حل معادلات نمایی که به درجه دوم کاهش می یابند. حل معادلات نمایی

1º. معادلات نماییمعادلات حاوی یک متغیر در یک توان نامیده می شوند.

حل معادلات نمایی بر اساس خاصیت توان ها است: دو توان با پایه یکسان اگر و تنها در صورتی که توان آنها برابر باشد برابر هستند.

2 درجه روش های اساسی برای حل معادلات نمایی:

1) ساده ترین معادله راه حل دارد.

2) معادله ای از شکل لگاریتمی به پایه الف کاهش به شکل ;

3) معادله ای از شکل معادل معادله است.

4) معادله فرم معادل معادله است.

5) یک معادله از فرم با جایگزینی به یک معادله کاهش می یابد و سپس مجموعه ای از معادلات نمایی ساده حل می شود.

6) معادله با متقابل با جایگزینی آنها را به یک معادله کاهش می دهند و سپس مجموعه ای از معادلات را حل می کنند.

7) معادلات همگن با توجه به a g(x)و b g(x)با توجه به اینکه مهربان از طریق جایگزینی آنها به یک معادله کاهش می یابد و سپس مجموعه ای از معادلات حل می شود.

طبقه بندی معادلات نمایی.

1. معادلات با رفتن به یک پایه حل می شوند.

مثال 18. معادله را حل کنید .

راه حل: بیایید از این که همه پایه های قدرت ها قدرت های عدد 5 هستند استفاده کنیم: .

2. معادلات حل شده با عبور به یک توان.

این معادلات با تبدیل معادله اصلی به فرم حل می شوند ، که با استفاده از خاصیت تناسب به ساده ترین آن کاهش می یابد.

مثال 19. معادله را حل کنید:

3. معادلات با خارج کردن عامل مشترک از پرانتز حل می شوند.

اگر هر یک از نماهای یک معادله با عدد معینی با دیگری تفاوت داشته باشد، معادلات با قرار دادن توانی با کوچکترین توان در خارج از پرانتز حل می شوند.

مثال 20. معادله را حل کنید.

راه حل: بیایید درجه ای را با کوچکترین توان از داخل پرانتز در سمت چپ معادله برداریم:

مثال 21. معادله را حل کنید

راه حل: بیایید به طور جداگانه در سمت چپ معادله عبارات حاوی توان ها را با پایه 4، در سمت راست - با پایه 3 گروه بندی کنیم، سپس توان های دارای کوچکترین توان را خارج از پرانتز قرار دهیم:

4. معادلاتی که به معادلات درجه دوم (یا مکعبی) تقلیل می یابند.

معادلات زیر برای یک متغیر جدید y به یک معادله درجه دوم کاهش می یابد:

الف) نوع جایگزینی در این مورد؛

ب) نوع جایگزینی و .

مثال 22. معادله را حل کنید .

راه حل: بیایید تغییری در متغیر ایجاد کنیم و معادله درجه دوم را حل کنیم:

پاسخ: 0; 1.

5. معادلاتی که از نظر توابع نمایی همگن هستند.

معادله شکل یک معادله همگن درجه دوم نسبت به مجهولات است یک xو b x. این گونه معادلات با تقسیم ابتدا دو طرف و سپس جایگزینی آنها به معادلات درجه دوم کاهش می یابد.

مثال 23. معادله را حل کنید.

راه حل: دو طرف معادله را بر دو تقسیم کنید:

با قرار دادن یک معادله درجه دوم با ریشه بدست می آوریم.

اکنون مسئله به حل مجموعه ای از معادلات می رسد . از معادله اول در می یابیم که . معادله دوم ریشه ندارد، زیرا برای هر مقداری x.

پاسخ: -1/2.

6. معادلات گویا با توجه به توابع نمایی.

مثال 24. معادله را حل کنید.

راه حل: صورت و مخرج کسر را بر تقسیم کنید 3 xو به جای دو، یک تابع نمایی دریافت می کنیم:

7. معادلات فرم .

چنین معادلاتی با مجموعه ای از مقادیر مجاز (APV) که بر اساس شرایط تعیین می شود، با گرفتن لگاریتم دو طرف معادله به یک معادله معادل کاهش می یابد که به نوبه خود معادل مجموعه ای از دو معادله یا معادله است.

مثال 25. معادله را حل کنید.

مطالب آموزشی

حل معادلات:

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ;

9. ; 10. ; 11. ;

14. ; 15. ;

16. ; 17. ;

18. ; 19. ;

20. ; 21. ;

22. ; 23. ;

24. ; 25. .

26. حاصل ضرب ریشه های معادله را بیابید .

27. مجموع ریشه های معادله را بیابید .

معنی عبارت را پیدا کنید:

28. کجا x 0- ریشه معادله؛

29. کجا x 0- ریشه کامل معادله .

معادله را حل کنید:

31. ; 32. .

پاسخ ها: 1. 0; 2. -2/9; 3. 1/36; 4. 0، 0.5; 5.0; 6.0; 7. -2; 8.2; 9. 1، 3; 10. 8; 11.5; 12.1; 13. ¼; 14.2; 15. -2، -1; 16. -2، 1; 17.0; 18.1; 19.0; 20. -1، 0; 21. -2، 2; 22. -2، 2; 23.4; 24. -1، 2; 25. -2، -1، 3; 26. -0.3; 27.3; 28.11; 29.54; 30. -1، 0، 2، 3; 31. 32. .

مبحث شماره 8.

نابرابری های نمایی

1º. نابرابری حاوی یک متغیر در توان نامیده می شود نابرابری نمایی

2 درجه. راه حل نابرابری های نمایی شکل بر اساس گزاره های زیر است:

اگر , آنگاه نابرابری معادل ;

اگر، آنگاه نابرابری معادل است.

هنگام حل نابرابری های نمایی، از تکنیک های مشابه در حل معادلات نمایی استفاده کنید.

مثال 26. حل نابرابری (روش انتقال به یک پایگاه).

راه حل: چون ، سپس نابرابری داده شده را می توان به صورت زیر نوشت: . از آنجا که، پس این نابرابری معادل نابرابری است .

با حل آخرین نابرابری، به دست می آوریم.

مثال 27. حل نابرابری: ( با خارج کردن فاکتور مشترک از پرانتز).

