در یک سری کامل از معادلات دیفرانسیل معمولی مرتبه 1، آنهایی وجود دارند که در آنها متغیرهای x و y را می توان به سمت راست و چپ معادله جدا کرد. متغیرها ممکن است قبلاً از هم جدا شده باشند، همانطور که در معادله f(y)d y = g(x)dx دیده می شود. شما می توانید متغیرها را در ODE f 1 (y) · g 1 (x) d y = f 2 (y) · g 2 (x) d x با انجام تبدیل جدا کنید. اغلب برای به دست آوردن معادلات با متغیرهای قابل تفکیک، از روش معرفی متغیرهای جدید استفاده می شود.

در این مبحث روش حل معادلات با متغیرهای جدا شده را به تفصیل بررسی می کنیم. اجازه دهید معادلات با متغیرهای قابل تفکیک و معادلات دیفرانسیل را در نظر بگیریم که می توان آنها را به معادلاتی با متغیرهای قابل تفکیک تقلیل داد. در این بخش ما تعداد زیادی از مسائل مربوط به موضوع را با تجزیه و تحلیل دقیق راه حل مورد تجزیه و تحلیل قرار داده ایم.

برای سهولت در تسلط بر موضوع، توصیه می کنیم با اطلاعات درج شده در صفحه «تعریف و مفاهیم اساسی تئوری معادلات دیفرانسیل» آشنا شوید.

معادلات دیفرانسیل جدا شده f (y) d y = g (x) d x

تعریف 1

معادلات با متغیرهای جدا شده را معادلات دیفرانسیل به شکل f (y) d y = g (x) d x می نامند. همانطور که از نام آن پیداست، متغیرهایی که یک عبارت را می سازند در دو طرف علامت تساوی قرار دارند.

اجازه دهید قبول کنیم که توابع f (y) و g(x)مستمر فرض خواهیم کرد.

برای معادلات با متغیرهای جدا شده، انتگرال کلی ∫ f (y) d y = ∫ g (x) d x خواهد بود. ما می توانیم یک راه حل کلی برای معادله دیفرانسیل به شکل یک تابع مشخص شده ضمنی Ф (x, y) = 0 بدست آوریم، مشروط بر اینکه انتگرال های برابری فوق در توابع ابتدایی بیان شوند. در برخی موارد می توان تابع y را به صورت صریح بیان کرد.

مثال 1

جواب کلی معادله دیفرانسیل جدا شده را پیدا کنید y 2 3 d y = sin x d x .

راه حل

بیایید هر دو طرف برابری را ادغام کنیم:

∫ y 2 3 d y = ∫ گناه x d x

این در واقع راه حل کلی این سیستم کنترلی است. در واقع مسئله یافتن راه حل کلی برای معادله دیفرانسیل را به مسئله یافتن انتگرال های نامعین تقلیل داده ایم.

اکنون می‌توانیم از جدول ضد مشتق‌ها برای گرفتن انتگرال‌هایی که در توابع ابتدایی بیان می‌شوند استفاده کنیم:

∫ y 2 3 d y = 3 5 y 5 3 + C 1 ∫ sin x d x = - cos x + C 2 ⇒ ∫ y 2 3 d y = ∫ sin x d x ⇔ 3 5 y 3 5 + C 1 + C = - s
که در آن C 1 و C 2 ثابت دلخواه هستند.

تابع 3 5 y 3 5 + C 1 = - cos x + C 2 به طور ضمنی مشخص شده است. این یک راه حل کلی برای معادله دیفرانسیل متغیر جدا شده اصلی است. ما پاسخی دریافت کرده ایم و ممکن است تصمیم را ادامه ندهیم. با این حال، در مثال مورد بررسی، تابع مورد نظر را می توان به صراحت از طریق آرگومان x بیان کرد.

دریافت می کنیم:

3 5 y 5 3 + C 1 ⇒ y = - 5 3 cos x + C 3 5، که در آن C = 5 3 (C 2 - C 1)

جواب کلی این معادله دیفرانسیل تابع y = - 5 3 cos x + C 3 5 است.

پاسخ:

می توانیم پاسخ را به چند روش بنویسیم: ∫ y 2 3 d y = ∫ sin x d x یا 3 5 y 5 3 + C 1 = - cos x + C 2، یا y = - 5 3 cos x + C 3 5

همیشه ارزش این را دارد که به معلم بفهمانید که در کنار مهارت حل معادلات دیفرانسیل، توانایی تبدیل عبارات و گرفتن انتگرال را نیز دارید. انجام آن آسان است. کافی است پاسخ نهایی را در قالب یک تابع صریح یا یک تابع مشخص شده ضمنی Ф (x, y) = 0 بدهیم.

معادلات دیفرانسیل با متغیرهای قابل تفکیک f 1 (y) g 1 (x) d y = f 2 (y) g 2 (x) d x

y " = d y d x در مواردی که y تابعی از آرگومان x است.

در DE f 1 (y) g 1 (x) d y = f 2 (y) g 2 (x) d x یا f 1 (y) g 1 (x) y " = f 2 (y) g 2 (x) d x می توانیم تبدیلات را به گونه ای انجام دهیم که متغیرها را از هم جدا کنیم ) d y = g 2 (. x) g 1 (x) d x .

هنگام جداسازی متغیرها، لازم است تمام تبدیل ها با دقت انجام شود تا از خطا جلوگیری شود. معادلات حاصل و اصلی باید با یکدیگر معادل باشند. به عنوان چک می توانید از شرطی استفاده کنید که طبق آن f 2 (y) و g 1 (x)نباید در بازه ادغام ناپدید شود. اگر این شرط رعایت نشود، احتمال از دست دادن برخی از راه حل ها وجود دارد.

مثال 2

همه راه حل های معادله دیفرانسیل y " = y · (x 2 + e x) را بیابید.

راه حل

ما می توانیم x و y را از هم جدا کنیم، بنابراین با یک معادله دیفرانسیل با متغیرهای قابل تفکیک روبرو هستیم.

y " = y · (x 2 + e x) ⇔ d y d x = y · (x 2 + e x) ⇔ d y y = (x 2 + e x) d x pr و y ≠ 0

هنگامی که y = 0، معادله اصلی به هویت تبدیل می شود: 0 " = 0 · (x 2 + e x) ⇔ 0 ≡ 0. این به ما امکان می دهد بیان کنیم که y = 0 راه حلی برای DE است. ممکن است نگرفته باشیم. این راه حل را هنگام انجام تحولات در نظر بگیرید.

اجازه دهید ادغام معادله دیفرانسیل را با متغیرهای جدا شده d y y = (x 2 + e x) d x انجام دهیم:
∫ d y y = ∫ (x 2 + e x) d x ∫ d y y = ln y + C 1 ∫ (x 2 + e x) d x = x 3 3 + e x + C 2 ⇒ ln y + C 1 = x 3 3 + e x + 2 ⇒ ln y = x 3 3 + e x + C

در انجام تبدیل، جایگزینی را انجام دادیم C 2 - C 1در با. راه حل DE به شکل یک تابع مشخص شده ضمنی ln y = x 3 3 + e x + C است. ما می توانیم این تابع را به صراحت بیان کنیم. برای انجام این کار، اجازه دهید برابری حاصل را تقویت کنیم:

ln y = x 3 3 + e x + C ⇔ e ln y = e x 3 3 + e x + C ⇔ y = e x 3 3 + e x + C

پاسخ: y = e x 3 3 + e x + C، y = 0

معادلات دیفرانسیل تقلیل به معادلات با متغیرهای قابل تفکیک y " = f (a x + b y)، a ≠ 0، b ≠ 0

به منظور کاهش مرتبه اول معمولی DE y " = f (a x + b y)، a ≠ 0، b ≠ 0، برای معادله ای با متغیرهای قابل تفکیک، لازم است یک متغیر جدید z = a x + b y معرفی کنیم، که در آن z تابعی از آرگومان است. x.

دریافت می کنیم:

z = a x + b y ⇔ y = 1 b (z - a x) ⇒ y " = 1 b (z " - a) f (a x + b y) = f (z)

ما تعویض و تغییرات لازم را انجام می دهیم:

y " = f (a x + b y) ⇔ 1 b (z " - a) = f (z) ⇔ z " = b f (z) + a ⇔ d z b f (z) + a = d x ، b f (z) + a ≠ 0

مثال 3

جواب کلی معادله دیفرانسیل y " = 1 ln (2 x + y) - 2 و یک راه حل خاص را که شرط اولیه y (0) = e را برآورده کند، بیابید.

