برای ادغام توابع گویا به شکل R(sin x، cos x)، از یک جایگزین استفاده می شود که به آن جانشینی مثلثاتی جهانی می گویند. سپس . جایگزینی مثلثاتی جهانی اغلب منجر به محاسبات بزرگ می شود. بنابراین، در صورت امکان، از جایگزین های زیر استفاده کنید.

ادغام توابع به طور منطقی به توابع مثلثاتی وابسته است

1. انتگرالهای شکل ∫ sin n xdx، ∫ cos n xdx، n> 0
الف) اگر n فرد باشد، باید یک توان sinx (یا cosx) را زیر علامت دیفرانسیل وارد کرد و از توان زوج باقیمانده باید به تابع مقابل منتقل شود.
ب) اگر n زوج باشد، از فرمول هایی برای کاهش درجه استفاده می کنیم
2. انتگرالهای شکل ∫ tg n xdx، ∫ ctg n xdx، که در آن n یک عدد صحیح است.
باید از فرمول ها استفاده کرد

3. انتگرال های شکل ∫ sin n x cos m x dx
الف) فرض کنید m و n دارای برابری های مختلف باشند. اگر n فرد باشد از جایگزینی t=sin x یا اگر m فرد باشد t=cos x استفاده می کنیم.
ب) اگر m و n زوج باشند، از فرمول هایی برای کاهش درجه استفاده می کنیم
2sin 2 x=1-cos2x، 2cos 2 x=1+cos2x.
4. انتگرال های فرم
اگر اعداد m و n همسان باشند، از جایگزینی t=tg x استفاده می کنیم. اغلب استفاده از تکنیک واحد مثلثاتی راحت است.
5. 🔻 sin(nx) cos(mx)dx، ∫ cos(mx) cos(nx)dx، 🔻 sin(mx) sin(nx)dx

بیایید از فرمول های تبدیل حاصل ضرب توابع مثلثاتی به مجموع آنها استفاده کنیم:

• sin α cos β = ½(sin(α+β)+sin(α-β))
• cos α cos β = ½(cos(α+β)+cos(α-β))
• sin α sin β = ½(cos(α-β)-cos(α+β))

مثال ها
1. انتگرال ∫ cos 4 x·sin 3 xdx را محاسبه کنید.
جایگزین cos(x)=t را می سازیم. سپس ∫ cos 4 x sin 3 xdx =
2. انتگرال را محاسبه کنید.
با ساخت جایگزین sin x=t، دریافت می کنیم

3. انتگرال را پیدا کنید.
جایگزین tg(x)=t را می سازیم. جایگزینی، دریافت می کنیم

ادغام عبارات فرم R(sinx، cosx)

مثال شماره 1. محاسبه انتگرال ها:

راه حل.
الف) ادغام عبارات به شکل R(sinx، cosx)، که در آن R یک تابع گویا از sin x و cos x است، با استفاده از جایگزینی مثلثاتی جهانی tg(x/2) = t به انتگرال توابع گویا تبدیل می شوند.
سپس ما داریم

یک جانشینی مثلثاتی جهانی این امکان را فراهم می کند که از یک انتگرال به شکل ∫ R(sinx، cosx) dx به یک انتگرال یک تابع منطقی کسری برویم، اما اغلب چنین جایگزینی منجر به عبارات دست و پا گیر می شود. تحت شرایط خاص، جایگزین های ساده تر موثر هستند:

• اگر برابری R(-sin x، cos x) = -R(sin x، cos x)dx برآورده شود، جایگزینی cos x = t اعمال می شود.
• اگر برابری R(sin x, -cos x) = -R(sin x, cos x)dx برقرار باشد، آنگاه جایگزینی sin x = t.
• اگر برابری R(-sin x, -cos x) = R(sin x, cos x)dx برقرار باشد، آنگاه جایگزینی tgx = t یا ctg x = t.

در این مورد، برای یافتن انتگرال
اجازه دهید جایگزینی مثلثاتی جهانی tg(x/2) = t را اعمال کنیم.
سپس پاسخ دهید:

جدول ضد مشتقات ("انتگرال"). جدول انتگرال ها انتگرال های نامعین جدولی. (ساده ترین انتگرال ها و انتگرال ها با پارامتر). فرمول های یکپارچه سازی توسط قطعات فرمول نیوتن لایب نیتس

جدول ضد مشتقات ("انتگرال"). انتگرال های نامعین جدولی. (ساده ترین انتگرال ها و انتگرال ها با پارامتر).
انتگرال یک تابع قدرت.	انتگرال یک تابع قدرت.
انتگرالی که اگر x تحت علامت دیفرانسیل هدایت شود به انتگرال تابع توان کاهش می یابد.
	انتگرال یک نمایی که a یک عدد ثابت است.
انتگرال یک تابع نمایی پیچیده.	انتگرال یک تابع نمایی.
انتگرال برابر با لگاریتم طبیعی.	انتگرال: "لگاریتم طولانی".
	انتگرال: "لگاریتم طولانی".
انتگرال: "لگاریتم بالا".	یک انتگرال، که در آن x در صورت‌گر زیر علامت دیفرانسیل قرار می‌گیرد (ثابت زیر علامت را می‌توان اضافه یا تفریق کرد)، در نهایت شبیه به یک انتگرال برابر با لگاریتم طبیعی است.
انتگرال: "لگاریتم بالا".
انتگرال کسینوس	انتگرال سینوسی.
انتگرال برابر با مماس.	انتگرال برابر با کوتانژانت.
انتگرال برابر با آرکسین و آرکوزین است
انتگرال برابر با آرکسین و آرکوزین.	یک انتگرال برابر هم با مماس قطبی و هم مماس قوسی.
انتگرال برابر با کوسکانت.	انتگرال برابر با سکانت.
انتگرال برابر با قوس الکتریکی.	انتگرال برابر با آرکوسکانت.
انتگرال برابر با قوس الکتریکی.	انتگرال برابر با قوس الکتریکی.
انتگرال برابر با سینوس هذلولی.	انتگرال برابر با کسینوس هذلولی.
انتگرال برابر با سینوس هذلولی، که sinhx سینوس هذلولی در نسخه انگلیسی است.	انتگرال برابر با کسینوس هذلولی است که sinhx در نسخه انگلیسی سینوس هذلولی است.
انتگرال برابر با مماس هذلولی.	انتگرال برابر با کوتانژانت هذلولی.
انتگرال برابر با سکانت هذلولی.	انتگرال برابر با کوسکانت هذلولی.

