چگونه اعداد را با پی در دایره اعداد نشان دهیم؟ درس "تعریف سینوس و کسینوس روی دایره واحد" خلاصه و فرمول های اساسی.

درس و ارائه با موضوع: "دایره اعداد در صفحه مختصات"

مواد اضافی
کاربران گرامی، فراموش نکنید که نظرات، نظرات، خواسته های خود را بنویسید! تمام مواد توسط یک برنامه ضد ویروس بررسی شده است.

دستورالعمل ها و شبیه سازها در فروشگاه آنلاین Integral برای درجه 10 از 1C
مسائل جبری با پارامترها، نمرات 9-11
ما مسائل هندسه را حل می کنیم. وظایف ساخت و ساز تعاملی برای کلاس های 7-10

آنچه ما مطالعه خواهیم کرد:
1. تعریف.
2. مختصات مهم دایره اعداد.
3. چگونه مختصات دایره عددی را پیدا کنیم؟
4. جدول مختصات اصلی دایره اعداد.
5. نمونه هایی از حل مسئله.

تعریف دایره عددی در صفحه مختصات

بیایید دایره عددی را در صفحه مختصات قرار دهیم تا مرکز دایره با مبدا مختصات منطبق باشد و شعاع آن را به عنوان یک پاره واحد در نظر بگیریم. نقطه شروع دایره عددی A با نقطه (1;0) تراز شده است.

هر نقطه روی دایره اعداد مختصات x و y خود را در صفحه مختصات دارد و:
1) برای $x > 0$، $y > 0$ - در سه ماهه اول.
2) برای $ x 0 $ - در سه ماهه دوم؛
3) برای $x 4) برای $x > 0$، $y
برای هر نقطه $M(x; y)$ روی دایره عددی، نابرابری های زیر برآورده می شوند: $-1
معادله دایره عددی را به خاطر بسپارید: $x^2 + y^2 = 1$.

برای ما مهم است که یاد بگیریم که چگونه مختصات نقاط روی دایره عددی ارائه شده در شکل را پیدا کنیم.

مختصات نقطه $\frac(π)(4)$ را پیدا می کنیم

نقطه $M(\frac(π)(4))$ وسط سه ماهه اول است. اجازه دهید MR عمود بر نقطه M را به خط مستقیم OA رها کنیم و مثلث OMP را در نظر بگیریم.از آنجایی که کمان AM نصف کمان AB است، پس $∠MOP=45°$ است.
بنابراین مثلث OMP متساوی الساقین است راست گوشهو $OP=MP$، یعنی. در نقطه M ابسیسا و مختصات برابر هستند: $x = y$.
از آنجایی که مختصات نقطه $M(x;y)$ معادله دایره عددی را برآورده می کند، برای یافتن آنها باید سیستم معادلات را حل کنید:
$\شروع (موارد) x^2 + y^2 = 1، \\ x = y. \پایان (موارد)$
پس از حل این سیستم، به دست می آوریم: $y = x =\frac(\sqrt(2))(2)$.
این بدان معناست که مختصات نقطه M مربوط به عدد $\frac(π)(4)$ خواهد بود $M(\frac(π)(4))=M(\frac(\sqrt(2))( 2);\frac (\sqrt(2))(2))$.
مختصات نقاط ارائه شده در شکل قبل نیز به روشی مشابه محاسبه شده است.

مختصات نقاط روی دایره اعداد

بیایید به نمونه هایی نگاه کنیم

مثال 1.
مختصات یک نقطه را در دایره عددی پیدا کنید: $P(45\frac(π)(4))$.

راه حل:
$45\frac(π)(4) = (10 + \frac(5)(4)) * π = 10π +5\frac(π)(4) = 5\frac(π)(4) + 2π*5 $.
این به این معنی است که عدد $45\frac(π)(4)$ با همان نقطه روی دایره عددی مطابق با عدد $\frac(5π)(4)$ است. با نگاه کردن به مقدار نقطه $\frac(5π)(4)$ در جدول، دریافت می کنیم: $P(\frac(45π)(4))=P(-\frac(\sqrt(2))( 2);-\frac (\sqrt(2))(2))$.

مثال 2.
مختصات یک نقطه را روی دایره عددی پیدا کنید: $P(-\frac(37π)(3))$.

