کاربرد توابع مثلثاتی معکوس در زندگی تاریخچه مثلثات: ظهور و توسعه

مؤسسه آموزشی شهرداری

"ژیمنازیوم شماره 1"

"مثلثات در زندگی واقعی"

پروژه اطلاعاتی

تکمیل شد:

کراسنوف اگور

دانش آموز کلاس 9A

سرپرست:

بورودکینا تاتیانا ایوانونا

ژلزنوگورسک

مقدمه………………………………………………………………………………………3

ارتباط……………………………………………………………….3

هدف…………………………………………………4

وظایف……………………………………………………….4

1.4 روشها………………………………………………………………………

2. مثلثات و تاریخچه توسعه آن…………………………………………………..5

2.1. مثلثات و مراحل تشکیل……………………….5

2.2 مثلثات به عنوان یک اصطلاح. خصوصیات………………….7

2.3. وقوع سینوس……………………………………………….7

2.4. ظهور کسینوس………………………………………………

2.5. پیدایش مماس و کتانژانت…………………………………….9

2.6 پیشرفتهای بعدیمثلثات………………………..9

3. مثلثات و زندگی واقعی…………………………………………………….

3.1. پیمایش……………………………………………………………………………………………………

3.2 جبر…………………………………………………………..

3.3. فیزیک……………………………………………………………………………………………………………………

3.4.پزشکی، زیست‌شناسی و بیوریتم‌ها………………………………….

3.5. موسیقی…………………………………………………………….19

3.6. انفورماتیک……………………………………………………………………………………………

3.7 بخش ساخت و ساز و ژئودزی …………………………………………………………

3.8 مثلثات در هنر و معماری………………………………………………………

نتیجه. …………………………………………………………………..…..25

مراجع…………………………………………………………………………………………………

پیوست 1…………………………………………………………………………………………………………

معرفی

در دنیای مدرن توجه قابل توجهی به ریاضیات به عنوان یکی از حوزه ها می شود فعالیت علمیو مطالعه. همانطور که می دانیم یکی از مولفه های ریاضی مثلثات است. مثلثات شاخه ای از ریاضیات است که به مطالعه توابع مثلثاتی می پردازد. من معتقدم که این موضوع اولاً از نظر عملی مرتبط است. ما در حال اتمام تحصیلات خود در مدرسه هستیم و می دانیم که برای بسیاری از مشاغل، دانش مثلثات به سادگی ضروری است، زیرا ... به شما امکان می دهد فاصله تا ستاره های نزدیک را در نجوم، بین مکان های دیدنی در جغرافیا اندازه گیری کنید و سیستم های ناوبری ماهواره ای را کنترل کنید. اصول مثلثات همچنین در زمینه هایی مانند تئوری موسیقی، آکوستیک، اپتیک، تحلیل بازار مالی، الکترونیک، تئوری احتمال، آمار، زیست شناسی، پزشکی (شامل اولتراسوند و توموگرافی کامپیوتری)، داروسازی، شیمی، نظریه اعداد (و... پیامد، رمزنگاری)، لرزه‌شناسی، هواشناسی، اقیانوس‌شناسی، نقشه‌برداری، بسیاری از شاخه‌های فیزیک، توپوگرافی و ژئودزی، معماری، آوایی، اقتصاد، مهندسی الکترونیک، مهندسی مکانیک، گرافیک کامپیوتری، کریستالوگرافی.

ثانیاً ارتباطموضوع "مثلثات در زندگی واقعی" این است که دانش مثلثات راه های جدیدی را برای حل مسائل مختلف در بسیاری از زمینه های علمی باز می کند و درک جنبه های خاصی از علوم مختلف را ساده می کند.

مدتهاست که یک روش ثابت شده است که دانش آموزان مدرسه سه بار با مثلثات مواجه می شوند. پس می توان گفت که مثلثات سه بخش دارد. این قسمت ها به هم متصل هستند و به زمان بستگی دارند. در عین حال ، آنها کاملاً متفاوت هستند ، هم از نظر معنایی که هنگام توضیح مفاهیم اساسی و هم از نظر عملکردها مشخص می شود ، ویژگی های مشابهی ندارند.

اولین آشنایی در کلاس هشتم اتفاق می افتد. این دوره ای است که دانش آموزان مدرسه می آموزند: "روابط بین اضلاع و زوایای یک مثلث قائم الزاویه." در فرآیند مطالعه مثلثات، مفاهیم کسینوس، سینوس و مماس آورده شده است.

قدم بعدی ادامه یادگیری مثلثات در کلاس نهم است. سطح پیچیدگی افزایش می یابد، راه ها و روش های حل مثال ها تغییر می کند. حالا به جای کسینوس و مماس دایره و قابلیت های آن می آید.

مرحله آخر درجه 10 است که در آن مثلثات پیچیده تر می شود و راه های حل مسائل تغییر می کند. مفهوم اندازه گیری زاویه رادیان معرفی شده است. نمودارهای توابع مثلثاتی معرفی شده اند. بر در این مرحلهدانش آموزان شروع به حل و مطالعه می کنند معادلات مثلثاتی. اما هندسه نه. برای درک کامل مثلثات، لازم است با تاریخچه پیدایش و توسعه آن آشنا شویم. بعد از ملاقات اطلاعات تاریخیو با مطالعه کار چهره های بزرگ، ریاضیدانان و دانشمندان، می توانیم بفهمیم که چگونه مثلثات بر زندگی ما تأثیر می گذارد، چگونه به ایجاد اشیاء جدید و اکتشافات کمک می کند.

هدفپروژه من مطالعه تأثیر مثلثات در زندگی انسان و ایجاد علاقه به آن است. پس از حل این هدف، ما قادر خواهیم بود بفهمیم که مثلثات چه جایگاهی را در دنیای ما اشغال می کند، چه مشکلات عملی را حل می کند.

برای رسیدن به این هدف موارد زیر را مشخص کرده ایم وظایف:

1. با تاریخچه شکل گیری و توسعه مثلثات آشنا شوید;

2. نمونه هایی از تأثیر عملی مثلثات در زمینه های مختلف فعالیت را در نظر بگیرید.

3. با مثال امکانات مثلثات و کاربرد آن در زندگی انسان را نشان دهید.

مواد و روش ها:جستجو و جمع آوری اطلاعات.

1. مثلثات و تاریخچه توسعه آن

مثلثات چیست؟ این اصطلاح به شاخه‌ای از ریاضیات اطلاق می‌شود که به بررسی رابطه بین اندازه‌های مختلف زاویه، مطالعه طول اضلاع یک مثلث و هویت‌های جبری توابع مثلثاتی می‌پردازد. تصور اینکه این حوزه از ریاضیات با ما ملاقات کند دشوار است زندگی روزمره.

1.1. مثلثات و مراحل تشکیل آن

بیایید به تاریخچه توسعه آن، مراحل شکل گیری بپردازیم. از زمان های قدیم، مثلثات مقدمات خود را به دست آورده، توسعه یافته و اولین نتایج خود را نشان داده است. اولین اطلاعات در مورد پیدایش و توسعه این منطقه را در نسخه های خطی می توانیم ببینیم مصر باستان، بابل، چین باستان. پس از بررسی مسئله 56 از پاپیروس ریندا (هزاره دوم قبل از میلاد)، می توان دریافت که تمایل هرمی را که ارتفاع آن 250 ذراع است را پیدا می کند. طول ضلع قاعده هرم 360 ذراع است (شکل 1). جالب است که مصری ها در حل این مشکل به طور همزمان از دو سیستم اندازه گیری - "آرنج" و "کف دست" استفاده کردند. امروزه هنگام حل این مشکل، مماس زاویه را پیدا می کنیم: دانستن نیمی از قاعده و آپوتم (شکل 1).

مرحله بعدی مرحله توسعه علم بود که با ستاره شناس آریستارخوس ساموسی که در قرن 3 قبل از میلاد می زیسته مرتبط است. ه. رساله با توجه به قدر و فاصله خورشید و ماه، وظیفه خاصی را برای خود تعیین کرد. این در نیاز به تعیین فاصله تا هر جرم آسمانی بیان شد. برای انجام چنین محاسباتی لازم بود که نسبت اضلاع یک مثلث قائم الزاویه با مقدار مشخص یکی از زوایا محاسبه شود. آریستارخوس مثلث قائم الزاویه ای را در نظر گرفت که توسط خورشید، ماه و زمین در طول یک ربع تشکیل شده است. برای محاسبه مقدار هیپوتنوس، که به عنوان مبنای فاصله زمین تا خورشید عمل می کند، با استفاده از پایه، که به عنوان مبنای فاصله زمین تا ماه عمل می کند، با مقدار مشخصی از زاویه مجاور. (87 درجه)، که معادل محاسبه مقدار است گناه زاویه 3. طبق گفته Aristarchus، این مقدار در محدوده 1/20 تا 1/18 قرار دارد. این نشان می دهد که فاصله خورشید تا زمین بیست برابر بیشتر از فاصله ماه تا زمین است. با این حال، ما می دانیم که خورشید 400 برابر دورتر از مکان ماه است. خطای قضاوت به دلیل عدم دقت در اندازه گیری زاویه ایجاد شد.

چندین دهه بعد، کلودیوس بطلمیوس در آثار خود Ethnogeography، Analemma و Planispherium شرح مفصلی از اضافات مثلثاتی به نقشه کشی، نجوم و مکانیک ارائه می دهد. در میان چیزهای دیگر، طرح ریزی استریوگرافی به تصویر کشیده می شود، تعدادی از مسائل واقعی مورد مطالعه قرار می گیرد، به عنوان مثال: برای تعیین ارتفاع و زاویه جسم سماوی با توجه به انحراف و زاویه ساعت آن. از نظر مثلثات به این معنی است که باید ضلع مثلث کروی را با توجه به 2 وجه دیگر و زاویه مخالف آن پیدا کرد (شکل 2).

در مجموع، می توان اشاره کرد که مثلثات برای اهداف زیر استفاده شده است:

تعیین دقیق زمان روز؛

محاسبه مکان آینده اجرام آسمانی، قسمت های طلوع و غروب آنها، خورشید گرفتگی و ماه گرفتگی.

یافتن مختصات جغرافیایی مکان فعلی؛

محاسبه فاصله بین کلان شهرها با مختصات جغرافیایی شناخته شده.

گنمون یک مکانیسم نجومی باستانی است، یک شی عمودی (ستیل، ستون، قطب)، که به فرد اجازه می دهد تا ارتفاع زاویه ای خورشید را با استفاده از کوتاه ترین طول سایه آن در ظهر تعیین کند (شکل 3).

بنابراین، کوتانژانت به عنوان طول سایه از یک گنومون عمودی با ارتفاع 12 (گاهی 7) واحد برای ما نشان داده شد. توجه داشته باشید که در نسخه اصلی از این تعاریف برای محاسبه ساعت های آفتابی استفاده شده است. مماس با سایه ای که از یک گنمون افقی در حال سقوط بود نشان داده شد. Cosecant و secant به عنوان هیپوتنوس درک می شوند که با مثلث های قائم الزاویه مطابقت دارند.

1.2 مثلثات به عنوان یک اصطلاح. مشخصه

برای اولین بار، اصطلاح خاص "مثلثات" در سال 1505 ظاهر شد. این واژه در کتابی توسط الهیدان و ریاضیدان آلمانی Bartholomeus Pitiscus منتشر و استفاده شد. در آن زمان از علم برای حل مسائل نجومی و معماری استفاده می شد.

اصطلاح مثلثات با ریشه یونانی مشخص می شود. و از دو بخش "مثلث" و "میزان" تشکیل شده است. با مطالعه ترجمه می توان گفت که علمی پیش روی ماست که به بررسی تغییرات مثلث ها می پردازد. ظاهر مثلثات با نقشه برداری زمین، نجوم و فرآیند ساخت و ساز همراه است. اگرچه این نام به تازگی ظاهر شده است، بسیاری از تعاریف و داده هایی که در حال حاضر به عنوان مثلثات طبقه بندی می شوند، قبل از سال 2000 شناخته شده بودند.

1.3. بروز سینوس

نمایش سینوس سابقه طولانی دارد. در واقع، روابط مختلفی بین بخش‌های مثلث و دایره (و در اصل، توابع مثلثاتی) در اوایل قرن سوم یافت شد. قبل از میلاد مسیح. در آثار ریاضیدانان مشهور یونان باستان - اقلیدس، ارشمیدس، آپولونیوس پرگا. در طول دوره روم، این روابط قبلاً به طور منظم توسط منلائوس (قرن اول پس از میلاد) مورد مطالعه قرار گرفته بود، اگرچه نام خاصی دریافت نکردند. به عنوان مثال، سینوس مدرن زاویه α به عنوان یک نیم وتر که زاویه مرکزی قدر α روی آن قرار دارد، یا به عنوان وتر یک کمان دوتایی مطالعه می شود.

در دوره بعدی، ریاضیات برای مدت طولانی با بیشترین سرعت توسط دانشمندان هندی و عرب شکل گرفت. به طور خاص، در قرون 4-5، یک اصطلاح خاص قبلاً در آثار نجوم دانشمند مشهور هندی آریابهاتا (476-حدود 550)، که اولین ماهواره هندوی زمین به نام او نامگذاری شد، به وجود آمد. او این بخش را ardhajiva (اردا-نیم، جیوا-رشته، شکسته ای که شبیه یک محور است) نامید. بعداً نام مخفف تر جیوا به کار گرفته شد. ریاضیدانان عرب در قرن نهم. واژه جیوا (یا جیبا) با کلمه عربی جایب (تعرفه) جایگزین شد. در طول انتقال متون ریاضی عربی به قرن دوازدهم. این کلمه با سینوس لاتین (sinus-bend) جایگزین شد (شکل 4).

1.4. ظهور کسینوس

تعریف و منشأ اصطلاح "کسینوس" بیشتر ماهیت کوتاه مدت و کوتاه مدت دارد. منظور ما از کسینوس "سینوس اضافی" است (یا در غیر این صورت "سینوس قوس اضافی"؛ cosα= sin (90° - a) را به خاطر بسپارید). حقیقت جالباین است که اولین روش برای حل مثلث، که بر اساس رابطه بین اضلاع و زوایای مثلث است، توسط هیپارکوس منجم یونانی باستان در قرن دوم قبل از میلاد پیدا شد. این مطالعه نیز توسط کلودیوس بطلمیوس انجام شد. به تدریج، حقایق جدیدی در مورد رابطه بین نسبت اضلاع یک مثلث و زوایای آن ظاهر شد و تعریف جدیدی شروع شد - تابع مثلثاتی.

کمک قابل توجهی در شکل گیری مثلثات توسط متخصصان عرب البتانی (850-929) و ابوالوفا، محمد بن محمد (940-998) انجام شد که جداول سینوس ها و مماس ها را با استفاده از 10' با دقت جمع آوری کردند. تا 1/604. قضیه سینوس قبلاً توسط پروفسور هندی بهاسکرا (متولد 1114، سال مرگ نامعلوم) و منجم و دانشمند آذربایجانی نصیرالدین طوسی محمد (1201-1274) شناخته شده بود. علاوه بر این، نصیرالدین طوسی در اثر خود «کار بر چهارضلعی کامل»، مثلثات مستقیم و کروی را به عنوان یک رشته مستقل توصیف کرده است (شکل 4).

1.5. پیدایش مماس و کتانژانت

مماس ها در ارتباط با نتیجه گیری مشکل ایجاد طول سایه به وجود آمدند. مماس (و همچنین کتانژانت) در قرن دهم توسط حساب‌دان عرب، ابوالوفا، که جداول اولیه را برای یافتن مماس‌ها و مماس‌ها جمع‌آوری کرد، تأسیس شد. اما این اکتشافات برای دانشمندان اروپایی برای مدت طولانی ناشناخته ماند و مماس ها تنها در قرن چهاردهم توسط ریاضیدان و ستاره شناس آلمانی Regimontanus (1467) دوباره کشف شد. او قضیه مماس را استدلال کرد. Regiomontanus همچنین جداول مثلثاتی دقیق را گردآوری کرد. به لطف آثار او، مثلثات صفحه و کروی به یک رشته مستقل در اروپا تبدیل شد.

نام "مماس" که از کلمه لاتین tanger (لمس کردن) می آید، در سال 1583 به وجود آمد. Tangens به عنوان "لمس کردن" ترجمه شده است (خط مماس ها مماس با دایره واحد).
مثلثات در آثار اخترشناسان برجسته نیکلاوس کوپرنیک (1473-1543)، تیکو براهه (1546-1601) و یوهانس کپلر (1571-1630) و همچنین در آثار ریاضیدان فرانسوا ویتا (1530-1540) شکل گرفت. که با استفاده از سه داده مشکل را در تعیین مطلقاً تمام اجزای یک مثلث مسطح یا کروی حل کرد (شکل 4).

1.6 توسعه بیشتر مثلثات

برای مدت طولانی، مثلثات شکل منحصراً هندسی داشت، یعنی داده هایی که ما در حال حاضر در تعاریف توابع مثلثاتی فرموله می کنیم، با پشتیبانی از مفاهیم و عبارات هندسی فرموله و استدلال می شد. به این ترتیب در قرون وسطی وجود داشته است، اگرچه گاهی اوقات روش های تحلیلی نیز در آن به کار می رفته است، به ویژه پس از پیدایش لگاریتم. شاید حداکثر انگیزه برای شکل گیری مثلثات در ارتباط با حل مسائل نجوم ظاهر شد که علاقه مثبت زیادی به همراه داشت (به عنوان مثال، به منظور حل مشکلات تعیین مکان کشتی، پیش بینی خاموشی و غیره). ستاره شناسان به روابط بین اضلاع و زوایای مثلث های کروی علاقه مند بودند. و حسابداران دوران باستان با موفقیت با سؤالات مطرح شده کنار آمدند.

از قرن هفدهم، توابع مثلثاتی برای حل معادلات، سوالات مکانیک، اپتیک، الکتریسیته، مهندسی رادیو، به منظور نمایش اعمال نوسانی، انتشار موج، حرکت عناصر مختلف، مطالعه جریان گالوانیکی متناوب و غیره شروع به استفاده کردند. به همین دلیل، توابع مثلثاتی به طور جامع و عمیق مورد مطالعه قرار گرفته اند و برای کل ریاضیات اهمیت قابل توجهی یافته اند.

نظریه تحلیلی توابع مثلثاتی عمدتاً توسط ریاضیدان برجسته قرن هجدهم، لئونارد اویلر (1707-1783)، یکی از اعضای آکادمی علوم سن پترزبورگ ایجاد شد. میراث علمی عظیم اویلر شامل نتایج درخشان مربوط به تجزیه و تحلیل ریاضی، هندسه، نظریه اعداد، مکانیک و سایر کاربردهای ریاضیات است. این اویلر بود که برای اولین بار تعاریف شناخته شده توابع مثلثاتی را معرفی کرد، شروع به در نظر گرفتن توابع با زاویه دلخواه کرد و فرمول های کاهش را به دست آورد. پس از اویلر، مثلثات شکل حساب دیفرانسیل و انتگرال به خود گرفت: حقایق مختلف از طریق کاربرد رسمی فرمول های مثلثات شروع به اثبات کردند، اثبات ها بسیار فشرده تر و ساده تر شدند.

بنابراین، مثلثات، که به عنوان علم حل مثلث آغاز شد، در نهایت به علم توابع مثلثاتی تبدیل شد.

بعداً، بخشی از مثلثات که به بررسی خواص توابع مثلثاتی و وابستگی های بین آنها می پردازد، گونیا متری نامیده شد (به عنوان علم اندازه گیری زوایا ترجمه شده از یونانی gwnia - زاویه، مترو - من اندازه گیری می کنم). اصطلاح گونیومتری اخیراً به ندرت مورد استفاده قرار گرفته است.

2. مثلثات و زندگی واقعی

جامعه مدرنبا تغییرات مداوم، اکتشافات و ایجاد اختراعات با فناوری پیشرفته که زندگی ما را بهبود می بخشد مشخص می شود. مثلثات با فیزیک، زیست شناسی، ریاضیات، پزشکی، ژئوفیزیک، ناوبری، علوم کامپیوتر ملاقات و تعامل دارد.

بیایید به ترتیب به تعاملات در هر صنعت نگاهی بیندازیم.

2.1. ناوبری

اولین نکته ای که کاربرد و مزایای مثلثات را برای ما توضیح می دهد، ارتباط آن با ناوبری است. منظور از ناوبری علمی است که هدف آن مطالعه و ایجاد راحت ترین و مفیدترین راه های جهت یابی است. بنابراین، دانشمندان در حال توسعه ناوبری ساده هستند، که شامل ساخت یک مسیر از یک نقطه به نقطه دیگر، ارزیابی آن و انتخاب بهترین گزینه از بین همه موارد پیشنهادی است. این مسیرها برای دریانوردانی که در طول سفر با مشکلات، موانع و سوالات زیادی در مورد مسیر سفر مواجه می شوند ضروری است. ناوبری نیز ضروری است: خلبانانی که با هواپیماهای پیچیده و با تکنولوژی پیشرفته پرواز می کنند، گاهی اوقات در مسیرهای بسیار زیاد حرکت می کنند. موقعیت های شدید; فضانوردانی که کارشان شامل خطر جانی، ساخت مسیر پیچیده و توسعه آن است. بیایید مفاهیم و وظایف زیر را با جزئیات بیشتری مطالعه کنیم. به عنوان یک مشکل، می‌توانیم شرایط زیر را تصور کنیم: مختصات جغرافیایی را می‌دانیم: طول و عرض جغرافیایی بین نقاط A و B در سطح زمین. لازم است که بیشترین میانبربین نقاط A و B در امتداد سطح زمین (شعاع زمین شناخته شده در نظر گرفته می شود: R = 6371 کیلومتر).

ما همچنین می توانیم راه حلی برای این مشکل تصور کنیم، یعنی: ابتدا توضیح می دهیم که عرض جغرافیایی یک نقطه M در سطح زمین، مقدار زاویه ای است که توسط شعاع OM تشکیل شده است، جایی که O مرکز زمین است، با استوا. صفحه: ≤ و در شمال خط استوا عرض جغرافیایی مثبت و در جنوب منفی در نظر گرفته می شود. برای طول نقطه M مقدار زاویه دو وجهی عبور در صفحات COM و SON را می گیریم. منظور ما از C قطب شمالزمین. همانطور که H نقطه مربوط به رصدخانه گرینویچ را درک می کنیم: ≤ (در شرق نصف النهار گرینویچ، طول جغرافیایی مثبت در نظر گرفته می شود، به سمت غرب - منفی). همانطور که می دانیم، کوتاه ترین فاصله بین نقاط A و B در سطح زمین با طول کوچکترین کمان دایره بزرگی که A و B را به هم متصل می کند نشان داده می شود. ترجمه از یونانی، این اصطلاح به عنوان زاویه راست درک می شود. به همین دلیل، وظیفه ما تعیین طول ضلع AB مثلث کروی ABC است، جایی که C به قطب شمال اشاره دارد.

یک مثال جالبرا می توان به شرح زیر توصیف کرد. هنگام ایجاد مسیر توسط ملوانان، کار دقیق و پر زحمت لازم است. بنابراین، برای ترسیم مسیر کشتی بر روی نقشه، که در طرح ریزی گرهارد مرکاتور در سال 1569 ساخته شد، نیاز فوری به تعیین عرض جغرافیایی وجود داشت. با این حال، هنگام رفتن به دریا، در مکان‌هایی تا قرن هفدهم، دریانوردان عرض جغرافیایی را نشان نمی‌دادند. ادموند گانتر (1623) اولین کسی بود که از محاسبات مثلثاتی در ناوبری استفاده کرد.

با کمک آن، مثلثات، خلبانان می توانند خطاهای باد را برای کنترل دقیق و ایمن هواپیما محاسبه کنند. برای انجام این محاسبات به مثلث سرعت اشاره می کنیم. این مثلث سرعت هوا (V)، بردار باد (W) و بردار سرعت زمین (Vp) حاصل را بیان می کند. PU زاویه سمت، UV زاویه باد، KUV زاویه سمت باد است (شکل 5).

برای آشنایی با نوع رابطه بین عناصر مثلث ناوبری سرعت، باید به زیر نگاه کنید:

Vp =V cos US + W cos UV; sin CV = * sin CV, tg CV

برای حل مثلث ناوبری سرعت ها از دستگاه های محاسبه با استفاده از خط کش ناوبری و محاسبات ذهنی استفاده می شود.

2.2.جبر

حوزه بعدی تعامل بین مثلثات جبر است. به لطف توابع مثلثاتی است که معادلات و مسائل بسیار پیچیده ای که نیاز به محاسبات بزرگ دارند حل می شوند.

همانطور که می دانیم در تمام مواردی که نیاز به تعامل با فرآیندها و نوسانات دوره ای است، به استفاده از توابع مثلثاتی می رسیم. مهم نیست که چیست: آکوستیک، اپتیک یا چرخش آونگ.

2.3.فیزیک

علاوه بر جهت یابی و جبر، مثلثات تأثیر و تأثیر مستقیمی در فیزیک دارد. وقتی اجسام در آب غوطه ور می شوند، به هیچ وجه شکل و حجم خود را تغییر نمی دهند. راز کامل یک جلوه بصری است که دید ما را مجبور می کند یک شی را متفاوت درک کند. ساده فرمول های مثلثاتیو مقادیر سینوس زاویه تابش و شکست نیم خط احتمال محاسبه ضریب شکست ثابت را هنگام عبور پرتو نور از کره ای به کره دیگر فراهم می کند. به عنوان مثال، رنگین کمان به این دلیل ظاهر می شود که نور خورشید در قطرات آب معلق در هوا مطابق قانون شکست شکسته می شود:

sin α / sin β = n1 / n2

که در آن: n1 ضریب شکست اولین محیط است. n2 ضریب شکست محیط دوم است. α-زاویه بروز، β-زاویه شکست نور.

عناصر باردار وارد جو فوقانی سیارات باد خورشیدیتوسط تعامل تعیین می شود میدان مغناطیسیزمین با باد خورشیدی

نیروی وارد بر یک ذره باردار که در ناحیه مغناطیسی حرکت می کند، نیروی لورنتس نامیده می شود. با بار ذره و حاصل ضرب بردار میدان و سرعت ذره متناسب است.

با آشکار شدن جنبه های کاربردی استفاده از مثلثات در فیزیک، مثالی را بیان می کنیم. این مشکل باید با استفاده از فرمول های مثلثاتی و روش های حل حل شود. شرایط مشکل: جسمی با وزن 90 کیلوگرم در یک صفحه شیبدار با زاویه 24.5 درجه قرار دارد. باید پی برد که جسم چه نیرویی بر روی صفحه شیب اعمال فشار دارد (یعنی چه فشاری روی این صفحه اعمال می کند) (شکل 6).

پس از تعیین محورهای X و Y، ابتدا با استفاده از این فرمول شروع به ساخت پیش بینی نیروها روی محور می کنیم:

ma = N + mg، سپس به شکل نگاه کنید،

X: ma = 0 + mg sin24.50

Y: 0 = N – mg cos24.50

جرم را جایگزین می کنیم و متوجه می شویم که نیرو 819 نیوتن است.

جواب: 819 نیوتن

2.4. پزشکی، زیست شناسی و بیوریتم

چهارمین حوزه ای که مثلثات در آن تأثیر و کمک عمده ای دارد در دو حوزه پزشکی و زیست شناسی است.

یکی از ویژگی های اساسی طبیعت زنده، ماهیت چرخه ای اکثر فرآیندهایی است که در آن اتفاق می افتد. بین حرکت اجرام آسمانی و موجودات زنده روی زمین ارتباط وجود دارد. موجودات زنده نه تنها نور و گرمای خورشید و ماه را جذب می کنند، بلکه مکانیسم های مختلفی نیز دارند که موقعیت خورشید را با دقت تعیین می کنند، به ریتم جزر و مد، مراحل ماه و حرکت سیاره ما پاسخ می دهند.

ریتم های بیولوژیکی، بیوریتم ها، تغییرات کم و بیش منظم در ماهیت و شدت فرآیندهای بیولوژیکی هستند. توانایی ایجاد چنین تغییراتی در فعالیت های زندگی ارثی است و تقریباً در همه موجودات زنده یافت می شود. آنها را می توان در سلول ها، بافت ها و اندام ها، کل موجودات و جمعیت ها مشاهده کرد. بیوریتم ها به دو دسته تقسیم می شوند فیزیولوژیکی, دارای دوره هایی از کسری از ثانیه تا چند دقیقه و محیطی،مدت زمان منطبق با هر ریتم محیط. اینها شامل ریتم های روزانه، فصلی، سالانه، جزر و مدی و قمری است. ریتم اصلی زمین روزانه است که با چرخش زمین به دور محور آن تعیین می شود، بنابراین تقریباً تمام فرآیندهای موجود در یک موجود زنده دارای تناوب روزانه هستند.

یک دسته از فاکتورهای محیطیدر سیاره ما، عمدتاً رژیم نور، دما، فشار و رطوبت هوا، میدان اتمسفر و الکترومغناطیسی، جزر و مد دریا، به طور طبیعی تحت تأثیر این چرخش تغییر می کنند.

ما هفتاد و پنج درصد آب هستیم و اگر در لحظه ی کامل شدن ماه، آب اقیانوس های جهان 19 متر از سطح دریا بالا بیاید و جزر و مد شروع شود، آن گاه آب بدن ما نیز به سمت قسمت های بالای بدن ما می رود. و افراد مبتلا به فشار خون بالا اغلب در این دوره‌ها تشدید بیماری را تجربه می‌کنند و طبیعت‌شناسانی که گیاهان دارویی را جمع‌آوری می‌کنند دقیقاً می‌دانند که در کدام مرحله از ماه "بالاها - (میوه‌ها)" و در کدام مرحله "ریشه‌ها" را جمع آوری کنند.

آیا متوجه شده اید که در دوره های خاصی زندگی شما جهش های غیرقابل توضیحی را طی می کند؟ ناگهان، از هیچ، احساسات سرریز می شوند. حساسیت افزایش می یابد، که می تواند ناگهان جای خود را به بی علاقگی کامل بدهد. روزهای خلاقانه و بی ثمر، لحظات شاد و ناخوش، تغییرات خلقی ناگهانی. اشاره شده است که توانایی های بدن انسان به طور دوره ای تغییر می کند. این دانش زیربنای "نظریه سه بیوریتم" است.

بیوریتم فیزیکی - فعالیت بدنی را تنظیم می کند. در نیمه اول چرخه بدنی، فرد پرانرژی است و در فعالیت های خود به نتایج بهتری می رسد (نیمه دوم - انرژی جای خود را به تنبلی می دهد).

ریتم عاطفی - در طول دوره های فعالیت آن، حساسیت افزایش می یابد و خلق و خوی بهبود می یابد. فرد در برابر بلایای مختلف بیرونی هیجان انگیز می شود. اگر حالش خوب باشد، در هوا قلعه می سازد، آرزوی عاشقی می کند و عاشق می شود. هنگامی که بیوریتم عاطفی کاهش می یابد، قدرت ذهنی کاهش می یابد، میل و خلق و خوی شاد از بین می رود.

بیوریتم فکری - حافظه، توانایی یادگیری و تفکر منطقی را کنترل می کند. در مرحله فعالیت افزایش می یابد و در مرحله دوم فعالیت خلاق کاهش می یابد، شانس و موفقیت وجود ندارد.

نظریه سه ریتم:

· چرخه فیزیکی - 23 روز. انرژی، قدرت، استقامت، هماهنگی حرکت را تعیین می کند

· چرخه عاطفی - 28 روز. حالت سیستم عصبیو خلق و خوی

· چرخه فکری - 33 روز. توانایی خلاقیت فرد را مشخص می کند

مثلثات در طبیعت نیز وجود دارد. حرکت ماهی در آب طبق قانون سینوس یا کسینوس انجام می شود، اگر نقطه ای را روی دم ثابت کنید و سپس مسیر حرکت را در نظر بگیرید. هنگام شنا، بدن ماهی به شکل منحنی شبیه نمودار تابع y=tgx است.

هنگامی که یک پرنده پرواز می کند، مسیر بال های تکان دهنده یک سینوسی تشکیل می دهد.

مثلثات در پزشکی در نتیجه تحقیقات انجام شده توسط وحیدرضا عباسی دانشجوی دانشگاه ایرانیان شیراز، پزشکان برای اولین بار توانستند اطلاعات مربوط به فعالیت الکتریکیقلب یا به عبارت دیگر الکتروکاردیوگرافی.

این فرمول که تهران نام دارد در چهاردهمین کنفرانس پزشکی جغرافیایی و سپس در بیست و هشتمین کنفرانس استفاده از فناوری رایانه در قلب و عروق که در هلند برگزار شد، به عموم جامعه علمی ارائه شد.

این فرمول یک معادله جبری-مثلثی پیچیده است که از 8 عبارت، 32 ضریب و 33 پارامتر اصلی، شامل چندین پارامتر اضافی برای محاسبات در موارد آریتمی تشکیل شده است. به گفته پزشکان، این فرمول تا حد زیادی روند توصیف پارامترهای اصلی فعالیت قلب را تسهیل می کند و در نتیجه تشخیص و شروع خود درمان را تسریع می بخشد.

بسیاری از افراد باید کاردیوگرام قلب را انجام دهند، اما تعداد کمی می دانند که کاردیوگرام قلب انسان یک نمودار سینوس یا کسینوس است.

مثلثات به مغز ما کمک می کند تا فاصله اشیاء را تعیین کند. دانشمندان آمریکایی ادعا می کنند که مغز با اندازه گیری زاویه بین صفحه زمین و صفحه دید، فاصله اشیاء را تخمین می زند. این نتیجه گیری پس از یک سری آزمایش انجام شد که در آن از شرکت کنندگان خواسته شد که به آن ها نگاه کنند جهاناز طریق منشورهایی که این زاویه را افزایش می دهند.

این اعوجاج منجر به این واقعیت شد که حاملان منشور تجربی اجسام دور را نزدیک‌تر می‌دانستند و نمی‌توانستند با ساده‌ترین آزمایش‌ها کنار بیایند. برخی از شرکت کنندگان در آزمایش ها حتی به جلو خم شدند و سعی کردند بدن خود را عمود بر سطح تصور نادرست زمین تراز کنند. با این حال، پس از 20 دقیقه آنها به درک تحریف شده عادت کردند و همه مشکلات ناپدید شدند. این شرایط نشان‌دهنده انعطاف‌پذیری مکانیسمی است که توسط آن مغز سیستم بینایی را با شرایط خارجی تغییر می‌دهد. جالب است بدانید که پس از برداشتن منشورها، مدتی مشاهده شد اثر معکوس- تخمین بیش از حد فاصله

نتایج مطالعه جدید، همانطور که می‌توان حدس زد، برای مهندسانی که سیستم‌های ناوبری را برای روبات‌ها طراحی می‌کنند و همچنین متخصصانی که روی ایجاد واقعی‌ترین مدل‌های مجازی کار می‌کنند، جالب خواهد بود. کاربرد در زمینه پزشکی نیز امکان پذیر است، در توانبخشی بیماران مبتلا به آسیب به نواحی خاصی از مغز.

2.5. موسیقی

حوزه موسیقی نیز با مثلثات در تعامل است.

من اطلاعات جالبی را در مورد روش خاصی که به طور دقیق ارتباط بین مثلثات و موسیقی را فراهم می کند، به شما ارائه می کنم.

این روش تحلیل آثار موسیقایی «نظریه موسیقی هندسی» نامیده می شود. با کمک آن، ساختارها و دگرگونی های اساسی موسیقی به زبان هندسه مدرن ترجمه می شود.

هر یادداشت درون نظریه جدیدبه عنوان لگاریتم فرکانس صدای مربوطه نشان داده می شود (به عنوان مثال، نت "C" اکتاو اول مربوط به عدد 60، اکتاو با عدد 12 است). بنابراین وتر به عنوان یک نقطه با مختصات داده شده در فضای هندسی نشان داده می شود. آکوردها به «خانواده‌های» مختلف گروه‌بندی می‌شوند که با انواع مختلف فضاهای هندسی مطابقت دارند.

هنگام توسعه یک روش جدید، نویسندگان از 5 نوع تبدیل موسیقی شناخته شده استفاده کردند که قبلاً در تئوری موسیقی در هنگام طبقه بندی دنباله های صدا در نظر گرفته نشده بود - جایگشت اکتاو (O)، جایگشت (P)، جابجایی (T)، وارونگی (I) و تغییر در کاردینالیته (C) . همه این دگرگونی ها، همانطور که نویسندگان می نویسند، تقارن های به اصطلاح OPTIC را در فضای n بعدی تشکیل می دهند و اطلاعات موسیقی در مورد آکورد را ذخیره می کنند - نت های آن در کدام اکتاو قرار دارند، در چه ترتیبی نواخته می شوند، چند بار تکرار می شوند. و غیره. با استفاده از تقارن های OPTIC، آکوردهای مشابه اما نه یکسان و توالی آنها طبقه بندی می شوند.

نویسندگان مقاله نشان می‌دهند که ترکیب‌های مختلف این 5 تقارن ساختارهای موسیقایی مختلفی را تشکیل می‌دهند، که برخی از آنها قبلاً در تئوری موسیقی شناخته شده‌اند (به عنوان مثال، یک دنباله آکورد با عبارات جدیدی به عنوان OPC بیان می‌شود)، در حالی که برخی دیگر اساساً هستند. مفاهیم جدیدی که شاید توسط آهنگسازان آینده پذیرفته شود.

به عنوان مثال، نویسندگان یک نمایش هندسی از انواع مختلف آکوردهای چهار صدا ارائه می دهند - چهار وجهی. کره های روی نمودار نشان دهنده انواع آکوردها هستند، رنگ کره ها با اندازه فواصل بین صداهای آکورد مطابقت دارد: آبی - فواصل کوچک، زنگ های گرم تر - صداهای "کمتر" آکورد. کره قرمز هماهنگ ترین آکورد با فواصل مساوی بین نت ها است که در میان آهنگسازان قرن نوزدهم محبوبیت داشت.

روش "هندسی" تجزیه و تحلیل موسیقی، به گفته نویسندگان این مطالعه، می تواند منجر به ایجاد آلات موسیقی اساساً جدید و روش های جدید تجسم موسیقی و همچنین ایجاد تغییراتی در روش های مدرن آموزش موسیقی و روش های مطالعه مختلف شود. سبک های موسیقی (کلاسیک، پاپ، راک) موسیقی و غیره). اصطلاحات جدید همچنین به مقایسه عمیق‌تر آثار موسیقی آهنگسازان دوره‌های مختلف و ارائه نتایج تحقیقات به شکل ریاضی راحت‌تر کمک می‌کند. به عبارت دیگر، پیشنهاد می شود جوهر ریاضی آنها را از آثار موسیقی جدا کرد.

فرکانس های مربوط به همان نت در اول، دوم و غیره. اکتاوها، به صورت 1:2:4:8... بر اساس افسانه هایی که از دوران باستان آمده است، اولین کسانی که سعی کردند این کار را انجام دهند فیثاغورث و شاگردانش بودند.

مقیاس دیاتونیک 2:3:5 (شکل 8).

2.6. انفورماتیک

مثلثات با تأثیری که داشت، علم کامپیوتر را دور نزند. بنابراین، توابع آن برای محاسبات دقیق قابل استفاده است. با تشکر از این نقطه، ما می توانیم هر تابع (به یک معنا "خوب") را با گسترش آن به یک سری فوریه تقریب بزنیم:

a0 + a1 cos x + b1 sin x + a2 cos 2x + b2 sin 2x + a3 cos 3x + b3 sin 3x + ...

فرآیند انتخاب یک عدد به مناسب ترین روش، اعداد a0، a1، b1، a2، b2، ... را می توان به شکل چنین مجموع (بی نهایت) تقریباً با هر تابعی در رایانه با دقت مورد نیاز

مثلثات نقش و کمک جدی در توسعه و فرآیند کار با اطلاعات گرافیکی دارد. اگر شما نیاز به شبیه سازی یک فرآیند، با توضیح در فرم الکترونیکی، با چرخش یک جسم خاص حول یک محور خاص دارید. چرخش در یک زاویه خاص رخ می دهد. برای تعیین مختصات نقاط، باید در سینوس و کسینوس ضرب کنید.

بنابراین، می‌توانیم مثالی از جاستین ویندل، برنامه‌نویس و طراح شاغل در Google Grafika Lab بزنیم. او یک نسخه نمایشی منتشر کرد که نمونه ای از استفاده از توابع مثلثاتی برای ایجاد انیمیشن پویا را نشان می دهد.

2.7 حوزه ساخت و ساز و ژئودزی

شاخه جالبی که با مثلثات در تعامل است، رشته ساخت و ساز و ژئودزی است. طول اضلاع و مقادیر زوایای یک مثلث دلخواه در صفحه با روابط خاصی با یکدیگر مرتبط هستند که مهمترین آنها قضایای کسینوس و سینوس نامیده می شوند. فرمول های حاوی a، b، c نشان می دهد که حروف با اضلاع مثلث نشان داده می شوند که به ترتیب در مقابل زوایای A، B، C قرار دارند. این فرمول ها سه عنصر مثلث - طول اضلاع و زوایا را مجاز می دانند. - برای بازیابی سه عنصر باقی مانده. آنها در حل مسائل عملی، به عنوان مثال در ژئودزی استفاده می شوند.

تمام ژئودزی "کلاسیک" بر اساس مثلثات است. از آنجایی که، در واقع، از زمان های قدیم، نقشه برداران به "حل" مثلث ها علاقه مند بوده اند.

فرآیند برپایی ساختمان‌ها، مسیرها، پل‌ها و سایر ساختمان‌ها با بررسی و بررسی آغاز می‌شود کار طراحی. بدون استثنا، تمام اندازه‌گیری‌ها در یک سایت ساخت‌وساز با پشتیبانی ابزارهای ژئودتیک، مانند ایستگاه کل و سطح مثلثاتی انجام می‌شود. هنگام تسطیح مثلثاتی، اختلاف ارتفاع بین چند نقطه از سطح زمین تعیین می شود.

2.8 مثلثات در هنر و معماری

از زمانی که انسان روی زمین شروع به زندگی کرد، علم مبنایی برای بهبود زندگی روزمره و سایر زمینه های زندگی شده است. پایه و اساس هر چیزی که انسان خلق می کند، حوزه های مختلفی در علوم طبیعی و ریاضی است. یکی از آنها هندسه است. معماری تنها رشته علمی نیست که در آن از فرمول های مثلثاتی استفاده می شود. بیشتر تصمیمات ترکیبی و ساخت نقشه ها دقیقاً با کمک هندسه صورت می گرفت. اما داده های نظری معنی کمی دارد. بیایید نمونه ای از ساخت یک مجسمه توسط یک استاد فرانسوی عصر طلایی هنر را در نظر بگیریم.

رابطه متناسب در ساخت مجسمه ایده آل بود. با این حال، هنگامی که مجسمه بر روی یک پایه بلند بلند شد، زشت به نظر می رسید. مجسمه ساز توجه نکرده است که در پرسپکتیو، به سمت افق، بسیاری از جزئیات کاهش می یابد و با نگاه از پایین به بالا، دیگر تصوری از ایده آل بودن آن ایجاد نمی شود. محاسبات زیادی انجام شد به طوری که رقم با ارتفاع بالامتناسب به نظر می رسید آنها عمدتاً بر اساس روش رؤیت، یعنی اندازه گیری تقریبی با چشم بودند. با این حال، ضریب اختلاف نسبت های خاص باعث شد تا این رقم به ایده آل نزدیک تر شود. بنابراین با دانستن فاصله تقریبی مجسمه تا نقطه دید، یعنی از بالای مجسمه تا چشمان فرد و ارتفاع مجسمه، می‌توان سینوس زاویه برخورد نما را با استفاده از جدول محاسبه کرد. بدین ترتیب نقطه نظر را پیدا می کند (شکل 9).

در شکل 10، وضعیت تغییر می کند، از آنجایی که مجسمه تا ارتفاع AC بالا می رود و NS افزایش می یابد، می توانیم مقادیر کسینوس زاویه C را محاسبه کنیم و از جدول زاویه برخورد نگاه را پیدا خواهیم کرد. در این فرآیند، می توانید AN، و همچنین سینوس زاویه C را محاسبه کنید، که به شما امکان می دهد نتایج را با استفاده از هویت مثلثاتی اولیه بررسی کنید. cos 2 یک + گناه 2 a = 1.

با مقایسه اندازه گیری های AN در حالت اول و دوم، می توان ضریب تناسب را پیدا کرد. متعاقباً یک نقاشی دریافت خواهیم کرد و سپس مجسمه ای را دریافت خواهیم کرد که وقتی بلند می شود، شکل از نظر بصری به ایده آل نزدیک تر می شود.

ساختمان های نمادین در سراسر جهان به لطف ریاضیات طراحی شده اند که می توان آن را نابغه معماری دانست. برخی از نمونه‌های معروف این ساختمان‌ها: مدرسه کودکان گائودی در بارسلونا، آسمان‌خراش مری تبر در لندن، شراب‌سازی Bodegas Isios در اسپانیا، رستوران در Los Manantiales در آرژانتین. هنگام طراحی این ساختمان ها، مثلثات مطرح بود.

نتیجه

پس از مطالعه نظری و جنبه های کاربردیمثلثات، متوجه شدم که این شاخه با بسیاری از علوم مرتبط است. در همان ابتدا، مثلثات برای ایجاد و اندازه گیری بین زوایا مورد نیاز بود. با این حال، متعاقباً اندازه گیری ساده زوایا به یک علم کامل تبدیل شد که توابع مثلثاتی را مطالعه می کند. ما می‌توانیم حوزه‌های زیر را شناسایی کنیم که در آنها ارتباط نزدیکی بین مثلثات و فیزیک معماری، طبیعت، پزشکی و زیست‌شناسی وجود دارد.

بنابراین، به لطف توابع مثلثاتی در پزشکی، فرمول قلب کشف شد که یک برابری پیچیده جبری-مثلثی است که از 8 عبارت، 32 ضریب و 33 پارامتر اساسی، از جمله امکان محاسبات اضافی در هنگام بروز آریتمی تشکیل شده است. این کشف به پزشکان کمک می کند تا مراقبت های پزشکی واجد شرایط و باکیفیت تر را ارائه دهند.

همچنین توجه داشته باشیم. که تمام ژئودزی کلاسیک مبتنی بر مثلثات است. از آنجایی که، در واقع، از زمان های قدیم، نقشه برداران به حل مثلث ها مشغول بوده اند. فرآیند ساخت ساختمان ها، جاده ها، پل ها و سایر سازه ها با کار نقشه برداری و طراحی آغاز می شود. تمام اندازه گیری ها در یک سایت ساخت و ساز با استفاده از ابزار نقشه برداری مانند تئودولیت و سطح مثلثاتی انجام می شود. با تسطیح مثلثاتی، اختلاف ارتفاع بین چند نقطه از سطح زمین مشخص می شود.

با آشنایی با تأثیر آن در سایر زمینه ها، می توان نتیجه گرفت که مثلثات به طور فعال بر زندگی انسان تأثیر می گذارد. ارتباط بین ریاضیات و دنیای خارج به ما امکان می دهد دانش دانش آموزان مدرسه را "مادی" کنیم. به لطف این، ما می توانیم دانش و اطلاعاتی را که در مدرسه به ما آموزش داده می شود، به اندازه کافی درک و جذب کنیم.

هدف پروژه من با موفقیت انجام شد. من تأثیر مثلثات در زندگی و ایجاد علاقه به آن را مطالعه کردم.

برای رسیدن به این هدف، وظایف زیر را انجام دادیم:

1. با تاریخچه شکل گیری و توسعه مثلثات آشنا شدیم.

2. نمونه هایی از تأثیر عملی مثلثات در زمینه های مختلف فعالیت;

3. با مثال امکانات مثلثات و کاربرد آن در زندگی انسان را نشان داد.

مطالعه تاریخچه پیدایش این صنعت به برانگیختن علاقه دانش آموزان، شکل گیری جهان بینی صحیح و افزایش آن کمک می کند. فرهنگ عمومیدانش آموز دبیرستان.

این کار برای دانش آموزان دبیرستانی که هنوز زیبایی مثلثات را ندیده اند و با حوزه های کاربرد آن در زندگی اطراف خود آشنا نیستند مفید خواهد بود.

کتابشناسی - فهرست کتب

گلیزر جی.آی.

گلیزر جی.آی.

ریبنیکوف K.A.

کتابشناسی - فهرست کتب

A.N. کولموگروف، A.M. آبراموف، یو.پی. Dudnitsin و همکاران "جبر و اصول تجزیه و تحلیل" کتاب درسی برای پایه های 10-11 موسسات آموزشی، م.، آموزش و پرورش، 1392.

گلیزر جی.آی.تاریخچه ریاضیات در مدرسه: کلاس های هفتم تا هشتم. - م.: آموزش و پرورش، 2012.

گلیزر جی.آی.تاریخچه ریاضیات در مدرسه: پایه های نهم تا دهم. - م.: آموزش و پرورش، 2013.

ریبنیکوف K.A.تاریخچه ریاضیات: کتاب درسی. - M.: انتشارات دانشگاه دولتی مسکو، 1994. مسائل Olehnik در جبر، مثلثات و توابع ابتدایی / Olehnik، S.N. و. - م.: دانشکده تحصیلات تکمیلی، 2016. - 134 ص.

اولهنیک، اس.ن. مسائل جبر، مثلثات و توابع ابتدایی / S.N. اولهنیک. - م.: دبیرستان، 2013. - 645 ص.

پوتاپوف، م.ک. جبر، مثلثات و توابع ابتدایی / م.ک. پوتاپوف. - م.: دبیرستان، 2014. - 586 ص.

پوتاپوف، م.ک. جبر. مثلثات و توابع ابتدایی / م.ک. پوتاپوف، وی. الکساندروف، پی.آی. پاسیچنکو - م.: [مشخص نشده]، 2015. - 762 ص.

پیوست 1

عکس. 1تصویر هرمی محاسبه شیب ب / ساعت

گونیومتر Seked که در نمای کلیفرمول مصری برای محاسبه sekeda هرم به نظر می رسد بنابراین:.

اصطلاح مصر باستان " دومین" زاویه تمایل را نشان داد. در سراسر ارتفاع قرار داشت و به نصف پایه تقسیم می شد. "طول هرم در ضلع شرقی 360 (ذراع)، ارتفاع آن 250 (ذراع) است. باید شیب ضلع شرقی را محاسبه کنید. برای این کار نصف 360 یعنی 180 را بگیرید. 180 را بر تقسیم کنید. 250. دریافت خواهید کرد: 1 / 2 , 1 / 5 , 1 / 50 آرنج. به خاطر داشته باشید که یک ذراع برابر با 7 پهنای کف دست است. حالا اعداد به دست آمده را به صورت زیر در 7 ضرب کنید: شکل 2گنومون شکل 3 تعیین ارتفاع زاویه ای خورشید شکل 4 فرمول های اصلی مثلثات شکل 5 ناوبری در مثلثات شکل 6 فیزیک در مثلثات Fig.7 نظریه سه ریتم (چرخه فیزیکی - 23 روز. انرژی، قدرت، استقامت، هماهنگی حرکت را تعیین می کند. چرخه احساسی 28 روز است. وضعیت سیستم عصبی و خلق و خوی؛ چرخه فکری - 33 روز. توانایی خلاقیت فرد را مشخص می کند) برنج. 8 مثلثات در موسیقی شکل 9، 10 مثلثات در معماری

مدرسه متوسطه MBOU Tselinnaya

مثلثات را در زندگی واقعی گزارش دهید

تهیه و اجرا شد

معلم ریاضی

دسته صلاحیت

Ilyina V. P.

روستای Tselinny مارس 2014

فهرست مطالب.

1. معرفی .

2. تاریخچه ایجاد مثلثات:

قرون اولیه.

یونان باستان.

قرون وسطی.

زمان جدید.

از تاریخچه توسعه هندسه کروی.

3. مثلثات و زندگی واقعی:

کاربرد مثلثات در ناوبری.

مثلثات در جبر.

مثلثات در فیزیک.

مثلثات در پزشکی و زیست شناسی.

مثلثات در موسیقی

مثلثات در علوم کامپیوتر

مثلثات در ساخت و ساز و ژئودزی.

4. نتیجه گیری .

5. فهرست مراجع.

معرفی

از قدیم الایام در ریاضیات رایج بوده است که در هنگام مطالعه سیستماتیک ریاضیات، ما دانش آموزان باید سه بار با مثلثات روبرو شویم. بر این اساس، به نظر می رسد محتوای آن از سه بخش تشکیل شده است. در حین آموزش، این بخش ها از نظر زمانی از یکدیگر جدا می شوند و هم از نظر معنای سرمایه گذاری شده در توضیح مفاهیم اساسی و هم در دستگاه در حال توسعه و در عملکردهای خدماتی (کاربردها) مشابه یکدیگر نیستند.

در واقع، ما برای اولین بار در کلاس هشتم هنگام مطالعه مبحث "روابط بین اضلاع و زوایای یک مثلث قائم الزاویه" با مطالب مثلثاتی مواجه شدیم. بنابراین ما یاد گرفتیم که سینوس، کسینوس و مماس چیست و یاد گرفتیم که مثلث های صفحه را حل کنیم.

با این حال مدتی گذشت و در کلاس نهم دوباره به مثلثات بازگشتیم. اما این مثلثات مانند آنچه قبلا مورد مطالعه قرار گرفته بود نیست. روابط آن اکنون با استفاده از یک دایره (نیم دایره واحد) به جای مثلث قائم الزاویه تعیین می شود. اگرچه آنها هنوز به عنوان توابع زاویه تعریف می شوند، این زوایا در حال حاضر به طور دلخواه بزرگ هستند.

با رفتن به کلاس دهم، دوباره با مثلثات مواجه شدیم و دیدیم که پیچیده تر شده است، مفهوم اندازه گیری رادیانی زاویه معرفی شد و هویت های مثلثاتی، فرمول بندی مسائل و تفسیر راه حل های آنها متفاوت به نظر می رسید. . نمودارهای توابع مثلثاتی معرفی شده اند. در نهایت معادلات مثلثاتی ظاهر می شوند. و همه این مواد به عنوان بخشی از جبر در برابر ما ظاهر شد و نه به عنوان هندسه. و ما به مطالعه تاریخچه مثلثات، کاربرد آن در زندگی روزمره بسیار علاقه مند شدیم، زیرا استفاده از اطلاعات تاریخی توسط معلم ریاضی هنگام ارائه مطالب درسی اجباری نیست. با این حال، همانطور که K. A. Malygin اشاره می کند، "... گشت و گذار در گذشته تاریخی درس را زنده می کند، استرس روانی را تسکین می دهد، علاقه به مطالب مورد مطالعه را افزایش می دهد و به جذب جامد آن کمک می کند." علاوه بر این، مطالب در مورد تاریخ ریاضیات بسیار گسترده و جالب است، زیرا توسعه ریاضیات ارتباط تنگاتنگی با حل مسائل مبرمی دارد که در تمام دوره های وجود تمدن به وجود آمده است.

پس از آشنایی با دلایل تاریخی پیدایش مثلثات و مطالعه اینکه چگونه ثمرات کار دانشمندان بزرگ بر توسعه این حوزه از ریاضیات و حل مسائل خاص تأثیر گذاشته است، ما دانش آموزان مدرسه علاقه خود را به این موضوع افزایش می دهیم. در حال مطالعه است و ما اهمیت عملی آن را خواهیم دید.

هدف پروژه - ایجاد علاقه به مطالعه مبحث "مثلثات" در درس جبر و شروع تجزیه و تحلیل از طریق منشور. ارزش اعمال شدهمواد مورد مطالعه؛ گسترش نمایش های گرافیکی حاوی توابع مثلثاتی. استفاده از مثلثات در علومی مانند فیزیک، زیست شناسی و غیره.

ارتباط مثلثات با دنیای خارج، اهمیت مثلثات در حل بسیاری از مسائل عملی، و قابلیت های گرافیکی توابع مثلثاتی، امکان "ماده سازی" دانش دانش آموزان را فراهم می کند. این به شما امکان می دهد تا ضرورت حیاتی دانش به دست آمده از طریق مطالعه مثلثات را بهتر درک کنید و علاقه به مطالعه این موضوع را افزایش می دهد.

اهداف پژوهش:

1. تاریخچه پیدایش و توسعه مثلثات را در نظر بگیرید.

2. کاربردهای عملی مثلثات در علوم مختلف را با استفاده از مثال های خاص نشان دهید.

3. با استفاده از مثال‌های خاص، امکان استفاده از توابع مثلثاتی را آشکار کنید، که امکان تبدیل توابع "کم جالب" را به توابعی که نمودارهای آنها ظاهر بسیار اصلی دارند را می‌دهد.

"یک چیز روشن است: جهان به گونه ای تهدیدآمیز و زیبا ساخته شده است."

N. Rubtsov

مثلثات - این شاخه ای از ریاضیات است که در آن روابط بین مقادیر زاویه ها و طول اضلاع مثلث ها و همچنین هویت های جبری توابع مثلثاتی بررسی می شود. تصورش سخت است، اما ما نه تنها در درس ریاضیات، بلکه در زندگی روزمره خود نیز با این علم مواجه می شویم. شاید ما به آن مشکوک نبودیم، اما مثلثات در علومی مانند فیزیک، زیست‌شناسی یافت می‌شود، نقش مهمی در پزشکی ایفا می‌کند، و جالب‌تر از همه، حتی موسیقی و معماری هم نمی‌توانند بدون آن کار کنند. مسائل مربوط به محتوای عملی نقش مهمی در توسعه مهارت ها در به کارگیری دانش نظری به دست آمده در مطالعه ریاضیات در عمل دارد. هر دانشجوی ریاضی علاقه مند است که دانش کسب شده را چگونه و در کجا به کار گرفته شود. این اثر پاسخ این سوال را ارائه می دهد.

تاریخچه ایجاد مثلثات

قرون اولیه

اندازه گیری آشنای زاویه ها در درجه، دقیقه و ثانیه از ریاضیات بابلی سرچشمه می گیرد (معرفی این واحدها در ریاضیات یونان باستان معمولاً به قرن دوم قبل از میلاد نسبت داده می شود).

دستاورد اصلی این دوره رابطه بین پاها و هیپوتنوز در یک مثلث قائم الزاویه بود که بعداً این نام را دریافت کرد.

یونان باستان

یک ارائه کلی و منطقی منسجم از روابط مثلثاتی در هندسه یونان باستان ظاهر شد. ریاضیدانان یونانی هنوز مثلثات را به عنوان یک علم جداگانه شناسایی نکرده بودند؛ برای آنها این علم بخشی از نجوم بود.
دستاورد اصلی نظریه مثلثات باستانی، حل مسئله "حل مثلث" به شکل کلی بود، یعنی یافتن عناصر مجهول مثلث بر اساس سه عنصر داده شده آن (که حداقل یکی از آنها ضلع است).

قرون وسطی

در قرن چهارم، پس از مرگ علم باستان، مرکز توسعه ریاضیات به هند منتقل شد. آنها برخی از مفاهیم مثلثات را تغییر دادند و آنها را به مفاهیم مدرن نزدیک کردند: برای مثال، آنها اولین کسانی بودند که کسینوس را به کار گرفتند.
اولین رساله تخصصی در مورد مثلثات اثر دانشمند آسیای مرکزی (قرن X-XI) "کتاب کلیدهای علم نجوم" (995-996) بود. یک دوره کامل مثلثات شامل اثر اصلی بیرونی - "قانون مسعود" (کتاب سوم) بود. البیرونی علاوه بر جداول سینوس ها (با افزایش 15 اینچی)، جدول هایی از مماس ها (در افزایش 1 درجه) ارائه کرد.

پس از ترجمه رساله‌های عربی به لاتین در قرن‌های 12-13، بسیاری از ایده‌های ریاضیدانان هندی و ایرانی به مالکیت علم اروپایی درآمد. ظاهراً اولین آشنایی اروپاییان با مثلثات به لطف زیج صورت گرفت که دو ترجمه از آن در قرن دوازدهم انجام شد.

اولین اثر اروپایی که به طور کامل به مثلثات اختصاص یافته است، اغلب توسط یک ستاره شناس انگلیسی (حدود 1320) "چهار رساله در مورد آکوردهای مستقیم و وارونه" نامیده می شود. جداول مثلثاتی که اغلب از عربی ترجمه می شوند، اما گاهی اصلی هستند، در آثار تعدادی دیگر از نویسندگان قرن 14-15 آمده است. در همان زمان، مثلثات جای خود را در بین دروس دانشگاهی باز کرد.

زمان جدید

کلمه مثلثات برای اولین بار در سال 1505 در عنوان کتابی از الهیدان و ریاضیدان آلمانی پیتیسکوس آمده است که ریشه این کلمه یونانی است: مثلث، اندازه. به عبارت دیگر مثلثات علم اندازه گیری مثلث است. اگرچه این نام نسبتاً اخیراً بوجود آمده است، بسیاری از مفاهیم و حقایق مربوط به مثلثات از قبل از دو هزار سال پیش شناخته شده بودند.

مفهوم سینوس سابقه طولانی دارد. در واقع، نسبت های مختلفی از بخش های یک مثلث و یک دایره (و در اصل، توابع مثلثاتی) قبلاً در قرن هشتم یافت شده است. قبل از میلاد مسیح e در آثار ریاضیدانان بزرگ یونان باستان - اقلیدس، ارشمیدس، آپولونیوس پرگا. در طول دوره روم، این روابط قبلاً توسط منلائوس (سطح قبل از میلاد) کاملاً سیستماتیک مورد مطالعه قرار گرفته بود، اگرچه نام خاصی به دست نیاوردند. برای مثال، زاویه منهای مدرن، به عنوان حاصل ضرب نیم ووردی که زاویه مرکزی روی آن قرار دارد، یا به عنوان وتر قوس دوتایی مورد مطالعه قرار گرفت.

در دوره بعدی، ریاضیات به طور فعال توسط دانشمندان هندی و عرب برای مدت طولانی توسعه یافت. در ӀV- Vقرن ها به طور خاص، یک اصطلاح خاص در آثار ستاره شناسی دانشمند بزرگ هندی آریابهاتا (476-حدود 550) ظاهر شد، که به نام او اولین ماهواره هندی زمین نامگذاری شد.

بعداً نام کوتاهتر جیوا به کار گرفته شد. ریاضیدانان عرب در IایکسV. کلمه جیوا (یا جبه) با کلمه عربی جایب (تحدب) جایگزین شد. هنگام ترجمه متون ریاضی عربی بهXΙΙV. این کلمه با سینوس لاتین جایگزین شد(سینوسی-خم شدن، انحنا)

کلمه کسینوس بسیار جوانتر است. کسینوس مخفف عبارت لاتین استمتممسینوسی، به عنوان مثال "سینوس اضافی" (یا در غیر این صورت "سینوس قوس اضافی"؛ به یاد داشته باشیدcosآ= گناه(90 درجه - آ)).

وقتی با توابع مثلثاتی سروکار داریم، به طور قابل توجهی از وظیفه "اندازه گیری مثلث ها" فراتر می رویم. بنابراین، ریاضیدان معروف F. Klein (1849-1925) پیشنهاد کرد که دکترین توابع "مثلثاتی" را به طور متفاوت - گونومتری (زاویه) نامیده شود. با این حال، این نام مورد توجه قرار نگرفت.

مماس ها در ارتباط با حل مشکل تعیین طول یک سایه به وجود آمدند. مماس (و همچنین کاتانژانت، سکانت و کوسکانت) وارد می شودایکسV. ریاضیدان عرب ابوالوفا، که اولین جداول را برای یافتن مماس ها و مماس ها جمع آوری کرد. با این حال، این اکتشافات برای مدت طولانی برای دانشمندان اروپایی ناشناخته باقی ماند و مماس ها دوباره درXΙVV. ابتدا توسط دانشمند انگلیسی T. Braverdin، و بعد توسط ریاضیدان و ستاره شناس آلمانی Regiomontanus (1467). نام "مماس" از لاتین گرفته شده استتانگر(لمس)، در سال 1583 ظاهر شدمماس هاترجمه شده به عنوان "مماسی" (به یاد داشته باشید: خط مماس مماس بر دایره واحد است)

نامگذاری های مدرنآرکسینو arctgدر سال 1772 در آثار ریاضیدان وینی شرفر و دانشمند مشهور فرانسوی J.L. Lagrange ظاهر می شوند، اگرچه کمی قبل از آن توسط J. Bernoulli که از نمادهای متفاوتی استفاده می کرد مورد توجه قرار گرفته بودند. اما این نمادها فقط در پایان پذیرفته شدندXVΙΙΙقرن ها پیشوند "قوس" از لاتین آمده استآرکوسایکسمثلاً زاویه ای است (و شاید بتوان گفت کمانی) که سینوس آن برابر استایکس.

برای مدت طولانی، مثلثات به عنوان بخشی از هندسه، یعنی. حقایقی که اکنون بر حسب توابع مثلثاتی فرمول بندی می کنیم با استفاده از مفاهیم و گزاره های هندسی فرمول بندی و اثبات شده اند. شاید بزرگترین انگیزه ها برای توسعه مثلثات در ارتباط با حل مسائل نجوم، که از علاقه عملی زیادی برخوردار بودند (به عنوان مثال، برای حل مسائل تعیین مکان یک کشتی، پیش بینی کسوف و غیره) بوجود آمد.

ستاره شناسان به روابط بین اضلاع و زوایای مثلث های کروی متشکل از دایره های بزرگی که روی یک کره قرار دارند علاقه مند بودند. و باید توجه داشت که ریاضیدانان باستان با موفقیت با مسائلی کنار آمدند که به طور قابل توجهی دشوارتر از حل مثلث های صفحه بود.

در هر صورت، در شکل هندسیبسیاری از فرمول های مثلثاتی که برای ما شناخته شده است توسط ریاضیدانان یونانی، هندی و عرب باستان کشف و دوباره کشف شد (اما، فرمول های تفاوت توابع مثلثاتی فقط درXVΙӀ v. - آنها را بیرون آورد ریاضیدان انگلیسیبرای ساده کردن محاسبات با توابع مثلثاتی. و اولین ترسیم موج سینوسی در سال 1634 ظاهر شد)

گردآوری اولین جدول سینوس ها توسط سی. بطلمیوس (برای مدت طولانی آن را جدول آکوردها می نامیدند) از اهمیت اساسی برخوردار بود: یک وسیله عملی برای حل تعدادی از مسائل کاربردی و در درجه اول مشکلات نجوم ظاهر شد.

هنگامی که با جداول آماده یا با استفاده از ماشین حساب سروکار داریم، اغلب به این واقعیت فکر نمی کنیم که زمانی وجود داشت که جداول هنوز اختراع نشده بود. برای جمع آوری آنها، نه تنها محاسبات زیادی انجام می شد، بلکه باید راهی برای جمع آوری جداول نیز ارائه می شد. جداول بطلمیوس تا پنج رقم اعشار دقیق است.

ظاهر مدرنمثلثات توسط بزرگترین ریاضیدان معرفی شدXVقرن دوم ال. اویلر (1707-1783)، سوئیسی اصالتا، که سالها در روسیه کار کرد و عضو آکادمی علوم سن پترزبورگ بود. این اویلر بود که برای اولین بار تعاریف شناخته شده توابع مثلثاتی را معرفی کرد، شروع به در نظر گرفتن توابع با زاویه دلخواه کرد و فرمول های کاهش را به دست آورد. همه اینها بخش کوچکی از کاری است که اویلر در طول زندگی طولانی خود در ریاضیات انجام داد: او بیش از 800 اثر از خود به جای گذاشت و قضایای بسیاری را اثبات کرد که کلاسیک شده اند، مربوط به زمینه های مختلف ریاضیات. اما اگر سعی کنید با توابع مثلثاتی به شکل هندسی کار کنید، یعنی همان‌طور که بسیاری از نسل‌های ریاضیدان قبل از اویلر انجام دادند، می‌توانید از شایستگی‌های اویلر در نظام‌بندی مثلثات قدردانی کنید. پس از اویلر، مثلثات شکل جدیدی از حساب را به دست آورد: حقایق مختلف از طریق استفاده رسمی از فرمول های مثلثات شروع به اثبات کردند، اثبات ها بسیار فشرده تر و ساده تر شدند.

از تاریخچه توسعه هندسه کروی .

به طور گسترده ای شناخته شده است که هندسه اقلیدسی یکی از کهن ترین علوم است: در حال حاضرIIIقرن قبل از میلاد اثر کلاسیک اقلیدس، عناصر، ظاهر شد. آنچه کمتر شناخته شده است این است که هندسه کروی فقط کمی جوانتر است. اولین ارائه سیستماتیک آن بهمن- IIقرن ها در کتاب "کره ها" نوشته ریاضیدان یونانی منلائوس (منج)، خواص مثلث های کروی مورد مطالعه قرار گرفت. به ویژه ثابت شد که مجموع زوایای یک مثلث کروی بیشتر از 180 درجه است. کلودیوس بطلمیوس، ریاضیدان یونانی دیگر (IIV.). اساسا، او اولین کسی بود که جداول توابع مثلثاتی را گردآوری کرد و طرح ریزی استریوگرافیک را معرفی کرد.

درست مانند هندسه اقلیدسی، هندسه کروی در حل مسائل ماهیت عملی و در درجه اول مسائل نجوم پدید آمد. این وظایف برای مثال برای مسافران و ملوانانی که توسط ستارگان حرکت می کردند ضروری بود. و از آنجایی که در مشاهدات نجومی راحت است فرض کنیم که خورشید و ماه و ستارگان در امتداد تصویر حرکت می کنند. کره آسمانیپس طبیعی است که برای مطالعه حرکت آنها دانشی در مورد هندسه کره لازم بود. بنابراین تصادفی نیست که مشهورترین اثر بطلمیوس "ساخت بزرگ ریاضی نجوم در 13 کتاب" نام داشت.

مهم ترین دوره در تاریخ مثلثات کروی با فعالیت های دانشمندان خاورمیانه مرتبط است. دانشمندان هندی با موفقیت مشکلات مثلثات کروی را حل کردند. اما روش توصیف شده توسط بطلمیوس و بر اساس قضیه چهارضلعی کامل منلائوس توسط آنها مورد استفاده قرار نگرفت. و در مثلثات کروی از روش‌های تصویری استفاده می‌کردند که با روش‌های آنالمای بطلمیوس مطابقت داشت. در نتیجه، آنها مجموعه ای از قوانین محاسباتی خاص را به دست آوردند که حل تقریباً هر مشکلی را در نجوم کروی ممکن می ساخت. با کمک آنها، چنین کاری در نهایت به مقایسه هواپیماهای مسطح مشابه با یکدیگر کاهش یافت. مثلث های قائم الزاویه. هنگام حل مسائل، اغلب از نظریه معادلات درجه دوم و روش تقریب های متوالی استفاده می شد. نمونه ای از یک مشکل نجومی که دانشمندان هندی با کمک قوانین تدوین شده توسط او حل کردند، مسئله ای است که در کار "Panga Siddhantika" توسط Varahamihira در نظر گرفته شده است.V- VI). این شامل یافتن ارتفاع خورشید است، اگر عرض جغرافیایی مکان، انحراف خورشید و زاویه ساعت آن مشخص باشد. در نتیجه حل این مشکل، پس از یک سری ساخت، رابطه ای برقرار می شود که معادل قضیه کسینوس مدرن برای یک مثلث کروی است. با این حال، این رابطه و معادل دیگری برای قضیه سینوس ها به عنوان قوانین قابل اجرا برای هر مثلث کروی تعمیم داده نشده است.

در میان اولین دانشمندان شرقی که به بحث درباره قضیه منلائوس روی آوردند، باید برادران بانو موسی - محمد، حسن و احمد، پسران موسی بن شاکر را نام برد که در بغداد کار می کردند و ریاضیات، نجوم و مکانیک می خواندند. اما اولین اثر باقی مانده در مورد قضیه منلائوس، «رساله فی شکل فرقه ها» نوشته شاگردشان ثابت بن قرره (836-901) است.

رساله ثابت بن قرره در اصل عربی به دست ما رسیده است. و در ترجمه لاتینXIIV. این ترجمه توسط ژراندو از کرمونا (1114-1187) در اروپای قرون وسطی رواج یافت.

تاریخچه مثلثات به عنوان علم روابط بین زوایا و اضلاع مثلث و سایرین شکل های هندسی، بیش از دو هزار سال را در بر می گیرد. بسیاری از این روابط را نمی توان با استفاده از عملیات جبری معمولی بیان کرد و بنابراین لازم بود توابع مثلثاتی خاصی که در ابتدا در قالب جداول عددی ارائه شده بودند معرفی شوند.
مورخان بر این باورند که مثلثات توسط ستاره شناسان باستان ایجاد شد و کمی بعد از آن در معماری استفاده شد. با گذشت زمان، دامنه مثلثات به طور مداوم گسترش یافته است، امروزه تقریباً تمام علوم طبیعی، فناوری و تعدادی از زمینه های فعالیت دیگر را شامل می شود.

مسائل مثلثاتی کاربردی بسیار متنوع هستند - به عنوان مثال، نتایج عملاً قابل اندازه گیری اعمال در مقادیر ذکر شده (به عنوان مثال، مجموع زاویه ها یا نسبت طول اضلاع) را می توان مشخص کرد.

به موازات توسعه مثلثات سطحی، یونانی ها تحت تأثیر ستاره شناسی، مثلثات کروی را بسیار پیشرفته کردند. در عناصر اقلیدس فقط یک قضیه در مورد نسبت حجم کره های با قطرهای مختلف وجود دارد، اما نیازهای نجوم و نقشه کشی باعث شد. توسعه سریعمثلثات کروی و حوزه های مرتبط - سیستم ها مختصات آسمانی، تئوری پیش بینی نقشه ها، فناوری ابزارهای نجومی.

دوره های آموزشی.

مثلثات و زندگی واقعی

توابع مثلثاتی در تحلیل های ریاضی، فیزیک، علوم کامپیوتر، ژئودزی، پزشکی، موسیقی، ژئوفیزیک و ناوبری کاربرد پیدا کرده اند.

کاربرد مثلثات در ناوبری

ناوبری (این کلمه از لاتین آمده استناوبری- قایقرانی در کشتی) یکی از کهن ترین علوم است. ساده ترین وظایف ناوبری، مانند تعیین کوتاه ترین مسیر و انتخاب جهت سفر، با اولین ناوبرها مواجه شد. در حال حاضر، این مشکلات مشابه و دیگر مشکلات نه تنها توسط ملوانان، بلکه توسط خلبانان و فضانوردان نیز باید حل شود. بیایید به برخی از مفاهیم و وظایف ناوبری با جزئیات بیشتری نگاه کنیم.

وظیفه. مختصات جغرافیایی مشخص است - طول و عرض جغرافیایی نقاط A و B در سطح زمین:، و، . نیاز به پیدا کردن کوتاه ترین فاصلهبین نقاط A و B در امتداد سطح زمین (شعاع زمین شناخته شده در نظر گرفته می شود:آر= 6371 کیلومتر)

راه حل. اجازه دهید ابتدا به یاد بیاوریم که عرض جغرافیایی یک نقطه M در سطح زمین، مقدار زاویه ای است که توسط شعاع OM تشکیل شده است، جایی که O مرکز زمین است، با صفحه استوایی: ≤، و عرض جغرافیایی در شمال استوا مثبت و در جنوب منفی در نظر گرفته می شود (شکل 1)

طول نقطه M مقدار زاویه دو وجهی بین صفحات COM و SON است که در آن C قطب شمال زمین است و H نقطه مربوط به رصدخانه گرینویچ است: ≤ (در شرق نصف النهار گرینویچ، طول جغرافیایی مثبت در نظر گرفته می شود، به سمت غرب - منفی).

همانطور که قبلاً شناخته شده است، کوتاه ترین فاصله بین نقاط A و B در سطح زمین، طول کمان کوچکتر دایره بزرگی است که A و B را به هم متصل می کند (چنین قوسی به نام orthodrome نامیده می شود - ترجمه از یونانی به معنای "مستقیم دویدن" است. ). بنابراین، وظیفه ما به تعیین طول ضلع AB مثلث کروی ABC می رسد (C قطب شمال است).

با استفاده از نماد استاندارد برای عناصر مثلث ABC و زاویه سه ضلعی مربوطه OABC، از شرایط مسئله می یابیم: α = = -، β = (شکل 2).

بیان زاویه C نیز از طریق مختصات نقاط A و B دشوار نیست. طبق تعریف، ≤، بنابراین، یا زاویه C =، اگر ≤، یا -، اگر. دانستن = با استفاده از قضیه کسینوس: = + (-). با دانستن و در نتیجه زاویه، فاصله مورد نیاز را پیدا می کنیم: =.

مثلثات در ناوبری 2.

برای ترسیم مسیر کشتی بر روی نقشه ای که در طرح گرهارد مرکاتور (1569) ساخته شده است، تعیین عرض جغرافیایی ضروری بود. هنگام قایقرانی در دریای مدیترانه در جهت تاXVIIV. عرض جغرافیایی مشخص نشده است. ادموند گانتر (1623) اولین کسی بود که از محاسبات مثلثاتی در ناوبری استفاده کرد.

مثلثات به محاسبه تأثیر باد بر پرواز هواپیما کمک می کند. مثلث سرعت مثلثی است که توسط بردار سرعت هوا (Vبردار باد(دبلیوبردار سرعت زمین (Vپ ). PU – زاویه سمت، UL – زاویه باد، KUV – زاویه باد جهت.

رابطه بین عناصر مثلث سرعت ناوبری به شکل زیر است:

V پ = V cos DC + دبلیو cos UV; گناه DC = * گناه UV، tg HC =

مثلث ناوبری سرعت ها با استفاده از دستگاه های محاسبه، روی خط کش ناوبری و تقریباً در ذهن حل می شود.

مثلثات در جبر.

در اینجا مثالی از حل یک معادله مختلط با استفاده از جایگزینی مثلثاتی آورده شده است.

با توجه به معادله

اجازه دهید , ما گرفتیم

;

جایی که: یا

با در نظر گرفتن محدودیت هایی که دریافت می کنیم:

مثلثات در فیزیک

هر جا که باید با فرآیندها و نوسانات تناوبی سر و کار داشته باشیم - خواه آکوستیک باشد، اپتیک یا چرخش آونگ، با توابع مثلثاتی سروکار داریم. فرمول های نوسان:

جایی که آ- دامنه نوسان، - فرکانس زاویه ای نوسان، - فاز اولیهنوسانات

فاز نوسان.

وقتی اجسام در آب غوطه ور می شوند، شکل و اندازه آنها تغییر نمی کند. کل راز یک اثر نوری است که باعث می شود دید ما یک شی را متفاوت درک کند. ساده ترین فرمول های مثلثاتی و مقادیر سینوس زاویه تابش و شکست پرتو، محاسبه ضریب شکست ثابت را در هنگام عبور پرتو نور از متوسط ​​به متوسط ​​ممکن می سازد. به عنوان مثال، رنگین کمان به این دلیل رخ می دهد که نور خورشید توسط قطرات آب معلق در هوا مطابق قانون شکست شکسته می شود:

گناه α /گناه β = n 1 /n 2

جایی که:

n 1 - ضریب شکست محیط اول
n 2 - ضریب شکست محیط دوم

α -زاویه تابش، β - زاویه شکست نور

نفوذ ذرات باردار باد خورشیدی به اتمسفر بالایی سیارات توسط برهمکنش میدان مغناطیسی سیاره با باد خورشیدی تعیین می شود.

نیروی وارد بر ذره باردار که در میدان مغناطیسی حرکت می کند، نیروی لورنتس نامیده می شود. با بار ذره و حاصل ضرب بردار میدان و سرعت ذره متناسب است.

به عنوان یک مثال عملی، یک مسئله فیزیکی را در نظر بگیرید که با استفاده از مثلثات قابل حل است.

وظیفه. در یک صفحه شیبدار با افق زاویه 24.5 ایجاد می کند O ، بدنی به وزن 90 کیلوگرم وجود دارد. نیرویی را که این جسم با آن روی صفحه شیبدار فشار می آورد را بیابید (یعنی چقدر فشار روی این صفحه اعمال می شود).

راه حل:

پس از تعیین محورهای X و Y، ابتدا با استفاده از این فرمول شروع به ساخت پیش بینی نیروها روی محور می کنیم:

مادر = ن + میلی گرم ، سپس به نقاشی نگاه کنید،

ایکس : ma = 0 + mg sin24.5 0

Y: 0 = N – mg cos24.5 0

ن = میلی گرم cos 24,5 0

جرم را جایگزین می کنیم و متوجه می شویم که نیرو 819 نیوتن است.

جواب: 819 نیوتن

مثلثات در پزشکی و زیست شناسی

یکی از خواص اساسیطبیعت زنده طبیعت چرخه ای اکثر فرآیندهایی است که در آن اتفاق می افتد.

ریتم های بیولوژیکی، بیوریتم ها- اینها تغییرات کم و بیش منظم در ماهیت و شدت فرآیندهای بیولوژیکی هستند.

ریتم اصلی زمین- کمک هزینه روزانه

مدلی از بیوریتم ها را می توان با استفاده از توابع مثلثاتی ساخت.

برای ساخت یک مدل بیوریتمی، باید تاریخ تولد، تاریخ مرجع (روز، ماه، سال) و مدت زمان پیش‌بینی (تعداد روز) شخص را وارد کنید.

حتی برخی از نواحی مغز را سینوس می نامند.

دیواره‌های سینوس‌ها توسط سخت‌شکم تشکیل شده‌اند که با اندوتلیوم پوشانده شده‌اند. مجرای سینوس ها، دریچه ها و بافت عضلانی بر خلاف سایر سیاهرگ ها وجود ندارد. در حفره سینوس سپتوم های فیبری پوشیده شده با اندوتلیوم وجود دارد. از سینوس ها، خون به داخل سیاهرگ های ژوگولار داخلی جریان می یابد؛ علاوه بر این، از طریق خروجی های وریدی ذخیره، بین سینوس ها و سیاهرگ های سطح خارجی جمجمه ارتباط برقرار می شود.

حرکت ماهی در آب طبق قانون سینوس یا کسینوس انجام می شود، اگر نقطه ای را روی دم ثابت کنید و سپس مسیر حرکت را در نظر بگیرید.

بدن ماهی در هنگام شنا به شکل منحنی شبیه نمودار می باشد

کارکرد y= tgx.

مثلثات در موسیقی

ما به موسیقی در قالب گوش می دهیمmp3.

سیگنال صوتی یک موج است، در اینجا "گراف" آن است.

همانطور که می بینید، اگرچه بسیار پیچیده است، اما یک سینوسی است که از قوانین مثلثات پیروی می کند.

در بهار سال 2003، تئاتر هنری مسکو میزبان ارائه آلبوم "Trigonometry" توسط گروه "تک تیراندازان شب"، تکنواز دیانا آربنینا بود. محتوای آلبوم معنای اصلی کلمه "مثلثات" - اندازه گیری زمین را نشان می دهد.

مثلثات در علوم کامپیوتر

برای محاسبات دقیق می توان از توابع مثلثاتی استفاده کرد.

با استفاده از توابع مثلثاتی می توانید هر کدام را تقریب بزنید

(به یک معنا "خوب") عملکرد، آن را به یک سری فوریه گسترش می دهد:

آ 0 + الف 1 cos x + b 1 گناه x + a 2 cos 2x + b 2 گناه 2x + a 3 cos 3x + b 3 گناه 3x + ...

انتخاب اعداد مناسب a 0 , a 1 , b 1 , a 2 , b 2 , ... می توان تقریباً هر تابعی را در رایانه به شکل چنین مجموع (بی نهایت) با دقت لازم نشان داد.

توابع مثلثاتی هنگام کار با اطلاعات گرافیکی مفید هستند. لازم است که چرخش یک جسم حول یک محور خاص شبیه سازی شود (در رایانه توصیف شود). چرخش در یک زاویه خاص رخ می دهد. برای تعیین مختصات نقاط، باید در سینوس و کسینوس ضرب کنید.

جاستین ویندل، برنامه نویس و طراح ازگوگل گرافیک آزمایشگاه ، نسخه ی نمایشی را منتشر کرد که نمونه هایی از استفاده از توابع مثلثاتی برای ایجاد انیمیشن پویا را نشان می دهد.

مثلثات در ساخت و ساز و ژئودزی

طول اضلاع و مقادیر زوایای یک مثلث دلخواه در صفحه با روابط خاصی با یکدیگر مرتبط هستند که مهمترین آنها قضایای کسینوس و سینوس نامیده می شوند.

2ab

= =

در این فرمول ها یکب, ج- طول اضلاع مثلث ABC، به ترتیب در مقابل زوایای A، B، C قرار دارد. این فرمول ها به ما اجازه می دهد تا سه عنصر باقیمانده را از سه عنصر مثلث - طول اضلاع و زوایا - بازسازی کنیم. آنها در حل مسائل عملی، به عنوان مثال در ژئودزی استفاده می شوند.

تمام ژئودزی "کلاسیک" بر اساس مثلثات است. از آنجایی که، در واقع، از زمان های قدیم، نقشه برداران به حل مثلث ها مشغول بوده اند.

فرآیند ساخت ساختمان ها، جاده ها، پل ها و سایر سازه ها با کار نقشه برداری و طراحی آغاز می شود. تمام اندازه گیری ها در یک سایت ساخت و ساز با استفاده از ابزار نقشه برداری مانند تئودولیت و سطح مثلثاتی انجام می شود. با تسطیح مثلثاتی، اختلاف ارتفاع بین چند نقطه از سطح زمین مشخص می شود.

نتیجه

مثلثات با نیاز به اندازه گیری زوایا زنده شد، اما با گذشت زمان به علم توابع مثلثاتی تبدیل شد.

مثلثات ارتباط نزدیکی با فیزیک دارد و در طبیعت، موسیقی، معماری، پزشکی و تکنولوژی یافت می شود.

مثلثات در زندگی ما منعکس می شود و حوزه هایی که در آن نقش مهمی ایفا می کند گسترش می یابد، بنابراین آگاهی از قوانین آن برای همه ضروری است.

ارتباط بین ریاضیات و دنیای خارج به ما امکان می دهد دانش دانش آموزان مدرسه را "مادی" کنیم. این به ما کمک می کند تا ضرورت حیاتی دانش کسب شده در مدرسه را بهتر درک کنیم.

منظور از یک مسئله ریاضی با محتوای عملی (مسئله ای با ماهیت کاربردی) مسئله ای است که طرح آن کاربردهای ریاضیات را در زمینه های مرتبط نشان می دهد. رشته های دانشگاهی، تکنولوژی، در زندگی روزمره.

داستانی درباره دلایل تاریخی پیدایش مثلثات، توسعه آن و کاربرد عملیعلاقه دانش آموزان مدرسه ما را به موضوع مورد مطالعه تحریک می کند، جهان بینی ما را شکل می دهد و فرهنگ عمومی را بهبود می بخشد.

این کار برای دانش آموزان دبیرستانی که هنوز زیبایی مثلثات را ندیده اند و با حوزه های کاربرد آن در زندگی اطراف خود آشنا نیستند مفید خواهد بود.

کتابشناسی - فهرست کتب:

معرفی

فرآیندهای واقعی در دنیای اطراف معمولاً با تعداد زیادی متغیر و وابستگی بین آنها همراه است. این وابستگی ها را می توان با استفاده از توابع توصیف کرد. مفهوم "عملکرد" ​​نقش بزرگی در شناخت ایفا کرده و هنوز هم دارد دنیای واقعی. آگاهی از ویژگی های توابع به ما امکان می دهد تا ماهیت فرآیندهای در حال انجام را درک کنیم، روند توسعه آنها را پیش بینی کنیم و آنها را مدیریت کنیم. توابع یادگیری است مربوطهمیشه.

هدف: ارتباط بین توابع مثلثاتی و پدیده های دنیای اطراف را شناسایی کرده و نشان می دهد که این توابع به طور گسترده در زندگی مورد استفاده قرار می گیرند.

وظایف:

1. مطالعه ادبیات و منابع دسترسی از راه دور در مورد موضوع پروژه.

2. دریابید که کدام قوانین طبیعت با توابع مثلثاتی بیان می شوند.

3. نمونه هایی از کاربرد توابع مثلثاتی را در دنیای بیرون بیابید.

4. مطالب موجود را تجزیه و تحلیل و نظام مند کنید.

5. مواد طراحی شده را مطابق با الزامات آماده کنید پروژه اطلاعاتی.

6. ارائه الکترونیکی مطابق با محتوای پروژه ایجاد کنید.

7. در کنفرانس با نتایج کار انجام شده صحبت کنید.

در مرحله مقدماتیمن مطالبی در مورد این موضوع پیدا کردم و آن را خواندم، فرضیه هایی را مطرح کردم و هدف پروژه خود را تدوین کردم. شروع به جستجوی اطلاعات لازم، مطالعه ادبیات موضوع و مطالب از منابع دسترسی از راه دور کردم.

در مرحله اصلی، اطلاعات مربوط به موضوع انتخاب و جمع آوری شد و مطالب یافت شده مورد تجزیه و تحلیل قرار گرفت. من به کاربردهای اصلی توابع مثلثاتی پی بردم. همه داده ها خلاصه و نظام مند شدند. سپس نسخه نهایی جامع پروژه اطلاعاتی تدوین و ارائه ای در مورد موضوع تحقیق تدوین شد.

در مرحله پایانیارائه کار برای مسابقه مورد تجزیه و تحلیل قرار گرفت. در این مرحله نیز انتظار می‌رفت که فعالیت‌ها تمام وظایف محول شده را با جمع‌بندی نتایج، یعنی ارزیابی فعالیت‌های فرد، اجرا کنند.

طلوع و غروب خورشید، تغییرات در مراحل ماه، تناوب فصول، ضربان قلب، چرخه‌های زندگی بدن، چرخش چرخ، جزر و مد دریا - مدل‌هایی از این فرآیندهای متنوع با توابع مثلثاتی توصیف می‌شوند.

مثلثات در فیزیک.

در فناوری و دنیای اطراف ما، اغلب باید با فرآیندهای دوره ای (یا تقریباً دوره ای) که در فواصل زمانی منظم تکرار می شوند، سر و کار داشته باشیم. به چنین فرآیندهایی نوسانی می گویند. پدیده های نوسانی با ماهیت های فیزیکی مختلف تابع قوانین کلی هستند. به عنوان مثال، نوسانات جریان در یک مدار الکتریکی و نوسانات یک آونگ ریاضی را می توان با همین معادلات توصیف کرد. اشتراک الگوهای نوسانی به ما این امکان را می دهد که فرآیندهای نوسانی با ماهیت های مختلف را از یک دیدگاه واحد در نظر بگیریم. همراه با مترقی و حرکات چرخشیدر مکانیک اجسام، حرکات نوسانی نیز از اهمیت قابل توجهی برخوردار است.

ارتعاشات مکانیکیحرکات اجسامی هستند که دقیقاً (یا تقریباً) در فواصل زمانی مساوی تکرار می شوند. قانون حرکت یک جسم در حال نوسان با استفاده از تابع تناوبی معینی از زمان x = f(t) مشخص می شود. یک نمایش گرافیکی از این تابع یک نمایش بصری از روند فرآیند نوسانی در طول زمان می دهد. نمونه ای از این نوع امواج امواجی است که در امتداد یک نوار لاستیکی کشیده یا در امتداد یک رشته حرکت می کنند.

نمونه‌هایی از سیستم‌های نوسانی ساده، بار روی فنر یا آونگ ریاضی هستند (شکل 1).

عکس. 1. سیستم های نوسانی مکانیکی

ارتعاشات مکانیکیمانند فرآیندهای نوسانی با هر ماهیت فیزیکی دیگر، می تواند آزاد و اجباری باشد. ارتعاشات آزاد تحت تأثیر نیروهای داخلی سیستم، پس از خارج شدن سیستم از حالت تعادل رخ می دهد. نوسانات وزنه روی فنر یا نوسانات آونگ نوسانات آزاد هستند. نوساناتی که تحت تأثیر نیروهای خارجی به طور متناوب در حال تغییر رخ می دهند، اجباری نامیده می شوند.

شکل 2 نمودار مختصات، سرعت و شتاب جسمی را نشان می دهد که نوسانات هارمونیک را انجام می دهد.

ساده ترین نوع فرآیند نوسانی، نوسانات هارمونیک ساده است که با معادله توضیح داده می شود:

x = m cos (ωt + f 0).

شکل 2 - نمودار مختصات x(t)، سرعت υ(t)

و شتاب a(t) جسمی که نوسانات هارمونیک انجام می دهد.

امواج صوتییا به سادگی صدا نامی است که به امواج درک شده توسط گوش انسان داده می شود.

اگر ارتعاشات ذرات در هر مکانی در یک محیط جامد، مایع یا گاز برانگیخته شود، به دلیل برهمکنش اتم ها و مولکول های محیط، ارتعاشات شروع به انتقال از نقطه ای به نقطه دیگر با سرعت محدود می کنند. فرآیند انتشار ارتعاشات در یک محیط را موج می گویند.

امواج هارمونیک یا سینوسی ساده برای تمرین مورد توجه هستند. آنها با دامنه A ارتعاشات ذرات، فرکانس f و طول موج λ مشخص می شوند. امواج سینوسی در محیط های همگن با سرعتی ثابت مشخص منتشر می شوند.

اگر بینایی انسان توانایی دیدن صدا، امواج الکترومغناطیسی و رادیویی را داشت، در آن صورت سینوسی های متعددی از انواع مختلف در اطراف خود مشاهده می کردیم.

مطمئناً همه بیش از یک بار این پدیده را مشاهده کرده اند که اجسامی که در آب فرو می روند بلافاصله اندازه و نسبت خود را تغییر می دهند. یک پدیده جالب: شما دست خود را در آب فرو می کنید و بلافاصله به دست شخص دیگری تبدیل می شود. چرا این اتفاق می افتد؟ پاسخ به این سوال و توضیح مفصل این پدیده، مانند همیشه، توسط فیزیک ارائه شده است - علمی که می تواند تقریباً هر چیزی را که در این جهان ما را احاطه کرده است توضیح دهد.

بنابراین، در واقع، وقتی اشیا در آب غوطه ور می شوند، البته نه اندازه و نه طرح کلی خود را تغییر نمی دهند. این به سادگی یک اثر نوری است، یعنی ما به صورت بصری این شی را متفاوت درک می کنیم. این به دلیل خواص پرتو نور اتفاق می افتد. به نظر می رسد که سرعت انتشار نور تا حد زیادی تحت تأثیر چگالی نوری محیط قرار دارد. هر چه این محیط نوری متراکم تر باشد، پرتو نور کندتر منتشر می شود.

اما حتی تغییر در سرعت پرتو نور پدیده مورد نظر ما را به طور کامل توضیح نمی دهد. عامل دیگری نیز وجود دارد. بنابراین، هنگامی که یک پرتو نور از مرز بین یک محیط نوری با چگالی کمتر مانند هوا و یک محیط نوری متراکم تر مانند آب می گذرد، بخشی از پرتو نور به محیط جدید نفوذ نمی کند، بلکه از سطح آن منعکس می شود. قسمت دیگر پرتو نور به داخل نفوذ می کند، اما تغییر جهت می دهد.

این پدیده انکسار نور نامیده می شود و دانشمندان مدت هاست که نه تنها قادر به مشاهده، بلکه به محاسبه دقیق زاویه این شکست بوده اند. معلوم شد که ساده‌ترین فرمول‌های مثلثاتی و دانش سینوس زاویه تابش و زاویه شکست این امکان را فراهم می‌کند که ضریب شکست ثابت برای انتقال یک پرتو نور از یک محیط خاص به محیط دیگر را پیدا کنیم. به عنوان مثال، ضریب شکست هوا بسیار کوچک است و به 1.0002926 می رسد، ضریب شکست آب کمی بالاتر است - 1.332986، الماس نور را با ضریب 2.419 و سیلیکون - 4.010 می شکند.

این پدیده زمینه به اصطلاح نظریه های رنگین کماننظریه رنگین کمان اولین بار در سال 1637 توسط رنه دکارت ارائه شد. وی رنگین کمان را پدیده ای مرتبط با انعکاس و شکست نور در قطرات باران توضیح داد.

رنگین کمان به این دلیل رخ می دهد که نور خورشید توسط قطرات آب معلق در هوا مطابق قانون شکست شکسته می شود:

که در آن n 1 = 1، n 2 ≈1.33 به ترتیب ضریب شکست هوا و آب هستند، α زاویه تابش، و β زاویه شکست نور است.

کاربرد مثلثات در هنر و معماری.

از زمانی که انسان روی زمین شروع به زندگی کرد، علم مبنایی برای بهبود زندگی روزمره و سایر زمینه های زندگی شده است. پایه و اساس هر چیزی که انسان خلق می کند، حوزه های مختلفی در علوم طبیعی و ریاضی است. یکی از آنها هندسه است. معماری تنها رشته علمی نیست که در آن از فرمول های مثلثاتی استفاده می شود. بیشتر تصمیمات ترکیبی و ساخت نقشه ها دقیقاً با کمک هندسه صورت می گرفت. اما داده های نظری معنی کمی دارد. بیایید نمونه ای از ساخت یک مجسمه توسط یک استاد فرانسوی عصر طلایی هنر را در نظر بگیریم.

رابطه متناسب در ساخت مجسمه ایده آل بود. با این حال، هنگامی که مجسمه بر روی یک پایه بلند بلند شد، زشت به نظر می رسید. مجسمه ساز توجه نکرده است که در پرسپکتیو، به سمت افق، بسیاری از جزئیات کاهش می یابد و با نگاه از پایین به بالا، دیگر تصوری از ایده آل بودن آن ایجاد نمی شود. محاسبات زیادی انجام شد تا اطمینان حاصل شود که شکل از ارتفاع زیاد متناسب به نظر می رسد. آنها عمدتاً بر اساس روش رؤیت، یعنی اندازه گیری تقریبی با چشم بودند. با این حال، ضریب اختلاف نسبت های خاص باعث شد تا این رقم به ایده آل نزدیک تر شود. بنابراین با دانستن فاصله تقریبی مجسمه تا نقطه دید، یعنی از بالای مجسمه تا چشمان فرد و ارتفاع مجسمه، می‌توان سینوس زاویه برخورد نما را با استفاده از جدول محاسبه کرد. بدین ترتیب نقطه نظر را پیدا می کند (شکل 4).

در شکل 5، وضعیت تغییر می کند، از آنجایی که مجسمه تا ارتفاع AC بالا می رود و NS افزایش می یابد، می توانیم مقادیر کسینوس زاویه C را محاسبه کنیم و از جدول زاویه تابش نگاه را پیدا خواهیم کرد. در این فرآیند، می توانید AN، و همچنین سینوس زاویه C را محاسبه کنید، که به شما امکان می دهد نتایج را با استفاده از هویت مثلثاتی اولیه بررسی کنید. cos 2 a+ sin 2 a = 1.

با مقایسه اندازه گیری های AN در حالت اول و دوم، می توان ضریب تناسب را پیدا کرد. متعاقباً یک نقاشی دریافت خواهیم کرد و سپس مجسمه ای را دریافت خواهیم کرد که وقتی بلند می شود، شکل از نظر بصری به ایده آل نزدیک تر می شود.

ساختمان های نمادین در سراسر جهان به لطف ریاضیات طراحی شده اند که می توان آن را نابغه معماری دانست. برخی از نمونه‌های معروف این ساختمان‌ها: مدرسه کودکان گائودی در بارسلونا، آسمان‌خراش مری تبر در لندن، شراب‌سازی Bodegas Isios در اسپانیا، رستوران در Los Manantiales در آرژانتین. هنگام طراحی این ساختمان ها، مثلثات مطرح بود.

مثلثات در زیست شناسی

یکی از ویژگی های اساسی طبیعت زنده، ماهیت چرخه ای اکثر فرآیندهایی است که در آن اتفاق می افتد. بین حرکت اجرام آسمانی و موجودات زنده روی زمین ارتباط وجود دارد. موجودات زنده نه تنها نور و گرمای خورشید و ماه را جذب می کنند، بلکه مکانیسم های مختلفی نیز دارند که موقعیت خورشید را با دقت تعیین می کنند، به ریتم جزر و مد، مراحل ماه و حرکت سیاره ما پاسخ می دهند.

ریتم های بیولوژیکی، بیوریتم ها، تغییرات کم و بیش منظم در ماهیت و شدت فرآیندهای بیولوژیکی هستند. توانایی ایجاد چنین تغییراتی در فعالیت های زندگی ارثی است و تقریباً در همه موجودات زنده یافت می شود. آنها را می توان در سلول ها، بافت ها و اندام ها، کل موجودات و جمعیت ها مشاهده کرد. بیوریتم ها به دو دسته تقسیم می شوند فیزیولوژیکی, دارای دوره هایی از کسری از ثانیه تا چند دقیقه و محیطی،مدت زمان منطبق با هر ریتم محیط اینها شامل ریتم های روزانه، فصلی، سالانه، جزر و مدی و قمری است. ریتم اصلی زمین روزانه است که با چرخش زمین به دور محور آن تعیین می شود، بنابراین تقریباً تمام فرآیندهای موجود در یک موجود زنده دارای تناوب روزانه هستند.

بسیاری از عوامل محیطی در سیاره ما، در درجه اول شرایط نور، دما، فشار و رطوبت هوا، میدان های اتمسفر و الکترومغناطیسی، جزر و مد دریا، به طور طبیعی تحت تأثیر این چرخش تغییر می کنند.

ما هفتاد و پنج درصد آب هستیم و اگر در لحظه ی کامل شدن ماه، آب اقیانوس های جهان 19 متر از سطح دریا بالا بیاید و جزر و مد شروع شود، آن گاه آب بدن ما نیز به سمت قسمت های بالای بدن ما می رود. و افراد مبتلا به فشار خون بالا اغلب در این دوره‌ها تشدید بیماری را تجربه می‌کنند و طبیعت‌شناسانی که گیاهان دارویی را جمع‌آوری می‌کنند دقیقاً می‌دانند که در کدام مرحله از ماه "بالاها - (میوه‌ها)" و در کدام مرحله "ریشه‌ها" را جمع آوری کنند.

آیا متوجه شده اید که در دوره های خاصی زندگی شما جهش های غیرقابل توضیحی را طی می کند؟ ناگهان، از هیچ، احساسات سرریز می شوند. حساسیت افزایش می یابد، که می تواند ناگهان جای خود را به بی علاقگی کامل بدهد. روزهای خلاقانه و بی ثمر، لحظات شاد و ناخوش، تغییرات خلقی ناگهانی. اشاره شده است که توانایی های بدن انسان به طور دوره ای تغییر می کند. این دانش زیربنای "نظریه سه بیوریتم" است.

بیوریتم فیزیکی- فعالیت بدنی را تنظیم می کند. در نیمه اول چرخه بدنی، فرد پرانرژی است و در فعالیت های خود به نتایج بهتری می رسد (نیمه دوم - انرژی جای خود را به تنبلی می دهد).

ریتم احساسی- در طول دوره های فعالیت آن، حساسیت افزایش می یابد و خلق و خوی بهبود می یابد. فرد در برابر بلایای مختلف بیرونی هیجان انگیز می شود. اگر حالش خوب باشد، در هوا قلعه می سازد، آرزوی عاشقی می کند و عاشق می شود. هنگامی که بیوریتم عاطفی کاهش می یابد، قدرت ذهنی کاهش می یابد، میل و خلق و خوی شاد از بین می رود.

بیوریتم فکری -حافظه، توانایی یادگیری و تفکر منطقی را کنترل می کند. در مرحله فعالیت افزایش می یابد و در مرحله دوم فعالیت خلاق کاهش می یابد، شانس و موفقیت وجود ندارد.

نظریه سه ریتم.

· چرخه فیزیکی - 23 روز. انرژی، قدرت، استقامت، هماهنگی حرکت را تعیین می کند

· چرخه عاطفی - 28 روز. وضعیت سیستم عصبی و خلق و خو

· چرخه فکری - 33 روز. توانایی خلاقیت فرد را مشخص می کند

مثلثات در طبیعت نیز وجود دارد. حرکت ماهی در آبطبق قانون سینوس یا کسینوس، اگر نقطه ای را روی دم ثابت کنید و سپس مسیر حرکت را در نظر بگیرید، رخ می دهد. هنگام شنا، بدن ماهی به شکل منحنی شبیه نمودار تابع y=tgx است.

هنگامی که یک پرنده پرواز می کند، مسیر بال های تکان دهنده یک سینوسی تشکیل می دهد.

مثلثات در پزشکی

در نتیجه مطالعه ای که توسط وحیدرضا عباسی دانشجوی ایرانی دانشگاه شیراز انجام شد، پزشکان برای اولین بار توانستند اطلاعات مربوط به فعالیت الکتریکی قلب یا به عبارتی الکتروکاردیوگرافی را سازماندهی کنند.

این فرمول که تهران نام دارد در چهاردهمین کنفرانس پزشکی جغرافیایی و سپس در بیست و هشتمین کنفرانس استفاده از فناوری رایانه در قلب و عروق که در هلند برگزار شد، به عموم جامعه علمی ارائه شد.

این فرمول یک معادله جبری-مثلثی پیچیده است که از 8 عبارت، 32 ضریب و 33 پارامتر اصلی، شامل چندین پارامتر اضافی برای محاسبات در موارد آریتمی تشکیل شده است. به گفته پزشکان، این فرمول تا حد زیادی روند توصیف پارامترهای اصلی فعالیت قلب را تسهیل می کند و در نتیجه تشخیص و شروع خود درمان را تسریع می بخشد.

بسیاری از افراد باید کاردیوگرام قلب را انجام دهند، اما تعداد کمی می دانند که کاردیوگرام قلب انسان یک نمودار سینوس یا کسینوس است.

مثلثات به مغز ما کمک می کند تا فاصله اشیاء را تعیین کند. دانشمندان آمریکایی ادعا می کنند که مغز با اندازه گیری زاویه بین صفحه زمین و صفحه دید، فاصله اشیاء را تخمین می زند. این نتیجه گیری پس از یک سری آزمایش انجام شد که در آن از شرکت کنندگان خواسته شد تا از طریق منشورهایی که این زاویه را افزایش می دهند به جهان اطراف خود نگاه کنند.

این اعوجاج منجر به این واقعیت شد که حاملان منشور تجربی اجسام دور را نزدیک‌تر می‌دانستند و نمی‌توانستند با ساده‌ترین آزمایش‌ها کنار بیایند. برخی از شرکت کنندگان در آزمایش ها حتی به جلو خم شدند و سعی کردند بدن خود را عمود بر سطح تصور نادرست زمین تراز کنند. با این حال، پس از 20 دقیقه آنها به درک تحریف شده عادت کردند و همه مشکلات ناپدید شدند. این شرایط نشان‌دهنده انعطاف‌پذیری مکانیسمی است که توسط آن مغز سیستم بینایی را با شرایط خارجی تغییر می‌دهد. جالب است بدانید که پس از حذف منشورها، برای مدتی اثر معکوس مشاهده شد - تخمین بیش از حد فاصله.

نتایج مطالعه جدید، همانطور که می‌توان حدس زد، برای مهندسانی که سیستم‌های ناوبری را برای روبات‌ها طراحی می‌کنند و همچنین متخصصانی که روی ایجاد واقعی‌ترین مدل‌های مجازی کار می‌کنند، جالب خواهد بود. کاربرد در زمینه پزشکی نیز امکان پذیر است، در توانبخشی بیماران مبتلا به آسیب به نواحی خاصی از مغز.

نتیجه

در حال حاضر، محاسبات مثلثاتی تقریباً در تمام زمینه های هندسه، فیزیک و مهندسی استفاده می شود. پراهمیتدارای یک تکنیک مثلث بندی است که به شما امکان می دهد فواصل تا ستاره های نزدیک را در نجوم، بین مکان های دیدنی در جغرافیا اندازه گیری کنید و سیستم های ناوبری ماهواره ای را کنترل کنید. همچنین کاربردهای مثلثات در زمینه هایی مانند تئوری موسیقی، آکوستیک، اپتیک، تحلیل بازار مالی، الکترونیک، نظریه احتمال، آمار، پزشکی (شامل سونوگرافی و توموگرافی کامپیوتری)، داروسازی، شیمی، نظریه اعداد، زلزله شناسی، هواشناسی، اقیانوس شناسی قابل توجه است. ، نقشه کشی، بسیاری از شاخه های فیزیک، توپوگرافی و ژئودزی، معماری، اقتصاد، مهندسی الکترونیک، مهندسی مکانیک، گرافیک کامپیوتری، کریستالوگرافی.

نتیجه گیری:

· ما دریافتیم که مثلثات به دلیل نیاز به اندازه گیری زوایا به وجود آمد، اما با گذشت زمان به علم توابع مثلثاتی تبدیل شد.

· ما ثابت کرده ایم که مثلثات ارتباط نزدیکی با فیزیک، زیست شناسی دارد و در طبیعت، معماری و پزشکی یافت می شود.

· ما فکر می کنیم که مثلثات راه خود را به زندگی ما باز کرده است و حوزه هایی که در آنها نقش مهمی ایفا می کند همچنان گسترش می یابد.

ادبیات

1. Alimov Sh.A. و همکاران "جبر و آغاز تجزیه و تحلیل" کتاب درسی برای پایه های 10-11 موسسات آموزش عمومی، M.، Prosveshchenie، 2010.

2. Vilenkin N.Ya. توابع در طبیعت و فناوری: کتاب. برای فوق برنامه خواندن کلاس های IX-XX. - ویرایش دوم، تجدید نظر شده - م: روشنگری، 1985.

3. گلیزر جی.آی. تاریخچه ریاضیات در مدرسه: پایه های نهم تا دهم. - م.: آموزش و پرورش، 1362.

4. ماسلوا T.N. "راهنمای ریاضیات دانش آموزی"

5. Rybnikov K.A. تاریخچه ریاضیات: کتاب درسی. - M.: انتشارات دانشگاه دولتی مسکو، 1994.

6. Ucheba.ru

7. Math.ru "کتابخانه"

MKOU "آموزشی عمومی Nenets دبیرستان- مدرسه شبانه روزی به نام A.P. Pyrerki"

پروژه آموزشی

" "

دانیلووا تاتیانا ولادیمیروا

معلم ریاضی

2013

توجیه مرتبط بودن پروژه

مثلثات شاخه ای از ریاضیات است که به مطالعه توابع مثلثاتی می پردازد. تصورش سخت است، اما ما نه تنها در درس ریاضیات، بلکه در زندگی روزمره خود نیز با این علم مواجه می شویم. شاید به آن مشکوک نبوده باشید، اما مثلثات در علومی مانند فیزیک، زیست‌شناسی یافت می‌شود، نقش مهمی در پزشکی ایفا می‌کند و جالب‌تر از همه، حتی موسیقی و معماری هم نمی‌توانند بدون آن کار کنند.
کلمه مثلثات اولین بار در سال 1505 در عنوان کتابی توسط ریاضیدان آلمانی پیتیسکوس آمده است.
مثلثات یک کلمه یونانی است و ترجمه تحت اللفظی آن به معنای اندازه گیری مثلث ها است (trigonan - مثلث، metreo - من اندازه می گیرم).
پیدایش مثلثات ارتباط نزدیکی با نقشه برداری زمین، نجوم و ساخت و ساز داشت.

یک دانش آموز در سن 14-15 سالگی همیشه نمی داند که برای تحصیل به کجا خواهد رفت و کجا کار خواهد کرد.
برای برخی از مشاغل، دانش آن ضروری است، زیرا ... به شما امکان می دهد فاصله تا ستاره های نزدیک را در نجوم، بین مکان های دیدنی در جغرافیا اندازه گیری کنید و سیستم های ناوبری ماهواره ای را کنترل کنید. اصول مثلثات همچنین در زمینه هایی مانند تئوری موسیقی، آکوستیک، اپتیک، تحلیل بازار مالی، الکترونیک، تئوری احتمال، آمار، زیست شناسی، پزشکی (شامل اولتراسوند و توموگرافی کامپیوتری)، داروسازی، شیمی، نظریه اعداد (و... پیامد، رمزنگاری)، لرزه‌شناسی، هواشناسی، اقیانوس‌شناسی، نقشه‌برداری، بسیاری از شاخه‌های فیزیک، توپوگرافی و ژئودزی، معماری، آوایی، اقتصاد، مهندسی الکترونیک، مهندسی مکانیک، گرافیک کامپیوتری، کریستالوگرافی.

تعریف موضوع تحقیق

چرا دانش مثلثات برای آن ضروری است انسان مدرن?

3.اهداف پروژه

ارتباط بین مثلثات و زندگی واقعی

سوال مشکل ساز
1. کدام مفاهیم مثلثاتی بیشتر در زندگی واقعی استفاده می شود؟
2. مثلثات چه نقشی در نجوم، فیزیک، زیست شناسی و پزشکی دارد؟
3. معماری، موسیقی و مثلثات چگونه به هم مرتبط هستند؟

فرضیه

اکثریت پدیده های فیزیکیطبیعت، فرآیندهای فیزیولوژیکی، الگوهای موسیقی و هنر را می توان با استفاده از مثلثات و توابع مثلثاتی توصیف کرد.

آزمایش فرضیه

مثلثات (از یونانی مثلثی - مثلث، مترو – متریک) – ریزمقطع ریاضیات که روابط بین مقادیر زاویه ها و طول اضلاع مثلث ها و همچنین هویت های جبری توابع مثلثاتی را مطالعه می کند.

آغاز دانش مثلثاتی در دوران باستان آغاز شد. در مراحل اولیه، مثلثات در ارتباط نزدیک با نجوم توسعه یافت و بخش کمکی آن بود.

تاریخچه مثلثات:

خاستگاه مثلثات به مصر باستان، بابل و دره سند بیش از 3000 سال پیش برمی گردد.

کلمه مثلثات اولین بار در سال 1505 در عنوان کتابی توسط ریاضیدان آلمانی پیتیسکوس آمده است.

برای اولین بار، روش هایی برای حل مثلث ها بر اساس وابستگی های بین اضلاع و زوایای مثلث توسط اخترشناسان یونان باستان هیپارخوس و بطلمیوس یافت شد.

مردم باستان ارتفاع یک درخت را با مقایسه طول سایه آن با طول سایه قطبی که ارتفاع آن مشخص بود محاسبه می کردند. از ستاره ها برای محاسبه موقعیت یک کشتی در دریا استفاده می شد.

گام بعدی در توسعه مثلثات توسط هندی ها در دوره قرن پنجم تا دوازدهم انجام شد.

خود اصطلاح کسینوس خیلی دیرتر در آثار دانشمندان اروپایی برای اولین بار در پایان قرن شانزدهم از به اصطلاح "سینوس مکمل" ظاهر شد. سینوس زاویه ای که زاویه داده شده را تا 90 درجه تکمیل می کند. "Sine of the complement" یا (در لاتین) sinus complementi شروع به اختصار sinus co یا co-sinus کرد.

که در قرن XVII - XIX مثلثات به یکی از فصول تحلیل ریاضی تبدیل می شود.

کاربرد گسترده ای در مکانیک، فیزیک و فناوری، به ویژه در مطالعه حرکات نوسانی و سایر فرآیندهای دوره ای دارد.

ژان فوریه ثابت کرد که هر حرکت تناوبی را می توان (با هر درجه ای از دقت) به عنوان مجموع نوسانات هارمونیک ساده نشان داد.

مراحل توسعه مثلثات:

مثلثات با نیاز به اندازه گیری زوایا زنده شد.

اولین مراحل مثلثات ایجاد ارتباط بین بزرگی زاویه و نسبت قطعات خط مستقیم ساخته شده ویژه بود. نتیجه توانایی حل مثلث های مسطح است.

نیاز به جدول بندی مقادیر توابع مثلثاتی وارد شده.

توابع مثلثاتی به موضوعات مستقل تحقیق تبدیل شدند.

در قرن 18 توابع مثلثاتی گنجانده شد

وارد سیستم تحلیل ریاضی

از مثلثات در کجا استفاده می شود؟

محاسبات مثلثاتی تقریباً در تمام زمینه های زندگی انسان استفاده می شود. لازم به ذکر است که از آن در زمینه هایی مانند نجوم، فیزیک، طبیعت، زیست شناسی، موسیقی، پزشکی و بسیاری موارد دیگر استفاده می شود.

مثلثات در نجوم:

نیاز به حل مثلث اولین بار در نجوم کشف شد. بنابراین، برای مدت طولانی، مثلثات به عنوان یکی از شاخه های نجوم توسعه و مطالعه شد.

جداول موقعیت های خورشید و ماه که توسط هیپارخوس گردآوری شده است، امکان پیش محاسبه لحظه های شروع خسوف ها (با خطای 1-2 ساعت) را فراهم می کند. هیپارخوس اولین کسی بود که از روش های مثلثات کروی در نجوم استفاده کرد. او دقت مشاهدات را با استفاده از تلاقی نخ ها در ابزارهای گونیومتریک - سکسستان و ربع - برای اشاره به نورافشان افزایش داد. این دانشمند کاتالوگ عظیمی از موقعیت های 850 ستاره برای آن زمان ها جمع آوری کرد و آنها را بر اساس روشنایی به 6 درجه (قدرهای ستاره ای) تقسیم کرد. هیپارخوس مختصات جغرافیایی - طول و عرض جغرافیایی را معرفی کرد و می توان او را بنیانگذار جغرافیای ریاضی دانست. (حدود 190 قبل از میلاد - حدود 120 قبل از میلاد)

دستاوردهای ویتا در مثلثات
یک راه حل کامل برای مسئله تعیین تمام عناصر یک صفحه یا مثلث کروی از سه عنصر داده شده، بسط های مهم sinпх و cosпх در توان های cos x و sinx. دانستن فرمول سینوس ها و کسینوس های کمان های متعدد ویت را قادر ساخت معادله 45 درجه پیشنهاد شده توسط ریاضیدان A. Roomen را حل کند. ویت نشان داد که حل این معادله به تقسیم زاویه به 45 قسمت مساوی کاهش می یابد و 23 ریشه مثبت این معادله وجود دارد. ویت با استفاده از خط کش و قطب نما مشکل آپولونیوس را حل کرد.
حل مثلث های کروی یکی از مسائل نجوم است، قضایای زیر به ما امکان می دهد اضلاع و زوایای هر مثلث کروی را از سه ضلع یا زاویه مشخص شده به طور مناسب محاسبه کنیم: (قضیه سینوسی) (قضیه کسینوس برای زاویه ها) (قضیه کسینوس برای اضلاع) .

مثلثات در فیزیک:

در دنیای اطراف ما باید با فرآیندهای دوره ای روبرو شویم که در فواصل زمانی منظم تکرار می شوند. به این فرآیندها نوسانی می گویند. پدیده های نوسانی با ماهیت های فیزیکی مختلف از قوانین کلی پیروی می کنند و با همان معادلات توصیف می شوند. آنها با هم تفاوت دارند انواع پدیده های نوسانی

نوسان هارمونیک- پدیده تغییر دوره ای هر کمیت که در آن وابستگی به آرگومان دارای ویژگی تابع سینوس یا کسینوس است. به عنوان مثال، یک کمیت به طور هماهنگ نوسان می کند و در طول زمان به صورت زیر تغییر می کند:

جایی که x مقدار کمیت متغیر است، t زمان، A دامنه نوسانات، ω فرکانس چرخه ای نوسانات، فاز کامل نوسانات، r فاز اولیه نوسانات است.

نوسان هارمونیک تعمیم یافته به شکل دیفرانسیل x'' + ω²x = 0.

ارتعاشات مکانیکی . ارتعاشات مکانیکیحرکات اجسامی هستند که دقیقاً در فواصل زمانی مساوی تکرار می شوند. یک نمایش گرافیکی از این تابع یک نمایش بصری از روند فرآیند نوسانی در طول زمان می دهد. نمونه‌هایی از سیستم‌های نوسانی مکانیکی ساده عبارتند از وزنه روی فنر یا آونگ ریاضی.

مثلثات در طبیعت

ما اغلب این سوال را می پرسیم "چرا ما گاهی اوقات چیزهایی را می بینیم که واقعا وجود ندارند؟". سؤالات زیر برای تحقیق پیشنهاد شده است: "رنگین کمان چگونه ظاهر می شود؟ شفق شمالی؟»، «توهمات نوری چیست؟» "چگونه مثلثات می تواند به پاسخ به این سوالات کمک کند؟"

نظریه رنگین کمان اولین بار در سال 1637 توسط رنه دکارت ارائه شد. وی رنگین کمان را پدیده ای مرتبط با انعکاس و شکست نور در قطرات باران توضیح داد.

شفق‌های شمالی نفوذ ذرات باردار باد خورشیدی به لایه‌های بالایی جو سیارات توسط برهمکنش میدان مغناطیسی سیاره با باد خورشیدی تعیین می‌شود.

نیروی وارد بر ذره باردار که در میدان مغناطیسی حرکت می کند، نیروی لورنتس نامیده می شود. با بار ذره و حاصل ضرب بردار میدان و سرعت ذره متناسب است.

مثلثات چند منظوره

دانشمندان آمریکایی ادعا می کنند که مغز با اندازه گیری زاویه بین صفحه زمین و صفحه دید، فاصله اشیاء را تخمین می زند.

علاوه بر این، در زیست شناسی مفاهیمی مانند سینوس کاروتید، سینوس کاروتید و سینوس وریدی یا کاورنو استفاده می شود.

مثلثات و توابع مثلثاتی در پزشکی و زیست شناسی.

یکی از خواص اساسیطبیعت زنده طبیعت چرخه ای اکثر فرآیندهایی است که در آن اتفاق می افتد.

ریتم های بیولوژیکی، بیوریتم ها- اینها تغییرات کم و بیش منظم در ماهیت و شدت فرآیندهای بیولوژیکی هستند.

ریتم اصلی زمین- کمک هزینه روزانه

مدلی از بیوریتم ها را می توان با استفاده از توابع مثلثاتی ساخت.

مثلثات در زیست شناسی

کدام فرآیندهای بیولوژیکیمربوط به مثلثات؟

مثلثات نقش مهمی در پزشکی دارد. دانشمندان ایرانی با کمک آن فرمول قلب را کشف کردند - معادله پیچیده جبری-مثلثی متشکل از 8 عبارت، 32 ضریب و 33 پارامتر اساسی، از جمله چندین مورد اضافی برای محاسبات در موارد آریتمی.

ریتم های بیولوژیکی، بیوریتم ها با مثلثات مرتبط هستند

ارتباط بین بیوریتم ها و مثلثات

مدلی از بیوریتم ها را می توان با استفاده از نمودارهای توابع مثلثاتی ساخت. برای انجام این کار، باید تاریخ تولد فرد (روز، ماه، سال) و مدت زمان پیش بینی را وارد کنید.

حرکت ماهی در آب طبق قانون سینوس یا کسینوس انجام می شود، اگر نقطه ای را روی دم ثابت کنید و سپس مسیر حرکت را در نظر بگیرید.

هنگامی که یک پرنده پرواز می کند، مسیر بال های تکان دهنده یک سینوسی تشکیل می دهد.

ظهور هارمونی موسیقی

طبق افسانه هایی که از دوران باستان آمده است، اولین کسانی که سعی در انجام این کار کردند فیثاغورث و شاگردانش بودند.

فرکانس های مربوط به همان نت در اول، دوم و غیره. اکتاوها به صورت 1:2:4:8 مرتبط هستند...

مقیاس دیاتونیک 2:3:5

مثلثات در معماری

مدرسه کودکان گائودی در بارسلون

شرکت بیمه سوئیس ری در لندن

رستوران فلیکس کاندلا در لس مانانتیالس

تفسیر

ما فقط بخش کوچکی از جایی که توابع مثلثاتی را می توان یافت، ارائه دادیم. متوجه شدیم که مثلثات با نیاز به اندازه گیری زوایا جان گرفت، اما با گذشت زمان به علم توابع مثلثاتی تبدیل شد.

ما ثابت کرده ایم که مثلثات ارتباط نزدیکی با فیزیک دارد و در طبیعت و پزشکی یافت می شود. می توان بی پایان مثال های زیادی از فرآیندهای دوره ای زندگی و طبیعت بی جان. تمام فرآیندهای دوره ای را می توان با استفاده از توابع مثلثاتی توصیف کرد و روی نمودارها نشان داد

ما فکر می کنیم که مثلثات در زندگی ما و کره ها منعکس شده است

که در آن نقش مهمی ایفا می کند گسترش خواهد یافت.

نتیجه

متوجه شدم فهمیدن پی بردنکه مثلثات با نیاز به اندازه گیری زوایا زنده شد، اما با گذشت زمان به علم توابع مثلثاتی تبدیل شد.

ثابتکه مثلثات ارتباط نزدیکی با فیزیک دارد که در طبیعت، موسیقی، نجوم و پزشکی یافت می شود.

ما فکر می کنیمکه مثلثات در زندگی ما منعکس می شود و حوزه هایی که در آن نقش مهمی ایفا می کند گسترش خواهد یافت.

7. ادبیات.

ماسلوا T.N. "راهنمای ریاضیات دانش آموزی"

برنامه Maple6 که تصویر نمودارها را پیاده سازی می کند

"ویکیپدیا"

مطالعات. ru

Math.ru "کتابخانه"

تاریخ ریاضیات از دوران باستان تا آغاز قرن نوزدهم در 3 جلد // ویرایش. A. P. Yushkevich. مسکو، 1970 – جلد 1-3 E. T. Bell خالقان ریاضیات.

پیشینیان ریاضیات مدرن // ویرایش. S. N. Niro. مسکو، 1983 A. N. Tikhonov، D. P. Kostomarov.

داستان هایی در مورد ریاضیات کاربردی // مسکو، 1979. A.V. Voloshinov. ریاضیات و هنر // مسکو، 1992. روزنامه ریاضیات. ضمیمه روزنامه مورخ 1 شهریور 1377.

مثلثات در نجوم:

نیاز به حل مثلث اولین بار در نجوم کشف شد. بنابراین، برای مدت طولانی، مثلثات به عنوان یکی از شاخه های نجوم توسعه و مطالعه شد.

جداول موقعیت های خورشید و ماه که توسط هیپارخوس گردآوری شده است، امکان پیش محاسبه لحظه های شروع خسوف ها (با خطای 1-2 ساعت) را فراهم می کند. هیپارخوس اولین کسی بود که از روش های مثلثات کروی در نجوم استفاده کرد. او دقت مشاهدات خود را با استفاده از تلاقی رشته‌ها در ابزارهای گونیومتریک - سکسنت‌ها و ربع‌ها - برای اشاره به نورافشان افزایش داد. این دانشمند کاتالوگ عظیمی از موقعیت های 850 ستاره برای آن زمان ها جمع آوری کرد و آنها را بر اساس روشنایی به 6 درجه (قدرهای ستاره ای) تقسیم کرد. هیپارخوس مختصات جغرافیایی - طول و عرض جغرافیایی را معرفی کرد و می توان او را بنیانگذار جغرافیای ریاضی دانست. (حدود 190 قبل از میلاد - حدود 120 قبل از میلاد)


یک راه حل کامل برای مسئله تعیین تمام عناصر یک صفحه یا مثلث کروی از سه عنصر داده شده، بسط های مهم sinпх و cosпх در توان های cos x و sinx. دانستن فرمول سینوس ها و کسینوس های کمان های متعدد ویت را قادر ساخت معادله 45 درجه پیشنهاد شده توسط ریاضیدان A. Roomen را حل کند. ویت نشان داد که حل این معادله به تقسیم زاویه به 45 قسمت مساوی کاهش می یابد و 23 ریشه مثبت این معادله وجود دارد. ویت با استفاده از خط کش و قطب نما مشکل آپولونیوس را حل کرد.
حل مثلث های کروی یکی از مسائل نجوم است، قضایای زیر به ما امکان می دهد اضلاع و زوایای هر مثلث کروی را از سه ضلع یا زاویه مشخص شده به طور مناسب محاسبه کنیم: (قضیه سینوسی) (قضیه کسینوس برای زاویه ها) (قضیه کسینوس برای اضلاع) .

مثلثات در فیزیک:

انواع پدیده های نوسانی

نوسان هارمونیک پدیده ای از تغییر دوره ای از هر کمیت است که در آن وابستگی به آرگومان دارای ویژگی تابع سینوسی یا کسینوس است. به عنوان مثال، یک کمیت به طور هماهنگ نوسان می کند و در طول زمان به صورت زیر تغییر می کند:

جایی که x مقدار کمیت متغیر است، t زمان، A دامنه نوسانات، ω فرکانس چرخه ای نوسانات، فاز کامل نوسانات، r فاز اولیه نوسانات است.

ارتعاشات مکانیکی . ارتعاشات مکانیکی

مثلثات در طبیعت

ما اغلب این سوال را می پرسیم

• یکی از خواص اساسی
• - اینها تغییرات کم و بیش منظم در ماهیت و شدت فرآیندهای بیولوژیکی هستند.
• ریتم اصلی زمین- کمک هزینه روزانه

مثلثات در زیست شناسی

• مثلثات نقش مهمی در پزشکی دارد. دانشمندان ایرانی با کمک آن فرمول قلب را کشف کردند - معادله پیچیده جبری-مثلثی متشکل از 8 عبارت، 32 ضریب و 33 پارامتر اساسی، از جمله چندین مورد اضافی برای محاسبات در موارد آریتمی.

• مقیاس دیاتونیک 2:3:5

مثلثات در معماری

• شرکت بیمه سوئیس ری در لندن

1. تفسیر

ما فقط بخش کوچکی از جایی که می توانید توابع مثلثاتی را پیدا کنید، آورده ایم

ما ثابت کرده ایم که مثلثات ارتباط نزدیکی با فیزیک دارد و در طبیعت و پزشکی یافت می شود. می توان نمونه های بی پایان بسیاری از فرآیندهای دوره ای طبیعت زنده و بی جان را ارائه داد. تمام فرآیندهای دوره ای را می توان با استفاده از توابع مثلثاتی توصیف کرد و روی نمودارها نشان داد

ما فکر می کنیم که مثلثات در زندگی ما و کره ها منعکس شده است

که در آن نقش مهمی ایفا می کند گسترش خواهد یافت.

• متوجه شدم فهمیدن پی بردنکه مثلثات با نیاز به اندازه گیری زوایا زنده شد، اما با گذشت زمان به علم توابع مثلثاتی تبدیل شد.
• ثابت
• ما فکر می کنیم

مشاهده محتویات سند
فیلمنامه "دانیلوا تی وی"

MKOU "دبیرستان Nenets - مدرسه شبانه روزی به نام. A.P. Pyrerki"

پروژه آموزشی

" "

دانیلووا تاتیانا ولادیمیروا

معلم ریاضی

توجیه مرتبط بودن پروژه

مثلثات شاخه ای از ریاضیات است که به مطالعه توابع مثلثاتی می پردازد. تصورش سخت است، اما ما نه تنها در درس ریاضیات، بلکه در زندگی روزمره خود نیز با این علم مواجه می شویم. شاید به آن مشکوک نبوده باشید، اما مثلثات در علومی مانند فیزیک، زیست‌شناسی یافت می‌شود، نقش مهمی در پزشکی ایفا می‌کند و جالب‌تر از همه، حتی موسیقی و معماری هم نمی‌توانند بدون آن کار کنند.
کلمه مثلثات اولین بار در سال 1505 در عنوان کتابی توسط ریاضیدان آلمانی پیتیسکوس آمده است.
مثلثات یک کلمه یونانی است و ترجمه تحت اللفظی آن به معنای اندازه گیری مثلث ها است (trigonan - مثلث، metreo - من اندازه می گیرم).
پیدایش مثلثات ارتباط نزدیکی با نقشه برداری زمین، نجوم و ساخت و ساز داشت.

یک دانش آموز در سن 14-15 سالگی همیشه نمی داند که برای تحصیل به کجا خواهد رفت و کجا کار خواهد کرد.
برای برخی از مشاغل، دانش آن ضروری است، زیرا ... به شما امکان می دهد فاصله تا ستاره های نزدیک را در نجوم، بین مکان های دیدنی در جغرافیا اندازه گیری کنید و سیستم های ناوبری ماهواره ای را کنترل کنید. اصول مثلثات همچنین در زمینه هایی مانند تئوری موسیقی، آکوستیک، اپتیک، تحلیل بازار مالی، الکترونیک، تئوری احتمال، آمار، زیست شناسی، پزشکی (شامل اولتراسوند و توموگرافی کامپیوتری)، داروسازی، شیمی، نظریه اعداد (و... پیامد، رمزنگاری)، لرزه‌شناسی، هواشناسی، اقیانوس‌شناسی، نقشه‌برداری، بسیاری از شاخه‌های فیزیک، توپوگرافی و ژئودزی، معماری، آوایی، اقتصاد، مهندسی الکترونیک، مهندسی مکانیک، گرافیک کامپیوتری، کریستالوگرافی.

تعریف موضوع تحقیق

3. اهداف پروژه

سوال مشکل ساز
1. کدام مفاهیم مثلثاتی بیشتر در زندگی واقعی استفاده می شود؟
2. مثلثات چه نقشی در نجوم، فیزیک، زیست شناسی و پزشکی دارد؟
3. معماری، موسیقی و مثلثات چگونه به هم مرتبط هستند؟

فرضیه

آزمایش فرضیه

مثلثات (از یونانیمثلثی - مثلث،مترو – متریک) –

تاریخچه مثلثات:

مردم باستان ارتفاع یک درخت را با مقایسه طول سایه آن با طول سایه قطبی که ارتفاع آن مشخص بود محاسبه می کردند. از ستاره ها برای محاسبه موقعیت یک کشتی در دریا استفاده می شد.

گام بعدی در توسعه مثلثات توسط هندی ها در دوره قرن پنجم تا دوازدهم انجام شد.

خود اصطلاح کسینوس خیلی دیرتر در آثار دانشمندان اروپایی برای اولین بار در پایان قرن شانزدهم از به اصطلاح "سینوس مکمل" ظاهر شد. سینوس زاویه ای که زاویه داده شده را تا 90 درجه تکمیل می کند. "Sine of the complement" یا (در لاتین) sinus complementi شروع به اختصار sinus co یا co-sinus کرد.

در قرن XVII - XIX. مثلثات به یکی از فصول تحلیل ریاضی تبدیل می شود.

کاربرد گسترده ای در مکانیک، فیزیک و فناوری، به ویژه در مطالعه حرکات نوسانی و سایر فرآیندهای دوره ای دارد.

ژان فوریه ثابت کرد که هر حرکت تناوبی را می توان (با هر درجه ای از دقت) به عنوان مجموع نوسانات هارمونیک ساده نشان داد.

وارد سیستم تحلیل ریاضی

از مثلثات در کجا استفاده می شود؟

محاسبات مثلثاتی تقریباً در تمام زمینه های زندگی انسان استفاده می شود. لازم به ذکر است که از آن در زمینه هایی مانند نجوم، فیزیک، طبیعت، زیست شناسی، موسیقی، پزشکی و بسیاری موارد دیگر استفاده می شود.

مثلثات در نجوم:

نیاز به حل مثلث اولین بار در نجوم کشف شد. بنابراین، برای مدت طولانی، مثلثات به عنوان یکی از شاخه های نجوم توسعه و مطالعه شد.

نیاز به حل مثلث اولین بار در نجوم کشف شد. بنابراین، برای مدت طولانی، مثلثات به عنوان یکی از شاخه های نجوم توسعه و مطالعه شد.

دستاوردهای ویتا در مثلثات
یک راه حل کامل برای مسئله تعیین تمام عناصر یک صفحه یا مثلث کروی از سه عنصر داده شده، بسط های مهم sinпх و cosпх در توان های cos x و sinx. دانستن فرمول سینوس ها و کسینوس های کمان های متعدد ویت را قادر ساخت معادله 45 درجه پیشنهاد شده توسط ریاضیدان A. Roomen را حل کند. ویت نشان داد که حل این معادله به تقسیم زاویه به 45 قسمت مساوی کاهش می یابد و 23 ریشه مثبت این معادله وجود دارد. ویت با استفاده از خط کش و قطب نما مشکل آپولونیوس را حل کرد.
حل مثلث های کروی یکی از مسائل نجوم است، قضایای زیر به ما امکان می دهد اضلاع و زوایای هر مثلث کروی را از سه ضلع یا زاویه مشخص شده به طور مناسب محاسبه کنیم: (قضیه سینوسی) (قضیه کسینوس برای زاویه ها) (قضیه کسینوس برای اضلاع) .

مثلثات در فیزیک:

در دنیای اطراف ما باید با فرآیندهای دوره ای روبرو شویم که در فواصل زمانی منظم تکرار می شوند. به این فرآیندها نوسانی می گویند. پدیده های نوسانی با ماهیت های فیزیکی مختلف از قوانین کلی پیروی می کنند و با همان معادلات توصیف می شوند. آنها با هم تفاوت دارند انواع پدیده های نوسانی

نوسان هارمونیک- پدیده تغییر دوره ای هر کمیت که در آن وابستگی به آرگومان دارای ویژگی تابع سینوس یا کسینوس است. به عنوان مثال، یک کمیت به طور هماهنگ نوسان می کند و در طول زمان به صورت زیر تغییر می کند:

جایی که x مقدار کمیت متغیر است، t زمان، A دامنه نوسانات، ω فرکانس چرخه ای نوسانات، فاز کامل نوسانات، r فاز اولیه نوسانات است.

نوسان هارمونیک تعمیم یافته به شکل دیفرانسیل x'' + ω²x = 0.

ارتعاشات مکانیکی . ارتعاشات مکانیکیحرکات اجسامی هستند که دقیقاً در فواصل زمانی مساوی تکرار می شوند. یک نمایش گرافیکی از این تابع یک نمایش بصری از روند فرآیند نوسانی در طول زمان می دهد. نمونه‌هایی از سیستم‌های نوسانی مکانیکی ساده عبارتند از وزنه روی فنر یا آونگ ریاضی.

مثلثات در طبیعت

ما اغلب این سوال را می پرسیم "چرا ما گاهی اوقات چیزهایی را می بینیم که واقعا وجود ندارند؟". سؤالات زیر برای تحقیق پیشنهاد شده است: "رنگین کمان چگونه ظاهر می شود؟ شفق شمالی؟»، «توهمات نوری چیست؟» "چگونه مثلثات می تواند به پاسخ به این سوالات کمک کند؟"

نظریه رنگین کمان اولین بار در سال 1637 توسط رنه دکارت ارائه شد. وی رنگین کمان را پدیده ای مرتبط با انعکاس و شکست نور در قطرات باران توضیح داد.

شفق‌های شمالی نفوذ ذرات باردار باد خورشیدی به لایه‌های بالایی جو سیارات توسط برهمکنش میدان مغناطیسی سیاره با باد خورشیدی تعیین می‌شود.

نیروی وارد بر ذره باردار که در میدان مغناطیسی حرکت می کند، نیروی لورنتس نامیده می شود. با بار ذره و حاصل ضرب بردار میدان و سرعت ذره متناسب است.

