تاریخچه کسرهای معمولی. پروژه "از تاریخ کسری" کار علمی حقایق جالب در مورد کسرهای تناوبی

ایشچنکو الکساندرا

یکی از ارائه‌های دانش‌آموزان کلاس ششم به عنوان بخشی از پروژه "از تاریخچه کسرها". در حین فعالیت های تحقیقاتیدانش‌آموزان باید به این سؤال پاسخ می‌دادند: آیا کسری رایج اختراع ریاضیدانان است یا مفهومی از آن فعالیت های عملیشخص دانش آموزان ضمن مطالعه تاریخچه پیدایش کسرها در کشورهای مختلف و در دوره های مختلف تاریخی به این سوال پاسخ می دهند. ارائه شامل حقایق جالبو عکس هایی از کتاب های ریاضی عتیقه ارائه شده است. این ارائه را می توان در درس هایی با موضوع "کسری" برای ایجاد علاقه به موضوع مورد استفاده قرار داد.

دانلود:

شرح اسلاید:

از زمان های قدیم، مردم مجبور بوده اند نه تنها اشیاء را بشمارند،

که به اعداد طبیعی و همچنین برای اندازه گیری طول، زمان، مساحت نیاز داشت. نتیجه اندازه گیری همیشه بیان نمی شد عدد طبیعی، قطعات و سهام باید در نظر گرفته می شد. اینگونه کسرها ظاهر شدند.

ایشچنکو ساشا، کلاس 6 بعدی،

مؤسسه آموزشی شهرداری "سالن 87"، 1388.

اولین ذکر کسری در لوح های گلی بابل باستان یافت شد.

این ایالت تقریباً سه هزار سال قبل از میلاد در دره های رودهای دجله و فرات قرار داشت.

«متون» بابلی به شکل الواح گلی، معمولاً به اندازه کف دست به ما می رسد. آنها به خط میخی، الفبای گوه ای شکل نوشته شده اند.

حساب آنها پایه 60 بود، در ریاضیات بابلی از سیستم جنسیتی برای اعداد صحیح و کسرها استفاده می کردند، کسرها با مخرج ثابت 60 نوشته می شدند.

مثلا،

بعداً، مصریان باستان کسرهای 1/2، 1/3، 1/28 را معرفی کردند - آنها را پایه یا واحد می نامیدند؛ برای کسری 2/3 یک نامگذاری ویژه وجود داشت که با نامگذاری های دیگر کسری مطابقت نداشت.

مصریان سعی کردند همه کسرهای دیگر را به صورت مجموع سهام بنویسند، یعنی. کسری از شکل 1/n.

مثلا به جای 15/8 نوشته بودند 1/3+1/5. گاهی راحت بود

پاپیروس مصر باستان در حدود 2000 سال قبل از میلاد.

روش‌های محاسبه با استفاده از کسر واحد از مصری‌ها به یونان، از یونانی‌ها به اعراب و از آنها به اروپای غربی.

سیستم جالبی از کسری ها وجود داشت رم باستان. واحد جرم، 1 الاغ، به 12 قسمت تقسیم شد؛ بر این اساس، رومی ها از کسری دوازدهه استفاده می کردند.

کسری که ما آن را 1/12 می نامیم توسط رومیان «اونس» نامیده می شد، حتی اگر برای اندازه گیری طول یا کمیت دیگر استفاده می شد. کسری که ما آن را 1/8 می نامیم توسط رومیان و امثال آن "یک و نیم اونس" نامیده می شد.

یک رومی می تواند بگوید که 7 اونس از یک مسیر را پیموده است یا 5 اونس از یک کتاب را خوانده است. در عین حال، مسیر و کتاب را هم وزن نکردند.

این بدان معناست که 7/12 سهم از مسیر پوشش داده شده یا 5/12 قسمت از کتاب خوانده شده است.

سیستم مدرن نوشتن کسرها با صورت و مخرج در هند باستان ایجاد شد، اما هندی ها خطوط کسری را نمی نوشتند.
قوانین عمل با کسرها که توسط دانشمند هندی براهماگوپتا (قرن هشتم میلادی) وضع شده است، فقط اندکی با ما متفاوت است. دانشمند ازبکی محمد خوارزمی (خوارزمی).

آنها توسط تاجر و دانشمند ایتالیایی لئوناردو فیبوناچی از پیزا (قرن سیزدهم) به اروپای غربی آورده شدند.

لئوناردو پیزا

حدود 1170 - 1250

کسری در روسیه باستان سهام نامیده می شد که بعداً اعداد شکسته شده بودند. بنابراین کسری با شماره 1 نام خود را داشتند.

1/2 - نصف، نصف.

1\3 یک سوم است.

1\4 - حتی.

1\6 - نیم سوم.

1\8 - نیم.

1\12 - نیم سوم.

1\10 - دهم (1.09 هکتار)

مگنیتسکی

لئونتی فیلیپوویچ (1669-1739)

صفحه اول

کتاب درسی روسی "حساب"

شماره گذاری اسلاو در روسیه تا قرن شانزدهم مورد استفاده قرار می گرفت. و فقط تحت پیتر اول سیستم اعداد اعشاری معرفی شد که تا به امروز باقی مانده است. در سال 1903، "حساب" توسط L. F. Magnitsky منتشر شد. که در آن قسمت اول عملیات با اعداد صحیح را توصیف می کند، قسمت دوم - با اعداد شکسته، یعنی. در کسری

پس از مطالعه این موضوع در ادبیات مختلف و اینترنت،

به این نتیجه رسیدم:

کسر مشترک اختراع ریاضیدانان نیست، یک مفهوم است

کدام مردم کشورهای مختلفو در خود دوره های مختلف تاریخی

ما به آن رسیدیم و در زندگی خود از آن استفاده کردیم.

هر ملتی با نام‌ها و نشانه‌های مربوط به کسری‌ها آمد.

ریاضیدانان فقط این را نظام مند کرده اند و

ما با یک فرم ثبت نام مناسب آمدیم.

4. http://images.yandex.ru/yandsearch؟

5. http://ru.wikipedia.org/wiki

3. http://kosilova.textdriven.com/narod/studia3/math/translatio/babylon.htm

ادبیات

2. دایره المعارف. من در حال کاوش در جهان هستم. دانشمندان بزرگ - M.: AST Publishing House LLC، 2003;

1. دایره المعارف. من در حال کاوش در جهان هستم. ریاضیات. - M.: LLC "انتشارات AST"،

کسری اعشاری در قرن سوم ظاهر شد. قبل از میلاد مسیح. در چین باستان، جایی که سیستم اعداد اعشاری استفاده می شد. ریاضیدان چینی قرن سوم. لیو هوی استفاده از کسری با مخرج 10، 100 و غیره را توصیه کرد. هنگام استخراج ریشه های مربع منظورش قانون بود

که متعاقباً توسط بسیاری از ریاضیدانان عرب و اروپایی استفاده شد. این قانون، همراه با برخی تکنیک‌های محاسباتی دیگر، تا حد زیادی به معرفی کسرهای اعشاری به علم کمک کرد.

در قرن 15 نظریه کامل کسرهای اعشاری توسط جمشید الکشی منجم سمرقندی در رساله «کلید حساب» (1427) ارائه شد. او قوانین کار با کسرهای اعشاری را به تفصیل بیان کرد. ممکن است الکشی از استفاده از اعشار در چین بی اطلاع بوده باشد. او خود آنها را اختراع خود می دانست. شکی نیست که استفاده مداوم از کسرهای اعشاری و شرح قوانین کار با آنها، شایستگی مستقیم دانشمند است. اما رساله های او برای دانشمندان اروپایی شناخته شده نبود. آنها به طور مستقل نظریه کسرهای اعشاری را توسعه دادند.

ایده ساختن چنین سیستمی از کسری از قرن سیزدهم گهگاه در کتاب های درسی حساب ظاهر شده است. جردن نموراریوس در اثر خود «حساب در ده کتاب» در این باره نوشت.

دانشمند فرانسوی، فرانسوا ویته، کار خود را با عنوان «کانون ریاضی» در سال 1579 در پاریس منتشر کرد که در آن جداول مثلثاتی ارائه کرد که در جمع آوری آنها از کسرهای اعشاری استفاده کرد. هنگام نوشتن کسرهای اعشاری از روش خاصی پیروی نمی کرد: گاهی کل قسمت را با یک خط عمودی از قسمت کسری جدا می کرد، گاهی اعداد کل قسمت را به صورت پررنگ نشان می داد، گاهی اوقات اعداد جزء کسری را می نوشت. با حروف کوچکتر بنابراین، به لطف Vieta، کسرهای اعشاری شروع به نفوذ به محاسبات علمی کردند، اما آنها وارد عمل روزمره نشدند.

دانشمند هلندی سایمون استوین معتقد بود که کسرهای اعشاری باید در تمام محاسبات عملی استفاده شوند. او کار خود "دهم" (1585) را به این امر اختصاص داد که در آن کسرهای اعشاری را معرفی کرد و قوانینی را توسعه داد. عملیات حسابیبا آنها و یک سیستم اعشاری از واحدهای پولی، معیارها و اوزان پیشنهاد کرد.

«دهم» به سرعت در اروپا به شهرت رسید. نویسنده پس از انتشار کتاب در سال 1585 به زبان فلاندری، آن را به زبان فلاندری ترجمه کرد فرانسویو در سال 1601 به زبان انگلیسی منتشر شد.

استوین کسرها را متفاوت از آنچه اکنون می‌نویسد می‌نوشت. برای نشان دادن قسمت کسری از دایره 0 استفاده شده است. اولین بار در سال 1592 از کاما برای نوشتن کسری استفاده شد. در انگلستان به جای کاما از نقطه استفاده می شد؛ در ایالات متحده هنوز هم از آن استفاده می شود. او استفاده از کاما را به عنوان علامت جداکننده، مانند نقطه، در سال‌های 1616-1617 پیشنهاد کرد. معروف ریاضیدان انگلیسیجان ناپیر. اخترشناس یوهانس کپلر از نقطه اعشار در آثار خود استفاده کرده است.

در روسیه، دکترین کسرهای اعشاری برای اولین بار توسط L.F. مگنیتسکی در "حساب" خود.

پاولیکووا E.V. (، مدرسه متوسطه MAOU Dyatkovskaya شماره 5)

1. Anishchenko E. A. عدد به عنوان یک مفهوم اساسی ریاضیات. ماریوپل، 2002.

2. Vilenkin N.Ya.، Zhokhov V.I.، Chesnokov A.S.، Shvartsburd S.I. ریاضیات. کلاس پنجم: آموزشی برای موسسات آموزشی. – چاپ بیست و ششم، پاک شده. - M.: Mnemosyne, 2009. - 280 p.

3. آبفشان G.I. تاریخچه ریاضیات در مدرسه دفترچه راهنما برای معلمان. – م.: آموزش و پرورش، 1981. – 239 ص.

4. ریاضیات. کلاس پنجم: آموزشی برای آموزش عمومی. مؤسسات / S.M. نیکولسکی، M.K. پوتاپوف، N.N. رشتنیکوف، A.V. شوکین. ویرایش یازدهم، بازبینی شده. – م.: آموزش و پرورش، 1395. – 272 ص. – (MSU – مدرسه).

5. ریاضی فرهنگ لغت دایره المعارفی. - م.، 1988.

6. Dragunsky V. شما باید حس شوخ طبعی داشته باشید. – حالت دسترسی: http://peskarlib.ru/lib.phpid_sst=248.

7. از تاریخ کسرها. حالت دسترسی: http://schools.keldysh.ru/sch1905/drobi/history.htm.

8. مطالب از ویکی پدیا - دانشنامه آزاد. حالت دسترسی: http://ru.wikipedia.org/wiki.

9. نقل قول. حالت دسترسی: http://citaty.socratify.net/lev-tolstoi/25013.

مطالعه کسری توسط خود زندگی دیکته می شود. توانایی انجام محاسبات و محاسبات مختلف برای هر شخصی ضروری است، زیرا ما با کسری در زندگی روزمره. می خواستم بدانم نام این اعداد از کجا آمده است. که این اعداد را به دست آورد، موضوع "کسری" است که ما در مدرسه مطالعه می کنیم، در زندگی من ضروری است.

موضوع مطالعه:تاریخچه پیدایش کسرهای معمولی

موضوع مطالعه: کسرهای رایج.

فرضیه: اگر کسری وجود نداشت، آیا ریاضیات می توانست توسعه یابد؟

هدف کار: تزئین غرفه "ریاضیات در اطراف ما" در کلاس ریاضیات با حقایق جالب در مورد کسرها.

وظایف:

1. مطالعه تاریخچه پیدایش کسرها در ریاضیات.

2. جالب ترین حقایق در مورد کسری را که می توان برای جمع آوری بخش هایی از پایه استفاده کرد، انتخاب کنید.

3. در کلاس ریاضیات استند نصب کنید.

زندگی در احاطه شده توسط کسری، ما همیشه آنها را به وضوح متوجه نمی شویم. با این حال، ما اغلب با آن روبرو می شویم: در خانه، در خیابان، در فروشگاه. صبح که از خواب بیدار می شویم، به ساعت زنگ دار نگاه می کنیم و با کسری مواجه می شویم. هنگام وزن کردن اقلام در فروشگاه ها از کسری استفاده می کنیم. در اندازه گیری ها، هنگام تعیین حجم محموله. کسری ها همه جا ما را احاطه کرده اند. با کمک کسرها می توانیم طول ها را اندازه گیری کنیم و یک کل را به قطعات تقسیم کنیم. چگونه می توان قد یا فاصله بین اجسام را بدون دانستن کسری اندازه گیری کرد؟ همه چیز در اطراف کسری است!

ارتباط: زندگی مدرن مشکلات کسری را مرتبط می کند، زیرا دامنه کاربردهای عملی کسرها در حال گسترش است.

روش های پژوهش:

1. جستجوی اطلاعات مربوط به کسرها در منابع مختلف: اینترنت، داستان، کتاب های درسی

2. تجزیه و تحلیل، مقایسه، ترکیب و سیستم سازی اطلاعات.