راه حل:

زیرا اعداد $t$ و $t+2π*k$، که در آن k یک عدد صحیح است، با همان نقطه در دایره عددی مطابقت دارند و سپس:
$-\frac(37π)(3) = -(12 + \frac(1)(3))*π = -12π –\frac(π)(3) = -\frac(π)(3) + 2π *(-6) دلار.
این بدان معنی است که عدد $-\frac(37π)(3)$ با همان نقطه دایره عددی مطابق با عدد $–\frac(π)(3)$ و عدد –$\frac(π) است. (3)$ مطابق با نقطه $\frac(5π)(3)$ است. با نگاه کردن به مقدار نقطه $\frac(5π)(3)$ در جدول، دریافت می کنیم:
$P(-\frac(37π)(3))=P(\frac((1))(2);-\frac(\sqrt(3))(2))$.

مثال 3.
نقاطی را روی دایره عددی با مختص $y =\frac(1)(2)$ بیابید و بنویسید که با چه اعداد $t$ مطابقت دارند؟

راه حل:
خط مستقیم $y =\frac(1)(2)$ دایره عددی را در نقاط M و P قطع می کند. نقطه M مربوط به عدد $\frac(π)(6)$ (از داده های جدول) است. این به معنای هر تعداد از فرم است: $\frac(π)(6)+2π*k$. نقطه P مربوط به عدد $\frac(5π)(6)$، و بنابراین به هر عددی از شکل $\frac(5π)(6) +2 π*k$ است.
همانطور که اغلب در چنین مواردی گفته می شود، دو سری مقدار دریافت کردیم:
$\frac(π)(6) +2 π*k$ و $\frac(5π)(6) +2π*k$.
پاسخ: $t=\frac(π)(6) +2 π*k$ و $t=\frac(5π)(6) +2π*k$.

مثال 4.
نقاط دایره اعداد را با آبسیسا $x≥-\frac(\sqrt(2))(2)$ پیدا کنید و بنویسید که با کدام اعداد $t$ مطابقت دارد.

راه حل:

خط مستقیم $x =-\frac(\sqrt(2))(2)$ دایره عددی را در نقاط M و P قطع می کند. نابرابری $x≥-\frac(\sqrt(2))(2)$ مطابقت دارد به نقاط قوس PM. نقطه M مربوط به عدد $3\frac(π)(4)$ (از داده های جدول) است. این به معنای هر عددی از فرم $-\frac(3π)(4) +2π*k$ است. نقطه P مربوط به عدد $-\frac(3π)(4)$ و در نتیجه به هر عددی از شکل $-\frac(3π)(4) +2π*k$ است.

سپس $-\frac(3π)(4) +2 π*k ≤t≤\frac(3π)(4) +2πk$ را دریافت می کنیم.

پاسخ: $-\frac(3π)(4) +2 π*k ≤t≤\frac(3π)(4) +2πk$.

مشکلاتی که باید به طور مستقل حل شوند

1) مختصات یک نقطه را در دایره عددی پیدا کنید: $P(\frac(61π)(6))$.
2) مختصات یک نقطه را در دایره عددی پیدا کنید: $P(-\frac(52π)(3))$.
3) نقاط دایره عددی را با مختص $y = -\frac(1)(2)$ پیدا کنید و بنویسید که با کدام اعداد $t$ مطابقت دارد.
4) نقاط دایره عددی را با مختص $y ≥ -\frac(1)(2)$ پیدا کنید و بنویسید که با کدام اعداد $t$ مطابقت دارند.
5) نقاط دایره اعداد را با ابسیسا $x≥-\frac(\sqrt(3))(2)$ پیدا کنید و بنویسید که با کدام اعداد $t$ مطابقت دارد.

هنگام مطالعه مثلثات در مدرسه، هر دانش آموزی با مفهوم بسیار جالب "دایره اعداد" روبرو می شود. اینکه دانش‌آموز بعداً چگونه مثلثات را خوب یاد می‌گیرد، به توانایی معلم مدرسه در توضیح اینکه چیست و چرا به آن نیاز است بستگی دارد. متأسفانه، هر معلمی نمی تواند این مطالب را به وضوح توضیح دهد. در نتیجه، بسیاری از دانش آموزان حتی در مورد نحوه علامت گذاری نیز سردرگم می شوند نقاط روی دایره اعداد. اگر این مقاله را تا انتها بخوانید، یاد خواهید گرفت که چگونه این کار را بدون هیچ مشکلی انجام دهید.

