معنای هندسی و مکانیکی مشتق اول. معنای مکانیکی مشتق معنای فیزیکی یا مکانیکی مشتق دوم

کارت دستورالعمل شماره 20

تکیریبی/موضوع: « مشتق دوم و معنای فیزیکی آن».

ماکساتی/ هدف:

بتواند معادله مماس و همچنین مماس زاویه میل مماس بر محور OX را پیدا کند. بتوانید سرعت تغییر یک تابع و همچنین شتاب را پیدا کنید.

ایجاد شرایط برای شکل گیری مهارت های مقایسه و طبقه بندی حقایق و مفاهیم مورد مطالعه.

پرورش نگرش مسئولانه نسبت به کار آموزشی، اراده و پشتکار برای دستیابی به نتایج نهایی در یافتن معادله مماس و همچنین در یافتن میزان تغییر تابع و شتاب.

مطالب نظری:

(معنای هندسی مشتق شده)

معادله مماس بر نمودار یک تابع به صورت زیر است:

مثال 1: بیایید معادله مماس بر نمودار تابع را در نقطه با فحاشی 2 پیدا کنیم.

پاسخ: y = 4x-7

ضریب زاویه ای k مماس بر نمودار تابع در نقطه ای با ابسیسا x o برابر است با f / (x o) (k= f / (x o)). زاویه تمایل مماس بر نمودار تابع در یک نقطه معین برابر است با

arctg k = arctg f / (x o)، i.e. k= f / (x o) = tg

مثال 2: موج سینوسی در چه زاویه ای قرار دارد محور x را در مبدا قطع می کند؟

زاویه ای که نمودار یک تابع معین محور x را قطع می کند برابر با شیب a مماس رسم شده بر نمودار تابع f(x) در این نقطه است. بیایید مشتق را پیدا کنیم: با در نظر گرفتن معنای هندسی مشتق، داریم: و a = 60°. پاسخ: =60 0 .

اگر تابعی در هر نقطه از دامنه تعریف خود مشتق داشته باشد، مشتق آن تابعی از . تابع به نوبه خود می تواند مشتقی داشته باشد که نامیده می شود مشتق مرتبه دومتوابع (یا مشتق دوم) و با نماد مشخص می شوند.

مثال 3: مشتق دوم تابع را پیدا کنید: f(x)=x 3 -4x 2 +2x-7.

ابتدا، بیایید اولین مشتق این تابع را پیدا کنیم f"(x)=(x 3 -4x 2 +2x-7)’=3x 2 -8x+2،

سپس، مشتق دوم از مشتق اول به دست آمده را پیدا می کنیم

f""x)=(3x 2 -8x+2)''=6x-8. پاسخ: f""x) = 6x-8.

(معنای مکانیکی مشتق دوم)

اگر نقطه ای به صورت مستقیم حرکت کند و قانون حرکت آن داده شود، شتاب نقطه برابر با مشتق دوم مسیر نسبت به زمان است:

سرعت یک جسم مادی برابر است با اولین مشتق مسیر، یعنی:

شتاب یک جسم مادی برابر است با اولین مشتق سرعت، یعنی:

مثال 4: بدن طبق قانون s (t) = 3 + 2t + t 2 (m) به صورت مستقیم حرکت می کند. سرعت و شتاب آن را در زمان t = 3 s تعیین کنید. (فاصله بر حسب متر و زمان بر حسب ثانیه اندازه گیری می شود).
راه حل
v (تی) = s' (تی) =(3+2t+t 2)’= 2 + 2t
آ (تی) = v (تی) =(2+2t)'= 2 (m/s 2)
v(3) = 2 + 2∙3 = 8 (m/s). پاسخ: 8 متر بر ثانیه; 2 متر بر ثانیه 2 .

