فرمول های ضرب ساده شده فرمول ضرب اختصاری با مثال

فرمول ضرب مختصر

مطالعه فرمول های ضرب اختصاری: مربع مجموع و مربع تفاضل دو عبارت. تفاوت مربع های دو عبارت؛ مکعب مجموع و مکعب تفاضل دو عبارت; مجموع و تفاوت مکعب های دو عبارت.

استفاده از فرمول ضرب اختصاری هنگام حل مثال.

برای ساده کردن عبارات، چند جمله ای ها را عامل، چند جمله ای ها را کاهش دهید نمای استاندارداز فرمول های ضرب مختصر استفاده می شود. فرمول‌های ضرب اختصاری باید از روی قلب شناخته شوند.

بگذارید a، b R. سپس:

1. مجذور مجموع دو عبارت برابر است بامربع عبارت اول به اضافه دو برابر حاصل ضرب عبارت اول و دومی به علاوه مربع عبارت دوم.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

2. مجذور اختلاف دو عبارت برابر است بامربع عبارت اول منهای دو برابر حاصل ضرب عبارت اول و دومی به اضافه مربع عبارت دوم.

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

3. تفاوت مربع هادو عبارت برابر است با حاصل ضرب تفاضل این عبارات و مجموع آنها.

a 2 - b 2 = (a -b) (a+b)

4. مکعب جمعدو عبارت برابر است با مکعب عبارت اول به اضافه سه برابر حاصل ضرب مجذور عبارت اول و دوم به علاوه سه برابر حاصل ضرب عبارت اول و مربع دومی به علاوه مکعب عبارت دوم.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. مکعب تفاوتدو عبارت برابر است با مکعب عبارت اول منهای سه برابر حاصل ضرب مجذور عبارت اول و دومی به علاوه سه برابر حاصلضرب عبارت اول و مربع دومی منهای مکعب عبارت دوم.

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

6. مجموع مکعب هادو عبارت برابر است با حاصل ضرب مجموع عبارت اول و دوم و مجذور ناقص تفاضل این عبارات.

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)

7. تفاوت مکعب هادو عبارت برابر است با حاصل ضرب اختلاف عبارت اول و دوم در مجذور ناقص مجموع این عبارات.

a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

استفاده از فرمول ضرب اختصاری هنگام حل مثال.

مثال 1.

محاسبه کنید

الف) با استفاده از فرمول مجذور مجموع دو عبارت، داریم

(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

ب) با استفاده از فرمول مجذور اختلاف دو عبارت بدست می آوریم

98 2 = (100 - 2) 2 = 100 2 - 2 100 2 + 2 2 = 10000 - 400 + 4 = 9604

مثال 2.

محاسبه کنید

با استفاده از فرمول تفاضل مربع های دو عبارت، به دست می آوریم

مثال 3.

یک عبارت را ساده کنید

(x - y) 2 + (x + y) 2

بیایید از فرمول های مجذور مجموع و مجذور اختلاف دو عبارت استفاده کنیم

(x - y) 2 + (x + y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 = 2x 2 + 2y 2

فرمول ضرب اختصاری در یک جدول:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

چه زمانی و غیره در زیر ما به محبوب ترین فرمول ها نگاه خواهیم کرد و نحوه به دست آوردن آنها را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد.

مربع مجموع

اجازه دهید مجموع دو تک جمله را مجذور کنیم، مانند این: \((a+b)^2\). مربع کردن عبارت است از ضرب یک عدد یا عبارت در خودش، یعنی \((a+b)^2=(a+b)(a+b)\). اکنون می‌توانیم به سادگی پرانتزها را باز کنیم، آن‌ها را همانطور که انجام دادیم ضرب کنیم و عبارت‌های مشابه بیاوریم. دریافت می کنیم:

و اگر محاسبات میانی را حذف کنیم و فقط عبارات اولیه و پایانی را بنویسیم، فرمول نهایی به دست می آید:

مجموع مربع:\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)

اکثر دانش آموزان آن را از روی قلب یاد می گیرند. و اکنون می دانید که چگونه این فرمول را استخراج کنید، و اگر ناگهان فراموش کردید، همیشه می توانید آن را انجام دهید.
خوب، اما چگونه از آن استفاده کنیم و چرا این فرمول مورد نیاز است؟ مربع مجموع به شما اجازه می دهد تا به سرعت نتیجه حاصل از مجموع دو جمله را بنویسید. بیایید به یک مثال نگاه کنیم.

مثال . گسترش پرانتز: \((x+5)^2\)
راه حل :

توجه کنید که در مورد دوم چقدر سریعتر و با تلاش کمتر نتیجه حاصل شد. و وقتی به این فرمول و سایر فرمول‌ها تا حد خودکارسازی تسلط داشته باشید، سریع‌تر هم می‌شوید: می‌توانید به سادگی پاسخ را فوراً بنویسید. به همین دلیل است که به آنها فرمول های ضرب کاهش یافته می گویند. بنابراین، دانستن آنها و یادگیری استفاده از آنها قطعا ارزشش را دارد.

فقط در مورد، ما توجه داشته باشید که به عنوان \(a\)و \(b\)هر عبارتی می تواند وجود داشته باشد - اصل یکسان است. به عنوان مثال:

اگر به طور ناگهانی برخی از تغییرات را در دو مثال آخر متوجه نشدید، موضوع را تکرار کنید.

مثال . عبارت \((1+5x)^2-12x-1 \) را به فرم استاندارد تبدیل کنید.

راه حل :

پاسخ: \(25x^2-2x\).

مهم!لازم است یاد بگیرید که از فرمول ها نه تنها در جهت "به جلو" بلکه در جهت "عکوس" استفاده کنید.

مثال . مقدار عبارت \((368)^2+2·368·132+(132)^2\) را بدون ماشین حساب محاسبه کنید.

راه حل :

پاسخ: \(250 000\).

اختلاف مربع

در بالا فرمول مجموع مونومی ها را پیدا کردیم. بیایید اکنون فرمول تفاوت را پیدا کنیم، یعنی برای \((a-b)^2\):

به شکل مختصرتر داریم:

اختلاف مربع: \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)

به همان روش قبلی استفاده می شود.

مثال . عبارت \((2a-3)^2-4(a^2-a)\) را ساده کرده و مقدار آن را در \(a=\frac(17)(8)\) بیابید.

راه حل :

پاسخ: \(8\).

تفاوت مربع ها

بنابراین، ما به موقعیت های حاصل ضرب دو براکت با یک مثبت در آنها و دو براکت با منهای پرداخته ایم. حالت باقیمانده حاصل پرانتزهای یکسان با علائم مختلف است. بیایید ببینیم چه اتفاقی می افتد:

ما فرمول را دریافت کردیم:

تفاوت مربع ها \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)

این فرمول یکی از پرکاربردترین ها در هنگام کار با آن است.

مثال . کسر \(\frac(x^2-9)(x-3)\) را کاهش دهید.