راه حل: بیایید براکت های سمت چپ نابرابری، در سمت راست نامساوی را برداریم و هر دو طرف نامساوی را بر (2-) تقسیم کنیم و علامت نابرابری را به عکس تغییر دهیم:

از آنجایی که پس از حرکت به سمت نابرابری شاخص ها، علامت نابرابری دوباره به عکس تغییر می کند. می گیریم. بنابراین، مجموعه تمام راه حل های این نابرابری بازه است.

مثال 28. حل نابرابری ( با معرفی یک متغیر جدید).

راه حل: اجازه دهید. سپس این نابرابری به شکل زیر در می آید: یا ، که راه حل آن فاصله است.

از اینجا. از آنجایی که تابع افزایش می یابد، پس .

مطالب آموزشی

مجموعه راه حل های نابرابری را مشخص کنید:

1. ; 2. ; 3. ;

6. در چه مقادیری xآیا نقاط روی نمودار تابع زیر خط مستقیم قرار دارند؟

7. در چه مقادیری xآیا نقاط روی نمودار تابع حداقل به اندازه خط مستقیم قرار دارند؟

حل نابرابری:

8. ; 9. ; 10. ;

13. بزرگترین راه حل عدد صحیح برای نابرابری را مشخص کنید .

14. حاصل ضرب بزرگترین عدد صحیح و کوچکترین راه حل نابرابری را بیابید. .

حل نابرابری:

15. ; 16. ; 17. ;

18. ; 19. ; 20. ;

21. ; 22. ; 23. ;

24. ; 25. ; 26. .

دامنه تابع را پیدا کنید:

27. ; 28. .

29. مجموعه ای از مقادیر آرگومان را که مقادیر هر یک از توابع بزرگتر از 3 است پیدا کنید:

و .

پاسخ ها: 11.3; 12.3; 13. -3; 14.1; 15. (0; 0.5); 16. 17. (-1; 0)U(3; 4); 18. [-2; 2]؛ 19. (0; +∞); 20. (0; 1); 21. (3; +∞); 22. (-∞; 0)U(0.5; +∞); 23. (0; 1); 24. (-1; 1); 25. (0؛ 2]؛ 26. (3؛ 3.5)U (4؛ +∞)؛ 27. (-∞؛ 3)U(5)؛ 28.

برخی از آنها ممکن است برای شما پیچیده تر به نظر برسند، در حالی که برخی دیگر، برعکس، بسیار ساده هستند. اما همه آنها یک ویژگی مهم مشترک دارند: نماد آنها حاوی تابع نمایی $f\left(x \right)=((a)^(x))$ است. بنابراین، اجازه دهید تعریف را معرفی کنیم:

معادله نمایی هر معادله ای است که دارای تابع نمایی باشد. بیان فرم $((a)^(x))$. علاوه بر تابع مشخص شده، چنین معادلاتی می توانند شامل هر ساختار جبری دیگری - چند جمله ای، ریشه، مثلثات، لگاریتم و غیره باشند.

باشه پس ما تعریف را مرتب کردیم. حال سوال این است: چگونه می توان این همه مزخرف را حل کرد؟ پاسخ هم ساده و هم پیچیده است.

بیایید با خبر خوب شروع کنیم: با توجه به تجربه من در تدریس به بسیاری از دانش آموزان، می توانم بگویم که بیشتر آنها معادلات نمایی را بسیار ساده تر از همان لگاریتم ها و حتی بیشتر از آن مثلثات می یابند.

اما خبر بدی وجود دارد: گاهی اوقات گردآورندگان مسائل برای انواع کتاب‌های درسی و امتحانات تحت تأثیر «الهام» قرار می‌گیرند و مغز ملتهب مواد مخدر آنها شروع به تولید چنان معادلات وحشیانه می‌کند که حل آنها نه تنها برای دانش‌آموزان - حتی بسیاری از معلمان - مشکل‌ساز می‌شود. در چنین مشکلاتی گیر کنید

با این حال، اجازه دهید در مورد چیزهای غم انگیز صحبت نکنیم. و برگردیم به آن سه معادله ای که در همان ابتدای داستان بیان شد. بیایید سعی کنیم هر یک از آنها را حل کنیم.

معادله اول: $((2)^(x))=4$. خوب، برای به دست آوردن عدد 4 عدد 2 را به چه قدرتی نیاز دارید؟ احتمالا دومی؟ پس از همه، $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ - و برابری عددی صحیح را بدست آوردیم، یعنی. در واقع $x=2$. خوب، متشکرم، کلاه، اما این معادله آنقدر ساده بود که حتی گربه من هم توانست آن را حل کند.

بیایید به معادله زیر نگاه کنیم:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

اما اینجا کمی پیچیده تر است. بسیاری از دانش آموزان می دانند که $((5)^(2))=25$ جدول ضرب است. برخی همچنین گمان می کنند که $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ اساساً تعریف قدرت های منفی است (مشابه فرمول $((a)^(-n)) = \ frac(1)(((a)^(n)))$).

در نهایت، تنها تعداد معدودی متوجه می شوند که این حقایق را می توان با هم ترکیب کرد و نتیجه زیر را به دست آورد:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

بنابراین، معادله اصلی ما به صورت زیر بازنویسی می شود:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

اما این در حال حاضر کاملا قابل حل است! در سمت چپ در معادله یک تابع نمایی وجود دارد، در سمت راست در معادله یک تابع نمایی وجود دارد، هیچ چیز دیگری به جز آنها وجود ندارد. بنابراین، می‌توانیم پایه‌ها را «دور» کنیم و شاخص‌ها را احمقانه برابر کنیم:

ما ساده ترین معادله خطی را به دست آورده ایم که هر دانش آموزی می تواند تنها در چند خط آن را حل کند. خوب، در چهار خط:

\[\شروع(تراز)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\پایان (تراز کردن)\]

اگر متوجه نشدید که در چهار خط آخر چه اتفاقی افتاده است، حتماً به مبحث "معادلات خطی" برگردید و آن را تکرار کنید. زیرا بدون درک دقیق از این موضوع، برای شما خیلی زود است که معادلات نمایی را بپذیرید.

\[((9)^(x))=-3\]

پس چگونه می توانیم این را حل کنیم؟ فکر اول: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$، بنابراین معادله اصلی را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

\[((\left(((3)^(2)) \راست))^(x))=-3\]

سپس به یاد می آوریم که هنگام افزایش توان به توان، توان ها ضرب می شوند:

\[((\left(((3)^(2)) \راست))^(x))=((3)^(2x))\Rightarrow ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end (align)\]