فرمول های یکپارچه سازی توسط قطعات قوانین یکپارچه سازی

فرمول های یکپارچه سازی توسط قطعات فرمول نیوتن لایب نیتس قوانین ادغام.
ادغام یک محصول (تابع) توسط یک ثابت:
ادغام مجموع توابع:
انتگرال های نامعین:
فرمول یکپارچه سازی توسط قطعات انتگرال معین:
فرمول نیوتن لایب نیتس انتگرال معین:	جایی که F(a)، F(b) مقادیر ضد مشتقات به ترتیب در نقاط b و a هستند.

جدول مشتقات. مشتقات جدولی مشتق محصول. مشتق از ضریب. مشتق تابع مختلط

اگر x یک متغیر مستقل است، آنگاه:

جدول مشتقات. مشتقات جدولی "مشتق جدول" - بله، متأسفانه، دقیقاً اینگونه در اینترنت جستجو می شود
	مشتق تابع توان
	مشتق توان
مشتق تابع نمایی پیچیده	مشتق تابع نمایی
مشتق تابع لگاریتمی	مشتق لگاریتم طبیعی
	مشتق لگاریتم طبیعی یک تابع
مشتق سینوس	مشتق کسینوس
مشتق کوسکانت	مشتق از سکانت
مشتق آرکسین	مشتق کسینوس قوس
مشتق آرکسین	مشتق کسینوس قوس
مشتق مماس	مشتق کوتانژانت
مشتق متقاطع	مشتق کوتانژانت قوس
مشتق متقاطع	مشتق کوتانژانت قوس
مشتق از قوس	مشتق arccosecant
مشتق از قوس	مشتق arccosecant
مشتق سینوس هایپربولیک مشتق سینوس هایپربولیک در نسخه انگلیسی	مشتق کسینوس هذلولی مشتق کسینوس هذلولی در نسخه انگلیسی
مشتق مماس هذلولی	مشتق کوتانژانت هذلولی
مشتق سکانت هذلولی	مشتق کوسکانت هذلولی

قوانین تمایز. مشتق از محصول. مشتق از ضریب. مشتق تابع مختلط
مشتق یک محصول (تابع) توسط یک ثابت:
مشتق جمع (توابع):
مشتق محصول (توابع):
مشتق ضریب (توابع):
مشتق تابع مختلط:

خواص لگاریتم ها فرمول های اصلی لگاریتم ها اعشاری (lg) و لگاریتم طبیعی (ln).

هویت لگاریتمی پایه
بیایید نشان دهیم که چگونه هر تابعی از شکل a b را می توان نمایی کرد. از آنجایی که تابعی از شکل e x را نمایی می نامند، پس
هر تابعی از شکل a b را می توان به عنوان توان ده نشان داد

لگاریتم طبیعی ln (لگاریتم به پایه e = 2.718281828459045...) ln(e)=1; ln(1)=0

سریال تیلور بسط یک تابع سری تیلور.

معلوم می شود که اکثریت عملا مواجه شدتوابع ریاضی را می توان با هر دقتی در مجاورت یک نقطه معین به صورت سری توانی حاوی توان های یک متغیر به ترتیب افزایشی نشان داد. به عنوان مثال، در مجاورت نقطه x=1:

هنگام استفاده از سری به نام ردیف های تیلورتوابع مختلط شامل توابع جبری، مثلثاتی و نمایی را می توان به صورت توابع جبری صرف بیان کرد. با استفاده از سری، اغلب می توانید به سرعت تمایز و ادغام را انجام دهید.

سری تیلور در همسایگی نقطه a به شکل زیر است:

1) ، که در آن f(x) تابعی است که مشتقات تمام مرتبه ها را در x = a دارد. R n - عبارت باقی مانده در سری تیلور با عبارت تعیین می شود

2)

ضریب k-امین (در x k) سری با فرمول تعیین می شود

3) یک مورد خاص از سری تیلور، سری Maclaurin (=McLaren) است (انبساط حول نقطه a=0 رخ می دهد)

در a=0

اعضای سری با فرمول تعیین می شوند

شرایط استفاده از سری تیلور

1. برای اینکه تابع f(x) به یک سری تیلور در بازه (-R;R) بسط داده شود، لازم و کافی است که عبارت باقیمانده در فرمول تیلور (Maclaurin (=McLaren)) برای این کار باشد. تابع به صورت k →∞ در بازه مشخص شده (-R;R) به صفر تمایل دارد.

2. لازم است مشتقاتی برای یک تابع معین در نقطه ای که قرار است سری تیلور را در مجاورت آن بسازیم وجود داشته باشد.

ویژگی های سری تیلور.

اگر f یک تابع تحلیلی باشد، آنگاه سری تیلور آن در هر نقطه a در حوزه تعریف f به f در محله ای از a همگرا می شود.

