تغییرات ثابت ها ODE

سخنرانی 44. معادلات ناهمگن خطی مرتبه دوم. روش تغییر ثابت های دلخواه معادلات ناهمگن خطی مرتبه دوم با ضرایب ثابت. (سمت راست ویژه).

تحولات اجتماعی ایالت و کلیسا.

سیاست اجتماعیبلشویک ها عمدتاً توسط رویکرد طبقاتی خود دیکته شده بودند.با فرمان 10 نوامبر 1917، نظام طبقاتی از بین رفت، درجات، عناوین و جوایز قبل از انقلاب لغو شد. انتخاب قضات برقرار شده است. سکولاریزاسیون دولت های مدنی انجام شد. آموزش و مراقبت های پزشکی رایگان تأسیس شد (فرمان 31 اکتبر 1918). زنان از حقوق برابر با مردان برخوردار بودند (فرمان های 16 و 18 دسامبر 1917). فرمان ازدواج، نهاد ازدواج مدنی را معرفی کرد.

با فرمان شورای کمیسرهای خلق در 20 ژانویه 1918، کلیسا از دولت و از سیستم آموزشی جدا شد. بیشتر اموال کلیسا مصادره شد. پاتریارک مسکو و تیخون تمام روسیه (انتخاب در 5 نوامبر 1917) در 19 ژانویه 1918 قدرت شوروی را تحقیر کرد و خواستار مبارزه با بلشویک ها شد.

یک معادله خطی ناهمگن مرتبه دوم را در نظر بگیرید

ساختار جواب کلی چنین معادله ای با قضیه زیر تعیین می شود:

قضیه 1.جواب کلی معادله ناهمگن (1) به صورت مجموع حل خاصی از این معادله و جواب کلی معادله همگن مربوطه نشان داده می شود.

اثبات. لازم به اثبات است که مقدار

وجود دارد تصمیم مشترکمعادله 1). اجازه دهید ابتدا ثابت کنیم که تابع (3) جواب معادله (1) است.

جایگزین کردن مجموع به معادله (1) به جای در، خواهد داشت

از آنجایی که معادله (2) جواب دارد، عبارت در پرانتز اول به طور یکسان برابر با صفر است. از آنجایی که معادله (1) جواب دارد، عبارت در پرانتز دوم برابر است با f(x). بنابراین برابری (4) یک هویت است. بنابراین قسمت اول قضیه ثابت می شود.

اجازه دهید گزاره دوم را ثابت کنیم: عبارت (3) است عمومیحل معادله (1). ما باید ثابت کنیم که ثابت های دلخواه موجود در این عبارت را می توان به گونه ای انتخاب کرد که شرایط اولیه برآورده شود:

اعداد هر چه که باشند x 0، y 0و (اگر فقط x 0از منطقه ای که توابع در آن کار می کند گرفته شده است a 1، a 2و f(x)مداوم).

توجه داشته باشید که می توان آن را در فرم نشان داد. سپس بر اساس شرایط (5) خواهیم داشت

بیایید این سیستم را حل کنیم و تعیین کنیم ج 1و ج 2. بیایید سیستم را به شکل زیر بازنویسی کنیم:

توجه داشته باشید که تعیین کننده این سیستم، تعیین کننده Wronski برای توابع است در 1و در 2در نقطه x=x 0. از آنجایی که این توابع به صورت خطی مستقل از شرط هستند، دترمینان Wronski برابر با صفر نیست. بنابراین سیستم (6) یک راه حل قطعی دارد ج 1و ج 2، یعنی چنین معانی وجود دارد ج 1و ج 2، که بر اساس آن فرمول (3) جواب معادله (1) را با شرایط اولیه داده شده تعیین می کند. Q.E.D.

اجازه دهید به روش کلی یافتن راه حل های جزئی برای یک معادله ناهمگن برویم.

اجازه دهید حل کلی معادله همگن (2) را بنویسیم.

ما به دنبال راه حل خاصی برای معادله ناهمگن (1) در شکل (7) خواهیم بود. ج 1و ج 2مانند برخی از توابع هنوز ناشناخته از ایکس.

