قوانین برای محاسبه مشتقات. عملکرد پیچیده

کارکرد نوع پیچیدهاستفاده از اصطلاح "عملکرد پیچیده" کاملاً صحیح نیست. به عنوان مثال، بسیار چشمگیر به نظر می رسد، اما این عملکرد بر خلاف آن پیچیده نیست.

در این مقاله مفهوم را درک خواهیم کرد تابع پیچیده، ما یاد خواهیم گرفت که آن را به عنوان بخشی از توابع ابتدایی شناسایی کنیم، فرمولی برای یافتن مشتق آن ارائه دهیم و حل نمونه های معمولی را با جزئیات در نظر بگیریم.

هنگام حل مثال ها، ما به طور مداوم از جدول مشتقات و قوانین تمایز استفاده می کنیم، بنابراین آنها را جلوی چشم خود نگه دارید.

عملکرد پیچیدهتابعی است که آرگومان آن نیز تابع است.

از دیدگاه ما، این تعریف قابل درک ترین است. به طور متعارف، می توان آن را با f(g(x)) نشان داد. یعنی g(x) مانند آرگومان تابع f(g(x)) است.

برای مثال، فرض کنید f تابع مماس و g(x) = lnx تابع لگاریتم طبیعی باشد، سپس تابع مختلط f(g(x)) arctan(lnx) است. مثال دیگر: f تابع افزایش به توان چهارم است و یک تابع عقلی کامل است (نگاه کنید به)، پس .

به نوبه خود، g(x) نیز می تواند یک تابع پیچیده باشد. مثلا، . به طور متعارف، چنین عبارتی را می توان به عنوان نشان داد . در اینجا f تابع سینوس است، تابع جذر است، - تابع گویا کسری. منطقی است که فرض کنیم درجه تودرتو توابع می تواند هر متناهی باشد عدد طبیعی.

شما اغلب می توانید یک تابع پیچیده به نام را بشنوید ترکیب توابع

فرمول یافتن مشتق تابع مختلط.

مثال.

مشتق تابع مختلط را بیابید.

راه حل.

در این مثال، f تابع مربع و g(x) = 2x+1 تابع خطی است.

در اینجا راه حل دقیق با استفاده از فرمول مشتق تابع پیچیده است:

بیایید این مشتق را با ساده کردن شکل تابع اصلی پیدا کنیم.

از این رو،

همانطور که می بینید، نتایج یکسان است.

سعی کنید اشتباه نگیرید که کدام تابع f و کدام g(x) است.

بیایید این را با یک مثال توضیح دهیم تا توجه شما را نشان دهد.

مثال.

مشتقات توابع مختلط و .

راه حل.

در حالت اول، f تابع مربع و g(x) تابع سینوسی است، بنابراین
.

در حالت دوم، f یک تابع سینوسی و یک تابع توان است. بنابراین، با فرمول حاصل ضرب یک تابع مختلط داریم

فرمول مشتق برای یک تابع دارای شکل است

مثال.

تابع افتراق .

راه حل.

در این مثال، تابع مختلط را می توان به صورت متعارف نوشت ، به ترتیب تابع سینوس، تابع توان سوم، تابع لگاریتم پایه e، تابع قطبی و تابع خطی کجاست.

طبق فرمول مشتق یک تابع مختلط

حالا پیدا می کنیم

بیایید نتایج متوسط ​​به دست آمده را با هم جمع کنیم:

هیچ چیز ترسناکی وجود ندارد، عملکردهای پیچیده ای مانند عروسک های تودرتو را تجزیه و تحلیل کنید.

این می تواند پایان مقاله باشد، اگر نه برای یک چیز ...

توصیه می شود به وضوح درک کنید که چه زمانی قوانین تمایز و جدول مشتقات را اعمال کنید و چه زمانی فرمول مشتق یک تابع پیچیده را اعمال کنید..

اکنون بسیار مراقب باشید. ما در مورد تفاوت بین توابع پیچیده و توابع پیچیده صحبت خواهیم کرد. موفقیت شما در یافتن مشتقات به میزان این تفاوت بستگی دارد.

بیایید با مثال های ساده شروع کنیم. تابع را می توان به صورت مختلط در نظر گرفت: g(x) = tanx، . بنابراین، می توانید بلافاصله فرمول مشتق یک تابع پیچیده را اعمال کنید

و در اینجا تابع است دیگر نمی توان آن را پیچیده نامید.

این تابع مجموع سه تابع 3tgx و 1 است. اگر چه - یک تابع مختلط است: - یک تابع توان (پارابولای درجه دوم)، و f یک تابع مماس است. بنابراین ابتدا فرمول تفکیک مجموع را اعمال می کنیم:

باقی مانده است که مشتق تابع مختلط را پیدا کنیم:

از همین رو .

امیدواریم به اصل مطلب پی ببرید.

اگر به طور گسترده تر نگاه کنیم، می توان استدلال کرد که توابع از نوع مختلط می توانند بخشی از توابع پیچیده باشند، و توابع پیچیده می توانند اجزای توابع از نوع پیچیده باشند.

به عنوان مثال، اجازه دهید تابع را به اجزای سازنده آن تجزیه و تحلیل کنیم .

