نحوه پیدا کردن مساحت هر شکل قضایای مساحت برای ارقام

کلاس: 5

به نظر من وظیفه معلم فقط آموزش نیست، بلکه ایجاد علاقه شناختی در دانش آموز است. بنابراین در صورت امکان موضوعات درسی را با کارهای عملی مرتبط می کنم.

در طول درس، دانش آموزان، تحت هدایت معلم، طرحی را برای حل مسائل برای یافتن مساحت یک "شکل پیچیده" (برای محاسبه تخمین های تعمیر) ترسیم می کنند، مهارت های حل مسائل را برای یافتن منطقه ادغام می کنند. توسعه توجه، توانایی فعالیت های تحقیقاتی، آموزش فعالیت، استقلال.

کار به صورت دو نفره باعث ایجاد موقعیت ارتباطی بین صاحبان دانش و کسانی می شود که آن را کسب می کنند. این کار مبتنی بر بهبود کیفیت آموزش در موضوع است. توسعه علاقه به فرآیند یادگیری و جذب عمیق تر مواد آموزشی را ترویج می کند.

این درس نه تنها دانش دانش آموزان را نظام مند می کند، بلکه به رشد توانایی های خلاق و تحلیلی نیز کمک می کند. استفاده از مسائل با محتوای عملی در کلاس به ما امکان می دهد ارتباط دانش ریاضی را در زندگی روزمره نشان دهیم.

اهداف درس:

آموزشی:

ادغام دانش فرمول های مساحت مستطیل، مثلث قائم الزاویه؛
تجزیه و تحلیل وظایف برای محاسبه مساحت یک شکل "پیچیده" و روشهای انجام آنها.
تکمیل مستقل وظایف برای آزمایش دانش، مهارت ها و توانایی ها.

آموزشی:

توسعه روش های فعالیت ذهنی و تحقیقاتی؛
توسعه توانایی گوش دادن و توضیح مسیر یک تصمیم.

آموزشی:

توسعه مهارت های تحصیلی دانش آموزان؛
فرهنگ گفتار شفاهی و نوشتاری ریاضی را پرورش دهید.
ایجاد نگرش دوستانه در کلاس و توانایی کار در گروه.

نوع درس:ترکیب شده.

تجهیزات:

ریاضیات: کتاب درسی پنجم دبستان. آموزش عمومی مؤسسات/ N.Ya. ویلنکین، وی.آی. ژخوف و همکاران، M.: "Mnemosyne"، 2010.
کارت هایی برای گروه های دانش آموزان با اشکال برای محاسبه مساحت یک شکل پیچیده.
وسایل نقاشی.

طرح درس:

زمان سازماندهی
به روز رسانی دانش.
الف) سوالات نظری (آزمون).
ب) بیان مسئله.
مطالب جدید یاد گرفت.
الف) یافتن راه حلی برای مشکل؛
ب) راه حل مسئله
تعمیر مواد.
الف) حل مشکلات جمعی؛
دقیقه تربیت بدنی
ب) کار مستقل
مشق شب.
خلاصه درس. انعکاس.

در طول کلاس ها

I. لحظه سازمانی.

ما درس را با این کلمات جدایی آغاز خواهیم کرد:

ریاضی، دوستان،
کاملاً همه به آن نیاز دارند.
در کلاس با پشتکار کار کنید
و موفقیت مطمئناً در انتظار شماست!

II. به روز رسانی دانش.

آ)کار جلویی با کارت های سیگنال (هر دانش آموز کارت هایی با اعداد 1، 2، 3، 4 دارد؛ هنگام پاسخ دادن به یک سوال امتحانی، دانش آموز کارتی را با شماره پاسخ صحیح بالا می آورد).

1. یک سانتی متر مربع عبارت است از:

مساحت مربع با ضلع 1 سانتی متر؛
مربع با ضلع 1 سانتی متر؛
مربع با محیط 1 سانتی متر.

2. مساحت شکل نشان داده شده در شکل برابر است با:

8 dm;
8 dm 2;
15 dm 2.

3. آیا این درست است که ارقام مساوی محیط و مساحت مساوی دارند؟

4. مساحت یک مستطیل با فرمول تعیین می شود:

S = a 2 ;
S = 2 (a + b)؛
S = a b.

5. مساحت شکل نشان داده شده در شکل برابر است با:

12 سانتی متر؛
8 سانتی متر؛
16 سانتی متر.