اجازه دهید برابری را متمایز کنیم (7):

بیایید توابع مورد نظر خود را انتخاب کنیم ج 1و ج 2به طوری که برابری برقرار است

اگر این شرط اضافی را در نظر بگیریم، اولین مشتق شکل می گیرد

اکنون با متمایز کردن این عبارت، متوجه می شویم:

با جایگزینی معادله (1) دریافت می کنیم

عبارات در دو پرانتز اول صفر می شوند، زیرا y 1و y 2- حل یک معادله همگن بنابراین آخرین برابری شکل می گیرد

بنابراین، تابع (7) راه حلی برای معادله ناهمگن (1) خواهد بود اگر توابع باشد ج 1و ج 2معادلات (8) و (9) را برآورده کنید. بیایید از معادلات (8) و (9) یک سیستم معادلات ایجاد کنیم.

از آنجایی که تعیین کننده این سیستم، تعیین کننده Wronski برای راه حل های مستقل خطی است y 1و y 2معادله (2)، پس برابر با صفر نیست. بنابراین، با حل سیستم، هر دو عملکرد مشخصی از آن را خواهیم یافت ایکس:

با حل این سیستم متوجه می شویم که در نتیجه یکپارچه سازی از کجا بدست می آوریم. در مرحله بعد، توابع یافت شده را جایگزین فرمول می کنیم، یک راه حل کلی برای معادله ناهمگن به دست می آوریم، جایی که ثابت های دلخواه هستند.

از روش تغییر ثابت های دلخواه برای حل معادلات دیفرانسیل ناهمگن استفاده می شود. این درس برای آن دسته از دانش آموزانی در نظر گرفته شده است که در حال حاضر کم و بیش به این موضوع مسلط هستند. اگر تازه شروع به آشنایی با کنترل از راه دور کرده اید، یعنی. اگر اهل قوری هستید، توصیه می کنم از درس اول شروع کنید: معادلات دیفرانسیل مرتبه اول نمونه هایی از راه حل ها. و اگر در حال اتمام هستید، لطفاً این پیش فرض احتمالی را که روش دشوار است، کنار بگذارید. چون ساده است.

در چه مواردی از روش تغییرات ثابت دلخواه استفاده می شود؟

1) برای حل می توان از روش تغییر یک ثابت دلخواه استفاده کرد خطی ناهمگن DE از مرتبه 1. از آنجایی که معادله مرتبه اول است، پس ثابت نیز یک است.

2) از روش تغییر ثابت های دلخواه برای حل برخی استفاده می شود معادلات مرتبه دوم ناهمگن خطی. در اینجا دو ثابت متفاوت است.

منطقی است که فرض کنیم درس شامل دو پاراگراف باشد... بنابراین من این جمله را نوشتم و حدود 10 دقیقه به طرز دردناکی به این فکر می کردم که چه مزخرفات هوشمندانه دیگری را می توانم برای انتقال آرام به مثال های عملی اضافه کنم. اما به دلایلی بعد از تعطیلات هیچ فکری نمی کنم، اگرچه به نظر نمی رسد از چیزی سوء استفاده کرده باشم. بنابراین، بیایید مستقیماً به پاراگراف اول برویم.

روش تغییر یک ثابت دلخواه
برای یک معادله ناهمگن خطی مرتبه اول

قبل از در نظر گرفتن روش تغییر یک ثابت دلخواه، توصیه می شود با مقاله آشنا شوید معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه اول. در آن درس تمرین کردیم راه حل اولناهمگن درجه 1 DE. این اولین راه حل، یادآوری می کنم، نام دارد روش جایگزینییا روش برنولی(با آن اشتباه نشود معادله برنولی!!!)

اکنون نگاه خواهیم کرد راه حل دوم- روش تغییر یک ثابت دلخواه. من فقط سه مثال می زنم و آنها را از درس فوق می گیرم. چرا اینقدر کم؟ زیرا در واقع راه حل در راه دوم بسیار شبیه به راه حل در راه اول خواهد بود. علاوه بر این، با توجه به مشاهدات من، روش تغییر ثابت های دلخواه کمتر از روش جایگزینی استفاده می شود.