راه حل

بیایید یک متغیر معرفی کنیم z = 2 x + y، دریافت می کنیم:

y = z - 2 x ⇒ y " = z " - 2 ln (2 x + y) = ln z

نتیجه ای را که به دست آوردیم جایگزین عبارت اصلی می کنیم و آن را به یک معادله دیفرانسیل با متغیرهای قابل تفکیک تبدیل می کنیم:

y " = 1 ln (2 x + y) - 2 ⇔ z " - 2 = 1 ln z - 2 ⇔ d z d x = 1 ln z

بیایید هر دو طرف معادله را پس از جداسازی متغیرها ادغام کنیم:

d z d z = 1 ln z ⇔ ln z d z = d x ⇔ ∫ ln z d z = ∫ d x

بیایید از روش انتگرال گیری توسط قطعات برای یافتن انتگرال واقع در سمت چپ معادله استفاده کنیم. بیایید به انتگرال در سمت راست در جدول نگاه کنیم.

∫ ln z d z = u = ln z، d v = d z d u = d z z، v = z = z ln z - ∫ z d z z = = z ln z - z + C 1 = z (ln z - 1) + C 1 ∫ d x = x + C 2

می توانیم بیان کنیم که z · (ln z - 1) + C 1 = x + C 2 . حالا اگر این را بپذیریم C = C 2 - C 1و ما یک جایگزین معکوس انجام خواهیم داد z = 2 x + y، سپس یک راه حل کلی برای معادله دیفرانسیل به شکل یک تابع مشخص شده ضمنی بدست می آوریم:

(2 x + y) · (ln (2 x + y) - 1) = x + C

حالا بیایید شروع کنیم به یافتن راه حل خاصی که باید شرایط اولیه را برآورده کند y(0)=e. بیایید یک تعویض انجام دهیم x = 0و y (0) = e به جواب کلی DE وارد شده و مقدار ثابت C را پیدا کنید.

(2 0 + e) ​​(ln (2 0 + e) ​​- 1) = 0 + C e (ln e - 1) = C C = 0

ما یک راه حل خاص دریافت می کنیم:

(2 x + y) · (ln (2 x + y) - 1) = x

از آنجایی که در بیان مشکل فاصله زمانی لازم برای یافتن یک راه حل کلی برای DE مشخص نشده است، ما به دنبال راه حلی هستیم که برای تمام مقادیر آرگومان x مناسب باشد که DE اصلی برای آن منطقی است.

در مورد ما، DE برای ln (2 x + y) ≠ 0، 2 x + y > 0 منطقی است.

معادلات دیفرانسیل تقلیل به معادلات با متغیرهای قابل تفکیک y " = f x y یا y " = f y x

ما می توانیم معادلات دیفرانسیل شکل y " = f x y یا y " = f y x را با جایگزینی z = x y یا z = y x به معادلات دیفرانسیل قابل تفکیک کاهش دهیم. z– تابع آرگومان x.

اگر z = x y، پس y = x z و طبق قانون تمایز کسری:

y " = x y " = x " z - x z " z 2 = z - x z " z 2

در این حالت، معادلات به شکل z - x · z " z 2 = f (z) یا z - x · z " z 2 = f 1 z خواهند بود.

اگر z = y x را بگیریم، y = x ⋅ z و با قاعده مشتق حاصلض y " = (x z) " = x " z + x z " = z + x z ". در این حالت معادلات به z + x z " = f 1 z یا z + x z " = f (z) .

مثال 4

معادله دیفرانسیل y " = 1 e y x - y x + y x را حل کنید

راه حل

بیایید z = y x، سپس y = x z ⇒ y " = z + x z " را در نظر بگیریم. بیایید معادله اصلی را جایگزین کنیم:

y " = 1 e y x - y x + y x ⇔ z + x z " = 1 e z - z + z ⇔ x d z d x = 1 e z - z ⇔ (e z - z) d z = d x x

بیایید معادله را با متغیرهای جدا شده ای که هنگام انجام تبدیل ها به دست آوردیم ادغام کنیم:

∫ (e z - z) d z = ∫ d x x e z - z 2 2 + C 1 = ln x + C 2 e z - z 2 2 = ln x + C , C = C 2 - C 1

اجازه دهید جایگزینی معکوس را انجام دهیم تا جواب کلی DE اصلی را در قالب تابعی که به طور ضمنی مشخص شده است به دست آوریم:

e y x - 1 2 y 2 x 2 = ln x + C

حالا بیایید به کنترل های از راه دور نگاه کنیم که به شکل زیر هستند:

y " = a 0 y n + a 1 y n - 1 x + a 2 y n - 2 x 2 + ... + a n x n b 0 y n + b 1 y n - 1 x + b 2 y n - 2 x 2 + ... + b n x n

تقسیم صورت و مخرج کسری که در سمت راست رکورد قرار دارد بر y nیا x n، می توانیم DE اصلی را در ذهن بیاوریم y " = f x y یا y " = f y x

مثال 5

جواب کلی معادله دیفرانسیل y " = y 2 - x 2 2 x y را بیابید

راه حل

در این معادله x و y با 0 تفاوت دارند. این به ما اجازه می دهد که صورت و مخرج کسری واقع در سمت راست نماد را بر تقسیم کنیم. x 2:

y " = y 2 - x 2 2 x y ⇒ y " = y 2 x 2 - 1 2 y x

اگر یک متغیر جدید z = y x معرفی کنیم، y = x z ⇒ y " = z + x z " را بدست می آوریم.

اکنون باید معادله اصلی را جایگزین کنیم:

y " = y 2 x 2 - 1 2 y x ⇔ z " x + z = z 2 - 1 2 z ⇔ z " x = z 2 - 1 2 z - z ⇔ z " x = z 2 - 1 - 2 z 2 2 z ⇔ d z d x x = - z 2 + 1 2 z ⇔ 2 z d z z 2 + 1 = - d x x

به این ترتیب با متغیرهای جدا شده به DE رسیدیم. بیایید راه حل آن را پیدا کنیم:

∫ 2 z d z z 2 + 1 = - ∫ d x x ∫ 2 z d z z 2 + 1 = ∫ d (z 2 + 1) z 2 + 1 = ln z 2 + 1 + C 1 - ∫ d x x = - ln x + C ln z 2 + 1 + C 1 = - ln x + C 2

برای این معادله می توانیم یک جواب صریح به دست آوریم. برای انجام این کار، اجازه دهید - ln C = C 2 - C 1 را گرفته و خواص لگاریتم را اعمال کنیم:

ln z 2 + 1 = - ln x + C 2 - C 1 ⇔ ln z 2 + 1 = - ln x - ln C ⇔ ln z 2 + 1 = - ln C x ⇔ ln z 2 + 1 = ln C x - 1 ⇔ e ln z 2 + 1 = e ln 1 C x ⇔ z 2 + 1 = 1 C x ⇔ z ± 1 C x - 1

اکنون جایگزینی معکوس y = x ⋅ z را انجام می دهیم و جواب کلی معادله دیفرانسیل اصلی را می نویسیم:

y = ± x 1 C x - 1

در این صورت راه حل دوم نیز صحیح خواهد بود. می توانیم از جایگزینی z = x y استفاده کنیم. بیایید این گزینه را با جزئیات بیشتری در نظر بگیریم.

بیایید صورت و مخرج کسری واقع در سمت راست معادله را بر تقسیم کنیم y 2:

y " = y 2 - x 2 2 x y ⇔ y " = 1 - x 2 y 2 2 x y

اجازه دهید z = x y

سپس y " = 1 - x 2 y 2 2 x y ⇔ z - z " x z 2 = 1 - z 2 2 z

اجازه دهید معادله اصلی را جایگزین کنیم تا یک معادله دیفرانسیل با متغیرهای قابل تفکیک به دست آوریم:

y " = 1 - x 2 y 2 2 x y ⇔ z - z " x z 2 = 1 - z 2 2 z

با تقسیم متغیرها، برابری d z z (z 2 + 1) = d x 2 x را بدست می آوریم که می توانیم آن را ادغام کنیم:

∫ d z z (z 2 + 1) = ∫ d x 2 x

اگر انتگرال تابع انتگرال ∫ d z z (z 2 + 1) را به کسرهای ساده بسط دهیم، به دست می آید:

∫ 1 z - z z 2 + 1 d z

بیایید ادغام کسرهای ساده را انجام دهیم:

∫ 1 z - z z 2 + 1 d z = ∫ z d z z 2 + 1 = ∫ d t z - 1 2 ∫ d (z 2 + 1) z 2 + 1 = = ln z - 1 2 ln z 2 + 1 + C 1 = ln z z 2 + 1 + C 1

حالا بیایید انتگرال ∫ d x 2 x را پیدا کنیم:

∫ d x 2 x = 1 2 ln x + C 2 = ln x + c 2

در نتیجه، ln z z 2 + 1 + C 1 = ln x + C 2 یا ln z z 2 + 1 = ln C · x را دریافت می کنیم، که در آن ln C = C 2 - C 1.

