در این مقاله در مورد نحوه بیان مساحت یک چندضلعی که می توان یک دایره را در آن حک کرد، از طریق شعاع این دایره صحبت خواهیم کرد. شایان ذکر است فوراً هر چند ضلعی نمی تواند یک دایره را جای دهد. با این حال، اگر این امکان پذیر باشد، فرمولی که با آن مساحت چنین چند ضلعی محاسبه می شود بسیار ساده می شود. این مقاله را تا انتها بخوانید یا فیلم آموزشی پیوست شده را مشاهده کنید و یاد خواهید گرفت که چگونه مساحت یک چند ضلعی را بر حسب شعاع دایره درج شده در آن بیان کنید.

فرمول مساحت یک چندضلعی بر حسب شعاع دایره محاطی

بیایید یک چند ضلعی رسم کنیم الف 1 الف 2 الف 3 الف 4 الف 5، لزوماً صحیح نیست، اما یک دایره می تواند در آن حک شود. به شما یادآوری می کنم که دایره محاطی دایره ای است که تمام ضلع های چند ضلعی را لمس می کند. در تصویر یک دایره سبز رنگ با یک مرکز در نقطه است O:

ما در اینجا 5-gon را به عنوان مثال در نظر گرفتیم. اما در واقع، این اهمیت قابل توجهی ندارد، زیرا اثبات بیشتر برای هر دو 6 و 8 گون و به طور کلی برای هر "گون" دلخواه معتبر است.

اگر مرکز دایره محاط شده را با تمام رئوس چند ضلعی وصل کنید، آنگاه به تعداد رئوس چند ضلعی داده شده به مثلث تقسیم می شود. در مورد ما: برای 5 مثلث. اگر نقطه را وصل کنیم Oبا تمام نقاط مماس دایره محاط شده با اضلاع چند ضلعی، سپس 5 پاره به دست می آید (در شکل زیر این پاره ها هستند اوه 1 , اوه 2 , اوه 3 , اوه 4 و اوه 5) که برابر با شعاع دایره و عمود بر اضلاع چند ضلعی که به آن کشیده شده اند. مورد دوم درست است، زیرا شعاع رسم شده به نقطه تماس عمود بر مماس است:

چگونه مساحت چند ضلعی محدود شده خود را پیدا کنیم؟ پاسخ ساده است. شما باید مساحت تمام مثلث های حاصل را جمع کنید:

بیایید در نظر بگیریم که مساحت یک مثلث چقدر است. در تصویر زیر با رنگ زرد مشخص شده است:

برابر است با نصف حاصلضرب پایه الف 1 الف 2 به ارتفاع اوه 1 به این پایه کشیده شده است. اما همانطور که قبلاً متوجه شدیم این ارتفاع برابر با شعاع دایره محاط است. یعنی فرمول مساحت مثلث به شکل زیر است: ، کجا r- شعاع دایره محاطی. مساحت تمام مثلث های باقی مانده به طور مشابه یافت می شود. در نتیجه، مساحت مورد نیاز چند ضلعی برابر است با:

مشاهده می‌شود که در تمام شرایط این مبلغ یک عامل مشترک وجود دارد که می‌توان آن را از پرانتز خارج کرد. نتیجه عبارت زیر خواهد بود:

یعنی آنچه در پرانتز باقی می‌ماند صرفاً مجموع تمام ضلع‌های چندضلعی است، یعنی محیط آن. پ. اغلب در این فرمول عبارت به سادگی با صو این حرف را «نیمه محیطی» می نامند. در نتیجه فرمول نهایی به شکل زیر در می آید:

یعنی مساحت چند ضلعی که دایره ای با شعاع معلوم در آن حک شده است برابر است با حاصلضرب این شعاع و نیم محیط چند ضلعی. این همان نتیجه ای است که ما دنبالش بودیم.

در نهایت، او متذکر می شود که یک دایره همیشه می تواند در یک مثلث حک شود، که حالت خاصی از یک چند ضلعی است. بنابراین، برای یک مثلث این فرمول همیشه می تواند اعمال شود. برای چند ضلعی های دیگر با بیش از 3 ضلع، ابتدا باید مطمئن شوید که یک دایره می تواند در آنها حک شود. اگر چنین است، می توانید با خیال راحت از این استفاده کنید فرمول سادهو از آن برای یافتن مساحت این چند ضلعی استفاده کنید.