مثال 1

(از مثال شماره 2 درس فاصله بگیرید معادلات دیفرانسیل ناهمگن خطی مرتبه 1)

راه حل:این معادله خطی ناهمگن است و شکلی آشنا دارد:

در مرحله اول، حل یک معادله ساده تر ضروری است:
یعنی ما احمقانه سمت راست را ریست می کنیم و به جای آن صفر می نویسیم.
معادله تماس میگیرم معادله کمکی.

در این مثال باید معادله کمکی زیر را حل کنید:

قبل از ما معادله قابل تفکیک، که راه حل آن (امیدوارم) دیگر برای شما سخت نباشد:

بدین ترتیب:
- حل کلی معادله کمکی.

در پله دوم جایگزین خواهیم کردمقداری ثابت در حال حاضرتابع ناشناخته که به "x" بستگی دارد:

از این رو نام روش - ما ثابت را تغییر می دهیم. از طرف دیگر، ثابت می تواند تابعی باشد که اکنون باید آن را پیدا کنیم.

که در اصلیمعادله ناهمگن بیایید جایگزینی ایجاد کنیم:

بیایید جایگزین کنیم و به معادله :

نقطه کنترل - دو عبارت سمت چپ لغو می شود. اگر این اتفاق نیفتاد، باید به دنبال خطای بالا بگردید.

در نتیجه جایگزینی، معادله ای با متغیرهای قابل تفکیک به دست آمد. متغیرها را جدا کرده و ادغام می کنیم.

چه برکتی است که شارحان نیز لغو می کنند:

یک ثابت "عادی" را به تابع یافت شده اضافه می کنیم:

بر مرحله نهاییبیایید جایگزین خود را به یاد بیاوریم:

تابع به تازگی پیدا شده است!

بنابراین راه حل کلی این است:

پاسخ:تصمیم مشترک:

اگر دو راه حل را چاپ کنید، به راحتی متوجه خواهید شد که در هر دو مورد ما انتگرال های یکسانی پیدا کردیم. تنها تفاوت در الگوریتم حل است.

حالا برای چیز پیچیده تر، در مورد مثال دوم نیز نظر خواهم داد:

مثال 2

جواب کلی معادله دیفرانسیل را پیدا کنید
(از مثال شماره 8 درس متمایز شوید معادلات دیفرانسیل ناهمگن خطی مرتبه 1)

راه حل:اجازه دهید معادله را به شکل کاهش دهیم :

بیایید سمت راست را تنظیم مجدد کنیم و معادله کمکی را حل کنیم:

حل کلی معادله کمکی:

در معادله ناهمگن جایگزین می کنیم:

طبق قانون تمایز محصول:

بیایید جایگزین کنیم و به معادله ناهمگن اصلی:

دو عبارت در سمت چپ لغو می شوند، به این معنی که ما در مسیر درست هستیم:

بیایید با قطعات ادغام کنیم. حرف خوشمزه حاصل از ادغام با فرمول قطعات قبلاً در راه حل دخیل است ، بنابراین برای مثال از حروف "a" و "be" استفاده می کنیم:

حالا بیایید جایگزین را به یاد بیاوریم:

پاسخ:تصمیم مشترک:

و یک مثال برای تصمیم مستقل:

مثال 3

یک راه حل خاص برای معادله دیفرانسیل مربوط به شرط اولیه داده شده پیدا کنید.

,
(از مثال شماره 4 درس جدا شوید معادلات دیفرانسیل ناهمگن خطی مرتبه 1)
راه حل:
این DE ناهمگن خطی است. ما از روش تغییر ثابت های دلخواه استفاده می کنیم. بیایید معادله کمکی را حل کنیم:

متغیرها را جدا کرده و ادغام می کنیم:

تصمیم مشترک:
در معادله ناهمگن جایگزین می کنیم:

بیایید جایگزینی را انجام دهیم:

بنابراین راه حل کلی این است:

اجازه دهید یک راه حل خاص مطابق با شرایط اولیه داده شده پیدا کنیم:

پاسخ:راه حل خصوصی:

راه حل پایان درس می تواند به عنوان نمونه ای برای اتمام تکلیف باشد.