پس بیایید شروع کنیم. یک دایره رسم می کنیم که شعاع آن 1 است. بیایید "راست ترین" نقطه این دایره را با حرف نشان دهیم. O:

تبریک می گویم، شما به تازگی یک دایره واحد رسم کرده اید. از آنجایی که شعاع این دایره 1 است، طول آن برابر است.

به هر عدد واقعیمی توانید طول مسیر را در امتداد دایره عددی از نقطه مطابقت دهید O. جهت حرکت در خلاف جهت عقربه های ساعت به عنوان یک جهت مثبت در نظر گرفته می شود. برای منفی - در جهت عقربه های ساعت:

محل نقاط روی دایره اعداد

همانطور که قبلاً اشاره کردیم، طول دایره عددی (دایره واحد) برابر است. پس این عدد در کجای این دایره قرار خواهد گرفت؟ بدیهی است، از نقطه نظر Oدر خلاف جهت عقربه های ساعت باید نصف طول دایره را طی کنیم و خود را در نقطه مورد نظر خواهیم یافت. بیایید آن را با حرف نشان دهیم ب:

توجه داشته باشید که با راه رفتن یک نیم دایره در جهت منفی می توان به همان نقطه رسید. سپس عدد را روی دایره واحد رسم می کنیم. یعنی اعداد با یک نقطه مطابقت دارند.

علاوه بر این، همین نقطه نیز با اعداد،،،، و، به طور کلی، به مجموعه نامتناهی از اعداد که می توانند به شکل نوشته شوند، مطابقت دارد، جایی که، یعنی به مجموعه اعداد صحیح تعلق دارد. همه اینها از نقطه نظر بشما می توانید یک سفر "دور دنیا" را در هر جهتی انجام دهید (محیط را اضافه یا کم کنید) و به همان نقطه برسید. ما به یک نتیجه مهم می رسیم که باید درک شود و به خاطر بسپاریم.

هر عدد مربوط به یک نقطه از دایره اعداد است. اما هر نقطه از دایره اعداد مربوط به بی نهایت عدد است.

حال اجازه دهید نیم دایره بالایی دایره عددی را با یک نقطه به کمان هایی با طول مساوی تقسیم کنیم سی. به راحتی می توان طول قوس را دید O.C.مساوی با . اکنون از اصل موضوع به تعویق بیفتیم سییک قوس به همان طول در خلاف جهت عقربه های ساعت. در نتیجه به اصل مطلب خواهیم رسید ب. نتیجه کاملاً قابل انتظار است، زیرا . بیایید دوباره این قوس را در همان جهت قرار دهیم، اما اکنون از نقطه ب. در نتیجه به اصل مطلب خواهیم رسید D، که قبلاً با شماره مطابقت دارد:

باز هم توجه داشته باشید که این نقطه نه تنها با عدد، بلکه به عنوان مثال با عدد مطابقت دارد، زیرا با دور شدن از نقطه می توان به این نقطه رسید. Oربع دایره در جهت عقربه های ساعت (جهت منفی).

و به طور کلی، مجدداً متذکر می شویم که این نقطه با تعداد بی نهایت زیادی مطابقت دارد که می توان آنها را به شکل نوشت . اما می توان آنها را به شکل نیز نوشت. یا اگر ترجیح می دهید به شکل . همه این رکوردها کاملاً معادل هستند و می توان آنها را از یکدیگر به دست آورد.

اجازه دهید اکنون قوس را به تقسیم کنیم O.C.نیم نقطه م. حالا بفهمید طول قوس چقدر است OM? درست است، نیمی از قوس O.C.. به این معنا که . نقطه مربوط به چه اعدادی است؟ مروی دایره اعداد؟ من مطمئن هستم که اکنون متوجه خواهید شد که این اعداد را می توان به صورت .

