چند جمله ای ها روی میدان اعداد حقیقی. قضیه اساسی جبر اعداد مختلط

چند جمله ای تقلیل ناپذیر- یک چند جمله ای که نمی تواند به چند جمله ای های غیر جزئی تجزیه شود. چند جمله ای های تقلیل ناپذیر عناصر غیر قابل تقلیل حلقه چند جمله ای هستند.

یک چند جمله ای تقلیل ناپذیر روی یک میدان یک چند جمله ای است متغیرهای روی یک فیلد یک عنصر ساده از حلقه است ، یعنی، نمی تواند به عنوان یک محصول نمایش داده شود، که در آن و چند جمله ای هستند با ضرایب از، غیر از ثابت.

چند جمله‌ای f روی یک میدان F اگر درجه مثبت داشته باشد و مقسوم‌گیرنده‌های ناچیز نداشته باشد، تقلیل‌ناپذیر (ساده) گفته می‌شود (یعنی هر مقسوم‌علیه یا با آن مرتبط باشد یا با یک).

جمله 1

اجازه دهید r– تقلیل ناپذیر و الف- هر چند جمله ای از حلقه F[x]. سپس یا rتقسیم می کند الف، یا rو الف- متقابل ساده

جمله 2

اجازه دهید f∈ F[x]، و درجه f = 1، که به این معنی است که f یک چند جمله‌ای تقلیل‌ناپذیر است.

به عنوان مثال: 1. یک چند جمله ای x+1 را روی فیلد Q بگیرید. درجه آن 1 است، یعنی غیر قابل کاهش است.

2. x2 +1 – تقلیل ناپذیر، زیرا ریشه ندارد

SLU. راه حل سیستم سیستم های تعاونی، غیر تعاونی، معین و غیر معین. سیستم های معادل

سیستم معادلات خطی روی یک میدان F با متغیرهای x1,...xn سیستمی از فرم است

الف 11 X 1 +… + الف 1n x n= ب 1

………………………..

الف m1 x 1 +… + الف دقیقه x n= ب متر

جایی که a ik، ب من∈ F، m تعداد معادلات و n تعداد مجهولات است. به طور خلاصه، این سیستم را می توان به صورت زیر نوشت: ai1x1 + … + a در x n= ب من (i = 1،…m.)

این SLE یک شرط با n متغیر آزاد x است 1,….хn.

SLN ها به ناسازگار (راه حل ندارند) و سازگار (معین و نامعین) تقسیم می شوند. یک سیستم سازگار از یک نوع، اگر راه حل منحصر به فردی داشته باشد، قطعی نامیده می شود. اگر حداقل دو راه حل متفاوت داشته باشد، نامشخص نامیده می شود.

به عنوان مثال: بالای فیلد Q

x + y = 2 - سیستم ناسازگار

x – y = 0 - معین مشترک (x, y = ½)

2x + 2y = 2 - مشترک نامحدود

دو سیستم l.u اگر مجموعه راه حل های این سیستم ها منطبق باشند، معادل هستند، یعنی هر راه حل یک سیستم به طور همزمان راه حل دیگری است. یک سیستم معادل این را می توان بدست آورد:

1. جایگزین کردن یکی از معادلات با این معادله ضرب در هر عدد غیر صفر.

2. جایگزینی یکی از معادلات با مجموع این معادله با معادله دیگری از سیستم.

حل SLE با روش گاوسی انجام می شود.

45* تبدیل های ابتدایی سیستم های معادلات خطی (slu). روش گاوس

Def.تبدیلات اولیه S.L.U n-xia تبدیلات زیر است:

1. ضرب یکی از سیستم معادلات سیستم در یک عنصر غیر صفر میدان.

2. به یکی از معادلات سیستم معادله دیگری ضرب در عنصر میدان اضافه کنید.

3. اضافات به سیستم یا حذف از سیستم معادله غیر صفر 0*x1+0*x2+…+0*xn=0

4. معکوس کردن معادلات

پیشنهاداجازه دهید سیستم (**) یا سیستم (*) با استفاده از یک عدد محدود به دست آید. تحولات عنصری سپس system (**)~ system(*). (بدون سند)

معاونهنگام نوشتن یک سیستم معادلات خطی، از نماد ماتریسی استفاده می کنیم.

a11 a12 … a1n b1

a21 a22 ... a2n b2

………………….... …

Am1 am2 ... amn вn

مثالها: 1) 2x1 – x3 = 1 2 0 -1 1

x1 – x2 – x3 = 0 1 -1 -1 0

3x1 + 2x2 + 4x3 = 2 3 2 4 2

2) 1 0 1 x1 = 1

0 1 2 x2=2

3) 1 0 1 2 x1+x3=2 x1=2-x3

0 1 -1 3 x2-x3=3 x2=3+x3

روش گاوس

پیشنهاداجازه دهید سیستم (*) داشته باشد

(الف) اگر تمام عبارات آزاد برابر با 0 باشند همه vk=0 راه حل های بسیاری = F n

(ب) k vk=0 0x1+0x2+…+0xn= vk=0 (بدون راه حل)

2. نه همه aij=0

(الف) اگر سیستم معادله ای به شکل 0x1+0x2+…+0xn= vk=0 0 داشته باشد.

