قانون توزیع شرطی یک متغیر تصادفی دو بعدی. متغیرهای تصادفی دو بعدی

ارائه نتیجه در قالب جدول 9.6 راحت تر است.

جدول 9.6

بیایید از فرمول های لحظه های اولیه و نتایج جداول 9.3 و 9.4 استفاده کنیم و انتظارات ریاضی مولفه ها را محاسبه کنیم. ایکسو Y:

واریانس ها را با استفاده از دومین لحظه اولیه و نتایج جدول محاسبه می کنیم. 9.3 و 9.4:

برای محاسبه کوواریانس به(X، Y) از یک فرمول مشابه در لحظه اولیه استفاده می کنیم:

ضریب همبستگی با فرمول تعیین می شود:

احتمال مورد نیاز به عنوان احتمال سقوط به منطقه ای در صفحه تعریف شده توسط نابرابری مربوطه تعریف می شود:

9.2. کشتی پیام "SOS" را ارسال می کند که می تواند توسط دو ایستگاه رادیویی دریافت شود. این سیگنال می تواند توسط یک ایستگاه رادیویی مستقل از دیگری دریافت شود. احتمال دریافت سیگنال توسط اولین ایستگاه رادیویی 0.95 است. احتمال دریافت سیگنال توسط ایستگاه رادیویی دوم 0.85 است. قانون توزیع یک متغیر تصادفی دوبعدی را که دریافت سیگنال توسط دو ایستگاه رادیویی را مشخص می کند، پیدا کنید. تابع توزیع را بنویسید.

راه حل:اجازه دهید ایکس- رویدادی که شامل این واقعیت است که سیگنال توسط اولین ایستگاه رادیویی دریافت می شود. Y- رویداد این است که سیگنال توسط ایستگاه رادیویی دوم دریافت می شود.

معانی متعدد .

ایکس=1 - سیگنال دریافت شده توسط اولین ایستگاه رادیویی.

ایکس=0 - سیگنال توسط ایستگاه رادیویی اول دریافت نشد.

معانی متعدد .

Y=l - سیگنال دریافت شده توسط ایستگاه رادیویی دوم،

Y=0 - سیگنال توسط ایستگاه رادیویی دوم دریافت نمی شود.

احتمال عدم دریافت سیگنال توسط ایستگاه های رادیویی اول یا دوم عبارت است از:

احتمال دریافت سیگنال توسط ایستگاه رادیویی اول:

احتمال دریافت سیگنال توسط ایستگاه رادیویی دوم:

احتمال دریافت سیگنال توسط هر دو ایستگاه رادیویی اول و دوم برابر است با: .

سپس قانون توزیع یک متغیر تصادفی دو بعدی برابر است با:

ایکس,y) معنی اف(ایکس,y) برابر است با مجموع احتمالات آن مقادیر ممکن متغیر تصادفی ( ایکس,Y) که در داخل مستطیل مشخص شده قرار می گیرند.

سپس تابع توزیع به صورت زیر خواهد بود:

9.3. دو شرکت محصولات یکسان تولید می کنند. هر کدام مستقل از دیگری می توانند تصمیم بگیرند که تولید را مدرن کنند. احتمال اینکه اولین شرکت چنین تصمیمی گرفته باشد 0.6 است. احتمال اتخاذ چنین تصمیمی توسط شرکت دوم 0.65 است. قانون توزیع یک متغیر تصادفی دو بعدی را بنویسید که مشخص کننده تصمیم نوسازی تولید دو شرکت است. تابع توزیع را بنویسید.

پاسخ:قانون توزیع:

برای هر مقدار ثابت یک نقطه با مختصات ( ایکس,y) مقدار برابر است با مجموع احتمالات آن مقادیر ممکن که داخل مستطیل مشخص شده قرار می گیرند. .

9.4. رینگ های پیستون برای موتورهای خودرو بر روی ماشین تراش اتوماتیک ساخته می شوند. ضخامت حلقه اندازه گیری می شود (مقدار تصادفی ایکس) و قطر سوراخ (مقدار تصادفی Y). مشخص است که حدود 5٪ از تمام رینگ های پیستون معیوب هستند. علاوه بر این، 3٪ از عیوب ناشی از قطر سوراخ غیر استاندارد، 1٪ - به دلیل ضخامت غیر استاندارد، و 1٪ - به هر دو دلیل رد می شود. یافتن: توزیع مشترک یک متغیر تصادفی دو بعدی ( ایکس,Y) توزیع تک بعدی اجزاء ایکسو Yانتظارات ریاضی اجزاء ایکسو Y; لحظه همبستگی و ضریب همبستگی بین اجزا ایکسو Yمتغیر تصادفی دو بعدی ( ایکس,Y).

پاسخ:قانون توزیع:

; ; ; ; ; .

9.5. محصولات کارخانه به دلیل نقص معیوب هستند آ 4 درصد است و به دلیل نقص که در- 3.5٪. تولید استاندارد 96 درصد است. تعیین کنید چند درصد از همه محصولات دارای هر دو نوع نقص هستند.

9.6. مقدار تصادفی ( ایکس,Y)با چگالی ثابت توزیع می شود داخل میدان آرکه رئوس آن دارای مختصات (–2;0)، (0;2)، (2;0)، (0;–2) است. تعیین چگالی توزیع متغیر تصادفی ( ایکس,Y) و چگالی توزیع شرطی آر(ایکس\در)، آر(در\ایکس).

راه حل.بیایید در هواپیما بسازیم ایکس 0yمربع داده شده (شکل 9.5) و معادلات اضلاع مربع ABCD را با استفاده از معادله یک خط مستقیم که از دو نقطه داده شده می گذرد تعیین کنید: جایگزینی مختصات رئوس آو که درمعادله ضلع را به ترتیب به دست می آوریم AB: یا .

به همین ترتیب، معادله ضلع را پیدا می کنیم آفتاب: ؛ طرفین سی دی: و کناره ها D.A.: . : .D X , Y) نیمکره ای است که در مبدا شعاع قرار دارد آرچگالی توزیع احتمال را بیابید.

