ویژگی اصلی یک کسر جبری: فرمول بندی، اثبات، مثال هایی از کاربرد. ویژگی اصلی کسری جبری کسرها و خواص آنها

هنگام مطالعه کسرهای معمولی، با مفاهیم ویژگی های اساسی یک کسری مواجه می شویم. برای حل مثال هایی با کسرهای معمولی، یک فرمول ساده شده ضروری است. این مقاله شامل در نظر گرفتن کسرهای جبری و اعمال یک ویژگی اساسی برای آنها است که با مثال هایی از دامنه کاربرد آن فرموله خواهد شد.

فرمول بندی و منطق

ویژگی اصلی یک کسر به شکل زیر است:

تعریف 1

هنگامی که صورت و مخرج به طور همزمان در یک عدد ضرب یا تقسیم می شوند، مقدار کسر بدون تغییر باقی می ماند.

یعنی دریافتیم که a · m b · m = a b و a: m b: m = a b معادل هستند که a b = a · m b · m و a b = a: m b: m منصفانه در نظر گرفته می شوند. مقادیر a، b، m برخی از اعداد طبیعی هستند.

تقسیم صورت و مخرج بر یک عدد می تواند به صورت a · m b · m = a b نمایش داده شود. این شبیه به حل مثال 8 12 = 8: 4 12: 4 = 2 3 است. هنگام تقسیم، تساوی به شکل a: m b استفاده می شود: m = a b، سپس 8 12 = 2 · 4 2 · 4 = 2 3. همچنین می توان آن را به شکل a · m b · m = a b نشان داد، یعنی 8 12 = 2 · 4 3 · 4 = 2 3.

یعنی ویژگی اصلی کسری a · m b · m = a b و a b = a · m b · m در مقابل a: m b: m = a b و a b = a: m b: m به تفصیل در نظر گرفته خواهد شد.

اگر صورت و مخرج شامل اعداد واقعی، پس ملک قابل اعمال است. ابتدا باید اعتبار نابرابری نوشته شده را برای همه اعداد اثبات کنید. یعنی وجود a · m b · m = a b را برای همه a , b , m واقعی ثابت کنید که b و m مقادیر غیر صفر هستند تا از تقسیم بر صفر جلوگیری کنید.

شواهد 1

اجازه دهید کسری از شکل a b جزء رکورد z در نظر گرفته شود، به عبارت دیگر a b = z، سپس باید ثابت کرد که a · m b · m با z مطابقت دارد، یعنی a · m b · m = z را ثابت کنید. . سپس این به ما امکان می دهد وجود برابری a · m b · m = a b را اثبات کنیم.

نوار کسری به معنای علامت تقسیم است. با اعمال ارتباط با ضرب و تقسیم، متوجه می شویم که از a b = z پس از تبدیل، a = b · z به دست می آید. با توجه به خصوصیات نابرابری های عددی، هر دو طرف نامساوی باید در عددی غیر از صفر ضرب شود. سپس در عدد m ضرب می کنیم، به دست می آید که a · m = (b · z) · m. با ویژگی، ما حق داریم عبارت را به شکل a · m = (b · m) · z بنویسیم. این بدان معنی است که از تعریف چنین می شود که a b = z. این همه اثبات عبارت a · m b · m = a b است.

تساوی های شکل a · m b · m = a b و a b = a · m b · m زمانی معنا پیدا می کند که به جای a , b , m چند جمله ای وجود داشته باشد و به جای b و m غیر صفر باشند.

دارایی اصلی کسر جبری: هنگامی که صورت و مخرج را همزمان در یک عدد ضرب می کنیم، عبارتی مشابه عبارت اصلی به دست می آوریم.

این ویژگی معتبر در نظر گرفته می شود، زیرا اقدامات دارای چندجمله ای با اقدامات با اعداد مطابقت دارند.