اجازه دهید جایگزینی معکوس z = x y را انجام دهیم و تبدیل های لازم را انجام دهیم، به دست می آوریم:

y = ± x 1 C x - 1

گزینه راه حلی که در آن z = x y را جایگزین کردیم، نسبت به جایگزینی z = y x کار فشرده‌تری داشت. این نتیجه برای تعداد زیادی از معادلات به شکل y " = f x y یا y " = f y x معتبر خواهد بود. اگر گزینه انتخاب شده برای حل چنین معادلاتی کار فشرده است، می توانید به جای جایگزینی z = x y، متغیر z = y x را معرفی کنید. این به هیچ وجه بر نتیجه تأثیر نمی گذارد.

معادلات دیفرانسیل کاهشی به معادلات با متغیرهای قابل تفکیک y " = f a 1 x + b 1 y + c 1 a 2 x + b 2 y + c 2, a 1, b 1, c 1, a 2, b 2, c 2 ∈ آر

معادلات دیفرانسیل y " = f a 1 x + b 1 y + c 1 a 2 x + b 2 y + c 2 را می توان به معادلات y " = f x y یا y " = f y x تقلیل داد، بنابراین، به معادلاتی با متغیرهای قابل تفکیک. برای انجام این کار، (x 0 , y 0) - حل یک سیستم از دو معادله همگن خطی a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 a 2 x + b 2 y + c 2 = 0 را پیدا کنید و متغیرهای جدید عبارتند از معرفی شد u = x - x 0 v = y - y 0. پس از این جایگزینی، معادله به شکل d v d u = a 1 u + b 1 v a 2 u + b 2 v خواهد بود.

مثال 6

جواب کلی معادله دیفرانسیل y " = x + 2 y - 3 x - 1 را بیابید.

راه حل

ما یک سیستم معادلات خطی را می سازیم و حل می کنیم:

x + 2 y - 3 = 0 x - 1 = 0 ⇔ x = 1 y = 1

بیایید متغیرها را تغییر دهیم:

u = x - 1 v = y - 1 ⇔ x = u + 1 y = v + 1 ⇒ d x = d u d y = d v

پس از جایگزینی در معادله اصلی، d y d x = x + 2 y - 3 x - 1 ⇔ d v d u = u + 2 v u را به دست می آوریم. پس از تقسیم بر توصورت و مخرج سمت راست d v d u = 1 + 2 v u .

یک متغیر جدید z = v u ⇒ v = z · y ⇒ d v d u = d z d u · u + z معرفی می کنیم، سپس

d v d u = 1 + 2 v u ⇔ d z d u · u + z = 1 + 2 z ⇔ d z 1 + z = d u u ⇒ ∫ d z 1 + z = ∫ d u u ⇔ ln 1 + z + C 1 = ln ⇒ C + z = ln u + ln C , ln C = C 2 - C 1 ln 1 + z = ln C u 1 + z = C u ⇔ z = C u - 1 ⇔ v u = C u - 1 ⇔ v = u ( C u - 1)

ما به متغیرهای اصلی برمی گردیم و جایگزینی معکوس را u = x - 1 v = y - 1 می کنیم:
v = u (C u - 1) ⇔ y - 1 = (x - 1) (C (x - 1) - 1) ⇔ y = C x 2 - (2 C + 1) x + C + 2

این راه حل کلی برای معادله دیفرانسیل است.

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

معادلات دیفرانسیل

مفاهیم اساسی در مورد معادلات دیفرانسیل معمولی

تعریف 1.معادله دیفرانسیل معمولی n- ترتیب برای تابع y استدلال x رابطه شکل نامیده می شود

کجا اف - یک تابع معین از آرگومان های آن. در نام این دسته از معادلات ریاضی، اصطلاح "دیفرانسیل" تاکید می کند که آنها مشتقات را شامل می شوند. (عملکردهایی که در نتیجه تمایز ایجاد می شوند)؛ عبارت "معمولی" نشان می دهد که تابع مورد نظر تنها به یک آرگومان واقعی بستگی دارد.

یک معادله دیفرانسیل معمولی ممکن است حاوی استدلال صریح نباشد x، تابع مورد نظر و هر یک از مشتقات آن، اما بالاترین مشتق باید در معادله گنجانده شود n-مرتبه به عنوان مثال

الف) – معادله مرتبه اول؛

ب) - معادله مرتبه سوم

هنگام نوشتن معادلات دیفرانسیل معمولی، معمولاً از نماد مشتقات بر حسب دیفرانسیل استفاده می شود:

V) - معادله مرتبه دوم؛

د) - معادله مرتبه اول،

ژنراتور پس از تقسیم بر dxشکل معادل تعیین معادله: .

تابعی را جواب یک معادله دیفرانسیل معمولی می نامند که وقتی با آن جایگزین شود، به یک هویت تبدیل شود.

به عنوان مثال، یک معادله مرتبه 3

راه حل دارد .

یافتن تابعی که معادله را با یک روش یا روش دیگر، به عنوان مثال، انتخاب کنید، به معنای حل آن نیست. حل یک معادله دیفرانسیل معمولی به معنای پیدا کردن است همهتوابعی که وقتی در معادله جایگزین می شوند، یک هویت را تشکیل می دهند. برای معادله (1.1)، خانواده ای از این توابع با استفاده از ثابت های دلخواه تشکیل می شود و به آن جواب کلی یک معادله دیفرانسیل معمولی می گویند. nمرتبه -ام، و تعداد ثابت ها با ترتیب معادله منطبق است: راه حل کلی ممکن است باشد، اما به صراحت در رابطه با y(x): در این حالت معمولاً جواب را انتگرال عمومی معادله (1.1) می نامند.

به عنوان مثال، راه‌حل کلی معادله دیفرانسیل عبارت زیر است: و جمله دوم را می‌توان به صورت نوشت، زیرا یک ثابت دلخواه تقسیم بر 2 را می‌توان با یک ثابت دلخواه جدید جایگزین کرد.

با اختصاص مقادیر قابل قبول به همه ثابت های دلخواه در جواب کلی یا در انتگرال کلی، تابع خاصی را به دست می آوریم که دیگر دارای ثابت دلخواه نیست. این تابع را حل جزئی یا انتگرال جزئی معادله (1.1) می نامند. برای یافتن مقادیر ثابت های دلخواه و در نتیجه یک راه حل خاص، از شرایط اضافی مختلف به معادله (1.1) استفاده می شود. به عنوان مثال، به اصطلاح شرایط اولیه را می توان در (1.2) مشخص کرد.

در سمت راست شرایط اولیه (1.2) مقادیر عددی تابع و مشتقات مشخص شده است و تعداد کل شرایط اولیه برابر با تعداد ثابت های دلخواه تعریف شده است.

مسئله یافتن جوابی خاص برای معادله (1.1) بر اساس شرایط اولیه، مسئله کوشی نامیده می شود.

§ 2. معادلات دیفرانسیل معمولی مرتبه 1 - مفاهیم اساسی.

معادله دیفرانسیل معمولی مرتبه 1 ( n=1) شکل دارد: یا اگر بتوان آن را با توجه به مشتق حل کرد: . راه حل کلی y=y(x,С) یا انتگرال کلی معادلات مرتبه 1 شامل یک ثابت دلخواه است. تنها شرط اولیه برای یک معادله مرتبه 1 به شما امکان می دهد مقدار ثابت را از یک راه حل کلی یا از یک انتگرال کلی تعیین کنید. بنابراین راه حل خاصی پیدا می شود و یا مشکل کوشی حل می شود. مسئله وجود و منحصر به فرد بودن یک راه حل برای مسئله کوشی یکی از موضوعات محوری در نظریه کلی معادلات دیفرانسیل معمولی است. به ویژه برای یک معادله مرتبه اول، قضیه معتبر است که در اینجا بدون اثبات پذیرفته می شود.