ب) (تشکیل مسئله). وظیفه. اگر در هر متر مربع 200 گرم رنگ مصرف شود، برای رنگ آمیزی کفی که به شکل زیر است (به شکل زیر مراجعه کنید) چه مقدار رنگ لازم است؟

III. یادگیری مطالب جدید.

برای حل آخرین مشکل چه چیزهایی باید بدانیم؟ (مساحتی از کف را پیدا کنید که شبیه یک "شکل پیچیده" است.)

دانش آموزان موضوع و اهداف درس را تدوین می کنند (در صورت لزوم معلم کمک می کند).

یک مستطیل را در نظر بگیرید آ ب پ ت. بیایید یک خط در آن بکشیم KPMN، شکستن مستطیل آ ب پ تبه دو بخش: ABNMPKو KPMNCD.

منطقه چیست؟ آ ب پ ت? (15 سانتی متر مربع)

مساحت شکل چقدر است؟ ABMNPK? (7 سانتی متر 2)

مساحت شکل چقدر است؟ KPMNCD? (8 سانتی متر 2)

نتایج خود را تجزیه و تحلیل کنید. (15 = = 7 + 8)

نتیجه؟ (مساحت کل شکل برابر است با مجموع مساحت قطعات آن.)

S = S 1 + S 2

چگونه می توانیم این ویژگی را برای حل مشکل خود اعمال کنیم؟ (بیایید یک شکل پیچیده را به قطعات تقسیم کنیم، مساحت قطعات و سپس مساحت کل شکل را پیدا کنیم.)

S 1 = 7 2 = 14 (m 2)
S 2 = (7 – 4) (8 – 2 – 3) = 3 3 = 9 (m2)
S 3 = 7 3 = 21 (m2)
S = S 1 + S 2 + S 3 = 14 + 9 + 21 = 44 (m2)

بیا آرایش کنیم برنامه ریزی برای حل مسائل برای یافتن مساحت یک "شکل پیچیده":

شکل را به شکل های ساده تقسیم می کنیم.
یافتن مساحت شکل های ساده

الف) وظیفه 1. برای چیدمان سایتی با ابعاد زیر به چند کاشی نیاز است:

S = S 1 + S 2
S 1 = (60 - 30) 20 = 600 (dm 2)
S 2 = 30 50 = 1500 (dm 2)
S = 600 + 1500 = 2100 (dm 2)

آیا راه دیگری برای حل وجود دارد؟ (ما در حال بررسی گزینه های پیشنهادی هستیم.)

جواب: 2100 dm 2.

وظیفه 2. (تصمیم گیری جمعی در هیئت مدیره و در دفترچه ها.)چند متر مربع مشمع کف اتاق برای بازسازی یک اتاق با شکل زیر لازم است:

S = S 1 + S 2
S 1 = 3 2 = 6 (m2)
S 2 = ((5 - 3) 2) : 2 = 2 (m 2)
S = 6 + 2 = 8 (m2)

جواب: 8 متر مربع.

دقیقه تربیت بدنی

و حالا، بچه ها، برخیزید.
سریع دستانشان را بالا بردند.
به طرفین، جلو، عقب.
چرخید به راست، چپ.
آرام نشستند و به کار خود بازگشتند.

ب) کار مستقل (آموزشی) .

دانش آموزان به گروه ها تقسیم می شوند (شماره 5-8 قوی تر هستند). هر گروه یک تیم تعمیر است.

وظیفه برای تیم ها: اگر به ازای هر 1 متر مربع 200 گرم رنگ نیاز است، تعیین کنید که برای رنگ آمیزی کفی که به شکل شکل نشان داده شده روی کارت است، چه مقدار رنگ لازم است.

این شکل را در دفترچه یادداشت خود می سازید و تمام داده ها را یادداشت می کنید و کار را شروع می کنید. شما می توانید در مورد راه حل بحث کنید (اما فقط در گروه خود!). اگر گروهی به سرعت با کار کنار بیایند، یک کار اضافی به آنها داده می شود (پس از بررسی کار مستقل).

وظایف برای گروه ها:

V. تکالیف.

بند 18 شماره 718 شماره 749.

کار اضافینمودار طرح باغ تابستانی (سن پترزبورگ). مساحت آن را محاسبه کنید.

VI. خلاصه درس.

انعکاس.ادامه جمله:

امروز فهمیدم...
جالب بود…
سخت بود…
اکنون می توانم…
به من درس زندگی داد...

برای حل مسائل هندسی، باید فرمول هایی - مانند مساحت مثلث یا مساحت متوازی الاضلاع - و همچنین تکنیک های ساده ای را بدانید که به آنها خواهیم پرداخت.