توابع بی نهایت قابل تمایز وجود دارند که سری تیلور آنها همگرا هستند، اما در عین حال با تابع در هر همسایگی a متفاوت هستند. مثلا:

سری های تیلور در تقریب (تقریب یک روش علمی است که شامل جایگزینی برخی از اشیاء با موارد دیگر است، به یک معنا نزدیک به موارد اصلی، اما ساده تر) یک تابع توسط چند جمله ای استفاده می شود. به طور خاص، خطی سازی ((از خطی - خطی)، یکی از روش های نمایش تقریبی سیستم های غیرخطی بسته، که در آن مطالعه یک سیستم غیر خطی با تجزیه و تحلیل یک سیستم خطی، به نوعی معادل با سیستم اصلی جایگزین می شود. .) معادلات با گسترش به یک سری تیلور و قطع همه عبارت های بالاتر از مرتبه اول رخ می دهد.

بنابراین، تقریباً هر تابعی را می توان به صورت چند جمله ای با دقت معین نشان داد.

نمونه هایی از برخی بسط های متداول توابع توان در سری مکلارین (= مک لارن، تیلور در مجاورت نقطه 0) و تیلور در مجاورت نقطه 1. اولین اصطلاحات بسط توابع اصلی در سری تیلور و مک لارن.

نمونه هایی از برخی بسط های رایج توابع توان در سری Maclaurin (= مک لارن، تیلور در مجاورت نقطه 0)

نمونه هایی از بسط های متداول سری تیلور در مجاورت نقطه 1

انتگرال توابع مثلثاتی
نمونه هایی از راه حل ها

در این درس به انتگرال های توابع مثلثاتی می پردازیم، یعنی پر شدن انتگرال ها سینوس ها، کسینوس ها، مماس ها و کوتانژانت ها در ترکیب های مختلف خواهد بود. همه نمونه ها با جزئیات، قابل دسترس و قابل درک حتی برای یک قوری تجزیه و تحلیل خواهند شد.

برای مطالعه موفقیت‌آمیز انتگرال‌های توابع مثلثاتی، باید درک خوبی از ساده‌ترین انتگرال‌ها داشته باشید و همچنین بر برخی تکنیک‌های ادغام تسلط داشته باشید. می توانید در سخنرانی ها با این مطالب آشنا شوید انتگرال نامعین. نمونه هایی از راه حل هاو .

و اکنون ما نیاز داریم: جدول انتگرال ها, جدول مشتقاتو فهرست فرمول های مثلثاتی. تمامی وسایل کمک آموزشی در صفحه موجود است فرمول ها و جداول ریاضی. من توصیه می کنم همه چیز را چاپ کنید. من به ویژه روی فرمول های مثلثاتی تمرکز می کنم، آنها باید جلوی چشمان شما باشند- بدون این، راندمان کار به طور قابل توجهی کاهش می یابد.

اما ابتدا در مورد اینکه انتگرال ها در این مقاله چه هستند خیر. هیچ انتگرالی از فرم وجود ندارد، کسینوس، سینوس، ضرب در چند جمله ای (کمتر چیزی با مماس یا کوتانژانت). این گونه انتگرال ها توسط قطعات ادغام می شوند و برای یادگیری روش به درس Integration by Parts مراجعه کنید. نمونه هایی از راه حل ها همچنین در اینجا هیچ انتگرالی با "قوس" وجود ندارد - آرکتانژانت، آرکسین و غیره، آنها نیز اغلب توسط قطعات ادغام می شوند.

هنگام یافتن انتگرال توابع مثلثاتی، از تعدادی روش استفاده می شود:

(4) ما از فرمول جدولی استفاده می کنیم ، تنها تفاوت این است که به جای "X" یک عبارت پیچیده داریم.

مثال 2

مثال 3

انتگرال نامعین را پیدا کنید.

کلاسیک این ژانر برای کسانی که در رقابت غرق می شوند. همانطور که احتمالا متوجه شدید، در جدول انتگرال ها هیچ انتگرالی مماس و کوتانژانت وجود ندارد، اما، با این وجود، چنین انتگرال هایی را می توان یافت.

(1) از فرمول مثلثاتی استفاده می کنیم

(2) تابع را زیر علامت دیفرانسیل می آوریم.

(3) از انتگرال جدول استفاده می کنیم .

مثال 4

انتگرال نامعین را پیدا کنید.

این یک مثال برای یک راه حل مستقل است، راه حل کامل و پاسخ در پایان درس است.

مثال 5

انتگرال نامعین را پیدا کنید.

درجه ما به تدریج افزایش می یابد =).
اول راه حل:

(1) ما از فرمول استفاده می کنیم

(2) از هویت مثلثاتی اصلی استفاده می کنیم ، که از آن نتیجه می شود که .

(3) صورت را بر مخرج جمله بر جمله تقسیم کنید.

(4) از ویژگی خطی بودن انتگرال نامعین استفاده می کنیم.

(5) با استفاده از جدول ادغام می کنیم.

مثال 6

انتگرال نامعین را پیدا کنید.

این یک مثال برای یک راه حل مستقل است، راه حل کامل و پاسخ در پایان درس است.

همچنین انتگرال هایی از مماس ها و کوتانژانت ها وجود دارد که در توان های بالاتر هستند. انتگرال مکعب مماس در درس مورد بحث قرار می گیرد چگونه مساحت یک شکل صاف را محاسبه کنیم؟انتگرال مماس (کتانژانت) به توان چهارم و پنجم را می توانید در صفحه بدست آورید. انتگرال های مختلط.

کاهش درجه انتگرال

این تکنیک زمانی کار می کند که توابع انتگرال با سینوس و کسینوس در داخل پر شده باشند زوجدرجه. برای کاهش درجه از فرمول های مثلثاتی استفاده کنید , و، و آخرین فرمول اغلب در جهت مخالف استفاده می شود: .

