وقتی یک سیستم فقط یک راه حل دارد. حل سیستم معادلات خطی

همانطور که مشخص است از قضیه کرامر، هنگام حل سیستم معادلات خطیسه مورد ممکن است رخ دهد:

حالت اول: یک سیستم معادلات خطی یک راه حل منحصر به فرد دارد

(سیستم منسجم و قطعی است)

حالت دوم: سیستم معادلات خطی بی نهایت جواب دارد

(سیستم ثابت و نامطمئن است)

** ,

آن ها ضرایب مجهولات و جمله های آزاد متناسب هستند.

حالت سوم: سیستم معادلات خطی هیچ جوابی ندارد

(سیستم ناسازگار است)

بنابراین سیستم مترمعادلات خطی با nمتغیر نامیده می شود غیر مشترک، اگر او یک راه حل واحد نداشته باشد، و مفصل، اگر حداقل یک راه حل داشته باشد. سیستم معادلات همزمانی که فقط یک جواب دارد نامیده می شود مسلم - قطعیو بیش از یک - نا معلوم.

نمونه هایی از حل سیستم های معادلات خطی با استفاده از روش کرامر

بگذار سیستم داده شود

.

بر اساس قضیه کرامر

………….
,

جایی که
-

تعیین کننده سیستم با جایگزین کردن ستون با ضرایب متغیر مربوطه (ناشناخته) با عبارت‌های آزاد، تعیین‌کننده‌های باقی‌مانده را به‌دست می‌آوریم:

مثال 2.

.

بنابراین، سیستم قطعی است. برای یافتن جواب آن، تعیین کننده ها را محاسبه می کنیم

با استفاده از فرمول های کرامر متوجه می شویم:

بنابراین، (1؛ 0؛ -1) تنها راه حل برای سیستم است.

برای بررسی جواب های سیستم های معادلات 3 X 3 و 4 X 4 می توانید از ماشین حساب آنلاین با استفاده از روش حل کرامر استفاده کنید.

اگر در یک سیستم معادلات خطی هیچ متغیری در یک یا چند معادله وجود نداشته باشد، آنگاه در تعیین کننده عناصر مربوطه برابر با صفر هستند! این مثال بعدی است.

مثال 3.حل یک سیستم معادلات خطی با استفاده از روش کرامر:

.

راه حل. ما تعیین کننده سیستم را پیدا می کنیم:

با دقت به سیستم معادلات و تعیین کننده سیستم نگاه کنید و پاسخ این سوال را تکرار کنید که در کدام موارد یک یا چند عنصر از تعیین کننده برابر با صفر است. بنابراین، تعیین برابر با صفر نیست، بنابراین سیستم معین است. برای یافتن جواب آن، تعیین کننده مجهولات را محاسبه می کنیم

با استفاده از فرمول های کرامر متوجه می شویم:

بنابراین، راه حل سیستم (2؛ -1؛ 1) است.

6. سیستم عمومی معادلات جبری خطی. روش گاوس

همانطور که به یاد داریم، قانون کرامر و روش ماتریس در مواردی که سیستم دارای راه حل های بی نهایت زیاد یا ناسازگار است نامناسب است. روش گاوس – قدرتمندترین و همه کاره ترین ابزار برای یافتن راه حل برای هر سیستم معادلات خطی، که در هر موردما را به پاسخ می رساند! خود الگوریتم روش در هر سه حالت یکسان عمل می کند. اگر روش‌های کرامر و ماتریس نیاز به دانش عوامل تعیین کننده دارند، برای اعمال روش گاوس فقط به دانش عملیات حسابی نیاز دارید که حتی برای دانش‌آموزان هم قابل دسترسی است. کلاس های ابتدایی.

ابتدا، اجازه دهید دانش کمی در مورد سیستم های معادلات خطی نظام مند کنیم. یک سیستم معادلات خطی می تواند:

1) یک راه حل منحصر به فرد داشته باشید.
2) بی نهایت راه حل داشته باشید.
3) راه حلی نداشته باشید (باشید غیر مشترک).

روش گاوس قدرتمندترین و جهانی ترین ابزار برای یافتن راه حل است هرسیستم های معادلات خطی همانطور که به یاد داریم، قانون کرامر و روش ماتریسدر مواردی که سیستم راه حل های بی نهایت زیادی دارد یا ناسازگار است نامناسب هستند. و روش حذف متوالی مجهولات به هر حالما را به پاسخ می رساند! در این درس مجدداً روش گاوس را برای مورد شماره 1 (تنها راه حل سیستم) در نظر می گیریم، مقاله به موقعیت های نقاط شماره 2-3 اختصاص دارد. توجه دارم که الگوریتم خود روش در هر سه مورد یکسان عمل می کند.

برگردیم به ساده ترین سیستماز کلاس چگونه یک سیستم معادلات خطی را حل کنیم؟
و با استفاده از روش گاوسی حل کنید.

اولین قدم نوشتن است ماتریس سیستم توسعه یافته:
. من فکر می کنم همه می توانند ببینند که ضرایب با چه اصولی نوشته شده اند. خط عمودی داخل ماتریس هیچ معنای ریاضی ندارد - این به سادگی یک خط خطی برای سهولت طراحی است.

ارجاع:توصیه میکنم یادتون باشه مقرراتجبر خطی. ماتریس سیستمماتریسی است که فقط از ضرایب مجهول تشکیل شده است، در این مثال ماتریس سیستم: . ماتریس سیستم توسعه یافته– این همان ماتریس سیستم به اضافه یک ستون از عبارت های آزاد است، در این مورد: . برای اختصار، هر یک از ماتریس ها را می توان به سادگی ماتریس نامید.

پس از اینکه ماتریس سیستم توسعه یافته نوشته شد، لازم است اقداماتی با آن انجام شود که به آنها نیز گفته می شود. تحولات ابتدایی.

تحولات ابتدایی زیر وجود دارد:

1) رشته هایماتریس ها قابل تنظیم مجدددر برخی مکان ها. به عنوان مثال، در ماتریس مورد بررسی، می توانید بدون دردسر ردیف های اول و دوم را دوباره مرتب کنید:

2) اگر ردیف های متناسب (به عنوان یک مورد خاص - یکسان) در ماتریس وجود داشته باشد (یا ظاهر شده است)، باید حذفهمه این سطرها از ماتریس هستند به جز یک. به عنوان مثال، ماتریس را در نظر بگیرید . در این ماتریس، سه ردیف آخر متناسب هستند، بنابراین کافی است تنها یکی از آنها باقی بماند: .

3) اگر یک ردیف صفر در ماتریس در طول تبدیل ظاهر می شود، آنگاه نیز باید باشد حذف. من رسم نمی کنم، البته، خط صفر خطی است که در آن همه صفرها.

4) ردیف ماتریس می تواند باشد ضرب (تقسیم)به هر شماره غیر صفر. به عنوان مثال، ماتریس را در نظر بگیرید. در اینجا توصیه می شود که خط اول را بر -3 تقسیم کنید و خط دوم را در 2 ضرب کنید: . این عمل بسیار مفید است زیرا تبدیل های بیشتر ماتریس را ساده می کند.

5) این دگرگونی بیشترین مشکلات را ایجاد می کند، اما در واقع هیچ چیز پیچیده ای نیز وجود ندارد. به یک ردیف از یک ماتریس می توانید یک رشته دیگر ضرب در یک عدد اضافه کنید، متفاوت از صفر است. بیایید از یک مثال عملی به ماتریس خود نگاه کنیم: . ابتدا تحول را با جزئیات کامل شرح می دهم. سطر اول را در -2 ضرب کنید: ، و به خط دوم سطر اول ضرب در -2 را اضافه می کنیم: . اکنون خط اول را می توان "بازگشت" بر -2 تقسیم کرد: . همانطور که می بینید، خطی که اضافه شده است LI – تغییر نکرده است. همیشهخطی که به آن اضافه شده است تغییر می کند UT.

البته در عمل آن را با جزئیات نمی نویسند، اما به طور خلاصه می نویسند:

بار دیگر: به خط دوم خط اول ضرب در -2 را اضافه کرد. یک خط معمولاً به صورت شفاهی یا روی پیش نویس ضرب می شود، با فرآیند محاسبه ذهنی چیزی شبیه به این:

من ماتریس را بازنویسی می کنم و خط اول را بازنویسی می کنم: »

"ستون اول. در پایین باید صفر را دریافت کنم. بنابراین، یکی از بالا را در -2 ضرب می کنم: و اولین را به خط دوم اضافه می کنم: 2 + (–2) = 0. نتیجه را در خط دوم می نویسم: »

اکنون ستون دوم. در بالا، -1 را در -2 ضرب می کنم: . اولی را به خط دوم اضافه می کنم: 1 + 2 = 3. نتیجه را در خط دوم می نویسم: »

و ستون سوم. در بالا 5- را در -2 ضرب می کنم: . اولی را به خط دوم اضافه می کنم: -7 + 10 = 3. نتیجه را در خط دوم می نویسم: »

لطفاً این مثال را با دقت درک کنید و الگوریتم محاسبات متوالی را درک کنید، اگر این را فهمیدید، روش گاوسی عملاً در جیب شماست. اما، البته، ما همچنان روی این تحول کار خواهیم کرد.

تبدیل های ابتدایی حل سیستم معادلات را تغییر نمی دهند

! توجه: دستکاری در نظر گرفته شده است نمی تواند استفاده کند، اگر کاری به شما پیشنهاد می شود که در آن ماتریس ها "به خودی خود" داده می شوند. به عنوان مثال، با "کلاسیک" عملیات با ماتریستحت هیچ شرایطی نباید چیزی را در داخل ماتریس ها مرتب کنید!

بیایید به سیستم خود برگردیم. عملا تکه تکه می شود.

اجازه دهید ماتریس توسعه یافته سیستم را بنویسیم و با استفاده از تبدیل های ابتدایی، آن را به کاهش دهیم نمای پلکانی:

(1) خط اول به خط دوم اضافه شد، ضرب در 2-. و دوباره: چرا خط اول را در -2 ضرب می کنیم؟ برای به دست آوردن صفر در پایین، یعنی خلاص شدن از شر یک متغیر در خط دوم.

(2) خط دوم را بر 3 تقسیم کنید.

هدف از تحولات ابتدایی – ماتریس را به صورت گام به گام کاهش دهید: . در طراحی کار، آنها فقط "پله ها" را با یک مداد ساده مشخص می کنند و همچنین اعدادی را که روی "پله ها" قرار دارند دور می زنند. اصطلاح "نمای پلکانی" به خودی خود کاملاً نظری نیست، از نظر علمی و ادبیات آموزشیاغلب نامیده می شود نمای ذوزنقه اییا نمای مثلثی.

در نتیجه تحولات ابتدایی به دست آوردیم معادلسیستم اصلی معادلات:

اکنون سیستم باید در جهت مخالف "باز شود" - از پایین به بالا، این فرآیند نامیده می شود معکوس روش گاوسی.

در معادله پایین از قبل یک نتیجه آماده داریم: .

بیایید اولین معادله سیستم را در نظر بگیریم و مقدار "y" از قبل شناخته شده را در آن جایگزین کنیم:

بیایید رایج ترین حالت را در نظر بگیریم، زمانی که روش گاوسی نیاز به حل یک سیستم سه معادله خطی با سه مجهول دارد.