از تاریخچه کسرهای معمولی

پیدایش کسرها

از زمان های قدیم، برای حل مسائل عملی حیاتی، مردم مجبور بودند اشیاء را بشمارند و کمیت ها را اندازه گیری کنند، یعنی به سؤالات "چند؟" پاسخ دهند: چند گوسفند در گله وجود دارد، چند پیمانه دانه از مزرعه جمع آوری شده است. ، چند مایل از مرکز ولسوالی، و غیره. بنابراین اعداد ظاهر شد. همیشه نمی توان نتیجه یک اندازه گیری یا بهای تمام شده یک محصول را با یک عدد طبیعی بیان کرد. هنگامی که شخصی نیاز داشت اعداد جدید - کسری - بیاورد، کسری ظاهر می شود. در زمان های قدیم، اعداد کامل و کسری به طور متفاوتی برخورد می شد: ترجیحات در کنار اعداد کامل بود. بنیانگذار آکادمی آتن، افلاطون، می نویسد: "اگر می خواهید یک واحد را تقسیم کنید، ریاضیدانان شما را مسخره می کنند و به شما اجازه این کار را نمی دهند."

در تمام تمدن ها، مفهوم کسری از فرآیند تقسیم یک کل به قطعات مساوی ناشی می شود. اصطلاح روسی "کسری" مانند آنالوگ های آن در زبان های دیگر از زبان لاتین آمده است. «fractura» که به نوبه خود ترجمه یک اصطلاح عربی به همین معنی است: شکستن، قطعه قطعه کردن. بنابراین، احتمالاً اولین کسرها در همه جا کسرهایی به شکل 1/n بودند. پیشرفتهای بعدیطبیعتاً به این سمت می رود که این کسرها را به عنوان واحدهایی در نظر بگیریم که کسرهای m/n - اعداد گویا - را می توان از آنها تشکیل داد. با این حال، این مسیر توسط همه تمدن ها دنبال نشد: به عنوان مثال، هرگز در ریاضیات مصر باستان محقق نشد.

اولین کسری که به مردم معرفی شد نصف بود. اگرچه نام همه کسرهای زیر با نام مخرج آنها مرتبط است (سه "سوم" است ، چهار "چهارم" و غیره است) ، این برای نصف اینطور نیست - نام آن در همه زبان ها چیزی ندارد. با کلمه "دو" انجام دهید.

سیستم ثبت کسرها و قوانین برخورد با آنها در بین مردمان مختلف و در زمان های مختلفاز همین مردم وام‌گیری‌های متعدد از ایده‌ها نیز در تماس‌های فرهنگی بین تمدن‌های مختلف نقش مهمی ایفا کرد.

کسری در روسیه

در زبان روسی، کلمه "کسری" در قرن هشتم ظاهر شد؛ از فعل "droblit" - شکستن، قطعه قطعه کردن آمده است. نشانه گذاری مدرن برای کسرها از هند باستان: اعراب نیز شروع به استفاده از آن کردند.

در کتابچه های راهنمای قدیمی، نام کسرهای زیر را در روسیه می یابیم:

شماره گذاری اسلاوی در روسیه تا قرن شانزدهم مورد استفاده قرار گرفت، سپس سیستم اعداد موقعیتی اعشاری به تدریج شروع به نفوذ به کشور کرد. سرانجام جانشین شماره گذاری اسلاوی تحت پیتر اول شد.

اندازه زمین مورد استفاده در روسیه یک چهارم و یک - نیم ربع کوچکتر بود که به آن ocmina می گفتند. اینها کسرهای بتنی، واحدهایی برای اندازه گیری مساحت زمین بودند، اما اکتینا نمی توانست زمان یا سرعت و غیره را اندازه گیری کند. خیلی بعد، اکتینا به معنای کسر انتزاعی 1/8 بود که می تواند هر مقداری را بیان کند. درباره استفاده از کسرها در روسیه هفدهمقرن، شما می توانید در کتاب V. Bellustin "چگونه مردم به تدریج به حساب واقعی رسیدند" موارد زیر را بخوانید: "در نسخه خطی قرن هفدهم. "مقاله در مورد همه کسری از فرمان" مستقیماً با تعیین کتبی کسری و با ذکر صورت و مخرج شروع می شود. هنگام تلفظ کسرها، ویژگی های زیر جالب است: قسمت چهارم یک چهارم نامیده می شد، در حالی که کسری با مخرج از 5 تا 11 با کلماتی که به "اینا" ختم می شوند بیان می شد، به طوری که 1/7 یک هفته است، 1/5 برابر است با یک پنج امتیاز، 1/10 یک دهم است. سهام با مخرج بیشتر از 10 با استفاده از کلمات "لات" تلفظ می شود، به عنوان مثال 5/13 - پنج سیزدهم لات. شماره گذاری کسری ها مستقیماً از منابع غربی به عاریت گرفته شده است. به صورت عدد بالا و مخرج پایین می گفتند.

کسری در سایر ایالت های باستان

تمام قواعد شمارش مصریان باستان بر اساس توانایی جمع و تفریق، دو برابر کردن اعداد و کسرهای کامل به یک بود. نمادهای خاصی برای کسری وجود داشت. مصریان از کسری به شکل 1/n استفاده می کردند که n یک عدد طبیعی است. چنین کسرهایی را aliquot می نامند. گاهی به جای تقسیم m:n، m را ضرب می کردند. n

برای این منظور از جداول مخصوص استفاده شد. باید گفت که عملیات با کسری از ویژگی های محاسبات مصری بود که در آن ساده ترین محاسبات گاهی به مسائل پیچیده تبدیل می شد. (کاربرد).

کاربرد

ایستاده "ریاضیات در اطراف ما"

جدول "نوشتن کسرها در مصر"

این جدول به انجام محاسبات پیچیده حسابی مطابق با قوانین پذیرفته شده کمک کرد. ظاهراً کاتبان آن را حفظ کرده اند، همانطور که دانش آموزان مدرسه اکنون جدول ضرب را حفظ می کنند. از این جدول برای تقسیم اعداد نیز استفاده می شد. مصریان همچنین می دانستند که چگونه کسرها را ضرب و تقسیم کنند. اما برای ضرب، باید کسرها را در کسری ضرب می‌کردید، و سپس، شاید، دوباره از جدول استفاده می‌کردید. وضعیت تقسیم حتی پیچیده تر بود.

مصری ها در حال حاضر وارد شده اند زمان های قدیمآنها می دانستند که چگونه 2 سیب را به سه نفر تقسیم کنند: آنها حتی یک نماد ویژه برای این شماره داشتند. به هر حال، این تنها کسری در استفاده کاتبان مصری بود که واحدی در صورتگر نداشت - همه کسرهای دیگر مطمئناً 1 در صورت دارند (به اصطلاح کسرهای اساسی): 1/2، 1/3 ، 1/17، ... و غیره این نگرش نسبت به کسرها برای مدت بسیار طولانی وجود داشته است. تمدن قبلاً مرده است مصر باستان، منطقه ای که زمانی سبز بود توسط ماسه های صحرا بلعیده شد، و کسری ها همه در مجموع موارد اساسی قرار گرفتند - درست تا رنسانس!

در چین، تقریباً تمام عملیات حسابی با کسرهای معمولی در قرن دوم برقرار شد. قبل از میلاد مسیح ه. آنها در بدنه اساسی دانش ریاضی توصیف شده اند چین باستان- "ریاضیات در نه کتاب" که نسخه نهایی آن متعلق به ژانگ کانگ است. ریاضیدانان چینی با محاسبه بر اساس قاعده ای شبیه به الگوریتم اقلیدس (بزرگترین مقسوم علیه مشترک صورت و مخرج)، کسرها را کاهش دادند. ضرب کسری به عنوان یافتن مساحت یک قطعه زمین مستطیلی تلقی می شد که طول و عرض آن به صورت کسری بیان می شود. تقسیم بندی با استفاده از ایده اشتراک گذاری در نظر گرفته شد، در حالی که ریاضیدانان چینی با این واقعیت که تعداد شرکت کنندگان در بخش می تواند کسری باشد، به عنوان مثال، 3 1/2 نفر سردرگم نشده بودند.

در ابتدا، چینی ها از کسری های ساده استفاده می کردند که با استفاده از هیروگلیف حمام نام گذاری می شدند:

ممنوعیت ("نیم") -1\2;

Shao ban ("نیمه کوچک") -1\3;

تای بان ("نیمه بزرگ") -2\3.

جالب اینجاست که بابلی ها یک مخرج ثابت را ترجیح می دادند (برابر با 60، ظاهراً به این دلیل که سیستم اعداد آنها به اندازه ی جنسی کوچک بود).

رومی ها نیز تنها از یک مخرج برابر با 12 استفاده می کردند.

توسعه بیشتر مفهوم کسری مشترک در هند حاصل شد. ریاضیدانان این کشور توانستند به سرعت از کسر واحد به کسر عمومی حرکت کنند. برای اولین بار چنین کسری در "قوانین طناب" توسط آپاستامبا (قرن VII-V قبل از میلاد) یافت می شود که حاوی ساختارهای هندسی و نتایج برخی از محاسبات است. در هند از یک سیستم نمادگذاری استفاده می شد - شاید چینی و شاید یونانی متأخر - که در آن صورت کسری بالای مخرج نوشته می شد - مانند سیستم ما، اما بدون خط کسری، اما کل کسر در یک قرار می گرفت. قاب مستطیلی

کسرهای جالب

"بدون آگاهی از کسری، هیچ کس نمی تواند به عنوان دانش حساب شناخته شود!"

وقتی مردم از پول استفاده می کنند، همیشه با کسری مواجه می شوند: در قرون وسطی، 1 پن انگلیسی = 1/12 شیلینگ. در حال حاضر، کوپک روسیه = 1/100 روبل.

سیستم های اندازه گیری کسری را حمل می کنند: 1 سانتی متر = 1/10 دسی متر = 1/100 متر.

فراکسیون ها همیشه مد بوده اند. مدل آستین سه ربع همیشه مرتبط است. و شلوارهای برش 7/8 جزییات کمد لباس فوق العاده هستند.

شما می توانید کسرها را در دروس مختلف ملاقات کنید. به عنوان مثال، در جغرافیا: «در زمان وجود اتحاد جماهیر شوروی، روسیه یک ششم زمین را اشغال کرد. اکنون روسیه یک نهم خشکی را اشغال کرده است. که در هنرهای زیبا- هنگام به تصویر کشیدن یک پیکره انسانی. در موسیقی، ریتم، متر یک قطعه موسیقی است.

یک فرد در زندگی با کلمه "کسری" روبرو می شود:

توپ های سربی کوچک برای تیراندازی از تفنگ شکاری - شات.

صداهای مکرر و متناوب - طبل زدن.

در نیروی دریایی فرمان "تیراندازی!" - آتش بس

شماره گذاری خانه ها عددی که با کسری از هم جدا شده اند روی خانه هایی که در امتداد دو خیابان متقاطع شماره گذاری شده اند قرار می گیرد.

کسری در رقص. تصور رقص محلی روسی بدون کسری و دویدن غیرممکن است.

کسری را با دندان های خود از بین ببرید - دندان های خود را به هم بزنید (لرزش از سرما، ترس).

در داستان. دنیسکا، قهرمان داستان ویکتور دراگونسکی "شما باید حس شوخ طبعی داشته باشید"، یک بار از دوستش میشکا یک مشکل پرسید: چگونه دو سیب را به طور مساوی بین سه تقسیم کنیم؟ و وقتی میشکا بالاخره تسلیم شد، پیروزمندانه پاسخ را اعلام کرد: "کمپوت درست کن!" میشکا و دنیس هنوز کسرها را یاد نگرفته بودند و مطمئن بودند که 2 بر 3 بخش پذیر نیست؟

به طور دقیق، "کمپوت پختن" یک عملیات با کسری است. بیایید سیب ها را تکه تکه کنیم و تعداد این تکه ها را جمع و کم کنیم، ضرب و تقسیم می کنیم - چه کسی جلوی ما را می گیرد؟.. فقط برای ما مهم است که به یاد داشته باشیم یک سیب کامل چند تکه کوچک را تشکیل می دهد ...

اما اینطور نیست تنها تصمیماین وظیفه! شما باید هر سیب را به سه قسمت تقسیم کنید و دو قسمت از این قبیل را به هر سه قسمت تقسیم کنید.

برای قرن های متمادی، در زبان مردم، یک عدد شکسته کسری نامیده می شد. به عنوان مثال، شما باید چیزی را به طور مساوی تقسیم کنید، به عنوان مثال، آب نبات، یک سیب، یک تکه شکر و غیره. برای این کار، یک تکه شکر باید به دو نیمه مساوی تقسیم یا شکسته شود. همینطور در مورد اعداد، برای به دست آوردن نصف، باید یک واحد را به دو قسمت تقسیم یا "شکن" کنید. نام اعداد شکسته از اینجا می آید.

سه نوع کسر وجود دارد:

1. واحدها (کسرها) یا کسرها (مثلاً 1/2، 1/3، 1/4، و غیره).

2. سیستماتیک، یعنی کسری که در آنها مخرج با توان یک عدد بیان می شود (مثلاً توان 10 یا 60 و غیره).

3. نوع عمومی که در آن صورت و مخرج هر عددی می تواند باشد.

کسری "نادرست" - نامنظم و "واقعی" - صحیح وجود دارد.

کسر در ریاضیات - شکل نمایش کمیت های ریاضیبا استفاده از عملیات تقسیم، که در اصل مفهوم اعداد غیر صحیح یا کسری را منعکس می کند. در ساده ترین حالت - کسر عددی- نسبت دو عدد

در کسری m/n (بخوانید: "em nths")، عدد m که بالای خط قرار دارد، صورتگر و عدد n واقع در زیر خط، مخرج نامیده می شود. مخرج نشان می دهد که کل به چند قسمت مساوی تقسیم شده است و صورت نشان می دهد که چند جزء از این قبیل گرفته شده است. خط کسری را می توان به عنوان یک علامت تقسیم درک کرد.

اولین دانشمند اروپایی که شروع به استفاده و انتشار نماد مدرن کسری کرد، یک تاجر و مسافر ایتالیایی، پسر کارمند شهر فیبوناچی (لئوناردو پیزا) بود.

در سال 1202 کلمه «کسره» را معرفی کرد.

نام های صورت و مخرج در قرن سیزدهم توسط ماکسیموس پلانود، راهب، دانشمند و ریاضیدان یونانی معرفی شد.

سیستم مدرن نوشتن کسرها در هند ایجاد شد. فقط آنجا مخرج را در بالا و صورت را در پایین نوشتند و یک خط کسری ننوشتند. و اعراب شروع کردند به کسر نوشتن مثل الان. عملیات با کسری در قرون وسطی سخت ترین حوزه ریاضیات در نظر گرفته می شد. تا به امروز، آلمانی ها در مورد فردی که در شرایط سختی قرار می گیرد، می گویند که "به کسری سقوط کرد".