پاسخ:

9.10. با توجه به یک متغیر تصادفی دو بعدی گسسته:

پیدا کنید: الف) قانون توزیع مشروط ایکس، به شرطی که y= 10;

ب) قانون توزیع مشروط Y، به شرطی که ایکس =10;

ج) انتظار ریاضی، پراکندگی، ضریب همبستگی.

9.11. متغیر تصادفی دو بعدی پیوسته ( ایکس,Y)به طور مساوی در داخل یک مثلث قائم الزاویه با رئوس توزیع شده است در باره(0;0), آ(0;8), که در(8,0).

پیدا کنید: الف) چگالی توزیع احتمال.

اجازه دهید یک متغیر تصادفی دو بعدی $(X,Y)$ داده شود.

تعریف 1

قانون توزیع یک متغیر تصادفی دوبعدی $(X,Y)$ مجموعه ای از جفت های ممکن از اعداد $(x_i,\ y_j)$ است (که $x_i \epsilon X,\ y_j \epsilon Y$) و آنها احتمالات $p_(ij)$ .

اغلب، قانون توزیع یک متغیر تصادفی دو بعدی به شکل جدول نوشته می شود (جدول 1).

شکل 1. قانون توزیع یک متغیر تصادفی دو بعدی.

حالا یادمان باشد قضیه در مورد جمع احتمالات رویدادهای مستقل.

قضیه 1

احتمال مجموع تعداد محدودی از رویدادهای مستقل $(\A)_1$, $(\A)_2$, ... ,$\(\A)_n$ با فرمول محاسبه می شود:

با استفاده از این فرمول، می توانید قوانین توزیع را برای هر جزء از یک متغیر تصادفی دو بعدی بدست آورید، یعنی:

از این نتیجه حاصل می شود که مجموع همه احتمالات یک سیستم دو بعدی به شکل زیر است:

اجازه دهید به طور مفصل (گام به گام) مسئله مرتبط با مفهوم قانون توزیع یک متغیر تصادفی دو بعدی را بررسی کنیم.

مثال 1

قانون توزیع یک متغیر تصادفی دو بعدی در جدول زیر آورده شده است:

شکل 2.

قوانین توزیع متغیرهای تصادفی $X,\Y$, $X+Y$ را بیابید و در هر مورد بررسی کنید که مجموع احتمالات برابر با یک باشد.

1. اجازه دهید ابتدا توزیع متغیر تصادفی $X$ را پیدا کنیم. متغیر تصادفی $X$ می تواند مقادیر $x_1=2، $$x_2=3$، $x_3=5$ را بگیرد. برای یافتن توزیع از قضیه 1 استفاده می کنیم.

اجازه دهید ابتدا مجموع احتمالات $x_1$ را به صورت زیر پیدا کنیم:

شکل 3.

به طور مشابه، $P\left(x_2\right)$ و $P\left(x_3\right)$ را پیدا می کنیم:

\ \

شکل 4.

1. اجازه دهید اکنون توزیع متغیر تصادفی $Y$ را پیدا کنیم. متغیر تصادفی $Y$ می تواند مقادیر $x_1=1، $x_2=3$، $x_3=4$ را بگیرد. برای یافتن توزیع از قضیه 1 استفاده می کنیم.

اجازه دهید ابتدا مجموع احتمالات $y_1$ را به صورت زیر پیدا کنیم:

شکل 5.

به طور مشابه، $P\left(y_2\right)$ و $P\left(y_3\right)$ را پیدا می کنیم:

\ \

این بدان معنی است که قانون توزیع مقدار X$ به شکل زیر است:

شکل 6.

بیایید برابری مجموع احتمالات را بررسی کنیم:

1. باقی مانده است که قانون توزیع متغیر تصادفی $X+Y$ را پیدا کنیم.

برای راحتی، اجازه دهید آن را با $Z$ نشان دهیم: $Z=X+Y$.

ابتدا بیایید دریابیم که این کمیت چه مقادیری می تواند داشته باشد. برای انجام این کار، مقادیر $X$ و $Y$ را به صورت جفت اضافه می کنیم. ما مقادیر زیر را دریافت می کنیم: 3، 4، 6، 5، 6، 8، 6، 7، 9. اکنون، با صرف نظر از مقادیر مطابق، متوجه می شویم که متغیر تصادفی $X+Y$ می تواند مقادیر z_1$ را بگیرد. =3،\ z_2=4،\ z_3=5،\ z_4=6،\ z_5=7،\ z_6=8،\ z_7=9.\ $

اجازه دهید ابتدا $P(z_1)$ را پیدا کنیم. از آنجایی که مقدار $z_1$ یک است، به صورت زیر یافت می شود:

شکل 7.

همه احتمالات به جز $P(z_4)$ به طور مشابه یافت می شوند:

اکنون اجازه دهید $P(z_4)$ را به صورت زیر پیدا کنیم:

شکل 8.

این بدان معنی است که قانون توزیع مقدار $Z$ به شکل زیر است:

شکل 9.

بیایید برابری مجموع احتمالات را بررسی کنیم:

یک جفت مرتب شده (X, Y) از متغیرهای تصادفی X و Y را یک متغیر تصادفی دو بعدی یا یک بردار تصادفی در فضای دو بعدی می نامند. به یک متغیر تصادفی دو بعدی (X,Y) سیستمی از متغیرهای تصادفی X و Y نیز می گویند. مجموعه تمام مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی گسسته با احتمالات آنها قانون توزیع این متغیر تصادفی نامیده می شود. یک متغیر تصادفی دوبعدی گسسته (X,Y) داده شده در نظر گرفته می شود که قانون توزیع آن مشخص باشد:

P(X=x i, Y=y j) = p ij , i=1,2...,n, j=1,2...,m

هدف از خدمات. با استفاده از این سرویس، طبق قانون توزیع داده شده، می توانید پیدا کنید:

• سری توزیع X و Y، انتظارات ریاضی M[X]، M[Y]، واریانس D[X]، D[Y];
• کوواریانس cov(x,y)، ضریب همبستگی r x,y، سری توزیع شرطی X، انتظار شرطی M;

دستورالعمل ها. بعد ماتریس توزیع احتمال (تعداد سطر و ستون) و نوع آن را مشخص کنید. راه حل به دست آمده در یک فایل Word ذخیره می شود.