مثال 1

حل سیستم معادلات با استفاده از روش گاوس:

بیایید ماتریس توسعه یافته سیستم را بنویسیم:

اکنون من بلافاصله نتیجه ای را که در حین حل به آن خواهیم رسید رسم می کنم:

و تکرار می‌کنم، هدف ما این است که با استفاده از تبدیل‌های ابتدایی، ماتریس را به یک شکل گام به گام برسانیم. از کجا شروع کنیم؟

ابتدا به شماره بالا سمت چپ نگاه کنید:

تقریباً همیشه باید اینجا باشد واحد. به طور کلی، -1 (و گاهی اوقات اعداد دیگر) انجام می شود، اما به نوعی به طور سنتی اتفاق می افتد که یک عدد معمولا در آنجا قرار می گیرد. چگونه یک واحد را سازماندهی کنیم؟ ما به ستون اول نگاه می کنیم - ما یک واحد تمام شده داریم! تبدیل اول: خط اول و سوم را عوض کنید:

حالا خط اول تا پایان راه حل بدون تغییر باقی می ماند. حالا خوبه

واحد در گوشه بالا سمت چپ سازماندهی شده است. حالا باید در این مکان ها صفر بگیرید:

با استفاده از یک تبدیل "سخت" صفر می گیریم. ابتدا با خط دوم (2، -1، 3، 13) سروکار داریم. برای بدست آوردن صفر در موقعیت اول چه باید کرد؟ نیاز به به خط دوم سطر اول ضرب در 2- را اضافه کنید. به صورت ذهنی یا روی پیش نویس، خط اول را در -2 ضرب کنید: (-2، -4، 2، -18). و ما پیوسته (دوباره ذهنی یا بر اساس پیش نویس) اضافه می کنیم، به خط دوم ما خط اول را که قبلاً در -2 ضرب شده است اضافه می کنیم:

نتیجه را در خط دوم می نویسیم:

با خط سوم نیز به همین ترتیب برخورد می کنیم (3، 2، –5، –1). برای به دست آوردن یک صفر در موقعیت اول، شما نیاز دارید به خط سوم، سطر اول ضرب در -3 را اضافه کنید. به صورت ذهنی یا روی پیش نویس، خط اول را در -3 ضرب کنید: (–3، –6، 3، –27). و به خط سوم، سطر اول ضرب در -3 را اضافه می کنیم:

نتیجه را در خط سوم می نویسیم:

در عمل، این اقدامات معمولاً به صورت شفاهی انجام می شود و در یک مرحله نوشته می شود:

نیازی نیست همه چیز را یکجا و همزمان بشمارید. ترتیب محاسبات و "نوشتن" نتایج استوارو معمولاً اینگونه است: ابتدا خط اول را بازنویسی می کنیم و به آرامی خودمان را پف می کنیم - به طور مداوم و با توجه:


و من قبلاً در مورد روند ذهنی خود محاسبات در بالا بحث کرده ام.

در این مثال، انجام این کار آسان است؛ ما خط دوم را بر 5- تقسیم می کنیم (زیرا همه اعداد بدون باقیمانده بر 5 بخش پذیر هستند). در همان زمان، خط سوم را بر 2- تقسیم می کنیم، زیرا هر چه عدد کوچکتر باشد، راه حل ساده تر:

بر مرحله نهاییدر اینجا باید یک صفر دیگر بدست آورید:

برای این به خط سوم خط دوم را ضرب در -2 اضافه می کنیم:


سعی کنید خودتان این عمل را بفهمید - به صورت ذهنی خط دوم را در -2 ضرب کنید و جمع را انجام دهید.

آخرین عمل انجام شده مدل موی نتیجه است، خط سوم را بر 3 تقسیم کنید.

در نتیجه تبدیل های ابتدایی، یک سیستم معادل از معادلات خطی به دست آمد:

سرد.

اکنون برعکس روش گاوسی وارد عمل می شود. معادلات از پایین به بالا "باز می شوند".

در معادله سوم از قبل یک نتیجه آماده داریم:

به معادله دوم نگاه می کنیم: . معنای "زت" قبلاً شناخته شده است، بنابراین:

و در نهایت معادله اول: . "Igrek" و "zet" شناخته شده اند، این فقط یک چیز کوچک است:

پاسخ:

همانطور که قبلاً چندین بار اشاره شد، برای هر سیستم معادلات، بررسی راه حل یافت شده ممکن و ضروری است، خوشبختانه این کار آسان و سریع است.

مثال 2

این یک مثال برای یک راه حل مستقل، یک نمونه از طرح نهایی و یک پاسخ در پایان درس است.

لازم به ذکر است که شما پیشرفت تصمیمممکن است با فرآیند تصمیم گیری من همخوانی نداشته باشد، و این یکی از ویژگی های روش گاوس است. اما پاسخ ها باید یکسان باشد!

مثال 3

حل یک سیستم معادلات خطی با استفاده از روش گاوس

اجازه دهید ماتریس توسعه یافته سیستم را بنویسیم و با استفاده از تبدیل های ابتدایی، آن را به شکل گام به گام در آوریم:

ما به "پله" بالا سمت چپ نگاه می کنیم. باید اونجا یکی داشته باشیم مشکل این است که در ستون اول هیچ واحدی وجود ندارد، بنابراین مرتب کردن مجدد ردیف ها چیزی را حل نمی کند. در چنین مواردی، واحد باید با استفاده از یک تبدیل اولیه سازماندهی شود. این کار را معمولاً می توان به روش های مختلفی انجام داد. من این کار را انجام دادم:
(1) به خط اول، خط دوم را در -1 ضرب می کنیم. یعنی به صورت ذهنی خط دوم را در -1 ضرب کردیم و خط اول و دوم را اضافه کردیم در حالی که خط دوم تغییر نکرد.

اکنون در بالا سمت چپ "منهای یک" وجود دارد که به خوبی برای ما مناسب است. هر کسی که بخواهد 1+ بگیرد می‌تواند یک حرکت اضافی انجام دهد: خط اول را در -1 ضرب کنید (علامت آن را تغییر دهید).

(2) سطر اول ضرب در 5 به سطر دوم اضافه شد سطر اول ضرب در 3 به سطر سوم اضافه شد.

(3) خط اول در -1 ضرب شد، در اصل، این برای زیبایی است. علامت خط سوم نیز تغییر کرد و به رتبه دوم منتقل شد تا در «پله» دوم واحد مورد نیاز را داشته باشیم.

(4) خط دوم در 2 ضرب به خط سوم اضافه شد.

(5) خط سوم بر 3 تقسیم شد.

یک علامت بد که نشان دهنده خطا در محاسبات است (به ندرت اشتباه تایپی) نتیجه "بد" است. یعنی اگر چیزی شبیه به زیر و بر این اساس داشته باشیم ، پس با درجه احتمال بالایی می توان گفت که در هنگام تبدیلات ابتدایی خطایی رخ داده است.

ما برعکس شارژ می کنیم، در طراحی نمونه ها اغلب خود سیستم را بازنویسی نمی کنند، اما معادلات "مستقیماً از ماتریس داده شده گرفته شده اند." به شما یادآوری می کنم که سکته مغزی معکوس از پایین به بالا کار می کند. بله، این یک هدیه است:

پاسخ: .

مثال 4

حل یک سیستم معادلات خطی با استفاده از روش گاوس

این مثالی است که می توانید آن را به تنهایی حل کنید، تا حدودی پیچیده تر است. اگر کسی گیج شود اشکالی ندارد. حل کامل و طراحی نمونه در پایان درس. راه حل شما ممکن است با راه حل من متفاوت باشد.

در بخش آخر به برخی از ویژگی های الگوریتم گاوسی خواهیم پرداخت.
اولین ویژگی این است که گاهی اوقات برخی از متغیرها در معادلات سیستم گم می شوند، به عنوان مثال:

چگونه ماتریس سیستم توسعه یافته را به درستی بنویسیم؟ من قبلاً در مورد این موضوع در کلاس صحبت کردم. قانون کرامر روش ماتریسی. در ماتریس توسعه یافته سیستم، صفرها را به جای متغیرهای گمشده قرار می دهیم:

به هر حال، این یک مثال نسبتاً آسان است، زیرا ستون اول قبلاً یک صفر دارد و تبدیل‌های اولیه کمتری برای انجام وجود دارد.

ویژگی دوم این است. در تمام مثال‌های در نظر گرفته شده، ما ۱- یا ۱+ را روی «گام‌ها» قرار دادیم. ممکن است اعداد دیگری در آنجا وجود داشته باشد؟ در برخی موارد می توانند. سیستم را در نظر بگیرید: .

در اینجا در سمت چپ "پله" ما یک دو داریم. اما ما متوجه این واقعیت می شویم که تمام اعداد در ستون اول بر 2 بخش پذیر هستند بدون باقی مانده - و دیگری دو و شش است. و آن دو در بالا سمت چپ مناسب ما هستند! در مرحله اول، شما باید تبدیل های زیر را انجام دهید: خط اول ضرب در -1 را به خط دوم اضافه کنید. به خط سوم، سطر اول ضرب در -3 را اضافه کنید. به این ترتیب صفرهای مورد نیاز در ستون اول را بدست می آوریم.

یا مثال متعارف دیگری: . در اینجا سه ​​در "پله" دوم نیز برای ما مناسب است، زیرا 12 (محلی که باید صفر را بدست آوریم) بدون باقی مانده بر 3 بخش پذیر است. لازم است تبدیل زیر را انجام دهید: خط دوم را به خط سوم ضرب در -4 اضافه کنید که در نتیجه صفر مورد نیاز ما به دست می آید.

روش گاوس جهانی است، اما یک ویژگی وجود دارد. شما می توانید با اطمینان یاد بگیرید که سیستم ها را با استفاده از روش های دیگر (روش کرامر، روش ماتریس) به معنای واقعی کلمه اولین بار حل کنید - آنها یک الگوریتم بسیار دقیق دارند. اما برای اینکه در روش گاوسی احساس اطمینان کنید، باید در آن مهارت داشته باشید و حداقل 5-10 سیستم را حل کنید. بنابراین، در ابتدا ممکن است سردرگمی و اشتباه در محاسبات وجود داشته باشد و هیچ چیز غیرعادی و غم انگیزی در این مورد وجود ندارد.

هوای بارانی پاییزی بیرون از پنجره .... بنابراین، برای همه کسانی که بیشتر می خواهند مثال پیچیدهبرای راه حل مستقل:

مثال 5

یک سیستم چهار معادله خطی با چهار مجهول را با استفاده از روش گاوس حل کنید.

چنین کاری در عمل چندان نادر نیست. من فکر می کنم حتی قوری که این صفحه را به طور کامل مطالعه کرده باشد، الگوریتم حل چنین سیستمی را به طور مستقیم درک خواهد کرد. اساساً همه چیز یکسان است - فقط اقدامات بیشتری وجود دارد.

مواردی که سیستم راه حلی ندارد (ناسازگار) یا راه حل های بی نهایت زیادی دارد در درس مورد بحث قرار می گیرد. سیستم ها و سیستم های ناسازگار با یک راه حل مشترک. در آنجا می توانید الگوریتم در نظر گرفته شده روش گاوسی را اصلاح کنید.