مثال 1

بیایید به مثال کسر 3 · x x 2 - x y + 4 · y 3 نگاه کنیم. امکان تبدیل به فرم 3 · x · (x 2 + 2 · x · y) (x 2 - x y + 4 · y 3) · (x 2 + 2 · x · y) وجود دارد.

ضرب با چند جمله ای x 2 + 2 · x · y انجام شد. به همین ترتیب، ویژگی اصلی به خلاص شدن از x 2 کمک می کند، که در یک کسر معین از شکل 5 x 2 (x + 1) x 2 (x 3 + 3) به شکل 5 x + 5 x 3 + وجود دارد. 3. به این می گویند ساده سازی.

ویژگی اصلی را می توان به صورت عبارات a · m b · m = a b و a b = a · m b · m نوشت، وقتی a، b، m چند جمله ای یا متغیرهای معمولی هستند، و b و m باید غیر صفر باشند.

حوزه های کاربرد خاصیت پایه یک کسر جبری

کاربرد ویژگی اصلی برای تقلیل کسری به مخرج جدید یا کاهش کسری مرتبط است.

تعریف 2

تقلیل به مخرج مشترک، ضرب صورت و مخرج در یک چند جمله ای مشابه برای به دست آوردن یک مخرج جدید است. کسر حاصل برابر با کسر اصلی است.

یعنی کسری از شکل x + y · x 2 + 1 (x + 1) · x 2 + 1 وقتی در x 2 + 1 ضرب شود و به مخرج مشترک (x + 1) کاهش یابد · (x 2 + 1) ) فرم x 3 + x + x 2 · y + y x 3 + x + x 2 + 1 را دریافت خواهد کرد.

پس از انجام عملیات با چند جمله ای ها، متوجه می شویم که کسر جبری به x 3 + x + x 2 · y + y x 3 + x + x 2 + 1 تبدیل می شود.

کاهش به مخرج مشترک نیز هنگام جمع یا تفریق کسرها انجام می شود. اگر ضرایب کسری داده شود، ابتدا باید ساده سازی انجام شود که ظاهر و تعیین مخرج مشترک را ساده می کند. به عنوان مثال، 2 5 x y - 2 x + 1 2 = 10 2 5 x y - 2 10 x + 1 2 = 4 x y - 20 10 x + 5.

استفاده از ویژگی هنگام کاهش کسرها در 2 مرحله انجام می شود: تجزیه صورت و مخرج به عوامل برای یافتن m مشترک و سپس بر اساس تساوی به شکل a · m b · به نوع کسری a b بروید. m = a b.

اگر کسری از شکل 4 x 3 - x y 16 x 4 - y 2 پس از انبساط به x (4 x 2 - y) 4 x 2 - y 4 x 2 + y تبدیل شود، بدیهی است که کلی ضریب خواهد شد. چند جمله ای 4 x 2 - y باشد. سپس امکان کاهش کسری با توجه به خاصیت اصلی آن وجود خواهد داشت. ما آن را دریافت می کنیم

x (4 x 2 - y) 4 x 2 - y 4 x 2 + y = x 4 x 2 + y. کسری ساده شده است، سپس هنگام جایگزینی مقادیر، انجام کارهای زیادی لازم است اقدام کمترنسبت به زمانی که به نسخه اصلی جایگزین می شود.

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

در ریاضیات، کسر عددی است که از یک یا چند جزء (کسری) واحد تشکیل شده است. با توجه به شکل ضبط، کسرها به معمولی (به عنوان مثال \frac(5)(8)) و اعشاری (به عنوان مثال 123.45) تقسیم می شوند.

تعریف. کسر مشترک (یا کسر ساده)

کسر معمولی (ساده).عددی از شکل \pm\frac(m)(n) نامیده می شود که m و n اعداد طبیعی هستند. عدد m نامیده می شود شمارشگراین کسر، و عدد n آن است مخرج.

افقی یا اسلش نشان دهنده یک علامت تقسیم است، یعنی \frac(m)(n)=()^m/n=m:n

کسرهای معمولی به دو نوع مناسب و نامناسب تقسیم می شوند.