فراکسیون ها نیز در موسیقی نقش داشتند. و اکنون در یک نت موسیقی خاص، یک نت بلند - یک کل - به نیمه (نصف طول)، یک چهارم، شانزدهم و سی و ثانیه تقسیم می شود. بنابراین، الگوی ریتمیک هر اثر موسیقی، مهم نیست که چقدر پیچیده باشد، توسط کسری های معمولی تعیین می شود. معلوم شد که هارمونی ارتباط نزدیکی با کسری دارد که ایده اصلی اروپایی ها را تأیید می کند: "عدد بر جهان حکومت می کند".

«آدم مانند کسری است: صورت خودش است و مخرج آن چیزی است که درباره خودش می اندیشد. هر چه مخرج بزرگتر باشد، کسر کوچکتر است» (L.N. Tolstoy).

نتایج اصلی مطالعه

مطالعه کسری سخت ترین بخش ریاضیات در همه زمان ها و در بین همه مردم در نظر گرفته شد. کسانی که کسری ها را می شناختند از احترام بالایی برخوردار بودند. نویسنده یک نسخه خطی اسلاوی باستانی از قرن پانزدهم. می نویسد: «این شگفت انگیز نیست که ... در کل است، اما ستودنی است که در بخش ...».

در حین کار چیزهای جدید و جالب زیادی یاد گرفتم. من کتاب ها و بخش های زیادی از دایره المعارف ها را مطالعه کردم. من با اولین کسری که مردم با آنها عمل کردند، با مفهوم کسری نسبی آشنا شدم و اسامی جدیدی از دانشمندانی را که در توسعه دکترین کسرها مشارکت داشتند، یاد گرفتم. در روند انجام کار، چیزهای جدید زیادی یاد گرفتم، فکر می کنم این دانش در مطالعاتم مفید باشد.

نتیجه‌گیری: نیاز به فراکسیون‌ها در مراحل اولیه رشد انسان به وجود آمد. در زندگی، شخص باید نه تنها اشیاء را بشمارد، بلکه مقادیر را نیز اندازه گیری کند. مردم طول، مساحت زمین، حجم، توده بدن، زمان را اندازه‌گیری می‌کردند و برای کالاهایی که خریداری یا فروخته می‌شد، پرداخت می‌کردند. همیشه نمی توان نتیجه یک اندازه گیری یا بهای تمام شده یک محصول را با یک عدد طبیعی بیان کرد. اینگونه است که کسری ها و قوانین مدیریت آنها ظاهر می شوند.

اهمیت عملی کار

من به مهارت های کار در ویرایشگر متن مسلط بودم و با منابع اینترنتی کار می کردم. موادی را برای تزئین پایه "ریاضیات در اطراف ما" در کلاس ریاضی با حقایق جالب در مورد کسرها انتخاب کردم (پیوست). و طراحی استند (پیوست).

در نتیجه تحقیق، من این فرضیه را تأیید کردم: مردم بدون کسر نمی توانند کار کنند؛ بدون کسر، ریاضیات نمی تواند توسعه یابد.

پیوند کتابشناختی

Balbutskaya A.A. جالب در مورد کسرها // در علم شروع کنید. – 2017. – شماره 5-2. – ص 265-268;
URL: http://science-start.ru/ru/article/view?id=874 (تاریخ دسترسی: 2019/08/29).

موسسه آموزشی بودجه شهرداری

دبیرستان شماره 2

خلاصه

رشته: "ریاضیات"

در این مورد: "کسری های غیر معمول"

انجام:

دانش آموز کلاس پنجم

فرولووا ناتالیا

سرپرست:

دروشچنکو E.A.

معلم ریاضی

Strezhevoy، منطقه تومسک


	معرفی
	از تاریخچه کسرهای معمولی.
	پیدایش کسرها.
	کسری در مصر باستان.
	کسری در بابل باستان.
	کسری در روم باستان.
	کسری در یونان باستان.
	کسری در روسیه.
	کسری در چین باستان
	کسری در سایر ایالات باستان و قرون وسطی.
	کاربرد کسرهای معمولی
	کسری جزئی.
	به جای لوب های کوچک، لوب های بزرگ.
	تقسیمات در شرایط سخت.
III.	کسرهای جالب
	کسری دومینو
	از اعماق قرون.
	نتیجه
	کتابشناسی - فهرست کتب
	پیوست 1. مقیاس طبیعی.
	پیوست 2. مسائل باستانی با استفاده از کسرهای معمولی.
	ضمیمه 3. مشکلات سرگرم کننده با کسرهای رایج.
	پیوست 4. کسرهای دومینو

معرفی

امسال ما شروع به یادگیری در مورد کسری کردیم. اعداد بسیار غیرمعمول، که با نمادهای غیرمعمول آنها شروع می شود و به آنها ختم می شود قوانین پیچیدهاقدامات با آنها اگرچه از اولین آشنایی با آنها مشخص بود که ما حتی در زندگی معمولی نمی توانیم بدون آنها کار کنیم، زیرا هر روز باید با مشکل تقسیم یک کل به قطعات روبرو شویم و حتی در یک لحظه خاص به نظرم رسید که ما دیگر توسط کل احاطه نشدند، بلکه توسط اعداد کسری احاطه شدند. با آنها، جهان پیچیده تر، اما در عین حال جالب تر شد. من چند سوال دارم. آیا کسر لازم است؟ آیا آنها مهم هستند؟ می خواستم بدانم کسری ها از کجا به ما رسیده اند که قوانین کار با آنها را ارائه کرده اند. اگرچه کلمه اختراع شده احتمالاً چندان مناسب نیست، زیرا در ریاضیات همه چیز باید تأیید شود، زیرا همه علوم و صنایع در زندگی ما بر اساس قوانین ریاضی واضحی است که در سراسر جهان اعمال می شود. اینطور نیست که در کشور ما جمع کردن کسرها طبق یک قانون انجام شود، اما در جایی در انگلیس اینطور است.

در حین کار بر روی مقاله، مجبور شدم با مشکلاتی روبرو شوم: با اصطلاحات و مفاهیم جدید، باید مغزم را جمع می کردم، مسائل را حل می کردم و راه حل پیشنهادی دانشمندان باستان را تجزیه و تحلیل می کردم. همچنین هنگام تایپ برای اولین بار با نیاز به تایپ کسری و عبارات کسری مواجه شدم.

هدف مقاله من: ردیابی تاریخچه توسعه مفهوم کسری معمولی، نشان دادن نیاز و اهمیت استفاده از کسرهای معمولی در حل مسائل عملی. وظایفی که برای خودم تعیین کردم: جمع آوری مطالب در مورد موضوع مقاله و نظام مندی آن ، مطالعه مسائل باستانی ، خلاصه کردن مطالب پردازش شده ، تهیه مطالب کلی ، تهیه ارائه ، ارائه چکیده.

کار من از سه فصل تشکیل شده است. من از 7 منبع، از جمله ادبیات آموزشی، علمی و دایره المعارفی و یک وب سایت، مطالب را مطالعه و پردازش کردم. من برنامه‌ای طراحی کرده‌ام که شامل مجموعه‌ای از مسائل از منابع باستانی، چند مشکل جالب با کسرهای معمولی است، و همچنین ارائه‌ای را در ویرایشگر Power Point آماده کرده‌ام.

من. از تاریخچه کسرهای معمولی

1.1 پیدایش کسرها

مطالعات تاریخی و ریاضی متعدد نشان می‌دهد که اعداد کسری در زمان‌های قدیم و بلافاصله پس از اعداد طبیعی در میان اقوام مختلف ظاهر شده‌اند. ظاهر کسری ها با نیازهای عملی همراه است: کارهایی که لازم بود به قطعات تقسیم شوند بسیار رایج بودند. علاوه بر این، در زندگی فرد نه تنها باید اشیاء را بشمارد، بلکه مقادیر را نیز اندازه گیری کند. مردم با اندازه گیری طول، مساحت زمین، حجم و جرم اجسام مواجه شدند. در این حالت، این اتفاق افتاد که واحد اندازه گیری یک عدد صحیح بار در مقدار اندازه گیری شده قرار نمی گرفت. به عنوان مثال، هنگام اندازه‌گیری طول یک بخش به صورت پله‌ای، فردی با پدیده زیر مواجه شد: ده قدم در طول قرار می‌گیرد و باقیمانده کمتر از یک پله است. بنابراین، دومین دلیل مهم برای ظهور اعداد کسری را باید اندازه گیری کمیت ها با استفاده از واحد اندازه گیری انتخابی در نظر گرفت.

بنابراین، در تمام تمدن ها، مفهوم کسری از فرآیند تقسیم یک کل به قطعات مساوی ناشی می شود. اصطلاح روسی "کسری" مانند آنالوگ های آن در زبان های دیگر از زبان لاتین آمده است. fractura که به نوبه خود ترجمه یک اصطلاح عربی به همین معنی است: شکستن، قطعه قطعه کردن. بنابراین، احتمالاً اولین کسرها در همه جا کسرهایی به شکل 1/n بودند. توسعه بیشتر به طور طبیعی به سمت در نظر گرفتن این کسرها به عنوان واحدهایی می رود که می توان از آنها کسر m/n - اعداد گویا - تشکیل داد. با این حال، این مسیر توسط همه تمدن ها دنبال نشد: به عنوان مثال، هرگز در ریاضیات مصر باستان محقق نشد.

اولین کسری که به مردم معرفی شد نصف بود. اگرچه نام همه کسرهای زیر به نام مخرج آنها مربوط می شود (سه "سوم"، چهار "ربع" و غیره است)، این برای نیمی صادق نیست - نام آن در همه زبان ها هیچ ارتباطی ندارد. با کلمه "دو" انجام دهید.

سیستم ثبت کسرها و قوانین برخورد با آنها به طور قابل توجهی در میان ملل مختلف و در زمان های مختلف در بین افراد یکسان متفاوت بود. وام‌گیری‌های متعدد از ایده‌ها نیز در تماس‌های فرهنگی بین تمدن‌های مختلف نقش مهمی ایفا کرد.

1.2 کسری در مصر باستان

در مصر باستان، آنها فقط از ساده‌ترین کسرها استفاده می‌کردند که در آن‌ها صورت‌گر برابر با یک است (کسری‌هایی که ما آنها را «کسری» می‌نامیم). ریاضیدانان چنین کسری را aliquot می نامند (از لاتین aliquot - چند). از نام کسرهای پایه یا کسر واحد نیز استفاده می شود.

مصری ها قرار دادند هیروگلیف

(er، "[یک] از" یا دوباره، دهان) بالای عدد برای نشان دادن کسری واحد در نماد معمولی، اما در متون مقدس از یک خط استفاده می شد. به عنوان مثال:

بیشتر چشم

1/2 (یا 32/64)

1/8 (یا 8/64)

قطره اشک (؟)

1/32 (یا ²/64)

علاوه بر این، مصریان از فرم های نوشتاری مبتنی بر هیروگلیف استفاده می کردند چشم هوروس (ابزارک). ویژگی باستانی ها درهم تنیدگی تصویر خورشید و چشم بود. در اساطیر مصر، خدای هوروس اغلب ذکر شده است، که مظهر خورشید بالدار و یکی از رایج ترین نمادهای مقدس است. در نبرد با دشمنان خورشید که در تصویر ست تجسم یافته است، هوروس در ابتدا شکست می خورد. ست چشم را از او می رباید - چشمی شگفت انگیز - و آن را پاره پاره می کند. توث - خدای یادگیری، عقل و عدالت - دوباره اجزای چشم را در یک کل قرار داد و "چشم سالم هوروس" را ایجاد کرد. در مصر باستان از تصاویر بخش‌هایی از چشم بریده شده برای نمایش کسری از 1/2 تا 1/64 استفاده می‌شد.

مجموع شش کاراکتر موجود در Wadget و کاهش یافته به مخرج مشترک: 32/64 + 16/64 + 8/64 + 4/64 + 2/64 + 1/64 = 63/64

چنین کسری همراه با سایر اشکال کسری مصری برای تقسیم استفاده می شد هکات، معیار اصلی حجم در مصر باستان. از این ضبط ترکیبی برای اندازه گیری حجم غلات، نان و آبجو نیز استفاده شد. اگر پس از ثبت مقدار به عنوان کسری از چشم هوروس، مقداری باقی مانده بود، آن را به شکل معمول مضربی از rho می نوشتند، یک واحد اندازه گیری برابر با 1/320 هکات.

به عنوان مثال، مانند این:

در این مورد، "دهان" در مقابل تمام هیروگلیف ها قرار می گرفت.

حکمتجو: 1/2 + 1/4 + 1/32 (یعنی 25/32 ظرف جو).

حکمتتقریباً 4.785 لیتر بود.

مصریان هر کسر دیگری را به صورت مجموع کسرهای جزئی نشان می دادند، برای مثال 9/16 = 1/2+1/16; 7/8=1/2+1/4+1/8 و غیره.

اینطور نوشته شده بود: /2 /16; /2/4/8.

در برخی موارد این به اندازه کافی ساده به نظر می رسد. به عنوان مثال، 2/7 = 1/7 + 1/7. اما قانون دیگر مصریان عدم تکرار اعداد در یک سری کسرها بود. یعنی 2/7 از نظر آنها 1/4 + 1/28 بود.

حال به مجموع چند کسر کسری، کسری مصری می گویند. به عبارت دیگر، هر کسری از مجموع یک صورت برابر با یک و یک مخرج برابر با یک عدد طبیعی دارد.

انجام محاسبات مختلف، بیان همه کسرها بر حسب واحد، البته بسیار دشوار و زمان بر بود. از این رو دانشمندان مصری به سهولت کار کاتب اهتمام داشتند. آنها جداول ویژه ای از تجزیه کسری ها به جدول های ساده تهیه کردند. اسناد ریاضی مصر باستان رساله های علمی در ریاضیات نیستند، بلکه کتاب های درسی کاربردی با نمونه هایی برگرفته از زندگی هستند. از جمله کارهایی که شاگرد مدرسه کاتب باید حل کند، محاسبه ظرفیت انبارها، حجم سبد، مساحت مزرعه، تقسیم اموال بین ورثه و غیره بود. کاتب باید این نمونه ها را به خاطر می آورد و می توانست به سرعت از آنها برای محاسبات استفاده کند.

یکی از اولین ارجاعات شناخته شده به کسرهای مصری پاپیروس ریاضی Rhind است. سه متن قدیمی تر که کسری مصری را ذکر کرده اند عبارتند از: طومار چرمی ریاضی مصر، پاپیروس ریاضی مسکو و لوح چوبی اخمیم.