آرزو می کنم موفق شوی!

راه حل ها و پاسخ ها:

مثال 2: راه حل: بیایید ماتریس توسعه یافته سیستم را یادداشت کرده و با استفاده از تبدیل های ابتدایی، آن را به صورت گام به گام در آوریم.


تبدیل های اولیه انجام شده:
(1) خط اول به خط دوم اضافه شد، ضرب در 2-. خط اول به خط سوم اضافه شد، ضرب در -1. توجه!در اینجا ممکن است وسوسه شوید که خط اول را از خط سوم کم کنید؛ من به شدت توصیه می کنم آن را کم نکنید - خطر خطا بسیار افزایش می یابد. فقط آن را تا کنید!
(2) علامت خط دوم تغییر کرد (ضرب در -1). خط دوم و سوم عوض شده است. توجه داشته باشید، که در "پله ها" ما نه تنها با یک، بلکه با -1 راضی هستیم که حتی راحت تر است.
(3) خط دوم در 5 ضرب به خط سوم اضافه شد.
(4) علامت خط دوم تغییر کرد (ضرب در -1). خط سوم بر 14 تقسیم شد.

معکوس:

پاسخ: .

مثال 4: راه حل: بیایید ماتریس توسعه یافته سیستم را بنویسیم و با استفاده از تبدیل های ابتدایی، آن را به شکل گام به گام در آوریم:

تبدیل های انجام شده:
(1) خط دوم به خط اول اضافه شد. بنابراین، واحد مورد نظر در "پله" بالا سمت چپ سازماندهی شده است.
(2) سطر اول ضرب در 7 به سطر دوم اضافه شد سطر اول ضرب در 6 به سطر سوم اضافه شد.

با "گام" دوم همه چیز بدتر می شود، "نامزدهای" آن اعداد 17 و 23 هستند و ما به یکی یا -1 نیاز داریم. دگرگونی های (3) و (4) با هدف به دست آوردن واحد مورد نظر خواهد بود

(3) خط دوم به خط سوم اضافه شد که در -1 ضرب شد.
(4) خط سوم به خط دوم اضافه شد، ضرب در -3.
مورد مورد نیاز در مرحله دوم دریافت شده است. .
(5) خط دوم در 6 ضرب به خط سوم اضافه شد.

به عنوان بخشی از دروس روش گاوسیو سیستم/سیستم های ناسازگار با یک راه حل مشترکدر نظر گرفتیم سیستم های ناهمگن معادلات خطی، جایی که عضو رایگان(که معمولا در سمت راست است) حداقل یکیاز معادلات با صفر متفاوت بود.
و حالا، پس از یک گرم کردن خوب با رتبه ماتریسی، ما به صیقل دادن تکنیک ادامه خواهیم داد تحولات ابتداییبر سیستم همگن معادلات خطی.
بر اساس پاراگراف های اول، مطالب ممکن است خسته کننده و متوسط ​​به نظر برسد، اما این تصور فریبنده است. علاوه بر توسعه بیشتر تکنیک های فنی، بسیاری نیز وجود خواهد داشت اطلاعات جدید، پس لطفا سعی کنید از مثال های این مقاله غافل نشوید.

راه حل. A= . بیایید r(A) را پیدا کنیم. زیرا ماتریسو دارای سفارش 3x4 است، سپس بالاترین مرتبهمینورها برابر با 3 است. علاوه بر این، همه مینورهای مرتبه سوم برابر با صفر هستند (خودتان آن را بررسی کنید). به معنای، r(A)< 3. Возьмем главный جزئی اولیه = -5-4 = -9 ≠ 0. بنابراین r(A) =2.

در نظر بگیریم ماتریس با = .

سوم جزئی سفارش ≠ 0. پس r(C) = 3.

از آنجایی که r(A) ≠ r(C)، پس سیستم ناسازگار است.

مثال 2.تعیین سازگاری یک سیستم معادلات

اگر این سیستم ثابت شد حل کنید.

راه حل.

A = ، C = . واضح است که r(A) ≤ 3، r(C) ≤ 4. از آنجایی که detC = 0، پس r(C)< 4. در نظر بگیریم جزئی سوم سفارش، واقع در گوشه سمت چپ بالای ماتریس A و C: = -23 ≠ 0. پس r(A) = r(C) = 3.

عدد ناشناخته در سیستم n=3. این به این معنی است که سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد. در این حالت معادله چهارم مجموع سه مورد اول را نشان می دهد و می توان از آن چشم پوشی کرد.

طبق فرمول های کرامر x 1 = -98/23، x 2 = -47/23، x 3 = -123/23 را دریافت می کنیم.

2.4. روش ماتریسی. روش گاوسی

سیستم nمعادلات خطیبا nمجهولات قابل حل است روش ماتریسیطبق فرمول X = A -1 B (در Δ ≠ 0) که از (2) با ضرب هر دو قسمت در A -1 بدست می آید.

مثال 1. حل یک سیستم معادلات

روش ماتریسی (در بخش 2.2 این سیستم با استفاده از فرمول های کرامر حل شد)

راه حل. Δ = 10 ≠ 0 A = - ماتریس غیر منحط.

= (این مورد را خودتان با انجام محاسبات لازم بررسی کنید).

A -1 = (1/Δ)х= .

X = A -1 V = x=.

پاسخ: .

از نقطه نظر عملیروش و فرمول های ماتریسی کرامربا مقدار زیادی از محاسبات مرتبط هستند، بنابراین اولویت داده می شود روش گاوسی، که شامل حذف متوالی مجهولات است. برای انجام این کار، سیستم معادلات به یک سیستم معادل با یک ماتریس توسعه یافته مثلثی کاهش می یابد (همه عناصر زیر قطر اصلی برابر با صفر هستند). به این اعمال حرکت رو به جلو می گویند. از سیستم مثلثی به دست آمده، متغیرها با استفاده از تعویض های متوالی (معکوس) یافت می شوند.

مثال 2. سیستم را با استفاده از روش گاوس حل کنید

(در بالا، این سیستم با استفاده از فرمول کرامر و روش ماتریس حل شد).

راه حل.

حرکت مستقیم اجازه دهید ماتریس توسعه یافته را بنویسیم و با استفاده از تبدیل های ابتدایی، آن را به شکل مثلثی کاهش دهیم:

~ ~ ~ ~ .

ما گرفتیم سیستم

حرکت معکوساز آخرین معادله ای که پیدا می کنیم ایکس 3 = -6 و این مقدار را با معادله دوم جایگزین کنید:

ایکس 2 = - 11/2 - 1/4ایکس 3 = - 11/2 - 1/4(-6) = - 11/2 + 3/2 = -8/2 = -4.

ایکس 1 = 2 -ایکس 2 + ایکس 3 = 2+4-6 = 0.

پاسخ: .

2.5. حل کلی یک سیستم معادلات خطی

اجازه دهید یک سیستم معادلات خطی داده شود = b i(من=). اجازه دهید r(A) = r(C) = r، یعنی. سیستم مشارکتی است هر جزئی از مرتبه r غیر از صفر است جزئی اولیهبدون از دست دادن کلیت، فرض می کنیم که مینور پایه در اولین ردیف و ستون r (1≤ r ≤ min(m,n)) ماتریس A قرار دارد. حذف آخرین معادلات m-rسیستم ها، یک سیستم کوتاه شده می نویسیم:

که معادل اصلی است. مجهولات را نام ببریم x 1،….x rاساسی، و x r +1،…، x rآزاد کنید و عبارت های حاوی مجهولات رایگان را به سمت راست معادلات سیستم کوتاه منتقل کنید. ما یک سیستم با توجه به مجهولات اساسی بدست می آوریم:

که برای هر مجموعه ای از مقادیر مجهولات رایگان x r +1 = С 1،…، x n = С n-rتنها یک راه حل دارد x 1 (C 1،…، C n-r)،…، x r (C 1،…، C n-r)،توسط قانون کرامر پیدا شد.

راه حل مربوطهکوتاه شده و بنابراین سیستم اصلی به شکل زیر است:

X(C 1،…، C n-r) = - راه حل کلی سیستم

اگر در حل کلی چند مجهول مجهول بدهیم مقادیر عددی، سپس یک راه حل از سیستم خطی به نام جزئی به دست می آوریم.

مثال. ایجاد سازگاری و یافتن یک راه حل کلی برای سیستم

راه حل. A = ، C = .

بنابراین چگونه r(A)= r(C) = 2 (این را خودتان ببینید)، سپس سیستم اصلی سازگار است و تعداد بی نهایت راه حل دارد (از r< 4).

حل سیستم معادلات جبری خطی یکی از مسائل اصلی جبر خطی است. این وظیفه مهمی دارد ارزش اعمال شدههنگام حل مسائل علمی و فنی، علاوه بر این، در اجرای بسیاری از الگوریتم ها در ریاضیات محاسباتی، فیزیک ریاضی و پردازش نتایج تحقیقات تجربی کمک کننده است.

سیستم معادلات جبری خطیسیستمی از معادلات به شکل: (1) نامیده می شود.

جایی که – ناشناخته؛ - اعضای رایگان

حل یک سیستم معادلات(1) هر مجموعه ای از اعداد را که در سیستم (1) به جای مجهولات قرار می گیرند، فراخوانی کنید تمام معادلات سیستم را به برابری های عددی صحیح تبدیل می کند.

سیستم معادلات نامیده می شود مفصل، اگر حداقل یک راه حل داشته باشد و غیر مشترک، اگر راه حلی نداشته باشد.

سیستم معادلات همزمان نامیده می شود مسلم - قطعی، اگر یک راه حل منحصر به فرد داشته باشد، و نا معلوم، اگر حداقل دو راه حل متفاوت داشته باشد.

دو سیستم معادلات نامیده می شوند معادلیا معادل، اگر مجموعه راه حل های یکسانی داشته باشند.

سیستم (1) نامیده می شود همگن، اگر عبارات رایگان صفر باشد:

یک سیستم همگن همیشه سازگار است - راه حلی دارد (شاید نه تنها).

اگر در سیستم (1)، سیستم را داریم nمعادلات خطی با nناشناخته: جایی که – ناشناخته؛ - ضرایب برای مجهولات، - اعضای رایگان

یک سیستم خطی ممکن است یک راه حل واحد، بی نهایت راه حل یا اصلاً راه حل نداشته باشد.

سیستمی متشکل از دو معادله خطی با دو مجهول را در نظر بگیرید

اگر سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد.

اگر سپس سیستم هیچ راه حلی ندارد.

اگر سپس سیستم دارای تعداد بی نهایت راه حل است.

مثال.این سیستم یک راه حل منحصر به فرد برای یک جفت اعداد دارد

این سیستم بی نهایت راه حل دارد. به عنوان مثال، راه حل های یک سیستم داده شده جفت اعداد و غیره هستند.

این سیستم هیچ راه حلی ندارد، زیرا اختلاف دو عدد نمی تواند دو مقدار متفاوت بگیرد.

تعریف. تعیین کننده مرتبه دومیک عبارت از فرم نامیده می شود:

.

تعیین کننده با نماد D مشخص می شود.

شماره آ 11, …, آ 22 را عناصر تعیین کننده می نامند.

