مشتق 2 4. چگونه مشتق را پیدا کنیم؟ نمونه هایی از راه حل ها

اشتقاق فرمول مشتق تابع توان (x به توان a). مشتقات از ریشه x در نظر گرفته می شوند. فرمول مشتق تابع توان مرتبه بالاتر. نمونه هایی از محاسبه مشتقات.

محتوا

همچنین ببینید: تابع قدرت و ریشه ها، فرمول ها و نمودار
نمودارهای تابع قدرت

فرمول های پایه

مشتق x به توان a برابر است ضربدر x به توان منهای یک:
(1) .

مشتق n ام ریشه x به توان m ام است:
(2) .

استخراج فرمول مشتق تابع توان

مورد x > 0

تابع توان متغیر x را با توان a در نظر بگیرید:
(3) .
در اینجا a دلخواه است عدد واقعی. بیایید ابتدا مورد را در نظر بگیریم.

برای یافتن مشتق تابع (3)، از ویژگی های تابع توان استفاده می کنیم و آن را به شکل زیر تبدیل می کنیم:
.

اکنون مشتق را با استفاده از:
;
.
اینجا .

فرمول (1) ثابت شده است.

اشتقاق فرمول مشتق یک ریشه درجه n از x به درجه m

حالا تابعی را در نظر بگیرید که ریشه شکل زیر است:
(4) .

برای یافتن مشتق، ریشه را به تابع توان تبدیل می کنیم:
.
در مقایسه با فرمول (3) می بینیم که
.
سپس
.

با استفاده از فرمول (1) مشتق را پیدا می کنیم:
(1) ;
;
(2) .

در عمل نیازی به حفظ فرمول (2) نیست. خیلی راحت‌تر است که ابتدا ریشه‌ها را به توابع قدرت تبدیل کنید و سپس مشتقات آنها را با استفاده از فرمول (1) پیدا کنید (به مثال‌ها در انتهای صفحه مراجعه کنید).

مورد x = 0

اگر، تابع توان برای مقدار متغیر x = تعریف می شود 0 . بیایید مشتق تابع (3) را در x = پیدا کنیم 0 . برای این کار از تعریف مشتق استفاده می کنیم:
.

بیایید x = را جایگزین کنیم 0 :
.
در این مورد منظور ما از مشتق حد سمت راست است که برای آن .

بنابراین یافتیم:
.
از اینجا مشخص است که برای , .
در , .
در , .
این نتیجه نیز از فرمول (1) به دست می آید:
(1) .
بنابراین، فرمول (1) برای x = نیز معتبر است 0 .

مورد x< 0

دوباره تابع (3) را در نظر بگیرید:
(3) .
برای مقادیر معینی از ثابت a، برای مقادیر منفی متغیر x نیز تعریف شده است. یعنی یک عدد گویا باشد. سپس می توان آن را به عنوان یک کسر تقلیل ناپذیر نشان داد:
,
که در آن m و n اعداد صحیحی هستند که مقسوم علیه مشترک ندارند.

اگر n فرد باشد، تابع توان نیز برای مقادیر منفی متغیر x تعریف می شود. به عنوان مثال، زمانی که n = 3 و m = 1 ما ریشه مکعب x را داریم:
.
همچنین برای مقادیر منفی متغیر x تعریف شده است.

اجازه دهید مشتق تابع توان (3) را برای و برای مقادیر گویا ثابت a که برای آن تعریف شده است، پیدا کنیم. برای انجام این کار، x را به شکل زیر نشان می دهیم:
.
سپس ،
.
ما مشتق را با قرار دادن ثابت خارج از علامت مشتق و اعمال قانون تمایز یک تابع مختلط پیدا می کنیم:

.
اینجا . ولی
.
از آن به بعد
.
سپس
.
یعنی فرمول (1) برای موارد زیر نیز معتبر است:
(1) .

مشتقات مرتبه بالاتر

حال بیایید مشتقات مرتبه بالاتر تابع توان را پیدا کنیم
(3) .
ما قبلا مشتق مرتبه اول را پیدا کرده ایم:
.

با گرفتن ثابت a خارج از علامت مشتق، مشتق مرتبه دوم را پیدا می کنیم:
.
به طور مشابه، مشتقات مرتبه سوم و چهارم را می یابیم:
;

.

از اینجا معلوم است که مشتق از مرتبه n دلخواهدارای فرم زیر است:
.

توجه کنید که اگر a باشد عدد طبیعی ، پس مشتق nام ثابت است:
.
سپس تمام مشتقات بعدی برابر با صفر هستند:
,
در .

نمونه هایی از محاسبه مشتقات

مثال

مشتق تابع را پیدا کنید:
.