بخش عملی:

1 گزینه	گزینه 2	گزینه 3	گزینه 4	گزینه 5
مماس زاویه میل بر محور x مماس گذرنده از نقطه M را پیدا کنید. نمودار تابع f.
f(x)=x 2، M(-3;9)	f(x)=x 3، M(-1;-1)
معادله مماس بر نمودار تابع f را در نقطه ای با ابسیسا x 0 بنویسید.
f(x)=x 3 -1، x 0 =2	f(x)=x 2 +1، x 0 =1	f(x)= 2x-x 2، x 0 = -1	f(x)=3sinx، x 0 =	f(x)= x 0 = -1
شیب مماس بر تابع f را در نقطه ای با آبسیسا x 0 پیدا کنید.
مشتق دوم تابع را پیدا کنید:
			f(x)= 2cosx-x 2	f(x)= -2sinx+x 3
بدن طبق قانون x (t) به صورت مستقیم حرکت می کند. سرعت و شتاب آن را در لحظه تعیین کنید زمان t. (جابه جایی بر حسب متر و زمان بر حسب ثانیه اندازه گیری می شود).
x(t)=t 2 -3t، t=4	x(t)=t 3 +2t، t=1	x(t)=2t 3 -t 2، t=3	x(t)=t 3 -2t 2 +1,t=2	x(t)=t 4 -0.5t 2 =2، t=0.5

سوالات کنترلی:

به نظر شما معنای فیزیکی مشتق چیست - سرعت آنی است یا سرعت متوسط؟

چه ارتباطی بین مماس ترسیم شده به نمودار یک تابع از طریق هر نقطه و مفهوم مشتق وجود دارد؟

تعریف مماس بر نمودار یک تابع در نقطه M(x 0 ;f(x 0)) چیست؟

معنای مکانیکی مشتق دوم چیست؟

مشتق(توابع در یک نقطه) - مفهوم اساسی حساب دیفرانسیل، مشخص کننده نرخ تغییر یک تابع (در یک نقطه معین). این به عنوان حد نسبت افزایش یک تابع به افزایش آرگومان آن تعریف می شود، زیرا در صورت وجود چنین حدی، افزایش آرگومان به صفر میل می کند. تابعی که دارای مشتق متناهی (در نقطه ای) باشد، متمایزپذیر (در آن نقطه) نامیده می شود.

مشتق. بیایید برخی از عملکردها را در نظر بگیریم y = f (ایکس ) در دو نقطه ایکس 0 و ایکس 0 + : f (ایکس 0) و f (ایکس 0 +). در اینجا، through نشان دهنده برخی تغییرات کوچک در آرگومان است، به نام افزایش آرگومان; بر این اساس، تفاوت بین دو مقدار تابع: f (ایکس 0 + )  f (ایکس 0 ) نامیده میشود افزایش تابع.مشتقکارکرد y = f (ایکس ) در نقطه ایکس 0 حد نامیده می شود:

اگر این محدودیت وجود داشته باشد، تابع f (ایکس ) نامیده میشود قابل تمایزدر نقطه ایکس 0 . مشتق یک تابع f (ایکس ) به صورت زیر نشان داده می شود:

معنای هندسی مشتق. نمودار تابع را در نظر بگیرید y = f (ایکس ):

از شکل 1 مشخص است که برای هر دو نقطه A و B از نمودار تابع:

زاویه شیب مقطع AB کجاست.

بنابراین، نسبت اختلاف برابر با شیب سکنت است. اگر نقطه A را ثابت کنید و نقطه B را به سمت آن حرکت دهید، آنگاه بدون محدودیت کاهش می یابد و به 0 نزدیک می شود و مقطع AB به مماس AC نزدیک می شود. بنابراین حد نسبت اختلاف برابر با شیب مماس در نقطه A است. مشتق تابع در یک نقطه، شیب مماس بر نمودار این تابع در آن نقطه است.این چیزی است که معنی هندسی مشتق.

معادله مماس. اجازه دهید معادله مماس بر نمودار تابع در نقطه A ( ایکس 0 , f (ایکس 0 )). به طور کلی معادله یک خط مستقیم با ضریب شیب f ’(ایکس 0 ) دارای شکل:

y = f ’(ایکس 0 ) · x + b .

برای پیدا کردن ب, بیایید از این واقعیت استفاده کنیم که مماس از نقطه A عبور می کند:

f (ایکس 0 ) = f ’(ایکس 0 ) · ایکس 0 +b ,

از اینجا، ب = f (ایکس 0 ) – f ’(ایکس 0 ) · ایکس 0 ، و به جای آن این عبارت را جایگزین کنید ب، خواهیم گرفت معادله مماس:

y =f (ایکس 0 ) + f ’(ایکس 0 ) · ( x – x 0 ) .

معنای مکانیکی مشتق. بیایید ساده ترین حالت را در نظر بگیریم: حرکت یک نقطه مادی در امتداد محور مختصات، و قانون حرکت داده می شود: مختصات ایکسنقطه متحرک - تابع شناخته شده ایکس (تی) زمان تی. در فاصله زمانی از تی 0 تا تی 0 + نقطه یک فاصله حرکت می کند: ایکس (تی 0 + )  ایکس (تی 0) =، و او سرعت متوسط برابر است با: v آ =  . در 0، سرعت متوسط ​​به یک مقدار مشخص میل می کند که به آن می گویند سرعت لحظه ای v ( تی 0 ) نقطه مادی در زمان تی 0 . اما با تعریف مشتق داریم:

از اینجا، v (تی 0 ) = x' (تی 0 ) ، یعنی سرعت مشتق مختصات است توسط زمان. این چیزی است که حس مکانیکیمشتق . به همین ترتیب، شتاب مشتق سرعت نسبت به زمان است: آ = v (تی).

8. جدول مشتقات و قواعد تمایز

ما در مقاله "معنای هندسی مشتق" در مورد اینکه مشتق چیست صحبت کردیم. اگر تابعی توسط یک نمودار داده شود، مشتق آن در هر نقطه برابر است با مماس مماس بر نمودار تابع. و اگر تابع با فرمول داده شود، جدول مشتقات و قوانین تمایز به شما کمک می کند، یعنی قوانین برای یافتن مشتق.

بگذارید یک نقطه مادی در هواپیما داده شود. قانون حرکت آن در امتداد محور مختصات با قانون $ x(t) $ توضیح داده می شود، جایی که $ t $ زمان را مشخص می کند. سپس در زمان از $ t_0 $ تا $ t_0 + \Delta t $، نقطه از مسیر $ \Delta x = x(t_0+\Delta t) - x(t_0) $ می گذرد. معلوم می شود که سرعت متوسطچنین نقطه ای با فرمول پیدا می شود: $$ v_(cp) = \frac(\Delta x)(\Delta t) $$

اگر $ \Delta t $ به صفر میل کند، آنگاه مقدار سرعت متوسط ​​به مقداری متمایل می شود که نامیده می شود سرعت لحظه ایدر نقطه $t_0$:

$$ \lim_(\Delta t \to 0) \frac(\Delta x)(\Delta t) = v(t_0) $$

با تعریف مشتق از طریق حد، ارتباطی بین سرعت و قانون حرکت مسیر یک نقطه مادی به دست می‌آید:

$$ v(t_0) = \lim_(\Delta \to 0) \frac(\Delta x)(\Delta t) = x"(t_0) $$

نمونه هایی از راه حل ها

مثال 1

محاسبه سرعت لحظه ای یک نقطه مادی در زمان $ t_0 = 1 $، حرکت بر اساس قانون $ x(t) = t^2+3t-1 $

راه حل

با تعریف معنای مکانیکی مشتق، قانون سرعت یک نقطه مادی را به دست می آوریم: $$ v(t) = x"(t) = (t^2+3t-1)" = 2t + 3 $$ با دانستن لحظه زمانی $ t_0 = 1 $ از شرایط مسئله، سرعت را در این لحظه از زمان پیدا می کنیم: $$ v(t_0) = 2\cdot 1 + 3 = 2 + 3 = 5 $$ دریافتیم که سرعت لحظه ای نقطه در لحظه $ t_0 = 1 $ برابر است با $ v = 5 $ اگر نمی توانید مشکل خود را حل کنید، آن را برای ما ارسال کنید. ما راه حل دقیق ارائه خواهیم داد. شما می توانید پیشرفت محاسبات را مشاهده کرده و اطلاعاتی به دست آورید. این به شما کمک می کند نمره خود را به موقع از معلم خود بگیرید!

پاسخ

$$ v(t_0) = 5 $$

مثال 2

حرکت یک نقطه مادی با قانون $ x(t)=t^2-t+3 $ داده می شود. بیابید در چه نقطه ای از زمان $ t_0 $ سرعت این نقطه صفر خواهد بود.

راه حل

از آنجایی که سرعت مشتق از قانون مسیر حرکت است:

معنای مکانیکی مشتق

تفسیر مکانیکی مشتق برای اولین بار توسط I. Newton ارائه شد. به شرح زیر است: سرعت حرکت یک نقطه مادی در یک لحظه معین از زمان برابر است با مشتق مسیر نسبت به زمان، یعنی. بنابراین، اگر قانون حرکت یک نقطه مادی توسط یک معادله داده شود، برای یافتن سرعت لحظه ای نقطه در هر لحظه خاص از زمان، باید مشتق را پیدا کنید و مقدار مربوطه t را جایگزین آن کنید.

مشتق مرتبه دوم و معنای مکانیکی آن

ما (معادله از آنچه در کتاب درسی Lisichkin V.T. Soloveichik I.L. "ریاضیات" ص 240 انجام شد) بدست می آوریم):

بدین ترتیب، شتاب حرکت مستقیم یک جسم در یک لحظه معین برابر با مشتق دوم مسیر نسبت به زمان است که برای یک لحظه معین محاسبه می شود.این معنای مکانیکی مشتق دوم است.

تعریف و معنای هندسی دیفرانسیل

تعریف 4.قسمت اصلی افزایش یک تابع، خطی نسبت به افزایش تابع، خطی نسبت به افزایش متغیر مستقل، نامیده می شود. دیفرانسیلتابع و با d نشان داده می شود، i.e. .

دیفرانسیل یک تابع از نظر هندسی با افزایش مختصات مماس رسم شده در نقطه M (x; y) برای مقادیر داده شده x و?x نشان داده می شود.

محاسبه دیفرانسیل - .

کاربرد دیفرانسیل در محاسبات تقریبی - مقدار تقریبی افزایش تابع با دیفرانسیل آن منطبق است.

قضیه 1.اگر تابع متمایز در یک بازه معین افزایش (کاهش) داشته باشد، مشتق این تابع در این بازه منفی (نه مثبت) نیست.

قضیه 2.اگر تابع مشتق در یک بازه معین مثبت (منفی) است، سپس تابع در این بازه به طور یکنواخت افزایش می یابد (یکنواخت کاهش می یابد).

اجازه دهید اکنون قانون یافتن فواصل یکنواختی تابع را فرموله کنیم

1. مشتق این تابع را محاسبه کنید.

2. نقاطی را که در آنها صفر است یا وجود ندارد پیدا کنید. این نقاط نامیده می شوند بحرانیبرای عملکرد

3. با استفاده از نقاط یافت شده، دامنه تعریف تابع به بازه هایی تقسیم می شود که در هر یک از آنها مشتق علامت خود را حفظ می کند. این فواصل، فواصل یکنواختی هستند.

4. علامت هر یک از فواصل یافت شده را بررسی کنید. اگر در فاصله مورد نظر باشد، در این فاصله افزایش می یابد. اگر، پس در چنین فاصله ای کاهش می یابد.

بسته به شرایط مسئله، قانون یافتن فواصل یکنواختی را می توان ساده کرد.

تعریف 5.اگر نابرابری برای هر x در محله ای از نقطه برقرار باشد، نقطه حداکثر (حداقل) یک تابع نامیده می شود.

اگر حداکثر (حداقل) نقطه تابع باشد، آنگاه می گویند (کمترین)در نقطه توابع حداکثر و حداقل نام را ترکیب می کنند نقاط بحرانیتوابع و نقاط حداکثر و حداقل فراخوانی می شوند نقاط افراطی (نقاط افراطی).

قضیه 3.(نشانه ضروری یک افراط). اگر نقطه منتهی یک تابع باشد و مشتق در این نقطه وجود داشته باشد، برابر با صفر است: .

قضیه 4.(نشانه کافی از افراط). اگر مشتق علامت آن را با عبور x از a تغییر دهد، a نقطه منتهی تابع است.

نکات کلیدی در تحقیق مشتق:

1. مشتق را بیابید.

2. تمام نقاط بحرانی را از دامنه تعریف تابع بیابید.