مورب تشکیل شده توسط عناصر آ 11 ; آ 22 نامیده می شود اصلیمورب تشکیل شده توسط عناصر آ 12 ; آ 21 − سمت

بنابراین، دترمینان مرتبه دوم برابر است با تفاوت بین محصولات عناصر مورب اصلی و فرعی.

توجه داشته باشید که پاسخ یک عدد است.

مثال.بیایید عوامل تعیین کننده را محاسبه کنیم:

سیستمی متشکل از دو معادله خطی با دو مجهول را در نظر بگیرید: جایی که ایکس 1, ایکس 2 – ناشناخته؛ آ 11 , …, آ 22 - ضرایب برای مجهولات، ب 1 ، ب 2- اعضای رایگان

اگر سیستمی متشکل از دو معادله با دو مجهول یک راه حل منحصر به فرد داشته باشد، آنگاه می توان آن را با استفاده از دترمینال های مرتبه دوم پیدا کرد.

تعریف.تعیین کننده ای که از ضرایب مجهول تشکیل شده است نامیده می شود تعیین کننده سیستم: D=.

ستون های تعیین کننده D به ترتیب حاوی ضرایب برای هستند ایکس 1 و در ، ایکس 2. بیایید دو مورد را معرفی کنیم واجد شرایط اضافی،که از تعیین کننده سیستم با جایگزینی یکی از ستون ها با ستونی از عبارات آزاد به دست می آیند: D 1 = D 2 = .

قضیه 14(کرامر، برای مورد n=2).اگر تعیین کننده D سیستم با صفر (D¹0) متفاوت است، سپس سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد که با استفاده از فرمول ها پیدا می شود:

این فرمول ها نامیده می شوند فرمول های کرامر

مثال.بیایید سیستم را با استفاده از قانون کرامر حل کنیم:

راه حل.بیایید اعداد را پیدا کنیم

پاسخ.

تعریف. تعیین کننده مرتبه سومیک عبارت از فرم نامیده می شود:

عناصر آ 11; آ 22 ; آ 33 - قطر اصلی را تشکیل دهید.

شماره آ 13; آ 22 ; آ 31 - یک مورب جانبی تشکیل دهید.

ورودی با یک مثبت شامل: حاصلضرب عناصر روی مورب اصلی، دو جمله باقیمانده حاصلضرب عناصری هستند که در راس مثلث‌هایی با پایه‌های موازی با قطر اصلی قرار دارند. شرایط منهای با توجه به مورب ثانویه طبق همان طرح تشکیل می شوند.

مثال.بیایید عوامل تعیین کننده را محاسبه کنیم:

جایی که – ناشناخته؛ - ضرایب برای مجهولات، - اعضای رایگان

در مورد یک راه حل منحصر به فرد، یک سیستم 3 معادله خطی با سه مجهول را می توان با استفاده از تعیین کننده های مرتبه 3 حل کرد.

تعیین کننده سیستم D به شکل زیر است:

اجازه دهید سه عامل دیگر را معرفی کنیم:

قضیه 15(کرامر، برای مورد n=3).اگر تعیین کننده D سیستم با صفر متفاوت است، سپس سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد که با استفاده از فرمول های کرامر پیدا می شود:

مثال.بیایید سیستم را حل کنیم طبق قانون کرامر

راه حل.بیایید اعداد را پیدا کنیم

بیایید از فرمول های کرامر استفاده کنیم و راه حل سیستم اصلی را پیدا کنیم:

پاسخ.

توجه داشته باشید که قضیه کرامر زمانی قابل اجرا است که تعداد معادلات برابر با تعداد مجهولات باشد و زمانی که تعیین کننده سیستم D غیر صفر باشد.

اگر تعیین کننده سیستم برابر با صفر باشد، در این صورت سیستم یا می تواند هیچ جوابی نداشته باشد یا بی نهایت جواب داشته باشد. این موارد به طور جداگانه بررسی می شوند.

فقط به یک مورد توجه کنیم. اگر تعیین کننده سیستم برابر با صفر باشد (D=0)، و حداقل یکی از تعیین کننده های اضافی با صفر متفاوت باشد، سیستم هیچ راه حلی ندارد، یعنی ناسازگار است.

قضیه کرامر را می توان به سیستم تعمیم داد nمعادلات خطی با nناشناخته: جایی که – ناشناخته؛ - ضرایب برای مجهولات، - اعضای رایگان

اگر تعیین کننده سیستم معادلات خطی با مجهولات سپس تنها راه حل سیستم با استفاده از فرمول های کرامر پیدا می شود:

صلاحیت اضافی اگر دارای ستونی از ضرایب مجهول باشد، از تعیین کننده D به دست می آید x iبا ستونی از اعضای رایگان جایگزین کنید.

توجه داشته باشید که تعیین کننده های D, D 1 , … , D nنظم داشته باشد n.

روش گاوس برای حل سیستم معادلات خطی

یکی از متداول ترین روش ها برای حل سیستم های معادلات جبری خطی، روش حذف متوالی مجهولات است. -روش گاوس. این روش تعمیم روش جایگزینی است و شامل حذف متوالی مجهولات است تا زمانی که یک معادله با یک مجهول باقی بماند.

این روش بر اساس برخی تبدیل‌های یک سیستم معادلات خطی است که منجر به سیستمی معادل سیستم اصلی می‌شود. الگوریتم روش شامل دو مرحله است.

مرحله اول نام دارد مستقیم به جلوروش گاوس این شامل حذف متوالی مجهولات از معادلات است. برای این کار در مرحله اول معادله اول سیستم را بر (در غیر این صورت معادلات سیستم را مجددا مرتب کنید) تقسیم کنید. آنها ضرایب معادله کاهش یافته حاصل را نشان می دهند، آن را در ضریب ضرب می کنند و از معادله دوم سیستم کم می کنند و در نتیجه آن را از معادله دوم حذف می کنند (ضریب را صفر می کنند).

همین کار را با معادلات باقیمانده انجام دهید و یک سیستم جدید به دست آورید که در تمام معادلات آن، با شروع از دومی، ضرایب برای فقط شامل صفر هستند. بدیهی است که سیستم جدید حاصله معادل سیستم اصلی خواهد بود.

اگر ضرایب جدید، برای، همگی برابر با صفر نباشند، می توان آنها را به همین ترتیب از معادلات سوم و بعدی حذف کرد. با ادامه این عملیات برای مجهولات زیر، سیستم به شکل مثلثی در می آید:

در اینجا نمادها نشان دهنده ضرایب عددی و عبارت های آزاد هستند که در نتیجه تبدیل ها تغییر کرده اند.

از آخرین معادله سیستم، مجهولات باقی مانده به روشی منحصر به فرد و سپس با جایگزینی متوالی تعیین می شوند.

اظهار نظر.گاهی در اثر تبدیل، در هر یک از معادلات تمام ضرایب و سمت راست به صفر می رسد، یعنی معادله به هویت 0=0 تبدیل می شود. با حذف چنین معادله ای از سیستم، تعداد معادلات در مقایسه با تعداد مجهولات کاهش می یابد. چنین سیستمی نمی تواند یک راه حل واحد داشته باشد.

اگر در فرآیند اعمال روش گاوس، هر معادله ای به تساوی 0 = 1 تبدیل شود (ضرایب مجهولات به 0 تبدیل می شود و سمت راست مقدار غیر صفر به خود می گیرد) سیستم اصلی هیچ راه حلی ندارد، زیرا چنین برابری برای هر مقدار ناشناخته نادرست است.

سیستمی متشکل از سه معادله خطی با سه مجهول را در نظر بگیرید:

(2)

جایی که – ناشناخته؛ - ضرایب برای مجهولات، - اعضای رایگان

سیستم های معادلات به طور گسترده ای در بخش اقتصادی برای مدل سازی ریاضی فرآیندهای مختلف استفاده می شود. به عنوان مثال، هنگام حل مشکلات مدیریت تولید و برنامه ریزی، مسیرهای لجستیک (مشکل حمل و نقل) یا قرار دادن تجهیزات.

سیستم های معادلات نه تنها در ریاضیات، بلکه در فیزیک، شیمی و زیست شناسی، هنگام حل مسائل مربوط به یافتن اندازه جمعیت مورد استفاده قرار می گیرند.

سیستم معادلات خطی دو یا چند معادله با چندین متغیر است که برای آنها باید یک جواب مشترک پیدا کرد. چنین دنباله ای از اعداد که برای آن همه معادلات به برابری های واقعی تبدیل می شوند یا ثابت می کنند که دنباله وجود ندارد.

معادله خطی

معادلات شکل ax+by=c را خطی می نامند. عناوین x، y مجهولی هستند که مقدار آنها را باید پیدا کرد، b، a ضرایب متغیرها، c عبارت آزاد معادله است.
حل یک معادله با رسم آن مانند یک خط مستقیم به نظر می رسد که همه نقاط آن راه حل چند جمله ای هستند.

انواع سیستم های معادلات خطی

ساده‌ترین مثال‌ها، سیستم‌های معادلات خطی با دو متغیر X و Y هستند.

F1(x,y) = 0 و F2(x,y) = 0 که در آن F1,2 توابع و (x,y) متغیرهای تابع هستند.

حل سیستم معادلات - این به معنای یافتن مقادیر (x، y) است که در آن سیستم به یک برابری واقعی تبدیل می‌شود یا اینکه مقادیر مناسب x و y وجود ندارند.

یک جفت مقدار (x, y) که به صورت مختصات یک نقطه نوشته می شود، راه حل یک سیستم معادلات خطی نامیده می شود.

اگر سیستم ها یک راه حل مشترک داشته باشند یا هیچ راه حلی وجود نداشته باشد، معادل نامیده می شوند.

سیستم های همگن معادلات خطی سیستم هایی هستند که سمت راست آنها برابر با صفر است. اگر قسمت سمت راست بعد از علامت مساوی دارای مقدار باشد یا با تابعی بیان شود، چنین سیستمی ناهمگن است.

تعداد متغیرها می تواند بسیار بیشتر از دو باشد، پس باید در مورد مثالی از یک سیستم معادلات خطی با سه یا چند متغیر صحبت کنیم.

در مواجهه با سیستم‌ها، دانش‌آموزان تصور می‌کنند که تعداد معادلات لزوماً باید با تعداد مجهول‌ها منطبق باشد، اما اینطور نیست. تعداد معادلات در سیستم به متغیرها بستگی ندارد، می تواند به تعداد دلخواه وجود داشته باشد.

روش های ساده و پیچیده برای حل سیستم معادلات

هیچ روش تحلیلی کلی برای حل این گونه سیستم ها وجود ندارد، همه روش ها بر اساس حل های عددی هستند. درس ریاضی مدرسه به تفصیل روش هایی مانند جایگشت، جمع جبری، جایگزینی و همچنین روش های گرافیکی و ماتریسی، حل با روش گاوسی را شرح می دهد.

وظیفه اصلی هنگام آموزش روش های حل، آموزش نحوه تجزیه و تحلیل صحیح سیستم و یافتن الگوریتم راه حل بهینه برای هر مثال است. نکته اصلی حفظ سیستمی از قوانین و اقدامات برای هر روش نیست، بلکه درک اصول استفاده از یک روش خاص است.