مواد تهیه شده توسط سرگئی والریویچ

هرکسی که در مدرسه ریاضیات و هندسه خوانده باشد این علوم را حداقل به صورت سطحی می داند. اما با گذشت زمان، اگر آنها را تمرین نکنید، دانش فراموش می شود. حتی بسیاری بر این باورند که فقط وقت خود را با مطالعه محاسبات هندسی تلف کرده اند. با این حال، آنها اشتباه می کنند. کارگران فنی کارهای روزانه مربوط به محاسبات هندسی را انجام می دهند. در مورد محاسبه مساحت یک چند ضلعی، این دانش نیز کاربرد خود را در زندگی پیدا می کند. آنها حداقل برای محاسبه مساحت زمین مورد نیاز خواهند بود. بنابراین بیایید یاد بگیریم که چگونه مساحت یک چند ضلعی را پیدا کنیم.

تعریف چند ضلعی

ابتدا بیایید تعریف کنیم که چند ضلعی چیست. صاف است شکل هندسی، که در نتیجه تلاقی سه یا چند خط مستقیم تشکیل شده است. یک تعریف ساده دیگر: چند ضلعی یک چند خط بسته است. به طور طبیعی، هنگامی که خطوط تلاقی می کنند، نقاط تقاطع آنها برابر با تعداد خطوط تشکیل دهنده چند ضلعی است. نقاط تقاطع را رئوس و قطعاتی که از خطوط مستقیم تشکیل شده اند اضلاع چندضلعی نامیده می شوند. بخش های مجاور یک چند ضلعی روی یک خط مستقیم نیستند. پاره های خطی که مجاور نیستند آنهایی هستند که از آن عبور نمی کنند نقاط مشترک.

مجموع مساحت مثلث ها

چگونه مساحت چند ضلعی را پیدا کنیم؟ مساحت یک چند ضلعی فضای داخلی صفحه ای است که از تقاطع قطعات یا اضلاع چند ضلعی تشکیل می شود. از آنجایی که چند ضلعی ترکیبی از اشکالی مانند مثلث، لوزی، مربع، ذوزنقه است، به سادگی هیچ فرمول جهانی برای محاسبه مساحت آن وجود ندارد. در عمل، جهانی ترین روش تقسیم چند ضلعی به ارقام ساده تر است که یافتن مساحت آن دشوار نیست. با جمع کردن مجموع مساحت های این شکل های ساده، مساحت چندضلعی به دست می آید.

از طریق مساحت یک دایره

در بیشتر موارد، یک چند ضلعی شکل منظمی دارد و شکلی با اضلاع و زوایای مساوی بین آنها تشکیل می دهد. در این مورد، محاسبه مساحت با استفاده از یک دایره محاطی یا محدود بسیار ساده است. اگر مساحت یک دایره مشخص باشد، باید آن را در محیط چند ضلعی ضرب کرد و سپس حاصل ضرب حاصل را بر 2 تقسیم کرد. نتیجه فرمولی برای محاسبه مساحت چنین چندضلعی است: S = ½∙P∙r.، که در آن P مساحت دایره، و r محیط چند ضلعی است.

روش تقسیم چند ضلعی به اشکال "مناسب" در هندسه محبوب ترین است و به شما امکان می دهد مساحت چند ضلعی را به سرعت و به درستی پیدا کنید. کلاس چهارم متوسطه معمولاً چنین روش هایی را مطالعه می کند.

مسائل هندسی اغلب نیاز به محاسبه مساحت یک چند ضلعی دارند. علاوه بر این، می تواند شکل نسبتاً متنوعی داشته باشد - از مثلث آشنا گرفته تا مقداری n-gon با تعدادی رئوس غیرقابل تصور. علاوه بر این، این چند ضلعی ها می توانند محدب یا مقعر باشند. در هر کدام وضعیت خاصقرار است از ظاهرارقام به این ترتیب می توانید راه بهینه را برای حل مشکل انتخاب کنید. شکل ممکن است درست باشد، که حل مشکل را بسیار ساده می کند.

یک نظریه کوچک در مورد چندضلعی ها

اگر سه یا چند خط متقاطع بکشید، یک شکل مشخص را تشکیل می دهند. این اوست که چندضلعی است. بر اساس تعداد نقاط تقاطع، مشخص می شود که چند رأس خواهد داشت. آنها نام را به شکل حاصل می دهند. می تواند باشد:

چنین رقمی قطعاً با دو موقعیت مشخص می شود:

1. اضلاع مجاور به یک خط مستقیم تعلق ندارند.
2. غیر مجاور هیچ نقطه مشترکی ندارند، یعنی تلاقی نمی کنند.

برای اینکه بفهمید کدام رئوس همسایه هستند، باید ببینید که آیا آنها متعلق به یک طرف هستند یا خیر. اگر بله، پس همسایگان. در غیر این صورت، آنها را می توان توسط یک قطعه، که باید یک مورب نامیده می شود، متصل شوند. آنها را فقط در چند ضلعی می توان اجرا کرد که بیش از سه رأس دارند.