اما می توان آن را متفاوت انجام داد. بگیریم. سپس ما آن را دریافت می کنیم . یعنی این اعداد را می توان در قالب نوشت . همین نتیجه را می توان با استفاده از دایره اعداد به دست آورد. همانطور که قبلاً گفتم، هر دو رکورد معادل هستند و می توان آنها را از یکدیگر دریافت کرد.

حالا می توانید به راحتی از اعدادی که نقاط مطابقت دارند مثال بزنید ن, پو کروی دایره اعداد به عنوان مثال، اعداد، و:

اغلب این حداقل اعداد مثبت هستند که برای تعیین نقاط مربوطه در دایره اعداد گرفته می شوند. اگرچه این به هیچ وجه ضروری نیست، اما نقطه نهمانطور که می دانید، با تعداد نامحدودی از اعداد دیگر مطابقت دارد. از جمله به عنوان مثال، شماره.

اگر قوس را بشکنید O.C.به سه قوس مساوی با نقاط اسو L، بنابراین نکته اینجاست اسبین نقاط قرار خواهد گرفت Oو L، سپس طول قوس سیستم عاملبرابر خواهد بود و طول قوس OLبرابر خواهد بود با . با استفاده از دانشی که در قسمت قبلی درس به دست آورده اید، می توانید به راحتی بفهمید که نقاط باقی مانده در دایره اعداد چگونه به دست آمده است:

اعدادی که مضربی از π در دایره اعداد نیستند

اکنون این سوال را از خود بپرسیم: کجای خط اعداد باید نقطه مربوط به عدد 1 را علامت گذاری کنیم؟ برای انجام این کار، باید از "درست" ترین نقطه دایره واحد شروع کنید Oکمانی را رسم کنید که طول آن برابر با 1 باشد. ما فقط می توانیم به طور تقریبی مکان نقطه مورد نظر را نشان دهیم. به صورت زیر عمل می کنیم.

امیدوارم قبلاً در مورد دایره اعداد خوانده باشید و بدانید که چرا به آن دایره عددی می گویند، مبدا مختصات در آن کجاست و جهت مثبت کدام طرف است. اگر نه، پس فرار کنید! البته، مگر اینکه بخواهید نقاطی را روی دایره اعداد پیدا کنید.

اعداد \(2π\)، \(π\)، \(\frac(π)(2)\)، \(-\frac(π)(2)\)، \(\frac(3π) را نشان می‌دهیم. (2)\)

همانطور که از مقاله قبل می دانید، شعاع دایره اعداد \(1\) است. این بدان معنی است که محیط برابر با \(2π\) است (با استفاده از فرمول \(l=2πR\) محاسبه می شود). با در نظر گرفتن این موضوع، \(2π\) را روی دایره اعداد علامت گذاری می کنیم. برای علامت گذاری این عدد باید از \(0\) در امتداد دایره عددی به فاصله ای برابر با \(2π\) در جهت مثبت برویم و چون طول دایره \(2π\ است) می چرخد. که ما انجام خواهیم داد نوبت کامل. یعنی عدد \(2π\) و \(0\) مربوط به یک نقطه است. نگران نباشید، چندین مقدار برای یک نقطه برای یک دایره اعداد طبیعی است.

حالا بیایید عدد \(π\) را روی دایره اعداد مشخص کنیم. \(π\) نصف \(2π\) است. بنابراین، برای علامت گذاری این عدد و نقطه مربوطه، باید نیم دایره را از \(0\) در جهت مثبت طی کنید.

بیایید نقطه \(\frac(π)(2)\) را علامت گذاری کنیم. \(\frac(π)(2)\) نصف \(π\ است) بنابراین برای علامت گذاری این عدد باید از \(0\) در جهت مثبت فاصله ای برابر با نصف \( π\)، که یک چهارم دایره است.

اجازه دهید نقاط روی دایره \(-\)\(\frac(π)(2)\) را نشان دهیم. ما به همان فاصله دفعه قبل حرکت می کنیم، اما در جهت منفی.

بیایید \(-π\) را قرار دهیم. برای این کار مسافتی معادل نیم دایره را در جهت منفی طی می کنیم.