دانشمندان آمریکایی ادعا می کنند که مغز با اندازه گیری زاویه بین صفحه زمین و صفحه دید، فاصله اشیاء را تخمین می زند.

علاوه بر این، در زیست شناسی مفاهیمی مانند سینوس کاروتید، سینوس کاروتید و سینوس وریدی یا کاورنو استفاده می شود.

مثلثات نقش مهمی در پزشکی دارد. دانشمندان ایرانی با کمک آن فرمول قلب را کشف کردند - معادله پیچیده جبری-مثلثی متشکل از 8 عبارت، 32 ضریب و 33 پارامتر اساسی، از جمله چندین مورد اضافی برای محاسبات در موارد آریتمی.

یکی از خواص اساسیطبیعت زنده طبیعت چرخه ای اکثر فرآیندهایی است که در آن اتفاق می افتد.

ریتم های بیولوژیکی، بیوریتم ها

ریتم اصلی زمین- کمک هزینه روزانه

مدلی از بیوریتم ها را می توان با استفاده از توابع مثلثاتی ساخت.

مثلثات در زیست شناسی

چه فرآیندهای بیولوژیکی با مثلثات مرتبط است؟

مثلثات نقش مهمی در پزشکی دارد. دانشمندان ایرانی با کمک آن فرمول قلب را کشف کردند - معادله پیچیده جبری-مثلثی متشکل از 8 عبارت، 32 ضریب و 33 پارامتر اساسی، از جمله چندین مورد اضافی برای محاسبات در موارد آریتمی.

ریتم های بیولوژیکی، بیوریتم ها با مثلثات مرتبط هستند

مدلی از بیوریتم ها را می توان با استفاده از نمودارهای توابع مثلثاتی ساخت. برای انجام این کار، باید تاریخ تولد فرد (روز، ماه، سال) و مدت زمان پیش بینی را وارد کنید.

حرکت ماهی در آب طبق قانون سینوس یا کسینوس انجام می شود، اگر نقطه ای را روی دم ثابت کنید و سپس مسیر حرکت را در نظر بگیرید.

ظهور هارمونی موسیقی

طبق افسانه هایی که از دوران باستان آمده است، اولین کسانی که سعی در انجام این کار کردند فیثاغورث و شاگردانش بودند.

فرکانس های مربوط به همان نت در اول، دوم و غیره. اکتاوها به صورت 1:2:4:8 مرتبط هستند...

مقیاس دیاتونیک 2:3:5

مثلثات در معماری

مدرسه کودکان گائودی در بارسلون

شرکت بیمه سوئیس ری در لندن

رستوران فلیکس کاندلا در لس مانانتیالس

تفسیر

ما فقط بخش کوچکی از جایی که توابع مثلثاتی را می توان یافت، ارائه دادیم. متوجه شدیم که مثلثات با نیاز به اندازه گیری زوایا جان گرفت، اما با گذشت زمان به علم توابع مثلثاتی تبدیل شد.

ما ثابت کرده ایم که مثلثات ارتباط نزدیکی با فیزیک دارد و در طبیعت و پزشکی یافت می شود. می توان نمونه های بی پایان بسیاری از فرآیندهای دوره ای طبیعت زنده و بی جان را ارائه داد. تمام فرآیندهای دوره ای را می توان با استفاده از توابع مثلثاتی توصیف کرد و روی نمودارها نشان داد

ما فکر می کنیم که مثلثات در زندگی ما و کره ها منعکس شده است

که در آن نقش مهمی ایفا می کند گسترش خواهد یافت.

متوجه شدم فهمیدن پی بردنکه مثلثات با نیاز به اندازه گیری زوایا زنده شد، اما با گذشت زمان به علم توابع مثلثاتی تبدیل شد.

ثابتکه مثلثات ارتباط نزدیکی با فیزیک دارد که در طبیعت، موسیقی، نجوم و پزشکی یافت می شود.

ما فکر می کنیمکه مثلثات در زندگی ما منعکس می شود و حوزه هایی که در آن نقش مهمی ایفا می کند گسترش خواهد یافت.

7. ادبیات.

برنامه Maple6 که تصویر نمودارها را پیاده سازی می کند

"ویکیپدیا"

Ucheba.ru

Math.ru "کتابخانه"

مشاهده محتوای ارائه
"دانیلوا تی وی."

" مثلثات در دنیای اطراف ما و زندگی انسان "

اهداف پژوهش:

ارتباط بین مثلثات و زندگی واقعی

سوال مشکل ساز 1. کدام مفاهیم مثلثاتی بیشتر در زندگی واقعی استفاده می شود؟ 2. مثلثات چه نقشی در نجوم، فیزیک، زیست شناسی و پزشکی دارد؟ 3. معماری، موسیقی و مثلثات چگونه به هم مرتبط هستند؟

فرضیه

بیشتر پدیده های فیزیکی طبیعت، فرآیندهای فیزیولوژیکی، الگوهای موسیقی و هنر را می توان با استفاده از مثلثات و توابع مثلثاتی توصیف کرد.

مثلثات چیست؟؟؟

مثلثات (از مثلث یونانی - مثلث، مترو - متریک) -ریزمقطع ریاضیات که روابط بین مقادیر زاویه ها و طول اضلاع مثلث ها و همچنین هویت های جبری توابع مثلثاتی را مطالعه می کند.

تاریخچه مثلثات

خاستگاه مثلثات به مصر باستان، بابل و دره سند بیش از 3000 سال پیش برمی گردد.

کلمه مثلثات اولین بار در سال 1505 در عنوان کتابی توسط ریاضیدان آلمانی پیتیسکوس آمده است.

برای اولین بار، روش هایی برای حل مثلث ها بر اساس وابستگی های بین اضلاع و زوایای مثلث توسط اخترشناسان یونان باستان هیپارخوس و بطلمیوس یافت شد.

مردم باستان ارتفاع یک درخت را با مقایسه طول سایه آن با طول سایه قطبی که ارتفاع آن مشخص بود محاسبه می کردند.

از ستاره ها برای محاسبه موقعیت یک کشتی در دریا استفاده می شد.

گام بعدی در توسعه مثلثات توسط هندی ها در دوره قرن پنجم تا دوازدهم انجام شد.

که در تفاوت با یونانی ها یانس دیگر تمام وتر MM را در نظر گرفت و در محاسبات استفاده کرد  زاویه مرکزی مربوطه، اما فقط نیمه MR آن، یعنی سینوس  - نیمی از زاویه مرکزی.

خود اصطلاح کسینوس خیلی دیرتر در آثار دانشمندان اروپایی برای اولین بار در پایان قرن شانزدهم از به اصطلاح ظاهر شد. « مکمل سینوس » ، یعنی سینوس زاویه ای که زاویه داده شده را تا 90 تکمیل می کند  . « مکمل سینوسی » یا (در لاتین) sinus complementi شروع به اختصار sinus co یا co-sinus کرد.

هندی ها همراه با سینوس وارد مثلثات شدند کسینوس به طور دقیق تر، آنها شروع به استفاده از خط کسینوس در محاسبات خود کردند. آنها همچنین روابط را می دانستند  =sin(90  -  ) و گناه 2  +cos 2  =r 2 و همچنین فرمول های سینوس مجموع و تفاضل دو زاویه.

در قرن XVII - XIX. مثلثات می شود

یکی از فصل های آنالیز ریاضی

کاربرد وسیعی در مکانیک پیدا می کند،

فیزیک و فناوری، به ویژه هنگام مطالعه

حرکات نوسانی و غیره

فرآیندهای دوره ای

Viète که اولین مطالعات ریاضی او مربوط به مثلثات بود، در مورد خواص تناوب توابع مثلثاتی می دانست.

ثابت کرد که هر دوره ای

حرکت ممکن است

ارائه شده (با هر مدرک

دقت) به صورت مجموع اعداد اول

ارتعاشات هارمونیک

موسس تحلیلی

نظریه ها

مثلثاتی کارکرد .

لئونارد اویلر

در "مقدمه ای بر تحلیل بی نهایت" (1748)

سینوس، کسینوس و غیره را تفسیر می کند. دوست ندارد

خطوط مثلثاتی، مورد نیاز

مربوط به دایره، و چگونه

توابع مثلثاتی که او

به عنوان یک رابطه بین طرفین تلقی می شود

مثلث قائم الزاویه مانند اعداد

مقادیر.

از فرمول های من حذف شده است

R - سینوس کامل، گرفتن

R = 1، و آن را به این شکل ساده کرد

روش ثبت و محاسبه

دکترین را توسعه می دهد

در مورد توابع مثلثاتی

هر استدلال

در قرن 19 ادامه یافت

توسعه تئوری

مثلثاتی

کارکرد.

N.I.Lobachevsky

لوباچفسکی می نویسد: «ملاحظات هندسی تا آغاز مثلثات ضروری هستند، تا زمانی که در خدمت کشف ویژگی های متمایز توابع مثلثاتی باشند... از اینجا، مثلثات کاملاً مستقل از هندسه می شود و تمام مزایای تحلیل را دارد».

مراحل توسعه مثلثات:

• مثلثات با نیاز به اندازه گیری زوایا زنده شد.

• اولین مراحل مثلثات ایجاد ارتباط بین بزرگی زاویه و نسبت قطعات خط مستقیم ساخته شده ویژه بود. نتیجه توانایی حل مثلث های مسطح است.

• نیاز به جدول بندی مقادیر توابع مثلثاتی وارد شده.

• توابع مثلثاتی به موضوعات مستقل تحقیق تبدیل شدند.

• در قرن 18 توابع مثلثاتی گنجانده شد

وارد سیستم تحلیل ریاضی

از مثلثات در کجا استفاده می شود؟

محاسبات مثلثاتی تقریباً در تمام زمینه های زندگی انسان استفاده می شود. لازم به ذکر است که از آن در زمینه هایی مانند نجوم، فیزیک، طبیعت، زیست شناسی، موسیقی، پزشکی و بسیاری موارد دیگر استفاده می شود.

مثلثات در نجوم

نیاز به حل مثلث اولین بار در نجوم کشف شد. بنابراین، برای مدت طولانی، مثلثات به عنوان یکی از شاخه های نجوم توسعه و مطالعه شد.

مثلثات همچنین در میان ستاره شناسان قرون وسطی هند به ارتفاعات قابل توجهی رسید.

دستاورد اصلی ستاره شناسان هندی جایگزینی آکوردها بود

سینوس ها، که امکان معرفی توابع مختلف مرتبط را فراهم کرد

با اضلاع و زوایای یک مثلث قائم الزاویه.

بنابراین، آغاز مثلثات در هند گذاشته شد

به عنوان مطالعه کمیت های مثلثاتی.

جداول موقعیت های خورشید و ماه که توسط هیپارخوس گردآوری شده است، امکان پیش محاسبه لحظه های شروع خسوف ها (با خطای 1-2 ساعت) را فراهم می کند. هیپارخوس اولین کسی بود که از روش های مثلثات کروی در نجوم استفاده کرد. او دقت مشاهدات را با استفاده از تلاقی نخ ها در ابزارهای گونیومتریک - سکسستان و ربع - برای اشاره به نورافشان افزایش داد. این دانشمند کاتالوگ عظیمی از موقعیت های 850 ستاره برای آن زمان ها جمع آوری کرد و آنها را بر اساس روشنایی به 6 درجه (قدرهای ستاره ای) تقسیم کرد. هیپارخوس مختصات جغرافیایی - طول و عرض جغرافیایی را معرفی کرد و می توان او را بنیانگذار جغرافیای ریاضی دانست. (حدود 190 قبل از میلاد - حدود 120 قبل از میلاد)

هیپارکوس

مثلثات در فیزیک

در دنیای اطراف ما باید با فرآیندهای دوره ای روبرو شویم که در فواصل زمانی منظم تکرار می شوند. به این فرآیندها نوسانی می گویند. پدیده های نوسانی با ماهیت های فیزیکی مختلف از قوانین کلی پیروی می کنند و با همان معادلات توصیف می شوند. آنها با هم تفاوت دارند انواع پدیده های نوسانی، به عنوان مثال:

ارتعاشات مکانیکی

ارتعاشات هارمونیک

ارتعاشات هارمونیک

نوسان هارمونیک - پدیده تغییر دوره ای هر کمیت که در آن وابستگی به آرگومان دارای ویژگی تابع سینوس یا کسینوس است. به عنوان مثال، یک کمیت به طور هماهنگ نوسان می کند و در طول زمان به صورت زیر تغییر می کند:

یا

جایی که x مقدار کمیت متغیر است، t زمان، A دامنه نوسانات، ω فرکانس چرخه ای نوسانات، فاز کامل نوسانات، r فاز اولیه نوسانات است.

نوسان هارمونیک تعمیم یافته به شکل دیفرانسیل x'' + ω²x = 0.

ارتعاشات مکانیکی

ارتعاشات مکانیکی حرکات اجسامی هستند که دقیقاً در فواصل زمانی مساوی تکرار می شوند. یک نمایش گرافیکی از این تابع یک نمایش بصری از روند فرآیند نوسانی در طول زمان می دهد.

نمونه‌هایی از سیستم‌های نوسانی مکانیکی ساده عبارتند از وزنه روی فنر یا آونگ ریاضی.

آونگ ریاضی

شکل، نوسانات یک آونگ را نشان می دهد؛ این آونگ در امتداد منحنی به نام کسینوس حرکت می کند.

مسیر گلوله و پیش بینی های برداری بر روی محورهای X و Y

شکل نشان می دهد که پیش بینی بردارها بر روی محور X و Y به ترتیب برابر هستند

υ x = υ o cos α

υ y = υ o sin α

مثلثات در طبیعت

ما اغلب این سوال را می پرسیم "چرا ما گاهی اوقات چیزهایی را می بینیم که واقعا وجود ندارند؟". سؤالات زیر برای تحقیق پیشنهاد شده است: "رنگین کمان چگونه ظاهر می شود؟ شفق شمالی؟»، «توهمات نوری چیست؟» "چگونه مثلثات می تواند به پاسخ به این سوالات کمک کند؟"

توهمات نوری

طبیعی

ساختگی

مختلط

نظریه رنگین کمان

رنگین کمان زمانی رخ می دهد که نور خورشید توسط قطرات آب معلق در هوا شکسته می شود. قانون شکست:

نظریه رنگین کمان اولین بار در سال 1637 توسط رنه دکارت ارائه شد. وی رنگین کمان را پدیده ای مرتبط با انعکاس و شکست نور در قطرات باران توضیح داد.

گناه α /گناه β = n 1 /n 2

که در آن n 1 = 1، n 2 ≈1.33 به ترتیب ضریب شکست هوا و آب هستند، α زاویه تابش، و β زاویه شکست نور است.

شفق شمالی

نفوذ ذرات باردار باد خورشیدی به اتمسفر بالایی سیارات توسط برهمکنش میدان مغناطیسی سیاره با باد خورشیدی تعیین می شود.

نیروی وارد بر ذره باردار که در میدان مغناطیسی حرکت می کند، نیروی لورنتس نامیده می شود. با بار ذره و حاصل ضرب بردار میدان و سرعت ذره متناسب است.

• دانشمندان آمریکایی ادعا می کنند که مغز با اندازه گیری زاویه بین صفحه زمین و صفحه دید، فاصله اشیاء را تخمین می زند.

• علاوه بر این، در زیست شناسی مفاهیمی مانند سینوس کاروتید، سینوس کاروتید و سینوس وریدی یا کاورنو استفاده می شود.

• مثلثات نقش مهمی در پزشکی دارد. دانشمندان ایرانی با کمک آن فرمول قلب را کشف کردند - معادله پیچیده جبری-مثلثی متشکل از 8 عبارت، 32 ضریب و 33 پارامتر اساسی، از جمله چندین مورد اضافی برای محاسبات در موارد آریتمی.

• یکی از خواص اساسیطبیعت زنده طبیعت چرخه ای اکثر فرآیندهایی است که در آن اتفاق می افتد.

• ریتم های بیولوژیکی، بیوریتم ها- اینها تغییرات کم و بیش منظم در ماهیت و شدت فرآیندهای بیولوژیکی هستند.

• ریتم اصلی زمین- کمک هزینه روزانه

• مدلی از بیوریتم ها را می توان با استفاده از توابع مثلثاتی ساخت.

مثلثات در زیست شناسی

چه فرآیندهای بیولوژیکی با مثلثات مرتبط است؟

• مثلثات نقش مهمی در پزشکی دارد. دانشمندان ایرانی با کمک آن فرمول قلب را کشف کردند - معادله پیچیده جبری-مثلثی متشکل از 8 عبارت، 32 ضریب و 33 پارامتر اساسی، از جمله چندین مورد اضافی برای محاسبات در موارد آریتمی.
• ریتم های بیولوژیکی، بیوریتم ها با مثلثات مرتبط هستند.

• مدلی از بیوریتم ها را می توان با استفاده از نمودارهای توابع مثلثاتی ساخت.

• برای انجام این کار، باید تاریخ تولد فرد (روز، ماه، سال) و مدت زمان پیش بینی را وارد کنید.

مثلثات در زیست شناسی

حرکت ماهی در آب طبق قانون سینوس یا کسینوس انجام می شود، اگر نقطه ای را روی دم ثابت کنید و سپس مسیر حرکت را در نظر بگیرید.

هنگام شنا، بدن ماهی به شکل منحنی شبیه نمودار تابع y=tgx است.

ظهور هارمونی موسیقی

• طبق افسانه هایی که از دوران باستان آمده است، اولین کسانی که سعی در انجام این کار کردند فیثاغورث و شاگردانش بودند.

• فرکانس های مربوطه

همان یادداشت در اول، دوم و غیره اکتاوها به صورت 1:2:4:8 مرتبط هستند...

• مقیاس دیاتونیک 2:3:5

موسیقی هندسه خاص خود را دارد

چهار وجهی انواع آکوردهای چهارصدایی:

آبی - فواصل کوچک؛

زنگ های گرم تر - صداهای آکورد "تخلیه" بیشتر. کره قرمز هماهنگ ترین وتر با فواصل مساوی بین نت ها است.

cos 2 ج + گناه 2 C = 1

AC– فاصله بالای مجسمه تا چشمان فرد،

AN- ارتفاع مجسمه،

گناه ج- سینوس زاویه تابش نگاه.

مثلثات در معماری

مدرسه کودکان گائودی در بارسلون

شرکت بیمه سوئیس ری در لندن

y = f (λ)cos θ

z = f (λ)sin θ

فلیکس کاندلا رستوران در لس Manantiales

• متوجه شدم فهمیدن پی بردنکه مثلثات با نیاز به اندازه گیری زوایا زنده شد، اما با گذشت زمان به علم توابع مثلثاتی تبدیل شد.

• ثابتکه مثلثات ارتباط نزدیکی با فیزیک دارد که در طبیعت، موسیقی، نجوم و پزشکی یافت می شود.

• ما فکر می کنیمکه مثلثات در زندگی ما منعکس می شود و حوزه هایی که در آن نقش مهمی ایفا می کند گسترش خواهد یافت.

مثلثات راه طولانی را در توسعه پیموده است. و حالا با اطمینان می توان گفت که مثلثات وابسته به علوم دیگر نیست و سایر علوم وابسته به مثلثات است.

• ماسلوا T.N. "راهنمای ریاضیات دانش آموزی"
• برنامه Maple6 که تصویر نمودارها را پیاده سازی می کند
• "ویکیپدیا"
• Ucheba.ru
• Math.ru "کتابخانه"
• تاریخ ریاضیات از دوران باستان تا آغاز قرن نوزدهم در 3 جلد // ویرایش. A. P. Yushkevich. مسکو، 1970 – جلد 1-3 E. T. Bell خالقان ریاضیات.
• پیشینیان ریاضیات مدرن // ویرایش. S. N. Niro. مسکو، 1983 A. N. Tikhonov، D. P. Kostomarov.
• داستان هایی در مورد ریاضیات کاربردی // مسکو، 1979. A.V. Voloshinov. ریاضیات و هنر // مسکو، 1992. روزنامه ریاضیات. ضمیمه روزنامه مورخ 1 شهریور 1377.