3. نشانه های مشتق تابع را هنگام عبور از نقاط بحرانی تنظیم کنید و نقاط منتهی را یادداشت کنید.

4. مقادیر تابع را در هر نقطه انتهایی محاسبه کنید.

اجازه دهید به ماده اشاره کند مطبق قانون در یک خط مستقیم حرکت می کند S = f (t).همانطور که قبلاً شناخته شده است، مشتق اس تیبرابر با سرعت نقطه در یک زمان معین: S t' = V.

اجازه دهید در یک لحظه در زمان تیسرعت نقطه برابر با V است و در لحظه t + Dt -سرعت است V+DV، یعنی در یک دوره زمانی Dtسرعت با مقدار تغییر کرد D.V..

این نسبت میانگین شتاب حرکت یک نقطه را در طول زمان بیان می کند Dt. حد این نسبت در Dt®0شتاب نقطه نامیده می شود مدرحال حاضر تیو با نامه مشخص می شود آ: بنابراین، دومین مشتق مسیر نسبت به زمان، بزرگی شتاب حرکت مستقیم نقطه است.یعنی .

دیفرانسیل های مرتبه بالاتر

اجازه دهید y=f(x)تابع متمایز و آرگومان آن ایکس- متغیر مستقل سپس اولین دیفرانسیل آن نیز یک تابع است ایکس، می توانید دیفرانسیل این تابع را پیدا کنید.

دیفرانسیل دیفرانسیل یک تابع را دیفرانسیل دوم آن (یا دیفرانسیل مرتبه دوم) می نامند و با: .

دیفرانسیل مرتبه دوم یک تابع معین برابر است با حاصلضرب مرتبه دوم این تابع با مجذور دیفرانسیل متغیر مستقل: .

کاربرد حساب دیفرانسیل

تابع فراخوانی می شود افزایش (کاهش)) در فاصله زمانی ( آ؛ ب) اگر برای هر دو نقطهx 1 وx 2 از بازه مشخص شده که نابرابری را ارضا می کند، نابرابری ارضا می شود ().

شرط لازم برای افزایش (کاهش): اگر تابع در بازه متمایز شود ( الف، ب) افزایش می یابد (کاهش می یابد)، سپس مشتق این تابع در این بازه غیر منفی (غیر مثبت) است.() .

شرط کافی برای افزایش (کاهش):اگر مشتق تابع قابل تمایز در یک بازه معین مثبت (منفی) باشد، در این بازه تابع افزایش (کاهش) می یابد.

تابع f(x)در نقطه x 1این دارد بیشترین، در صورت وجود ایکس f(x 1)>f(x)، در ایکس ¹x 1 .

تابع f(x)در نقطه x 1این دارد کمترین، در صورت وجود ایکساز برخی از همسایگی های نقطه، نابرابری زیر برقرار است: f (x 1) ، در ایکس ¹x 1 .

منتهی الیه یک تابع را اکسترمم محلی می نامند، زیرا مفهوم اکستروم فقط با همسایگی به اندازه کافی کوچک نقطه x 1 مرتبط است. بنابراین در یک بازه یک تابع می تواند چندین انتها داشته باشد و ممکن است این اتفاق بیفتد که حداقل در یک نقطه از حداکثر در نقطه دیگر بزرگتر باشد. وجود یک ماکزیمم یا حداقل در یک نقطه خاص در بازه به این معنی نیست که در این نقطه تابع f(x) بزرگترین یا کوچکترین مقدار را در این بازه می گیرد.

شرط لازم برای یک انتها: در نقطه منتهی تابع قابل تمایز، مشتق آن برابر با صفر است.

شرط کافی برای یک انتها: اگر مشتق تابع قابل تمایز در نقطه ای x 0 برابر با صفر باشد و علامت خود را هنگام عبور از این مقدار تغییر دهد، عدد f (x 0) منتهی تابع است و اگر علامت از مثبت به منفی تغییر می کند، سپس حداکثر اگر از منفی به مثبت، سپس حداقل.

نقاطی که مشتق تابع پیوسته برابر با صفر است یا وجود ندارد، بحرانی نامیده می شوند.