باستانی ترین بنای ریاضیات مصر، به اصطلاح "پاپیروس مسکو"، سندی مربوط به قرن 19 قبل از میلاد است. در سال 1893 توسط گردآورنده گنجینه های باستانی گلنیشچف خریداری شد و در سال 1912 به مالکیت موزه هنرهای زیبای مسکو درآمد. شامل 25 مشکل مختلف بود.

به عنوان مثال، مسئله تقسیم 37 را بر عددی که به صورت (1 + 1/3 + 1/2 + 1/7) داده شده در نظر می گیرد. با دوبرابر کردن پی در پی این کسر و بیان تفاوت بین 37 و نتیجه و استفاده از روشی که اساساً شبیه به یافتن مخرج مشترک است، پاسخ این است: ضریب 16 + 1/56 + 1/679 + 1/776 است.

بزرگترین سند ریاضی - یک پاپیروس در کتابچه راهنمای محاسبات آهمس کاتب - در سال 1858 توسط کلکسیونر انگلیسی رایند پیدا شد. پاپیروس در قرن 17 قبل از میلاد جمع آوری شد. طول آن 20 متر و عرض آن 30 سانتی متر است. این شامل 84 مسئله ریاضی، راه حل ها و پاسخ های آنها است که به صورت کسر مصری نوشته شده است.

پاپیروس اهمس با جدولی شروع می شود که در آن تمام کسری های شکل 2\n از 2/5 تا 2/99 به صورت مجموع کسرهای جزئی نوشته می شوند. مصریان همچنین می دانستند که چگونه کسرها را ضرب و تقسیم کنند. اما برای ضرب، باید کسرها را در کسری ضرب می‌کردید، و سپس، شاید، دوباره از جدول استفاده می‌کردید. وضعیت تقسیم حتی پیچیده تر بود. برای مثال، نحوه تقسیم 5 بر 21 به شرح زیر است:

مشکلی که اغلب از پاپیروس اهمس با آن مواجه می شود: «به شما گفته شود: 10 پیمانه جو را بین 10 نفر تقسیم کنید. تفاوت هر فرد با همسایه اش 1/8 میزان است. میانگین سهم یک معیار است. یک را از 10 کم کنید؛ باقیمانده 9. نیمی از تفاوت را جبران کنید. این 1/16 است. 9 بار مصرف کنید. این را روی ضربان میانی اعمال کنید. برای هر صورت 1/8 اندازه را کم کنید تا به آخر برسید.

مشکل دیگری از پاپیروس اهمس که نشان دهنده استفاده از کسرهای جزئی است: ۷ نان را بین ۸ نفر تقسیم کنید.
اگر هر نان را به 8 قسمت برش دهید، باید 49 برش بزنید.
و در مصری این مشکل به این صورت حل شد. کسر 7/8 به صورت کسر نوشته شد: 1/2 + 1/4 + 1/8. یعنی به هر نفر نصف نان، ربع نان و هشتم نان داده شود. بنابراین چهار نان را نصف می کنیم، دو نان را 4 قسمت و یک نان را 8 قسمت می کنیم و پس از آن به هر کدام یک قسمت می دهیم.

جداول کسری مصری و جداول مختلف بابلی قدیمی ترین ابزار شناخته شده برای تسهیل محاسبات هستند.

کسری های مصری در یونان باستان و متعاقباً توسط ریاضیدانان سراسر جهان تا قرون وسطی، علیرغم اظهارنظرهای ریاضیدانان باستان در مورد آنها، همچنان مورد استفاده قرار می گرفتند. به عنوان مثال، کلودیوس بطلمیوس در مورد ناراحتی استفاده از کسرهای مصری در مقایسه با سیستم بابلی (سیستم اعداد موقعیتی) صحبت کرد. کار مهمی در مورد مطالعه کسرهای مصری توسط ریاضیدان قرن سیزدهم فیبوناچی در کار خود "Liber Abaci" انجام شد - اینها محاسباتی با استفاده از کسری اعشاری و معمولی است که در نهایت جایگزین کسرهای مصری شد. فیبوناچی از نماد پیچیده ای از کسرها، از جمله نمادگذاری پایه مختلط و نماد مجموع کسری استفاده می کرد و از کسری های مصری نیز اغلب استفاده می شد. این کتاب همچنین الگوریتم هایی برای تبدیل کسرهای معمولی به کسرهای مصری ارائه کرده است.

1.3 کسری در بابل باستان.

مشخص است که در بابل باستان از سیستم اعداد جنسی کوچک استفاده می کردند. دانشمندان این واقعیت را به این واقعیت نسبت می دهند که واحدهای اندازه گیری پولی و وزنی بابلی به دلیل شرایط تاریخی به 60 قسمت مساوی تقسیم شدند: 1 استعداد = 60 دقیقه. 1 مینا = 60 مثقال. دهه شصت در زندگی بابلی ها رایج بود. به همین دلیل است که آنها از کسرهای جنسی کوچک استفاده کردند که همیشه مخرج 60 یا توان آن را دارند: 60 2 = 3600، 60 3 = 216000 و غیره. اینها اولین کسرهای سیستماتیک جهان هستند، یعنی. کسری که در آنها مخرج توانهای هم عدد است. بابلی ها با استفاده از چنین کسرهایی مجبور بودند کسرهای زیادی را تقریباً نشان دهند. این عیب و در عین حال مزیت این کسری هاست. این کسرها به ابزار ثابت محاسبات علمی برای دانشمندان یونانی و سپس عرب زبان و دانشمندان اروپای قرون وسطی تبدیل شد تا اینکه در قرن 15th آنها جای خود را به کسرهای اعشاری دادند. اما دانشمندان همه ملت‌ها تا قرن هفدهم از کسرهای جنسی کوچک در نجوم استفاده می‌کردند و آنها را کسرهای نجومی می‌نامیدند.

سیستم اعداد جنسی کوچک نقش بزرگی را در ریاضیات بابل برای جداول مختلف از پیش تعیین کرده است. یک جدول ضرب کامل بابلی شامل محصولاتی از 1×1 تا 59×59، یعنی 1770 عدد است و نه 45 به عنوان جدول ضرب ما. حفظ چنین جدولی تقریبا غیرممکن است. حتی به صورت نوشتاری هم بسیار دست و پا گیر خواهد بود. بنابراین، برای ضرب، و برای تقسیم، مجموعه گسترده ای از جداول مختلف وجود داشت. عمل تقسیم در ریاضیات بابلی را می توان «مسئله شماره یک» نامید. بابلی ها تقسیم عدد m بر عدد n را به ضرب عدد m در کسری 1\n تقلیل دادند و حتی اصطلاح "تقسیم" را نداشتند. به عنوان مثال، هنگام محاسبه چیزی که به صورت x = m: n می نویسیم، همیشه اینطور استدلال می کردند: معکوس n را بگیرید، 1\n را خواهید دید، m را در 1\n ضرب کنید و x را خواهید دید. البته به جای حروف ما، ساکنان بابل اعداد خاصی می گفتند. بنابراین، مهمترین نقش در ریاضیات بابلی توسط جداول متقابل متعدد ایفا می شد.

علاوه بر این، برای محاسبات با کسر، بابلی ها جداول گسترده ای را جمع آوری کردند که کسرهای اصلی را در کسرهای جنسی کوچک بیان می کرد. مثلا:

1\16 = 3\60 + 45\60 2 , 1\54 = 1\60 + 6\60 2 + 40\60 3 .

جمع و تفریق کسرها توسط بابلی ها مشابه عملیات مربوطه با اعداد کامل و کسرهای اعشاری در سیستم اعداد موقعیتی ما انجام شد. اما چگونه یک کسری در کسری ضرب شد؟ توسعه نسبتاً زیاد هندسه اندازه‌گیری (بررسی زمین، اندازه‌گیری مساحت) نشان می‌دهد که بابلی‌ها با کمک هندسه بر این مشکلات غلبه کردند: تغییر در مقیاس خطی 60 برابر باعث تغییر در مقیاس مساحت 60 60 برابر می‌شود. لازم به ذکر است که در بابل گسترش میدان اعداد طبیعی به ناحیه اعداد گویا مثبت در نهایت اتفاق نیفتاد، زیرا بابلی ها فقط کسرهای جنسی محدودی را در نظر می گرفتند که در منطقه ای که تقسیم آنها همیشه امکان پذیر نیست. علاوه بر این، بابلی ها از کسری های 1\2,1\3,2\3,1\4,1\5,1\6,5\6 استفاده می کردند که علائم فردی برای آنها وجود داشت.

ردپایی از سیستم اعداد جنسی کوچک بابلی در علم مدرن در اندازه گیری زمان و زوایا باقی مانده است. تقسیم یک ساعت به 60 دقیقه، یک دقیقه به 60 ثانیه، یک دایره به 360 درجه، یک درجه به 60 دقیقه، یک دقیقه به 60 ثانیه تا به امروز حفظ شده است. Minute در لاتین به معنی "قسمت کوچک" است، second به معنای "دومین"

(قسمت کوچک).

1.4. کسری در روم باستان.

رومی‌ها عمدتاً فقط از کسری‌های بتنی استفاده می‌کردند که بخش‌های انتزاعی را با بخش‌های فرعی مقیاس‌های مورد استفاده جایگزین کردند. این سیستم کسری بر اساس تقسیم یک واحد وزن به 12 قسمت بود که به آن الاغ می گفتند. اینگونه بود که کسرهای دوازدهه ای رومی بوجود آمدند، یعنی. کسری که مخرج آن همیشه دوازده بود. قسمت دوازدهم آس را اونس می نامیدند. به جای 1/12، رومی ها گفتند "یک اونس"، 5/12 - "پنج اونس"، و غیره. سه اونس یک چهارم، چهار اونس یک سوم، شش اونس نیم نامیده می شد.

و مسیر، زمان و مقادیر دیگر با یک چیز بصری - وزن مقایسه شد. به عنوان مثال، یک رومی ممکن است بگوید که هفت اونس از یک مسیر را پیموده است یا پنج اونس از یک کتاب را خوانده است. البته در این مورد، سنجیدن مسیر یا کتاب نبود. این بدان معناست که 7/12 از سفر به پایان رسیده یا 5/12 از کتاب خوانده شده است. و برای کسرهایی که با تقلیل کسرهای با مخرج 12 یا تقسیم دوازدهم به کسرهای کوچکتر به دست می‌آمدند، نام‌های خاصی وجود داشت. در مجموع، 18 نام مختلف برای کسرها استفاده شد. به عنوان مثال، نام های زیر در حال استفاده بودند:

"scrupulus" - 1/288 assa،

"نیمه" - نیمه آسا،

"sextance" قسمت ششم آن است،

"semiouce" - نیم اونس، یعنی. 1/24 الاغ و غیره

برای کار با چنین کسرهایی لازم بود جدول جمع و جدول ضرب این کسرها را به خاطر بسپارید. بنابراین، بازرگانان رومی کاملاً می‌دانستند که هنگام جمع کردن تری‌ن‌ها (1/3 assa) و sextans، نتیجه نیمه است و وقتی imp (2/3 assa) را در sescunce (2/3 اونس، یعنی 1/8 assa) ضرب می‌کنند. نتیجه یک اونس است. برای سهولت کار جداول ویژه ای تنظیم شد که تعدادی از آنها به دست ما رسیده است.

یک اونس با یک خط - نصف assa (6 اونس) - با حرف S (اولین کلمه در کلمه لاتین Semis - نیم) مشخص می شد. این دو علامت برای ثبت هر کسری اثنی عشر، که هر کدام نام خاص خود را داشتند، خدمت می کردند. مثلاً 7\12 به این صورت نوشته شده بود: S-.

در قرن اول پیش از میلاد، خطیب و نویسنده برجسته رومی، سیسرو گفت: "بدون دانش کسری، هیچ کس نمی تواند حساب را بداند!"

گزیده زیر از آثار شاعر معروف رومی قرن اول پیش از میلاد هوراس، در مورد گفتگوی معلم و شاگردی در یکی از مدارس رومی آن عصر، نمونه است:

معلم: بگذارید پسر آلبین به من بگوید اگر یک اونس از پنج اونس برداشته شود چقدر باقی می ماند!

دانش آموز: یک سوم.

معلم: درست است، شما کسرها را به خوبی می شناسید و می توانید دارایی خود را نجات دهید.

1.5. کسری در یونان باستان.

در یونان باستان، حساب مطالعه است خواص عمومیاعداد - جدا از تدارکات - هنر محاسبه. یونانیان معتقد بودند که فراکسیون ها فقط در لجستیک قابل استفاده هستند. یونانی ها آزادانه همه عملیات حسابی را با کسری انجام می دادند، اما آنها را به عنوان اعداد تشخیص نمی دادند. کسری در آثار یونانی در ریاضیات یافت نشد. دانشمندان یونانی معتقد بودند که ریاضیات فقط باید با اعداد صحیح سروکار داشته باشد. آنها کار کردن با کسری را به بازرگانان، صنعتگران، و همچنین ستاره شناسان، نقشه برداران، مکانیک ها و سایر «سیاهان» واگذار کردند. بنیانگذار آکادمی آتن، افلاطون، می نویسد: "اگر می خواهید یک واحد را تقسیم کنید، ریاضیدانان شما را مسخره می کنند و به شما اجازه انجام آن را نمی دهند."

اما همه ریاضیدانان یونان باستان با افلاطون موافق نبودند. بنابراین، ارشمیدس در رساله خود "درباره اندازه گیری یک دایره" از کسری استفاده می کند. هرون اسکندریه نیز آزادانه کسری را اداره می کرد. او مانند مصریان، کسری را به مجموع کسرهای پایه تقسیم می کند. به جای 12\13 می نویسد 1\2 + 1\3 + 1\13 + 1\78، به جای 5\12 می نویسد 1\3 + 1\12 و غیره. حتی فیثاغورث که با اعداد طبیعی با ترس مقدس رفتار می کرد، هنگام ایجاد نظریه مقیاس موسیقی، فواصل اصلی موسیقی را با کسری مرتبط می کرد. درست است که فیثاغورث و شاگردانش از مفهوم کسر استفاده نکردند. آنها به خود اجازه دادند که فقط در مورد نسبت های اعداد صحیح صحبت کنند.