حل نمونه هایی از سیستم های معادلات خطی در برنامه درسی آموزش عمومی پایه هفتم بسیار ساده و با جزئیات کامل توضیح داده شده است. در هر کتاب ریاضی به این بخش توجه کافی شده است. حل نمونه‌هایی از سیستم‌های معادلات خطی با استفاده از روش گاوس و کرامر در سال‌های اول تحصیلات عالی با جزئیات بیشتری مورد بررسی قرار می‌گیرد.

حل سیستم ها با استفاده از روش جایگزینی

اقدامات روش جایگزینی با هدف بیان مقدار یک متغیر بر حسب متغیر دوم است. عبارت در معادله باقی مانده جایگزین می شود، سپس به شکلی با یک متغیر کاهش می یابد. این عمل بسته به تعداد مجهولات در سیستم تکرار می شود

اجازه دهید برای مثالی از یک سیستم معادلات خطی کلاس 7 با استفاده از روش جایگزینی راه حلی ارائه دهیم:

همانطور که از مثال مشخص است، متغیر x از طریق F(X) = 7 + Y بیان شده است. . حل این مثال آسان است و به شما امکان می دهد مقدار Y را بدست آورید. آخرین مرحله بررسی مقادیر بدست آمده است.

همیشه نمی توان نمونه ای از یک سیستم معادلات خطی را با جایگزینی حل کرد. معادلات می توانند پیچیده باشند و بیان متغیر بر حسب مجهول دوم برای محاسبات بیشتر دست و پا گیر خواهد بود. هنگامی که بیش از 3 مجهول در سیستم وجود دارد، حل با جایگزینی نیز نامناسب است.

حل یک مثال از سیستم معادلات ناهمگن خطی:

حل با استفاده از جمع جبری

هنگام جستجوی راه حل برای سیستم ها با استفاده از روش جمع، معادلات عبارت به ترم اضافه می شوند و در اعداد مختلف ضرب می شوند. هدف نهاییعملیات ریاضی معادله ای با یک متغیر است.

برای برنامه های کاربردی این روشتمرین و مشاهده لازم است. حل یک سیستم معادلات خطی با استفاده از روش جمع زمانی که 3 یا بیشتر متغیر وجود دارد آسان نیست. هنگامی که معادلات حاوی کسری و اعشاری هستند، استفاده از جمع جبری راحت است.

الگوریتم حل:

1. دو طرف معادله را در عدد معینی ضرب کنید. در نتیجه عمل حسابییکی از ضرایب متغیر باید برابر با 1 شود.
2. عبارت حاصل را ترم به ترم اضافه کنید و یکی از مجهولات را پیدا کنید.
3. مقدار حاصل را در معادله دوم سیستم جایگزین کنید تا متغیر باقیمانده را پیدا کنید.

روش حل با معرفی یک متغیر جدید

در صورتی که سیستم نیاز به یافتن راه حلی برای حداکثر دو معادله داشته باشد، می توان یک متغیر جدید معرفی کرد؛ همچنین تعداد مجهول ها نباید بیشتر از دو معادله باشد.

این روش برای ساده سازی یکی از معادلات با معرفی یک متغیر جدید استفاده می شود. معادله جدید برای مجهول معرفی شده حل می شود و مقدار حاصل برای تعیین متغیر اصلی استفاده می شود.

مثال نشان می دهد که با معرفی یک متغیر جدید t، می توان معادله 1 سیستم را به یک مثلث درجه دوم استاندارد کاهش داد. شما می توانید یک چند جمله ای را با پیدا کردن ممیز حل کنید.

لازم است مقدار ممیز را با استفاده از فرمول معروف بدست آوریم: D = b2 - 4*a*c که D ممیز مورد نظر است، b، a، c عوامل چند جمله ای هستند. در مثال داده شده، a=1، b=16، c=39، بنابراین D=100. اگر ممیز بزرگتر از صفر باشد، دو راه حل وجود دارد: t = -b±√D / 2*a، اگر ممیز کمتر از صفر باشد، یک راه حل وجود دارد: x = -b / 2*a.

راه حل برای سیستم های حاصل با روش جمع یافت می شود.

روش بصری برای حل سیستم ها

مناسب برای 3 سیستم معادله. این روش شامل ساخت نمودارهای هر معادله موجود در سیستم بر روی محور مختصات است. مختصات نقاط تقاطع منحنی ها راه حل کلی سیستم خواهد بود.

روش گرافیکی دارای تعدادی تفاوت ظریف است. بیایید به چند نمونه از حل سیستم معادلات خطی به صورت تصویری نگاه کنیم.

همانطور که از مثال مشخص است، برای هر خط دو نقطه ساخته شد، مقادیر متغیر x به صورت دلخواه انتخاب شدند: 0 و 3. بر اساس مقادیر x، مقادیر y پیدا شد: 3 و 0. نقاط با مختصات (0، 3) و (3، 0) روی نمودار مشخص شده و با یک خط به هم متصل شدند.

مراحل باید برای معادله دوم تکرار شوند. نقطه تلاقی خطوط راه حل سیستم است.

مثال زیر مستلزم یافتن یک جواب گرافیکی برای یک سیستم معادلات خطی است: 0.5x-y+2=0 و 0.5x-y-1=0.

همانطور که از مثال مشخص است، سیستم هیچ راه حلی ندارد، زیرا نمودارها موازی هستند و در تمام طول خود قطع نمی کنند.

سیستم‌های مثال‌های 2 و 3 مشابه هستند، اما وقتی ساخته می‌شوند، مشخص می‌شود که راه‌حل‌های آنها متفاوت است. باید به خاطر داشت که همیشه نمی توان گفت که آیا یک سیستم راه حل دارد یا خیر، همیشه باید یک نمودار ساخت.

ماتریس و انواع آن

از ماتریس ها برای نوشتن مختصر یک سیستم معادلات خطی استفاده می شود. ماتریس نوع خاصی از جدول پر از اعداد است. n*m دارای n - سطر و m - ستون است.

یک ماتریس زمانی مربع است که تعداد ستون ها و ردیف ها برابر باشد. ماتریس-بردار ماتریسی از یک ستون با تعداد بی نهایت ممکن سطر است. ماتریسی که در امتداد یکی از مورب ها و سایر عناصر صفر باشد هویت نامیده می شود.

ماتریس معکوس، ماتریسی است که در ضرب آن، ماتریس اصلی به یک ماتریس واحد تبدیل می شود؛ چنین ماتریسی فقط برای ماتریس مربع اصلی وجود دارد.

قوانین تبدیل سیستم معادلات به ماتریس

در رابطه با سیستم های معادلات، ضرایب و عبارت های آزاد معادلات به صورت اعداد ماتریسی نوشته می شوند؛ یک معادله یک ردیف از ماتریس است.

اگر حداقل یکی از عناصر سطر صفر نباشد، به یک ردیف ماتریسی غیرصفر گفته می شود. بنابراین، اگر در هر یک از معادلات تعداد متغیرها متفاوت باشد، باید به جای مجهول گمشده، صفر وارد شود.

ستون های ماتریس باید کاملاً با متغیرها مطابقت داشته باشند. این بدان معنی است که ضرایب متغیر x را می توان فقط در یک ستون نوشت، برای مثال اولی، ضریب مجهول y - فقط در ستون دوم.

هنگام ضرب یک ماتریس، تمام عناصر ماتریس به صورت متوالی در یک عدد ضرب می شوند.

گزینه هایی برای یافتن ماتریس معکوس

فرمول برای یافتن ماتریس معکوس بسیار ساده است: K -1 = 1 / |K|، که در آن K -1 ماتریس معکوس است و |K| تعیین کننده ماتریس است. |K| نباید برابر با صفر باشد، پس سیستم یک راه حل دارد.

تعیین کننده به راحتی برای یک ماتریس دو در دو محاسبه می شود؛ فقط باید عناصر مورب را در یکدیگر ضرب کنید. برای گزینه "سه در سه" فرمولی وجود دارد |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . می توانید از فرمول استفاده کنید یا به یاد داشته باشید که باید از هر سطر و هر ستون یک عنصر بگیرید تا تعداد ستون ها و ردیف های عناصر در کار تکرار نشود.

حل نمونه هایی از سیستم های معادلات خطی با استفاده از روش ماتریسی

روش ماتریسی برای یافتن راه حل به شما امکان می دهد هنگام حل سیستم هایی با تعداد زیادی متغیر و معادلات، ورودی های دست و پا گیر را کاهش دهید.

در مثال، a nm ضرایب معادلات است، ماتریس یک بردار است x n متغیر هستند و b n عبارت‌های آزاد هستند.

حل سیستم ها با استفاده از روش گاوسی

در ریاضیات عالی، روش گاوسی همراه با روش کرامر مورد مطالعه قرار می گیرد و فرآیند یافتن راه حل برای سیستم ها، روش حل گاوس-کرامر نامیده می شود. از این روش ها برای یافتن متغیرهای سیستم هایی با تعداد معادلات خطی زیاد استفاده می شود.

روش گاوس بسیار شبیه به جواب های جایگزین و جمع جبری است، اما سیستماتیک تر است. در دوره مدرسه، حل به روش گاوسی برای سیستم های معادله 3 و 4 استفاده می شود. هدف از این روش کاهش سیستم به شکل ذوزنقه معکوس است. با استفاده از تبدیل ها و جانشینی های جبری، مقدار یک متغیر در یکی از معادلات سیستم پیدا می شود. معادله دوم عبارتی است با 2 مجهول، در حالی که 3 و 4 به ترتیب دارای 3 و 4 متغیر هستند.

پس از آوردن سیستم به شکل توصیف شده، راه حل بعدی به جایگزینی متوالی متغیرهای شناخته شده در معادلات سیستم کاهش می یابد.

در کتاب های درسی مدرسه برای کلاس هفتم، نمونه ای از راه حل با روش گاوس به شرح زیر است:

همانطور که از مثال مشخص است، در مرحله (3) دو معادله به دست آمد: 3x 3 -2x 4 =11 و 3x 3 +2x 4 =7. حل هر یک از معادلات به شما امکان می دهد یکی از متغیرهای x n را پیدا کنید.

قضیه 5 که در متن به آن اشاره شده است، بیان می کند که اگر یکی از معادلات سیستم با معادلی جایگزین شود، سیستم حاصل نیز معادل معادله اصلی خواهد بود.

درک روش گاوس برای دانش آموزان دشوار است دبیرستان، اما یکی از جالب ترین راه ها برای رشد نبوغ کودکان ثبت نام شده در برنامه های یادگیری پیشرفته در کلاس های ریاضی و فیزیک است.

برای سهولت ثبت، محاسبات معمولاً به صورت زیر انجام می شود:

ضرایب معادلات و عبارت های آزاد به صورت ماتریسی نوشته می شوند که هر ردیف از ماتریس با یکی از معادلات سیستم مطابقت دارد. سمت چپ معادله را از سمت راست جدا می کند. اعداد رومی تعداد معادلات موجود در سیستم را نشان می دهد.

ابتدا ماتریسی را که باید با آن کار کنید، یادداشت کنید، سپس تمام اقدامات انجام شده با یکی از ردیف ها را بنویسید. ماتریس حاصل بعد از علامت فلش نوشته می شود و عملیات جبری لازم تا حصول نتیجه ادامه می یابد.