بیایید ریشه ها را به توان تبدیل کنیم:
;
.
سپس تابع اصلی به شکل زیر در می آید:
.

یافتن مشتقات قدرت:
;
.
مشتق ثابت صفر است:
.

مشتق

محاسبه مشتق یک تابع ریاضی (تمایز) یک مسئله بسیار رایج هنگام حل ریاضیات بالاتر است. برای توابع ریاضی ساده (ابتدایی)، این یک موضوع نسبتاً ساده است، زیرا جداول مشتقات برای توابع ابتدایی مدتهاست که جمع آوری شده است و به راحتی قابل دسترسی است. با این حال، یافتن مشتق یک تابع پیچیده ریاضی یک کار پیش پا افتاده نیست و اغلب به تلاش و زمان قابل توجهی نیاز دارد.

مشتق را به صورت آنلاین پیدا کنید

خدمات آنلاین ما به شما این امکان را می دهد که از شر محاسبات طولانی و بیهوده خلاص شوید مشتق آنلاین را پیدا کنیددر یک لحظه علاوه بر این، با استفاده از خدمات ما واقع در وب سایت www.site، می توانید محاسبه کنید مشتق آنلاینهم از یک تابع ابتدایی و هم از یک تابع بسیار پیچیده که راه حل تحلیلی ندارد. مزایای اصلی سایت ما نسبت به سایرین عبارتند از: 1) برای روش وارد کردن تابع ریاضی برای محاسبه مشتق، الزامات سختگیرانه ای وجود ندارد (به عنوان مثال، هنگام وارد کردن تابع sine x، می توانید آن را به عنوان sin x یا sin وارد کنید. (x) یا گناه[x] و غیره d.); 2) محاسبه مشتق آنلاین فوراً در حالت رخ می دهد برخطو کاملا رایگان; 3) ما به شما اجازه می دهیم مشتق یک تابع را پیدا کنید هر سفارش، تغییر ترتیب مشتق بسیار آسان و قابل درک است. 4) ما به شما این امکان را می دهیم که مشتق تقریباً هر تابع ریاضی را به صورت آنلاین پیدا کنید، حتی آنهایی که بسیار پیچیده هستند که توسط سرویس های دیگر قابل حل نیستند. پاسخ ارائه شده همیشه دقیق است و حاوی خطا نیست.

استفاده از سرور ما به شما این امکان را می دهد که 1) مشتق را به صورت آنلاین برای خود محاسبه کنید و محاسبات زمان بر و خسته کننده را که در طی آن ممکن است اشتباه یا اشتباه تایپی داشته باشید حذف کنید. 2) اگر مشتق یک تابع ریاضی را خودتان محاسبه کنید، ما به شما این فرصت را می دهیم که نتیجه به دست آمده را با محاسبات سرویس خود مقایسه کنید و مطمئن شوید که راه حل درست است یا خطایی را پیدا کنید که در آن رخنه کرده است. 3) از خدمات ما به جای استفاده از جداول مشتقات توابع ساده استفاده کنید، جایی که اغلب برای یافتن تابع مورد نظر زمان می برد.

تنها کاری که باید انجام دهید این است مشتق آنلاین را پیدا کنید- این است که از خدمات ما استفاده کنید

خیلی راحت به خاطر سپردن

خوب، بیایید دور نرویم، بیایید فوراً به آن نگاه کنیم تابع معکوس. کدام تابع معکوس تابع نمایی است؟ لگاریتم:

در مورد ما، پایه عدد است:

چنین لگاریتمی (یعنی لگاریتمی با پایه) "طبیعی" نامیده می شود و ما از نماد خاصی برای آن استفاده می کنیم: به جای آن می نویسیم.

با چه چیزی برابر است؟ البته، .

مشتق لگاریتم طبیعی نیز بسیار ساده است:

مثال ها:

1. مشتق تابع را بیابید.
2. مشتق تابع چیست؟

پاسخ ها: لگاریتم نمایی و طبیعی از دیدگاه مشتق، توابع ساده منحصر به فردی هستند. توابع نمایی و لگاریتمی با هر پایه دیگری مشتق متفاوتی خواهند داشت که بعد از مرور قوانین تمایز آن را تحلیل خواهیم کرد.

قوانین تمایز

قوانین چی؟ بازم یه ترم جدید دیگه؟!...

تفکیکفرآیند یافتن مشتق است.

همین. این فرآیند را در یک کلمه چه چیز دیگری می‌توان نامید؟ نه مشتق... ریاضیدانان دیفرانسیل را همان افزایش یک تابع در می نامند. این اصطلاح از دیفرانسیل لاتین - تفاوت می آید. اینجا.