چه انواعی از آنها وجود دارد؟

چند ضلعی با بیش از چهار گوشه می تواند محدب یا مقعر باشد. تفاوت بین دومی در این است که برخی از رئوس آن می توانند در طرف مقابل یک خط مستقیم قرار بگیرند که از طریق یک ضلع دلخواه از چند ضلعی کشیده شده است. در یک حالت محدب، همه رئوس همیشه در یک سمت چنین خط مستقیم قرار می گیرند.

در یک درس هندسه مدرسه، بیشتر زمان به اشکال محدب اختصاص دارد. بنابراین، مشکلات مستلزم یافتن مساحت یک چندضلعی محدب است. سپس فرمولی از نظر شعاع دایره محدود وجود دارد که به شما امکان می دهد مقدار مورد نظر را برای هر شکلی پیدا کنید. در موارد دیگر، راه حل روشنی وجود ندارد. برای مثلث فرمول یک است، اما برای مربع یا ذوزنقه کاملاً متفاوت است. در شرایطی که شکل نامنظم است یا رئوس زیادی وجود دارد، مرسوم است که آنها را به موارد ساده و آشنا تقسیم کنیم.

اگر شکل سه یا چهار رأس داشته باشد چه باید کرد؟

در حالت اول، یک مثلث به نظر می رسد و می توانید از یکی از فرمول ها استفاده کنید:

• S = 1/2 * a * n، جایی که a سمت است، n ارتفاع آن است.
• S = 1/2 * a * b * sin (A)، که در آن a، b اضلاع مثلث هستند، A زاویه بین اضلاع شناخته شده است.
• S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c))، که در آن c ضلع مثلث است، به دو مورد قبلاً نشان داده شده، p نیمه محیط است، یعنی، مجموع هر سه ضلع تقسیم بر دو .

شکلی با چهار رأس ممکن است متوازی الاضلاع باشد:

• S = a * n;
• S = 1/2 * d 1 * d 2 * sin(α)، که در آن d 1 و d 2 مورب هستند، α زاویه بین آنها است.
• S = a * در * sin(α).

فرمول مساحت ذوزنقه: S = n * (a + b) / 2 که a و b طول پایه ها هستند.

با چند ضلعی منظم که بیش از چهار رأس دارد چه کنیم؟

برای شروع، چنین رقمی با این واقعیت مشخص می شود که همه طرف ها برابر هستند. به علاوه، چند ضلعی دارای زوایای مساوی است.

اگر دور چنین شکلی دایره ای بکشید، شعاع آن با قسمت مرکز چندضلعی تا یکی از رئوس منطبق خواهد شد. بنابراین، به منظور محاسبه مساحت چند ضلعی منظمبا تعداد دلخواه رئوس، به فرمول زیر نیاز دارید:

S n = 1/2 * n * R n 2 * sin (360º/n)، که در آن n تعداد رئوس چند ضلعی است.

از آن به راحتی می توان موردی را بدست آورد که برای موارد خاص مفید است:

1. مثلث: S = (3√3)/4 * R 2 ;
2. مربع: S = 2 * R 2 ;
3. شش ضلعی: S = (3√3)/2 * R2.

وضعیت با رقم اشتباه

راه حل چگونگی پیدا کردن مساحت یک چندضلعی در صورتی که منظم نیست و نمی توان آن را به هیچ یک از شکل های شناخته شده قبلی نسبت داد، الگوریتم است:

• آن را به اشکال ساده، به عنوان مثال، مثلث، بشکنید تا آنها را قطع نکنند.
• مساحت آنها را با استفاده از هر فرمولی محاسبه کنید.
• همه نتایج را جمع کنید

اگر مسئله مختصات رئوس چند ضلعی را بدهد چه باید کرد؟

یعنی برای هر نقطه مجموعه ای از جفت اعداد مشخص است که اضلاع شکل را محدود می کند. معمولاً آنها را به صورت (x 1 ; y 1) برای اولی، (x 2 ; y 2) برای دوم می نویسند و راس n دارای مقادیر زیر است (x n ; y n). سپس مساحت چند ضلعی به صورت مجموع n جمله تعیین می شود. هر یک از آنها به این شکل است: ((y i+1 +y i)/2) * (x i+1 - x i). در این عبارت i از یک تا n تغییر می کند.

شایان ذکر است که علامت نتیجه به پیمودن شکل بستگی دارد. هنگام استفاده از فرمول بالا و حرکت در جهت عقربه های ساعت، پاسخ منفی خواهد بود.