تعریف. کسرهای مناسب و نامناسب

صحیحکسری که صورت آن کوچکتر از مخرج آن باشد کسر نامیده می شود. به عنوان مثال، \frac(9)(11) ، زیرا 9

اشتباه استکسری که صورت آن بزرگتر یا مساوی باشد برابر مدولمخرج این کسر است عدد گویا، مدول بزرگتر یا مساوی یک. یک مثال می تواند کسرهای \frac(11)(2) , \frac(2)(1) , -\frac(7)(5) , \frac(1)(1) باشد.

در کنار کسر نامناسب، نمایش دیگری از عدد وجود دارد که به آن کسر مختلط (عدد مختلط) می گویند. این یک کسر معمولی نیست.

تعریف. کسر مختلط (عدد مختلط)

کسر مختلطکسری است که به صورت یک عدد کامل و یک کسر مناسب نوشته می شود و به صورت مجموع این عدد و کسری فهمیده می شود. برای مثال، 2\frac(5)(7)

(نوشته شده به صورت یک عدد مخلوط) 2\frac(5)(7)=2+\frac(5)(7)=\frac(14)(7)+\frac(5)(7)=\frac(19) )(7) (به صورت کسر نامناسب نوشته می شود)

کسری فقط نمایش یک عدد است. همان عدد می تواند با کسرهای مختلف، اعم از معمولی و اعشاری مطابقت داشته باشد. اجازه دهید علامتی برای برابری دو کسر معمولی تشکیل دهیم.

تعریف. علامت تساوی کسرها

دو کسر \frac(a)(b) و \frac(c)(d) هستند برابر، اگر a\cdot d=b\cdot c . برای مثال، \frac(2)(3)=\frac(8)(12) از 2\cdot12=3\cdot8

از این ویژگی ویژگی اصلی یک کسری به دست می آید.

اموال. خاصیت اصلی کسری

اگر صورت و مخرج یک کسر معین در یک عدد ضرب یا تقسیم شوند، نه برابر با صفر، کسری برابر با عدد داده شده بدست می آورید.

\frac(A)(B)=\frac(A\cdot C)(B\cdot C)=\frac(A:K)(B:K);\quad C \ne 0,\quad K \ne 0

با استفاده از ویژگی اصلی یک کسر، می توانید یک کسر معین را با کسری دیگر که برابر با کسری داده شده است، اما با صورت و مخرج کوچکتر جایگزین کنید. این جایگزینی کاهش کسر نامیده می شود. برای مثال، \frac(12)(16)=\frac(6)(8)=\frac(3)(4) (در اینجا صورت و مخرج ابتدا بر 2 و سپس بر 2 دیگر تقسیم می شوند). کسری را می توان کاهش داد اگر و تنها در صورتی که صورت و مخرج آن اعداد اول نباشند. اگر صورت و مخرج یک کسر معین به طور متقابل اول باشند، آن کسری را نمی توان کاهش داد، برای مثال، \frac(3)(4) یک کسری تقلیل ناپذیر است.

قوانین برای کسرهای مثبت:

از دو کسر با مخرج های یکسانکسری که صورتش بزرگتر است بزرگتر است. برای مثال، \frac(3)(15)

از دو کسر با همان اعدادبزرگتر کسری است که مخرج آن کوچکتر است. به عنوان مثال، \frac(4)(11)>\frac(4)(13) .

برای مقایسه دو کسر با صورت و مخرج متفاوت، باید هر دو کسر را طوری تبدیل کنید که مخرج آنها یکسان باشد. این تبدیل را کسر کسر به مخرج مشترک می گویند.

این موضوع بسیار مهم است. خواص کسرهای در نظر گرفته شده، علیرغم اهمیت آنها، بسیار ساده است.

برای درک خواص اساسی کسرهابیایید یک دایره را در نظر بگیریم.