(ب) اگر چنین معادلات b1 وجود نداشته باشد. بیایید معادلات غیر صفر را حذف کنیم. بیایید کوچکترین شاخص i1 را پیدا کنیم، به طوری که همه ضرایب در xij=0 نباشند.

0……0………..…. ستون دوم با صفر i1 است.

0……0…..*=0….. ….

0……0 ...……… …

1. با تنظیم مجدد معادلات به a1i1 = 0 خواهیم رسید

0 ..... 0… a1i1 = 0 .... .... (1). :=(تکالیف) (1) 1/ a1i1 (2). :=(2)-(1)* а2i1

A2i1........... .... 0…. 0…1…. …. 0…. 0..1…..….. ( پا گذاشت

0…. 0… а2i1… 0…..0..0……. ماتریس)

0 ........... 0 .... ami1.. ...……………………. …………………………….

0 ….0 ..ami1 ... 0……0…………0 ….

پس از تعداد محدودی از مراحل، به دست می آوریم که یا سیستم دارای معادله ای به شکل 0x1+0x2+…+0xn= vk=0 0 یا

0……0 1………….. L1 "سکته مغزی گاوسی به جلو" 0...0 1...0..0 .....0........0. .. «سکته مغزی معکوس

0......0 0......1..... L2 0....0 0.....1.........0.... . .....0.... ..گاوس”

0 .......00.......0....1 L2 0....0 0......0........1... . .....0... ..

.............................. .... ............................................ ..

0.......0 0 ............ 0..1 Lk 0....0 0.......0....... ..0..0..1 ..

متغیرهای xi1, ...... xik را اصلی می نامیم و بقیه رایگان هستند.

k=n => c-a تعریف شده است

ک ج-a تعریف نشده می توان به متغیرهای آزاد مقادیر مشتق شده داد و مقادیر متغیرهای اصلی را محاسبه کرد.

2 0 -1 1 8 (-3) 1 -1 -1 0 *(-2) 1 -1 -1 0

1 -1 -1 0 ~ 2 0 -1 1 ~ 0 2 1 1

3 2 4 2 3 2 4 2 0 5 7 2

میدان F از نظر جبری بسته است اگر هر چند جمله ای با درجه مثبت بیش از F ریشه ای در F داشته باشد.

قضیه 5.1 (قضیه بنیادی جبر چند جمله ای).میدان اعداد مختلط از نظر جبری بسته است.

نتیجه 5 .1.1. تمام شد بافقط چند جمله ای های تقلیل ناپذیر درجه اول وجود دارد.

نتیجه 5.1.2. چند جمله ای n- درجه بالاتر بادارد nریشه های پیچیده

قضیه 5.2. اگر ریشه مختلط یک چند جمله ای است fبا ضرایب واقعی، پس عدد مزدوج مختلط نیز یک ریشه است f.

نتیجه 5 .2.1. تمام شد آرچند جمله ای های تقلیل ناپذیر فقط درجه اول یا دوم وجود دارد.

نتیجه 5.2.2. ریشه های خیالی یک چند جمله ای over آربه جفت مزدوج پیچیده تجزیه می شود.

مثال 5.1. عامل به عوامل غیر قابل کاهش بیش از باو بالاتر آرچند جمله ای x 4 + 4.

راه حل. ما داریم

x 4 + 4 =x 4 + 4X 2 + 4 – 4X 2 = (x 2 + 2) 2 – 4X 2 = (x 2 – 2X+ 2)(x 2 + 2X+ 2) –

گسترش بیش از آر. با:

x 4 + 4 = (x – 1 – من) (x – 1 + من) (x + 1 – من) (x + 1 + من).

با یافتن ریشه های مختلط چند جمله ای های درجه دو در پرانتز به روش معمول، بسطی را به دست می آوریم. من.

مثال 5.2. چند جمله ای با کوچکترین درجه با ضرایب واقعی با ریشه های 2 و 1 + بسازید من راه حل. طبق نتیجه 5.2.2، چند جمله ای باید دارای ریشه های 2، 1 باشد - منو 1 +

. ضرایب آن را می توان با استفاده از فرمول های Vieta پیدا کرد: من) + (1 +من) = 4;

 1 = 2 + (1 - من) + 2(1 + من) + (1 – من)(1 + من) = 6;

 2 = 2 (1 - من)(1 + من) = 4.

 3 = 2 (1 - f =x 3 – 4x 2 + 6x– 4.

از اینجا

تمرینات باو بالاتر آر 5.1.

عامل به عوامل غیر قابل کاهش بیش از X 3 – 6X 2 + 11X – 6;

چند جمله ای ها: X 4 – 10X 2 + 1.

الف) من.

ب)

5.2. چند جمله ای با کوچکترین درجه با ضرایب واقعی با ریشه دوتایی 1 و ریشه ساده 1 تا 2 بسازید. اجازه دهید 6. چند جمله ای بیش از میدان اعداد گویا 0 قضیه 6.1 1 (معیار آیزنشتاین).+ f = a n x n+ الف x +...الف f = a 0 , f = a 1 , … , f = a n- یک چند جمله ای با ضرایب صحیح. x +..., f = a nاگر چنین عدد اولی وجود داشته باشد x +...,f = aص x +...، چی f -1 بر تقسیم می شود

قابل تقسیم بر 0 بر تقسیم پذیر نیست 2، سپس

در میدان اعداد گویا قابل تقلیل نیست. f= 2X 5 + 3X 4 – 9X 3 – 6Xتمرین 6.1. اثبات ناپذیری بیش از f= 5X 4 + 6X 3 – 18X 2 – 12X + 54.

س چند جمله ای ها: الف) f = f = a 0 + f = a 1 x + … + f = a n x n+ 3; ب)

f = a 0  x +..., f = a n  قضیه 6.2.;

f(1)  اجازه دهیدf(–1)  - کسری تقلیل ناپذیر که ریشه یک چند جمله ای است.

با ضرایب صحیح سپس

f = 2X 4 + 7X 3 + 3X 2 – 15X– 18.

p–q، x +... p+q قضیه 6.2.این قضیه به ما اجازه می دهد تا مشکل یافتن ریشه های گویا یک چند جمله ای با ضرایب صحیح را حل کنیم. برای انجام این کار، تمام مقسوم‌گیرنده‌های جمله آزاد و ضریب پیشرو را تعیین می‌کنیم و از آنها انواع کسرهای تقلیل‌ناپذیر می‌سازیم.

1, –1, 2, –2, 3, –3, 6, –6, 9, –9, 18, –18,
,
,
.

تمام ریشه های عقلی در میان این کسری ها وجود دارد. برای تعیین آنها می توانید از طرح هورنر استفاده کنید. برای جلوگیری از محاسبات غیر ضروری در آن، از عبارت 2) قضیه 6.2 استفاده می کنیم.

						مثال 6.1. ریشه های گویا یک چند جمله ای را پیدا کنید
						f(1) = –21  راه حل. همه کسری را می نویسیم که شماره آن ها باشد
						f(–1) = –3  - کسری تقلیل ناپذیر که ریشه یک چند جمله ای است

						X 1 = –2


						X 2 = 3/2

- مقسوم علیه ها 18 و مخرج هستند X- تقسیم کننده 2: X+ 2، یک چند جمله ای با عبارت آزاد جدید -9 دریافت می کنیم (ضرایب آن زیر خط کشیده شده است). شمارنده‌های ریشه‌های باقی‌مانده باید مقسوم‌کننده این عدد باشند و کسرهایی که این شرط را برآورده نمی‌کنند، می‌توانند از فهرست حذف شوند. f(1)x +... – قضیه 6.2. مقادیر صحیح باقیمانده حذف می شوند زیرا شرط را برآورده نمی کنند f(–1)x +... + قضیه 6.2.یا x +... = 3, قضیه 6.2.. به عنوان مثال، برای 3 ما داریم f(1) = –21x +... – قضیه 6.2.= 1، و شرط برآورده نمی شود

(همان شرط دوم). Xبه همین ترتیب، یافتن ریشه

2 = 3/2، چند جمله ای با جمله آزاد جدید 3 و ضریب پیشرو 1 به دست آوردیم (وقتی ریشه کسری است، ضرایب چند جمله ای حاصل باید کاهش یابد).

دیگر هیچ عددی از فهرست نمی تواند ریشه آن باشد و فهرست ریشه های گویا تمام شده است.

ریشه های یافت شده باید از نظر تعدد بررسی شوند.