اولا، این یک تابع پیچیده است که می تواند به صورت نشان داده شود، که در آن f تابع لگاریتم پایه 3 است، و g(x) مجموع دو تابع است. و . به این معنا که، .

دوما، اجازه دهید به تابع h(x) بپردازیم. نشان دهنده رابطه با .

این مجموع دو تابع و ، جایی که - یک تابع مختلط با ضریب عددی 3. - تابع مکعب، - تابع کسینوس، - تابع خطی.

این مجموع دو تابع و , Where است - تابع مختلط، - تابع نمایی، - تابع توان.

بدین ترتیب، .

سوم، برو به ، که حاصلضرب یک تابع مختلط است و کل تابع عقلی

تابع مربع کردن تابع لگاریتم به پایه e است.

از این رو، .

بیایید خلاصه کنیم:

اکنون ساختار تابع مشخص است و مشخص شده است که هنگام تفکیک آن از کدام فرمول ها و به چه ترتیبی استفاده شود.

در بخش تمایز یک تابع (یافتن مشتق) می توانید با راه حل مسائل مشابه آشنا شوید.

توابع از نوع پیچیده همیشه با تعریف یک تابع پیچیده مطابقت ندارند. اگر تابعی به شکل y = sin x - (2 - 3) · a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11 وجود داشته باشد، بر خلاف y = sin 2 x نمی توان آن را پیچیده در نظر گرفت.

این مقاله مفهوم یک تابع پیچیده و شناسایی آن را نشان می دهد. بیایید با فرمول هایی برای یافتن مشتق با مثال هایی از راه حل ها در نتیجه گیری کار کنیم. استفاده از جدول مشتق و قوانین تمایز به طور قابل توجهی زمان برای یافتن مشتق را کاهش می دهد.

تعاریف اساسی

تعریف 1

تابع مختلط تابعی است که آرگومان آن تابع نیز باشد.

به این صورت نشان داده می شود: f (g (x)). داریم که تابع g (x) آرگومان f در نظر گرفته می شود (g (x)).

تعریف 2

اگر یک تابع f وجود داشته باشد و یک تابع کتانژانت باشد، آنگاه g(x) = ln x تابع لگاریتم طبیعی است. دریافتیم که تابع مختلط f (g (x)) به صورت arctg(lnx) نوشته خواهد شد. یا یک تابع f، که تابعی است که به توان 4 افزایش یافته است، که در آن g (x) = x 2 + 2 x - 3 یک عدد صحیح در نظر گرفته می شود. عملکرد منطقی، دریافتیم که f (g (x)) = (x 2 + 2 x - 3) 4 .

بدیهی است که g(x) می تواند پیچیده باشد. از مثال y = sin 2 x + 1 x 3 - 5 واضح است که مقدار g دارای ریشه مکعب کسری است. این عبارت را می توان با y = f (f 1 (f 2 (x)) نشان داد. از آنجا که f یک تابع سینوسی است، و f 1 تابعی است که در زیر جذر قرار دارد، f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 یک تابع گویا کسری است.

تعریف 3

درجه تودرتو با هر عدد طبیعی تعیین می شود و به صورت y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))) نوشته می شود.

تعریف 4

مفهوم ترکیب تابع به تعداد توابع تو در تو با توجه به شرایط مسئله اشاره دارد. برای حل، از فرمول برای یافتن مشتق تابع مختلط از فرم استفاده کنید

(f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x)

مثال ها

مثال 1

مشتق تابع مختلط به شکل y = (2 x + 1) 2 را بیابید.

راه حل

شرط نشان می دهد که f یک تابع مربع است و g(x) = 2 x + 1 یک تابع خطی در نظر گرفته می شود.

بیایید فرمول مشتق را برای یک تابع مختلط اعمال کنیم و بنویسیم:

f " (g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1) ; g " (x) = (2 x + 1) " = (2 x) " + 1 " = 2 x " + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f (g (x))) " = f " (g (x)) g" (x) = 2 (2 x + 1) 2 = 8 x + 4

لازم است مشتق را با شکل اصلی ساده شده تابع پیدا کنید. ما گرفتیم:

y = (2 x + 1) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1

از اینجا ما آن را داریم

y " = (4 x 2 + 4 x + 1) " = (4 x 2) " + (4 x) " + 1 " = 4 (x 2) " + 4 (x) " + 0 = = 4 · 2 · x 2 - 1 + 4 · 1 · x 1 - 1 = 8 x + 4

نتایج یکسان بود.

هنگام حل مسائل از این نوع، مهم است که بدانیم تابع شکل f و g (x) در کجا قرار خواهد گرفت.

مثال 2

شما باید مشتقات توابع مختلط به شکل y = sin 2 x و y = sin x 2 را پیدا کنید.

راه حل

نماد تابع اول می گوید که f تابع مربع و g(x) تابع سینوس است. سپس ما آن را دریافت می کنیم

y " = ( گناه 2 x) " = 2 گناه 2 - 1 x (سین x) " = 2 گناه x cos x

ورودی دوم نشان می دهد که f یک تابع سینوسی است و g(x) = x 2 یک تابع توان را نشان می دهد. نتیجه می شود که حاصل ضرب یک تابع مختلط را به صورت می نویسیم

y " = (سین x 2) " = cos (x 2) (x 2) " = cos (x 2) 2 x 2 - 1 = 2 x cos (x 2)

فرمول مشتق y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))) به صورت y " = f " نوشته می شود (f 1 (f 2 (f 3 (. .. (f n (x)))) · f 1 " (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))) · · f 2" (f 3 (. . . (f n (x) )))) · . . . fn "(x)

مثال 3

مشتق تابع y = sin را بیابید (ln 3 a r c t g (2 x)).