حالا بیایید به یک مثال پیچیده تر نگاه کنیم. بیایید عدد \(\frac(3π)(2)\) را روی دایره علامت گذاری کنیم. برای این کار، کسر \(\frac(3)(2)\) را به \(\frac(3)(2)\) \(=1\)\(\frac(1)(2)\ ترجمه می کنیم. ) ، یعنی e. \(\frac(3π)(2)\) \(=π+\)\(\frac(π)(2)\) . این بدان معنی است که شما باید از \(0\) در جهت مثبت به فاصله نیم دایره و یک چهارم دیگر بروید.

تمرین 1. نقاط \(-2π\),\(-\)\(\frac(3π)(2)\) را روی دایره اعداد علامت بزنید.

اعداد \(\frac(π)(4)\)، \(\frac(π)(3)\)، \(\frac(π)(6)\) را نشان می‌دهیم.

در بالا مقادیری را در نقاط تقاطع دایره عددی با محورهای \(x\) و \(y\) پیدا کردیم. حال بیایید موقعیت نقاط میانی را مشخص کنیم. ابتدا نقاط \(\frac(π)(4)\) , \(\frac(π)(3)\) و \(\frac(π)(6)\) را رسم می کنیم.
\(\frac(π)(4)\) نصف \(\frac(π)(2)\) است (یعنی \(\frac(π)(4)\) \(=\)\ ( \frac(π)(2)\) \(:2)\) ، بنابراین فاصله \(\frac(π)(4)\) نصف یک چهارم دایره است.

\(\frac(π)(4)\) یک سوم \(π\) است (به عبارت دیگر \(\frac(π)(3)\) \(=π:3\))، بنابراین فاصله \ (\frac(π)(3)\) یک سوم نیم دایره است.

\(\frac(π)(6)\) نصف \(\frac(π)(3)\) است (پس از همه، \(\frac(π)(6)\) \(=\)\( \frac (π)(3)\) \(:2\)) بنابراین فاصله \(\frac(π)(6)\) نیمی از فاصله \(\frac(π)(3)\) است.

این نحوه قرارگیری آنها نسبت به یکدیگر است:

اظهار نظر:مکان نقاط با مقدار \(0\), \(\frac(π)(2)\) ,\(π\), \(\frac(3π)(2)\) , \(\frac(π) (4)\) , \(\frac(π)(3)\) , \(\frac(π)(6)\) بهتر است فقط به خاطر بسپارید. بدون آنها، دایره اعداد، مانند یک رایانه بدون مانیتور، به نظر یک چیز مفید است، اما استفاده از آن بسیار ناخوشایند است.

فواصل مختلف روی دایره به وضوح نشان داده شده است:

اعداد \(\frac(7π)(6)\)، \(-\frac(4π)(3)\)، \(\frac(7π)(4)\) را نشان می‌دهیم.

اجازه دهید نقطه روی دایره \(\frac(7π)(6)\) را نشان دهیم، برای این کار تبدیل های زیر را انجام می دهیم: \(\frac(7π)(6)\) \(=\)\(\ frac(6π + π)( 6)\) \(=\)\(\frac(6π)(6)\) \(+\)\(\frac(π)(6)\) \(=π+ \)\(\frac( π)(6)\) . از اینجا می توانیم ببینیم که از صفر در جهت مثبت باید یک مسافت \(π\) و سپس \(\frac(π)(6)\) دیگر را طی کنیم.

نقطه \(-\)\(\frac(4π)(3)\) را روی دایره علامت بزنید. تبدیل: \(-\)\(\frac(4π)(3)\) \(=-\)\(\frac(3π)(3)\) \(-\)\(\frac(π)( 3)\) \(=-π-\)\(\frac(π)(3)\) . این بدان معنی است که از \(0\) باید در جهت منفی فاصله \(π\) و همچنین \(\frac(π)(3)\) بروید.

بیایید نقطه \(\frac(7π)(4)\) را رسم کنیم، برای انجام این کار، \(\frac(7π)(4)\) \(=\)\(\frac(8π-π)(4) را تبدیل می کنیم. )\) \ (=\)\(\frac(8π)(4)\) \(-\)\(\frac(π)(4)\) \(=2π-\)\(\frac(π )(4) \) . این بدان معناست که برای قرار دادن یک نقطه با مقدار \(\frac(7π)(4)\)، باید از نقطه با مقدار \(2π\) به سمت منفی در فاصله \(\ بروید. frac(π)(4)\) .