مثال شماره 1. یک متغیر تصادفی گسسته دو بعدی دارای جدول توزیع است:

راه حل. مقدار q را از شرط Σp ij = 1 می یابیم
Σp ij = 0.02 + 0.03 + 0.11 + … + 0.03 + 0.02 + 0.01 + q = 1
0.91 + q = 1. q = 0.09 از کجا می آید؟

با استفاده از فرمول ∑P(x من، y j) = ص من(j=1..n)، سری توزیع X را پیدا می کنیم.

کوواریانس cov(X,Y) = M - M[X] M[Y] = 2 10 0.11 + 3 10 0.12 + 4 10 0.03 + 2 20 0.13 + 3 20 0.09 + 4 ·20·0.02 + 1·30·0.02 + 2·30·0.11 + 3·30·0.08 + 4·30·0.01 + 1·40·0.03 + 2·40·0.11 + 3·40·0.05 + 4·40 · 0.09 - 25.2 · 2.59 = 0.068
ضریب همبستگی r xy = cov(x,y)/σ(x)&sigma(y) = -0.068/(11.531*0.801) = -0.00736

مثال 2. داده های پردازش آماری اطلاعات مربوط به دو شاخص X و Y در جدول همبستگی منعکس شده است. ضروری:

1. سری های توزیع را برای X و Y بنویسید و میانگین نمونه و نمونه انحراف استاندارد را برای آنها محاسبه کنید.
2. سری توزیع شرطی Y/x را بنویسید و میانگین های شرطی Y/x را محاسبه کنید.
3. وابستگی میانگین های شرطی Y/x را به مقادیر X به صورت گرافیکی به تصویر بکشید.
4. محاسبه ضریب همبستگی نمونه Y بر روی X.
5. یک نمونه معادله رگرسیون رو به جلو بنویسید.
6. داده های جدول همبستگی را به صورت هندسی ترسیم کنید و یک خط رگرسیون بسازید.

انتظارات ریاضی مشروط M = 11*0.33 + 16*0.67 + 21*0 + 26*0 + 31*0 + 36*0 = 14.33
واریانس شرطی D = 11 2 * 0.33 + 16 2 * 0.67 + 21 2 *0 + 26 2 *0 + 31 2 *0 + 36 2 *0 - 14.33 2 = 5.56
قانون توزیع مشروط X(Y=30).
P(X=11/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=16/Y=30) = 6/9 = 0.67
P(X=21/Y=30) = 3/9 = 0.33
P(X=26/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=31/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=36/Y=30) = 0/9 = 0
انتظارات ریاضی مشروط M = 11*0 + 16*0.67 + 21*0.33 + 26*0 + 31*0 + 36*0 = 17.67
واریانس شرطی D = 11 2 * 0 + 16 2 * 0.67 + 21 2 * 0.33 + 26 2 * 0 + 31 2 * 0 + 36 2 * 0 - 17.67 2 = 5.56
قانون توزیع مشروط X(Y=40).
P(X=11/Y=40) = 0/55 = 0
P(X=16/Y=40) = 0/55 = 0
P(X=21/Y=40) = 6/55 = 0.11
P(X=26/Y=40) = 45/55 = 0.82
P(X=31/Y=40) = 4/55 = 0.0727
P(X=36/Y=40) = 0/55 = 0
انتظارات ریاضی مشروط M = 11*0 + 16*0 + 21*0.11 + 26*0.82 + 31*0.0727 + 36*0 = 25.82
واریانس شرطی D = 11 2 * 0 + 16 2 * 0 + 21 2 * 0.11 + 26 2 * 0.82 + 31 2 * 0.0727 + 36 2 * 0 - 25.82 2 = 4.51
قانون توزیع مشروط X(Y=50).
P(X=11/Y=50) = 0/16 = 0
P(X=16/Y=50) = 0/16 = 0
P(X=21/Y=50) = 2/16 = 0.13
P(X=26/Y=50) = 8/16 = 0.5
P(X=31/Y=50) = 6/16 = 0.38
P(X=36/Y=50) = 0/16 = 0
انتظارات ریاضی مشروط M = 11*0 + 16*0 + 21*0.13 + 26*0.5 + 31*0.38 + 36*0 = 27.25
واریانس شرطی D = 11 2 * 0 + 16 2 * 0 + 21 2 * 0.13 + 26 2 * 0.5 + 31 2 * 0.38 + 36 2 * 0 - 27.25 2 = 10.94
قانون توزیع مشروط X(Y=60).
P(X=11/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=16/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=21/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=26/Y=60) = 4/14 = 0.29
P(X=31/Y=60) = 7/14 = 0.5
P(X=36/Y=60) = 3/14 = 0.21
انتظارات ریاضی مشروط M = 11*0 + 16*0 + 21*0 + 26*0.29 + 31*0.5 + 36*0.21 = 30.64
واریانس شرطی D = 11 2 * 0 + 16 2 * 0 + 21 2 * 0 + 26 2 * 0.29 + 31 2 * 0.5 + 36 2 * 0.21 - 30.64 2 = 12.37
3. قانون توزیع مشروط Y.
قانون توزیع شرطی Y(X=11).
P(Y=20/X=11) = 2/2 = 1
P(Y=30/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=40/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=50/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=60/X=11) = 0/2 = 0
انتظارات ریاضی مشروط M = 20*1 + 30*0 + 40*0 + 50*0 + 60*0 = 20
واریانس شرطی D = 20 2 * 1 + 30 2 * 0 + 40 2 * 0 + 50 2 * 0 + 60 2 * 0 - 20 2 = 0
قانون توزیع شرطی Y(X=16).
P(Y=20/X=16) = 4/10 = 0.4
P(Y=30/X=16) = 6/10 = 0.6
P(Y=40/X=16) = 0/10 = 0
P(Y=50/X=16) = 0/10 = 0
P(Y=60/X=16) = 0/10 = 0
انتظارات ریاضی مشروط M = 20*0.4 + 30*0.6 + 40*0 + 50*0 + 60*0 = 26
واریانس شرطی D = 20 2 * 0.4 + 30 2 * 0.6 + 40 2 * 0 + 50 2 * 0 + 60 2 * 0 - 26 2 = 24
قانون توزیع شرطی Y(X=21).
P(Y=20/X=21) = 0/11 = 0
P(Y=30/X=21) = 3/11 = 0.27
P(Y=40/X=21) = 6/11 = 0.55
P(Y=50/X=21) = 2/11 = 0.18
P(Y=60/X=21) = 0/11 = 0
انتظارات ریاضی مشروط M = 20*0 + 30*0.27 + 40*0.55 + 50*0.18 + 60*0 = 39.09
واریانس شرطی D = 20 2 * 0 + 30 2 * 0.27 + 40 2 * 0.55 + 50 2 * 0.18 + 60 2 * 0 - 39.09 2 = 44.63
قانون توزیع شرطی Y(X=26).
P(Y=20/X=26) = 0/57 = 0
P(Y=30/X=26) = 0/57 = 0
P(Y=40/X=26) = 45/57 = 0.79
P(Y=50/X=26) = 8/57 = 0.14
P(Y=60/X=26) = 4/57 = 0.0702
انتظارات ریاضی مشروط M = 20*0 + 30*0 + 40*0.79 + 50*0.14 + 60*0.0702 = 42.81
واریانس شرطی D = 20 2 * 0 + 30 2 * 0 + 40 2 * 0.79 + 50 2 * 0.14 + 60 2 * 0.0702 - 42.81 2 = 34.23
قانون توزیع شرطی Y(X=31).
P(Y=20/X=31) = 0/17 = 0
P(Y=30/X=31) = 0/17 = 0
P(Y=40/X=31) = 4/17 = 0.24
P(Y=50/X=31) = 6/17 = 0.35
P(Y=60/X=31) = 7/17 = 0.41
انتظارات ریاضی مشروط M = 20*0 + 30*0 + 40*0.24 + 50*0.35 + 60*0.41 = 51.76
واریانس شرطی D = 20 2 * 0 + 30 2 * 0 + 40 2 * 0.24 + 50 2 * 0.35 + 60 2 * 0.41 - 51.76 2 = 61.59
قانون توزیع شرطی Y(X=36).
P(Y=20/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=30/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=40/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=50/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=60/X=36) = 3/3 = 1
انتظارات ریاضی مشروط M = 20*0 + 30*0 + 40*0 + 50*0 + 60*1 = 60
واریانس شرطی D = 20 2 * 0 + 30 2 * 0 + 40 2 * 0 + 50 2 * 0 + 60 2 * 1 - 60 2 = 0
کوواریانس.
cov(X,Y) = M - M[X]·M[Y]
cov(X,Y) = (20 11 2 + 20 16 4 + 30 16 6 + 30 21 3 + 40 21 6 + 50 21 2 + 40 26 45 + 50 26 8 + 60 26 4 + 41 + 50 31 6 + 60 31 7 + 60 36 3)/100 - 25.3 42.3 = 38.11
اگر متغیرهای تصادفی مستقل باشند، کوواریانس آنها صفر است. در مورد ما، cov(X,Y) ≠ 0.
ضریب همبستگی.