هنگام استخراج همه این قوانین، از دو تابع به عنوان مثال و. ما همچنین به فرمول هایی برای افزایش آنها نیاز خواهیم داشت:

در کل 5 قانون وجود دارد.

ثابت از علامت مشتق خارج می شود.

اگر - یک عدد ثابت (ثابت)، پس.

بدیهی است که این قانون برای تفاوت نیز کار می کند: .

بیایید آن را ثابت کنیم. بگذارید باشد یا ساده تر.

مثال ها.

مشتقات توابع را پیدا کنید:

1. در یک نقطه؛
2. در یک نقطه؛
3. در یک نقطه؛
4. در نقطه

راه حل ها:

1. (مشتق در همه نقاط یکسان است، زیرا این تابع خطی، یاد آوردن؟)؛

مشتق از محصول

همه چیز در اینجا مشابه است: بیایید یک تابع جدید معرفی کنیم و افزایش آن را پیدا کنیم:

مشتق:

مثال ها:

1. مشتقات توابع را پیدا کنید و
2. مشتق تابع را در یک نقطه پیدا کنید.

راه حل ها:

مشتق تابع نمایی

اکنون دانش شما کافی است تا بیاموزید چگونه مشتق هر تابع نمایی را بیابید، و نه فقط نماها (آیا هنوز فراموش کرده اید که چیست؟).

بنابراین، تعدادی از آن ها کجاست.

ما قبلاً مشتق تابع را می دانیم، بنابراین بیایید سعی کنیم تابع خود را به یک پایه جدید کاهش دهیم:

برای این کار از یک قانون ساده استفاده می کنیم: . سپس:

خوب، کار کرد. حالا سعی کنید مشتق را پیدا کنید و فراموش نکنید که این تابع پیچیده است.

اتفاق افتاد؟

در اینجا، خود را بررسی کنید:

فرمول بسیار شبیه به مشتق یک توان است: همانطور که بود، ثابت می ماند، فقط یک عامل ظاهر شد که فقط یک عدد است، اما یک متغیر نیست.

مثال ها:
مشتقات توابع را پیدا کنید:

پاسخ ها:

این فقط یک عدد است که بدون ماشین حساب نمی توان آن را محاسبه کرد، یعنی دیگر نمی توان آن را یادداشت کرد. به شکل ساده. لذا در جواب به این شکل می گذاریم.

توجه داشته باشید که در اینجا ضریب دو تابع است، بنابراین قانون تمایز مربوطه را اعمال می کنیم:

در این مثال حاصل ضرب دو تابع:

مشتق تابع لگاریتمی

در اینجا مشابه است: شما قبلاً مشتق لگاریتم طبیعی را می دانید:

بنابراین، برای پیدا کردن یک لگاریتم دلخواه با پایه متفاوت، به عنوان مثال:

باید این لگاریتم را به پایه کاهش دهیم. چگونه پایه لگاریتم را تغییر می دهید؟ امیدوارم این فرمول را به خاطر داشته باشید:

فقط اکنون به جای آن می نویسیم:

مخرج به سادگی یک ثابت است (عددی ثابت، بدون متغیر). مشتق بسیار ساده به دست می آید:

مشتقات توابع نمایی و لگاریتمی تقریباً هرگز در آزمون یکپارچه دولتی یافت نمی شوند، اما دانستن آنها اضافی نخواهد بود.

مشتق تابع مختلط

چه اتفاقی افتاده است " تابع پیچیده"؟ نه، این یک لگاریتم نیست و نه یک تانژانت. درک این توابع ممکن است دشوار باشد (البته اگر لگاریتم را دشوار می‌دانید، مبحث "لگاریتم" را بخوانید و خوب خواهید شد)، اما از نظر ریاضی، کلمه "پیچیده" به معنای "دشوار" نیست.

یک تسمه نقاله کوچک را تصور کنید: دو نفر نشسته اند و با برخی از اشیا کارهایی را انجام می دهند. به عنوان مثال، اولی یک تخته شکلات را در یک بسته بندی می پیچد و دومی آن را با یک روبان می بندد. نتیجه یک شی ترکیبی است: یک شکلات که با روبان بسته شده و بسته شده است. برای خوردن یک شکلات تخته ای، باید مراحل معکوس را به ترتیب معکوس انجام دهید.