در میدان اعداد گویا قابل تقلیل نیست. X 3 – 6X 2 + 15X– 14;

اگر در فرآیند حل به یک چند جمله ای درجه دوم رسیدیم و لیست کسری ها هنوز تمام نشده است، می توان ریشه های باقی مانده را با استفاده از فرمول های معمول به عنوان ریشه های یک مثلث مربع پیدا کرد. X 5 – 7X 3 – 12X 2 + 6X+ 36;

تمرین 6.2. ریشه های گویا چند جمله ای را پیدا کنید X 4 – 11X 3 + 23X 2 – 24X+ 12;

ب) X 4 – 7X 2 – 5X– 1.

ج) 2

د) 4به میدانی گفته می شود که از نظر جبری بسته است اگر هر چند جمله ای روی این میدان که با یک ثابت برابر نیست حداقل یک ریشه داشته باشد. از قضیه بزوت بلافاصله نتیجه می‌شود که در چنین میدانی، هر چند جمله‌ای غیر ثابت را می‌توان به حاصلضرب عوامل خطی تجزیه کرد. از این نظر، میدان‌های بسته جبری از نظر ساختار ساده‌تر از میدان‌های بسته غیر جبری هستند. می دانیم که در میدان اعداد حقیقی هر مثلث مربعی ریشه ندارد، بنابراین فیلد ℝ از نظر جبری بسته نیست. معلوم می شود که او فقط کمی از بسته شدن جبری فاصله دارد. به عبارت دیگر: با حل یک مسئله به ظاهر خاص در مورد یک معادله، ما به طور همزمان تمام معادلات چند جمله ای دیگر را حل کردیم.

قضیه اساسی جبر.هر چند جمله ای در میدان ℂ که با یک ثابت برابر نباشد حداقل یک ریشه مختلط دارد.

تحقیق.

ما می‌توانیم هر چند جمله‌ای را که با یک ثابت برابر نیست در میدان اعداد مختلط به حاصلضرب عوامل خطی بسط دهیم:

در زمینه های دیگر وضعیت از نظر تجزیه پذیری چند جمله ای ها چندان خوب نیست. چند جمله ای را تقلیل ناپذیر می گوییم اگر اولاً ثابت نباشد و ثانیاً نتوان آن را به حاصل ضرب چند جمله ای های درجات پایین تر تجزیه کرد. واضح است که هر چند جمله ای خطی (در هر میدانی) تقلیل ناپذیر است. نتیجه را می توان به صورت زیر فرموله کرد: چند جمله ای های تقلیل ناپذیر در میدان اعداد مختلط با ضریب واحد پیشرو (به عبارت دیگر: واحد) توسط چند جمله ای های شکل () تمام می شوند.

تجزیه پذیری یک مثلث درجه دوم معادل وجود حداقل یک ریشه است. با تبدیل معادله به شکل، نتیجه می‌گیریم که ریشه یک مثلث مربع وجود دارد اگر و فقط در صورتی که ممیز، مربع عنصری از میدان K باشد (در اینجا ما 2≠ 0 را در میدان K فرض می‌کنیم). از اینجا می گیریم

پیشنهاد.یک مثلث مربع بر روی یک میدان K که در آن 2≠ 0 تقلیل ناپذیر است اگر و فقط اگر ریشه در میدان K نداشته باشد. ، بر روی میدان اعداد حقیقی مربع سه جمله ای تقلیل ناپذیر اگر و فقط اگر.

بنابراین در میدان اعداد حقیقی حداقل دو نوع چندجمله‌ای تقلیل‌ناپذیر وجود دارد: خطی و درجه دوم و ممیز منفی. معلوم می شود که این دو حالت مجموعه چند جمله ای های تقلیل ناپذیر را بیش از ℝ خسته می کنند.

قضیه.می‌توانیم هر چند جمله‌ای در میدان اعداد حقیقی را به حاصلضرب‌های خطی و عوامل درجه دوم با ممیز منفی تجزیه کنیم:

در اینجا همه ریشه های واقعی مختلف چند جمله ای، تعدد آنها، همه ممیزها کمتر از صفر هستند، و سه جمله های درجه دوم همه متفاوت هستند.

ابتدا لم را ثابت می کنیم

LEMMA.در صورت وجود، عدد مزدوج نیز ریشه چند جمله ای است.

اثبات اجازه دهید و یک ریشه پیچیده از یک چند جمله ای باشد. سپس

جایی که ما از خواص mate استفاده کردیم. از این رو، . بنابراین، ریشه چند جمله ای است. □

اثبات قضیه. کافی است ثابت کنیم که هر چند جمله ای تقلیل ناپذیر در میدان اعداد حقیقی یا خطی است یا درجه دوم با ممیز منفی. اجازه دهید یک چند جمله ای تقلیل ناپذیر با ضریب پیشرو واحد باشد. در مورد ما بلافاصله برای برخی از واقعی به دست آورید. بیایید این را فرض کنیم. اجازه دهید با هر ریشه مختلط این چند جمله ای که بر اساس قضیه اساسی جبر اعداد مختلط وجود دارد، نشان دهیم. از آنجایی که تقلیل ناپذیر است، پس (به قضیه بزوت مراجعه کنید). سپس، توسط لم، ریشه دیگری از چند جمله ای خواهد بود، متفاوت از.

یک چند جمله ای ضرایب واقعی دارد. علاوه بر این، بر اساس قضیه بزوت تقسیم می کند. از آنجایی که تقلیل ناپذیر است و دارای ضریب پیشرو واحد است، برابری را بدست می آوریم. ممیز این چند جمله ای منفی است، زیرا در غیر این صورت ریشه واقعی خواهد داشت.□

مثال ها. الفاجازه دهید چند جمله ای را به عوامل تقلیل ناپذیر تجزیه کنیم. در میان مقسوم علیه های جمله ثابت 6، به دنبال ریشه های چند جمله ای می گردیم. ما مطمئن می شویم که 1 و 2 ریشه هستند. بنابراین چند جمله ای بر تقسیم می شود. پس از تقسیم، می یابیم

بسط نهایی بر روی میدان، زیرا ممیز مثلث مربع منفی است و بنابراین نمی توان آن را در میدان اعداد حقیقی بیشتر گسترش داد. اگر ریشه های مختلط مثلث مربع را پیدا کنیم، بسطی از همان چند جمله ای را در میدان اعداد مختلط به دست می آوریم. آنها جوهر هستند. سپس

بسط این چند جمله ای به پایان رسید

ب. اجازه دهید فیلدهای اعداد حقیقی و مختلط را گسترش دهیم. از آنجایی که این چند جمله ای ریشه واقعی ندارد، می توان آن را به دو مثلث مربع با ممیز منفی تجزیه کرد.

از آنجایی که با جایگزینی با چند جمله ای تغییر نمی کند، پس با چنین جایگزینی، مثلث مربع باید وارد شود و بالعکس. از اینجا. با معادل سازی ضرایب، به طور خاص، . سپس از رابطه (به دست آمده با جایگزینی) استخراج می کنیم و در نهایت، .

گسترش بر روی میدان اعداد حقیقی.

برای بسط این چند جمله ای بر روی اعداد مختلط، معادله یا را حل می کنیم. معلوم است که ریشه خواهد داشت. ما همه ریشه های مختلف را دریافت می کنیم. از این رو،

بسط بر روی اعداد مختلط آسان برای محاسبه

و راه حل دیگری برای مسئله بسط یک چند جمله ای در میدان اعداد حقیقی به دست می آوریم.

پایان کار -

این موضوع متعلق به بخش:

جبر بنیادی و کامپیوتری

مقدمه.. درس اصول و جبر کامپیوتر برای دانشجویان رشته ریاضی کاربردی در نظر گرفته شده است..

اگر به مطالب اضافی در مورد این موضوع نیاز دارید یا آنچه را که به دنبال آن بودید پیدا نکردید، توصیه می کنیم از جستجو در پایگاه داده آثار ما استفاده کنید:

با مطالب دریافتی چه خواهیم کرد:

اگر این مطالب برای شما مفید بود، می توانید آن را در صفحه خود در شبکه های اجتماعی ذخیره کنید:

تمامی موضوعات این بخش:

N.I. Dubrovin
معرفی محتویات شهرک سازی اسپاسکی 2012. 4 فهرست نمادها و اصطلاحات. 5 1 کمی در مورد BASIC. 6 2 نظریه مجموعه ساده لوحانه. 9

کمی در مورد بیسیک
در ریاضیات آنها با اجسامی مانند اعداد با ماهیت های مختلف (طبیعی، صحیح، منطقی، واقعی، مختلط)، چند جمله ای های یک و چند متغیر، ماتریس ها سروکار دارند.

نظریه مجموعه ساده لوحانه
یک متن ریاضی از تعاریف و عبارات تشکیل شده است. برخی از گزاره ها بسته به اهمیت و ارتباط آنها با سایر گزاره ها، یکی از اصطلاحات زیر نامیده می شوند:

محصولات دکارتی
یک جفت مرتب، یا به سادگی یک جفت عنصر، یکی از ساختارهای اساسی در ریاضیات است. می توانید آن را به عنوان یک قفسه با دو مکان - اول و دوم - تصور کنید. خیلی اوقات در ریاضیات اینطور نیست

اعداد طبیعی
اعداد (1،2،3،...) را که می توان با جمع از یک به دست آورد، اعداد طبیعی نامیده می شوند و با ℕ نشان داده می شوند. توصیف بدیهی اعداد طبیعی می تواند مانند این باشد (نگاه کنید به.

بازگشت
از بدیهیات N1-N3 تا عملیات جمع و ضرب اعداد طبیعی آشنا برای همه از دوره ابتدایی، مقایسه اعداد طبیعی با یکدیگر و خصوصیات شکل «از معکوس کردن مکان‌های عبارت‌ها، مجموع نمی‌شود.

ترتیب مجموعه اعداد طبیعی
مجموعه یک رابطه ترتیب خطی دارد. بیایید بگوییم که n

بخش پذیری اعداد طبیعی
عمل تقسیم همیشه در زمینه اعداد طبیعی امکان پذیر نیست. این به ما این حق را می دهد که رابطه بخش پذیری را معرفی کنیم: فرض کنید که عدد n عدد m را تقسیم می کند اگر m=nk برای مقداری k∈ مناسب.

تقسیم پذیری اعداد صحیح
بگذارید با -- حلقه اعداد صحیح را نشان دهیم. اصطلاح "حلقه" به این معنی است که ما با یک مجموعه R روبرو هستیم که بر روی آن دو عمل داده می شود - جمع و ضرب، با رعایت قوانین شناخته شده.

الگوریتم اقلیدس
یک جفت اعداد صحیح (m,n) در نظر گرفته شده است. ما n را باقیمانده ای با عدد 1 در نظر می گیریم. مرحله اول الگوریتم اقلیدسی این است که m را بر n با یک باقیمانده تقسیم می کنیم و سپس باقی مانده را بر باقیمانده تازه به دست آمده تقسیم می کنیم تا زمانی که به تازگی به دست آید.

تفسیر ماتریسی از الگوریتم اقلیدسی
بیایید یک تفسیر ماتریسی به الگوریتم اقلیدسی بدهیم (برای ماتریس ها، پاراگراف بعدی را ببینید). بیایید دنباله تقسیمات را با باقیمانده به شکل ماتریس بازنویسی کنیم: جایگزینی در هر

عناصر منطق
ریاضیدانان با اشیایی مانند اعداد، توابع، ماتریس ها، خطوط روی صفحه و غیره سر و کار دارند و همچنین با گزاره ها سر و کار دارند. گفتار نوعی روایت است

فرم های بیانی
آیا بیان بیانیه خواهد بود؟ خیر، این رکورد شکل بیانی یک متغیر است. اگر مقادیر معتبر را به جای متغیر جایگزین کنیم، عبارات مختلفی دریافت می کنیم که

جبر ماتریسی
جبر ماتریسی روی حلقه R (R حلقه اعداد صحیح، میدان اعداد گویا، میدان اعداد حقیقی است) پرکاربردترین سیستم جبری با مجموعه ای از عملیات است.

عوامل تعیین کننده
تعیین کننده ماتریس مربع A مشخصه عددی آن است که با یا نشان داده می شود. بیایید با عوامل تعیین کننده ماتریس های کوچک بعدی 1،2،3 شروع کنیم: DEFINITION. Pu

تحولات صفحه خطی
مشخص است که هر تبدیل صفحه ϕ که فواصل را حفظ کند، یا تبدیل موازی به بردار است، یا چرخش حول نقطه O با زاویه α، یا تقارن نسبت به مستقیم است.

اعداد مختلط
در این بخش فقط یک زمینه را مطالعه می کنیم - حوزه اعداد مختلط ℂ. از نظر هندسی یک صفحه است و از نظر جبری

ساخت میدان اعداد مختلط
فیلد اعداد مختلط را قبلاً در پاراگراف قبل ساخته ایم. با توجه به اهمیت استثنایی حوزه اعداد مختلط، ساخت مستقیم آن را ارائه می کنیم. فضایی را با

اعداد مختلط را مزدوج کنید
میدان اعداد مختلط یک ویژگی جدید به ما می دهد - وجود یک اتومورفیسم پیوسته غیر یکسان (ایزومورفیسم به خود).

یک عدد مختلط مزدوج به و نقشه نامیده می شود
شکل مثلثاتی نوشتن اعداد مختلط

بیایید یک عدد مختلط را به صورت بردار نشان دهیم. طول این بردار، i.e. کمیت را مدول یک عدد مختلط می گویند و نشان می دهند. ما مقدار را هنجار شماره می نامیم، گاهی اوقات استفاده از e راحت تر است
توان مختلط

قانون (2) پاراگراف به ما این حق را می دهد که توان یک عدد کاملاً خیالی را تعیین کنیم: در واقع، تابعی که بدین ترتیب تعریف شده است دارای ویژگی های زیر است:
حل معادلات درجه دوم

یک چند جمله ای خطی at همیشه یک ریشه دارد. مثلث مربع دیگر همیشه روی میدان اعداد حقیقی ریشه ندارد.
اجازه دهید یک مثلث مربع بر روی میدان اعداد مختلط (). کاروان

قضیه رابطه هم ارزی

فرض کنید " " یک رابطه هم ارزی در مجموعه M باشد. برای یک عنصر آن را با کلاس هم ارزی نشان می دهیم. سپس مجموعه M به اتحادیه ای از کلاس های هم ارزی تقسیم می شود. هر عنصر از M در

الگوریتم های ضرب و تقسیم اعداد در سیستم اعداد اعشاری

ارزش میانگین و تلفات نهایی و تعداد نمونه لازم

تأیید کتاب پیتر اسکارگا "درباره وحدت کلیسای خدا" 1577(؟) r. - اولین بیانیه جدلی اوستروزکی.

سوال شماره 1. تبخیر رطوبت و تجزیه کربناتها در کوره بلند. ترمودینامیک تجزیه کربنات. همه توان های گمشده (و/یا عبارت های آزاد) را بدون شکاف در هر دو چند جمله ای با ضرایب صفر می نویسیم.اگر بزرگترین مقسوم علیه مشترک ضرایب آن 1 باشد. محتواچند جمله ای و چند جمله ای ابتدایی. حاصل ضرب چند جمله ای های اولیه یک چند جمله ای ابتدایی است. از این واقعیت نتیجه می‌شود که اگر چند جمله‌ای با ضرایب صحیح در میدان اعداد گویا قابل تقلیل باشد، در حلقه اعداد صحیح قابل تقلیل است. بنابراین، مسئله فاکتورگیری یک چند جمله ای به عوامل غیر قابل تقلیل در میدان اعداد گویا به یک مسئله مشابه در حلقه اعداد صحیح کاهش می یابد.

بگذارید یک چند جمله ای با ضرایب صحیح و محتوای 1 باشد و اجازه دهید ریشه گویا آن باشد. بیایید ریشه یک چند جمله ای را به صورت کسری غیر قابل تقلیل تصور کنیم. چند جمله ای f(x) به عنوان حاصل ضرب چند جمله ای های اولیه نشان داده می شود. از این رو،

الف- صورت بخش مقسوم علیه است،

ب. مخرج – مقسوم علیه

C. برای هر عدد صحیح کمعنی f(ک) - یک عدد صحیح که بدون باقی مانده بر ( bk-f = a).

ویژگی های فهرست شده به ما اجازه می دهد تا مشکل یافتن ریشه های گویا یک چند جمله ای را به جستجوی محدود کاهش دهیم. رویکرد مشابهی در بسط چند جمله ای استفاده می شود fبه عوامل غیر قابل تقلیل در میدان اعداد گویا با استفاده از روش کرونکر. اگر چند جمله ای f(x) درجه nداده می شود، سپس یکی از عوامل دارای درجه بالاتر از n/2. اجازه دهید این عامل را با علامت گذاری کنیم g(x). از آنجایی که همه ضرایب چند جمله ای ها اعداد صحیح هستند، پس برای هر عدد صحیح f = aمعنی f(f = a) بدون باقیمانده بر بخش پذیر است g(f = a). بیایید انتخاب کنیم m= 1+n/2 عدد صحیح متمایز f = aمن من=1,…,متر. برای اعداد g(f = a i) تعداد محدودی از احتمال ها وجود دارد (تعداد مقسوم علیه هر عدد غیر صفر محدود است)، بنابراین تعداد محدودی از چند جمله ای وجود دارد که می توانند مقسوم علیه باشند. f(x). پس از انجام یک جستجوی کامل، یا تقلیل ناپذیری چند جمله ای را نشان می دهیم، یا آن را به حاصل ضرب دو چند جمله ای گسترش می دهیم. ما طرح مشخص شده را برای هر عامل اعمال می کنیم تا زمانی که همه عوامل به چند جمله ای های تقلیل ناپذیر تبدیل شوند.

تقلیل ناپذیری برخی از چندجمله ای ها در میدان اعداد گویا را می توان با استفاده از یک معیار ساده آیزنشتاین تعیین کرد.

اجازه دهید f(x) یک چند جمله ای روی حلقه اعداد صحیح است. اگر عدد اول وجود داشته باشد x +...الف

I. همه ضرایب چند جمله ای f(x، علاوه بر ضریب برای بالاترین درجه، به تقسیم می شوند x +...

II. ضریب بالاترین درجه بر آن بخش پذیر نیست x +...

III. عضو رایگان به تقسیم نمی شود

سپس چند جمله ای f(x) در میدان اعداد گویا تقلیل ناپذیر است.