معادله رگرسیون خطی از y تا x به صورت زیر است:

معادله رگرسیون خطی از x به y است:

بیایید ویژگی های عددی لازم را پیدا کنیم.
میانگین های نمونه:
x = (20(2 + 4) + 30(6 + 3) + 40(6 + 45 + 4) + 50(2 + 8 + 6) + 60(4 + 7 + 3))/100 = 42.3
y = (20(2 + 4) + 30(6 + 3) + 40(6 + 45 + 4) + 50(2 + 8 + 6) + 60(4 + 7 + 3))/100 = 25.3
واریانس ها:
σ 2 x = (20 2 (2 + 4) + 30 2 (6 + 3) + 40 2 (6 + 45 + 4) + 50 2 (2 + 8 + 6) + 60 2 (4 + 7 + 3) )/100 - 42.3 2 = 99.71
σ 2 y = (11 2 (2) + 16 2 (4 + 6) + 21 2 (3 + 6 + 2) + 26 2 (45 + 8 + 4) + 31 2 (4 + 6 + 7) + 36 2 (3))/100 - 25.3 2 = 24.01
انحراف معیار را از کجا می گیریم:
σ x = 9.99 و σ y = 4.9
و کوواریانس:
Cov(x,y) = (20 11 2 + 20 16 4 + 30 16 6 + 30 21 3 + 40 21 6 + 50 21 2 + 40 26 45 + 50 26 8 + 60 26 4 + 41 + 50 31 6 + 60 31 7 + 60 36 3)/100 - 42.3 25.3 = 38.11
بیایید ضریب همبستگی را تعیین کنیم:


اجازه دهید معادلات خطوط رگرسیون y(x) را بنویسیم:

و با محاسبه بدست می آوریم:
y x = 0.38 x + 9.14
اجازه دهید معادلات خطوط رگرسیون x(y) را بنویسیم:

و با محاسبه بدست می آوریم:
x y = 1.59 y + 2.15
اگر نقاط تعیین شده توسط جدول و خطوط رگرسیون را رسم کنیم، خواهیم دید که هر دو خط با مختصات (42.3; 25.3) از نقطه عبور می کنند و نقاط نزدیک به خطوط رگرسیون قرار دارند.
اهمیت ضریب همبستگی.

