حل سیستم معادلات با استفاده از روش جایگزینی. روش جایگزینی در حل سیستم معادلات نحوه حل سیستم معادلات با روش جایگزینی

حل سیستم معادلات با استفاده از روش جایگزینی

بیایید به یاد بیاوریم که سیستم معادلات چیست.

سیستمی متشکل از دو معادله با دو متغیر، دو معادله است که در زیر یکدیگر نوشته می‌شوند که توسط یک مهاربند به هم وصل شده‌اند. حل یک سیستم به معنای یافتن یک جفت عدد است که معادله اول و دوم را همزمان حل کند.

در این درس با روشی از حل سیستم ها مانند روش جایگزینی آشنا می شویم.

بیایید به سیستم معادلات نگاه کنیم:

شما می توانید این سیستم را به صورت گرافیکی حل کنید. برای انجام این کار، باید نمودارهای هر یک از معادلات را در یک سیستم مختصات بسازیم و آنها را به شکل زیر تبدیل کنیم:

سپس مختصات نقطه تقاطع نمودارها را پیدا کنید که راه حل سیستم خواهد بود. اما روش گرافیکی همیشه راحت نیست، زیرا در دقت کم یا حتی عدم دسترسی متفاوت است. بیایید سعی کنیم نگاه دقیق تری به سیستم خود بیندازیم. حالا به نظر می رسد:

می توانید متوجه شوید که ضلع های سمت چپ معادلات برابر هستند، به این معنی که اضلاع سمت راست نیز باید برابر باشند. سپس معادله را بدست می آوریم:

این یک معادله آشنا با یک متغیر است که می توانیم آن را حل کنیم. بیایید اصطلاحات مجهول را به سمت چپ و موارد شناخته شده را به سمت راست منتقل کنیم، فراموش نکنیم که علامت + و - را هنگام انتقال تغییر دهیم. ما گرفتیم:

حالا بیایید مقدار پیدا شده x را با هر معادله ای از سیستم جایگزین کرده و مقدار y را پیدا کنیم. در سیستم ما، استفاده از معادله دوم y = 3 - x راحت‌تر است؛ پس از جایگزینی، y = 2 به دست می‌آید. حالا بیایید کار انجام شده را تجزیه و تحلیل کنیم. ابتدا در معادله اول متغیر y را بر حسب متغیر x بیان کردیم. سپس عبارت حاصل - 2x + 4 به جای متغیر y در معادله دوم جایگزین شد. سپس معادله حاصل را با یک متغیر x حل کرده و مقدار آن را پیدا کردیم. و در نهایت از مقدار پیدا شده x برای یافتن متغیر دیگری y استفاده کردیم. در اینجا این سوال مطرح می شود: آیا لازم بود متغیر y را به طور همزمان از هر دو معادله بیان کنیم؟ البته که نه. ما می‌توانیم یک متغیر را بر حسب متغیر دیگر فقط در یک معادله سیستم بیان کنیم و به جای متغیر مربوطه در معادله دوم از آن استفاده کنیم. علاوه بر این، می توانید هر متغیری را از هر معادله ای بیان کنید. در اینجا انتخاب تنها به راحتی حساب بستگی دارد. ریاضیدانان این روش را الگوریتمی برای حل سیستم های دو معادله با دو متغیر با استفاده از روش جانشینی نامیده اند.در اینجا به نظر می رسد.

1. یکی از متغیرها را بر حسب دیگری در یکی از معادلات سیستم بیان کنید.

2. عبارت حاصل را به جای متغیر مربوطه در معادله دیگری از سیستم جایگزین کنید.

3. معادله به دست آمده را با یک متغیر حل کنید.

4. مقدار یافت شده متغیر را با عبارت بدست آمده در مرحله اول جایگزین کنید و مقدار متغیر دیگری را بیابید.

5. جواب را به صورت جفت اعدادی که در مرحله سوم و چهارم پیدا شده اند بنویسید.

بیایید به مثال دیگری نگاه کنیم. حل سیستم معادلات:

در اینجا بیان متغیر y از معادله اول راحت تر است. ما y = 8 - 2x را دریافت می کنیم. عبارت حاصل باید جایگزین y در معادله دوم شود. ما گرفتیم:

بیایید این معادله را جداگانه بنویسیم و حل کنیم. ابتدا براکت ها را باز می کنیم. معادله 3x - 16 + 4x = 5 را بدست می آوریم. بیایید عبارت های مجهول را در سمت چپ معادله و موارد شناخته شده را در سمت راست جمع آوری کنیم و عبارت های مشابه را ارائه کنیم. معادله 7x = 21 را بدست می آوریم، بنابراین x = 3.