روی دایره می توانید ببینید که 4 قسمت یا سایه دار از هشت قسمت ممکن است. بیایید کسر حاصل را بنویسیم \(\frac(4)(8)\)

در دایره بعدی می بینید که یکی از دو قسمت ممکن سایه دار است. بیایید کسر حاصل را بنویسیم \(\frac(1)(2)\)

اگر دقت کنیم، خواهیم دید که در حالت اول، در حالت دوم، نیمی از دایره سایه دار شده است، بنابراین کسرهای حاصل برابر با \(\frac(4)(8) = \frac(1)( 2)\)، یعنی همان عدد است.

چگونه می توان این را از نظر ریاضی اثبات کرد؟ خیلی ساده است، جدول ضرب را به خاطر بسپارید و کسر اول را به ضریب بنویسید.

\(\frac(4)(8) = \frac(1 \cdot \color(قرمز) (4))(2 \cdot \color(قرمز) (4)) = \frac(1)(2) \cdot \color(قرمز) (\frac(4)(4)) =\frac(1)(2) \cdot \color(قرمز)(1) = \frac(1)(2)\)

ما چه کرده ایم؟ صورت و مخرج \(\frac(1 \cdot \color(red) (4))(2 \cdot \color(red) (4)) را فاکتور گرفتیم و سپس کسرهای \(\frac(1) را تقسیم کردیم. ) (2) \cdot \color(قرمز) (\frac(4)(4))\). تقسیم چهار بر چهار برابر 1 است و یک ضرب در هر عددی خود عدد است. کاری که در مثال بالا انجام دادیم نامیده می شود کسر کسر.

بیایید به مثال دیگری نگاه کنیم و کسر را کاهش دهیم.

\(\frac(6)(10) = \frac(3 \cdot \color(قرمز) (2))(5 \cdot \color(قرمز) (2)) = \frac(3)(5) \cdot \color(قرمز) (\frac(2)(2)) =\frac(3)(5) \cdot \color(قرمز)(1) = \frac(3)(5)\)

مجدداً صورت و مخرج را فاکتور گرفتیم و همان اعداد را به صورت و مخرج تقلیل دادیم. یعنی دو تقسیم بر دو یک می شود و یک ضرب در هر عددی همان عدد را می دهد.

خاصیت اصلی کسری.

این به ویژگی اصلی یک کسری اشاره دارد:

اگر هم صورت و هم مخرج کسری در یک عدد ضرب شوند (به جز صفر)، مقدار کسر تغییر نخواهد کرد.

\(\bf \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n)\)

همچنین می توانید صورت و مخرج را همزمان بر یک عدد تقسیم کنید.
بیایید به یک مثال نگاه کنیم:

\(\frac(6)(8) = \frac(6 \div \color(قرمز) (2))(8 \div \color(قرمز) (2)) = \frac(3)(4)\)

اگر هم صورت و هم مخرج کسری بر یک عدد تقسیم شوند (به جز صفر)، مقدار کسری تغییر نمی کند.

\(\bf \frac(a)(b) = \frac(a \div n)(b \div n)\)

کسری که هم در صورت و هم در مخرج ضریب اول مشترک دارند نامیده می شوند کسرهای تقلیل پذیر.

مثالی از یک کسر تقلیل پذیر: \(\frac(2)(4)، \frac(6)(10)، \frac(9)(15)، \frac(10)(5)، …\)

نیز وجود دارد کسرهای تقلیل ناپذیر.

کسر تقلیل ناپذیرکسری است که فاکتورهای اول مشترک در صورت و مخرج آن ندارد.

مثالی از یک کسر تقلیل ناپذیر: \(\frac(1)(2)، \frac(3)(5)، \frac(5)(7)، \frac(13)(5)، …\)

هر عددی را می توان به صورت کسری بیان کرد زیرا هر عددی بر یک بخش پذیر است.به عنوان مثال:

\(7 = \frac(7)(1)\)

سوالات موضوع:
به نظر شما هر کسری قابل کاهش است یا خیر؟
پاسخ: خیر، کسرهای تقلیل پذیر و کسرهای تقلیل ناپذیر وجود دارد.