با استفاده از جدول Student با سطح معناداری α=0.05 و درجه آزادی k=100-m-1 = 98، t کریت را پیدا می کنیم:
t crit (n-m-1;α/2) = (98;0.025) = 1.984
که m = 1 تعداد متغیرهای توضیحی است.
اگر t > t بحرانی مشاهده شود، آنگاه مقدار حاصل از ضریب همبستگی معنی دار در نظر گرفته می شود (فرضیه صفر مبنی بر اینکه ضریب همبستگی برابر با صفر است رد می شود).
از آنجایی که t obs > t crit، این فرضیه که ضریب همبستگی برابر با 0 است را رد می کنیم. به عبارت دیگر ضریب همبستگی از نظر آماری معنادار است.

ورزش. تعداد بازدید از جفت مقادیر متغیرهای تصادفی X و Y در فواصل مربوطه در جدول آورده شده است. با استفاده از این داده ها، ضریب همبستگی نمونه و معادلات نمونه خطوط رگرسیون مستقیم Y روی X و X روی Y را پیدا کنید.
راه حل

مثال. توزیع احتمال یک متغیر تصادفی دوبعدی (X,Y) توسط یک جدول ارائه شده است. قوانین توزیع کمیت های مؤلفه X، Y و ضریب همبستگی p(X,Y) را بیابید.
دانلود راه حل

ورزش. یک کمیت گسسته دو بعدی (X, Y) توسط قانون توزیع داده می شود. قوانین توزیع مولفه های X و Y، کوواریانس و ضریب همبستگی را بیابید.

یک جفت مرتب شده (X, Y) از متغیرهای تصادفی X و Y را یک متغیر تصادفی دو بعدی یا یک بردار تصادفی در فضای دو بعدی می نامند. به یک متغیر تصادفی دو بعدی (X,Y) سیستمی از متغیرهای تصادفی X و Y نیز می گویند. مجموعه تمام مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی گسسته با احتمالات آنها قانون توزیع این متغیر تصادفی نامیده می شود. یک متغیر تصادفی دوبعدی گسسته (X,Y) داده شده در نظر گرفته می شود که قانون توزیع آن مشخص باشد:

P(X=x i, Y=y j) = p ij , i=1,2...,n, j=1,2...,m

هدف از خدمات. با استفاده از این سرویس، طبق قانون توزیع داده شده، می توانید پیدا کنید:

• سری توزیع X و Y، انتظارات ریاضی M[X]، M[Y]، واریانس D[X]، D[Y];
• کوواریانس cov(x,y)، ضریب همبستگی r x,y، سری توزیع شرطی X، انتظار شرطی M;

علاوه بر این، پاسخ به سوال "آیا متغیرهای تصادفی X و Y وابسته هستند؟" داده شده است.

دستورالعمل ها. بعد ماتریس توزیع احتمال (تعداد سطر و ستون) و نوع آن را مشخص کنید. راه حل به دست آمده در یک فایل Word ذخیره می شود.

مثال شماره 1. یک متغیر تصادفی گسسته دو بعدی دارای جدول توزیع است:

Y/X	1	2	3	4
10	0	0,11	0,12	0,03
20	0	0,13	0,09	0,02
30	0,02	0,11	0,08	0,01
40	0,03	0,11	0,05	q

مقدار q و ضریب همبستگی این متغیر تصادفی را بیابید.

راه حل. مقدار q را از شرط Σp ij = 1 می یابیم
Σp ij = 0.02 + 0.03 + 0.11 + … + 0.03 + 0.02 + 0.01 + q = 1
0.91 + q = 1. q = 0.09 از کجا می آید؟

با استفاده از فرمول ∑P(x من، y j) = ص من(j=1..n)، سری توزیع X را پیدا می کنیم.

انتظار M[Y].
M[y] = 1*0.05 + 2*0.46 + 3*0.34 + 4*0.15 = 2.59
واریانس D[Y] = 1 2 *0.05 + 2 2 *0.46 + 3 2 *0.34 + 4 2 *0.15 - 2.59 2 = 0.64
انحراف معیارσ(y) = sqrt(D[Y]) = sqrt(0.64) = 0.801

کوواریانس cov(X,Y) = M - M[X] M[Y] = 2 10 0.11 + 3 10 0.12 + 4 10 0.03 + 2 20 0.13 + 3 20 0.09 + 4 ·20·0.02 + 1·30·0.02 + 2·30·0.11 + 3·30·0.08 + 4·30·0.01 + 1·40·0.03 + 2·40·0.11 + 3·40·0.05 + 4·40 · 0.09 - 25.2 · 2.59 = 0.068
ضریب همبستگی r xy = cov(x,y)/σ(x)&sigma(y) = -0.068/(11.531*0.801) = -0.00736

مثال 2. داده های پردازش آماری اطلاعات مربوط به دو شاخص X و Y در جدول همبستگی منعکس شده است. ضروری:

1. سری های توزیع را برای X و Y بنویسید و میانگین نمونه و نمونه انحراف استاندارد را برای آنها محاسبه کنید.
2. سری توزیع شرطی Y/x را بنویسید و میانگین های شرطی Y/x را محاسبه کنید.
3. وابستگی میانگین های شرطی Y/x را به مقادیر X به صورت گرافیکی به تصویر بکشید.
4. محاسبه ضریب همبستگی نمونه Y بر روی X.
5. یک نمونه معادله رگرسیون رو به جلو بنویسید.
6. داده های جدول همبستگی را به صورت هندسی ترسیم کنید و یک خط رگرسیون بسازید.