وظیفه 2. نقاط \(-\)\(\frac(π)(6)\) ,\(-\)\(\frac(π)(4)\) ,\(-\)\(\frac) را علامت گذاری کنید دایره عددی (π)(3)\) ,\(\frac(5π)(4)\) ,\(-\)\(\frac(7π)(6)\) ,\(\frac(11π) (6) \) , \(\frac(2π)(3)\) ,\(-\)\(\frac(3π)(4)\) .

اعداد \(10π\), \(-3π\), \(\frac(7π)(2)\) ,\(\frac(16π)(3)\), \(-\frac(21π) را نشان می دهیم )( 2)\)، \(-\frac(29π)(6)\)

اجازه دهید \(10π\) را به شکل \(5 \cdot 2π\) بنویسیم. به یاد بیاورید که \(2π\) فاصله است برابر طولدایره ها، بنابراین برای علامت گذاری نقطه \(10π\)، باید از صفر به فاصله ای برابر با \(5\) دایره بروید. حدس زدن اینکه دوباره خود را در نقطه \(0\" خواهیم یافت دشوار نیست، فقط پنج انقلاب انجام دهید.

از این مثال می توان نتیجه گرفت:

اعداد با اختلاف \(2πn\)، که در آن \(n∈Z\) (یعنی \(n\) هر عدد صحیحی است) با یک نقطه مطابقت دارد.

یعنی برای قرار دادن عددی با مقدار بیشتر از \(2π\) (یا کمتر از \(-2π\))، باید یک عدد زوج \(π\) (\(2π\) را از آن استخراج کنید. \(8π\)، \(-10π\)…) و دور بریزید. بنابراین، "انقلاب های خالی" را از اعدادی که بر موقعیت نقطه تأثیر نمی گذارند حذف می کنیم.

نتیجه گیری دیگر:

نقطه ای که \(0\) با آن مطابقت دارد نیز با تمام مقادیر زوج \(π\) (\(±2π\),\(±4π\),\(±6π\)…) مطابقت دارد.

حالا بیایید \(-3π\) را به دایره اعمال کنیم. \(-3π=-π-2π\)، به این معنی که \(-3π\) و \(–π\) در یک مکان روی دایره هستند (زیرا با یک "چرخش خالی" در \(-2π) تفاوت دارند. \)).

به هر حال، همه عجیب و غریب \(π\) نیز وجود خواهد داشت.

نقطه ای که \(π\) با آن مطابقت دارد نیز با تمام کمیت های فرد \(π\) (\(±π\),\(±3π\),\(±5π\)…) مطابقت دارد.

حالا بیایید عدد \(\frac(7π)(2)\) را نشان دهیم. طبق معمول، ما تبدیل می کنیم: \(\frac(7π)(2)\) \(=\)\(\frac(6π)(2)\) \(+\)\(\frac(π)(2) \ ) \(=3π+\)\(\frac(π)(2)\) \(=2π+π+\)\(\frac(π)(2)\) . دو عدد پی را کنار می گذاریم و معلوم می شود که برای تعیین عدد \(\frac(7π)(2)\) باید از صفر در جهت مثبت به فاصله ای برابر با \(π+\)\(\ بروید. frac(π)(2)\ ) (یعنی نیم دایره و یک چهارم دیگر).

دانش‌آموزان دبیرستانی هرگز نمی‌دانند چه زمانی ممکن است با درس‌های خود مشکل پیدا کنند. هر موضوعی که در مدرسه مطالعه شود، از زبان روسی گرفته تا ایمنی زندگی، می تواند مشکلاتی ایجاد کند. یکی از رشته های دانشگاهیموضوعی که مرتباً دانش آموزان را عرق می کند جبر است. علم جبری از کلاس هفتم شروع به ایجاد رعب و وحشت در ذهن کودکان می کند و در سال دهم و یازدهم تحصیل نیز به این کار ادامه می دهد. نوجوانان می توانند با استفاده از ابزارهای مختلف زندگی خود را آسان تر کنند، که همیشه شامل حل کننده ها می شود.

مجموعه GDZ برای کلاس های 10-11 در جبر (Sh.A. Alimov، Yu.M. Kolyagin، M.V. Tkacheva)افزودنی عالی برای کتاب اصلی است. از طریق اطلاعات مرجعدانش آموز برای حل هر تمرینی آماده است. تکالیف شامل تجزیه و تحلیل موضوعات زیر است:

• توابع و معادلات مثلثاتی;
• لگاریتم ها
• درجه.