بیایید یک خط لوله ریاضی مشابه ایجاد کنیم: ابتدا کسینوس یک عدد را پیدا می کنیم و سپس عدد حاصل را مربع می کنیم. بنابراین، یک عدد (شکلاتی) به ما داده می شود، من کسینوس آن را پیدا می کنم (لفاف بندی)، و سپس شما آنچه را که به دست آوردم مربع می کنید (آن را با یک روبان ببندید). چی شد؟ تابع. این مثالی از یک تابع پیچیده است: زمانی که برای یافتن مقدار آن، اولین عمل را مستقیماً با متغیر انجام می دهیم، و سپس یک عمل دوم را با آنچه که از اولی حاصل می شود، انجام می دهیم.

به عبارت دیگر، تابع پیچیده تابعی است که آرگومان آن تابع دیگری است: .

برای مثال ما، .

ما به راحتی می‌توانیم همان مراحل را به ترتیب معکوس انجام دهیم: ابتدا آن را مربع می‌کنید و من به دنبال کسینوس عدد حاصل می‌گردم: . به راحتی می توان حدس زد که نتیجه تقریباً همیشه متفاوت خواهد بود. یک ویژگی مهم توابع پیچیده: وقتی ترتیب اعمال تغییر می کند، تابع تغییر می کند.

مثال دوم: (همان چیز). .

عملی که آخرین بار انجام می دهیم نامیده می شود عملکرد "خارجی".، و عمل انجام شد - بر این اساس عملکرد "داخلی".(این اسامی غیر رسمی هستند، من از آنها فقط برای توضیح مطالب به زبان ساده استفاده می کنم).

سعی کنید خودتان تعیین کنید کدام تابع خارجی و کدام داخلی است:

پاسخ ها:جداسازی توابع داخلی و خارجی بسیار شبیه به تغییر متغیرها است: به عنوان مثال، در یک تابع

1. ابتدا چه اقدامی را انجام خواهیم داد؟ ابتدا بیایید سینوس را محاسبه کنیم و فقط آن را مکعب کنیم. این بدان معنی است که یک عملکرد داخلی است، اما یک عملکرد خارجی.
   و کارکرد اصلی ترکیب آنهاست: .
2. درونی؛ داخلی: ؛ خارجی: .
   معاینه: .
3. درونی؛ داخلی: ؛ خارجی: .
   معاینه: .
4. درونی؛ داخلی: ؛ خارجی: .
   معاینه: .
5. درونی؛ داخلی: ؛ خارجی: .
   معاینه: .

متغیرها را تغییر می دهیم و یک تابع می گیریم.

خوب، حالا شکلات‌مان را استخراج می‌کنیم و به دنبال مشتق آن می‌گردیم. روال همیشه برعکس است: ابتدا مشتق تابع بیرونی را جستجو می کنیم، سپس نتیجه را در مشتق تابع درونی ضرب می کنیم. در رابطه با نمونه اصلی، به این صورت است:

مثالی دیگر:

بنابراین، اجازه دهید در نهایت قانون رسمی را فرموله کنیم:

الگوریتم یافتن مشتق تابع مختلط:

ساده به نظر می رسد، درست است؟

بیایید با مثال ها بررسی کنیم:

راه حل ها:

1) داخلی:

خارجی: ;

2) داخلی:

(فقط سعی نکنید تا الان آن را قطع کنید! چیزی از زیر کسینوس بیرون نمی آید، یادتان هست؟)

3) داخلی:

خارجی: ;

بلافاصله مشخص می شود که این یک عملکرد پیچیده سه سطحی است: از این گذشته ، این به خودی خود یک عملکرد پیچیده است و ما ریشه را نیز از آن استخراج می کنیم ، یعنی عمل سوم را انجام می دهیم (شکلات را در یک بسته بندی قرار می دهیم. و با یک روبان در کیف). اما دلیلی برای ترس وجود ندارد: ما همچنان این عملکرد را به همان ترتیب معمول "باز کردن" خواهیم کرد: از پایان.

یعنی ابتدا ریشه و بعد کسینوس و فقط بعد عبارت داخل پرانتز را متمایز می کنیم. و سپس همه را ضرب می کنیم.

در چنین مواردی، شماره گذاری اقدامات راحت است. یعنی آنچه را که می دانیم تصور کنیم. به چه ترتیبی اقداماتی را برای محاسبه مقدار این عبارت انجام خواهیم داد؟ بیایید به یک مثال نگاه کنیم:

هرچه این عمل دیرتر انجام شود، عملکرد مربوطه "خارجی" تر خواهد بود. توالی اقدامات مانند قبل است:

در اینجا لانه سازی به طور کلی 4 سطح است. بیایید مسیر عمل را مشخص کنیم.

1. بیان رادیکال. .

2. ریشه. .

3. سینوس. .

4. مربع. .

