ریاضیات برای برنامه نویسان: نظریه احتمال نظریه احتمال

همچنین وظایفی برای تصمیم مستقل، که می توانید پاسخ آن را ببینید.

نظریه احتمال در مورد انواع رویدادها و احتمال وقوع آنها

نظریه احتمال به بررسی انواع رویدادها و احتمال وقوع آنها می پردازد. پیدایش نظریه احتمالات به اواسط قرن هفدهم برمی گردد، زمانی که ریاضیدانان به مسائل مطرح شده توسط قماربازان علاقه مند شدند و شروع به مطالعه وقایع مانند ظهور یک برد کردند. در فرآیند حل این مسائل مفاهیمی مانند احتمال و ارزش مورد انتظار. دانشمندان آن زمان - هویگنس (1629-1695)، پاسکال (1623-1662)، فرما (1601-1665) و برنولی (1654-1705) متقاعد شده بودند که الگوهای واضحی می توانند بر اساس رویدادهای تصادفی عظیم ایجاد شوند. در عین حال، عملیات محاسباتی و ترکیبی ابتدایی برای تحقیق کافی بود.

بنابراین، نظریه احتمال، الگوهای مختلفی را که رویدادهای تصادفی و متغیرهای تصادفی در معرض آن قرار می‌گیرند، توضیح و بررسی می‌کند. رویداد هر واقعیتی است که بتوان آن را در نتیجه مشاهده یا تجربه بیان کرد. مشاهده یا تجربه، تحقق شرایط خاصی است که تحت آن یک رویداد می تواند رخ دهد.

آنچه برای تعیین احتمال وقوع یک رویداد باید بدانید

تمام رویدادهایی که مردم مشاهده می کنند یا خودشان ایجاد می کنند به دو دسته تقسیم می شوند:

• رویدادهای قابل اعتماد؛
• رویدادهای غیرممکن؛
• رویدادهای تصادفی

رویدادهای قابل اعتماد همیشه زمانی رخ می دهد که مجموعه خاصی از شرایط ایجاد شود. به عنوان مثال، اگر ما کار کنیم، برای آن پاداش دریافت می کنیم؛ اگر در امتحانات موفق شویم و در مسابقه موفق شویم، می توانیم با اطمینان روی تعداد دانش آموزان حساب کنیم. رویدادهای قابل اعتماد را می توان در فیزیک و شیمی مشاهده کرد. در اقتصاد، رویدادهای قابل اعتماد با ساختار اجتماعی و قوانین موجود مرتبط است. مثلاً اگر پولی را در بانکی واریز کردیم و ابراز تمایل کردیم که در مدت زمان مشخصی آن را دریافت کنیم، آن وقت پول را دریافت می کنیم. می توان روی این به عنوان یک رویداد قابل اعتماد حساب کرد.

اتفاقات غیر ممکن اگر مجموعه خاصی از شرایط ایجاد شده باشد قطعاً اتفاق نمی افتد. به عنوان مثال، اگر دما به اضافه 15 درجه سانتیگراد باشد، آب یخ نمی زند، تولید بدون برق انجام نمی شود.

رویدادهای تصادفی وقتی مجموعه خاصی از شرایط محقق شود، ممکن است رخ دهد یا نباشد. به عنوان مثال، اگر یک بار سکه را پرتاب کنیم، ممکن است نشان بیفتد یا نرود، یک بلیت قرعه کشی ممکن است برنده شود یا نشود، یک محصول تولیدی ممکن است معیوب باشد یا نباشد. ظهور یک محصول معیوب یک رویداد تصادفی است که نادرتر از تولید محصولات مناسب است.

فراوانی مورد انتظار وقوع رویدادهای تصادفی ارتباط نزدیکی با مفهوم احتمال دارد. الگوهای وقوع و عدم وقوع رویدادهای تصادفی توسط نظریه احتمال بررسی می شود.

اگر مجموعه ای از شرایط لازم فقط یک بار محقق شود، اطلاعات ناکافی در مورد یک رویداد تصادفی دریافت می کنیم، زیرا ممکن است رخ دهد یا نباشد. اگر مجموعه ای از شرایط بارها اجرا شود، الگوهای شناخته شده ظاهر می شوند. به عنوان مثال، هرگز نمی توان فهمید که مشتری بعدی به کدام دستگاه قهوه ساز در فروشگاه نیاز دارد، اما اگر مارک های قهوه سازهایی که برای مدت طولانی بیشترین تقاضا را داشته اند، شناخته شوند، بر اساس این داده ها می توان سازماندهی تولید یا عرضه برای پاسخگویی به تقاضا.

آگاهی از الگوهای حاکم بر رویدادهای تصادفی انبوه به ما امکان می دهد زمان وقوع این رویدادها را پیش بینی کنیم. به عنوان مثال، همانطور که قبلا ذکر شد، نمی توان از قبل نتیجه پرتاب یک سکه را پیش بینی کرد، اما اگر سکه بارها پرتاب شود، می توان پیش بینی کرد که نشان می دهد. خطا ممکن است کوچک باشد.

روش‌های نظریه احتمال به طور گسترده در شاخه‌های مختلف علوم طبیعی، فیزیک نظری، ژئودزی، نجوم، نظریه کنترل خودکار، نظریه مشاهده خطا و در بسیاری از علوم نظری و عملی دیگر استفاده می‌شود. تئوری احتمال به طور گسترده ای در برنامه ریزی و سازماندهی تولید، تجزیه و تحلیل کیفیت محصول، تجزیه و تحلیل فرآیند فن آوری، بیمه، آمار جمعیت، زیست شناسی، بالستیک و سایر صنایع استفاده می شود.

رویدادهای تصادفی معمولاً با حروف بزرگ الفبای لاتین A، B، C و غیره نشان داده می شوند.

رویدادهای تصادفی می توانند به شرح زیر باشند:

• ناسازگار؛
• مفصل

رویدادهای A، B، C... نامیده می شوند ناسازگار ، اگر در نتیجه یک آزمایش یکی از این رویدادها رخ دهد، اما دو یا چند رویداد نمی توانند رخ دهند.

اگر وقوع یک رویداد تصادفی، وقوع یک رویداد دیگر را منتفی نکند، چنین رویدادهایی نامیده می شوند. مفصل . به عنوان مثال، اگر قطعه دیگری از تسمه نقاله حذف شود و رویداد A به معنای "قطعه مطابق با استاندارد است" و رویداد B به معنای "قطعه مطابق استاندارد نیست" باشد، A و B رویدادهای ناسازگار هستند. اگر رویداد C به معنای "بخشی از درجه II گرفته شده است" باشد، این رویداد با رویداد A مشترک است، اما با رویداد B ناسازگار است.

اگر در هر مشاهده (آزمون) یک و تنها یکی از رویدادهای تصادفی ناسازگار رخ دهد، آنگاه این رویدادها را تشکیل می دهند. مجموعه کامل (سیستم) رویدادها .

یک رویداد قابل اعتماد وقوع حداقل یک رویداد از مجموعه کامل رویدادها است.

اگر رویدادهایی که مجموعه کامل رویدادها را تشکیل می دهند جفت ناسازگار ، سپس در نتیجه مشاهده فقط یکی از این رویدادها می تواند رخ دهد. مثلاً یک دانش آموز باید دو مشکل را حل کند کار آزمایشی. یک و تنها یکی از رویدادهای زیر قطعا رخ خواهد داد:

• مشکل اول حل می شود و مشکل دوم حل نمی شود.
• مشکل دوم حل می شود و مشکل اول حل نمی شود.
• هر دو مشکل حل خواهد شد.
• هیچ یک از مشکلات حل نخواهد شد

این اتفاقات شکل می گیرد مجموعه کاملی از رویدادهای ناسازگار .

اگر مجموعه کامل رویدادها فقط از دو رویداد ناسازگار تشکیل شده باشد، آنها فراخوانی می شوند متقابل برعکس یا جایگزین مناسبت ها.

رویداد مقابل رویداد با نشان داده می شود. به عنوان مثال، در مورد پرتاب یک سکه، ممکن است اسم () یا نشان () ظاهر شود.

رویدادها نامیده می شوند به همان اندازه ممکن است ، در صورتی که هیچ یک از آنها مزایای عینی نداشته باشد. چنین رویدادهایی مجموعه کامل رویدادها را نیز تشکیل می دهند. این بدان معنی است که در نتیجه یک مشاهده یا آزمایش، حداقل باید یکی از رویدادهای به همان اندازه ممکن رخ دهد.

به عنوان مثال، یک گروه کامل از رویدادها با گم شدن نام و نشان در حین پرتاب یک سکه، وجود 0، 1، 2، 3 و بیش از 3 خطا در یک صفحه چاپ شده از متن تشکیل می شود.

احتمال کلاسیک و آماری فرمول احتمال: کلاسیک و آماری

تعریف کلاسیک احتمالفرصت یا مورد مساعد، موردی است که در حین اجرای مجموعه ای از شرایط، رویدادی رخ دهد آبه وقوع پیوستن. تعریف کلاسیک احتمال شامل محاسبه مستقیم تعداد موارد یا فرصت های مطلوب است.

احتمال وقوع رویداد آنسبت تعداد فرصت‌های مساعد برای این رویداد را به تعداد همه رویدادهای ناسازگار که به همان اندازه ممکن است، نام ببرید. نکه می تواند در نتیجه یک آزمایش یا مشاهده اتفاق بیفتد. فرمول احتمال مناسبت ها آ:

اگر کاملاً مشخص باشد که در مورد چه احتمالی از یک رویداد صحبت می کنیم، آنگاه احتمال با یک حرف کوچک نشان داده می شود. پ، بدون مشخص کردن نام رویداد.

برای محاسبه احتمال با توجه به تعریف کلاسیک، لازم است تعداد همه رویدادهای ناسازگار به همان اندازه ممکن را پیدا کنیم و تعیین کنیم که چه تعداد از آنها برای تعریف رویداد مطلوب هستند. آ.

مثال 1.احتمال به دست آوردن عدد 5 را هنگام پرتاب قالب پیدا کنید.

راه حل. مشخص است که هر شش چهره شانس یکسانی برای به پایان رسیدن در صدر دارند. عدد 5 فقط در یک طرف مشخص شده است. تعداد همه رویدادهای ناسازگار به همان اندازه ممکن 6 است که تنها یک احتمال مطلوب آن عدد 5 است ( م= 1). این به این معنی است که احتمال مورد نظر برای چرخاندن عدد 5 وجود دارد

مثال 2.یک جعبه شامل 3 توپ قرمز و 12 توپ سفید هم اندازه است. یک توپ بدون نگاه گرفته شد. احتمال گرفته شدن توپ قرمز را پیدا کنید.

راه حل. احتمال مورد نیاز

خودتان احتمالات را پیدا کنید و سپس راه حل را ببینید

مثال 3.تاس ها پرتاب می شوند. رویداد ب- چرخاندن یک عدد زوج احتمال این رویداد را محاسبه کنید.

مثال 5.در یک کوزه 5 توپ سفید و 7 توپ سیاه وجود دارد. 1 توپ به طور تصادفی کشیده می شود. رویداد آ- یک توپ سفید بیرون کشیده شده است. رویداد ب- یک توپ سیاه بیرون کشیده شده است. احتمالات این وقایع را محاسبه کنید.

احتمال کلاسیک را احتمال قبلی نیز می نامند زیرا قبل از شروع آزمایش یا مشاهده محاسبه می شود. از ماهیت پیشینی احتمال کلاسیک، اشکال اصلی آن به شرح زیر است: فقط در موارد نادر، قبل از شروع مشاهده، می توان همه رویدادهای ناسازگار به همان اندازه ممکن، از جمله رویدادهای مطلوب را محاسبه کرد. چنین فرصت هایی معمولاً در موقعیت های مشابه بازی ها به وجود می آیند.

ترکیبات.اگر توالی رویدادها مهم نباشد، تعداد رویدادهای ممکن به عنوان تعداد ترکیبات محاسبه می شود:

مثال 6. 30 دانش آموز در گروه هستند. سه دانشجو باید برای تحویل گرفتن و آوردن کامپیوتر و پروژکتور به گروه علوم کامپیوتر مراجعه کنند. احتمال اینکه سه دانش آموز خاص این کار را انجام دهند را محاسبه کنید.

راه حل. تعداد رویدادهای ممکن را با استفاده از فرمول (2) محاسبه می کنیم:

احتمال اینکه سه دانشجوی خاص به دپارتمان بروند:

مثال 7. 10 فروخته شد تلفن های همراه. 3 تای آنها نقص دارند. خریدار 2 گوشی را انتخاب کرد. احتمال اینکه هر دو گوشی انتخاب شده دارای نقص باشند را محاسبه کنید.

راه حل. تعداد تمام رویدادهای ممکن با استفاده از فرمول (2) به دست می آید:

با استفاده از همین فرمول، تعداد فرصت های مطلوب برای یک رویداد را پیدا می کنیم:

احتمال مورد نظر که هر دو گوشی انتخابی دارای نقص باشند:

خودتان احتمال را پیدا کنید و سپس به راه حل نگاه کنید

مثال 8.برگه های امتحانی شامل 40 سوال است که تکرار نمی شود. دانش آموز به 30 مورد از آنها پاسخ تهیه کرد. هر بلیط شامل 2 سوال است. احتمال اینکه دانش آموز پاسخ هر دو سوال روی بلیط را بداند چقدر است؟

مامان قاب را شست

در پایان طولانی تعطیلات تابستانیوقت آن است که به آرامی به ریاضیات بالاتر برگردیم و به طور رسمی فایل وردوف خالی را باز کنیم تا شروع به ایجاد یک بخش جدید کنیم - . اعتراف می کنم، خطوط اول آسان نیست، اما قدم اول در نیمه راه است، بنابراین به همه پیشنهاد می کنم مقاله مقدماتی را با دقت مطالعه کنند، پس از آن تسلط بر موضوع 2 برابر آسان تر خواهد شد! من اصلاً اغراق نمی کنم. ...در آستانه 1 سپتامبر آینده، کلاس اول و آغازگر را به یاد می آورم. حروف هجاها را تشکیل می دهند ، هجاها کلمات را تشکیل می دهند ، کلمات جملات کوتاه را تشکیل می دهند - مامان قاب را شست. تسلط بر آمار و ارقام ریاضی به آسانی یادگیری خواندن است! با این حال، برای این شما نیاز به دانستن اصطلاحات، مفاهیم و تعاریف کلیدی، و همچنین برخی از قوانین خاص، که موضوع این درس است.

اما ابتدا تبریک من را برای شروع (ادامه، تکمیل، توجه داشته باشید) بپذیرید. سال تحصیلیو هدیه را قبول کنید بهترین هدیه یک کتاب است و برای کار مستقلمن ادبیات زیر را توصیه می کنم:

1) Gmurman V.E. نظریه احتمالات و آمار ریاضی

افسانهای آموزش، که بیش از ده بار تجدید چاپ شد. این به دلیل قابل فهم بودن و ارائه بسیار ساده مطالب متمایز است و فکر می کنم فصل های اول کاملاً برای دانش آموزان کلاس های 6-7 قابل دسترسی است.

2) Gmurman V.E. راهنمای حل مسائل در نظریه احتمالات و آمار ریاضی

کتاب راه حل از همان ولادیمیر افیموویچ با مثال ها و مسائل مفصل.

لزوماهر دو کتاب را از اینترنت دانلود کنید یا اصل کاغذی آنها را دریافت کنید! نسخه 60 و 70 نیز کار خواهد کرد که حتی برای آدمک ها بهتر است. اگرچه عبارت "نظریه احتمال برای آدمک ها" بسیار مضحک به نظر می رسد، زیرا تقریباً همه چیز محدود به عملیات حسابی ابتدایی است. با این حال، در جاهایی از آن می گذرند مشتقاتو انتگرال ها، اما این فقط در جاهایی است.

من سعی خواهم کرد به همان وضوح ارائه برسم، اما باید هشدار دهم که دوره من هدفش است حل مشکلو محاسبات نظری به حداقل می رسد. بنابراین، اگر به یک نظریه مفصل، برهان قضایا (بله، قضایا!) نیاز دارید، لطفاً به کتاب درسی مراجعه کنید.

برای کسانی که می خواهند حل مسائل را یاد بگیرید در عرض چند روز، ایجاد شددوره کرش با فرمت pdf (بر اساس مطالب سایت). خوب، در حال حاضر، بدون به تعویق انداختن کارها برای مدت طولانی، ما شروع به مطالعه ترور و متستات می کنیم - من را دنبال کنید!

برای شروع کافی است =)

همانطور که مقالات را می خوانید، آشنا شدن (حداقل به طور خلاصه) با وظایف اضافی از انواع در نظر گرفته شده مفید است. در صفحه راه حل های آماده برای ریاضیات بالاترپی دی اف های مربوطه با نمونه هایی از راه حل ها ارسال شده است. کمک های قابل توجهی نیز ارائه خواهد شد IDZ 18.1-18.2 Ryabushko(ساده تر) و IDZ را طبق مجموعه چودسنکو حل کرد(سخت تر).

1) میزاندو رویداد و واقعه نامیده می شود که اتفاق خواهد افتاد یارویداد یارویداد یاهر دو رویداد به طور همزمان در صورتی که حوادث ناسازگار، آخرین گزینه ناپدید می شود، یعنی ممکن است رخ دهد یارویداد یارویداد .

این قانون همچنین برای تعداد بیشتری از اصطلاحات، به عنوان مثال، رویداد اعمال می شود چیزی است که اتفاق خواهد افتاد حداقل یکیاز رویدادها ، آ اگر رویدادها ناسازگار باشند – سپس یک چیز و تنها یک چیزرویداد از این مقدار: یارویداد ، یارویداد ، یارویداد ، یارویداد ، یارویداد .

مثال های زیادی وجود دارد:

رویدادها (هنگام پرتاب تاس، 5 امتیاز ظاهر نمی شود) چیزی است که ظاهر می شود یا 1, یا 2, یا 3, یا 4, یا 6 امتیاز.

رویداد (افت خواهد کرد بیشتر نهدو نقطه) این است که 1 ظاهر می شود یا 2نکته ها.

رویداد (تعداد زوجی از نقاط وجود خواهد داشت) چیزی است که ظاهر می شود یا 2 یا 4 یا 6 امتیاز.

رویداد این است که یک کارت قرمز (قلب) از عرشه گرفته می شود یاتنبور)، و رویداد - که "تصویر" استخراج خواهد شد (جک یاخانم یاپادشاه یاآس).

در مورد رویدادهای مشترک کمی جالب تر است:

رویداد این است که یک باشگاه از عرشه کشیده خواهد شد یاهفت یاهفت باشگاه با توجه به تعریف فوق، حداقل چیزی- یا هر باشگاه یا هر هفت یا "تقاطع" آنها - هفت باشگاه. به راحتی می توان محاسبه کرد که این رویداد با 12 نتیجه ابتدایی (9 کارت باشگاه + 3 هفت کارت باقی مانده) مطابقت دارد.

رویداد این است که فردا ساعت 12.00 خواهد آمد حداقل یکی از رویدادهای مشترک قابل جمع بندی، برای مثال:

- یا فقط باران / فقط رعد و برق / فقط خورشید خواهد بود.
- یا فقط برخی از رویدادها رخ خواهد داد (باران + رعد و برق / باران + خورشید / رعد و برق + خورشید).
- یا هر سه رویداد به طور همزمان ظاهر می شوند.

یعنی رویداد شامل 7 پیامد احتمالی است.

رکن دوم جبر حوادث:

2) کاردو رویداد و رویدادی را می گویند که شامل وقوع مشترک این وقایع است، به عبارت دیگر ضرب به این معناست که تحت شرایطی وجود خواهد داشت. ورویداد ، ورویداد . یک جمله مشابه برای تعداد بیشتری از رویدادها صادق است، به عنوان مثال، یک اثر نشان می دهد که تحت شرایط خاصی اتفاق می افتد. ورویداد ، ورویداد ، ورویداد ، …، ورویداد .

آزمایشی را در نظر بگیرید که در آن دو سکه پرتاب می شود و رویدادهای زیر:

- سرها روی سکه اول ظاهر می شوند.
- سکه اول به سر می رسد.
- سرها روی سکه دوم ظاهر می شوند.
- سکه 2 به سر می رسد.

سپس:
ودر 2) سرها ظاهر می شوند.
- رویداد این است که در هر دو سکه (در اول ودر 2) سر خواهد بود.
- رویداد این است که سکه 1 به سر می رسد وسکه دوم دم است.
- رویداد این است که سکه 1 به سر می رسد وروی سکه دوم یک عقاب وجود دارد.

دیدن آن وقایع آسان است ناسازگار (چون مثلا نمیتونه همزمان 2 سر و 2 دم باشه)و فرم گروه کامل (از آنجا که در نظر گرفته شده است همهنتایج احتمالی پرتاب دو سکه). بیایید این اتفاقات را خلاصه کنیم: . چگونه این مدخل را تفسیر کنیم؟ بسیار ساده - ضرب به معنای یک اتصال منطقی است وو اضافه کردن – یا. بنابراین، این مقدار به زبان قابل فهم انسانی قابل خواندن است: "دو سر ظاهر می شود یادو سر یاسکه 1 سر فرود خواهد آمد ودر دم دوم یاسکه 1 سر فرود خواهد آمد وروی سکه دوم یک عقاب وجود دارد"

این مثال زمانی بود که در یک آزمونچندین شی درگیر است، در این مورد دو سکه. یکی دیگر از طرح های رایج در مسائل عملی این است تست مجدد ، وقتی مثلا همین قالب 3 بار پشت سر هم رول شود. به عنوان یک نمایش، رویدادهای زیر را در نظر بگیرید:

- در پرتاب 1 شما 4 امتیاز دریافت خواهید کرد.
- در پرتاب دوم 5 امتیاز دریافت خواهید کرد.
- در پرتاب سوم شما 6 امتیاز دریافت خواهید کرد.

سپس رویداد این است که در پرتاب 1 شما 4 امتیاز می گیرید ودر پرتاب دوم 5 امتیاز دریافت خواهید کرد ودر رول 3 شما 6 امتیاز دریافت خواهید کرد. بدیهی است که در مورد یک مکعب، ترکیبات (نتایج) به طور قابل توجهی بیشتر از زمانی است که یک سکه پرتاب کنیم.

...می فهمم که شاید آنها خیلی خوب نمی فهمند نمونه های جالب، اما اینها مواردی است که اغلب در مشکلات با آنها مواجه می شوند و گریزی از آنها نیست. علاوه بر یک سکه، یک مکعب و یک عرشه کارت، کوزه هایی با توپ های رنگارنگ، چندین فرد ناشناس که به یک هدف شلیک می کنند و یک کارگر خستگی ناپذیر که دائماً در حال بررسی جزئیات است، منتظر شما هستند =)

احتمال وقوع

احتمال وقوع مفهوم اصلی نظریه احتمال است. ... یک چیز منطقی قاتل، اما باید از جایی شروع می کردیم =) چندین رویکرد برای تعریف آن وجود دارد:

;
تعریف هندسی احتمال ;
تعریف آماری احتمال .

در این مقاله بر تعریف کلاسیک احتمال تمرکز خواهم کرد که بیشترین استفاده را در کارهای آموزشی دارد.

تعیین ها. احتمال وقوع یک رویداد خاص با یک حرف لاتین بزرگ نشان داده می شود و خود رویداد در داخل پرانتز گرفته می شود و به عنوان نوعی استدلال عمل می کند. مثلا:

همچنین، حرف کوچک به طور گسترده ای برای نشان دادن احتمال استفاده می شود. به طور خاص، می توانید نامگذاری های دست و پا گیر رویدادها و احتمالات آنها را کنار بگذارید به نفع سبک زیر:

- احتمال اینکه پرتاب سکه منجر به سر شود.
- احتمال اینکه تاس انداختن به 5 امتیاز منجر شود.
– احتمال اینکه کارتی از لباس باشگاهی از روی عرشه کشیده شود.

این گزینه هنگام حل مشکلات عملی محبوب است، زیرا به شما امکان می دهد ضبط راه حل را به میزان قابل توجهی کاهش دهید. همانطور که در مورد اول، استفاده از زیرنویس ها / زیرنویس های "گفتگو" در اینجا راحت است.

همه مدتهاست که اعدادی را که من در بالا نوشتم حدس می زنند و اکنون خواهیم فهمید که چگونه آنها نتیجه گرفتند:

تعریف کلاسیک احتمال:

احتمال وقوع یک رویداد در یک آزمون خاص را نسبت می گویند که در آن:

– تعداد کلهر کس به همان اندازه ممکن است, ابتدایینتایج این آزمون که شکل می گیرد گروه کامل رویدادها;

- تعداد ابتداییعواقب، مطلوب رویداد.

هنگام پرتاب یک سکه، سر یا دم ممکن است بیرون بیفتد - این رویدادها شکل می گیرند گروه کاملبنابراین، تعداد کل نتایج. در همان زمان، هر یک از آنها ابتداییو به همان اندازه ممکن است. رویداد مورد علاقه نتیجه (سرها) است. طبق تعریف کلاسیک احتمال: .

به طور مشابه، در نتیجه پرتاب یک قالب، ممکن است نتایج ابتدایی به همان اندازه ممکن ظاهر شود، که یک گروه کامل را تشکیل می دهد، و رویداد مورد علاقه یک نتیجه واحد قرار می گیرد (پرتاب پنج). از همین رو: انجام این کار پذیرفته نیست (اگرچه تخمین درصدها در ذهن شما ممنوع نیست).

مرسوم است که از کسرهای یک واحد استفاده شود، و بدیهی است که احتمال می تواند در داخل متفاوت باشد. علاوه بر این، اگر، پس رویداد است غیر ممکن، اگر - قابل اعتماد، و اگر ، پس ما در مورد آن صحبت می کنیم تصادفیرویداد.

! اگر هنگام حل هر مشکلی، مقدار احتمال دیگری دریافت کردید، به دنبال خطا باشید!

در رویکرد کلاسیک برای تعیین احتمال، مقادیر شدید (صفر و یک) دقیقاً از طریق استدلال مشابه به دست می‌آیند. بگذارید 1 توپ به طور تصادفی از یک کوزه معین حاوی 10 توپ قرمز کشیده شود. وقایع زیر را در نظر بگیرید:

در یک آزمایش واحد، یک رویداد کم احتمال رخ نخواهد داد.

به همین دلیل است که اگر احتمال این رویداد مثلاً 0.00000001 باشد، در قرعه کشی جکپات نخواهید داشت. بله، بله، این شما هستید - با تنها بلیط در یک تیراژ خاص. با این حال، تعداد بیشتر بلیط و تعداد بیشتر نقاشی کمک چندانی به شما نخواهد کرد. ... وقتی این موضوع را به دیگران می گویم، تقریباً همیشه در پاسخ می شنوم: "اما یک نفر برنده می شود." خوب، پس بیایید آزمایش زیر را انجام دهیم: لطفاً برای هر قرعه‌کشی امروز یا فردا یک بلیط بخرید (تأخیر نکنید!). و اگر برنده شدید... خوب، حداقل بیش از 10 کیلو روبل، حتما ثبت نام کنید - توضیح خواهم داد که چرا این اتفاق افتاد. البته برای درصد =) =)

اما نیازی به ناراحتی نیست، زیرا یک اصل مخالف وجود دارد: اگر احتمال وقوع یک رویداد بسیار نزدیک به یک باشد، در یک آزمایش واحد این اتفاق خواهد افتاد. تقریبا مطمئناتفاق خواهد افتاد. بنابراین، قبل از پرش با چتر نجات، نیازی به ترس نیست، برعکس، لبخند بزنید! از این گذشته، شرایط کاملاً غیرقابل تصور و خارق العاده ای باید برای هر دو چتر نجات ایجاد شود.