راه حل

این مثال دشواری نوشتن و تعیین محل توابع را نشان می دهد. سپس y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) نشان می دهد که در آن f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) تابع سینوس است، تابع افزایش تا 3 درجه، تابع با لگاریتم و پایه e، تابع قطبی و خطی.

از فرمول تعریف تابع مختلط داریم که

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2" (f 3 (f 4 (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x)

ما آنچه را که باید پیدا کنیم به دست می آوریم

1. f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) به عنوان مشتق سینوس مطابق جدول مشتقات، سپس f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 ( x))))) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
2. f 1 " (f 3 (f 4 (x)))) به عنوان مشتق تابع توان، سپس f 1" (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x) .
3. f 2 " (f 3 (f 4 (x))) به عنوان یک مشتق لگاریتمی، سپس f 2" (f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
4. f 3 " (f 4 (x)) به عنوان مشتق تانژانت، سپس f 3" (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
5. هنگام یافتن مشتق f 4 (x) = 2 x، 2 را از علامت مشتق با استفاده از فرمول مشتق تابع توان با توانی برابر با 1 حذف کنید، سپس f 4 "(x) = (2 x) " = 2 x " = 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .

ما نتایج میانی را ترکیب می کنیم و به آن می رسیم

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2" (f 3 (f 4 (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

تجزیه و تحلیل چنین عملکردهایی یادآور عروسک های تودرتو است. قوانین تمایز را نمی توان همیشه به طور صریح با استفاده از جدول مشتق اعمال کرد. اغلب شما نیاز به استفاده از فرمولی برای یافتن مشتقات توابع پیچیده دارید.

تفاوت هایی بین ظاهر پیچیده و عملکردهای پیچیده وجود دارد. با داشتن توانایی واضح در تشخیص این، یافتن مشتقات بسیار آسان خواهد بود.

مثال 4

ذکر چنین مثالی ضروری است. اگر تابعی به شکل y = t g 2 x + 3 t g x + 1 وجود داشته باشد، می توان آن را به عنوان یک تابع مختلط از شکل g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1 در نظر گرفت. . بدیهی است که استفاده از فرمول برای مشتق پیچیده ضروری است:

f " (g (x)) = (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " = (g 2 (x)) " + (3 g (x)) "+ 1" = = 2 · g 2 - 1 (x) + 3 g " (x) + 0 = 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) = = 2 g (x) + 3 = 2 tg x + 3 ; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f" (g (x)) g" (x) = (2 tg x + 3) · 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

تابعی به شکل y = t g x 2 + 3 t g x + 1 پیچیده در نظر گرفته نمی شود، زیرا دارای مجموع tg x 2، 3 tg x و 1 است. با این حال، t g x 2 یک تابع مختلط در نظر گرفته می شود، سپس یک تابع توانی به شکل g (x) = x 2 و f به دست می آوریم که یک تابع مماس است. برای انجام این کار، بر اساس مقدار متمایز کنید. ما آن را دریافت می کنیم

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 cos 2 x

بیایید به یافتن مشتق یک تابع مختلط (t g x 2) ادامه دهیم:

f " (g (x)) = (t g (g (x))) " = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g " (x) = (x 2)" = 2 x 2 - 1 = 2 x ⇒ (t g x 2) " = f " (g (x)) g" (x) = 2 x cos 2 (x 2)

دریافت می کنیم که y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

توابع از نوع پیچیده را می توان در توابع پیچیده گنجاند و توابع پیچیده خود می توانند اجزای توابع از نوع پیچیده باشند.

مثال 5

به عنوان مثال، یک تابع مختلط به شکل y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) را در نظر بگیرید.

این تابع را می توان به صورت y = f (g (x)) نشان داد، که در آن مقدار f تابعی از لگاریتم پایه 3 است و g (x) مجموع دو تابع شکل h (x) = در نظر گرفته می شود. x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 و k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) . بدیهی است که y = f (h (x) + k (x)).

تابع h(x) را در نظر بگیرید. این نسبت l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 به m (x) = e x 2 + 3 3 است

داریم که l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) مجموع دو تابع n (x) = x 2 + 7 و p ( x) = 3 cos 3 (2 x + 1) ، که در آن p (x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) یک تابع مختلط با ضریب عددی 3 است و p 1 یک تابع مکعب است. p 2 توسط یک تابع کسینوس، p 3 (x) = 2 x + 1 توسط یک تابع خطی.

دریافتیم که m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) مجموع دو تابع q (x) = e x 2 و r (x) = 3 3 است، که در آن q (x) = q 1 (q 2 (x)) یک تابع مختلط است، q 1 یک تابع با نمایی است، q 2 (x) = x 2 یک تابع توان است.

این نشان می دهد که h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

هنگامی که به یک عبارت به شکل k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) = s (x) · t (x) حرکت می کنیم، واضح است که تابع به شکل یک s مختلط ارائه می شود ( x) = ln 2 x = s 1 ( s 2 (x)) با یک عدد صحیح گویا t (x) = x 2 + 1، که در آن s 1 یک تابع مربع است و s 2 (x) = ln x لگاریتمی با پایه e.