5. کنار هم گذاشتن همه:

مشتق. به طور خلاصه در مورد چیزهای اصلی

مشتق از یک تابع- نسبت افزایش تابع به افزایش آرگومان برای افزایش بی نهایت کوچک آرگومان:

مشتقات پایه:

قوانین تمایز:

ثابت از علامت مشتق خارج می شود:

مشتق جمع:

مشتقات محصول:

مشتق ضریب:

مشتق تابع مختلط:

الگوریتم یافتن مشتق تابع مختلط:

1. ما تابع "داخلی" را تعریف کرده و مشتق آن را پیدا می کنیم.
2. ما تابع "خارجی" را تعریف می کنیم و مشتق آن را پیدا می کنیم.
3. نتایج نقطه اول و دوم را ضرب می کنیم.

اثبات و مشتق فرمول های مشتق نمایی (e به توان x) و تابع نمایی (a به توان x). نمونه هایی از محاسبه مشتقات e^2x، e^3x و e^nx. فرمول های مشتقات مرتبه بالاتر.

محتوا

همچنین ببینید: تابع نمایی - خواص، فرمول ها، نمودار
توان، e به توان x - خواص، فرمول ها، نمودار

فرمول های پایه

مشتق یک توان برابر با خود توان است (مشتق e به توان x برابر است با e به توان x):
(1) (e x )′ = e x.

مشتق تابع نمایی با پایه a برابر است با خود تابع ضرب در لگاریتم طبیعی a:
(2) .

نمایی تابع نمایی است که پایه آن برابر با عدد e است که حد زیر است:
.
در اینجا می تواند یک عدد طبیعی یا یک عدد واقعی باشد. سپس فرمول (1) را برای مشتق نمایی استخراج می کنیم.

استخراج فرمول مشتق نمایی

نمایی، e را به توان x در نظر بگیرید:
y = e x.
این تابع برای همه تعریف شده است. بیایید مشتق آن را با توجه به متغیر x پیدا کنیم. طبق تعریف، مشتق حد زیر است:
(3) .

بیایید این عبارت را تبدیل کنیم تا آن را به موارد شناخته شده تقلیل دهیم خواص ریاضیو قوانین برای انجام این کار به حقایق زیر نیاز داریم:
آ)ویژگی توان:
(4) ;
ب)ویژگی لگاریتم:
(5) ;
که در)پیوستگی لگاریتم و ویژگی حدود برای یک تابع پیوسته:
(6) .
در اینجا تابعی وجود دارد که دارای محدودیت است و این حد مثبت است.
ز)معنی دومین حد قابل توجه:
(7) .

بیایید این حقایق را تا حد خود اعمال کنیم (3). ما از اموال (4) استفاده می کنیم:
;
.

بیایید یک تعویض انجام دهیم. سپس ؛ .
با توجه به تداوم نمایی،
.
بنابراین، زمانی که، . در نتیجه دریافت می کنیم:
.

بیایید یک تعویض انجام دهیم. سپس . در , . و داریم:
.

بیایید خاصیت لگاریتم (5) را اعمال کنیم:
. سپس
.

اجازه دهید ویژگی (6) را اعمال کنیم. از آنجایی که یک حد مثبت وجود دارد و لگاریتم پیوسته است، پس:
.
در اینجا از دومی نیز استفاده کردیم حد قابل توجه(7). سپس
.

بنابراین، ما فرمول (1) را برای مشتق نمایی به دست آوردیم.

استخراج فرمول مشتق تابع نمایی

اکنون فرمول (2) را برای مشتق تابع نمایی با پایه درجه a استخراج می کنیم. ما معتقدیم که و . سپس تابع نمایی
(8)
برای همه تعریف شده است.

فرمول (8) را تبدیل می کنیم. برای این کار از ویژگی های تابع نمایی و لگاریتم استفاده می کنیم.
;
.
بنابراین، فرمول (8) را به شکل زیر تبدیل کردیم:
.

مشتقات مرتبه بالاتر e به توان x

حالا بیایید مشتقات مرتبه های بالاتر را پیدا کنیم. بیایید ابتدا به توان نگاه کنیم:
(14) .
(1) .

می بینیم که مشتق تابع (14) با خود تابع (14) برابر است. با تمایز (1)، مشتقات مرتبه دوم و سوم را به دست می آوریم:
;
.

این نشان می دهد که مشتق مرتبه n با تابع اصلی نیز برابر است:
.

مشتقات مرتبه بالاتر تابع نمایی

حالا یک تابع نمایی با پایه درجه a در نظر بگیرید:
.
مشتق مرتبه اول آن را پیدا کردیم:
(15) .

با تمایز (15)، مشتقات مرتبه دوم و سوم را به دست می آوریم:
;
.