روش تغییر ثابت های دلخواه
برای یک معادله خطی ناهمگن مرتبه دوم
با ضرایب ثابت

من اغلب این عقیده را شنیده ام که روش تغییر دادن ثابت های دلخواه برای یک معادله مرتبه دوم کار آسانی نیست. اما من موارد زیر را فرض می کنم: به احتمال زیاد، این روش برای بسیاری دشوار به نظر می رسد زیرا اغلب اتفاق نمی افتد. اما در واقعیت هیچ مشکل خاصی وجود ندارد - مسیر تصمیم روشن، شفاف و قابل درک است. و زیبا.

برای تسلط بر روش، مطلوب است که بتوان با انتخاب یک راه حل خاص بر اساس فرم سمت راست، معادلات مرتبه دوم ناهمگن را حل کرد. این روش در مقاله به تفصیل مورد بحث قرار گرفته است. DEهای مرتبه دوم ناهمگن. به یاد می آوریم که یک معادله ناهمگن خطی مرتبه دوم با ضرایب ثابت به شکل زیر است:

روش انتخاب، که در درس بالا مورد بحث قرار گرفت، تنها در موارد محدودی کار می کند که سمت راست شامل چند جمله ای، نمایی، سینوس و کسینوس باشد. اما وقتی در سمت راست، مثلاً کسری، لگاریتم، مماس است، چه باید کرد؟ در چنین شرایطی، روش تغییر ثابت ها به کمک می آید.

مثال 4

جواب کلی یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم را پیدا کنید

راه حل:کسری در سمت راست این معادله وجود دارد، بنابراین می توان بلافاصله گفت که روش انتخاب یک راه حل خاص کار نمی کند. ما از روش تغییر ثابت های دلخواه استفاده می کنیم.

هیچ نشانه ای از رعد و برق وجود ندارد؛ شروع راه حل کاملاً معمولی است:

پیدا خواهیم کرد تصمیم مشترکمناسب همگنمعادلات:

بیایید معادله مشخصه را بسازیم و حل کنیم:


- ریشه های پیچیده مزدوج به دست می آید، بنابراین راه حل کلی این است:

به رکورد راه حل کلی توجه کنید - اگر پرانتز وجود دارد، آنها را باز کنید.

اکنون ما تقریباً همان ترفند معادله مرتبه اول را انجام می دهیم: ثابت ها را تغییر می دهیم و آنها را با توابع مجهول جایگزین می کنیم. به این معنا که، راه حل کلی ناهمگنما به دنبال معادلات به شکل زیر خواهیم بود:

جایی که - در حال حاضرتوابع ناشناخته

به نظر می رسد زباله های خانگی است، اما اکنون همه چیز را مرتب می کنیم.

مجهولات مشتقات توابع هستند. هدف ما یافتن مشتقات است و مشتقات یافت شده باید هر دو معادله اول و دوم سیستم را برآورده کنند.

"یونانی ها" از کجا می آیند؟ لک لک آنها را می آورد. ما به راه حل کلی که قبلاً به دست آمده نگاه می کنیم و می نویسیم:

بیایید مشتقات را پیدا کنیم:

با قسمت های سمت چپ برخورد شده است. سمت راست چیه؟

سمت راست معادله اصلی است، در این مورد:

ضریب ضریب مشتق دوم است:

در عمل، تقریباً همیشه، و مثال ما نیز از این قاعده مستثنی نیست.

همه چیز واضح است، اکنون می توانید یک سیستم ایجاد کنید:

سیستم معمولا حل می شود طبق فرمول های کرامربا استفاده از الگوریتم استاندارد تنها تفاوت این است که به جای اعداد، توابع داریم.

بیایید تعیین کننده اصلی سیستم را پیدا کنیم:

اگر فراموش کرده اید که تعیین کننده دو به دو چگونه آشکار می شود، به درس مراجعه کنید چگونه تعیین کننده را محاسبه کنیم؟لینک به تابلوی شرم منتهی می شود =)

بنابراین: این بدان معنی است که سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد.

یافتن مشتق:

اما این همه چیز نیست، تا کنون فقط مشتق را پیدا کرده ایم.
خود تابع با یکپارچه سازی بازیابی می شود:

بیایید تابع دوم را بررسی کنیم:

در اینجا یک ثابت "عادی" را اضافه می کنیم

در مرحله پایانی حل، به یاد می آوریم که در چه شکلی به دنبال یک راه حل کلی برای معادله ناهمگن بودیم؟ در چنین مواردی:

توابع مورد نیاز شما به تازگی پیدا شده اند!