نتیجه این است که عبارت به شکل k (x) = s (x) · t (x) = s 1 (s 2 (x)) · t (x) خواهد بود.

سپس ما آن را دریافت می کنیم

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

بر اساس ساختار تابع، مشخص شد که چگونه و از چه فرمول هایی برای ساده کردن عبارت هنگام متمایز کردن آن باید استفاده شود. برای آشنایی با چنین مسائلی و مفهوم حل آنها باید به تمایز یک تابع یعنی یافتن مشتق آن رجوع کرد.

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

عملیات یافتن مشتق را تمایز می گویند.

در نتیجه حل مشکلات یافتن مشتقات ساده ترین (و نه خیلی ساده) توابع با تعریف مشتق به عنوان حد نسبت افزایش به افزایش استدلال، جدولی از مشتقات و قوانین دقیقاً تعریف شده تمایز ظاهر شد. . اولین کسانی که در زمینه یافتن مشتقات کار کردند، اسحاق نیوتن (1643-1727) و گوتفرید ویلهلم لایب نیتس (1646-1716) بودند.

بنابراین، در زمان ما، برای یافتن مشتق هر تابع، نیازی به محاسبه حد فوق الذکر از نسبت افزایش تابع به افزایش آرگومان نیست، بلکه فقط باید از جدول استفاده کنید. مشتقات و قواعد تمایز. الگوریتم زیر برای یافتن مشتق مناسب است.

برای یافتن مشتق، به یک عبارت زیر علامت اول نیاز دارید توابع ساده را به اجزاء تقسیم کنیدو تعیین کنید که چه اقداماتی (محصول، جمع، ضریب)این توابع مرتبط هستند. در مرحله بعد، مشتقات توابع ابتدایی را در جدول مشتقات، و فرمول های مشتقات حاصل، مجموع و ضریب را در قوانین تمایز پیدا می کنیم. جدول مشتق و قوانین تمایز پس از دو مثال اول آورده شده است.

مثال 1.مشتق یک تابع را پیدا کنید

راه حل. از قواعد تمایز متوجه می شویم که مشتق مجموع توابع، مجموع مشتقات توابع است، یعنی.

از جدول مشتقات متوجه می شویم که مشتق "x" برابر با یک و مشتق سینوس برابر با کسینوس است. ما این مقادیر را با مجموع مشتقات جایگزین می کنیم و مشتق مورد نیاز شرط مسئله را پیدا می کنیم:

مثال 2.مشتق یک تابع را پیدا کنید

راه حل. ما به عنوان مشتقی از مجموع متمایز می کنیم که جمله دوم دارای یک عامل ثابت است، می توان آن را از علامت مشتق خارج کرد:

اگر هنوز سؤالاتی در مورد اینکه چیزی از کجا آمده است، وجود دارد، معمولاً پس از آشنایی با جدول مشتقات و ساده ترین قوانین تمایز، آنها را برطرف می کنند. ما در حال حاضر به سراغ آنها می رویم.

جدول مشتقات توابع ساده

1. مشتق ثابت (عدد). هر عدد (1، 2، 5، 200...) که در عبارت تابع باشد. همیشه برابر با صفر است. یادآوری این نکته بسیار مهم است، زیرا اغلب اوقات لازم است
2. مشتق متغیر مستقل. اغلب "X". همیشه برابر با یک. این نیز مهم است که برای مدت طولانی به خاطر بسپارید
3. مشتق درجه. هنگام حل مشکلات، باید ریشه های غیر مربع را به توان تبدیل کنید.
4. مشتق یک متغیر به توان -1
5. مشتق از جذر
6. مشتق سینوس
7. مشتق کسینوس
8. مشتق مماس
9. مشتق کوتانژانت
10. مشتق آرکسین
11. مشتق کسینوس قوس
12. مشتق از arctangent
13. مشتق کوتانژانت قوس
14. مشتق لگاریتم طبیعی
15. مشتق تابع لگاریتمی
16. مشتق توان
17. مشتق تابع نمایی

قوانین تمایز

1. مشتق جمع یا تفاوت
2. مشتق محصول
2a. مشتق یک عبارت ضرب شده در یک عامل ثابت
3. مشتق از ضریب
4. مشتق تابع مختلط

قانون 1.اگر توابع

در نقطه ای قابل تمایز هستند، سپس توابع در همان نقطه قابل تمایز هستند

و

آن ها مشتق مجموع جبری توابع برابر است با مجموع جبری مشتقات این توابع.

نتیجه. اگر دو تابع متمایز با یک جمله ثابت متفاوت باشند، مشتقات آنها برابر است، یعنی

قانون 2.اگر توابع

در یک نقطه قابل تمایز هستند، سپس محصول آنها در همان نقطه قابل تمایز است

و

آن ها مشتق حاصل ضرب دو تابع برابر است با مجموع حاصلضرب هر یک از این توابع و مشتق دیگری.

نتیجه 1. عامل ثابت را می توان از علامت مشتق خارج کرد:

نتیجه 2. مشتق حاصلضرب چندین تابع متمایز برابر است با مجموع حاصل از مشتق هر عامل و بقیه.

