مثلثات با 0. مثلثات

روزی روزگاری در مدرسه یک دوره جداگانه برای مطالعه مثلثات وجود داشت. این گواهی شامل نمرات در سه رشته ریاضی جبر، هندسه و مثلثات بود.

سپس، به عنوان بخشی از اصلاحات تحصیلات مدرسه ایمثلثات به عنوان یک موضوع جداگانه وجود نداشت. که در مدرسه مدرناولین آشنایی با مثلثات در درس هندسه پایه هشتم اتفاق می افتد. مطالعه عمیق تر این موضوع در درس جبر پایه دهم ادامه دارد.

تعاریف سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت ابتدا در هندسه از طریق رابطه اضلاع یک مثلث قائم الزاویه ارائه شده است.

زاویه حاد در مثلث قائم الزاویه نسبت ضلع مقابل به هیپوتنوز است.

کسینوسزاویه حاد در مثلث قائم الزاویه، نسبت ساق مجاور به هیپوتنوز است.

مماسزاویه تند در مثلث قائم الزاویه، نسبت ضلع مقابل به ضلع مجاور است.

کوتانژانتزاویه تند در مثلث قائم الزاویه، نسبت ضلع مجاور به ضلع مقابل است.

این تعاریف فقط برای زوایای حاد (0º تا 90 درجه) اعمال می شود.

مثلا،

در مثلث ABC، که در آن ∠C=90 درجه، BC سمت مقابل زاویه A، AC ساقه مجاور زاویه A، AB افت فشار است.

درس جبر پایه دهم تعاریف سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت را برای هر زاویه (از جمله منفی) معرفی می کند.

دایره ای به شعاع R با مرکز در مبدا در نظر بگیرید - نقطه O(0;0). نقطه تلاقی دایره با جهت مثبت محور آبسیسا را ​​P 0 نشان می دهیم.

در هندسه، زاویه به عنوان قسمتی از صفحه در نظر گرفته می شود که توسط دو پرتو محدود شده است. با این تعریف، زاویه از 0 درجه تا 180 درجه متغیر است.

در مثلثات، زاویه به عنوان نتیجه چرخش پرتو OP 0 به دور نقطه شروع O در نظر گرفته می شود.

در همان زمان، آنها موافقت کردند که چرخش پرتو را در خلاف جهت عقربه های ساعت به عنوان یک جهت مثبت پیمایش، و در جهت عقربه های ساعت منفی در نظر بگیرند (این توافق با حرکت واقعی خورشید به دور زمین مرتبط است).

به عنوان مثال، هنگامی که پرتو OP 0 به دور نقطه O با زاویه α در خلاف جهت عقربه های ساعت می چرخد، نقطه P 0 به نقطه P α می رود،

هنگام چرخش با زاویه α در جهت عقربه های ساعت - به نقطه F.

با این تعریف، زاویه می تواند هر مقداری را بگیرد.

اگر به چرخش پرتو OP 0 در خلاف جهت عقربه‌های ساعت ادامه دهیم، هنگام چرخش از یک زاویه α°+360°، α°+360°·2،...،α°+360°·n، که در آن n یک عدد صحیح است (n∈ Ζ)، دوباره به نقطه P α برسیم:

زاویه ها بر حسب درجه و رادیان اندازه گیری می شوند.

1 درجه زاویه ای برابر با 1/180 درجه اندازه گیری زاویه توسعه یافته است.

1 رادیان زاویه مرکزی است که طول قوس آن برابر با شعاع دایره است:

∠AOB=1 راد.

نمادهای رادینی معمولا نوشته نمی شوند. تعیین مدرک را نمی توان از ورودی حذف کرد.

مثلا،

نقطه P α، از نقطه P 0 با چرخش پرتو OP 0 حول نقطه O با زاویه α در خلاف جهت عقربه های ساعت، دارای مختصات P α (x;y) است.

اجازه دهید یک P α A عمود از نقطه P α به محور آبسیسا رها کنیم.

در مثلث قائم الزاویه OP α A:

P α A - پای مخالف زاویه α،

OA - پای مجاور زاویه α،

OP α هیپوتانوز است.

P α A=y، OA=x، OP α =R.

با تعریف سینوس، کسینوس، مماس و کتانژانت در مثلث قائم الزاویه داریم:

بنابراین، در مورد دایره ای با مرکز در مبدا شعاع دلخواه سینوسیزاویه α نسبت مختصات نقطه P α به طول شعاع است.

کسینوسزاویه α نسبت آبسیسا نقطه P α به طول شعاع است.

مماسزاویه α نسبت مختصات یک نقطه P α به آبسیسا آن است.

کوتانژانتزاویه α نسبت ابسیسا نقطه P α به مختصات آن است.

مقادیر سینوس، کسینوس، مماس و کتانژانت فقط به مقدار α بستگی دارد و به طول شعاع R بستگی ندارد (این از شباهت دایره ها حاصل می شود).

بنابراین، انتخاب R=1 راحت است.

دایره ای با مرکز در مبدا و شعاع R=1 دایره واحد نامیده می شود.

تعاریف

1) سینوسیزاویه α را منتخب نقطه P α (x;y) دایره واحد می نامند:

2) کسینوسزاویه α آبسیسا نقطه P α (x;y) دایره واحد نامیده می شود:

3) مماسزاویه α نسبت مختصات یک نقطه P α (x;y) به آبسیسا آن است، یعنی نسبت sinα به cosα (که cosα≠0):

4) کوتانژانتزاویه α نسبت آبسیسا یک نقطه P α (x;y) به مختصات آن است، یعنی نسبت cosα به sinα (که sinα≠0):

تعاریف ارائه شده به این روش به ما امکان می دهد که نه تنها توابع مثلثاتی زاویه ها، بلکه توابع مثلثاتی آرگومان های عددی را نیز در نظر بگیریم (اگر sinα، cosα، tanα و ctgα را به عنوان توابع مثلثاتی متناظر یک زاویه در رادیان α در نظر بگیریم، یعنی، سینوس عدد α سینوس زاویه بر حسب رادیان α، کسینوس عدد α کسینوس زاویه بر حسب رادیان α و غیره است.

ویژگی های توابع مثلثاتی به عنوان یک مبحث جداگانه در درس جبر در پایه های 10 یا 11 بررسی می شود. توابع مثلثاتی به طور گسترده در فیزیک استفاده می شود.

دسته بندی: |

دوره ویدیویی "Get an A" شامل تمام موضوعاتی است که شما نیاز دارید اتمام موفقیت آمیزآزمون دولتی واحد در ریاضیات برای امتیاز 60-65. به طور کامل تمام مشکلات 1-13 نمایه آزمون یکپارچه ایالتیریاضیات همچنین برای قبولی در آزمون پایه یکپارچه دولتی در ریاضیات مناسب است. اگر می خواهید در آزمون یکپارچه دولتی با 90-100 امتیاز قبول شوید، باید قسمت 1 را در 30 دقیقه و بدون اشتباه حل کنید!

دوره آمادگی برای آزمون یکپارچه دولتی برای پایه های 10-11 و همچنین برای معلمان. هر آنچه برای حل قسمت 1 آزمون دولتی واحد ریاضی (12 مسئله اول) و مسئله 13 (مثلثات) نیاز دارید. و این بیش از 70 امتیاز در آزمون یکپارچه دولتی است و نه یک دانش آموز 100 امتیازی و نه دانش آموز علوم انسانی نمی تواند بدون آنها باشد.

تمام تئوری لازم راه حل های سریع، دام ها و اسرار آزمون یکپارچه دولتی. تمام وظایف فعلی بخش 1 از بانک وظیفه FIPI تجزیه و تحلیل شده است. این دوره به طور کامل با الزامات آزمون یکپارچه دولتی 2018 مطابقت دارد.

این دوره شامل 5 موضوع بزرگ است که هر کدام 2.5 ساعت است. هر موضوع از ابتدا، ساده و واضح ارائه شده است.

صدها تکلیف یکپارچه آزمون دولتی. مسائل کلمه و نظریه احتمال. الگوریتم های ساده و آسان برای به خاطر سپردن برای حل مسائل. هندسه. تئوری، مواد مرجع، تجزیه و تحلیل انواع وظایف آزمون یکپارچه دولتی. استریومتری. راه حل های حیله گر، برگه های تقلب مفید، توسعه تخیل فضایی. مثلثات از ابتدا تا مسئله 13. درک به جای انباشته کردن. توضیحات واضح مفاهیم پیچیده جبر. ریشه ها، توان ها و لگاریتم ها، تابع و مشتق. مبنایی برای حل مشکلات پیچیده قسمت 2 آزمون یکپارچه دولتی.

در این درس در مورد چگونگی ایجاد نیاز به معرفی توابع مثلثاتی و چرایی مطالعه آنها، آنچه در این مبحث باید بدانید و جایی که فقط باید در آن بهتر شوید (تکنیک چیست) صحبت خواهیم کرد. توجه داشته باشید که تکنیک و درک دو چیز متفاوت هستند. موافقم، یک تفاوت وجود دارد: یادگیری دوچرخه سواری، یعنی درک نحوه انجام آن، یا تبدیل شدن به یک دوچرخه سوار حرفه ای. ما به طور خاص در مورد درک صحبت خواهیم کرد، در مورد اینکه چرا توابع مثلثاتی مورد نیاز است.

چهار تابع مثلثاتی وجود دارد، اما همه آنها را می توان در قالب یک با استفاده از هویت ها (برابری هایی که آنها را به هم مرتبط می کند) بیان کرد.

تعاریف رسمی توابع مثلثاتی برای زوایای حاد در مثلث های قائم الزاویه (شکل 1).

سینوسیزاویه تند مثلث قائم الزاویه، نسبت ضلع مقابل به هیپوتنوز است.

کسینوسزاویه حاد مثلث قائم الزاویه نسبت ساق مجاور به هیپوتنوز است.

مماسزاویه تند مثلث قائم الزاویه، نسبت ضلع مقابل به ضلع مجاور است.

کوتانژانتزاویه تند مثلث قائم الزاویه، نسبت ضلع مجاور به ضلع مقابل است.

برنج. 1. تعیین توابع مثلثاتی یک زاویه حاد مثلث قائم الزاویه

این تعاریف رسمی هستند. درست تر است که بگوییم فقط یک تابع مثلا سینوس وجود دارد. اگر آنها در فناوری چندان مورد نیاز نبودند (که اغلب مورد استفاده قرار نمی گرفتند)، بسیاری از توابع مختلف مثلثاتی معرفی نمی شدند.

برای مثال کسینوس یک زاویه با سینوس همان زاویه با جمع () برابر است. علاوه بر این، کسینوس یک زاویه را همیشه می توان از طریق سینوس همان زاویه تا علامت، با استفاده از هویت مثلثاتی اصلی () بیان کرد. مماس یک زاویه نسبت سینوس به کسینوس یا یک کوتانژانت معکوس است (شکل 2). بعضی ها اصلا از کوتانژانت استفاده نمی کنند و آن را با . بنابراین، درک و توانایی کار با یک تابع مثلثاتی مهم است.

برنج. 2. رابطه بین توابع مختلف مثلثاتی

اما چرا اصلاً چنین عملکردهایی مورد نیاز بود؟ از آنها برای حل چه مشکلات عملی استفاده می شود؟ بیایید به چند نمونه نگاه کنیم.

دو نفر ( آو که در) ماشین را از گودال بیرون بیاورید (شکل 3). انسان که درمی تواند ماشین را به طرفین هل دهد، اما بعید است که کمک کند آ. از سوی دیگر، جهت تلاش او می تواند به تدریج تغییر کند (شکل 4).

برنج. 3. که درماشین را به طرفین هل می دهد

برنج. 4. که درشروع به تغییر جهت تلاش های خود می کند

واضح است که تلاش آنها زمانی بیشترین تأثیر را خواهد داشت که اتومبیل را به یک جهت هل دهند (شکل 5).

برنج. 5. مؤثرترین جهت مشترک تلاش

چقدر که دربه فشار دادن ماشین تا حدی کمک می کند که جهت نیروی آن به جهت نیرویی که با آن عمل می کند نزدیک باشد آ، تابعی از زاویه است و از طریق کسینوس آن بیان می شود (شکل 6).

برنج. 6. کسینوس به عنوان مشخصه بازده تلاش که در

اگر قدر نیرویی را که با آن ضرب کنیم که در، بر روی کسینوس زاویه، نیروی آن را بر روی جهت نیرویی که با آن عمل می کند به دست می آوریم. آ. هر چه زاویه بین جهت نیروها به آو که در(شکل 7). اگر ماشین را با همان نیروی در جهت مخالف هل دهند، ماشین در جای خود باقی می ماند (شکل 8).