تنها چیزی که باقی می ماند این است که جایگزینی را انجام دهید و پاسخ را یادداشت کنید:

پاسخ:تصمیم مشترک:

در اصل پاسخ می توانست پرانتز را بسط دهد.

بررسی کامل پاسخ طبق طرح استانداردی که در درس مورد بحث قرار گرفت انجام می شود. DEهای مرتبه دوم ناهمگن. اما تأیید آسان نخواهد بود، زیرا یافتن مشتقات نسبتاً سنگین و انجام جایگزینی دست و پاگیر ضروری است. وقتی چنین دیفیوزرهایی را حل می کنید، این یک ویژگی ناخوشایند است.

مثال 5

یک معادله دیفرانسیل را با تغییر ثابت دلخواه حل کنید

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید. در واقع، در سمت راست نیز کسری وجود دارد. به یاد بیاوریم فرمول مثلثاتی، به هر حال، باید در طول راه حل اعمال شود.

روش تغییر ثابت های دلخواه جهانی ترین روش است. می تواند هر معادله ای را که قابل حل باشد حل کند روش انتخاب یک راه حل خاص بر اساس فرم سمت راست. این سوال مطرح می شود: چرا از روش تغییر ثابت های دلخواه در آنجا نیز استفاده نمی شود؟ پاسخ واضح است: انتخاب یک راه حل خاص، که در کلاس مورد بحث قرار گرفت معادلات مرتبه دوم ناهمگن، به طور قابل توجهی سرعت حل را افزایش می دهد و ضبط را کوتاه می کند - بدون سر و صدا با عوامل تعیین کننده و انتگرال.

بیایید به دو مثال با مشکل کوشی.

مثال 6

یک راه حل خاص برای معادله دیفرانسیل مربوط به شرایط اولیه داده شده پیدا کنید

,

راه حل:باز هم کسر و توان در مکان جالب.
ما از روش تغییر ثابت های دلخواه استفاده می کنیم.

پیدا خواهیم کرد تصمیم مشترکمناسب همگنمعادلات:



- ریشه های واقعی متفاوتی به دست می آید، بنابراین راه حل کلی این است:

راه حل عمومی ناهمگنما به دنبال معادلات به شکل زیر هستیم: در حال حاضرتوابع ناشناخته

بیایید یک سیستم ایجاد کنیم:

در این مورد:
,
یافتن مشتقات:
,

بدین ترتیب:

بیایید سیستم را با استفاده از فرمول های کرامر حل کنیم:
، به این معنی که سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد.

ما تابع را با یکپارچه سازی بازیابی می کنیم:

در اینجا استفاده شده است روش قرار دادن تابع زیر علامت دیفرانسیل.

تابع دوم را با ادغام بازیابی می کنیم:

این انتگرال حل شده است روش جایگزینی متغیر:

از خود جایگزینی بیان می کنیم:

بدین ترتیب:

این انتگرال را می توان یافت روش استخراج مربع کامل، اما در نمونه هایی با دیفیوزر ترجیح می دهم کسر را گسترش دهم روش ضرایب نامشخص :

هر دو تابع پیدا شد:

در نتیجه، جواب کلی معادله ناهمگن به صورت زیر است:

بیایید راه حل خاصی پیدا کنیم که شرایط اولیه را برآورده کند .

از نظر فنی، جستجوی راه حل به روش استاندارد انجام می شود که در مقاله مورد بحث قرار گرفت معادلات دیفرانسیل ناهمگن مرتبه دوم.

صبر کنید، اکنون مشتق راه حل کلی پیدا شده را خواهیم یافت:

این چنین شرمساری است. ساده کردن آن ضروری نیست، ساده تر است که بلافاصله یک سیستم معادلات ایجاد کنید. با توجه به شرایط اولیه :

بیایید مقادیر یافت شده ثابت ها را جایگزین کنیم به راه حل کلی:

در پاسخ، لگاریتم ها را می توان کمی بسته بندی کرد.

پاسخ:راه حل خصوصی:

همانطور که می بینید، مشکلات ممکن است در انتگرال ها و مشتقات ایجاد شود، اما نه در الگوریتم روش تغییر ثابت های دلخواه. این من نیستم که شما را بترسانم، این همه مجموعه کوزنتسوف است!