قضیه 2.1.اگر در معادله تابع و مشتق جزئی آن در منطقه ای پیوسته باشند D هواپیما XOY ، و یک نقطه در این ناحیه داده می شود، سپس یک راه حل منحصر به فرد وجود دارد که هم معادله و هم شرط اولیه را برآورده می کند.

از نظر هندسی، جواب کلی یک معادله مرتبه 1، خانواده ای از منحنی ها در صفحه است XOY، هیچ نقطه مشترکی ندارند و در یک پارامتر با یکدیگر متفاوت هستند - مقدار ثابت سی. این منحنی ها را منحنی های انتگرال برای یک معادله معین می نامند. منحنی های معادله انتگرال دارای خاصیت هندسی آشکاری هستند: در هر نقطه مماس مماس بر منحنی برابر با مقدار سمت راست معادله در این نقطه است: . به عبارت دیگر، معادله در صفحه داده شده است XOYمیدان جهات مماس بر منحنی های انتگرال. نظر:لازم به ذکر است که به معادله معادله و به اصطلاح معادله به صورت متقارن آورده شده است .

معادلات دیفرانسیل درجه یک با متغیرهای قابل تفکیک.

تعریف.معادله دیفرانسیل با متغیرهای قابل تفکیک، معادله ای از فرم است (3.1)

یا معادله ای از شکل (3.2)

به منظور تفکیک متغیرهای معادله (3.1)، یعنی. این معادله را به معادله متغیر جدا شده کاهش دهید، اقدامات زیر را انجام دهید:

;

حالا باید معادله را حل کنیم g(y)= 0. اگر راه حل واقعی داشته باشد y=a، که y=aحل معادله (3.1) نیز خواهد بود.

معادله (3.2) با تقسیم بر حاصل ضرب به یک معادله جدا می شود:

، که به ما امکان می دهد انتگرال کلی معادله (3.2) را بدست آوریم: . (3.3)

منحنی های انتگرال (3.3) در صورت وجود چنین راه حل هایی با راه حل ها تکمیل خواهند شد.

معادله را حل کنید: .

متغیرها را از هم جدا می کنیم:

.

ادغام، دریافت می کنیم

معادله دیفرانسیل با متغیرهای جدا شده به صورت زیر نوشته می شود: (1). در این معادله یک جمله فقط به x و دیگری فقط به y بستگی دارد.
با ادغام این معادله ترم به ترم، دریافت می کنیم:

انتگرال کلی آن است.: انتگرال کلی معادله را بیابید:
.

راه حل: این معادله یک معادله دیفرانسیل جدا شده است. به همین دلیل است
یا
بیایید نشان دهیم
. سپس
- انتگرال کلی یک معادله دیفرانسیل.

معادله با متغیرهای قابل تفکیک شکل دارد (2). معادله (2) را می توان به راحتی با تقسیم آن به عدد به معادله (1) تقلیل داد
. دریافت می کنیم:

- انتگرال کلی

مثال:معادله را حل کنید .

راه حل: سمت چپ معادله را تبدیل کنید: . دو طرف معادله را تقسیم بر


راه حل این عبارت است:
آن ها

معادلات دیفرانسیل همگن معادلات برنولی معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه اول.

معادله ای از فرم نامیده می شود همگن، اگر
و
- توابع همگن از همان مرتبه (ابعاد). تابع
تابع همگن مرتبه اول (اندازه گیری) نامیده می شود اگر هر یک از آرگومان های آن در یک عامل دلخواه ضرب شود. کل تابع در ضرب می شود ، یعنی
=
.

معادله همگن را می توان به شکل کاهش داد
. استفاده از جایگزینی
(
) معادله همگن با توجه به تابع جدید به معادله ای با متغیرهای قابل تفکیک کاهش می یابد. .

معادله دیفرانسیل مرتبه اول نامیده می شود خطی، اگر بتوان آن را در قالب نوشت
.

روش برنولی

حل معادله
به عنوان محصول دو تابع دیگر جستجو می شود، یعنی. با استفاده از جایگزینی
(
).

مثال:معادله را ادغام کنید
.

ما معتقدیم
. سپس، یعنی . ابتدا معادله را حل می کنیم
=0:


.

حالا معادله را حل می کنیم
آن ها


. بنابراین، راه حل کلی این معادله است
آن ها

معادله جی برنولی

معادله ای از شکل، جایی که
تماس گرفت معادله برنولی. این معادله با استفاده از روش برنولی حل شده است.

معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم همگن با ضرایب ثابت

معادله دیفرانسیل خطی همگن مرتبه دوم معادله ای از فرم است (1) ، کجا و دائمی

ما به دنبال جواب های جزئی معادله (1) در فرم خواهیم بود
، کجا به- یک عدد مشخص دوبار متمایز کردن این تابع و جایگزینی عبارات برای
در معادله (1)، به دست می آوریم که یا
(2) (
).

معادله 2 معادله مشخصه معادله دیفرانسیل نامیده می شود.

هنگام حل معادله مشخصه (2)، سه حالت ممکن است.

مورد 1.ریشه ها و معادلات (2) واقعی و متفاوت هستند:

و

.

مورد 2.ریشه ها و معادلات (2) واقعی و مساوی هستند:
. در این حالت جواب های جزئی معادله (1) توابع هستند
و
. بنابراین جواب کلی معادله (1) دارای شکل است
.

مورد 3.ریشه ها و معادلات (2) پیچیده هستند:
,
. در این حالت جواب های جزئی معادله (1) توابع هستند
و
. بنابراین جواب کلی معادله (1) دارای شکل است

مثال.معادله را حل کنید
.

راه حل:بیایید یک معادله مشخصه ایجاد کنیم:
. سپس
. حل کلی این معادله
.

حداکثر یک تابع از چندین متغیر. افراطی مشروط

حداکثر یک تابع از چندین متغیر

تعریف.نقطه M (x O ، y O ) نامیده می شودحداکثر (حداقل) امتیاز توابعz= f(x، y)، اگر همسایگی نقطه M وجود داشته باشد به طوری که برای همه نقاط (x, y) از این همسایگی نابرابری
(
)

در شکل 1 امتیاز الف
- یک نقطه حداقل و یک نقطه وجود دارد در
- حداکثر امتیاز

ضروری استشرط افراطی یک آنالوگ چند بعدی از قضیه فرما است.

قضیه.بگذارید نکته
– نقطه منتهی تابع قابل تمایز استz= f(x، y). سپس مشتقات جزئی
و
Vدر این نقطه برابر با صفر هستند.

نقاطی که در آن شرایط لازم برای حداکثر تابع برآورده می شود z= f(x، y)آن ها مشتقات جزئی z" x و z" y برابر با صفر نامیده می شوند انتقادییا ثابت

برابری مشتقات جزئی به صفر فقط یک شرط لازم را بیان می کند، اما کافی نیست برای حداکثر یک تابع از چندین متغیر.

در شکل به اصطلاح نقطه زین M (x O ، y O ). مشتقات جزئی
و
برابر با صفر هستند، اما بدیهی است که هیچ اکستریمی در نقطه وجود ندارد M(x O ، y O ) خیر

چنین نقاط زینی آنالوگ های دو بعدی نقاط عطف توابع یک متغیر هستند. چالش این است که آنها را از نقاط افراطی جدا کنید. به عبارت دیگر، شما باید بدانید کافیوضعیت افراطی

قضیه (شرط کافی برای حداکثر یک تابع از دو متغیر).اجازه دهید تابعz= f(x، y):الف) تعریف شده در برخی از همسایگی های نقطه بحرانی (x O ، y O ) که در آن
=0 و
=0 ;

ب) در این نقطه مشتقات جزئی پیوسته مرتبه دوم دارد
;

;
سپس، اگر ∆=AC-B 2 >0, سپس در نقطه (x O ، y O ) عملکردz= f(x، y) دارای یک افراطی است و اگرالف<0 - حداکثر اگر A>0 - حداقل در حالت ∆=AC-B 2 <0, функция z= f(x، y) اکستریم ندارد. اگر ∆=AC-B 2 = 0، سپس سؤال وجود یک اکستروم باز می ماند.

مطالعه تابعی از دو متغیر در یک انتهاتوصیه می شود موارد زیر را انجام دهید نمودار:

مشتقات جزئی یک تابع را پیدا کنید z" x و z" y .