می بینیم که هر تمایز منجر به ضرب تابع اصلی در می شود. بنابراین، مشتق مرتبه n به شکل زیر است:
.

همچنین ببینید:

اگر از تعریف پیروی کنید، مشتق یک تابع در یک نقطه حد نسبت افزایش تابع Δ است. yبه آرگومان افزایش Δ ایکس:

به نظر می رسد همه چیز روشن است. اما سعی کنید از این فرمول برای محاسبه مشتق تابع استفاده کنید f(ایکس) = ایکس 2 + (2ایکس+ 3) · ه ایکسگناه ایکس. اگر همه کارها را طبق تعریف انجام دهید، پس از چند صفحه محاسبات به سادگی می خوابید. بنابراین، راه های ساده تر و موثرتری وجود دارد.

برای شروع، ما توجه می کنیم که از کل توابع مختلف می توانیم به اصطلاح توابع ابتدایی را تشخیص دهیم. اینها عبارات نسبتاً ساده ای هستند که مشتقات آنها مدتهاست محاسبه و جدول بندی شده است. یادآوری چنین توابعی بسیار آسان است - همراه با مشتقات آنها.

مشتقات توابع ابتدایی

توابع ابتدایی همه آنهایی هستند که در زیر لیست شده اند. مشتقات این توابع را باید از روی قلب دانست. علاوه بر این ، به خاطر سپردن آنها اصلاً دشوار نیست - به همین دلیل آنها ابتدایی هستند.

بنابراین، مشتقات توابع ابتدایی:

نام	تابع	مشتق
ثابت	f(ایکس) = سی, سی ∈ آر	0 (بله، صفر!)
قدرت با توان منطقی	f(ایکس) = ایکس n	n · ایکس n − 1
سینوسی	f(ایکس) = گناه ایکس	cos ایکس
کسینوس	f(ایکس) = cos ایکس	-گناه ایکس(منهای سینوس)
مماس	f(ایکس) = tg ایکس	1/cos 2 ایکس
کوتانژانت	f(ایکس) = ctg ایکس	− 1/گناه 2 ایکس
لگاریتم طبیعی	f(ایکس) = ورود ایکس	1/ایکس
لگاریتم دلخواه	f(ایکس) = ورود آ ایکس	1/(ایکسلوگاریتم آ)
تابع نمایی	f(ایکس) = ه ایکس	ه ایکس(هیچ چیز تغییر نکرد)

اگر یک تابع ابتدایی در یک ثابت دلخواه ضرب شود، مشتق تابع جدید نیز به راحتی محاسبه می شود:

(سی · f)’ = سی · f ’.

به طور کلی، ثابت ها را می توان از علامت مشتق خارج کرد. مثلا:

(2ایکس 3)' = 2 · ( ایکس 3) = 2 3 ایکس 2 = 6ایکس 2 .

بدیهی است که توابع ابتدایی را می توان به یکدیگر اضافه کرد، ضرب کرد، تقسیم کرد - و موارد دیگر. به این ترتیب توابع جدید ظاهر می شوند، نه به ویژه ابتدایی، بلکه طبق قوانین خاصی متمایز می شوند. این قوانین در زیر مورد بحث قرار می گیرند.

مشتق جمع و تفاوت

اجازه دهید توابع داده شوند f(ایکس) و g(ایکس) که مشتقات آن برای ما معلوم است. به عنوان مثال، می توانید توابع ابتدایی مورد بحث در بالا را انتخاب کنید. سپس می توانید مشتق حاصل از مجموع و تفاضل این توابع را پیدا کنید:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

پس مشتق مجموع (تفاوت) دو تابع برابر با مجموع (تفاوت) مشتقات است. ممکن است شرایط بیشتری وجود داشته باشد. مثلا، ( f + g + ساعت)’ = f ’ + g ’ + ساعت ’.

به بیان دقیق، هیچ مفهومی از "تفریق" در جبر وجود ندارد. مفهوم "عنصر منفی" وجود دارد. بنابراین تفاوت f − gرا می توان به صورت جمع بازنویسی کرد f+ (-1) g، و سپس فقط یک فرمول باقی می ماند - مشتق جمع.

f(ایکس) = ایکس 2 + گناه x; g(ایکس) = ایکس 4 + 2ایکس 2 − 3.

تابع f(ایکس) مجموع دو تابع ابتدایی است، بنابراین:

f ’(ایکس) = (ایکس 2 + گناه ایکس)’ = (ایکس 2)’ + (گناه ایکس)’ = 2ایکس+ cos x;

ما به طور مشابه برای تابع استدلال می کنیم g(ایکس). فقط سه اصطلاح وجود دارد (از نظر جبر):

g ’(ایکس) = (ایکس 4 + 2ایکس 2 − 3)’ = (ایکس 4 + 2ایکس 2 + (−3))’ = (ایکس 4)’ + (2ایکس 2)’ + (−3)’ = 4ایکس 3 + 4ایکس + 0 = 4ایکس · ( ایکس 2 + 1).