نتیجه باید ماتریسی باشد که در آن یکی از مورب ها برابر با 1 است و سایر ضرایب برابر با صفر هستند، یعنی ماتریس به یک فرم واحد کاهش می یابد. نباید فراموش کنیم که محاسبات را با اعداد در دو طرف معادله انجام دهیم.

این روش ضبط کمتر دست و پا گیر است و به شما امکان می دهد با فهرست کردن مجهولات متعدد حواس شما پرت نشود.

استفاده رایگان از هر روش راه حلی نیاز به مراقبت و کمی تجربه دارد. همه روش ها ماهیت کاربردی ندارند. برخی از روش‌های یافتن راه‌حل در حوزه خاصی از فعالیت‌های انسانی ارجحیت دارند، در حالی که برخی دیگر برای اهداف آموزشی وجود دارند.

یافتن راه حل برای یک سیستم خطی
برنامه های کاربردی ویندوز قابل حمل در Bodrenko.com

§2. یافتن راه حل برای یک سیستم خطی

قضیه کرونکر-کاپلی شرط لازم و کافی را برای سازگاری یک سیستم خطی ایجاد می کند، اما راهی برای یافتن راه حل برای این سیستم ارائه نمی دهد.
در این بخش راه حل های سیستم خطی (3.1) را خواهیم یافت. ابتدا ساده ترین حالت یک سیستم درجه دوم از معادلات خطی با تعیین کننده غیر صفر ماتریس اصلی را در نظر می گیریم و سپس به سراغ یافتن مجموعه همه راه حل های سیستم خطی کلی شکل (3.1) می رویم.
1. سیستم درجه دوم معادلات خطی با تعیین کننده غیر صفر ماتریس اصلی.اجازه دهید یک سیستم درجه دوم از معادلات خطی داده شود

با یک دترمینان غیر صفر ماتریس اصلی

اجازه دهید ثابت کنیم که چنین سیستمی راه حل منحصر به فردی دارد و ما این راه حل را پیدا خواهیم کرد. ابتدا ثابت می کنیم که سیستم (3.10) تنها می تواند یک راه حل داشته باشد (یعنی منحصر به فرد بودن راه حل برای سیستم (3.10) را با فرض وجود آن اثبات می کنیم).
فرض کنید هر n عدد x 1، x 2،...، x n وجود دارد، به طوری که هنگام جایگزینی این اعداد در سیستم (3.10)، تمام معادلات این سیستم تبدیل به هویت می شوند (یعنی راه حلی برای سیستم وجود دارد ( 3.10) x 1، x 2،...، x n). سپس هویت های (3.10) را به ترتیب در متمم های جبری A 1j , A 2j ,..., A nj عناصر ستون j-ro از تعیین کننده Δ ماتریس (3.11) ضرب کرده و هویت های حاصل را جمع می کنیم. به دست آورید (برای هر عدد j، برابر با 1، 2،...، n)

با توجه به اینکه مجموع حاصلضرب عناصر ستون i به وسیله مکمل های جبری متناظر عناصر ستون j-ro برابر با صفر برای i ≠ j و برابر با دترمینال Δ ماتریس (3.11) برای i = j (به ویژگی 4° از بند 4 از §2 از فصل 1 مراجعه کنید)، از آخرین برابری به دست می آوریم

x j Δ = b 1 A 1j + b 2 A 2j + ... + b n A nj . (3.12)

اجازه دهید با نماد نشان دهیمΔ j (ب من ) (یا به طور خلاصه نمادΔ j ) تعیین کننده به دست آمده از تعیین کنندهΔ ماتریس اصلی (3.11) با جایگزینی ستون j ام آن با ستونی از عبارت های آزاد b 1 ، ب 2 ،...، ب n (همه ستون های دیگر را بدون تغییر نگه دارید Δ ).
توجه داشته باشید که در سمت راست (3.12) دقیقاً تعیین کننده Δ j (b i) وجود دارد (برای تأیید این موضوع کافی است بسط د j (b i) را بر حسب عناصر i-ام بنویسید. ستون)، و این برابری شکل می گیرد

Δ x j = Δ j (3.13)

از آنجایی که تعیین کننده Δ ماتریس (3.11) غیر صفر است، برابری های (3.13) معادل روابط هستند.

پس ما این را ثابت کرده ایم اگر راه حل x 1 ، ایکس 2 ،...،ایکس n سیستم (3.10) با تعیین کنندهΔ ماتریس اصلی (3.11) متفاوت از صفر وجود دارد، سپس این راه حل به طور منحصر به فرد با فرمول (3.14) تعیین می شود..
فرمول های (3.14) نامیده می شوند فرمول های کرامر.
اجازه دهید یک بار دیگر تاکید کنیم که فرمول های کرامر تاکنون با فرض وجود یک راه حل به دست آمده اند و منحصر به فرد بودن آن را ثابت می کنند.
باقی مانده است که وجود یک راه حل برای سیستم را اثبات کنیم (3.10). برای انجام این کار، با استفاده از قضیه کرونکر-کاپلی، کافی است ثابت کنیم که رتبه ماتریس اصلی (3.11) برابر با رتبه ماتریس توسعه یافته است (راه دیگری برای اثبات وجود راه حل برای آن وجود دارد. سیستم (3.10)، که شامل بررسی این است که آیا اعداد x 1، x 2،...، x n که با فرمول‌های کرامر (3.14) تعریف شده‌اند، همه معادلات سیستم (3.10) را به هویت تبدیل می‌کنند.

اما این واضح است، زیرا به دلیل رابطه Δ ≠ 0، رتبه ماتریس اصلی برابر با n است و رتبه ماتریس توسعه یافته (3.15) حاوی n ردیف نمی تواند از عدد n بزرگتر باشد و بنابراین برابر با رتبه ماتریس اصلی است.
این کاملا این را ثابت می کند سیستم درجه دوم معادلات خطی (3.10) با تعیین کننده ماتریس اصلی متفاوت از صفر است، و علاوه بر این، یک راه حل منحصر به فرد تعیین شده توسط فرمول های کرامر (3.14).

عبارتی که ما ثابت کرده‌ایم را می‌توان حتی ساده‌تر با استفاده از روش ماتریس ایجاد کرد. برای انجام این کار، معادله ماتریسی معادل آن را جایگزین (مانند بند 1 بند 1) سیستم (3.10) می کنیم.

AX = B، (3.16)

که در آن A ماتریس اصلی سیستم است (3.11)، و X و B ستون هستند،

که اولی باید مشخص شود و دومی داده می شود.
از آنجایی که تعیین کننده Δ ماتریس A با صفر متفاوت است، یک ماتریس معکوس A -1 وجود دارد (به پاراگراف 7، §2، فصل 1 مراجعه کنید).
اجازه دهید فرض کنیم که یک راه حل برای سیستم (3.10) وجود دارد، به عنوان مثال. یک ستون X وجود دارد که معادله ماتریس (3.16) را به یک هویت تبدیل می کند. با ضرب هویت مشخص شده در سمت چپ در ماتریس معکوس A -1 خواهیم داشت

A -1 (AX) = A -1 V. (3.17)

اجازه دهید اکنون در نظر بگیریم که به دلیل ویژگی ترکیبی حاصلضرب سه ماتریس (به بند 2، § 1، فصل 1 مراجعه کنید) و به دلیل رابطه A -1 A = E، که در آن E ماتریس هویت است (به پاراگراف مراجعه کنید. 7، §2، فصل 1)، A -1 (AX) = (A -1 A)X = EX = X، بنابراین از (3.17) می‌گیریم.

X = A -1 V. (3.18)

گسترش برابری (3.18) و در نظر گرفتن شکل ماتریس معکوس (نگاه کنید به فرمول A.41) از بند 7 از §2 از Ch. 1)، فرمول های کرامر را برای عناصر ستون X بدست می آوریم.
بنابراین، ما ثابت کرده‌ایم که اگر جوابی برای معادله ماتریس (3.16) وجود داشته باشد، آنگاه به طور منحصربه‌فرد با رابطه (3.18)، معادل فرمول‌های کرامر تعیین می‌شود.
به راحتی می توان بررسی کرد که ستون X تعریف شده توسط رابطه (3.18) در واقع راه حلی برای معادله ماتریس (3.16) است.
یعنی وقتی در این معادله جایگزین شود، آن را به یک هویت تبدیل می کند. در واقع، اگر ستون X با برابری (3.18) تعیین شود، AX = A(A -1 B) = (AA -1)B = EB = B.
بنابراین، اگر تعیین‌کننده Δ ماتریس A با صفر متفاوت باشد (یعنی اگر این ماتریس غیر مفرد باشد)، در این صورت، و علاوه بر این، یک راه حل منحصر به فرد برای معادله ماتریس (3.16) وجود دارد که با رابطه ( 3.18)، معادل فرمول های کرامر.
مثال. بیایید راه حل یک سیستم درجه دوم معادلات خطی را پیدا کنیم

با تعیین کننده غیر صفر ماتریس اصلی

از آنجا که

سپس، بر اساس فرمول های کرامر، تنها راه حل برای سیستم مورد بررسی به شکل x 1 = 1، x 2 = 2، x 3 = 3، x 4 = 4 است.
اهمیت اصلی فرمول های کرامر این است که آنها بیان صریحی را برای حل یک سیستم درجه دوم معادلات خطی (با تعیین کننده غیر صفر) بر حسب ضرایب معادلات و عبارات آزاد ارائه می دهند. استفاده عملی از فرمول های کرامر شامل محاسبات نسبتاً دست و پا گیر است (برای حل یک سیستم از n معادله با n مجهول، باید تعیین کننده مرتبه n (n + 1) را محاسبه کرد). به این نکته باید اضافه کرد که اگر ضرایب معادلات و عبارات آزاد فقط مقادیر تقریبی هر کمیت فیزیکی اندازه گیری شده باشد یا در طی فرآیند محاسبات گرد شوند، استفاده از فرمول های کرامر می تواند منجر به خطاهای بزرگ و در برخی موارد شود. نامناسب است
در بند 4 از فصل 4، روش منظم سازی ناشی از A.N ارائه خواهد شد. تیخونوف و به فرد اجازه می دهد برای یک سیستم خطی راه حلی با دقتی مطابق با دقت تعیین ماتریس ضرایب معادله و ستون عبارت های آزاد پیدا کند و در فصل. 6 ایده ای از روش های به اصطلاح تکرار شونده برای حل سیستم های خطی را ارائه می دهد که حل این سیستم ها را با استفاده از تقریب های متوالی مجهولات ممکن می کند.
در نتیجه، ما متذکر می شویم که در این بخش مواردی را که تعیین کننده Δ ماتریس اصلی سیستم (3.10) ناپدید می شود، از بررسی حذف کردیم. این مورد در نظریه عمومیسیستم های m معادلات خطی با n مجهول، ارائه شده در پاراگراف بعدی.
2. یافتن تمام راه حل های سیستم خطی کلی.اکنون سیستم کلی معادلات خطی m با n مجهول را در نظر می گیریم (3.1). فرض کنید این سیستم سازگار است و رتبه ماتریس های اصلی و توسعه یافته آن برابر با عدد r است. بدون از دست دادن کلیت، می‌توان فرض کرد که مبنای مینور ماتریس اصلی (3.2) در گوشه سمت چپ بالای این ماتریس است (مورد کلی با تنظیم مجدد معادلات و مجهولات در سیستم (3.1) به این حالت کاهش می‌یابد.
سپس اولین ردیف‌های r ماتریس اصلی (3.2) و ماتریس توسعه‌یافته (3.8) ردیف‌های پایه این ماتریس‌ها هستند (از آنجایی که رتبه‌های ماتریس اصلی و توسعه‌یافته هر دو برابر با r هستند، مینور پایه ماتریس اصلی به طور همزمان مینور پایه ماتریس توسعه یافته خواهد بود، و طبق قضیه 1.6 بر اساس مینور، هر یک از ردیف های ماتریس توسعه یافته (1.8)، که از ردیف (r + 1) شروع می شود، ترکیبی خطی از اولین ردیف های r این ماتریس.
از نظر سیستم (3.1)، به این معنی است که هر یک از معادلات این سیستم، که با معادله (r + 1) شروع می شود، یک ترکیب خطی (یعنی پیامد) از اولین معادلات r این سیستم است. یعنی هر حل معادلات r اول سیستم (3.1) همه معادلات بعدی این سیستم را به هویت تبدیل می کند.).
بنابراین، یافتن تمام جوابهای تنها r معادلات اول سیستم (3.1) کافی است. اجازه دهید اولین معادلات r سیستم (3.1) را در نظر بگیریم و آنها را به شکل بنویسیم