بررسی کنید که آیا برابری درست است: \(\frac(7)(11) = \frac(14)(22)\)؟
پاسخ: کسر را بنویسید \(\frac(14)(22) = \frac(7 \cdot 2)(11 \cdot 2) = \frac(7)(11)\)، بله این عادلانه است.

مثال شماره 1:
الف) کسری با مخرج 15 برابر کسری پیدا کنید \(\frac(2)(3)\).
ب) کسری با عدد 8 برابر کسری پیدا کنید \(\frac(1)(5)\).

راه حل:
الف) به عدد 15 در مخرج نیاز داریم حالا مخرج عدد 3 را دارد. برای بدست آوردن عدد 15 باید عدد 3 را در چه عددی ضرب کنیم؟ بیایید جدول ضرب 3⋅5 را به خاطر بسپاریم. ما باید از ویژگی اصلی کسرها استفاده کنیم و هم صورت و هم مخرج کسر را ضرب کنیم. \(\frac(2)(3)\)توسط 5.

\(\frac(2)(3) = \frac(2 \cdot 5)(3 \cdot 5) = \frac(10)(15)\)

ب) عدد 8 را باید در صورتگر باشد. البته 1⋅8. ما باید از ویژگی اصلی کسرها استفاده کنیم و هم صورت و هم مخرج کسر را ضرب کنیم. \(\frac(1)(5)\)با 8. دریافت می کنیم:

\(\frac(1)(5) = \frac(1 \cdot 8)(5 \cdot 8) = \frac(8)(40)\)

مثال شماره 2:
کسری تقلیل ناپذیر برابر کسر را بیابید: الف) \(\frac(16)(36)\),ب) \(\frac(10)(25)\).

راه حل:
الف) \(\frac(16)(36) = \frac(4 \cdot 4)(9 \cdot 4) = \frac(4)(9)\)

ب) \(\frac(10)(25) = \frac(2 \cdot 5)(5 \cdot 5) = \frac(2)(5)\)

مثال شماره 3:
عدد را به صورت کسری بنویسید: الف) 13 ب) 123

راه حل:
الف) \(13 = \frac(13) (1)\)

ب) \(123 = \frac(123) (1)\)

کسری- شکلی از نمایش یک عدد در ریاضیات. نوار کسری عملیات تقسیم را نشان می دهد. شمارندهکسری سود سهام نامیده می شود و مخرج- تقسیم کننده به عنوان مثال، در یک کسر، صورت 5 و مخرج آن 7 است.

صحیحکسری نامیده می شود که مدول صورت آن بزرگتر از مدول مخرج باشد. اگر کسری مناسب باشد، مدول مقدار آن همیشه کمتر از 1 است. همه کسرهای دیگر اشتباه.

کسر نامیده می شود مختلط، اگر به صورت عدد صحیح و کسری نوشته شود. این برابر است با مجموع این عدد و کسر:

خاصیت اصلی کسری

اگر صورت و مخرج کسری در یک عدد ضرب شوند، مقدار آن کسر تغییر نمی کند، به عنوان مثال،

تقلیل کسرها به مخرج مشترک

برای آوردن دو کسر به مخرج مشترک، شما نیاز دارید:

صورت کسر اول را در مخرج کسر دوم ضرب کنید
صورت کسر دوم را در مخرج کسر اول ضرب کنید
مخرج هر دو کسر را با حاصل ضرب آنها جایگزین کنید

عملیات با کسری

اضافه شدنبرای اضافه کردن دو کسر نیاز دارید

شماره های جدید هر دو کسر را اضافه کنید و مخرج را بدون تغییر رها کنید

مثال:

تفریق.برای تفریق یک کسر از کسر دیگر، شما نیاز دارید

کسرها را به مخرج مشترک کاهش دهید
کسر دوم را از کسر اول کم کنید و مخرج را بدون تغییر رها کنید.