اکنون، با استفاده از مقدار یافت شده x، می توانید پیدا کنید:

جواب: یک جفت عدد (3؛ 2).

بنابراین، در این درس یاد گرفتیم که سیستم های معادلات با دو مجهول را به روشی تحلیلی و دقیق و بدون توسل به روش های گرافیکی مشکوک حل کنیم.

فهرست ادبیات مورد استفاده:

1. موردکوویچ A.G.، جبر کلاس هفتم در 2 قسمت، قسمت 1، کتاب درسی موسسات آموزش عمومی / A.G. موردکوویچ. - ویرایش دهم، تجدید نظر شده - مسکو، "Mnemosyne"، 2007.
2. موردکوویچ A.G.، جبر کلاس هفتم در 2 قسمت، قسمت 2، کتاب مسئله برای مؤسسات آموزشی / [A.G. موردکوویچ و دیگران]؛ ویرایش شده توسط A.G. موردکوویچ - ویرایش دهم، تجدید نظر شده - مسکو، "Mnemosyne"، 2007.
3. او تولچینسایا، جبر کلاس هفتم. نظرسنجی Blitz: کتابچه راهنمای دانش آموزان مؤسسات آموزش عمومی، ویرایش چهارم، تجدید نظر شده و گسترش یافته، مسکو، Mnemosyne، 2008.
4. الکساندروا لس آنجلس، جبر کلاس هفتم. مقالات آزمون موضوعی به شکل جدید برای دانش آموزان موسسات آموزش عمومی، ویرایش شده توسط A.G. موردکوویچ، مسکو، "Mnemosyne"، 2011.
5. الکساندروا L.A. جبر پایه هفتم. آثار مستقل برای دانش آموزان مؤسسات آموزش عمومی، ویرایش شده توسط A.G. موردکوویچ - ویرایش ششم، کلیشه ای، مسکو، "Mnemosyne"، 2010.

معمولاً معادلات سیستم در یک ستون زیر همدیگر نوشته می شود و با یک مهاربند ترکیب می شود.

سیستمی از معادلات از این نوع، که در آن الف، ب، ج- اعداد، و x، y- متغیرها نامیده می شوند سیستم معادلات خطی.

هنگام حل یک سیستم معادلات، از خواصی استفاده می شود که برای حل معادلات معتبر هستند.

حل سیستم معادلات خطی با استفاده از روش جایگزینی

بیایید به یک مثال نگاه کنیم

1) متغیر را در یکی از معادلات بیان کنید. مثلا بیان کنیم yدر معادله اول، سیستم را بدست می آوریم:

2) به جای معادله دوم سیستم جایگزین کنید yاصطلاح 3x-7:

3) معادله دوم حاصل را حل کنید:

4) حل به دست آمده را در معادله اول سیستم جایگزین می کنیم:

یک سیستم معادلات یک راه حل منحصر به فرد دارد: یک جفت اعداد x=1، y=-4. پاسخ: (1; -4) ، در پرانتز نوشته شده است، در موقعیت اول مقدار ایکس، در مورد دوم - y.

حل سیستم معادلات خطی با جمع

بیایید سیستم معادلات مثال قبل را حل کنیم روش اضافه کردن

1) سیستم را طوری تبدیل کنید که ضرایب یکی از متغیرها مخالف شود. بیایید معادله اول سیستم را در "3" ضرب کنیم.

2) معادلات سیستم را ترم به ترم اضافه کنید. معادله دوم سیستم (هر کدام) را بدون تغییر بازنویسی می کنیم.

3) حل به دست آمده را در معادله اول سیستم جایگزین می کنیم:

حل یک سیستم معادلات خطی به صورت گرافیکی

حل گرافیکی یک سیستم معادلات با دو متغیر به یافتن مختصات نقاط مشترک نمودارهای معادلات می رسد.

نمودار یک تابع خطی یک خط مستقیم است. دو خط در یک صفحه می توانند در یک نقطه قطع شوند، موازی باشند یا منطبق باشند. بر این اساس، یک سیستم معادلات می تواند: الف) یک راه حل منحصر به فرد داشته باشد. ب) راه حلی نداشته باشد. ج) بی نهایت راه حل داشته باشد.