اگر مجهولات x r+1 ,...,x n مقدار کاملا دلخواه را به c r+1 ,...,c n بدهیم، سیستم (1.19) به یک سیستم درجه دوم از r معادلات خطی برای r مجهول x تبدیل می شود. 1 , x 2 , ..., x r , و تعیین کننده ماتریس اصلی این سیستم مینور پایه غیر صفر ماتریس (3.2) است. با توجه به نتایج پاراگراف قبلی، این سیستم (3.19) دارای یک راه حل منحصر به فرد است که با فرمول های کرامر تعیین می شود، یعنی برای cr+1،...،c n که به طور دلخواه انتخاب شده است، مجموعه منحصر به فردی از r اعداد c 1، وجود دارد. .,c r، تمام معادلات سیستم (3.19) را به هویت تبدیل می کند و با فرمول های کرامر تعریف می شود.
برای نوشتن این راه حل منحصر به فرد، ما موافقت می کنیم که با جایگزین کردن ستون j-ro آن با ستونی از اعداد d 1، d 2، تعیین کننده به دست آمده از پایه مینور M ماتریس (3.2) را با نماد Mj (d i) نشان دهیم. ...,d i,..., d r (با سایر ستون های M که بدون تغییر حفظ می شوند). سپس با نوشتن جواب سیستم (3.19) با استفاده از فرمول های کرامر و با استفاده از ویژگی خطی دترمینان، به دست می آوریم.

فرمول های (3.20) مقادیر مجهولات x j = c j (j = 1، 2، ......، r) را از طریق ضرایب مجهولات، اصطلاحات آزاد و پارامترهای دلخواه مشخص شده با r+1، بیان می کنند. ...، با n.
این را ثابت کنیم فرمول (3.20) حاوی هر راه حلی برای سیستم (3.1) است.. در واقع، اجازه دهید c (0) 1 , c (0) 2 ,...,c (0) r , c (0) r+1 , ...,c (0) n یک راه حل دلخواه از سیستم مشخص شده باشد. . سپس راه حلی برای سیستم (3.19) است. اما از سیستم (3.19) کمیت های c (0) 1 , c (0) 2 ,...,c (0) r به طور یکتا از طریق کمیت های c (0) r+1 , ...,c (0) تعیین می شوند. ) n و دقیقاً طبق فرمول های کرامر (3.20). بنابراین، با r+1 = ج (0) r+1، ...، با n = ج (0) n فرمول (3.20) دقیقاً راه حل مورد نظر را به ما می دهد (0) 1 ، ج (0) 2 ،...، ج (0) r ، ج (0) r+1، ...، ج (0) n .
اظهار نظر.اگر رتبه r ماتریس های اصلی و توسعه یافته سیستم (3.1) برابر با تعداد مجهولات n باشد، در این حالت روابط (3.20) به فرمول تبدیل می شود.

تعریف راه حل منحصر به فرد سیستم (3.1). بنابراین، سیستم (3.1) یک راه حل منحصر به فرد دارد (یعنی قطعی است) مشروط بر اینکه رتبه r ماتریس های اصلی و توسعه یافته آن برابر با تعداد مجهولات n (و کمتر یا مساوی تعداد معادلات m) باشد.
مثال. بیایید همه راه حل های سیستم خطی را پیدا کنیم

به راحتی می توان تأیید کرد که رتبه هر دو ماتریس اصلی و توسعه یافته این سیستم برابر با دو است (یعنی این سیستم سازگار است) و می توانیم فرض کنیم که مینور M اصلی در گوشه سمت چپ بالای ماتریس اصلی است. ، یعنی . اما پس از کنار گذاشتن دو معادله آخر و تنظیم دلخواه با 3 و 4، سیستم را بدست می آوریم.

x 1 - x 2 = 4 - c 3 + c 4،

x 1 + x 2 = 8 - 2c 3 - 3c 4،

که به موجب فرمول های کرامر، مقادیر را از آن به دست می آوریم

x 1 = c 1 = 6 - 3/2 c 3 - c 4، x 2 = c 2 = 2 - 1/2 c 3 - 2c 4. (3.22)

پس چهار عدد

(6 - 3/2 c 3 - c 4,2 - 1/2 c 3 - 2c 4, c 3, c 4) (3.23)

برای مقادیر دلخواه داده شده c 3 و c 4 آنها یک راه حل برای سیستم (3.21) تشکیل می دهند و خط (3.23) شامل تمام راه حل های این سیستم است.

3. خواص مجموعه ای از راه حل ها سیستم همگن. اجازه دهید اکنون یک سیستم همگن از m معادلات خطی با n مجهول (3.7) را در نظر بگیریم، با این فرض، همانطور که در بالا، ماتریس (3.2) دارای رتبه ای برابر با r است، و اینکه پایه مینور M در گوشه سمت چپ بالای این قرار دارد. ماتریس از آنجایی که در این زمان همه b i برابر با صفر است، به جای فرمول (3.20) فرمول های زیر را بدست می آوریم:

بیان مقادیر مجهولات x j = c j (j = 1, 2,..., r) از طریق ضرایب مجهولات و مقادیر دلخواه c r+1,...,c n. با توجه به آنچه در پاراگراف قبل ثابت شد فرمول (3.24) حاوی هر محلولی از سیستم همگن (3.7) است..
اجازه دهید اکنون مطمئن شویم که مجموعه از تمام محلول های سیستم همگن (3.7) یک فضای خطی تشکیل می دهد.
فرض کنید X 1 = (x (1) 1، x (1) 2،...، x (1) n) و X 2 = (x (2) 1، x (2) 2،...،x ( 2) n) دو راه حل دلخواه سیستم همگن هستند (3.7) و λ هر عدد واقعی است. با توجه به اینکه هر جواب سیستم همگن (3.7) عنصری از فضای خطی A n از تمام مجموعه های مرتب شده از n عدد است، کافی است ثابت کنیم که هر یک از دو مجموعه

X 1 + X 2 = (x (1) 1 + x (2) 1 ,...، x (1) n + x (2) n)

λ X 1 = (λ x (1) 1 ,...، λ x (1) n)

همچنین راه حلی برای سیستم همگن است (3.7).
اجازه دهید هر معادله سیستم (3.7)، برای مثال معادله i را در نظر بگیریم و عناصر مجموعه های نشان داده شده را به جای مجهولات در این معادله جایگزین کنیم. با توجه به اینکه X 1 و X 2 راه حل های یک سیستم همگن هستند، خواهیم داشت

و این بدان معنی است که مجموعه های X 1 + X 2 و λ X 1 راه حل هایی برای سیستم همگن هستند (3.7).
بنابراین، مجموعه تمام راه حل های سیستم همگن (3.7) یک فضای خطی را تشکیل می دهد که آن را با نماد R نشان می دهیم.
بیایید بعد این فضای R را پیدا کنیم و در آن مبنایی بسازیم.
اجازه دهید ثابت کنیم که با این فرض که رتبه ماتریس سیستم همگن (3.7) برابر با r است، فضای خطی R همه محلول های سیستم همگن (3.7) با فضای خطی A هم شکل است. n-r همه مجموعه های مرتب شده از اعداد (n - r).(فضای A m در مثال 3، بخش 1، بخش 1، فصل 2 معرفی شد).

اجازه دهید هر راه حل (c 1 ,...,c r , c r+1 ,...,c n) سیستم همگن (3.7) را با یک عنصر (cr+1,...,c n) مرتبط کنیم. فضا آ n-rاز آنجایی که اعداد c r+1 ,...,c n را می توان به صورت دلخواه انتخاب کرد و با هر انتخاب با استفاده از فرمول (3.24) حل سیستم (3.7) را به طور منحصر به فرد تعیین می کنند، پس مطابقتی که ایجاد کرده ایم این است. یک به یک. سپس توجه می کنیم که اگر عناصر c (1) r+1 ,...,c (1) n و c (2) r+1 ,...,c (2) n فضا آ n-rمطابق با عناصر (c (1) 1 ,...,c (1) r , c (1) r+1 ,...,c (1) n) و (c (2) 1 ,... ,c (2) r , c (2) r+1 ,...,c (2) n) فضای R، سپس از فرمول (3.24) بلافاصله نتیجه می شود که عنصر (c (1) r+1 + c (2) r+1 ,...,c (1) n +c (2) n) مربوط به عنصر (c (1) 1 + c (2) 1 ,...,c (1) است. r + c (2) r , c (1) r+1 + c (2) r+1 ,...,c (1) n +c (2) n) و عنصر (λc (1) r+1 ,... ,λ c (1) n) برای هر λ واقعی با عنصر (λ c (1) 1 ,..., λ c (1) r , λ c (1) r+1 , ...,λ c (1 ) n). این ثابت می کند که مطابقت ما یک هم شکلی است.
بنابراین، فضای خطی R تمام راه حل های سیستم همگن (3.7) با n مجهول و رتبه ماتریس اصلی برابر با r نسبت به فضا هم شکل است. آ n-rو بنابراین دارای بعد n - r است.
هر مجموعه ای از (n - r) راه حل های مستقل خطی سیستم همگن (3.7) (به موجب قضیه 2.5) پایه ای در فضای R همه راه حل ها تشکیل می دهد و مجموعه اساسی راه حل های سیستم همگن نامیده می شود (3.7). .
برای ایجاد مجموعه ای اساسی از راه حل ها، می توانید از هر مبنایی در فضا شروع کنید آ n-r. مجموعه راه حل های سیستم (3.7) مربوط به این مبنا، به دلیل هم ریختی، مستقل خطی خواهد بود و بنابراین مجموعه ای اساسی از راه حل ها خواهد بود.
توجه ویژه ای به مجموعه اساسی راه حل های سیستم (3.7) می شود که با ساده ترین مبنای e 1 = (1، 0، 0،...، 0)، e 2 = (1، 1، 0،) مطابقت دارد. ..، 0)، ...، e n-r = (0، 0، 0،...، 1) فاصله آ n-rو مجموعه بنیادی نرمال از محلول های سیستم همگن نامیده می شود (3.7).
بر اساس فرضیات بالا در مورد رتبه و مکان پایه مینور، بر اساس فرمول (3.24)، مجموعه بنیادی عادی از راه حل های سیستم همگن (3.7) به شکل زیر است:

با تعریف مبنا، هر راه حل X از سیستم همگن (3.7) را می توان به شکل نشان داد.

