تقسیم کسرهای معمولی: قوانین، مثال ها، راه حل ها. کسری

شما می توانید همه چیز را با کسر انجام دهید، از جمله تقسیم. این مقاله تقسیم بندی را نشان می دهد کسرهای معمولی. تعاریف ارائه خواهد شد و مثال هایی مورد بحث قرار خواهد گرفت. اجازه دهید در مورد تقسیم کسرها بر اعداد طبیعی و بالعکس صحبت کنیم. تقسیم کسری مشترک بر یک عدد مختلط بحث خواهد شد.

تقسیم کسرها

تقسیم معکوس ضرب است. هنگام تقسیم، عامل مجهول در یافت می شود کار معروفو عامل دیگر، جایی که معنای داده شده آن با کسرهای معمولی حفظ می شود.

اگر لازم است یک کسری مشترک a b را بر c d تقسیم کنیم، سپس برای تعیین چنین عددی باید در مقسوم علیه c d ضرب کنیم، این در نهایت سود یک b را به دست می دهد. بیایید یک عدد بدست آوریم و آن را a b · d c بنویسیم، جایی که d c معکوس عدد c d است. تساوی ها را می توان با استفاده از ویژگی های ضرب نوشت، یعنی: a b · d c · c d = a b · d c · c d = a b · 1 = a b که عبارت a b · d c ضریب تقسیم a b بر c d است.

از اینجا قانون تقسیم کسرهای معمولی را بدست آورده و فرموله می کنیم:

تعریف 1

برای تقسیم کسری مشترک a b بر c d، باید سود تقسیمی را در متقابل تقسیم کننده ضرب کنید.

بیایید قانون را به شکل یک عبارت بنویسیم: a b: c d = a b · d c

قواعد تقسیم به ضرب می رسد. برای اینکه به آن پایبند باشید، باید درک خوبی از ضرب کسرها داشته باشید.

بیایید به بررسی تقسیم کسرهای معمولی بپردازیم.

مثال 1

9 7 را بر 5 3 تقسیم کنید. نتیجه را به صورت کسری بنویسید.

راه حل

عدد 5 3 کسر متقابل 3 5 است. استفاده از قانون برای تقسیم کسرهای معمولی ضروری است. این عبارت را به صورت زیر می نویسیم: 9 7: 5 3 = 9 7 · 3 5 = 9 · 3 7 · 5 = 27 35.

پاسخ: 9 7: 5 3 = 27 35 .

هنگام تقلیل کسرها، اگر صورت از مخرج بزرگتر باشد، کل قسمت را جدا کنید.

مثال 2

تقسیم 8 15: 24 65. جواب را به صورت کسری بنویسید.

راه حل

برای حل، باید از تقسیم به ضرب حرکت کنید. بیایید آن را به این شکل بنویسیم: 8 15: 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

کاهش لازم است و این کار به صورت زیر انجام می شود: 8 65 15 24 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

کل قسمت را انتخاب کنید و 13 9 = 1 4 9 را دریافت کنید.

پاسخ: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .

تقسیم کسر غیرعادی بر یک عدد طبیعی

ما از قانون تقسیم کسری استفاده می کنیم عدد طبیعی: برای تقسیم a b بر یک عدد طبیعی n، فقط باید مخرج را در n ضرب کنید. از اینجا عبارت را بدست می آوریم: a b: n = a b · n.

قاعده تقسیم نتیجه قاعده ضرب است. بنابراین، نشان دادن یک عدد طبیعی به صورت کسری، تساوی از این نوع را به دست می دهد: a b: n = a b: n 1 = a b · 1 n = a b · n.

این تقسیم کسری بر عدد را در نظر بگیرید.

مثال 3

کسر 16 45 را بر عدد 12 تقسیم کنید.

راه حل

بیایید قانون تقسیم کسری بر عدد را اعمال کنیم. عبارتی از فرم 16 45 بدست می آوریم: 12 = 16 45 · 12.