نمونه کار

وضعیت. مختصات رئوس با مقادیر زیر مشخص می شود (0.6؛ 2.1)، (1.8؛ 3.6)، (2.2؛ 2.3)، (3.6؛ 2.4)، (3.1؛ 0.5). شما باید مساحت یک چند ضلعی را محاسبه کنید.

راه حل. طبق فرمول بالا، جمله اول برابر با (1.8 + 0.6) / 2 * (3.6 - 2.1) خواهد بود. در اینجا فقط باید مقادیر Y و X را از نقاط دوم و اول بگیرید. یک محاسبه ساده به نتیجه 1.8 منجر می شود.

عبارت دوم به طور مشابه به دست می آید: (2.2 + 1.8)/2 * (2.3 - 3.6) = -2.6. هنگام حل چنین مشکلاتی، از مقادیر منفی نترسید. همه چیز همانطور که باید پیش می رود. این برنامه ریزی شده است.

مقادیر برای ترم های سوم (0.29)، چهارم (6.365-) و پنجم (2.96) به روشی مشابه به دست می آیند. سپس ناحیه نهایی عبارت است از: 1.8 + (2.6-) + 0.29 + (-6.365) + 2.96 = - 3.915.

توصیه ای برای حل مسئله ای که در آن چند ضلعی روی کاغذ شطرنجی کشیده شده است

چیزی که اغلب گیج کننده است این است که داده ها فقط شامل اندازه سلول هستند. اما معلوم شد که اطلاعات بیشتری لازم نیست. یک توصیه برای حل این مشکل این است که شکل را به چندین مثلث و مستطیل تقسیم کنید. محاسبه مساحت آنها با طول اضلاع بسیار آسان است، که سپس به راحتی می توان آنها را جمع کرد.

اما اغلب یک رویکرد ساده تر وجود دارد. این شامل کشیدن یک شکل به یک مستطیل و محاسبه مساحت آن است. سپس مساحت آن عناصری را که معلوم شد اضافی هستند محاسبه کنید. آنها را از مقدار کل کم کنید. این گزینه گاهی اوقات شامل تعداد کمی از اقدامات است.

\[(\Large(\text(حقایق اولیه درباره منطقه)))\]

می توان گفت که مساحت یک چند ضلعی مقداری است که قسمتی از صفحه را که یک چند ضلعی معین اشغال می کند را نشان می دهد. واحد اندازه گیری مساحت مربعی با ضلع \(1\) سانتی متر، \(1\) میلی متر و غیره است. (مربع واحد). سپس مساحت به ترتیب بر حسب cm\(^2\)، mm\(^2\) اندازه گیری می شود.

به عبارت دیگر، می توان گفت مساحت یک کمیتی است که مقدار عددی آن نشان می دهد که یک واحد مربع چند برابر یک شکل معین قرار می گیرد.

خواص منطقه

1. مساحت هر چند ضلعی یک کمیت مثبت است.

2. چند ضلعی های مساوی مساحت مساوی دارند.

3. اگر یک چند ضلعی از چند ضلعی تشکیل شده باشد، مساحت آن برابر است با مجموع مساحت این چندضلعی ها.

4. مساحت مربع با ضلع \(a\) برابر با \(a^2\) است.

\[(\Large(\text(مساحت مستطیل و متوازی الاضلاع)))\]

قضیه: مساحت مستطیل

مساحت یک مستطیل با اضلاع \(a\) و \(b\) برابر است با \(S=ab\).

اثبات

بیایید مستطیل \(ABCD\) را به شکل مربع با ضلع \(a+b\) بسازیم، همانطور که در شکل نشان داده شده است:

این مربع از یک مستطیل \(ABCD\)، یک مستطیل مساوی دیگر و دو مربع با اضلاع \(a\) و \(b\) تشکیل شده است. بنابراین،

\(\begin(چند خط*) S_(a+b)=2S_(\text(pr-k))+S_a+S_b \فلش راست چپ (a+b)^2=2S_(\text(pr-k))+ a^2+b^2 \پیکان راست چپ\\ a^2+2ab+b^2=2S_(\text(pr-k))+a^2+b^2 \Rightarrow S_(\text(pr-k) )=ab \end(چند خط*)\)

تعریف

ارتفاع متوازی الاضلاع عمودی است که از راس متوازی الاضلاع به سمت (یا به امتداد ضلع) که این راس را ندارد، کشیده می شود.
برای مثال، ارتفاع \(BK\) در سمت \(AD\) و ارتفاع \(BH\) در ادامه ضلع \(CD\) قرار می گیرد:

قضیه: مساحت متوازی الاضلاع

مساحت متوازی الاضلاع برابر است با حاصل ضرب ارتفاع و ضلعی که این ارتفاع به آن کشیده شده است.

