ویژگی های قدرت ها با توان طبیعی خواص درجات، صورت‌بندی‌ها، برهان‌ها، مثال‌ها
درس با موضوع: "درجه تحصیلی و خواص آن".
هدف از درس:
خلاصه دانش دانش آموزان در مورد موضوع: "مدرک با شاخص طبیعی".
برای دستیابی دانش آموزان به درک آگاهانه از تعریف درجه، ویژگی ها، توانایی به کارگیری آنها.
برای آموزش نحوه به کارگیری دانش، مهارت ها برای وظایف با پیچیدگی های مختلف.
شرایطی را برای تجلی استقلال، پشتکار، فعالیت ذهنی ایجاد کنید، عشق به ریاضیات را القا کنید.
تجهیزات: کارت های پانچ، کارت ها، آزمون ها، جداول.
این درس برای نظام‌بندی و تعمیم دانش دانش‌آموزان در مورد ویژگی‌های یک مدرک با یک شاخص طبیعی طراحی شده است. مواد درس دانش ریاضی را در کودکان شکل می دهد و علاقه به موضوع، افق ها را در جنبه تاریخی ایجاد می کند.
پیش رفتن.
پیام در مورد موضوع و هدف درس.
امروز یک درس کلی با موضوع "درجه با شاخص طبیعی و خواص آن" داریم.
وظیفه درس ما این است که تمام مطالب پوشش داده شده را تکرار کنیم و برای آزمون آماده شویم.
بررسی تکالیف
(هدف: آزمایش تسلط بر توان، محصولات و درجات).
№ 238 (ب) شماره 220 (الف؛ د) شماره 216.
پشت تخته 2 نفر با کارت های انفرادی قرار دارند.
a 4 ∙ a 15 a 12 ∙ a 4 a 12: a 4 a 18: a 9 (a 2) 5 (a 4) 8 (الف 2 b 3) 6 (а 6 bv 4) 3 a 0 a 0کار شفاهی
(هدف: تکرار نکات کلیدی تقویت کننده الگوریتم ضرب و تقسیم توان، توان).
تعریف درجه یک عدد را با توان طبیعی بنویسید.
اقدام به.
معادله در چه مقدار x برقرار است؟
علامت یک عبارت را بدون انجام محاسبات تعیین کنید.
ساده کردن.
; ب) (a 4) 6:
(الف 3) 3 ایده پردازی.
(هدف : بررسی دانش پایه دانش آموزان، ویژگی های مدرک).
برای سرعت، با کارت های پانچ کار کنید.
a 6: a 4; a 10: a 3
(a 2) 2 ;
(a 3) 3 ; (a 4) 5 ; (а 0) 2 . - (2а 2) 2 ;
(-2a 3) 3 ; (3а 4) 2 ; (-2a 2 b) 4 .
ورزش: عبارت را ساده کنید (ما به صورت جفت کار می کنیم، کلاس تکلیف a، b، c را حل می کند، ما به طور جمعی بررسی می کنیم).
(هدف: بررسی ویژگی های یک درجه با یک شاخص طبیعی.)
آ) 
; ب) 
; v) 
6. محاسبه:
آ) 
(به صورت جمعی )
ب) 
(بدون کمک دیگری )
v) 
(بدون کمک دیگری )
ز) 
(به صورت جمعی )
ه) 
(بدون کمک دیگری ).
7 . خودت را چک کن!
(هدف: رشد عناصر فعالیت خلاقانه دانش آموزان و توانایی کنترل اعمال آنها).
کار با تست، 2 دانش آموز در تخته سیاه، خودآزمایی.
مدار مجتمع.
محاسبه عبارات
║ - v
عبارات را ساده کنید
محاسبه.
محاسبه عبارات
D / s خانه به / r (روی کارت).
جمع بندی درس، نمره دادن.
(هدف: به طوری که دانش آموزان بتوانند به صورت بصری نتیجه کار خود را ببینند، علاقه شناختی ایجاد کنند).
چه کسی برای اولین بار شروع به مطالعه مدرک کرد؟
چگونه یک n را بلند کنیم ?
به طوری که به درجه n ام ماآایستاده
باید n را ضرب کنیم یک بار
اگر n one - هرگز
اگر بیشتر بود، ضرب کنیدیک در یک،
تکرار می کنم n بار
3) آیا می توانیم عددی را به بالا ببریم n درجه، خیلی سریع؟
اگر ماشین حساب بگیرید
شماره a شما فقط یک بار آن را دریافت می کنید
و سپس علامت "ضرب" - همچنین یک بار،
شما علامت "آن را معلوم خواهد شد" را چند بار فشار می دهید
چند تا n بدون واحد به ما نشان می دهد
و پاسخ آماده است، بدون خودکار مدرسهزوج .
4) خواص درجه را با یک نشانگر طبیعی فهرست کنید.
نمرات درس پس از بررسی کار با کارت های پانچ، با تست، با در نظر گرفتن پاسخ آن دسته از دانش آموزانی که در طول درس پاسخ داده اند، تعیین می شود.
امروز کار خوبی کردی ممنون
ادبیات:
1.A.G. Mordkovich جبر-7 کلاس.
2.مواد آموزشی - کلاس 7.
3. آزمون های موردکوویچ A.G. - پایه 7.
موضوع درس: مدرک با شاخص طبیعینوع درس: درس تعمیم و نظام مند سازی دانش
نوع درس: ترکیب شده
اشکال کار: انفرادی، جلویی، کار به صورت جفت
تجهیزات: کامپیوتر، محصول رسانه ای (ارائه در برنامهمایکروسافتدفترپاور پوینت 2007)؛ کارت های وظیفه برای خودآموزی
اهداف درس:
آموزشی : توسعه مهارت های سیستم سازی، تعمیم دانش در مورد درجه با یک شاخص طبیعی، تثبیت و بهبود مهارت های ساده ترین تبدیل عبارات حاوی درجه با یک شاخص طبیعی.
- در حال توسعه: برای ترویج شکل گیری مهارت ها برای استفاده از روش های تعمیم، مقایسه، برجسته کردن چیز اصلی، توسعه افق های ریاضی، تفکر، گفتار، توجه و حافظه.
- آموزشی: برای ترویج آموزش علاقه به ریاضیات، فعالیت، سازمان، ایجاد انگیزه مثبت برای یادگیری، توسعه مهارت ها در فعالیت های آموزشی و شناختی.
یادداشت توضیحی.
این درس در کلاس آموزش عمومی با سطح آمادگی ریاضی متوسط برگزار می شود. وظیفه اصلی درس توسعه مهارت های سیستماتیک کردن، تعمیم دانش در مورد درجه با یک شاخص طبیعی است که در فرآیند انجام تمرینات مختلف تحقق می یابد.
شخصیت رشدی در انتخاب تمرینات آشکار می شود. استفاده از محصول چند رسانه ای به شما این امکان را می دهد که در زمان صرفه جویی کنید، مطالب را بصری تر نشان دهید، نمونه هایی از راه حل های طراحی را نشان دهید.در درس از انواع کارها استفاده می شود که خستگی کودکان را برطرف می کند.
ساختار درس:
زمان سازماندهی
موضوعات پیام، تعیین اهداف برای درس.
کار شفاهی
سیستم سازی دانش پایه
عناصر فناوری های صرفه جویی در سلامت
اجرای یک تکلیف آزمایشی
نتایج درس
مشق شب.
در طول کلاس ها:
من.زمان سازماندهی
معلم: سلام بچه ها! خوشحالم که به شما در درس امروز خوش آمد می گویم. بشین امیدوارم امروز در درس هم موفقیت و هم شادی داشته باشیم. و ما با کار در یک تیم استعداد خود را نشان خواهیم داد.
در طول درس مراقب باشید. فکر کنید، بخواهید، پیشنهاد دهید - همانطور که با هم راه حقیقت را طی خواهیم کرد.
دفترچه ها را باز کنید و شماره را یادداشت کنید، کار کلاسی
II. پیام موضوع، تعیین هدف درس
1) موضوع درس. خلاصه درس.(اسلاید 2.3)
اجازه دهید کسی سعی کند از ریاضیات عبور کند
درجه، و او خواهد دید که بدون آنها راه دوری نخواهی رفت.» M.V. لومونوسوف
2) تعیین اهداف درس.
معلم: بنابراین، در درس مطالب مورد مطالعه را تکرار، خلاصه و وارد سیستم می کنیم. وظیفه شما این است که دانش خود را از ویژگی های یک مدرک با یک شاخص طبیعی و توانایی اعمال آنها در هنگام انجام وظایف مختلف نشان دهید.
