامت بزنید.

روی دکمه "محاسبه" در گوشه سمت راست بالا کلیک کنید.

شکل 6. تنظیم پارامترها

مرحله 3.در فیلد Z نتیجه می گیریم: مقدار کمیت 1.64 است (به پنجره بعدی مراجعه کنید).

شکل 7. مشاهده نتیجه ماشین حساب

شکل 8. نمودارهای چگالی و توابع توزیع. خط مستقیم x=1.644485

شکل 9. نمودارهای تابع توزیع نرمال. خطوط نقطه چین عمودی - x=-1.5، x=-1، x=-0.5، x=0

شکل 10. نمودارهای تابع توزیع نرمال. خطوط نقطه چین عمودی - x=0.5، x=1، x=1.5، x=2

تخمین پارامترهای توزیع نرمال

مقادیر توزیع نرمال را می توان با استفاده از ماشین حساب تعاملی.

توزیع نرمال دو متغیره

توزیع نرمال یک بعدی به طور طبیعی به تعمیم می یابد دو بعدیتوزیع نرمال.

به عنوان مثال، اگر یک سیگنال را فقط در یک نقطه در نظر بگیرید، یک توزیع یک بعدی برای شما کافی است، در دو نقطه - دو بعدی، در سه نقطه - سه بعدی و غیره.

فرمول کلی توزیع نرمال دو متغیره به صورت زیر است:

همبستگی زوجی بین کجاست X 1و X 2;

X 1به ترتیب؛

میانگین و انحراف معیار یک متغیر X 2به ترتیب.

اگر متغیرهای تصادفی X 1و X 2مستقل هستند، سپس همبستگی به ترتیب 0 = 0 است، جمله میانی در توان ناپدید می شود، و داریم:

f(x 1، x 2) = f(x 1)*f(x2)

برای کمیت های مستقل، چگالی دو بعدی به حاصل ضرب دو چگالی یک بعدی تجزیه می شود.

نمودارهای چگالی توزیع های نرمال دو متغیره

شکل 11. نمودار چگالی توزیع نرمال دو متغیره (بردار صفر میانگین، ماتریس کوواریانس واحد)

شکل 12. بخش نمودار چگالی توزیع نرمال دو بعدی با صفحه z=0.05

شکل 13. نمودار چگالی یک توزیع نرمال دو بعدی (بردار صفر با مقدار مورد انتظار، ماتریس کوواریانس با 1 در قطر اصلی و 0.5 در قطر جانبی)

شکل 14. بخش نمودار چگالی یک توزیع نرمال دو بعدی (بردار صفر انتظار ریاضی، ماتریس کوواریانس با 1 در قطر اصلی و 0.5 در مورب جانبی) با صفحه z= 0.05

شکل 15. نمودار چگالی یک توزیع نرمال دو بعدی (بردار صفر با مقدار مورد انتظار، ماتریس کوواریانس با 1 در قطر اصلی و 0.5- در قطر جانبی)

شکل 16. بخش نمودار چگالی یک توزیع نرمال دو بعدی (بردار صفر انتظار ریاضی، ماتریس کوواریانس با 1 در قطر اصلی و 0.5- در مورب جانبی) با صفحه z=0.05

شکل 17. مقاطع نمودارهای چگالی توزیع نرمال دو بعدی با صفحه z=0.05

برای درک بهتر توزیع نرمال دو متغیره، مشکل زیر را حل کنید.

وظیفه. به نمودار توزیع نرمال دو متغیره نگاه کنید. در مورد آن فکر کنید، آیا می توان آن را به عنوان چرخش نمودار یک توزیع نرمال یک بعدی نشان داد؟ چه زمانی باید از تکنیک تغییر شکل استفاده کرد؟

در عمل، اکثر متغیرهای تصادفی تحت تأثیر تعداد زیادی ازعوامل تصادفی تابع قانون توزیع احتمال نرمال هستند. بنابراین در کاربردهای مختلف نظریه احتمال، این قانون از اهمیت خاصی برخوردار است.