ابتدا بیایید فرمول های مساحت شکل ها را یاد بگیریم. ما آنها را به طور ویژه در یک جدول مناسب جمع آوری کرده ایم. چاپ کنید، یاد بگیرید و اعمال کنید!

البته همه فرمول های هندسی در جدول ما نیستند. مثلا برای حل مسائل هندسه و استریومتری در قسمت دوم نمایه آزمون یکپارچه ایالتیدر ریاضیات از فرمول های دیگری برای مساحت مثلث نیز استفاده می شود. ما حتما در مورد آنها به شما خواهیم گفت.

اما اگر لازم باشد نه مساحت ذوزنقه یا مثلث، بلکه مساحت یک شکل پیچیده را پیدا کنید، چه؟ راه های جهانی وجود دارد! ما با استفاده از نمونه هایی از بانک وظیفه FIPI به آنها نشان خواهیم داد.

1. چگونه می توان مساحت یک شکل غیر استاندارد را پیدا کرد؟ مثلا یک چهارضلعی دلخواه؟ یک تکنیک ساده - بیایید این شکل را به آنهایی که همه چیز درباره آنها می دانیم تقسیم کنیم و مساحت آن را پیدا کنیم - به عنوان مجموع مساحت های این شکل ها.

این چهار ضلعی را با خط افقی به دو مثلث با قاعده مشترک برابر تقسیم کنید. ارتفاع این مثلث ها برابر است و . سپس مساحت چهارضلعی برابر است با مجموع مساحت های دو مثلث: .

پاسخ: .

2. در برخی موارد، مساحت یک شکل را می توان به عنوان تفاوت برخی از مناطق نشان داد.

محاسبه این که قاعده و ارتفاع این مثلث با چه چیزی برابری می کند چندان آسان نیست! اما می توان گفت مساحت آن برابر است با اختلاف مساحت مربع با ضلع و سه مثلث های قائم الزاویه. آیا آنها را در تصویر می بینید؟ ما گرفتیم: .

پاسخ: .

3. گاهی اوقات در یک کار باید مساحت کل شکل، بلکه بخشی از آن را پیدا کنید. معمولاً در مورد مساحت یک بخش - بخشی از یک دایره صحبت می کنیم. مساحت یک بخش از یک دایره با شعاع را پیدا کنید که طول قوس آن برابر است با .

در این تصویر بخشی از یک دایره را می بینیم. مساحت کل دایره برابر است با . باقی مانده است که بفهمیم کدام قسمت از دایره به تصویر کشیده شده است. از آنجایی که طول کل دایره برابر است (از ) و طول قوس یک بخش معین برابر است بنابراین، طول کمان چندین برابر طول کل دایره است. زاویه ای که این قوس در آن قرار می گیرد نیز ضریب کمتر از یک دایره کامل (یعنی درجه) است. این بدان معنی است که مساحت بخش چندین برابر کوچکتر از مساحت کل دایره خواهد بود.

در بخش قبل به تجزیه و تحلیل معنای هندسی اختصاص یافت انتگرال معین، تعدادی فرمول برای محاسبه مساحت ذوزنقه منحنی دریافت کردیم:

S (G) = ∫ a b f (x) d x برای یک تابع پیوسته و غیر منفی y = f (x) در بازه [ a ; ب ]،

S (G) = - ∫ a b f (x) d x برای یک تابع پیوسته و غیر مثبت y = f (x) در بازه [ a ; ب ] .

این فرمول ها برای حل مسائل نسبتا ساده قابل استفاده هستند. در واقعیت، ما اغلب باید با ارقام پیچیده تری کار کنیم. در این راستا، ما این بخش را به تجزیه و تحلیل الگوریتم‌هایی برای محاسبه مساحت ارقامی اختصاص می‌دهیم که توسط توابع به شکل صریح محدود می‌شوند، یعنی. مانند y = f(x) یا x = g(y).

قضیه

اجازه دهید توابع y = f 1 (x) و y = f 2 (x) در بازه [ a ; b ] و f 1 (x) ≤ f 2 (x) برای هر مقدار x از [ a ; ب ] . سپس فرمول محاسبه مساحت شکل G، محدود شده با خطوط x = a، x = b، y = f 1 (x) و y = f 2 (x) شبیه S (G) = ∫ خواهد بود. a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .

فرمول مشابهی برای مساحت شکل محدود شده با خطوط y = c، y = d، x = g 1 (y) و x = g 2 (y) قابل اجرا خواهد بود: S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) d y .