پاسخ:
f ’(ایکس) = 2ایکس+ cos x;
g ’(ایکس) = 4ایکس · ( ایکس 2 + 1).

مشتق از محصول

ریاضیات یک علم منطقی است، بنابراین بسیاری از مردم معتقدند که اگر مشتق یک مجموع برابر با مجموع مشتقات باشد، پس مشتق حاصلضرب ضربه">برابر حاصلضرب مشتقات است. اما شما را خراب کنید! مشتق یک محصول با استفاده از یک فرمول کاملاً متفاوت محاسبه می شود. یعنی:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

فرمول ساده است، اما اغلب فراموش می شود. و نه تنها دانش آموزان، بلکه دانش آموزان نیز. نتیجه مشکلات حل نادرست است.

وظیفه. مشتقات توابع را پیدا کنید: f(ایکس) = ایکس 3 cos x; g(ایکس) = (ایکس 2 + 7ایکس− 7) · ه ایکس .

تابع f(ایکس) حاصل دو تابع ابتدایی است، بنابراین همه چیز ساده است:

f ’(ایکس) = (ایکس 3 cos ایکس)’ = (ایکس 3)” cos ایکس + ایکس 3 (Cos ایکس)’ = 3ایکس 2 cos ایکس + ایکس 3 (- گناه ایکس) = ایکس 2 (3cos ایکس − ایکسگناه ایکس)

تابع g(ایکس) ضریب اول کمی پیچیده تر است، اما طرح کلی تغییر نمی کند. بدیهی است که اولین عامل تابع g(ایکس) چند جمله ای است و مشتق آن مشتق جمع است. ما داریم:

g ’(ایکس) = ((ایکس 2 + 7ایکس− 7) · ه ایکس)’ = (ایکس 2 + 7ایکس− 7)» · ه ایکس + (ایکس 2 + 7ایکس− 7) · ( ه ایکس)’ = (2ایکس+ 7) · ه ایکس + (ایکس 2 + 7ایکس− 7) · ه ایکس = ه ایکس· (2 ایکس + 7 + ایکس 2 + 7ایکس −7) = (ایکس 2 + 9ایکس) · ه ایکس = ایکس(ایکس+ 9) · ه ایکس .

پاسخ:
f ’(ایکس) = ایکس 2 (3cos ایکس − ایکسگناه ایکس);
g ’(ایکس) = ایکس(ایکس+ 9) · ه ایکس .

لطفا توجه داشته باشید که در مرحله آخر مشتق فاکتور می شود. به طور رسمی، این کار نیازی به انجام ندارد، اما بیشتر مشتقات به تنهایی محاسبه نمی شوند، بلکه برای بررسی تابع محاسبه می شوند. این بدان معنی است که در ادامه مشتق برابر با صفر می شود، علائم آن مشخص می شود و غیره. برای چنین موردی بهتر است یک عبارت فاکتوریزه شود.

اگر دو عملکرد وجود دارد f(ایکس) و g(ایکس) و g(ایکس) ≠ 0 در مجموعه ای که به آن علاقه داریم، می توانیم یک تابع جدید تعریف کنیم ساعت(ایکس) = f(ایکس)/g(ایکس). برای چنین تابعی می توانید مشتق را نیز پیدا کنید:

ضعیف نیست، نه؟ منفی از کجا آمد؟ چرا g 2 و مثل این! این یکی از پیچیده ترین فرمول ها است - بدون بطری نمی توانید آن را بفهمید. بنابراین بهتر است با مثال های مشخص آن را مطالعه کنید.

وظیفه. مشتقات توابع را پیدا کنید:

صورت و مخرج هر کسر حاوی توابع ابتدایی است، بنابراین تنها چیزی که ما نیاز داریم فرمول مشتق ضریب است:

طبق سنت، بیایید شمارنده را فاکتورسازی کنیم - این پاسخ را بسیار ساده می کند:

یک تابع پیچیده لزوماً یک فرمول به طول نیم کیلومتر نیست. برای مثال کافی است تابع را بگیرید f(ایکس) = گناه ایکسو متغیر را جایگزین کنید ایکس، بگو ، در ایکس 2 + ln ایکس. نتیجه خواهد داد f(ایکس) = گناه ( ایکس 2 + ln ایکس) - این یک تابع پیچیده است. یک مشتق نیز دارد، اما یافتن آن با استفاده از قوانینی که در بالا توضیح داده شد ممکن نخواهد بود.