راه حل :

پاسخ: \(x+3\).

مثال .Factorize \(25x^4-m^(10) t^6\).
راه حل :

اینها سه فرمول اساسی هستند که باید بدانید لزوما! همچنین فرمول هایی با مکعب ها وجود دارد (به بالا مراجعه کنید)، همچنین توصیه می شود آنها را به خاطر بسپارید یا بتوانید به سرعت آنها را استخراج کنید. اجازه دهید همچنین توجه داشته باشیم که در عمل، چندین فرمول از این قبیل اغلب در یک مشکل به طور همزمان مواجه می شوند - این طبیعی است. فقط یاد بگیرید که به فرمول ها توجه کنید و آنها را با دقت اعمال کنید، و همه چیز خوب خواهد بود.

مثال (پیشرفته!) کسر را کم کنید.
راه حل :

\(\frac(x^2-4xy-9+4y^2)(x-2y+3)\)\(=\)		در نگاه اول، این یک وحشت آرام است و هیچ کاری نمی توان در مورد آن انجام داد (ما به طور جدی گزینه "دراز بکش و بمیر" را بررسی نمی کنیم). با این حال، بیایید سعی کنیم دو جمله آخر صورت را عوض کنیم و پرانتزها را اضافه کنیم (فقط برای وضوح).
\(\frac((x^2-4xy+4y^2)-9)(x-2y+3)\)\(=\)		حال بیایید اصطلاحات داخل پرانتز را کمی تغییر دهیم: \(4xy\) به صورت \(2 x 2y\) می نویسیم، و \(4y^2\) به عنوان \((2y)^2\).
\(\frac((x^2-4xy+(2y)^2)-9)(x-2y+3)\)\(=\)		حالا بیایید نگاه دقیق‌تری بیندازیم و توجه کنیم که در پرانتز فرمولی برای اختلاف مجذور داریم که \(a=x\)، \(b=2y\) دارد. در امتداد آن به شکل براکت در یک مربع جمع می‌شویم. و در همان زمان 9 را به صورت مربع \(3\) نشان می دهیم.
\(\frac((x-2y)^2-3^2)(x-2y+3)\)\(=\)		یک بار دیگر با دقت به عددگر نگاه می کنیم ... فکر کنید ... فکر کنید ... و به فرمول تفاوت مربع ها توجه می کنیم که دارای \(a=(x-2y)\)، \(b=3\) است. . آن را به حاصل ضرب دو براکت تجزیه می کنیم.
\(\frac((x-2y-3)(x-2y+3))(x-2y+3)\)\(=\)		و حالا براکت دوم صورت و تمام مخرج را کاهش می دهیم.
		پاسخ آماده است.

محتوای درس

مربع مجموع دو عبارت

تعدادی از موارد وجود دارد که ضرب یک چند جمله ای در یک چند جمله ای را می توان تا حد زیادی ساده کرد. به عنوان مثال، این مورد است (2 x+ 3y) 2 .

بیان (2 x+ 3y) 2 ضرب دو چند جمله ای است که هر کدام برابر است با (2 x+ 3y)

(2x+ 3y) 2 = (2x+ 3y)(2x+ 3y)

ما ضرب یک چند جمله ای را در یک چند جمله ای به دست آوردیم. بیایید آن را اجرا کنیم:

(2x+ 3y) 2 = (2x+ 3y)(2x+ 3y) = 4x 2 + 6xy + 6xy + 9y 2 = 4x 2 + 12xy+ 9y 2

یعنی عبارت (2 x+ 3y) 2 برابر است 4x 2 + 12xy + 9y 2

(2x+ 3y) 2 = 4x 2 + 12xy+ 9y 2

بیایید یک مثال مشابه را حل کنیم که ساده تر است:

(a+b) 2

بیان ( a+b) 2 ضرب دو چند جمله ای است که هر کدام برابر است با ( a+b)

(a+b) 2 = (a+b)(a+b)

بیایید این ضرب را انجام دهیم:

(a+b) 2 = (a+b)(a+b) = الف 2 + ab + ab + ب 2 = الف 2 + 2ab + ب 2

یعنی بیان (a+b) 2 برابر است الف 2 + 2ab + ب 2

(a+b) 2 = الف 2 + 2ab + ب 2

معلوم می شود که مورد ( a+b) 2 را می توان به هر کدام گسترش داد الفو ب. اولین مثالی که حل کردیم، یعنی (2 x+ 3y) 2 را می توان با استفاده از هویت حل کرد (a+b) 2 = الف 2 + 2ab + ب 2 . برای این کار باید به جای متغیرها جایگزین کنید الفو باصطلاحات مربوطه از عبارت (2 x+ 3y) 2 . در این حالت متغیر الفمربوط به عضو 2 است x، و متغیر بمربوط به عضو 3 است y

الف = 2x

ب = 3y

و سپس می توانیم از هویت استفاده کنیم (a+b) 2 = الف 2 + 2ab + ب 2 ، اما به جای متغیرها الفو بباید عبارات 2 را جایگزین کنید xو 3 yبه ترتیب:

(2x+ 3y) 2 = (2x) 2 + 2 × 2 x× 3 y + (3y) 2 = 4x 2 + 12xy+ 9y 2

درست مثل دفعه قبل که چند جمله ای گرفتیم 4x 2 + 12xy+ 9y 2 . راه حل معمولاً به طور خلاصه نوشته می شود و تمام دگرگونی های اولیه را در ذهن انجام می دهد:

(2x+ 3y) 2 = 4x 2 + 12xy+ 9y 2

هویت (a+b) 2 = الف 2 + 2ab + ب 2 فرمول مجذور مجموع دو عبارت را نامیده می شود. این فرمول را می توان به صورت زیر خواند:

مجذور مجموع دو عبارت برابر است با مجذور عبارت اول به اضافه دو برابر حاصل ضرب عبارت اول و دومی به علاوه مربع عبارت دوم.

عبارت (2 + 3) 2 را در نظر بگیرید. می توان آن را به دو روش محاسبه کرد: جمع را در پرانتز انجام دهید و نتیجه حاصل را مربع کنید یا از فرمول مجذور مجموع دو عبارت استفاده کنید.

راه اول:

(2 + 3) 2 = 5 2 = 25

راه دوم:

(2 + 3) 2 = 2 2 + 2 × 2 × 3 + 3 2 = 4 + 12 + 9 = 25

مثال 2. تبدیل عبارت (5 الف+ 3) 2 به یک چند جمله ای.

بیایید از فرمول مجذور مجموع دو عبارت استفاده کنیم:

(a+b) 2 = الف 2 + 2ab + ب 2

(5a+ 3) 2 = (5الف) 2 + 2 × 5 یک × 3 + 3 2 = 25الف 2 + 30الف + 9

یعنی (5a+ 3) 2 = 25الف 2 + 30الف + 9.