پاسخ ها و نظرات ارائه شده دارای نکات لازم نویسنده است که قطعا به کودک کمک خواهد کرد.

چرا به حل کننده نیاز دارید؟

این نشریه به همه دانش‌آموزان این فرصت را می‌دهد تا به طور مستقل روی مطالب کار کنند و در صورت سوء تفاهم یا از دست دادن موضوعی، خودشان بدون افت کیفیت از آن عبور کنند. همچنین، داده های مرجع به شما امکان می دهد به طور موثر برای مستقل و آینده آماده شوید تست ها. کنجکاوترین دانش آموزان می توانند دنبال کنند برنامه تحصیلیرو به جلو که در آینده تاثیر مثبتی بر جذب دانش و افزایش میانگین نمره خواهد داشت.

علاوه بر کلاس دهم و یازدهم کتابچه راهنمای علیموف در مورد جبر برای کلاس های 10-11والدین و معلمان به راحتی می توانند از آن استفاده کنند: برای اولی به ابزاری برای نظارت بر دانش کودک تبدیل می شود و برای دومی مبنایی برای توسعه مطالب و مطالب خود می شود. وظایف تستبرای فعالیت های کلاسی

نحوه سازماندهی مجموعه

منبع به طور کامل از ساختار کتاب درسی پیروی می کند. در داخل، کاربر این فرصت را دارد که پاسخ های 1624 تمرین و همچنین وظایف بخش "خودت را آزمایش کن" که به سیزده فصل تقسیم شده است را مشاهده کند. کلیدها 24 ساعت شبانه روز در دسترس هستند، شماره را می توان از طریق قسمت جستجو یا از طریق ناوبری راحت پیدا کرد.

5. توابع مثلثاتی هر استدلال

§ 20. دایره واحد

948. رابطه بین طول قوس یک واحد دایره و اندازه رادیان آن چیست؟

949. روی دایره واحد، نقاط مربوط به اعداد را بسازید: 0; 1 2 3; 4; 5 .... آیا هر یک از این نکات می تواند منطبق باشد؟ چرا؟

950. اعداد با فرمول α = 1/2 داده می شوند ک، جایی که ک= 0; ± 1; ± 2; ....
نقاطی را روی خط اعداد و دایره واحد بسازید که با این اعداد مطابقت دارند. چند نقطه از این قبیل روی خط عددی و چند نقطه روی دایره واحد وجود خواهد داشت؟

951. نقاطی را روی دایره واحد و محور اعداد که با اعداد مطابقت دارند علامت بزنید:
1) α = π ک, ک= 0; ± 1، ± 2، ...;
2) α = π / 2 (2ک + 1), ک= 0; ± 1; ± 2; ...;
3) α = π ک / 6 , ک= 0; ± 1; ± 2; ....
چند نقطه از این قبیل روی خط عددی و چند نقطه روی دایره واحد وجود دارد؟

952. نقاط مربوط به اعداد در محور اعداد و روی دایره واحد چگونه است:
1) آو - آ; 2) آو آ±π; 3) آ+ π و آ- π; 4) آو آ+ 2π ک, ک= 0; ± 1; ± 2; ...؟

953. تفاوت اساسی بین نمایش اعداد توسط نقاط روی محور اعداد و نمایش آنها توسط نقاط روی دایره واحد چیست؟

954. 1) کوچکترین اعداد غیر منفی مربوط به نقاط تقاطع دایره واحد را بیابید: الف) با محورهای مختصات. ب) با نیمسازهای زوایای مختصات.

2) در هر مورد بنویسید فرمول کلیاعداد مربوط به نقاط مشخص شده دایره واحد.

955. با دانستن اینکه آیکی از اعداد مربوط به یک نقطه داده شده در دایره واحد است، پیدا کنید:
1) تمام اعداد مربوط به یک نقطه داده شده؛
2) تمام اعداد مربوط به نقطه ای از دایره واحد متقارن با نقطه داده شده:
الف) نسبت به محور x؛ ب) نسبت به محور ترتیبی؛ ج) نسبت به مبدا.
با پذیرش مشکل را حل کنید آ = 0; π / 2 ; 1 ; 2 ; π / 6; - π / 4 .