مثال 7

انتگرال نامعین را پیدا کنید.

راه حل:

در اصل، اینجا چیز جدیدی وجود ندارد، به جز اینکه ما فرمول را اعمال کردیم (کاهش درجه انتگرال). لطفا توجه داشته باشید که من راه حل را کوتاه کرده ام. همانطور که تجربه کسب می کنید، انتگرال از را می توان به صورت شفاهی یافت؛ این باعث صرفه جویی در زمان می شود و هنگام اتمام تکالیف کاملا قابل قبول است. در این مورد، توصیه می شود که قاعده را توصیف نکنید ، ابتدا انتگرال 1 را به صورت شفاهی می گیریم سپس از .

مثال 8

انتگرال نامعین را پیدا کنید.

این یک مثال برای یک راه حل مستقل است، راه حل کامل و پاسخ در پایان درس است.

این افزایش درجه وعده داده شده است:

مثال 9

انتگرال نامعین را پیدا کنید.

ابتدا راه حل، سپس نظرات:

(1) انتگرال را برای اعمال فرمول آماده کنید .

(2) ما در واقع فرمول را اعمال می کنیم.

(3) مخرج را مربع می کنیم و ثابت را از علامت انتگرال خارج می کنیم. می توانست کمی متفاوت انجام شود، اما، به نظر من، راحت تر بود.

(4) ما از فرمول استفاده می کنیم

(5) در ترم سوم دوباره درجه را کاهش می دهیم، اما با استفاده از فرمول .

(6) ما اصطلاحات مشابهی را ارائه می کنیم (در اینجا من ترم به اصطلاح را تقسیم کردم و اضافه را انجام داد).

(7) در واقع، ما انتگرال، قانون خطی بودن را می گیریم و روش قرار دادن تابع زیر علامت دیفرانسیل به صورت شفاهی انجام می شود.

(8) شانه زدن پاسخ.

! در یک انتگرال نامعین، پاسخ را اغلب می توان به روش های مختلفی نوشت

در مثالی که به تازگی در نظر گرفته شد، پاسخ نهایی می توانست متفاوت نوشته شود - باز کردن پرانتزها و حتی انجام این کار قبل از ادغام عبارت، یعنی پایان زیر برای مثال کاملاً قابل قبول است:

کاملاً ممکن است که این گزینه حتی راحت تر باشد، من فقط آن را به روشی که خودم به حل آن عادت دارم توضیح دادم). در اینجا یک مثال معمولی دیگر برای یک راه حل مستقل وجود دارد:

مثال 10

انتگرال نامعین را پیدا کنید.

این مثال به دو صورت قابل حل است و ممکن است موفق شوید دو پاسخ کاملا متفاوت(به طور دقیق تر ، آنها کاملاً متفاوت به نظر می رسند ، اما از نظر ریاضی معادل خواهند بود). به احتمال زیاد منطقی ترین روش را نخواهید دید و با باز کردن براکت ها و استفاده از فرمول های مثلثاتی دیگر دچار مشکل خواهید شد. موثرترین راه حل در پایان درس آورده شده است.

برای خلاصه کردن پاراگراف، نتیجه می گیریم: هر انتگرال فرم ، کجا و - زوجاعداد، با روش کاهش درجه انتگرال حل می شود.
در عمل به انتگرال هایی با 8 و 10 درجه برخورد کردم و مجبور شدم با چند بار پایین آوردن درجه، آشفتگی وحشتناک آنها را حل کنم که نتیجه آن پاسخ های طولانی و طولانی بود.

روش جایگزینی متغیر

همانطور که در مقاله ذکر شد روش تغییر متغیر در انتگرال نامعین، پیش نیاز اصلی برای استفاده از روش جایگزینی این واقعیت است که در انتگرال یک تابع مشخص و مشتق آن وجود دارد:
(کارکردها لزوماً در محصول نیستند)

مثال 11

انتگرال نامعین را پیدا کنید.

ما به جدول مشتقات نگاه می کنیم و به فرمول ها توجه می کنیم، ، یعنی در انتگرال ما یک تابع و مشتق آن وجود دارد. اما می بینیم که در حین تمایز، کسینوس و سینوس متقابلاً به یکدیگر تبدیل می شوند و این سؤال پیش می آید که چگونه تغییر متغیر را انجام دهیم و منظور از سینوس یا کسینوس چیست؟! این سوال را می توان با پوک زدن علمی حل کرد: اگر جایگزینی را اشتباه انجام دهیم، هیچ چیز خوبی از آن حاصل نمی شود.

یک دستورالعمل کلی: در موارد مشابه، باید تابعی را که در مخرج است مشخص کنید.

محلول را قطع می کنیم و جایگزین می کنیم

همه چیز در مخرج خوب است، همه چیز فقط به بستگی دارد، اکنون باید دریابیم که به چه چیزی تبدیل خواهد شد.
برای انجام این کار، دیفرانسیل را پیدا می کنیم:

یا به طور خلاصه:
از برابری حاصل، با استفاده از قاعده تناسب، عبارت مورد نیاز خود را بیان می کنیم:

بنابراین:

اکنون کل یکپارچگی ما فقط به این بستگی دارد و می توانیم به حل آن ادامه دهیم

آماده. به شما یادآوری می کنم که هدف از جایگزینی ساده سازی انتگرال است؛ در این مورد همه چیز به یکپارچه سازی تابع پاور مطابق جدول خلاصه شد.

تصادفی نیست که این مثال را با این جزئیات شرح دادم؛ این کار به منظور تکرار و تقویت مطالب درسی انجام شد. روش تغییر متغیر در انتگرال نامعین.

و حالا دو مثال برای راه حل خودتان:

مثال 12

انتگرال نامعین را پیدا کنید.

مثال 13

انتگرال نامعین را پیدا کنید.

راه حل ها و پاسخ ها را در پایان درس کامل کنید.

مثال 14

انتگرال نامعین را پیدا کنید.

در اینجا، در انتگرال، سینوس و کسینوس (یک تابع با مشتق) وجود دارد، اما در یک محصول، و یک دوراهی پیش می‌آید - منظور ما از سینوس یا کسینوس چیست؟

می توانید سعی کنید جایگزینی را با استفاده از روش علمی انجام دهید، و اگر هیچ چیز کار نکرد، آن را به عنوان عملکرد دیگری تعیین کنید، اما وجود دارد:

دستورالعمل کلی: شما باید عملکردی را مشخص کنید که به طور مجازی در "موقعیت ناراحت کننده" است..

می بینیم که در این مثال، کسینوس دانش آموز از درجه «مصائب» می شود، و سینوس آزادانه، به تنهایی می نشیند.

بنابراین، بیایید یک جایگزین ایجاد کنیم:

اگر کسی هنوز با الگوریتم جایگزینی یک متغیر و یافتن دیفرانسیل مشکل دارد، باید به درس برگردید. روش تغییر متغیر در انتگرال نامعین.

مثال 15

انتگرال نامعین را پیدا کنید.

بیایید انتگرال را تجزیه و تحلیل کنیم، با چه چیزی باید نشان داده شود؟
بیایید دستورالعمل های خود را به خاطر بسپاریم:
1) تابع به احتمال زیاد در مخرج است.
2) عملکرد در "موقعیت نامناسب" قرار دارد.

به هر حال، این دستورالعمل ها نه تنها برای توابع مثلثاتی معتبر هستند.

سینوس با هر دو معیار مطابقت دارد (مخصوصاً دوم)، بنابراین جایگزینی خود را پیشنهاد می کند. در اصل ، جایگزینی قبلاً قابل انجام است ، اما ابتدا خوب است که بفهمیم با چه کاری باید انجام دهیم؟ ابتدا، یک کسینوس را "نیز" می کنیم:

ما برای دیفرانسیل "آینده" خود رزرو می کنیم

و ما آن را از طریق سینوس با استفاده از هویت مثلثاتی اصلی بیان می کنیم:

حالا جایگزینش اینجاست:

قانون کلی: اگر در انتگرال یکی از توابع مثلثاتی (سینوس یا کسینوس) در فرددرجه، سپس باید یک تابع را از درجه فرد «گزیده» کنید و تابع دیگری را پشت آن تعیین کنید.ما فقط در مورد انتگرال صحبت می کنیم که کسینوس و سینوس وجود دارد.

در مثال مورد بررسی، ما یک کسینوس با توان فرد داشتیم، بنابراین یک کسینوس را از توان جدا کردیم و آن را به عنوان سینوس تعیین کردیم.

مثال 16

انتگرال نامعین را پیدا کنید.

درجه در حال افزایش است =).
این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید. حل کامل و پاسخ در پایان درس.

جایگزینی مثلثاتی جهانی

جایگزینی مثلثاتی جهانی یک مورد رایج از روش جایگزینی متغیر است. می‌توانید زمانی که «نمی‌دانید چه کار کنید» از آن استفاده کنید. اما در واقع دستورالعمل هایی برای کاربرد آن وجود دارد. انتگرال های معمولی که در آن جانشینی مثلثاتی جهانی باید اعمال شود انتگرال های زیر هستند: , , , و غیره.

مثال 17

انتگرال نامعین را پیدا کنید.

جایگزینی مثلثاتی جهانی در این مورد به روش زیر اجرا می شود. جایگزین کنیم: . من از حرف استفاده نمی‌کنم، اما از حرف، این نوعی قانون نیست، فقط این است که، دوباره، من عادت دارم مسائل را به این شکل حل کنم.

در اینجا یافتن تفاوت راحت تر است؛ برای این، از برابری، بیان می کنم:
من یک آرکتانژانت را به هر دو قسمت وصل می کنم:

تانژانت و مماس یکدیگر را خنثی می کنند:

بدین ترتیب:

در عمل، لازم نیست آن را با چنین جزئیات توصیف کنید، بلکه به سادگی از نتیجه نهایی استفاده کنید:

! این عبارت فقط در صورتی معتبر است که در زیر سینوس ها و کسینوس ها به سادگی "X" برای انتگرال داشته باشیم (که بعداً در مورد آن صحبت خواهیم کرد) همه چیز کمی متفاوت خواهد بود!

هنگام جایگزینی، سینوس ها و کسینوس ها به کسرهای زیر تبدیل می شوند:
، این برابری ها بر اساس فرمول های مثلثاتی شناخته شده هستند: ,

بنابراین، طراحی نهایی می تواند مانند این باشد:

بیایید یک جایگزین مثلثاتی جهانی انجام دهیم:

همچنین مشکلاتی برای شما پیش خواهد آمد که خودتان آنها را حل کنید که می توانید پاسخ آنها را ببینید.

انتگرال را می توان از حاصل ضرب توابع مثلثاتی به مجموع تبدیل کرد

اجازه دهید انتگرال هایی را در نظر بگیریم که در آنها انتگرال حاصل ضرب سینوس ها و کسینوس های درجه اول x در عوامل مختلف است، یعنی انتگرال های شکل

استفاده از فرمول های مثلثاتی معروف

(2)
(3)
(4)
می توان هر یک از محصولات را در انتگرال های شکل (31) به یک جمع جبری تبدیل کرد و طبق فرمول ها ادغام کرد.

(5)

(6)

مثال 1.پیدا کردن

راه حل. طبق فرمول (2) در

مثال 2.پیدا کردن انتگرال یک تابع مثلثاتی

راه حل. طبق فرمول (3) در

مثال 3.پیدا کردن انتگرال یک تابع مثلثاتی

راه حل. طبق فرمول (4) در تبدیل زیر انتگرال را بدست می آوریم:

با استفاده از فرمول (6) بدست می آوریم

انتگرال حاصل ضرب توان های سینوس و کسینوس همان برهان

حال اجازه دهید انتگرال هایی از توابع را در نظر بگیریم که حاصل ضرب قدرت های سینوس و کسینوس همان آرگومان هستند، یعنی.

(7)

در موارد خاص، یکی از شاخص های ( متریا n) ممکن است صفر باشد.

هنگام ادغام چنین توابعی، از آن استفاده می شود که توان زوج کسینوس را می توان از طریق سینوس بیان کرد و دیفرانسیل سینوس برابر با cos است. x dx(یا حتی توان سینوس را می توان بر حسب کسینوس بیان کرد و دیفرانسیل کسینوس برابر است با - sin x dx ) .

دو مورد باید از هم تفکیک شود: 1) حداقل یکی از شاخص ها مترو nفرد؛ 2) هر دو شاخص زوج هستند.

اجازه دهید اولین مورد، یعنی نشانگر اتفاق بیفتد n = 2ک+ 1 - عجیب و غریب. سپس، با توجه به آن

انتگرال به گونه ای ارائه می شود که یک قسمت آن تابعی از سینوس و دیگری دیفرانسیل سینوس است. اکنون از جایگزینی متغیر استفاده می کنیم تی= گناه ایکسراه حل به ادغام چند جمله ای با توجه به کاهش می یابد تی. اگر فقط مدرک مترعجیب است، سپس آنها همین کار را می کنند و عامل گناه را جدا می کنند ایکس، بقیه انتگرال را بر حسب cos بیان می کند ایکسو ایمان داشتن تی= cos ایکس. این تکنیک همچنین می تواند مورد استفاده قرار گیرد زمانی که ادغام قدرت های نسبی سینوس و کسینوس ، چه زمانی حداقل یکی از شاخص ها عجیب و غریب است . تمام نکته این است ضریب توانهای سینوس و کسینوس یک مورد خاص از محصول آنهاست : وقتی یک تابع مثلثاتی در مخرج یک انتگرال باشد، درجه آن منفی است. اما مواردی از توابع مثلثاتی جزئی نیز وجود دارد که توان آنها فقط زوج است. درباره آنها - در پاراگراف بعدی.

اگر هر دو شاخص مترو n- حتی، سپس، با استفاده از فرمول های مثلثاتی

نماهای سینوس و کسینوس را کاهش دهید، پس از آن انتگرالی از همان نوع بالا به دست می آید. بنابراین، ادغام باید طبق همان طرح ادامه یابد. اگر یکی از نماهای زوج منفی باشد، یعنی ضریب توان های زوج سینوس و کسینوس در نظر گرفته شود، این طرح مناسب نیست. . سپس بسته به نحوه تبدیل انتگرال از تغییر متغیر استفاده می شود. چنین موردی در پاراگراف بعدی بررسی خواهد شد.

مثال 4.پیدا کردن انتگرال یک تابع مثلثاتی

راه حل. توان کسینوس فرد است. بنابراین، بیایید تصور کنیم

تی= گناه ایکس(سپس dt= cos ایکس dx ). سپس می گیریم

با بازگشت به متغیر قدیمی، بالاخره پیدا می کنیم

مثال 5.پیدا کردن انتگرال یک تابع مثلثاتی

.

راه حل. توان کسینوس، مانند مثال قبلی، فرد است، اما بزرگتر است. بیایید تصور کنیم

و تغییری در متغیر ایجاد کنید تی= گناه ایکس(سپس dt= cos ایکس dx ). سپس می گیریم

بیایید پرانتزها را باز کنیم

و می گیریم

با بازگشت به متغیر قدیمی، راه حل را دریافت می کنیم

مثال 6.پیدا کردن انتگرال یک تابع مثلثاتی

راه حل. نماهای سینوس و کسینوس زوج هستند. بنابراین تابع انتگرال را به صورت زیر تبدیل می کنیم:

سپس می گیریم

در انتگرال دوم تغییری در متغیر، تنظیم می کنیم تی= گناه2 ایکس. سپس (1/2)dt= cos2 ایکس dx . از این رو،

بالاخره می رسیم

با استفاده از روش جایگزینی متغیر

روش جایگزینی متغیرهنگام ادغام توابع مثلثاتی، می توان از آن در مواردی استفاده کرد که انتگرال فقط شامل سینوس یا فقط کسینوس، حاصل ضرب سینوس و کسینوس است که در آن سینوس یا کسینوس در درجه اول، مماس یا کوتانژانت و همچنین ضریب حتی قدرت های سینوس و کسینوس یک و همان استدلال. در این صورت، می توان نه تنها گناه را انجام داد ایکس = تیو گناه ایکس = تی، بلکه tg ایکس = تیو ctg ایکس = تی .

مثال 8.پیدا کردن انتگرال یک تابع مثلثاتی

.

راه حل. بیایید متغیر: , سپس را تغییر دهیم. انتگرال حاصل را می توان به راحتی با استفاده از جدول انتگرال ها ادغام کرد:

.