به عنوان مثال، برای سه ضریب:

قانون 3.اگر توابع

قابل تمایز در یک نقطه و , سپس در این مرحله ضریب آنها نیز قابل تمایز استu/v و

آن ها مشتق ضریب دو تابع برابر کسری است که صورت آن تفاضل حاصلضرب مخرج و مشتق کسر و ممیز و مشتق مخرج و مخرج آن مجذور است. شمارنده سابق

جایی که در صفحات دیگر چیزها را جستجو کنیم

هنگام یافتن مشتق یک محصول و یک ضریب در مسائل واقعی، همیشه لازم است چندین قانون تمایز را به طور همزمان اعمال کنیم، بنابراین مثال های بیشتری در مورد این مشتقات در مقاله وجود دارد."مشتق حاصلضرب و ضریب توابع".

اظهار نظر.نباید ثابت (یعنی عدد) را به عنوان یک جمله در جمع و به عنوان یک عامل ثابت اشتباه بگیرید! در مورد جمله مشتق آن برابر با صفر و در مورد عامل ثابت از علامت مشتقات خارج می شود. این اشتباه معمولی، که روی می دهد مرحله اولیهدر حال مطالعه مشتقات، اما از آنجایی که آنها چندین مثال یک و دو بخشی را حل می کنند، دانش آموز عادی دیگر این اشتباه را مرتکب نمی شود.

و اگر، هنگام متمایز کردن یک محصول یا ضریب، یک اصطلاح دارید تو"v، که در آن تو- یک عدد، به عنوان مثال، 2 یا 5، یعنی یک ثابت، سپس مشتق این عدد برابر با صفر خواهد بود و بنابراین، کل عبارت برابر با صفر خواهد بود (این مورد در مثال 10 مورد بحث قرار گرفته است).

یکی دیگر از اشتباهات رایج حل مکانیکی مشتق یک تابع پیچیده به عنوان مشتق یک تابع ساده است. از همین رو مشتق یک تابع پیچیدهمقاله جداگانه ای اختصاص داده شده است. اما ابتدا یاد خواهیم گرفت که مشتقات را پیدا کنیم توابع ساده.

در طول مسیر، شما نمی توانید بدون تبدیل عبارات انجام دهید. برای انجام این کار، ممکن است لازم باشد دفترچه راهنما را در پنجره های جدید باز کنید. اقدامات با قدرت و ریشهو عملیات با کسری .

اگر به دنبال راه حلی برای مشتقات کسری با توان و ریشه هستید، یعنی زمانی که تابع به نظر می رسد ، سپس درس «مشتق از مجموع کسری با توان و ریشه» را دنبال کنید.

اگر کاری دارید مانند ، سپس درس "مشتقات توابع مثلثاتی ساده" را خواهید گرفت.

مثال های گام به گام - چگونه مشتق را پیدا کنیم

مثال 3.مشتق یک تابع را پیدا کنید

راه حل. بخش‌های عبارت تابع را تعریف می‌کنیم: کل عبارت یک محصول را نشان می‌دهد و فاکتورهای آن مجموع هستند که در دومی یکی از عبارت‌ها شامل یک عامل ثابت است. ما قانون تمایز محصول را اعمال می کنیم: مشتق حاصل ضرب دو تابع برابر است با مجموع حاصلضرب هر یک از این توابع توسط مشتق دیگری:

بعد، قاعده تمایز مجموع را اعمال می کنیم: مشتق مجموع جبری توابع برابر است با مجموع جبری مشتقات این توابع. در مورد ما، در هر جمع جمله دوم یک علامت منفی دارد. در هر جمع هم متغیر مستقلی را می بینیم که مشتق آن برابر با یک است و هم یک عدد ثابت (عددی) که مشتق آن برابر با صفر است. بنابراین، "X" به یک تبدیل می شود و منهای 5 به صفر تبدیل می شود. در عبارت دوم، "x" در 2 ضرب می شود، بنابراین ما دو را در همان واحد مشتق "x" ضرب می کنیم. مقادیر مشتق زیر را بدست می آوریم:

مشتقات یافت شده را با مجموع محصولات جایگزین می کنیم و مشتق کل تابع مورد نیاز شرط مسئله را به دست می آوریم:

و می‌توانید راه‌حل مسئله مشتق را بررسی کنید.

مثال 4.مشتق یک تابع را پیدا کنید

راه حل. ما باید مشتق ضریب را پیدا کنیم. ما فرمول را برای افتراق ضریب اعمال می کنیم: مشتق ضریب دو تابع برابر با کسری است که صورت آن تفاوت بین حاصلضرب های مخرج و مشتق کسر و ممیز و مشتق آن است. مخرج، و مخرج مجذور کسر سابق است. ما گرفتیم:

ما قبلاً مشتق فاکتورهای صورت‌گر را در مثال 2 پیدا کرده‌ایم. همچنین فراموش نکنیم که حاصلضرب که دومین عامل در صورت‌گر در مثال فعلی است، با علامت منفی گرفته می‌شود:

اگر به دنبال راه‌حل‌هایی برای مشکلاتی هستید که در آنها باید مشتق یک تابع را پیدا کنید، جایی که انبوهی از ریشه‌ها و قدرت‌ها وجود دارد، مانند، برای مثال، ، سپس به کلاس خوش آمدید "مشتق از مجموع کسری با توان و ریشه" .