اثبات

عمودهای \(AB"\) و \(DC"\) را همانطور که در شکل نشان داده شده است رسم می کنیم. توجه داشته باشید که این عمودها برابر با ارتفاع متوازی الاضلاع \(ABCD\) هستند.

سپس \(AB"C"D\) یک مستطیل است، بنابراین، \(S_(AB"C"D)=AB"\cdot AD\) .

توجه داشته باشید که مثلث قائم الزاویه \(ABB"\) و \(DCC"\) همخوان هستند. بنابراین،

\(S_(ABCD)=S_(ABC"D)+S_(DCC")=S_(ABC"D)+S_(ABB")=S_(AB"C"D)=AB"\cdot AD.\)

\[(\Large(\text(مساحت مثلث)))\]

تعریف

ضلعی که ارتفاع در مثلث به آن کشیده شده است را قاعده مثلث می نامیم.

قضیه

مساحت یک مثلث برابر است با نصف حاصلضرب قاعده آن و ارتفاع کشیده شده به این قاعده.

اثبات

فرض کنید \(S\) مساحت مثلث \(ABC\) باشد. بیایید ضلع \(AB\) را به عنوان قاعده مثلث در نظر بگیریم و ارتفاع \(CH\) را رسم کنیم. این را ثابت کنیم \ بیایید مثلث \(ABC\) را به متوازی الاضلاع \(ABDC\) همانطور که در شکل نشان داده شده است بسازیم:

مثلث های \(ABC\) و \(DCB\) در سه ضلع برابر هستند (\(BC\) ضلع مشترک آنها است، \(AB = CD\) و \(AC = BD\) به عنوان اضلاع مخالف متوازی الاضلاع \ (ABDC\ ))، بنابراین مساحت آنها برابر است. بنابراین مساحت \(S\) مثلث \(ABC\) برابر با نصف مساحت متوازی الاضلاع \(ABDC\) است. \(S = \dfrac(1)(2)AB\cdot CH\).

قضیه

اگر دو مثلث \(\مثلث ABC\) و \(\مثلث A_1B_1C_1\) داشته باشند ارتفاعات مساوی، سپس مساحت آنها مربوط به پایه هایی است که این ارتفاعات به آنها کشیده شده است.

نتیجه

میانه یک مثلث آن را به دو مثلث با مساحت مساوی تقسیم می کند.

قضیه

اگر دو مثلث \(\مثلث ABC\) و \(\مثلث A_2B_2C_2\) هر کدام دارای زاویه برابر، سپس مساحت آنها به عنوان حاصل ضرب اضلاع تشکیل دهنده این زاویه به هم مربوط می شود.

اثبات

اجازه دهید \(\ زاویه A=\زاویه A_2\) . بیایید این زوایا را همانطور که در شکل نشان داده شده است ترکیب کنیم (نقطه \(A\) تراز شده با نقطه \(A_2\)):

بیایید ارتفاعات \(BH\) و \(C_2K\) را پیدا کنیم.

مثلث های \(AB_2C_2\) و \(ABC_2\) دارای ارتفاع یکسان \(C_2K\) هستند، بنابراین: \[\dfrac(S_(AB_2C_2))(S_(ABC_2))=\dfrac(AB_2)(AB)\]

مثلث های \(ABC_2\) و \(ABC\) ارتفاع یکسانی دارند \(BH\) بنابراین: \[\dfrac(S_(ABC_2))(S_(ABC))=\dfrac(AC_2)(AC)\]

با ضرب دو برابری آخر به دست می آید: \[\dfrac(S_(AB_2C_2))(S_(ABC))=\dfrac(AB_2\cdot AC_2)(AB\cdot AC) \qquad \text( یا ) \qquad \dfrac(S_(A_2B_2C_2))(S_ (ABC))=\dfrac(A_2B_2\cdot A_2C_2)(AB\cdot AC)\]

قضیه فیثاغورث

در یک مثلث قائم الزاویه، مجذور طول هیپوتنوس برابر است با مجموع مجذورات طول پاها:

عکس این قضیه نیز صادق است: اگر در مثلثی، مربع طول یک ضلع برابر با مجموع مربعات طول دو ضلع دیگر باشد، چنین مثلثی قائم الزاویه است.

قضیه

مربع مثلث قائم الزاویهبرابر با نصف حاصلضرب پاها.