و برای چنین تصمیمی ما دو نفر را که واقعاً شایسته است دریافت خواهیم کرد. زیرا، با یک پوکمون، علامت منفی را در جلوی سه به توان این سه فرستادیم. اما شما نمی توانید این کار را انجام دهید. و در اینجا دلیل آن است. به قدرت های مختلف سه نگاهی بیندازید:

\[\begin(ماتریس) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(ماتریس)\]

هنگام جمع آوری این لوح، من هیچ چیز را منحرف نکردم: به قدرت های مثبت و منفی و حتی کسری نگاه کردم ... خوب، حداقل یک عدد منفی اینجا کجاست؟ او رفته است! و نمی تواند باشد، زیرا تابع نمایی $y=((a)^(x))$، اولاً، همیشه فقط مقادیر مثبت می گیرد (مهم نیست چقدر یک ضرب یا تقسیم بر دو شود، باز هم یک عدد خواهد بود. عدد مثبت)، و ثانیاً، پایه چنین تابعی - عدد $a$ - طبق تعریف یک عدد مثبت است!

خوب، پس چگونه معادله $((9)^(x))=-3$ را حل کنیم؟ اما به هیچ وجه: هیچ ریشه ای وجود ندارد. و از این نظر، معادلات نمایی بسیار شبیه معادلات درجه دوم هستند - همچنین ممکن است هیچ ریشه ای وجود نداشته باشد. اما اگر در معادلات درجه دوم تعداد ریشه ها توسط ممیز تعیین شود (ممیز مثبت - 2 ریشه ، منفی - بدون ریشه) ، در معادلات نمایی همه چیز به آنچه در سمت راست علامت مساوی است بستگی دارد.

بنابراین، ما نتیجه کلیدی را فرمول بندی می کنیم: ساده ترین معادله نمایی به شکل $((a)^(x))=b$ ریشه دارد اگر و فقط اگر $b \gt 0$ باشد. با دانستن این واقعیت ساده، به راحتی می توانید تعیین کنید که آیا معادله ای که به شما پیشنهاد می شود ریشه دارد یا خیر. آن ها آیا اصلاً ارزش دارد که آن را حل کنید یا بلافاصله بنویسید که هیچ ریشه ای وجود ندارد.

این دانش در مواقعی که باید مشکلات پیچیده تری را حل کنیم به ما کمک می کند. در حال حاضر، اشعار کافی است - زمان مطالعه الگوریتم اصلی برای حل معادلات نمایی است.

چگونه معادلات نمایی را حل کنیم

بنابراین، اجازه دهید مشکل را فرموله کنیم. حل معادله نمایی ضروری است:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b \gt 0\]

با توجه به الگوریتم "ساده لوح" که قبلا استفاده کردیم، لازم است عدد $b$ را به عنوان توان عدد $a$ نشان دهیم:

علاوه بر این، اگر به جای متغیر $x$ هر عبارتی وجود داشته باشد، معادله جدیدی دریافت خواهیم کرد که از قبل قابل حل است. به عنوان مثال:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(3))\Rightarrow x=3; \\& ((3)^(-x))=81\پیکان راست ((3)^(-x))=((3)^(4))\راست -x=4\ فلش راست x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\پیکان راست ((5)^(2x))=((5)^(3))\راست فلش 2x=3\ فلش راست x=\frac(3)( 2). \\\پایان (تراز کردن)\]

و به اندازه کافی عجیب، این طرح در حدود 90٪ موارد کار می کند. پس در مورد 10٪ باقی مانده چطور؟ 10٪ باقیمانده معادلات نمایی کمی "اسکیزوفرنیک" هستند به شکل:

\[((2)^(x))=3;\چهار ((5)^(x))=15;\چهار ((4)^(2x))=11\]

خوب، برای به دست آوردن 3 به چه قدرتی نیاز دارید که 2 را افزایش دهید؟ اول؟ اما خیر: $((2)^(1))=2$ کافی نیست. دوم؟ نه: $((2)^(2))=4$ خیلی زیاد است. اونوقت کدوم؟

دانش‌آموزان آگاه احتمالاً قبلاً حدس زده‌اند: در چنین مواردی، هنگامی که حل "زیبا" ممکن نیست، "توپخانه سنگین" - لگاریتم - وارد بازی می‌شود. اجازه دهید یادآوری کنم که با استفاده از لگاریتم، هر عدد مثبت را می توان به عنوان توان هر عدد مثبت دیگری (به جز یک) نشان داد:

این فرمول را به خاطر دارید؟ وقتی به دانش‌آموزانم در مورد لگاریتم می‌گویم، همیشه هشدار می‌دهم: این فرمول (همچنین هویت لگاریتمی اصلی است یا اگر دوست داشته باشید، تعریف لگاریتم است) شما را برای مدت طولانی تحت تعقیب قرار می‌دهد و در بیشتر موارد «پاپ می‌شود». مکان های غیر منتظره خوب، او ظاهر شد. بیایید به معادله و این فرمول نگاه کنیم:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end (تراز کردن) \]

اگر فرض کنیم که $a=3$ عدد اصلی ما در سمت راست است، و $b=2$ همان پایه تابع نمایی است که می‌خواهیم سمت راست را به آن کاهش دهیم، به شکل زیر می‌گیریم:

\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^((\log )_(2))3 ))) \\& ((2)^(x))=3\پیکان راست ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\ فلش راست x=( (\log )_(2))3. \\\پایان (تراز کردن)\]

ما یک پاسخ کمی عجیب دریافت کردیم: $x=((\log )_(2))3$. در یک کار دیگر، بسیاری با چنین پاسخی شک می‌کنند و شروع به بررسی مجدد راه‌حل خود می‌کنند: اگر خطایی در جایی رخ می‌داد چه می‌شد؟ من عجله دارم که شما را خوشحال کنم: در اینجا هیچ خطایی وجود ندارد و لگاریتم در ریشه معادلات نمایی یک وضعیت کاملاً معمولی است. پس عادت کن :)

حال بیایید دو معادله باقیمانده را با قیاس حل کنیم:

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Rightarrow ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Rightarrow x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\پیکان راست ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\پیکان راست 2x=( (\log )_(4))11\فلش راست x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\پایان (تراز کردن)\]

همین! به هر حال، پاسخ آخر را می توان متفاوت نوشت:

ما یک عامل را به استدلال لگاریتم وارد کردیم. اما هیچ کس ما را از اضافه کردن این فاکتور به پایه باز نمی دارد:

علاوه بر این، هر سه گزینه صحیح هستند - آنها فقط اشکال مختلف نوشتن یک عدد هستند. اینکه کدام یک را انتخاب کنید و در این راه حل بنویسید بستگی به تصمیم شما دارد.

