ثابت کنید که تابع در حال کاهش است. موضوع درس: "افزایش و کاهش توابع"

در حال حاضر بین نیاز دانش‌آموزان دبیرستانی به نشان دادن خلاقیت، فعالیت، استقلال، خودسازی و زمان محدود برای این امر در درس ریاضی، تناقض وجود دارد. از سال 2006، من از کتاب های درسی "جبر 7، 8، 9" با مطالعه عمیق ریاضیات توسط Yu. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov برای دانش آموزان در کلاس های ریاضی استفاده می کنم تا دانش آموزان انتخابی آگاهانه داشته باشند. از نمایه آموزشی، به دانش آموزان این فرصت را می دهد که در سطحی از نیازهای ریاضی افزایش یافته کار کنند و انگیزه یادگیری خود را توسعه دهند.
چگونه می توان دانش آموزان را در فعالیت های تحقیقاتی مستقل گنجاند تا خودشان ویژگی ها و روابط جدید را "کشف" کنند و آنها را به صورت آماده از معلم دریافت نکنند؟ سالها تجربه کاری و تمایل به تغییر ایده های سنتی در مورد تدریس، مرا به استفاده از فعالیت های پژوهشی در درس های ریاضی خود سوق داد. البته تغییر روش کار، ساختار درس و بر عهده گرفتن کارکرد سازمان دهنده فرآیند یادگیری، کارکردی که مشارکت سیستماتیک هر دانش آموز را بدون توجه به سطح فکری، در فعالیت های اساسی تضمین می کند. دانش و آمادگی خاصی برای خودسازی دارند.
فکر می‌کنم مشارکت دانش‌آموز در فعالیت‌ها هم بر عمق و قدرت کسب دانش و هم بر شکل‌گیری نظام ارزشی او، یعنی خودآموزی تأثیر می‌گذارد. توانایی دانش آموزان برای خودسازی و خودآموزی به آنها این امکان را می دهد که با موفقیت خود را با شرایط بیرونی دائماً در حال تغییر بدون درگیری با جامعه سازگار کنند.

موضوع بخش:"خواص توابع".

موضوع درس:"کارکردهای افزایش و کاهش."

نوع درس:درسی در مطالعه و در ابتدا به کارگیری مطالب جدید.

اهداف اساسی:

• برای ترویج شکل گیری یک مفهوم جدید از یک تابع یکنواخت در دانش آموزان؛
• پرورش نگرش مثبت نسبت به دانش، توانایی کار به صورت جفت.
• برای ترویج توسعه تفکر تحلیلی، مهارت های جستجوی جزئی فعالیت شناختی.

در طول کلاس ها

I. به روز رسانی دانش مرجع

- تابع را تعریف کنید.
- چه فرمولی توابعی را که نمودارهای آنها در نقاشی نشان داده شده است، تعریف می کند. (پیوست 2)

II. شکل گیری دانش جدید

• تابع f(x)اگر برای هر دو مقدار آرگومان افزایش در مجموعه X خوانده شود ایکس 1 و ایکس 2 مجموعه X را طوری که ایکس 2 > ایکس f(x 2 ) > f(x 1 ) .
• تابع (ایکس)کاهش در مجموعه X اگر برای هر دو مقدار آرگومان نامیده می شود ایکس 1 و ایکس 2 مجموعه X را طوری که ایکس 2 > ایکس 1، نابرابری برقرار است f(x 2 ) <f(x 1 ) .
• تابعی که در مجموعه X افزایش یا در مجموعه X کاهش می یابد، یکنواخت در مجموعه X نامیده می شود.

بیایید ماهیت یکنواختی برخی از انواع توابع را دریابیم: (پیوست 4)
تابع f(x)= - افزایش بیایید ثابت کنیم.
این بیان تنها زمانی معنا پیدا می کند که ایکس > 0. بنابراین D (و)= برای تابع n فرد f(x) = x nدر کل دامنه تعریف، یعنی در بازه (-; +) افزایش می یابد. (پیوست 7)
تناسب معکوس، یعنی تابع f(x)= در هر یک از بازه های (– ; 0) و (0; + ) در ک> 0 کاهش می یابد، و چه زمانی ک < 0 возрастает. (Приложение 8)

بیایید برخی از خواص توابع یکنواخت را در نظر بگیریم (پیوست 9):

IV. شکل گیری مهارت های عملی

در اینجا نمونه هایی از استفاده از ویژگی های توابع یکنواخت آورده شده است:

بیایید دریابیم که خط مستقیم در چند نقطه است در= 9 نمودار تابع را قطع می کند f(x) = + + .

راه حل:

کارکرد در= , у = و у = توابع افزایشی هستند (ویژگی 4). مجموع توابع افزایشی یک تابع افزایشی است (خاصیت 3). و یک تابع افزایشی هر یک از مقادیر آن را فقط برای یک مقدار آرگومان می گیرد (ویژگی 1). بنابراین، اگر خط مستقیم y = 9 دارای نقاط مشترک با نمودار تابع باشد f(x)= + + ، سپس فقط یک نقطه.
با انتخاب می توان آن را پیدا کرد f(x)= 9 در ایکس= 3. پس مستقیم است در= 9 نمودار تابع را قطع می کند f(x)= + + در نقطه M(3; 9).

بیایید معادله را حل کنیم ایکس 3 – + = 0.

راه حل:

دیدن آن آسان است ایکس= 1 - ریشه معادله. اجازه دهید نشان دهیم که این معادله هیچ ریشه دیگری ندارد. در واقع دامنه تعریف تابع y = x 3 – + – مجموعه اعداد مثبت. در این مجموعه تابع افزایش می یابد، زیرا هر یک از توابع در = ایکس 3 , در= – و در= در بازه (0; +) افزایش می یابد. بنابراین، این معادله ریشه هایی غیر از ایکس= 1، ندارد.

عملکرد افزایش و کاهش

تابع y = f(ایکس) افزایش در بازه [ آ, ب]، اگر برای هر جفت نقطه ایکسو ایکس", a ≤ x نابرابری برقرار است f(ایکس) ≤ f (ایکس"، و به شدت افزایش می یابد - اگر نابرابری برآورده شود f (ایکس) f(ایکس"). توابع کاهشی و شدیداً کاهشی به طور مشابه تعریف می شوند. به عنوان مثال، تابع در = ایکس 2 (برنج. ، الف) به شدت در بخش افزایش می یابد، و

(برنج. ، ب) به شدت در این بخش کاهش می یابد. توابع افزایشی تعیین شده است f (ایکس) و کاهش می یابد f (ایکس)↓. به منظور یک تابع متمایز f (ایکس) در بخش [ آ, ب]، لازم و کافی است که مشتق آن f"(ایکس) غیر منفی بود در [ آ, ب].

همراه با افزایش و کاهش یک تابع در یک قطعه، افزایش و کاهش یک تابع را در یک نقطه در نظر می گیریم. تابع در = f (ایکس) در نقطه افزایش نامیده می شود ایکساگر یک بازه (α، β) حاوی نقطه وجود داشته باشد 0 ایکس 0 که برای هر نقطه ایکساز (α، β)، x> ایکس 0، نابرابری برقرار است f (ایکس 0) ≤ f (ایکس) و برای هر نقطه ایکساز (α، β)، x 0، نابرابری برقرار است f (ایکس) ≤ f (ایکس 0). افزایش شدید یک تابع در نقطه به طور مشابه تعریف می شود ایکس 0 . اگر f"(ایکس 0) > 0، سپس تابع f(ایکس) به شدت در نقطه افزایش می یابد ایکس 0 . اگر f (ایکس) در هر نقطه از بازه افزایش می یابد ( آ, ب، سپس در این بازه افزایش می یابد.

اس بی استکین.

دایره المعارف بزرگ شوروی. - م.: دایره المعارف شوروی. 1969-1978 .

ببینید «عملکردهای افزایش و کاهش» در فرهنگ‌های دیگر چیست:

مفاهیم تحلیل ریاضی. تابع f(x) به نسبت تعداد گروه های سنی مختلف جمعیت گفته می شود که در بخش ساختار سنی جمعیت افزایش می یابد. بستگی به میزان تولد و مرگ، امید به زندگی افراد دارد... فرهنگ لغت دایره المعارفی بزرگ

مفاهیم تحلیل ریاضی. اگر برای هر جفت نقطه x1 و x2، a≤x1 به یک تابع f(x) گفته می‌شود که در بخش افزایش می‌یابد. فرهنگ لغت دایره المعارفی

مفاهیم ریاضی. تحلیل و بررسی. تابع f(x) نامیده می شود. افزایش در بخش [a, b]، اگر برای هر جفت نقطه x1 و x2، و<или=х1 <х<или=b, выполняется неравенство f(x1)علوم طبیعی. فرهنگ لغت دایره المعارفی

شاخه ای از ریاضیات که مشتقات و دیفرانسیل توابع و کاربردهای آنها را در مطالعه توابع مطالعه می کند. طراحی دی و. به یک رشته مستقل ریاضی با نام های I. Newton و G. Leibniz مرتبط است (نیمه دوم 17 ... دایره المعارف بزرگ شوروی

شاخه ای از ریاضیات که در آن مفاهیم مشتق و دیفرانسیل و نحوه کاربرد آنها در مطالعه توابع مورد مطالعه قرار می گیرد. توسعه D. و. ارتباط نزدیکی با توسعه حساب انتگرال دارد. محتوای آنها نیز غیرقابل تفکیک است. آنها با هم اساس را تشکیل می دهند... ... دایره المعارف ریاضی

این اصطلاح معانی دیگری دارد، به تابع مراجعه کنید. درخواست "نمایش" به اینجا هدایت می شود. معانی دیگر را نیز ببینید... ویکی پدیا

ارسطو و مشائیان- پرسش ارسطو زندگی ارسطو ارسطو در سال 384/383 متولد شد. قبل از میلاد مسیح ه. در استاگیرا، در مرز مقدونیه. پدرش نیکوماخوس نام داشت و در خدمت پادشاه مقدونی آمینتاس پدر فیلیپ بود. ارسطو جوان به همراه خانواده اش... ... فلسفه غرب از پیدایش تا امروز

- (QCD)، نظریه میدان کوانتومی برهمکنش قوی کوارک ها و گلوئون ها، ساخته شده در تصویر کوانتومی. الکترودینامیک (QED) بر اساس تقارن سنج "رنگ". بر خلاف QED، فرمیون ها در QCD دارای خواص مکمل هستند. درجه آزادی کوانتومی عدد،… … دایره المعارف فیزیکی

I Heart قلب (لاتین کور، یونانی کاردیا) اندام فیبروموزولی توخالی است که به عنوان یک پمپ عمل می کند و حرکت خون را در سیستم گردش خون تضمین می کند. آناتومی قلب در مدیاستن قدامی (Mediastinum) در پریکارد بین... ... دایره المعارف پزشکی

زندگی یک گیاه، مانند هر موجود زنده دیگری، مجموعه پیچیده ای از فرآیندهای مرتبط با یکدیگر است. مهمترین آنها همانطور که مشخص است تبادل مواد با محیط است. محیط زیست منبعی است که از آن... ... دایره المعارف زیستی

تعریف تابع افزایشی

تابع y=f(x)در طول بازه زمانی افزایش می یابد ایکس، اگر برای هر و نابرابری برقرار است به عبارت دیگر، مقدار بزرگتر آرگومان با مقدار بزرگتر تابع مطابقت دارد.

تعریف تابع کاهشی

تابع y=f(x)در فاصله زمانی کاهش می یابد ایکس، اگر برای هر و نابرابری برقرار است . به عبارت دیگر، مقدار بزرگتر آرگومان با مقدار کوچکتر تابع مطابقت دارد.

توجه: اگر تابع در انتهای بازه افزایش یا کاهش، تعریف شده و پیوسته باشد (الف؛ ب)، آن موقع است که x=aو x=b، سپس این نقاط در بازه افزایش یا کاهش قرار می گیرند. این با تعاریف یک تابع افزایش و کاهش در بازه مغایرتی ندارد ایکس.

به عنوان مثال، از ویژگی های توابع ابتدایی اولیه می دانیم که y=sinxتعریف شده و پیوسته برای تمام مقادیر واقعی آرگومان. بنابراین، از افزایش تابع سینوس در بازه، می توان ادعا کرد که در بازه افزایش می یابد.

نقاط افراطی، منتهی الیه یک تابع.

نقطه نامیده می شود حداکثر امتیازکارکرد y=f(x)، اگر برای همه ایکساز همسایگی آن نابرابری معتبر است. مقدار تابع در نقطه حداکثر نامیده می شود حداکثر تابعو دلالت کنند .

نقطه نامیده می شود حداقل امتیازکارکرد y=f(x)، اگر برای همه ایکساز همسایگی آن نابرابری معتبر است. مقدار تابع در نقطه حداقل نامیده می شود حداقل عملکردو دلالت کنند .

همسایگی یک نقطه به عنوان فاصله درک می شود ، جایی که یک عدد مثبت به اندازه کافی کوچک است.

حداقل و حداکثر امتیاز نامیده می شود نقاط افراطی، و مقادیر تابع مربوط به نقاط انتهایی فراخوانی می شوند حداکثر عملکرد.

حداکثر یک تابع را با بزرگترین و کوچکترین مقادیر تابع اشتباه نگیرید.

در شکل اول، بزرگترین مقدار تابع در بخش در حداکثر نقطه به دست می آید و برابر با حداکثر تابع است و در شکل دوم - بالاترین مقدار تابع در نقطه به دست می آید. x=b، که حداکثر امتیاز نیست.

شرایط کافی برای افزایش و کاهش توابع.

بر اساس شرایط (علائم) کافی برای افزایش و کاهش یک تابع، فواصل افزایش و کاهش تابع پیدا می شود.

در اینجا فرمولاسیون علائم افزایش و کاهش توابع در یک بازه وجود دارد:

اگر مشتق تابع y=f(x)مثبت برای هر کسی ایکساز فاصله ایکس، سپس تابع افزایش می یابد ایکس;

اگر مشتق تابع y=f(x)منفی برای هر کسی ایکساز فاصله ایکس، سپس تابع کاهش می یابد ایکس.

بنابراین، برای تعیین فواصل افزایش و کاهش یک تابع، لازم است:

برای توضیح الگوریتم مثالی از یافتن فواصل توابع افزایش و کاهش را در نظر می گیریم.

مثال.

فواصل توابع افزایش و کاهش را بیابید.

راه حل.

اولین قدم یافتن تعریف تابع است. در مثال ما، عبارت در مخرج نباید به صفر برود، بنابراین، .

بیایید به یافتن مشتق تابع برویم:

برای تعیین فواصل افزایش و کاهش یک تابع بر اساس یک معیار کافی، نابرابری‌ها را در حوزه تعریف حل می‌کنیم. بیایید از تعمیم روش فاصله استفاده کنیم. تنها ریشه واقعی صورتگر است x = 2، و مخرج به صفر می رسد x=0. این نقاط دامنه تعریف را به فواصل زمانی تقسیم می کنند که در آن مشتق تابع علامت خود را حفظ می کند. بیایید این نقاط را روی خط اعداد علامت گذاری کنیم. ما معمولاً فواصلی را که مشتق مثبت یا منفی است، با مثبت و منفی نشان می دهیم. فلش های زیر به صورت شماتیک افزایش یا کاهش تابع را در بازه مربوطه نشان می دهد.

بدین ترتیب، و .

در نقطه x=2تابع تعریف شده و پیوسته است، بنابراین باید به هر دو بازه افزایش و کاهش اضافه شود. در نقطه x=0تابع تعریف نشده است، بنابراین ما این نقطه را در فواصل مورد نیاز لحاظ نمی کنیم.

ما نموداری از تابع ارائه می کنیم تا نتایج به دست آمده را با آن مقایسه کنیم.

پاسخ:

عملکرد با افزایش می یابد ، در فاصله کاهش می یابد (0;2] .

اطلاعات بسیار مهمی در مورد رفتار یک تابع با فواصل افزایش و کاهش ارائه می شود. یافتن آنها بخشی از فرآیند بررسی تابع و رسم نمودار است. علاوه بر این، هنگام یافتن بزرگترین و کوچکترین مقادیر تابع در یک بازه زمانی مشخص، نقاط افراطی که در آنها تغییر از افزایش به کاهش یا از کاهش به افزایش وجود دارد، مورد توجه ویژه قرار می گیرند.

در این مقاله تعاریف لازم را ارائه می کنیم، معیار کافی برای افزایش و کاهش یک تابع در بازه و شرایط کافی برای وجود یک اکستروم را تدوین می کنیم و کل این نظریه را برای حل مثال ها و مسائل به کار می بریم.

پیمایش صفحه.

افزایش و کاهش عملکرد در یک بازه.

تعریف تابع افزایشی

تابع y=f(x) در بازه X در صورت وجود و افزایش می یابد نابرابری برقرار است به عبارت دیگر، مقدار بزرگتر آرگومان با مقدار بزرگتر تابع مطابقت دارد.

تعریف تابع کاهشی

تابع y=f(x) در بازه X در صورت وجود و کاهش می یابد نابرابری برقرار است . به عبارت دیگر، مقدار بزرگتر آرگومان با مقدار کوچکتر تابع مطابقت دارد.

توجه: اگر تابع در انتهای بازه افزایش یا کاهش (a;b) یعنی در x=a و x=b تعریف و پیوسته باشد، آنگاه این نقاط در بازه افزایش یا کاهش گنجانده می شوند. این با تعاریف تابع افزایش و کاهش در بازه X در تضاد نیست.

به عنوان مثال، از ویژگی های توابع ابتدایی پایه می دانیم که y=sinx برای همه مقادیر واقعی آرگومان تعریف شده و پیوسته است. بنابراین، از افزایش تابع سینوس در بازه، می توان ادعا کرد که در بازه افزایش می یابد.

نقاط افراطی، منتهی الیه یک تابع.

نقطه نامیده می شود حداکثر امتیازتابع y=f(x) اگر نابرابری برای تمام x در همسایگی آن صادق باشد. مقدار تابع در نقطه حداکثر نامیده می شود حداکثر تابعو دلالت کنند .

نقطه نامیده می شود حداقل امتیازتابع y=f(x) اگر نابرابری برای تمام x در همسایگی آن صادق باشد. مقدار تابع در نقطه حداقل نامیده می شود حداقل عملکردو دلالت کنند .

همسایگی یک نقطه به عنوان فاصله درک می شود ، جایی که یک عدد مثبت به اندازه کافی کوچک است.

حداقل و حداکثر امتیاز نامیده می شود نقاط افراطی، و مقادیر تابع مربوط به نقاط انتهایی فراخوانی می شوند حداکثر عملکرد.

حداکثر یک تابع را با بزرگترین و کوچکترین مقادیر تابع اشتباه نگیرید.

در شکل اول بیشترین مقدار تابع روی پاره در نقطه ماکزیمم و برابر با حداکثر تابع است و در شکل دوم بیشترین مقدار تابع در نقطه x=b به دست آمده است. ، که حداکثر امتیاز نیست.

شرایط کافی برای افزایش و کاهش توابع.

بر اساس شرایط (علائم) کافی برای افزایش و کاهش یک تابع، فواصل افزایش و کاهش تابع پیدا می شود.

در اینجا فرمولاسیون علائم افزایش و کاهش توابع در یک بازه وجود دارد:

• اگر مشتق تابع y=f(x) برای هر x از بازه X مثبت باشد، آنگاه تابع X افزایش می یابد.
• اگر مشتق تابع y=f(x) برای هر x از بازه X منفی باشد، آنگاه تابع روی X کاهش می یابد.

بنابراین، برای تعیین فواصل افزایش و کاهش یک تابع، لازم است:

برای توضیح الگوریتم مثالی از یافتن فواصل توابع افزایش و کاهش را در نظر می گیریم.

مثال.

فواصل توابع افزایش و کاهش را بیابید.

راه حل.

اولین قدم یافتن دامنه تعریف تابع است. در مثال ما، عبارت در مخرج نباید به صفر برود، بنابراین، .

بیایید به یافتن مشتق تابع برویم:

برای تعیین فواصل افزایش و کاهش یک تابع بر اساس یک معیار کافی، نابرابری‌ها را در حوزه تعریف حل می‌کنیم. بیایید از تعمیم روش فاصله استفاده کنیم. تنها ریشه واقعی صورت‌گر x=2 است و مخرج در x=0 به صفر می‌رسد. این نقاط دامنه تعریف را به فواصل زمانی تقسیم می کنند که در آن مشتق تابع علامت خود را حفظ می کند. بیایید این نقاط را روی خط اعداد علامت گذاری کنیم. ما معمولاً فواصلی را که مشتق مثبت یا منفی است، با مثبت و منفی نشان می دهیم. فلش های زیر به صورت شماتیک افزایش یا کاهش تابع را در بازه مربوطه نشان می دهد.

بدین ترتیب، و .

در نقطه تابع x=2 تعریف شده و پیوسته است، بنابراین باید به هر دو بازه افزایش و کاهش اضافه شود. در نقطه x=0 تابع تعریف نشده است، بنابراین این نقطه را در فواصل مورد نیاز قرار نمی دهیم.

ما نموداری از تابع ارائه می کنیم تا نتایج به دست آمده را با آن مقایسه کنیم.

پاسخ:

عملکرد به عنوان افزایش می یابد ، در بازه (0;2] کاهش می یابد.

شرایط کافی برای حداکثر یک تابع.

برای یافتن ماکزیمم و مینیمم یک تابع، می‌توانید از هر یک از سه علامت اکسترموم استفاده کنید، البته اگر تابع شرایط آنها را برآورده کند. رایج ترین و راحت ترین اولین آنها است.

اولین شرط کافی برای افراط.

اجازه دهید تابع y=f(x) در همسایگی - نقطه متمایز و در خود نقطه ممتد باشد.

به عبارت دیگر:

الگوریتم یافتن نقاط انتهایی بر اساس اولین علامت اکستروم یک تابع.

• دامنه تعریف تابع را پیدا می کنیم.
• مشتق تابع را در حوزه تعریف پیدا می کنیم.
• صفرهای صورت، صفرهای مخرج مشتق و نقاط حوزه تعریفی که مشتق در آنها وجود ندارد را تعیین می کنیم (همه نقاط فهرست شده نامیده می شوند. نقاط افراطی احتمالی، با عبور از این نقاط، مشتق فقط می تواند علامت خود را تغییر دهد).
• این نقاط دامنه تعریف تابع را به فواصل زمانی تقسیم می کنند که مشتق علامت خود را حفظ می کند. نشانه های مشتق را در هر یک از بازه ها تعیین می کنیم (مثلاً با محاسبه مقدار مشتق یک تابع در هر نقطه از یک بازه خاص).
• ما نقاطی را انتخاب می کنیم که در آنها تابع پیوسته است و با عبور از آن، مشتق علامت تغییر می کند - اینها نقاط انتها هستند.