اثبات

بیایید به سه مورد که فرمول برای آنها معتبر خواهد بود نگاه کنیم.

در حالت اول، با در نظر گرفتن خاصیت افزایش سطح، مجموع مساحت های شکل اصلی G و ذوزنقه منحنی G 1 برابر با مساحت شکل G 2 است. این به آن معنا است

بنابراین، S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx

می توانیم آخرین انتقال را با استفاده از ویژگی سوم انتگرال معین انجام دهیم.

در حالت دوم، برابری درست است: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x

تصویر گرافیکی به صورت زیر خواهد بود:

اگر هر دو تابع غیرمثبت باشند، می‌گیریم: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x . تصویر گرافیکی به صورت زیر خواهد بود:

بیایید به بررسی حالت کلی زمانی که y = f 1 (x) و y = f 2 (x) محور Ox را قطع می کنند، ادامه می دهیم.

نقاط تقاطع را به صورت x i، i = 1، 2، نشان می دهیم. . . ، n - 1 . این نقاط بخش [a; b ] به n قسمت x i - 1 ; x i، i = 1، 2، . . . ، n، که α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

از این رو،

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

می توانیم آخرین انتقال را با استفاده از ویژگی پنجم انتگرال معین انجام دهیم.

اجازه دهید حالت کلی را در نمودار نشان دهیم.

فرمول S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x را می توان اثبات شده در نظر گرفت.

حال بیایید به تجزیه و تحلیل مثال هایی از محاسبه مساحت ارقامی که توسط خطوط y = f (x) و x = g (y) محدود شده اند، برویم.

ما بررسی هر یک از مثال ها را با ساختن یک نمودار آغاز می کنیم. این تصویر به ما اجازه می دهد تا اشکال پیچیده را به عنوان اتحاد اشکال ساده تر نشان دهیم. اگر ساختن نمودارها و شکل های روی آنها برای شما سخت است، می توانید در حین مطالعه یک تابع، بخش توابع ابتدایی پایه، تبدیل هندسی نمودارهای توابع و همچنین ساخت نمودارها را مطالعه کنید.

مثال 1

باید مساحت شکل را تعیین کرد که با سهمی y = - x 2 + 6 x - 5 و خطوط مستقیم y = - 1 3 x - 1 2، x = 1، x = 4 محدود می شود.

راه حل

بیایید خطوط روی نمودار را در سیستم مختصات دکارتی رسم کنیم.

در بخش [1; 4] نمودار سهمی y = - x 2 + 6 x - 5 در بالای خط مستقیم y = - 1 3 x - 1 2 قرار دارد. در این راستا برای به دست آوردن پاسخ از فرمول به دست آمده قبل و همچنین از روش محاسبه انتگرال معین با استفاده از فرمول نیوتن لایب نیتس استفاده می کنیم:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

پاسخ: S(G) = 13

بیایید به یک مثال پیچیده تر نگاه کنیم.

مثال 2

لازم است مساحت شکل را محاسبه کنید که توسط خطوط y = x + 2، y = x، x = 7 محدود شده است.

راه حل

در این حالت فقط یک خط مستقیم داریم که به موازات محور x قرار دارد. این x = 7 است. این مستلزم آن است که خودمان حد دوم ادغام را پیدا کنیم.

بیایید یک نمودار بسازیم و خطوط داده شده در بیان مسئله را روی آن رسم کنیم.

با داشتن نمودار در مقابل چشمانمان، به راحتی می توانیم تعیین کنیم که حد پایین ادغام، آبسیسا نقطه تقاطع نمودار خط مستقیم y = x و نیمه سهمی y = x + 2 خواهد بود. برای یافتن آبسیسا از تساوی استفاده می کنیم:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ

معلوم می شود که آبسیسا نقطه تقاطع x = 2 است.

توجه شما را به این واقعیت جلب می کنیم که در مثال کلی در نقاشی، خطوط y = x + 2، y = x در نقطه (2؛ 2) قطع می شوند، بنابراین چنین محاسبات دقیق ممکن است غیر ضروری به نظر برسد. ما در اینجا چنین راه حل مفصلی را ارائه کرده ایم زیرا در موارد پیچیده تر ممکن است راه حل چندان واضح نباشد. یعنی همیشه بهتر است مختصات تقاطع خطوط را به صورت تحلیلی محاسبه کنیم.

در فاصله [ 2 ; 7] نمودار تابع y = x در بالای نمودار تابع y = x + 2 قرار دارد. بیایید از فرمول برای محاسبه مساحت استفاده کنیم:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

پاسخ: S (G) = 59 6

مثال 3

لازم است مساحت شکل را محاسبه کنید که توسط نمودارهای توابع y = 1 x و y = - x 2 + 4 x - 2 محدود شده است.