باید چکار کنم؟ در چنین مواردی، جایگزینی یک متغیر و فرمول برای مشتق یک تابع مختلط کمک می کند:

f ’(ایکس) = f ’(تی) · تی'، اگر ایکسجایگزین می شود تی(ایکس).

به عنوان یک قاعده، وضعیت درک این فرمول حتی غم انگیزتر از مشتق ضریب است. بنابراین بهتر است آن را نیز با مثال های مشخص، با توصیف همراه با جزئیاتهر قدم.

وظیفه. مشتقات توابع را پیدا کنید: f(ایکس) = ه 2ایکس + 3 ; g(ایکس) = گناه ( ایکس 2 + ln ایکس)

توجه داشته باشید که اگر در تابع f(ایکس) به جای عبارت 2 ایکس+ 3 آسان خواهد بود ایکس، سپس یک تابع ابتدایی دریافت می کنیم f(ایکس) = ه ایکس. بنابراین، ما یک جایگزین می کنیم: اجازه دهید 2 ایکس + 3 = تی, f(ایکس) = f(تی) = ه تی. ما مشتق یک تابع مختلط را با استفاده از فرمول جستجو می کنیم:

f ’(ایکس) = f ’(تی) · تی ’ = (ه تی)’ · تی ’ = ه تی · تی ’

و اکنون - توجه! ما جایگزینی معکوس را انجام می دهیم: تی = 2ایکس+ 3. دریافت می کنیم:

f ’(ایکس) = ه تی · تی ’ = ه 2ایکس+ 3 (2 ایکس + 3)’ = ه 2ایکس+ 3 2 = 2 ه 2ایکس + 3

حالا بیایید به تابع نگاه کنیم g(ایکس). بدیهی است که باید تعویض شود ایکس 2 + ln ایکس = تی. ما داریم:

g ’(ایکس) = g ’(تی) · تی= (گناه تی)’ · تی= cos تی · تی ’

تعویض معکوس: تی = ایکس 2 + ln ایکس. سپس:

g ’(ایکس) = cos ( ایکس 2 + ln ایکس) · ( ایکس 2 + ln ایکس)’ = cos ( ایکس 2 + ln ایکس) · (2 ایکس + 1/ایکس).

همین! همانطور که از عبارت آخر مشاهده می شود، کل مسئله به محاسبه مجموع مشتق تقلیل یافته است.

پاسخ:
f ’(ایکس) = 2 · ه 2ایکس + 3 ;
g ’(ایکس) = (2ایکس + 1/ایکس) cos ( ایکس 2 + ln ایکس).

اغلب در درس‌هایم، به‌جای اصطلاح «مشتق»، از کلمه «اول» استفاده می‌کنم. به عنوان مثال، ضربه از مجموع برابر است با مجموع ضربه. این واضح تر است؟ خوب، این خوب است.

بنابراین، محاسبه مشتق به خلاص شدن از شر همین سکته ها طبق قوانینی که در بالا توضیح داده شد، ختم می شود. به عنوان مثال آخر، اجازه دهید به توان مشتق با توان گویا برگردیم:

(ایکس n)’ = n · ایکس n − 1

تعداد کمی از مردم آن را در نقش می دانند nممکن است یک عدد کسری باشد. به عنوان مثال، ریشه است ایکس 0.5. اگر چیزی فانتزی زیر ریشه باشد چه؟ باز هم، نتیجه یک عملکرد پیچیده خواهد بود - آنها دوست دارند چنین ساختارهایی را به آنها بدهند تست هاو امتحانات

وظیفه. مشتق تابع را پیدا کنید:

ابتدا، بیایید ریشه را به عنوان یک توان با توان گویا بازنویسی کنیم:

f(ایکس) = (ایکس 2 + 8ایکس − 7) 0,5 .

حالا ما جایگزین می کنیم: اجازه دهید ایکس 2 + 8ایکس − 7 = تی. ما مشتق را با استفاده از فرمول پیدا می کنیم:

f ’(ایکس) = f ’(تی) · تی ’ = (تی 0.5) · تی' = 0.5 · تی−0.5 · تی ’.

بیایید جایگزینی معکوس را انجام دهیم: تی = ایکس 2 + 8ایکس− 7. داریم:

f ’(ایکس) = 0.5 · ( ایکس 2 + 8ایکس− 7) −0.5 · ( ایکس 2 + 8ایکس− 7) = 0.5 · (2 ایکس+ 8) ( ایکس 2 + 8ایکس − 7) −0,5 .

در نهایت، به ریشه ها بازگردیم: