قضیه مساحت مثلث، قضایای سینوس ها و کسینوس ها. مساحت مثلث مساحت سینوس مثلث زاویه بین آنها

با دانستن پایه و ارتفاع می توان آن را پیدا کرد. تمام سادگی نمودار در این است که ارتفاع پایه a را به دو قسمت 1 و 2 تقسیم می کند و خود مثلث را به دو مثلث قائم الزاویه تقسیم می کند که مساحت آن ها و است. سپس مساحت کل مثلث حاصل جمع دو ناحیه مشخص شده خواهد بود و اگر یک ثانیه از ارتفاع را از براکت خارج کنیم، در مجموع پایه را برمی‌گردانیم:

یک روش دشوارتر برای محاسبات، فرمول هرون است که برای آن باید هر سه طرف را بدانید. برای این فرمول ابتدا باید نیم محیط مثلث را محاسبه کنید: فرمول هرون به خودی خود دلالت بر جذر نیم محیط دارد که به نوبه خود در اختلاف آن در هر طرف ضرب می شود.

روش زیر، همچنین مربوط به هر مثلث، به شما امکان می دهد مساحت مثلث را از طریق دو ضلع و زاویه بین آنها پیدا کنید. اثبات این امر از فرمول ارتفاع حاصل می شود - ما ارتفاع را در هر یک از اضلاع شناخته شده رسم می کنیم و از طریق سینوس زاویه α به دست می آوریم که h=a⋅sinα. برای محاسبه مساحت، نصف ارتفاع را در ضلع دوم ضرب کنید.

راه دیگر این است که مساحت یک مثلث را با دانستن 2 زاویه و ضلع بین آنها پیدا کنید. اثبات این فرمول بسیار ساده است و از نمودار به وضوح قابل مشاهده است.

ارتفاع را از راس زاویه سوم به ضلع شناخته شده پایین می آوریم و بر این اساس قسمت های حاصل را x می نامیم. از جانب مثلث های قائم الزاویهواضح است که بخش اول x برابر با حاصلضرب است

به عبارت ساده، اینها سبزیجاتی هستند که طبق دستور العمل خاصی در آب پخته می شوند. من دو جزء اولیه (سالاد سبزیجات و آب) و نتیجه نهایی - گل گاوزبان را در نظر خواهم گرفت. از نظر هندسی، می توان آن را به عنوان یک مستطیل در نظر گرفت که یک طرف آن نشان دهنده کاهو و طرف دیگر نشان دهنده آب است. مجموع این دو ضلع نشانگر گل گاوزبان خواهد بود. مورب و مساحت چنین مستطیل "بورشت" مفاهیمی کاملاً ریاضی است و هرگز در دستور العمل های گل گاوزبان استفاده نمی شود.

چگونه کاهو و آب از نظر ریاضی به گل گاوزبان تبدیل می شوند؟ چگونه مجموع دو پاره خط می تواند مثلثاتی شود؟ برای درک این موضوع به توابع زاویه ای خطی نیاز داریم.

در کتاب های ریاضی چیزی در مورد توابع زاویه ای خطی پیدا نمی کنید. اما بدون آنها ریاضیات وجود ندارد. قوانین ریاضیات، مانند قوانین طبیعت، صرف نظر از اینکه ما از وجود آنها اطلاع داریم یا نه، کار می کنند.

توابع زاویه ای خطی قوانین جمع هستند.ببینید چگونه جبر به هندسه و هندسه به مثلثات تبدیل می شود.

آیا می توان بدون توابع زاویه ای خطی انجام داد؟ این امکان پذیر است، زیرا ریاضیدانان هنوز بدون آنها مدیریت می کنند. ترفند ریاضیدانان این است که آنها همیشه فقط در مورد مسائلی به ما می گویند که خودشان می دانند چگونه آنها را حل کنند و هرگز در مورد مسائلی که نمی توانند حل کنند به ما نمی گویند. نگاه کن اگر نتیجه جمع و یک جمله را بدانیم، برای یافتن جمله دیگر از تفریق استفاده می کنیم. همه. ما مشکلات دیگر را نمی دانیم و نمی دانیم چگونه آنها را حل کنیم. اگر فقط نتیجه جمع را بدانیم و هر دو اصطلاح را ندانیم چه باید بکنیم؟ در این حالت، نتیجه جمع باید با استفاده از توابع زاویه ای خطی به دو ترم تجزیه شود. در مرحله بعد، ما خودمان انتخاب می کنیم که یک جمله چه چیزی باشد، و توابع زاویه ای خطی نشان می دهند که عبارت دوم چقدر باید باشد تا نتیجه جمع دقیقاً همان چیزی باشد که ما نیاز داریم. می تواند تعداد نامتناهی از این جفت اصطلاح وجود داشته باشد. که در زندگی روزمرهما می توانیم بدون تجزیه مجموع به خوبی انجام دهیم؛ تفریق برای ما کافی است. اما کی تحقیق علمیقوانین طبیعت، تجزیه یک مجموع به اجزای آن می تواند بسیار مفید باشد.

یکی دیگر از قوانین جمع که ریاضیدانان دوست ندارند در مورد آن صحبت کنند (یکی دیگر از ترفندهای آنها) مستلزم آن است که اصطلاحات واحدهای اندازه گیری یکسانی داشته باشند. برای سالاد، آب و گل گاوزبان، اینها می توانند واحدهای وزن، حجم، ارزش یا واحد اندازه گیری باشند.

شکل دو سطح تفاوت را برای ریاضی نشان می دهد. سطح اول تفاوت در زمینه اعداد است که نشان داده شده است آ, ب, ج. این کاری است که ریاضیدانان انجام می دهند. سطح دوم تفاوت در زمینه واحدهای اندازه گیری است که در پرانتز نشان داده شده و با حرف نشان داده شده است. U. این کاری است که فیزیکدانان انجام می دهند. ما می توانیم سطح سوم را درک کنیم - تفاوت در ناحیه اشیاء توصیف شده. اجسام مختلف می توانند تعداد واحدهای اندازه گیری یکسانی داشته باشند. چقدر این مهم است، می‌توانیم در مثال مثلثات بورشت ببینیم. اگر به یک واحد اندازه گیری اشیاء مختلف زیرنویس اضافه کنیم، می توانیم دقیقا بگوییم کدام یک کمیت ریاضییک شی خاص و چگونگی تغییر آن در طول زمان یا به دلیل اعمال ما را توصیف می کند. حرف دبلیومن آب را با یک نامه تعیین می کنم اسمن سالاد را با یک نامه تعیین می کنم ب- بورش این همان چیزی است که توابع زاویه ای خطی برای گل گاوزبان به نظر می رسد.

اگر مقداری از آب و مقداری از سالاد را برداریم با هم تبدیل به یک قسمت گل گاوزبان می شوند. در اینجا به شما پیشنهاد می کنم کمی از گل گاوزبان فاصله بگیرید و دوران کودکی دور خود را به یاد بیاورید. یادتان هست چگونه به ما یاد دادند که خرگوش و اردک را کنار هم قرار دهیم؟ لازم بود که تعداد حیوانات پیدا شود. آن موقع به ما یاد دادند که چه کار کنیم؟ به ما یاد دادند که واحدهای اندازه گیری را از اعداد جدا کنیم و اعداد را جمع کنیم. بله، هر عددی را می توان به هر عدد دیگری اضافه کرد. این یک مسیر مستقیم به اوتیسم ریاضیات مدرن است - ما آن را به طور نامفهومی انجام می دهیم که چه چیزی، به طور نامفهومی چرا، و بسیار ضعیف درک می کنیم که چگونه این با واقعیت ارتباط دارد، زیرا به دلیل سه سطح تفاوت، ریاضیدانان تنها با یک سطح کار می کنند. درست تر است که یاد بگیرید چگونه از یک واحد اندازه گیری به واحد دیگر حرکت کنید.

خرگوش ها، اردک ها و حیوانات کوچک را می توان تکه تکه شمرد. یک واحد اندازه گیری مشترک برای اجسام مختلف به ما امکان می دهد آنها را با هم جمع کنیم. این یک نسخه کودکانه از مشکل است. بیایید به یک مشکل مشابه برای بزرگسالان نگاه کنیم. وقتی خرگوش و پول اضافه می کنید چه چیزی بدست می آورید؟ در اینجا دو راه حل ممکن وجود دارد.

گزینه اول. ما ارزش بازار خرگوش ها را تعیین می کنیم و آن را به مقدار پول موجود اضافه می کنیم. ما ارزش کل ثروت خود را به صورت پولی بدست آوردیم.

گزینه دوم. می توانید تعداد خرگوش ها را به تعداد ما اضافه کنید اسکناس ها. مقدار اموال منقول را تکه تکه دریافت خواهیم کرد.

همانطور که می بینید، قانون جمع یکسان به شما اجازه می دهد تا نتایج متفاوتی بدست آورید. همه چیز بستگی به این دارد که دقیقاً چه چیزی می خواهیم بدانیم.

اما بیایید به گل گاوزبان خودمان برگردیم. اکنون می توانیم ببینیم که برای مقادیر مختلف زاویه توابع زاویه ای خطی چه اتفاقی می افتد.

زاویه صفر است. سالاد داریم اما آب نداریم. ما نمی توانیم گل گاوزبان بپزیم. مقدار گل گاوزبان نیز صفر است. این اصلا به این معنی نیست که صفر گاوزبان برابر با صفر آب است. گل گاوزبان صفر با سالاد صفر (زاویه سمت راست) وجود دارد.

برای من شخصا، این دلیل اصلی ریاضی این واقعیت است که . صفر هنگام اضافه شدن عدد را تغییر نمی دهد. این به این دلیل اتفاق می افتد که اگر فقط یک جمله وجود داشته باشد و جمله دوم وجود نداشته باشد، خود جمع غیرممکن است. شما می توانید هر طور که دوست دارید در مورد این احساس کنید، اما به یاد داشته باشید - تمام عملیات ریاضی با صفر توسط خود ریاضیدانان اختراع شده است، بنابراین منطق خود را دور بریزید و تعاریف ابداع شده توسط ریاضیدانان را احمقانه درهم کنید: "تقسیم بر صفر غیرممکن است"، "هر عددی ضربدر صفر برابر با صفر است، "فراتر از نقطه سوراخ صفر" و مزخرفات دیگر. کافی است یک بار به یاد داشته باشید که صفر یک عدد نیست و دیگر هرگز این سوال برایتان پیش نخواهد آمد که آیا صفر یک عدد طبیعی است یا خیر، زیرا چنین سوالی معنای خود را از دست می دهد: چگونه چیزی که عدد نیست عدد محسوب می شود. ? مثل این است که بپرسیم یک رنگ نامرئی باید به چه رنگی طبقه بندی شود. افزودن صفر به عددی مانند نقاشی با رنگی است که وجود ندارد. یک برس خشک را تکان دادیم و به همه گفتیم که "نقاشی کردیم." اما کمی منحرف می شوم.

زاویه بزرگتر از صفر اما کمتر از چهل و پنج درجه است. ما کاهو زیاد داریم اما آب کافی نداریم. در نتیجه گل گاوزبان غلیظ به دست می آوریم.

زاویه چهل و پنج درجه است. مقدار مساوی آب و سالاد داریم. این بورشت عالی است (من را ببخشید، سرآشپزها، این فقط ریاضی است).

زاویه بزرگتر از چهل و پنج درجه، اما کمتر از نود درجه است. آب زیاد داریم و سالاد کمی. گل گاوزبان مایع دریافت خواهید کرد.

زاویه راست. آب داریم تنها چیزی که از سالاد باقی می ماند خاطرات است، زیرا ما به اندازه گیری زاویه از خطی که زمانی سالاد را مشخص می کرد، ادامه می دهیم. ما نمی توانیم گل گاوزبان بپزیم. مقدار گل گاوزبان صفر است. در این صورت دست نگه دارید و تا زمانی که آب دارید بنوشید)))

اینجا. چیزی شبیه به این. من می توانم داستان های دیگری را در اینجا بگویم که در اینجا مناسب تر است.

دو دوست در یک تجارت مشترک سهم داشتند. پس از کشتن یکی از آنها همه چیز به سراغ دیگری رفت.

ظهور ریاضیات در سیاره ما.

همه این داستان ها به زبان ریاضیات با استفاده از توابع زاویه ای خطی گفته می شود. زمانی دیگر جایگاه واقعی این توابع را در ساختار ریاضیات به شما نشان خواهم داد. در ضمن به مثلثات بورشت برگردیم و پیش بینی ها را در نظر بگیریم.

شنبه 26 اکتبر 2019

ویدیوی جالبی در موردش دیدم سریال گراندی یک منهای یک به علاوه یک منهای یک - Numberphile. ریاضیدانان دروغ می گویند. آنها در طول استدلال خود یک بررسی برابری انجام ندادند.

این بازتاب افکار من در مورد است.

بیایید به نشانه هایی که ریاضیدانان ما را فریب می دهند نگاهی دقیق بیندازیم. در همان ابتدای بحث، ریاضیدانان می گویند که مجموع یک دنباله به این بستگی دارد که آیا تعداد عناصر زوج داشته باشد یا نه. این یک واقعیت عینی است. بعد چه اتفاقی می افتد؟

سپس، ریاضیدانان دنباله را از وحدت کم می کنند. این به چه چیزی منجر می شود؟ این منجر به تغییر در تعداد عناصر دنباله می شود - یک عدد زوج به عدد فرد و یک عدد فرد به عدد زوج تغییر می کند. پس از همه، ما یک عنصر برابر با یک به دنباله اضافه کردیم. با وجود تمام شباهت های خارجی، دنباله قبل از تبدیل با دنباله بعد از تبدیل برابر نیست. حتی اگر در مورد یک دنباله نامتناهی صحبت می کنیم، باید به خاطر داشته باشیم که یک دنباله نامتناهی با تعداد فرد فرد با یک دنباله نامتناهی با تعدادی عنصر زوج برابر نیست.

با قرار دادن علامت مساوی بین دو دنباله با تعداد عناصر مختلف، ریاضیدانان ادعا می کنند که مجموع دنباله به تعداد عناصر دنباله بستگی ندارد، که با یک واقعیت عینی تثبیت شده در تضاد است. استدلال بیشتر در مورد مجموع یک دنباله نامتناهی نادرست است، زیرا بر اساس یک برابری کاذب است.

اگر می بینید که ریاضیدانان در جریان اثبات، براکت ها را قرار می دهند، عناصر یک عبارت ریاضی را مرتب می کنند، چیزی اضافه یا حذف می کنند، بسیار مراقب باشید، به احتمال زیاد آنها سعی در فریب شما دارند. مانند شعبده بازان کارت، ریاضی دانان از دستکاری های مختلف بیان استفاده می کنند تا توجه شما را منحرف کنند تا در نهایت نتیجه نادرستی به شما بدهند. اگر نمی توانید یک حقه کارت را بدون دانستن راز فریب تکرار کنید، در ریاضیات همه چیز بسیار ساده تر است: شما حتی به چیزی در مورد فریب مشکوک نیستید، اما تکرار تمام دستکاری ها با یک عبارت ریاضی به شما امکان می دهد دیگران را در مورد درستی آن متقاعد کنید. نتیجه به دست آمده، درست مانند زمانی که - آنها شما را متقاعد کردند.

سوال مخاطب: آیا بی نهایت (به عنوان تعداد عناصر دنباله S) زوج است یا فرد؟ چگونه می توانید برابری چیزی را تغییر دهید که برابری ندارد؟

بی نهایت برای ریاضیدانان است، مانند پادشاهی بهشت ​​برای کشیشان - هیچ کس تا به حال آنجا نبوده است، اما همه دقیقا می دانند که همه چیز در آنجا چگونه کار می کند))) موافقم، پس از مرگ شما کاملا بی تفاوت خواهید بود، چه عدد زوج یا فرد داشته باشید. از روزها، اما... با اضافه کردن تنها یک روز به آغاز زندگی شما، یک شخص کاملاً متفاوت خواهیم داشت: نام خانوادگی، نام و نام خانوادگی او دقیقاً یکسان است، فقط تاریخ تولد کاملاً متفاوت است - او بود. یک روز قبل از تو به دنیا آمد

حالا بریم سر اصل مطلب))) فرض کنیم دنباله ای متناهی که برابری دارد وقتی به بی نهایت می رود این برابری را از دست می دهد. سپس هر قطعه متناهی از یک دنباله نامتناهی باید برابری را از دست بدهد. ما این را نمی بینیم. این واقعیت که نمی توانیم با اطمینان بگوییم که یک دنباله نامتناهی دارای تعداد زوج یا فرد است، به این معنی نیست که برابری ناپدید شده است. برابری، اگر وجود داشته باشد، نمی تواند بدون ردپایی در بی نهایت ناپدید شود، مانند آستین شارپی. قیاس بسیار خوبی برای این مورد وجود دارد.

آیا تا به حال از فاخته ای که در ساعت نشسته است پرسیده اید که عقربه ساعت در کدام جهت می چرخد؟ برای او، فلش در جهت مخالف چیزی که ما آن را "جهت عقربه های ساعت" می نامیم می چرخد. هرچقدر هم که متناقض به نظر برسد، جهت چرخش فقط به این بستگی دارد که از کدام طرف چرخش را مشاهده کنیم. و بنابراین، ما یک چرخ داریم که می چرخد. ما نمی توانیم بگوییم که چرخش در کدام جهت رخ می دهد، زیرا می توانیم آن را هم از یک طرف صفحه چرخش و هم از طرف دیگر مشاهده کنیم. ما فقط می توانیم به این واقعیت شهادت دهیم که چرخش وجود دارد. قیاس کامل با برابری یک دنباله نامتناهی اس.

حالا بیایید چرخ دوار دومی را اضافه کنیم که صفحه چرخش آن موازی با صفحه چرخش اولین چرخ دوار است. ما هنوز نمی‌توانیم با اطمینان بگوییم که این چرخ‌ها در کدام جهت می‌چرخند، اما کاملاً می‌توان گفت که آیا هر دو چرخ در یک جهت می‌چرخند یا در جهت مخالف. مقایسه دو دنباله بی نهایت اسو 1-S، من با کمک ریاضیات نشان دادم که این دنباله ها دارای برابری های مختلف هستند و قرار دادن علامت مساوی بین آنها اشتباه است. من شخصاً به ریاضیات اعتماد دارم ، به ریاضیدانان اعتماد ندارم))) به هر حال ، برای درک کامل هندسه تبدیل دنباله های بینهایت ، لازم است این مفهوم را معرفی کنیم. "هم زمان". این باید ترسیم شود.

چهارشنبه 7 آگوست 2019

در پایان گفتگو در مورد، باید مجموعه ای بی نهایت را در نظر بگیریم. نکته این است که مفهوم "بی نهایت" بر ریاضیدانان تأثیر می گذارد، مانند بوآ بر روی خرگوش. وحشت لرزان بی نهایت ریاضیدانان را از عقل سلیم محروم می کند. در اینجا یک مثال است:

منبع اصلی قرار دارد. آلفا مخفف عدد واقعی. علامت مساوی در عبارات بالا نشان می دهد که اگر یک عدد یا بینهایت را به بی نهایت اضافه کنید، چیزی تغییر نمی کند، نتیجه همان بی نهایت خواهد بود. اگر مجموعه بی نهایت را مثال بزنیم اعداد طبیعی، سپس نمونه های در نظر گرفته شده را می توان به صورت زیر ارائه کرد:

ریاضیدانان برای اینکه به وضوح ثابت کنند که حق با آنهاست، روش های مختلفی را ارائه کردند. من شخصاً به همه این روش ها به عنوان شمن هایی که با تنبور می رقصند نگاه می کنم. در اصل، همه آنها به این واقعیت خلاصه می شوند که یا برخی از اتاق ها خالی از سکنه هستند و مهمانان جدید در حال نقل مکان هستند، یا اینکه برخی از بازدیدکنندگان به بیرون پرتاب می شوند تا جایی برای مهمانان باز کنند (بسیار انسانی). من دیدگاه خود را در مورد چنین تصمیماتی در قالب یک داستان فانتزی در مورد بلوند ارائه کردم. استدلال من بر چه اساسی است؟ جابجایی تعداد نامحدودی از بازدیدکنندگان زمان بی نهایتی را می طلبد. بعد از اینکه اولین اتاق را برای مهمان خالی کردیم، یکی از بازدیدکنندگان همیشه تا پایان زمان در امتداد راهرو از اتاق خود به اتاق بعدی راه می رود. البته می‌توان عامل زمان را به‌طور احمقانه نادیده گرفت، اما این در رده «هیچ قانونی برای احمق‌ها نوشته نشده» خواهد بود. همه چیز به کاری که انجام می دهیم بستگی دارد: تطبیق واقعیت با آن نظریه های ریاضییا برعکس.

"هتل بی پایان" چیست؟ هتل بی نهایت هتلی است که همیشه هر تعداد تخت خالی داشته باشد، صرف نظر از اینکه چند اتاق اشغال شده است. اگر تمام اتاق‌های راهروی بی‌پایان «ویزیتور» اشغال شود، راهروی بی‌انتهای دیگری با اتاق‌های «مهمان» وجود دارد. تعداد نامحدودی از این راهروها وجود خواهد داشت. علاوه بر این، "هتل بینهایت" دارای تعداد بی نهایت طبقه در تعداد نامتناهی ساختمان در تعداد بی نهایت سیاره در تعداد بی نهایت جهان است که توسط تعداد بی نهایت خدا ایجاد شده اند. ریاضیدانان نمی توانند از مسائل پیش پا افتاده روزمره فاصله بگیرند: همیشه فقط یک خدا-الله-بودا وجود دارد، فقط یک هتل وجود دارد، فقط یک راهرو وجود دارد. بنابراین ریاضی‌دانان در تلاش هستند تا شماره سریال اتاق‌های هتل را به اشتباه بیاندازند و ما را متقاعد کنند که می‌توان «در غیرممکن‌ها حرکت کرد».

من منطق استدلال خود را با استفاده از مثال مجموعه نامتناهی از اعداد طبیعی به شما نشان خواهم داد. ابتدا باید به یک سوال بسیار ساده پاسخ دهید: چند مجموعه اعداد طبیعی وجود دارد - یک یا چند؟ هیچ پاسخ درستی برای این سوال وجود ندارد، زیرا اعداد را خودمان اختراع کردیم؛ اعداد در طبیعت وجود ندارند. بله، طبیعت در شمارش عالی است، اما برای این کار از ابزارهای ریاضی دیگری استفاده می کند که برای ما آشنا نیستند. من به شما خواهم گفت که طبیعت چه فکری می کند. از آنجایی که ما اعداد را اختراع کردیم، خودمان تصمیم خواهیم گرفت که چند مجموعه اعداد طبیعی وجود داشته باشد. بیایید هر دو گزینه را همانطور که شایسته دانشمندان واقعی است در نظر بگیریم.

گزینه یک «بگذارید به ما داده شود» یک مجموعه واحد از اعداد طبیعی، که به آرامی در قفسه قرار دارد. این مجموعه را از قفسه می گیریم. همین است، هیچ عدد طبیعی دیگری در قفسه باقی نمانده است و جایی برای بردن آنها نیست. ما نمی توانیم یکی را به این مجموعه اضافه کنیم، زیرا قبلاً آن را داریم. اگه واقعا بخوای چی؟ مشکلی نیست می‌توانیم یکی از مجموعه‌ای را که قبلاً گرفته‌ایم برداریم و به قفسه برگردانیم. بعد از آن می توانیم یکی را از قفسه برداریم و به چیزی که مانده اضافه کنیم. در نتیجه، دوباره مجموعه ای بی نهایت از اعداد طبیعی را دریافت خواهیم کرد. شما می توانید تمام دستکاری های ما را به این صورت بنویسید:

من اعمال را در نماد جبری و در نمادگذاری تئوری مجموعه ها، با فهرستی دقیق از عناصر مجموعه یادداشت کردم. زیرنویس نشان می دهد که ما یک و تنها مجموعه اعداد طبیعی داریم. معلوم می شود که مجموعه اعداد طبیعی تنها در صورتی بدون تغییر می ماند که یک عدد از آن کم شود و همان واحد اضافه شود.

گزینه دو ما مجموعه های بی نهایت متفاوتی از اعداد طبیعی را در قفسه خود داریم. تأکید می کنم - متفاوت هستند، با وجود این واقعیت که آنها عملاً قابل تشخیص نیستند. بیایید یکی از این مجموعه ها را برداریم. سپس از مجموعه اعداد طبیعی دیگری یکی را می گیریم و به مجموعه ای که قبلا گرفته ایم اضافه می کنیم. حتی می توانیم دو مجموعه اعداد طبیعی را اضافه کنیم. این چیزی است که ما دریافت می کنیم:

زیرنویس های "یک" و "دو" نشان می دهد که این عناصر به مجموعه های مختلفی تعلق داشته اند. بله، اگر یکی را به یک مجموعه بی نهایت اضافه کنید، نتیجه نیز یک مجموعه بی نهایت خواهد بود، اما با مجموعه اصلی یکسان نخواهد بود. اگر مجموعه نامتناهی دیگری را به یک مجموعه بی نهایت اضافه کنید، نتیجه یک مجموعه نامتناهی جدید است که از عناصر دو مجموعه اول تشکیل شده است.

از مجموعه اعداد طبیعی برای شمارش استفاده می شود، همانطور که یک خط کش برای اندازه گیری استفاده می شود. حالا تصور کنید که یک سانتی متر به خط کش اضافه کرده اید. این یک خط متفاوت خواهد بود، نه با خط اصلی.

شما می توانید استدلال من را بپذیرید یا نپذیرید - این کار خودتان است. اما اگر زمانی با مشکلات ریاضی مواجه شدید، به این فکر کنید که آیا مسیر استدلال نادرست را دنبال می‌کنید که توسط نسل‌های مختلف ریاضی‌دانان پا گذاشته شده است. از این گذشته، مطالعه ریاضیات، اول از همه، یک کلیشه پایدار از تفکر را در ما شکل می دهد و تنها پس از آن به توانایی های ذهنی ما می افزاید (یا برعکس، ما را از تفکر آزاد محروم می کند).

pozg.ru

یکشنبه 4 آگوست 2019

من داشتم پست نویسی مقاله ای در مورد آن را تمام می کردم و این متن فوق العاده را در ویکی پدیا دیدم:

می خوانیم: «... مبانی نظری غنی ریاضیات بابل ویژگی کل نگر نداشت و به مجموعه ای از فنون ناهمگون تقلیل یافت. سیستم مشترکو پایگاه شواهد."

وای! چقدر باهوشیم و چقدر می توانیم کاستی های دیگران را ببینیم. آیا نگاه کردن به ریاضیات مدرن در همین چارچوب برای ما دشوار است؟ با تعبیر کمی متن بالا، شخصاً به این نتیجه رسیدم:

مبانی نظری غنی ریاضیات مدرن ماهیت کل نگر ندارد و به مجموعه ای از بخش های نامتجانس کاهش می یابد که فاقد یک سیستم مشترک و پایگاه شواهد است.

من برای تأیید سخنانم زیاد نمی روم - زبان و قراردادهایی دارد که با زبان و قراردادهای بسیاری از شاخه های دیگر ریاضیات متفاوت است. اسامی یکسان در شاخه های مختلف ریاضی می تواند معانی مختلفی داشته باشد. من می خواهم یک سری کامل از انتشارات را به آشکارترین اشتباهات ریاضیات مدرن اختصاص دهم. به زودی میبینمت.

شنبه 3 آگوست 2019

چگونه یک مجموعه را به زیر مجموعه ها تقسیم کنیم؟ برای انجام این کار، باید واحد اندازه گیری جدیدی را وارد کنید که در برخی از عناصر مجموعه انتخاب شده وجود دارد. بیایید به یک مثال نگاه کنیم.

باشد که ما به وفور داشته باشیم آمتشکل از چهار نفر این مجموعه بر اساس "مردم" تشکیل شده است. اجازه دهید عناصر این مجموعه را با حرف نشان دهیم آ، زیرنویس با یک عدد نشان می دهد شماره سریالهر فرد در این انبوه بیایید یک واحد اندازه گیری جدید "جنس" را معرفی کنیم و آن را با حرف نشان دهیم ب. از آنجایی که ویژگی های جنسی در همه افراد ذاتی است، هر عنصر مجموعه را ضرب می کنیم آبر اساس جنسیت ب. توجه کنید که مجموعه "افراد" ما اکنون به مجموعه ای از "افراد با ویژگی های جنسیتی" تبدیل شده است. پس از این می توان ویژگی های جنسی را به مردان تقسیم کرد bmو زنانه bwویژگی های جنسی اکنون می‌توانیم یک فیلتر ریاضی اعمال کنیم: یکی از این ویژگی‌های جنسی را انتخاب می‌کنیم، فرقی نمی‌کند کدام یک - مرد یا زن. اگر شخصی آن را داشته باشد، آن را در یک ضرب می کنیم، اگر چنین علامتی وجود نداشته باشد، آن را در صفر ضرب می کنیم. و سپس از ریاضیات مدرسه معمولی استفاده می کنیم. ببین چی شد

پس از ضرب، کاهش و بازآرایی، به دو زیر مجموعه رسیدیم: زیر مجموعه مردان Bmو زیر مجموعه ای از زنان Bw. ریاضیدانان وقتی نظریه مجموعه ها را در عمل به کار می برند، تقریباً به همان شیوه استدلال می کنند. اما آنها جزئیات را به ما نمی گویند، اما نتیجه نهایی را به ما می دهند - "بسیاری از مردم از زیرمجموعه ای از مردان و زیر مجموعه ای از زنان تشکیل شده اند." به طور طبیعی، ممکن است این سوال برای شما پیش بیاید: چقدر ریاضیات در تبدیل های ذکر شده در بالا به درستی اعمال شده است؟ به جرات می توانم به شما اطمینان دهم که در اصل، تبدیل ها به درستی انجام شده است؛ کافی است مبانی ریاضی حساب، جبر بولی و دیگر شاخه های ریاضی را بدانید. آن چیست؟ یک بار دیگر در این مورد به شما خواهم گفت.

در مورد ابر مجموعه ها، می توانید با انتخاب واحد اندازه گیری موجود در عناصر این دو مجموعه، دو مجموعه را در یک سوپرست ترکیب کنید.

همانطور که می بینید، واحدهای اندازه گیری و ریاضیات معمولی، نظریه مجموعه ها را به یادگاری از گذشته تبدیل می کنند. نشانه این که همه چیز با تئوری مجموعه ها خوب نیست این است که ریاضیدانان زبان و نماد خود را برای نظریه مجموعه ها ارائه کرده اند. ریاضی‌دانان مانند شمن‌ها زمانی عمل می‌کردند. فقط شمن ها می دانند که چگونه "دانش" خود را "به درستی" به کار گیرند. آنها این "دانش" را به ما می آموزند.

در پایان، من می خواهم به شما نشان دهم که ریاضیدانان چگونه دستکاری می کنند
فرض کنید آشیل ده برابر سریعتر از لاک پشت می دود و هزار قدم از آن عقب تر است. در مدت زمانی که آشیل برای دویدن این مسافت طول می کشد، لاک پشت صد قدم در همان جهت می خزد. وقتی آشیل صد قدم می دود، لاک پشت ده قدم دیگر می خزد و به همین ترتیب. این روند تا بی نهایت ادامه خواهد داشت، آشیل هرگز به لاک پشت نمی رسد.

این استدلال به یک شوک منطقی برای تمام نسل های بعدی تبدیل شد. ارسطو، دیوژن، کانت، هگل، هیلبرت... همگی به نوعی به آپوریای زنون توجه داشتند. شوک آنقدر قوی بود که " ... بحث ها تا به امروز ادامه دارد؛ جامعه علمی هنوز نتوانسته است به یک نظر مشترک در مورد ماهیت پارادوکس ها برسد ... تحلیل ریاضی، نظریه مجموعه ها، رویکردهای جدید فیزیکی و فلسفی در بررسی موضوع دخیل بودند. ; هیچ یک از آنها به یک راه حل پذیرفته شده برای مشکل تبدیل نشدند..."[ویکی‌پدیا، "Zeno's Aporia". همه می‌دانند که دارند گول می‌خورند، اما هیچ‌کس نمی‌فهمد فریب شامل چه چیزی است.

از نقطه نظر ریاضی، زنو در آپوریای خود به وضوح انتقال از کمیت به . این انتقال به جای استفاده از موارد دائمی، کاربرد دارد. تا آنجا که من درک می کنم، دستگاه ریاضی برای استفاده از واحدهای اندازه گیری متغیر یا هنوز توسعه نیافته است، یا در آپوریای زنو اعمال نشده است. اعمال منطق همیشگی ما را به دام می کشاند. ما به دلیل اینرسی تفکر، واحدهای ثابت زمان را به مقدار متقابل اعمال می کنیم. از نقطه نظر فیزیکی، به نظر می رسد که زمان کند می شود تا زمانی که آشیل به لاک پشت می رسد، به طور کامل متوقف می شود. اگر زمان متوقف شود، آشیل دیگر نمی تواند از لاک پشت پیشی بگیرد.

اگر منطق همیشگی خود را برگردانیم، همه چیز سر جای خود قرار می گیرد. آشیل با سرعت ثابت می دود. هر بخش بعدی از مسیر او ده برابر کوتاهتر از قسمت قبلی است. بر این اساس، زمان صرف شده برای غلبه بر آن ده برابر کمتر از زمان قبلی است. اگر مفهوم "بی نهایت" را در این موقعیت به کار ببریم، درست است که بگوییم "آشیل بی نهایت سریع به لاک پشت می رسد."

چگونه از این تله منطقی جلوگیری کنیم؟ در واحدهای زمان ثابت بمانید و به واحدهای متقابل تغییر ندهید. در زبان زنو به این صورت است:

در مدت زمانی که آشیل هزار قدم می دود، لاک پشت صد قدم به همان سمت می خزد. در فاصله زمانی بعدی برابر با اول، آشیل هزار قدم دیگر خواهد دوید و لاک پشت صد قدم می خزد. حالا آشیل هشتصد قدم از لاک پشت جلوتر است.

این رویکرد به اندازه کافی واقعیت را بدون هیچ پارادوکس منطقی توصیف می کند. اما این یک راه حل کامل برای مشکل نیست. بیانیه انیشتین در مورد مقاومت ناپذیری سرعت نور بسیار شبیه به آپوریای زنو "آخیل و لاک پشت" است. ما هنوز باید این مشکل را مطالعه، تجدید نظر و حل کنیم. و راه حل را نه در تعداد بی نهایت زیاد، بلکه در واحدهای اندازه گیری باید جستجو کرد.

یکی دیگر از آپوریاهای جالب زنو درباره یک فلش پرنده می گوید:

یک تیر پرنده بی حرکت است، زیرا در هر لحظه از زمان در حال استراحت است، و از آنجا که در هر لحظه از زمان در حال استراحت است، همیشه در حال استراحت است.

در این آپوریا، پارادوکس منطقی بسیار ساده غلبه می کند - کافی است روشن شود که در هر لحظه از زمان یک فلش پرنده در نقاط مختلف فضا در حال استراحت است، که در واقع حرکت است. در اینجا لازم است به نکته دیگری توجه شود. از یک عکس از یک ماشین در جاده نمی توان حقیقت حرکت یا فاصله تا آن را تعیین کرد. برای تعیین اینکه آیا یک ماشین در حال حرکت است یا خیر، نیاز به دو عکس دارید که از یک نقطه در نقاط مختلف زمان گرفته شده اند، اما نمی توانید فاصله آنها را تعیین کنید. برای تعیین فاصله تا یک ماشین، به دو عکس گرفته شده از نقاط مختلف فضا در یک نقطه از زمان نیاز دارید، اما از روی آنها نمی توانید واقعیت حرکت را تعیین کنید (البته، هنوز برای محاسبات به داده های اضافی نیاز دارید، مثلثات به شما کمک می کند. ). چیزی که می خواهم به آن اشاره کنم توجه ویژه، این است که دو نقطه در زمان و دو نقطه در مکان چیزهای متفاوتی هستند که نباید با هم اشتباه گرفته شوند، زیرا فرصت های متفاوتی را برای تحقیق فراهم می کنند.
من روند را با یک مثال به شما نشان می دهم. ما "جامد قرمز در یک جوش" را انتخاب می کنیم - این "کل" ما است. در عین حال می بینیم که این چیزها با کمان هستند و بدون کمان هستند. پس از آن، بخشی از "کل" را انتخاب می کنیم و مجموعه "با کمان" را تشکیل می دهیم. این گونه است که شمن ها با گره زدن نظریه مجموعه خود به واقعیت، غذای خود را به دست می آورند.

حالا بیایید یک ترفند کوچک انجام دهیم. بیایید "جامد با یک جوش با کمان" را بگیریم و این "کل ها" را با توجه به رنگ ترکیب کنیم و عناصر قرمز را انتخاب کنیم. "قرمز" زیادی گرفتیم. حالا سوال آخر: آیا ست های به دست آمده «با کمان» و «قرمز» یک ست هستند یا دو ست متفاوت؟ فقط شمن ها جواب را می دانند. به عبارت دقیق تر، آنها خودشان چیزی نمی دانند، اما همانطور که می گویند، همینطور خواهد بود.

این مثال ساده نشان می دهد که نظریه مجموعه ها در مورد واقعیت کاملاً بی فایده است. راز چیست؟ ما مجموعه ای از "جامد قرمز با یک جوش و یک کمان" را تشکیل دادیم. شکل گیری در چهار واحد مختلف اندازه گیری صورت گرفت: رنگ (قرمز)، استحکام (جامد)، زبری (جوش)، تزئین (با کمان). تنها مجموعه ای از واحدهای اندازه گیری به ما اجازه می دهد که به اندازه کافی توصیف کنیم اشیاء واقعیبه زبان ریاضی. این چیزی است که به نظر می رسد.

حرف "a" با شاخص های مختلف نشان دهنده واحدهای اندازه گیری متفاوت است. واحدهای اندازه گیری که با آنها "کل" در مرحله مقدماتی متمایز می شود در پرانتز مشخص شده است. واحد اندازه گیری که با آن مجموعه تشکیل می شود از براکت ها خارج می شود. آخرین خط نتیجه نهایی را نشان می دهد - یک عنصر از مجموعه. همانطور که می بینید، اگر از واحدهای اندازه گیری برای تشکیل یک مجموعه استفاده کنیم، نتیجه به ترتیب اعمال ما بستگی ندارد. و این ریاضیات است و نه رقص شمن ها با تنبور. شمن ها می توانند "به طور شهودی" به همان نتیجه برسند و استدلال کنند که "بدیهی" است، زیرا واحدهای اندازه گیری بخشی از زرادخانه "علمی" آنها نیست.

با استفاده از واحدهای اندازه گیری، تقسیم یک مجموعه یا ترکیب چند مجموعه در یک سوپرست بسیار آسان است. بیایید نگاهی دقیق تر به جبر این فرآیند بیندازیم.

قضیه مساحت مثلث

قضیه 1

مساحت یک مثلث برابر است با نصف حاصلضرب دو ضلع و سینوس زاویه بین این ضلع ها.

اثبات

اجازه دهید یک مثلث دلخواه $ABC$ به ما داده شود. اجازه دهید طول اضلاع این مثلث را به صورت $BC=a$، $AC=b$ نشان دهیم. اجازه دهید یک سیستم مختصات دکارتی را معرفی کنیم، به طوری که نقطه $C=(0,0)$، نقطه $B$ روی نیم محور سمت راست $Ox$، و نقطه $A$ در ربع مختصات اول قرار گیرد. بیایید ارتفاع $h$ را از نقطه $A$ رسم کنیم (شکل 1).

شکل 1. تصویر قضیه 1

بنابراین، ارتفاع $h$ برابر با مختص نقطه $A$ است

قضیه سینوس ها

قضیه 2

اضلاع یک مثلث با سینوس های زوایای مقابل متناسب است.

اثبات

اجازه دهید یک مثلث دلخواه $ABC$ به ما داده شود. اجازه دهید طول اضلاع این مثلث را به صورت $BC=a$، $AC=b، $$AC=c$ نشان دهیم (شکل 2).

شکل 2.

این را ثابت کنیم

با قضیه 1، داریم

با معادل کردن آنها به صورت جفت، به این نتیجه می رسیم

قضیه کسینوس

قضیه 3

مربع یک ضلع مثلث برابر است با مجموع مربع های دو ضلع دیگر مثلث بدون اینکه دو برابر حاصل ضرب این ضلع ها در کسینوس زاویه بین این ضلع ها باشد.

اثبات

اجازه دهید یک مثلث دلخواه $ABC$ به ما داده شود. اجازه دهید طول اضلاع آن را به صورت $BC=a$، $AC=b، $$AB=c$ نشان دهیم. اجازه دهید یک سیستم مختصات دکارتی را معرفی کنیم، به طوری که نقطه $A=(0,0)$، نقطه $B$ روی نیم محور مثبت $Ox$ و نقطه $C$ در ربع مختصات اول قرار گیرد (شکل 1). 3).

شکل 3.

این را ثابت کنیم

در این سیستم مختصات، آن را بدست می آوریم

طول ضلع $BC$ را با استفاده از فرمول فاصله بین نقاط پیدا کنید

مثالی از یک مسئله با استفاده از این قضایا

مثال 1

ثابت کنید که قطر شرح داده شده دایرهیک مثلث دلخواه برابر است با نسبت هر ضلع مثلث به سینوس زاویه مقابل این ضلع.

راه حل.

اجازه دهید یک مثلث دلخواه $ABC$ به ما داده شود. $R$ شعاع دایره محدود شده است. بیایید قطر $BD$ را رسم کنیم (شکل 4).

مساحت یک مثلث برابر است با نصف حاصلضرب اضلاع آن و سینوس زاویه بین آنها.

اثبات:

یک مثلث دلخواه ABC را در نظر بگیرید. بگذارید ضلع BC = a، ضلع CA = b و S مساحت این مثلث باشد. اثبات آن ضروری است S = (1/2)*a*b*sin(C).

برای شروع، بیایید یک سیستم مختصات مستطیلی را معرفی کنیم و مبدا مختصات را در نقطه C قرار دهیم. بیایید سیستم مختصات خود را طوری قرار دهیم که نقطه B در جهت مثبت محور Cx قرار گیرد و نقطه A دارای مختصات مثبت باشد.

اگر همه چیز به درستی انجام شود، باید نقشه زیر را دریافت کنید.

مساحت یک مثلث معین را می توان با استفاده از فرمول زیر محاسبه کرد: S = (1/2)*a*h، که h ارتفاع مثلث است. در مورد ما، ارتفاع مثلث h برابر با مختص نقطه A است، یعنی h = b*sin(C).

با در نظر گرفتن نتایج به دست آمده، فرمول مساحت یک مثلث را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد: S = (1/2)*a*b*sin(C). Q.E.D.

حل مسئله

وظیفه 1. مساحت مثلث ABC را پیدا کنید، اگر الف) AB = 6*√8 سانتی متر، AC = 4 سانتی متر، زاویه A = 60 درجه ب) BC = 3 سانتی متر، AB = 18*√2 سانتی متر، زاویه B = 45 درجه c ) AC = 14 سانتی متر، CB = 7 سانتی متر، زاویه C = 48 درجه.

با توجه به قضیه بالا، مساحت S مثلث ABC برابر است با:

S = (1/2)*AB*AC*sin(A).

بیایید محاسبات را انجام دهیم:

الف) S = ((1/2) *6*√8*4*sin(60˚)) = 12*√6 cm^2.

ب) S = (1/2)*BC*BA*sin(B)=((1/2)* 3*18*√2 *(√2/2)) = 27 cm^2.

ج) S = (1/2)*CA*CB*sin(C) = ½*14*7*sin48˚ cm^2.

ما مقدار سینوس یک زاویه را در ماشین حساب محاسبه می کنیم یا از مقادیر جدول مقادیر زوایای مثلثاتی استفاده می کنیم. پاسخ:

الف) 12*√6 سانتی متر^2.

ج) تقریباً 36.41 cm^2.

مسئله 2. مساحت مثلث ABC 60 cm^2 است. ضلع AB را اگر AC = 15 سانتی متر، زاویه A = 30 درجه باشد، پیدا کنید.

فرض کنید S مساحت مثلث ABC باشد. با قضیه مساحت مثلث داریم:

S = (1/2)*AB*AC*sin(A).

بیایید مقادیری را که داریم در آن جایگزین کنیم:

60 = (1/2)*AB*15*sin30˚ = (1/2)*15*(1/2)*AB=(15/4)*AB.

از اینجا طول ضلع AB را بیان می کنیم: AB = (60*4)/15 = 16.