III. تکرار مفاهیم اساسی موضوع، ویژگی های درجه با یک شاخص طبیعی
1) آناگرام را باز کنید: (اسلاید 4)
Nspete (مدرک تحصیلی)
فاحشه (برش)
Ovaniosne (پایه)
کازاپوتل (نشانگر)
ضرب (ضرب)
2) مدرک با شاخص طبیعی چیست؟(اسلاید 5)
(با توان عدد آ با یک شاخص طبیعی n ، بزرگتر از 1، عبارت نامیده می شود آ n برابر با محصول n ضریب هایی که هر کدام برابر است آ تحقیر نمودن n -شاخص)
3) عبارت را بخوانید، پایه و توان را نام ببرید: (اسلاید 6)
4) ویژگی های اصلی درجه (سمت راست برابری را اضافه کنید)(اسلاید 7)
آ n آ متر =
آ n :آ متر =
(آ n ) متر =
(ab) n =
( آ / ب ) n =
آ 0 =
آ 1 =
IV در stnaya کار کنید
1) حساب شفاهی (اسلاید8)
معلم: و حالا بیایید بررسی کنیم که چگونه می توانید این فرمول ها را هنگام حل به کار ببرید.
1) x 5 ایکس 7 ; 2) الف 4 آ 0 ;
3) به 9 : به 7 ; 4) r n : r ;
5)5 5 2 ; 6) (- ب )(- ب ) 3 (- ب );
7) با 4 : با؛ 8) 7 3 : 49;
9) 4 در 6 y 10) 7 4 49 7 3 ;
11) 16: 4 2 ; 12) 64: 8 2 ;
13) sss 3 ; 14) الف 2 n آ n ;
15) x 9 : ایکس متر ; 16) در n : y
2) بازی "حذف اضافی" ((-1) 2 )(اسلاید9)
-1
آفرین. آنها کار خوبی کردند. سپس مثال های زیر را حل می کنیم.
Vسیستم سازی دانش پایه
1. عبارات مربوط به یکدیگر را با خطوط وصل کنید:(اسلاید 10)
4 ⁶ 4 2 3 6 4 6
4 6 : 4 2 4 6 /5 6
(3 4) 6 4 ⁶ +2
(4 2 ) 6 4 6-2
(4/5) 6 4 12
2. تعداد را به ترتیب افزایش دهید:(اسلاید 11)
3 2 (-0.5) 3 (½) 3 35 0 (-10) 3
3. تکمیل تکلیف با خودآزمایی بعدی(اسلاید 12)
A1 محصول را به صورت درجه نشان می دهد:
الف) الف) x 5 ایکس 4 ; ب) 3 7 3 9 ; در 4) 3 (-4) 8 .
و 2 عبارت را ساده کنید:
تبر 3 ایکس 7 ایکس 8 ; ب) 2 21 :2 19 2 3
و 3 توان:
الف) (الف 5 ) 3 ; قبل از میلاد مسیح 7 ) 2
VIعناصر فناوری های صرفه جویی در سلامت (اسلاید 13)
تربیت بدنی: تکرار درجه اعداد 2 و 3
VIIتکلیف آزمایشی (اسلاید 14)
پاسخ های آزمون روی تخته نوشته شده است: 1 d 2 o 3b 4s 5 h 6a (استخراج)
هشتم کار مستقل روی کارت ها
روی هر میز، کارت هایی با یک کار مطابق با گزینه ها، پس از اتمام کار، برای تأیید ارسال می شوند
انتخاب 1
1) عبارات را ساده کنید:
آ) 
ب) 
v) 
ز) 
آ) 
ب) 
v) 
ز)
گزینه 2
1) عبارات را ساده کنید:
آ) ب)
v) 
ز)
2) مقدار عبارت را پیدا کنید:
آ)ب)
v) 
ز) 
3) با یک فلش نشان دهید که آیا مقدار عبارت برابر با صفر است، یک عدد مثبت یا منفی:
خلاصه درس نهم
شماره p / p
نوع کار
اعتماد به نفس
ارزشیابی معلم
1
ریشه کلمه
2
بیان را بخوانید
3
قوانین
4
شمارش شفاهی
5
با خطوط ارتباط برقرار کنید
6
به ترتیب صعودی مرتب کنید
7
وظایف خودآزمایی
8
تست
9
کار مستقل روی کارت
X مشق شب
کارت های تست
A1. مقدار عبارت را پیدا کنید: .
جبر درجه 7 ام
معلم ریاضی
شعبه MBOUTSOSH №1
در روستای Poletaevo Zueva I.P.
Poletaevo 2016
موضوع: « ویژگی های درجه با توان طبیعی»
هدف
- تکرار، تعمیم و نظام مندی مطالب مورد مطالعه با موضوع "ویژگی های مدرک با شاخص طبیعی".
- بررسی دانش دانش آموزان در مورد موضوع.
- استفاده از دانش کسب شده در انجام وظایف مختلف.
وظایف
موضوع :
تکرار، تعمیم و نظام مند کردن دانش در مورد موضوع؛ ایجاد شرایط برای کنترل (کنترل متقابل) جذب دانش و مهارت.ادامه شکل گیری انگیزه دانش آموزان برای مطالعه موضوع؛
فرا موضوع:
ایجاد یک سبک تفکر عملیاتی؛ ترویج کسب مهارت های ارتباطی توسط دانش آموزان هنگام کار با یکدیگر؛ تفکر خلاق آنها را فعال کنید. پادامه شکل گیری شایستگی های خاص دانش آموزان که به اجتماعی شدن مؤثر آنها کمک می کند.مهارت های خودآموزی و خودآموزی.
شخصی:
آموزش فرهنگ، ترویج شکل گیری ویژگی های شخصیبا هدف نگرش خیرخواهانه و بردبار نسبت به یکدیگر، مردم، زندگی؛ پرورش ابتکار و استقلال در فعالیت ها؛ منجر به درک نیاز موضوع مورد مطالعه برای آماده سازی موفقیت آمیز برای صدور گواهینامه نهایی دولتی شود.
نوع درس
درس تعمیم و نظام سازی ZUN.
تجهیزات: کامپیوتر، پروژکتور،صفحه نمایش،تابلو، جزوه
نرم افزار: سیستم عامل ویندوز 7: MS Office 2007 (برنامه مورد نیاز -پاورپوینت).
مرحله مقدماتی:
ارائه "ویژگی های مدرک با یک شاخص طبیعی"؛
جزوه؛
برگه امتیاز
ساختار
زمان سازماندهی. تعیین اهداف و اهداف درس - 3 دقیقه.
واقعی سازی، سیستم سازی دانش پایه - 8 دقیقه.
بخش عملی - 28 دقیقه.
تعمیم، نتیجه گیری -3 دقیقه.
تکالیف - 1 دقیقه.
بازتاب - 2 دقیقه.
ایده درسی
بررسی ZUN دانش آموزان در این موضوع به روشی جالب و موثر.
سازماندهی درس این درس در کلاس هفتم برگزار می شود. بچه ها به صورت جفت به طور مستقل کار می کنند، معلم به عنوان مشاور-ناظر عمل می کند.
در طول کلاس ها
زمان سازماندهی:
سلام بچه ها! امروز یک درس-بازی غیرمعمول داریم. به هر یک از شما فرصت بزرگی داده می شود تا خود را ثابت کنید، دانش خود را نشان دهید. شاید در طول درس توانایی های پنهانی را در خود کشف کنید که در آینده برای شما مفید باشد.
هر یک از شما یک برگه تست و کارت هایی برای تکمیل وظایف در آنها دارید. یک برگه تست را در دست بگیرید، به آن نیاز دارید تا خودتان دانش خود را در طول درس ارزیابی کنید. امضایش کنید.
بنابراین، من شما را به درس دعوت می کنم!
بچه ها، به صفحه نگاه کنید و به شعر گوش دهید.
اسلاید شماره 1
ضرب و تقسیم
ارتقاء یک قدرت به یک قدرت ...
ما با این خواص آشنا هستیم.
و دیگر جدید نیستند.
این پنج قانون ساده
همه در کلاس قبلاً پاسخ داده بودند
اما اگر خواص را فراموش کردید،
مثالی را که حل نکردید در نظر بگیرید!
و برای اینکه در مدرسه بدون مشکل زندگی کنید
من به شما توصیه خوبی می کنم:
آیا می خواهید قانون را فراموش کنید؟
فقط سعی کن یاد بگیری!
به سوال پاسخ دهید:
1) چه اقداماتی در آن ذکر شده است؟
2) فکر می کنید امروز در مورد چه چیزی در درس صحبت خواهیم کرد؟
بنابراین موضوع درس ما این است:
"ویژگی های درجه با توان طبیعی" (اسلاید 3).
تعیین اهداف و مقاصد درس
در درس، مطالب مورد مطالعه را با موضوع "خواص یک درجه با شاخص طبیعی" تکرار، خلاصه و وارد سیستم می کنیم.
بیایید ببینیم چگونه یاد گرفتید که چگونه توانها را با پایه یکسان ضرب و تقسیم کنید و همچنین توان را به توان افزایش دهید.
به روز رسانی دانش پایه سیستم سازی مطالب نظری.
1) کار شفاهی
بیایید شفاهی کار کنیم
1) خواص درجه را با یک شاخص طبیعی فرموله کنید.
2) جاهای خالی را پر کنید: (اسلاید 4)
1)5 12 : 5 5 =5 7 2) 5 7 ∙ 5 17 = 5 24 3) 5 24 : 125= 5 21 4)(5 0 ) 2 ∙5 24 =5 24
5)5 12 ∙ 5 12 = (5 8 ) 3 6)(3 12 ) 2 = 3 24 7) 13 0 ∙ 13 64 = 13 64
3) ارزش عبارت چیست:(اسلاید 5-9)
a m ∙ a n; (a m+n ) a m : a n (a m-n ) ; (a m ) n ; a 1; و 0 .
2) بررسی قسمت نظری (کارت شماره 1)
حالا کارت شماره 1 را بردارید وپر کردن شکاف
1) اگر نشانگر یک عدد زوج باشد، مقدار درجه همیشه _________________ است.
2) اگر نشانگر عددی فرد باشد، مقدار درجه با علامت ____ منطبق است.
3) محصول قدرت ها a n a k = a n + k
هنگام ضرب توان ها با یک پایه، به پایه ____________ و توان های ________ نیاز دارید.
4) مدارک تحصیلی خصوصی a n : a k = a n - k
هنگام تقسیم قدرت ها با پایه یکسان، به پایه _____ و از نشانگر سود ______________________________ نیاز دارید.
5) ارتقاء درجه به یک قدرت ( a n ) k = a nk
هنگام افزایش توان به توان، پایه _______ و توان ها ______ هستند.
بررسی پاسخ ها (اسلایدهای 10-13)
بخش اصلی
3) و اکنون دفترچه ها را باز می کنیم ، شماره 28.01 14g را یادداشت می کنیم ، کار کلاسی
بازی "Clapperboard" » (اسلاید 14)
تکالیف دفترچه یادداشت خود را به تنهایی انجام دهید
موارد زیر را انجام دهید: الف)ایکس11 ∙х∙х2 ب)ایکس14 : ایکس5 ج) (الف4 ) 3 د) (-برای)2 .
مقدار عبارت را با صفر مقایسه کنید: a) (- 5)7 ، ب) (-6)18 ,
در 4)11 . ( -4) 8 ز)(- 5) 18 ∙ (- 5) 6 ، ه)-(- 4)8 .
مقدار یک عبارت را محاسبه کنید:
الف) -1 ∙ 3 2، ب) (-1 ∙ 3) 2 ج) 1 ∙ (-3) 2، د) - (2 ∙ 3) 2، ه) 1 2 ∙ (3-) 2
چک می کنیم، اگر جواب درست نبود، یک کف دست می زنیم.
تعداد امتیازات را محاسبه کرده و در برگه امتیاز قرار دهید.
4) و اکنون ژیمناستیک را برای چشم انجام می دهیم، تنش را از بین می بریم و به کار خود ادامه می دهیم. حرکت اجسام را به دقت زیر نظر داریم
شروع! (اسلاید 15،16،17،18).
5) و اکنون به نوع بعدی کار خود می پردازیم. (کارت 2)
پاسخ خود را به صورت پاور با پایه بنویسید با و با نام و نام خانوادگی ریاضیدان بزرگ فرانسوی که اولین کسی بود که مفهوم درجه یک عدد را معرفی کرد، آشنا خواهید شد.
نام دانشمند ریاضیدان را حدس بزنید.
| 1. | با 5 ∙C 3 | 6. | با 7 : با 5 |
| 2. | با 8 : با 6 | 7. | (با 4 ) 3 ∙C |
| 3, | (با 4 ) 3 | 8. | با 4 ∙ با 5 ∙ سی 0 |
| 4. | با 5 ∙C 3 : با 6 | 9. | با 16 : با 8 |
| 5. | با 14 ∙ سی 8 | 10. | (با 3 ) 5 |
O پاسخ: رنه دکارت
| آر | دبلیو | م | YU | به | اچ | آ | تی | E | دی |
|||||
| با 8 | با 5 | با 1 | با 40 | با 13 | با 12 | با 9 | با 15 | با 2 | با 22 |
و حالا بیایید به پیام دانش آموز در مورد "رنه دکارت" گوش کنیم.
رنه دکارت در 21 مارس 1596 در شهر کوچک La Gaie در تورن به دنیا آمد. خانواده دکارت متعلق به اشراف بوروکرات متواضع بود. رنه دوران کودکی خود را در تورن گذراند. دکارت مدرسه را در سال 1612 به پایان رساند. او هشت سال و نیم را در آنجا گذراند. دکارت بلافاصله جایگاه خود را در زندگی پیدا نکرد. یک نجیب زاده، پس از فارغ التحصیلی از کالج در لا فلش، با سر در زندگی اجتماعی پاریس غوطه ور می شود، سپس به خاطر علم همه چیز را رها می کند. دکارت به ریاضیات جایگاه ویژه ای در نظام خود داد، او اصول آن را در تثبیت حقیقت الگویی برای سایر علوم می دانست. یکی از امتیازات قابل توجه دکارت، معرفی نام‌های مناسبی بود که تا به امروز باقی مانده است: حروف لاتین x، y، z برای مجهولات. a، c، c - برای ضرایب، برای درجه. علایق دکارت به ریاضیات محدود نمی شود، بلکه شامل مکانیک، اپتیک و زیست شناسی می شود. در سال 1649 دکارت پس از تردید طولانی به سوئد نقل مکان کرد. این تصمیم برای سلامتی وی کشنده بود. شش ماه بعد، دکارت بر اثر ذات الریه درگذشت.
6) کار در هیئت مدیره:
1. معادله را حل کنید
A) x 4 ∙ (x 5) 2 / x 20: x 8 \u003d 49
ب) (t 7 ∙ t 17 ) : (t 0 ∙ t 21 ) = -125
2.مقدار عبارت را محاسبه کنید:
(5-x) 2 -2x 3 +3x 2 -4x+x-x 0
الف) در x=-1
ب) در x=2 به طور مستقل
7) کارت شماره 3 را در دست بگیرید، آزمایش را انجام دهید
| گزینه 1 | گزینه 2. |
| 1. تقسیم قوا را انجام دهید 2 17 : 2 5 2 12 2 45 2. به صورت درجه بنویسید (x + y) (x + y) \u003d x 2 + y 2 (x+y) 2 2 (x+y) 3. جایگزین کنید * درجه به طوری که برابری الف 5 · * =a 15 یک 10 یک 3 (a 7 ) 5 ? الف) یک 12 ب) یک 5 ج) 35 3 = 8 15 8 12 6. مقدار کسر را بیابید | 1. تقسیم بر توان های 9 را انجام دهید 9 : 9 7 9 16 9 63 2. بنویسید به صورت درجه (x-y) (x-y) \u003d ... x 2 -y 2 (x-y) 2 2 (x-y) 3. جایگزین کنید * درجه به طوری که برابری b 9 · * = ب 18 ب 17 b 1 1 4. ارزش بیان چیست(با 6 ) 4 ? الف) از 10 ب) از 6 ج) از 24 5. از میان گزینه های پیشنهادی، گزینه ای را انتخاب کنید که می تواند جایگزین * در برابر (*) شود. 3 = 5 24 5 21 6. مقدار کسر را بیابید |
کار یکدیگر را بررسی کنید و به رفقای خود در برگه نمره امتیاز دهید.
| 1 گزینه | آ | ب | ب | با | ب | 3 |
| گزینه 2 | آ | ب | با | با | آ | 4 |
وظایف اضافی برای زبان آموزان قوی
هر کار جداگانه ارزیابی می شود.
مقدار یک عبارت را پیدا کنید:
8) و حالا بیایید اثربخشی درس خود را ببینیم ( اسلاید 19)
برای انجام این کار، کار را کامل کنید، حروف مربوط به پاسخ ها را خط بزنید.
AOWSTLCCRCHGNMO
عبارت را ساده کنید:
| 1. | С 4 ∙С 3 | 5. | (با 2 ) 3 ∙ با 5 |
| 2. | (ج 5) 3 | 6. | با 6 ∙ با 5 : با 10 |
| 3. | از 11: از 6 | 7. | (با 4 ) 3 ∙C 2 |
| 4. | C 5 ∙C 5 : C |
رمز: آ -از 7 V-از 15 G -با و -از 30 به -از 9 M -از 14 H -از 13 O -از 12 R -از 11 با -از 5 تی -از 8 H -از 3
چه کلمه ای گرفتی؟ پاسخ: عالی! (اسلاید 20)
جمع بندی، ارزیابی، علامت گذاری (اسلاید 21)
بیایید درس خود را خلاصه کنیم، چگونه با موفقیت دانش را در مورد "خواص یک مدرک با یک شاخص طبیعی" تکرار، تعمیم و نظام مند کردیم.
برگه های آزمون را می گیریم و مجموع امتیازات را محاسبه می کنیم و در ردیف نمره نهایی می نویسیم
بایستید که امتیاز 29-32 را کسب کرد: امتیاز عالی
امتیاز 25-28: امتیاز - خوب
امتیاز 20-24: امتیاز - رضایت بخش
من یک بار دیگر صحت تکالیف روی کارت ها را بررسی می کنم، نتایج شما را با امتیازهای تعیین شده در برگه تست بررسی می کنم. نمرات را در ژورنال می گذارم
و برای کار فعال در درس سنجش:
بچه ها از شما می خواهم که کار خود را در درس ارزیابی کنید. روی برگه خلق و خو علامت بزنید.
| برگه تست |
||
| نام خانوادگی نام | مقطع تحصیلی |
|
| 1. بخش نظری | ||
| 2. بازی "Clapperboard" | ||
| 3. تست کنید | ||
| 4. "رمز" | ||
| قسمت اضافی | ||
| نمرهی نهایی: | ||
| ارزیابی عاطفی | در مورد خودم | در مورد درس |
| راضی | ||
| ناراضی | ||
مشق شب (اسلاید 22)
با کلمه کلیدی DEGREE جدول کلمات متقاطع بسازید. در درس بعدی به جالب ترین آثار خواهیم پرداخت.
№ 567
فهرست منابع استفاده شده
- کتاب درسی «جبر پایه هفتم».
- شعر http://yandex.ru/yandsearch
- نه. شورکوف. فرهنگ درس مدرن. مسکو: آژانس آموزشی روسیه، 1997.
- A.V. پتروف مبانی روش شناختی و روش شناختی آموزش کامپیوتری در رشد شخصیت. ولگوگراد "تغییر"، 2001.
- مانند. بلکین. موقعیت موفقیت چگونه آن را ایجاد کنیم. M .: "روشنگری"، 1991.
- علوم و آموزش کامپیوتر №3. سبک تفکر عملیاتی، 2003
قبلاً در مورد قدرت یک عدد صحبت کردیم. این ویژگی های خاصی دارد که در حل مسائل مفید است: این آنها و همه توانای ممکن است که در این مقاله تحلیل خواهیم کرد. ما همچنین با مثال هایی نشان خواهیم داد که چگونه می توان آنها را در عمل به درستی اثبات و به کار برد.
بیایید مفهوم درجه با توان طبیعی را که قبلاً فرمول بندی کردیم را به یاد بیاوریم: این حاصل ضرب nامین تعداد عوامل است که هر یک برابر a است. همچنین باید به یاد داشته باشیم که چگونه اعداد واقعی را به درستی ضرب کنیم. همه اینها به ما کمک می کند تا ویژگی های زیر را برای یک درجه با یک شاخص طبیعی فرموله کنیم:
تعریف 1
1. خاصیت اصلی درجه: a m a n = a m + n
را می توان به موارد زیر تعمیم داد: a n 1 · a n 2 · … · a n k = a n 1 + n 2 + ... + n k .
2. خاصیت ضریب برای توان هایی که پایه یکسانی دارند: a m: a n = a m − n
3. ویژگی درجه محصول: (a b) n = a n b n
برابری را می توان به موارد زیر گسترش داد: (a 1 a 2 ... a k) n = a 1 n a 2 n ... a k n
4. خاصیت درجه طبیعی: (الف: ب) n = a n: b n
5. توان را به توان بالا می بریم: (a m) n = a m n ,
قابل تعمیم به: (((a n 1) n 2) ...) n k = a n 1 n 2 ... n k
6. درجه را با صفر مقایسه کنید:
- اگر a > 0 باشد، برای هر n طبیعی، a n بزرگتر از صفر خواهد بود.
- با مساوی 0، a n نیز برابر با صفر خواهد بود.
- برای یک< 0 и таком показателе степени, который будет четным числом 2 · m , a 2 · m будет больше нуля;
- برای یک< 0 и таком показателе степени, который будет нечетным числом 2 · m − 1 , a 2 · m − 1 будет меньше нуля.
7. برابری a n< b n будет справедливо для любого натурального n при условии, что a и b больше нуля и не равны друг другу.
8. نابرابری a m > a n درست خواهد بود مشروط بر اینکه m و n اعداد طبیعی باشند، m بزرگتر از n و a بزرگتر از صفر و کمتر از یک نباشد.
در نتیجه چندین برابری بدست آوردیم. اگر تمام شرایط ذکر شده در بالا را داشته باشید، آنها یکسان خواهند بود. برای هر یک از تساوی ها، به عنوان مثال، برای ویژگی اصلی، می توانید قسمت راست و چپ را تعویض کنید: a m · a n = a m + n - همان m + n = a m · a n . در این شکل، اغلب هنگام ساده سازی عبارات استفاده می شود.
1. بیایید با ویژگی اصلی درجه شروع کنیم: برابری a m · a n = a m + n برای هر m و n طبیعی و a واقعی صادق خواهد بود. چگونه این گفته را ثابت کنیم؟
تعریف اولیه قدرت ها با شارح های طبیعی به ما این امکان را می دهد که برابری را به محصولی از عوامل تبدیل کنیم. ما یک ورودی مانند این دریافت خواهیم کرد:
این را می توان به کوتاه کرد 
(ویژگی های اساسی ضرب را به یاد بیاورید). در نتیجه، درجه عدد a را با توان طبیعی m + n بدست آوردیم. بنابراین، m + n، که به این معنی است که ویژگی اصلی درجه ثابت شده است.
بیایید یک مثال عینی برای اثبات این موضوع بیاوریم.
مثال 1
پس با پایه 2 دو توان داریم. شاخص های طبیعی آنها به ترتیب 2 و 3 است. برابری را بدست آوردیم: 2 2 2 3 = 2 2 + 3 = 2 5 بیایید مقادیر را محاسبه کنیم تا صحت این برابری را بررسی کنیم.
بیایید عملیات ریاضی لازم را انجام دهیم: 2 2 2 3 = (2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 و 2 5 = 2 2 2 2 2 = 32
در نتیجه به دست آوردیم: 2 2 2 3 = 2 5 . ملک ثابت شده است.
با توجه به خواص ضرب، می‌توان با فرمول‌بندی آن به سه توان یا چند توان که توان آنها اعداد طبیعی و پایه‌ها یکسان هستند، آن را تعمیم داد. اگر تعداد اعداد طبیعی n 1، n 2 و غیره را با حرف k نشان دهیم، برابری صحیح به دست می آید:
a n 1 a n 2 … a n k = a n 1 + n 2 + … + n k .
مثال 2
2. در مرحله بعد، باید ویژگی زیر را ثابت کنیم که به آن خاصیت ضریب می گویند و ذاتی توان های با پایه یکسان است: این برابری am است: an = am − n که برای هر m و n طبیعی (و m) معتبر است. بزرگتر از n)) و هر غیر صفر واقعی a است.
برای شروع، اجازه دهید توضیح دهیم که دقیقاً معنای شرایطی که در فرمول ذکر شده است چیست. اگر یک عدد را برابر با صفر بگیریم، در پایان تقسیم بر صفر خواهیم داشت که نمی توان آن را انجام داد (بالاخره 0 n = 0). شرطی که عدد m باید بزرگتر از n باشد لازم است تا بتوانیم در توانهای طبیعی بمانیم: با کم کردن n از m یک عدد طبیعی بدست می آوریم. در صورت عدم رعایت شرط، عدد منفی یا صفر می گیریم و باز هم از مطالعه درجات با شاخص های طبیعی فراتر می رویم.
اکنون می توانیم به سراغ اثبات برویم. از مطالبی که قبلاً مورد مطالعه قرار گرفت، ویژگی های اساسی کسرها را یادآوری می کنیم و برابری را به صورت زیر فرموله می کنیم:
a m - n a n = a (m - n) + n = a m
از آن می توان نتیجه گرفت: a m − n a n = a m
ارتباط بین تقسیم و ضرب را به یاد بیاورید. از آن نتیجه می شود که a m − n ضریبی از توان های a m و a n است. این اثبات مالکیت درجه دو است.
مثال 3
اعداد خاصی را برای وضوح در نشانگرها جایگزین کنید و پایه درجه π را مشخص کنید: π 5: π 2 = π 5 − 3 = π 3
3. در مرحله بعد، ویژگی درجه حاصل را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد: (a · b) n = a n · b n برای هر a و b واقعی و n طبیعی.
با توجه به تعریف اولیه درجه با توان طبیعی، می‌توانیم برابری را به صورت زیر فرموله کنیم:
با یادآوری خواص ضرب، می نویسیم: 
. یعنی همان n · b n .
مثال 4
2 3 - 4 2 5 4 = 2 3 4 - 4 2 5 4
اگر سه عامل یا بیشتر داشته باشیم، این خاصیت در این مورد نیز صدق می کند. نماد k را برای تعداد فاکتورها معرفی می کنیم و می نویسیم:
(a 1 a 2 … a k) n = a 1 n a 2 n … a k n
مثال 5
با اعداد خاص، برابری صحیح زیر را بدست می آوریم: (2 (- 2 , 3) a) 7 = 2 7 (- 2 , 3) 7 a
4. پس از آن سعی می کنیم خاصیت ضریب را ثابت کنیم: (a: b) n = a n: b n برای هر a واقعی و b اگر b برابر 0 نباشد و n یک عدد طبیعی باشد.
برای اثبات، می توانیم از ویژگی درجه قبلی استفاده کنیم. اگر (a: b) n bn = ((a: b) b) n = an , و (a: b) n bn = an , پس نتیجه می شود که (a: b) n ضریبی از تقسیم an بر bn است. .
