مجموع زوایای یک مثلث قضیه مجموع زاویه مثلث

قضیه. مجموع زوایای داخلی یک مثلث برابر با دو زاویه قائمه است.

بیایید چند مثلث ABC را در نظر بگیریم (شکل 208). اجازه دهید زوایای داخلی آن را با اعداد 1، 2 و 3 نشان دهیم. اجازه دهید آن را ثابت کنیم

∠1 + ∠2 + ∠3 = 180 درجه.

اجازه دهید از میان برخی از راس مثلث، برای مثال B، یک خط مستقیم MN موازی با AC رسم کنیم.

در راس B سه زاویه داریم: ∠4، ∠2 و ∠5. مجموع آنها یک زاویه مستقیم است، بنابراین برابر با 180 درجه است:

∠4 + ∠2 + ∠5 = 180 درجه.

اما ∠4 = ∠1 زوایای متقاطع داخلی با خطوط موازی MN و AC و مقطع AB هستند.

∠5 = ∠3 - اینها زوایای متقاطع داخلی با خطوط موازی MN و AC و مقطع BC هستند.

این به این معنی است که ∠4 و ∠5 را می توان با معادل های ∠1 و ∠3 جایگزین کرد.

بنابراین، ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180 درجه. قضیه ثابت شده است.

2. خاصیت زاویه خارجی مثلث.

در واقع، در مثلث ABC (شکل 209) ∠1 + ∠2 = 180° - ∠3 و همچنین ∠ВСD، زاویه خارجی این مثلث، نه مجاور ∠1 و ∠2، نیز برابر با 180 درجه است. - ∠3.

بدین ترتیب:

∠1 + ∠2 = 180 درجه - ∠3;

∠BCD = 180 درجه - ∠3.

بنابراین، ∠1 + ∠2 = ∠BCD.

ویژگی مشتق شده از زاویه بیرونی یک مثلث، محتوای قضیه قبلاً اثبات شده را در مورد زاویه خارجی یک مثلث روشن می کند، که فقط بیان می کرد که زاویه بیرونی یک مثلث بزرگتر از هر زاویه داخلی مثلثی است که مجاور آن نیست. اکنون مشخص شده است که زاویه خارجی برابر است با مجموع هر دو زاویه داخلی که مجاور آن نیستند.

3. خاصیت مثلث قائم الزاویه با زاویه 30 درجه.

بگذارید زاویه B در مثلث قائم الزاویه ACB برابر با 30 درجه باشد (شکل 210). سپس زاویه حاد دیگر آن برابر با 60 درجه خواهد بود.

اجازه دهید ثابت کنیم که پای AC برابر با نیمی از هیپوتانوس AB است. بیایید پای AC را فراتر از راس زاویه راست C بکشیم و یک قطعه CM برابر با قطعه AC کنار بگذاریم. بیایید نقطه M را به نقطه B وصل کنیم. مثلث حاصل VСМ برابر با مثلث ACB است. می بینیم که هر زاویه از مثلث ABM برابر با 60 درجه است، بنابراین این مثلث یک مثلث متساوی الاضلاع است.

پای AC برابر با نصف AM است و از آنجایی که AM برابر با AB است، پای AC برابر با نیمی از هیپوتانوس AB خواهد بود.

در ادامه دیروز:

بیایید با یک موزاییک بر اساس یک افسانه هندسی بازی کنیم:

روزی روزگاری مثلث هایی وجود داشت. آنقدر شبیه به هم که فقط کپی از یکدیگر هستند.
آنها به نوعی در یک خط مستقیم در کنار هم ایستادند. و از آنجایی که همه آنها یک قد بودند -
سپس سرهای آنها در یک سطح، تحت حاکم بود:

مثلث ها عاشق غلت خوردن و ایستادن روی سرشان بودند. آنها به ردیف بالا رفتند و مانند آکروبات ها در گوشه ایستادند.
و ما قبلاً می دانیم - وقتی آنها با بالاتنه های خود دقیقاً در یک ردیف ایستاده اند،
سپس کف پای آنها نیز از یک خط کش پیروی می کند - زیرا اگر کسی هم قد باشد، پس او نیز به همان قد برعکس است!

آنها در همه چیز یکسان بودند - قد یکسان، و همان کف پا،
و اسلایدهای طرفین - یکی تندتر و دیگری صاف تر - طولشان یکسان است
و شیب یکسانی دارند. خوب، فقط دوقلو! (فقط در لباس های مختلف که هر کدام تکه پازل مخصوص به خود را دارند).

- کجای مثلث ها ضلع های یکسانی دارند؟ کجای گوشه ها یکسان است؟

مثلث ها روی سرشان ایستادند، همانجا ایستادند و تصمیم گرفتند که سرازیر شوند و در ردیف پایین دراز بکشند.
آنها سر خوردند و از یک تپه سر خوردند. اما اسلایدهاشون یکیه!
بنابراین آنها دقیقاً بین مثلث های پایینی قرار می گیرند، بدون شکاف، و هیچ کس کسی را کنار نمی زد.

ما به اطراف مثلث ها نگاه کردیم و متوجه یک ویژگی جالب شدیم.
هر جا که زوایای آنها با هم جمع شوند، قطعاً هر سه زاویه به هم می رسند:
بزرگترین "زاویه سر"، حادترین زاویه و سومین زاویه بزرگ است.
آنها حتی نوارهای رنگی می بستند تا بلافاصله مشخص شود که کدام است.

و معلوم شد که سه زاویه مثلث، اگر آنها را ترکیب کنید -
یک زاویه بزرگ، یک "گوشه باز" - مانند جلد یک کتاب باز، تشکیل دهید،

_______________________________

به آن زاویه چرخشی می گویند.

هر مثلثی مانند یک پاسپورت است: سه زاویه با هم برابر با زاویه باز شده است.
یکی در خانه شما را می زند: - تق - تق، من مثلثی هستم، بگذار شب را بگذرانم!
و شما به او بگویید - مجموع زاویه ها را به صورت منبسط به من نشان دهید!
و بلافاصله مشخص می شود که آیا این یک مثلث واقعی است یا یک شیاد.
تأیید ناموفق - صد و هشتاد درجه بچرخ و برو خونه!

وقتی می گویند 180 درجه بپیچید یعنی به عقب بچرخید و
در جهت مخالف بروید

همان چیز در عبارات آشناتر، بدون «روزی روزگاری»:

اجازه دهید ترجمه موازی مثلث ABC را در امتداد محور OX انجام دهیم
به بردار ABبرابر طول پایه AB است.
خط DF که از رئوس C و C 1 مثلث ها می گذرد
به موازات محور OX، با توجه به این واقعیت که بر محور OX عمود است
پاره های h و h 1 (ارتفاع مثلث های مساوی) برابر هستند.
بنابراین، قاعده مثلث A 2 B 2 C 2 با قاعده AB موازی است
و طول آن برابر است (از آنجایی که راس C 1 نسبت به C به مقدار AB جابه جا می شود).
مثلث های A 2 B 2 C 2 و ABC از سه ضلع برابر هستند.
بنابراین، زوایای ∠A 1 ∠B ∠C 2 که یک زاویه مستقیم را تشکیل می دهند، برابر با زوایای مثلث ABC هستند.
=> مجموع زوایای یک مثلث 180 درجه است

با حرکات - "ترجمه ها"، به اصطلاح اثبات کوتاه تر و واضح تر است،
حتی یک کودک می تواند قطعات موزاییک را درک کند.

اما مکتب سنتی:

بر اساس برابری زوایای داخلی متقاطع بریده شده بر روی خطوط موازی

از این جهت ارزشمند است که ایده ای از این که چرا چنین است، می دهد،
چرامجموع زوایای یک مثلث برابر با زاویه معکوس است؟

زیرا در غیر این صورت خطوط موازی ویژگی های آشنا برای دنیای ما را نخواهند داشت.

قضایا به دو صورت کار می کنند. از بدیهیات خطوط موازی به دست می آید
برابری زوایای دروغ گفتن متقاطع و عمودی، و از آنها - مجموع زوایای یک مثلث.

اما برعکس آن نیز صادق است: تا زمانی که زاویه یک مثلث 180 درجه باشد، خطوط موازی وجود دارد.
(به گونه ای که از طریق نقطه ای که روی یک خط قرار ندارد می توان یک خط منحصر به فرد || از یک خط داده شده را رسم کرد).
اگر روزی مثلثی در جهان ظاهر شود که مجموع زوایای آن با زاویه باز شده برابر نباشد -
آنگاه موازی ها دیگر موازی نیستند، تمام جهان خمیده و کج خواهد شد.

اگر راه راه هایی با الگوهای مثلثی روی هم قرار گیرند -
می توانید کل زمین را با یک الگوی تکرار شونده بپوشانید، مانند یک کف با کاشی:

شما می توانید اشکال مختلف را در چنین شبکه ای ردیابی کنید - شش ضلعی، لوزی،
چند ضلعی ستاره دار و انواع پارکت ها را دریافت کنید

کاشی کاری هواپیما با پارکت نه تنها یک بازی سرگرم کننده است، بلکه یک مسئله ریاضی مرتبط است:

________________________________________ _______________________-------__________ ________________________________________ ______________
/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\__|)0(|_/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\=/\__||_/ \__||_/\__||_/\__||_/\__|)0(|_/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\

از آنجایی که هر چهار ضلعی مستطیل، مربع، لوزی و غیره است،
می تواند از دو مثلث تشکیل شود،
به ترتیب مجموع زوایای یک چهار ضلعی: 180 درجه + 180 درجه = 360 درجه

مثلث های متساوی الساقین یکسان به روش های مختلف به شکل مربع تا می شوند.
یک مربع کوچک 2 قسمتی. میانگین 4. و بزرگترین از 8.
چند شکل در نقاشی وجود دارد که از 6 مثلث تشکیل شده است؟

آیا می توانید ثابت کنید که مجموع زوایای یک مثلث برابر با 180 درجه است؟ و بهترین پاسخ را گرفت

پاسخ از Top_ed[گورو]
چرا چیزی را ثابت کنیم که خیلی وقت پیش ثابت شده است.
قضیه مجموع زاویه مثلث، یک قضیه کلاسیک هندسه اقلیدسی، بیان می کند که
مجموع زوایای یک مثلث 180 درجه است.
بگذارید ABC یک مثلث دلخواه باشد. اجازه دهید یک خط از راس B به موازات خط AC رسم کنیم. اجازه دهید نقطه D را روی آن علامت گذاری کنیم تا نقاط A و D در دو طرف مقابل خط BC قرار گیرند.
زوایای DBC و ACB به صورت زوایای متقاطع داخلی که توسط عرضی BC با خطوط موازی AC و BD تشکیل شده اند، همخوانی دارند. بنابراین مجموع زوایای یک مثلث در رئوس B و C برابر با زاویه ABD است.
مجموع هر سه زاویه یک مثلث برابر است با مجموع زوایای ABD و BAC. از آنجایی که این زوایای داخلی یک طرفه برای AC و BD موازی و مقطع AB هستند، مجموع آنها 180 درجه است. قضیه ثابت شده است.

پاسخ از بوریسکا (ج)[گورو]
من می توانم، اما یادم نیست چگونه))

پاسخ از موراشکینا[گورو]
می توان. آیا برای شما فوری است؟ ? آیا در امتحان کلاس پنجم شرکت می کنید؟ ? :))

پاسخ از اوری سمیکین[گورو]
1. بستگی به هندسه فضا دارد. در هواپیمای ریمان > 180، در میدان. لوباچفسکی< 180. На Эвклидовой - равенство.
2. از میان راس خطی به موازات یکی از اضلاع رسم کنید و زوایای متقاطع تشکیل شده توسط دو ضلع و خط اضافی را بررسی کنید. زاویه حاصل (180) برابر است با مجموع سه زاویه مثلث.

اثبات اساساً بر این واقعیت متکی است که فقط یک خط موازی می توان رسم کرد. هندسه های زیادی وجود دارد که در آنها اینطور نیست.

پاسخ از یوری[گورو]
چرا آنچه را که ثابت شده است ثابت کنید؟)) اگر چیز جدیدی می خواهید مربع را به دو قسمت ببرید))

پاسخ از نیکولای اوگنیویچ[گورو]
من نمی توانم.

پاسخ از الکس بریچکا[کارشناس]
بله، اینجا چیزی برای اثبات وجود ندارد، فقط باید زوایایی را به یکدیگر اضافه کنید و تمام.

پاسخ از 2 پاسخ[گورو]

سلام! در اینجا گزیده ای از موضوعات با پاسخ به سؤال شما آورده شده است: آیا می توانید ثابت کنید که مجموع زوایای یک مثلث برابر با 180 درجه است؟