برای آرامش، یک مثال نهایی و ساده تر برای حل خودتان:

مثال 7

مشکل کوشی را حل کنید

,

مثال ساده است، اما خلاقانه است، هنگامی که یک سیستم ایجاد می کنید، قبل از تصمیم گیری به دقت به آن نگاه کنید ;-)




در نتیجه راه حل کلی این است:

اجازه دهید یک راه حل خاص مطابق با شرایط اولیه پیدا کنیم .



اجازه دهید مقادیر یافت شده ثابت ها را با جواب کلی جایگزین کنیم:

پاسخ:راه حل خصوصی:

روش تغییر یک ثابت دلخواه یا روش لاگرانژ روش دیگری برای حل معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه اول و معادله برنولی است.

معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه اول معادلاتی به شکل y’+p(x)y=q(x) هستند. اگر یک صفر در سمت راست وجود داشته باشد: y’+p(x)y=0، پس این یک خطی است همگنمعادله مرتبه 1 بر این اساس، معادله ای با سمت راست غیر صفر، y’+p(x)y=q(x) است. ناهمگونمعادله خطی مرتبه 1.

روش تغییر یک ثابت دلخواه (روش لاگرانژ) به شرح زیر است:

1) ما به دنبال یک راه حل کلی برای معادله همگن y’+p(x)y=0: y=y* هستیم.

2) در جواب کلی، C را نه یک ثابت، بلکه تابعی از x در نظر می گیریم: C = C (x). مشتق راه حل کلی (y*)’ را پیدا می کنیم و عبارت حاصل را برای y* و (y*)’ در شرایط اولیه جایگزین می کنیم. از معادله به دست آمده تابع C(x) را پیدا می کنیم.

3) در حل کلی معادله همگن به جای C عبارت یافت شده را جایگزین C(x) می کنیم.

بیایید نمونه هایی از روش تغییر یک ثابت دلخواه را بررسی کنیم. بیایید همان وظایف را انجام دهیم، پیشرفت راه حل را با هم مقایسه کنیم و مطمئن شویم که پاسخ های به دست آمده با هم مطابقت دارند.

1) y’=3x-y/x

بیایید معادله را به شکل استاندارد بازنویسی کنیم (برخلاف روش برنولی، که در آن فقط برای اینکه ببینیم معادله خطی است، به شکل نمادگذاری نیاز داشتیم).

y’+y/x=3x (I). حالا طبق برنامه پیش می رویم.

1) معادله همگن y’+y/x=0 را حل کنید. این یک معادله با متغیرهای قابل تفکیک است. y’=dy/dx را تصور کنید، جایگزین: dy/dx+y/x=0، dy/dx=-y/x. دو طرف معادله را در dx ضرب می کنیم و بر xy≠0 تقسیم می کنیم: dy/y=-dx/x. بیایید ادغام کنیم:

2) در حل کلی معادله همگن، C را نه ثابت، بلکه تابعی از x در نظر می گیریم: C=C(x). از اینجا

عبارات به دست آمده را با شرط (I) جایگزین می کنیم:

بیایید هر دو طرف معادله را ادغام کنیم:

در اینجا C از قبل مقداری ثابت جدید است.

3) در حل کلی معادله همگن y=C/x که C=C(x) یعنی y=C(x)/x را فرض کردیم به جای C(x) عبارت پیدا شده x3 را جایگزین می کنیم. +C: y=(x³ +C)/x یا y=x²+C/x. ما همان پاسخی را گرفتیم که هنگام حل با روش برنولی.

پاسخ: y=x²+C/x.

2) y’+y=cosx.

در اینجا معادله قبلاً به شکل استاندارد نوشته شده است، نیازی به تبدیل آن نیست.

1) معادله خطی همگن y’+y=0 را حل کنید: dy/dx=-y; dy/y=-dx. بیایید ادغام کنیم:

برای به دست آوردن شکل مناسب‌تری از نمادگذاری، توان C را به عنوان C جدید در نظر می‌گیریم:

این تبدیل برای راحت‌تر کردن یافتن مشتق انجام شد.