متغیر تصادفی $X$ از قانون توزیع احتمال نرمال پیروی می کند اگر چگالی توزیع احتمال آن به شکل زیر باشد.

$$f\left(x\right)=((1)\over (\sigma \sqrt(2\pi )))e^(-(((\left(x-a\right))^2)\over ( 2(\sigma )^2)))$$

نمودار تابع $f\left(x\right)$ به صورت شماتیک در شکل نشان داده شده است و "منحنی گاوس" نامیده می شود. در سمت راست این نمودار اسکناس 10 مارکی آلمان وجود دارد که قبل از معرفی یورو استفاده می شد. اگر دقت کنید، می توانید روی این اسکناس منحنی گاوس و کاشف آن، کارل فردریش گاوس، بزرگترین ریاضیدان را ببینید.

اجازه دهید به تابع چگالی $f\left(x\right)$ برگردیم و در مورد پارامترهای توزیع $a,\ (\sigma )^2$ توضیحاتی ارائه کنیم. پارامتر $a$ مرکز پراکندگی مقادیر یک متغیر تصادفی را مشخص می کند، یعنی معنای یک انتظار ریاضی را دارد. هنگامی که پارامتر $a$ تغییر می کند و پارامتر $(\sigma )^2$ بدون تغییر باقی می ماند، می توانیم یک تغییر در نمودار تابع $f\left(x\right)$ در امتداد آبسیسا مشاهده کنیم، در حالی که نمودار چگالی خودش شکلش را تغییر نمی دهد.

پارامتر $(\sigma )^2$ واریانس است و شکل منحنی نمودار چگالی $f\left(x\right)$ را مشخص می کند. هنگام تغییر پارامتر $(\sigma )^2$ با پارامتر $a$ بدون تغییر، می‌توان مشاهده کرد که چگونه نمودار چگالی شکل خود را تغییر می‌دهد، فشرده یا کشیده می‌شود، بدون اینکه در امتداد محور آبسیسا حرکت کند.

احتمال سقوط یک متغیر تصادفی با توزیع نرمال در یک بازه معین

همانطور که مشخص است، احتمال سقوط یک متغیر تصادفی $X$ در بازه $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ را می توان $P\left(\alpha) محاسبه کرد.< X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Для нормального распределения случайной величины $X$ с параметрами $a,\ \sigma $ справедлива следующая формула:

$$P\left(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right)$$

در اینجا تابع $\Phi \left(x\right)=((1)\over (\sqrt(2\pi )))\int^x_0(e^(-t^2/2)dt)$ است تابع لاپلاس. مقادیر این تابع از . ویژگی های زیر تابع $\Phi \left(x\right)$ قابل توجه است.

1 . $\Phi \left(-x\right)=-\Phi \left(x\right)$، یعنی تابع $\Phi \left(x\right)$ فرد است.

2 . $\Phi \left(x\right)$ یک تابع یکنواخت در حال افزایش است.

3 . $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) \Phi \left(x\right)\ )=0.5$, $(\mathop(lim)_(x\to -\infty) \ Phi \ چپ(x\راست)\ )=-0.5$.

برای محاسبه مقادیر تابع $\Phi \left(x\right)$ می‌توانید از تابع $f_x$ ویزارد در اکسل نیز استفاده کنید: $\Phi \left(x\right)=NORMDIST\left(x ;0;1;1\راست )-0.5$. برای مثال، بیایید مقادیر تابع $\Phi \left(x\right)$ را برای $x=2$ محاسبه کنیم.

احتمال سقوط یک متغیر تصادفی معمولی $X\in N\left(a;\ (\sigma )^2\right)$ در یک فاصله متقارن با توجه به انتظار ریاضی $a$ را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد.

$$P\left(\left|X-a\right|< \delta \right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right).$$

قانون سه سیگما. تقریباً مطمئن است که یک متغیر تصادفی معمولی توزیع شده $X$ در بازه $\left(a-3\sigma ;a+3\sigma \right)$ قرار می گیرد.