بیایید کسر را کاهش دهیم. ما 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 5 = 4 135 بدست می آوریم.

پاسخ: 16 45: 12 = 4 135 .

تقسیم یک عدد طبیعی بر کسری

قانون تقسیم نیز مشابه است Oقانون تقسیم یک عدد طبیعی بر یک کسر معمولی: برای تقسیم عدد طبیعی n بر کسری معمولی a b، لازم است عدد n را در متقابل کسری a b ضرب کنیم.

بر اساس قاعده، n داریم: a b = n · b a، و به لطف قانون ضرب یک عدد طبیعی در کسری معمولی، عبارت خود را به شکل n می گیریم: a b = n · b a. لازم است این تقسیم بندی را با ذکر مثال بررسی کنیم.

مثال 4

25 را بر 15 تقسیم کنید 28.

راه حل

ما باید از تقسیم به ضرب حرکت کنیم. بیایید آن را به شکل عبارت 25 بنویسیم: 15 28 = 25 28 15 = 25 28 15. بیایید کسر را کاهش دهیم و نتیجه را به صورت کسر 46 2 3 دریافت کنیم.

پاسخ: 25: 15 28 = 46 2 3 .

تقسیم کسری بر عدد مختلط

وقتی کسر مشترک را بر یک عدد مختلط تقسیم می کنید، می توانید به راحتی شروع به تقسیم کسرهای معمولی کنید. شما باید یک عدد مختلط را به کسر نامناسب تبدیل کنید.

مثال 5

کسر 35 16 را بر 3 1 8 تقسیم کنید.

راه حل

از آنجایی که 3 1 8 یک عدد مختلط است، بیایید آن را به عنوان یک کسر نامناسب نشان دهیم. سپس 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8 به دست می آوریم. حالا بیایید کسرها را تقسیم کنیم. ما 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10 بدست می آوریم

پاسخ: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .

تقسیم یک عدد مختلط مانند اعداد معمولی انجام می شود.

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

ضرب و تقسیم کسرها.

توجه!
اضافی وجود دارد
مواد در بخش ویژه 555.
برای کسانی که خیلی "نه خیلی..." هستند
و برای کسانی که "خیلی...")

این عمل بسیار زیباتر از جمع و تفریق است! چون راحت تره به عنوان یادآوری، برای ضرب یک کسری در یک کسری، باید اعداد را ضرب کنید (این صورت‌گر نتیجه خواهد بود) و مخرج‌ها (این مخرج خواهد بود). به این معنا که:

مثلا:

همه چیز فوق العاده ساده است. و لطفا به دنبال مخرج مشترک نباشید! اینجا نیازی به او نیست...

برای تقسیم کسری بر کسری باید معکوس کرد دومین(این مهم است!) کسر کنید و آنها را ضرب کنید، یعنی:

مثلا:

اگر با ضرب یا تقسیم با اعداد صحیح و کسری برخورد کردید، اشکالی ندارد. مانند جمع، از یک عدد کامل کسری می‌سازیم که در مخرج یک باشد - و ادامه می‌دهیم! مثلا:

در دبیرستان اغلب باید با کسری های سه طبقه (یا حتی چهار طبقه!) سر و کار داشته باشید. مثلا:

چگونه می توانم این کسری را مناسب جلوه دهم؟ بله خیلی ساده! از تقسیم دو نقطه ای استفاده کنید:

اما ترتیب تقسیم را فراموش نکنید! برخلاف ضرب، اینجا خیلی مهم است! البته 4:2 یا 2:4 را اشتباه نخواهیم گرفت. اما اشتباه کردن در یک کسری سه طبقه آسان است. لطفاً به عنوان مثال توجه کنید:

در حالت اول (عبارت سمت چپ):

در دوم (عبارت سمت راست):

آیا تفاوت را احساس می کنید؟ 4 و 1/9!