لازم به ذکر است که معیار آیزنشتاین شرایط کافی را برای تقلیل ناپذیری چند جمله ای ها فراهم می کند، اما شرایط لازم را ندارد. بنابراین چند جمله ای در میدان اعداد گویا تقلیل ناپذیر است، اما معیار آیزنشتاین را برآورده نمی کند.

چند جمله ای، طبق معیار آیزنشتاین، تقلیل ناپذیر است. در نتیجه، بر روی میدان اعداد گویا، یک چندجمله ای تقلیل ناپذیر درجه وجود دارد n، کجا nهر عدد طبیعی بزرگتر از 1

در میدان اعداد حقیقی، هر چند جمله‌ای تقلیل‌ناپذیر یک متغیر دارای درجه 1 یا 2 است، و چند جمله‌ای درجه 2 در میدان R غیرقابل تقلیل است اگر و تنها در صورتی که دارای یک ممیز منفی باشد، برای مثال، یک چند جمله‌ای بیش از میدان اعداد حقیقی چون تفکیک کننده آن منفی است.

معیار آیزنشتاین آزمونی برای تقلیل ناپذیری یک چند جمله ای است که به نام ریاضیدان آلمانی فردیناند آیزنشتاین نامگذاری شده است. علیرغم نام (سنتی) ، دقیقاً یک علامت است ، یعنی شرط کافی - اما اصلاً ضروری نیست ، همانطور که ممکن است بر اساس معنای ریاضی کلمه "معیار" فرض شود.

قضیه (معیار آیزنشتاین). بگذارید یک چند جمله ای روی حلقه فاکتوریل R ( n> 0)، و برای برخی از عناصر غیر قابل تقلیل x +...شرایط زیر رعایت می شود:

قابل تقسیم بر x +...,

تقسیم بر x +...، برای هر کسی مناز 0 به n- 1,

قابل تقسیم بر

سپس چند جمله ای بیش از آن تقلیل ناپذیر است افمیدان حلقه خصوصی آر.

نتیجه.در هر میدانی از اعداد جبری یک چند جمله ای تقلیل ناپذیر با هر درجه از پیش تعیین شده وجود دارد. به عنوان مثال، یک چند جمله ای Where n> 1 و x +...چند عدد اول

اجازه دهید نمونه هایی از کاربرد این معیار را در زمانی که R حلقه ای از اعداد صحیح و F میدانی از اعداد گویا باشد در نظر بگیریم.

نمونه ها:

چند جمله ای بر Q تقلیل ناپذیر است.

چند جمله ای تقسیم دایره تقلیل ناپذیر است. در واقع اگر تقلیل پذیر باشد چند جمله ای را نیز کاهش می دهیم و چون همه ضرایب آن به جز ضرایب اول دو جمله ای هستند یعنی بر ضرایب تقسیم می شوند. x +...و ضریب آخر آمین x +...و علاوه بر این، بر خلاف فرض، با معیار آیزنشتاین قابل تقسیم نیست.

پنج چند جمله ای زیر برخی از ویژگی های اولیه چند جمله ای های تقلیل ناپذیر را نشان می دهد:

بر روی حلقه Z از اعداد صحیح، دو چند جمله‌ای اول تقلیل‌پذیر و دو تای آخر تقلیل‌ناپذیر هستند. (سومین به هیچ وجه چند جمله ای روی اعداد صحیح نیست).

در میدان Q اعداد گویا، سه چندجمله‌ای اول تقلیل‌پذیر و دو تای دیگر تقلیل‌ناپذیر هستند.

در میدان R اعداد حقیقی، چهار چند جمله‌ای اول تقلیل‌پذیر هستند، اما تقلیل‌ناپذیر هستند. در زمینه اعداد حقیقی، چند جمله‌ای خطی و چندجمله‌ای درجه دوم بدون ریشه واقعی تقلیل‌ناپذیر هستند. به عنوان مثال، بسط یک چند جمله ای در میدان اعداد حقیقی شکل دارد. هر دو عامل در این بسط چند جمله ای های تقلیل ناپذیر هستند.

در میدان C اعداد مختلط، هر پنج چند جمله‌ای قابل تقلیل هستند. در واقع، هر چند جمله ای غیر ثابت روی C را می توان به شکل زیر فاکتور گرفت:

کجا n- درجه چند جمله ای، f = a- ضریب پیشرو، - ریشه های چند جمله ای. بنابراین، تنها چند جمله‌ای‌های تقلیل‌ناپذیر بیش از C، چند جمله‌ای خطی هستند (قضیه اساسی جبر).