مثال 1 . متغیر تصادفی $X$ تابع قانون توزیع احتمال نرمال با پارامترهای $a=2،\ \sigma =3$ است. احتمال سقوط $X$ به بازه $\left(0.5;1\right)$ و احتمال برآورده شدن نابرابری $\left|X-a\right|< 0,2$.

با استفاده از فرمول

$$P\left(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right),$$

$P\left(0.5;1\right)=\Phi \left(((1-2)\over (3))\right)-\Phi \left(((0.5-2)\ over (3) را پیدا می کنیم ))\right)=\Phi \left(-0.33\right)-\Phi \left(-0.5\right)=\Phi \left(0.5\right)-\Phi \ left(0.33\right)=0.191- 0.129 = 0.062 دلار.

$$P\left(\left|X-a\right|< 0,2\right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right)=2\Phi \left({{0,2}\over {3}}\right)=2\Phi \left(0,07\right)=2\cdot 0,028=0,056.$$

مثال 2 . فرض کنید در طول سال قیمت سهام یک شرکت خاص یک متغیر تصادفی است که طبق قانون عادی با انتظار ریاضی معادل 50 واحد پولی متعارف و انحراف معیار برابر با 10 توزیع شده است. احتمال اینکه در یک انتخاب تصادفی چقدر است روز دوره مورد بحث، قیمت تبلیغات به شرح زیر خواهد بود:

الف) بیش از 70 واحد پولی متعارف؟

ب) زیر 50 هر سهم؟

ج) بین 45 تا 58 واحد پولی متعارف در هر سهم؟

اجازه دهید متغیر تصادفی $X$ قیمت سهام یک شرکت باشد. طبق شرط، $X$ تابع یک توزیع نرمال با پارامترهای $a=50$ - انتظار ریاضی، $\sigma =10$ - انحراف استاندارد است. احتمال $P\left(\alpha< X < \beta \right)$ попадания $X$ в интервал $\left(\alpha ,\ \beta \right)$ будем находить по формуле:

$$P\left(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right).$$

$$а)\ P\left(X>70\right)=\Phi \left(((\infty -50)\over (10))\right)-\Phi \left(((70-50)\ بیش از (10))\راست)=0.5-\Phi \left(2\right)=0.5-0.4772=0.0228.$$

$$b)\P\ چپ (X< 50\right)=\Phi \left({{50-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{-\infty -50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0\right)+0,5=0+0,5=0,5.$$

$$in)\ P\ چپ (45< X < 58\right)=\Phi \left({{58-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{45-50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0,8\right)-\Phi \left(-0,5\right)=\Phi \left(0,8\right)+\Phi \left(0,5\right)=$$

قانون توزیع احتمال عادی

بدون اغراق می توان آن را یک قانون فلسفی نامید. با مشاهده اشیا و فرآیندهای مختلف در دنیای اطراف خود، اغلب با این واقعیت مواجه می شویم که چیزی کافی نیست و یک هنجار وجود دارد:


در اینجا یک دیدگاه اساسی وجود دارد توابع چگالیتوزیع احتمال عادی، و من به شما به این درس جالب خوش آمد می گویم.

چه مثال هایی می توانید بیاورید؟ به سادگی تاریکی از آنها وجود دارد. این مثلاً قد، وزن افراد (و نه تنها)، قدرت بدنی، توانایی های ذهنی و غیره است. یک "توده اصلی" وجود دارد (به هر دلیلی)و در هر دو جهت انحراف وجود دارد.

اینها ویژگی های مختلف اجسام بی جان (همان اندازه، وزن) هستند. این یک مدت زمان تصادفی از فرآیندها است، به عنوان مثال، زمان مسابقه صد متری یا تبدیل رزین به کهربا. از فیزیک، مولکول های هوا را به یاد آوردم: برخی از آنها کند هستند، برخی سریع هستند، اما بیشتر آنها با سرعت "استاندارد" حرکت می کنند.