بیایید سعی کنیم این مثال را بدون استفاده از مربع فرمول جمع حل کنیم. ما باید همین نتیجه را بگیریم:

(5a+ 3) 2 = (5a+ 3)(5a+ 3) = 25الف 2 + 15الف + 15الف + 9 = 25الف 2 + 30الف + 9

فرمول مجذور مجموع دو عبارت است معنی هندسی. به یاد داریم که برای محاسبه مساحت یک مربع باید ضلع آن را به توان دوم برسانیم.

به عنوان مثال، مساحت یک مربع با ضلع الفبرابر خواهد بود الف 2. اگر ضلع مربع را افزایش دهید ب، سپس مساحت برابر با ( a+b) 2

شکل زیر را در نظر بگیرید:

بیایید تصور کنیم که ضلع مربع نشان داده شده در این شکل افزایش یافته است ب. یک مربع همه اضلاع برابر است. اگر ضلع آن افزایش یابد ب، سپس اضلاع باقی مانده نیز افزایش می یابد ب

نتیجه یک مربع جدید است که بزرگتر از مربع قبلی است. برای اینکه آن را به وضوح ببینید، بیایید اضلاع از دست رفته را کامل کنیم:

برای محاسبه مساحت این مربع، می توانید مربع ها و مستطیل های موجود در آن را جداگانه محاسبه کنید، سپس نتایج را اضافه کنید.

ابتدا می توانید مربع با ضلع را محاسبه کنید الف- مساحت آن برابر خواهد بود الف 2. سپس می توانید مستطیل ها را با اضلاع محاسبه کنید الفو ب- برابر خواهند بود ab. سپس می توانید مربع را با ضلع محاسبه کنید ب

نتیجه حاصل مجموع مناطق زیر است:

الف 2 + ab+ab + ب 2

مجموع مساحت مستطیل های یکسان را می توان با ضرب 2 جایگزین کرد ab، که به معنای واقعی کلمه خواهد بود "تکرار ناحیه مستطیل ab دو بار" . از نظر جبری این با ریخته گری به دست می آید اصطلاحات مشابه abو ab. نتیجه بیان است الف 2 + 2ab+ ب 2 ، که سمت راست فرمول مجذور مجموع دو عبارت است:

(a+b) 2 = الف 2 + 2ab+ ب 2

مربع اختلاف دو عبارت

فرمول مجذور اختلاف دو عبارت به صورت زیر است:

(a - b) 2 = الف 2 − 2ab + ب 2

مجذور اختلاف دو عبارت برابر است با مربع عبارت اول منهای دو برابر حاصلضرب عبارت اول و دومی به اضافه مربع عبارت دوم.

فرمول مجذور اختلاف دو عبارت به همان روشی که فرمول مجذور مجموع دو عبارت به دست می آید. بیان ( a - b) 2 حاصل ضرب دو چند جمله ای است که هر کدام برابر است با ( a - b)

(a - b) 2 = (a - b)(a - b)

اگر این ضرب را انجام دهید، یک چند جمله ای به دست می آید الف 2 − 2ab + ب 2

(a - b) 2 = (a - b)(a - b) = الف 2 − ab− ab+ ب 2 = الف 2 − 2ab + ب 2

مثال 1. تبدیل عبارت (7 x− 5) 2 به یک چند جمله ای.

بیایید از فرمول مربع اختلاف دو عبارت استفاده کنیم:

(a - b) 2 = الف 2 − 2ab + ب 2

(7x− 5) 2 = (7x) 2 − 2 × 7 x × 5 + 5 2 = 49x 2 − 70x + 25

یعنی (7x− 5) 2 = 49x 2 + 70x + 25.

بیایید سعی کنیم این مثال را بدون استفاده از فرمول اختلاف مربع حل کنیم. ما باید همین نتیجه را بگیریم:

(7x− 5) 2 = (7x− 5) (7x− 5) = 49x 2 − 35x − 35x + 25 = 49x 2 − 70x+ 25.

فرمول مربع اختلاف دو عبارت نیز معنای هندسی دارد. اگر مساحت مربع با ضلع الفبرابر با الف 2، سپس مساحت مربعی که ضلع آن کاهش یافته است ب، برابر خواهد بود با ( a - b) 2

شکل زیر را در نظر بگیرید:

بیایید تصور کنیم که ضلع مربع نشان داده شده در این شکل کاهش می یابد ب. یک مربع همه اضلاع برابر است. اگر یک طرف کاهش یابد ب، سپس اضلاع باقی مانده نیز کاهش می یابد ب

نتیجه یک مربع جدید است که از مربع قبلی کوچکتر است. در تصویر با رنگ زرد مشخص شده است. طرف آن برابر است الف− بچون طرف قدیمی الفکاهش یافته است ب. برای محاسبه مساحت این مربع می توانید از مساحت اصلی مربع استفاده کنید الف 2 مساحت مستطیل هایی را که در فرآیند کاهش اضلاع مربع قدیمی به دست آمده اند کم کنید. بیایید این مستطیل ها را نشان دهیم:

سپس می توانید عبارت زیر را بنویسید: مربع قدیمی الفمساحت 2 منهای abمساحت منهای ( a - b)ب

الف 2 − ab − (a - b)ب

بیایید پرانتز را در عبارت ( a - b)ب

الف 2 − ab-ab + ب 2

بیایید به اصطلاحات مشابه نگاه کنیم:

الف 2 − 2ab + ب 2

نتیجه بیان است الف 2 − 2ab + ب 2 ، که سمت راست فرمول مربع اختلاف دو عبارت است:

(a - b) 2 = الف 2 − 2ab + ب 2

به طور کلی فرمول مجموع مجذور و اختلاف مجذور نامیده می شود فرمول ضرب مختصر. این فرمول ها می توانند به طور قابل توجهی فرآیند ضرب چند جمله ای ها را ساده و سرعت بخشند.

قبلاً گفتیم که هنگام در نظر گرفتن عضوی از یک چند جمله ای به طور جداگانه باید آن را همراه با علامتی که در مقابل آن قرار دارد در نظر گرفت.

اما هنگام استفاده از فرمول های ضرب اختصاری، علامت چند جمله ای اصلی نباید به عنوان علامت خود این عبارت در نظر گرفته شود.

برای مثال، اگر عبارت (5 x − 2y) 2 و می خواهیم از فرمول استفاده کنیم (a - b) 2 = الف 2 − 2ab + ب 2 ، سپس به جای آن بنیاز به جایگزینی 2 y، نه -2 y. این ویژگی کار با فرمول هاست که نباید فراموش شود.