بنابراین، ما یاد گرفته‌ایم که معادلات نمایی به شکل $((a)^(x))=b$ را حل کنیم، جایی که اعداد $a$ و $b$ کاملا مثبت هستند. با این حال، واقعیت سخت دنیای ما این است که چنین کارهای ساده ای بسیار بسیار نادر است. بیشتر اوقات با چیزی شبیه به این روبرو می شوید:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0.09. \\\پایان (تراز کردن)\]

پس چگونه می توانیم این را حل کنیم؟ اصلا میشه اینو حل کرد؟ و اگر چنین است، چگونه؟

وحشت نکنید. همه این معادلات به سرعت و به راحتی به فرمول های ساده ای که قبلاً در نظر گرفته ایم کاهش می یابد. فقط باید چند ترفند از درس جبر را به خاطر بسپارید. و البته هیچ قانونی برای کار با مدرک وجود ندارد. الان همه اینا رو بهت میگم :)

تبدیل معادلات نمایی

اولین چیزی که باید به خاطر بسپارید: هر معادله نمایی، مهم نیست چقدر پیچیده باشد، باید به یک روش به ساده ترین معادلات تقلیل داد - معادلاتی که قبلاً در نظر گرفته ایم و می دانیم چگونه حل کنیم. به عبارت دیگر، طرح حل هر معادله نمایی به صورت زیر است:

معادله اصلی را بنویسید. به عنوان مثال: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
یه کار عجیب و غریب انجام بده یا حتی برخی مزخرفات به نام "تبدیل یک معادله";
در خروجی، ساده ترین عبارات فرم $((4)^(x))=4$ یا چیزی شبیه به آن را دریافت کنید. علاوه بر این، یک معادله اولیه می تواند چندین عبارت از این قبیل را در یک زمان ارائه دهد.

با اولین نکته همه چیز مشخص است - حتی گربه من می تواند معادله را روی یک تکه کاغذ بنویسد. نکته سوم نیز کم و بیش روشن به نظر می رسد - ما قبلاً یک دسته کامل از این معادلات را در بالا حل کرده ایم.

اما نکته دوم چطور؟ چه نوع تحولاتی؟ چه چیزی را به چه چیزی تبدیل کنید؟ و چگونه؟

خب بیایید بفهمیم قبل از هر چیز به موارد زیر اشاره می کنم. تمام معادلات نمایی به دو نوع تقسیم می شوند:

معادله از توابع نمایی با پایه یکسان تشکیل شده است. مثال: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
فرمول شامل توابع نمایی با پایه های مختلف است. مثال‌ها: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ و $((100)^(x-1) )\cdot ((2،7)^(1-x))=0.09$.

بیایید با معادلات نوع اول شروع کنیم - آنها ساده ترین حل هستند. و در حل آنها از تکنیکی مانند برجسته کردن عبارات پایدار کمک خواهیم کرد.

جداسازی یک بیان پایدار

بیایید دوباره به این معادله نگاه کنیم:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

ما چه می بینیم؟ این چهار به درجات مختلف ارتقا می یابند. اما تمام این توان ها حاصل جمع ساده متغیر $x$ با اعداد دیگر هستند. بنابراین، لازم است قوانین کار با مدرک را به خاطر بسپارید:

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac((((a)^(x)))((a )^(y))). \\\پایان (تراز کردن)\]

به بیان ساده، جمع را می توان به حاصل ضرب توان ها تبدیل کرد و تفریق را می توان به راحتی به تقسیم تبدیل کرد. بیایید سعی کنیم این فرمول ها را به درجات معادله خود اعمال کنیم:

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\پایان (تراز کردن)\]

بیایید با در نظر گرفتن این واقعیت، معادله اصلی را بازنویسی کنیم و سپس تمام عبارات سمت چپ را جمع آوری کنیم:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -11; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\پایان (تراز کردن)\]

چهار عبارت اول حاوی عنصر $((4)^(x))$ هستند - بیایید آن را از براکت خارج کنیم:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \راست)=-11. \\\پایان (تراز کردن)\]

باقی مانده است که هر دو طرف معادله را بر کسری $-\frac(11)(4)$ تقسیم کنیم، یعنی. اساساً در کسر معکوس ضرب کنید - $-\frac(4)(11)$. دریافت می کنیم:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\& x=1. \\\پایان (تراز کردن)\]

همین! معادله اصلی را به ساده ترین شکل آن تقلیل داده ایم و پاسخ نهایی را به دست آورده ایم.

در همان زمان، در فرآیند حل ما فاکتور مشترک $((4)^(x))$ را کشف کردیم (و حتی آن را از براکت خارج کردیم) - این یک عبارت پایدار است. می توان آن را به عنوان یک متغیر جدید تعیین کرد یا به سادگی می توانید آن را با دقت بیان کنید و پاسخ را دریافت کنید. در هر صورت، اصل کلیدی راه حل به شرح زیر است:

در معادله اصلی یک عبارت پایدار حاوی متغیری پیدا کنید که به راحتی از همه توابع نمایی متمایز شود.

خبر خوب این است که تقریباً هر معادله نمایی به شما امکان می دهد چنین عبارت پایداری را جدا کنید.

اما خبر بد این است که این عبارات می توانند بسیار مشکل باشند و شناسایی آنها بسیار دشوار است. پس بیایید یک مشکل دیگر را بررسی کنیم:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

شاید کسی اکنون این سؤال را داشته باشد: «پاشا، سنگسار شدی؟ در اینجا پایه های مختلفی وجود دارد - 5 و 0.2. اما بیایید سعی کنیم پاور را به پایه 0.2 تبدیل کنیم. برای مثال، بیایید با کاهش کسر اعشاری به یک عدد معمولی، از شر آن خلاص شویم:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \راست)))=((\left(\frac(2)(10 ) \راست))^(-\چپ(x+1 \راست)))=((\چپ(\frac(1)(5) \راست))^(-\چپ(x+1 \راست)) )\]

همانطور که می بینید، عدد 5 هنوز ظاهر می شود، البته در مخرج. در همان زمان اندیکاتور به صورت منفی بازنویسی شد. حال بیایید یکی از مهمترین قوانین کار با مدرک را به یاد بیاوریم:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\راست فلش ((\left(\frac(1)(5) \راست))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

اینجا البته کمی دروغ می گفتم. زیرا برای درک کامل، فرمول خلاصی از شاخص های منفی باید به این صورت نوشته می شد:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \راست))^(n ))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \ راست))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

از سوی دیگر، هیچ چیز ما را از کار با کسرها منع نمی کرد:

\[((\left(\frac(1)(5) \راست))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(((5)^(-1)) \ راست))^(-\چپ(x+1 \راست)))=((5)^(\چپ(-1 \راست)\cdot \چپ(-\چپ(x+1 \راست) \راست) ))=((5)^(x+1))\]

اما در این مورد، شما باید بتوانید یک توان را به توان دیگری برسانید (به شما یادآوری می کنم: در این حالت، شاخص ها با هم جمع می شوند). اما من مجبور نبودم کسرها را "معکوس کنم" - شاید این برای برخی آسان تر باشد.

در هر صورت، معادله نمایی اصلی به صورت زیر بازنویسی می شود:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\پایان (تراز کردن)\]

بنابراین معلوم می شود که معادله اصلی را می توان حتی ساده تر از آنچه قبلاً در نظر گرفته شد حل کرد: در اینجا شما حتی نیازی به انتخاب یک عبارت پایدار ندارید - همه چیز به خودی خود کاهش یافته است. فقط باید به یاد داشته باشیم که $1=((5)^(0))$، که از آن دریافت می کنیم:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\& x+2=0; \\& x=-2. \\\پایان (تراز کردن)\]

راه حل همینه! ما پاسخ نهایی را دریافت کردیم: $x=-2$. در عین حال، من می خواهم به یک تکنیک توجه کنم که تمام محاسبات را برای ما بسیار ساده کرد:

در معادلات نمایی حتما از کسرهای اعشاری خلاص شده و آنها را به کسرهای معمولی تبدیل کنید. این به شما امکان می دهد پایه های یکسانی را ببینید و راه حل را تا حد زیادی ساده کنید.

اکنون اجازه دهید به معادلات پیچیده تری برویم که در آنها پایه های مختلفی وجود دارد که به هیچ وجه با استفاده از توان ها نمی توان آنها را به یکدیگر تقلیل داد.

با استفاده از ویژگی Degrees

اجازه دهید به شما یادآوری کنم که ما دو معادله سخت تر داریم:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0.09. \\\پایان (تراز کردن)\]

مشکل اصلی اینجاست که معلوم نیست چه چیزی و بر چه اساسی باید داد. عبارات پایدار کجا هستند؟ همین زمینه ها کجاست؟ هیچ کدام از اینها وجود ندارد.

اما بیایید سعی کنیم راه دیگری را طی کنیم. اگر پایه های مشابه آماده ای وجود نداشت، می توانید با فاکتورگیری از پایه های موجود، آنها را بیابید.

بیایید با معادله اول شروع کنیم:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\پیکان راست ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \راست))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot((3)^(3x)). \\\پایان (تراز کردن)\]

اما می توانید برعکس انجام دهید - عدد 21 را از اعداد 7 و 3 بسازید. انجام این کار به خصوص در سمت چپ آسان است، زیرا شاخص های هر دو درجه یکسان است:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3. \\\پایان (تراز کردن)\]

همین! شما توان را خارج از حاصلضرب گرفتید و بلافاصله معادله زیبایی به دست آوردید که در چند خط قابل حل است.

حال بیایید به معادله دوم نگاه کنیم. همه چیز در اینجا بسیار پیچیده تر است:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0.09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \راست))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

در این مورد، کسرها غیر قابل کاهش هستند، اما اگر چیزی قابل کاهش است، حتما آن را کاهش دهید. اغلب، دلایل جالبی ظاهر می شود که می توانید با آنها کار کنید.

متأسفانه چیز خاصی برای ما ظاهر نشد. اما می بینیم که توان های سمت چپ در حاصلضرب مخالف هستند:

اجازه دهید یادآوری کنم: برای خلاص شدن از شر علامت منفی در نشانگر، فقط باید کسری را "برگردانید". خوب، بیایید معادله اصلی را بازنویسی کنیم:

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \راست))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\پایان (تراز کردن)\]

در خط دوم، ما به سادگی طبق قانون $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a) مجموع توان حاصل را از براکت خارج کردیم. \cdot b \right))^ (x))$ و در آخری به سادگی عدد 100 را در کسری ضرب کردند.

حالا توجه داشته باشید که اعداد سمت چپ (در پایه) و سمت راست تا حدودی شبیه هم هستند. چگونه؟ بله، واضح است: آنها قدرت های یکسانی هستند! ما داریم:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \راست))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \راست))^(2)). \\\پایان (تراز کردن)\]

بنابراین، معادله ما به صورت زیر بازنویسی می شود:

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \راست))^(3)) \راست))^(x-1))=((\left(\frac(3 )(10)\راست))^(2))\]

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \راست))^(3)) \راست))^(x-1))=((\left(\frac(10 )(3) \راست))^(3\چپ(x-1 \راست)))=((\left(\frac(10)(3) \راست))^(3x-3))\]

در این حالت ، در سمت راست نیز می توانید مدرکی با همان پایه دریافت کنید ، که برای آن کافی است به سادگی کسری را "برگردانید".

\[((\left(\frac(3)(10) \راست))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \راست))^(-2))\]

معادله ما در نهایت به شکل زیر در می آید:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \راست)) ^(-2))؛ \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\پایان (تراز کردن)\]

راه حل همین است. ایده اصلی او به این خلاصه می شود که حتی با پایه های مختلف ما سعی می کنیم، با قلاب یا کلاهبرداری، این پایه ها را به یک چیز کاهش دهیم. دگرگونی های اولیه معادلات و قوانین کار با قدرت ها به ما در این امر کمک می کند.

اما چه قوانینی و چه زمانی استفاده کنیم؟ چگونه متوجه می شوید که در یک معادله باید هر دو طرف را بر چیزی تقسیم کنید و در معادله دیگر باید پایه تابع نمایی را فاکتور بگیرید؟

پاسخ این سوال با تجربه خواهد آمد. ابتدا دست خود را در معادلات ساده امتحان کنید، و سپس به تدریج مسائل را پیچیده کنید - و خیلی زود مهارت های شما برای حل هر معادله نمایی از همان آزمون دولتی واحد یا هر کار مستقل/آزمایشی کافی خواهد بود.

و برای کمک به شما در این کار دشوار، پیشنهاد می کنم مجموعه ای از معادلات را از وب سایت من دانلود کنید تا خودتان آن را حل کنید. همه معادلات پاسخ دارند، بنابراین شما همیشه می توانید خود را آزمایش کنید.

در کل برای شما آرزوی موفقیت دارم. و شما را در درس بعدی می بینیم - در آنجا معادلات نمایی واقعا پیچیده را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد، جایی که روش های شرح داده شده در بالا دیگر کافی نیستند. و آموزش ساده نیز کافی نخواهد بود.

مثال ها:

$4^x=32$
$5^(2x-1)-5^(2x-3)=4.8$
$(\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0$

چگونه معادلات نمایی را حل کنیم

هنگام حل هر معادله نمایی، سعی می کنیم آن را به شکل \(a^(f(x))=a^(g(x))\ برسانیم، و سپس انتقال را به برابری توانها انجام دهیم، یعنی:

$a^(f(x))=a^(g(x))$ $⇔$ $f(x)=g(x)$

به عنوان مثال:$2^(x+1)=2^2$ $⇔$ $x+1=2$

مهم! از همین منطق، دو شرط برای چنین انتقالی به دست می آید:
- شماره در چپ و راست باید یکسان باشند.
- درجات سمت چپ و راست باید "خالص" باشندیعنی ضرب و تقسیم و غیره نباشد.

به عنوان مثال:

برای کاهش معادله به شکل $a^(f(x))=a^(g(x))$ و استفاده می شود.

مثال . حل معادله نمایی $\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)$
راه حل:

$\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)$

ما می دانیم که $27 = 3^3$. با در نظر گرفتن این، معادله را تبدیل می کنیم.

$\sqrt(3^3)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)$

با خاصیت ریشه $\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))$ بدست می آوریم که $\sqrt(3^3)=((3^3) )^( \frac(1)(2))$. سپس با استفاده از خاصیت درجه $(a^b)^c=a^(bc)$، $((3^3))^(\frac(1)(2))=3^ را بدست می آوریم (3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))$.

$3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)$

همچنین می دانیم که $a^b·a^c=a^(b+c)$. با اعمال این در سمت چپ، دریافت می کنیم: $3^(\frac(3)(2))·3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)= 3^ (1.5 + x-1)=3^(x+0.5)$.

$3^(x+0.5)=(\frac(1)(3))^(2x)$

حالا به یاد داشته باشید که: $a^(-n)=\frac(1)(a^n)$. این فرمول همچنین می تواند در جهت مخالف نیز استفاده شود: $\frac(1)(a^n) =a^(-n)$. سپس $\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)$.

$3^(x+0.5)=(3^(-1))^(2x)$

با اعمال ویژگی $(a^b)^c=a^(bc)$ در سمت راست، به دست می آوریم: $(3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)$.

$3^(x+0.5)=3^(-2x)$

و اکنون پایه های ما برابر است و هیچ ضرایب تداخلی و غیره وجود ندارد. بنابراین ما می توانیم انتقال را انجام دهیم.

مثال . حل معادله نمایی $4^(x+0.5)-5 2^x+2=0$
راه حل:

$4^(x+0.5)-5 2^x+2=0$		ما دوباره از ویژگی power $a^b \cdot a^c=a^(b+c)$ در جهت مخالف استفاده می کنیم.
$4^x 4^(0.5)-5 2^x+2=0$		حالا به یاد داشته باشید که $4=2^2$.
$(2^2)^x·(2^2)^(0.5)-5·2^x+2=0$		با استفاده از خصوصیات درجه، تبدیل می کنیم: $(2^2)^x=2^(2x)=2^(x 2)=(2^x)^2$ $(2^2)^(0.5)=2^(2 0.5)=2^1=2.$
$2·(2^x)^2-5·2^x+2=0$		ما با دقت به معادله نگاه می کنیم و می بینیم که جایگزین $t=2^x$ خودش را پیشنهاد می کند.

$t_1=2$ $t_2=\frac(1)(2)$		با این حال، ما مقادیر $t$ را پیدا کردیم و به $x$ نیاز داریم. ما به X برمی گردیم و جایگزینی معکوس می کنیم.
$2^x=2$ $2^x=\frac(1)(2)$		بیایید معادله دوم را با استفاده از خاصیت توان منفی تبدیل کنیم...
$2^x=2^1$ $2^x=2^(-1)$		... و جواب را تمام می کنیم.
$x_1=1$ $x_2=-1$

پاسخ دهید : $-1; 1$.

سوال باقی می ماند - چگونه بفهمیم چه زمانی از کدام روش استفاده کنیم؟ این با تجربه همراه است. تا زمانی که آن را توسعه نداده اید، از توصیه کلی برای حل مشکلات پیچیده استفاده کنید - "اگر نمی دانید چه کاری انجام دهید، آنچه می توانید انجام دهید." یعنی به دنبال این باشید که چگونه می توانید معادله را در اصل تغییر دهید و سعی کنید آن را انجام دهید - اگر چه اتفاقی بیفتد؟ نکته اصلی این است که فقط تبدیلات مبتنی بر ریاضی ایجاد کنیم.

معادلات نمایی بدون جواب

بیایید به دو موقعیت دیگر که اغلب دانش‌آموزان را گیج می‌کنند نگاه کنیم:
- یک عدد مثبت به توان برابر با صفر است، به عنوان مثال، $2^x=0$;
- یک عدد مثبت برابر با توان یک عدد منفی است، برای مثال $2^x=-4$.

بیایید سعی کنیم با زور وحشیانه حل کنیم. اگر x یک عدد مثبت باشد، با رشد x، کل توان $2^x$ فقط افزایش می یابد:

$x=1$; $2^1=2$
$x=2$; $2^2=4$
$x=3$; $2^3=8$.

$x=0$; $2^0=1$

همچنین توسط. X منفی باقی می ماند. با یادآوری ویژگی $a^(-n)=\frac(1)(a^n)$، بررسی می کنیم:

$x=-1$; $2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)$
$x=-2$; $2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)$
$x=-3$; $2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)$

علیرغم اینکه عدد با هر مرحله کوچکتر می شود، هرگز به صفر نمی رسد. بنابراین درجه منفی ما را نجات نداد. ما به یک نتیجه منطقی می رسیم:

یک عدد مثبت به هر درجه ای یک عدد مثبت باقی می ماند.

بنابراین، هر دو معادله بالا هیچ راه حلی ندارند.

معادلات نمایی با پایه های مختلف

در عمل گاهی با معادلات نمایی با پایه های مختلف که قابل تقلیل به یکدیگر نیستند و در عین حال با توان های یکسان مواجه می شویم. آنها به این شکل هستند: $a^(f(x))=b^(f(x))$، که در آن $a$ و $b$ اعداد مثبت هستند.

به عنوان مثال:

$7^(x)=11^(x)$
$5^(x+2)=3^(x+2)$
$15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)$

چنین معادلاتی را می توان به راحتی با تقسیم بر هر یک از اضلاع معادله حل کرد (معمولاً تقسیم بر سمت راست، یعنی بر $b^(f(x))$ می توانید به این ترتیب تقسیم کنید زیرا یک عدد مثبت است. به هر توانی مثبت است (یعنی بر صفر تقسیم نمی کنیم).

$\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))$ $=1$

مثال . حل معادله نمایی $5^(x+7)=3^(x+7)$
راه حل:

$5^(x+7)=3^(x+7)$		در اینجا ما نمی‌توانیم یک پنج را به سه یا برعکس (حداقل بدون استفاده از) تبدیل کنیم. این بدان معناست که ما نمی توانیم به شکل $a^(f(x))=a^(g(x))$ برسیم. با این حال، شاخص ها یکسان است. بیایید معادله را به سمت راست تقسیم کنیم، یعنی بر $3^(x+7)$ (می توانیم این کار را انجام دهیم زیرا می دانیم که سه به هیچ درجه ای صفر نخواهد بود).
$\frac(5^(x+7))(3^(x+7))$ $=$$\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )$		حالا ویژگی $(\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)$ را به خاطر بسپارید و از آن در سمت چپ در جهت مخالف استفاده کنید. در سمت راست، ما به سادگی کسر را کاهش می دهیم.
$(\frac(5)(3))^(x+7)$ $=1$		به نظر می رسد که اوضاع بهتر نشده است. اما یک ویژگی دیگر از توان را به خاطر بسپارید: $a^0=1$، به عبارت دیگر: "هر عددی به توان صفر برابر است با $1$." عکس آن نیز صادق است: "یک را می توان به عنوان هر عددی به توان صفر نشان داد." بیایید با درست کردن پایه سمت راست مانند سمت چپ از این مزیت استفاده کنیم.
$(\frac(5)(3))^(x+7)$ $=$ $(\frac(5)(3))^0$		وویلا! بیایید از شر پایه ها خلاص شویم.
		ما در حال نوشتن پاسخ هستیم.

پاسخ دهید : $-7$.

گاهی اوقات «یکسانی» شارح ها آشکار نیست، اما استفاده ماهرانه از ویژگی های شارح این مشکل را حل می کند.

مثال . حل معادله نمایی $7^(2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)$
راه حل:

$7^(2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)$		معادله بسیار غم انگیز به نظر می رسد... نه تنها نمی توان پایه ها را به یک عدد کاهش داد (هفت به هیچ وجه برابر با $\frac(1)(3)$ نخواهد بود)، بلکه توان ها نیز متفاوت هستند. .. با این حال، بیایید از نمایی چپ استفاده کنیم.
$7^(2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)$		با به خاطر سپردن ویژگی $(a^b)^c=a^(b·c)$ از سمت چپ تبدیل می کنیم: $7^(2(x-2))=7^(2·(x-2))=(7^2)^(x-2)=49^(x-2)$.
$49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)$		حالا با به خاطر سپردن خاصیت درجه منفی $a^(-n)=\frac(1)(a)^n$، از سمت راست تبدیل می کنیم: $(\frac(1)(3))^( -x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)$
$49^(x-2)=3^(x-2)$		هاللویا! شاخص ها یکی هستند! طبق طرحی که قبلاً برای ما آشناست عمل می کنیم ، قبل از پاسخ حل می کنیم.

پاسخ دهید : $2$.

به کانال یوتیوب وب سایت ما بروید تا از تمام دروس ویدیویی جدید مطلع شوید.

ابتدا بیایید فرمول های اصلی توان ها و ویژگی های آنها را به یاد بیاوریم.

محصول یک عدد الف n بار روی خودش اتفاق می افتد، می توانیم این عبارت را به صورت a … a=a n بنویسیم

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m = a n - m

قدرت یا معادلات نمایی– اینها معادلاتی هستند که در آنها متغیرها در توان (یا توان) هستند و مبنا یک عدد است.

نمونه هایی از معادلات نمایی:

در این مثال، عدد 6 پایه است و همیشه در پایین است xدرجه یا نشانگر

اجازه دهید مثال های بیشتری از معادلات نمایی ارائه دهیم.
2*5=10
16 x - 4 x - 6=0

حال بیایید ببینیم معادلات نمایی چگونه حل می شوند؟

بیایید یک معادله ساده در نظر بگیریم:

2 x = 2 3

این مثال حتی در ذهن شما قابل حل است. مشاهده می شود که x=3. از این گذشته ، برای اینکه ضلع چپ و راست برابر باشند ، باید به جای x عدد 3 را قرار دهید.
حال بیایید ببینیم چگونه این تصمیم را رسمی کنیم:

2 x = 2 3
x = 3

برای حل چنین معادله ای حذف کردیم زمینه های یکسان(یعنی دوتایی) و آنچه باقی مانده را بنویسد، اینها درجات است. جوابی که دنبالش بودیم گرفتیم.

حالا بیایید تصمیم خود را خلاصه کنیم.

الگوریتم حل معادله نمایی:
1. نیاز به بررسی یکسانآیا معادله دارای پایه در سمت راست و چپ است. اگر دلایل یکسان نیستند، ما به دنبال گزینه هایی برای حل این مثال هستیم.
2. پس از یکسان شدن پایه ها، برابر کردندرجه و معادله جدید حاصل را حل کنید.

حال به چند نمونه نگاه می کنیم:

بیایید با یک چیز ساده شروع کنیم.

پایه های سمت چپ و راست برابر با عدد 2 هستند، یعنی می توانیم پایه را دور بیندازیم و درجات آنها را برابر کنیم.

x+2=4 ساده ترین معادله به دست می آید.
x=4 – 2
x=2
پاسخ: x=2

در مثال زیر می بینید که پایه ها متفاوت هستند: 3 و 9.

3 3x - 9 x+8 = 0

ابتدا 9 را به سمت راست حرکت دهید، دریافت می کنیم:

حالا باید همان پایه ها را درست کنید. می دانیم که 9=3 2. بیایید از فرمول توان (a n) m = a nm استفاده کنیم.

3 3x = (3 2) x+8

9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16 بدست می آوریم

3 3x = 3 2x+16 حالا مشخص است که در سمت چپ و راست پایه ها یکسان و برابر با سه هستند، یعنی می توانیم آنها را دور بیندازیم و درجه ها را برابر کنیم.

3x=2x+16 ساده ترین معادله را بدست می آوریم
3x - 2x=16
x=16
جواب: x=16.

بیایید به مثال زیر نگاه کنیم:

2 2x+4 - 10 4 x = 2 4

ابتدا به پایه ها، پایه های دو و چهار نگاه می کنیم. و ما نیاز داریم که آنها یکسان باشند. ما چهار را با استفاده از فرمول (a n) m = a nm تبدیل می کنیم.

4 x = (2 2) x = 2 2x

و همچنین از یک فرمول a n a m = a n + m استفاده می کنیم:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

به معادله اضافه کنید:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

به همین دلایل مثال زدیم. اما اعداد 10 و 24 دیگر ما را آزار می دهند با آنها چه کنیم؟ اگر به دقت نگاه کنید می توانید ببینید که در سمت چپ 2 2 برابر تکرار شده است، در اینجا پاسخ وجود دارد - می توانیم 2 2 برابر را خارج از پرانتز قرار دهیم:

2 2x (2 4 - 10) = 24

بیایید عبارت داخل پرانتز را محاسبه کنیم:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

کل معادله را بر 6 تقسیم می کنیم:

بیایید 4=2 2 را تصور کنیم:

2 2x = 2 2 پایه ها یکسان هستند، آنها را دور می اندازیم و درجه ها را برابر می کنیم.
2x = 2 ساده ترین معادله است. آن را بر 2 تقسیم می کنیم و به دست می آید
x = 1
پاسخ: x = 1.

بیایید معادله را حل کنیم:

9 x – 12*3 x +27= 0

بیایید تبدیل کنیم:
9 x = (3 2) x = 3 2x

معادله را بدست می آوریم:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

پایه های ما یکسان است، برابر با سه در این مثال، می توانید ببینید که سه درجه اول دو برابر (2x) از دومی (فقط x) است. در این صورت می توانید حل کنید روش جایگزینی. عدد را با کوچکترین درجه جایگزین می کنیم:

سپس 3 2x = (3 x) 2 = t 2

تمام توان های x در معادله را با t جایگزین می کنیم:

t 2 - 12t+27 = 0
یک معادله درجه دوم بدست می آوریم. با حل از طریق تفکیک، دریافت می کنیم:
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3

بازگشت به متغیر x.

t 1 را بگیرید:
t 1 = 9 = 3 x

بنابراین،

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

یک ریشه پیدا شد. ما به دنبال مورد دوم از t 2 هستیم:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
پاسخ: x 1 = 2; x 2 = 1.

در وب سایت می توانید سوالات مورد علاقه خود را در بخش HELP DECIDE بپرسید، ما قطعا به شما پاسخ خواهیم داد.

به گروه بپیوندید

این نام معادلات شکلی است که مجهول هم در توان و هم در پایه توان است.

شما می توانید یک الگوریتم کاملاً واضح برای حل یک معادله فرم مشخص کنید. برای این کار باید به این نکته توجه کنید که چه زمانی اوه)مساوی صفر، یک و منهای یک نیست، تساوی درجات با پایه های یکسان (مثبت یا منفی) تنها در صورتی امکان پذیر است که توان ها برابر باشند، یعنی همه ریشه های معادله، ریشه های معادله خواهند بود f(x) = g(x)گزاره مخالف درست نیست، وقتی اوه)< 0 و مقادیر کسری f(x)و g(x)عبارات اوه) f(x) و

اوه) g(x) معنی خود را از دست بدهند یعنی هنگام حرکت از به f(x) = g(x)(برای و ریشه های خارجی ممکن است ظاهر شوند، که باید با بررسی معادله اصلی حذف شوند. و موارد a = 0، a = 1، a = -1باید جداگانه در نظر گرفته شود.

بنابراین، برای حل کامل معادله، موارد زیر را در نظر می گیریم:

a(x) = O f(x)و g(x)اعداد مثبت خواهند بود، سپس این راه حل است. در غیر این صورت، نه

a(x) = 1. ریشه های این معادله نیز ریشه های معادله اصلی هستند.

a(x) = -1. اگر برای مقدار x که این معادله را برآورده کند، f(x)و g(x)اعداد صحیح برابری یکسان هستند (هر دو زوج یا هر دو فرد)، پس راه حل این است. در غیر این صورت، نه

کی و معادله را حل می کنیم f(x)= g(x)و با جایگزین کردن نتایج به دست آمده به معادله اصلی، ریشه های خارجی را قطع می کنیم.

نمونه هایی از حل معادلات توان نمایی.

مثال شماره 1.

1) x - 3 = 0، x = 3. زیرا 3 > 0، و 3 2 > 0، سپس x 1 = 3 راه حل است.

2) x - 3 = 1، x 2 = 4.

3) x - 3 = -1، x = 2. هر دو شاخص زوج هستند. این راه حل x 3 = 1 است.

4) x - 3 ? 0 و x؟ ± 1. x = x 2، x = 0 یا x = 1. برای x = 0، (-3) 0 = (-3) 0 - این راه حل صحیح است: x 4 = 0. برای x = 1، (- 2) 1 = (-2) 1 - این راه حل درست است x 5 = 1.

پاسخ: 0، 1، 2، 3، 4.

مثال شماره 2.

با تعریف یک جذر حسابی: x - 1؟ 0، x 1.

1) x - 1 = 0 یا x = 1، = 0، 0 0 راه حل نیست.

2) x - 1 = 1 x 1 = 2.

3) x - 1 = -1 x 2 = 0 در ODZ نمی گنجد.

D = (-2) - 4*1*5 = 4 - 20 = -16 - بدون ریشه.