2) راه حل سیستم معادلات نقطه (اگر معادلات خطی باشند) نقطه تلاقی نمودارها است.

راه حل گرافیکی سیستم

روشی برای معرفی متغیرهای جدید

تغییر متغیرها می تواند منجر به حل یک سیستم معادلات ساده تر از سیستم اصلی شود.

راه حل سیستم را در نظر بگیرید

پس بیایید جایگزین را معرفی کنیم

بیایید به سراغ متغیرهای اولیه برویم

موارد خاص

بدون حل یک سیستم معادلات خطی، می توانید تعداد جواب های آن را از ضرایب متغیرهای مربوطه تعیین کنید.

1 . نام و نام خانوادگی. معلمان: ____تکاچوک ناتالیا پترونا _________________________________________________________________________________________________

2. کلاس: _8 تاریخ: 0.11.03________موضوع_-ریاضی درس شماره 71 طبق برنامه:

3. موضوع درس حل سیستم ها با جایگزینی 4 . جایگاه و نقش درس در موضوع مورد مطالعه :. درس تحکیم دانش. هدف از درس :

آموزشی: توسعه دانش حل سیستم معادلات با استفاده از روش جایگزینی. دانستن/فهمیدن: اگر نمودارها دارای نقاط مشترک باشند، سیستم راه حل هایی دارد. اگر نمودارها نقاط مشترک نداشته باشند، سیستم هیچ راه حلی ندارد. الگوریتم حل سیستم معادلاتقادر بودن به حل سیستم ها با جایگزینی ترویج توسعه مهارت ها برای به کارگیری دانش کسب شده در شرایط غیر استاندارد (استاندارد).رشدی: توسعه مهارت های دانش آموزان برای تعمیم دانش کسب شده، انجام تجزیه و تحلیل، ترکیب، مقایسه و نتیجه گیری لازم. ارتقای مهارت های به کارگیری دانش کسب شده در شرایط غیراستاندارد و استاندارد.آموزشی: ترویج توسعه نگرش خلاق نسبت به فعالیت های یادگیری

ویژگی های مراحل درس

فعالیت

دانش آموزان

خود مختاری.

فعالیت شناختی را فعال کنید

سیستم را حل کنید

کلامی

جلویی

با سلام خدمت دانشجویان انجام دادن. ایجاد وضعیت آمادگی برای درس، موفقیت در درس آینده.

آمادگی برای درس را بررسی کنید.

2. به روز رسانی دانش.

شناسایی کیفیت و سطح تسلط بر دانش و مهارت های کسب شده در درس های قبلی در مورد موضوع

دریابید که آیا یک جفت اعداد راه حلی برای سیستم هستند یا خیر. x=5 y=9

چه عملیاتی را می توان با معادلات انجام داد؟

(هر دو طرف معادله را در یک عدد ضرب کنید، بر عددی که مساوی صفر نیست تقسیم کنید...)

کار گروهی

جلویی. Guppovaya - تجزیه و تحلیل الگوریتم ها برای حل مسائل.

در صورت لزوم سوالات اصلی می پرسد.

به سوالات پرسیده شده پاسخ می دهند.

3. بیان تکلیف آموزشی، اهداف درس.

تشکیل

و توسعه مهارت

تعریف و تدوین کنید

مسئله، هدف و موضوع

برای مطالعه خطوط

چگونه یک سیستم معادلات را با جمع، با جایگزینی حل کنیم.

کدام روش برای حل کردن مناسب است. این سیستم

کار گروهی.

شخصی.

جلویی.

برای اطلاع از قیمت خرید چه اقداماتی انجام دادیم؟

چه موضوعی را مطالعه خواهیم کرد؟

آنها صحبت می کنند.

4. مرحله به روز رسانی دانش در مورد موضوع

برای ترویج توسعه مهارت های تشخیص و مقایسه خطوط. شرایطی را برای رشد مهارت های بیان افکار خود به طور شایسته، واضح و دقیق فراهم کنید.

№ 621

موقعیت نسبی خطوط را پیدا کنید

2x+0.5y= 1.2 و x- 4y=0

آیا می توان با ضرایب آنها تعیین کرد که خطوط همدیگر را قطع می کنند یا خیر؟

2. معادلاتی از خطوط موازی با یکدیگر ایجاد کنید.