راه حل. یک جفت مرتب شده (X,Y) از متغیرهای تصادفی X و Y را یک متغیر تصادفی دو بعدی یا یک بردار تصادفی در فضای دو بعدی می نامند. یک متغیر تصادفی دو بعدی (X,Y) نیز سیستمی از متغیرهای تصادفی X و Y نامیده می شود.
مجموعه تمام مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی گسسته با احتمالات آنها قانون توزیع این متغیر تصادفی نامیده می شود.
یک متغیر تصادفی دو بعدی گسسته (X,Y) داده شده در نظر گرفته می شود که قانون توزیع آن مشخص باشد:
P(X=x i، Y=y j) = p ij، i=1,2...,n, j=1,2..,m

X/Y	20	30	40	50	60
11	2	0	0	0	0
16	4	6	0	0	0
21	0	3	6	2	0
26	0	0	45	8	4
31	0	0	4	6	7
36	0	0	0	0	3

رویدادها (X=x i، Y=y j) یک گروه کامل از رویدادها را تشکیل می دهند، بنابراین مجموع همه احتمالات p ij ( i=1,2...,n, j=1,2..,m) نشان داده شده در جدول برابر با 1 است.
1. وابستگی متغیرهای تصادفی X و Y.
سری توزیع X و Y را پیدا کنید.
با استفاده از فرمول ∑P(x من، y j) = ص من(j=1..n)، سری توزیع X را پیدا می کنیم. انتظار M[Y].
M[y] = (20*6 + 30*9 + 40*55 + 50*16 + 60*14)/100 = 42.3
واریانس D[Y].
D[Y] = (20 2 * 6 + 30 2 * 9 + 40 2 * 55 + 50 2 * 16 + 60 2 * 14)/100 - 42.3 2 = 99.71
انحراف معیار σ(y).

از آنجایی که P(X=11,Y=20) = 2≠2 6، پس متغیرهای تصادفی X و Y وابسته.
2. قانون توزیع مشروط X.
قانون توزیع مشروط X(Y=20).
P(X=11/Y=20) = 2/6 = 0.33
P(X=16/Y=20) = 4/6 = 0.67
P(X=21/Y=20) = 0/6 = 0
P(X=26/Y=20) = 0/6 = 0
P(X=31/Y=20) = 0/6 = 0
P(X=36/Y=20) = 0/6 = 0
انتظارات ریاضی مشروط M = 11*0.33 + 16*0.67 + 21*0 + 26*0 + 31*0 + 36*0 = 14.33
واریانس شرطی D = 11 2 * 0.33 + 16 2 * 0.67 + 21 2 *0 + 26 2 *0 + 31 2 *0 + 36 2 *0 - 14.33 2 = 5.56
قانون توزیع مشروط X(Y=30).
P(X=11/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=16/Y=30) = 6/9 = 0.67
P(X=21/Y=30) = 3/9 = 0.33
P(X=26/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=31/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=36/Y=30) = 0/9 = 0
انتظارات ریاضی مشروط M = 11*0 + 16*0.67 + 21*0.33 + 26*0 + 31*0 + 36*0 = 17.67
واریانس شرطی D = 11 2 * 0 + 16 2 * 0.67 + 21 2 * 0.33 + 26 2 * 0 + 31 2 * 0 + 36 2 * 0 - 17.67 2 = 5.56
قانون توزیع مشروط X(Y=40).
P(X=11/Y=40) = 0/55 = 0
P(X=16/Y=40) = 0/55 = 0
P(X=21/Y=40) = 6/55 = 0.11
P(X=26/Y=40) = 45/55 = 0.82
P(X=31/Y=40) = 4/55 = 0.0727
P(X=36/Y=40) = 0/55 = 0
انتظارات ریاضی مشروط M = 11*0 + 16*0 + 21*0.11 + 26*0.82 + 31*0.0727 + 36*0 = 25.82
واریانس شرطی D = 11 2 * 0 + 16 2 * 0 + 21 2 * 0.11 + 26 2 * 0.82 + 31 2 * 0.0727 + 36 2 * 0 - 25.82 2 = 4.51
قانون توزیع مشروط X(Y=50).
P(X=11/Y=50) = 0/16 = 0
P(X=16/Y=50) = 0/16 = 0
P(X=21/Y=50) = 2/16 = 0.13
P(X=26/Y=50) = 8/16 = 0.5
P(X=31/Y=50) = 6/16 = 0.38
P(X=36/Y=50) = 0/16 = 0
انتظارات ریاضی مشروط M = 11*0 + 16*0 + 21*0.13 + 26*0.5 + 31*0.38 + 36*0 = 27.25
واریانس شرطی D = 11 2 * 0 + 16 2 * 0 + 21 2 * 0.13 + 26 2 * 0.5 + 31 2 * 0.38 + 36 2 * 0 - 27.25 2 = 10.94
قانون توزیع مشروط X(Y=60).
P(X=11/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=16/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=21/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=26/Y=60) = 4/14 = 0.29
P(X=31/Y=60) = 7/14 = 0.5
P(X=36/Y=60) = 3/14 = 0.21
انتظارات ریاضی مشروط M = 11*0 + 16*0 + 21*0 + 26*0.29 + 31*0.5 + 36*0.21 = 30.64
واریانس شرطی D = 11 2 * 0 + 16 2 * 0 + 21 2 * 0 + 26 2 * 0.29 + 31 2 * 0.5 + 36 2 * 0.21 - 30.64 2 = 12.37
3. قانون توزیع مشروط Y.
قانون توزیع شرطی Y(X=11).
P(Y=20/X=11) = 2/2 = 1
P(Y=30/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=40/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=50/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=60/X=11) = 0/2 = 0
انتظارات ریاضی مشروط M = 20*1 + 30*0 + 40*0 + 50*0 + 60*0 = 20
واریانس شرطی D = 20 2 * 1 + 30 2 * 0 + 40 2 * 0 + 50 2 * 0 + 60 2 * 0 - 20 2 = 0
قانون توزیع شرطی Y(X=16).
P(Y=20/X=16) = 4/10 = 0.4
P(Y=30/X=16) = 6/10 = 0.6
P(Y=40/X=16) = 0/10 = 0
P(Y=50/X=16) = 0/10 = 0
P(Y=60/X=16) = 0/10 = 0
انتظارات ریاضی مشروط M = 20*0.4 + 30*0.6 + 40*0 + 50*0 + 60*0 = 26
واریانس شرطی D = 20 2 * 0.4 + 30 2 * 0.6 + 40 2 * 0 + 50 2 * 0 + 60 2 * 0 - 26 2 = 24
قانون توزیع شرطی Y(X=21).
P(Y=20/X=21) = 0/11 = 0
P(Y=30/X=21) = 3/11 = 0.27
P(Y=40/X=21) = 6/11 = 0.55
P(Y=50/X=21) = 2/11 = 0.18
P(Y=60/X=21) = 0/11 = 0
انتظارات ریاضی مشروط M = 20*0 + 30*0.27 + 40*0.55 + 50*0.18 + 60*0 = 39.09
واریانس شرطی D = 20 2 * 0 + 30 2 * 0.27 + 40 2 * 0.55 + 50 2 * 0.18 + 60 2 * 0 - 39.09 2 = 44.63
قانون توزیع شرطی Y(X=26).
P(Y=20/X=26) = 0/57 = 0
P(Y=30/X=26) = 0/57 = 0
P(Y=40/X=26) = 45/57 = 0.79
P(Y=50/X=26) = 8/57 = 0.14
P(Y=60/X=26) = 4/57 = 0.0702
انتظارات ریاضی مشروط M = 20*0 + 30*0 + 40*0.79 + 50*0.14 + 60*0.0702 = 42.81
واریانس شرطی D = 20 2 * 0 + 30 2 * 0 + 40 2 * 0.79 + 50 2 * 0.14 + 60 2 * 0.0702 - 42.81 2 = 34.23
قانون توزیع شرطی Y(X=31).
P(Y=20/X=31) = 0/17 = 0
P(Y=30/X=31) = 0/17 = 0
P(Y=40/X=31) = 4/17 = 0.24
P(Y=50/X=31) = 6/17 = 0.35
P(Y=60/X=31) = 7/17 = 0.41
انتظارات ریاضی مشروط M = 20*0 + 30*0 + 40*0.24 + 50*0.35 + 60*0.41 = 51.76
واریانس شرطی D = 20 2 * 0 + 30 2 * 0 + 40 2 * 0.24 + 50 2 * 0.35 + 60 2 * 0.41 - 51.76 2 = 61.59
قانون توزیع شرطی Y(X=36).
P(Y=20/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=30/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=40/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=50/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=60/X=36) = 3/3 = 1
انتظارات ریاضی مشروط M = 20*0 + 30*0 + 40*0 + 50*0 + 60*1 = 60
واریانس شرطی D = 20 2 * 0 + 30 2 * 0 + 40 2 * 0 + 50 2 * 0 + 60 2 * 1 - 60 2 = 0
کوواریانس.
cov(X,Y) = M - M[X]·M[Y]
cov(X,Y) = (20 11 2 + 20 16 4 + 30 16 6 + 30 21 3 + 40 21 6 + 50 21 2 + 40 26 45 + 50 26 8 + 60 26 4 + 41 + 50 31 6 + 60 31 7 + 60 36 3)/100 - 25.3 42.3 = 38.11
اگر متغیرهای تصادفی مستقل باشند، کوواریانس آنها صفر است. در مورد ما، cov(X,Y) ≠ 0.
ضریب همبستگی.