(5x − 2y) 2
الف = 5x
ب = 2y
(5x − 2y) 2 = (5x) 2 − 2 × 5 x× 2 y + (2y) 2 = 25x 2 − 20xy + 4y 2

اگر −2 را جایگزین کنیم y، پس این بدان معنی است که تفاوت در پرانتز عبارت اصلی با مجموع جایگزین شده است:

(5x − 2y) 2 = (5x + (−2y)) 2

و در این مورد، شما باید از فرمول اختلاف مربع استفاده نکنید، بلکه از فرمول مجموع مجذور استفاده کنید:

(5x + (−2y) 2
الف = 5x
ب = −2y
(5x + (−2y)) 2 = (5x) 2 + 2 × 5 x× (-2 y) + (−2y) 2 = 25x 2 − 20xy + 4y 2

یک استثنا ممکن است عبارات فرم باشد (x− (−y)) 2 . در این مورد با استفاده از فرمول (a - b) 2 = الف 2 − 2ab + ب 2 به جای بباید جایگزین شود (- y)

(x− (−y)) 2 = x 2 − 2 × x× (− y) + (−y) 2 = x 2 + 2xy + y 2

اما عبارات مربع شکل x − (−y، جایگزین کردن تفریق با جمع راحت تر خواهد بود x+y. سپس عبارت اصلی به شکل ( x+y) 2 و می توان از فرمول مجذور مجموع به جای تفاوت استفاده کرد:

(x+y) 2 = x 2 + 2xy + y 2

مکعب مجموع و مکعب تفاوت

فرمول مکعب مجموع دو عبارت و مکعب تفاضل دو عبارت به شرح زیر است:

(الف + ب) 3 = الف 3 + 3الف 2 ب + 3ab 2 + ب 3

(a - b) 3 = الف 3 − 3الف 2 ب + 3ab 2 − ب 3

فرمول مکعب مجموع دو عبارت را می توان به صورت زیر خواند:

مکعب مجموع دو عبارت برابر است با مکعب عبارت اول به اضافه سه برابر حاصل ضرب مجذور عبارت اول و دوم به علاوه سه برابر حاصل ضرب عبارت اول و مربع دومی به علاوه مکعب عبارت اول. بیان دوم

و فرمول مکعب تفاوت بین دو عبارت را می توان به صورت زیر خواند:

مکعب اختلاف دو عبارت برابر است با مکعب عبارت اول منهای سه برابر حاصل ضرب مربع اولین عبارت و دوم به علاوه سه برابر حاصلضرب عبارت اول و مربع دوم منهای مکعب عبارت اول. بیان دوم

هنگام حل مسائل، توصیه می شود این فرمول ها را از روی قلب بدانید. اگه یادتون نمیاد مشکلی نیست! می توانید خودتان آنها را حذف کنید. ما قبلاً می دانیم که چگونه این کار را انجام دهیم.

بیایید خودمان فرمول مکعب حاصل را استخراج کنیم:

(a+b) 3

بیان ( a+b) 3 حاصل ضرب سه چند جمله ای است که هر کدام برابر است با ( الف+ ب)

(a+b) 3 = (الف+ ب)(الف+ ب)(الف+ ب)

اما بیان ( a+b) 3 را می توان به صورت هم نوشت (الف+ ب)(الف+ ب) 2

(a+b) 3 = (الف+ ب)(الف+ ب) 2

در این حالت عامل ( الف+ ب) 2 مجذور مجموع دو عبارت است. این مربع از مجموع برابر با عبارت است الف 2 + 2ab + ب 2 .

سپس ( a+b) 3 را می توان به صورت نوشتاری کرد (الف+ ب)(الف 2 + 2ab + ب 2) .

(a+b) 3 = (الف+ ب)(الف 2 + 2ab + ب 2)

و این ضرب یک چند جمله ای در یک چند جمله ای است. بیایید آن را اجرا کنیم:

(a+b) 3 = (الف+ ب)(الف 2 + 2ab + ب 2) = الف 3 + 2الف 2 ب + ab 2 + الف 2 ب + 2ab 2 + ب 3 = الف 3 + 3الف 2 ب + 3ab 2 + ب 3

به طور مشابه، می توانید فرمول مکعب تفاوت دو عبارت را استخراج کنید:

(a - b) 3 = (a - ب)(الف 2 − 2ab + ب 2) = الف 3 − 2الف 2 ب + ab 2 − الف 2 ب + 2ab 2 − ب 3 = الف 3 − 3الف 2 ب+ 3ab 2 − ب 3

مثال 1. تبدیل عبارت ( x+ 1) 3 به یک چند جمله ای.

(الف + ب) 3 = الف 3 + 3الف 2 ب + 3ab 2 + ب 3

(x+ 1) 3 = x 3+3× x 2 × 1 + 3 × x× 1 2 + 1 3 = x 3 + 3x 2 + 3x + 1

بیایید سعی کنیم این مثال را بدون استفاده از فرمول مکعب مجموع دو عبارت حل کنیم

(x+ 1) 3 = (x+ 1)(x+ 1)(x+ 1) = (x+ 1)(x 2 + 2x + 1) = x 3 + 2x 2 + x + x 2 + 2x + 1 = x 3 + 3x 2 + 3x + 1

مثال 2. تبدیل بیان (6الف 2 + 3ب 3) 3 به یک چند جمله ای

بیایید از فرمول مکعب مجموع دو عبارت استفاده کنیم:

(الف + ب) 3 = الف 3 + 3الف 2 ب + 3ab 2 + ب 3

(6الف 2 + 3ب 3) 3 = (6الف 2) 3 + 3 × (6 الف 2) 2×3 ب 3 + 3 × 6 الف 2 × (3ب 3) 2 + (3ب 3) 3 = 216الف 6 + 3 × 36 الف 4×3 ب 3 + 3 × 6 الف 2×9 ب 6 + 27ب 9

مثال 3. تبدیل عبارت ( n 2 - 3) 3 به یک چند جمله ای.

(a - b) = الف 3 − 3الف 2 ب + 3ab 2 − ب 3

(n 2 − 3) 3 = (n 2) 3 − 3 × ( n 2) 2 × 3 + 3 × n 2 × 3 2 − 3 3 = n 6 − 9n 4 + 27n 2 − 27

مثال 4. تبدیل بیان (2x 2 − x 3) 3 به یک چند جمله ای

بیایید از فرمول مکعب تفاوت دو عبارت استفاده کنیم:

(a - b) = الف 3 − 3الف 2 ب + 3ab 2 − ب 3

(2x 2 − x 3) 3 = (2x 2) 3 − 3 × (2 x 2) 2× x 3 + 3 × 2 x 2×( x 3) 2 − (x 3) 3 =
8x 6 − 3 × 4 x 4× x 3 + 3 × 2 x 2× x 6 − x 9 =
8x 6 − 12x 7 + 6x 8 − x 9

ضرب اختلاف دو عبارت در مجموع آنها

مشکلاتی وجود دارد که در آنها باید اختلاف دو عبارت را در مجموع آنها ضرب کنید. به عنوان مثال:

(a - b)(a+b)

در این عبارت تفاوت دو عبارت است الفو بضرب در مجموع همان دو عبارت. بیایید این ضرب را انجام دهیم:

(a - b)(a+b) = الف 2 + ab − ab − ب 2 = الف 2 − ب 2

یعنی بیان (a - b)(a+b) برابر است الف 2 − ب 2

(a - b)(a+b) = الف 2 − ب 2

می بینیم که وقتی اختلاف دو عبارت را در مجموع آنها ضرب کنیم، اختلاف مجذورات این عبارات را به دست می آوریم.