مثال 9.پیدا کردن انتگرال یک تابع مثلثاتی

راه حل. بیایید مماس را به نسبت سینوس و کسینوس تبدیل کنیم:

بیایید متغیر: , سپس را تغییر دهیم. انتگرال حاصل شده است انتگرال جدولبا علامت منفی:

.

با بازگشت به متغیر اصلی، در نهایت دریافت می کنیم:

.

مثال 10.پیدا کردن انتگرال یک تابع مثلثاتی

راه حل. بیایید متغیر: , سپس را تغییر دهیم.

بیایید انتگرال را برای اعمال هویت مثلثاتی تبدیل کنیم :

متغیر را تغییر می دهیم، فراموش نمی کنیم که یک علامت منفی جلوی انتگرال قرار دهیم (به بالا نگاه کنید، چه چیزی برابر است با dt). سپس انتگرال را فاکتور می کنیم و طبق جدول ادغام می کنیم:

با بازگشت به متغیر اصلی، در نهایت دریافت می کنیم:

.

انتگرال یک تابع مثلثاتی را خودتان پیدا کنید و سپس به حل آن نگاه کنید

جایگزینی مثلثاتی جهانی

جایگزینی مثلثاتی جهانی در مواردی که انتگرال تحت مواردی که در پاراگراف های قبلی مورد بحث قرار گرفت قرار نمی گیرد می توان از آن استفاده کرد. اصولاً وقتی سینوس یا کسینوس (یا هر دو) در مخرج کسری باشد. ثابت شده است که سینوس و کسینوس را می توان با عبارت دیگری حاوی مماس نصف زاویه اصلی به صورت زیر جایگزین کرد:

اما توجه داشته باشید که جایگزینی مثلثاتی جهانی اغلب مستلزم تبدیلات جبری کاملاً پیچیده است، بنابراین زمانی که هیچ روش دیگری کار نمی کند بهتر است از آن استفاده شود. اجازه دهید به مثال هایی نگاه کنیم که در آن، همراه با جایگزینی مثلثاتی جهانی، جایگزینی تحت علامت دیفرانسیل و روش ضرایب نامعین استفاده می شود.

مثال 12.پیدا کردن انتگرال یک تابع مثلثاتی

.

راه حل. راه حل. بهره ببریم جایگزینی مثلثاتی جهانی. سپس
.

کسرهای صورت و مخرج را در ضرب می کنیم و آن دو را بیرون می آوریم و جلوی علامت انتگرال قرار می دهیم. سپس

در عمل، اغلب لازم است انتگرال های توابع ماورایی که حاوی توابع مثلثاتی هستند محاسبه شوند. به عنوان بخشی از این مطالب، انواع اصلی توابع انتگرال را شرح خواهیم داد و نشان خواهیم داد که از چه روش هایی می توان برای ادغام آنها استفاده کرد.

ادغام سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت

بیایید با روش هایی برای ادغام توابع مثلثاتی اصلی - sin، cos، tg، c tg شروع کنیم. با استفاده از جدول ضد مشتقات، بلافاصله می نویسیم که ∫ sin x d x = - cos x + C، و ∫ cos x d x = sin x + C.

برای محاسبه انتگرال نامعین توابع tg و c tg می توان از علامت دیفرانسیل استفاده کرد:

∫ t g x d x = ∫ sin x cos x d x = d (cos x) = - sin x d x = = - ∫ d (cos x) cos x = - ln cos x + C ∫ c t g x d x = ∫ cos x گناه x d x = d (سین x) = cos x d x = = ∫ d (sin x) sin x = ln sin x + C

چگونه فرمول های ∫ d x sin x = ln 1 - cos x sin x + C و ∫ d x cos x = ln 1 + sin x cos x + c را که از جدول پاد مشتق ها گرفته شده اند، به دست آوردیم؟ اجازه دهید فقط یک مورد را توضیح دهیم، زیرا مورد دوم با قیاس روشن خواهد شد.

با استفاده از روش جایگزینی می نویسیم:

∫ d x sin x = گناه x = t ⇒ x = a r c sin y ⇒ d x = d t 1 - t 2 = d t t 1 - t 2

در اینجا باید تابع غیرمنطقی را ادغام کنیم. ما از همان روش جایگزینی استفاده می کنیم:

∫ d t t 1 - t 2 = 1 - t 2 = z 2 ⇒ t = 1 - z 2 ⇒ d t = - z d z 1 - z 2 = = ∫ - z d z z 1 - z 2 1 - z 2 = ∫ d z z 2 - 1 = ∫ d z (z - 1) (z +) = = 1 2 ∫ d z z - 1 - 1 2 ∫ d z z + 1 = 1 2 ln z - 1 - 1 2 z + 1 + C = = 1 2 ln z - 1 z + 1 + C = ln z - 1 z + 1 + C

اکنون جایگزین معکوس z = 1 - t 2 و t = sin x را می کنیم:

∫ d x sin x = ∫ d t t 1 - t 2 = ln z - 1 z + 1 + C = = ln 1 - t 2 - 1 1 - t 2 + 1 + C = ln 1 - sin 2 x - 1 1 - sin 2 x + 1 + C = = ln cos x - 1 cos x + 1 + C = ln (cos x - 1) 2 sin 2 x + C = = ln cos x - 1 sin x + C

ما به طور جداگانه مواردی را با انتگرال هایی که دارای قدرت های توابع مثلثاتی هستند، مانند ∫ sin n x d x، ∫ cos n x d x، ∫ d x sin n x، ∫ d x cos n x تجزیه و تحلیل خواهیم کرد.

نحوه محاسبه صحیح آنها را می توانید در مقاله ادغام با استفاده از فرمول های تکراری بخوانید. اگر می دانید این فرمول ها چگونه مشتق می شوند، می توانید به راحتی انتگرال هایی مانند ∫ sin n x · cos m x d x را با m و n طبیعی بگیرید.