کار با دانش آموز

به صورت دو نفره با خودآزمایی کار کنید

پیشانی، فردی. کارگاه حل مسئله

در صورت لزوم سوالات اصلی می پرسد. با مطالبی که قبلاً مطالعه شده است تشابهاتی را ترسیم می کند.

ایجاد انگیزه برای تکمیل وظایف پیشنهادی.

دانش آموزان را به نتیجه گیری در مورد وجود فرمول ها هدایت می کند.

مسائل را حل کنید، در صورت لزوم به سوالات معلم پاسخ دهید تمرین را در یک دفترچه انجام دهید.

به نوبت نظر بدهید، تحلیل کنید، دلایل و راه حل ها را شناسایی کنید.

5- مستقل کار کنید

استفاده از دانش کسب شده به روز رسانی دانش و مهارت در حل مسئله.

شکل گیری و توسعه مهارت های خواندن اعداد برنامه ریزی فعالیت های خود برای حل یک کار معین، نظارت بر نتیجه به دست آمده، تصحیح نتیجه به دست آمده، خود تنظیمی

1 var -

2 var

کار مستقل. چک کردن همسایه

"ایده پردازی"،

بر اجرای کار نظارت دارد.

فراهم می کند: کنترل فردی. کنترل انتخابی

شما را تشویق می کند تا نظر خود را بیان کنید.

حل مشکلات. انجام: خود ارزیابی؛ تأیید متقابل؛ ارائه یک ارزیابی اولیه

6. ارزشیابی درسی، خودارزیابی.

شکل گیری و توسعه توانایی تجزیه و تحلیل و درک دستاوردهای فرد.

توانایی تعیین سطح تسلط بر مطالب آموزشی.

ارزیابی نتایج میانی و خودتنظیمی برای افزایش انگیزه فعالیت های آموزشی

ارزیابی در هر مرحله

1. آیا می توانید معادلات خطی را ترسیم کنید؟

2. آیا می توانید تعیین کنید که آیا آنها متقاطع هستند یا نه؟

3. آیا الگوریتمی برای حل سیستم معادلات می شناسید؟

4. چه روش هایی را برای حل سیستم معادلات می شناسید؟

کار گروهی.

گروهی و فردی...

شما را تشویق می کند تا نظر خود را بیان کنید.

انجام: خود ارزیابی و ارزیابی یک دوست.

7. خلاصه درس. مشق شب.

توانایی همبستگی اهداف و نتایج فعالیت های خود. حفظ روحیه رقابت سالم برای حفظ انگیزه برای فعالیت های آموزشی. مشارکت در بحث جمعی مشکلات

ص 4.4 شماره 623

کار گروهی.

فرونتال - شناسایی و تدوین یک هدف شناختی، تأمل در روش ها و شرایط عمل

تجزیه و تحلیل و سنتز اشیاء

شما را تشویق می کند تا نظر خود را بیان کنید.

در مورد تکالیف نظر می دهد؛ وظیفه جستجوی ویژگی ها در متن ...

کودکان در بحث شرکت می کنند، تجزیه و تحلیل می کنند، صحبت می کنند. دستاوردهای آنها را منعکس و ثبت کنید.

امروز سر کلاس یاد گرفتم...

امروز سر کلاس یاد گرفتم...

در این مورد، راحت است که x را بر حسب y از معادله دوم سیستم بیان کنیم و عبارت حاصل را به جای x در معادله اول جایگزین کنیم:

اولین معادله معادله ای با یک متغیر y است. حلش کنیم:

5 (7-3y)-2y = -16

مقدار y حاصل را با عبارت x جایگزین می کنیم:

پاسخ: (-2؛ 3).

در این سیستم، بیان y بر حسب x از معادله اول آسان تر است و عبارت حاصل به جای y در معادله دوم جایگزین می شود:

معادله دوم معادله ای با یک متغیر x است. حلش کنیم:

3x-4(-1.5-3.5x)=23

در عبارت y به جای x x=1 را جایگزین می کنیم و y را پیدا می کنیم:

پاسخ: (1؛ -5).