اگر نیاز دارید در مورد مشتقات سینوس ها، کسینوس ها، مماس ها و موارد دیگر اطلاعات بیشتری کسب کنید توابع مثلثاتی، یعنی زمانی که تابع به نظر می رسد ، سپس یک درس برای شما "مشتقات توابع مثلثاتی ساده" .

مثال 5.مشتق یک تابع را پیدا کنید

راه حل. در این تابع محصولی را می بینیم که یکی از عوامل آن جذر متغیر مستقل است که مشتق آن را در جدول مشتقات با آن آشنا کردیم. با استفاده از قانون تمایز حاصلضرب و مقدار جدولی مشتق جذر، به دست می آوریم:

می توانید راه حل مسئله مشتق را در اینجا بررسی کنید ماشین حساب مشتقات آنلاین .

مثال 6.مشتق یک تابع را پیدا کنید

راه حل. در این تابع ضریبی را می بینیم که سود تقسیمی آن جذر متغیر مستقل است. با استفاده از قاعده تمایز ضرایب که در مثال 4 تکرار و اعمال کردیم و مقدار جدولی مشتق جذر، به دست می آوریم:

برای خلاص شدن از کسری در صورت، صورت و مخرج را در ضرب کنید.

مثال هایی از محاسبه مشتقات با استفاده از فرمول مشتق یک تابع مختلط ارائه شده است.

محتوا

همچنین ببینید: اثبات فرمول مشتق یک تابع مختلط

فرمول های پایه

در اینجا مثال هایی از محاسبه مشتقات توابع زیر ارائه می دهیم:
; ; ; ; .

اگر یک تابع را بتوان به صورت یک تابع پیچیده به شکل زیر نشان داد:
,
سپس مشتق آن با فرمول تعیین می شود:
.
در مثال های زیر این فرمول را به صورت زیر می نویسیم:
.
جایی که .
در اینجا، زیرنویس‌ها یا زیر علامت مشتق، متغیرهایی را نشان می‌دهند که توسط آنها تمایز انجام می‌شود.

معمولاً در جداول مشتقات مشتقات توابع از متغیر x آورده شده است. با این حال، x یک پارامتر رسمی است. متغیر x را می توان با هر متغیر دیگری جایگزین کرد. بنابراین، هنگام تمایز یک تابع از یک متغیر، در جدول مشتقات، به سادگی متغیر x را به متغیر u تغییر می دهیم.

مثال های ساده

مثال 1

مشتق تابع مختلط را بیابید
.

بیایید تابع داده شده را به شکل معادل بنویسیم:
.
در جدول مشتقات می بینیم:
;
.

با توجه به فرمول مشتق یک تابع مختلط، داریم:
.
اینجا .

مثال 2

مشتق را پیدا کنید
.

ثابت 5 را از علامت مشتق خارج می کنیم و از جدول مشتقات پیدا می کنیم:
.

.
اینجا .

مثال 3

مشتق را پیدا کنید
.

ثابت را خارج می کنیم -1 برای علامت مشتق و از جدول مشتقات می یابیم:
;
از جدول مشتقات در می یابیم:
.

ما فرمول مشتق یک تابع مختلط را اعمال می کنیم:
.
اینجا .

نمونه های پیچیده تر

در بیشتر نمونه های پیچیدهقانون تمایز یک تابع پیچیده را چندین بار اعمال می کنیم. در این صورت مشتق را از انتها محاسبه می کنیم. یعنی تابع را به اجزای آن تقسیم می کنیم و مشتقات ساده ترین قطعات را با استفاده از آن پیدا می کنیم جدول مشتقات. ما نیز استفاده می کنیم قوانین برای افتراق مبالغ، محصولات و کسری ها. سپس جایگزین هایی می کنیم و فرمول مشتق یک تابع مختلط را اعمال می کنیم.

مثال 4

مشتق را پیدا کنید
.

بیایید ساده ترین قسمت فرمول را انتخاب کرده و مشتق آن را پیدا کنیم. .

.
در اینجا ما از علامت گذاری استفاده کرده ایم
.

ما مشتق قسمت بعدی تابع اصلی را با استفاده از نتایج به دست آمده پیدا می کنیم. ما قانون را برای افتراق مجموع اعمال می کنیم:
.

یک بار دیگر قانون تمایز توابع پیچیده را اعمال می کنیم.

.
اینجا .

مثال 5

مشتق تابع را بیابید
.

بیایید ساده ترین قسمت فرمول را انتخاب کنیم و مشتق آن را از جدول مشتقات پیدا کنیم. .

ما قانون تمایز توابع پیچیده را اعمال می کنیم.
.
اینجا
.

اجازه دهید با استفاده از نتایج به دست آمده قسمت بعدی را متمایز کنیم.
.
اینجا
.

بیایید قسمت بعدی را متمایز کنیم.

.
اینجا
.

حالا مشتق تابع مورد نظر را پیدا می کنیم.

.
اینجا
.