اگرچه همه اینها غزلیات است ، زیرا بسته به محتوای رویداد ، ممکن است اصل اول شاد باشد و دوم - غم انگیز. یا حتی هر دو موازی هستند.

شاید فعلاً در کلاس کافی باشد مشکلات احتمال کلاسیکما بیشترین بهره را از فرمول خواهیم برد. در بخش پایانی این مقاله، یک قضیه مهم را بررسی خواهیم کرد:

مجموع احتمالات رویدادهایی که یک گروه کامل را تشکیل می دهند برابر با یک است. به طور کلی، اگر رویدادها یک گروه کامل را تشکیل دهند، به احتمال 100٪ یکی از آنها رخ خواهد داد. در ساده ترین حالت، یک گروه کامل توسط رویدادهای مخالف تشکیل می شود، به عنوان مثال:

- در نتیجه پرتاب سکه، سرها ظاهر می شوند.
– نتیجه پرتاب سکه سر خواهد بود.

طبق قضیه:

کاملاً واضح است که این رویدادها به یک اندازه ممکن است و احتمالات آنها یکسان است .

به دلیل برابری احتمالات، رویدادهای به همان اندازه ممکن اغلب نامیده می شوند به همان اندازه محتمل . و در اینجا یک زبانه پیچ برای تعیین میزان مسمومیت =)

مثال با مکعب: بنابراین رویدادها متضاد هستند .

قضیه مورد بررسی از این جهت راحت است که به شما امکان می دهد به سرعت احتمال رویداد مخالف را پیدا کنید. بنابراین، اگر احتمال نورد شدن یک پنج مشخص باشد، به راحتی می توان احتمال رول نشدن آن را محاسبه کرد:

این بسیار ساده تر از جمع بندی احتمالات پنج نتیجه ابتدایی است. به هر حال، برای نتایج ابتدایی، این قضیه نیز صادق است:
. به عنوان مثال، اگر احتمال اینکه تیرانداز به هدف برخورد کند، این احتمال وجود دارد که او از دست بدهد.

! در نظریه احتمال، استفاده از حروف برای اهداف دیگر نامطلوب است.

به احترام روز دانش، من نمی خواهم مشق شب=)، اما بسیار مهم است که بتوانید به سوالات زیر پاسخ دهید:

- چه نوع رویدادهایی وجود دارد؟
- شانس و امکان برابر یک رویداد چیست؟
- اصطلاح سازگاری/ناسازگاری رویدادها را چگونه درک می کنید؟
- یک گروه کامل از رویدادها، رویدادهای متضاد چیست؟
- جمع و ضرب حوادث به چه معناست؟
- جوهر تعریف کلاسیک احتمال چیست؟
- چرا قضیه جمع کردن احتمالات رویدادهایی که یک گروه کامل را تشکیل می دهند مفید است؟

نه، شما نیازی به جمع کردن چیزی ندارید، اینها فقط اصول تئوری احتمال هستند - نوعی پرایمر که به سرعت در ذهن شما جا می گیرد. و برای این که هر چه زودتر این اتفاق بیفتد، پیشنهاد می کنم با درس ها آشنا شوید

احتمال چیست؟

اولین باری که با این اصطلاح روبرو شدم، نمی فهمیدم چیست. بنابراین، سعی می کنم به طور واضح توضیح دهم.

احتمال این است که رویدادی که می خواهیم اتفاق بیفتد.

به عنوان مثال، شما تصمیم گرفتید به خانه یک دوست بروید، ورودی و حتی طبقه ای که او در آن زندگی می کند را به یاد می آورید. اما شماره و محل آپارتمان را فراموش کردم. و اکنون روی راه پله ایستاده اید و در جلوی شما درهایی برای انتخاب وجود دارد.

چه شانسی (احتمال) وجود دارد که اگر اولین زنگ خانه را بزنید دوستتان در را به جای شما پاسخ دهد؟ فقط آپارتمان ها وجود دارد و یکی از دوستان تنها پشت یکی از آنها زندگی می کند. با شانس مساوی می توانیم هر دری را انتخاب کنیم.

اما این شانس چیست؟

در، درب راست. احتمال حدس زدن با زدن زنگ اول: . یعنی از هر سه بار یک بار دقیقا حدس میزنید.

می خواهیم بدانیم، با یک بار تماس، چند بار در را حدس می زنیم؟ بیایید همه گزینه ها را بررسی کنیم:

1. تو تلفن زدی 1در، درب
2. تو تلفن زدی 2در، درب
3. تو تلفن زدی 3در، درب

اکنون بیایید به همه گزینه هایی که یک دوست می تواند باشد نگاه کنیم:

آ. پشت 1در
ب پشت 2در
V. پشت 3در

بیایید همه گزینه ها را به شکل جدول مقایسه کنیم. علامت تیک گزینه‌هایی را نشان می‌دهد که انتخاب شما با موقعیت مکانی یک دوست منطبق باشد، علامت ضربدر - زمانی که منطبق نیست.

شما همه چیز را چگونه می بینید شاید گزینه هامکان دوست شما و انتخاب شما برای زنگ زدن کدام در.

آ نتایج مطلوب همه . یعنی یکبار با زدن زنگ در یکبار حدس میزنید یعنی. .

این احتمال است - نسبت یک نتیجه مطلوب (زمانی که انتخاب شما با موقعیت مکانی دوست شما مطابقت دارد) به تعداد رویدادهای ممکن.

تعریف فرمول است. احتمال معمولا با p نشان داده می شود، بنابراین:

نوشتن چنین فرمولی خیلی راحت نیست، بنابراین ما تعداد نتایج مطلوب و برای - تعداد کل نتایج را در نظر می گیریم.

احتمال را می توان به صورت درصد نوشت؛ برای انجام این کار، باید نتیجه حاصل را در:

احتمالاً کلمه "نتایج" توجه شما را به خود جلب کرده است. از آنجایی که ریاضیدانان اعمال مختلف (در مورد ما، چنین عملی زنگ در است) را آزمایش می نامند، نتیجه چنین آزمایشاتی معمولاً نتیجه نامیده می شود.

خوب، نتایج مطلوب و نامطلوب وجود دارد.

بیایید به مثال خود برگردیم. فرض کنید یکی از درها را زنگ زدیم، اما یک غریبه در را برایمان باز کرد. ما درست حدس نزدیم احتمال اینکه یکی از درهای باقی مانده را زنگ بزنیم چقدر است که دوستمان آن را برایمان باز کند؟

اگر فکر می کردید، پس این یک اشتباه است. بیایید آن را بفهمیم.

دو در باقی مانده است. بنابراین ما مراحل ممکن را داریم:

1) تماس بگیرید 1در، درب
2) تماس بگیرید 2در، درب

دوست، با همه اینها، قطعاً پشت یکی از آنهاست (بالاخره، او پشت آن کسی که ما زنگ زدیم نبود):

الف) دوست برای 1در
ب) دوست برای 2در

بیایید دوباره جدول را بکشیم:

همانطور که می بینید، تنها گزینه هایی وجود دارد که از بین آنها مطلوب است. یعنی احتمال برابر است.

چرا که نه؟

وضعیتی که ما در نظر گرفتیم این است نمونه ای از رویدادهای وابستهاولین رویداد زنگ اول است، رویداد دوم زنگ دوم است.

و به آنها وابسته می گویند زیرا بر اعمال زیر تأثیر می گذارند. بالاخره اگر بعد از اولین زنگ زنگ خانه توسط یکی از دوستان پاسخ داده شود، احتمال اینکه او پشت یکی از دو نفر دیگر باشد چقدر خواهد بود؟ درست، .

اما اگر رویدادهای وابسته وجود داشته باشد، پس باید نیز وجود داشته باشد مستقل? درست است، آنها اتفاق می افتد.

نمونه کتاب درسی پرتاب سکه است.

1. یک بار سکه پرتاب کنید. مثلا احتمال سر گرفتن چقدره؟ درست است - زیرا همه گزینه ها وجود دارد (یا سر یا دم، احتمال فرود سکه روی لبه آن را نادیده می گیریم)، ​​اما این فقط برای ما مناسب است.
2. اما سرها بالا آمد. باشه بیا دوباره پرتش کنیم الان احتمال سر گرفتن چقدره؟ هیچ چیز تغییر نکرده است، همه چیز همان است. چند گزینه؟ دو از چند نفر راضی هستیم؟ یکی

و اجازه دهید حداقل هزاران بار پشت سر هم بالا بیاید. احتمال به دست آوردن سر به یکباره یکسان خواهد بود. همیشه گزینه ها و گزینه های مطلوب وجود دارد.

تشخیص رویدادهای وابسته از مستقل آسان است:

1. اگر آزمایش یک بار انجام شود (یک بار یک سکه پرتاب کنند، یک بار زنگ در را بزنند، و غیره)، آنگاه رویدادها همیشه مستقل هستند.
2. اگر آزمایشی چندین بار انجام شود (یک سکه یک بار پرتاب شود، زنگ در چندین بار زده شود)، اولین رویداد همیشه مستقل است. و سپس، اگر تعداد موارد مطلوب یا تعداد همه پیامدها تغییر کند، رویدادها وابسته هستند و اگر نه، مستقل هستند.

بیایید کمی تعیین احتمال را تمرین کنیم.

مثال 1.

سکه دو بار پرتاب می شود. احتمال دوبار پشت سر هم گرفتن سر چقدر است؟

راه حل:

بیایید همه چیز را در نظر بگیریم گزینه های ممکن:

1. عقاب-عقاب
2. سر دم
3. Tails-Heads
4. دم-دم

همانطور که می بینید، فقط گزینه ها وجود دارد. از اینها فقط راضی هستیم. یعنی احتمال:

اگر شرط به سادگی از شما بخواهد که احتمال را بیابید، پاسخ باید به صورت کسری اعشاری داده شود. اگر مشخص می شد که پاسخ باید به صورت درصد داده شود، در آن صورت ضرب می کنیم.

پاسخ:

مثال 2.

در یک جعبه شکلات، همه شکلات ها در یک بسته بندی بسته بندی می شوند. با این حال، از شیرینی - با آجیل، با کنیاک، با گیلاس، با کارامل و با نوقا.

احتمال مصرف یک نبات و گرفتن یک نبات با آجیل چقدر است؟ پاسخ خود را به صورت درصد بیان کنید.

راه حل:

چند نتیجه ممکن وجود دارد؟ .

یعنی اگر یک آب نبات بردارید، یکی از آب نبات های موجود در جعبه خواهد بود.

چند نتیجه مطلوب؟

زیرا در جعبه فقط شکلات هایی با آجیل وجود دارد.

پاسخ:

مثال 3.

در یک جعبه بادکنک. که سفید و سیاه هستند.

1. احتمال رسم یک توپ سفید چقدر است؟
2. توپ های سیاه بیشتری به جعبه اضافه کردیم. حالا احتمال رسم یک توپ سفید چقدر است؟

راه حل:

الف) فقط توپ در جعبه وجود دارد. از آنها سفید هستند.

احتمال این است:

ب) حالا توپ های بیشتری در جعبه وجود دارد. و به همین تعداد سفیدپوست باقی مانده است - .

پاسخ:

احتمال کل

احتمال همه رویدادهای ممکن برابر با () است.

فرض کنید در یک جعبه توپ های قرمز و سبز وجود دارد. احتمال رسم یک توپ قرمز چقدر است؟ توپ سبز؟ توپ قرمز یا سبز؟

احتمال کشیدن یک توپ قرمز

توپ سبز:

توپ قرمز یا سبز:

همانطور که می بینید، مجموع همه رویدادهای ممکن برابر با () است. درک این نکته به شما کمک می کند تا بسیاری از مشکلات را حل کنید.

مثال 4.

در جعبه نشانگرهایی وجود دارد: سبز، قرمز، آبی، زرد، سیاه.

احتمال ترسیم یک نشانگر قرمز چقدر است؟

راه حل:

بیایید عدد را بشماریم نتایج مطلوب

نشانگر قرمز نیست، به معنای سبز، آبی، زرد یا سیاه است.

احتمال همه اتفاقات و احتمال اتفاقاتی که ما آنها را نامطلوب می دانیم (وقتی یک نشانگر قرمز را بیرون می آوریم) است.

بنابراین، احتمال بیرون کشیدن یک خودکار نوک قرمز NOT است.

پاسخ:

احتمال رخ ندادن یک رویداد برابر با منهای احتمال وقوع آن رویداد است.

قانون ضرب احتمال رویدادهای مستقل

شما قبلاً می دانید که رویدادهای مستقل چیست.

اگر نیاز به یافتن احتمال وقوع دو (یا بیشتر) رویداد مستقل پشت سر هم داشته باشید، چه؟

فرض کنید می خواهیم بدانیم که اگر یک سکه را یک بار ورق بزنیم، دو بار سر را ببینیم، چقدر است؟

ما قبلا در نظر گرفته ایم - .

اگر یک بار سکه بیندازیم چه؟ احتمال اینکه یک عقاب را دو بار پشت سر هم ببینیم چقدر است؟

مجموع گزینه های ممکن:

1. عقاب-عقاب-عقاب
2. سر - سر - دم
3. سر - دم - سر
4. سر-دم-دم
5. دم - سر - سر
6. دم-سر-دم
7. دم-دم-سر
8. دم-دم-دم

من شما را نمی دانم، اما من چندین بار هنگام تهیه این لیست اشتباه کردم. وای! و تنها گزینه (اولین) برای ما مناسب است.

برای 5 پرتاب، می توانید لیستی از نتایج احتمالی را خودتان تهیه کنید. اما ریاضیدانان به اندازه شما سخت کوش نیستند.

بنابراین آنها ابتدا متوجه شدند و سپس ثابت کردند که احتمال وقوع یک توالی خاص از رویدادهای مستقل هر بار به میزان احتمال یک رویداد کاهش می یابد.

به عبارت دیگر،

بیایید به مثال همان سکه بدبخت نگاه کنیم.

احتمال به دست آوردن سر در یک چالش؟ . حالا یک بار سکه را برمی گردانیم.

احتمال اینکه سرها پشت سر هم قرار بگیرند چقدر است؟

این قانون تنها زمانی کار نمی کند که از ما خواسته شود احتمال وقوع یک رویداد را چندین بار متوالی پیدا کنیم.

اگر بخواهیم دنباله TAILS-HEADS-TAILS را برای پرتاب های متوالی پیدا کنیم، همین کار را می کنیم.

احتمال دم گرفتن است , سر - .

احتمال به دست آوردن دنباله TAILS-HEADS-TAILS-TAILS:

می توانید خودتان با تهیه جدول آن را بررسی کنید.

قانون اضافه کردن احتمالات رویدادهای ناسازگار.

پس بس کن! تعریف جدید.

بیایید آن را بفهمیم. سکه فرسوده مان را برداریم و یک بار پرتاب کنیم.
گزینه های ممکن:

1. عقاب-عقاب-عقاب
2. سر - سر - دم
3. سر - دم - سر
4. سر-دم-دم
5. دم - سر - سر
6. دم-سر-دم
7. دم-دم-سر
8. دم-دم-دم

بنابراین، رویدادهای ناسازگار، توالی معینی از رویدادها هستند. - اینها رویدادهای ناسازگار هستند.

اگر بخواهیم تعیین کنیم که احتمال دو (یا چند) رویداد ناسازگار چقدر است، احتمالات این رویدادها را اضافه می کنیم.

شما باید درک کنید که سر یا دم دو رویداد مستقل هستند.

اگر بخواهیم احتمال وقوع یک دنباله (یا هر دنباله دیگری) را تعیین کنیم، از قانون ضرب احتمالات استفاده می کنیم.
احتمال اینکه در پرتاب اول سر و دم در پرتاب دوم و سوم قرار بگیرد چقدر است؟

اما اگر بخواهیم بدانیم احتمال به دست آوردن یکی از چندین دنباله چقدر است، مثلاً وقتی هدها دقیقاً یک بار بالا می آیند، یعنی. گزینه ها و سپس ما باید احتمالات این دنباله ها را جمع کنیم.

کل گزینه ها برای ما مناسب است.

ما می توانیم با جمع کردن احتمالات وقوع هر دنباله همان چیزی را بدست آوریم:

بنابراین، زمانی که می‌خواهیم احتمال توالی رویدادهای معین، ناسازگار را تعیین کنیم، احتمالات را اضافه می‌کنیم.

یک قانون عالی وجود دارد که به شما کمک می‌کند از سردرگمی در زمان ضرب و زمان جمع کردن جلوگیری کنید:

بیایید به مثالی برگردیم که یک بار سکه پرتاب کردیم و می خواستیم احتمال یک بار دیدن سرها را بدانیم.
چه اتفاقی خواهد افتاد؟

باید بیرون بیفتد:
(سرها و دم ها و دم ها) یا (دم ها و سرها و دم ها) یا (دم ها و دم ها و سرها).
اینجوری معلوم میشه:

بیایید به چند نمونه نگاه کنیم.

مثال 5.

در جعبه مداد وجود دارد. قرمز، سبز، نارنجی و زرد و سیاه. احتمال کشیدن مدادهای قرمز یا سبز چقدر است؟

راه حل:

چه اتفاقی خواهد افتاد؟ باید بکشیم (قرمز یا سبز).

اکنون واضح است، بیایید احتمالات این رویدادها را جمع کنیم:

پاسخ:

مثال 6.

اگر یک قالب دو بار پرتاب شود، احتمال اینکه مجموعاً 8 باشد چقدر است؟

راه حل.

چگونه می توانیم امتیاز بگیریم؟

(و) یا (و) یا (و) یا (و) یا (و).

احتمال به دست آوردن یک (هر) صورت است.

ما احتمال را محاسبه می کنیم:

پاسخ:

آموزش.

فکر می کنم اکنون متوجه شده اید که چه زمانی باید احتمالات را محاسبه کنید، چه زمانی آنها را جمع کنید و چه زمانی آنها را ضرب کنید. مگه نه؟ کمی تمرین کنیم.

وظایف:

بیایید یک عرشه کارتی حاوی کارتهایی از جمله بیل، قلب، 13 چماق و 13 الماس برداریم. از تا آس هر کت و شلوار.

1. احتمال ترسیم چماق ها پشت سر هم چقدر است (نخستین کارتی را که بیرون کشیده شده دوباره داخل عرشه می گذاریم و آن را به هم می زنیم)؟
2. احتمال کشیدن کارت سیاه (بیل یا چماق) چقدر است؟
3. احتمال ترسیم یک تصویر (جک، ملکه، شاه یا آس) چقدر است؟
4. احتمال ترسیم دو تصویر پشت سر هم چقدر است (اولین کارت کشیده شده را از روی عرشه حذف می کنیم)؟
5. احتمال جمع آوری دو کارت - (جک، ملکه یا شاه) و یک آس چقدر است؟ ترتیبی که کارت ها در آن کشیده می شوند مهم نیست.

پاسخ ها:

1. در یک دسته کارت با هر ارزش، به این معنی است:
2. رویدادها وابسته هستند، زیرا پس از بیرون کشیدن اولین کارت، تعداد کارت ها در عرشه کاهش یافت (همانطور که تعداد "تصاویر" کاهش یافت). در ابتدا کل جک‌ها، ملکه‌ها، شاه‌ها و آس‌ها در عرشه وجود دارد، که به معنای احتمال ترسیم یک "تصویر" با کارت اول است:

   از آنجایی که اولین کارت را از عرشه حذف می کنیم، به این معنی است که از قبل کارت هایی از جمله تصاویر در عرشه باقی مانده است. احتمال کشیدن تصویر با کارت دوم:

   از آنجایی که ما به موقعیتی علاقه مندیم که یک "تصویر" و یک "تصویر" را از عرشه بیرون بیاوریم، باید احتمالات را ضرب کنیم:

   پاسخ:

3. پس از بیرون کشیدن اولین کارت، تعداد کارت‌های موجود در عرشه کاهش می‌یابد. بنابراین، دو گزینه برای ما مناسب است:
   1) کارت اول آس، دومی جک، ملکه یا کینگ است
   2) با کارت اول یک جک، ملکه یا کینگ و با کارت دوم یک آس بیرون می آوریم. (آس و (جک یا ملکه یا شاه)) یا ((جک یا ملکه یا شاه) و آس). در مورد کاهش تعداد کارت های موجود در عرشه را فراموش نکنید!

اگر خودتان توانستید همه مشکلات را حل کنید، پس عالی هستید! حالا مثل آجیل مشکلات تئوری احتمال را در آزمون دولتی یکپارچه خواهید شکست!

نظریه احتمال. سطح متوسط

بیایید به یک مثال نگاه کنیم. فرض کنید یک قالب پرتاب می کنیم. این چه نوع استخوانی است، می دانید؟ این همان چیزی است که آنها به آن مکعبی می گویند که اعداد روی صورت های آن وجود دارد. چند چهره، تعداد زیادی: از تا چند؟ قبل از.

بنابراین تاس می اندازیم و می خواهیم بالا بیاید یا. و ما آن را دریافت می کنیم.

در تئوری احتمال می گویند چه اتفاقی افتاده است رویداد فرخنده(با مرفه اشتباه نشود).

اگر این اتفاق می افتاد، رویداد نیز مطلوب بود. در مجموع، تنها دو رویداد مطلوب ممکن است رخ دهد.

چند نفر نامطلوب هستند؟ از آنجایی که کل رویدادهای ممکن وجود دارد، به این معنی است که موارد نامطلوب، رویدادها هستند (این اگر یا خارج می شود).

تعریف:

احتمال، نسبت تعداد رویدادهای مطلوب به تعداد همه رویدادهای ممکن است. یعنی احتمال نشان می دهد که چه نسبتی از همه رویدادهای ممکن مطلوب است.

احتمال با یک حرف لاتین نشان داده می شود (ظاهراً از کلمه انگلیسیاحتمال - احتمال).

مرسوم است که احتمال را به صورت درصد اندازه گیری می کنند (به موضوعات و مراجعه کنید). برای انجام این کار، مقدار احتمال باید ضرب شود. در مثال تاس، احتمال.

و به درصد: .

مثال ها (خودتان تصمیم بگیرید):

1. احتمال سر در آوردن هنگام پرتاب سکه چقدر است؟ احتمال فرود سرها چقدر است؟
2. احتمال بدست آوردن عدد زوج هنگام پرتاب قالب چقدر است؟ کدام یک عجیب است؟
3. در جعبه مداد ساده، آبی و قرمز. به طور تصادفی یک مداد می کشیم. احتمال گرفتن یک ساده چقدر است؟

راه حل ها:

1. چند گزینه وجود دارد؟ سر و دم - فقط دو. چه تعداد از آنها مطلوب هستند؟ فقط یکی عقاب است. بنابراین احتمال

   در مورد دم ها هم همینطور است: .

2. کل گزینه ها: (مکعب چند ضلع دارد، این همه گزینه مختلف). مطلوب: (اینها همه اعداد زوج هستند:).
   احتمال. البته در مورد اعداد فرد هم همینطور است.
3. جمع: . مطلوب: . احتمال: .

احتمال کل

تمام مدادهای داخل جعبه سبز هستند. احتمال کشیدن یک مداد قرمز چقدر است؟ هیچ شانسی وجود ندارد: احتمال (پس از همه، رویدادهای مطلوب -).

چنین رویدادی ناممکن است.

احتمال کشیدن مداد سبز چقدر است؟ دقیقاً به همان اندازه رویدادهای مطلوب وجود دارد که کل رویدادها وجود دارد (همه رویدادها مطلوب هستند). بنابراین احتمال برابر است با یا.

چنین رویدادی قابل اعتماد نامیده می شود.

اگر جعبه ای دارای مدادهای سبز و قرمز باشد، احتمال ترسیم سبز یا قرمز چقدر است؟ هنوز دوباره. بیایید به این توجه کنیم: احتمال بیرون کشیدن سبز برابر است و قرمز برابر است.

در مجموع، این احتمالات دقیقاً برابر هستند. به این معنا که، مجموع احتمالات همه رویدادهای ممکن برابر است با یا.

مثال:

در یک جعبه مداد، از جمله آنها آبی، قرمز، سبز، ساده، زرد و بقیه نارنجی هستند. احتمال سبز نشدن چقدر است؟

راه حل:

ما به یاد داریم که همه احتمالات با هم جمع می شوند. و احتمال سبز شدن برابر است. یعنی احتمال سبز نشدن مساوی است.

این ترفند را به خاطر بسپارید:احتمال رخ ندادن یک رویداد برابر با منهای احتمال وقوع آن رویداد است.

رویدادهای مستقل و قانون ضرب

شما یک سکه را یک بار ورق می زنید و می خواهید هر دو بار آن را بالا بیاورید. احتمال این کار چقدر است؟

بیایید تمام گزینه های ممکن را مرور کنیم و تعداد آنها را تعیین کنیم:

سر - سر، دم - سر، سر - دم، دم - دم. چه چیز دیگری؟

کل گزینه ها از این میان، تنها یکی برای ما مناسب است: Eagle-Eagle. در کل، احتمال برابر است.

خوب. حالا بیایید یک بار سکه را برگردانیم. خودت حساب کن اتفاق افتاد؟ (پاسخ).

شاید متوجه شده باشید که با اضافه شدن هر پرتاب بعدی، احتمال به نصف کاهش می یابد. قاعده کلی نامیده می شود قانون ضرب:

احتمالات رویدادهای مستقل تغییر می کند.

رویدادهای مستقل چیست؟ همه چیز منطقی است: اینها آنهایی هستند که به یکدیگر وابسته نیستند. به عنوان مثال، وقتی یک سکه را چندین بار پرتاب می کنیم، هر بار یک پرتاب جدید ساخته می شود که نتیجه آن به تمام پرتاب های قبلی بستگی ندارد. به همین راحتی می توانیم دو سکه مختلف را همزمان پرتاب کنیم.

نمونه های بیشتر:

1. تاس ها دو بار پرتاب می شوند. احتمال ابتلای هر دو بار چقدر است؟
2. سکه یک بار پرتاب می شود. احتمال اینکه بار اول سر بالا بیاید و بعد دوبار دم بزند چقدر است؟
3. بازیکن دو تاس می اندازد. احتمال مساوی بودن مجموع اعداد روی آنها چقدر است؟

پاسخ ها:

1. رویدادها مستقل هستند، یعنی قانون ضرب کار می کند: .
2. احتمال سرها برابر است. احتمال دم یکسان است. تکثیر کردن:
3. 12 را فقط در صورتی می توان بدست آورد که دو -ki رول شوند: .

رویدادهای ناسازگار و قانون جمع

رویدادهایی که تا حد احتمال کامل یکدیگر را تکمیل می کنند، ناسازگار نامیده می شوند. همانطور که از نام آن پیداست، آنها نمی توانند به طور همزمان اتفاق بیفتند. به عنوان مثال، اگر یک سکه را برگردانیم، می تواند سر یا دم آن بالا بیاید.

مثال.

در یک جعبه مداد، از جمله آنها آبی، قرمز، سبز، ساده، زرد و بقیه نارنجی هستند. احتمال ترسیم سبز یا قرمز چقدر است؟

راه حل .

احتمال کشیدن یک مداد سبز برابر است. قرمز - .

رویدادهای مطلوب در همه: سبز + قرمز. یعنی احتمال ترسیم سبز یا قرمز برابر است.

همین احتمال را می توان به این شکل نشان داد: .

این قانون اضافه است:احتمال رویدادهای ناسازگار جمع می شود.

مشکلات نوع مختلط

مثال.

سکه دو بار پرتاب می شود. احتمال متفاوت بودن نتایج رول ها چقدر است؟

راه حل .

این بدان معنی است که اگر اولین نتیجه سر باشد، دومی باید دم باشد و بالعکس. معلوم می شود که دو جفت رویداد مستقل وجود دارد و این جفت ها با یکدیگر ناسازگار هستند. چگونه در مورد اینکه کجا ضرب کنیم و کجا اضافه کنیم گیج نشویم.

یک قانون ساده برای چنین شرایطی وجود دارد. سعی کنید آنچه را که قرار است اتفاق بیفتد با استفاده از حروف ربط "AND" یا "OR" توصیف کنید. به عنوان مثال، در این مورد:

باید بالا بیاید (سر و دم) یا (دم و سر).

در جایی که حرف ربط «و» باشد، ضرب و در جایی که «یا» باشد، جمع خواهد بود:

خودت آن را امتحان کن:

1. احتمال اینکه یک سکه دو بار پرتاب شود چقدر است، سکه هر دو بار روی یک طرف بیفتد؟
2. تاس ها دو بار پرتاب می شوند. احتمال کسب مجموع امتیاز چقدر است؟

راه حل ها:

1. (سر افتاد و دم افتاد) یا (دُم افتاد و دم): .
2. چه گزینه هایی وجود دارد؟ و. سپس:
   افتاد (و) یا (و) یا (و): .

مثالی دیگر:

یک بار سکه پرتاب کنید. احتمال اینکه سرها حداقل یک بار ظاهر شوند چقدر است؟

راه حل:

آه، چقدر دلم نمی‌خواهد از میان گزینه‌ها بگذرم... سر-دم-دم، عقاب-سر-دم،... اما نیازی نیست! بیایید در مورد احتمال کل به یاد داشته باشیم. یادت میاد؟ احتمال اینکه عقاب چقدر است هرگز بیرون نخواهد افتاد? ساده است: سرها همیشه پرواز می کنند، به همین دلیل است.

نظریه احتمال. به طور خلاصه در مورد چیزهای اصلی

احتمال، نسبت تعداد رویدادهای مطلوب به تعداد همه رویدادهای ممکن است.

رویدادهای مستقل

دو رویداد مستقل هستند اگر وقوع یکی احتمال وقوع دیگری را تغییر ندهد.

احتمال کل

احتمال همه رویدادهای ممکن برابر با () است.

احتمال رخ ندادن یک رویداد برابر با منهای احتمال وقوع آن رویداد است.

قانون ضرب احتمال رویدادهای مستقل

احتمال توالی معینی از رویدادهای مستقل برابر است با حاصل ضرب احتمالات هر رویداد

رویدادهای ناسازگار

رویدادهای ناسازگار آنهایی هستند که ممکن است در نتیجه یک آزمایش به طور همزمان رخ ندهند. تعدادی از رویدادهای ناسازگار یک گروه کامل از رویدادها را تشکیل می دهند.

احتمال رویدادهای ناسازگار جمع می شود.

پس از توصیف آنچه که باید اتفاق بیفتد، با استفاده از حروف ربط "AND" یا "OR" به جای "AND" علامت ضرب و به جای "OR" علامت جمع قرار می دهیم.

2/3 مقاله باقیمانده فقط برای دانش‌آموزان باهوش در دسترس است!

دانش آموز YouClever شوید،

برای آزمون دولتی واحد یا آزمون دولتی واحد در ریاضیات به قیمت "یک فنجان قهوه در ماه" آماده شوید.

و همچنین دسترسی نامحدود به کتاب درسی "YouClever"، برنامه آماده سازی (کتاب کار) "100gia"، نامحدود آزمایشی آزمون یکپارچه ایالتیو OGE، 6000 مشکل با تجزیه و تحلیل راه حل ها و سایر خدمات YouClever و 100gia.

هنگامی که یک سکه پرتاب می شود، می توانیم بگوییم که سر به بالا فرود می آید، یا احتمال این 1/2 است. البته این بدان معنا نیست که اگر یک سکه 10 بار پرتاب شود، لزوماً 5 بار روی سر می افتد. اگر سکه "عادلانه" باشد و اگر بارها پرتاب شود، نیمی از زمان سرها بسیار نزدیک فرود می آیند. بنابراین، دو نوع احتمال وجود دارد: تجربی و نظری .

احتمال تجربی و نظری

اگر یک سکه پرتاب کنید تعداد زیادی ازبار - مثلا 1000 - و تعداد دفعات پرتاب سرها را بشماریم، می توانیم احتمال پرتاب شدن سرها را تعیین کنیم. اگر سرها 503 بار پرتاب شوند، می‌توانیم احتمال فرود آن را محاسبه کنیم:
503/1000 یا 0.503.

این تجربی تعیین احتمال این تعریف از احتمال از مشاهده و مطالعه داده ها به دست می آید و کاملا رایج و بسیار مفید است. برای مثال، برخی از احتمالاتی که به صورت تجربی تعیین شده اند در اینجا آمده است:

1. احتمال ابتلای یک زن به سرطان سینه 1/11 است.

2. اگر فردی را که سرماخورده است ببوسید، احتمال اینکه شما هم سرما بخورید 0.07 است.

3. فردی که به تازگی از زندان آزاد شده است 80 درصد شانس بازگشت به زندان دارد.

اگر پرتاب سکه را در نظر بگیریم و در نظر بگیریم که به همان اندازه احتمال دارد که سر یا دم بالا بیاید، می‌توانیم احتمال به دست آوردن سر را محاسبه کنیم: 1/2. این یک تعریف نظری از احتمال است. در اینجا چند احتمال دیگر وجود دارد که به صورت نظری با استفاده از ریاضیات تعیین شده اند:

1. اگر در یک اتاق 30 نفر باشند، احتمال اینکه دو نفر از آنها تولد یکسانی داشته باشند (به استثنای سال) 0.706 است.

2. در طول سفر با شخصی آشنا می شوید و در حین گفتگو متوجه می شوید که یک دوست مشترک دارید. واکنش معمولی: "این نمی تواند باشد!" در واقع، این عبارت مناسب نیست، زیرا احتمال چنین رویدادی بسیار زیاد است - کمی بیش از 22٪.

بنابراین، احتمالات تجربی از طریق مشاهده و جمع آوری داده ها تعیین می شوند. احتمالات نظری از طریق استدلال ریاضی تعیین می شوند. نمونه هایی از احتمالات تجربی و نظری، مانند مواردی که در بالا مورد بحث قرار گرفت، و به ویژه آنهایی که ما انتظار نداریم، ما را به اهمیت مطالعه احتمال می رساند. ممکن است بپرسید "احتمال واقعی چیست؟" در واقع چنین چیزی وجود ندارد. احتمالات در محدوده های معین را می توان به صورت تجربی تعیین کرد. آنها ممکن است با احتمالاتی که ما از لحاظ نظری به دست می آوریم منطبق باشند یا نباشند. موقعیت هایی وجود دارد که در آنها تعیین یک نوع احتمال بسیار آسان تر از نوع دیگر است. برای مثال، یافتن احتمال سرماخوردگی با استفاده از احتمالات نظری کافی است.

محاسبه احتمالات تجربی

اجازه دهید ابتدا تعریف تجربی احتمال را در نظر بگیریم. اصل اساسی که برای محاسبه چنین احتمالاتی استفاده می کنیم به شرح زیر است.

اصل P (تجربی)

اگر در آزمایشی که در آن n مشاهده انجام شده است، یک موقعیت یا رویداد E m بار در n مشاهده اتفاق بیفتد، آنگاه احتمال تجربی رویداد P (E) = m/n گفته می شود.

مثال 1 بررسی جامعه شناختی برگزار شد مطالعه تجربیبرای تعیین تعداد چپ دست ها، راست دست ها و افرادی که هر دو دستشان به یک اندازه رشد کرده است.نتایج در نمودار نشان داده شده است.

الف) احتمال راست دست بودن فرد را مشخص کنید.

ب) احتمال چپ دست بودن فرد را مشخص کنید.

ج) احتمال تسلط یک فرد به هر دو دست را تعیین کنید.

د) بیشتر مسابقات انجمن بولینگ حرفه ای به 120 بازیکن محدود می شود. بر اساس داده های این آزمایش، چند بازیکن می توانند چپ دست باشند؟

راه حل

الف) تعداد افرادی که راست دست هستند 82 نفر، تعداد چپ دست ها 17 نفر و تعداد کسانی که به هر دو دست مسلط هستند 1 نفر است. تعداد کل مشاهدات 100 است. بنابراین احتمال وجود دارد. اینکه یک شخص راست دست است P است
P = 82/100، یا 0.82، یا 82٪.

ب) احتمال چپ دست بودن شخص P است که در آن
P = 17/100، یا 0.17، یا 17٪.

ج) احتمال اینکه یک فرد در هر دو دست به یک اندازه مسلط باشد P است که در آن
P = 1/100، یا 0.01، یا 1٪.

د) 120 بولر، و از (ب) می توان انتظار داشت که 17٪ چپ دست باشند. از اینجا
17% از 120 = 0.17.120 = 20.4،
یعنی می توان انتظار داشت حدود 20 بازیکن چپ دست باشند.

مثال 2 کنترل کیفیت . برای یک تولید کننده بسیار مهم است که کیفیت محصولات خود را حفظ کند سطح بالا. در واقع، شرکت ها برای اطمینان از این فرآیند، بازرسان کنترل کیفیت را استخدام می کنند. هدف تولید حداقل تعداد ممکن محصولات معیوب است. اما از آنجایی که این شرکت روزانه هزاران محصول تولید می کند، نمی تواند هر محصولی را آزمایش کند تا مشخص شود که آیا معیوب است یا خیر. برای اینکه بفهمد چند درصد از محصولات معیوب هستند، این شرکت محصولات بسیار کمتری را آزمایش می کند.
وزارت کشاورزیایالات متحده نیاز دارد که 80 درصد بذرهای فروخته شده توسط پرورش دهندگان باید جوانه بزنند. برای تعیین کیفیت بذری که یک شرکت کشاورزی تولید می کند، 500 بذر از بذرهایی که تولید شده کاشته می شود. پس از این محاسبه شد که 417 بذر جوانه زد.

الف) احتمال جوانه زدن بذر چقدر است؟

ب) آیا بذرها مطابق با استانداردهای دولتی هستند؟

راه حلالف) می دانیم که از 500 بذری که کاشته شد، 417 بذر جوانه زد. احتمال جوانه زنی بذر P، و
P = 417/500 = 0.834، یا 83.4%.

ب) از آنجایی که درصد بذرهای جوانه زده در حد نیاز از 80 درصد فراتر رفته است، بذرها مطابق با استانداردهای دولتی هستند.

مثال 3 رتبه بندی تلویزیون طبق آمار، 105500000 خانوار دارای تلویزیون در ایالات متحده هستند. هر هفته اطلاعات مربوط به مشاهده برنامه ها جمع آوری و پردازش می شود. در یک هفته، 7,815,000 خانوار با سریال کمدی پرطرفدار "همه ریموند را دوست دارند" در CBS و 8،302،000 خانواده با سریال موفق "قانون و نظم" در NBC کوک کردند (منبع: تحقیقات رسانه ای نیلسن). احتمال اینکه تلویزیون یک خانواده در طول یک هفته معین روی «همه ریموند را دوست دارند» تنظیم شود چقدر است؟ روی «قانون و نظم»؟

راه حلاحتمال اینکه تلویزیون در یک خانواده روی «همه ریموند را دوست دارند» تنظیم شود P است، و
P = 7,815,000/105,500,000 ≈ 0.074 ≈ 7.4%.
احتمال اینکه تلویزیون خانواده روی قانون و نظم تنظیم شده باشد P است و
P = 8,302,000/105,500,000 ≈ 0.079 ≈ 7.9%.
این درصدها را رتبه بندی می نامند.

احتمال نظری

فرض کنید در حال انجام آزمایشی هستیم، مانند پرتاب یک سکه یا دارت، کشیدن کارت از روی عرشه، یا آزمایش کیفیت محصولات در خط مونتاژ. هر نتیجه ممکن از چنین آزمایشی نامیده می شود خروج . مجموعه تمام نتایج ممکن نامیده می شود فضای نتیجه . رویداد مجموعه ای از نتایج است، یعنی زیر مجموعه ای از فضای پیامدها.

مثال 4 پرتاب دارت. فرض کنید در آزمایش پرتاب دارت، یک دارت به هدف برخورد کند. هر یک از موارد زیر را بیابید:

ب) فضای نتیجه

راه حل
الف) نتایج عبارتند از: ضربه زدن به سیاهی (B)، ضربه زدن به قرمز (R) و ضربه زدن به سفید (B).

ب) فضای پیامدها ( ضربه زدن به سیاهی، ضربه زدن به قرمز، ضربه زدن به سفید) است که می توان آن را به سادگی به صورت (H، K، B) نوشت.

مثال 5 پرتاب تاس. قالب مکعبی با شش ضلع است که هر کدام یک تا شش نقطه روی آن قرار دارد.


فرض کنید در حال پرتاب یک قالب هستیم. پیدا کردن
الف) نتایج
ب) فضای نتیجه

راه حل
الف) نتایج: 1، 2، 3، 4، 5، 6.
ب) فضای نتیجه (1، 2، 3، 4، 5، 6).

احتمال وقوع یک رویداد E را به صورت P(E) نشان می دهیم. به عنوان مثال، "سکه روی سرها فرود خواهد آمد" را می توان با H نشان داد. سپس P(H) نشان دهنده احتمال فرود سکه روی سر است. زمانی که همه نتایج یک آزمایش احتمال وقوع یکسانی داشته باشند، گفته می شود که به یک اندازه احتمال دارند. برای مشاهده تفاوت بین رویدادهایی که به یک اندازه محتمل هستند و رویدادهایی که چنین نیستند، هدف نشان داده شده در زیر را در نظر بگیرید.

برای هدف A، رویدادهای برخورد سیاه، قرمز و سفید به یک اندازه محتمل است، زیرا بخش های سیاه، قرمز و سفید یکسان هستند. با این حال، برای هدف B، مناطق دارای این رنگ ها یکسان نیستند، یعنی احتمال برخورد با آنها به یک اندازه نیست.

اصل P (نظری)

اگر یک رویداد E بتواند در m راه خارج از n نتیجه احتمالی مساوی از فضای نتیجه S رخ دهد، آنگاه احتمال نظری رویدادها، P(E) است
P(E) = m/n.

مثال 6احتمال چرخاندن قالب برای گرفتن 3 چقدر است؟

راه حلروی یک تاس 6 نتیجه به یک اندازه محتمل وجود دارد و تنها یک امکان برای انداختن عدد 3 وجود دارد. سپس احتمال P خواهد بود P(3) = 1/6.

مثال 7احتمال چرخاندن عدد زوج روی قالب چقدر است؟

راه حلرویداد پرتاب یک عدد زوج است. این می تواند به 3 روش اتفاق بیفتد (اگر 2، 4 یا 6 رول کنید). تعداد پیامدهای با احتمال مساوی 6 است. سپس احتمال P( زوج) = 3/6 یا 1/2 است.

ما از تعدادی مثال استفاده خواهیم کرد که شامل یک دسته کارت استاندارد 52 می باشد. این عرشه شامل کارت هایی است که در شکل زیر نشان داده شده است.

مثال 8احتمال کشیدن یک آس از یک دسته کارتی که به خوبی در هم ریخته شده است چقدر است؟

راه حل 52 نتیجه وجود دارد (تعداد کارت‌های موجود در عرشه)، احتمال آن‌ها به همان اندازه است (اگر عرشه به خوبی به هم ریخته باشد)، و 4 راه برای کشیدن یک آس وجود دارد، بنابراین طبق اصل P، احتمال وجود دارد.
P (یک آس بکشید) = 4/52 یا 1/13.

مثال 9فرض کنید بدون نگاه کردن، یک توپ از یک کیسه با 3 توپ قرمز و 4 توپ سبز انتخاب می کنیم. احتمال انتخاب توپ قرمز چقدر است؟

راه حلبرای کشیدن هر توپ 7 نتیجه به یک اندازه محتمل وجود دارد، و از آنجایی که تعداد روش های کشیدن یک توپ قرمز 3 است، به دست می آوریم.
P (انتخاب توپ قرمز) = 3/7.

عبارات زیر حاصل اصل P هستند.

خواص احتمال

الف) اگر رویداد E نمی تواند اتفاق بیفتد، P(E) = 0.
ب) اگر رویداد E قطعی باشد، P(E) = 1.
ج) احتمال وقوع رویداد E عددی از 0 تا 1 است: 0 ≤ P(E) ≤ 1.

به عنوان مثال، در پرتاب سکه، احتمال اینکه سکه روی لبه خود بیفتد، صفر است. احتمال اینکه یک سکه سر یا دم باشد، احتمال 1 دارد.

مثال 10بیایید فرض کنیم که 2 کارت از یک عرشه 52 کارتی کشیده شده است. احتمال اینکه هر دو اوج باشند چقدر است؟

راه حلتعداد n روش برای کشیدن 2 کارت از یک دسته 52 کارتی که به خوبی در هم ریخته شده اند، 52 C 2 است. از آنجایی که 13 کارت از 52 کارت بیل هستند، تعداد روش های m برای کشیدن 2 پیک، 13 C 2 است. سپس،
P (کشیدن 2 قله) = m/n = 13 C 2 / 52 C 2 = 78/1326 = 1/17.

مثال 11فرض کنید 3 نفر به طور تصادفی از یک گروه 6 مرد و 4 زن انتخاب شده اند. احتمال انتخاب 1 مرد و 2 زن چقدر است؟

راه حلتعداد راه های انتخاب سه نفر از یک گروه 10 نفره 10 C 3 است. یک مرد را می توان به 6 روش C 1 و 2 زن را به 4 روش C 2 انتخاب کرد. بر اساس اصل اساسی شمارش، تعداد راه های انتخاب 1 مرد و 2 زن 6 C 1 است. 4 C 2 . سپس، احتمال انتخاب 1 مرد و 2 زن است
P = 6 C 1 . 4 C 2 / 10 C 3 = 3/10.

مثال 12 پرتاب تاس. احتمال انداختن مجموعاً 8 روی دو تاس چقدر است؟

راه حلهر تاس دارای 6 نتیجه ممکن است. نتایج دو برابر می شوند، به این معنی که 6.6 یا 36 روش ممکن وجود دارد که در آن اعداد روی دو تاس می توانند ظاهر شوند. (بهتر است اگر مکعب ها متفاوت باشند، مثلاً یکی قرمز و دیگری آبی باشد - این به تجسم نتیجه کمک می کند.)

جفت اعدادی که جمع آنها 8 می شود در شکل زیر نشان داده شده است. 5 راه ممکن برای بدست آوردن مجموع 8 وجود دارد، بنابراین احتمال آن 5/36 است.