از آنجایی که یونانی ها فقط به صورت پراکنده با کسری کار می کردند، از نمادهای مختلفی استفاده می کردند. هرون و دیوفانتوس کسرها را به صورت حروف الفبا نوشتند و صورت آن در زیر مخرج قرار گرفت. برای برخی از کسرها از علامت های جداگانه استفاده می شد، به عنوان مثال، برای 1\2 - L′′، اما به طور کلی شماره گذاری الفبایی آنها تعیین کسری را دشوار می کرد.

برای کسرهای واحد، از نماد خاصی استفاده شد: مخرج کسری با یک ضربه به سمت راست همراه بود، شمارنده نوشته نشده بود. مثلا،
در سیستم حروف الفبا به معنای 32 بود و " - کسر 1\32. چنین ضبط هایی از کسرهای معمولی وجود دارد که در آن صورت با عدد اول و مخرج دو بار با دو عدد اول در یک خط در کنار هم نوشته می شوند. اینگونه است. به عنوان مثال، هرون اسکندریه کسر 3\4 را یادداشت کرد:
.

مضرات نماد یونانی برای اعداد کسری به این دلیل است که یونانی ها کلمه "عدد" را به عنوان مجموعه ای از واحدها درک می کردند، بنابراین آنچه را که ما اکنون به عنوان یک عدد گویا منفرد در نظر می گیریم - یک کسری - یونانیان به عنوان نسبت دو عدد صحیح این توضیح می دهد که چرا کسرها به ندرت در حساب یونانی یافت می شدند. اولویت به کسری با شمارش واحد یا کسرهای جنسی کوچک داده شد. زمینه ای که محاسبات عملی در آن بیشترین نیاز را به کسرهای دقیق داشت، نجوم بود و در اینجا سنت بابلی آنقدر قوی بود که همه ملل از جمله یونان از آن استفاده می کردند.

1.6. کسری در روسیه

اولین ریاضیدان روسی که به نام ما شناخته می شود، راهب صومعه نووگورود کریک، به مسائل گاهشماری و تقویم پرداخت. در کتاب دست نویس خود «تعلم به شخص اعداد تمام سالها» (1136) یعنی. «دستورالعمل در مورد اینکه انسان چگونه می تواند شماره سال ها را بداند» تقسیم ساعت را به پنجم، بیست و پنجم و غیره اعمال می کند. کسرهایی که او آنها را «ساعت کسری» یا «چست» نامید. به ساعت کسری هفتم می رسد که در یک شبانه روز 937500 عدد است و می گوید از ساعت کسری هفتم چیزی نمی آید.

در اولین کتاب‌های درسی ریاضیات (قرن هفتم)، کسرها را کسر و بعداً «اعداد شکسته» نامیدند. در زبان روسی، کلمه کسری در قرن هشتم ظاهر شد؛ آن از فعل "droblit" آمده است - شکستن، قطعه قطعه کردن. هنگام نوشتن یک عدد از یک خط افقی استفاده می شد.

در کتابچه های راهنمای قدیمی، نام کسرهای زیر در روسیه وجود دارد:

1/2 - نصف، نصف

1/3 - سوم

1/4 - حتی

1/6 - نیم سوم

1/8 - نیم

1/12 - نیم سوم

1/16 - نیم و نیم

1/24 – نیم و نیم سوم (یک سوم کوچک)

1/32 – نصف نصف (نیمه کوچک)

1/5 - پیاتینا

1/7 - هفته

1/10 یک دهم است.

اندازه زمین یک چهارم یا کمتر در روسیه استفاده شد -

نیم ربع که به آن اکتینا می گفتند. اینها کسرهای بتنی، واحدهایی برای اندازه گیری مساحت زمین بودند، اما اکتینا نمی توانست زمان یا سرعت و غیره را اندازه گیری کند. خیلی بعد، اکتینا به معنای کسر انتزاعی 1/8 بود که می تواند هر مقداری را بیان کند.

در مورد استفاده از کسری در روسیه در قرن 17، می توانید موارد زیر را در کتاب V. Bellustin "چگونه مردم به تدریج به حساب واقعی رسیدند" بخوانید: "در نسخه خطی قرن 17. "مقاله عددی در مورد فرمان همه کسرها" مستقیماً با تعیین کتبی کسرها و با ذکر صورت و مخرج شروع می شود. هنگام تلفظ کسرها، ویژگی های زیر جالب است: قسمت چهارم یک چهارم نامیده می شد، در حالی که کسری با مخرج از 5 تا 11 با کلماتی که به "اینا" ختم می شوند بیان می شد، به طوری که 1/7 یک هفته است، 1/5 برابر است با یک پنج، 1/10 یک دهم است. سهام با مخرج بیشتر از 10 با استفاده از کلمات "لات" تلفظ می شود، به عنوان مثال 5/13 - پنج سیزدهم لات. شماره گذاری کسرها مستقیماً از منابع غربی به عاریت گرفته شده بود... به عدد بالا و مخرج پایین می گفتند.

از قرن شانزدهم، چرتکه پلانک در روسیه بسیار محبوب بود - محاسبات با استفاده از دستگاهی که نمونه اولیه چرتکه روسی بود. انجام سریع و آسان عملیات پیچیده حسابی را ممکن می کرد. حساب پلانک در میان بازرگانان، کارمندان سفارشات مسکو، "سنجشگران" - نقشه برداران زمین، اقتصاددانان رهبانی و غیره بسیار گسترده بود.

در شکل اصلی خود، چرتکه تخته به طور خاص با نیازهای محاسبات پیشرفته سازگار شده بود. این یک سیستم مالیاتی در روسیه در قرون 15-17 است که در آن، همراه با جمع، تفریق، ضرب و تقسیم اعداد صحیح، انجام همان عملیات با کسری ضروری بود، زیرا واحد متعارف مالیات - گاوآهن - به قطعات تقسیم شد.

حساب تخته ای شامل دو جعبه تاشو بود. هر جعبه به دو قسمت تقسیم شد (بعداً فقط در پایین). صندوق دوم به دلیل ماهیت حساب نقدی ضروری بود. در داخل جعبه، استخوان‌ها را بر روی تارها یا سیم‌های کشیده می‌زدند. مطابق با سیستم اعداد اعشاری، ردیف های اعداد صحیح دارای 9 یا 10 تاس بودند. عملیات با کسری روی ردیف های ناقص انجام شد: یک ردیف سه تاس سه سوم بود، یک ردیف چهار تاس چهار چهارم (چهار). در زیر ردیف هایی وجود داشت که در آنها یک تاس وجود داشت: هر تاس نشان دهنده نیمی از کسری بود که در زیر آن قرار داشت (به عنوان مثال، تاس واقع در زیر ردیف سه تاس نصف یک سوم بود، تاس زیر آن نیمی از نیم بود. یک سوم و غیره). جمع کردن دو کسر "همبسته" یکسان، کسری از نزدیکترین رتبه بالاتر را می دهد، به عنوان مثال، 1/12 + 1/12 = 1/6، و غیره. در چرتکه، افزودن دو کسری از این قبیل با حرکت به نزدیکترین دومینوی بالاتر مطابقت دارد.

کسری ها بدون تقلیل به یک مخرج مشترک، به عنوان مثال، "یک چهارم و نیم سوم، و نیم" (1/4 + 1/6 + 1/16) خلاصه شدند. گاهی اوقات عملیات با کسری مانند کل با معادل کردن کل (شاهن) به مقدار معینی پول انجام می شد. به عنوان مثال، اگر سوخا = 48 واحد پولی باشد، کسر فوق 12 + 8 + 3 = 23 واحد پولی خواهد بود.

در محاسبات پیشرفته باید با کسرهای کوچکتر سر و کار داشت. برخی از نسخه‌های خطی نقاشی‌ها و توصیف‌هایی از «تخته‌های شمارش» ارائه می‌دهند که مشابه مواردی که قبلاً مورد بحث قرار گرفت، اما با تعداد زیادی ردیف با یک استخوان، به طوری که می‌توان کسری تا 1/128 و 1/96 را روی آنها گذاشت. شکی نیست که ابزارهای مربوطه نیز ساخته شده است. برای راحتی ماشین حساب ها، بسیاری از قوانین "کد استخوان های کوچک" ارائه شده است، یعنی. جمع کسری که معمولاً در محاسبات رایج استفاده می شود، مانند: سه چهار گاوآهن و نیم گاوآهن و نیم گاوآهن و غیره. تا نصف نصف نصف نیم نصف گاوآهن، گاوآهن بدون نیم و نیم نصف نصف است، یعنی. 3/4+1/8+1/16+1/32 +1/64 + 1/128 = 1 - 1/128 و غیره.

اما از کسری ها، تنها 1/2 و 1/3 در نظر گرفته شد، و همچنین آنهایی که از آنها با استفاده از تقسیم ترتیبی بر 2 به دست آمد. هنگام کار با آنها لازم بود به جداول خاصی مراجعه شود که در آنها نتایج ترکیبات مختلف کسرها آورده شده است.

که در 1703 اولین کتاب درسی چاپی روسی در ریاضیات "حساب" منتشر شد. نویسنده مگنیتسکی لئونتی فیلیپوویچ. در بخش دوم این کتاب، «در اعداد شکسته یا با کسر»، بررسی کسرها به تفصیل ارائه شده است.

مگنیتسکی شخصیت تقریباً مدرنی دارد. مگنیتسکی در مقایسه با کتاب های درسی مدرن با جزئیات بیشتری در مورد محاسبه سهام صحبت می کند. مگنیتسکی کسرها را به عنوان اعداد نامگذاری شده در نظر می گیرد (نه فقط 1/2، بلکه 1/2 روبل، پود و غیره)، و عملیات با کسرها را در فرآیند حل مسائل مطالعه می کند. ماگنیتسکی پاسخ می دهد که یک عدد شکسته وجود دارد: "عدد شکسته چیز دیگری نیست، فقط بخشی از یک چیز به عنوان یک عدد اعلام شده است، یعنی نیم روبل نصف روبل است و به صورت روبل یا یک روبل نوشته می شود. روبل، یا روبل، یا دو پنجم، و انواع چیزهایی که هر یک به عنوان یک عدد اعلام می شوند، یعنی یک عدد شکسته. مگنیتسکی نام همه کسرهای مناسب را با مخرج 2 تا 10 می دهد. برای مثال، کسری با مخرج 6: یک شانزده، دو شانزده، سه شانزده، چهار شانزده، پنج شانزده.

مگنیتسکی از نام کسر، مخرج استفاده می کند، کسرهای نامناسب را در نظر می گیرد، اعداد مختلط، علاوه بر همه اعمال، کل قسمت یک کسر نامناسب را جدا می کند.

مطالعه کسرها همیشه سخت ترین بخش حساب باقی مانده است، اما در عین حال، در هر یک از دوره های قبل، مردم به اهمیت مطالعه کسری پی بردند و معلمان سعی کردند دانش آموزان خود را در شعر و نثر تشویق کنند. L. Magnitsky نوشت:

اما حسابی در کار نیست

ایزو کل متهم است،

و در این سهام چیزی نیست،

امکان پاسخگویی وجود دارد.

اوه، لطفا، لطفا،

بتواند در قسمت ها باشد.

1.7. کسری در چین باستان

در چین، تقریباً تمام عملیات حسابی با کسرهای معمولی در قرن دوم برقرار شد. قبل از میلاد مسیح ه. آنها در بدنه اساسی دانش ریاضی چین باستان - "ریاضیات در نه کتاب" توضیح داده شده اند، که نسخه نهایی آن متعلق به ژانگ کانگ است. ریاضیدانان چینی با محاسبه بر اساس قاعده ای شبیه به الگوریتم اقلیدس (بزرگترین مقسوم علیه مشترک صورت و مخرج)، کسرها را کاهش دادند. ضرب کسری به عنوان یافتن مساحت یک قطعه زمین مستطیلی تلقی می شد که طول و عرض آن به صورت کسری بیان می شود. تقسیم بندی با استفاده از ایده اشتراک گذاری در نظر گرفته شد، در حالی که ریاضیدانان چینی از این واقعیت خجالت نمی کشند که تعداد شرکت کنندگان در بخش می تواند کسری باشد، به عنوان مثال، 3⅓ نفر.

در ابتدا، چینی ها از کسری های ساده استفاده می کردند که با استفاده از هیروگلیف حمام نام گذاری می شدند:

ممنوعیت ("نیم") -1\2;

shao ban ("نیمه کوچک") -1\3;

تای بان ("نیمه بزرگ") -2\3.

مرحله بعدی توسعه یک درک کلی از کسری و تشکیل قوانین برای کار با آنها بود. اگر در مصر باستان فقط از کسری‌های کمی استفاده می‌شد، در چین آن‌ها را که کسری-فن در نظر می‌گرفتند، به عنوان یکی از انواع کسری‌ها و نه تنها موارد ممکن در نظر می‌گرفتند. ریاضیات چینی از زمان های قدیم با اعداد مختلط سروکار داشته است. قدیمی ترین متون ریاضی، ژو بی ژوان جینگ (قانون محاسبه ژو گنومون/رساله ریاضی درباره گنومون)، شامل محاسباتی است که اعدادی مانند 247 933 / 1460 را به توان می رساند.

در "Jiu Zhang Xuan Shu" ("قوانین شمارش در نه بخش")، کسری به عنوان بخشی از یک کل در نظر گرفته می شود که در n-تعداد کسرهای آن - fen - m (n) بیان می شود.

در بخش اول «جیو ژانگ ژوان شو» که عموماً به اندازه‌گیری میدان‌ها اختصاص دارد، قوانین کاهش، جمع، تفریق، تقسیم و ضرب کسرها و همچنین مقایسه و «تعادل» آن‌ها به طور جداگانه آورده شده است. چنین مقایسه ای از سه کسری که در آن باید میانگین حسابی آنها را پیدا کرد (قانون ساده تری برای محاسبه میانگین حسابی دو عدد در کتاب آورده نشده است).

به عنوان مثال، برای به دست آوردن مجموع کسری در مقاله نشان داده شده، دستورالعمل های زیر ارائه می شود: "به طور متناوب (hu cheng) اعداد را در مخرج ضرب کنید. اضافه کنید - این سود سهام (شی) است. مخرج ها را ضرب کنید - این مقسوم علیه (fa) است. تقسیم سود و تقسیم کننده را در یک (ها) ترکیب کنید. اگر باقی مانده است، آن را به مقسوم‌کننده وصل کنید.» این دستور به این معنی است که اگر چند کسر اضافه شود، صورت هر کسر باید در مخرج همه کسرهای دیگر ضرب شود. هنگام "ترکیب" سود تقسیمی (به عنوان مجموع نتایج چنین ضربی) با یک مقسوم علیه ( حاصلضرب همه مخرج ها) کسری به دست می آید که در صورت لزوم باید کاهش یابد و کل قسمت باید با تقسیم از آن جدا شود. ، سپس "باقی مانده" صورتگر است و مقسوم علیه کاهش یافته مخرج است. مجموع مجموعه ای از کسرها حاصل چنین تقسیمی است که از یک عدد کامل به اضافه یک کسری تشکیل شده است. عبارت «ضرب مخرج» اساساً به معنای تقلیل کسرها به بزرگترین مخرج مشترکشان است.