بررسی یک تابع برای یک اکسترم به معنای یافتن تمام اکسترم های آن است. قانون مطالعه یک تابع برای یک اکسترم:

1). نقاط بحرانی یک تابع را پیدا کنید y = f(x)و از بین آنها فقط مواردی را انتخاب کنید که نقاط داخلی حوزه تعریف تابع هستند.

2). علامت مشتق را بررسی کنید f"(x)در سمت چپ و راست هر یک از نقاط بحرانی انتخاب شده؛

3). بر اساس شرایط کافی برای یک اکسترم، نقاط اکسترموم (در صورت وجود) را یادداشت کرده و مقادیر تابع را در آنها محاسبه کنید.

به منظور پیدا کردن بالاترین و کمترین مقدارعملکرد روی یک قطعه لازم است چندین مرحله انجام شود:

1). جریان بحرانی تابع را با حل معادله f’(x)=0 بیابید.

2). اگر نقاط بحرانی روی یک بخش قرار می گیرند، لازم است مقادیر را در نقاط بحرانی و در مرزهای فاصله پیدا کنید. اگر نقاط بحرانی روی بخش قرار نگیرند (یا وجود نداشته باشند)، مقادیر تابع فقط در مرزهای بخش یافت می شوند.

3). از مقادیر تابع به دست آمده، بزرگترین و کوچکترین را انتخاب کنید و پاسخ را به عنوان مثال به شکل زیر بنویسید: ; .

حل مسئله

مثال 2.1. دیفرانسیل تابع را پیدا کنید: .

راه حل.بر اساس خاصیت 2 دیفرانسیل یک تابع و تعریف دیفرانسیل، داریم:

مثال 2.2. دیفرانسیل تابع را پیدا کنید:

راه حل. تابع را می توان به صورت زیر نوشت: , . سپس داریم:

مثال 2.3. مشتق دوم تابع را پیدا کنید:

راه حل. بیایید تابع را تبدیل کنیم.

بیایید اولین مشتق را پیدا کنیم:

بیایید مشتق دوم را پیدا کنیم:

.

مثال 2.4. دیفرانسیل مرتبه دوم تابع را پیدا کنید .

راه حل.بیایید دیفرانسیل مرتبه دوم را بر اساس عبارت برای محاسبه پیدا کنیم:

بیایید ابتدا اولین مشتق را پیدا کنیم:

; بیایید مشتق دوم را پیدا کنیم: .

مثال 2.5. ضریب زاویه ای مماس بر منحنی رسم شده در نقطه با آبسیسا را ​​بیابید. x=2 .

راه حل. بر اساس معنای هندسی مشتق، داریم که شیب برابر با مشتق تابع در نقطه ای است که آبسیسا برابر است با ایکس . پیدا خواهیم کرد .

بیایید ضریب زاویه ای مماس بر نمودار تابع را محاسبه کنیم.

مثال 2.6. جمعیت باکتری ها در یک نقطه از زمان تی (تیبر حسب ساعت اندازه گیری می شود) مجموع اشخاص حقیقی. سرعت رشد باکتری ها را پیدا کنید. سرعت رشد باکتری ها را در یک زمان معین پیدا کنید t=5ساعت ها.

راه حل.سرعت رشد یک جمعیت باکتریایی اولین مشتق با توجه به زمان است تی: .

اگر t=5ساعت، سپس . بنابراین سرعت رشد باکتری ها 1000 نفر در ساعت خواهد بود.

مثال 2.7. واکنش بدن به داروی تجویز شده ممکن است به صورت افزایش فشار خون، کاهش دمای بدن، تغییر در ضربان قلب یا سایر شاخص های فیزیولوژیکی بیان شود. درجه واکنش بستگی به دوز تجویز شده دارو دارد. اگر ایکسدوز داروی تجویز شده و درجه واکنش را نشان می دهد درتوسط تابع توصیف شده است . با چه ارزشی ایکسآیا واکنش حداکثر است؟

راه حل. بیایید مشتق را پیدا کنیم .

بیایید نکات مهم را پیدا کنیم: ⇒ . ⇒ در نتیجه، دو نکته مهم داریم: . مقدار شرایط کار را برآورده نمی کند.