حاصل ضرب تفاضل دو عبارت و مجموع آنها برابر است با اختلاف مجذورهای این عبارات.

اتفاق می افتد (a - b)(a+b) می تواند برای هر کسی توزیع شود الفو ب. به عبارت ساده، اگر هنگام حل یک مسئله، باید اختلاف دو عبارت را در مجموع آنها ضرب کنید، این ضرب را می توان با اختلاف مربع های این عبارات جایگزین کرد.

مثال 1. ضرب را انجام دهید (2x − 5)(2x + 5)

در این مثال، تفاوت عبارات 2 است xو 5 ضرب در مجموع همان عبارات. سپس طبق فرمول (a - b)(a+b) = الف 2 − ب 2 ما داریم:

(2x − 5)(2x + 5) = (2x) 2 − 5 2

بیایید سمت راست را محاسبه کنیم، 4 می گیریم x 2 − 25

(2x − 5)(2x + 5) = (2x) 2 − 5 2 = 4x 2 − 25

بیایید سعی کنیم این مثال را بدون استفاده از فرمول حل کنیم (a - b)(a+b) = الف 2 − ب 2 . ما همان نتیجه را خواهیم گرفت 4 x 2 − 25

(2x − 5)(2x + 5) = 4x 2 − 10x + 10x − 25 = 4x 2 − 25

مثال 2. ضرب را انجام دهید (4x − 5y)(4x + 5y)

(a - b)(a+b) = الف 2 − ب 2

(4x − 5y)(4x + 5y) = (4x) 2 − (5y) 2 = 16x 2 − 25y 2

مثال 3. ضرب را انجام دهید (2الف+ 3ب)(2الف− 3ب)

بیایید از فرمول ضرب اختلاف دو عبارت در مجموع آنها استفاده کنیم:

(a - b)(a+b) = الف 2 − ب 2

(2a+ 3ب)(2a - 3ب) = (2الف) 2 − (3ب) 2 = 4الف 2 − 9ب 2

در این مثال، مجموع عبارت ها 2 است الفو 3 بزودتر از تفاوت این اصطلاحات قرار گرفت. و در فرمول (a - b)(a+b) = الف 2 − ب 2 تفاوت زودتر مشخص شده است.

نحوه چیدمان عوامل فرقی نمی کند ( a - b) V ( a+b) در فرمول. می توان آنها را به صورت نوشتاری کرد (a - b)(a+b) ، بنابراین (a+b)(a - b) . نتیجه همچنان برابر خواهد بود الف 2 − ب 2، از آنجایی که محصول با تنظیم مجدد فاکتورها تغییر نمی کند.

بنابراین در این مثال، عوامل (2 a+ 3ب) و (2 a - 3ب) می تواند به صورت نوشته شود (2a+ 3ب)(2a - 3ب) ، بنابراین (2a - 3ب)(2a+ 3ب) . نتیجه همچنان 4 خواهد بود الف 2 − 9ب 2 .

مثال 3. ضرب را انجام دهید (7 + 3x)(3x − 7)

بیایید از فرمول ضرب اختلاف دو عبارت در مجموع آنها استفاده کنیم:

(a - b)(a+b) = الف 2 − ب 2

(7 + 3x)(3x − 7) = (3x) 2 − 7 2 = 9x 2 − 49

مثال 4. ضرب را انجام دهید (x 2 − y 3)(x 2 + y 3)

(a - b)(a+b) = الف 2 − ب 2

(x 2 − y 3)(x 2 + y 3) = (x 2) 2 − (y 3) 2 = x 4 − y 6

مثال 5. ضرب را انجام دهید (−5x− 3y)(5x− 3y)

در عبارت (-5 x− 3y) −1 را خارج از پرانتز قرار می دهیم، سپس عبارت اصلی به شکل زیر خواهد بود:

(−5x− 3y)(5x− 3y) = −1(5x + 3y)(5x − 3y)

کار کنید (5x + 3y)(5x − 3y) آن را با اختلاف مربع ها جایگزین کنید:

(−5x− 3y)(5x− 3y) = −1(5x + 3y)(5x − 3y) = −1((5x) 2 − (3y) 2)

اختلاف مربع ها در داخل پرانتز قرار گرفت. اگر این کار انجام نشود، معلوم می شود که -1 فقط در (5) ضرب می شود x) 2 . و این منجر به خطا و تغییر در مقدار عبارت اصلی می شود.

(−5x− 3y)(5x− 3y) = −1(5x + 3y)(5x − 3y) = −1((5x) 2 − (3y) 2) = −1(25x 2 − 9x 2)

حالا 1- را در عبارت داخل پرانتز ضرب کنید و نتیجه نهایی را بگیرید:

(−5x− 3y)(5x− 3y) = −1(5x + 3y)(5x − 3y) = −1((5x) 2 − (3y) 2) =
−1(25x 2 − 9y 2) = −25x 2 + 9y 2

ضرب اختلاف دو عبارت در مجذور جزئی مجموع آنها

مشکلاتی وجود دارد که در آنها باید اختلاف دو عبارت را در مجذور جزئی مجموع آنها ضرب کنید. این قطعه به شکل زیر است:

(a - b)(الف 2 + ab + ب 2)

اولین چند جمله ای ( a - b) تفاوت دو عبارت است و دومی چند جمله ای است (الف 2 + ab + ب 2) مربع جزئی مجموع این دو عبارت است.

مربع جزئی مجموع چند جمله ای شکل است الف 2 + ab + ب 2 . به نظر می رسد یک مجموع منظم مربع است الف 2 + 2ab + ب 2

مثلاً عبارت 4x 2 + 6xy + 9y 2 مربع ناقص مجموع عبارات 2 است xو 3 y .

در واقع اولین عبارت عبارت است 4x 2 + 6xy + 9y 2 ، یعنی 4 x 2 مربع عبارت 2 است x، از زمانی که (2 x) 2 = 4x 2. دوره سوم بیان 4x 2 + 6xy + 9y 2 ، یعنی 9 y 2 مربع عبارت 3 است y، از زمانی که (3 y) 2 = 9y 2. عضو وسط 6 xy، حاصل ضرب عبارات 2 است xو 3 y

بنابراین، بیایید اختلاف را ضرب کنیم ( a - b) با مجذور جزئی مجموع الف 2 + ab + ب 2

(a - b)(الف 2 + ab + ب 2) = الف(الف 2 + اب + ب 2) − ب(الف 2 + ab + ب 2) =
الف 3 + الف 2 ب + ab 2 − الف 2 ب − ab 2 − ب 3 = الف 3 − ب 3

یعنی بیان (a - b)(الف 2 + ab + ب 2) برابر است الف 3 − ب 3

(a - b)(الف 2 + ab + ب 2) = الف 3 − ب 3

این هویت را فرمول ضرب اختلاف دو عبارت در مجذور جزئی مجموع آنها می نامند. این فرمول را می توان به صورت زیر خواند:

حاصل ضرب تفاضل دو عبارت و مجذور جزئی مجموع آنها برابر است با اختلاف مکعب های این عبارات.