2) در جواب کلی معادله همگن خطی، C را نه ثابت، بلکه تابعی از x در نظر می گیریم: C=C(x). تحت این شرایط

عبارات حاصل از y و y را با شرط جایگزین می کنیم:

دو طرف معادله را در ضرب کنید

ما هر دو طرف معادله را با استفاده از فرمول ادغام با قطعات ادغام می کنیم، به دست می آوریم:

در اینجا C دیگر یک تابع نیست، بلکه یک ثابت معمولی است.

3) در حل کلی معادله همگن

تابع یافت شده C(x) را جایگزین کنید:

ما همان پاسخی را گرفتیم که هنگام حل با روش برنولی.

روش تغییر یک ثابت دلخواه نیز برای حل قابل استفاده است.

y'x+y=-xy².

معادله را به شکل استاندارد می آوریم: y’+y/x=-y² (II).

1) معادله همگن y’+y/x=0 را حل کنید. dy/dx=-y/x. دو طرف معادله را در dx ضرب می کنیم و بر y تقسیم می کنیم: dy/y=-dx/x. حالا بیایید ادغام کنیم:

عبارات به دست آمده را در شرایط (II) جایگزین می کنیم:

بیایید ساده کنیم:

معادله ای با متغیرهای قابل تفکیک برای C و x به دست آوردیم:

در اینجا C از قبل یک ثابت معمولی است. در طول فرآیند ادغام، ما به جای C(x) به سادگی C نوشتیم، تا نماد بیش از حد بارگذاری نشود. و در پایان به C(x) بازگشتیم تا C(x) را با C جدید اشتباه نگیریم.

3) در حل کلی معادله همگن y=C(x)/x تابع یافت شده C(x) را جایگزین می کنیم:

ما همان پاسخی را گرفتیم که هنگام حل آن با استفاده از روش برنولی.

نمونه های خودآزمایی:

1. بیایید معادله را به شکل استاندارد بازنویسی کنیم: y’-2y=x.

1) معادله همگن y’-2y=0 را حل کنید. y’=dy/dx، بنابراین dy/dx=2y، هر دو طرف معادله را در dx ضرب کرده، بر y تقسیم کرده و ادغام کنید:

از اینجا ما y را پیدا می کنیم:

عبارات y و y را جایگزین شرط می کنیم (برای اختصار از C به جای C(x) و C’ به جای C"(x) استفاده می کنیم):

برای یافتن انتگرال در سمت راست، از فرمول انتگرال با قطعات استفاده می کنیم:

حالا u، du و v را در فرمول جایگزین می کنیم:

در اینجا C =const.

3) حالا همگن را جایگزین محلول می کنیم

روشی برای حل معادلات دیفرانسیل ناهمگن خطی مرتبه بالاتر با ضرایب ثابت با روش تغییر ثابت های لاگرانژ در نظر گرفته شده است. روش لاگرانژ همچنین برای حل هر معادله ناهمگن خطی در صورتی که سیستم اصلی حل معادله همگن شناخته شده باشد، قابل استفاده است.

محتوا

همچنین ببینید:

روش لاگرانژ (تغییر ثابت ها)

یک معادله دیفرانسیل ناهمگن خطی با ضرایب ثابت از مرتبه n دلخواه را در نظر بگیرید:
(1) .
روش تغییر یک ثابت که برای یک معادله مرتبه اول در نظر گرفتیم، برای معادلات مرتبه بالاتر نیز قابل استفاده است.

راه حل در دو مرحله انجام می شود. در مرحله اول سمت راست را کنار می گذاریم و معادله همگن را حل می کنیم. در نتیجه راه حلی حاوی n ثابت دلخواه به دست می آوریم. در مرحله دوم ما ثابت ها را تغییر می دهیم. یعنی ما معتقدیم که این ثابت ها توابعی از متغیر مستقل x هستند و شکل این توابع را پیدا می کنند.

اگرچه در اینجا معادلات با ضرایب ثابت را در نظر می گیریم، اما روش لاگرانژ برای حل هر معادله ناهمگن خطی نیز قابل استفاده است. برای انجام این کار، با این حال، سیستم اساسی راه حل های معادله همگن باید شناخته شود.