قضیه: فرمول هرون

فرض کنید \(p\) نیم محیط مثلث باشد، \(a\) , \(b\) , \(c\) طول اضلاع آن باشد، سپس مساحت آن برابر است با \

\[(\Large(\text(مساحت لوزی و ذوزنقه)))\]

نظر دهید

چون لوزی متوازی الاضلاع است، پس همان فرمول برای آن صادق است، یعنی. مساحت لوزی برابر است با حاصل ضرب ارتفاع و سمتی که این ارتفاع به آن کشیده شده است.

قضیه

مساحت یک چهارضلعی محدب که قطرهای آن عمود بر هم هستند برابر با نصف حاصلضرب قطرها است.

اثبات

چهار ضلعی \(ABCD\) را در نظر بگیرید. اجازه دهید \(AO=a، CO=b، BO=x، DO=y\) را نشان دهیم:

توجه داشته باشید که این چهار ضلعی از چهار مثلث قائم الزاویه تشکیل شده است، بنابراین مساحت آن برابر است با مجموع مساحت این مثلث ها:

\(\begin(چند خط*) S_(ABCD)=\frac12ax+\frac12xb+\frac12by+\frac12ay=\frac12(ax+xb+by+ay)=\\ \frac12((a+b)x+(a+b) y)=\frac12(a+b)(x+y)\end(چند خط*)\)

نتیجه: مساحت یک لوزی

مساحت لوزی برابر با نصف حاصل ضرب قطرهای آن است: \

تعریف

ارتفاع ذوزنقه عمودی است که از بالای یک پایه به پایه دیگر کشیده می شود.

قضیه: مساحت ذوزنقه

مساحت ذوزنقه برابر است با حاصل ضرب نصف مجموع قاعده ها و ارتفاع.

اثبات

ذوزنقه \(ABCD\) را با پایه های \(BC\) و \(AD\) در نظر بگیرید. بیایید \(CD"\موازی AB\) را مانند شکل ترسیم کنیم:

سپس \(ABCD"\) متوازی الاضلاع است.

اجازه دهید \(BH"\perp AD, CH\perp AD\) را نیز اجرا کنیم (\(BH"=CH\) ارتفاع ذوزنقه هستند).

سپس \(S_(ABCD")=BH"\cdot AD"=BH"\cdot BC, \quad S_(CDD")=\dfrac12CH\cdot D"D\)

چون یک ذوزنقه از متوازی الاضلاع \(ABCD"\) و یک مثلث \(CDD"\ تشکیل شده است ، سپس مساحت آن برابر است با مجموع مساحت متوازی الاضلاع و مثلث ، یعنی:

\ \[=\dfrac12 CH\left(BC+AD"+D"D\right)=\dfrac12 CH\left(BC+AD\right)\]

1.1 محاسبه مساحت ها در دوران باستان

1.2 رویکردهای مختلف برای مطالعه مفاهیم «مساحت»، «چند ضلعی»، «مساحت چندضلعی»

1.2.1 مفهوم منطقه. خواص منطقه

1.2.2 مفهوم چند ضلعی

1.2.3 مفهوم مساحت چند ضلعی. تعریف توصیفی

1.3 فرمول های مختلف برای مساحت چندضلعی ها

1.4 استخراج فرمول برای مساحت چندضلعی ها

1.4.1 مساحت یک مثلث. فرمول هرون

1.4.2 مساحت مستطیل

1.4.3 مساحت ذوزنقه

1.4.4 مساحت یک چهارضلعی

1.4.5 فرمول جهانی

1.4.6 مساحت n-gon

1.4.7 محاسبه مساحت یک چند ضلعی از مختصات رئوس آن

1.4.8 فرمول پیک

1.5 قضیه فیثاغورث در مورد مجموع مساحت مربع های ساخته شده بر روی پایه های یک مثلث قائم الزاویه

1.6 چیدمان مساوی مثلث ها. قضیه بولیای-گروین

1.7 نسبت مساحت مثلث های مشابه

1.8 ارقام با بیشترین مساحت

1.8.1 ذوزنقه یا مستطیل

1.8.2 ویژگی قابل توجه میدان

1.8.3 بخش هایی از اشکال دیگر

1.8.4 مثلث با بیشترین مساحت

فصل 2. ویژگی های روش شناختی مطالعه مساحت های چندضلعی ها در کلاس های ریاضی

2.1 برنامه ریزی موضوعیو ویژگی های تدریس در کلاس های با مطالعه عمیق ریاضیات

2.2 روش شناسی برای برگزاری دروس

2.3 نتایج کار تجربی

نتیجه گیری

ادبیات

مقدمه

مبحث "مساحت چند ضلعی ها" بخشی جدایی ناپذیر از درس ریاضی مدرسه است که کاملا طبیعی است. از این گذشته ، از نظر تاریخی ، ظهور هندسه با نیاز به مقایسه قطعات زمین با یک شکل یا شکل دیگر همراه است. اما لازم به ذکر است که فرصت های آموزشی برای پوشش این مبحث در دبیرستانبه دور از استفاده کامل هستند.