قانون کاهش کسرها در Jiu Zhang Xuan Shu شامل الگوریتمی برای یافتن بزرگترین مقسوم علیه مشترک صورت و مخرج است که با الگوریتم موسوم به اقلیدسی منطبق است که برای تعیین بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد طراحی شده است. اما اگر دومی، همانطور که مشخص است، در Principia در فرمول هندسی آورده شود، الگوریتم چینی صرفاً به صورت حسابی ارائه می شود. الگوریتم چینی برای یافتن بزرگترین مقسوم علیه مشترک، به نام دنگ شو ("همان عدد")، به عنوان تفریق متوالی یک عدد کوچکتر از یک عدد بزرگتر ساخته شده است. کسر باید با این تعداد دن شو کاهش یابد. به عنوان مثال پیشنهاد شده است کسر 49\91 کاهش یابد. ما تفریق متوالی را انجام می دهیم: 91 - 49 = 42. 49 - 42 = 7; 42 – 7 – 7 – 7 – 7 – 7 – 7 = 0. دان شو = 7. کسر را با این عدد کاهش دهید. دریافت می کنیم: 7\13.

تقسیم کسرها در جیو ژانگ ژوان شو با آنچه امروزه پذیرفته شده است متفاوت است. قاعده "جینگ فن" ("ترتیب تقسیم") بیان می کند که قبل از تقسیم کسرها، باید آنها را به یک مخرج مشترک تقلیل داد. بنابراین، روش تقسیم کسرها یک مرحله غیر ضروری دارد: a/b: c/d = ad/bd: cb/bd = ad/cb. فقط در قرن پنجم. ژانگ کیو جیان در اثر خود "ژانگ کیو جیان سوان جینگ" ("قانون شمارش ژانگ کیو جیان") از شر آن خلاص شد و کسرها را طبق قانون معمول تقسیم کرد: a/b: c/d = ad/ cb.

شاید تعهد طولانی ریاضیدانان چینی به یک الگوریتم پیچیده برای تقسیم کسرها به دلیل تمایل به حفظ جهانی بودن آن و استفاده از تخته شمارش باشد. اساساً شامل کاهش تقسیم کسری به تقسیم اعداد صحیح است. این الگوریتم زمانی معتبر است که یک عدد صحیح بر یک عدد مختلط بخش پذیر باشد. برای مثال، در تقسیم 2922 بر 182 5 / 8، ابتدا هر دو عدد در 8 ضرب شدند، که امکان تقسیم بیشتر اعداد صحیح را فراهم کرد: 23376:1461 = 16

1.8. کسری در سایر ایالات باستان و قرون وسطی.

مثلا کسری ثبت شده به عنوان

قوانین کار با کسری که توسط دانشمند هندی براماگوپتا (قرن هشتم) تعیین شده بود، تقریباً با قوانین مدرن تفاوتی نداشت. همانطور که در چین، در هند، برای به یک مخرج مشترک، مخرج همه اصطلاحات برای مدت طولانی ضرب می شد، اما از قرن نهم. قبلاً از کمترین مضرب مشترک استفاده شده است.

اعراب قرون وسطی از سه سیستم برای نوشتن کسرها استفاده می کردند. اول، به روش هندی، نوشتن مخرج زیر صورت. خط کسری در اواخر قرن دوازدهم - آغاز قرن سیزدهم ظاهر شد. ثانیاً، مقامات، نقشه برداران زمین، و بازرگانان از محاسبه کسری های جزئی، مشابه حساب مصری، با استفاده از کسری با مخرج بیش از 10 استفاده کردند (فقط برای چنین کسرهایی، زبان عربی اصطلاحات خاصی دارد). مقادیر تقریبی اغلب استفاده می شود. دانشمندان عرب برای بهبود این حساب کار کردند. ثالثاً، دانشمندان عرب سیستم جنسیتی بابلی-یونانی را به ارث بردند که در آن، مانند یونانیان، از علامت الفبایی استفاده می کردند و آن را به کل بخش ها گسترش می دادند.

نماد هندی برای کسرها و قوانین کار با آنها در قرن نهم به تصویب رسید. در کشورهای مسلمان به لطف محمد خوارزمی (الخوارزمی). در عمل تجارت در کشورهای اسلامی، کسر واحد به طور گسترده مورد استفاده قرار می گرفت؛ در علم، کسرهای جنسی و به میزان بسیار کمتری از کسرهای معمولی استفاده می شد. الکرجی (قرن X-XI)، الخسار (قرن XII)، الکلاسدی (قرن XV) و دانشمندان دیگر در آثار خود قوانینی را برای نمایش کسرهای معمولی به صورت مجموع و حاصلضرب کسرهای واحد ارائه کردند. اطلاعات مربوط به کسری ها توسط تاجر و دانشمند ایتالیایی لئوناردو فیبوناچی از پیزا (قرن سیزدهم) به اروپای غربی منتقل شد. او کلمه کسری را معرفی کرد، شروع به استفاده از خط کسری کرد (1202) و فرمول هایی برای تقسیم سیستماتیک کسرها به پایه ارائه کرد. نام های صورت و مخرج در قرن سیزدهم توسط ماکسیموس پلانود، راهب، دانشمند و ریاضیدان یونانی معرفی شد. روشی برای کاهش کسرها به یک مخرج مشترک در سال 1556 توسط N. Tartaglia پیشنهاد شد. طرح مدرن برای افزودن کسرهای معمولی به سال 1629 برمی گردد. در A. Girard.

II. کاربرد کسرهای معمولی

2.1 کسری جزئی

مسائلی که از کسرهای نسبی استفاده می کنند، دسته بزرگی از مسائل غیر استاندارد را تشکیل می دهند، از جمله مسائلی که از دوران باستان آمده اند. کسرهای Aliquot زمانی استفاده می شود که شما نیاز دارید چیزی را در کمترین مقدار ممکن به چند قسمت تقسیم کنید. تجزیه کسری به شکل 2/n و 2/(2n +1) به دو کسر جزئی در قالب فرمول سیستماتیک می شود.

تجزیه به سه، چهار، پنج و غیره. کسرهای نسبی را می توان با تجزیه یکی از عبارت ها به دو کسر، عبارت بعدی به دو کسر جزئی دیگر و غیره تولید کرد.

برای نشان دادن یک عدد به عنوان مجموع کسرهای جزئی، گاهی اوقات باید نبوغ فوق العاده ای از خود نشان دهید. فرض کنید عدد 2/43 به این صورت بیان می شود: 2/43=1/42+1/86+1/129+1/301. انجام عملیات حسابی روی اعداد بسیار ناخوشایند است و آنها را به مجموع کسرهای یک تجزیه می کنیم. بنابراین، در فرآیند حل مسائل برای تجزیه کسرهای کسری به صورت مجموع کسرهای جزئی کوچکتر، این ایده به وجود آمد که تجزیه کسرها را در قالب یک فرمول نظام‌مند کنیم. این فرمول در صورتی معتبر است که شما نیاز دارید یک کسر aliquot را به دو بخش aliquot تجزیه کنید.

فرمول به صورت زیر است:

1/n=1/(n+1) + 1/n ·(n+1)

نمونه هایی از بسط کسری:

1/3=1/(3+1)+1/3·(3+1)=1/4 +1/12;

1/5=1/(5+1)+1/5·(5+1)=1/6 +1/30;

1/8=1/(8+1)+1/8·(8+1)=1/9+ 1/72.

این فرمول را می توان برای به دست آوردن برابری مفید زیر تبدیل کرد: 1/n·(n+1)=1/n -1/(n+1)

برای مثال 1/6=1/(2 3)=1/2 -1/3

یعنی یک کسر جزئی را می توان با تفاضل دو کسر جزئی یا اختلاف دو کسری که مخرج آنها اعداد متوالی برابر با حاصلضرب آنها هستند نشان داد.

مثال.عدد 1 را به صورت مجموع کسرهای مختلف نشان دهید

الف) سه جمله 1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6

ب) چهار ترم

1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6=1/2+1/3+(1/7+1/42)= 1/2+1/3+1/7+1/42

ج) پنج ترم

1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6=1/2+1/3+(1/7+1/42)=1/2+1/3+1/7+1/42=1/2+(1/4+ +1/12) +1/7+1/42=1/2+1/4+1/12 +1/7+1/42

2.2 به جای کسرهای کوچک، کسرهای بزرگ

در کارخانه های ماشین سازی یک حرفه بسیار هیجان انگیز وجود دارد که به آن نشانگر می گویند. نشانگر خطوط روی قطعه کار را مشخص می کند که این قطعه کار باید در امتداد آنها پردازش شود تا شکل مورد نیاز را به آن بدهد.

نشانگر باید مسائل هندسی جالب و گاهی دشوار را حل کند، محاسبات حسابی و غیره را انجام دهد.
لازم بود به نحوی 7 بشقاب مستطیل شکل یکسان را در تقسیمات مساوی بین 12 قسمت تقسیم کنیم. آنها این 7 صفحه را به نشانگر آوردند و از او خواستند در صورت امکان روی صفحات علامت گذاری کند تا هیچ یک از آنها به قطعات بسیار کوچک خرد نشوند. بنابراین، ساده ترین راه حل این است که - برش هر صفحه به 12 قسمت مساوی مناسب نیست، زیرا این کار باعث ایجاد قطعات کوچک زیادی می شود.
آیا می توان این صفحات را به قطعات بزرگتر تقسیم کرد؟ نشانگر فکر کرد، چند محاسبات حسابی با کسری انجام داد و در نهایت مقرون به صرفه ترین راه را برای تقسیم این صفحات پیدا کرد.
پس از آن، او به راحتی 5 صفحه را خرد کرد تا آنها را به طور مساوی بین شش قسمت، 13 صفحه برای 12 قسمت، 13 صفحه برای 36 قسمت، 26 برای 21 و غیره تقسیم کند.

به نظر می رسد که نشانگر کسری 7\12 را به عنوان مجموع کسرهای واحد 1\3 + 1\4 ارائه کرده است. این بدان معنی است که اگر از 7 صفحه داده شده 4 عدد به سه قسمت مساوی بریده شود، 12 سوم یعنی یک سوم برای هر قسمت بدست می آید. 3 بشقاب باقی مانده را هر کدام به 4 قسمت مساوی برش می زنیم، 12 ربع می گیریم یعنی برای هر قسمت یک چهارم. به طور مشابه، با استفاده از نمایش کسرها به صورت مجموع کسرهای واحد 5\6=1\2+1\3; 13\121\3+3\4; 13\36=1\4+1\9.

2.3 تقسیم در شرایط سخت

مَثَل شرقی معروفی وجود دارد که پدری 17 شتر را برای پسرانش گذاشت و به آنها دستور داد بین خود تقسیم کنند: نیمه بزرگ، وسط یک سوم، کوچکترین یک نهم. اما 17 بر 2، 3 یا 9 بخش پذیر نیست. پسران به حکیم روی آوردند. حکیم با کسری آشنا بود و توانست در این شرایط سخت کمک کند.

او به نیرنگی متوسل شد. حکیم شتر خود را موقتاً به گله اضافه کرد، سپس 18 نفر شد، پس از تقسیم این تعداد، همانطور که در وصیت نامه آمده، حکیم شتر خود را پس گرفت. راز این است که قسمت هایی که پسران باید گله را بر اساس وصیت به آنها تقسیم کنند، به 1 نمی رسد. در واقع، 1\2 + 1\3 + 1\9 = 17\18.

چنین وظایفی بسیار زیاد است. به عنوان مثال، مشکلی از یک کتاب درسی روسی درباره 4 دوست که یک کیف پول با 8 اسکناس اعتباری پیدا کردند: یکی برای یک، سه، پنج روبل، و بقیه برای ده روبل. با توافق دوجانبه، یکی قسمت سوم، دومی یک چهارم، سومی یک پنجم، چهارمی یک ششم را می خواست. با این حال، آنها به تنهایی نتوانستند این کار را انجام دهند: یک رهگذر پس از اضافه کردن روبل خود کمک کرد. برای حل این مشکل، یک رهگذر کسر واحد 1\3 + 1\4 + 1\5 + 1\6 = 57\60 را اضافه کرد و درخواست های دوستان خود را برآورده کرد و 2 روبل برای خود به دست آورد.

III.کسرهای جالب

3.1 کسری دومینو

دومینو یک بازی رومیزی محبوب در سراسر جهان است. یک بازی دومینو اغلب از 28 کاشی مستطیلی تشکیل شده است. دومینو یک کاشی مستطیل شکل است که قسمت جلویی آن با یک خط به دو قسمت مربع تقسیم می شود. هر قسمت از صفر تا شش امتیاز دارد. اگر تاس هایی را بردارید که دارای نقاط حداقل در یک نیمه (جاهای خالی) نیستند، تاس های باقی مانده را می توان به عنوان کسری در نظر گرفت. تاس هایی که هر دو نیمه آنها دارای تعداد یکسانی (دو برابر) هستند، کسرهای نامناسبی برابر با یک هستند. اگر این استخوان های بیشتر را بردارید، 15 استخوان باقی می ماند. آنها را می توان به روش های مختلف مرتب کرد و نتایج جالبی گرفت.

1. چیدمان در 3 ردیف که مجموع کسرهای هر کدام 2 است.

;
;

2. هر 15 کاشی را در سه ردیف 5 تایی بچینید، با استفاده از برخی از دومینوها به عنوان کسرهای نامناسب، مانند 4/3، 6/1، 3/2 و غیره، به طوری که مجموع کسرهای هر ردیف برابر با عدد 10 شد.

1\3+6\1+3\4+5\3+5\4=10

2\1+5\1+2\6+6\3+4\6=10

4\1+2\3+4\2+5\2+5\6=10

3. ترتیب کسری در ردیف هایی که مجموع آنها یک عدد کامل خواهد بود (اما در ردیف های مختلف متفاوت است).

3.2 از زمان های بسیار قدیم.