مثال 1. ضرب را انجام دهید (2x − 3y)(4x 2 + 6xy + 9y 2)

چند جمله ای اول (2 x − 3y) تفاوت دو عبارت 2 است xو 3 y. چند جمله ای دوم 4x 2 + 6xy + 9y 2 این مربع جزئی مجموع دو عبارت 2 است xو 3 y. این به شما امکان می دهد بدون انجام محاسبات طولانی از فرمول استفاده کنید (a - b)(الف 2 + ab + ب 2) = الف 3 − ب 3 . در مورد ما، ضرب (2x − 3y)(4x 2 + 6xy + 9y 2) می توان با اختلاف مکعب 2 جایگزین کرد xو 3 y

(2x − 3y)(4x 2 + 6xy + 9y 2) = (2x) 3 − (3y) 3 = 8x 3 − 27y 3

(a - b)(الف 2 + ab+ ب 2) = الف 3 − ب 3 . ما همان نتیجه را خواهیم گرفت، اما راه حل طولانی تر خواهد بود:

(2x − 3y)(4x 2 + 6xy + 9y 2) = 2x(4x 2 + 6xy + 9y 2) − 3y(4x 2 + 6xy + 9y 2) =
8x 3 + 12x 2 y + 18xy 2 − 12x 2 y − 18xy 2 − 27y 3 = 8x 3 − 27y 3

مثال 2. ضرب را انجام دهید (3 − x)(9 + 3x + x 2)

اولین چند جمله ای (3- x) اختلاف دو عبارت است و چند جمله ای دوم مجذور جزئی مجموع این دو عبارت است. این به ما امکان می دهد از فرمول استفاده کنیم (a - b)(الف 2 + ab + ب 2) = الف 3 − ب 3

(3 − x)(9 + 3x + x 2) = 3 3 − x 3 = 27 − x 3

ضرب مجموع دو عبارت در مجذور جزئی اختلاف آنها

مشکلاتی وجود دارد که در آنها باید مجموع دو عبارت را در مجذور جزئی اختلاف آنها ضرب کنید. این قطعه به شکل زیر است:

(a+b)(الف 2 − ab + ب 2)

اولین چند جمله ای ( a+b (الف 2 − ab + ب 2) مربع ناقص اختلاف این دو عبارت است.

مربع جزئی تفاوت چند جمله ای شکل است الف 2 − ab + ب 2 . به نظر می رسد یک مربع اختلاف منظم است الف 2 − 2ab + ب 2 جز اینکه در آن حاصل ضرب عبارت اول و دوم دو برابر نشده است.

مثلاً عبارت 4x 2 − 6xy + 9y 2 مربع ناقص اختلاف عبارات 2 است xو 3 y

(2x) 2 − 2x× 3 y + (3y) 2 = 4x 2 − 6xy + 9y 2

بیایید به مثال اصلی برگردیم. بیایید حاصل را ضرب کنیم a+bبا مربع جزئی تفاوت الف 2 − ab + ب 2

(a+b)(الف 2 − ab + ب 2) = الف(الف 2 − ab + b 2) + ب(الف 2 − ab + ب 2) =
الف 3 − الف 2 ب + ab 2 + الف 2 ب − ab 2 + ب 3 = الف 3 + ب 3

یعنی بیان (a+b)(الف 2 − ab + ب 2) برابر است الف 3 + ب 3

(a+b)(الف 2 − ab + ب 2) = الف 3 + ب 3

این هویت را فرمول ضرب مجموع دو عبارت در مجذور ناقص اختلاف آنها می نامند. این فرمول را می توان به صورت زیر خواند:

حاصل ضرب مجموع دو عبارت و مجذور جزئی اختلاف آنها برابر است با مجموع مکعب های این عبارات.

مثال 1. ضرب را انجام دهید (2x + 3y)(4x 2 − 6xy + 9y 2)

چند جمله ای اول (2 x + 3y) مجموع دو عبارت 2 است xو 3 y، و چند جمله ای دوم 4x 2 − 6xy + 9y 2 این مربع ناقص تفاوت این عبارات است. این به شما امکان می دهد بدون انجام محاسبات طولانی از فرمول استفاده کنید (a+b)(الف 2 − ab + ب 2) = الف 3 + ب 3 . در مورد ما، ضرب (2x + 3y)(4x 2 − 6xy + 9y 2) می توان با مجموع مکعب 2 جایگزین کرد xو 3 y

(2x + 3y)(4x 2 − 6xy + 9y 2) = (2x) 3 + (3y) 3 = 8x 3 + 27y 3

بیایید سعی کنیم همان مثال را بدون استفاده از فرمول حل کنیم (a+b)(الف 2 − ab+ ب 2) = الف 3 + ب 3 . ما همان نتیجه را خواهیم گرفت، اما راه حل طولانی تر خواهد بود:

(2x + 3y)(4x 2 − 6xy + 9y 2) = 2x(4x 2 − 6xy + 9y 2) + 3y(4x 2 − 6xy + 9y 2) =
8x 3 − 12x 2 y + 18xy 2 + 12x 2 y − 18xy 2 + 27y 3 = 8x 3 + 27y 3

مثال 2. ضرب را انجام دهید (2x+ y)(4x 2 − 2xy + y 2)

چند جمله ای اول (2 x+ y) مجموع دو عبارت و چند جمله ای دوم است (4x 2 − 2xy + y 2) مربع ناقص اختلاف این عبارات است. این به ما امکان می دهد از فرمول استفاده کنیم (a+b)(الف 2 − ab+ ب 2) = الف 3 + ب 3

(2x+ y)(4x 2 − 2xy + y 2) = (2x) 3 + y 3 = 8x 3 + y 3

بیایید سعی کنیم همان مثال را بدون استفاده از فرمول حل کنیم (a+b)(الف 2 − ab+ ب 2) = الف 3 + ب 3 . ما همان نتیجه را خواهیم گرفت، اما راه حل طولانی تر خواهد بود:

(2x+ y)(4x 2 − 2xy + y 2) = 2x(4x 2 − 2xy + y 2) + y(4x 2 − 2xy + y 2) =
8x 3 − 4x 2 y + 2xy 2 + 4x 2 y − 2xy 2 + y 3 = 8x 3 + y 3

وظایف برای راه حل مستقل

آیا درس را دوست داشتید؟
به ما بپیوندید گروه جدید VKontakte و شروع به دریافت اعلان در مورد دروس جدید کنید

فرمول ضرب اختصاری (FMF) برای نشان دادن و ضرب اعداد و عبارات استفاده می شود. اغلب این فرمول ها به شما امکان می دهد محاسبات را فشرده تر و سریع تر انجام دهید.