چه چیزی ترتیب تقسیم را تعیین می کند؟ یا با براکت، یا (مانند اینجا) با طول خطوط افقی. چشم خود را توسعه دهید و اگر براکت یا خط تیره وجود ندارد، مانند:

سپس تقسیم و ضرب کنید به ترتیب از چپ به راست!

و یک تکنیک بسیار ساده و مهم دیگر. در اقدامات با درجه، برای شما بسیار مفید خواهد بود! بیایید یک را بر هر کسری تقسیم کنیم، به عنوان مثال، بر 13/15:

شات برگشت! و این همیشه اتفاق می افتد. وقتی 1 را بر هر کسری تقسیم می کنیم، نتیجه همان کسر است، فقط وارونه.

این برای عملیات با کسری است. موضوع بسیار ساده است، اما خطاهای بیش از حد کافی را می دهد. توجه داشته باشید توصیه عملی، و تعداد آنها (خطا) کمتر خواهد بود!

نکات کاربردی:

1. مهمترین چیز هنگام کار با عبارات کسری دقت و توجه است! اینها کلمات کلی نیست، آرزوهای خوب نیست! این یک ضرورت جدی است! تمام محاسبات را در آزمون یکپارچه دولتی به عنوان یک کار تمام عیار، متمرکز و واضح انجام دهید. بهتر است دو خط اضافی در پیش نویس خود بنویسید تا اینکه هنگام انجام محاسبات ذهنی به هم بریزید.

2. در مثال هایی با انواع متفاوتکسری - به کسرهای معمولی بروید.

3. همه کسری ها را کم می کنیم تا متوقف شوند.

4. عبارات کسری چند سطحی را با استفاده از تقسیم از طریق دو نقطه به عبارات عادی کاهش می دهیم (به ترتیب تقسیم را دنبال می کنیم!).

5. یک واحد را بر یک کسری در سر خود تقسیم کنید، به سادگی کسر را برگردانید.

در اینجا وظایفی وجود دارد که باید حتماً آنها را انجام دهید. پاسخ ها بعد از تمام وظایف داده می شود. از مطالب این موضوع و نکات کاربردی استفاده کنید. تخمین بزنید که چند مثال را به درستی حل کرده اید. اولین بار! بدون ماشین حساب! و نتیجه گیری درست ...

به یاد داشته باشید - پاسخ صحیح است دریافتی از زمان دوم (مخصوصا سوم) حساب نمی شود!زندگی سخت چنین است.

بنابراین، در حالت امتحانی حل کنید ! به هر حال، این در حال حاضر آماده سازی برای آزمون دولتی واحد است. مثال را حل می کنیم، آن را بررسی می کنیم، مورد بعدی را حل می کنیم. ما همه چیز را تصمیم گرفتیم - دوباره از اول تا آخر بررسی کردیم. اما تنها سپسبه پاسخ ها نگاه کنید

محاسبه:

تصمیم گرفتی؟

ما به دنبال پاسخ هایی هستیم که با شما مطابقت داشته باشد. من عمداً آنها را به دور از وسوسه و به اصطلاح به طور نامرتب و به دور از وسوسه نوشتم ... اینها، پاسخ ها، با نقطه ویرگول نوشته شده اند.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

حالا ما نتیجه گیری می کنیم. اگر همه چیز درست شد، برای شما خوشحالم! محاسبات اولیه با کسرها مشکل شما نیست! می توانید کارهای جدی تری انجام دهید. اگر نه...

بنابراین شما یکی از دو مشکل را دارید. یا هر دو در یک زمان.) عدم آگاهی و (یا) بی توجهی. اما این قابل حل چالش ها و مسائل.

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست با تایید فوری بیایید یاد بگیریم - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.

آخرین بار یاد گرفتیم که چگونه کسرها را جمع و تفریق کنیم (به درس "افزودن و تفریق کسرها" مراجعه کنید). دشوارترین بخش آن اقدامات، آوردن کسری به یک مخرج مشترک بود.

حالا وقت آن است که به ضرب و تقسیم بپردازیم. خبر خوب این است که این عملیات حتی ساده تر از جمع و تفریق است. ابتدا بیایید ساده ترین حالت را در نظر بگیریم، زمانی که دو کسر مثبت بدون یک جزء صحیح جدا شده وجود دارد.

برای ضرب دو کسر، باید صورت و مخرج آنها را جداگانه ضرب کنید. عدد اول صورت کسر جدید و عدد دوم مخرج خواهد بود.

برای تقسیم دو کسر، باید کسر اول را در کسر دوم "معکوس" ضرب کنید.

تعیین:

از تعریف به دست می آید که تقسیم کسرها به ضرب کاهش می یابد. برای "برگرداندن" کسری، فقط صورت و مخرج را عوض کنید. بنابراین، در طول درس عمدتاً ضرب را در نظر خواهیم گرفت.

در نتیجه ضرب، یک کسری تقلیل‌پذیر می‌تواند بوجود بیاید (و اغلب هم بوجود می‌آید) - البته باید کاهش یابد. اگر بعد از همه کاهش ها، کسری نادرست است، کل قسمت باید برجسته شود. اما چیزی که قطعاً با ضرب اتفاق نمی‌افتد، تقلیل به یک مخرج مشترک است: بدون روش متقاطع، بزرگترین فاکتورها و کمترین مضرب مشترک.

طبق تعریف داریم:

ضرب کسرها با اجزای کامل و کسرهای منفی

اگر کسری شامل یک قسمت صحیح باشد، باید آنها را به قسمت های نامناسب تبدیل کرد - و تنها پس از آن طبق طرح های ذکر شده در بالا ضرب شود.

اگر در صورت کسر، در مخرج یا جلوی آن یک منهای وجود داشته باشد، می توان آن را طبق قوانین زیر از ضرب خارج کرد یا به طور کلی حذف کرد:

1. به علاوه منهای منفی می دهد.
2. دو منفی یک مثبت را نشان می دهد.

تا به حال، این قوانین فقط هنگام جمع و تفریق کسرهای منفی، زمانی که لازم بود از شر کل قسمت خلاص شود، مواجه می شد. برای یک اثر، می توان آنها را تعمیم داد تا چندین معایب را به طور همزمان "سوزانند":

1. نگاتیوها را دوتایی خط می زنیم تا کاملا محو شوند. در موارد شدید، یک منهای می تواند زنده بماند - چیزی که برای آن همسری وجود نداشت.
2. اگر هیچ منفی باقی نمانده باشد، عملیات تکمیل شده است - می توانید ضرب را شروع کنید. اگر منهای آخر خط نخورد چون جفتی برای آن وجود نداشت، آن را خارج از حدود ضرب می کنیم. نتیجه یک کسر منفی است.

وظیفه. معنی عبارت را پیدا کنید:

همه کسرها را به کسرهای نامناسب تبدیل می کنیم و سپس منهای را از ضرب خارج می کنیم. آنچه باقی می ماند را طبق قوانین معمول ضرب می کنیم. ما گرفتیم:

اجازه دهید یک بار دیگر به شما یادآوری کنم که منهای که در مقابل کسری با یک قسمت کامل برجسته ظاهر می شود، به طور خاص به کل کسری اشاره دارد و نه فقط به کل آن (این در مورد دو مثال آخر صدق می کند).

به اعداد منفی نیز توجه کنید: هنگام ضرب، آنها در داخل پرانتز قرار می گیرند. این کار به منظور جدا کردن منهای از علائم ضرب و دقیق تر کردن نماد انجام می شود.

کاهش کسری در پرواز

ضرب یک عملیات بسیار کار فشرده است. اعداد در اینجا بسیار بزرگ هستند، و برای ساده کردن مشکل، می توانید سعی کنید کسر را بیشتر کاهش دهید. قبل از ضرب. در واقع، در اصل، صورت‌ها و مخرج‌های کسرها عوامل معمولی هستند، و بنابراین، می‌توان آنها را با استفاده از ویژگی اصلی یک کسر کاهش داد. به نمونه ها دقت کنید:

وظیفه. معنی عبارت را پیدا کنید:

طبق تعریف داریم:

در همه نمونه ها، اعدادی که کاهش یافته اند و آنچه از آنها باقی مانده است با رنگ قرمز مشخص شده اند.

لطفاً توجه داشته باشید: در مورد اول، ضریب ها به طور کامل کاهش یافت. به جای آنها واحدهایی باقی می مانند که، به طور کلی، نیازی به نوشتن ندارند. در مثال دوم، امکان کاهش کامل وجود نداشت، اما مقدار کل محاسبات همچنان کاهش یافت.

با این حال، هرگز از این تکنیک هنگام جمع و تفریق کسرها استفاده نکنید! بله، گاهی اوقات اعداد مشابهی وجود دارد که شما فقط می خواهید آنها را کاهش دهید. اینجا، نگاه کنید:

شما نمی توانید این کار را انجام دهید!

این خطا به این دلیل رخ می دهد که هنگام جمع کردن، صورتگر کسری یک جمع را تولید می کند نه حاصل ضرب اعداد. در نتیجه، اعمال ویژگی اصلی یک کسر غیرممکن است، زیرا این ویژگی به طور خاص با ضرب اعداد سروکار دارد.

به سادگی هیچ دلیل دیگری برای کاهش کسر وجود ندارد، بنابراین راه حل صحیح برای مشکل قبلی به این صورت است:

راه حل صحیح:

همانطور که می بینید، پاسخ صحیح چندان زیبا نبود. در کل مراقب باشید.

کسر یک یا چند جزء از یک کل است که معمولاً یک (1) در نظر گرفته می شود. همانند اعداد طبیعی، می‌توانید تمام عملیات‌های اساسی حسابی (جمع، تفریق، تقسیم، ضرب) را با کسر انجام دهید؛ برای این کار باید ویژگی‌های کار با کسرها را بدانید و انواع آن‌ها را تشخیص دهید. چند نوع کسر وجود دارد: اعشاری و معمولی یا ساده. هر نوع کسری ویژگی های خاص خود را دارد، اما هنگامی که به طور کامل نحوه کار با آنها را درک کردید، می توانید هر مثالی را با کسر حل کنید، زیرا اصول اولیه انجام محاسبات حسابی با کسرها را می دانید. بیایید به مثال هایی از نحوه تقسیم کسری بر یک عدد کامل با استفاده از انواع مختلف کسر نگاه کنیم.

چگونه یک کسری ساده را بر یک عدد طبیعی تقسیم کنیم؟
کسرهای معمولی یا ساده، کسرهایی هستند که به صورت نسبتی از اعداد نوشته می‌شوند که در بالای کسر، تقسیم‌کننده (مخرج) و در پایین آن، تقسیم‌کننده (مخرج) کسر مشخص می‌شود. چگونه می توان چنین کسری را بر یک عدد کامل تقسیم کرد؟ بیایید به یک مثال نگاه کنیم! فرض کنید باید 8/12 را بر 2 تقسیم کنیم.

برای انجام این کار باید تعدادی عمل انجام دهیم:
بنابراین، اگر با وظیفه تقسیم کسری بر یک عدد کامل روبرو شویم، نمودار حل چیزی شبیه به این خواهد بود:

به روشی مشابه، می توانید هر کسری معمولی (ساده) را بر یک عدد صحیح تقسیم کنید.

چگونه یک عدد اعشاری را بر یک عدد کامل تقسیم کنیم؟
اعشار کسری است که از تقسیم یک واحد به ده، هزار و غیره به دست می آید. عملیات حسابی با اعشار بسیار ساده است.

بیایید به مثالی از نحوه تقسیم کسری بر یک عدد کامل نگاه کنیم. فرض کنید باید کسر اعشاری 0.925 را بر عدد طبیعی 5 تقسیم کنیم.

به طور خلاصه، اجازه دهید در مورد دو نکته اصلی که هنگام انجام عملیات تقسیم کسرهای اعشاری بر یک عدد صحیح مهم هستند صحبت کنیم:

• برای جدایی اعشاریتقسیم ستون برای یک عدد طبیعی استفاده می شود.
  
• کاما در یک ضریب زمانی قرار می گیرد که تقسیم کل قسمت سود سهام کامل شود.
  

با اعمال این قوانین ساده، همیشه می توانید به راحتی هر اعشاری یا را تقسیم کنید کسر سادهتوسط یک عدد صحیح

) و مخرج به مخرج (مخرج حاصل را می گیریم).

فرمول ضرب کسر:

مثلا:

قبل از شروع ضرب اعداد و مخرج، باید بررسی کنید که آیا کسر قابل کاهش است یا خیر. اگر بتوانید کسر را کاهش دهید، انجام محاسبات بیشتر برای شما آسان تر خواهد بود.

تقسیم کسر مشترک بر کسری.

تقسیم کسری که شامل اعداد طبیعی است.

آنقدرها هم که به نظر می رسد ترسناک نیست. همانطور که در مورد جمع، عدد صحیح را به کسری با یک در مخرج تبدیل می کنیم. مثلا:

ضرب کسرهای مختلط

قوانین ضرب کسر (مخلوط):

• تبدیل کسرهای مختلط به کسرهای نامناسب.
• ضرب در صورت و مخرج کسرها؛
• کسر را کاهش دهید؛
• اگر کسری نامناسب بدست آورید، کسر نامناسب را به کسر مختلط تبدیل می کنیم.

توجه داشته باشید!برای ضرب یک کسر مختلط در کسر مختلط دیگر، ابتدا باید آنها را به شکل کسرهای نامناسب تبدیل کنید و سپس طبق قانون ضرب کسرهای معمولی ضرب کنید.

روش دوم برای ضرب کسری در یک عدد طبیعی.

ممکن است استفاده از روش دوم ضرب کسر مشترک در عدد راحت تر باشد.

توجه داشته باشید!برای ضرب کسری در یک عدد طبیعی، باید مخرج کسر را بر این عدد تقسیم کنید و صورت را بدون تغییر رها کنید.

از مثالی که در بالا داده شد، واضح است که استفاده از این گزینه زمانی راحت تر است که مخرج کسری بدون باقیمانده بر یک عدد طبیعی تقسیم شود.

کسرهای چند طبقه

در دبیرستان اغلب با کسرهای سه طبقه (یا بیشتر) مواجه می‌شویم. مثال:

برای آوردن چنین کسری به شکل معمول خود، از تقسیم از طریق 2 نقطه استفاده کنید:

توجه داشته باشید!هنگام تقسیم کسرها، ترتیب تقسیم بسیار مهم است. مراقب باشید، اینجا به راحتی گیج می شود.

توجه داشته باشید، مثلا:

هنگام تقسیم یک بر هر کسری، نتیجه همان کسر خواهد بود، فقط معکوس:

نکات کاربردی برای ضرب و تقسیم کسر:

1. مهمترین چیز هنگام کار با عبارات کسری دقت و توجه است. تمام محاسبات را با دقت و دقیق، متمرکز و واضح انجام دهید. بهتر است چند خط اضافی در پیش نویس خود بنویسید تا اینکه در محاسبات ذهنی گم شوید.

2. در کارهای با انواع کسرها به سراغ نوع کسرهای معمولی بروید.

3. همه کسرها را کم می کنیم تا زمانی که دیگر امکان کاهش وجود نداشته باشد.

4. عبارات کسری چند سطحی را با استفاده از تقسیم از طریق 2 نقطه به عبارات معمولی تبدیل می کنیم.

5. یک واحد را بر یک کسری در سر خود تقسیم کنید، به سادگی کسر را برگردانید.