بعد، یک انحراف استاندارد دیگر از مرکز منحرف می‌شویم و ارتفاع را محاسبه می‌کنیم:

علامت گذاری نقاط روی نقاشی (رنگ سبز)و ما می بینیم که این کاملا کافی است.

در مرحله آخر، ما با دقت یک نمودار ترسیم می کنیم و به خصوص با دقتآن را منعکس کند محدب / مقعر! خب، احتمالا خیلی وقت پیش متوجه شده اید که محور x است مجانب افقی، و "بالا رفتن" از پشت آن مطلقاً ممنوع است!

هنگام ثبت یک راه حل به صورت الکترونیکی، ایجاد یک نمودار در اکسل آسان است و به طور غیرمنتظره برای خودم، حتی یک ویدیوی کوتاه در مورد این موضوع ضبط کردم. اما ابتدا اجازه دهید در مورد چگونگی تغییر شکل منحنی نرمال بسته به مقادیر و صحبت کنیم.

هنگام افزایش یا کاهش "a" (با "سیگما" ثابت)نمودار شکل خود را حفظ می کند و به راست / چپ حرکت می کندبه ترتیب. بنابراین، برای مثال، زمانی که تابع شکل می گیرد و نمودار ما 3 واحد به سمت چپ حرکت می کند - دقیقاً به مبدأ مختصات:


یک کمیت توزیع شده معمولی با انتظار ریاضی صفر نام کاملاً طبیعی دریافت کرد - متمرکز شده است; تابع چگالی آن است زوج، و نمودار متقارن نسبت به مختصات است.

در صورت تغییر "سیگما" (با ثابت "a")، نمودار "به همان شکل باقی می ماند" اما شکل آن تغییر می کند. وقتی بزرگ می شود، پایین تر و کشیده تر می شود، مانند اختاپوس که شاخک های خود را دراز می کند. و برعکس، هنگام کاهش نمودار باریک تر و بلندتر می شود- معلوم می شود که یک "اختاپوس شگفت زده" است. بله وقتی که نزول کردن"سیگما" دو بار: نمودار قبلی دو بار باریک و کشیده می شود:

همه چیز مطابق با آن است تبدیل هندسی نمودارها.

توزیع نرمال با مقدار واحد سیگما نامیده می شود نرمال شده، و اگر هم باشد متمرکز شده است(مورد ما)، سپس چنین توزیعی نامیده می شود استاندارد. حتی بیشتر هم دارد عملکرد سادهچگالی، که قبلاً در آن با آن مواجه شده است قضیه محلی لاپلاس: . توزیع استاندارد در عمل کاربرد گسترده ای پیدا کرده است و به زودی سرانجام هدف آن را خواهیم فهمید.

خوب حالا بیایید فیلم را ببینیم:

بله، کاملاً درست است - به نحوی بدون شایستگی در سایه ماند تابع توزیع احتمال. به یادش باشیم تعریف:
- احتمال اینکه یک متغیر تصادفی مقدار کمتری نسبت به متغیری که از تمام مقادیر واقعی تا بی نهایت "بعلاوه" عبور می کند، بگیرد.

در داخل انتگرال، معمولاً از یک حرف متفاوت استفاده می شود تا هیچ "همپوشانی" با نماد وجود نداشته باشد، زیرا در اینجا هر مقدار با انتگرال نامناسب، که برابر با برخی است عدداز فاصله .

تقریباً همه مقادیر را نمی توان به طور دقیق محاسبه کرد، اما همانطور که قبلاً دیدیم، با قدرت محاسباتی مدرن این کار دشواری نیست. بنابراین، برای تابع توزیع استاندارد، تابع اکسل مربوطه به طور کلی حاوی یک آرگومان است:

=NORMSDIST(ز)

یک، دو - و شما تمام کردید:

نقاشی به وضوح اجرای همه را نشان می دهد ویژگی های تابع توزیع، و از نکات ظریف فنی در اینجا باید به آن توجه کنید مجانب افقیو نقطه عطف

حال بیایید یکی از وظایف کلیدی مبحث را به یاد بیاوریم، یعنی چگونگی پیدا کردن احتمال وجود یک متغیر تصادفی عادی مقدار را از بازه می گیرد. از نظر هندسی این احتمال برابر است با حوزهبین منحنی نرمال و محور x در بخش مربوطه:

اما هر بار سعی می کنم یک مقدار تقریبی بدست بیاورم غیر معقول است و بنابراین استفاده از آن منطقی تر است فرمول "آسان".:
.

! همچنین به یاد می آورد ، چی

در اینجا می توانید دوباره از اکسل استفاده کنید ، اما چند "اما" مهم وجود دارد: اولاً ، همیشه در دسترس نیست و ثانیاً ، مقادیر "آماده" به احتمال زیاد سؤالاتی را از معلم ایجاد می کند. چرا؟

من قبلاً بارها در مورد این صحبت کرده ام: در یک زمان (و نه چندان دور) یک ماشین حساب معمولی لوکس بود و در ادبیات آموزشیروش "دستی" برای حل مشکل مورد بررسی هنوز حفظ شده است. ماهیت آن این است که استاندارد کردنمقادیر "آلفا" و "بتا"، یعنی محلول را به توزیع استاندارد کاهش دهید:

توجه داشته باشید : تابع به راحتی از حالت کلی به دست می آیدبا استفاده از خطی جایگزین ها. سپس همچنین:

و از جایگزینی انجام شده دقیقاً از فرمول انتقال از مقادیر توزیع دلخواه به مقادیر متناظر توزیع استاندارد پیروی می کند.

چرا این لازم است؟ واقعیت این است که مقادیر به دقت توسط اجداد ما محاسبه شده و در یک جدول ویژه جمع آوری شده است که در بسیاری از کتاب های ترور وجود دارد. اما حتی بیشتر اوقات جدولی از مقادیر وجود دارد که قبلاً به آن پرداخته ایم قضیه انتگرال لاپلاس:

اگر جدولی از مقادیر تابع لاپلاس در اختیار داشته باشیم ، سپس از طریق آن حل می کنیم:

مقادیر کسری به طور سنتی به 4 رقم اعشار گرد می شوند، همانطور که در جدول استاندارد انجام می شود. و برای کنترل وجود دارد نکته 5 چیدمان.

این را به شما یادآوری می کنم و برای جلوگیری از سردرگمی همیشه کنترل کنید، جدولی از عملکرد WHAT در مقابل چشمان شما قرار دارد.

پاسخلازم است به صورت درصد داده شود، بنابراین احتمال محاسبه شده باید در 100 ضرب شود و نتیجه با نظر معنی دار ارائه شود:

- با پرواز از 5 تا 70 متر، تقریباً 15.87٪ از پوسته ها سقوط می کنند

ما به تنهایی تمرین می کنیم:

مثال 3

قطر یاتاقان های کارخانه ای یک متغیر تصادفی است که به طور معمول با انتظار ریاضی 1.5 سانتی متر و انحراف استاندارد 0.04 سانتی متر توزیع می شود. این احتمال را پیدا کنید که اندازه یک یاتاقان به طور تصادفی انتخاب شده از 1.4 تا 1.6 سانتی متر باشد.

در حل نمونه و زیر، از تابع لاپلاس به عنوان رایج ترین گزینه استفاده خواهم کرد. به هر حال، توجه داشته باشید که طبق عبارت، انتهای فاصله را می توان در اینجا در نظر گرفت. با این حال، این مهم نیست.

و قبلاً در این مثال با یک مورد خاص روبرو شدیم - زمانی که فاصله با توجه به انتظارات ریاضی متقارن است. در چنین شرایطی، می توان آن را به شکل نوشت و با استفاده از عجیب بودن تابع لاپلاس، فرمول کار را ساده کرد:

پارامتر دلتا نامیده می شود انحرافاز انتظارات ریاضی، و نابرابری مضاعف را می توان با استفاده از "بسته بندی" کرد مدول:

- احتمال انحراف مقدار یک متغیر تصادفی از انتظارات ریاضی کمتر از .

خوب است که راه حل در یک خط قرار می گیرد :)
- احتمال اینکه قطر یک یاتاقان تصادفی از 1.5 سانتی متر بیشتر از 0.1 سانتی متر متفاوت باشد.

نتیجه این کار نزدیک به وحدت بود، اما من می خواهم قابلیت اطمینان بیشتری داشته باشد - یعنی مرزهایی که قطر در آنها قرار دارد تقریبا همهبلبرینگ ها آیا معیاری برای این وجود دارد؟ وجود دارد! سوال مطرح شده توسط به اصطلاح پاسخ داده می شود

قانون سه سیگما

ماهیت آن این است عملا قابل اعتماد این واقعیت است که یک متغیر تصادفی با توزیع معمولی مقداری از بازه را می گیرد .

در واقع، احتمال انحراف از مقدار مورد انتظار کمتر از:
یا 99.73٪

از نظر بلبرینگ، اینها 9973 قطعه با قطر 1.38 تا 1.62 سانتی متر و تنها 27 نسخه "غیر استاندارد" هستند.

که در تحقیق عملیقانون سه سیگما معمولاً در جهت مخالف اعمال می شود: اگر از نظر آماریمشخص شد که تقریبا تمام مقادیر متغیر تصادفی مورد مطالعهدر بازه زمانی 6 انحراف استاندارد قرار می گیرند، پس دلایل قانع کننده ای وجود دارد که باور کنیم این مقدار طبق یک قانون عادی توزیع شده است. تأیید با استفاده از تئوری انجام می شود فرضیه های آماری.

ما به حل مشکلات سخت شوروی ادامه می دهیم:

مثال 4

مقدار تصادفی خطای توزین طبق قانون عادی با انتظار ریاضی صفر و انحراف معیار 3 گرم توزیع می شود. احتمال اینکه توزین بعدی با خطای بیش از 5 گرم در قدر مطلق انجام شود را بیابید.

راه حلبسیار ساده. طبق شرط، ما بلافاصله توجه می کنیم که در وزن کشی بعدی (چیزی یا کسی)ما تقریباً 100٪ نتیجه را با دقت 9 گرم به دست خواهیم آورد. اما مشکل شامل یک انحراف باریکتر و مطابق فرمول است:

– احتمال اینکه توزین بعدی با خطای بیش از 5 گرم انجام شود.

پاسخ:

مشکل حل شده اساساً با یک مشکل به ظاهر مشابه تفاوت دارد. مثال 3درس در مورد توزیع یکنواخت. یک خطای وجود دارد گرد کردننتایج اندازه گیری، در اینجا ما در مورد خطای تصادفی خود اندازه گیری ها صحبت می کنیم. چنین خطاهایی به دلیل ویژگی های فنی خود دستگاه ایجاد می شود. (محدوده خطاهای قابل قبول معمولاً در پاسپورت وی مشخص می شود)و همچنین به تقصیر آزمایشگر - زمانی که مثلاً "با چشم" از سوزن همان ترازو قرائت می کنیم.

در میان دیگران، به اصطلاح نیز وجود دارد نظامخطاهای اندازه گیری در حال حاضر است غیر تصادفیخطاهایی که به دلیل راه اندازی یا عملکرد نادرست دستگاه رخ می دهد. به عنوان مثال، ترازوهای طبقه بندی نشده می توانند به طور پیوسته کیلوگرم اضافه کنند و فروشنده به طور سیستماتیک مشتریان را سنگین می کند. یا می توان آن را نه سیستماتیک محاسبه کرد. با این حال، در هر صورت چنین خطایی تصادفی نخواهد بود و انتظار آن با صفر متفاوت است.

