فرمول تعیین مجموع یک پیشرفت حسابی. مجموع پیشرفت حسابی

بنابراین، بیایید بنشینیم و شروع به نوشتن چند عدد کنیم. مثلا:
شما می توانید هر عددی را بنویسید، و می تواند هر تعداد که دوست دارید وجود داشته باشد (در مورد ما، آنها وجود دارند). مهم نیست که چند عدد بنویسیم، همیشه می توانیم بگوییم کدام اول است، کدام دوم و همینطور تا آخرین عدد، یعنی می توانیم آنها را شماره گذاری کنیم. این نمونه ای از دنباله اعداد است:

دنباله اعداد
به عنوان مثال، برای دنباله ما:

شماره اختصاص داده شده فقط مختص یک عدد در دنباله است. به عبارت دیگر، سه عدد دوم در دنباله وجود ندارد. عدد دوم (مانند عدد هفتم) همیشه یکسان است.
عددی که دارای عدد است، ترم امین دنباله نامیده می شود.

ما معمولاً کل دنباله را با یک حرف صدا می زنیم (مثلاً)، و هر عضو این دنباله همان حرف است با شاخصی برابر با تعداد این عضو: .

در مورد ما:

فرض کنید یک دنباله عددی داریم که در آن تفاوت بین اعداد مجاور یکسان و مساوی است.
مثلا:

و غیره.
این دنباله اعداد را پیشروی حسابی می نامند.
اصطلاح "پیشرفت" توسط نویسنده رومی Boethius در قرن ششم معرفی شد و در معنای گسترده تر به عنوان یک دنباله عددی بی نهایت درک شد. نام "حساب" از نظریه نسبت های پیوسته که توسط یونانیان باستان مورد مطالعه قرار گرفت، منتقل شد.

این یک دنباله اعداد است که هر عضو آن برابر است با عضو قبلی که به همان عدد اضافه شده است. این عدد را تفاضل یک تصاعد حسابی می نامند و مشخص می شود.

سعی کنید تعیین کنید که کدام دنباله اعداد یک تصاعد حسابی هستند و کدام یک نیستند:

آ)
ب)
ج)
د)

فهمیدم؟ بیایید پاسخ های خود را با هم مقایسه کنیم:
استپیشرفت حسابی - b، c.
نیستپیشرفت حسابی - a, d.

بیایید به پیشرفت داده شده () برگردیم و سعی کنیم مقدار ترم آن را پیدا کنیم. وجود دارد دوراهی برای پیدا کردن آن

1. روش

می‌توانیم عدد پیشرفت را به مقدار قبلی اضافه کنیم تا زمانی که به ترم پیشروی برسیم. خوب است که چیز زیادی برای خلاصه کردن نداریم - فقط سه مقدار:

بنابراین، امین ترم پیشروی حسابی توصیف شده برابر است با.

2. روش

اگر نیاز به یافتن مقدار ترم ترم پیشرفت داشته باشیم چه می‌شود؟ جمع‌بندی بیش از یک ساعت طول می‌کشد و این یک واقعیت نیست که هنگام جمع کردن اعداد اشتباه نکنیم.
البته ریاضیدانان روشی را ابداع کرده اند که در آن لازم نیست تفاوت یک تصاعد حسابی را به مقدار قبلی اضافه کنیم. به تصویر کشیده شده با دقت نگاه کنید... مطمئناً قبلاً متوجه الگوی خاصی شده اید، یعنی:

برای مثال، بیایید ببینیم که مقدار ترم سوم این پیشروی حسابی شامل چه چیزی است:


به عبارت دیگر:

سعی کنید ارزش عضوی از یک پیشرفت محاسباتی را خودتان از این طریق بیابید.

حساب کردی؟ یادداشت های خود را با پاسخ مقایسه کنید:

لطفاً توجه داشته باشید که دقیقاً همان عددی را به دست آوردید که در روش قبلی، زمانی که ما به طور متوالی شرایط پیشروی حسابی را به مقدار قبلی اضافه کردیم.
بیایید سعی کنیم این فرمول را "شخصی" کنیم - بیایید آن را به شکل کلی قرار دهیم و دریافت کنیم:

معادله پیشرفت حسابی.

پیشروی های حسابی می تواند افزایش یا کاهش یابد.

در حال افزایش است- پیشرفت هایی که در آنها هر مقدار بعدی از عبارت ها از مقدار قبلی بیشتر است.
مثلا:

نزولی- پیشرفت هایی که در آنها هر مقدار بعدی از عبارت ها کمتر از مقدار قبلی است.
مثلا:

فرمول مشتق شده در محاسبه عبارات در هر دو حالت افزایشی و کاهشی یک پیشروی حسابی استفاده می شود.
بیایید این را در عمل بررسی کنیم.
به ما یک تصاعد حسابی متشکل از اعداد زیر داده شده است: بیایید بررسی کنیم که اگر از فرمول خود برای محاسبه آن استفاده کنیم، عدد امین این پیشروی حسابی چقدر خواهد بود:

از آن به بعد:

بنابراین، ما متقاعد شده‌ایم که این فرمول هم در کاهش و هم در افزایش پیشروی حسابی عمل می‌کند.
سعی کنید خود ترم های این پیشروی حسابی را پیدا کنید.

بیایید نتایج را با هم مقایسه کنیم:

خاصیت پیشرفت حسابی

بیایید مشکل را پیچیده کنیم - ما خاصیت پیشرفت حسابی را به دست خواهیم آورد.
فرض کنید شرایط زیر به ما داده شده است:
- پیشرفت حسابی، مقدار را پیدا کنید.
آسان است، می گویید و طبق فرمولی که از قبل می دانید شروع به شمارش می کنید:

بگذار، آه، پس:

کاملا درسته معلوم می شود که ما ابتدا پیدا می کنیم، سپس آن را به عدد اول اضافه می کنیم و آنچه را که به دنبال آن هستیم به دست می آوریم. اگر پیشرفت با مقادیر کوچک نشان داده شود، هیچ چیز پیچیده ای در مورد آن وجود ندارد، اما اگر در شرایط به ما اعداد داده شود چه؟ موافقم، احتمال اشتباه در محاسبات وجود دارد.
حال به این فکر کنید که آیا با استفاده از هر فرمولی می توان این مشکل را در یک مرحله حل کرد؟ البته بله، و این چیزی است که ما اکنون سعی خواهیم کرد آن را بیان کنیم.

بیایید عبارت مورد نیاز پیشروی حسابی را به عنوان فرمول پیدا کردن آن برای ما مشخص کنیم - این همان فرمولی است که در ابتدا استخراج کردیم:
، سپس:

• ترم قبلی پیشرفت عبارت است از:
• ترم بعدی پیشرفت عبارت است از:

بیایید شرایط قبلی و بعدی پیشرفت را خلاصه کنیم:

به نظر می رسد که مجموع عبارت های قبلی و بعدی پیشرفت، مقدار دو برابر عبارت پیشروی است که بین آنها قرار دارد. به عبارت دیگر، برای یافتن مقدار یک عبارت پیشرفت با مقادیر قبلی و متوالی شناخته شده، باید آنها را جمع کرده و بر آن تقسیم کنید.

درست است، ما همین عدد را گرفتیم. بیایید مواد را ایمن کنیم. ارزش پیشرفت را خودتان محاسبه کنید، اصلاً سخت نیست.

آفرین! شما تقریباً همه چیز را در مورد پیشرفت می دانید! باقی مانده است که فقط یک فرمول را پیدا کنیم که طبق افسانه، یکی از بزرگترین ریاضیدانان تمام دوران، "پادشاه ریاضیدانان" - کارل گاوس به راحتی برای خود استنباط شده است.

وقتی کارل گاوس 9 ساله بود، معلمی که مشغول بررسی کار دانش‌آموزان در کلاس‌های دیگر بود، مشکل زیر را در کلاس پرسید: «مجموع همه را محاسبه کنید. اعداد طبیعیاز به (طبق منابع دیگر تا) فراگیر.» تعجب معلم را تصور کنید که یکی از شاگردانش (این کارل گاوس بود) یک دقیقه بعد جواب درست را به تکلیف داد، در حالی که اکثر همکلاسی های جسور، پس از محاسبات طولانی، نتیجه اشتباه را دریافت کردند...

کارل گاوس جوان متوجه الگوی خاصی شد که شما نیز به راحتی می توانید متوجه آن شوید.
فرض کنید ما یک پیشروی حسابی داریم که از جمله های -ام تشکیل شده است: باید مجموع این ترم های پیشروی حسابی را پیدا کنیم. البته، ما می‌توانیم به صورت دستی همه مقادیر را جمع کنیم، اما اگر کار مستلزم یافتن مجموع عبارت‌های آن باشد، همانطور که گاوس به دنبال آن بود، چه؟

اجازه دهید پیشرفتی که به ما داده شده را به تصویر بکشیم. به اعداد برجسته شده نگاه دقیق تری بیندازید و سعی کنید با آنها عملیات ریاضی مختلفی را انجام دهید.


این را امتحان کرده ای؟ چه چیزی را متوجه شدید؟ درست! مجموع آنها مساوی است

حالا به من بگویید، در مجموع چند جفت از این دست در پیشرفتی که به ما داده شده است وجود دارد؟ البته دقیقاً نیمی از اعداد، یعنی.
بر اساس این واقعیت که مجموع دو جمله یک پیشروی حسابی مساوی است و جفت های مشابه برابر هستند، به دست می آوریم که مجموع کل برابر است با:
.
بنابراین، فرمول مجموع جمله های اول هر پیشروی حسابی به صورت زیر خواهد بود:

در برخی از مسائل ما اصطلاح هفتم را نمی دانیم، اما تفاوت پیشرفت را می دانیم. سعی کنید فرمول جمله ام را با فرمول جمع جایگزین کنید.
چی به دست آوردی؟

آفرین! حال برگردیم به مسئله ای که از کارل گاوس پرسیده شد: خودتان محاسبه کنید که مجموع اعدادی که از th شروع می شوند با چه عددی و مجموع اعدادی که از th شروع می شوند برابر است.

چقدر گرفتی؟
گاوس دریافت که مجموع عبارت ها برابر است و مجموع عبارت ها. این همان چیزی است که شما تصمیم گرفتید؟

در واقع، فرمول مجموع عبارات یک پیشروی حسابی توسط دانشمند یونان باستان دیوفانتوس در قرن سوم به اثبات رسید و در طول این مدت، افراد شوخ از ویژگی های پیشروی حسابی استفاده کامل کردند.
مثلا تصور کنید مصر باستانو بزرگترین پروژه ساختمانی آن زمان - ساخت هرم ... تصویر یک طرف آن را نشان می دهد.

شما می گویید پیشرفت اینجا کجاست؟ با دقت نگاه کنید و الگویی از تعداد بلوک های شنی در هر ردیف دیوار هرم پیدا کنید.


چرا یک پیشرفت حسابی نیست؟ اگر آجرهای بلوکی در پایه قرار گیرند، محاسبه کنید که برای ساخت یک دیوار چند بلوک لازم است. امیدوارم وقتی انگشت خود را روی مانیتور حرکت می‌دهید، حساب نخواهید کرد، آخرین فرمول و همه چیزهایی را که در مورد پیشروی حسابی گفتیم به خاطر دارید؟

در این مورد، پیشرفت به این صورت است: .
تفاوت پیشروی حسابی
تعداد اصطلاحات یک تصاعد حسابی.
بیایید داده های خود را با آخرین فرمول ها جایگزین کنیم (تعداد بلوک ها را به 2 روش محاسبه کنید).

روش 1.

روش 2.

و اکنون می توانید روی مانیتور محاسبه کنید: مقادیر به دست آمده را با تعداد بلوک هایی که در هرم ما هستند مقایسه کنید. فهمیدم؟ آفرین، شما بر مجموع nام یک پیشروی حسابی تسلط دارید.
البته، شما نمی توانید یک هرم را از بلوک هایی در پایه بسازید، اما از؟ سعی کنید محاسبه کنید که برای ساخت یک دیوار با این شرایط چند آجر شنی لازم است.
توانستی مدیریت کنی؟
پاسخ صحیح بلوک است:

آموزش

وظایف:

1. ماشا در حال خوش فرم شدن برای تابستان است. او هر روز تعداد اسکات ها را افزایش می دهد. اگر ماشا در اولین جلسه تمرین اسکوات انجام دهد، چند بار در هفته اسکات انجام می دهد؟
2. مجموع همه اعداد فرد موجود در چیست؟
3. هنگام ذخیره لاگ ها، لاگرها آنها را به گونه ای روی هم می چینند که هر لایه بالایی یک لاگ کمتر از لاگ قبلی داشته باشد. در صورتی که پایه سنگ تراشی کنده ها باشد در یک سنگ تراشی چند کنده وجود دارد؟

پاسخ ها:

1. اجازه دهید پارامترهای پیشرفت حسابی را تعریف کنیم. در این مورد
   (هفته = روز).

   پاسخ:در دو هفته، ماشا باید یک بار در روز اسکات انجام دهد.

2. اولین عدد فرد، آخرین عدد.
   تفاوت پیشروی حسابی
   تعداد اعداد فرد در نصف است، با این حال، بیایید این واقعیت را با استفاده از فرمول برای یافتن جمله ترم یک پیشرفت حسابی بررسی کنیم:

   اعداد حاوی اعداد فرد هستند.
   بیایید داده های موجود را با فرمول جایگزین کنیم:

   پاسخ:مجموع تمام اعداد فرد موجود در برابر است.

3. بیایید مشکل اهرام را به یاد بیاوریم. برای مورد ما، a، از آنجایی که هر لایه بالایی یک لاگ کاهش می یابد، در مجموع یک دسته لایه وجود دارد، یعنی.
   بیایید داده ها را با فرمول جایگزین کنیم:

   پاسخ:در سنگ تراشی کنده هایی وجود دارد.

بیایید آن را جمع بندی کنیم

1. - دنباله اعدادی که در آن تفاوت بین اعداد مجاور یکسان و مساوی است. می تواند در حال افزایش یا کاهش باشد.
2. یافتن فرمولجمله ترم یک پیشروی حسابی با فرمول - نوشته می شود، که در آن تعداد اعداد در پیشروی است.
3. ویژگی اعضای یک پیشرفت حسابی- - تعداد اعداد در حال پیشرفت کجاست.
4. مجموع عبارات یک تصاعد حسابیرا می توان به دو صورت یافت:
   
   ، تعداد مقادیر کجاست.

پیشروی حسابی. سطح متوسط

دنباله اعداد

بیا بشینیم و شروع کنیم به نوشتن چند عدد. مثلا:

شما می توانید هر عددی را بنویسید و هر تعداد که دوست دارید می تواند وجود داشته باشد. اما همیشه می توانیم بگوییم کدام اول است کدام دوم و ... یعنی می توانیم آنها را شماره گذاری کنیم. این نمونه ای از دنباله اعداد است.

دنباله اعدادمجموعه ای از اعداد است که به هر کدام می توان یک شماره منحصر به فرد اختصاص داد.

به عبارت دیگر، هر عدد می تواند با یک عدد طبیعی خاص و یک عدد منحصر به فرد مرتبط باشد. و این شماره را به هیچ شماره دیگری از این مجموعه اختصاص نمی دهیم.

به عددی که دارای عدد است، امین عضو دنباله نامیده می شود.

ما معمولاً کل دنباله را با یک حرف صدا می زنیم (مثلاً)، و هر عضو این دنباله همان حرف است با شاخصی برابر با تعداد این عضو: .

بسیار راحت است اگر بتوان ترم 7 دنباله را با فرمولی مشخص کرد. به عنوان مثال، فرمول

دنباله را تنظیم می کند:

و فرمول به ترتیب زیر است:

به عنوان مثال، یک پیشروی حسابی یک دنباله است (جمله اول در اینجا برابر است و تفاوت آن است). یا (، تفاوت).

فرمول ترم n

ما یک فرمول را تکراری می نامیم که در آن، برای پیدا کردن عبارت، باید موارد قبلی یا چند مورد قبلی را بدانید:

برای مثال برای یافتن ترم ترم پیشروی با استفاده از این فرمول، باید نه قبلی را محاسبه کنیم. به عنوان مثال، اجازه دهید. سپس:

خوب حالا معلوم شد فرمولش چیه؟

در هر خطی که به آن اضافه می کنیم، در یک عدد ضرب می کنیم. کدام یک؟ خیلی ساده: این تعداد عضو فعلی منهای است:

الان خیلی راحت تره، درسته؟ بررسی می کنیم:

خودتان تصمیم بگیرید:

در یک تصاعد حسابی، فرمول جمله n را پیدا کنید و جمله صدم را پیدا کنید.

راه حل:

جمله اول برابر است. تفاوت در چیست؟ این چیزی است که:

(به همین دلیل است که به آن تفاوت می گویند زیرا برابر است با اختلاف ترم های متوالی پیشرفت).

بنابراین، فرمول:

سپس جمله صدم برابر است با:

مجموع همه اعداد طبیعی از تا چقدر است؟

طبق افسانه ها، کارل گاوس، ریاضیدان بزرگ، به عنوان یک پسر 9 ساله، این مقدار را در چند دقیقه محاسبه کرد. او متوجه شد که مجموع اعداد اول و آخر برابر است، مجموع عدد دوم و ماقبل آخر یکسان است، مجموع عدد سوم و سوم از آخر یکسان است و غیره. در کل چند جفت از این دست وجود دارد؟ درست است، دقیقاً نصف تعداد تمام اعداد، یعنی. بنابراین،

فرمول کلی برای مجموع جمله های اول هر پیشروی حسابی به صورت زیر خواهد بود:

مثال:
مجموع همه مضرب های دو رقمی را پیدا کنید.

راه حل:

اولین چنین عددی این است. هر عدد بعدی با اضافه کردن به عدد قبلی بدست می آید. بنابراین، اعدادی که ما به آنها علاقه مندیم، با جمله اول و تفاوت، یک پیشروی حسابی تشکیل می دهند.

فرمول ترم این پیشرفت:

اگر همه آنها باید دو رقمی باشند، چند عبارت در پیشرفت وجود دارد؟

بسیار آسان: .

آخرین ترم پیشرفت برابر خواهد بود. سپس مجموع:

پاسخ: .

حالا خودتان تصمیم بگیرید:

1. هر روز ورزشکار مترهای بیشتری نسبت به روز قبل می دود. اگر در روز اول کیلومتر متر دوید، مجموعا چند کیلومتر در هفته خواهد دوید؟
2. یک دوچرخه سوار هر روز کیلومترهای بیشتری را نسبت به روز قبل طی می کند. روز اول کیلومتر را طی کرد. برای طی کردن یک کیلومتر به چند روز سفر نیاز دارد؟ او در آخرین روز سفر چند کیلومتر را طی خواهد کرد؟
3. قیمت یخچال در مغازه ها هر سال به همین میزان کاهش می یابد. تعیین کنید که قیمت یک یخچال در هر سال چقدر کاهش می یابد اگر شش سال بعد به روبل برای فروش گذاشته شود.

پاسخ ها:

1. مهمترین چیز در اینجا تشخیص پیشروی حسابی و تعیین پارامترهای آن است. در این صورت، (هفته = روز). شما باید مجموع جمله های اول این پیشرفت را تعیین کنید:
   .
   پاسخ:
2. در اینجا داده می شود: , باید پیدا شود.
   بدیهی است که باید از همان فرمول جمع مانند مشکل قبلی استفاده کنید:
   .
   مقادیر را جایگزین کنید:

   بدیهی است که ریشه مناسب نیست، بنابراین پاسخ این است.
   بیایید مسیر طی شده در روز گذشته را با استفاده از فرمول جمله ام محاسبه کنیم:
   (کیلومتر).
   پاسخ:

3. داده شده: . پیدا کردن: .
   ساده تر از این نمی تواند باشد:
   (مالیدن).
   پاسخ:

پیشرفت حسابی. به طور خلاصه در مورد چیزهای اصلی

این یک دنباله اعداد است که در آن تفاوت بین اعداد مجاور یکسان و مساوی است.

پیشرفت حسابیمی تواند افزایش () و کاهش () باشد.

مثلا:

فرمول یافتن ترم n یک پیشرفت حسابی

با فرمول نوشته می شود، جایی که تعداد اعداد در حال پیشرفت است.

ویژگی اعضای یک پیشرفت حسابی

این به شما امکان می دهد به راحتی یک عبارت از یک پیشروی را در صورت شناخته شدن شرایط همسایه آن پیدا کنید - تعداد اعداد در پیشرفت کجاست.

مجموع شرایط یک پیشرفت حسابی

دو راه برای پیدا کردن مقدار وجود دارد:

تعداد مقادیر کجاست.

تعداد مقادیر کجاست.

2/3 مقاله باقیمانده فقط برای دانش‌آموزان باهوش در دسترس است!

دانش آموز YouClever شوید،

برای آزمون دولتی واحد یا آزمون دولتی واحد در ریاضیات به قیمت "یک فنجان قهوه در ماه" آماده شوید.

و همچنین دسترسی نامحدود به کتاب درسی "YouClever"، برنامه آماده سازی (کتاب کار) "100gia"، نامحدود آزمایشی آزمون یکپارچه ایالتیو OGE، 6000 مشکل با تجزیه و تحلیل راه حل ها و سایر خدمات YouClever و 100gia.

توجه!
اضافی وجود دارد
مواد در بخش ویژه 555.
برای کسانی که خیلی "نه خیلی..." هستند
و برای کسانی که "خیلی...")

پیشروی حسابی مجموعه ای از اعداد است که در آن هر عدد به همان مقدار بزرگتر (یا کمتر) از عدد قبلی است.

این موضوع اغلب پیچیده و غیرقابل درک به نظر می رسد. شاخص های حروف ترم نهمپیشرفت ها، تفاوت های پیشرفت - همه اینها به نوعی گیج کننده است، بله... بیایید معنی پیشرفت حسابی را بفهمیم و همه چیز فوراً بهتر می شود.)

مفهوم پیشرفت حسابی.

پیشروی حسابی مفهومی بسیار ساده و واضح است. آیا شما شک دارید؟ بیهوده.) خودتان ببینید.

من یک سری اعداد ناتمام می نویسم:

1, 2, 3, 4, 5, ...

میشه این سریال رو تمدید کنید چه اعدادی بعد از پنج می آیند؟ همه... اوه... خلاصه همه متوجه خواهند شد که اعداد 6، 7، 8، 9 و غیره می آیند.

بیایید کار را پیچیده کنیم. من یک سری اعداد ناتمام به شما می دهم:

2, 5, 8, 11, 14, ...

شما می توانید الگو را بگیرید، سری را گسترش دهید و نام گذاری کنید هفتمشماره ردیف؟

اگر متوجه شدید که این عدد 20 است، به شما تبریک می گویم! نه تنها احساس کردی نکات کلیدی پیشرفت حسابی،بلکه با موفقیت از آنها در تجارت استفاده کرد! اگر متوجه نشدید، ادامه دهید.

حالا بیایید نکات کلیدی را از احساسات به ریاضیات ترجمه کنیم.)

اولین نکته کلیدی

پیشروی حسابی با سری اعداد سروکار دارد.این در ابتدا گیج کننده است. ما به حل معادلات، رسم نمودار و اینها عادت کرده ایم... اما در اینجا سری را گسترش می دهیم، شماره سری را پیدا می کنیم...

خوبه. فقط پیشرفت ها اولین آشنایی با شاخه جدیدی از ریاضیات است. این بخش "سری" نام دارد و به طور خاص با مجموعه ای از اعداد و عبارات کار می کند. عادت کن.)

نکته کلیدی دوم

در یک تصاعد حسابی، هر عددی با عدد قبلی متفاوت است به همان میزان

در مثال اول این تفاوت یکی است. هر عددی که بگیرید، یک عدد بیشتر از عدد قبلی است. در دوم - سه. هر عددی سه عدد بیشتر از عدد قبلی است. در واقع، این لحظه است که به ما فرصت می دهد تا الگو را درک کنیم و اعداد بعدی را محاسبه کنیم.

نکته کلیدی سوم

این لحظه خیره کننده نیست، بله... اما بسیار بسیار مهم است. او اینجا است: هر عدد پیشرفت در جای خود قرار دارد.عدد اول هست، هفتم هست، چهل و پنجم هست و غیره. اگر آنها را به صورت تصادفی مخلوط کنید، الگو ناپدید می شود. پیشروی حسابی نیز ناپدید خواهد شد. چیزی که باقی می ماند فقط یک سری اعداد است.

این تمام نکته است.

البته در موضوع جدیداصطلاحات و عناوین جدید ظاهر می شوند. شما باید آنها را بشناسید. در غیر این صورت تکلیف را متوجه نخواهید شد. به عنوان مثال، شما باید چیزی مانند این تصمیم بگیرید:

اگر a 2 = 5، d = 2.5- باشد، شش جمله اول پیشرفت حسابی (a n) را بنویسید.

الهام بخش؟) نامه ها، برخی از فهرست ها ... و کار، اتفاقا، نمی تواند ساده تر باشد. شما فقط باید معنای اصطلاحات و تعاریف را درک کنید. حالا ما بر این موضوع مسلط خواهیم شد و به کار برمی گردیم.

شرایط و تعاریف.

پیشرفت حسابییک سری اعداد است که در آن هر عدد با عدد قبلی متفاوت است به همان میزان

این مقدار نامیده می شود . بیایید این مفهوم را با جزئیات بیشتری بررسی کنیم.

تفاوت پیشروی حسابی

تفاوت پیشروی حسابیمقداری است که با آن هر عدد پیشرفتی است بیشترقبلی.

یکی نکته مهم. لطفا به کلمه دقت کنید "بیشتر".از نظر ریاضی، این بدان معنی است که هر عدد پیشروی است با اضافه کردنتفاوت پیشروی حسابی به عدد قبلی

برای محاسبه، بیایید بگوییم دومینشماره های سری، شما نیاز دارید اولینعدد اضافه کردنهمین تفاوت یک پیشرفت حسابی. برای محاسبه پنجم- تفاوت لازم است اضافه کردنبه چهارم،خوب و غیره

تفاوت پیشروی حسابیشاید مثبت،سپس هر عدد در این سری واقعی خواهد شد بیشتر از قبلیاین پیشرفت نامیده می شود افزایش می یابد.مثلا:

8; 13; 18; 23; 28; .....

در اینجا هر عدد به دست می آید با اضافه کردنعدد مثبت 5+ نسبت به قبلی.

تفاوت ممکن است باشد منفی،سپس هر عدد در سری خواهد بود کمتر از قبلیاین پیشرفت نام دارد (باور نمی کنید!) در حال کاهش.

مثلا:

8; 3; -2; -7; -12; .....

در اینجا هر عدد نیز به دست می آید با اضافه کردنبه قبلی، اما در حال حاضر یک عدد منفی، -5.

به هر حال، هنگام کار با پیشرفت، بسیار مفید است که فوراً ماهیت آن را تعیین کنید - افزایش یا کاهش آن. این به تصمیم گیری، تشخیص اشتباهات و اصلاح آنها قبل از اینکه خیلی دیر شود کمک زیادی می کند.

تفاوت پیشروی حسابیمعمولا با حرف مشخص می شود د

چطوری پیدا کنم د? بسیار ساده. باید از هر عددی در سری کم کرد قبلیعدد. تفریق کردن. به هر حال، نتیجه تفریق "تفاوت" نامیده می شود.)

برای مثال تعریف کنیم دبرای افزایش پیشرفت حسابی:

2, 5, 8, 11, 14, ...

هر عددی را در سری که بخواهیم می گیریم مثلاً 11. از آن کم می کنیم شماره قبلیآن ها 8:

این جواب درست است. برای این پیشروی حسابی، تفاوت سه است.

می توانید آن را بگیرید هر عدد پیشرفت،زیرا برای یک پیشرفت خاص د-همیشه همینطورحداقل جایی در ابتدای ردیف، حداقل در وسط، حداقل هر جایی. شما نمی توانید فقط شماره اول را بگیرید. صرفاً به این دلیل که همان شماره اول است قبلی نیست)

به هر حال، دانستن آن d=3، یافتن عدد هفتم این پیشرفت بسیار ساده است. بیایید 3 را به عدد پنجم اضافه کنیم - ششمین را می گیریم، 17 می شود. بیایید سه را به عدد ششم اضافه کنیم، عدد هفتم را به دست می آوریم - بیست.

بیایید تعریف کنیم دبرای پیشرفت محاسباتی نزولی:

8; 3; -2; -7; -12; .....

به شما یادآوری می کنم که بدون توجه به علائم، برای تعیین دنیاز از هر شماره قبلی را برداریدهر عدد پیشروی را انتخاب کنید، به عنوان مثال -7. عدد قبلی او 2- است. سپس:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

تفاوت یک پیشروی حسابی می تواند هر عددی باشد: عدد صحیح، کسری، غیر منطقی، هر عددی.

سایر اصطلاحات و عناوین.

هر عدد در این سری نامیده می شود عضو یک پیشرفت حسابی

هر یک از اعضای پیشرفت شماره خودش را دارداعداد کاملاً مرتب هستند، بدون هیچ ترفندی. اول، دوم، سوم، چهارم و غیره. به عنوان مثال، در پیشرفت 2، 5، 8، 11، 14، ... دو ترم اول است، پنج عبارت دوم، یازده چهارم است، خوب، متوجه شدید...) لطفا واضح متوجه شوید - خود اعدادمی تواند مطلقاً هر چیزی باشد، کل، کسری، منفی، هر چه باشد، اما شماره گذاری اعداد- کاملاً به ترتیب!

نحوه نوشتن یک پیشرفت در نمای کلی? مشکلی نیست! هر عدد در یک سری به صورت یک حرف نوشته می شود. برای نشان دادن یک پیشرفت حسابی، معمولاً از حرف استفاده می شود آ. شماره عضو با یک نمایه در پایین سمت راست نشان داده می شود. ما عبارات را که با کاما (یا نقطه ویرگول) از هم جدا شده اند، می نویسیم:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....

یک 1- این اولین شماره است، یک 3- سوم و غیره چیز خاصی نیست. این سریال را می توان به طور خلاصه اینگونه نوشت: (a n).

پیشرفت ها اتفاق می افتد متناهی و نامتناهی

نهاییپیشرفت تعداد محدودی از اعضا دارد. پنج، سی و هشت، هر چه باشد. اما یک عدد محدود است.

بي نهايتپیشرفت - همانطور که ممکن است حدس بزنید تعداد نامتناهی عضو دارد.)

شما می توانید پیشرفت نهایی را از طریق مجموعه ای مانند این، تمام اصطلاحات و یک نقطه در پایان بنویسید:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5.

یا اگر تعداد اعضا زیاد باشد به این صورت:

a 1, a 2, ... a 14, a 15.

در ورودی کوتاه باید تعداد اعضا را نیز مشخص کنید. به عنوان مثال (برای بیست عضو)، مانند زیر:

(a n)، n = 20

مانند مثال‌های این درس، یک پیشروی بی‌نهایت را می‌توان با بیضی انتهای ردیف تشخیص داد.

اکنون می توانید وظایف را حل کنید. کارها ساده هستند، صرفاً برای درک معنای یک پیشرفت حسابی.

نمونه هایی از کارهای مربوط به پیشرفت حسابی.

بیایید به کار ارائه شده در بالا با جزئیات نگاه کنیم:

1. شش جمله اول پیشروی حسابی (a n) را بنویسید، اگر a 2 = 5، d = 2.5- باشد.

ما کار را به زبان قابل فهم ترجمه می کنیم. یک پیشروی حسابی بی نهایت داده شده است. عدد دوم این پیشرفت مشخص است: a 2 = 5.تفاوت پیشرفت مشخص است: d = -2.5.ما باید ترم های اول، سوم، چهارم، پنجم و ششم این پیشرفت را پیدا کنیم.

برای وضوح یک سری با توجه به شرایط مشکل می نویسم. شش ترم اول که ترم دوم پنج ترم است:

1، 5، 3، 4، 5، 6، ....

یک 3 = یک 2 + د

جایگزین در بیان a 2 = 5و d = -2.5. منهای را فراموش نکنید!

یک 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

ترم سوم کمتر از دوره دوم بود. همه چیز منطقی است. اگر عدد از عدد قبلی بیشتر باشد منفیمقدار، به این معنی که خود عدد از عدد قبلی کمتر خواهد بود. پیشرفت در حال کاهش است. خوب، بیایید آن را در نظر بگیریم.) ما چهارمین ترم سریال خود را می شماریم:

یک 4 = یک 3 + د

یک 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

یک 5 = یک 4 + د

یک 5=0+(-2,5)= - 2,5

یک 6 = یک 5 + د

یک 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

بنابراین ترم های سوم تا ششم محاسبه شد. نتیجه سریال زیر است:

1، 5، 2.5، 0، -2.5، -5، ....

باقی مانده است که اولین ترم را پیدا کنیم یک 1با توجه به دوم معروف. این یک گام در جهت دیگر، به سمت چپ است.) بنابراین، تفاوت پیشروی حسابی دنباید به آن اضافه شود یک 2، آ بردن:

یک 1 = یک 2 - د

یک 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

خودشه. پاسخ تکلیف:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

گذراً می خواهم یادآوری کنم که ما این کار را حل کردیم عود کنندهمسیر. این کلمه وحشتناک فقط به معنای جستجو برای عضوی از پیشرفت است مطابق شماره قبلی (مجاور).در زیر به روش‌های دیگری برای کار با پیشرفت می‌پردازیم.

از این کار ساده می توان یک نتیجه مهم گرفت.

یاد آوردن:

اگر حداقل یک جمله و تفاوت یک تصاعد حسابی را بدانیم، می توانیم هر جمله ای از این پیشروی را پیدا کنیم.

یادت میاد؟ این نتیجه گیری ساده به شما امکان می دهد بیشتر مشکلات دوره مدرسه را در مورد این موضوع حل کنید. همه وظایف حول سه پارامتر اصلی می چرخند: عضو یک پیشرفت حسابی، تفاوت یک پیشرفت، تعداد یک عضو پیشرفت.همه.

البته تمام جبرهای قبلی باطل نمی شوند.) نابرابری ها، معادلات، و چیزهای دیگر به پیشرفت پیوسته اند. ولی با توجه به خود پیشرفت- همه چیز حول سه پارامتر می چرخد.

به عنوان مثال، اجازه دهید به برخی از وظایف محبوب در این موضوع نگاه کنیم.

2. اگر n=5، d = 0.4، و a 1 = 3.6 باشد، پیشرفت محاسباتی محدود را به صورت سری بنویسید.

اینجا همه چیز ساده است. همه چیز قبلا داده شده است. شما باید به یاد داشته باشید که اعضای یک پیشروی حسابی چگونه شمارش می شوند، آنها را بشمارید و یادداشت کنید. توصیه می شود کلمات را در شرایط کار از دست ندهید: "نهایی" و " n=5". به طوری که تا زمانی که صورت کاملاً آبی نشوید حساب نکنید.) فقط 5 (پنج) عضو در این پیشرفت وجود دارد:

a 2 = a 1 + d = 3.6 + 0.4 = 4

a 3 = a 2 + d = 4 + 0.4 = 4.4

یک 4 = یک 3 + d = 4.4 + 0.4 = 4.8

یک 5 = یک 4 + d = 4.8 + 0.4 = 5.2

باقی مانده است که پاسخ را بنویسیم:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

وظیفه دیگر:

3. تعیین کنید که آیا عدد 7 عضوی از پیشروی حسابی (an) خواهد بود، اگر a 1 = 4.1; d = 1.2.

هوم... کی میدونه؟ چگونه چیزی را تعیین کنیم؟

چطوری ... پیشرفت رو به صورت سریال بنویس ببین اونجا هفت میشه یا نه! حساب می کنیم:

a 2 = a 1 + d = 4.1 + 1.2 = 5.3

a 3 = a 2 + d = 5.3 + 1.2 = 6.5

یک 4 = یک 3 + d = 6.5 + 1.2 = 7.7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

اکنون به وضوح قابل مشاهده است که ما فقط هفت نفر هستیم سر خوردبین 6.5 تا 7.7! هفت در سری اعداد ما قرار نمی گیرد، و بنابراین، هفت عضوی از پیشرفت داده شده نخواهد بود.

پاسخ: خیر

و در اینجا یک مشکل مبتنی بر نسخه واقعی GIA وجود دارد:

4. چندین عبارت متوالی از پیشروی حسابی نوشته شده است:

...; 15; ایکس؛ 9; 6; ...

اینم سریالی که بدون پایان و شروع نوشته شده. بدون شماره اعضا، بدون تفاوت د. خوبه. برای حل مسئله کافی است که معنای یک تصاعد حسابی را بفهمیم. بیایید نگاه کنیم و ببینیم چه چیزی ممکن است دانستناز این سریال؟ سه پارامتر اصلی چیست؟

شماره اعضا؟ اینجا یک عدد وجود ندارد.

اما سه عدد وجود دارد و - توجه! - کلمه "استوار"در شرایط این بدان معنی است که اعداد کاملاً مرتب و بدون شکاف هستند. آیا در این ردیف دو نفر هستند؟ همسایهاعداد شناخته شده؟ بله دارم! اینها 9 و 6 هستند. بنابراین، ما می توانیم تفاوت پیشروی حسابی را محاسبه کنیم! از شش کم کنید قبلیشماره، یعنی نه:

چیزهای جزئی باقی مانده است. عدد قبلی برای X چه عددی خواهد بود؟ پانزده. این بدان معنی است که X را می توان به راحتی با جمع ساده پیدا کرد. اختلاف پیشروی حسابی را به 15 اضافه کنید:

همین. پاسخ: x=12

مشکلات زیر را خودمان حل می کنیم. توجه: این مشکلات بر اساس فرمول نیستند. صرفاً برای درک معنای پیشرفت حسابی.) ما فقط یک سری اعداد و حروف را یادداشت می کنیم، نگاه می کنیم و آن را کشف می کنیم.

5. اولین جمله مثبت پیشروی حسابی را بیابید اگر 5 = -3; d = 1.1.

6. مشخص است که عدد 5.5 عضوی از پیشروی حسابی (a n) است، که در آن a 1 = 1.6; d = 1.3. عدد n این عضو را مشخص کنید.

7. معلوم است که در پیشروی حسابی 2 = 4; a 5 = 15.1. 3 را پیدا کنید.

8. چندین عبارت متوالی از پیشروی حسابی نوشته شده است:

...; 15.6; ایکس؛ 3.4; ...

عبارت پیشرفت را که با حرف x نشان داده شده است، پیدا کنید.

9. قطار از ایستگاه شروع به حرکت کرد و به طور یکنواخت سرعت را 30 متر در دقیقه افزایش داد. سرعت قطار در پنج دقیقه چقدر خواهد بود؟ پاسخ خود را بر حسب کیلومتر در ساعت بدهید.

10. مشخص است که در پیشروی حسابی 2 = 5; a 6 = -5. 1 را پیدا کنید.

پاسخ ها (به هم ریخته): 7.7; 7.5; 9.5; 9; 0.3; 4.

همه چیز درست شد؟ حیرت آور! برای اطلاعات بیشتر می توانید بر پیشروی حسابی مسلط شوید سطح بالا، در درس های بعدی.

همه چیز درست نشد؟ مشکلی نیست. در بخش ویژه 555، تمام این مشکلات تکه تکه مرتب شده اند.) و البته، یک تکنیک کاربردی ساده توضیح داده شده است که بلافاصله راه حل چنین کارهایی را به وضوح، واضح، در یک نگاه برجسته می کند!

به هر حال، در پازل قطار دو مشکل وجود دارد که مردم اغلب با آنها برخورد می کنند. یکی صرفاً از نظر پیشرفت است و دومی برای هر مشکلی در ریاضیات و فیزیک نیز کلی است. این ترجمه ابعاد از یکی به دیگری است. نشان می دهد که چگونه باید این مشکلات را حل کرد.

در این درس به معنای ابتدایی یک پیشرفت حسابی و پارامترهای اصلی آن نگاه کردیم. این برای حل تقریباً تمام مشکلات در مورد این موضوع کافی است. اضافه کردن دبه اعداد یه سری بنویس همه چی حل میشه

راه حل انگشت مانند نمونه های این درس برای قطعات بسیار کوتاه یک ردیف خوب کار می کند. اگر سری طولانی تر باشد، محاسبات پیچیده تر می شود. مثلا اگر در مسئله 9 در سوال جایگزین کنیم "پنج دقیقه"بر "سی و پنج دقیقه"مشکل به طور قابل توجهی بدتر خواهد شد.)

و همچنین وظایفی وجود دارد که در اصل ساده هستند، اما از نظر محاسبات پوچ هستند، به عنوان مثال:

یک پیشرفت حسابی (a n) داده شده است. اگر 1=3 و d=1/6 باشد عدد 121 را پیدا کنید.

پس چی، آیا قراره 1/6 رو چند بار اضافه کنیم؟! میتونی خودتو بکشی!؟

شما می توانید.) اگر نمی دانید فرمول ساده، که به شما امکان می دهد چنین کارهایی را در یک دقیقه حل کنید. این فرمول در درس بعدی خواهد بود. و این مشکل در آنجا حل می شود. در یک دقیقه.)

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست با تایید فوری بیایید یاد بگیریم - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.

ریاضیات مانند نقاشی و شعر زیبایی خاص خود را دارد.

دانشمند روسی، مکانیک N.E. ژوکوفسکی

مشکلات بسیار رایج در کنکور ریاضی مسائل مربوط به مفهوم پیشروی حسابی است. برای حل موفقیت آمیز چنین مسائلی، باید دانش خوبی از خواص پیشروی حسابی داشته باشید و مهارت های خاصی در کاربرد آنها داشته باشید.

اجازه دهید ابتدا خصوصیات اساسی یک پیشروی حسابی را یادآوری کنیم و مهم ترین فرمول ها را ارائه کنیم, مرتبط با این مفهوم

تعریف. دنباله اعداد, که در آن هر عبارت بعدی با همان عدد قبلی متفاوت است, پیشرفت حسابی نامیده می شود. در این مورد شمارهتفاوت پیشرفت نامیده می شود.

برای پیشرفت حسابی، فرمول های زیر معتبر هستند:

, (1)

جایی که . فرمول (1) فرمول عبارت کلی یک پیشروی حسابی نامیده می‌شود و فرمول (2) نشان‌دهنده ویژگی اصلی یک پیشروی حسابی است: هر جمله از پیشروی با میانگین حسابی عبارت‌های همسایه و .

توجه داشته باشید که دقیقاً به دلیل این خاصیت است که پیشرفت مورد بررسی "حساب" نامیده می شود.

فرمول های (1) و (2) فوق به صورت زیر تعمیم داده می شوند:

(3)

برای محاسبه مقداراولین شرایط یک پیشرفت حسابیفرمول معمولا استفاده می شود

(5) کجا و .

اگر فرمول (1) را در نظر بگیریم), سپس از فرمول (5) به دست می آید

اگر نشان دهیم، پس

جایی که . از آنجایی که فرمول های (7) و (8) تعمیم فرمول های مربوطه (5) و (6) هستند.

به خصوص ، از فرمول (5) به شرح زیر است، چی

برای اکثر دانش‌آموزان، ویژگی پیشروی حسابی که از طریق قضیه زیر فرمول‌بندی می‌شود کمی شناخته شده است.

قضیه.اگر پس از آن

اثباتاگر پس از آن

قضیه ثابت شده است.

مثلا ، با استفاده از قضیه، می توان نشان داد که

بیایید به بررسی نمونه های معمولی از حل مسائل در موضوع "پیشرفت حسابی" بپردازیم.

مثال 1.بگذار باشد. پیدا کردن .

راه حل.با استفاده از فرمول (6) بدست می آوریم. از آنجا که و پس از آن یا .

مثال 2.بگذارید سه برابر بزرگتر باشد و وقتی بر ضریب تقسیم شود، نتیجه 2 و باقیمانده 8 می شود. تعیین کنید و .

راه حل.از شرایط مثال، سیستم معادلات به دست می آید

از آنجایی که , و , سپس از سیستم معادلات (10) بدست می آوریم

راه حل این سیستم معادلات و .

مثال 3.پیدا کردن اگر و .

راه حل.طبق فرمول (5) داریم یا . با این حال، با استفاده از ویژگی (9)، ما به دست می آوریم.

از آنجا که و، سپس از برابری معادله به شرح زیر استیا .

مثال 4.پیدا کنید اگر .

راه حل.طبق فرمول (5) داریم

با این حال، با استفاده از قضیه، می توانیم بنویسیم

از اینجا و از فرمول (11) بدست می آوریم.

مثال 5. داده شده: . پیدا کردن .

راه حل.از آن به بعد. با این حال، بنابراین.

مثال 6.اجازه دهید، و. پیدا کردن .

راه حل.با استفاده از فرمول (9) به دست می آوریم. بنابراین، اگر، پس یا .

از آنجایی که و سپس در اینجا ما یک سیستم معادلات داریم

با حل آن، به دست می آوریم و .

ریشه طبیعی معادلهاست .

مثال 7.پیدا کردن اگر و .

راه حل.از آنجایی که طبق فرمول (3) آن را داریم، پس سیستم معادلات از شرایط مسئله تبعیت می کند

اگر عبارت را جایگزین کنیمبه معادله دوم سیستم، سپس می گیریم یا .

ریشه های یک معادله درجه دوم هستندو .

بیایید دو مورد را در نظر بگیریم.

1. اجازه دهید، سپس. از آن زمان و پس از آن .

در این صورت طبق فرمول (6) داریم

2. اگر، پس، و

پاسخ: و.

مثال 8.معلوم است که و. پیدا کردن .

راه حل.با در نظر گرفتن فرمول (5) و شرط مثال می نویسیم و .

این به معنای سیستم معادلات است

اگر معادله اول سیستم را در 2 ضرب کنیم و سپس آن را به معادله دوم اضافه کنیم، به دست می آید.

طبق فرمول (9) داریم. در این راستا از (12) نتیجه می شود.یا .

از آن زمان و پس از آن .

پاسخ: .

مثال 9.پیدا کردن اگر و .

راه حل.از آنجا که , و به شرط , سپس یا .

از فرمول (5) معلوم است، چی . از آن به بعد.

از این رو، در اینجا ما یک سیستم معادلات خطی داریم

از اینجا می گیریم و . با در نظر گرفتن فرمول (8) می نویسیم.

مثال 10.معادله را حل کنید.

راه حل.از معادله داده شده نتیجه می شود که . بیایید فرض کنیم که , و . در این مورد .

با توجه به فرمول (1) می توانیم بنویسیم یا .

از آنجایی که معادله (13) تنها ریشه مناسب را دارد.

مثال 11.حداکثر مقدار را به شرطی که و .

راه حل.از آنجایی که، پس پیشرفت حسابی مورد بررسی در حال کاهش است. در این راستا، عبارت زمانی حداکثر مقدار خود را می گیرد که تعداد حداقل جمله مثبت پیشرفت باشد.

اجازه دهید از فرمول (1) و واقعیت استفاده کنیم، آن و . سپس آن را می گیریم یا .

از آن پس یا . با این حال، در این نابرابریبزرگترین عدد طبیعی، از همین رو .

اگر مقادیر و در فرمول (6) جایگزین شوند، دریافت می کنیم.

پاسخ: .

مثال 12.مجموع تمام اعداد طبیعی دو رقمی را که با تقسیم بر عدد 6، باقیمانده 5 باقی می ماند، تعیین کنید.

راه حل.اجازه دهید با مجموعه تمام اعداد طبیعی دو رقمی نشان دهیم، یعنی. . در مرحله بعد، یک زیرمجموعه متشکل از آن عناصر (اعداد) مجموعه می سازیم که با تقسیم بر عدد 6، باقیمانده 5 به دست می آید.

نصب آسان، چی . به طور مشخص ، که عناصر مجموعهیک پیشرفت حسابی را تشکیل می دهند، که در آن و .

برای تعیین کاردینالیته (تعداد عناصر) مجموعه، فرض می کنیم که . از آنجایی که و از فرمول (1) یا . با در نظر گرفتن فرمول (5) به دست می آوریم.

مثال های بالا از حل مسئله به هیچ وجه نمی توانند ادعا کنند که جامع هستند. این مقاله بر اساس تحلیل نوشته شده است روش های مدرنحل مسائل معمولی در یک موضوع معین برای مطالعه عمیق تر روش های حل مسائل مربوط به پیشروی حسابی، توصیه می شود به فهرست مقالات توصیه شده مراجعه کنید.

1. مجموعه مسائل در ریاضیات برای متقاضیان کالج / ویرایش. M.I. اسکانوی. - م.: صلح و آموزش، 2013. – 608 ص.

2. Suprun V.P. ریاضیات برای دانش آموزان دبیرستانی: بخش های اضافی برنامه درسی مدرسه. - M.: Lenand / URSS، 2014. – 216 ص.

3. Medynsky M.M. دوره کامل ریاضیات ابتدایی در مسائل و تمرینات. کتاب 2: توالی اعداد و پیشرفت ها. - M.: Editus، 2015. – 208 ص.

هنوز سوالی دارید؟

برای کمک گرفتن از استاد راهنما، ثبت نام کنید.

وب سایت، هنگام کپی کردن مطالب به طور کامل یا جزئی، پیوند به منبع مورد نیاز است.

برخی از افراد کلمه "پیشرفت" را با احتیاط به عنوان یک اصطلاح بسیار پیچیده از شاخه های ریاضیات عالی می دانند. در همین حال، ساده ترین پیشروی حسابی کار تاکسی متر است (جایی که هنوز وجود دارند). و درک ماهیت (و در ریاضیات هیچ چیز مهمتر از "درک ماهیت" نیست) یک دنباله حسابی با تجزیه و تحلیل چند مفهوم ابتدایی چندان دشوار نیست.

دنباله اعداد ریاضی

یک دنباله عددی معمولاً به مجموعه ای از اعداد گفته می شود که هر کدام عدد مخصوص به خود را دارند.

a 1 اولین عضو دنباله است.

و 2 جمله دوم دنباله است.

و 7 هفتمین عضو دنباله است.

و n n امین عضو دنباله است.

با این حال، هیچ مجموعه ای از اعداد و ارقام دلخواه ما را مورد توجه قرار نمی دهد. ما توجه خود را بر روی یک دنباله عددی متمرکز خواهیم کرد که در آن مقدار جمله n با عدد ترتیبی آن با رابطه ای که می تواند به وضوح به صورت ریاضی فرموله شود، مرتبط است. به عبارت دیگر: مقدار عددی عدد n تابعی از n است.

a مقدار عضوی از یک دنباله عددی است.

ن - او شماره سریال;

f(n) تابعی است که در آن عدد ترتیبی در دنباله عددی n آرگومان است.

تعریف

یک پیشروی حسابی معمولاً دنباله ای عددی نامیده می شود که در آن هر جمله بعدی با همان عدد بزرگتر (کمتر) از جمله قبلی است. فرمول n ام یک دنباله حسابی به شرح زیر است:

a n - مقدار عضو فعلی پیشرفت حسابی.

یک n+1 - فرمول عدد بعدی؛

د - اختلاف (عدد معین).

به راحتی می توان تعیین کرد که اگر اختلاف مثبت باشد (d>0)، آنگاه هر عضو بعدی از سری مورد بررسی بیشتر از قبلی خواهد بود و چنین پیشروی حسابی افزایش می یابد.

در نمودار زیر به راحتی می توان فهمید که چرا دنباله اعداد "افزایش" نامیده می شود.

در مواردی که تفاوت منفی است (د<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

مقدار عضو مشخص شده

گاهی اوقات لازم است مقدار هر عبارت دلخواه a n یک پیشرفت حسابی تعیین شود. این را می توان با محاسبه متوالی مقادیر تمام اعضای پیشرفت حسابی، از اول تا مورد نظر، انجام داد. با این حال، این مسیر همیشه قابل قبول نیست، به عنوان مثال، نیاز به یافتن ارزش عبارت پنج هزارم یا هشت میلیونی است. محاسبات سنتی زمان زیادی می برد. با این حال، یک پیشرفت حسابی خاص را می توان با استفاده از فرمول های خاصی مطالعه کرد. همچنین یک فرمول برای جمله n وجود دارد: مقدار هر جمله از یک پیشروی حسابی را می توان به عنوان مجموع جمله اول پیشروی با اختلاف پیشروی، ضرب در تعداد جمله مورد نظر، کاهش داد، تعیین کرد. یکی

فرمول جهانی برای افزایش و کاهش پیشرفت است.

مثالی از محاسبه مقدار یک عبارت معین

اجازه دهید مشکل زیر را برای یافتن مقدار n ام یک پیشروی حسابی حل کنیم.

شرط: یک پیشرفت حسابی با پارامترها وجود دارد:

جمله اول دنباله 3 است.

تفاوت در سری اعداد 1.2 است.

وظیفه: باید مقدار 214 عبارت را پیدا کنید

راه حل: برای تعیین مقدار یک عبارت داده شده، از فرمول استفاده می کنیم:

a(n) = a1 + d(n-1)

با جایگزینی داده های دستور مشکل به عبارت، داریم:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6

پاسخ: جمله 214 دنباله برابر با 258.6 است.

مزایای این روش محاسبه واضح است - کل راه حل بیش از 2 خط طول نمی کشد.

مجموع تعداد معینی از اصطلاحات

خیلی اوقات، در یک سری حسابی معین، لازم است مجموع مقادیر برخی از بخش های آن تعیین شود. برای انجام این کار، نیازی به محاسبه مقادیر هر عبارت و سپس جمع کردن آنها نیست. این روش در صورتی قابل استفاده است که تعداد عبارت هایی که جمع آنها باید یافت شود کم باشد. در موارد دیگر، استفاده از فرمول زیر راحت تر است.

مجموع عبارات یک پیشروی حسابی از 1 به n برابر است با مجموع جمله اول و nام که در تعداد عبارت n ضرب و بر دو تقسیم می شود. اگر در فرمول مقدار عبارت n با عبارت پاراگراف قبلی مقاله جایگزین شود، دریافت می کنیم:

مثال محاسبه

به عنوان مثال، اجازه دهید یک مشکل را با شرایط زیر حل کنیم:

جمله اول دنباله صفر است.

تفاوت 0.5 است.

مشکل مستلزم تعیین مجموع اصطلاحات سری از 56 تا 101 است.

راه حل. بیایید از فرمول برای تعیین میزان پیشرفت استفاده کنیم:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

ابتدا مجموع مقادیر 101 عبارت پیشرفت را با جایگزین کردن شرایط داده شده مسئله خود در فرمول تعیین می کنیم:

s 101 = (2∙0 + 0.5∙(101-1))∙101/2 = 2525

بدیهی است که برای فهمیدن مجموع شرایط پیشرفت از 56 به 101 باید S 55 را از S 101 کم کرد.

s 55 = (2∙0 + 0.5∙(55-1))∙55/2 = 742.5

بنابراین، مجموع پیشروی حسابی برای این مثال به صورت زیر است:

s 101 - s 55 = 2,525 - 742.5 = 1,782.5

مثالی از کاربرد عملی پیشروی حسابی

در پایان مقاله، اجازه دهید به مثال یک دنباله حسابی ارائه شده در پاراگراف اول - تاکسی متر (ماشین تاکسی) برگردیم. بیایید این مثال را در نظر بگیریم.

سوار شدن به تاکسی (که شامل 3 کیلومتر سفر می شود) 50 روبل هزینه دارد. هر کیلومتر بعدی با نرخ 22 روبل در کیلومتر پرداخت می شود. مسافت سفر 30 کیلومتر است. هزینه سفر را محاسبه کنید.

1. بیایید 3 کیلومتر اول را که قیمت آن در هزینه فرود گنجانده شده است دور بریزیم.

30 - 3 = 27 کیلومتر.

2. محاسبه بیشتر چیزی نیست جز تجزیه یک سری اعداد حسابی.

تعداد اعضا - تعداد کیلومترهای طی شده (منهای سه نفر اول).

ارزش عضو جمع است.

اولین عبارت در این مشکل برابر با 1 = 50 روبل خواهد بود.

اختلاف پیشرفت d = 22 r.

عدد مورد نظر ما مقدار ترم (27+1) پیشرفت حسابی است - قرائت متر در پایان کیلومتر 27 27.999 ... = 28 کیلومتر است.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

محاسبات داده های تقویم برای یک دوره دلخواه طولانی بر اساس فرمول هایی است که توالی های عددی خاصی را توصیف می کند. در نجوم، طول مدار از نظر هندسی به فاصله جرم آسمانی تا ستاره بستگی دارد. علاوه بر این، سری های اعداد مختلف با موفقیت در آمار و سایر حوزه های کاربردی ریاضیات استفاده می شود.

نوع دیگری از دنباله اعداد هندسی است

پیشرفت هندسی با نرخ تغییر بیشتر در مقایسه با پیشرفت حسابی مشخص می شود. تصادفی نیست که در سیاست، جامعه شناسی و پزشکی، برای نشان دادن سرعت بالای انتشار یک پدیده خاص، مثلاً یک بیماری در هنگام اپیدمی، می گویند که این روند در پیشرفت هندسی پیشرفت می کند.

جمله N از سری اعداد هندسی با مورد قبلی متفاوت است زیرا در یک عدد ثابت ضرب می شود - مخرج، به عنوان مثال، جمله اول 1 است، مخرج معادل 2 است، سپس:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32،

b n - مقدار ترم فعلی پیشرفت هندسی.

b n+1 - فرمول عبارت بعدی پیشرفت هندسی.

q مخرج پیشرفت هندسی (عددی ثابت) است.

اگر نمودار یک پیشروی حسابی یک خط مستقیم باشد، یک پیشروی هندسی تصویر کمی متفاوت را ترسیم می کند:

همانطور که در مورد حساب، پیشروی هندسی فرمولی برای مقدار یک عبارت دلخواه دارد. هر نهمین جمله از یک تصاعد هندسی برابر است با حاصل ضرب اولین جمله و مخرج پیشرفت به توان n یک کاهش می یابد:

مثال. ما یک تصاعد هندسی داریم که جمله اول برابر با 3 و مخرج پیشروی برابر با 1.5 است. بیایید ترم پنجم پیشرفت را پیدا کنیم

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1.5 4 = 15.1875

مجموع تعداد معینی از عبارت ها نیز با استفاده از فرمول خاصی محاسبه می شود. مجموع n جمله اول یک تصاعد هندسی برابر است با تفاوت بین حاصل ضرب nامین ترمز پیشرفت و مخرج آن و جمله اول پیشروی، تقسیم بر مخرج کاهش بر یک:

اگر b n با استفاده از فرمول مورد بحث در بالا جایگزین شود، مقدار مجموع n جمله اول سری اعداد مورد بررسی به شکل زیر خواهد بود:

مثال. پیشروی هندسی با جمله اول برابر با 1 شروع می شود. مخرج آن 3 است. بیایید مجموع هشت جمله اول را پیدا کنیم.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

هنگام مطالعه جبر در دبیرستان (پایه نهم)، یکی از موضوعات مهم مطالعه دنباله های عددی است که شامل پیشرفت ها - هندسی و حسابی است. در این مقاله به یک پیشروی حسابی و مثال هایی همراه با راه حل خواهیم پرداخت.

پیشروی حسابی چیست؟

برای درک این موضوع، لازم است پیشروی مورد نظر را تعریف کنیم و همچنین فرمول های اساسی را ارائه کنیم که بعداً در حل مسائل مورد استفاده قرار خواهند گرفت.

پیشروی حسابی یا جبری مجموعه ای از اعداد گویا مرتب شده است که هر جمله آن با مقداری ثابت با عبارت قبلی متفاوت است. این مقدار تفاوت نامیده می شود. یعنی با دانستن هر عضوی از یک سری اعداد مرتب شده و تفاوت، می توانید کل پیشروی حسابی را بازیابی کنید.

بیایید یک مثال بزنیم. دنباله اعداد زیر یک پیشرفت حسابی خواهد بود: 4، 8، 12، 16، ...، زیرا تفاوت در این مورد 4 است (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). اما مجموعه اعداد 3، 5، 8، 12، 17 را دیگر نمی توان به نوع پیشرفت مورد بررسی نسبت داد، زیرا تفاوت برای آن یک مقدار ثابت نیست (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

فرمول های مهم

اجازه دهید فرمول های اساسی را که برای حل مسائل با استفاده از پیشروی حسابی مورد نیاز است، ارائه کنیم. اجازه دهید با نماد a n n امین عضو دنباله را نشان دهیم، جایی که n یک عدد صحیح است. تفاوت را با حرف لاتین d نشان می دهیم. سپس عبارات زیر معتبر هستند:

1. برای تعیین مقدار n ام فرمول زیر مناسب است: a n = (n-1)*d+a 1 .
2. برای تعیین مجموع n جمله اول: S n = (a n +a 1)*n/2.

برای درک هر نمونه ای از پیشروی حسابی با راه حل در کلاس نهم، کافی است این دو فرمول را به خاطر بسپارید، زیرا هر گونه مشکلی از نوع مورد بررسی بر اساس استفاده از آنها است. همچنین باید به یاد داشته باشید که تفاوت پیشرفت با فرمول تعیین می شود: d = a n - a n-1.

مثال شماره 1: یافتن یک اصطلاح ناشناخته

بیایید یک مثال ساده از یک پیشروی حسابی و فرمول هایی که برای حل آن باید استفاده شود، بیاوریم.

بگذارید دنباله 10، 8، 6، 4، ... داده شود، باید پنج عبارت را در آن پیدا کنید.

از شرایط مسئله از قبل چنین است که 4 عبارت اول شناخته شده است. پنجم را می توان به دو صورت تعریف کرد:

1. بیایید ابتدا تفاوت را محاسبه کنیم. ما داریم: d = 8 - 10 = -2. به طور مشابه، می توانید هر دو عضو دیگر را که در کنار یکدیگر ایستاده اند، ببرید. به عنوان مثال، d = 4 - 6 = -2. از آنجا که مشخص است که d = a n - a n-1، پس d = a 5 - a 4، که از آن به دست می آوریم: a 5 = a 4 + d. مقادیر شناخته شده را جایگزین می کنیم: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. روش دوم همچنین نیاز به آگاهی از تفاوت پیشرفت مورد نظر دارد، بنابراین ابتدا باید آن را همانطور که در بالا نشان داده شده است تعیین کنید (d = -2). با دانستن اینکه جمله اول a 1 = 10 است، از فرمول n عدد دنباله استفاده می کنیم. داریم: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2*n. با جایگزینی n = 5 به آخرین عبارت، به دست می آوریم: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

همانطور که می بینید، هر دو راه حل به یک نتیجه منجر شد. توجه داشته باشید که در این مثال تفاوت پیشرفت d یک مقدار منفی است. به این دنباله ها نزولی می گویند، زیرا هر جمله بعدی از جمله قبلی کمتر است.

مثال شماره 2: تفاوت پیشرفت

حالا بیایید کار را کمی پیچیده کنیم، بیایید مثالی از چگونگی ارائه دهیم

مشخص است که در برخی جمله اول برابر با 6 و جمله هفتم برابر با 18 است.

بیایید از فرمول برای تعیین عبارت مجهول استفاده کنیم: a n = (n - 1) * d + a 1 . بیایید داده های شناخته شده از شرط را در آن جایگزین کنیم، یعنی اعداد a 1 و a 7، داریم: 18 = 6 + 6 * d. از این عبارت می توانید به راحتی تفاوت را محاسبه کنید: d = (18 - 6) /6 = 2. بنابراین، بخش اول مسئله را پاسخ دادیم.

برای بازگرداندن دنباله به جمله هفتم، باید از تعریف پیشروی جبری استفاده کنید، یعنی a 2 = a 1 + d، a 3 = a 2 + d و غیره. در نتیجه، کل دنباله را بازیابی می کنیم: a 1 = 6، a 2 = 6 + 2=8، a 3 = 8 + 2 = 10، a 4 = 10 + 2 = 12، a 5 = 12 + 2 = 14 ، a 6 = 14 + 2 = 16، a 7 = 18.

مثال شماره 3: ترسیم یک پیشرفت

بیایید مشکل را حتی بیشتر پیچیده کنیم. حال باید به این سوال پاسخ دهیم که چگونه یک پیشروی حسابی را پیدا کنیم. می توان مثال زیر را ارائه داد: دو عدد داده شده است، به عنوان مثال - 4 و 5. لازم است یک پیشروی جبری ایجاد شود تا سه عبارت دیگر بین آنها قرار گیرد.

قبل از شروع حل این مشکل، باید بدانید که اعداد داده شده چه جایگاهی را در پیشرفت آینده اشغال خواهند کرد. از آنجایی که سه عبارت دیگر بین آنها وجود خواهد داشت، پس 1 = -4 و 5 = 5. پس از ایجاد این، به مسئله می رویم، که مشابه مورد قبلی است. باز هم، برای ترم n که از فرمول استفاده می کنیم، به دست می آوریم: a 5 = a 1 + 4 * d. از: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2.25. چیزی که در اینجا به دست آوردیم یک مقدار صحیح تفاوت نیست، بلکه یک عدد گویا است، بنابراین فرمول های پیشروی جبری یکسان باقی می مانند.

حالا بیایید تفاوت پیدا شده را به 1 اضافه کنیم و عبارت های از دست رفته پیشرفت را بازیابی کنیم. دریافت می کنیم: a 1 = - 4، a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75، a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5، a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75، a 5 = 2.75 + 2.25 = 5، که منطبق با با شرایط مشکل

مثال شماره 4: ترم اول پیشرفت

بیایید به بیان مثال هایی از پیشروی حسابی با حل ادامه دهیم. در تمام مسائل قبلی، عدد اول پیشروی جبری مشخص بود. حالا بیایید یک مسئله از نوع دیگری را در نظر بگیریم: اجازه دهید دو عدد داده شود، که در آن 15 = 50 و 43 = 37. لازم است پیدا کنیم که این دنباله با کدام عدد شروع می شود.

فرمول های استفاده شده تا کنون دانش 1 و d را فرض می کنند. در بیانیه مشکل، چیزی در مورد این اعداد مشخص نیست. با این وجود، ما عباراتی را برای هر عبارت در مورد اطلاعات موجود می نویسیم: a 15 = a 1 + 14 * d و a 43 = a 1 + 42 * d. ما دو معادله دریافت کردیم که در آنها 2 کمیت مجهول وجود دارد (a 1 و d). این بدان معنی است که مسئله به حل یک سیستم معادلات خطی کاهش می یابد.

ساده ترین راه برای حل این سیستم، بیان یک 1 در هر معادله و سپس مقایسه عبارات به دست آمده است. معادله اول: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; معادله دوم: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. با معادل سازی این عبارات، به دست می آوریم: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d، از آنجا تفاوت d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0.464 (فقط 3 رقم اعشار داده شده است).

با دانستن d، می توانید از هر یک از 2 عبارت بالا برای 1 استفاده کنید. به عنوان مثال، ابتدا: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0.464) = 56.496.

اگر در مورد نتیجه به دست آمده شک دارید، می توانید آن را بررسی کنید، به عنوان مثال، ترم 43 پیشرفت را که در شرط مشخص شده است، تعیین کنید. دریافت می کنیم: a 43 = a 1 + 42 * d = 56.496 + 42 * (- 0.464) = 37.008. خطای کوچک به این دلیل است که از گرد کردن به هزارم در محاسبات استفاده شده است.

مثال شماره 5: مبلغ

حال بیایید به چندین مثال با راه حل هایی برای مجموع یک پیشرفت حسابی نگاه کنیم.

یک پیشروی عددی به شکل زیر داده شود: 1، 2، 3، 4، ...،. چگونه می توان مجموع 100 عدد از این اعداد را محاسبه کرد؟

به لطف توسعه فناوری رایانه، می توان این مشکل را حل کرد، یعنی تمام اعداد را به ترتیب اضافه کرد که به محض فشار دادن کلید Enter رایانه این کار را انجام می دهد. با این حال، اگر توجه داشته باشید که سری اعداد ارائه شده یک پیشرفت جبری است و اختلاف آن برابر با 1 است، مشکل را می توان به صورت ذهنی حل کرد. a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

جالب است بدانید که این مشکل "گاوسی" نامیده می شود زیرا در آغاز قرن هجدهم آلمانی مشهور که هنوز تنها 10 سال داشت توانست در چند ثانیه آن را در ذهن خود حل کند. پسر فرمول جمع یک پیشروی جبری را نمی دانست، اما متوجه شد که اگر اعداد انتهای دنباله را به صورت جفت جمع کنید، همیشه همان نتیجه را می گیرید، یعنی 1 + 100 = 2 + 99. = 3 + 98 = ...، و از آنجایی که این مجموع دقیقاً 50 خواهد بود (100 / 2)، پس برای به دست آوردن پاسخ صحیح کافی است 50 را در 101 ضرب کنید.

مثال شماره 6: مجموع عبارت از n تا m

مثال معمولی دیگر از مجموع یک پیشروی حسابی به شرح زیر است: با توجه به یک سری اعداد: 3، 7، 11، 15، ...، باید دریابید که مجموع عبارت های آن از 8 تا 14 برابر است با چه چیزی. .

مشکل از دو طریق حل می شود. اولین مورد شامل یافتن عبارات مجهول از 8 تا 14 و سپس جمع کردن آنها به ترتیب است. از آنجایی که اصطلاحات کمی وجود دارد، این روش کاملاً کار فشرده نیست. با این وجود، برای حل این مشکل با استفاده از روش دوم، که جهانی تر است، پیشنهاد می شود.

ایده این است که فرمولی برای مجموع پیشرفت جبری بین ترم‌های m و n بدست آوریم که در آن n > m اعداد صحیح هستند. برای هر دو مورد، دو عبارت برای جمع می نویسیم:

1. S m = m * (a m + a 1) / 2.
2. S n = n * (a n + a 1) / 2.

از آنجایی که n > m، بدیهی است که مجموع 2 شامل اولین است. نتیجه آخر یعنی اگر تفاضل این مجموع را بگیریم و عبارت a m را به آن اضافه کنیم (در صورت گرفتن اختلاف از مجموع S n کسر شود) پاسخ لازم را برای مسئله به دست خواهیم آورد. داریم: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). لازم است که فرمول های n و m را در این عبارت جایگزین کنید. سپس دریافت می کنیم: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

فرمول حاصل تا حدودی دست و پا گیر است، با این حال، مجموع S mn فقط به n، m، a 1 و d بستگی دارد. در مورد ما، a 1 = 3، d = 4، n = 14، m = 8. با جایگزینی این اعداد، به دست می آوریم: S mn = 301.

همانطور که از راه‌حل‌های بالا مشاهده می‌شود، همه مسائل مبتنی بر آگاهی از عبارت ترم n و فرمول مجموع مجموع جمله‌های اول هستند. قبل از شروع حل هر یک از این مشکلات، توصیه می شود که شرایط را به دقت بخوانید، به وضوح آنچه را که باید پیدا کنید، درک کنید و تنها پس از آن راه حل را ادامه دهید.

نکته دیگر این است که برای سادگی تلاش کنید، یعنی اگر بتوانید بدون استفاده از محاسبات پیچیده ریاضی به سؤالی پاسخ دهید، باید دقیقاً این کار را انجام دهید، زیرا در این مورد احتمال اشتباه کمتر است. به عنوان مثال، در مثال یک پیشروی حسابی با حل شماره 6، می توان در فرمول S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m متوقف شد و مسئله کلی را به وظایف فرعی جداگانه تقسیم کنید (در این مورد ابتدا عبارت a n و a m را پیدا کنید).

اگر در مورد نتیجه به دست آمده شک دارید، توصیه می شود همانطور که در برخی از مثال های ارائه شده انجام شد، آن را بررسی کنید. ما متوجه شدیم که چگونه یک پیشرفت حسابی را پیدا کنیم. اگر آن را بفهمید، آنقدرها هم سخت نیست.