همچنین ببینید:

که بر روی آن ساده ترین مشتقات را بررسی کردیم و همچنین با قوانین تمایز و برخی تکنیک های فنی برای یافتن مشتقات آشنا شدیم. بنابراین، اگر با مشتقات توابع خیلی خوب نیستید یا برخی از نکات این مقاله کاملاً واضح نیستند، ابتدا درس بالا را بخوانید. لطفاً حال و هوای جدی داشته باشید - مطالب ساده نیست، اما من همچنان سعی می کنم آن را ساده و واضح ارائه دهم.

در عمل، شما باید اغلب با مشتق یک تابع پیچیده سر و کار داشته باشید، حتی می توانم بگویم، تقریباً همیشه، زمانی که به شما وظایفی برای یافتن مشتقات داده می شود.

ما به جدول در قانون (شماره 5) برای تمایز یک تابع پیچیده نگاه می کنیم:

بیایید آن را بفهمیم. اول از همه به مدخل توجه کنیم. در اینجا ما دو تابع داریم - و، و تابع، به بیان مجازی، درون تابع تودرتو است. تابعی از این نوع (زمانی که یک تابع درون دیگری تودرتو باشد) تابع پیچیده نامیده می شود.

من تابع را فراخوانی خواهم کرد عملکرد خارجی، و عملکرد - عملکرد داخلی (یا تو در تو)..

! این تعاریف نظری نیستند و نباید در طراحی نهایی تکالیف ظاهر شوند. من از عبارات غیررسمی "عملکرد خارجی"، "عملکرد داخلی" استفاده می کنم تا درک مطالب را برای شما آسان تر کنم.

برای روشن شدن وضعیت، در نظر بگیرید:

مثال 1

مشتق یک تابع را پیدا کنید

در زیر سینوس ما نه فقط حرف "X"، بلکه یک عبارت کامل داریم، بنابراین یافتن مشتق بلافاصله از جدول کار نخواهد کرد. همچنین متوجه می شویم که اعمال چهار قانون اول در اینجا غیرممکن است، به نظر می رسد تفاوت وجود دارد، اما واقعیت این است که سینوس را نمی توان "تکه تکه کرد":

در این مثال، از توضیحات من به طور شهودی مشخص است که یک تابع یک تابع پیچیده است، و چند جمله ای یک تابع داخلی (جاسازی) و یک تابع خارجی است.

گام اولکاری که هنگام یافتن مشتق یک تابع مختلط باید انجام دهید این است که درک کنید که کدام تابع داخلی و کدام خارجی است.

در مورد مثال های ساده، به نظر واضح است که یک چند جمله ای زیر سینوس تعبیه شده است. اما اگر همه چیز واضح نباشد چه؟ چگونه می توان به طور دقیق تشخیص داد که کدام تابع خارجی و کدام داخلی است؟ برای این کار استفاده از تکنیک زیر را پیشنهاد می کنم که به صورت ذهنی یا پیش نویس انجام می شود.

بیایید تصور کنیم که باید مقدار عبارت at را در یک ماشین حساب محاسبه کنیم (به جای یک، هر عددی می تواند وجود داشته باشد).

ابتدا چه چیزی را محاسبه خواهیم کرد؟ اول از همهشما باید عمل زیر را انجام دهید: بنابراین چند جمله ای یک تابع داخلی خواهد بود:

دوماباید پیدا شود، بنابراین سینوس - یک تابع خارجی خواهد بود:

بعد از ما فروخته شدهبا توابع داخلی و خارجی، زمان اعمال قانون تمایز توابع پیچیده است .

بیایید تصمیم گیری را شروع کنیم. از درس چگونه مشتق را پیدا کنیم؟ما به یاد می آوریم که طراحی راه حل برای هر مشتق همیشه به این صورت شروع می شود - عبارت را در پرانتز قرار می دهیم و در بالا سمت راست یک ضربه قرار می دهیم:

در ابتدامشتق تابع خارجی (سینوس) را پیدا می کنیم، به جدول مشتقات توابع ابتدایی نگاه می کنیم و متوجه می شویم که . تمام فرمول های جدول نیز در صورتی قابل اجرا هستند که "x" با یک عبارت پیچیده جایگزین شود، در این مورد:

لطفا توجه داشته باشید که عملکرد داخلی تغییر نکرده است، ما آن را لمس نمی کنیم.

خب این کاملا واضحه

نتیجه اعمال فرمول در شکل نهایی آن به این صورت است:

عامل ثابت معمولاً در ابتدای عبارت قرار می گیرد:

در صورت وجود هرگونه سوء تفاهم، راه حل را روی کاغذ بنویسید و توضیحات را دوباره بخوانید.

مثال 2

مشتق یک تابع را پیدا کنید

مثال 3

مشتق یک تابع را پیدا کنید

مثل همیشه می نویسیم:

بیایید بفهمیم که کجا یک عملکرد خارجی داریم و کجا یک عملکرد داخلی. برای انجام این کار، سعی می کنیم (به صورت ذهنی یا به صورت پیش نویس) مقدار عبارت را در محاسبه کنیم. اول باید چی کار کنید؟ اول از همه، شما باید محاسبه کنید که پایه برابر است: بنابراین، چند جمله ای تابع داخلی است:

و تنها در این صورت است که توان انجام می شود، بنابراین، تابع توان یک تابع خارجی است:

طبق فرمول ، ابتدا باید مشتق تابع خارجی، در این مورد، درجه را پیدا کنید. فرمول مورد نیاز را در جدول جستجو می کنیم: . باز هم تکرار می کنیم: هر فرمول جدولی نه تنها برای "X"، بلکه برای یک عبارت پیچیده نیز معتبر است. بنابراین، نتیجه اعمال قانون برای افتراق یک تابع پیچیده است بعد:

باز هم تاکید می کنم که وقتی مشتق تابع خارجی را می گیریم، تابع درونی ما تغییر نمی کند:

اکنون تنها چیزی که باقی می ماند این است که یک مشتق بسیار ساده از تابع داخلی پیدا کنید و نتیجه را کمی تغییر دهید:

مثال 4

مشتق یک تابع را پیدا کنید

این مثالی است که خودتان می توانید آن را حل کنید (پاسخ در انتهای درس).

