مثلثات برای مبتدیان. مثلثات ساده و واضح است

در این درس با تعاریف آشنا می شویم توابع مثلثاتی و خصوصیات اساسی آنها، نحوه کار با دایره مثلثاتی، بیایید دریابیم که چیست دوره عملکردو انواع مختلف را به خاطر بسپارید روش های اندازه گیری زاویه. علاوه بر این، ما استفاده را درک خواهیم کرد فرمول های کاهش.

این درس به شما کمک می کند تا برای یکی از انواع کارها آماده شوید در ساعت 7.

آمادگی برای آزمون دولتی واحد ریاضی

آزمایش کنید

درس 7.مقدمه ای بر مثلثات.

تئوری

خلاصه درس

امروز بخشی را شروع می کنیم که برای خیلی ها نام ترسناک مثلثات دارد. بیایید فوراً روشن کنیم که این موضوع جداگانه ای نیست که از نظر نام به هندسه شبیه است، همانطور که برخی فکر می کنند. اگرچه کلمه "مثلثات" از یونانی ترجمه شده است به معنای "اندازه گیری مثلث" است و مستقیماً با هندسه مرتبط است. علاوه بر این، محاسبات مثلثاتی به طور گسترده ای در فیزیک و فناوری استفاده می شود. اما ما با در نظر گرفتن اینکه چگونه توابع مثلثاتی اساسی در هندسه با استفاده از مثلث قائم الزاویه معرفی می شوند، شروع می کنیم.

ما به تازگی از اصطلاح "تابع مثلثاتی" استفاده کرده ایم - این بدان معنی است که ما یک کلاس کامل از قوانین خاص مطابقت بین یک متغیر و متغیر دیگر را معرفی خواهیم کرد.

برای انجام این کار، یک مثلث قائم الزاویه را در نظر بگیرید، که در آن، برای راحتی، از نمادهای استاندارد برای اضلاع و زوایا استفاده شده است که در شکل مشاهده می کنید:

برای مثال زاویه را در نظر بگیریدو اقدامات زیر را برای آن وارد کنید:

بیایید نسبت طرف مقابل به سینوس هیپوتنوز را بنامیم، یعنی.

بیایید نسبت پای مجاور به کسینوس هیپوتنوس را بنامیم، یعنی. ;

نسبت طرف مقابل به ضلع مجاور را مماس می نامند، یعنی. ;

نسبت ضلع مجاور به ضلع مقابل را کوتانژانت می گویند، یعنی. .

همه این اعمال با زاویه نامیده می شوند توابع مثلثاتی. خود زاویه معمولاً نامیده می شود آرگومان تابع مثلثاتیو می توان آن را، برای مثال، با X نشان داد، همانطور که معمولاً در جبر مرسوم است.

مهم است که فوراً درک کنیم که توابع مثلثاتی دقیقاً به زاویه در بستگی دارند راست گوشهو نه از احزاب آن. اثبات این امر آسان است اگر مثلثی مشابه این را در نظر بگیریم که در آن طول اضلاع متفاوت است، اما تمام زوایا و نسبت اضلاع تغییر نمی کند، یعنی. توابع مثلثاتی زوایا نیز بدون تغییر باقی خواهند ماند.

پس از این تعریف از توابع مثلثاتی، ممکن است این سوال مطرح شود: آیا وجود دارد، برای مثال،? پس از همه، گوشهنمی تواند در یک مثلث قائم الزاویه باشد» . به اندازه کافی عجیب، پاسخ به این سوال مثبت است، و مقدار این عبارت برابر است، و این شگفت انگیزتر است، زیرا همه توابع مثلثاتی نسبت اضلاع یک مثلث قائم الزاویه هستند و طول اضلاع برابر است. اعداد مثبت

اما هیچ تناقضی در این وجود ندارد. واقعیت این است که به عنوان مثال، در فیزیک، هنگام توصیف برخی از فرآیندها، لازم است از توابع مثلثاتی زوایای نه تنها بزرگ، بلکه بزرگ و یکنواخت نیز استفاده شود. برای این کار لازم است قانون کلی تری برای محاسبه توابع مثلثاتی با استفاده از به اصطلاح معرفی شود. "دایره مثلثاتی واحد".

دایره ای با شعاع واحد است که به گونه ای ترسیم شده است که مرکز آن در مبدا صفحه دکارتی باشد.

برای به تصویر کشیدن زوایای این دایره، باید در مورد مکان قرار دادن آنها به توافق برسید. پذیرفته شده است که جهت مثبت محور آبسیسا را ​​به عنوان پرتو مرجع زاویه در نظر بگیریم، یعنی. محور x. جهت رسوب زاویه ها خلاف جهت عقربه های ساعت در نظر گرفته می شود.بر اساس این توافقات، اجازه دهید ابتدا زاویه حاد را کنار بگذاریم. برای چنین زوایای حادی است که ما قبلاً می دانیم که چگونه مقادیر توابع مثلثاتی را در یک مثلث قائم الزاویه محاسبه کنیم. به نظر می رسد که با استفاده از دایره نشان داده شده می توانید توابع مثلثاتی را فقط راحت تر محاسبه کنید.

مقادیر سینوس و کسینوس یک زاویه حاد مختصات نقطه تقاطع ضلع این زاویه با دایره واحد است:

این را می توان اینگونه نوشت:

:

بر اساس این واقعیت که مختصات در امتداد محور x مقدار کسینوس را نشان می دهد و مختصات در امتداد محور y مقدار سینوس زاویه را نشان می دهد.، تغییر نام محورها در یک سیستم مختصات با دایره واحد راحت است همانطور که در شکل می بینید:

نام محور آبسیسا به محور کسینوس و محور ارتین به محور سینوسی تغییر نام داده می شود.

قاعده مشخص شده برای تعیین سینوس و کسینوس هم به زوایای مبهم و هم به زوایایی که در محدوده از تا قرار دارند تعمیم داده می شود. در این حالت، سینوس ها و کسینوس ها می توانند هر دو مقدار مثبت و منفی به خود بگیرند. مختلف نشانه هایی از مقادیر این توابع مثلثاتیبسته به اینکه زاویه مورد نظر در کدام یک از ربع قرار می گیرد، مرسوم است که آن را به صورت زیر ترسیم کنید:

همانطور که می بینید، نشانه های توابع مثلثاتی با جهت مثبت و منفی محورهای مربوطه آنها تعیین می شود.

علاوه بر این، ارزش توجه به این واقعیت را دارد که از آنجایی که بزرگترین مختصات یک نقطه در دایره واحدو در امتداد محور ابسیسا و ترتیب برابر با یک و کوچکترین آنها منهای یک است، سپس مقادیر سینوسی و کسینوسمحدود به این اعداد:

این رکوردها معمولاً به این شکل نیز نوشته می شوند:

برای معرفی توابع مماس و کتانژانت در یک دایره مثلثاتی، لازم است عناصر اضافی ترسیم شود: مماس بر دایره در نقطه A - مقدار مماس زاویه از آن تعیین می شود، و مماس به در نقطه B - مقدار کوتانژانت زاویه از آن تعیین می شود.

با این حال، ما در تعریف مماس ها و کوتانژانت ها در یک دایره مثلثاتی نمی پردازیم، زیرا آنها را می توان به راحتی با دانستن مقادیر سینوس و کسینوس یک زاویه مشخص که قبلاً می دانیم چگونه انجام دهیم محاسبه می شوند. اگر علاقه مند به یادگیری نحوه محاسبه مماس و کتانژانت روی دایره مثلثاتی هستید، برنامه درس جبر پایه دهم را مرور کنید.

ما فقط تصویر روی دایره را نشان می دهیم نشانه های مماس و کوتانژانتبسته به زاویه:

توجه داشته باشید که مشابه محدوده مقادیر سینوس و کسینوس، می توانید محدوده مقادیر مماس و کتانژانت را مشخص کنید. بر اساس تعریف آنها از دایره مثلثاتی، معانی این توابع محدود نیست:

چه چیز دیگری می توان اینگونه نوشت:

دایره مثلثاتی علاوه بر زوایای در محدوده از تا، به شما امکان می دهد با زوایای بزرگتر و حتی با زوایای منفی کار کنید. چنین مقادیر زاویه ای، اگرچه برای هندسه بی معنی به نظر می رسند، برای توصیف فرآیندهای فیزیکی خاص استفاده می شوند. به عنوان مثال، چگونه به این سوال پاسخ می دهید: عقربه ساعت در یک روز چه زاویه ای می چرخد؟در آن زمان او دو را تکمیل خواهد کرد انقلاب های کاملو در یک انقلاب خواهد گذشت، یعنی. ظرف یک روز تبدیل به . همانطور که می بینید، چنین ارزش هایی معنای بسیار کاربردی دارند. از علائم زاویه برای نشان دادن جهت چرخش استفاده می شود - یکی از جهت ها با زوایای مثبت و دیگری با زوایای منفی اندازه گیری می شود. چگونه می توان این را در دایره مثلثاتی در نظر گرفت؟

روی دایره ای با چنین زوایایی به صورت زیر عمل می کنند:

1) زوایای بزرگتر از , در خلاف جهت عقربه های ساعت رسم می شوند و به تعداد دفعات لازم از مبدأ عبور می کنند. به عنوان مثال، برای ساخت یک زاویه باید دو دور کامل و دیگری را پشت سر بگذارید. تمام توابع مثلثاتی برای موقعیت نهایی محاسبه می شوند. به راحتی می توان فهمید که مقادیر همه توابع مثلثاتی برای و برای یکسان خواهد بود.

2) زوایای منفی دقیقاً مطابق با اصل مثبت ، فقط در جهت عقربه های ساعت قرار می گیرند.

فقط با روش ساخت زوایای بزرگ می توان نتیجه گرفت که مقادیر سینوس ها و کسینوس های زاویه هایی که با یکدیگر متفاوت هستند یکسان است. اگر مقادیر مماس ها و کوتانژانت ها را تجزیه و تحلیل کنیم، برای زوایایی که با هم تفاوت دارند، یکسان خواهند بود.

چنین اعداد حداقل غیر صفر، وقتی به آرگومان اضافه می شوند، مقدار تابع را تغییر نمی دهند، فراخوانی می شوند دوره زمانیاین تابع

بدین ترتیب، دوره زمانیسینوس و کسینوس مساوی هستند، و مماس و کوتانژانت. این بدان معنی است که هر چقدر هم که این دوره ها را از زوایای مورد نظر کم یا اضافه کنید، مقادیر توابع مثلثاتی تغییر نمی کند.

مثلا، ، و غیره.

ما بعداً به توضیح بیشتر و کاربرد این ویژگی توابع مثلثاتی باز خواهیم گشت.

روابط خاصی بین توابع مثلثاتی همان آرگومان وجود دارد که اغلب مورد استفاده قرار می گیرند و فراخوانی می شوند هویت های مثلثاتی اولیه

آنها به این شکل هستند:

1) ، به اصطلاح "واحد مثلثاتی"

3)

4)

5)

توجه داشته باشید که مثلاً علامت گذاری به این معنی است که کل تابع مثلثاتی مربع است. آن ها می توان آن را به این شکل نشان داد: . درک این نکته مهم است که این برابر با نمادی مانند , نیست، در این مورد فقط آرگومان مربع است و نه کل تابع، و علاوه بر این، عباراتی از این نوع بسیار نادر هستند.

دو نتیجه بسیار مفید از هویت اول وجود دارد که می تواند در حل بسیاری از مشکلات مفید باشد. پس از تبدیل های ساده، می توانید سینوس را از طریق کسینوس همان زاویه بیان کنید و بالعکس:

دو علامت ممکن برای بیان ظاهر می شوند زیرا گرفتن جذر حسابی فقط مقادیر غیر منفی به دست می دهد و سینوس و کسینوس همانطور که قبلاً دیدیم می توانند مقادیر منفی داشته باشند. علاوه بر این، تعیین علائم این توابع با استفاده از یک دایره مثلثاتی، بسته به اینکه چه زوایایی در آنها وجود دارد، راحت تر است.

حال به یاد بیاوریم که زاویه ها را می توان به دو روش اندازه گیری کرد: بر حسب درجه و رادیان. اجازه دهید تعاریف یک درجه و یک رادیان را مشخص کنیم.

یک درجه- این زاویه ای است که توسط دو شعاع تشکیل می شود که یک قوس برابر با یک دایره را فرو می ریزند.

یک رادیان- این زاویه ای است که توسط دو شعاع ایجاد می شود که توسط قوسی برابر با طول شعاع ها فرو رفته اند.

آن ها فقط دو تا است راه های مختلفزوایای کاملاً مساوی را اندازه گیری کنید. در توصیف فرآیندهای فیزیکی که با توابع مثلثاتی مشخص می شوند، مرسوم است که از اندازه گیری رادیانی زوایا استفاده کنیم، بنابراین ما نیز باید به آن عادت کنیم.

مرسوم است که زاویه ها را بر حسب رادیان در کسری از پی مثلا یا یا اندازه گیری می کنند. در این حالت، مقدار عدد پی که برابر با 3.14 است را می توان جایگزین کرد، اما این کار به ندرت انجام می شود.

برای تبدیل درجه درجه زاویه به رادیاناز این واقعیت استفاده کنید که زاویه به راحتی به دست می آید فرمول کلیترجمه:

به عنوان مثال، اجازه دهید به رادیان تبدیل کنیم: .

برعکس آن نیز وجود دارد فرمولتبدیل از رادیان به درجه:

به عنوان مثال، اجازه دهید به درجه تبدیل کنیم: .

ما اغلب در این مبحث از اندازه گیری زاویه رادیان استفاده خواهیم کرد.

اکنون زمان آن است که به یاد بیاوریم که چه مقادیر خاصی را می توان با توابع مثلثاتی از زوایای مختلف داد. برای برخی زوایا که مضرب هستند، وجود دارد جدول مقادیر توابع مثلثاتی. برای راحتی، زوایا بر حسب درجه و رادیان آورده شده است.

این زوایای اغلب در بسیاری از مشکلات مواجه می شوند و توصیه می شود بتوانید با اطمینان در این جدول حرکت کنید. مقادیر مماس و کتانژانت برخی زوایا معنی ندارد که در جدول به صورت خط تیره نشان داده شده است. خودتان فکر کنید چرا اینطور است یا در مورد آن در درج شده برای درس با جزئیات بیشتر بخوانید.

آخرین چیزی که در اولین درس مثلثات باید با آن آشنا شویم این است تبدیل توابع مثلثاتی با استفاده از فرمول های به اصطلاح کاهش.

معلوم می شود که وجود دارد نوع خاصیعباراتی برای توابع مثلثاتی، که بسیار رایج است و به راحتی ساده شده است. به عنوان مثال، این عبارت ها هستند: و غیره.

آن ها ما در مورد توابعی صحبت خواهیم کرد که یک زاویه دلخواه را به عنوان یک آرگومان در نظر می گیرند که به یک قسمت کامل یا نیمه تغییر یافته است. چنین توابعی به آرگومانی که برابر با زاویه دلخواه جمع یا تفریق قطعات است، ساده می شوند. مثلا، ، آ . همانطور که می بینید، نتیجه می تواند تابع مخالف باشد و تابع می تواند علامت را تغییر دهد.

بنابراین، قوانین تبدیل چنین توابعی را می توان به دو مرحله تقسیم کرد. ابتدا باید مشخص کنید که پس از تبدیل چه تابعی دریافت خواهید کرد:

1) اگر یک آرگومان دلخواه به یک عدد صحیح تغییر کند، تابع تغییر نمی کند. این برای توابعی از نوع صادق است، که در آن هر عدد صحیح;

- -
معمولاً وقتی می‌خواهند کسی را با ریاضیات ترسناک بترسانند، انواع سینوس‌ها و کسینوس‌ها را به عنوان یک مثال بسیار پیچیده و منزجر کننده ذکر می‌کنند. اما در واقع این بخش زیبا و جالبی است که قابل درک و حل است.
موضوع از کلاس نهم شروع می شود و همه چیز همیشه اولین بار روشن نیست، ظرافت ها و ترفندهای زیادی وجود دارد. من سعی کردم در مورد موضوع چیزی بگویم.

مقدمه ای بر دنیای مثلثات:
قبل از عجله در فرمول ها، باید از هندسه بفهمید که سینوس، کسینوس و غیره چیست.
سینوس زاویه- نسبت طرف مقابل (زاویه) به هیپوتنوز.
کسینوس- نسبت مجاور به هیپوتنوز.
مماس- طرف مقابل به طرف مجاور
کوتانژانت- مجاورت مقابل.

اکنون دایره ای از شعاع واحد را روی صفحه مختصات در نظر بگیرید و مقداری زاویه آلفا را روی آن علامت بزنید: (تصاویر حداقل برخی قابل کلیک هستند)
-
-
خطوط قرمز نازک عمود بر نقطه تلاقی دایره و زاویه قائم بر محور ox و oy هستند. x و y قرمز مقدار مختصات x و y روی محورها هستند (x و y خاکستری فقط برای نشان دادن این است که اینها محورهای مختصات هستند نه فقط خطوط).
لازم به ذکر است که زاویه ها از جهت مثبت محور ox در خلاف جهت عقربه های ساعت محاسبه می شوند.
بیایید سینوس، کسینوس و غیره را برای آن پیدا کنیم.
sin a: ضلع مقابل برابر با y، هیپوتانوس برابر با 1 است.
sin a = y / 1 = y
برای اینکه کاملاً واضح باشد که y و 1 را از کجا می‌گیرم، برای وضوح، حروف را مرتب می‌کنیم و مثلث‌ها را نگاه می‌کنیم.
- -
AF = AE = 1 - شعاع دایره.
بنابراین AB = 1 به عنوان شعاع. AB - هیپوتانوز.
BD = CA = y - به عنوان مقدار oh.
AD = CB = x - به عنوان مقدار با توجه به oh.
sin a = BD / AB = y / 1 = y
بعد کسینوس است:
cos a: سمت مجاور - AD = x
cos a = AD / AB = x / 1 = x

خروجی هم داریم مماس و کتانژانت.
tg a = y / x = گناه a / cos a
cot a = x / y = cos a / sin a
ناگهان فرمول مماس و کوتانژانت را به دست آوردیم.

خوب، بیایید نگاهی ملموس به چگونگی حل این مسئله بیندازیم.
به عنوان مثال، a = 45 درجه.
یک مثلث قائم الزاویه با یک زاویه 45 درجه بدست می آوریم. فوراً برای برخی مشخص است که این یک مثلث متساوی الاضلاع است، اما به هر حال آن را توصیف می کنم.
بیایید زاویه سوم مثلث را پیدا کنیم (اولی 90 است، دومی 5 است): b = 180 - 90 - 45 = 45
اگر دو زاویه مساوی باشند، اضلاع آنها برابر است، این چیزی است که به نظر می رسد.
بنابراین، معلوم می شود که اگر دو مثلث از این قبیل را روی هم جمع کنیم، مربعی با قطر برابر با شعاع 1 بدست می آوریم. با قضیه فیثاغورث می دانیم که قطر مربعی با ضلع a برابر است با یک ریشه دو
حالا فکر می کنیم. اگر 1 (هیپوتنوز یا مورب) برابر ضلع مربع ضربدر ریشه دو باشد، ضلع مربع باید برابر با 1/sqrt(2) باشد و اگر صورت و مخرج این کسر را ضرب کنیم. با ریشه دو، sqrt(2)/2 را دریافت می کنیم. و چون مثلث متساوی الساقین است، پس AD = AC => x = y
یافتن توابع مثلثاتی ما:
sin 45 = sqrt(2)/2 / 1 = sqrt(2)/2
cos 45 = sqrt(2)/2 / 1 = sqrt(2)/2
tg 45 = sqrt(2)/2 / sqrt(2)/2 = 1
ctg 45 = sqrt(2)/2 / sqrt(2)/2 = 1
شما باید با مقادیر زاویه باقی مانده به همین ترتیب کار کنید. فقط مثلث ها متساوی الساقین نخواهند بود، اما اضلاع را می توان به همین راحتی با استفاده از قضیه فیثاغورث پیدا کرد.
به این ترتیب جدول مقادیر توابع مثلثاتی را از زوایای مختلف بدست می آوریم:
-
-
علاوه بر این، این جدول تقلب و بسیار راحت است.
چگونه خودتان بدون هیچ زحمتی آن را بسازید:جدولی به این شکل بکشید و اعداد 1 2 3 را در کادرها بنویسید.
-
-
حالا از این 1 2 3 ریشه می گیرید و بر 2 تقسیم می کنید. اینطوری می شود:
-
-
حالا سینوس را خط زده و کسینوس را می نویسیم. مقادیر آن سینوس آینه ای است:
-
-
مماس به همین راحتی قابل استخراج است - شما باید مقدار خط سینوس را بر مقدار خط کسینوس تقسیم کنید:
-
-
مقدار کوتانژانت مقدار معکوس مماس است. در نتیجه، چیزی شبیه به این دریافت می کنیم:
- -

توجه داشته باشیدمثلاً آن مماس در P/2 وجود ندارد. به این فکر کنید که چرا. (شما نمی توانید بر صفر تقسیم کنید.)

آنچه باید در اینجا به خاطر بسپارید:سینوس مقدار y است، کسینوس مقدار x است. مماس نسبت y به x است و تانژانت برعکس است. بنابراین، برای تعیین مقادیر سینوس ها / کسینوس ها، کافی است جدولی را که در بالا توضیح دادم و یک دایره با محورهای مختصات رسم کنید (به راحتی می توان به مقادیر در زوایای 0، 90 نگاه کرد، 180، 360).
- -

خوب، امیدوارم که بتوانید تشخیص دهید چهارم:
- -
علامت سینوس، کسینوس و غیره آن بستگی به این دارد که زاویه در کدام ربع باشد. اگرچه، تفکر منطقی کاملاً ابتدایی شما را به پاسخ صحیح می رساند، اگر در نظر بگیرید که در سه ماهه دوم و سوم x منفی و y در سه ماهه سوم و چهارم منفی است. هیچ چیز ترسناک و ترسناکی نیست.

فکر می کنم ذکر آن خالی از لطف نباشد فرمول های کاهش ala ghosts، همانطور که همه می شنوند، که ذره ای حقیقت دارد. هیچ فرمولی وجود ندارد، زیرا غیر ضروری هستند. معنای کل این عمل: ما به راحتی مقادیر زاویه را فقط برای یک چهارم اول (30 درجه، 45، 60) پیدا می کنیم. توابع مثلثاتیتناوبی هستند، بنابراین می توانیم هر زاویه بزرگی را به ربع اول بکشیم. سپس بلافاصله معنای آن را خواهیم یافت. اما به سادگی کشیدن کافی نیست - باید علامت را به خاطر بسپارید. این همان چیزی است که فرمول های کاهش برای آن هستند.
بنابراین، ما یک زاویه بزرگ یا بیشتر از 90 درجه داریم: a = 120. و باید سینوس و کسینوس آن را پیدا کنیم. برای انجام این کار، 120 را به زوایای زیر تجزیه می کنیم که می توانیم با آنها کار کنیم:
sin a = گناه 120 = گناه (90 + 30)
می بینیم که این زاویه در ربع دوم قرار دارد، سینوس آنجا مثبت است، بنابراین علامت + جلوی سینوس حفظ می شود.
برای خلاص شدن از 90 درجه، سینوس را به کسینوس تبدیل می کنیم. خوب، این قانونی است که باید به خاطر بسپارید:
sin (90 + 30) = cos 30 = sqrt(3) / 2
یا می توانید آن را به شکل دیگری تصور کنید:
گناه 120 = گناه (180 - 60)
برای خلاص شدن از شر 180 درجه، ما عملکرد را تغییر نمی دهیم.
sin (180 - 60) = sin 60 = sqrt(3) / 2
ما همان مقدار را دریافت کردیم، بنابراین همه چیز درست است. حالا کسینوس:
cos 120 = cos (90 + 30)
کسینوس در ربع دوم منفی است، بنابراین علامت منفی می گذاریم. و تابع را به خلاف آن تغییر می دهیم، زیرا باید 90 درجه را حذف کنیم.
cos (90 + 30) = - sin 30 = - 1/2
یا:
cos 120 = cos (180 - 60) = - cos 60 = - 1/2

آنچه شما باید بدانید، بتوانید انجام دهید و انجام دهید تا زاویه ها را به ربع اول منتقل کنید:
- تجزیه زاویه به شرایط قابل هضم.
- در نظر بگیرید که زاویه در کدام ربع است و اگر تابع در این ربع منفی یا مثبت باشد علامت مناسب را قرار دهید.
- از شر چیزهای غیر ضروری خلاص شوید:
*اگر باید از شر 90، 270، 450 و 90+180n باقیمانده خلاص شوید، جایی که n هر عدد صحیحی است، آنگاه تابع معکوس می شود (سینوس به کسینوس، مماس بر کوتانژانت و بالعکس).
*اگر باید از شر 180 و باقیمانده 180+180 n خلاص شوید، جایی که n هر عدد صحیحی است، تابع تغییر نمی کند. (در اینجا یک ویژگی وجود دارد، اما توضیح آن با کلمات دشوار است، اما اوه خوب).
همین. فکر نمی‌کنم زمانی که می‌توانید چند قانون را به خاطر بسپارید و به راحتی از آنها استفاده کنید، لازم نیست خود فرمول‌ها را به خاطر بسپارید. به هر حال، اثبات این فرمول ها بسیار آسان است:
-
-
و آنها همچنین جداول دست و پا گیر را جمع آوری می کنند، سپس ما می دانیم:
-
-

معادلات اصلی مثلثات:شما باید آنها را خیلی خیلی خوب از روی قلب بشناسید.
هویت مثلثاتی بنیادی(برابری):
sin^2(a) + cos^2(a) = 1
اگر باور نمی کنید بهتر است خودتان آن را بررسی کنید و خودتان ببینید. مقادیر زوایای مختلف را جایگزین کنید.
این فرمول بسیار بسیار مفید است، همیشه آن را به خاطر بسپارید. با استفاده از آن می توانید سینوس را از طریق کسینوس و بالعکس بیان کنید که گاهی اوقات بسیار مفید است. اما، مانند هر فرمول دیگری، باید بدانید که چگونه آن را مدیریت کنید. همیشه به یاد داشته باشید که علامت تابع مثلثاتی به ربعی که زاویه در آن قرار دارد بستگی دارد. از همین رو هنگام استخراج ریشه باید ربع را بدانید.

مماس و کتانژانت:ما قبلاً این فرمول ها را در همان ابتدا استخراج کردیم.
tg a = گناه a / cos a
cot a = cos a / sin a

محصول مماس و کوتانژانت:
tg a * ctg a = 1
زیرا:
tg a * ctg a = (sin a / cos a) * (cos a / sin a) = 1 - کسرها لغو می شوند.

همانطور که می بینید، همه فرمول ها یک بازی و یک ترکیب هستند.
در اینجا دو مورد دیگر وجود دارد که از تقسیم بر مربع کسینوس و مربع سینوس فرمول اول به دست آمده است:
-
-
لطفاً توجه داشته باشید که دو فرمول آخر را می توان با محدودیت در مقدار زاویه a استفاده کرد، زیرا نمی توانید بر صفر تقسیم کنید.

فرمول های اضافه:با استفاده از جبر برداری ثابت می شوند.
- -
به ندرت استفاده می شود، اما دقیق. فرمول هایی در اسکن وجود دارد، اما ممکن است ناخوانا باشند یا شکل دیجیتالی آن آسان تر باشد:
- -

فرمول های دو زاویه:
آنها بر اساس فرمول های جمع به دست می آیند، به عنوان مثال: کسینوس یک زاویه مضاعف cos 2a = cos (a + a) است - آیا این شما را به یاد چیزی می اندازد؟ آنها فقط بتا را با آلفا جایگزین کردند.
- -
دو فرمول بعدی از اولین جایگزینی sin^2(a) = 1 - cos^2(a) و cos^2(a) = 1 - sin^2(a) مشتق شده‌اند.
سینوس یک زاویه دوتایی ساده تر است و بسیار بیشتر استفاده می شود:
- -
و منحرفان خاص با توجه به اینکه tan a = sin a / cos a و غیره می توانند مماس و کتانژانت یک زاویه مضاعف را استخراج کنند.
-
-

برای افراد فوق فرمول های زاویه سه گانه:آنها با اضافه کردن زوایای 2a و a به دست می‌آیند، زیرا ما فرمول‌های زوایای دوگانه را می‌دانیم.
-
-

فرمول های نیم زاویه:
- -
نمی‌دانم چگونه مشتق شده‌اند، یا به‌طور دقیق‌تر، چگونه آن را توضیح دهم... اگر این فرمول‌ها را بنویسیم، و هویت مثلثاتی اصلی را با a/2 جایگزین کنیم، آنگاه پاسخ همگرا خواهد شد.

فرمول های جمع و تفریق توابع مثلثاتی:
-
-
آنها از فرمول های جمع به دست می آیند، اما هیچ کس اهمیتی نمی دهد. آنها اغلب اتفاق نمی افتد.

همانطور که می‌دانید، هنوز تعداد زیادی فرمول وجود دارد که فهرست کردن آنها به سادگی بی‌معنی است، زیرا من نمی‌توانم چیزی در مورد آنها بنویسم، و فرمول‌های خشک را می‌توان در هر جایی یافت، و آنها یک بازی با فرمول‌های موجود قبلی هستند. همه چیز به طرز وحشتناکی منطقی و دقیق است. فقط آخرش بهت میگم در مورد روش زاویه کمکی:
تبدیل عبارت a cosx + b sinx به شکل Acos(x+) یا Asin(x+) را روش معرفی زاویه کمکی (یا آرگومان اضافی) می گویند. روش برای حل استفاده می شود معادلات مثلثاتی، هنگام تخمین مقادیر توابع، در مسائل اکسترموم و آنچه که توجه به آن مهم است این است که برخی از مسائل را نمی توان بدون معرفی یک زاویه کمکی حل کرد.
مهم نیست که چگونه سعی کردید این روش را توضیح دهید، هیچ نتیجه ای حاصل نشد، بنابراین باید خودتان این کار را انجام دهید:
-
-
یک چیز ترسناک، اما مفید. اگر مشکلات را حل کردید، باید حل شود.
از اینجا، به عنوان مثال: mschool.kubsu.ru/cdo/shabitur/kniga/trigonom/metod/metod2/met2/met2.htm

بعد در دوره، نمودارهایی از توابع مثلثاتی است. اما برای یک درس کافی است. با توجه به اینکه در مدرسه شش ماه این را آموزش می دهند.

سوالات خود را بنویسید، مشکلات را حل کنید، از برخی کارها اسکن بخواهید، آن را کشف کنید، آن را امتحان کنید.
همیشه مال تو، دن فارادی.

در این درس در مورد چگونگی ایجاد نیاز به معرفی توابع مثلثاتی و چرایی مطالعه آنها، آنچه در این مبحث باید بدانید و جایی که فقط باید در آن بهتر شوید (تکنیک چیست) صحبت خواهیم کرد. توجه داشته باشید که تکنیک و درک دو چیز متفاوت هستند. موافقم، یک تفاوت وجود دارد: یادگیری دوچرخه سواری، یعنی درک نحوه انجام آن، یا تبدیل شدن به یک دوچرخه سوار حرفه ای. ما به طور خاص در مورد درک صحبت خواهیم کرد، در مورد اینکه چرا توابع مثلثاتی مورد نیاز است.

چهار تابع مثلثاتی وجود دارد، اما همه آنها را می توان در قالب یک با استفاده از هویت ها (برابری هایی که آنها را به هم مرتبط می کند) بیان کرد.

تعاریف رسمی توابع مثلثاتی برای زوایای حاد در مثلث های قائم الزاویه (شکل 1).

سینوسیزاویه تند مثلث قائم الزاویه، نسبت ضلع مقابل به هیپوتنوز است.

کسینوسزاویه حاد مثلث قائم الزاویه نسبت ساق مجاور به هیپوتنوز است.

مماسزاویه تند مثلث قائم الزاویه، نسبت ضلع مقابل به ضلع مجاور است.

کوتانژانتزاویه تند مثلث قائم الزاویه، نسبت ضلع مجاور به ضلع مقابل است.

برنج. 1. تعیین توابع مثلثاتی یک زاویه حاد مثلث قائم الزاویه

این تعاریف رسمی هستند. درست تر است که بگوییم فقط یک تابع مثلا سینوس وجود دارد. اگر آنها در فناوری چندان مورد نیاز نبودند (که اغلب مورد استفاده قرار نمی گرفتند)، بسیاری از توابع مثلثاتی مختلف معرفی نمی شدند.

برای مثال کسینوس یک زاویه با سینوس همان زاویه با جمع () برابر است. علاوه بر این، کسینوس یک زاویه را همیشه می توان از طریق سینوس همان زاویه تا علامت، با استفاده از هویت مثلثاتی اصلی () بیان کرد. مماس یک زاویه نسبت سینوس به کسینوس یا یک کوتانژانت معکوس است (شکل 2). بعضی ها اصلا از کوتانژانت استفاده نمی کنند و آن را با . بنابراین، درک و توانایی کار با یک تابع مثلثاتی مهم است.

برنج. 2. رابطه بین توابع مختلف مثلثاتی

اما چرا اصلاً چنین عملکردهایی مورد نیاز بود؟ از آنها برای حل چه مشکلات عملی استفاده می شود؟ بیایید به چند نمونه نگاه کنیم.

دو نفر ( آو که در) ماشین را از گودال بیرون بیاورید (شکل 3). انسان که درمی تواند ماشین را به طرفین هل دهد، اما بعید است که کمک کند آ. از سوی دیگر، جهت تلاش او می تواند به تدریج تغییر کند (شکل 4).

برنج. 3. که درماشین را به پهلو هل می دهد

برنج. 4. که درشروع به تغییر جهت تلاش های خود می کند

واضح است که تلاش آنها زمانی بیشترین تأثیر را خواهد داشت که اتومبیل را به یک جهت هل دهند (شکل 5).

برنج. 5. مؤثرترین جهت مشترک تلاش

چقدر که دربه فشار دادن ماشین تا حدی کمک می کند که جهت نیروی آن به جهت نیرویی که با آن عمل می کند نزدیک باشد آ، تابعی از زاویه است و از طریق کسینوس آن بیان می شود (شکل 6).

برنج. 6. کسینوس به عنوان مشخصه بازده تلاش که در

اگر قدر نیرویی را که با آن ضرب کنیم که در، بر روی کسینوس زاویه، نیروی آن را بر روی جهت نیرویی که با آن عمل می کند به دست می آوریم. آ. هر چه زاویه بین جهت نیروها به آو که در(شکل 7). اگر ماشین را با همان نیروی در جهت مخالف هل دهند، ماشین در جای خود باقی می ماند (شکل 8).

برنج. 7. اثربخشی تلاش های مشترک آو که در

برنج. 8. جهت مخالفعمل نیروها آو که در

درک این موضوع مهم است که چرا می‌توانیم یک زاویه (کمک آن در نتیجه نهایی) را با کسینوس (یا دیگر تابع مثلثاتی یک زاویه) جایگزین کنیم. در واقع، این از این خاصیت مثلث های مشابه نتیجه می گیرد. از آنجایی که در واقع ما این را می گوییم: زاویه را می توان با نسبت دو عدد (ضبط-هیپوتنوز یا کناره) جایگزین کرد. اگر مثلاً برای یک زاویه از مثلث های قائم الزاویه مختلف، این نسبت ها متفاوت باشند، این غیرممکن خواهد بود (شکل 9).

برنج. 9. نسبت اضلاع برابر در مثلث های مشابه

برای مثال، اگر نسبت و نسبت متفاوت بود، نمی‌توانیم تابع مماس را معرفی کنیم، زیرا برای یک زاویه در مثلث‌های قائم الزاویه مختلف، مماس متفاوت خواهد بود. اما با توجه به یکسان بودن نسبت های طول پاهای مثلث های قائم الزاویه مشابه، مقدار تابع به مثلث بستگی نخواهد داشت، به این معنی که زاویه تند و مقادیر توابع مثلثاتی آن است. یک به یک.

فرض کنید ارتفاع یک درخت معین را می دانیم (شکل 10). چگونه ارتفاع ساختمان مجاور را اندازه گیری کنیم؟

برنج. 10. تصویری از شرط مثال 2

نقطه ای را پیدا می کنیم که خطی از این نقطه و بالای خانه کشیده شده از بالای درخت عبور کند (شکل 11).

برنج. 11. تصویر حل مسئله مثال 2

ما می توانیم فاصله این نقطه تا درخت، فاصله آن تا خانه را اندازه گیری کنیم و ارتفاع درخت را می دانیم. از نسبت می توانید ارتفاع خانه را پیدا کنید: .

تناسب، قسمتبرابری نسبت دو عدد است. در این حالت برابری نسبت طول پاهای مثلث های قائم الزاویه مشابه است. علاوه بر این، این نسبت ها برابر با اندازه معینی از زاویه هستند که از طریق یک تابع مثلثاتی بیان می شود (طبق تعریف، این یک مماس است). متوجه شدیم که برای هر زاویه حاد مقدار تابع مثلثاتی آن منحصر به فرد است. یعنی سینوس، کسینوس، مماس، کوتانژانت واقعاً توابعی هستند، زیرا هر زاویه حاد دقیقاً با یک مقدار از هر یک از آنها مطابقت دارد. در نتیجه، می توان آنها را بیشتر مورد بررسی قرار داد و از خواص آنها استفاده کرد. مقادیر توابع مثلثاتی برای همه زوایا قبلاً محاسبه شده است و می توان از آنها استفاده کرد (آنها را می توان از جداول Bradis یا با استفاده از هر ماشین حساب مهندسی). اما ما همیشه نمی‌توانیم مسئله معکوس را حل کنیم (مثلاً استفاده از مقدار سینوس برای بازگرداندن اندازه زاویه مطابق با آن).

بگذارید سینوس یک زاویه برابر یا تقریباً باشد (شکل 12). چه زاویه ای با این مقدار سینوسی مطابقت خواهد داشت؟ البته، می‌توانیم دوباره از جدول Bradis استفاده کنیم و مقداری را پیدا کنیم، اما معلوم می‌شود که این جدول تنها نخواهد بود (شکل 13).

برنج. 12. یافتن یک زاویه با مقدار سینوس آن

برنج. 13. چند معنایی توابع مثلثاتی معکوس

در نتیجه، هنگام بازسازی مقدار تابع مثلثاتی یک زاویه، ماهیت چند ارزشی توابع مثلثاتی معکوس به وجود می آید. این ممکن است دشوار به نظر برسد، اما در واقعیت ما هر روز با موقعیت های مشابهی روبرو هستیم.

اگر پنجره‌ها را پرده می‌کنید و نمی‌دانید بیرون روشن است یا تاریک، یا خود را در غار می‌بینید، پس وقتی از خواب بیدار می‌شوید، دشوار است بگویید که آیا ساعت یک بعد از ظهر است، شب است یا روز بعد (شکل 14). در واقع، اگر از ما بپرسید "ساعت چند است؟"، باید صادقانه پاسخ دهیم: "ساعت به اضافه ضربدر کجا"

برنج. 14. تصویر چندمعنی با استفاده از مثال ساعت

می توان نتیجه گرفت که این یک دوره است (فاصله ای که پس از آن ساعت همان زمان فعلی را نشان می دهد). توابع مثلثاتی نیز دارای دوره هستند: سینوس، کسینوس و غیره. یعنی مقادیر آنها پس از مقداری تغییر در استدلال تکرار می شود.

اگر تغییر روز و شب یا تغییر فصل در سیاره وجود نداشت، نمی توانستیم از زمان تناوبی استفاده کنیم. از این گذشته، ما فقط سال ها را به ترتیب صعودی می شماریم، اما روزها ساعت دارند و هر روز جدید شمارش دوباره شروع می شود. در مورد ماه ها نیز وضعیت به همین صورت است: اگر الان ژانویه باشد، چند ماه دیگر ژانویه دوباره می آید و غیره. نقاط مرجع خارجی به ما کمک می کنند تا از شمارش دوره ای زمان (ساعت، ماه) استفاده کنیم، به عنوان مثال، چرخش زمین به دور محور خود و تغییر موقعیت خورشید و ماه در آسمان. اگر خورشید همیشه در یک موقعیت معلق باشد، برای محاسبه زمان، تعداد ثانیه‌ها (دقیقه‌ها) از لحظه شروع این محاسبه را می‌شماریم. تاریخ و زمان ممکن است به این صورت باشد: یک میلیارد ثانیه.

نتیجه گیری: از نظر چندمعنی توابع معکوس مشکلی وجود ندارد. در واقع، زمانی که برای یک سینوس مقادیر متفاوتی از زاویه وجود دارد، ممکن است گزینه هایی وجود داشته باشد (شکل 15).

برنج. 15. بازگرداندن یک زاویه از مقدار سینوس آن

معمولاً هنگام حل مسائل عملی، همیشه در محدوده استاندارد از تا . در این محدوده برای هر مقدار تابع مثلثاتی فقط دو مقدار مربوط به اندازه گیری زاویه وجود دارد.

یک تسمه متحرک و یک آونگ به شکل سطل با سوراخی که شن از آن بیرون می ریزد را در نظر بگیرید. آونگ می چرخد، نوار حرکت می کند (شکل 16). در نتیجه، ماسه اثری به شکل نمودار تابع سینوسی (یا کسینوس) از خود به جای می گذارد که به آن موج سینوسی می گویند.

در واقع، نمودارهای سینوس و کسینوس فقط در نقطه مرجع با یکدیگر تفاوت دارند (اگر یکی از آنها را رسم کنید و سپس محورهای مختصات را پاک کنید، نمی توانید تعیین کنید که کدام نمودار رسم شده است). بنابراین، هیچ فایده ای ندارد که گراف کسینوس را گراف بنامیم (چرا یک نام جداگانه برای همان گراف در نظر بگیریم)؟

برنج. 16. تصویر بیان مسئله در مثال 4

نمودار یک تابع همچنین می تواند به شما در درک اینکه چرا توابع معکوس مقادیر زیادی دارند کمک کند. اگر مقدار سینوس ثابت باشد، یعنی. یک خط مستقیم به موازات محور آبسیسا رسم کنید، سپس در محل تقاطع تمام نقاطی را به دست می آوریم که در آنها سینوس زاویه برابر با نقطه داده شده است. واضح است که تعداد بی نهایت چنین نقاطی وجود خواهد داشت. همانطور که در مثال با ساعت، که در آن مقدار زمان با مقدار متفاوت است، فقط در اینجا مقدار زاویه با مقدار متفاوت خواهد بود (شکل 17).

برنج. 17. تصویر چندمعنی برای سینوس

اگر مثال یک ساعت را در نظر بگیریم، آنگاه نقطه (انتهای عقربه های ساعت) در اطراف دایره حرکت می کند. توابع مثلثاتی را می توان به همین ترتیب تعریف کرد - نه زوایای یک مثلث قائم الزاویه، بلکه زاویه بین شعاع دایره و جهت مثبت محور را در نظر بگیرید. تعداد دایره هایی که نقطه از آنها عبور می کند (ما توافق کردیم که حرکت را در جهت عقربه های ساعت با علامت منفی بشماریم و در خلاف جهت عقربه های ساعت با علامت مثبت) این یک نقطه است (شکل 18).

برنج. 18. مقدار سینوس در یک دایره

بنابراین، تابع معکوسبه طور منحصر به فرد در یک بازه زمانی مشخص تعیین می شود. برای این بازه می توانیم مقادیر آن را محاسبه کنیم و با جمع و تفریق دوره تابع، بقیه مقادیر را از مقادیر یافت شده بدست آوریم.

بیایید نمونه دیگری از یک دوره را بررسی کنیم. ماشین در کنار جاده در حال حرکت است. بیایید تصور کنیم که چرخ او به رنگ یا گودال فرو رفته است. علائم گاه به گاه از رنگ یا گودال های موجود در جاده ممکن است دیده شود (شکل 19).

برنج. 19. تصویر دوره

فرمول های مثلثاتی بسیار زیادی در دوره مدرسه وجود دارد، اما به طور کلی فقط یک مورد را به خاطر بسپارید (شکل 20).

برنج. 20. فرمول های مثلثاتی

فرمول دو زاویه را نیز می توان به راحتی از سینوس مجموع با جایگزین کردن (به طور مشابه برای کسینوس) بدست آورد. شما همچنین می توانید فرمول های محصول را استخراج کنید.

در واقع، شما نیاز به یادآوری بسیار کمی دارید، زیرا با حل مسائل، خود این فرمول ها به خاطر سپرده می شوند. البته، کسی برای تصمیم گیری خیلی تنبل خواهد بود، اما پس از آن نیازی به این تکنیک و بنابراین خود فرمول ها نخواهد داشت.

و از آنجایی که به فرمول ها نیازی نیست، پس نیازی به حفظ آنها نیست. شما فقط باید این ایده را درک کنید که توابع مثلثاتی توابعی هستند که برای محاسبه، به عنوان مثال، پل ها استفاده می شوند. تقریباً هیچ مکانیزمی نمی تواند بدون استفاده و محاسبه آنها انجام دهد.

1. اغلب این سوال مطرح می شود که آیا سیم ها می توانند کاملا موازی با زمین باشند؟ پاسخ: نه، آنها نمی توانند، زیرا یک نیرو به سمت پایین و سایرین به طور موازی عمل می کنند - هرگز تعادل نخواهند داشت (شکل 21).

2. یک قو، یک خرچنگ و یک پیک گاری را در یک هواپیما می کشند. قو در یک جهت پرواز می کند، خرچنگ به سمت دیگر می کشد و پیک در سمت سوم (شکل 22). قدرت آنها را می توان متعادل کرد. این تعادل را می توان با استفاده از توابع مثلثاتی محاسبه کرد.

3. پل کابلی (شکل 23). توابع مثلثاتی به محاسبه تعداد کابل ها، نحوه هدایت و کشش آنها کمک می کند.

برنج. 23. پل کابلی

برنج. 24. "پل ریسمانی"

برنج. 25. پل بولشوی اوبوخوفسکی

پیوندها به سایت ma-te-ri-a-lyInternetUrok

ریاضی ششم ابتدایی:

هندسه پایه هشتم:

حفظ حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل، ما یک خط مشی رازداری ایجاد کرده ایم که نحوه استفاده و ذخیره اطلاعات شما را شرح می دهد. لطفاً رویه‌های حفظ حریم خصوصی ما را مرور کنید و اگر سؤالی دارید با ما در میان بگذارید.

جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی

اطلاعات شخصی به داده هایی اشاره دارد که می توان از آنها برای شناسایی یا تماس با یک فرد خاص استفاده کرد.

ممکن است در هر زمانی که با ما تماس می گیرید از شما خواسته شود اطلاعات شخصی خود را ارائه دهید.

در زیر چند نمونه از انواع اطلاعات شخصی که ممکن است جمع آوری کنیم و نحوه استفاده از این اطلاعات آورده شده است.

چه اطلاعات شخصی جمع آوری می کنیم:

• وقتی درخواستی را در سایت ارسال می کنید، ممکن است اطلاعات مختلفی از جمله نام، شماره تلفن، آدرس شما را جمع آوری کنیم پست الکترونیکو غیره.

نحوه استفاده ما از اطلاعات شخصی شما:

• جمع آوری شده توسط ما اطلاعات شخصیبه ما اجازه می دهد تا با شما تماس بگیریم و در مورد پیشنهادات منحصر به فرد، تبلیغات و سایر رویدادها و رویدادهای آینده به شما اطلاع دهیم.
• هر از گاهی، ممکن است از اطلاعات شخصی شما برای ارسال اعلان‌ها و ارتباطات مهم استفاده کنیم.
• ما همچنین ممکن است از اطلاعات شخصی برای مقاصد داخلی مانند انجام ممیزی، تجزیه و تحلیل داده ها و تحقیقات مختلف به منظور بهبود خدمات ارائه شده و ارائه توصیه هایی در مورد خدمات خود به شما استفاده کنیم.
• اگر در قرعه کشی جوایز، مسابقه یا تبلیغات مشابه شرکت می کنید، ممکن است از اطلاعاتی که شما ارائه می دهید برای اجرای چنین برنامه هایی استفاده کنیم.

افشای اطلاعات به اشخاص ثالث

ما اطلاعات دریافتی از شما را در اختیار اشخاص ثالث قرار نمی دهیم.

استثناها:

• در صورت لزوم - طبق قانون، رویه قضایی، مراحل قانونی و/یا بر اساس درخواست‌های عمومی یا درخواست‌های سازمان های دولتیدر قلمرو فدراسیون روسیه - اطلاعات شخصی خود را افشا کنید. همچنین اگر تشخیص دهیم که چنین افشایی برای اهداف امنیتی، اجرای قانون یا سایر اهداف مهم عمومی ضروری یا مناسب است، ممکن است اطلاعاتی درباره شما فاش کنیم.
• در صورت سازماندهی مجدد، ادغام یا فروش، ممکن است اطلاعات شخصی را که جمع آوری می کنیم به شخص ثالث جانشین مربوطه منتقل کنیم.

حفاظت از اطلاعات شخصی

ما اقدامات احتیاطی - از جمله اداری، فنی و فیزیکی - را برای محافظت از اطلاعات شخصی شما در برابر از دست دادن، سرقت، و سوء استفاده، و همچنین دسترسی غیرمجاز، افشا، تغییر و تخریب انجام می دهیم.

احترام به حریم خصوصی شما در سطح شرکت

برای اطمینان از ایمن بودن اطلاعات شخصی شما، استانداردهای حریم خصوصی و امنیتی را به کارمندان خود ابلاغ می کنیم و شیوه های حفظ حریم خصوصی را به شدت اجرا می کنیم.

روزی روزگاری در مدرسه یک دوره جداگانه برای مطالعه مثلثات وجود داشت. این گواهی شامل نمرات در سه رشته ریاضی جبر، هندسه و مثلثات بود.

سپس، به عنوان بخشی از اصلاحات تحصیلات مدرسه ایمثلثات به عنوان یک موضوع جداگانه وجود نداشت. که در مدرسه مدرناولین آشنایی با مثلثات در درس هندسه پایه هشتم اتفاق می افتد. مطالعه عمیق تر این موضوع در درس جبر پایه دهم ادامه دارد.

تعاریف سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت ابتدا در هندسه از طریق رابطه اضلاع یک مثلث قائم الزاویه ارائه شده است.

زاویه حاد در مثلث قائم الزاویه نسبت ضلع مقابل به هیپوتنوز است.

کسینوسزاویه حاد در مثلث قائم الزاویه، نسبت ساق مجاور به هیپوتنوز است.

مماسزاویه تند در مثلث قائم الزاویه، نسبت ضلع مقابل به ضلع مجاور است.

کوتانژانتزاویه تند در مثلث قائم الزاویه، نسبت ضلع مجاور به ضلع مقابل است.

این تعاریف فقط برای زوایای حاد (0º تا 90 درجه) اعمال می شود.

مثلا،

در مثلث ABC، که در آن ∠C=90 درجه، BC سمت مقابل زاویه A، AC ساقه مجاور زاویه A، AB افت فشار است.

درس جبر پایه دهم تعاریف سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت را برای هر زاویه (از جمله منفی) معرفی می کند.

دایره ای به شعاع R با مرکز در مبدا در نظر بگیرید - نقطه O(0;0). نقطه تلاقی دایره با جهت مثبت محور آبسیسا را ​​P 0 نشان می دهیم.

در هندسه، زاویه به عنوان قسمتی از صفحه در نظر گرفته می شود که توسط دو پرتو محدود شده است. با این تعریف، زاویه از 0 درجه تا 180 درجه متغیر است.

در مثلثات، زاویه به عنوان نتیجه چرخش پرتو OP 0 به دور نقطه شروع O در نظر گرفته می شود.

در همان زمان، آنها موافقت کردند که چرخش پرتو را در خلاف جهت عقربه های ساعت به عنوان یک جهت مثبت پیمایش، و در جهت عقربه های ساعت منفی در نظر بگیرند (این توافق با حرکت واقعی خورشید به دور زمین مرتبط است).

به عنوان مثال، هنگامی که پرتو OP 0 به دور نقطه O با زاویه α در خلاف جهت عقربه های ساعت می چرخد، نقطه P 0 به نقطه P α می رود،

هنگام چرخش با زاویه α در جهت عقربه های ساعت - به نقطه F.

با این تعریف، زاویه می تواند هر مقداری را بگیرد.

اگر به چرخش پرتو OP 0 در خلاف جهت عقربه‌های ساعت ادامه دهیم، هنگام چرخش از یک زاویه α°+360°، α°+360°·2،...،α°+360°·n، که در آن n یک عدد صحیح است (n∈ Ζ)، دوباره به نقطه P α برسیم:

زاویه ها بر حسب درجه و رادیان اندازه گیری می شوند.

1 درجه زاویه ای برابر با 1/180 درجه اندازه گیری زاویه توسعه یافته است.

1 رادیان زاویه مرکزی است که طول قوس آن برابر با شعاع دایره است:

∠AOB=1 راد.

نمادهای رادینی معمولا نوشته نمی شوند. تعیین مدرک را نمی توان از ورودی حذف کرد.

مثلا،

نقطه P α، از نقطه P 0 با چرخش پرتو OP 0 حول نقطه O با زاویه α در خلاف جهت عقربه های ساعت، دارای مختصات P α (x;y) است.

اجازه دهید یک P α A عمود از نقطه P α به محور آبسیسا رها کنیم.

در مثلث قائم الزاویه OP α A:

P α A - پای مخالف زاویه α،

OA - پای مجاور زاویه α،

OP α هیپوتانوز است.

P α A=y، OA=x، OP α =R.

با تعریف سینوس، کسینوس، مماس و کتانژانت در مثلث قائم الزاویه داریم:

بنابراین، در مورد دایره ای با مرکز در مبدا شعاع دلخواه سینوسیزاویه α نسبت مختصات نقطه P α به طول شعاع است.

کسینوسزاویه α نسبت آبسیسا نقطه P α به طول شعاع است.

مماسزاویه α نسبت مختصات یک نقطه P α به آبسیسا آن است.

کوتانژانتزاویه α نسبت ابسیسا نقطه P α به مختصات آن است.

مقادیر سینوس، کسینوس، مماس و کتانژانت فقط به مقدار α بستگی دارد و به طول شعاع R بستگی ندارد (این از شباهت دایره ها حاصل می شود).

بنابراین، انتخاب R=1 راحت است.

دایره ای با مرکز در مبدا و شعاع R=1 دایره واحد نامیده می شود.

تعاریف

1) سینوسیزاویه α را منتخب نقطه P α (x;y) دایره واحد می نامند:

2) کسینوسزاویه α آبسیسا نقطه P α (x;y) دایره واحد نامیده می شود:

3) مماسزاویه α نسبت مختصات یک نقطه P α (x;y) به آبسیسا آن است، یعنی نسبت sinα به cosα (که cosα≠0):

4) کوتانژانتزاویه α نسبت آبسیسا یک نقطه P α (x;y) به مختصات آن است، یعنی نسبت cosα به sinα (که sinα≠0):

تعاریف ارائه شده به این روش به ما امکان می دهد که نه تنها توابع مثلثاتی زاویه ها، بلکه توابع مثلثاتی آرگومان های عددی را نیز در نظر بگیریم (اگر sinα، cosα، tanα و ctgα را به عنوان توابع مثلثاتی متناظر یک زاویه در رادیان α در نظر بگیریم، یعنی، سینوس عدد α سینوس زاویه بر حسب رادیان α، کسینوس عدد α کسینوس زاویه بر حسب رادیان α و غیره است.

ویژگی های توابع مثلثاتی به عنوان یک مبحث جداگانه در درس جبر در پایه های 10 یا 11 بررسی می شود. توابع مثلثاتی به طور گسترده در فیزیک استفاده می شود.

دسته بندی: |