راه حل

بیایید خطوط روی نمودار را رسم کنیم.

بیایید حدود یکپارچگی را تعریف کنیم. برای این کار مختصات نقاط تقاطع خطوط را با معادل سازی عبارات 1 x و - x 2 + 4 x - 2 تعیین می کنیم. به شرطی که x صفر نباشد، تساوی 1 x = - x 2 + 4 x - 2 معادل معادله درجه سوم - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 با ضرایب عدد صحیح می شود. برای تازه کردن حافظه خود از الگوریتم حل این گونه معادلات، می توانیم به بخش حل معادلات مکعبی مراجعه کنیم.

ریشه این معادله x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0 است.

با تقسیم عبارت - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 بر دو جمله ای x - 1، به دست می آید: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

ما می توانیم ریشه های باقی مانده را از معادله x 2 - 3 x - 1 = 0 پیدا کنیم:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3

ما فاصله x ∈ 1 را پیدا کردیم. 3 + 13 2، که در آن شکل G در بالای خط آبی و زیر خط قرمز قرار دارد. این به ما کمک می کند مساحت شکل را تعیین کنیم:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

پاسخ: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

مثال 4

لازم است مساحت شکل را محاسبه کنید که توسط منحنی های y = x 3، y = - log 2 x + 1 و محور آبسیسا محدود شده است.

راه حل

بیایید تمام خطوط روی نمودار را رسم کنیم. ما می توانیم نمودار تابع y = - log 2 x + 1 را از نمودار y = log 2 x بدست آوریم اگر آن را به طور متقارن حول محور x قرار دهیم و آن را یک واحد به سمت بالا ببریم. معادله محور x y = 0 است.

اجازه دهید نقاط تلاقی خطوط را مشخص کنیم.

همانطور که از شکل مشخص است، نمودارهای توابع y = x 3 و y = 0 در نقطه (0؛ 0) قطع می شوند. این اتفاق می افتد زیرا x = 0 تنها ریشه واقعی معادله x 3 = 0 است.

x = 2 تنها ریشه معادله است - log 2 x + 1 = 0، بنابراین نمودارهای توابع y = - log 2 x + 1 و y = 0 در نقطه (2؛ 0) قطع می شوند.

x = 1 تنها ریشه معادله است x 3 = - log 2 x + 1 . در این راستا، نمودارهای توابع y = x 3 و y = - log 2 x + 1 در نقطه (1؛ 1) قطع می شوند. آخرین جمله ممکن است واضح نباشد، اما معادله x 3 = - log 2 x + 1 نمی تواند بیش از یک ریشه داشته باشد، زیرا تابع y = x 3 به شدت در حال افزایش است و تابع y = - log 2 x + 1 است. به شدت در حال کاهش است.

راه حل بیشتر شامل چندین گزینه است.

انتخاب 1

می‌توانیم شکل G را به‌عنوان مجموع دو ذوزنقه منحنی که در بالای محور x قرار گرفته‌اند، تصور کنیم که اولی در زیر خط وسط قطعه x ∈ 0 قرار دارد. 1، و دومی زیر خط قرمز در بخش x ∈ 1 است. 2. این بدان معنی است که مساحت برابر با S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x خواهد بود.

گزینه شماره 2

شکل G را می توان به عنوان تفاوت دو شکل نشان داد، که اولی در بالای محور x و زیر خط آبی در قسمت x ∈ 0 قرار دارد. 2، و دومی بین خطوط قرمز و آبی در بخش x ∈ 1. 2. این به ما امکان می دهد منطقه را به صورت زیر پیدا کنیم:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

در این مورد، برای پیدا کردن مساحت باید از فرمولی به شکل S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y استفاده کنید. در واقع، خطوطی که شکل را محدود می کنند را می توان به عنوان توابعی از آرگومان y نشان داد.

بیایید معادلات y = x 3 و - log 2 x + 1 را با توجه به x حل کنیم:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

ما منطقه مورد نیاز را دریافت می کنیم:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

پاسخ: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

مثال 5

لازم است مساحت شکل را محاسبه کنید که توسط خطوط y = x، y = 2 3 x - 3، y = - 1 2 x + 4 محدود شده است.

راه حل

با یک خط قرمز خط تعریف شده توسط تابع y = x را رسم می کنیم. خط y = - 1 2 x + 4 را به رنگ آبی و خط y = 2 3 x - 3 را با رنگ مشکی رسم می کنیم.

بیایید نقاط تقاطع را علامت گذاری کنیم.

بیایید نقاط تقاطع نمودارهای توابع y = x و y = - 1 2 x + 4 را پیدا کنیم:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20) ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 - 144 2 = 4 بررسی کنید: x 1 = 16 = 4، - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 نیست آیا جواب معادله x 2 = 4 = 2، - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 راه حل معادله ⇒ (4؛ 2) نقطه تقاطع i y = x و y = - 1 2 x است. + 4

بیایید نقطه تقاطع نمودارهای توابع y = x و y = 2 3 x - 3 را پیدا کنیم:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9، x 2 45 - 729 8 = 9 4 بررسی کنید: x 1 = 9 = 3، 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 راه حل معادله ⇒ (9 ؛ 3) نقطه a s y = x و y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2، 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 است. = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 هیچ راه حلی برای معادله وجود ندارد

بیایید نقطه تقاطع خطوط y = - 1 2 x + 4 و y = 2 3 x - 3 را پیدا کنیم:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ؛ 1 ) نقطه تقاطع y = - 1 2 x + 4 و y = 2 3 x - 3

روش شماره 1

بیایید مساحت شکل مورد نظر را به عنوان مجموع مساحت های تک تک شکل ها تصور کنیم.

سپس مساحت شکل برابر است با:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

روش شماره 2

مساحت شکل اصلی را می توان به صورت مجموع دو شکل دیگر نشان داد.

سپس معادله خط نسبت به x را حل می کنیم و تنها پس از آن فرمول محاسبه مساحت شکل را اعمال می کنیم.

y = x ⇒ x = y 2 خط قرمز y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 خط سیاه y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e

بنابراین منطقه عبارت است از:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 3 3 2 y + 9 2 - y 2 y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

همانطور که می بینید، مقادیر یکسان هستند.

پاسخ: S (G) = 11 3

نتایج

برای یافتن مساحت یک شکل که محدود است خطوط داده شدهما باید خطوطی را روی صفحه بسازیم، نقاط تقاطع آنها را پیدا کنیم و فرمول را برای یافتن مساحت اعمال کنیم. در این بخش، رایج ترین انواع وظایف را بررسی کردیم.

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

مساحت: مساحت کمیتی است که اندازه یک سطح را اندازه می گیرد. در ریاضیات، مساحت یک شکل یک مفهوم هندسی، اندازه است شکل تخت. مساحت سطح یک مشخصه عددی یک سطح است. مربع در معماری، باز... ... ویکی پدیا

مربع- این اصطلاح معانی دیگری دارد، رجوع به ناحیه (معانی) شود. ابعاد مساحت L² واحد SI m² ... ویکی پدیا

مساحت یک مثلث- نماد استاندارد مثلث ساده ترین چند ضلعی است که دارای 3 راس (زاویه) و 3 ضلع است. بخشی از صفحه که توسط سه نقطه محدود شده است که روی یک خط قرار ندارند و سه بخش که این نقاط را به صورت جفت به هم متصل می کنند. رئوس مثلث ... ویکی پدیا

میدان لنین (پتروزاوودسک)- میدان لنین پتروزاوودسک ... ویکی پدیا

مساحت (در هندسه)- مساحت، یکی از کمیت های اصلی مرتبط با اشکال هندسی. در ساده‌ترین موارد، با تعداد مربع‌های واحدی که یک شکل صاف را پر می‌کنند، اندازه‌گیری می‌شود، یعنی مربع‌هایی با ضلع برابر با یک واحد طول. محاسبه P. قبلاً در زمان های قدیم بود... ...

مربع- یکی از ویژگی های کمی تخت شکل های هندسیو سطوح مساحت یک مستطیل برابر است با حاصل ضرب طول دو ضلع مجاور. مساحت یک شکل پلکانی (یعنی شکلی که می تواند به چند مجاور تقسیم شود... ... فرهنگ لغت دایره المعارفی بزرگ

مساحت (در هندسه)- AREA یکی از مشخصه های کمی اشکال و سطوح هندسی مسطح است. مساحت یک مستطیل برابر است با حاصل ضرب طول دو ضلع مجاور. مساحت یک شکل پلکانی (یعنی شکلی که می توان آن را به چند قسمت تقسیم کرد... ... فرهنگ لغت دایره المعارفی