مرحله 1. حل معادله همگن

همانطور که در مورد معادلات مرتبه اول، ابتدا به دنبال جواب کلی معادله همگن می‌گردیم و ضلع ناهمگن سمت راست را برابر با صفر می‌کنیم:
(2) .
جواب کلی این معادله به صورت زیر است:
(3) .
در اینجا ثابت های دلخواه وجود دارد. - n راه حل مستقل خطی معادله همگن (2) که یک سیستم اساسی از راه حل های این معادله را تشکیل می دهند.

مرحله 2. تغییر ثابت ها - جایگزینی ثابت ها با توابع

در مرحله دوم به تغییرات ثابت ها می پردازیم. به عبارت دیگر، ما ثابت ها را با توابع متغیر مستقل x جایگزین می کنیم:
.
یعنی ما به دنبال حل معادله اصلی (1) به شکل زیر هستیم:
(4) .

اگر (4) را به (1) جایگزین کنیم، یک معادله دیفرانسیل برای n تابع بدست می آوریم. در این صورت می توانیم این توابع را با معادلات اضافی به هم وصل کنیم. سپس n معادله ای به دست می آورید که n تابع را می توان تعیین کرد. معادلات اضافی را می توان نوشت راه های مختلف. اما این کار را انجام می دهیم تا راه حل ساده ترین شکل را داشته باشد. برای انجام این کار، هنگام تمایز، باید عبارات حاوی مشتقات توابع را با صفر برابر کنید. بیایید این را نشان دهیم.

برای جایگزینی جواب پیشنهادی (4) به معادله اصلی (1)، باید مشتقات n مرتبه اول تابع را که به شکل (4) نوشته شده است، پیدا کنیم. ما (4) را با استفاده از قوانین تمایز مجموع و محصول متمایز می کنیم:
.
بیایید اعضا را گروه بندی کنیم. ابتدا اصطلاحات را با مشتقات و سپس اصطلاحات را با مشتقات می نویسیم:

.
بیایید شرط اول را بر توابع اعمال کنیم:
(5.1) .
سپس عبارت اولین مشتق با توجه به شکل ساده تری خواهد داشت:
(6.1) .

با استفاده از همین روش، مشتق دوم را پیدا می کنیم:

.
بیایید شرط دومی را بر توابع اعمال کنیم:
(5.2) .
سپس
(6.2) .
و غیره. که در شرایط اضافی، عبارات حاوی مشتقات توابع را با صفر برابر می کنیم.

بنابراین، اگر معادلات اضافی زیر را برای توابع انتخاب کنیم:
(5.k) ,
سپس اولین مشتقات نسبت به ساده ترین شکل را خواهند داشت:
(6.k) .
اینجا .

مشتق n را پیدا کنید:
(6.n)
.

معادله اصلی (1) را جایگزین کنید:
(1) ;






.
اجازه دهید در نظر بگیریم که همه توابع معادله (2) را برآورده می کنند:
.
سپس مجموع عبارت های حاوی صفر صفر را به دست می دهد. در نتیجه دریافت می کنیم:
(7) .

در نتیجه سیستمی به دست آوردیم معادلات خطیبرای مشتقات:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7') .

با حل این سیستم، عباراتی برای مشتقات به عنوان تابعی از x پیدا می کنیم. با ادغام، دریافت می کنیم:
.
در اینجا ثابت هایی هستند که دیگر به x وابسته نیستند. با جایگزینی (4)، یک راه حل کلی برای معادله اصلی به دست می آوریم.

توجه داشته باشید که برای تعیین مقادیر مشتقات، هرگز از ثابت بودن ضرایب a i استفاده نکردیم. از همین رو روش لاگرانژ برای حل هر معادله ناهمگن خطی قابل استفاده است، اگر سیستم اساسی راه حل های معادله همگن (2) شناخته شده باشد.

مثال ها

حل معادلات با استفاده از روش تغییرات ثابت (لاگرانژ).


حل مثال ها > > >

همچنین ببینید: حل معادلات مرتبه اول با روش تغییر یک ثابت (لاگرانژ)
حل معادلات مرتبه بالاتر با استفاده از روش برنولی
حل معادلات دیفرانسیل ناهمگن خطی مرتبه بالاتر با ضرایب ثابت با جایگزینی خطی