در این مقاله فرمول های اصلی ضرب اختصاری را فهرست می کنیم، آنها را در جدولی گروه بندی می کنیم، نمونه هایی از استفاده از این فرمول ها را در نظر می گیریم و همچنین به اصول اثبات فرمول های ضرب اختصاری می پردازیم.

برای اولین بار مبحث FSU در چارچوب درس جبر پایه هفتم در نظر گرفته شده است. در زیر 7 فرمول اساسی آورده شده است.

فرمول ضرب مختصر

1. فرمول مجذور مجموع: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
2. فرمول اختلاف مربع: a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2
3. فرمول مکعب جمع: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
4. فرمول مکعب تفاوت: a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
5. فرمول اختلاف مربع: a 2 - b 2 = a - b a + b
6. فرمول مجموع مکعب ها: a 3 + b 3 = a + b a 2 - a b + b 2
7. فرمول تفاوت مکعب ها: a 3 - b 3 = a - b a 2 + a b + b 2

حروف a، b، c در این عبارات می توانند هر عدد، متغیر یا عبارتی باشند. برای سهولت در استفاده، بهتر است هفت فرمول اصلی را به صورت زنده یاد بگیرید. بیایید آنها را در یک جدول قرار دهیم و آنها را در زیر ارائه دهیم و آنها را با یک قاب دور کنیم.

چهار فرمول اول به شما امکان می دهد به ترتیب مربع یا مکعب مجموع یا اختلاف دو عبارت را محاسبه کنید.

فرمول پنجم تفاوت مجذور عبارات را با ضرب مجموع و اختلاف آنها محاسبه می کند.

فرمول ششم و هفتم به ترتیب حاصل ضرب مجموع و اختلاف عبارات در مجذور ناقص تفاضل و مجذور ناقص مجموع است.

گاهی اوقات به فرمول ضرب اختصاری هویت های ضرب اختصاری نیز می گویند. این تعجب آور نیست، زیرا هر برابری یک هویت است.

هنگام حل مثال‌های عملی، اغلب از فرمول‌های ضرب اختصاری با تعویض طرف چپ و راست استفاده می‌شود. این به ویژه هنگام فاکتورگیری یک چند جمله ای راحت است.

فرمول های ضرب خلاصه شده اضافی

بیایید خود را به درس جبر پایه هفتم محدود نکنیم و چند فرمول دیگر را به جدول FSU خود اضافه کنیم.

ابتدا به فرمول دوجمله ای نیوتن نگاه می کنیم.

a + b n = C n 0 · a n + C n 1 · a n - 1 · b + C n 2 · a n - 2 · b 2 + . . + C n n - 1 · a · b n - 1 + C n n · b n

در اینجا C n k ضرایب دو جمله ای هستند که در خط شماره n در مثلث پاسکال ظاهر می شوند. ضرایب دو جمله ای با استفاده از فرمول محاسبه می شود:

C n k = n ! ک! · (n - k) ! = n (n - 1) (n - 2) . . (n - (k - 1)) k !

همانطور که می بینیم، FSF برای مربع و مکعب اختلاف و مجموع یک مورد خاص از فرمول دوجمله ای نیوتن برای n=2 و n=3 است.

اما اگر بیش از دو عبارت در مجموع وجود داشته باشد که باید به یک قدرت افزایش یابد، چه؟ فرمول مجذور مجموع سه، چهار یا چند جمله مفید خواهد بود.

a 1 + a 2 + . . + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 + . . + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 + . . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 + . . + 2 a 2 a n + 2 a n - 1 a n

فرمول دیگری که ممکن است مفید باشد، فرمول تفاوت بین توان های n دو عبارت است.

a n - b n = a - b a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 + . . + a 2 b n - 2 + b n - 1

این فرمول معمولاً به دو فرمول تقسیم می شود - به ترتیب برای توان های زوج و فرد.

برای نشانگرهای حتی 2 متر:

a 2 m - b 2 m = a 2 - b 2 a 2 m - 2 + a 2 m - 4 b 2 + a 2 m - 6 b 4 + . . + b 2 m - 2

برای نماهای فرد 2m+1:

a 2 m + 1 - b 2 m + 1 = a 2 - b 2 a 2 m + a 2 m - 1 b + a 2 m - 2 b 2 + . . + b 2 متر

تفاوت مربع ها و تفاوت فرمول های مکعب، همانطور که حدس زدید، موارد خاص این فرمول به ترتیب برای n = 2 و n = 3 است. برای تفاوت مکعب ها، b نیز با - b جایگزین می شود.

چگونه فرمول ضرب اختصاری را بخوانیم؟

ما برای هر فرمول فرمول های مناسب را خواهیم داد، اما ابتدا اصل خواندن فرمول ها را درک خواهیم کرد. راحت ترین راه برای انجام این کار با یک مثال است. بیایید اولین فرمول مجذور مجموع دو عدد را در نظر بگیریم.

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 .

می گویند: مجذور مجموع دو عبارت a و b برابر است با مجذور عبارت اول، دو برابر حاصل ضرب عبارات و مجذور عبارت دوم.

تمام فرمول های دیگر به طور مشابه خوانده می شوند. برای مربع تفاوت a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 می نویسیم:

مجذور اختلاف دو عبارت a و b برابر است با مجموع مجذورات این عبارات منهای دو برابر حاصل ضرب عبارت اول و دوم.

بیایید فرمول a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 را بخوانیم. مکعب مجموع دو عبارت a و b برابر است با مجموع مکعب های این عبارات، حاصل ضرب مجذور عبارت اول را در دومی و حاصل ضرب مجذور عبارت دوم را سه برابر کنید. اولین بیان

بیایید به خواندن فرمول تفاوت مکعب های a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3 ادامه دهیم. مکعب تفاوت بین دو عبارت a و b برابر است با مکعب عبارت اول منهای حاصلضرب سه گانه مربع عبارت اول و دوم به اضافه حاصل ضرب سه گانه مربع عبارت دوم و عبارت اول. ، منهای مکعب عبارت دوم.

فرمول پنجم a 2 - b 2 = a - b a + b (تفاوت مربعات) به این صورت است: اختلاف مربعات دو عبارت برابر است با حاصلضرب تفاوت و مجموع دو عبارت.

برای راحتی، عباراتی مانند a 2 + a b + b 2 و a 2 - a b + b 2 به ترتیب مربع ناقص مجموع و مربع ناقص اختلاف نامیده می شوند.

با در نظر گرفتن این موضوع، فرمول های مجموع و تفاضل مکعب ها را می توان به صورت زیر خواند:

مجموع مکعب های دو عبارت برابر است با حاصل ضرب مجموع این عبارات و مجذور جزئی اختلاف آنها.