وظیفه اصلی آموزش ریاضیات در مدرسه تضمین تسلط قوی و آگاهانه دانش آموزان بر سیستم دانش و مهارت های ریاضی مورد نیاز در زندگی روزمرهو فعالیت کارگری برای هر عضو جامعه مدرنبرای تحصیل رشته های مرتبط و ادامه تحصیل کافی است.

همراه با حل مسئله اصلی، مطالعه عمیق ریاضیات شامل ایجاد علاقه پایدار در دانش آموزان به موضوع، شناسایی و توسعه آنها می شود. توانایی های ریاضی، گرایش به حرفه هایی که به طور قابل توجهی با ریاضیات مرتبط است، آمادگی برای تحصیل در دانشگاه.

کار صلاحیتشامل محتوای درس ریاضی می باشد دبیرستانو تعدادی سؤال اضافی مستقیماً در مجاورت این درس و تعمیق آن در امتداد خطوط اصلی ایدئولوژیک.

گنجاندن سؤالات اضافی دو هدف مرتبط با یکدیگر دارد. این امر از یک سو ایجاد پایگاهی برای ارضای علایق و رشد توانایی های دانش آموزان با تمایل به ریاضیات در ارتباط با بخش های اصلی دوره است و از سوی دیگر تحقق بخشیدن به شکاف های محتوایی درس اصلی، به محتوای مطالعه عمیق یکپارچگی لازم را می دهد.

کار واجد شرایط شامل یک مقدمه، دو فصل، یک نتیجه گیری و ادبیات استناد شده است. فصل اول به مبانی نظری مطالعه مساحت های چندضلعی می پردازد و فصل دوم به طور مستقیم به ویژگی های روش شناختی مطالعه نواحی می پردازد.

فصل 1. مبانی نظری برای مطالعه مساحت های چندضلعی

1.1 محاسبه مساحت در دوران باستان

آغاز دانش هندسی مربوط به اندازه گیری مساحت ها در اعماق هزاران سال گم شده است.

حتی 4 تا 5 هزار سال پیش بابلی ها توانستند مساحت یک مستطیل و ذوزنقه را در واحدهای مربعی تعیین کنند. این مربع به دلیل بسیاری از ویژگی های قابل توجه آن: اضلاع مساوی، زاویه های مساوی و راست، تقارن و کمال کلی فرم، از دیرباز به عنوان استانداردی برای اندازه گیری مساحت ها بوده است. ساختن مربع ها آسان است، یا می توانید یک هواپیما را بدون شکاف پر کنید.

در چین باستاناندازه مساحت یک مستطیل بود. وقتی سنگ تراشان مساحت دیوار مستطیلی خانه را تعیین می کردند، ارتفاع و عرض دیوار را چند برابر می کردند. این همان تعریفی است که در هندسه پذیرفته شده است: مساحت یک مستطیل برابر است با حاصلضرب اضلاع مجاور آن. هر دوی این ضلع ها باید در واحدهای خطی یکسان بیان شوند. محصول آنها مساحت مستطیل خواهد بود که در واحدهای مربع مربوطه بیان می شود. مثلاً اگر ارتفاع و عرض دیوار بر حسب دسی متر اندازه گیری شود، حاصل ضرب هر دو اندازه گیری بر حسب دسی متر مربع بیان می شود. و اگر مساحت هر قایق روبرو یک دسی متر مربع باشد، محصول حاصل تعداد کاشی های مورد نیاز برای روکش را نشان می دهد. این از بیانیه زیربنای اندازه گیری مساحت ها به دست می آید: مساحت یک شکل متشکل از ارقام غیر متقاطع برابر است با مجموع مساحت آنها.

مصریان باستان 4000 سال پیش تقریباً از همان روش‌هایی استفاده می‌کردند که ما برای اندازه‌گیری مساحت مستطیل، مثلث و ذوزنقه استفاده می‌کردیم: قاعده مثلث به نصف تقسیم شد و در ارتفاع ضرب شد. برای یک ذوزنقه، مجموع اضلاع موازی به نصف تقسیم شد و در ارتفاع و غیره ضرب شد. برای محاسبه مساحت

چهارضلعی با اضلاع (شکل 1.1)، فرمول (1.1) استفاده شد

آن ها نصف مجموع اضلاع مقابل ضرب شد.