در اینجا راحت تر است که y را بر حسب x از معادله دوم بیان کنیم (زیرا تقسیم بر 10 ساده تر از تقسیم بر 4، -9 یا 3 است):

بیایید معادله اول را حل کنیم:

4x-9(1.6-0.3x)= -1

4x-14.4+2.7x= -1

x=2 را جایگزین کنید و y را پیدا کنید:

پاسخ: (2؛ 1).

قبل از اعمال روش جایگزینی، این سیستم باید ساده شود. هر دو طرف معادله اول را می توان در کمترین مخرج مشترک ضرب کرد، در معادله دوم پرانتزها را باز می کنیم و عبارت های مشابه را ارائه می دهیم:

ما یک سیستم معادلات خطی با دو متغیر به دست آوردیم. حالا بیایید جایگزینی را اعمال کنیم. بیان a تا b از معادله دوم راحت است:

معادله اول سیستم را حل می کنیم:

3 (21.5 + 2.5b) - 7b = 63

باقی مانده است که مقدار a را پیدا کنیم:

با توجه به قوانین قالب بندی، پاسخ را در پرانتز که با نقطه ویرگول از هم جدا شده اند، به ترتیب حروف الفبا می نویسیم.

جواب: (14؛ -3).

هنگام بیان یک متغیر از طریق متغیر دیگر، گاهی اوقات راحت تر است که آن را با یک ضریب خاص رها کنیم.

سیستم معادلات خطی با دو مجهول، دو یا چند معادله خطی است که برای یافتن تمام راه حل های مشترک آنها لازم است. ما سیستم های دو معادله خطی را در دو مجهول در نظر خواهیم گرفت. نمای کلی یک سیستم دو معادله خطی با دو مجهول در شکل زیر ارائه شده است:

(a1*x + b1*y = c1،
(a2*x + b2*y = c2

در اینجا x و y متغیرهای ناشناخته هستند، a1، a2، b1، b2، c1، c2 برخی از اعداد واقعی هستند. راه حل یک سیستم از دو معادله خطی در دو مجهول، یک جفت اعداد (x,y) است که اگر این اعداد را جایگزین معادلات سیستم کنیم، هر یک از معادلات سیستم به یک برابری واقعی تبدیل می شود. یکی از راه های حل یک سیستم معادلات خطی، یعنی روش جایگزینی را در نظر بگیرید.

الگوریتم حل به روش جایگزینی

الگوریتم حل یک سیستم معادلات خطی با استفاده از روش جایگزینی:

1. یک معادله را انتخاب کنید (بهتر است معادله ای را انتخاب کنید که اعداد کوچکتر هستند) و یک متغیر از آن را بر حسب دیگری بیان کنید، مثلا x را بر حسب y بیان کنید. (می توانید از y تا x نیز استفاده کنید).

2. عبارت حاصل را به جای متغیر مربوطه در معادله دیگری جایگزین کنید. بنابراین، یک معادله خطی با یک مجهول دریافت می کنیم.

3. معادله خطی به دست آمده را حل کنید و یک راه حل به دست آورید.

4. محلول به دست آمده را با عبارت بدست آمده در پاراگراف اول جایگزین می کنیم و مجهول دوم را از محلول بدست می آوریم.

5. محلول حاصل را بررسی کنید.

مثال

برای روشن شدن بیشتر، اجازه دهید یک مثال کوچک را حل کنیم.

مثال 1.حل سیستم معادلات:

(x+2*y =12
(2*x-3*y=-18

راه حل:

1. از معادله اول این سیستم متغیر x را بیان می کنیم. x= (12 -2*y) داریم.

2. این عبارت را با معادله دوم جایگزین کنید، 2*x-3*y=-18 بدست می آوریم. 2*(12 -2*y) - 3*y = -18; 24 - 4y - 3*y = -18;

3. معادله خطی حاصل را حل کنید: 24 - 4y - 3*y = -18; 24-7*y =-18; -7*y = -42; y=6;

4. نتیجه به دست آمده را با عبارت به دست آمده در پاراگراف اول جایگزین کنید. x= (12 -2*y); x=12-2*6 = 0; x=0;

5. راه حل به دست آمده را بررسی می کنیم؛ برای این کار، اعداد پیدا شده را جایگزین سیستم اصلی می کنیم.

(x+2*y =12;
(2*x-3*y=-18;

{0+2*6 =12;
{2*0-3*6=-18;

{12 =12;
{-18=-18;

ما برابری های صحیح را بدست آوردیم، بنابراین راه حل را به درستی پیدا کردیم.