مثال 6
بیایید مثال را بشماریم: 3 1 2: - 0. 5 3 = 3 1 2 3: (- 0 , 5) 3
مثال 7
بیایید بلافاصله با یک مثال شروع کنیم: (5 2) 3 = 5 2 3 = 5 6
و اکنون زنجیره ای از برابری ها را فرموله می کنیم که درستی برابری را به ما ثابت می کند: 
اگر در مثال درجاتی از درجات داشته باشیم، این خاصیت برای آنها نیز صادق است. اگر هر عدد طبیعی p، q، r، s داشته باشیم، درست خواهد بود:
a p q y s = a p q y s
مثال 8
بیایید مشخصات را اضافه کنیم: (((5 , 2) 3) 2) 5 = (5 , 2) 3 2 5 = (5 , 2) 30
6. یکی دیگر از ویژگی های درجات با توان طبیعی که باید آن را ثابت کنیم، ویژگی مقایسه است.
ابتدا توان را با صفر مقایسه می کنیم. چرا n > 0 به شرط اینکه a بزرگتر از 0 باشد؟
اگر یک عدد مثبت را در دیگری ضرب کنیم یک عدد مثبت نیز بدست می آید. با دانستن این واقعیت، می توان گفت که این به تعداد عوامل بستگی ندارد - نتیجه ضرب هر تعداد اعداد مثبت یک عدد مثبت است. و اگر حاصل ضرب اعداد نباشد درجه چیست؟ سپس برای هر توان a n با پایه مثبت و توان طبیعی، این درست خواهد بود.
مثال 9
3 5 > 0 , (0 , 00201) 2 > 0 و 34 9 13 51 > 0
همچنین بدیهی است که توانی با پایه برابر با صفر، خودش صفر است. به هر توانی که صفر را بالا ببریم، همینطور خواهد ماند.
مثال 10
0 3 = 0 و 0 762 = 0
اگر پایه درجه یک عدد منفی باشد، پس اثبات کمی پیچیده تر است، زیرا مفهوم توان زوج / فرد مهم می شود. بیایید با حالتی شروع کنیم که توان زوج است و آن را با 2 · m نشان دهیم، جایی که m یک عدد طبیعی است.
بیایید به یاد بیاوریم که چگونه اعداد منفی را به درستی ضرب کنیم: حاصل ضرب a · a برابر است با حاصلضرب ماژول ها، و بنابراین، یک عدد مثبت خواهد بود. سپس 
و درجه a 2 · m نیز مثبت هستند.
مثال 11
برای مثال، (- 6) 4 > 0، (- 2، 2) 12 > 0 و - 2 9 6 > 0
اگر توان با پایه منفی یک عدد فرد باشد چه؟ بیایید آن را 2 · m − 1 نشان دهیم.
سپس 
همه حاصل‌های a · a با توجه به خواص ضرب مثبت هستند و حاصلضرب آنها نیز مثبت است. اما اگر آن را در تنها عدد باقیمانده a ضرب کنیم، نتیجه نهایی منفی خواهد بود.
سپس دریافت می کنیم: (- 5) 3< 0 , (− 0 , 003) 17 < 0 и - 1 1 102 9 < 0
چگونه آن را ثابت کنیم؟
یک n< b n – неравенство, представляющее собой произведение левых и правых частей nверных неравенств a < b . Вспомним основные свойства неравенств справедливо и a n < b n .
مثال 12
به عنوان مثال، نابرابری ها صادق هستند: 3 7< (2 , 2) 7 и 3 5 11 124 > (0 , 75) 124
8. بر ما باقی می ماند که آخرین خاصیت را ثابت کنیم: اگر دو درجه داشته باشیم که پایه های آنها یکسان و مثبت باشد و توان ها اعداد طبیعی باشند یکی بزرگتر است که توان آن کمتر است. و از دو درجه با شاخص های طبیعی و پایه های یکسان بزرگتر از یک، درجه ای که شاخص آن بزرگتر است بیشتر است.
بیایید این ادعاها را ثابت کنیم.
ابتدا باید مطمئن شویم که یک m< a n при условии, что m больше, чем n , и а больше 0 , но меньше 1 .Теперь сравним с нулем разность a m − a n
یک n را از پرانتز خارج می کنیم، پس از آن تفاوت ما به شکل a n · (am - n - 1) خواهد بود. نتیجه آن منفی خواهد بود (زیرا حاصل ضرب یک عدد مثبت در یک منفی منفی است). در واقع، با توجه به شرایط اولیه، m - n > 0، سپس a m - n - 1 منفی است، و اولین عامل مثبت است، مانند هر توان طبیعی با پایه مثبت.
معلوم شد که a m − a n< 0 и a m < a n . Свойство доказано.
باقی مانده است که قسمت دوم عبارت فرموله شده در بالا را ثابت کنیم: a m > a برای m > n و a > 1 صادق است. تفاوت را نشان می دهیم و یک n را از پرانتز خارج می کنیم: (a m - n - 1) توان یک n با بزرگتر از یک نتیجه مثبت می دهد. و خود تفاوت نیز به دلیل شرایط اولیه مثبت می شود و برای a > 1 درجه m − n بزرگتر از یک است. معلوم می شود که a m − a n > 0 و a m > a n، چیزی است که ما نیاز به اثبات آن داشتیم.
مثال 13
مثال با اعداد خاص: 3 7 > 3 2
ویژگی های پایه درجات با توان های عدد صحیح
برای درجاتی که دارای نماهای عدد صحیح مثبت هستند، خواص مشابه خواهند بود، زیرا اعداد صحیح مثبت طبیعی هستند، به این معنی که تمام برابری های اثبات شده در بالا برای آنها نیز معتبر است. آنها همچنین برای مواردی مناسب هستند که توان ها منفی یا برابر با صفر باشند (به شرطی که پایه خود درجه غیر صفر باشد).
بنابراین، خواص توان ها برای هر پایه a و b (به شرط اینکه این اعداد واقعی باشند و برابر 0 نباشند) و هر توان m و n (به شرط اینکه اعداد صحیح باشند) یکسان است. ما آنها را به طور خلاصه در قالب فرمول می نویسیم:
تعریف 2
1. a m a n = a m + n
2. a m: a n = a m − n
3. (a b) n = a n b n
4. (a: b) n = a n: b n
5. (am) n = a m n
6. a n< b n и a − n >b − n با عدد صحیح مثبت n , مثبت a و b , a< b
7. یک متر< a n , при условии целых m и n , m >n و 0< a < 1 , при a >1 a m > a n .
اگر پایه درجه برابر با صفر باشد، ورودی های a m و a n فقط در مورد m و n طبیعی و مثبت معنا پیدا می کنند. در نتیجه، متوجه می‌شویم که فرمول‌های فوق برای موارد با درجه با پایه صفر نیز مناسب هستند، در صورتی که سایر شرایط رعایت شود.
اثبات این خواص در این مورد ساده است. ما باید به یاد داشته باشیم که درجه با توان طبیعی و عدد صحیح چیست و همچنین خواص اعمال با اعداد واقعی را به خاطر بسپاریم.
اجازه دهید ویژگی درجه را در درجه تجزیه و تحلیل کنیم و ثابت کنیم که هم برای اعداد صحیح مثبت و هم برای اعداد صحیح غیر مثبت صادق است. با اثبات برابری های (ap) q = ap q , (a − p) q = a (− p) q , (ap) − q = ap (− q) و (a − p) − q = a ( −p) (−q)
شرایط: p = 0 یا عدد طبیعی. q - به همین ترتیب.
اگر مقادیر p و q بزرگتر از 0 باشد، آنگاه (a p) q = a p · q به دست می آید. ما قبلاً یک برابری مشابه را ثابت کرده ایم. اگر p = 0 پس:
(a 0) q = 1 q = 1 a 0 q = a 0 = 1
بنابراین (a 0) q = a 0 q
برای q = 0 همه چیز دقیقاً یکسان است:
(a p) 0 = 1 a p 0 = a 0 = 1
نتیجه: (a p) 0 = a p 0 .
اگر هر دو شاخص صفر باشند، (a 0) 0 = 1 0 = 1 و 0 0 = a 0 = 1، سپس (a 0) 0 = a 0 0 .
خاصیت ضریب توان اثبات شده در بالا را به خاطر بیاورید و بنویسید:
1 a p q = 1 q a p q
اگر 1 p = 1 1 … 1 = 1 و a p q = a p q ، آنگاه 1 q a p q = 1 a p q
ما می‌توانیم این نماد را بر اساس قوانین ضرب اصلی به a (-p) · q تبدیل کنیم.
همچنین: a p - q = 1 (a p) q = 1 a p q = a - (p q) = a p (- q) .
AND (a - p) - q = 1 a p - q = (a p) q = a p q = a (- p) (- q)
با تبدیل نابرابری های موجود می توان خواص باقی مانده درجه را به روشی مشابه اثبات کرد. ما در این مورد به تفصیل نمی پردازیم، فقط به نکات دشوار اشاره می کنیم.
اثبات خاصیت ماقبل آخر: به یاد بیاورید که a - n > b - n برای هر عدد صحیح منفی n و هر مثبت a و b درست است، مشروط بر اینکه a کمتر از b باشد.
سپس نابرابری را می توان به صورت زیر تبدیل کرد:
1 a n > 1 b n
قسمت راست و چپ را به صورت تفاوت می نویسیم و تبدیل های لازم را انجام می دهیم:
1 a n - 1 b n = b n - a n a n b n
به یاد بیاورید که در شرایط a کوچکتر از b است، پس طبق تعریف یک درجه با توان طبیعی: - a n< b n , в итоге: b n − a n > 0 .
a n · b n به یک عدد مثبت ختم می شود زیرا عوامل آن مثبت هستند. در نتیجه یک کسری b n - a n a n · b n داریم که در پایان نیز یک نتیجه مثبت می دهد. از این رو 1 a n > 1 b n از آنجا a − n > b − n است که باید آن را ثابت می کردیم.
آخرین ویژگی درجات با نماهای اعداد صحیح مشابه خاصیت درجات با توان های طبیعی ثابت می شود.
ویژگی های پایه درجات با توان های گویا
در مقالات قبلی بحث کردیم که درجه با توان گویا (کسری) چیست. خواص آنها مانند درجه هایی با توان های عدد صحیح است. بیا بنویسیم:
تعریف 3
1. am 1 n 1 am 2 n 2 = am 1 n 1 + m 2 n 2 برای > 0، و اگر m 1 n 1 > 0 و m 2 n 2 > 0، آنگاه برای ≥ 0 (قدرت های ویژگی محصول با همان پایه).
2. a m 1 n 1: b m 2 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2 اگر a > 0 (ویژگی ضریب).
3. a bmn = amn bmn برای > 0 و b > 0، و اگر m 1 n 1 > 0 و m 2 n 2 > 0، آنگاه برای ≥ 0 و (یا) b ≥ 0 (ویژگی محصول در درجه کسری ).
4. a: b m n \u003d a m n: b m n برای a > 0 و b > 0، و اگر m n > 0، آنگاه برای a ≥ 0 و b > 0 (خاصیت یک ضریب به توان کسری).
5. am 1 n 1 m 2 n 2 = am 1 n 1 m 2 n 2 برای > 0، و اگر m 1 n 1 > 0 و m 2 n 2 > 0، برای ≥ 0 (ویژگی درجه بر حسب درجه ).
6.ap< b p при условии любых положительных a и b , a < b и рациональном p при p >0; اگر ص< 0 - a p >b p (ویژگی مقایسه درجات با توانهای گویا مساوی).
7.ap< a q при условии рациональных чисел p и q , p >q در 0< a < 1 ; если a >0 - a p > a q
برای اثبات این مفاد، باید به یاد بیاوریم که درجه با توان کسری چیست، ریشه حسابی درجه n چه ویژگی هایی دارد، و یک درجه با توان عدد صحیح چه ویژگی هایی دارد. بیایید نگاهی به هر ملک بیندازیم.
با توجه به اینکه درجه ای با توان کسری چیست، به دست می آوریم:
a m 1 n 1 \u003d am 1 n 1 و a m 2 n 2 \u003d am 2 n 2، بنابراین a m 1 n 1 a m 2 n 2 \u003d am 1 n 1 a m 2 n 2
ویژگی های ریشه به ما امکان می دهد تا برابری ها را استخراج کنیم:
a m 1 m 2 n 1 n 2 a m 2 m 1 n 2 n 1 = a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2
از این نتیجه می گیریم: a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2
بیایید تبدیل کنیم:
a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2
توان را می توان به صورت زیر نوشت:
m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 2 n 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 1 + m 2 n 2
این اثبات است. خاصیت دوم دقیقاً به همین صورت ثابت می شود. بیایید زنجیره برابری ها را بنویسیم:
am 1 n 1: am 2 n 2 = am 1 n 1: am 2 n 2 = am 1 n 2: am 2 n 1 n 1 n 2 = = am 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = am 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = am 1 n 2 n 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = am 1 n 1 - m 2 n 2
شواهد برابری های باقی مانده:
a b m n = (a b) m n = a m b m n = a m n b m n = a m n b m n ; (a: b) m n = (a: b) m n = a m: b m n = = a m n: b m n = a m n: b m n ; am 1 n 1 m 2 n 2 = am 1 n 1 m 2 n 2 = am 1 n 1 m 2 n 2 = = am 1 m 2 n 1 n 2 = am 1 m 2 n 1 n 2 = = am 1 m 2 n 2 n 1 = am 1 m 2 n 2 n 1 = am 1 n 1 m 2 n 2
ویژگی بعدی: ثابت کنیم که برای هر مقدار a و b بزرگتر از 0، اگر a کوچکتر از b باشد، یک p اجرا می شود.< b p , а для p больше 0 - a p >bp
بیایید یک عدد گویا p را m n نشان دهیم. در این مورد، m یک عدد صحیح است، n یک عدد طبیعی است. سپس شرایط ص< 0 и p >0 به m گسترش خواهد یافت< 0 и m >0 . برای m > 0 و a< b имеем (согласно свойству степени с целым положительным показателем), что должно выполняться неравенство a m < b m .
از خاصیت ریشه ها استفاده می کنیم و مشتق می کنیم: a m n< b m n
با در نظر گرفتن مثبت بودن مقادیر a و b، نابرابری را به صورت m n بازنویسی می کنیم.< b m n . Оно эквивалентно a p < b p .
به همین ترتیب، برای م< 0 имеем a a m >b m، m n > b m n به دست می آوریم، بنابراین a m n > b m n و a p > b p.
باقی می ماند که آخرین مال را ثابت کنیم. اجازه دهید ثابت کنیم که برای اعداد گویا p و q، p > q برای 0< a < 1 a p < a q , а при a >0 درست است a p > a q .
اعداد گویا p و q را می توان به یک مخرج مشترک تقلیل داد و کسرهای m 1 n و m 2 n را بدست آورد.
در اینجا m 1 و m 2 اعداد صحیح هستند و n یک عدد طبیعی است. اگر p > q، پس m 1 > m 2 (با در نظر گرفتن قانون مقایسه کسرها). سپس در 0< a < 1 будет верно a m 1 < a m 2 , а при a >1 - نابرابری a 1 m > a 2 m .
آنها را می توان به شکل زیر بازنویسی کرد:
m 1 n< a m 2 n a m 1 n >m 2 n
سپس می توانید تغییراتی ایجاد کنید و به نتیجه برسید:
m 1 n< a m 2 n a m 1 n >m 2 n
به طور خلاصه: برای p > q و 0< a < 1 верно a p < a q , а при a >0 – a p > a q .
ویژگی های پایه درجه ها با توان های غیر منطقی
تمام ویژگی‌هایی که در بالا توضیح داده شد و یک درجه با شارح‌های منطقی دارد، می‌تواند به چنین درجه‌ای گسترش یابد. این همان تعریف آن است که در یکی از مقالات قبلی ارائه کردیم. اجازه دهید به طور خلاصه این ویژگی ها را فرمول بندی کنیم (شرایط: a > 0، b > 0، شاخص های p و q اعداد غیر منطقی هستند):
تعریف 4
1. a p a q = a p + q
2. a p: a q = a p − q
3. (a b) p = a p b p
4. (الف: ب) p = a p: b p
5. (a p) q = a p q
6.ap< b p верно при любых положительных a и b , если a < b и p – иррациональное число больше 0 ; если p меньше 0 , то a p >bp
7.ap< a q верно, если p и q – иррациональные числа, p < q , 0 < a < 1 ; если a >0 , سپس a p > a q .
بنابراین، تمام توان هایی که توان آنها p و q اعداد واقعی هستند، مشروط بر اینکه a > 0 دارای ویژگی های یکسان باشند.
اگر متوجه اشتباهی در متن شدید، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید
بعد از اینکه درجه عدد مشخص شد، منطقی است که در مورد آن صحبت کنیم خواص درجه. در این مقاله، ویژگی های اصلی درجه یک عدد را در حالی که تمام توان های ممکن را لمس می کنیم، بیان می کنیم. در اینجا ما برهان تمام خصوصیات درجه ارائه می دهیم و همچنین نشان می دهیم که چگونه این ویژگی ها هنگام حل مثال ها اعمال می شوند.
پیمایش صفحه.
خواص درجات با شاخص های طبیعی
با تعریف توانی با توان طبیعی، توان a n حاصلضرب n عامل است که هر کدام برابر با a است. بر اساس این تعریف و با استفاده از خواص ضرب اعداد واقعی، می توانیم موارد زیر را بدست آوریم و توجیه کنیم خواص درجه با توان طبیعی:
- ویژگی اصلی درجه a m ·a n =a m+n، تعمیم آن.
- ویژگی توان های جزئی با پایه های یکسان a m:a n =a m−n ;
- ویژگی درجه محصول (a b) n =a n b n , پسوند آن ;
- خاصیت ضریب در نوع (a:b) n =a n:b n ;
- توان (a m) n =a m n، تعمیم آن ((a n 1) n 2) ...) n k =a n 1 n 2 ... n k;
- مقایسه درجه با صفر:
- اگر a>0 باشد، برای هر n طبیعی a n > 0 ;
- اگر a=0 , a n = 0 ;
- اگر یک<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 اگر الف<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
- اگر a و b اعداد مثبت و a باشند
- اگر m و n اعداد طبیعی هستند به طوری که m>n، آنگاه در 0
- اگر m و n اعداد طبیعی هستند به طوری که m>n، آنگاه در 0
بلافاصله توجه می کنیم که تمام برابری های نوشته شده وجود دارد همساندر شرایط مشخص شده و قسمت راست و چپ آنها قابل تعویض است. به عنوان مثال، ویژگی اصلی کسر a m a n = a m + n با ساده سازی عباراتاغلب به شکل m+n = a m a n استفاده می شود.
حال بیایید هر یک از آنها را به تفصیل بررسی کنیم.
از ویژگی حاصل ضرب دو توان با پایه های یکسان شروع می کنیم که به آن می گویند ویژگی اصلی مدرک: برای هر عدد حقیقی a و هر عدد طبیعی m و n برابری a m ·a n =a m+n درست است.
بیایید ویژگی اصلی مدرک را ثابت کنیم. با تعریف درجه ای با توان طبیعی، حاصل ضرب توان هایی با پایه های یکسان به شکل a m a n را می توان به صورت ضربی نوشت. با توجه به خواص ضرب، عبارت حاصل را می توان به صورت نوشتاری نوشت 
و این حاصل ضرب توان a با توان طبیعی m+n یعنی m+n است. این اثبات را کامل می کند.
اجازه دهید مثالی بزنیم که ویژگی اصلی مدرک را تایید می کند. بیایید درجاتی را با همان پایه های 2 و توان های طبیعی 2 و 3 بگیریم، با توجه به ویژگی اصلی درجه، می توانیم برابری 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 را بنویسیم. بیایید اعتبار آن را بررسی کنیم، که برای آن مقادیر عبارات 2 2 · 2 3 و 2 5 را محاسبه می کنیم. انجام قدرت، ما داریم 2 2 2 3 = (2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32و 2 5 \u003d 2 2 2 2 2 \u003d 32 ، از آنجایی که مقادیر مساوی به دست می آید ، برابری 2 2 2 3 \u003d 2 5 صحیح است و ویژگی اصلی درجه را تأیید می کند.
خاصیت اصلی یک درجه بر اساس خواص ضرب را می توان به حاصل ضرب سه یا چند درجه با پایه ها و توان های طبیعی یکسان تعمیم داد. بنابراین برای هر عدد k از اعداد طبیعی n 1 , n 2 , …, n k برابری a n 1 a n 2 a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.
برای مثال، (2.1) 3 (2.1) 3 (2.1) 4 (2.1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .
می توانید با یک نشانگر طبیعی به ویژگی بعدی درجه بروید - دارایی قدرت های جزئی با پایه های یکسان: برای هر عدد واقعی غیر صفر a و اعداد طبیعی دلخواه m و n که شرط m>n را برآورده می کنند، برابری a m:a n =a m−n درست است.
قبل از ارائه اثبات این خاصیت، اجازه دهید به معنای شرایط اضافی در بیانیه بپردازیم. شرط a≠0 برای اجتناب از تقسیم بر صفر ضروری است، زیرا 0 n = 0 است و وقتی با تقسیم آشنا شدیم، پذیرفتیم که تقسیم بر صفر غیرممکن است. شرط m>n معرفی شده است تا از توان طبیعی فراتر نرویم. در واقع، برای m>n توان m-n یک عدد طبیعی است، در غیر این صورت یا صفر خواهد بود (که برای m-n اتفاق می افتد) یا یک عدد منفی (که برای m اتفاق می افتد). اثبات خاصیت اصلی کسری به ما امکان می دهد تساوی را بنویسیم a m−n a n =a (m−n)+n =a m. از تساوی به دست آمده a m−n ·a n =a m و از آن نتیجه می شود که m−n ضریبی از توان های m و a n است. این خاصیت قدرت های جزئی را با پایه های یکسان ثابت می کند. بیایید یک مثال بزنیم. بیایید دو درجه با پایه های π و توان طبیعی 5 و 2 یکسان در نظر بگیریم، ویژگی درجه در نظر گرفته شده با برابری π 5 مطابقت دارد: π 2 = π 5-3 = π 3. حال در نظر بگیرید دارایی درجه محصول: درجه طبیعی n حاصلضرب هر دو عدد واقعی a و b برابر است با حاصل ضرب درجات a n و b n یعنی (a b) n =a n b n . در واقع، با تعریف یک درجه با توان طبیعی، ما داریم در اینجا یک مثال است: این ویژگی تا درجه حاصلضرب سه یا چند عامل گسترش می یابد. یعنی خاصیت توان طبیعی n حاصل ضرب k ضریب به صورت نوشته می شود (a 1 a 2 ... a k) n =a 1 n a 2 n ... a k n. برای وضوح، این ویژگی را با یک مثال نشان می دهیم. برای حاصل ضرب سه عامل به توان 7، داریم. ملک بعدی است دارایی طبیعی: ضریب اعداد حقیقی a و b , b≠0 به توان طبیعی n برابر است با ضریب توان های a n و b n یعنی (a:b) n =a n:b n . اثبات را می توان با استفاده از ویژگی قبلی انجام داد. بنابراین (a:b) n b n =((a:b) b) n =a nو برابری (a:b) n b n =a n نشان می دهد که (a:b) n ضریب a n تقسیم بر b n است. بیایید این ویژگی را با استفاده از مثال اعداد خاص بنویسیم: حالا بیایید صدا کنیم ویژگی توانمندی: برای هر عدد واقعی a و هر عدد طبیعی m و n، توان a m به توان n برابر با توان a با توان m·n است، یعنی (a m) n =a m·n . به عنوان مثال، (5 2) 3 =5 2 3 =5 6. اثبات ویژگی قدرت در یک درجه، زنجیره برابری زیر است: اموال در نظر گرفته شده را می توان به درجه در درجه در درجه و غیره گسترش داد. به عنوان مثال، برای هر اعداد طبیعی p، q، r و s برابری است باقی مانده است که در مورد خواص مقایسه درجه با یک توان طبیعی صحبت کنیم. ما با اثبات ویژگی مقایسه صفر و توان با توان طبیعی شروع می کنیم. ابتدا بیایید توجیه کنیم که a n>0 برای هر a>0 . حاصل ضرب دو عدد مثبت یک عدد مثبت است که از تعریف ضرب به دست می آید. این واقعیت و ویژگی های ضرب به ما امکان می دهد ادعا کنیم که حاصل ضرب هر تعداد اعداد مثبت نیز یک عدد مثبت خواهد بود. و توان a با توان طبیعی n طبق تعریف حاصلضرب n عامل است که هر کدام برابر a است. این استدلال‌ها به ما اجازه می‌دهند تا ادعا کنیم که برای هر پایه مثبت a، درجه a n یک عدد مثبت است. به موجب ویژگی ثابت شده 3 5 > 0 , (0.00201) 2 > 0 و کاملاً واضح است که برای هر n طبیعی با a=0 درجه a n صفر است. در واقع، 0 n =0·0·…·0=0 . برای مثال 0 3 = 0 و 0 762 = 0 . به سراغ مبانی منفی برویم. بیایید با حالتی شروع کنیم که توان یک عدد زوج است، آن را 2 m نشان دهید، جایی که m یک عدد طبیعی است. سپس در نهایت، وقتی پایه a یک عدد منفی و توان یک عدد فرد 2 m−1 باشد، آنگاه به ویژگی مقایسه درجات با توان های طبیعی یکسان می پردازیم که فرمول زیر را دارد: از دو درجه با توان های طبیعی یکسان، n کمتر از درجه ای است که پایه آن کمتر است و بیشتر از آن که پایه آن بزرگتر است. بیایید ثابت کنیم. نابرابری a n ویژگی های نابرابری هااثبات نابرابری از شکل a n (2،2) 7 و باقی مانده است که آخرین ویژگی های فهرست شده قدرت ها را با توان های طبیعی اثبات کنیم. بیایید آن را فرمول بندی کنیم. از دو درجه با شاخص های طبیعی و پایه های مثبت یکسان، کمتر از یک، درجه بیشتر است که شاخص آن کمتر است. و از دو درجه با شاخص های طبیعی و پایه های یکسان بزرگتر از یک، درجه ای که شاخص آن بزرگتر است بیشتر است. به اثبات این خاصیت می پردازیم. اجازه دهید ثابت کنیم که برای m>n و 0 باقی مانده است که قسمت دوم ملک را اثبات کنیم. اجازه دهید ثابت کنیم که برای m>n و a>1، a m >a n درست است. تفاوت a m −a n پس از خارج کردن n از پرانتز به شکل n ·(a m−n −1) است. این حاصلضرب مثبت است، زیرا برای a>1 درجه an یک عدد مثبت است، و تفاوت am-n-1 یک عدد مثبت است، زیرا m−n>0 بر اساس شرط اولیه، و برای a>1 درجه am-n بزرگتر از یک است. بنابراین، a m − a n > 0 و a m >a n که قرار بود ثابت شود. این ویژگی با نابرابری 3 7 > 3 2 نشان داده شده است.
. آخرین حاصل ضرب، بر اساس خواص ضرب، می تواند بازنویسی شود 
، که برابر با a n b n است.
.
.
.