حل سیستم معادلات z" x =0, z" y =0 و نقاط بحرانی تابع را پیدا کنید.

مشتقات جزئی مرتبه دوم را بیابید، مقادیر آنها را در هر نقطه بحرانی محاسبه کنید و با استفاده از یک شرط کافی، در مورد وجود اکسترم نتیجه بگیرید.

حداکثر (مقادیر فوق العاده) تابع را پیدا کنید.

مثال.منتهی الیه تابع را پیدا کنید

راه حل. 1. یافتن مشتقات جزئی

2. نقاط بحرانی تابع را از سیستم معادلات می یابیم:

دارای چهار راه حل (1؛ 1)، (1؛ -1)، (-1؛ 1) و (-1؛ -1).

3. مشتقات جزئی مرتبه دوم را بیابید:

;
;
، مقادیر آنها را در هر نقطه بحرانی محاسبه می کنیم و تحقق یک شرط اکستریم کافی را در آن بررسی می کنیم.

به عنوان مثال، در نقطه (1; 1) الف= z"(1; 1)= -1; B=0; C= -1. چون ∆ =AC-B 2 = (-1) 2 -0=1 >0 و A=-1<0, سپس نقطه (1؛ 1) حداکثر امتیاز است.

به طور مشابه، تعیین می کنیم که (-1; -1) حداقل نقطه است و در نقاط (1; -1) و (-1; 1) که در آن ∆ =AC-B 2 <0, - экстремума нет. Эти точки являются седловыми.

4. انتهای تابع z max = z(l; 1) = 2، z min = z(-l; -1) = -2 را بیابید.

افراطی مشروط روش ضریب لاگرانژ.

اجازه دهید یک مشکل خاص برای توابع چندین متغیر را در نظر بگیریم، زمانی که حداکثر آن را نه در کل دامنه تعریف، بلکه در مجموعه ای جستجو کنیم که شرایط خاصی را برآورده می کند.

اجازه دهید تابع z = را در نظر بگیریم f(x, y), استدلال ها Xو درکه شرایط را برآورده می کند g(x,y)= با،تماس گرفت معادله اتصال

تعریف.نقطه
یک نقطه نامیده می شودحداکثر مشروط (حداقل)، اگر همسایگی این نقطه وجود داشته باشد به طوری که برای تمام نقاط (x,y) از این همسایگی شرایط را برآورده کند.g (x, y) = C، نابرابری برقرار است

(
).

در شکل حداکثر نقطه مشروط نشان داده شده است
. بدیهی است که نقطه منتهی الیه تابع z = نیست f(x, y) (در شکل این یک نکته است
).

ساده ترین راه برای یافتن حد فاصل یک تابع از دو متغیر این است که مسئله را به یافتن حد فاصل یک تابع از یک متغیر کاهش دهیم. اجازه دهید معادله اتصال را فرض کنیم g (x, y) = باموفق به حل با توجه به یکی از متغیرها، به عنوان مثال، به بیان دراز طریق X:
. با جایگزین کردن عبارت به دست آمده با تابعی از دو متغیر، z = را به دست می آوریم f(x, y) =
, آن ها تابع یک متغیر حداكثر آن، حداكثر مشروط تابع خواهد بود z = f(x, y).

مثال. X 2 + y 2 با توجه به اینکه 3x +2y = 11.

راه حل. از معادله 3x + 2y = 11، متغیر y را از طریق متغیر x بیان می کنیم و به دست آمده را جایگزین می کنیم.
به تابع z. z= x 2 +2
یا z =
. می گیریم = این تابع دارای حداقل منحصر به فرد در است
3. مقدار تابع مربوطه

بنابراین، (3؛ 1) یک نقطه افراطی مشروط (حداقل) است. g(xدر مثال در نظر گرفته شده، معادله جفت، y) = C

خطی بود، بنابراین با توجه به یکی از متغیرها به راحتی حل شد. با این حال، در موارد پیچیده تر نمی توان این کار را انجام داد. برای یافتن یک اکسترم مشروط در حالت کلی، استفاده می کنیم

روش ضریب لاگرانژ.

تابعی از سه متغیر را در نظر بگیرید این تابع نامیده می شودتابع لاگرانژ، الف- ضریب لاگرانژ.

قضیه.قضیه زیر درست است.
اگر نکتهz = f(x, yنقطه منتهی شرطی تابع استg (x, y) با توجه به اینکه ) = C، سپس یک مقدار وجود دارد
چنین نقطه اینقطه منتهی تابع است{ x, y, ).

L z = fبنابراین، برای یافتن حد اخر شرطی تابع(x,y) g(x, yبا توجه به اینکه) = سی

باید راه حلی برای سیستم پیدا کرد g(x,y)در شکل معنای هندسی شرایط لاگرانژ نشان داده شده است. خط g(x, y) = = C نقطه چین، خط تراز س f(x, y) توابع z =

جامد از شکل به دنبال آن استدر نقطه انتهایی شرطی خط سطح تابع f(x, yz =g(x, y) خط را لمس می کند

مثال.حداکثر و حداقل نقاط تابع z = را پیدا کنید X 2 + y 2 با توجه به اینکه 3x +2y = 11 با استفاده از روش ضرب لاگرانژ.

راه حل. کامپایل تابع لاگرانژ نقطه منتهی تابع است= x 2 + 2у 2 +

با برابر کردن مشتقات جزئی آن با صفر، سیستمی از معادلات را به دست می آوریم

تنها راه حل آن (x=3، y=1، =-2). بنابراین، نقطه افراطی مشروط فقط می تواند نقطه (3;1) باشد. بررسی اینکه در این مرحله تابع آسان است z= f(x, y) حداقل مشروط دارد.

معادلات دیفرانسیل مرتبه اول نمونه هایی از راه حل ها
معادلات دیفرانسیل با متغیرهای قابل تفکیک

معادلات دیفرانسیل (DE). این دو کلمه معمولاً افراد عادی را به وحشت می اندازد. به نظر می رسد معادلات دیفرانسیل برای بسیاری از دانش آموزان امری بازدارنده و دشوار است. اووووو... معادلات دیفرانسیل، چطور میتونم از این همه جان سالم به در ببرم؟!

این نظر و این نگرش اساساً اشتباه است، زیرا در واقع معادلات دیفرانسیل - ساده و حتی سرگرم کننده است. برای یادگیری نحوه حل معادلات دیفرانسیل چه چیزهایی باید بدانید و بتوانید انجام دهید؟ برای مطالعه موفقیت آمیز دیفیوزها، باید در ادغام و تمایز خوب باشید. هر چه موضوعات بهتر مطالعه شوند مشتق تابع یک متغیرو انتگرال نامعین، درک معادلات دیفرانسیل آسان تر خواهد بود. من بیشتر می گویم، اگر مهارت های یکپارچه سازی کم و بیش مناسبی دارید، پس موضوع تقریباً مسلط شده است! هرچه انتگرال های بیشتری از انواع مختلف را بتوانید حل کنید، بهتر است. چرا؟ شما باید خیلی ادغام کنید. و متمایز کردن. همچنین به شدت توصیه می شودپیدا کردن را یاد بگیر

در 95٪ موارد، مقالات آزمون شامل 3 نوع معادلات دیفرانسیل درجه اول هستند: معادلات قابل تفکیککه در این درس به آن خواهیم پرداخت؛ معادلات همگنو معادلات ناهمگن خطی. برای کسانی که شروع به مطالعه دیفیوزرها می کنند، به شما توصیه می کنم که درس ها را دقیقاً به این ترتیب بخوانید و پس از مطالعه دو مقاله اول، تثبیت مهارت های خود در یک کارگاه اضافی ضرری ندارد - معادلات کاهش به همگن.

حتی انواع نادری از معادلات دیفرانسیل وجود دارد: معادلات دیفرانسیل کل، معادلات برنولی و برخی دیگر. مهمترین دو نوع آخر معادلات در مجموع دیفرانسیل هستند، زیرا علاوه بر این معادله دیفرانسیل، مواد جدیدی را نیز در نظر دارم - ادغام جزئی.

اگر فقط یک یا دو روز فرصت دارید، آن برای آماده سازی فوق العاده سریعوجود دارد دوره رعد اسادر قالب pdf

بنابراین، نشانه ها تنظیم شده اند - بیایید برویم:

ابتدا معادلات جبری معمول را به خاطر می آوریم. آنها حاوی متغیرها و اعداد هستند. ساده ترین مثال: . حل یک معادله معمولی به چه معناست؟ این یعنی پیدا کردن مجموعه اعداد، که این معادله را برآورده می کند. به راحتی می توان متوجه شد که معادله کودکان یک ریشه دارد: . فقط برای سرگرمی، بیایید ریشه پیدا شده را بررسی کرده و در معادله خود جایگزین کنیم:

- برابری صحیح به دست می آید، به این معنی که راه حل به درستی پیدا شده است.

دیفیوزرها تقریباً به همین شکل طراحی شده اند!

معادله دیفرانسیل سفارش اولدر حالت کلی شامل:
1) متغیر مستقل؛
2) متغیر وابسته (تابع)؛
3) اولین مشتق تابع: .

در برخی معادلات مرتبه اول ممکن است "x" و/یا "y" وجود نداشته باشد، اما این مهم نیست - مهم استبرای رفتن به اتاق کنترل بودمشتق اول، و وجود نداشتمشتقات مرتبه بالاتر – و غیره

به چه معناست؟حل معادله دیفرانسیل یعنی پیدا کردن مجموعه ای از تمام توابع، که این معادله را برآورده می کند. چنین مجموعه ای از توابع اغلب دارای شکل (- یک ثابت دلخواه) است که نامیده می شود حل کلی معادله دیفرانسیل.

مثال 1

حل معادله دیفرانسیل

مهمات کامل از کجا شروع کنیم راه حل?

اول از همه، شما باید مشتق را به شکل کمی متفاوت بازنویسی کنید. ما نام دست و پا گیر را به یاد می آوریم، که احتمالاً بسیاری از شما مضحک و غیر ضروری به نظر می رسید. این چیزی است که در دیفیوزرها حاکم است!

در مرحله دوم، ببینیم آیا امکان پذیر است یا خیر متغیرهای جداگانه؟تفکیک متغیرها به چه معناست؟ به طور کلی، در سمت چپما باید ترک کنیم فقط "یونانی ها"، A در سمت راستسازماندهی فقط "X". تقسیم متغیرها با استفاده از دستکاری های "مدرسه ای" انجام می شود: قرار دادن آنها خارج از پرانتز، انتقال اصطلاحات از قسمتی به قسمت با تغییر علامت، انتقال عوامل از بخشی به قسمت بر اساس قاعده تناسب و غیره.

دیفرانسیل و ضریب کامل و شرکت کننده فعال در خصومت ها هستند. در مثال مورد بررسی، متغیرها به راحتی با کنار زدن عوامل بر اساس قاعده تناسب از هم جدا می شوند:

متغیرها از هم جدا می شوند. در سمت چپ فقط "Y" وجود دارد، در سمت راست - فقط "X".

مرحله بعدی است ادغام معادله دیفرانسیل. ساده است، ما انتگرال ها را در هر دو طرف قرار می دهیم:

البته باید انتگرال بگیریم. در این مورد آنها به صورت جدولی هستند:

همانطور که به یاد داریم، یک ثابت به هر پاد مشتق اختصاص داده می شود. در اینجا دو انتگرال وجود دارد، اما کافی است ثابت را یک بار بنویسیم (از آنجایی که ثابت + ثابت همچنان با یک ثابت دیگر برابر است). در بیشتر موارد در سمت راست قرار می گیرد.

به بیان دقیق، پس از گرفتن انتگرال ها، معادله دیفرانسیل حل شده در نظر گرفته می شود. تنها چیزی که وجود دارد این است که "y" ما از طریق "x" بیان نمی شود، یعنی راه حل ارائه می شود به صورت ضمنیفرم. حل معادله دیفرانسیل به صورت ضمنی نامیده می شود انتگرال کلی معادله دیفرانسیل. یعنی این یک انتگرال کلی است.

پاسخ در این فرم کاملا قابل قبول است، اما آیا گزینه بهتری وجود دارد؟ بیایید برای بدست آوردن تلاش کنیم راه حل کلی.

لطفا، تکنیک اول را به خاطر بسپار، بسیار رایج است و اغلب در کارهای عملی استفاده می شود: اگر لگاریتمی پس از ادغام در سمت راست ظاهر شود، در بسیاری از موارد (اما نه همیشه!) توصیه می شود که ثابت را نیز زیر لگاریتم بنویسید. و اگر نتیجه فقط لگاریتمی باشد، مطمئناً یادداشت کنید (مانند مثال مورد بررسی).

یعنی به جایمدخل ها معمولا نوشته می شوند .

چرا این لازم است؟ و به منظور سهولت در بیان "بازی". استفاده از خاصیت لگاریتم . در این مورد:

اکنون لگاریتم ها و ماژول ها را می توان حذف کرد:

تابع به صراحت ارائه شده است. این راه حل کلی است.

پاسخ دهید: راه حل کلی: .

بررسی پاسخ به بسیاری از معادلات دیفرانسیل نسبتاً آسان است. در مورد ما، این به سادگی انجام می شود، ما راه حل پیدا شده را می گیریم و آن را متمایز می کنیم:

سپس مشتق را به معادله اصلی جایگزین می کنیم:

- برابری صحیح به دست می آید، به این معنی که راه حل کلی معادله را برآورده می کند، این همان چیزی است که باید بررسی شود.

با دادن مقادیر مختلف ثابت، می توانید تعداد نامتناهی بدست آورید راه حل های خصوصیمعادله دیفرانسیل واضح است که هر یک از توابع، و غیره. معادله دیفرانسیل را برآورده می کند.

گاهی اوقات راه حل کلی نامیده می شود خانواده توابع. در این مثال، راه حل کلی خانواده ای از توابع خطی یا به طور دقیق تر، خانواده ای از تناسب مستقیم است.

پس از بررسی کامل مثال اول، مناسب است به چندین سوال ساده در مورد معادلات دیفرانسیل پاسخ دهیم:

1)در این مثال توانستیم متغیرها را از هم جدا کنیم. آیا می توان این کار را همیشه انجام داد؟نه همیشه نه و حتی بیشتر اوقات، متغیرها قابل تفکیک نیستند. به عنوان مثال، در معادلات مرتبه اول همگن، ابتدا باید آن را تعویض کنید. در انواع دیگر معادلات، برای مثال، در یک معادله ناهمگن خطی مرتبه اول، باید از تکنیک ها و روش های مختلفی برای یافتن یک راه حل کلی استفاده کنید. معادلات با متغیرهای قابل تفکیک که در درس اول بررسی می کنیم، ساده ترین نوع معادلات دیفرانسیل هستند.

2) آیا همیشه امکان ادغام یک معادله دیفرانسیل وجود دارد؟نه همیشه نه بدست آوردن یک معادله "فانتزی" که قابل ادغام نیست، بسیار آسان است. اما چنین DE ها را می توان تقریباً با استفاده از روش های خاص حل کرد. دالامبر و کوشی ضمانت می کنند... ...اوه، لورکمور. برای اینکه الان زیاد بخوانم، تقریباً «از دنیای دیگر» را اضافه کردم.

3) در این مثال راه حلی به شکل یک انتگرال کلی به دست آوردیم . آیا همیشه می توان از یک انتگرال کلی یک راه حل کلی پیدا کرد، یعنی «y» را به صراحت بیان کرد؟نه همیشه نه به عنوان مثال: . خوب، چگونه می توان "یونانی" را در اینجا بیان کرد؟! در این گونه موارد، پاسخ باید به صورت یک انتگرال کلی نوشته شود. علاوه بر این، گاهی اوقات می توان یک راه حل کلی پیدا کرد، اما آنقدر دست و پا گیر و ناشیانه نوشته شده است که بهتر است پاسخ را به صورت یک انتگرال کلی بگذاریم.

4) ... شاید فعلا همین کافی باشد. در اولین مثالی که با آن مواجه شدیم نکته مهم دیگر، اما برای اینکه "دومیک ها" را با بهمنی از اطلاعات جدید پوشش ندهم، آن را تا درس بعدی می گذارم.

ما عجله نخواهیم کرد یک کنترل از راه دور ساده دیگر و یک راه حل معمولی دیگر:

مثال 2

یک راه حل خاص برای معادله دیفرانسیل پیدا کنید که شرایط اولیه را برآورده کند

راه حل: با توجه به شرایط، باید پیدا کنید راه حل خصوصی DE که یک شرط اولیه معین را برآورده می کند. به این صورت بندی سوال نیز گفته می شود مشکل کوشی.

ابتدا یک راه حل کلی پیدا می کنیم. هیچ متغیر "x" در معادله وجود ندارد، اما این نباید گیج شود، نکته اصلی این است که مشتق اول را دارد.

مشتق را به شکل مورد نیاز بازنویسی می کنیم:

بدیهی است که متغیرها را می توان از هم جدا کرد، پسران به چپ، دختران به راست:

بیایید معادله را ادغام کنیم:

انتگرال کلی به دست می آید. در اینجا یک ثابت را با یک ستاره رسم کردم، واقعیت این است که خیلی زود به یک ثابت دیگر تبدیل می شود.

اکنون سعی می کنیم انتگرال کلی را به یک راه حل کلی تبدیل کنیم (y را به صراحت بیان کنید). بیایید چیزهای خوب قدیمی مدرسه را به یاد بیاوریم: . در این مورد:

ثابت در اندیکاتور تا حدی نامطلوب به نظر می رسد، بنابراین معمولاً به زمین منتقل می شود. در جزئیات، به این صورت است که اتفاق می افتد. با استفاده از ویژگی درجه، تابع را به صورت زیر بازنویسی می کنیم:

اگر یک ثابت است، پس مقداری هم ثابت است، بیایید آن را با حرف دوباره طراحی کنیم:
- در این مورد ماژول را حذف می کنیم، پس از آن ثابت "ce" می تواند مقادیر مثبت و منفی را بگیرد

به یاد داشته باشید "تخریب" یک ثابت است تکنیک دومکه اغلب در حل معادلات دیفرانسیل استفاده می شود. در نسخه تمیز می توانید بلافاصله از آن بروید به، اما همیشه برای توضیح این انتقال آماده باشید.

بنابراین، راه حل کلی این است: . این یک خانواده خوب از توابع نمایی است.

در مرحله نهایی، باید راه حل خاصی پیدا کنید که شرایط اولیه داده شده را برآورده کند. این هم ساده است.

تکلیف چیست؟ نیاز به برداشتن چنینمقدار ثابت به طوری که شرط برآورده شود.

می توان آن را به روش های مختلف قالب بندی کرد، اما این احتمالا واضح ترین راه خواهد بود. در جواب کلی، به جای «X» یک صفر و به جای «Y» دو را جایگزین می کنیم:



یعنی

نسخه طراحی استاندارد:

اکنون مقدار یافت شده ثابت را با جواب کلی جایگزین می کنیم:
- این راه حل خاصی است که ما نیاز داریم.

پاسخ دهید: راه حل خصوصی:

بیایید بررسی کنیم. بررسی راه حل خصوصی شامل دو مرحله است:

ابتدا باید بررسی کنید که آیا راه حل خاص یافت شده واقعاً شرایط اولیه را برآورده می کند؟ به جای "X" صفر را جایگزین می کنیم و می بینیم که چه اتفاقی می افتد:
- بله، در واقع یک دو دریافت شد، یعنی شرط اولیه برقرار است.

مرحله دوم از قبل آشناست. راه حل خاص حاصل را می گیریم و مشتق را پیدا می کنیم:

معادله اصلی را جایگزین می کنیم:

- برابری صحیح به دست می آید.

نتیجه گیری: راه حل خاص به درستی پیدا شد.

بیایید به سراغ مثال های معنادارتری برویم.

مثال 3

حل معادله دیفرانسیل

راه حل:مشتق را به شکلی که نیاز داریم بازنویسی می کنیم:

ما ارزیابی می کنیم که آیا امکان جداسازی متغیرها وجود دارد؟ می تواند. عبارت دوم را با تغییر علامت به سمت راست منتقل می کنیم:

و ضرایب را طبق قاعده تناسب انتقال می دهیم:

متغیرها از هم جدا هستند، بیایید هر دو بخش را ادغام کنیم:

باید به شما هشدار بدهم، روز قیامت نزدیک است. اگر خوب درس نخوانده اید انتگرال های نامعین، چند نمونه را حل کرده اند، پس جایی برای رفتن وجود ندارد - اکنون باید به آنها مسلط شوید.

انتگرال سمت چپ را به راحتی می توان یافت ادغام توابع مثلثاتیسال گذشته:

در نتیجه ما فقط لگاریتم گرفتیم و طبق اولین توصیه فنی من، ثابت را نیز به عنوان لگاریتم تعریف می کنیم.

اکنون سعی می کنیم انتگرال کلی را ساده کنیم. از آنجایی که ما فقط لگاریتم داریم، خلاص شدن از شر آنها کاملاً ممکن (و ضروری) است. با استفاده از خواص شناخته شدهلگاریتم ها را تا حد امکان "بسته بندی" می کنیم. من آن را با جزئیات کامل می نویسم:

بسته بندی تمام شده است تا به طرز وحشیانه ای پاره شود:
، و بلافاصله ارائه می دهیم انتگرال کلیبه هر حال، تا زمانی که این امکان وجود داشته باشد:

به طور کلی، انجام این کار ضروری نیست، اما خوشحال کردن استاد همیشه مفید است ;-)

در اصل، این شاهکار را می توان به عنوان یک پاسخ نوشت، اما در اینجا همچنان مناسب است که هر دو قسمت را مربع کنیم و ثابت را دوباره طراحی کنیم:

پاسخ:انتگرال عمومی:

! توجه: انتگرال عمومی اغلب می تواند به بیش از یک روش نوشته شود. بنابراین، اگر نتیجه شما با پاسخ شناخته شده قبلی مطابقت نداشته باشد، به این معنی نیست که معادله را اشتباه حل کرده اید.

آیا می توان "بازی" را بیان کرد؟ می تواند. بیایید راه حل کلی را بیان کنیم:

البته، نتیجه به دست آمده برای پاسخ مناسب است، اما توجه داشته باشید که انتگرال کلی فشرده تر به نظر می رسد و راه حل کوتاه تر است.

نکته فنی سوم:اگر برای به دست آوردن یک راه حل کلی نیاز به انجام تعداد قابل توجهی از اقدامات دارید، در بیشتر موارد بهتر است از این اقدامات خودداری کنید و پاسخ را در قالب یک انتگرال کلی بگذارید. همین امر در مورد اقدامات "بد" صدق می کند، زمانی که شما نیاز به بیان تابع معکوس، افزایش تا توان، استخراج ریشه و غیره دارید.واقعیت این است که راه حل کلی پرمدعا و دست و پا گیر به نظر می رسد - با ریشه های بزرگ، علائم و سایر زباله های ریاضی.

چگونه بررسی کنیم؟ چک را می توان به دو صورت انجام داد. روش اول: راه حل کلی را بگیرید ، مشتق را پیدا می کنیم و آنها را در معادله اصلی جایگزین کنید. خودتان آن را امتحان کنید!

راه دوم تمایز انتگرال کلی است. این بسیار آسان است، نکته اصلی این است که بتوانید پیدا کنید مشتق تابعی که به طور ضمنی مشخص شده است:

تقسیم هر عبارت بر:

و در:

معادله دیفرانسیل اصلی دقیقا به دست آمده است، یعنی انتگرال کلی به درستی پیدا شده است.

مثال 4

یک راه حل خاص برای معادله دیفرانسیل پیدا کنید که شرایط اولیه را برآورده کند. بررسی را انجام دهید.

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید.

یادآوری می کنم که الگوریتم شامل دو مرحله است:
1) یافتن راه حل کلی؛
2) یافتن راه حل خاص مورد نیاز.

بررسی نیز در دو مرحله انجام می شود (به مثال در مثال شماره 2 مراجعه کنید)، شما باید:
1) مطمئن شوید که راه حل خاص یافت شده شرایط اولیه را برآورده می کند.
2) بررسی کنید که یک راه حل خاص به طور کلی معادله دیفرانسیل را برآورده می کند.

حل کامل و پاسخ در پایان درس.

مثال 5

یک راه حل خاص برای معادله دیفرانسیل پیدا کنید ، ارضای شرایط اولیه. بررسی را انجام دهید.

راه حل:ابتدا بیایید یک راه حل کلی پیدا کنیم این معادله از قبل شامل دیفرانسیل های آماده است و بنابراین، راه حل ساده شده است. متغیرها را از هم جدا می کنیم:

بیایید معادله را ادغام کنیم:

انتگرال سمت چپ جدولی است، انتگرال سمت راست گرفته شده است روش قرار دادن تابع زیر علامت دیفرانسیل:

انتگرال کلی به دست آمده است، آیا می توان راه حل کلی را با موفقیت بیان کرد؟ می تواند. لگاریتم ها را از دو طرف آویزان می کنیم. از آنجایی که آنها مثبت هستند، علائم مدول غیر ضروری هستند:

(امیدوارم همه این تحول را درک کنند، چنین چیزهایی باید قبلاً شناخته شده باشند)

بنابراین، راه حل کلی این است:

بیایید یک راه حل خاص مطابق با شرایط اولیه داده شده پیدا کنیم.
در جواب کلی به جای «X» صفر و به جای «Y» لگاریتم دو را جایگزین می کنیم:

طراحی آشناتر:

مقدار یافت شده ثابت را با جواب کلی جایگزین می کنیم.

پاسخ:راه حل خصوصی:

بررسی: ابتدا، بیایید بررسی کنیم که آیا شرط اولیه برآورده شده است:
- همه چیز وزوز است.

حالا بیایید بررسی کنیم که آیا راه حل خاص یافت شده اصلا معادله دیفرانسیل را برآورده می کند یا خیر. یافتن مشتق:

بیایید به معادله اصلی نگاه کنیم: - به صورت دیفرانسیل ارائه می شود. دو راه برای بررسی وجود دارد. می توان دیفرانسیل را از مشتق یافت شده بیان کرد:

اجازه دهید راه حل خاص یافت شده و دیفرانسیل حاصل را در معادله اصلی جایگزین کنیم :

ما از هویت لگاریتمی پایه استفاده می کنیم:

برابری صحیح به دست می آید، به این معنی که راه حل خاص به درستی پیدا شده است.

روش دوم بررسی آینه ای و آشناتر است: از معادله بیایید مشتق را بیان کنیم، برای انجام این کار، تمام قطعات را بر اساس تقسیم می کنیم:

و به DE تبدیل شده، راه حل جزئی به دست آمده و مشتق یافت شده را جایگزین می کنیم. در نتیجه ساده سازی ها باید برابری صحیح نیز به دست آید.

مثال 6

انتگرال کلی معادله را بیابید، پاسخ را در فرم ارائه دهید.

این مثالی است برای حل خودتان، راه حل کامل و در پایان درس پاسخ دهید.

هنگام حل معادلات دیفرانسیل با متغیرهای قابل تفکیک چه مشکلاتی در کمین است؟

1) همیشه واضح نیست (مخصوصاً برای "قوری") که می توان متغیرها را از هم جدا کرد. بیایید یک مثال شرطی را در نظر بگیریم: . در اینجا باید فاکتورها را از پرانتز خارج کنید و ریشه ها را جدا کنید: . مشخص است که در مرحله بعد چه باید کرد.

2) مشکلات با خود ادغام. انتگرال ها اغلب ساده ترین نیستند و در صورت وجود نقص در مهارت های یافتن انتگرال نامعین، سپس با بسیاری از دیفیوزرها دشوار خواهد بود. علاوه بر این، منطق "از آنجایی که معادله دیفرانسیل ساده است، پس حداقل بگذارید انتگرال ها پیچیده تر شوند" در بین کامپایلرهای مجموعه ها و کتابچه های آموزشی رایج است.

3) تبدیل با یک ثابت. همانطور که همه متوجه شده اند، ثابت در معادلات دیفرانسیل را می توان کاملا آزادانه مدیریت کرد، و برخی از تبدیل ها همیشه برای یک مبتدی واضح نیست. بیایید به مثال شرطی دیگری نگاه کنیم: . توصیه می شود همه عبارت ها را در 2 ضرب کنید: . ثابت حاصل نیز نوعی ثابت است که می توان آن را با: . بله، و از آنجایی که ما فقط لگاریم داریم، توصیه می شود ثابت را به شکل ثابت دیگری بازنویسی کنیم: .

مشکل این است که آنها اغلب با ایندکس ها زحمت نمی کشند و از همان حرف استفاده می کنند. در نتیجه، رکورد تصمیم به شکل زیر است:

قضیه چیه؟! اشتباهاتی در آنجا وجود دارد! به طور دقیق، بله. اما از نظر ماهوی هیچ خطایی وجود ندارد، زیرا در نتیجه تبدیل یک ثابت متغیر، یک ثابت متغیر معادل به دست می آید.

یا مثال دیگر، فرض کنید در جریان حل معادله یک انتگرال کلی به دست می آید. این پاسخ زشت به نظر می رسد، بنابراین توصیه می شود علامت هر عبارت را تغییر دهید: . به طور رسمی، اشتباه دیگری در اینجا وجود دارد - باید در سمت راست نوشته شود. اما به طور غیررسمی فهمیده می شود که "منهای ce" هنوز یک ثابت است، که به همان خوبی مجموعه ای از مقادیر را به خود می گیرد، و بنابراین گذاشتن "منهای" معنی ندارد.

من سعی خواهم کرد از یک رویکرد بی دقت اجتناب کنم، و همچنان هنگام تبدیل آنها، شاخص های مختلفی را به ثابت ها اختصاص می دهم. کاری که من به شما توصیه می کنم انجام دهید.

مثال 7

حل معادله دیفرانسیل بررسی را انجام دهید.

راه حل:این معادله امکان جداسازی متغیرها را فراهم می کند. متغیرها را از هم جدا می کنیم:

بیایید ادغام کنیم:

لازم نیست ثابت را در اینجا به عنوان لگاریتم تعریف کنیم، زیرا هیچ چیز مفیدی از این کار حاصل نخواهد شد.

پاسخ:انتگرال عمومی:

و البته، در اینجا نیازی به بیان صریح "Y" نیست، زیرا معلوم می شود که سطل زباله است (سومین نکته فنی را به خاطر بسپارید).

معاینه: پاسخ را متمایز کنید (عملکرد ضمنی):

ما از شر کسرها با ضرب هر دو جمله در:

معادله دیفرانسیل اصلی به دست آمده است، به این معنی که انتگرال کلی به درستی پیدا شده است.

مثال 8

یک راه حل خاص برای DE پیدا کنید.
,

روشی برای حل معادلات دیفرانسیل با متغیرهای قابل تفکیک در نظر گرفته شده است. مثالی از حل تفصیلی یک معادله دیفرانسیل با متغیرهای قابل تفکیک داده شده است.

محتوا

تعریف

اجازه دهید s (x)، ق (x)- توابع متغیر x.
ص (y)، ر (y)- توابع متغیر y.

معادله دیفرانسیل با متغیرهای قابل تفکیک، معادله ای از فرم است

روش حل معادله دیفرانسیل با متغیرهای قابل تفکیک

معادله را در نظر بگیرید:
(من) .
اجازه دهید مشتق y را بر حسب دیفرانسیل بیان کنیم.
;
.
بیایید در dx ضرب کنیم.
(II)
معادله را بر s تقسیم کنید (x)r(y). این می تواند انجام شود اگر s(x) r(y) ≠ 0 این می تواند انجام شود اگر s.
.
وقتی اس
ما داریم

با یکپارچه سازی، انتگرال کلی را در ربع به دست می آوریم (x)r(y)(iii) . از آنجایی که بر s تقسیم کردیم، سپس انتگرال معادله s را به دست آوردیم (x) ≠ 0و ر
(y) ≠ 0 ..
بعد باید معادله را حل کنید . r (y) = 0اگر این معادله دارای ریشه باشد، آنها نیز راه حل معادله (i) هستند. اجازه دهید معادله r .دارای n ریشه a i, r

توجه داشته باشید که اگر معادله اصلی به صورت (ii) آورده شده باشد، باید معادله را نیز حل کنیم
س (x) = 0.
ریشه های آن b j, s (b j ) = 0 j = 1، 2، ...، م.

جواب های x = b j را بدهید.

معادله را حل کنید

مثالی از حل معادله دیفرانسیل با متغیرهای قابل تفکیک


بیایید مشتق را از طریق دیفرانسیل بیان کنیم:

ضرب در dx و تقسیم بر.

برای y ≠ 0 داریم:



بیایید ادغام کنیم.
.

انتگرال ها را با استفاده از فرمول محاسبه می کنیم. 0 .
با جایگزینی، انتگرال کلی معادله را به دست می آوریم 0 حال مورد را در نظر بگیرید، y =
بدیهی است y =

راه حلی برای معادله اصلی است. در انتگرال کلی گنجانده نشده است. 0 .

بنابراین، ما آن را به نتیجه نهایی اضافه می کنیم.
;