او این موضوع را با دقت مطالعه کرد.» یعنی موضوع تا انتها بررسی شده که حتی کوچکترین ابهامی باقی نمانده است. و کلمه عجیب "scrupulously" از نام رومی برای 1/288 assa - "scrupulus" آمده است.

"ورود به کسری." این عبارت به معنای یافتن خود در شرایط دشوار است.

"الاغ" واحد اندازه گیری جرم در فارماکولوژی (پوند داروساز) است.

"اونس" یک واحد جرم در سیستم اندازه گیری انگلیسی، یک واحد اندازه گیری جرم در فارماکولوژی و شیمی است.

IV. نتیجه.

به این نتیجه رسیدم که تاریخچه کسری جاده ای پر پیچ و خم با موانع و مشکلات فراوان است. در حین کار بر روی مقاله، چیزهای جدید و جالب زیادی یاد گرفتم. من کتاب ها و بخش های زیادی از دایره المعارف ها را مطالعه کردم. من با اولین کسری که مردم با آنها عمل کردند، با مفهوم کسری نسبی آشنا شدم و اسامی جدیدی از دانشمندانی را که در توسعه دکترین کسرها مشارکت داشتند، یاد گرفتم. من خودم سعی کردم مسائل المپیاد و سرگرم کننده را حل کنم، به طور مستقل نمونه هایی از تجزیه کسرهای معمولی را به کسرهای کمی انتخاب کردم و حل مثال ها و مسائل ارائه شده در متون را تجزیه و تحلیل کردم. پاسخ به سوالی که قبل از شروع کار روی انشا از خودم پرسیدم: کسرهای معمولی لازم هستند، مهم هستند. آماده کردن ارائه جالب بود؛ مجبور شدم برای کمک به معلم و همکلاسی ها مراجعه کنم. همچنین هنگام تایپ برای اولین بار با نیاز به تایپ کسری و عبارات کسری مواجه شدم. من چکیده خود را در یک کنفرانس مدرسه ارائه کردم. او همچنین در مقابل همکلاسی هایش اجرا می کرد. خیلی با دقت گوش می کردند و به نظر من علاقه مند بودند.

من معتقدم که وظایفی را که قبل از شروع کار بر روی چکیده تعیین کرده ام، انجام داده ام.

ادبیات.

1. Borodin A.I. از تاریخ حساب. انتشارات اصلی "مدرسه ویشچا" - ک.، 1986

2. Glazer G.I. تاریخچه ریاضیات در مدرسه: کلاس های IV-VI. دفترچه راهنما برای معلمان. - م.: آموزش و پرورش، 1981.

3. ایگناتیف E.I. در پادشاهی نبوغ. تحریریه اصلی ادبیات فیزیکی و ریاضی انتشارات "ناوکا"، M.، 1978.

4. Kordemskoy G.A. نبوغ ریاضی - ویرایش 10، تجدید نظر شده. و اضافی - م.: Unisam، MDS، 1994.

5. استرویک دی.یا. انشا مختصرتاریخ ریاضیات M.: Nauka، 1990.

6. دایره المعارف برای کودکان. جلد 11. ریاضی. مسکو، آوانتا+، 1998.

7. /wiki.Material از ویکی پدیا - دانشنامه آزاد.

پیوست 1.

مقیاس طبیعی

همه می دانند که فیثاغورث یک دانشمند و به ویژه نویسنده قضیه معروف بود. اما این واقعیت که او یک موسیقیدان درخشان نیز بود چندان شناخته شده نیست. ترکیب این استعدادها به او اجازه داد تا اولین کسی باشد که وجود یک مقیاس طبیعی را حدس بزند. هنوز باید ثابت می کردم. فیثاغورث برای آزمایش های خود یک نیمه ابزار و نیمه دستگاه ساخت - یک "تک وورد". جعبه ای مستطیلی بود که نخی روی آن کشیده شده بود. فیثاغورث در زیر ریسمان، روی درب بالایی جعبه، مقیاسی کشید تا تقسیم بصری رشته را به قطعات آسان‌تر کند. فیثاغورث آزمایش های زیادی را با یک تک آکورد انجام داد و در پایان رفتار یک سیم صدادار را به صورت ریاضی توصیف کرد. آثار فیثاغورث اساس علمی را تشکیل دادند که اکنون آن را آکوستیک موسیقی می نامیم. به نظر می رسد که برای موسیقی، هفت صدا در یک اکتاو به اندازه ده انگشت در دست در حساب طبیعی است. سیم اولین آرشه که بعد از شلیک در نوسان بود، مجموعه ای از صداهای موسیقی را آماده کرد که هنوز تقریباً بدون تغییر استفاده می کنیم.

از نظر فیزیک، سیم کمان و تار یکی هستند. و مرد ریسمان را با توجه به خواص کمان ساخت. سیم صدا نه تنها به عنوان یک کل، بلکه در نیمه، یک سوم، یک چهارم و غیره نیز می لرزد. حال اجازه دهید از جنبه حسابی به این پدیده بپردازیم. نیمه ها دو بار بیشتر از یک رشته کامل، یک سوم - سه بار، یک چهارم - چهار بار می لرزند. در یک کلام، قسمت ارتعاشی ریسمان چند برابر کوچکتر است، فرکانس نوسانات آن به همان تعداد برابر بیشتر است. فرض کنید کل رشته با فرکانس 24 هرتز می لرزد. با شمارش نوسانات کسرها تا شانزدهم، سری اعداد نشان داده شده در جدول را بدست می آوریم. این دنباله از فرکانس ها طبیعی نامیده می شود، یعنی. طبیعی، مقیاس

پیوست 2.

مسائل باستانی با استفاده از کسرهای رایج

در نسخه‌های خطی باستانی و کتاب‌های درسی حساب باستانی از کشورهای مختلف، مسائل جالب بسیاری در مورد کسرها وجود دارد. حل هر یک از این مسائل نیاز به نبوغ، نبوغ و توانایی استدلال دارد.

1. یک چوپان با 70 گاو نر می آید. از او سؤال می شود:

از گله پرتعداد خود چند نفر می آورید؟

چوپان پاسخ می دهد:

من دو سوم یک سوم گاوها را می آورم. شمارش کنید که در گله چند گاو نر وجود دارد؟

پاپیروس اهمس (مصر، حدود 2000 سال قبل از میلاد).

2. شخصی 1/13 از بیت المال برداشت. از آنچه مانده بود، دیگری 17/1 گرفت. او 192 را در خزانه گذاشته است، می خواهیم بدانیم در ابتدا چقدر در خزانه بوده

پاپیروس اکمیم (قرن ششم)

3. مسافر! خاکستر دیوفانتوس در اینجا دفن شده است. و اعداد و ارقام می توانند نشان دهند که عمر او چقدر طولانی بوده است.

قسمت ششم او دوران کودکی فوق العاده ای بود.

دوازدهمین قسمت از زندگی او گذشت - سپس چانه اش با کرک پوشیده شد.
دیوفانتوس بار هفتم را در یک ازدواج بدون فرزند گذراند.

پنج سال گذشت؛ او با به دنیا آمدن اولین فرزند پسر زیبایش برکت یافت.
که سرنوشت در مقایسه با پدرش فقط نیمی از زندگی زیبا و روشن روی زمین را به او داد.

و پیرمرد با اندوه عمیق پایان قرعه زمینی خود را پذیرفت، زیرا چهار سال از زمان از دست دادن پسرش زنده مانده بود.

به من بگو، دیوفانتوس چند سال زندگی را تحمل کرد؟

4. شخصی در حال مرگ وصیت کرد: «اگر زنم پسری به دنیا آورد، 2/3 اموال او را بگذار و بقیه را به همسرش بده. اگر دختری به دنیا بیاید، 3/1 به او و 3/2 به زن تعلق می گیرد». دوقلوها به دنیا آمدند - یک پسر و یک دختر. چگونه اموال را تقسیم کنیم؟

مشکل روم باستان (قرن دوم)

سه عدد را بیابید که بزرگ‌ترین آن از میانگین یک قسمت معین از کوچک‌ترین، به طوری که میانگین از کوچک‌ترین قسمت معینی از بزرگ‌ترین تجاوز کند، و به‌طوری که کوچک‌ترین با یک قسمت معین از میانگین از عدد 10 تجاوز کند.

رساله دیوفانتوس اسکندریه «حساب» (قرن دوم تا سوم پس از میلاد)

5. یک اردک وحشی به مدت 7 روز از دریای جنوب به دریای شمال پرواز می کند. یک غاز وحشی به مدت 9 روز از دریای شمال به دریای جنوب پرواز می کند. حالا اردک و غاز همزمان به بیرون پرواز می کنند. چند روز دیگر ملاقات خواهند کرد؟

چین (قرن دوم پس از میلاد)

6. «یکی از بازرگانان از 3 شهر گذشت و در شهر اول نصف و ثلث اموالش را از او وصول کردند و در شهر دوم نصف و ثلث اموالش را که باقی مانده بود و در شهر سوم برای او عوارض گرفتند. نیم و ثلث از اموال باقی مانده او. و وقتی به خانه رسید، 11 پول برایش باقی مانده بود. دریابید که تاجر در ابتدا چقدر پول داشت.»

آنانی شیراکاتسی. مجموعه "پرسش ها و پاسخ ها" (VIIقرن بعد از میلاد).

یک گل کادامبا وجود دارد،

برای یک گلبرگ

یک پنجم زنبورها افتاده اند.

من در همین نزدیکی بزرگ شدم

همه در شکوفه سیمنگدا،

و قسمت سوم روی آن قرار می گیرد.

تفاوت آنها را پیدا کنید

آن را سه بار تا کنید

و آن زنبورها را روی کوتای بکارید.

فقط دو مورد پیدا نشد

جایی برای خودت نیست

همه به این طرف و آن طرف و همه جا پرواز می کردند

از عطر گلها لذت برد.

حالا بگو

در ذهنم محاسبه می کنم،

در کل چند زنبور وجود دارد؟

مشکل قدیمی هند (قرن XI).

8. "یک عدد را پیدا کنید، با دانستن اینکه اگر یک سوم و یک چهارم از آن کم کنید، 10 به دست می آید."

محمد بن موسی خوارزمی «حساب» (قرن نهم)

9. یک زن برای چیدن سیب به باغ رفت. برای ترک باغ باید از چهار در می گذشت که هر یک نگهبان داشت. زن نیمی از سیب هایی را که چیده بود به نگهبان در اول خانه داد. زن با رسیدن به نگهبان دوم، نیمی از بقیه را به او داد. او همین کار را با نگهبان سوم انجام داد و وقتی سیب ها را با نگهبان چهارم تقسیم کرد، 10 سیب برایش باقی مانده بود. چند سیب در باغ چید؟

"1001 شب"

10. فقط «آن» و «این» و نیمی از «آن» و «این» - چند درصد از سه چهارم «آن» و «این» خواهد بود.

کدکس روسیه باستان(قرن X-XI)

11. سه قزاق برای خرید اسب نزد گله دار آمدند.

گله‌دار گفت: «باشه، من به شما اسب‌ها را می‌فروشم، نیم گله و نیم اسب دیگر را به اولی، نیمی از اسب‌های باقی‌مانده و نیمی از اسب دیگر را به دومی می‌فروشم، سومی نیز نصف خواهد شد. از اسب های باقی مانده با نیم اسب.

من فقط 5 اسب برای خودم می گذارم.»

قزاق ها تعجب کردند که چگونه گله دار اسب ها را به قطعات تقسیم می کند. اما پس از اندکی تأمل آرام شدند و معامله انجام شد.

گله دار به هر یک از قزاق ها چند اسب فروخت؟

12. شخصی از معلم پرسید: به من بگو در کلاست چند دانش آموز داری، چون می خواهم پسرم را نزد تو ثبت نام کنم. معلم پاسخ داد: اگر به اندازه من و نصف و ربع و پسر شما بیشتر بیایند، من 100 شاگرد خواهم داشت. سوال این است که استاد چند شاگرد داشت؟

L. F. Magnitsky "Arithmetic" (1703)

13. مسافر که به دیگری رسید، از او پرسید: "تا روستای پیش رو چقدر راه است؟" مسافر دیگری پاسخ داد: «فاصله روستایی که از آن می آیی برابر است با یک سوم کل فاصله روستاها. و اگر دو مایل دیگر پیاده روی کنید دقیقاً در وسط بین روستاها خواهید بود. اولین مسافر چند مایل مانده تا برود؟

L. F. Magnitsky "Arithmetic" (1703)

14. زن دهقانی در بازار تخم می فروخت. مشتری اول نیمی از تخم‌مرغ‌های او و نیمی دیگر از یک تخم‌مرغ، نیمه دوم باقی مانده و نیمی دیگر از یک تخم‌مرغ و سومی 10 تخم‌مرغ آخر را خرید.

زن دهقان چند تخم به بازار آورد؟

L. F. Magnitsky "Arithmetic" (1703)

15. زن و شوهر از یک صندوق پول گرفتند و چیزی نمانده بود. شوهر 7/10 از کل پول را گرفت و زن 690 روبل گرفت. همه پول چقدر بود؟

L. N. تولستوی "حساب"

16. یک هشتم عدد

آن را بگیرید و هر کدام را اضافه کنید

نیم سیصد

و هشت پیشی خواهند گرفت

نه کم - پنجاه

سه چهارم. خوشحال خواهم شد،

اگر آن که نمره را می داند

شماره را به من خواهد گفت.

یوهان هملینگ، معلم ریاضیات. (1800)

17. سه نفر مقدار مشخصی پول بردند. اولی 1/4 از این مقدار، دومی 1/7- و سومی 17 فلورین را به خود اختصاص داده است. کل بردها چقدر است؟

آدام ریسه (آلمان، قرن شانزدهم) 18. شخصی که تصمیم گرفت تمام پس انداز خود را به طور مساوی بین همه پسرانش تقسیم کند، وصیت کرد. "بزرگترین پسر من باید 1000 روبل و یک هشتم بقیه را دریافت کند. مورد بعدی - 2000 روبل و یک هشتم موجودی جدید. پسر سوم - 3000 روبل و یک هشتم موجودی بعدی و غیره. تعداد پسران و مقدار پس انداز وصیت شده را تعیین کنید.

لئونارد اویلر (1780)

19. سه نفر می خواهند خانه ای به قیمت 24000 لیور بخرند. آنها توافق کردند که اولی نصف، دومی یک سوم و سومی بقیه را بدهد. نفر سوم چقدر پول می دهد؟

کسری "، " معمولی کسری" بازی "در مورد چه چیزی می توانند صحبت کنند ... برای محاسبات ذهنی." وظایف برای موضوع " معمولی کسریو اعمال بر آنها» 1. فیلسوف، نویسنده. ب. پاسکال بود غیرعادیبا استعداد و همه کاره، زندگی او ...