برنج. 7. اثربخشی تلاش های مشترک آو که در

برنج. 8. جهت مخالفعمل نیروها آو که در

درک این موضوع مهم است که چرا می‌توانیم یک زاویه (کمک آن در نتیجه نهایی) را با کسینوس (یا دیگر تابع مثلثاتی یک زاویه) جایگزین کنیم. در واقع، این از این خاصیت مثلث های مشابه نتیجه می گیرد. از آنجایی که در واقع ما این را می گوییم: زاویه را می توان با نسبت دو عدد (ضبط-هیپوتنوز یا کناره) جایگزین کرد. اگر مثلاً برای یک زاویه از مثلث های قائم الزاویه مختلف این نسبت ها متفاوت باشند، این غیرممکن خواهد بود (شکل 9).

برنج. 9. نسبت اضلاع برابر در مثلث های مشابه

برای مثال، اگر نسبت و نسبت متفاوت بود، نمی‌توانیم تابع مماس را معرفی کنیم، زیرا برای یک زاویه در مثلث‌های قائم الزاویه مختلف، مماس متفاوت خواهد بود. اما با توجه به یکسان بودن نسبت های طول پاهای مثلث های قائم الزاویه مشابه، مقدار تابع به مثلث بستگی نخواهد داشت، به این معنی که زاویه تند و مقادیر توابع مثلثاتی آن است. یک به یک.

فرض کنید ارتفاع یک درخت معین را می دانیم (شکل 10). چگونه ارتفاع ساختمان مجاور را اندازه گیری کنیم؟

برنج. 10. تصویری از شرط مثال 2

نقطه ای را پیدا می کنیم که خطی از این نقطه و بالای خانه کشیده شده از بالای درخت عبور کند (شکل 11).

برنج. 11. تصویر حل مسئله مثال 2

ما می توانیم فاصله این نقطه تا درخت، فاصله آن تا خانه را اندازه گیری کنیم و ارتفاع درخت را می دانیم. از نسبت می توانید ارتفاع خانه را پیدا کنید: .

تناسب، قسمتبرابری نسبت دو عدد است. در این حالت برابری نسبت طول پاهای مثلث های قائم الزاویه مشابه است. علاوه بر این، این نسبت ها برابر با اندازه معینی از زاویه هستند که از طریق یک تابع مثلثاتی بیان می شود (طبق تعریف، این یک مماس است). متوجه شدیم که برای هر زاویه حاد مقدار تابع مثلثاتی آن منحصر به فرد است. یعنی سینوس، کسینوس، مماس، کوتانژانت واقعاً توابعی هستند، زیرا هر زاویه حاد دقیقاً با یک مقدار از هر یک از آنها مطابقت دارد. در نتیجه، می توان آنها را بیشتر مورد بررسی قرار داد و از خواص آنها استفاده کرد. مقادیر توابع مثلثاتی برای همه زوایا قبلاً محاسبه شده است و می توان از آنها استفاده کرد (آنها را می توان از جداول Bradis یا با استفاده از هر ماشین حساب مهندسی). اما ما همیشه نمی‌توانیم مسئله معکوس را حل کنیم (مثلاً استفاده از مقدار سینوس برای بازگرداندن اندازه زاویه مطابق با آن).

بگذارید سینوس یک زاویه برابر یا تقریباً باشد (شکل 12). چه زاویه ای با این مقدار سینوسی مطابقت خواهد داشت؟ البته، می‌توانیم دوباره از جدول Bradis استفاده کنیم و مقداری را پیدا کنیم، اما معلوم می‌شود که این جدول تنها نخواهد بود (شکل 13).

برنج. 12. یافتن یک زاویه با مقدار سینوس آن

برنج. 13. چند معنایی توابع مثلثاتی معکوس

در نتیجه، هنگام بازسازی مقدار تابع مثلثاتی یک زاویه، ماهیت چند ارزشی توابع مثلثاتی معکوس به وجود می آید. این ممکن است دشوار به نظر برسد، اما در واقعیت ما هر روز با موقعیت های مشابهی روبرو هستیم.

اگر پنجره‌ها را پرده می‌کنید و نمی‌دانید بیرون روشن است یا تاریک، یا خود را در غار می‌بینید، پس وقتی از خواب بیدار می‌شوید، دشوار است بگویید که آیا ساعت یک بعد از ظهر است، شب است یا روز بعد (شکل 14). در واقع، اگر از ما بپرسید "ساعت چند است؟"، باید صادقانه پاسخ دهیم: "ساعت به اضافه ضربدر کجا"

برنج. 14. تصویر چندمعنی با استفاده از مثال ساعت

می توان نتیجه گرفت که این یک دوره است (فاصله ای که پس از آن ساعت همان زمان فعلی را نشان می دهد). توابع مثلثاتی نیز دارای دوره هستند: سینوس، کسینوس و غیره. یعنی مقادیر آنها پس از مقداری تغییر در استدلال تکرار می شود.

اگر تغییر روز و شب یا تغییر فصل در سیاره وجود نداشت، نمی توانستیم از زمان تناوبی استفاده کنیم. از این گذشته، ما فقط سال ها را به ترتیب صعودی می شماریم، اما روزها ساعت دارند و هر روز جدید شمارش دوباره شروع می شود. در مورد ماه ها نیز وضعیت به همین صورت است: اگر الان ژانویه باشد، چند ماه دیگر ژانویه دوباره می آید و غیره. نقاط مرجع خارجی به ما کمک می کنند تا از شمارش دوره ای زمان (ساعت، ماه) استفاده کنیم، به عنوان مثال، چرخش زمین به دور محور خود و تغییر موقعیت خورشید و ماه در آسمان. اگر خورشید همیشه در یک موقعیت معلق باشد، برای محاسبه زمان، تعداد ثانیه‌ها (دقیقه‌ها) از لحظه شروع این محاسبه را می‌شماریم. تاریخ و زمان ممکن است به این صورت باشد: یک میلیارد ثانیه.

نتیجه گیری: هیچ مشکلی از نظر ابهام وجود ندارد توابع معکوسخیر در واقع، زمانی که برای یک سینوس مقادیر متفاوتی از زاویه وجود دارد، ممکن است گزینه هایی وجود داشته باشد (شکل 15).

برنج. 15. بازگرداندن یک زاویه از مقدار سینوس آن

معمولاً هنگام حل مسائل عملی، همیشه در محدوده استاندارد از تا . در این محدوده برای هر مقدار تابع مثلثاتی فقط دو مقدار مربوط به اندازه گیری زاویه وجود دارد.

یک تسمه متحرک و یک آونگ به شکل سطل با سوراخی که شن از آن بیرون می ریزد را در نظر بگیرید. آونگ می چرخد، نوار حرکت می کند (شکل 16). در نتیجه، ماسه اثری به شکل نمودار تابع سینوسی (یا کسینوس) از خود به جای می گذارد که به آن موج سینوسی می گویند.

در واقع، نمودارهای سینوس و کسینوس فقط در نقطه مرجع با یکدیگر تفاوت دارند (اگر یکی از آنها را رسم کنید و سپس محورهای مختصات را پاک کنید، نمی توانید تعیین کنید که کدام نمودار رسم شده است). بنابراین، هیچ فایده ای ندارد که گراف کسینوس را گراف بنامیم (چرا یک نام جداگانه برای همان گراف در نظر بگیریم)؟

برنج. 16. تصویر بیان مسئله در مثال 4

نمودار یک تابع همچنین می تواند به شما در درک اینکه چرا توابع معکوس مقادیر زیادی دارند کمک کند. اگر مقدار سینوس ثابت باشد، یعنی. یک خط مستقیم به موازات محور آبسیسا رسم کنید، سپس در محل تقاطع تمام نقاطی را به دست می آوریم که در آنها سینوس زاویه برابر با نقطه داده شده است. واضح است که تعداد بی نهایت چنین نقاطی وجود خواهد داشت. همانطور که در مثال با ساعت، که در آن مقدار زمان با مقدار متفاوت است، فقط در اینجا مقدار زاویه با مقدار متفاوت خواهد بود (شکل 17).

برنج. 17. تصویر چندمعنی برای سینوس

اگر مثال یک ساعت را در نظر بگیریم، آنگاه نقطه (انتهای عقربه های ساعت) در اطراف دایره حرکت می کند. توابع مثلثاتی را می توان به همین ترتیب تعریف کرد - نه زوایای یک مثلث قائم الزاویه، بلکه زاویه بین شعاع دایره و جهت مثبت محور را در نظر بگیرید. تعداد دایره هایی که نقطه از آنها عبور می کند (ما توافق کردیم که حرکت را در جهت عقربه های ساعت با علامت منفی بشماریم و در خلاف جهت عقربه های ساعت با علامت مثبت) این یک نقطه است (شکل 18).

برنج. 18. مقدار سینوس در یک دایره

بنابراین، تابع معکوس به طور منحصر به فرد در یک بازه مشخص تعریف می شود. برای این بازه می توانیم مقادیر آن را محاسبه کنیم و با جمع و تفریق دوره تابع، بقیه مقادیر را از مقادیر یافت شده بدست آوریم.

بیایید نمونه دیگری از یک دوره را بررسی کنیم. ماشین در کنار جاده در حال حرکت است. بیایید تصور کنیم که چرخ او به رنگ یا گودال فرو رفته است. علائم گاه به گاه از رنگ یا گودال های موجود در جاده ممکن است دیده شود (شکل 19).

برنج. 19. تصویرسازی دوره

فرمول های مثلثاتی بسیار زیادی در دوره مدرسه وجود دارد، اما به طور کلی فقط یک مورد را به خاطر بسپارید (شکل 20).

برنج. 20. فرمول های مثلثاتی

فرمول دو زاویه را نیز می توان به راحتی از سینوس مجموع با جایگزین کردن (به طور مشابه برای کسینوس) بدست آورد. شما همچنین می توانید فرمول های محصول را استخراج کنید.

در واقع، شما نیاز به یادآوری بسیار کمی دارید، زیرا با حل مسائل، خود این فرمول ها به خاطر سپرده می شوند. البته، کسی برای تصمیم گیری خیلی تنبل خواهد بود، اما پس از آن نیازی به این تکنیک و بنابراین خود فرمول ها نخواهد داشت.

و از آنجایی که به فرمول ها نیازی نیست، پس نیازی به حفظ آنها نیست. شما فقط باید این ایده را درک کنید که توابع مثلثاتی توابعی هستند که برای محاسبه، به عنوان مثال، پل ها استفاده می شوند. تقریباً هیچ مکانیزمی نمی تواند بدون استفاده و محاسبه آنها انجام دهد.

1. اغلب این سوال مطرح می شود که آیا سیم ها می توانند کاملا موازی با زمین باشند؟ پاسخ: نه، آنها نمی توانند، زیرا یک نیرو به سمت پایین و سایرین به طور موازی عمل می کنند - هرگز تعادل نخواهند داشت (شکل 21).

2. یک قو، یک خرچنگ و یک پیک گاری را در یک هواپیما می کشند. قو در یک جهت پرواز می کند، خرچنگ به سمت دیگر می کشد و پیک در سمت سوم (شکل 22). قدرت آنها را می توان متعادل کرد. این تعادل را می توان با استفاده از توابع مثلثاتی محاسبه کرد.

3. پل کابلی (شکل 23). توابع مثلثاتی به محاسبه تعداد کابل ها، نحوه هدایت و کشش آنها کمک می کند.

برنج. 23. پل کابلی

برنج. 24. "پل ریسمان"

برنج. 25. پل بولشوی اوبوخوفسکی

پیوندها به سایت ma-te-ri-a-lyInternetUrok

ریاضی ششم ابتدایی:

هندسه پایه هشتم:

- -
معمولاً وقتی می‌خواهند کسی را با ریاضیات ترسناک بترسانند، انواع سینوس‌ها و کسینوس‌ها را به عنوان یک مثال بسیار پیچیده و منزجر کننده ذکر می‌کنند. اما در واقع این بخش زیبا و جالبی است که قابل درک و حل است.
موضوع از کلاس نهم شروع می شود و همه چیز همیشه اولین بار روشن نیست، ظرافت ها و ترفندهای زیادی وجود دارد. من سعی کردم در مورد موضوع چیزی بگویم.

مقدمه ای بر دنیای مثلثات:
قبل از عجله در فرمول ها، باید از هندسه بفهمید که سینوس، کسینوس و غیره چیست.
سینوس زاویه- نسبت طرف مقابل (زاویه) به هیپوتنوز.
کسینوس- نسبت مجاور به هیپوتنوز.
مماس- طرف مقابل به طرف مجاور
کوتانژانت- مجاورت مقابل.

اکنون دایره ای از شعاع واحد را روی صفحه مختصات در نظر بگیرید و مقداری زاویه آلفا را روی آن علامت بزنید: (تصاویر حداقل برخی قابل کلیک هستند)
-
-
خطوط قرمز نازک عمود از نقطه تلاقی دایره و زاویه قائم بر محور ox و oy هستند. x و y قرمز مقدار مختصات x و y روی محورها هستند (x و y خاکستری فقط برای نشان دادن این است که اینها محورهای مختصات هستند نه فقط خطوط).
لازم به ذکر است که زاویه ها از جهت مثبت محور ox در خلاف جهت عقربه های ساعت محاسبه می شوند.
بیایید سینوس، کسینوس و غیره را برای آن پیدا کنیم.
sin a: ضلع مقابل برابر با y، هیپوتانوس برابر با 1 است.
sin a = y / 1 = y
برای اینکه کاملاً واضح باشد که y و 1 را از کجا می‌گیرم، برای وضوح، حروف را مرتب می‌کنیم و مثلث‌ها را نگاه می‌کنیم.
- -
AF = AE = 1 - شعاع دایره.
بنابراین AB = 1 به عنوان شعاع. AB - هیپوتانوز.
BD = CA = y - به عنوان مقدار oh.
AD = CB = x - به عنوان مقدار با توجه به oh.
sin a = BD / AB = y / 1 = y
بعد کسینوس است:
cos a: سمت مجاور - AD = x
cos a = AD / AB = x / 1 = x

خروجی هم داریم مماس و کتانژانت.
tg a = y / x = گناه a / cos a
cot a = x / y = cos a / sin a
ناگهان فرمول مماس و کوتانژانت را به دست آوردیم.

خوب، بیایید نگاهی ملموس به چگونگی حل این مسئله بیندازیم.
به عنوان مثال، a = 45 درجه.
ما گرفتیم راست گوشهدر یک زاویه 45 درجه فوراً برای برخی مشخص است که این یک مثلث متساوی الاضلاع است، اما به هر حال آن را توصیف می کنم.
بیایید زاویه سوم مثلث را پیدا کنیم (اولی 90 است، دومی 5 است): b = 180 - 90 - 45 = 45
اگر دو زاویه مساوی باشند، اضلاع آنها برابر است، این چیزی است که به نظر می رسد.
بنابراین، معلوم می شود که اگر دو مثلث از این قبیل را روی هم جمع کنیم، مربعی با قطر برابر با شعاع 1 بدست می آوریم. با قضیه فیثاغورث می دانیم که قطر مربعی با ضلع a برابر است با یک ریشه دو
حالا ما فکر می کنیم. اگر 1 (هیپوتنوز یا مورب) برابر ضلع مربع ضربدر ریشه دو باشد، ضلع مربع باید برابر با 1/sqrt(2) باشد و اگر صورت و مخرج این کسر را ضرب کنیم. با ریشه دو، sqrt(2)/2 را دریافت می کنیم. و چون مثلث متساوی الساقین است، پس AD = AC => x = y
یافتن توابع مثلثاتی ما:
sin 45 = sqrt(2)/2 / 1 = sqrt(2)/2
cos 45 = sqrt(2)/2 / 1 = sqrt(2)/2
tg 45 = sqrt(2)/2 / sqrt(2)/2 = 1
ctg 45 = sqrt(2)/2 / sqrt(2)/2 = 1
شما باید با مقادیر زاویه باقی مانده به همین ترتیب کار کنید. فقط مثلث ها متساوی الساقین نخواهند بود، اما اضلاع را می توان به همین راحتی با استفاده از قضیه فیثاغورث پیدا کرد.
به این ترتیب جدول مقادیر توابع مثلثاتی را از زوایای مختلف بدست می آوریم:
-
-
علاوه بر این، این جدول تقلب و بسیار راحت است.
چگونه خودتان بدون هیچ زحمتی آن را بسازید:جدولی به این شکل بکشید و اعداد 1 2 3 را در کادرها بنویسید.
-
-
حالا از این 1 2 3 ریشه می گیرید و بر 2 تقسیم می کنید. اینطوری می شود:
-
-
حالا سینوس را خط زده و کسینوس را می نویسیم. مقادیر آن سینوس آینه ای است:
-
-
مماس به همین راحتی قابل استخراج است - شما باید مقدار خط سینوس را بر مقدار خط کسینوس تقسیم کنید:
-
-
مقدار کوتانژانت مقدار معکوس مماس است. در نتیجه، چیزی شبیه به این دریافت می کنیم:
- -

توجه داشته باشیدمثلاً آن مماس در P/2 وجود ندارد. فکر کن چرا (شما نمی توانید بر صفر تقسیم کنید.)

آنچه باید در اینجا به خاطر بسپارید:سینوس مقدار y است، کسینوس مقدار x است. مماس نسبت y به x است و تانژانت برعکس است. بنابراین، برای تعیین مقادیر سینوس ها / کسینوس ها، کافی است جدولی را که در بالا توضیح دادم و یک دایره با محورهای مختصات رسم کنید (به راحتی می توان به مقادیر در زوایای 0، 90 نگاه کرد، 180، 360).
- -

خوب، امیدوارم که بتوانید تشخیص دهید چهارم:
- -
علامت سینوس، کسینوس و غیره آن بستگی به این دارد که زاویه در کدام ربع باشد. اگرچه، تفکر منطقی کاملاً ابتدایی شما را به پاسخ صحیح می رساند، اگر در نظر بگیرید که در سه ماهه دوم و سوم x منفی و y در سه ماهه سوم و چهارم منفی است. هیچ چیز ترسناک و ترسناکی نیست.

فکر می کنم ذکر آن خالی از لطف نباشد فرمول های کاهش ala ghosts، همانطور که همه می شنوند، که ذره ای حقیقت دارد. هیچ فرمولی وجود ندارد، زیرا غیر ضروری هستند. معنای کل این عمل: ما به راحتی مقادیر زاویه را فقط برای یک چهارم اول (30 درجه، 45، 60) پیدا می کنیم. توابع مثلثاتی تناوبی هستند، بنابراین می توانیم هر زاویه بزرگی را به ربع اول بکشیم. سپس بلافاصله معنای آن را خواهیم یافت. اما به سادگی کشیدن کافی نیست - باید علامت را به خاطر بسپارید. این همان چیزی است که فرمول های کاهش برای آن هستند.
بنابراین، ما یک زاویه بزرگ یا بیشتر از 90 درجه داریم: a = 120. و باید سینوس و کسینوس آن را پیدا کنیم. برای انجام این کار، 120 را به زوایای زیر تجزیه می کنیم که می توانیم با آنها کار کنیم:
sin a = گناه 120 = گناه (90 + 30)
می بینیم که این زاویه در ربع دوم قرار دارد، سینوس آنجا مثبت است، بنابراین علامت + جلوی سینوس حفظ می شود.
برای خلاص شدن از 90 درجه، سینوس را به کسینوس تبدیل می کنیم. خوب، این قانونی است که باید به خاطر بسپارید:
sin (90 + 30) = cos 30 = sqrt(3) / 2
یا می توانید آن را به شکل دیگری تصور کنید:
گناه 120 = گناه (180 - 60)
برای خلاص شدن از شر 180 درجه، ما عملکرد را تغییر نمی دهیم.
sin (180 - 60) = sin 60 = sqrt(3) / 2
ما همان مقدار را دریافت کردیم، بنابراین همه چیز درست است. حالا کسینوس:
cos 120 = cos (90 + 30)
کسینوس در ربع دوم منفی است، بنابراین علامت منفی می گذاریم. و تابع را به خلاف آن تغییر می دهیم، زیرا باید 90 درجه را حذف کنیم.
cos (90 + 30) = - sin 30 = - 1/2
یا:
cos 120 = cos (180 - 60) = - cos 60 = - 1/2

آنچه شما باید بدانید، بتوانید انجام دهید و انجام دهید تا زاویه ها را به ربع اول منتقل کنید:
- تجزیه زاویه به شرایط قابل هضم.
- در نظر بگیرید که زاویه در کدام ربع است و اگر تابع در این ربع منفی یا مثبت باشد علامت مناسب را قرار دهید.
- از شر چیزهای غیر ضروری خلاص شوید:
*اگر باید از شر 90، 270، 450 و 90+180n باقیمانده خلاص شوید، جایی که n هر عدد صحیحی است، آنگاه تابع معکوس می شود (سینوس به کسینوس، مماس بر کوتانژانت و بالعکس).
*اگر باید از شر 180 و باقیمانده 180+180 n خلاص شوید، جایی که n هر عدد صحیحی است، تابع تغییر نمی کند. (در اینجا یک ویژگی وجود دارد، اما توضیح آن با کلمات دشوار است، اما اوه خوب).
همین. فکر نمی‌کنم زمانی که می‌توانید چند قانون را به خاطر بسپارید و به راحتی از آنها استفاده کنید، لازم نیست خود فرمول‌ها را به خاطر بسپارید. به هر حال، اثبات این فرمول ها بسیار آسان است:
-
-
و آنها همچنین جداول دست و پا گیر را جمع آوری می کنند، سپس ما می دانیم:
-
-

معادلات اصلی مثلثات:شما باید آنها را خیلی خیلی خوب از روی قلب بشناسید.
هویت مثلثاتی بنیادی(برابری):
sin^2(a) + cos^2(a) = 1
اگر باور نمی کنید بهتر است خودتان آن را بررسی کنید و خودتان ببینید. مقادیر زوایای مختلف را جایگزین کنید.
این فرمول بسیار بسیار مفید است، همیشه آن را به خاطر بسپارید. با استفاده از آن می توانید سینوس را از طریق کسینوس و بالعکس بیان کنید که گاهی اوقات بسیار مفید است. اما، مانند هر فرمول دیگری، باید بدانید که چگونه آن را مدیریت کنید. همیشه به یاد داشته باشید که علامت تابع مثلثاتی به ربعی که زاویه در آن قرار دارد بستگی دارد. از همین رو هنگام استخراج ریشه باید ربع را بدانید.

مماس و کتانژانت:ما قبلاً این فرمول ها را در همان ابتدا استخراج کردیم.
tg a = گناه a / cos a
cot a = cos a / sin a

محصول مماس و کوتانژانت:
tg a * ctg a = 1
زیرا:
tg a * ctg a = (sin a / cos a) * (cos a / sin a) = 1 - کسرها لغو می شوند.

همانطور که می بینید، همه فرمول ها یک بازی و یک ترکیب هستند.
در اینجا دو مورد دیگر وجود دارد که از تقسیم بر مربع کسینوس و مربع سینوس فرمول اول به دست آمده است:
-
-
لطفاً توجه داشته باشید که دو فرمول آخر را می توان با محدودیت در مقدار زاویه a استفاده کرد، زیرا نمی توانید بر صفر تقسیم کنید.

فرمول های اضافه:با استفاده از جبر برداری ثابت می شوند.
- -
به ندرت استفاده می شود، اما دقیق. فرمول هایی در اسکن وجود دارد، اما ممکن است ناخوانا باشند یا شکل دیجیتالی آن آسان تر باشد:
- -

فرمول های دو زاویه:
آنها بر اساس فرمول های جمع به دست می آیند، به عنوان مثال: کسینوس یک زاویه مضاعف cos 2a = cos (a + a) است - آیا این شما را به یاد چیزی می اندازد؟ آنها فقط بتا را با آلفا جایگزین کردند.
- -
دو فرمول بعدی از اولین جایگزینی sin^2(a) = 1 - cos^2(a) و cos^2(a) = 1 - sin^2(a) مشتق شده‌اند.
سینوس یک زاویه دوتایی ساده تر است و بسیار بیشتر استفاده می شود:
- -
و منحرفان خاص با توجه به اینکه tan a = sin a / cos a و غیره می توانند مماس و کتانژانت یک زاویه مضاعف را استخراج کنند.
-
-

برای افراد فوق فرمول های زاویه سه گانه:آنها با اضافه کردن زوایای 2a و a به دست می‌آیند، زیرا ما فرمول‌های زوایای دوگانه را می‌دانیم.
-
-

فرمول های نیم زاویه:
- -
نمی‌دانم چگونه مشتق شده‌اند، یا به‌طور دقیق‌تر، چگونه آن را توضیح دهم... اگر این فرمول‌ها را بنویسیم، و هویت مثلثاتی اصلی را با a/2 جایگزین کنیم، آنگاه پاسخ همگرا خواهد شد.

فرمول های جمع و تفریق توابع مثلثاتی:
-
-
آنها از فرمول های جمع به دست می آیند، اما هیچ کس اهمیتی نمی دهد. آنها اغلب اتفاق نمی افتد.

همانطور که می‌دانید، هنوز تعداد زیادی فرمول وجود دارد که فهرست کردن آنها به سادگی بی‌معنی است، زیرا من نمی‌توانم چیزی در مورد آنها بنویسم، و فرمول‌های خشک را می‌توان در هر جایی یافت، و آنها یک بازی با فرمول‌های موجود قبلی هستند. همه چیز به طرز وحشتناکی منطقی و دقیق است. فقط آخرش بهت میگم در مورد روش زاویه کمکی:
تبدیل عبارت a cosx + b sinx به شکل Acos(x+) یا Asin(x+) را روش معرفی زاویه کمکی (یا آرگومان اضافی) می گویند. روش برای حل استفاده می شود معادلات مثلثاتی، هنگام تخمین مقادیر توابع، در مسائل اکسترموم و آنچه که توجه به آن مهم است این است که برخی از مسائل را نمی توان بدون معرفی یک زاویه کمکی حل کرد.
مهم نیست که چگونه سعی کردید این روش را توضیح دهید، هیچ نتیجه ای حاصل نشد، بنابراین باید خودتان این کار را انجام دهید:
-
-
یک چیز ترسناک، اما مفید. اگر مشکلات را حل کردید، باید حل شود.
از اینجا، به عنوان مثال: mschool.kubsu.ru/cdo/shabitur/kniga/trigonom/metod/metod2/met2/met2.htm

بعد در دوره، نمودارهایی از توابع مثلثاتی است. اما برای یک درس کافی است. با توجه به اینکه در مدرسه شش ماه این را آموزش می دهند.

سوالات خود را بنویسید، مشکلات را حل کنید، از برخی کارها اسکن بخواهید، آن را کشف کنید، آن را امتحان کنید.
همیشه مال تو، دن فارادی.

در سال 1905، خوانندگان روسی می‌توانستند در کتاب «روان‌شناسی» ویلیام جیمز استدلال او را در مورد «چرا یادگیری غیرمستقیم چنین روش بدی برای یادگیری است؟» بخوانند.

دانشی که از طریق یادگیری ساده به دست می‌آید تقریباً به ناچار به طور کامل و بدون هیچ ردی فراموش می‌شود. برعکس، مواد ذهنی که به تدریج، روز به روز، در ارتباط با زمینه‌های مختلف، با سایر رویدادهای بیرونی مرتبط است و مکرراً مورد بحث و گفتگو قرار می‌گیرد، با حافظه به دست می‌آید، چنین نظامی را شکل می‌دهد و با دیگر جنبه‌های ما وارد چنین ارتباطی می‌شود. عقل، به راحتی با انبوهی از موقعیت های بیرونی در حافظه بازیابی می شود، که برای مدت طولانی به عنوان یک کسب بادوام باقی می ماند.

بیش از 100 سال از آن زمان می گذرد و این کلمات به طرز شگفت انگیزی مطرح هستند. شما هر روز هنگام کار با دانش آموزان مدرسه به این موضوع متقاعد می شوید. شکاف های عظیم دانش به قدری زیاد است که می توان استدلال کرد: درس ریاضی مدرسه از نظر آموزشی و روانشناسی یک سیستم نیست، بلکه نوعی وسیله است که حافظه کوتاه مدت را تشویق می کند و اصلاً به حافظه بلند مدت اهمیت نمی دهد. .

دانستن درس ریاضی مدرسه به معنای تسلط بر مطالب هر رشته از ریاضیات و امکان به روز رسانی هر یک از آنها در هر زمان است. برای رسیدن به این هدف، باید به طور سیستماتیک با هر یک از آنها تماس بگیرید، که گاهی اوقات به دلیل حجم زیاد کار در درس، همیشه امکان پذیر نیست.

راه دیگری برای حفظ طولانی مدت حقایق و فرمول ها وجود دارد - اینها سیگنال های مرجع هستند.

مثلثات یکی از بخش های بزرگ ریاضیات مدرسه است که در درس هندسه در پایه های 8 و 9 و در درس جبر در پایه نهم، جبر و تجزیه و تحلیل ابتدایی در کلاس 10 مطالعه می شود.

بیشترین حجم مطالب مطالعه شده در مثلثات مربوط به کلاس دهم است. بیشتر این مطالب مثلثاتی قابل یادگیری و حفظ است دایره مثلثاتی(دایره ای با شعاع واحد با مرکز آن در مبدا سیستم مختصات مستطیلی). Appendix1.ppt

اینها مفاهیم مثلثاتی زیر هستند:

• تعاریف سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت یک زاویه؛
• اندازه گیری زاویه رادیان؛
• دامنه تعریف و محدوده مقادیر توابع مثلثاتی
• مقادیر توابع مثلثاتی برای برخی از مقادیر آرگومان عددی و زاویه ای؛
• تناوب توابع مثلثاتی؛
• یکنواختی و عجیب بودن توابع مثلثاتی؛
• افزایش و کاهش توابع مثلثاتی.
• فرمول های کاهش؛
• مقادیر توابع مثلثاتی معکوس؛
• حل معادلات مثلثاتی ساده;
• حل نابرابری های ساده؛
• فرمول های اصلی مثلثات

بیایید مطالعه این مفاهیم را روی دایره مثلثاتی در نظر بگیریم.

1) تعریف سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت.

دانش آموزان پس از معرفی مفهوم دایره مثلثاتی (دایره ای با شعاع واحد با مرکز در مبدا)، شعاع اولیه (شعاع دایره در جهت محور Ox) و زاویه چرخش، به طور مستقل تعاریفی را به دست می آورند. برای سینوس، کسینوس، مماس و کتانژانت روی دایره مثلثاتی با استفاده از تعاریف هندسه مسیر، یعنی در نظر گرفتن مثلث قائم الزاویه با هیپوتانوس برابر با 1.

کسینوس یک زاویه، آبسیسا یک نقطه روی یک دایره است که شعاع اولیه با یک زاویه معین می چرخد.

سینوس یک زاویه، مختصات یک نقطه روی یک دایره است که شعاع اولیه با یک زاویه مشخص می چرخد.

2) اندازه گیری رادیانه زوایای یک دایره مثلثاتی.

پس از معرفی اندازه گیری رادیان یک زاویه (1 رادیان زاویه مرکزی است که مطابق با طول قوس برابر با طول شعاع دایره است)، دانش آموزان به این نتیجه می رسند که اندازه گیری رادیان یک زاویه مقدار عددیزاویه چرخش روی دایره، برابر طولقوس مربوطه هنگام چرخش شعاع اولیه با یک زاویه معین. .

دایره مثلثاتی با قطرهای دایره به 12 قسمت مساوی تقسیم می شود. با دانستن اینکه زاویه بر حسب رادیان است، می‌توانید اندازه‌گیری رادیان را برای زوایایی که مضرب هستند تعیین کنید.

و اندازه گیری های رادیانی زاویه ها، مضرب، به طور مشابه به دست می آیند:

3) دامنه تعریف و دامنه مقادیر توابع مثلثاتی.

آیا مطابقت بین زوایای چرخش و مقادیر مختصات یک نقطه روی یک دایره یک تابع خواهد بود؟

هر زاویه چرخش مربوط به یک نقطه از دایره است، به این معنی که این مطابقت یک تابع است.

دریافت توابع

در دایره مثلثاتی می بینید که دامنه تعریف توابع مجموعه همه اعداد واقعی است و محدوده مقادیر برابر است.

اجازه دهید مفاهیم خطوط مماس و کوتانژانت را در یک دایره مثلثاتی معرفی کنیم.

1) اجازه دهید اجازه دهید یک خط مستقیم کمکی موازی با محور Oy معرفی کنیم که بر روی آن مماس ها برای هر استدلال عددی تعیین می شود.

2) به طور مشابه، ما یک خط کوتانژانت به دست می آوریم. بگذارید y=1، سپس . این بدان معنی است که مقادیر کتانژانت در یک خط مستقیم موازی با محور Ox تعیین می شود.

در یک دایره مثلثاتی به راحتی می توانید دامنه تعریف و محدوده مقادیر توابع مثلثاتی را تعیین کنید:

برای مماس -

برای کوتانژانت -

4) مقادیر توابع مثلثاتی روی یک دایره مثلثاتی.

پایه مقابل زاویه در برابر است با نصف هیپوتنوز، یعنی پایه دیگر طبق قضیه فیثاغورث:

این بدان معنی است که با تعریف سینوس، کسینوس، مماس، کوتانژانت می توانید مقادیری را برای زوایایی که مضرب یا رادیان هستند تعیین کنید. مقادیر سینوس در امتداد محور Oy، کسینوس در امتداد محور Ox تعیین می شوند و مقادیر مماس و کتانژانت را می توان به ترتیب با استفاده از محورهای اضافی موازی با محورهای Oy و Ox تعیین کرد.

مقادیر جدول بندی شده سینوس و کسینوس در محورهای مربوطه به شرح زیر قرار دارند:

مقادیر جدول مماس و کتانژانت -

5) تناوب توابع مثلثاتی.

در دایره مثلثاتی می توانید ببینید که مقادیر سینوس و کسینوس در هر رادیان و مماس و کوتانژانت - هر رادیان تکرار می شوند.

6) یکنواختی و عجیب بودن توابع مثلثاتی.

این ویژگی را می توان با مقایسه مقادیر زوایای چرخش مثبت و مخالف توابع مثلثاتی به دست آورد. ما آن را دریافت می کنیم

این بدان معنی است که کسینوس یک تابع زوج است، همه توابع دیگر فرد هستند.

7) افزایش و کاهش توابع مثلثاتی.

دایره مثلثاتی نشان می دهد که تابع سینوسی افزایش می یابد و کاهش می یابد

با استدلال مشابه، بازه های توابع افزایش و کاهش کسینوس، مماس و کوتانژانت را به دست می آوریم.

8) فرمول های کاهش.

برای زاویه، مقدار کوچکتر زاویه روی دایره مثلثاتی را می گیریم. همه فرمول ها با مقایسه مقادیر توابع مثلثاتی در پاهای مثلث های قائم الزاویه انتخاب شده به دست می آیند.

الگوریتم اعمال فرمول های کاهش:

1) علامت تابع را هنگام چرخش در یک زاویه مشخص مشخص کنید.

هنگام پیچیدن یک گوشه تابع حفظ می شود، هنگامی که توسط یک زاویه می چرخد ​​- یک عدد صحیح، عدد فرد، تابع (

9) مقادیر توابع مثلثاتی معکوس.

اجازه دهید با استفاده از تعریف تابع، توابع معکوس را برای توابع مثلثاتی معرفی کنیم.

هر مقدار سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت روی دایره مثلثاتی تنها با یک مقدار از زاویه چرخش مطابقت دارد. این بدان معنی است که برای یک تابع دامنه تعریف است، محدوده مقادیر است - برای تابع دامنه تعریف است، محدوده مقادیر است. به طور مشابه، دامنه تعریف و محدوده مقادیر توابع معکوس را برای کسینوس و کوتانژانت به دست می آوریم.

الگوریتم یافتن مقادیر توابع مثلثاتی معکوس:

1) یافتن مقدار آرگومان تابع مثلثاتی معکوس در محور مربوطه.

2) پیدا کردن زاویه چرخش شعاع اولیه با در نظر گرفتن محدوده مقادیر تابع مثلثاتی معکوس.

مثلا:

10) حل معادلات ساده روی یک دایره مثلثاتی.

برای حل معادله شکل، نقاطی از دایره را پیدا می کنیم که مختصات آنها مساوی است و با در نظر گرفتن دوره تابع، زوایای مربوطه را یادداشت می کنیم.

برای معادله، نقاطی را روی دایره ای که ابسیساهای آن برابر است پیدا می کنیم و با در نظر گرفتن دوره تابع، زوایای مربوطه را یادداشت می کنیم.

به طور مشابه برای معادلات فرم مقادیر بر روی خطوط مماس و کتانژانت تعیین می شود و زوایای چرخش مربوطه ثبت می شود.

تمام مفاهیم و فرمول های مثلثات توسط خود دانش آموزان و با راهنمایی واضح معلم با استفاده از دایره مثلثاتی یاد می شود. در آینده، این "دایره" به عنوان یک سیگنال مرجع برای آنها یا عامل خارجیبرای بازتولید مفاهیم و فرمول های مثلثاتی در حافظه.

مطالعه مثلثات روی یک دایره مثلثاتی کمک می کند:

• انتخاب سبک ارتباطی بهینه برای یک درس داده شده، سازماندهی همکاری آموزشی.
• اهدافدرس ها به طور شخصی برای هر دانش آموز مهم می شوند.
• مواد جدیدبر اساس تجربه شخصیاعمال، تفکر، احساسات دانش آموز؛
• درس شامل اشکال مختلف کار و راه های کسب و جذب دانش است. عناصری از یادگیری متقابل و خودآموزی وجود دارد. کنترل خود و متقابل؛
• پاسخ سریع به سوء تفاهم و خطا وجود دارد (بحث مشترک، راهنمایی های پشتیبانی، مشاوره های متقابل).