956. شرطی را پیدا کنید که اعداد آن را برآورده می کنند آ، متناظر:
1) نقاط ربع اول دایره واحد؛
2) نقاط ربع دوم دایره واحد؛
3) نقاط ربع سوم دایره واحد؛
4) نقاط ربع چهارم دایره واحد.

957. راس A یک هشت ضلعی منظم ABCDEFKL که در یک دایره واحد حک شده است دارای مختصات (1؛ 0) است (شکل 39).

1) مختصات رئوس باقیمانده هشت ضلعی را تعیین کنید.
2) یک فرمول کلی برای کمان های انتهای دایره واحد ایجاد کنید:
الف) در نقاط A، C، E و K؛ ب) در نقاط B، D، F و L. ج) در نقاط A، B، C، D، E، F، K و L.

958. 1) نقطه ای روی دایره واحد بسازید که مختصات آن 0.5 است. چند نقطه روی دایره واحد دارای یک مختصات معین است؟ این نقاط نسبت به محور ارتین چگونه قرار دارند؟

2) با نقاله (با دقت 1 درجه) کوچکترین کمان را به مقدار مطلق که انتهای آن دارای ارتداب 0.5 است اندازه گیری کنید و یک فرمول کلی برای کمان های دایره واحد که به نقاطی ختم می شوند رسم کنید. 0.5.

959. حل مسئله 958 با گرفتن ترتیب درمساوی با:

1) - 0,5; 2) 0 4; 3) 0,5√3 .

960. 1) روی دایره واحدی که آبسیس آن 0.5 است، نقطه بسازید. چند نقطه روی دایره واحد دارای یک آبسیسا است؟ این نقاط نسبت به محور x چگونه قرار دارند؟

2) کوچکترین کمان مثبت را که انتهای آن دارای ابسیسا برابر با 0.5 است با نقاله اندازه گیری کنید (با دقت 1 درجه) و یک فرمول کلی برای کمان های دایره واحدی که به نقاطی با ابسیسا 0.5 ختم می شوند رسم کنید.

961. حل مشکل 960، گرفتن آبسیسا ایکسمساوی با:

1) - 2 / 3 ; 2) 0,4; 3) 0,5√2 .

962. مختصات انتهای کمان های دایره واحد را با فرمول ( ک= 0; ± 1; ± 2; ...):

1) α = 30 درجه (2 ک+ 1)؛ 2) α = π ک / 3 .

963. مجموعه زوایا زیر را بیان کنید ( ک= 0; ± 1; ± 2; ...):

1) α 1 = 180 درجه ک+ 120 درجه و α 2 = 180 درجه ک+ 30 درجه؛

2) α 1 = π ک + π / 6 و α 2 = π ک - π / 3 ;

3) α 1 = 90 درجه کو α 2 = 45 درجه (2 ک + 1);

4) α 1 = π کو α 2 = π / 3 (3ک± 1)؛

5) α 1 = 120 درجه ک± 15 درجه و α 2 = 120 درجه ک± 45 درجه؛

6) α 1 = π ک; α2 = 2π ک ± π / 3 و α 3 = 2 لیتر ک± 2π / 3 ;

7) α 1 = 180 درجه ک+ 140 درجه؛ α 2 = 180 درجه ک+ 80 درجه و α 3 = 180 درجه ک+ 20 درجه؛

8) α 1 = 180 درجه ک + (-1)ک 60 درجه و α 2 = 180 درجه ک - (-1)ک 60 درجه

964. زوایای تکراری را در فرمول های زیر حذف کنید ( ک= 0-±1; ± 2; ...):

1) α 1 = 90 درجه کو α 2 = 60 درجه ک+ 30 درجه؛

2) α 1 = π ک / 2 و α 2 = π ک / 5 ;

3) α 1 = 1 / 4 π کو α2 = 1/2 π ک± 1/4 π.

4) α 1 = π (2 ک+ 1) - π / 6 و α2 = 2/5 π ک+ 1 / 30 π.

5) α 1 = 72 درجه ک+ 36 درجه و α 2 = 120 درجه ک+ 60 درجه