. برای وضوح بیشتر، در اینجا یک مثال با اعداد خاص آورده شده است: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10
.
.
. برای هر یک از محصولات شکل a·a برابر است با حاصل ضرب ماژول های اعداد a و a، بنابراین یک عدد مثبت است. بنابراین، محصول نیز مثبت خواهد بود. 
و درجه a 2 متر. در اینجا مثال هایی آورده شده است: (-6) 4 >0، (-2،2) 12 >0 و .
. همه حاصلات a·a اعداد مثبت هستند، حاصل ضرب این اعداد مثبت نیز مثبت است و ضرب آن در عدد منفی باقیمانده a به عدد منفی منجر می شود. با توجه به این خاصیت (-5) 3<0
, (−0,003) 17 <0
и 
.
.
خواص درجات با نماهای عدد صحیح
از آنجایی که اعداد صحیح مثبت اعداد طبیعی هستند، پس تمام ویژگی های توان های دارای توان های اعداد صحیح مثبت دقیقاً با ویژگی های توان های دارای توان های طبیعی که در پاراگراف قبلی فهرست و اثبات شده اند، مطابقت دارند.
ما درجه را با یک توان عدد صحیح منفی و همچنین درجه را با توان صفر تعریف کردیم، به طوری که تمام خصوصیات درجات با توان های طبیعی بیان شده توسط برابری ها معتبر باقی می مانند. بنابراین، همه این ویژگی ها هم برای نماهای صفر و هم برای نماهای منفی معتبر است، در حالی که، البته، پایه های درجات غیر صفر هستند.
بنابراین، برای هر عدد واقعی و غیر صفر a و b، و همچنین هر عدد صحیح m و n، موارد زیر صحیح هستند. خواص درجات با توان اعداد صحیح:
- a m a n \u003d a m + n;
- a m: a n = a m−n ;
- (a ب) n = a n b n ;
- (a:b) n =a n:b n ;
- (a m) n = a m n ;
- اگر n یک عدد صحیح مثبت باشد، a و b اعداد مثبت هستند و a b-n;
- اگر m و n اعداد صحیح باشند، و m>n، آنگاه در 0
برای a=0، توان های a m و a تنها زمانی معنا پیدا می کنند که هر دو m و n اعداد صحیح مثبت باشند، یعنی اعداد طبیعی. بنابراین، خصوصیاتی که به تازگی نوشته شده اند برای مواردی که a=0 و اعداد m و n اعداد صحیح مثبت هستند نیز معتبر هستند.
اثبات هر یک از این خصوصیات کار دشواری نیست، برای این کار کافی است از تعاریف درجه با توان طبیعی و عدد صحیح و همچنین خواص اعمال با اعداد حقیقی استفاده کنیم. به عنوان مثال، اجازه دهید ثابت کنیم که ویژگی توان هم برای اعداد صحیح مثبت و هم برای اعداد صحیح غیر مثبت صادق است. برای انجام این کار، باید نشان دهیم که اگر p صفر یا یک عدد طبیعی باشد و q صفر یا یک عدد طبیعی باشد، پس تساوی (ap) q =ap q , (a -p) q =a (-p) q , (ap ) −q =ap (−q) و (a−p)−q =a (−p) (−q). بیایید آن را انجام دهیم.
برای p و q مثبت، برابری (a p) q =a p·q در بخش فرعی قبل ثابت شد. اگر p=0، آنگاه (a 0) q =1 q =1 و a 0 q =a 0 =1 داریم، از آنجا (a 0) q =a 0 q . به طور مشابه، اگر q=0، آنگاه (a p) 0 =1 و a p 0 =a 0 =1، از آنجایی که (a p) 0 =a p 0 است. اگر هر دو p=0 و q=0، آنگاه (a 0) 0 =1 0 =1 و 0 0 =a 0 =1، از این جا (a 0) 0 =a 0 0 .
اکنون ثابت کنیم که (a −p) q =a (−p) q . با تعریف یک درجه با توان عدد صحیح منفی، پس 
. با خاصیت ضریب در درجه داریم 
. از آنجایی که 1 p =1·1·…·1=1 و سپس . آخرین عبارت، طبق تعریف، توانی به شکل a -(p q) است که به موجب قواعد ضرب، می توان آن را به صورت (-p) q نوشت.
به همین ترتیب 
.
و 
.
با همان اصل، می توان تمام خصوصیات دیگر یک درجه را با یک توان عدد صحیح، که به شکل تساوی نوشته شده است، اثبات کرد.
در ماقبل آخر ویژگی های ثبت شده، ارزش آن را دارد که به اثبات نابرابری a −n >b −n بپردازیم، که برای هر عدد صحیح منفی −n و هر مثبت a و b که شرط a صادق است. . از آنجایی که به شرط الف 0 . حاصل ضرب a n ·b n نیز به عنوان حاصل ضرب اعداد مثبت a n و b n مثبت است. سپس کسر حاصل به عنوان ضریبی از اعداد مثبت b n - a n و a n b n مثبت است. از این رو، از آنجا a −n >b −n، که قرار بود ثابت شود.
آخرین خاصیت درجات با نماهای اعداد صحیح به همان صورت ثابت می شود که خاصیت مشابه درجات با توان های طبیعی.
خواص قوا با شارح عقلی
ما درجه را با یک توان کسری با گسترش ویژگی های یک درجه با یک توان صحیح به آن تعریف کردیم. به عبارت دیگر، درجه هایی با توان کسری همان ویژگی های درجه هایی با توان های اعداد صحیح را دارند. برای مثال:
اثبات خصوصیات درجات با توان کسری بر اساس تعریف درجه با توان کسری، روی و بر روی خواص درجه با توان عدد صحیح است. بیایید مدرک بیاوریم.
با تعریف درجه با توان کسری و سپس 
. ویژگی های ریشه حسابی به ما اجازه می دهد تا تساوی های زیر را بنویسیم. علاوه بر این، با استفاده از خاصیت درجه با توان عدد صحیح، به دست می آوریم، از این رو، با تعریف یک درجه با توان کسری، داریم 
، و توان درجه به دست آمده را می توان به صورت زیر تبدیل کرد: . این اثبات را کامل می کند.
خاصیت دوم توان ها با توان های کسری دقیقاً به همین ترتیب ثابت می شود: 
بقیه برابری ها با اصول مشابه اثبات می شوند: 
به اثبات ملک بعدی می پردازیم. اجازه دهید ثابت کنیم که برای هر a و b مثبت، a b p . عدد گویا p را m/n می نویسیم که m یک عدد صحیح و n یک عدد طبیعی است. شرایط ص<0 и p>0 در این حالت معادل شرایط m خواهد بود<0 и m>0 به ترتیب. برای m>0 و a
به طور مشابه، برای m<0 имеем a m >b m، از کجا، یعنی، و a p >b p.
باقی مانده است که آخرین ویژگی های ذکر شده را اثبات کنیم. اجازه دهید ثابت کنیم که برای اعداد گویا p و q، p>q برای 0 
و 
. و تعریف درجه با توان گویا به ما امکان می دهد به ترتیب به نابرابری ها و. از این نتیجه نهایی را می گیریم: برای p>q و 0
ویژگی های درجات با توان غیرمنطقی
از نحوه تعریف درجه با توان غیرمنطقی می توان نتیجه گرفت که تمام خصوصیات درجات با توان های گویا را دارد. بنابراین برای هر a>0، b>0 و اعداد غیر منطقی p و q موارد زیر درست است ویژگی های درجات با توان غیر منطقی:
- a p a q = a p + q ;
- a p:a q = a p−q ;
- (a ب) p = a p b p ;
- (a:b) p =a p:b p ;
- (a p) q = a p q ;
- برای هر عدد مثبت a و b , a 0 نابرابری a p b p ;
- برای اعداد غیر منطقی p و q، p>q در 0
از این نتیجه می‌توان نتیجه گرفت که توان‌هایی با هر توان واقعی p و q برای a>0 دارای ویژگی‌های یکسانی هستند.
کتابشناسی - فهرست کتب.
- Vilenkin N.Ya.، ژوخوف V.I.، Chesnokov A.S.، Shvartsburd S.I. کتاب درسی ریاضی ژ برای 5 سلول. موسسات آموزشی
- Makarychev Yu.N.، Mindyuk N.G.، Neshkov K.I.، Suvorova S.B. جبر: کتاب درسی 7 سلولی. موسسات آموزشی
- Makarychev Yu.N.، Mindyuk N.G.، Neshkov K.I.، Suvorova S.B. جبر: کتاب درسی 8 سلولی. موسسات آموزشی
- Makarychev Yu.N.، Mindyuk N.G.، Neshkov K.I.، Suvorova S.B. جبر: کتاب درسی 9 سلولی. موسسات آموزشی
- کولموگروف A.N.، Abramov A.M.، Dudnitsyn Yu.P. و دیگران جبر و آغاز تحلیل: کتاب درسی پایه های 10-11 موسسات آموزشی عمومی.
- گوسف V.A.، Mordkovich A.G. ریاضیات (دستورالعملی برای متقاضیان آموزشکده فنی).
تخته سرگردان با smf
استفاده از آونگ برای فال
تشخیص خودکار موتور انجمن