معادله رگرسیون خطی از y تا x به صورت زیر است:

معادله رگرسیون خطی از x به y است:

بیایید ویژگی های عددی لازم را پیدا کنیم.
میانگین های نمونه:
x = (20(2 + 4) + 30(6 + 3) + 40(6 + 45 + 4) + 50(2 + 8 + 6) + 60(4 + 7 + 3))/100 = 42.3
y = (20(2 + 4) + 30(6 + 3) + 40(6 + 45 + 4) + 50(2 + 8 + 6) + 60(4 + 7 + 3))/100 = 25.3
واریانس ها:
σ 2 x = (20 2 (2 + 4) + 30 2 (6 + 3) + 40 2 (6 + 45 + 4) + 50 2 (2 + 8 + 6) + 60 2 (4 + 7 + 3) )/100 - 42.3 2 = 99.71
σ 2 y = (11 2 (2) + 16 2 (4 + 6) + 21 2 (3 + 6 + 2) + 26 2 (45 + 8 + 4) + 31 2 (4 + 6 + 7) + 36 2 (3))/100 - 25.3 2 = 24.01
انحراف معیار را از کجا می گیریم:
σ x = 9.99 و σ y = 4.9
و کوواریانس:
Cov(x,y) = (20 11 2 + 20 16 4 + 30 16 6 + 30 21 3 + 40 21 6 + 50 21 2 + 40 26 45 + 50 26 8 + 60 26 4 + 41 + 50 31 6 + 60 31 7 + 60 36 3)/100 - 42.3 25.3 = 38.11
بیایید ضریب همبستگی را تعیین کنیم:


اجازه دهید معادلات خطوط رگرسیون y(x) را بنویسیم:

و با محاسبه بدست می آوریم:
y x = 0.38 x + 9.14
اجازه دهید معادلات خطوط رگرسیون x(y) را بنویسیم:

و با محاسبه بدست می آوریم:
x y = 1.59 y + 2.15
اگر نقاط تعیین شده توسط جدول و خطوط رگرسیون را رسم کنیم، خواهیم دید که هر دو خط با مختصات (42.3; 25.3) از نقطه عبور می کنند و نقاط نزدیک به خطوط رگرسیون قرار دارند.
اهمیت ضریب همبستگی.

با استفاده از جدول Student با سطح معناداری α=0.05 و درجه آزادی k=100-m-1 = 98، t کریت را پیدا می کنیم:
t crit (n-m-1;α/2) = (98;0.025) = 1.984
که m = 1 تعداد متغیرهای توضیحی است.
اگر t > t بحرانی مشاهده شود، آنگاه مقدار حاصل از ضریب همبستگی معنی دار در نظر گرفته می شود (فرضیه صفر مبنی بر اینکه ضریب همبستگی برابر با صفر است رد می شود).
از آنجایی که t obs > t crit، این فرضیه که ضریب همبستگی برابر با 0 است را رد می کنیم. به عبارت دیگر ضریب همبستگی از نظر آماری معنادار است.