مثال:

ضرب.برای ضرب یک کسر در کسر دیگر، صورت و مخرج آنها را ضرب کنید.

به تفصیل بحث شد ویژگی اصلی کسری، صورت بندی آن، برهان و مثال توضیحی آورده شده است. کاربرد خاصیت پایه یک کسر هنگام کاهش کسر و کاهش کسر به مخرج جدید نیز در نظر گرفته شده است.

پیمایش صفحه.

ویژگی اصلی کسری - فرمول بندی، اثبات و مثال های توضیحی

بیایید به مثالی نگاه کنیم که ویژگی اصلی یک کسری را نشان می دهد. فرض کنید یک مربع داریم که به 9 مربع "بزرگ" تقسیم شده است و هر یک از این مربع های "بزرگ" به 4 مربع "کوچک" تقسیم می شود. بنابراین، می توان گفت که مربع اصلی به 4 9 = 36 مربع "کوچک" تقسیم می شود. بیایید 5 مربع "بزرگ" را رنگ کنیم. در این حالت، 4·5=20 مربع کوچک سایه زده می شود. در اینجا یک نقاشی است که با مثال ما مطابقت دارد.

قسمت سایه دار 9/5 مربع اصلی است یا همان 36/20 مربع اصلی است یعنی کسرهای 9/5 و 36/20 برابرند: یا. از این برابری ها و همچنین از برابری های 20=5·4، 36=9·4، 20:4=5 و 36:4=9 نتیجه می گیرد که و .

برای تثبیت مواد جدا شده، راه حل مثال را در نظر بگیرید.

مثال.

صورت و مخرج برخی کسر مشترکدر 62 ضرب می شود و پس از آن صورت و مخرج کسر حاصل بر 2 تقسیم می شود. آیا کسر حاصل با کسر اصلی برابر است؟

راه حل.

ضرب صورت و مخرج کسری در هر کدام عدد طبیعی، به ویژه در 62، کسری را به دست می دهد که به دلیل ویژگی اصلی کسری، برابر با کسری اصلی است. ویژگی اصلی یک کسر به ما اجازه می دهد که بگوییم پس از تقسیم صورت و مخرج کسر بر 2، کسر حاصل برابر با کسر اصلی خواهد بود.

پاسخ:

بله، کسر حاصل برابر با کسر اصلی است.

کاربرد خاصیت پایه کسری

ویژگی اساسی یک کسر عمدتاً در دو مورد استفاده می شود: اول، هنگام کاهش کسر به مخرج جدید، و دوم، هنگام کاهش کسر.

ویژگی اصلی یک کسر به شما امکان می دهد کسرها را کاهش دهید و در نتیجه از کسر اصلی به کسری مساوی اما با صورت و مخرج کوچکتر حرکت کنید. تقلیل کسری شامل تقسیم صورت و مخرج کسر اصلی به هر صورت و مخرج مثبتی غیر از یک است (اگر چنین مقسوم علیه های مشترکی وجود نداشته باشد، کسر اصلی تقلیل ناپذیر است، یعنی نمی توان آن را کاهش داد). به طور خاص، تقسیم بر کسر اصلی را به شکل غیر قابل تقلیل کاهش می دهد.

مراجع

Vilenkin N.Ya.، ژخوف V.I.، Chesnokov A.S.، Shvartsburd S.I. ریاضیات: کتاب درسی پنجم دبستان. موسسات آموزشی
ویلنکین N.Ya. و سایرین. پایه ششم: کتاب درسی موسسات آموزش عمومی.

حق چاپ توسط دانش آموزان باهوش

تمامی حقوق محفوظ است.
توسط قانون کپی رایت محافظت می شود. هیچ بخشی از سایت، از جمله مطالب داخلی و ظاهر، را نمی توان به هر شکلی تکثیر کرد یا بدون اجازه کتبی قبلی صاحب حق چاپ استفاده کرد.