اگر ترکیبی از توابع مثلثاتی با چند جمله ای یا توابع نمایی داشته باشیم، آنگاه باید آنها را با قطعات یکپارچه کنیم. توصیه می‌کنیم مقاله‌ای را بخوانید که به روش‌های یافتن انتگرال‌ها اختصاص داده شده است. · x · cos (a x) d x .

دشوارترین مسائل آنهایی است که انتگرال شامل توابع مثلثاتی با آرگومان های مختلف است. برای انجام این کار، باید از فرمول های مثلثات اولیه استفاده کنید، بنابراین توصیه می شود آنها را به خاطر بسپارید یا یادداشت برداری از آنها را در دسترس داشته باشید.

مثال 1

مجموعه ضد مشتق های تابع y = sin (4 x) + 2 cos 2 (2 x) sin x · cos (3 x) + 2 cos 2 x 2 - 1 · sin (3 x) را بیابید.

راه حل

بیایید از فرمول های کاهش درجه استفاده کنیم و بنویسیم که cos 2 x 2 = 1 + cos x 2 و cos 2 2 x = 1 + cos 4 x 2. به معنای،

y = sin (4 x) + 2 cos 2 (2 x) sin x cos (3 x) + 2 cos 2 x 2 - 1 sin (3 x) = sin (4 x) + 2 1 + cos 4 x 2 sin x cos (3 x) + 2 1 + cos x 2 - 1 sin (3 x) = = sin (4 x) + cos (4 x) + 1 sin x cos (3 x) + cos x sin (3 x)

در مخرج فرمول سینوس مجموع را داریم. سپس می توانید آن را به این صورت بنویسید:

y = sin (4 x) + cos (4 x) + 1 sin x cos (3 x) + cos x sin (3 x) = sin (4 x) + cos (4 x) + 1 sin (4 x) = = 1 + cos (4 x) sin (4 x)

مجموع 3 انتگرال را بدست آوردیم.

🔻 sin (4 x) + cos (4 x) + 1 sin x · cos (3 x) + cos x · sin (3 x) d x = = ∫ d x + cos (4 x) d x sin (4 x) + ∫ d x sin (4 x) = = x + 1 4 ln ∫ d (sin (4 x)) sin (4 x) + 1 4 ln cos (4 x) - 1 sin (4 x) = = 1 4 ln sin ( 4 x) + 1 4 ln cos (4 x) - 1 sin (4 x) + C = x + 1 4 ln cos 4 x - 1 + C

در برخی موارد، توابع مثلثاتی تحت انتگرال را می توان با استفاده از روش جایگزینی استاندارد به عبارات منطقی کسری کاهش داد. ابتدا، بیایید فرمول هایی را در نظر بگیریم که sin، cos و t g را از طریق مماس آرگومان نیمی بیان می کنند:

sin x = 2 t g x 2 1 + t g 2 x 2 , sin x = 1 - t g 2 x 2 1 + t g 2 x 2 , t g x = 2 t g x 2 1 - t g 2 x 2

همچنین باید دیفرانسیل d x را بر حسب مماس نیم زاویه بیان کنیم:

از آنجایی که d t g x 2 = t g x 2 "d x = d x 2 cos 2 x 2، پس

d x = 2 cos 2 x 2 d t g x 2 = 2 d t g x 2 1 cos 2 x 2 = 2 d t g x 2 cos 2 x 2 + sin 2 x 2 cos 2 x 2 = 2 d t g x 2 1 + t g 2 x 2

بنابراین، sin x = 2 z 1 + z 2، cos x 1 - z 2 1 + z 2، t g x 2 z 1 - z 2، d x = 2 d z 1 + z 2 در z = t g x 2.

مثال 2

انتگرال نامعین ∫ d x 2 sin x + cos x + 2 را بیابید.

راه حل

ما از روش جایگزینی مثلثاتی استاندارد استفاده می کنیم.

2 sin x + cos x + 2 = 2 2 z 1 + z 2 + 1 - z 2 1 + z 2 = z 2 + 4 z + 3 1 + z 2 ⇒ d x 2 sin x + cos x + 2 = 2 d z 1 + z 2 z 2 + 4 z + 3 1 + z 2 = 2 d z z 2 + 4 z + 3

به دست می آوریم که ∫ d x 2 sin x + cos x + 2 = 2 d z z 2 + 4 z + 3 .

اکنون می توانیم انتگرال را به کسرهای ساده بسط دهیم و مجموع دو انتگرال را بدست آوریم:

∫ d x 2 sin x + cos x + 2 = 2 ∫ 2 d z z 2 + 4 z + 3 = 2 ∫ 1 2 1 z + 1 - 1 z + 3 d z = = ∫ d z z + 1 - ∫ C z + 3 = ln z + 1 - ln z + 3 + C = ln z + 1 z + 3 + C

∫ d x 2 sin x + cos x + 2 = ln z + 1 z + 3 + C = ln t g x 2 + 1 t g x 2 + 3 + C

پاسخ: ∫ d x 2 sin x + cos x + 2 = ln t g x 2 + 1 t g x 2 + 3 + C

توجه به این نکته ضروری است که آن فرمول هایی که توابع را از طریق مماس یک آرگومان نیم بیان می کنند، هویت نیستند، بنابراین، عبارت حاصل lnt g x 2 + 1 t g x 2 + 3 + C مجموعه ای از ضد مشتقات تابع y = 1 2 است. sin x + cos x + 2 فقط در دامنه تعریف.

برای حل انواع دیگر مشکلات، می توانید از روش های ادغام اولیه استفاده کنید.

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید