معادلات مثلثاتی - فرمول ها، راه حل ها، مثال ها. معادلات مثلثاتی - فرمول ها، راه حل ها، مثال ها حل معادلات مثلثاتی در وظایف USE

آ)معادله 2(\sin x-\cos x)=tgx-1 را حل کنید.

ب) \left[ \frac(3\pi )2;\,3\pi \راست].

نشان دادن راه حل

راه حل

آ)با باز کردن پرانتزها و انتقال تمام عبارت ها به سمت چپ، معادله 1+2 \sin x-2 \cos x-tg x=0 را بدست می آوریم. با توجه به اینکه \cos x \neq 0، عبارت 2 \sin x را می توان با 2 tan x \cos x جایگزین کرد، معادله را به دست می آوریم. 1+2 tg x \cos x-2 \cos x-tg x=0،که با گروه بندی می توان به شکل (1-tg x)(1-2 \cos x)=0 کاهش داد.

1) 1-tg x=0، قهوهای مایل به زرد x=1، x=\frac\pi 4+\pi n, n \in \mathbb Z;

2) 1-2 \cos x=0، \cos x=\frac12، x=\pm \frac\pi 3+2\pi n، n \in \mathbb Z.

ب)با استفاده از دایره اعدادریشه های متعلق به بازه را انتخاب کنید \left[ \frac(3\pi )2;\, 3\pi \right].

x_1=\frac\pi 4+2\pi =\frac(9\pi)4،

x_2=\frac\pi 3+2\pi =\frac(7\pi )3،

x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac(5\pi)3.

پاسخ

آ) \frac\pi 4+\pi n، \pm\frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z;

ب) \frac(5\pi)3، \frac(7\pi)3، \frac(9\pi)4.

وضعیت

آ)معادله را حل کنید (2\sin ^24x-3\cos 4x)\cdot \sqrt (tgx)=0.

ب)ریشه های این معادله را که به بازه تعلق دارند را مشخص کنید \left(0;\,\frac(3\pi )2\right] ;

نشان دادن راه حل

راه حل

آ) ODZ: \begin(موارد) tgx\geqslant 0\\x\neq \frac\pi 2+\pi k,k \in \mathbb Z. \end(موارد)

معادله اصلی روی ODZ معادل مجموعه ای از معادلات است

\left[\!\!\begin(array)(l) 2 \sin ^2 4x-3 \cos 4x=0,\\tg x=0. \end(آرایه)\راست.

بیایید معادله اول را حل کنیم. برای انجام این کار ما یک جایگزین خواهیم ساخت \cos 4x=t، t \ در [-1; 1].سپس \sin^24x=1-t^2. ما گرفتیم:

2(1-t^2)-3t=0،

2t^2+3t-2=0،

t_1=\frac12، t_2=-2، t_2\notin [-1; 1].

\cos 4x=\frac12،

4x=\pm\frac\pi 3+2\pi n،

x=\pm \frac\pi (12)+\frac(\pi n)2، n \in \mathbb Z.

بیایید معادله دوم را حل کنیم.

tg x=0،\، x=\pi k، k \in \mathbb Z.

با استفاده از دایره واحد، راه حل هایی را پیدا می کنیم که ODZ را برآورده می کند.

علامت "+" ربع 1 و 3 را نشان می دهد که در آن tg x>0 است.

دریافت می کنیم: x=\pi k, k \in \mathbb Z; x=\frac\pi (12)+\pi n, n \in \mathbb Z; x=\frac(5\pi )(12)+\pi m, m \in \mathbb Z.

ب)بیایید ریشه های متعلق به فاصله را پیدا کنیم \left(0;\,\frac(3\pi )2\right].

x=\frac\pi (12)، x=\frac(5\pi )(12); x=\pi ; x=\frac(13\pi )(12); x=\frac(17\pi )(12).

پاسخ

آ) \pi k، k \in \mathbb Z; \frac\pi (12)+\pi n, n \in \mathbb Z; \frac(5\pi )(12)+\pi m, m \in \mathbb Z.

ب) \pi; \frac\pi (12)؛ \frac(5\pi )(12); \frac(13\pi )(12); \frac(17\pi )(12).

منبع: «ریاضیات. آمادگی برای آزمون یکپارچه دولتی 2017. سطح نمایه" اد. F. F. Lysenko، S. Yu. Kulabukhova.

وضعیت

آ)معادله را حل کنید: \cos ^2x+\cos ^2\frac\pi 6=\cos ^22x+\sin ^2\frac\pi 3;

ب)تمام ریشه های متعلق به بازه را فهرست کنید \left(\frac(7\pi )2;\,\frac(9\pi )2\راست].

نشان دادن راه حل

راه حل

آ)زیرا \sin \frac\pi 3=\cos \frac\pi 6،که \sin ^2\frac\pi 3=\cos ^2\frac\pi 6،این بدان معنی است که معادله داده شده معادل معادله \cos^2x=\cos ^22x است که به نوبه خود معادل معادله \cos^2x-\cos ^2 2x=0 است.

ولی \cos ^2x-\cos ^22x= (\cos x-\cos 2x)\cdot (\cos x+\cos 2x)و

\cos 2x=2 \cos ^2 x-1، بنابراین معادله تبدیل می شود

(\cos x-(2 \cos ^2 x-1))\,\cdot(\cos x+(2 \cos ^2 x-1))=0،

(2 \cos ^2 x-\cos x-1)\,\cdot (2 \cos ^2 x+\cos x-1)=0.

سپس یا 2 \cos ^2 x-\cos x-1=0، یا 2 \cos ^2 x+\cos x-1=0.

با حل معادله اول به عنوان یک معادله درجه دوم برای \cos x، به دست می آوریم:

(\cos x)_(1,2)=\frac(1\pm\sqrt 9)4=\frac(1\pm3)4.بنابراین یا \cos x=1 یا \cos x=-\frac12.اگر \cos x=1، آنگاه x=2k\pi، k \in \mathbb Z. اگر \cos x=-\frac12،که x=\pm \frac(2\pi )3+2s\pi, s \in \mathbb Z.

به همین ترتیب، با حل معادله دوم، یا \cos x=-1 یا به دست می‌آییم \cos x=\frac12.اگر \cos x=-1، پس ریشه ها x=\pi +2m\pi , m \in \mathbb Z.اگر \cos x=\frac12،که x=\pm \frac\pi 3+2n\pi , n \in \mathbb Z.

بیایید راه حل های به دست آمده را با هم ترکیب کنیم:

x=m\pi , m \in \mathbb Z; x=\pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z.

ب)بیایید ریشه هایی را که در یک بازه معین قرار می گیرند با استفاده از یک دایره عددی انتخاب کنیم.

ما گرفتیم: x_1 =\frac(11\pi)3، x_2=4\pi، x_3 =\frac(13\pi)3.

پاسخ

آ) m\pi, m\in \mathbb Z; \pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z;

ب) \frac(11\pi )3، 4\pi، \frac(13\pi)3.

منبع: «ریاضیات. آمادگی برای آزمون یکپارچه دولتی 2017. سطح پروفایل." اد. F. F. Lysenko، S. Yu. Kulabukhova.

وضعیت

آ)معادله را حل کنید 10\cos ^2\frac x2=\frac(11+5ctg\left(\dfrac(3\pi )2-x\right))(1+tgx).

ب)ریشه های این معادله را که به بازه تعلق دارند را مشخص کنید \left(-2\pi ; -\frac(3\pi)2\راست).

نشان دادن راه حل

راه حل

آ) 1. طبق فرمول کاهش، ctg\left(\frac(3\pi )2-x\right) =tgx.دامنه تعریف معادله مقادیری از x خواهد بود که \cos x \neq 0 و tan x \neq -1 باشد. بیایید معادله را با استفاده از فرمول کسینوس دو زاویه تبدیل کنیم 2 \cos ^2 \frac x2=1+\cos x.معادله را بدست می آوریم: 5(1+\cos x) =\frac(11+5tgx)(1+tgx).

توجه کنید که \frac(11+5tgx)(1+tgx)= \frac(5(1+tgx)+6)(1+tgx)= 5+\frac(6)(1+tgx)،بنابراین معادله تبدیل می شود: 5+5 \cos x=5 +\frac(6)(1+tgx).از اینجا \cos x =\frac(\dfrac65)(1+tgx)، \cos x+\sin x =\frac65.

2. \sin x+\cos x را با استفاده از فرمول کاهش و فرمول مجموع کسینوس ها تبدیل کنید: \sin x=\cos \left(\frac\pi 2-x\راست)، \cos x+\sin x= \cos x+\cos \left(\frac\pi 2-x\right)= 2\cos \frac\pi 4\cos \left(x-\frac\pi 4\راست)= \sqrt 2\cos \left(x-\frac\pi 4\right) = \frac65.

از اینجا \cos \left(x-\frac\pi 4\right) =\frac(3\sqrt 2)5.به معنای، x-\frac\pi 4= arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi k، k \in \mathbb Z،

یا x-\frac\pi 4= -arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi t, t \in \mathbb Z.

از همین رو x=\frac\pi 4+arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi k,k \in \mathbb Z،

یا x =\frac\pi 4-arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi t,t \in \mathbb Z.

مقادیر یافت شده x متعلق به دامنه تعریف است.

ب)اجازه دهید ابتدا بفهمیم که ریشه های معادله در کجای k=0 و t=0 قرار می گیرند. بر این اساس این اعداد خواهند بود a=\frac\pi 4+arccos \frac(3\sqrt 2)5و b=\frac\pi 4-arccos \frac(3\sqrt 2)5.

1. اجازه دهید نابرابری کمکی را ثابت کنیم:

\frac(\sqrt 2)(2)<\frac{3\sqrt 2}2<1.

واقعا، \frac(\sqrt 2)(2)=\frac(5\sqrt 2)(10)<\frac{6\sqrt2}{10}=\frac{3\sqrt2}{5}.

همچنین توجه داشته باشید که \left(\frac(3\sqrt 2)5\right) ^2=\frac(18)(25)<1^2=1, به معنای \frac(3\sqrt 2)5<1.

2. از نابرابری ها (1) با خاصیت کسینوس قوس به دست می آوریم:

آرکوس 1

0

از اینجا \frac\pi 4+0<\frac\pi 4+arc\cos \frac{3\sqrt 2}5<\frac\pi 4+\frac\pi 4,

0<\frac\pi 4+arccos \frac{3\sqrt 2}5<\frac\pi 2,

0

به همین ترتیب، -\frac\pi 4

0=\frac\pi 4-\frac\pi 4<\frac\pi 4-arccos \frac{3\sqrt 2}5< \frac\pi 4<\frac\pi 2,

0

برای k=-1 و t=-1 ریشه های معادله a-2\pi و b-2\pi را به دست می آوریم.

\Bigg(a-2\pi =-\frac74\pi +arccos \frac(3\sqrt 2)5,\, b-2\pi =-\frac74\pi -arccos \frac(3\sqrt 2)5\Bigg).که در آن -2\pi

2\pi این بدان معنی است که این ریشه ها به بازه داده شده تعلق دارند \left(-2\pi , -\frac(3\pi)2\راست).

برای سایر مقادیر k و t، ریشه های معادله به بازه داده شده تعلق ندارند.

در واقع، اگر k\geqslant 1 و t\geqslant 1 باشد، ریشه ها بزرگتر از 2\pi هستند. اگر k\leqslant -2 و t\leqslant -2 باشد، ریشه ها کوچکتر هستند -\frac(7\pi )2.

پاسخ

آ) \frac\pi4\pm arccos\frac(3\sqrt2)5+2\pi k, k\in\mathbb Z;

ب) -\frac(7\pi)4\pm arccos\frac(3\sqrt2)5.

منبع: «ریاضیات. آمادگی برای آزمون یکپارچه دولتی 2017. سطح پروفایل." اد. F. F. Lysenko، S. Yu. Kulabukhova.

وضعیت

آ)معادله را حل کنید \sin \left(\frac\pi 2+x\right) =\sin (-2x).

ب)تمام ریشه های این معادله را که به بازه تعلق دارند بیابید.

نشان دادن راه حل

راه حل

آ)بیایید معادله را تبدیل کنیم:

\cos x =-\sin 2x،

\cos x+2 \sin x \cos x=0،

\cos x(1+2 \sin x)=0،

\cos x=0،

x =\frac\pi 2+\pi n, n\in \mathbb Z;

1+2 \sin x=0،

\sin x=-\frac12،

x=(-1)^(k+1)\cdot \frac\pi 6+\pi k، k \in \mathbb Z.

ب)ریشه های متعلق به بخش را با استفاده از دایره واحد پیدا می کنیم.

فاصله مشخص شده شامل یک عدد واحد است \frac\pi 2.

پاسخ

آ) \frac\pi 2+\pi n, n \in \mathbb Z; (-1)^(k+1)\cdot \frac\pi 6+\pi k, k \in \mathbb Z;

ب) \frac\pi 2.

منبع: «ریاضیات. آمادگی برای آزمون یکپارچه دولتی 2017. سطح پروفایل." اد. F. F. Lysenko، S. Yu. Kulabukhova.

وضعیت

در DZ گنجانده نشده است.

به معنای، \sin x \neq 1.

دو طرف معادله را بر یک ضریب تقسیم کنید (\sin x-1)،متفاوت از صفر معادله را می گیریم \frac 1(1+\cos 2x)=\frac 1(1+\cos (\pi +x))،یا معادله 1+\cos 2x=1+\cos (\pi +x).با استفاده از فرمول کاهش در سمت چپ و فرمول کاهش در سمت راست، معادله را به دست می آوریم 2 \cos ^2 x=1-\cos x.این معادله با جایگزینی است \cos x=t،جایی که -1 \leqslant t \leqslant 1آن را به مربع کاهش دهید: 2t^2+t-1=0،که ریشه t_1=-1و t_2=\frac12.با بازگشت به متغیر x، دریافت می کنیم \cos x = \frac12یا \cos x=-1،جایی که x=\frac \pi 3+2\pi m، m\in \mathbb Z، x=-\frac \pi 3+2\pi n، n \ در \ mathbb Z، x=\pi +2\pi k، k \in \mathbb Z.

ب)بیایید نابرابری ها را حل کنیم

1) -\frac(3\pi )2 \leqslant \frac(\pi )3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2,

2) -\frac(3\pi )2 \leqslant -\frac \pi 3+2\pi n \leqslant -\frac \pi (2,)

3) -\frac(3\pi )2 \leqslant \pi+2\pi k \leqslant -\frac \pi 2, متر، n k \in \mathbb Z.

1) -\frac(3\pi )2 \leqslant \frac(\pi)3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2، -\frac32\leqslant \frac13+2m \leqslant -\frac12 -\frac(11)6 \leqslant 2m\leqslant -\frac56، -\frac(11)(12) \leqslant m \leqslant -\frac5(12).

\ چپ [-\frac(11)(12);-\frac5(12)\right].

2) -\frac (3\pi) 2 \leqslant -\frac(\pi )3+2\pi n \leqslant -\frac(\pi)(2)، -\frac32 \leqslant -\frac13 +2n \leqslant -\frac12، -\frac76 \leqslant 2n \leqslant -\frac1(6)، -\frac7(12) \leqslant n \leqslant -\frac1(12).

هیچ عدد صحیحی در محدوده وجود ندارد \left[ -\frac7(12) ; -\frac1(12)\right].

3) -\frac(3\pi )2 \leqslant \pi +2\pi k\leqslant -\frac(\pi)2, -\frac32 \leqslant 1+2k\leqslant -\frac12، -\frac52 \leqslant 2k \leqslant -\frac32، -\frac54 \leqslant k \leqslant -\frac34.

این نابرابری با k=-1 و سپس x=-\pi برآورده می شود.

پاسخ

آ) \frac \pi 3+2\pi m; -\frac \pi 3+2\pi n; \pi +2\pi k، متر، n k \in \mathbb Z;

ب) -\pi.

شما می توانید یک راه حل دقیق برای مشکل خود سفارش دهید!!!

تساوی حاوی یک مجهول تحت علامت یک تابع مثلثاتی ("sin x، cos x، tan x" یا "ctg x") معادله مثلثاتی نامیده می‌شود و فرمول‌های آن‌ها است که در ادامه بررسی خواهیم کرد.

ساده ترین معادلات عبارتند از: sin x=a، cos x=a، tg x=a، ctg x=a». اجازه دهید فرمول های ریشه را برای هر یک از آنها بنویسیم.

1. معادله `sin x=a`.

برای `|a|>1` هیچ راه حلی ندارد.

زمانی که `|a| \leq 1` دارای بی نهایت راه حل است.

فرمول ریشه: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. معادله «cos x=a».

برای `|a|>1` - مانند سینوس، هیچ راه حلی در بین اعداد حقیقی ندارد.

زمانی که `|a| \leq 1` دارای بی نهایت راه حل است.

فرمول ریشه: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

موارد ویژه برای سینوس و کسینوس در نمودارها.

3. معادله `tg x=a`

تعداد بی نهایت راه حل برای هر مقدار «a» دارد.

فرمول ریشه: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. معادله «ctg x=a».

همچنین تعداد بی نهایت راه حل برای هر مقدار «a» دارد.

فرمول ریشه: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

فرمول های ریشه معادلات مثلثاتی در جدول

برای سینوس:
برای کسینوس:
برای مماس و کتانژانت:
فرمول های حل معادلات حاوی توابع مثلثاتی معکوس:

روش های حل معادلات مثلثاتی

حل هر معادله مثلثاتی شامل دو مرحله است:

• با کمک تبدیل آن به ساده ترین.
• ساده ترین معادله به دست آمده را با استفاده از فرمول های ریشه و جداول نوشته شده در بالا حل کنید.

بیایید با استفاده از مثال به روش های اصلی راه حل نگاه کنیم.

روش جبری.

این روش شامل جایگزینی یک متغیر و جایگزینی آن با یک برابری است.

مثال. معادله را حل کنید: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`،

جایگزینی ایجاد کنید: «cos(x+\frac \pi 6)=y»، سپس «2y^2-3y+1=0»،

ما ریشه ها را پیدا می کنیم: `y_1=1, y_2=1/2` که دو حالت از آن پیروی می کنند:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

پاسخ: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

فاکتورسازی

مثال. معادله "sin x+cos x=1" را حل کنید.

راه حل. بیایید تمام شرایط برابری را به سمت چپ منتقل کنیم: `sin x+cos x-1=0`. با استفاده از، سمت چپ را تبدیل و فاکتورسازی می کنیم:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

"2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0"،

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. «cos x/2-sin x/2=0»، «tg x/2=1»، «x/2=arctg 1+ \pi n»، «x/2=\pi/4+ \pi n» ، `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

پاسخ: `x_1=2\pi n`، `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

کاهش به یک معادله همگن

ابتدا باید این معادله مثلثاتی را به یکی از دو شکل کاهش دهید:

«a sin x+b cos x=0» (معادله همگن درجه اول) یا «a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0» (معادله همگن درجه دوم).

سپس هر دو قسمت را بر «cos x \ne 0» - برای مورد اول و بر «cos^2 x \ne 0» - برای مورد دوم تقسیم کنید. ما معادلاتی را برای «tg x» به دست می‌آوریم: «a tg x+b=0» و «a tg^2 x + b tg x +c =0» که باید با استفاده از روش‌های شناخته شده حل شوند.

مثال. معادله "2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1" را حل کنید.

راه حل. بیایید سمت راست را به صورت `1=sin^2 x+cos^2 x` بنویسیم:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -`` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

این یک معادله مثلثاتی همگن درجه دوم است، سمت چپ و راست آن را بر 'cos^2 x \ne 0' تقسیم می کنیم، به دست می آوریم:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

«tg^2 x+tg x — 2=0». بیایید جایگزین «tg x=t» را معرفی کنیم که نتیجه آن «t^2 + t - 2=0» است. ریشه های این معادله «t_1=-2» و «t_2=1» هستند. سپس:

1. «tg x=-2»، «x_1=arctg (-2)+\pi n»، «n \in Z»
2. «tg x=1»، «x=arctg 1+\pi n»، «x_2=\pi/4+\pi n»، «n \in Z».

پاسخ. `x_1=arctg (-2)+\pi n`، `n \in Z`، `x_2=\pi/4+\pi n`، `n \in Z`.

حرکت به نیم زاویه

مثال. معادله را حل کنید: '11 sin x - 2 cos x = 10'.

راه حل. بیایید فرمول‌های زاویه دوتایی را اعمال کنیم و به این نتیجه می‌رسیم: `22 sin (x/2) cos (x/2) -`` 2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2 =` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

با استفاده از روش جبری که در بالا توضیح داده شد، به دست می آوریم:

1. «tg x/2=2»، «x_1=2 arctg 2+2\pi n»، «n \در Z»،
2. «tg x/2=3/4»، «x_2=arctg 3/4+2\pi n»، «n \in Z».

پاسخ. `x_1=2 arctg 2+2\pi n، n \in Z`، `x_2=arctg 3/4+2\pi n`، `n \in Z`.

معرفی زاویه کمکی

در معادله مثلثاتی "a sin x + b cos x =c" که در آن a,b,c ضرایب هستند و x یک متغیر است، هر دو طرف را بر "sqrt (a^2+b^2) تقسیم کنید:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2 ) +b^2))`.

ضرایب سمت چپ دارای ویژگی های سینوس و کسینوس هستند، یعنی مجموع مربع های آنها برابر با 1 است و مدول های آنها بزرگتر از 1 نیست. اجازه دهید آنها را به صورت زیر نشان دهیم: `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi`, ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`، سپس:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

بیایید نگاهی دقیق تر به مثال زیر بیندازیم:

مثال. معادله "3 sin x+4 cos x=2" را حل کنید.

راه حل. هر دو طرف تساوی را بر 'sqrt (3^2+4^2)' تقسیم کنید، به دست می آوریم:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

«3/5 گناه x+4/5 cos x=2/5».

بیایید "3/5 = cos \varphi"، "4/5=sin \varphi" را نشان دهیم. از آنجایی که `sin \varphi>0`، `cos \varphi>0`، پس "\varphi=arcsin 4/5" را به عنوان یک زاویه کمکی در نظر می گیریم. سپس برابری خود را به شکل زیر می نویسیم:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

با اعمال فرمول مجموع زوایای سینوس، تساوی خود را به شکل زیر می نویسیم:

`sin (x+\varphi)=2/5`،

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

پاسخ. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

معادلات مثلثاتی گویا کسری

اینها تساوی با کسری هستند که صورت و مخرج آنها دارای توابع مثلثاتی هستند.

مثال. معادله را حل کنید. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

راه حل. سمت راست تساوی را ضرب و تقسیم بر «(1+cos x)» کنید. در نتیجه دریافت می کنیم:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

با توجه به اینکه مخرج نمی تواند برابر با صفر باشد، «1+cos x \ne 0»، «cos x \ne -1»، «x \ne \pi+2\pi n، n \in Z» به دست می‌آید.

بیایید عدد کسر را با صفر برابر کنیم: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. سپس «sin x=0» یا «1-sin x=0».

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. «1-sin x=0»، «sin x=-1»، «x=\pi /2+2\pi n، n \in Z».

با توجه به اینکه `x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`، راه حل ها عبارتند از `x=2\pi n, n \in Z` و `x=\pi /2+2\pi n` ، `n \ در Z`.

پاسخ. «x=2\pi n»، «n \in Z»، «x=\pi /2+2\pi n»، «n \in Z».

مثلثات و به طور خاص معادلات مثلثاتی تقریباً در تمام زمینه های هندسه، فیزیک و مهندسی استفاده می شود. مطالعه از کلاس دهم شروع می شود، همیشه وظایفی برای آزمون یکپارچه دولتی وجود دارد، بنابراین سعی کنید تمام فرمول های معادلات مثلثاتی را به خاطر بسپارید - آنها قطعا برای شما مفید خواهند بود!

با این حال، شما حتی نیازی به حفظ آنها ندارید، نکته اصلی این است که ماهیت را درک کنید و بتوانید آن را استخراج کنید. آنقدرها هم که به نظر می رسد سخت نیست. خودتان با تماشای ویدیو ببینید.

آمادگی برای سطح پروفایل آزمون دولتی واحد ریاضی. مطالب مفید در مورد مثلثات، سخنرانی های ویدئویی نظری بزرگ، تجزیه و تحلیل ویدئویی مسائل و منتخبی از تکالیف سال های گذشته.

مواد مفید

مجموعه های ویدئویی و دوره های آنلاین

فرمول های مثلثاتی

تصویر هندسی فرمول های مثلثاتی

توابع قوس ساده ترین معادلات مثلثاتی

معادلات مثلثاتی

1. نظریه لازم برای حل مسائل.
2. الف) معادله $7\cos^2 x - \cos x - 8 = 0$ را حل کنید.
   ب) تمام ریشه های این معادله متعلق به بازه $\left[ -\dfrac(7\pi)(2) را بیابید. -\dfrac(3\pi)(2) \right]$.
3. الف) معادله $\dfrac(6)(\cos^2 x) - \dfrac(7)(\cos x) + 1 = 0$ را حل کنید.
   ب) تمام ریشه های این معادله متعلق به بازه $\left[ -3\pi را بیابید. -\pi \راست]$.
4. معادله $\sin\sqrt(16 - x^2) = \dfrac12$ را حل کنید.
5. الف) معادله $2\cos 2x - 12\cos x + 7 = 0$ را حل کنید.
   ب) تمام ریشه های این معادله متعلق به بازه $\left[ -\pi; \dfrac(5\pi)(2) \right]$.
6. الف) معادله $\dfrac(5)(\mathrm(tg)^2 x) - \dfrac(19)(\sin x) + 17 = 0$ را حل کنید.
   
7. معادله $\dfrac(2\cos^3 x + 3 \cos^2 x + \cos x)(\sqrt(\mathrm(ctg)x)) = 0$ را حل کنید.
8. معادله $\dfrac(\mathrm(tg)^3x - \mathrm(tg)x)(\sqrt(-\sin x)) = 0$ را حل کنید.
9. 
   ب) تمام ریشه های این معادله متعلق به بازه $\left[ -\dfrac(5\pi)(2) را بیابید. -\pi \راست)$.
10. الف) معادله $\cos 2x = \sin\left(\dfrac(3\pi)(2) - x\right)$ را حل کنید.
    ب) تمام ریشه های این معادله متعلق به بازه $\left[ \dfrac(3\pi)(2) را بیابید. \dfrac(5\pi)(2) \right]$.
11. الف) معادله $2\sin^2\left(\dfrac(3\pi)(2) + x\right) = \sqrt3\cos x$ را حل کنید.
    ب) تمام ریشه های این معادله متعلق به بازه $\left[ -\dfrac(7\pi)(2) را بیابید. -2\pi \راست]$.

تجزیه و تحلیل ویدئویی وظایف

ب) تمام ریشه های این معادله متعلق به بخش $\left[ \sqrt(3) را پیدا کنید. \sqrt(20) \right]$.

ب) تمام ریشه های این معادله متعلق به بخش $\left[ -\dfrac(9\pi)(2) را بیابید. -3\pi \راست]$.

ب) تمام ریشه های این معادله متعلق به بخش $\left[ -\sqrt(3) را بیابید. \sqrt(30) \right]$.

الف) معادله $\cos 2x = 1 - \cos\left(\dfrac(\pi)(2) - x\right)$ را حل کنید.
ب) تمام ریشه های این معادله متعلق به بازه $\left[ -\dfrac(5\pi)(2) را بیابید. -\pi \راست)$.

الف) معادله $\cos^2 (\pi - x) - \sin \left(x + \dfrac(3\pi)(2) \right) = 0$ را حل کنید.
ب) تمام ریشه های این معادله متعلق به بازه $\left[\dfrac(5\pi)(2) را بیابید. 4\pi \راست]$.

ب) تمام ریشه های این معادله متعلق به بازه $\left[\log_5 2; \log_5 20 \right]$.

الف) معادله $8 \sin^2 x + 2\sqrt(3) \cos \left(\dfrac(3\pi)(2) - x\right) = 9$ را حل کنید.
ب) تمام ریشه های این معادله متعلق به بازه $\left[- \dfrac(5\pi)(2) را بیابید. -\pi \راست]$.

الف) معادله $2\log_3^2 (2 \cos x) - 5\log_3 (2 \cos x) + 2 = 0$ را حل کنید.
ب) تمام ریشه های این معادله متعلق به بازه $\left[\pi; \dfrac(5\pi)(2) \right]$.

الف) معادله $\left(\dfrac(1)(49) \right)^(\sin x) = 7^(2 \sin 2x)$ را حل کنید.
ب) تمام ریشه های این معادله متعلق به بازه $\left[\dfrac(3\pi)(2) را بیابید. 3\pi \راست]$.

الف) معادله $\sin x + \left(\cos \dfrac(x)(2) - \sin \dfrac(x)(2)\right)\left(\cos \dfrac(x)(2) را حل کنید. + \sin \dfrac(x)(2)\right) = 0$.
ب) تمام ریشه های این معادله متعلق به بازه $\left[\pi; \dfrac(5\pi)(2)\right]$.

الف) معادله $\log_4 (\sin x + \sin 2x + 16) = 2$ را حل کنید.
ب) تمام ریشه های این معادله متعلق به بازه $\left[ -4\pi را بیابید. -\dfrac(5\pi)(2) \right]$.

گزیده ای از تکالیف سال های گذشته

1. الف) معادله $\dfrac(\sin x)(\sin^2\dfrac(x)(2)) = 4\cos^2\dfrac(x)(2)$ را حل کنید.
   ب) تمام ریشه های این معادله متعلق به بخش $\left[ -\dfrac(9\pi)(2) را بیابید. -3\pi \راست]$. (آزمون یکپارچه دولتی 2018. موج اولیه)
2. الف) معادله $\sqrt(x^3 - 4x^2 - 10x + 29) = 3 - x$ را حل کنید.
   ب) تمام ریشه های این معادله متعلق به بخش $\left[ -\sqrt(3) را بیابید. \sqrt(30) \right]$. (استفاده از 2018. موج اولیه، روز رزرو)
3. الف) معادله $2 \sin^2 x + \sqrt2 \sin \left(x + \dfrac(\pi)(4)\right) = \cos x $ را حل کنید.
   ب) تمام ریشه های این معادله متعلق به بخش $\left[ -2\pi; -\dfrac(\pi)(2) \right]$. (USE-2018. موج اصلی)
4. الف) معادله $\sqrt6 \sin^2 x + \cos x = 2\sin\left(x + \dfrac(\pi)(6) \right)$ را حل کنید.
   ب) تمام ریشه های این معادله متعلق به بخش $\left[ 3\pi را بیابید. \dfrac(9\pi)(2) \right]$. (USE-2018. موج اصلی)
5. الف) معادله $\sin x + 2\sin\left(2x + \dfrac(\pi)(6) \right) = \sqrt3 \sin 2x + 1$ را حل کنید.
   ب) تمام ریشه های این معادله متعلق به بخش $\left[ -\dfrac(7\pi)(2) را بیابید. -2\pi \راست]$. (USE-2018. موج اصلی)
6. الف) معادله $\cos^2 x + \sin x = \sqrt2 \sin\left(x + \dfrac(\pi)(4) \right)$ را حل کنید.
   ب) تمام ریشه های این معادله متعلق به بخش $\left[ -4\pi; -\dfrac(5\pi)(2) \right]$. (USE-2018. موج اصلی)
7. الف) معادله $2 \sin\left(2x + \dfrac(\pi)(3) \right) - \sqrt(3) \sin x = \sin 2x + \sqrt3$ را حل کنید.
   
8. الف) معادله $2\sqrt3 \sin\left(x + \dfrac(\pi)(3) \right) - \cos 2x = 3\cos x - 1$ را حل کنید.
   ب) تمام ریشه های این معادله متعلق به بخش $\left[ 2\pi را بیابید. \dfrac(7\pi)(2) \right]$. (USE-2018. موج اصلی)
9. الف) معادله $2\sin\left(2x + \dfrac(\pi)(6) \right) - \cos x = \sqrt3\sin 2x - 1$ را حل کنید.
   ب) تمام ریشه های این معادله متعلق به بخش $\left[ \dfrac(5\pi)(2) را بیابید. 4\pi \راست]$. (USE-2018. موج اصلی)
10. الف) معادله $\sqrt2\sin\left(\dfrac(\pi)(4) + x \right) + \cos 2x = \sin x - 1$ را حل کنید.
    ب) تمام ریشه های این معادله متعلق به بخش $\left[ \dfrac(7\pi)(2) را بیابید. 5\pi \راست]$. (USE-2018. موج اصلی)
11. الف) معادله $\sqrt2\sin\left(2x + \dfrac(\pi)(4) \right) + \sqrt2\cos x = \sin 2x - 1$ را حل کنید.
    ب) تمام ریشه های این معادله متعلق به بخش $\left[ -\dfrac(5\pi)(2) را بیابید. -\pi \راست]$. (USE-2018. موج اصلی)
12. الف) معادله $2\sin\left(x + \dfrac(\pi)(3) \right) + \cos 2x = \sqrt3\cos x + 1$ را حل کنید.
    ب) تمام ریشه های این معادله متعلق به بخش $\left[ -3\pi; -\dfrac(3\pi)(2) \right]$. (USE-2018. موج اصلی)
13. 
    ب) تمام ریشه های این معادله متعلق به بخش $\left[ \pi; \dfrac(5\pi)(2) \right]$. (USE-2018. موج اصلی)
14. 
    
15. الف) معادله $2\sin\left(x + \dfrac(\pi)(4) \right) + \cos 2x = \sqrt2\cos x + 1$ را حل کنید.
    ب) تمام ریشه های این معادله متعلق به بخش $\left[ \pi; \dfrac(5\pi)(2) \right]$. (USE-2018. موج اصلی، روز رزرو)
16. الف) معادله $2\cos x - \sqrt3 \sin^2 x = 2\cos^3 x$ را حل کنید.
    ب) تمام ریشه های این معادله متعلق به بخش $\left[ -\dfrac(7\pi)(2) را بیابید. -2\pi \راست]$. (USE-2018. موج اصلی، روز رزرو)
17. الف) معادله $2\cos x + \sin^2 x = 2\cos^3 x$ را حل کنید.
    ب) تمام ریشه های این معادله متعلق به بخش $\left[ -\dfrac(9\pi)(2) را بیابید. -3\pi \راست]$. (USE-2018. موج اصلی، روز رزرو)
18. الف) معادله $2\sqrt2\sin \left(x + \dfrac(\pi)(3)\right) + 2\cos^2 x = 2 + \sqrt6 \cos x$ را حل کنید.
    ب) تمام ریشه های این معادله متعلق به بخش $\left[ -3\pi; -\dfrac(3\pi)(2) \right]$. (USE-2018. موج اصلی، روز رزرو)
19. الف) معادله $x - 3\sqrt(x - 1) + 1 = 0$ را حل کنید.
    ب) تمام ریشه های این معادله متعلق به بخش $\left[ \sqrt(3) را پیدا کنید. \sqrt(20) \right]$. (USE-2018. موج اصلی، روز رزرو)
20. الف) معادله $2x\cos x - 8\cos x + x - 4 = 0$ را حل کنید.
    ب) ریشه های این معادله را که متعلق به بخش $\left[ -\dfrac(\pi)(2);\ \pi \right]$ است را مشخص کنید. (USE 2017، موج اصلی، روز رزرو)
21. الف) معادله $\log_3 (x^2 - 2x) = 1$ را حل کنید.
    ب) ریشه های این معادله را که متعلق به بخش $\left[ \log_2 0(,)2;\ \log_2 5 \right]$ است را مشخص کنید. (USE 2017، موج اصلی، روز رزرو)
22. الف) معادله $\log_3 (x^2 - 24x) = 4$ را حل کنید.
    ب) ریشه های این معادله را که متعلق به بخش $\left[ \log_2 0(,)1;\ 12\sqrt(5) \right]$ است را مشخص کنید. (USE 2017، موج اصلی، روز رزرو)
23. الف) معادله $0(,)4^(\sin x) + 2(,)5^(\sin x) = 2$ را حل کنید.
    ب) ریشه های این معادله را که متعلق به بخش $\left[ 2\pi;\ \dfrac(7\pi)(2) \right]$ است را مشخص کنید. (USE-2017، موج اصلی)
24. الف) معادله $\log_8 \left(7\sqrt(3) \sin x - \cos 2x - 10\right) = 0$ را حل کنید.
    ب) ریشه های این معادله را که متعلق به بخش $\left[ \dfrac(3\pi)(2);\ 3\pi \right]$ هستند را مشخص کنید. (USE-2017، موج اصلی)
25. الف) معادله $\log_4 \left(2^(2x) - \sqrt(3) \cos x - 6\sin^2 x\right) = x$ را حل کنید.
    ب) ریشه های این معادله را که متعلق به بخش $\left[ \dfrac(5\pi)(2);\ 4\pi \right]$ هستند را مشخص کنید. (USE-2017، موج اصلی)
26. الف) معادله $2\log_2^2 \left(\sin x\right) - 5 \log_2 \left(\sin x\right) - 3 = 0$ را حل کنید.
    ب) ریشه های این معادله را که متعلق به بخش $\left[ - 3\pi;\ - \dfrac(3\pi)(2) \right]$ است را مشخص کنید. (USE-2017، موج اصلی)
27. الف) معادله $81^(\cos x) - 12\cdot 9^(\cos x) + 27 = 0$ را حل کنید.
    ب) ریشه های این معادله را که متعلق به بخش $\left[ - 4\pi;\ - \dfrac(5\pi)(2) \right]$ هستند را مشخص کنید. (USE-2017، موج اصلی)
28. الف) معادله $8^x - 9 \cdot 2^(x + 1) + 2^(5 - x) = 0$ را حل کنید.
    ب) ریشه های این معادله را که متعلق به بخش $\left[ \log_5 2;\ \log_5 20 \right]$ است را مشخص کنید. (کاربرد 2017، موج اولیه)
29. الف) معادله $2\log^2_9 x - 3 \log_9 x + 1 = 0$ را حل کنید.
    ب) ریشه های این معادله را که متعلق به بخش $\left[ \sqrt(10);\ \sqrt(99) \right]$ است را مشخص کنید. (USE 2016، موج اصلی، روز رزرو)
30. الف) معادله $6\log^2_8 x - 5 \log_8 x + 1 = 0$ را حل کنید.
    ب) ریشه های این معادله را که متعلق به بخش $\left[ 2;\ 2(,)5 \right]$ است را مشخص کنید. (USE 2016، موج اصلی، روز رزرو)
31. الف) معادله $\sin 2x = 2\sin x + \sin \left(x + \dfrac(3\pi)(2) \right) + 1$ را حل کنید.
    ب) ریشه های این معادله را که متعلق به بخش $\left[ -4\pi;\ -\dfrac(5\pi)(2) \right]$ است را مشخص کنید. (USE 2016، موج اصلی، روز رزرو)
32. الف) معادله $2\cos^2 x + 1 = 2\sqrt(2) \cos \left(\dfrac(3\pi)(2) - x \right)$ را حل کنید.
    ب) ریشه های این معادله را که متعلق به بخش $\left[ \dfrac(3\pi)(2);\ 3\pi \right]$ هستند را مشخص کنید. (USE-2016، موج اصلی)
33. الف) معادله $2\log^2_2 (2\cos x) - 9 \log_2 (2\cos x) + 4 = 0$ را حل کنید.
    ب) ریشه های این معادله را که متعلق به بخش $\left[ -2\pi;\ -\dfrac(\pi)(2) \right]$ است را مشخص کنید. (USE-2016، موج اصلی)
34. الف) معادله $8^x - 7 \cdot 4^x - 2^(x + 4) + 112 = 0$ را حل کنید.
    ب) ریشه های این معادله را که متعلق به بخش $\left[ \log_2 5;\ \log_2 11 \right]$ است را مشخص کنید. (آزمون یکپارچه دولتی 2016، موج اولیه)
35. الف) معادله $\cos 2x + \cos^2 \left(\dfrac(3\pi)(2) - x \right) = 0.25$ را حل کنید.
    ب) ریشه های این معادله را که متعلق به بخش $\left[ -4\pi;\ -\dfrac(5\pi)(2) \right]$ است را مشخص کنید. (آزمون یکپارچه دولتی 2016، موج اولیه)
36. الف) معادله $\dfrac(13\sin^2 x - 5\sin x) (13\cos x + 12) = 0$ را حل کنید.
    ب) ریشه های این معادله را که متعلق به بخش $\left[ -3\pi;\ -\dfrac(3\pi)(2) \right]$ است را مشخص کنید. (آزمون یکپارچه دولتی 2016، موج اولیه)
37. الف) معادله $\dfrac(\sin2x)(\sin\left(\dfrac(7\pi)(2) - x \right)) = \sqrt(2)$ را حل کنید.
    ب) ریشه های این معادله را که متعلق به بخش $\left$ است را مشخص کنید. (USE-2015، موج اصلی)
38. الف) معادله $4 \sin^2 x = \mathrm(tg) x$ را حل کنید.
    ب) ریشه های این معادله را که متعلق به بخش $\left[ - \pi;\ 0\right]$ است را مشخص کنید. (USE-2015، موج اصلی)
39. الف) معادله $3\cos 2x - 5\sin x + 1 = 0$ را حل کنید.
    ب) ریشه های این معادله را که متعلق به بخش $\left[ \pi;\ \dfrac(5\pi)(2)\right]$ است را مشخص کنید. (USE-2015، موج اصلی)
40. الف) معادله $\cos 2x - 5\sqrt(2)\cos x - 5 = 0$ را حل کنید.
    ب) ریشه های این معادله را که متعلق به بخش $\left[ -3\pi;\ -\dfrac(3\pi)(2)\right]$ است را مشخص کنید. (USE-2015، موج اصلی)
41. الف) معادله $\sin 2x + \sqrt(2) \sin x = 2\cos x + \sqrt(2)$ را حل کنید.
    ب) ریشه های این معادله را که متعلق به بخش $\left[ \pi;\ \dfrac(5\pi)(2)\right]$ است را مشخص کنید. (آزمون یکپارچه دولتی 2015، موج اولیه)
42. الف) معادله $2\cos^3 x - \cos^2 x + 2\cos x - 1 = 0$ را حل کنید.
    ب) ریشه های این معادله را که متعلق به بخش $\left[ 2\pi;\ \dfrac(7\pi)(2)\right]$ هستند را مشخص کنید. (آزمون یکپارچه دولتی 2015، موج اولیه)
43. الف) معادله $\mathrm(tg)^2 x + (1 + \sqrt(3)) \mathrm(tg) x + \sqrt(3) = 0$ را حل کنید.
    ب) ریشه های این معادله را که متعلق به بخش $\left[ \dfrac(5\pi)(2) هستند، مشخص کنید. \4\pi\right]$. (USE-2014، موج اصلی)
44. الف) معادله $2\sqrt(3) \cos^2\left(\dfrac(3\pi)(2) + x\right) - \sin 2x = 0$ را حل کنید.
    ب) ریشه های این معادله را که متعلق به بخش $\left[ \dfrac(3\pi)(2) هستند، مشخص کنید. \3\pi\right]$. (USE-2014، موج اصلی)
45. الف) معادله $\cos 2x + \sqrt(2) \sin\left(\dfrac(\pi)(2) + x\right) + 1 = 0$ را حل کنید.
    ب) ریشه های این معادله را که متعلق به بخش $\left[ -3\pi هستند، مشخص کنید. \ -\dfrac(3\pi)(2)\right]$. (USE-2014، موج اصلی)
46. الف) معادله $-\sqrt(2) \sin\left(-\dfrac(5\pi)(2) + x\right) \cdot \sin x = \cos x$ را حل کنید.
    ب) ریشه های این معادله را که متعلق به بخش $\left[ \dfrac(9\pi)(2) است، مشخص کنید. \6\pi\right]$. (آزمون یکپارچه دولتی 2014، موج اولیه)
47. الف) معادله $\sin 2x = \sin\left(\dfrac(\pi)(2) + x\right)$ را حل کنید.
    ب) ریشه های این معادله متعلق به بخش $\left[ -\dfrac(7\pi)(2) را مشخص کنید. \ -\dfrac(5\pi)(2)\right]$. (USE-2013، موج اصلی)
48. الف) معادله $6\sin^2 x + 5\sin\left(\dfrac(\pi)(2) - x\right) - 2 = 0$ را حل کنید.
    ب) ریشه های این معادله را که متعلق به بخش $\left[ -5\pi هستند، مشخص کنید. \ - \dfrac(7\pi)(2)\right]$. (USE-2012، موج دوم)

وظیفه شماره 1

منطق ساده است: بدون در نظر گرفتن این واقعیت که اکنون توابع مثلثاتی آرگومان پیچیده تری دارند، مانند قبل انجام خواهیم داد!

اگر بخواهیم معادله ای از شکل زیر را حل کنیم:

سپس پاسخ زیر را می نویسیم:

یا (از زمانی که)

اما اکنون نقش ما با این عبارت ایفا می شود:

سپس می توانیم بنویسیم:

هدف ما با شما این است که مطمئن شویم سمت چپ به سادگی و بدون هیچ گونه "ناخالصی" ایستاده است!

بیایید کم کم از شر آنها خلاص شویم!

ابتدا مخرج را حذف می کنیم: برای انجام این کار، تساوی خود را در:

حالا بیایید با تقسیم هر دو قسمت از شر آن خلاص شویم:

حالا بیایید از شر این هشت خلاص شویم:

عبارت به دست آمده را می توان به صورت 2 سری راه حل نوشت (بر اساس قیاس با یک معادله درجه دوم، که در آن تفکیک کننده را اضافه یا کم می کنیم)

ما باید بزرگترین ریشه منفی را پیدا کنیم! واضح است که ما نیاز به مرتب سازی داریم.

ابتدا به قسمت اول نگاه می کنیم:

واضح است که اگر بگیریم، در نتیجه اعداد مثبت دریافت خواهیم کرد، اما آنها به ما علاقه ای ندارند.

بنابراین باید آن را منفی بگیرید. بگذار باشد.

زمانی که ریشه باریکتر می شود:

و ما باید بزرگترین منفی را پیدا کنیم!! این بدان معناست که رفتن به سمت منفی در اینجا دیگر معنی ندارد. و بزرگترین ریشه منفی برای این سریال برابر خواهد بود با.

حالا سری دوم را بررسی می کنیم:

و دوباره جایگزین: , سپس:

علاقه ای ندارد!

آنوقت دیگر افزایش معنا ندارد! کم کنیم! سپس اجازه دهید:

مناسب است!

بگذار باشد. سپس

سپس - بزرگترین ریشه منفی!

پاسخ:

وظیفه شماره 2

بدون توجه به استدلال کسینوس پیچیده، دوباره حل می کنیم:

اکنون دوباره در سمت چپ بیان می کنیم:

هر دو طرف را در ضرب کنید

هر دو طرف را تقسیم کنید

تنها چیزی که باقی می ماند این است که آن را به سمت راست ببرید و علامت آن را از منفی به مثبت تغییر دهید.

ما دوباره 2 سری ریشه می گیریم، یکی با و دیگری با.

ما باید بزرگترین ریشه منفی را پیدا کنیم. بیایید به قسمت اول نگاه کنیم:

واضح است که اولین ریشه منفی را در خواهیم گرفت، برابر است و بزرگترین ریشه منفی در 1 سری خواهد بود.

برای سری دوم

اولین ریشه منفی نیز در و برابر خواهد بود. از آنجا که، پس بزرگترین ریشه منفی معادله است.

پاسخ: .

وظیفه شماره 3

ما بدون توجه به استدلال مماس پیچیده حل می کنیم.

حالا، به نظر پیچیده نیست، درست است؟

مانند قبل، در سمت چپ بیان می کنیم:

خوب، عالی است، فقط یک سری ریشه در اینجا وجود دارد! بیایید دوباره بزرگترین منفی را پیدا کنیم.

معلوم است که اگر آن را زمین بگذاری معلوم می شود. و این ریشه برابر است.

پاسخ:

حال سعی کنید مشکلات زیر را خودتان حل کنید.

تکلیف یا 3 کار برای حل مستقل.

1. معادله را حل کنید.
   
2. معادله را حل کنید.
   در جواب پی شی ام کوچکترین ریشه ممکن.
3. معادله را حل کنید.
   در جواب پی شی ام کوچکترین ریشه ممکن.

آماده؟ بیایید بررسی کنیم. من کل الگوریتم حل را با جزئیات شرح نمی دهم؛ به نظر من قبلاً به اندازه کافی در بالا توجه شده است.

خوب، همه چیز درست است؟ آه، آن سینوس های بد، همیشه نوعی مشکل با آنها وجود دارد!

خب حالا می توانید معادلات مثلثاتی ساده را حل کنید!

راه حل ها و پاسخ ها را بررسی کنید:

وظیفه شماره 1

بیان کنیم

کوچکترین ریشه مثبت به دست می آید اگر قرار دهیم، از آن پس

پاسخ:

وظیفه شماره 2

کوچکترین ریشه مثبت در به دست می آید.

برابر خواهد بود.

پاسخ: .

وظیفه شماره 3

وقتی می گیریم، وقتی داریم.

پاسخ: .

این دانش به شما کمک می کند تا بسیاری از مشکلاتی را که در امتحان با آنها مواجه خواهید شد حل کنید.

اگر برای رتبه "5" درخواست می دهید، فقط باید به خواندن مقاله ادامه دهید سطح متوسطکه به حل معادلات مثلثاتی پیچیده تر اختصاص خواهد یافت (تکلیف C1).

سطح متوسط

در این مقاله توضیح خواهم داد حل معادلات مثلثاتی پیچیده ترو نحوه انتخاب ریشه آنها. در اینجا به موضوعات زیر می پردازم:

1. معادلات مثلثاتی برای سطح مبتدی (به بالا مراجعه کنید).

معادلات مثلثاتی پیچیده‌تر مبنای مسائل پیشرفته هستند. آنها هم نیاز به حل خود معادله به شکل کلی و هم یافتن ریشه های این معادله متعلق به یک بازه معین دارند.

حل معادلات مثلثاتی به دو کار فرعی خلاصه می شود:

1. حل معادله
2. انتخاب ریشه

لازم به ذکر است که دومی همیشه مورد نیاز نیست، اما در بیشتر نمونه ها هنوز انتخاب مورد نیاز است. اما اگر لازم نباشد، می توانیم با شما همدردی کنیم - این بدان معنی است که این معادله به خودی خود بسیار پیچیده است.

تجربه من در تجزیه و تحلیل مسائل C1 نشان می دهد که آنها معمولا به دسته های زیر تقسیم می شوند.

چهار دسته از وظایف با پیچیدگی افزایش یافته (C1 سابق)

1. معادلاتی که به فاکتورسازی کاهش می یابد.
2. معادلات به شکل کاهش یافت.
3. معادلات حل شده با تغییر یک متغیر
4. معادلاتی که به دلیل غیرمنطقی یا مخرج نیاز به انتخاب اضافی ریشه دارند.

به بیان ساده: اگر گرفتار شدید یکی از معادلات سه نوع اول، سپس خود را خوش شانس بدانید. برای آنها، به عنوان یک قاعده، شما علاوه بر این باید ریشه های متعلق به یک بازه خاص را انتخاب کنید.

اگر با یک معادله نوع 4 برخورد کردید، پس شانس کمتری دارید: باید طولانی تر و با دقت بیشتری آن را سرهم بندی کنید، اما اغلب اوقات نیازی به انتخاب اضافی ریشه ها ندارد. با این وجود، من این نوع معادلات را در مقاله بعدی تجزیه و تحلیل خواهم کرد و این مقاله را به حل معادلات سه نوع اول اختصاص خواهم داد.

معادلاتی که به فاکتورسازی کاهش می یابد

مهمترین چیزی که برای حل این نوع معادله باید به خاطر بسپارید این است

همانطور که تمرین نشان می دهد، به عنوان یک قاعده، این دانش کافی است. بیایید به چند نمونه نگاه کنیم:

مثال 1. معادله با استفاده از فرمول‌های سینوس کاهش و دو زاویه به فاکتورسازی کاهش می‌یابد

• معادله را حل کنید
• تمام ریشه های این معادله را که در بالای برش قرار دارند، پیدا کنید

در اینجا، همانطور که قول داده بودم، فرمول های کاهش کار می کنند:

سپس معادله من به شکل زیر خواهد بود:

سپس معادله من به شکل زیر در می آید:

یک دانش آموز کوته فکر ممکن است بگوید: حالا هر دو طرف را کم می کنم، ساده ترین معادله را می گیرم و از زندگی لذت می برم! و سخت در اشتباه خواهد بود!

به یاد داشته باشید: شما هرگز نمی توانید هر دو طرف یک معادله مثلثاتی را با تابعی که حاوی یک ناشناخته است کاهش دهید! بنابراین شما ریشه های خود را از دست می دهید!

خوب چه کار کنیم؟ بله، ساده است، همه چیز را به یک سمت ببرید و عامل مشترک را حذف کنید:

خوب، ما آن را در فاکتورها قرار دادیم، عجله کنید! حالا بیایید تصمیم بگیریم:

معادله اول ریشه دارد:

و دومی:

این قسمت اول مشکل را کامل می کند. اکنون باید ریشه ها را انتخاب کنید:

شکاف به این صورت است:

یا می توان آن را اینگونه نیز نوشت:

خوب، بیایید ریشه ها را در نظر بگیریم:

اول، بیایید با قسمت اول کار کنیم (و حداقل ساده تر است!)

از آنجایی که فاصله ما کاملاً منفی است، نیازی به گرفتن غیر منفی نیست، آنها همچنان ریشه های غیر منفی می دهند.

بیایید آن را بگیریم، پس - خیلی زیاد است، نمی خورد.

پس بگذار - من دیگر آن را نزدم.

یک بار دیگر - سپس - بله، متوجه شدم! اولین ریشه پیدا شد!

دوباره شلیک می کنم: بعد دوباره زدم!

خوب، یک بار دیگر: - این یک پرواز است.

بنابراین از سری اول 2 ریشه متعلق به فاصله وجود دارد: .

ما با سری دوم کار می کنیم (در حال ساخت به قدرت طبق قاعده):

زیر شلیک!

دوباره دلتنگش شده!

دوباره دلتنگش شده!

فهمیدم!

پرواز!

بنابراین، فاصله من دارای ریشه های زیر است:

این الگوریتمی است که برای حل تمام مثال های دیگر استفاده خواهیم کرد. بیایید با یک مثال دیگر تمرین کنیم.

مثال 2. معادله با استفاده از فرمول های کاهش به فاکتورسازی کاهش می یابد

• معادله را حل کنید

راه حل:

باز هم فرمول های کاهش بدنام:

سعی نکنید دوباره کاهش دهید!

معادله اول ریشه دارد:

و دومی:

اکنون دوباره جستجو برای ریشه ها.

من با قسمت دوم شروع می کنم، من قبلاً همه چیز را در مورد آن از مثال قبلی می دانم! نگاه کنید و مطمئن شوید که ریشه های متعلق به بازه به شرح زیر است:

حالا قسمت اول و ساده تر است:

اگر - مناسب است

اگه اون هم خوبه

اگر قبلاً پرواز است.

سپس ریشه ها به صورت زیر خواهد بود:

کار مستقل. 3 معادله

خوب، آیا تکنیک برای شما واضح است؟ آیا حل معادلات مثلثاتی دیگر چندان دشوار به نظر نمی رسد؟ سپس به سرعت مشکلات زیر را خودتان حل کنید و سپس نمونه های دیگر را حل خواهیم کرد:

1. معادله را حل کنید
   تمام ریشه های این معادله را که بالای بازه قرار دارند پیدا کنید.
2. معادله را حل کنید
   ریشه های معادله را که بالای برش قرار دارند نشان دهید
3. معادله را حل کنید
   تمام ریشه های این معادله را که بین آنها قرار دارد بیابید.

معادله 1.

و دوباره فرمول کاهش:

سری اول ریشه ها:

سری دوم ریشه ها:

ما انتخاب را برای شکاف شروع می کنیم

پاسخ: ، .

معادله 2. بررسی کار مستقل

گروه بندی بسیار دشوار به عوامل (من از فرمول سینوس زاویه دوگانه استفاده خواهم کرد):

سپس یا

این یک راه حل کلی است. اکنون باید ریشه ها را انتخاب کنیم. مشکل اینجاست که نمی توانیم مقدار دقیق زاویه ای را که کسینوس آن برابر با یک چهارم است بگوییم. بنابراین ، من نمی توانم فقط از شر کسینوس قوس خلاص شوم - چنین شرم آور!

کاری که من می توانم انجام دهم این است که بفهمم پس، پس، پس.

بیایید یک جدول ایجاد کنیم: interval:

خوب، از طریق جستجوهای دردناک به این نتیجه ناامیدکننده رسیدیم که معادله ما یک ریشه در بازه مشخص شده دارد: \displaystyle arccos\frac(1)(4)-5\pi

معادله 3: آزمون کار مستقل.

معادله ای ترسناک با این حال، می توان آن را به سادگی با استفاده از فرمول سینوس زاویه دوتایی حل کرد:

بیایید آن را 2 کاهش دهیم:

بیایید اولین ترم را با دوم و سوم را با چهارم گروه بندی کنیم و عوامل مشترک را برداریم:

واضح است که معادله اول ریشه ندارد و حالا اجازه دهید دومی را در نظر بگیریم:

به طور کلی، من قصد داشتم کمی بعداً در مورد حل چنین معادلاتی صحبت کنم، اما از آنجایی که مشخص شد، کاری برای انجام دادن وجود ندارد، باید آن را حل کنم ...

معادلات فرم:

این معادله با تقسیم دو طرف بر:

بنابراین، معادله ما یک سری ریشه دارد:

ما باید آنهایی را پیدا کنیم که به بازه تعلق دارند: .

بیایید دوباره یک جدول بسازیم، همانطور که قبلا انجام دادم:

پاسخ: .

معادلات به شکل کاهش یافته است:

خوب، اکنون وقت آن است که به بخش دوم معادلات برویم، به خصوص که من قبلاً در مورد اینکه راه حل معادلات مثلثاتی از نوع جدید شامل چه چیزی است، صحبت کردم. اما شایان ذکر است که معادله به شکلی است

با تقسیم هر دو طرف بر کسینوس حل می شود:

1. معادله را حل کنید
   ریشه های معادله را که بالای برش قرار دارند نشان دهید.
2. معادله را حل کنید
   ریشه های معادله ای که بین آنها قرار دارد را مشخص کنید.

مثال 1.

مورد اول کاملاً ساده است. به سمت راست حرکت کنید و فرمول کسینوس دو زاویه را اعمال کنید:

آره معادله فرم: . من هر دو قسمت را تقسیم می کنم

ما غربالگری ریشه انجام می دهیم:

شکاف:

پاسخ:

مثال 2.

همه چیز نیز بسیار پیش پا افتاده است: بیایید پرانتزهای سمت راست را باز کنیم:

هویت مثلثاتی پایه:

سینوس زاویه دوتایی:

در نهایت می رسیم:

غربالگری ریشه: فاصله زمانی

پاسخ: .

خوب، چگونه تکنیک را دوست دارید، خیلی پیچیده نیست؟ امیدوارم اینطور نباشه. می‌توانیم فوراً رزرو کنیم: در شکل خالص خود، معادلاتی که بلافاصله به معادله مماس کاهش می‌یابند، بسیار نادر هستند. به طور معمول، این انتقال (تقسیم بر کسینوس) تنها بخشی از یک مسئله پیچیده تر است. در اینجا یک مثال برای شما برای تمرین آورده شده است:

• معادله را حل کنید
• تمام ریشه های این معادله را که در بالای برش قرار دارند، پیدا کنید.

بیایید بررسی کنیم:

معادله را می توان بلافاصله حل کرد، کافی است هر دو طرف را بر دو تقسیم کنیم:

غربالگری ریشه:

پاسخ: .

به هر شکلی، ما هنوز با معادلاتی از نوع که اخیراً بررسی کردیم، مواجه نشده ایم. با این حال، برای ما خیلی زود است که آن را یک روز بنامیم: هنوز یک "لایه" دیگر از معادلات باقی مانده است که ما آن را مرتب نکرده ایم. بنابراین:

حل معادلات مثلثاتی با تغییر متغیرها

همه چیز در اینجا شفاف است: ما دقیقاً به معادله نگاه می کنیم، آن را تا حد امکان ساده می کنیم، جایگزین می کنیم، آن را حل می کنیم، جایگزینی معکوس می کنیم! در کلمات همه چیز بسیار آسان است. بیایید در عمل ببینیم:

مثال.

• معادله را حل کنید: .
• تمام ریشه های این معادله را که در بالای برش قرار دارند، پیدا کنید.

خب اینجا خود جایگزین خودش را به ما پیشنهاد می کند!

سپس معادله ما به این تبدیل می شود:

معادله اول ریشه دارد:

و مورد دوم به این صورت است:

حالا بیایید ریشه های متعلق به بازه را پیدا کنیم

پاسخ: .

بیایید یک مثال کمی پیچیده تر را با هم ببینیم:

• معادله را حل کنید
• ریشه های معادله داده شده را که در بالا بین آنها قرار گرفته اند نشان دهید.

در اینجا جایگزینی بلافاصله قابل مشاهده نیست، علاوه بر این، خیلی واضح نیست. بیایید ابتدا فکر کنیم: چه کاری می توانیم انجام دهیم؟

مثلاً می توانیم تصور کنیم

و در همان زمان

سپس معادله من به شکل زیر در می آید:

و اکنون توجه، تمرکز:

بیایید هر دو طرف معادله را بر دو تقسیم کنیم:

ناگهان من و شما یک نسبی معادله درجه دوم داریم! بیایید جایگزینی ایجاد کنیم، سپس دریافت می کنیم:

معادله دارای ریشه های زیر است:

سری دوم ریشه های ناخوشایند، اما هیچ کاری نمی توان کرد! ریشه ها را در بازه انتخاب می کنیم.

ما نیز باید آن را در نظر بگیریم

از آن زمان و سپس

پاسخ:

برای تقویت این موضوع قبل از اینکه خودتان مشکلات را حل کنید، تمرین دیگری برای شما وجود دارد:

• معادله را حل کنید
• تمام ریشه های این معادله را که بین آنها قرار دارد بیابید.

در اینجا باید چشمان خود را باز نگه دارید: اکنون مخرج هایی داریم که می توانند صفر باشند! بنابراین، شما باید به ویژه به ریشه ها توجه کنید!

اول از همه باید معادله را دوباره مرتب کنم تا بتوانم یک جایگزین مناسب انجام دهم. اکنون نمی توانم چیزی بهتر از بازنویسی مماس بر حسب سینوس و کسینوس فکر کنم:

اکنون با استفاده از هویت مثلثاتی اولیه از کسینوس به سینوس حرکت می کنم:

و در نهایت، من همه چیز را به یک مخرج مشترک می آورم:

اکنون می توانم به معادله ادامه دهم:

اما در (یعنی در).

اکنون همه چیز برای جایگزینی آماده است:

سپس یا

با این حال، توجه داشته باشید که اگر، پس در همان زمان!

چه کسی از این رنج می برد؟ مشکل مماس این است که وقتی کسینوس برابر با صفر است (تقسیم بر صفر اتفاق می افتد) تعریف نمی شود.

بنابراین، ریشه های معادله عبارتند از:

حالا ریشه ها را در فاصله الک می کنیم:

	- مناسب است
	- زیاده روی

بنابراین، معادله ما دارای یک ریشه در بازه است، و آن برابر است.

می بینید: ظاهر یک مخرج (درست مانند مماس، منجر به مشکلات خاصی با ریشه ها می شود! در اینجا باید بیشتر مراقب باشید!).

خوب، من و شما تقریباً تجزیه و تحلیل معادلات مثلثاتی را به پایان رسانده‌ایم؛ بسیار کمی باقی مانده است - برای حل دو مسئله به تنهایی. آن ها اینجا هستند.

1. معادله را حل کنید
   تمام ریشه های این معادله را که در بالای برش قرار دارند، پیدا کنید.
2. معادله را حل کنید
   ریشه های این معادله را که در بالای برش قرار دارند، نشان دهید.

تصمیم گرفت؟ خیلی سخت نیست؟ بیایید بررسی کنیم:

1. ما طبق فرمول های کاهش کار می کنیم:

   جایگزین در معادله:

   بیایید همه چیز را از طریق کسینوس بازنویسی کنیم تا جایگزینی آسان تر شود:

   اکنون ساختن جایگزین آسان است:

   واضح است که یک ریشه خارجی است، زیرا معادله هیچ راه حلی ندارد. سپس:

   ما در بازه به دنبال ریشه هایی هستیم که نیاز داریم

   پاسخ: .

2. 
   در اینجا جایگزینی بلافاصله قابل مشاهده است:

   سپس یا

   	- مناسب است!	- مناسب است!
   	- مناسب است!	- مناسب است!
   	- بسیاری از!	- همچنین بسیار!