متن اثر بدون تصویر و فرمول درج شده است.
نسخه کاملکار در برگه "فایل های کاری" در قالب PDF موجود است

معرفی

مطالعه کسری توسط خود زندگی دیکته می شود. توانایی انجام محاسبات و محاسبات مختلف برای هر شخصی ضروری است، زیرا ما در زندگی روزمره با کسری مواجه می شویم. می خواستم بدانم نام این اعداد از کجا آمده است. که این اعداد را به دست آورد، موضوع "کسری" است که ما در مدرسه مطالعه می کنیم، در زندگی من ضروری است.

موضوع مطالعه: تاریخچه پیدایش کسرهای معمولی

موضوع مطالعه: کسرهای معمولی

فرضیه: اگر کسری وجود نداشت، آیا ریاضیات می توانست توسعه یابد؟

هدف کار: تزئین غرفه "ریاضیات در اطراف ما" در کلاس ریاضیات با حقایق جالب در مورد کسرها.

وظایف:

مطالعه تاریخچه کسرها در ریاضیات؛

جالب ترین حقایق را در مورد کسری که می توان برای جمع آوری بخش های پایه استفاده کرد، انتخاب کنید.

در کلاس ریاضیات استند نصب کنید.

ارتباط: زندگی مدرن مشکلات کسری را مرتبط می کند، زیرا دامنه کاربردهای عملی کسرها گسترش می یابد.

روش های پژوهش:

1. اطلاعات مربوط به کسرها را در منابع مختلف جستجو کنید: اینترنت، داستان، کتاب های درسی.

2. تجزیه و تحلیل، مقایسه، ترکیب و سیستم سازی اطلاعات.

1. از تاریخ کسرهای معمولی

1.1. پیدایش کسرها

در تمام تمدن ها، مفهوم کسری از فرآیند تقسیم یک کل به قطعات مساوی ناشی می شود. اصطلاح روسی "کسری" مانند آنالوگ های آن در زبان های دیگر از زبان لاتین آمده است. «fractura» که به نوبه خود ترجمه یک اصطلاح عربی به همین معنی است: شکستن، قطعه قطعه کردن. بنابراین، احتمالاً اولین کسرها در همه جا کسرهایی به شکل 1/n بودند. توسعه بیشتر به طور طبیعی به سمت در نظر گرفتن این کسرها به عنوان واحدهایی می رود که می توان از آنها کسر m/n - اعداد گویا - تشکیل داد. با این حال، این مسیر توسط همه تمدن ها دنبال نشد: به عنوان مثال، هرگز در ریاضیات مصر باستان محقق نشد.

1.2. کسری در روسیه

در زبان روسی، کلمه "کسری" در قرن هشتم ظاهر شد؛ از فعل "droblit" - شکستن، قطعه قطعه کردن آمده است. نماد مدرن برای کسری از هند باستان سرچشمه می گیرد: اعراب نیز شروع به استفاده از آن کردند.

در کتابچه های راهنمای قدیمی، نام کسرهای زیر را در روسیه می یابیم:

اندازه زمین مورد استفاده در روسیه یک چهارم و یک - نیم ربع کوچکتر بود که به آن ocmina می گفتند. اینها کسرهای بتنی، واحدهایی برای اندازه گیری مساحت زمین بودند، اما اکتینا نمی توانست زمان یا سرعت و غیره را اندازه گیری کند. خیلی بعد، اکتینا به معنای کسر انتزاعی 1/8 بود که می تواند هر مقداری را بیان کند. در مورد استفاده از کسری در روسیه در قرن 17، می توانید موارد زیر را در کتاب V. Bellustin "چگونه مردم به تدریج به حساب واقعی رسیدند" بخوانید: "در نسخه خطی قرن 17. "مقاله در مورد همه کسری از فرمان" مستقیماً با تعیین کتبی کسری و با ذکر صورت و مخرج شروع می شود. هنگام تلفظ کسرها، ویژگی های زیر جالب است: قسمت چهارم یک چهارم نامیده می شد، در حالی که کسری با مخرج از 5 تا 11 با کلماتی که به "اینا" ختم می شوند بیان می شد، به طوری که 1/7 یک هفته است، 1/5 برابر است با یک پنج امتیاز، 1/10 یک دهم است. سهام با مخرج بیشتر از 10 با استفاده از کلمات "لات" تلفظ می شود، به عنوان مثال 5/13 - پنج سیزدهم لات. شماره گذاری کسری ها مستقیماً از منابع غربی به عاریت گرفته شده است. به صورت عدد بالا و مخرج پایین می گفتند.

1.3. کسری در سایر ایالت های باستان

تمامی قوانین حساب کاربری مصریان باستانبر اساس توانایی جمع و تفریق، دو اعداد و کسرهای کامل به یک بود. نمادهای خاصی برای کسری وجود داشت. مصریان از کسری به شکل 1/n استفاده می کردند که n یک عدد طبیعی است. چنین کسری نامیده می شود کسری. گاهی اوقات به جای تقسیم m:n، m∙n را ضرب می کردند.

برای این منظور از جداول مخصوص استفاده شد. باید گفت که عملیات با کسری از ویژگی های محاسبات مصری بود که در آن ساده ترین محاسبات گاهی به مسائل پیچیده تبدیل می شد. (پیوست 3)

قبلاً در دوران باستان، مصری ها می دانستند که چگونه 2 سیب را به سه تقسیم کنند: آنها حتی یک نماد ویژه برای این تعداد داشتند. به هر حال، این تنها کسری در استفاده کاتبان مصری بود که واحدی در صورتگر نداشت - همه کسرهای دیگر مطمئناً 1 در صورت دارند (به اصطلاح کسرهای اساسی): 1/2، 1/3 ، 1/17، ... و غیره این نگرش نسبت به کسرها برای مدت بسیار طولانی وجود داشته است. تمدن مصر باستان قبلاً نابود شده بود، سرزمین زمانی سبز توسط شن‌های صحرا بلعیده شد، و کسری‌ها همه به مجموع موارد اولیه تقسیم شدند - درست تا رنسانس!

در چینتقریباً تمام عملیات حسابی با کسرهای معمولی در قرن دوم برقرار شد. قبل از میلاد مسیح ه. آنها در بدنه اساسی دانش ریاضی چین باستان - "ریاضیات در نه کتاب" توضیح داده شده اند، که نسخه نهایی آن متعلق به ژانگ تسانگ است. ریاضیدانان چینی با محاسبه بر اساس قاعده ای شبیه به الگوریتم اقلیدس (بزرگترین مقسوم علیه مشترک صورت و مخرج)، کسرها را کاهش دادند. ضرب کسری به عنوان یافتن مساحت یک قطعه زمین مستطیلی تلقی می شد که طول و عرض آن به صورت کسری بیان می شود. تقسیم بندی با استفاده از ایده اشتراک گذاری در نظر گرفته شد، در حالی که ریاضیدانان چینی از این واقعیت خجالت نمی کشند که تعداد شرکت کنندگان در بخش می تواند کسری باشد، به عنوان مثال، 3⅓ نفر.

در ابتدا، چینی ها از کسری های ساده استفاده می کردند که با استفاده از هیروگلیف حمام نام گذاری می شدند:

بانه ("نیم") -12;

shao ban ("نیمه کوچک") -13;

تای بان ("نیمه بزرگ") -23. شگفت زده ام که بابلی هاآنها یک مخرج ثابت را ترجیح می دادند (برابر با 60، ظاهراً به این دلیل که سیستم اعداد آنها به اندازه جنسی کوچک بود).

رومیانآنها همچنین تنها از یک مخرج برابر با 12 استفاده کردند.

توسعه بیشتر مفهوم کسری مشترک در سال به دست آمد هندوستان. ریاضیدانان این کشور توانستند به سرعت از کسر واحد به کسر عمومی حرکت کنند. برای اولین بار چنین کسری در "قوانین طناب" توسط آپاستامبا (قرن VII-V قبل از میلاد) یافت می شود که حاوی ساختارهای هندسی و نتایج برخی از محاسبات است. در هند از یک سیستم نمادگذاری استفاده می شد - شاید چینی و شاید یونانی متأخر - که در آن صورت کسری بالای مخرج نوشته می شد - مانند سیستم ما، اما بدون خط کسری، اما کل کسر در یک قرار می گرفت. قاب مستطیلی

کسرهای جالب

"بدون آگاهی از کسری، هیچ کس نمی تواند به عنوان دانش حساب شناخته شود!" (سیسرون)

سیستم های اندازه گیری کسری را حمل می کنند: 1 سانتی متر = 1/10 دسی متر = 1/100 متر.

شما می توانید کسری را ملاقات کنید در درس های مختلف. به عنوان مثال، در جغرافیا: «در زمان وجود اتحاد جماهیر شوروی، روسیه یک ششم زمین را اشغال کرد. اکنون روسیه یک نهم خشکی را اشغال کرده است. در هنرهای زیبا - هنگام به تصویر کشیدن یک پیکره انسانی. در موسیقی، ریتم، متر یک قطعه موسیقی است.

شخصی با کلمه "کسری" برخورد می کند در زندگی:

توپ های سربی کوچک برای تیراندازی از تفنگ شکاری - شات.

صداهای مکرر و متناوب - طبل زدن.

در نیروی دریایی فرمان "تیراندازی!" - آتش بس

کسری در رقص. تصور رقص محلی روسی بدون کسری و دویدن غیرممکن است.

کسری را با دندان های خود از بین ببرید - دندان های خود را به هم بزنید (لرزش از سرما، ترس).

در داستان. دنیسکا، قهرمان داستان ویکتور دراگونسکی "شما باید حس شوخ طبعی داشته باشید"، یک بار از دوستش میشکا یک مشکل پرسید: چگونه دو سیب را به طور مساوی بین سه تقسیم کنیم؟ و وقتی میشکا بالاخره تسلیم شد، پیروزمندانه پاسخ را اعلام کرد: "کمپوت درست کن!" میشکا و دنیس هنوز کسرها را یاد نگرفته بودند و مطمئن بودند که 2 بر 3 بخش پذیر نیست؟

اما این تنها راه حل این مشکل نیست! لازم است هر سیب را به سه قسمت تقسیم کنید و دو قسمت از این قبیل را به هر سه قسمت تقسیم کنید.

سه نوع کسر وجود دارد:

واحدها (جزئیات) یا کسرها (مثلاً 1/2، 1/3، 1/4، و غیره).

سیستماتیک، یعنی کسری که در آنها مخرج با توان یک عدد (مثلا توان 10 یا 60 و غیره) بیان می شود.

شکل کلی که در آن صورت و مخرج می تواند هر عددی باشد.

کسری "نادرست" - نامنظم و "واقعی" - صحیح وجود دارد.

کسر در ریاضیات- شکلی از نمایش کمیت های ریاضی با استفاده از عملیات تقسیم، که در اصل مفهوم اعداد غیر صحیح یا کسرها را منعکس می کند. در ساده ترین حالت، یک کسر عددی نسبتی از دو عدد است.

m:n =m/n

در کسری متر/n(بخوانید: "um nth") شماره متر، که بالای خط قرار دارد، صورتگر و عدد n که در زیر خط قرار دارد، مخرج نامیده می شود. مخرج نشان می دهد که کل به چند قسمت مساوی تقسیم شده است و صورت نشان می دهد که چند جزء از این قبیل گرفته شده است. خط کسری را می توان به عنوان یک علامت تقسیم درک کرد.

در سال 1202 کلمه «کسره» را معرفی کرد.

نام های صورت و مخرج در قرن سیزدهم توسط ماکسیموس پلانود، راهب، دانشمند و ریاضیدان یونانی معرفی شد.

نتایج اصلی مطالعه

نتیجه: نیاز به کسری در مراحل اولیه رشد انسان بوجود آمد. در زندگی، شخص باید نه تنها اشیاء را بشمارد، بلکه مقادیر را نیز اندازه گیری کند. مردم طول، مساحت زمین، حجم، توده بدن، زمان را اندازه‌گیری می‌کردند و برای کالاهایی که خریداری یا فروخته می‌شد، پرداخت می‌کردند. همیشه نمی توان نتیجه یک اندازه گیری یا بهای تمام شده یک محصول را با یک عدد طبیعی بیان کرد. اینگونه است که کسری ها و قوانین مدیریت آنها ظاهر می شوند.

اهمیت عملی کار:

من به مهارت های کار در ویرایشگر متن مسلط بودم و با منابع اینترنتی کار می کردم. من موادی را برای تزئین پایه "ریاضیات در اطراف ما" در کلاس ریاضیات با حقایق جالب در مورد کسرها انتخاب کردم (پیوست 1). و طراحی استند (پیوست).

در نتیجه مطالعه من این فرضیه را تأیید کردم: مردم بدون کسر نمی توانند کار کنند؛ بدون کسری، ریاضیات نمی تواند توسعه یابد.

کتابشناسی - فهرست کتب

Anishchenko E. A. عدد به عنوان یک مفهوم اساسی ریاضیات. ماریوپل، 2002.

Vilenkin N.Ya.، ژوخوف V.I.، Chesnokov A.S.، Shvartsburd S.I. ریاضیات. کلاس پنجم: کتاب درسی موسسات آموزش عمومی/- چاپ بیست و ششم، ster. - M.: Mnemosyne, 2009. - 280 p.

آبفشان G.I. تاریخچه ریاضیات در مدرسه دفترچه راهنما برای معلمان. - م.: آموزش و پرورش، 1981. - 239 ص.

ریاضیات. کلاس پنجم: آموزشی برای آموزش عمومی. نهادها [سانتی متر. نیکولسکی، M.K.Potapov، N.N.Reshetnikov، A.V. شوکین]. - ویرایش یازدهم، بازبینی شده. - م.: آموزش و پرورش، 1395. - 272 ص. - (MSU - مدرسه).

فرهنگ لغت دایره المعارفی ریاضی. - م.، 1988.

منابع الکترونیکی دسترسی از راه دور (اینترنت)

3. مطالب از ویکی پدیا - دانشنامه آزاد. حالت دسترسی: http://ru.wikipedia.org/wiki

نقل قول ها حالت دسترسی: http://citaty.socratify.net/lev-tolstoi/25013.

برنامه های کاربردی

ایستاده "ریاضیات در اطراف ما"

جدول "نوشتن کسرها در مصر"