ورزش. تعداد بازدید از جفت مقادیر متغیرهای تصادفی X و Y در فواصل مربوطه در جدول آورده شده است. با استفاده از این داده ها، ضریب همبستگی نمونه و معادلات نمونه خطوط رگرسیون مستقیم Y روی X و X روی Y را پیدا کنید.
راه حل

مثال. توزیع احتمال یک متغیر تصادفی دوبعدی (X,Y) توسط یک جدول ارائه شده است. قوانین توزیع کمیت های مؤلفه X، Y و ضریب همبستگی p(X,Y) را بیابید.
دانلود راه حل

ورزش. یک کمیت گسسته دو بعدی (X, Y) توسط قانون توزیع داده می شود. قوانین توزیع مولفه های X و Y، کوواریانس و ضریب همبستگی را بیابید.

دو بعدی توزیع گسستهتصادفی

اغلب نتیجه یک آزمایش با چندین متغیر تصادفی توصیف می شود: . به عنوان مثال، آب و هوا در این مکاندر یک زمان معین از روز را می توان با متغیرهای تصادفی زیر مشخص کرد: ایکس 1 - دما ایکس 2- فشار ایکس 3-رطوبت هوا ایکس 4- سرعت باد

در این مورد، ما از یک متغیر تصادفی چند بعدی یا سیستمی از متغیرهای تصادفی صحبت می کنیم.

یک متغیر تصادفی دو بعدی را در نظر بگیرید که مقادیر احتمالی آن جفت اعداد است. از نظر هندسی، یک متغیر تصادفی دو بعدی را می توان به عنوان یک نقطه تصادفی در یک صفحه تفسیر کرد.

اگر اجزای ایکسو Yمتغیرهای تصادفی گسسته هستند، پس یک متغیر تصادفی دو بعدی گسسته است، و اگر ایکسو Yپیوسته هستند، سپس یک متغیر تصادفی دو بعدی پیوسته است.

قانون توزیع احتمال یک متغیر تصادفی دو بعدی مطابقت بین مقادیر ممکن و احتمالات آنها است.

قانون توزیع یک متغیر تصادفی گسسته دو بعدی را می توان در قالب یک جدول با ورودی دوگانه مشخص کرد (جدول 6.1 را ببینید)، جایی که احتمال این که جزء ایکسمعنی به خود گرفت ایکس من، و جزء Y- معنی y j .

جدول 6.1.1.

	y 1	y 2		y j		y متر
ایکس 1	پ 11	پ 12		پ 1j		پ 1 متر
ایکس 2	پ 21	پ 22		پ 2j		پ 2 متر
ایکس من	پ i1	پ i2		پ ij		پ من هستم
ایکس n	پ n1	پ n2		پ nj		پ نانومتر

از آنجایی که رویدادها یک گروه کامل از رویدادهای ناسازگار زوجی را تشکیل می دهند، مجموع احتمالات برابر با 1 است، یعنی.

از جدول 6.1 می توانید قوانین توزیع اجزای یک بعدی را بیابید ایکسو Y.

مثال 6.1.1 . قوانین توزیع اجزا را بیابید ایکسو Y،اگر توزیع یک متغیر تصادفی دو بعدی در قالب جدول 6.1.2 آورده شده باشد.

جدول 6.1.2.

برای مثال، اگر مقدار یکی از آرگومان ها را ثابت کنیم، توزیع حاصل از مقدار ایکستوزیع شرطی نامیده می شود. توزیع شرطی نیز به طور مشابه تعریف شده است Y.

مثال 6.1.2 . با توجه به توزیع یک متغیر تصادفی دو بعدی ارائه شده در جدول. 6.1.2، پیدا کنید: الف) قانون توزیع شرطی جزء ایکسبا توجه به اینکه؛ ب) قانون توزیع مشروط Yبه شرطی که.

راه حل. احتمالات مشروطاجزاء ایکسو Yبا استفاده از فرمول ها محاسبه می شود

قانون توزیع مشروط ایکسبه شرطی که فرم را داشته باشد

کنترل: .

قانون توزیع یک متغیر تصادفی دو بعدی را می توان در فرم مشخص کرد توابع توزیع، که برای هر جفت اعداد احتمال آن را تعیین می کند ایکسمقدار کمتر از ایکس، و در کجا Yمقدار کمتر از y:

از نظر هندسی، تابع به معنای احتمال سقوط یک نقطه تصادفی به یک مربع نامتناهی با راس آن در نقطه است (شکل 6.1.1).

بیایید خواص را یادداشت کنیم.

• 1. محدوده مقادیر تابع است، یعنی. .
• 2. تابع - یک تابع غیر کاهشی برای هر آرگومان.
• 3. روابط محدود کننده ای وجود دارد:

زمانی که تابع توزیع سیستم با تابع توزیع جزء برابر شود ایکس، یعنی .

به همین ترتیب، .

با دانستن این موضوع، می توانید احتمال افتادن یک نقطه تصادفی در مستطیل ABCD را پیدا کنید.

برای مثال،

مثال 6.1.3. یک متغیر تصادفی گسسته دو بعدی توسط یک جدول توزیع مشخص می شود

تابع توزیع را پیدا کنید.

راه حل. ارزش در مورد اجزای گسسته ایکسو Yبا جمع کردن همه احتمالات با شاخص ها پیدا می شود منو j، برای کدام، . سپس، اگر و، پس (حوادث و غیر ممکن است). به طور مشابه دریافت می کنیم:

اگر و، پس؛

اگر و، پس؛

اگر و، پس؛

اگر و، پس؛

اگر و، پس؛

اگر و، پس؛

اگر و، پس؛

اگر و، پس؛

اگر و، پس

اجازه دهید نتایج به دست آمده را در قالب جدول (6.1.3) مقادیر ارائه کنیم:

برای پیوسته دو بعدیمتغیر تصادفی، مفهوم چگالی احتمال معرفی شده است

چگالی احتمال هندسی سطح توزیع در فضا است

چگالی احتمال دو بعدی دارای ویژگی های زیر است:

3. تابع توزیع را می توان از طریق فرمول بیان کرد

4. احتمال سقوط یک متغیر تصادفی پیوسته در منطقه برابر است با

5. مطابق با ویژگی (4) تابع، فرمول های زیر برقرار است:

مثال 6.1.4.تابع توزیع یک متغیر تصادفی دو بعدی داده شده است