   پاسخ:

خب همین الان! اما حل معادلات مثلثاتی به همین جا ختم نمی‌شود، ما در سخت‌ترین موارد عقب هستیم: زمانی که معادلات حاوی غیرمنطقی یا انواع مختلفی از «مخرج‌های پیچیده» باشند. نحوه حل چنین وظایفی را در مقاله ای برای سطح پیشرفته بررسی خواهیم کرد.

سطح پیشرفته

علاوه بر معادلات مثلثاتی که در دو مقاله قبلی مورد بحث قرار گرفت، دسته دیگری از معادلات را در نظر خواهیم گرفت که نیاز به تحلیل دقیق تری دارند. این مثال‌های مثلثاتی یا غیرمنطقی یا مخرج دارند که تحلیل آنها را دشوارتر می‌کند. با این حال، ممکن است به خوبی در قسمت C مقاله امتحانی با این معادلات روبرو شوید. با این حال، هر ابر دارای پوشش نقره ای است: برای چنین معادلاتی، به عنوان یک قاعده، این سوال که کدام یک از ریشه های آن متعلق به یک بازه معین است، دیگر مطرح نمی شود. بیایید در اطراف بوش ضرب و شتم نکنیم، اما بیایید مستقیماً به سراغ مثال‌های مثلثاتی برویم.

مثال 1.

معادله را حل کنید و ریشه های متعلق به بخش را پیدا کنید.

راه حل:

ما یک مخرج داریم که نباید برابر با صفر باشد! سپس حل این معادله مانند حل سیستم است

بیایید هر یک از معادلات را حل کنیم:

و حالا دومی:

حالا بیایید به سریال نگاه کنیم:

واضح است که این گزینه برای ما مناسب نیست، زیرا در این حالت مخرج ما به صفر تنظیم می شود (فرمول ریشه های معادله دوم را ببینید)

اگر، پس همه چیز مرتب است، و مخرج صفر نیست! سپس ریشه های معادله به صورت زیر است: , .

حالا ریشه های متعلق به بازه را انتخاب می کنیم.

	- مناسب نیست	- مناسب است
	- مناسب است	- مناسب است
	بیش از حد	بیش از حد

سپس ریشه ها به شرح زیر است:

ببینید، حتی ظهور یک اختلال کوچک در شکل مخرج به طور قابل توجهی بر حل معادله تأثیر می‌گذارد: ما یک سری ریشه‌ها را که مخرج را باطل می‌کردند کنار گذاشتیم. اگر با مثال‌های مثلثاتی غیرمنطقی برخورد کنید، اوضاع می‌تواند پیچیده‌تر شود.

مثال 2.

معادله را حل کنید:

راه حل:

خوب، حداقل لازم نیست ریشه ها را از بین ببرید، و این خوب است! بیایید ابتدا معادله را بدون توجه به غیرمنطقی بودن حل کنیم:

بنابراین، این همه است؟ نه، افسوس، خیلی آسان خواهد بود! باید به خاطر داشته باشیم که فقط اعداد غیر منفی می توانند زیر ریشه ظاهر شوند. سپس:

راه حل این نابرابری این است:

اکنون باید دریابیم که آیا بخشی از ریشه های معادله اول به طور ناخواسته به جایی ختم شده است که نابرابری برقرار نیست.

برای انجام این کار، می توانید دوباره از جدول استفاده کنید:

	: ، ولی	نه!
		آره!
		آره!

بنابراین، یکی از ریشه های من "از بین رفت"! اگر آن را زمین بگذارید معلوم می شود. سپس پاسخ را می توان به صورت زیر نوشت:

پاسخ:

می بینید که ریشه نیاز به توجه بیشتری دارد! بیایید آن را پیچیده تر کنیم: اجازه دهید اکنون یک تابع مثلثاتی در زیر ریشه خود داشته باشم.

مثال 3.

مانند قبل: ابتدا هر کدام را جداگانه حل می کنیم و سپس به کارهایی که انجام داده ایم فکر می کنیم.

حالا معادله دوم:

اکنون دشوارترین کار این است که بفهمیم اگر ریشه های معادله اول را در آنجا جایگزین کنیم، مقادیر منفی زیر ریشه حسابی به دست می آیند یا خیر:

عدد را باید رادیان فهمید. از آنجایی که یک رادیان تقریباً درجه است، پس رادیان ها به ترتیب درجه هستند. این گوشه کوارتر دوم است. علامت کسینوس ربع دوم چیست؟ منهای. سینوس چطور؟ به علاوه. پس در مورد این عبارت چه می توانیم بگوییم:

کمتر از صفر است!

یعنی ریشه معادله نیست.

حالا وقتشه

بیایید این عدد را با صفر مقایسه کنیم.

کوتانژانت تابعی است که در 1 چهارم کاهش می یابد (هر چه آرگومان کوچکتر باشد، کوتانژانت بزرگتر است). رادیان ها تقریباً درجه هستند. در همان زمان

از آن زمان، و بنابراین
,

پاسخ: .

آیا ممکن است پیچیده تر شود؟ لطفا! اگر ریشه همچنان یک تابع مثلثاتی باشد و قسمت دوم معادله دوباره یک تابع مثلثاتی باشد، دشوارتر خواهد بود.

هرچه مثال های مثلثاتی بیشتر باشد بهتر است، در زیر ببینید:

مثال 4.

ریشه به دلیل محدودیت کسینوس مناسب نیست

حالا دومی:

در همان زمان، با تعریف ریشه:

باید دایره واحد را به خاطر بسپاریم: یعنی آن ربع هایی که سینوس کمتر از صفر است. این ربع ها چیست؟ سوم و چهارم. سپس ما به آن دسته از راه حل های معادله اول که در سه ماهه سوم یا چهارم قرار دارند علاقه مند خواهیم شد.

سری اول ریشه هایی را می دهد که در تقاطع ربع سوم و چهارم قرار دارند. سری دوم - کاملاً مخالف آن - ریشه هایی را ایجاد می کند که در مرز سه ماهه اول و دوم قرار دارند. بنابراین این سریال برای ما مناسب نیست.

پاسخ: ،

و دوباره مثال های مثلثاتی با "غیر منطقی دشوار". ما نه تنها تابع مثلثاتی را دوباره زیر ریشه داریم، بلکه اکنون در مخرج نیز قرار دارد!

مثال 5.

خوب، هیچ کاری نمی توان کرد - ما مانند قبل انجام می دهیم.

حالا با مخرج کار می کنیم:

من نمی‌خواهم نابرابری مثلثاتی را حل کنم، بنابراین کار هوشمندانه‌ای انجام می‌دهم: سری ریشه‌هایم را می‌گیرم و با نامساوی جایگزین می‌کنم:

اگر - زوج باشد، داریم:

زیرا تمام زوایای دید در ربع چهارم قرار دارند. و دوباره این سوال مقدس: علامت سینوس در ربع چهارم چیست؟ منفی. سپس نابرابری

اگر - فرد است، پس:

زاویه در کدام ربع قرار دارد؟ این گوشه کوارتر دوم است. سپس همه گوشه ها دوباره گوشه های کوارتر دوم هستند. سینوس آنجا مثبت است. فقط آنچه شما نیاز دارید! بنابراین سریال:

مناسب است!

ما با سری دوم ریشه ها به همین ترتیب برخورد می کنیم:

نابرابری خود را جایگزین می کنیم:

اگر - حتی، پس

کرنرهای کوارتر اول سینوس آنجا مثبت است، یعنی سریال مناسب است. حالا اگر - فرد است، پس:

هم مناسب است!

خوب حالا جواب را یادداشت می کنیم!

پاسخ:

خب، این شاید پرکارترین مورد بود. حالا من به شما مشکلاتی را پیشنهاد می کنم که خودتان حل کنید.

آموزش

1. تمام ریشه های معادله را که متعلق به بخش است حل کنید و پیدا کنید.

راه حل ها:

1. 
   معادله اول:
   یا
   ODZ ریشه:

   معادله دوم:

   انتخاب ریشه هایی که به فاصله تعلق دارند

   پاسخ:

یا
یا
ولی

بیایید در نظر بگیریم: . اگر - حتی، پس
- مناسب نیست!
اگر - عجیب و غریب، : - مناسب!
این بدان معنی است که معادله ما دارای سری ریشه های زیر است:
یا
انتخاب ریشه در بازه:

	- مناسب نیست	- مناسب است
	- مناسب است	- بسیاری از
	- مناسب است	بسیاری از

پاسخ: ، .

یا
از آنجا که، پس از آن مماس تعریف نشده است. ما بلافاصله این سری ریشه ها را دور می اندازیم!

بخش دوم:

در عین حال، با توجه به DZ لازم است که

ما ریشه های موجود در معادله اول را بررسی می کنیم:

اگر علامت:

زوایای ربع اول که مماس مثبت است. مناسب نیست!
اگر علامت:

گوشه چهارم. در آنجا مماس منفی است. مناسب است. پاسخ را یادداشت می کنیم:

پاسخ: ، .

ما در این مقاله نمونه های مثلثاتی پیچیده را با هم بررسی کرده ایم، اما شما باید خودتان معادلات را حل کنید.

خلاصه و فرمول های اساسی

معادله مثلثاتی معادله ای است که در آن مجهول به شدت تحت علامت تابع مثلثاتی قرار می گیرد.

دو روش برای حل معادلات مثلثاتی وجود دارد:

راه اول استفاده از فرمول هاست.

راه دوم از طریق دایره مثلثاتی است.

به شما امکان می دهد زاویه ها را اندازه گیری کنید، سینوس، کسینوس و غیره آنها را پیدا کنید.