برای تثبیت درک شما از مشتق یک تابع پیچیده، مثالی را بدون نظر می‌آورم، سعی کنید خودتان آن را بفهمید، دلیل اینکه تابع خارجی و داخلی کجاست، چرا کارها به این ترتیب حل می‌شوند؟

مثال 5

الف) مشتق تابع را بیابید

ب) مشتق تابع را بیابید

مثال 6

مشتق یک تابع را پیدا کنید

در اینجا ما یک ریشه داریم و برای اینکه ریشه را متمایز کنیم باید به عنوان یک قدرت نشان داده شود. بنابراین، ابتدا تابع را به شکل مناسب برای تمایز می آوریم:

با تجزیه و تحلیل تابع به این نتیجه می رسیم که مجموع سه جمله تابع درونی است و افزایش به توان یک تابع بیرونی است. ما قانون تمایز توابع پیچیده را اعمال می کنیم :

ما دوباره درجه را به عنوان یک رادیکال (ریشه) نشان می دهیم، و برای مشتق تابع داخلی، یک قانون ساده برای متمایز کردن مجموع اعمال می کنیم:

آماده. همچنین می توانید عبارت را به یک مخرج مشترک در پرانتز کاهش دهید و همه چیز را به عنوان یک کسر بنویسید. البته زیباست، اما وقتی مشتقات طولانی دست و پا گیر به دست می آورید، بهتر است این کار را انجام ندهید (گیج شدن، اشتباه غیر ضروری آسان است و بررسی آن برای معلم ناخوشایند خواهد بود).

مثال 7

مشتق یک تابع را پیدا کنید

این مثالی است که خودتان می توانید آن را حل کنید (پاسخ در انتهای درس).

جالب است بدانید که گاهی به جای قانون افتراق یک تابع مختلط، می توانید از قانون افتراق یک ضریب استفاده کنید. ، اما چنین راه حلی مانند یک انحراف غیرمعمول به نظر می رسد. در اینجا یک مثال معمولی است:

مثال 8

مشتق یک تابع را پیدا کنید

در اینجا می توانید از قانون تمایز ضریب استفاده کنید ، اما یافتن مشتق از طریق قاعده تمایز یک تابع پیچیده بسیار سودآورتر است:

ما تابع را برای تمایز آماده می کنیم - منهای را از علامت مشتق خارج می کنیم و کسینوس را به صورت شمارش می کنیم:

کسینوس یک تابع درونی است، توان یک تابع خارجی است.
بیایید از قانون خود استفاده کنیم :

مشتق تابع داخلی را پیدا می کنیم و کسینوس را به پایین تنظیم می کنیم:

آماده. در مثال در نظر گرفته شده، مهم است که در علائم گیج نشوید. به هر حال، سعی کنید آن را با استفاده از قانون حل کنید ، پاسخ ها باید مطابقت داشته باشند.

مثال 9

مشتق یک تابع را پیدا کنید

این مثالی است که خودتان می توانید آن را حل کنید (پاسخ در انتهای درس).

تاکنون مواردی را بررسی کرده‌ایم که تنها یک تودرتو در یک تابع پیچیده داشتیم. در کارهای عملی، شما اغلب می توانید مشتقاتی را پیدا کنید، جایی که، مانند عروسک های تودرتو، یکی در داخل دیگری، 3 یا حتی 4-5 تابع به طور همزمان تودرتو هستند.

مثال 10

مشتق یک تابع را پیدا کنید

بیایید پیوست های این تابع را درک کنیم. بیایید سعی کنیم عبارت را با استفاده از مقدار تجربی محاسبه کنیم. چگونه روی یک ماشین حساب حساب کنیم؟

ابتدا باید پیدا کنید، به این معنی که آرکسین عمیق ترین جاسازی است:

سپس این آرکسین یک باید مجذور شود:

و در نهایت، ما هفت را به توان بالا می بریم:

یعنی در این مثال سه تا داریم توابع مختلفو دو جاسازی که درونی‌ترین تابع آرکسین و بیرونی‌ترین تابع تابع نمایی است.

بیایید شروع به تصمیم گیری کنیم

طبق قاعده ابتدا باید مشتق تابع بیرونی را بگیرید. ما به جدول مشتقات نگاه می کنیم و مشتق تابع نمایی را می یابیم: تنها تفاوت این است که به جای "x" یک عبارت پیچیده داریم که اعتبار این فرمول را نفی نمی کند. بنابراین، نتیجه اعمال قانون تمایز یک تابع پیچیده است بعد.