...من فوراً در حال توسعه یک دوره آموزشی فروش هستم =)

بیایید خودمان مشکل معکوس را حل کنیم:

مثال 5

قطر غلتک یک متغیر تصادفی معمولی توزیع شده تصادفی است، انحراف استاندارد آن برابر با میلی متر است. طول بازه متقارن را با توجه به انتظارات ریاضی که احتمالاً طول قطر غلتک در آن کاهش می یابد، بیابید.

نکته 5* طرح بندی طراحیبرای کمک به. لطفاً توجه داشته باشید که انتظارات ریاضی در اینجا مشخص نیست، اما این حداقل ما را از حل مسئله باز نمی دارد.

و تکلیف امتحانی، که برای یکپارچه سازی مواد به شدت توصیه می کنم:

مثال 6

یک متغیر تصادفی با توزیع نرمال با پارامترهای آن (انتظار ریاضی) و (انحراف استاندارد) مشخص می شود. ضروری:

الف) چگالی احتمال را بنویسید و نمودار آن را به صورت شماتیک به تصویر بکشید.
ب) احتمال اینکه مقداری از بازه را بگیرد را بیابید ;
ج) احتمال انحراف قدر مطلق از بیش از ;
د) با استفاده از قانون "سه سیگما"، مقادیر متغیر تصادفی را بیابید.

چنین مشکلاتی در همه جا ارائه می شود و در طول سال ها تمرین صدها و صدها مورد از آنها را حل کرده ام. حتماً کشیدن نقاشی با دست و با استفاده از میزهای کاغذی را تمرین کنید؛)

خوب، من به مثالی از افزایش پیچیدگی نگاه خواهم کرد:

مثال 7

چگالی توزیع احتمال یک متغیر تصادفی شکل دارد . یافتن، انتظارات ریاضی، واریانس، تابع توزیع، ساخت نمودارهای چگالی و توابع توزیع، پیدا کردن.

راه حل: قبل از هر چیز، اجازه دهید توجه داشته باشیم که شرط چیزی در مورد ماهیت متغیر تصادفی نمی گوید. وجود یک توان به خودی خود معنایی ندارد: مثلاً ممکن است معلوم شود، نشان دهندهیا حتی خودسرانه توزیع پیوسته. و بنابراین "عادی بودن" توزیع هنوز باید توجیه شود:

از آنجایی که تابع تعیین شده در هرمقدار واقعی، و می توان آن را به شکل کاهش داد، سپس متغیر تصادفی طبق قانون عادی توزیع می شود.

در اینجا ما می رویم. برای این مربع کامل را انتخاب کنیدو سازماندهی کنید کسری سه طبقه:


حتماً یک بررسی انجام دهید و نشانگر را به شکل اصلی خود برگردانید:

، چیزی است که ما می خواستیم ببینیم.

بدین ترتیب:
- توسط قانون عملیات با اختیارات"قطع کردن" و در اینجا می توانید بلافاصله ویژگی های عددی آشکار را بنویسید:

حالا بیایید مقدار پارامتر را پیدا کنیم. از آنجایی که ضریب توزیع نرمال دارای شکل و است، پس:
، از جایی که ما تابع خود را بیان و جایگزین می کنیم:
، پس از آن یک بار دیگر ضبط را با چشمان خود مرور می کنیم و مطمئن می شویم که تابع حاصل فرم دارد .

بیایید یک نمودار چگالی بسازیم:

و نمودار تابع توزیع :

اگر اکسل یا حتی یک ماشین حساب معمولی در دسترس ندارید، آخرین نمودار را می توان به راحتی به صورت دستی ساخت! در یک نقطه، تابع توزیع یک مقدار می گیرد و در اینجا یافت می شود