تفاوت بین مکعب های دو عبارت برابر است با حاصل ضرب اختلاف بین این عبارات و مجذور جزئی مجموع آنها.

اثبات FSU

اثبات FSU بسیار ساده است. بر اساس خواص ضرب، اجزای فرمول ها را در پرانتز ضرب می کنیم.

برای مثال، فرمول اختلاف مجذور را در نظر بگیرید.

a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 .

برای بالا بردن یک عبارت به توان دوم، باید این عبارت را در خودش ضرب کنید.

a - b 2 = a - b a - b .

بیایید پرانتزها را گسترش دهیم:

a - b a - b = a 2 - a b - b a + b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 .

فرمول ثابت شده است. FSU های باقی مانده به طور مشابه ثابت شده اند.

نمونه هایی از برنامه FSU

هدف از استفاده از فرمول های ضرب اختصاری ضرب سریع و مختصر و افزایش عبارات به توان است. با این حال، این تمام دامنه کاربرد FSU نیست. آنها به طور گسترده ای در کاهش عبارات، کاهش کسرها و فاکتورگیری چند جمله ای ها استفاده می شوند. بیایید مثال بزنیم.

مثال 1. FSU

بیایید عبارت 9 y - (1 + 3 y) 2 را ساده کنیم.

بیایید فرمول مجموع مربع ها را اعمال کنیم و بدست آوریم:

9 سال - (1 + 3 سال) 2 = 9 سال - (1 + 6 سال + 9 سال 2) = 9 سال - 1 - 6 سال - 9 سال 2 = 3 سال - 1 - 9 سال 2

مثال 2. FSU

بیایید کسر 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 را کاهش دهیم.

توجه می کنیم که عبارت در صورت تفاوت مکعب ها و در مخرج اختلاف مربع ها است.

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z .

کاهش می دهیم و می گیریم:

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z

FSU ها همچنین به محاسبه مقادیر عبارات کمک می کنند. نکته اصلی این است که بتوانید متوجه شوید که در کجا باید فرمول را اعمال کنید. بیایید این را با یک مثال نشان دهیم.

بیایید عدد 79 را مربع کنیم. به جای محاسبات دست و پا گیر، بنویسیم:

79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .

به نظر می رسد محاسبه پیچیدهفقط با استفاده از فرمول های ضرب اختصاری و جداول ضرب به سرعت انجام می شود.

دیگری نکته مهم- شناسایی مربع دوجمله ای. عبارت 4 x 2 + 4 x - 3 را می توان به 2 x 2 + 2 · 2 · x · 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4 تبدیل کرد. چنین تحولاتی به طور گسترده در ادغام استفاده می شود.

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

ضرب یک چند جمله ای در چند جمله ای

! به یک چند جمله ای را در یک چند جمله ای ضرب کنیم، باید هر جمله یک چند جمله ای را در هر جمله چند جمله ای دیگر ضرب کنید و حاصل را جمع کنید.

مراقب باش! هر اصطلاح علامت خاص خود را دارد.

فرمول ضرب مختصرچندجمله ای ها عموماً 7 (هفت) مورد رایج ضرب چندجمله ای ها هستند.

تعاریف وفرمول ضرب مختصر جدول

جدول 2. تعاریف فرمول ضرب اختصاری (برای بزرگنمایی کلیک کنید)

سه فرمول ضرب مختصر برای مربع

1. فرمول مجموع مجذور

مربع مجموعدو عبارت برابر است با مربع عبارت اول به اضافه دو برابر حاصل ضرب عبارت اول و دومی به علاوه مربع عبارت دوم.

برای درک بهتر فرمول، اجازه دهید ابتدا عبارت را ساده کنیم (فرمول مجذور مجموع را گسترش دهید)

حالا بیایید فاکتورسازی کنیم (فرمول را جمع کنید)

توالی اقدامات هنگام فاکتورگیری:

1. تعیین کنید که کدام یک از جملات مربع هستند ( 5 و 3 متر);
2. بررسی کنید که آیا حاصل ضرب آنها در وسط فرمول است (2 5 3m = 30 متر);
3. پاسخ را یادداشت کنید (5 + 3 متر) 2.

2. فرمول اختلاف مربع

اختلاف مربعدو عبارت برابر است با مربع عبارت اول منهای دو برابر حاصلضرب عبارت اول و دومی به اضافه مربع عبارت دوم.

ابتدا بیایید عبارت را ساده کنیم (فرمول را گسترش دهیم):

و سپس برعکس، بیایید آن را فاکتورسازی کنیم (فرمول را جمع کنید):

3. فرمول اختلاف مربع

حاصل ضرب مجموع دو عبارت و اختلاف آنها برابر است با اختلاف مجذورهای این عبارات.

بیایید فرمول را جمع کنیم (ضرب را انجام دهیم)

حالا بیایید فرمول را گسترش دهیم (آن را فاکتور بگیرید)

چهار فرمول ضرب مختصر برای مکعب ها

4. فرمول مکعب مجموع دو عدد

مکعب مجموع دو عبارت برابر است با مکعب عبارت اول به اضافه سه برابر حاصل ضرب مجذور عبارت اول و دوم به علاوه سه برابر حاصل ضرب عبارت اول و مربع دومی به علاوه مکعب عبارت اول. بیان دوم

دنباله اقدامات هنگام "در هم ریختن" فرمول:

1. تک‌جملاتی را پیدا کنید که مکعب شده‌اند (اینجا 4 برابرو 1 );
2. میانگین شرایط را برای مطابقت با فرمول بررسی کنید.
3. پاسخ را یادداشت کنید

5. فرمول مکعب اختلاف دو عدد

مکعب اختلاف دو عبارت برابر است با مکعب عبارت اول منهای سه برابر حاصل ضرب مربع اولین عبارت و دوم به علاوه سه برابر حاصلضرب عبارت اول و مربع دوم منهای مکعب عبارت اول. بیان دوم

6. فرمول مجموع مکعب ها

مجموع مکعب های دو عبارت برابر است با حاصل ضرب مجموع عبارت اول و دوم و مجذور ناقص تفاضل این عبارات.

و برگشت:

7. تفاوت فرمول مکعب ها

تفاوت بین مکعب های دو عبارت برابر است با حاصل ضرب اختلاف عبارت اول و دوم و مجذور جزئی مجموع این عبارات.

استفاده از فرمول ضرب اختصاری. جدول

نمونه ای از استفاده از فرمول ها در عمل (محاسبه شفاهی).

وظیفه:مساحت مربعی با ضلع a = 71 سانتی متر را پیدا کنید.

راه حل: S = a 2 . با استفاده از فرمول مجموع مجذور، داریم

71 2 = (70 + 1) 2 = 70 2 + 2*70*1 + 1 2 = 4900 + 140 + 1 = 5041 سانتی متر مربع

پاسخ: 5041 سانتی متر 2