بیایید مشتق دوم را پیدا کنیم . بیایید مقدار مشتق دوم را در محاسبه کنیم. . این بدان معنی است - سطح دوزی که حداکثر پاسخ را می دهد.

مثال هایی برای حل خود

دیفرانسیل تابع را پیدا کنید:

1. .

2. .

3. .

4.

مشتق دوم توابع زیر را بیابید:

6. .

مشتقات مرتبه دوم را پیدا کنید و دیفرانسیل های مرتبه دوم را برای توابع زیر بنویسید:

9. .

11. تابع extremum را بررسی کنید.

12. بزرگترین و کوچکترین مقادیر یک تابع را بیابید در بخش

13. فواصل افزایش و کاهش تابع، حداکثر و حداقل نقاط و نقاط تقاطع با محورها را بیابید:

14. قانون حرکت یک نقطه شکل دارد . قانون سرعت و شتاب این نقطه را تعیین کنید.

15. معادله حرکت یک نقطه شکل (m) دارد. 1) موقعیت نقطه را در زمان های s و s پیدا کنید. 2) سرعت متوسط ​​برای زمان سپری شده بین این نقاط در زمان. 3) سرعت های لحظه ای در زمان های مشخص. 4) شتاب متوسط ​​در یک دوره زمانی مشخص. 5) شتاب های لحظه ای در زمان های مشخص.

تکلیف خانه.

تمرین:

دیفرانسیل تابع را پیدا کنید:

1. ;

2. ;

مشتقات مرتبه دوم تابع را پیدا کنید:

4.

5.

دیفرانسیل های مرتبه دوم را پیدا کنید

6. .

7. نقطه طبق قانون به صورت مستقیم حرکت می کند. محاسبه سرعت و شتاب در زمان ها و .

فواصل توابع افزایش و کاهش را بیابید:

9. .

10. هنگامی که گلوکز تزریق می شود، محتوای آن در خون انسان، در واحدهای مناسب، پس از بیان می شود. تیساعت خواهد بود . سرعت تغییر گلوکز خون را در a) بیابید. t = 1 h; ب) t = 2ساعت

تئوری.

1. سخنرانی با موضوع «مشتقات و دیفرانسیل توابع چندین آرگومان. استفاده از تابع دیفرانسیل چندین آرگومان."

2. درس 3 این راهنما.

3. پاولوشکوف I.V. و دیگران ص 101-113، 118-121.

درس 3. مشتقات و دیفرانسیل یک تابع از چندین آرگومان

ارتباط موضوع: این بخش از ریاضیات به طور گسترده ای در حل تعدادی از مسائل کاربردی استفاده می شود، زیرا بسیاری از پدیده های فیزیکی، بیولوژیکی و شیمیایی با وابستگی نه به یک، بلکه به چندین متغیر (عامل) مشخص می شوند.

هدف درس: یاد بگیرید مشتقات جزئی و دیفرانسیل توابع چندین متغیر را پیدا کنید.

وظایف هدف:

know: مفهوم تابعی از دو متغیر; مفهوم مشتقات جزئی تابعی از دو متغیر. مفهوم دیفرانسیل کامل و جزئی تابعی از چندین متغیر.

بتواند: مشتقات و دیفرانسیل توابع چند متغیر را بیابد.

اطلاعات مختصری از درس تئوری

مفاهیم اساسی

متغیر z تابعی از دو آرگومان x و y نامیده می‌شود که به برخی از جفت‌ها مقدار z بر اساس قانون یا قانون خاصی اختصاص داده شود. تابعی از دو آرگومان با نشان داده می شود.

تابع به عنوان یک سطح در یک سیستم مختصات مستطیلی در فضا مشخص می شود. نمودار یک تابع از دو متغیر مجموعه ای از نقاط در فضای سه بعدی x است

کار نامیده می شود دیفرانسیل جزئیتابع z=f(x,y)by ایکسو تعیین شده اند.

تابع دیفرانسیل کامل

دیفرانسیل یک تابع مجموع حاصل از مشتقات جزئی این تابع و افزایش متغیرهای مستقل مربوطه است، یعنی. . زیرا و سپس می توانیم بنویسیم: یا .