مربع- منطقه، مربع، قبلی درباره مساحت و (منسوخ) بر مساحت، جمع. و مناطق، زنان. (کتاب). 1. قسمتی از هواپیما که با خط شکسته یا منحنی محدود شده است (ژئوم.). مساحت یک مستطیل. مساحت یک شکل منحنی. 2. فقط واحد. فضا،… … فرهنگ لغتاوشاکووا

منطقه (معمار.)- میدان، فضای باز و سازمان یافته از نظر معماری، قاب بندی شده توسط هر ساختمان، سازه یا فضای سبز که در سیستم سایر فضاهای شهری گنجانده شده است. پیشینیان کاخ های شهری، حیاط تشریفاتی کاخ ها و... بوده است. دایره المعارف بزرگ شوروی

میدان حافظه (تیومن)- Memory Square Tyumen اطلاعات کلی ... ویکی پدیا

کتاب ها

ارقام در ریاضیات، فیزیک و طبیعت. مربع، مثلث و دایره، کاترین شلدریک راس. درباره کتاب ویژگی های کتاب بیش از 75 کلاس کارشناسی ارشد غیرمعمول کمک می کند تا مطالعه هندسه را به یک بازی هیجان انگیز تبدیل کنید.
ارقام در ریاضیات، فیزیک و طبیعت مربع، مثلث و دایره، Sheldrick-Ross K.. بیش از 75 کلاس کارشناسی ارشد غیر معمول به تبدیل مطالعه هندسه به یک بازی هیجان انگیز کمک می کند. این کتاب چهره های اصلی را تا حد امکان با جزئیات توصیف می کند: مربع، دایره، مثلث. کتاب آموزش خواهد داد...

دانش اندازه گیری زمین در دوران باستان پدیدار شد و به تدریج در علم هندسه شکل گرفت. این کلمه از یونانی به عنوان "بررسی زمین" ترجمه شده است.

اندازه گیری وسعت یک بخش مسطح از زمین در طول و عرض مساحت است. در ریاضیات، معمولاً با حرف لاتین S (از انگلیسی "مربع" - "مربع"، "مربع") یا حرف یونانی σ (سیگما) نشان داده می شود. S نشان دهنده مساحت یک شکل در یک صفحه یا سطح یک جسم است و σ سطح مقطع سیم در فیزیک است. اینها نمادهای اصلی هستند، اگرچه ممکن است موارد دیگری نیز وجود داشته باشد، به عنوان مثال، در زمینه استحکام مواد، A سطح مقطع پروفیل است.

در تماس با

فرمول های محاسباتی

با دانستن مناطق شکل های ساده، می توانید پارامترهای پیچیده تر را پیدا کنید.. ریاضیدانان باستان فرمول هایی را توسعه دادند که می توان به راحتی آنها را محاسبه کرد. چنین شکل هایی مثلث، چهار گوش، چند ضلعی، دایره است.

برای یافتن مساحت یک شکل صفحه پیچیده، آن را به شکل های ساده زیادی مانند مثلث، ذوزنقه یا مستطیل تقسیم می کنیم. سپس با استفاده از روش های ریاضی فرمولی برای مساحت این شکل به دست می آید. روش مشابهی نه تنها در هندسه، بلکه در تحلیل ریاضی نیز برای محاسبه مساحت ارقام محدود شده توسط منحنی ها استفاده می شود.

مثلث

بیایید با ساده ترین شکل - یک مثلث شروع کنیم. آنها مستطیل، متساوی الساقین و متساوی الاضلاع هستند. هر مثلث ABC را با اضلاع AB=a، BC=b و AC=c (∆ ABC) در نظر بگیرید. برای یافتن مساحت آن، قضایای سینوس و کسینوس شناخته شده از درس ریاضیات مدرسه را به یاد بیاوریم. با رها کردن تمام محاسبات، به فرمول های زیر می رسیم:

S=√ - فرمول هرون که برای همه شناخته شده است، که در آن p=(a+b+c)/2 نیم محیط مثلث است.
S=a h/2، که در آن h ارتفاع کاهش یافته به سمت a است.
S=a b (sin γ)/2، که γ زاویه بین اضلاع a و b است.
S=a b/2، اگر ∆ ABC مستطیل شکل باشد (در اینجا a و b پاها هستند).
S=b² (sin (2β))/2، اگر ∆ ABC متساوی الساقین باشد (در اینجا b یکی از "لگن" است، β زاویه بین "لسن" مثلث است).
S=a² √¾، اگر ∆ ABC متساوی الاضلاع باشد (در اینجا a یک ضلع مثلث است).

چهار گوش

بگذارید یک ABCD چهار ضلعی با AB=a، BC=b، CD=c، AD=d وجود داشته باشد. برای پیدا کردن مساحت S یک 4 ضلعی دلخواه، باید آن را بر مورب به دو مثلث تقسیم کنید که در حالت کلی مناطق S1 و S2 برابر نیستند.

سپس از فرمول ها برای محاسبه و اضافه کردن آنها استفاده کنید، یعنی S=S1+S2. با این حال، اگر یک 4-gon متعلق به یک کلاس خاص باشد، می توان مساحت آن را با استفاده از فرمول های قبلاً شناخته شده پیدا کرد:

S=(a+c) h/2=e h، اگر چهار ضلعی ذوزنقه باشد (در اینجا a و c پایه هستند، e خط وسط ذوزنقه است، h ارتفاعی است که به یکی از پایه های ذوزنقه پایین می آید.
S=a h=a b sin φ=d1 d2 (sin φ)/2، اگر ABCD متوازی الاضلاع باشد (در اینجا φ زاویه بین ضلع a و b است، h ارتفاع کاهش یافته به ضلع a است، d1 و d2 مورب هستند).
S=a b=d²/2، اگر ABCD یک مستطیل باشد (d یک مورب است).
S=a² sin φ=P² (sin φ)/16=d1 d2/2، اگر ABCD لوزی باشد (a سمت لوزی است، φ یکی از زوایای آن است، P محیط است).
S=a²=P²/16=d²/2، اگر ABCD مربع باشد.

چند ضلعی

برای یافتن مساحت یک n-gon، ریاضیدانان آن را به ساده ترین شکل های مساوی - مثلث ها تقسیم می کنند، مساحت هر یک از آنها را پیدا کرده و سپس آنها را اضافه می کنند. اما اگر چند ضلعی متعلق به کلاس منظم است، از فرمول استفاده کنید:

S=a n h/2=a² n/=P²/، که n تعداد رئوس (یا اضلاع) چند ضلعی است، a ضلع n-ضلعی، P محیط آن، h آپوتم است، یعنی a. قطعه ای که از مرکز چند ضلعی به یکی از اضلاع آن با زاویه 90 درجه کشیده شده است.

دایره

دایره یک چند ضلعی کامل با تعداد اضلاع نامتناهی است. ما باید حد عبارت سمت راست را در فرمول مساحت یک چندضلعی با تعداد ضلع n که به بی نهایت تمایل دارند محاسبه کنیم. در این صورت محیط چند ضلعی به طول دایره ای به شعاع R که مرز دایره ما خواهد بود تبدیل می شود و برابر P=2 π R می شود. این عبارت را جایگزین فرمول بالا کنید. دریافت خواهیم کرد:

S=(π² R² cos (180°/n))/(n sin (180°/n)).

حد این عبارت را به صورت n→∞ پیدا می کنیم. برای انجام این کار، در نظر می گیریم که lim (cos (180°/n)) برای n→∞ برابر است با cos 0°=1 (lim علامت حد است) و lim = lim برای n→∞ برابر است. برابر 1/π (ما با استفاده از رابطه π rad=180 درجه را به رادیان تبدیل کردیم و اولین قابل توجه را اعمال کردیم. محدود کردن(sin x)/x=1 در x→∞). با جایگزینی مقادیر به دست آمده در آخرین عبارت برای S، به فرمول معروف می رسیم:

S=π² R² 1 (1/π)=π R².

واحدها

از واحدهای اندازه گیری سیستمیک و غیر سیستمی استفاده می شود. واحدهای سیستم متعلق به SI (System International) هستند. این یک متر مربع (متر مربع، متر مربع) است و واحدهای حاصل از آن: mm²، cm²، km².

به عنوان مثال، در میلی متر مربع (mm²)، سطح مقطع سیم ها را در مهندسی برق اندازه گیری می کنند، در سانتی متر مربع (cm²) - مقطع تیر در مکانیک سازه، در متر مربع (m²) - در یک آپارتمان یا خانه، در کیلومتر مربع (کیلومتر مربع) - در جغرافیا.

اما گاهی از واحدهای اندازه گیری غیر سیستمی مانند: بافت، ار (الف)، هکتار (هکتار) و آکر (ac) استفاده می شود. اجازه دهید روابط زیر را ارائه کنیم:

1 بافت = 1 a = 100 متر مربع = 0.01 هکتار;
1 هکتار = 100 a = 100 هکتار = 10000 متر مربع = 0.01 کیلومتر مربع = 2.471 ac;
1 ac = 4046.856 متر مربع = 40.47 a = 40.47 هکتار = 0.405 هکتار.