تعداد کلمات بسیار زیاد است، بهتر است به چند نمونه از یافتن نقاط اضطراری و اکسترم یک تابع با استفاده از اولین شرط کافی برای اکستروم یک تابع نگاه کنیم.

مثال.

منتهی الیه تابع را پیدا کنید.

راه حل.

دامنه یک تابع کل مجموعه اعداد حقیقی به جز x=2 است.

یافتن مشتق:

صفرهای صورتگر نقاط x=-1 و x=5 هستند، مخرج در x=2 به صفر می رسد. این نقاط را روی محور اعداد علامت بزنید

نشانه های مشتق را در هر بازه تعیین می کنیم، برای این کار مقدار مشتق را در هر یک از نقاط هر بازه محاسبه می کنیم، مثلاً در نقاط x=-2، x=0، x=3 و x=6.

بنابراین، در بازه مشتق مثبت است (در شکل یک علامت مثبت روی این بازه قرار می دهیم). به همین ترتیب

بنابراین، ما یک منهای بالاتر از فاصله دوم، یک منفی بالاتر از سوم، و یک مثبت بالاتر از چهارم قرار می دهیم.

باقی می ماند که نقاطی را انتخاب کنیم که در آنها تابع پیوسته است و مشتق آن علامت تغییر می دهد. اینها نقاط افراطی هستند.

در نقطه x=-1 تابع پیوسته است و مشتق علامت مثبت به منفی را تغییر می دهد، بنابراین با توجه به اولین علامت اکستروم، x=-1 حداکثر نقطه است، حداکثر تابع با آن مطابقت دارد. .

در نقطه x=5 تابع پیوسته است و مشتق علامت منفی به مثبت را تغییر می دهد، بنابراین، x=-1 حداقل نقطه است، حداقل تابع مربوط به آن است. .

تصویر گرافیکی.

پاسخ:

لطفاً توجه داشته باشید: اولین معیار کافی برای یک اکسترموم نیازی به تمایز تابع در خود نقطه ندارد.

مثال.

نقاط انتهایی و انتهای تابع را پیدا کنید .

راه حل.

دامنه یک تابع کل مجموعه اعداد حقیقی است. خود تابع را می توان به صورت زیر نوشت:

بیایید مشتق تابع را پیدا کنیم:

در نقطه x=0 مشتق وجود ندارد، زیرا زمانی که آرگومان به سمت صفر می‌رود، مقادیر محدودیت‌های یک طرفه منطبق نمی‌شوند:

در عین حال، تابع اصلی در نقطه x=0 پیوسته است (به بخش مطالعه تابع برای تداوم مراجعه کنید):

بیایید مقدار آرگومانی را پیدا کنیم که در آن مشتق به صفر می رسد:

بیایید تمام نقاط به دست آمده را روی خط اعداد علامت گذاری کنیم و علامت مشتق را در هر یک از بازه ها مشخص کنیم. برای انجام این کار، مقادیر مشتق را در نقاط دلخواه هر بازه محاسبه می کنیم، به عنوان مثال، در x=-6، x=-4، x=-1، x=1، x=4، x=6.

به این معنا که،

بنابراین، با توجه به اولین علامت یک افراط، حداقل امتیاز است ، حداکثر امتیاز هستند .

ما حداقل های مربوط به تابع را محاسبه می کنیم

ماکزیمم مربوط به تابع را محاسبه می کنیم

تصویر گرافیکی.

پاسخ:

.

دومین علامت افراطی یک تابع.

همانطور که می بینید، این علامت یک تابع مستلزم وجود یک مشتق حداقل به مرتبه دوم در نقطه است.