این فرمول به وضوح برای هر چهارضلعی نادرست است. در این میان، بدیهی است که مساحت این گونه لوزی ها به اندازه زوایای رئوس بستگی دارد. این فرمول فقط برای یک مستطیل صادق است. با کمک آن می توانید تقریباً مساحت چهار ضلعی هایی را که زوایای آنها نزدیک به زوایای قائمه است محاسبه کنید.

برای تعیین منطقه

مثلث متساوی الساقین (شکل 1.2)، که در آن مصری ها از فرمول تقریبی استفاده می کردند:
(1.2) شکل. 1.2 خطای انجام شده در این حالت کوچکتر است، هر چه اختلاف ضلع و ارتفاع مثلث کمتر باشد، به عبارت دیگر، راس (و) به قاعده ارتفاع از . به همین دلیل است که فرمول تقریبی (1.2) فقط برای مثلث هایی با زاویه نسبتاً کوچک در راس قابل استفاده است.

اما قبلاً یونانیان باستان می دانستند که چگونه مناطق چندضلعی را به درستی پیدا کنند. اقلیدس در عناصر خود از کلمه "منطقه" استفاده نمی کند، زیرا با خود کلمه "شکل" بخشی از صفحه را می فهمد که با یک یا آن خط بسته محدود شده است. اقلیدس نتیجه اندازه گیری مساحت را با عدد بیان نمی کند، بلکه مساحت ارقام مختلف را با یکدیگر مقایسه می کند.

اقلیدس مانند سایر دانشمندان باستانی به تبدیل برخی از چهره ها به شکل های دیگر با اندازه های برابر می پردازد. مساحت یک شکل مرکب تغییر نمی کند اگر قطعات آن به طور متفاوت چیده شوند، اما بدون تلاقی. بنابراین، برای مثال، می توان بر اساس فرمول های مساحت یک مستطیل، فرمول هایی را برای مساحت شکل های دیگر پیدا کرد. بنابراین، یک مثلث به قسمت هایی تقسیم می شود که می توان از آنها یک مستطیل با اندازه مساوی تشکیل داد. از این ساختار نتیجه می شود که مساحت یک مثلث برابر با نصف حاصلضرب قاعده و ارتفاع آن است. با توسل به چنین برشی متوجه می شوند که مساحت متوازی الاضلاع برابر حاصلضرب قاعده و ارتفاع است و مساحت ذوزنقه حاصلضرب نصف مجموع قاعده ها و ارتفاع است. .

زمانی که سنگ تراشی ها مجبورند دیواری را کاشی کاری کنند پیکربندی پیچیدهآنها می توانند مساحت دیوار را با شمارش تعداد کاشی های استفاده شده برای روکش تعیین کنند. البته برخی از کاشی ها باید بریده شوند تا لبه های روکش با لبه دیوار منطبق شود. تعداد تمام کاشی های استفاده شده در کار، مساحت دیوار را با مقدار زیاد تخمین می زند، تعداد کاشی های شکسته نشده - با کمبود. با کاهش اندازه سلول ها، مقدار زباله کاهش می یابد و مساحت دیوار که از طریق تعداد کاشی ها تعیین می شود، با دقت بیشتری محاسبه می شود.

یکی از ریاضی دانان و دایره المعارف نویسان یونانی متأخر که آثارش عمدتاً جنبه کاربردی داشت، هرون اسکندریه بود که در قرن اول می زیست. n ه. به عنوان یک مهندس برجسته، او را "هرون مکانیک" نیز می نامیدند. هرون در کار خود "Dioptrics" ماشین های مختلف و ابزارهای اندازه گیری عملی را توصیف می کند.

یکی از کتاب‌های هرون به نام «هندسه» به نوعی مجموعه‌ای از فرمول‌ها و مسائل مربوطه است. این شامل مثال هایی در مورد محاسبه مساحت مربع ها، مستطیل ها و مثلث ها است. هرون در مورد یافتن مساحت یک مثلث بر اساس اضلاع آن می نویسد: «به عنوان مثال، اجازه دهید یک ضلع مثلث دارای طول 13 طناب اندازه گیری باشد، دومی 14 و سومی 15. برای یافتن مساحت، ادامه دهید. به شرح زیر 13، 14 و 15 را اضافه کنید. می شود 42. نصف آن 21 می شود. اول 13 را تفریق کنید - 8 باقی می ماند، سپس 14 - شما با 7 و در نهایت 15 - شما با 6 باقی می مانند. حالا آنها را ضرب کنید: 21 ضربدر 8 می شود 168، این را 7 برابر بگیرید - 1176 می گیرید و می گیرید. این 6 بار دیگر - 7056 دریافت می کنید. از اینجا ریشه مربع 84 خواهد شد. این تعداد تارهای اندازه گیری در ناحیه مثلث خواهد بود.