X= C 1 X 1 + C 2 X 2 + ... + C n-r X n-r ، (3.26)

که در آن C 1، C 2، ...، C n-r برخی از ثابت ها هستند. از آنجایی که فرمول (3.26) حاوی هر محلولی برای سیستم همگن (3.7) است، این فرمول راه حل کلی را برای سیستم همگن در نظر گرفته می دهد.
مثال. یک سیستم معادلات همگن را در نظر بگیرید:

مربوط به سیستم ناهمگن (3.21)، که در مثال در پایان پاراگراف قبل تجزیه و تحلیل شده است. در آنجا متوجه شدیم که رتبه r ماتریس این سیستم برابر با دو است و مینور را در گوشه سمت چپ بالای ماتریس مشخص شده مبنا قرار دادیم.
با تکرار استدلال انجام شده در پایان پاراگراف قبل، به جای فرمول (3.22) روابط را بدست می آوریم.

c 1 = - 3/2 c 3 - c 4، c 2 = - 1/2 c 3 - 2c 4،

برای c 3 و c 4 خودسرانه انتخاب شده معتبر است. با استفاده از این روابط (با فرض اول c 3 = 1, c 4 = 0 و سپس c 3 = 0, c 4 = 1) یک مجموعه اساسی عادی از دو راه حل برای سیستم (3.27) بدست می آوریم:

X 1 = (-3/2، -1/2،1،0)، X 2 = (-1،-2، 0.1). (3.28)

که در آن C 1 و C 2 ثابت دلخواه هستند.
برای نتیجه گیری این بخش، ما بین راه حل های سیستم خطی ناهمگن (3.1) و سیستم همگن مربوطه (3.7) (با ضرایب یکسان برای مجهولات) ارتباط برقرار می کنیم. اجازه دهید دو عبارت زیر را ثابت کنیم.
1 درجه مجموع هر راه حل برای سیستم ناهمگن (3.1) با هر راه حل برای سیستم همگن مربوطه (3.7) یک راه حل برای سیستم (3.1) است.
در واقع، اگر c 1،...،c n راه حلی برای سیستم (3.1) باشد، a d 1،...،d n راه حلی برای سیستم همگن مربوطه (3.7) است، آنگاه با هر یک (مثلاً، در i-th ) معادله سیستم (3.1) به جای اعداد مجهول c 1 + d 1 ,...,c n + d n , بدست می آوریم

Q.E.D.
2 درجه تفاوت دو محلول دلخواه سیستم ناهمگن (3.1) حل سیستم همگن مربوطه (3.7) است.
در واقع، اگر c" 1،...،c" n و c" 1،...،c" n دو راه حل دلخواه سیستم (3.1) باشند، آنگاه، جایگزین هر یک (مثلاً در i- ث) معادله سیستم (3.7) به جای اعداد مجهول c" 1 - c" 1 ,...,c" n - c" n بدست می آید

Q.E.D.
از گزاره های اثبات شده چنین برمی آید که پس از یافتن یک راه حل از سیستم ناهمگن (3.1) و اضافه کردن آن با هر محلول از سیستم همگن مربوطه (3.7)، همه راه حل های سیستم ناهمگن (3.1) را به دست می آوریم.
به عبارت دیگر، مجموع محلول خاص سیستم ناهمگن (3.1) و حل کلی سیستم همگن مربوطه (3.7) جواب کلی سیستم ناهمگن (3.1) را به دست می دهد.
به عنوان یک راه حل خاص برای سیستم ناهمگن (3.1)، طبیعی است که آن راه حل را در نظر بگیریم (مطابق با بالا، فرض می شود که رتبه های ماتریس های اصلی و توسعه یافته سیستم (3.1) برابر با r و پایه است. مینور در گوشه سمت چپ بالای این ماتریس ها قرار دارد)

که در صورتی به دست می آید که در فرمول (3.20) همه اعداد c r+1 ,...,c n را برابر با صفر قرار دهیم. با افزودن این محلول خاص به محلول کلی (3.26) سیستم همگن مربوطه، عبارت زیر را برای محلول کلی سیستم ناهمگن (3.1) بدست می آوریم:

X= X 0 + C 1 X 1 + C 2 X 2 + ... + C n-r X n-r . (3.30)

در این عبارت، X 0 یک راه حل خاص را نشان می دهد (3.29)، C 1، C 2، ...، C n-r ثابت دلخواه هستند، و X 1، X 2،...، X n-r عناصر مجموعه بنیادی عادی هستند. از محلول های (3.25) سیستم همگن مربوطه.
بنابراین، برای سیستم ناهمگن (3.21) در نظر گرفته شده در پایان پاراگراف قبل، یک راه حل خاص از شکل (3.29) برابر است با X 0 = (6،2،0، 0).
با افزودن این محلول خاص به محلول کلی (3.28) سیستم همگن مربوطه (3.27)، راه حل کلی زیر را برای سیستم ناهمگن (3.21) بدست می آوریم:

X = (6،2،0، 0) + C 1 (-3/2،-1/2،1،0) + C 2 (-1،-2، 0.1). (3.31)

در اینجا C 1 و C 2 ثابت دلخواه هستند.
4. نکات پایانی در حل سیستم های خطی.روش‌هایی برای حل سیستم‌های خطی که در پاراگراف‌های قبلی توسعه یافته‌اند
بر نیاز به محاسبه رتبه ماتریس و یافتن پایه آن جزئی استوار است. هنگامی که پایه جزئی پیدا شد، راه حل به تکنیک محاسبه عوامل تعیین کننده و استفاده از فرمول های کرامر می رسد.
برای محاسبه رتبه یک ماتریس می توانید از قانون زیر استفاده کنید: هنگام محاسبه رتبه یک ماتریس، باید از مینورهای مرتبه پایین تر به موارد فرعی با مرتبه بالاتر حرکت کرد. علاوه بر این، اگر یک M جزئی غیر صفر از مرتبه k قبلاً پیدا شده باشد، آنگاه فقط مینورهای مرتبه (k + 1) هم مرز هستند.(یعنی M جزئی را در درون خود دارند) این مینور M است. اگر همه مینورهای مرزی مرتبه (k + 1) برابر با صفر باشند، رتبه ماتریس برابر با k است.(در واقع، در حالت نشان داده شده، تمام ردیف ها (ستون ها) ماتریس متعلق به بدنه خطی k ردیف (ستون) آن هستند که در محل تقاطع آن یک M جزئی وجود دارد و بعد بدنه خطی نشان داده شده است. برابر با k).
اجازه دهید قانون دیگری را برای محاسبه رتبه یک ماتریس نیز مشخص کنیم. توجه داشته باشید که با ردیف‌ها (ستون‌های) یک ماتریس می‌توانید اجرا کنید سه عملیات ابتدایی، که رتبه این ماتریس را تغییر نمی دهند: 1) جایگشت دو سطر (یا دو ستون)، 2) ضرب یک سطر (یا ستون) در هر عامل غیر صفر، 3) اضافه کردن به یک سطر (ستون) یک ترکیب خطی دلخواه از سایر ردیف ها (ستون ها) (این سه عملیات رتبه ماتریس را تغییر نمی دهند، زیرا عملیات 1 و 2) حداکثر تعداد ردیف ها (ستون های) خطی مستقل ماتریس را تغییر نمی دهند. و عمل 3) این خاصیت را دارد که دهانه خطی تمام سطرها (ستون ها) موجود قبل از انجام این عمل با پوشش خطی تمام سطرها (ستون ها) که پس از انجام این عمل به دست می آید منطبق باشد.
ما خواهیم گفت که ماتریس ||a ij ||، حاوی m ردیف و n ستون، دارای موربشکل، اگر تمام عناصر آن به غیر از 11، a 22،...، a rr برابر با صفر باشند، جایی که r = min(m, n). رتبه چنین ماتریسی به وضوح برابر با r است.
بیایید مطمئن شویم که با استفاده از سه عملیات ابتدایی هر ماتریس

را می توان به شکل مورب کاهش داد(که به ما امکان می دهد رتبه آن را محاسبه کنیم).

در واقع، اگر همه عناصر ماتریس (3.31) برابر با صفر باشند، این ماتریس قبلاً به شکل مورب تقلیل یافته است. اگر مادر
دنده ها (3.31) دارای عناصر غیر صفر هستند، سپس با ترتیب مجدد دو ردیف و دو ستون می توان از غیر صفر بودن عنصر a 11 اطمینان حاصل کرد. پس از ضرب ردیف اول ماتریس در 1-11، عنصر a 11 را به یک تبدیل می کنیم. کم کردن بیشتر از ستون j-ro ماتریس (برای j = 2، 3،...، n) ستون اول ضرب در i1، و سپس کم کردن از خط i-ام(برای i = 2, 3,..., n) اولین ردیف ضرب در i1، به جای (3.31) ماتریسی به شکل زیر دریافت می کنیم:

با انجام عملیاتی که قبلاً توضیح دادیم با یک ماتریس گرفته شده در یک قاب، و ادامه عمل به روش مشابه، پس از تعداد محدودی از مراحل، یک ماتریس مورب به دست خواهیم آورد.
روش‌های حل سیستم‌های خطی که در پاراگراف‌های قبل مشخص شد، که در نهایت از دستگاه فرمول‌های کرامر استفاده می‌کنند، در مواردی که مقادیر ضرایب معادلات و عبارت‌های آزاد تقریباً داده می‌شوند یا این مقادیر می‌توانند منجر به خطاهای بزرگ شوند. در طول فرآیند محاسبه گرد می شوند.
اول از همه، این در موردی صدق می کند که ماتریس مربوط به تعیین کننده اصلی (یا ماینور پایه) باشد. شرایط بد(یعنی زمانی که تغییرات "کوچک" در عناصر این ماتریس با تغییرات "بزرگ" در عناصر ماتریس معکوس مطابقت دارد). طبیعتاً در این حالت راه حل سیستم خطی خواهد بود ناپایدار(یعنی تغییرات "کوچک" در مقادیر ضرایب معادلات و عبارات آزاد با تغییرات "بزرگ" در راه حل مطابقت دارد).
شرایط ذکر شده منجر به نیاز به توسعه الگوریتم‌های نظری دیگر (متفاوت از فرمول‌های کرامر) برای یافتن راه‌حل و روش‌های عددی برای حل سیستم‌های خطی می‌شود.
در §4 فصل 4 با آن آشنا می شویم روش منظم سازی توسط A.N. تیخونواپیدا کردن به اصطلاح طبیعی(یعنی نزدیکترین به مبدأ) راه حل سیستم خطی.
فصل 6 اطلاعات اولیه در مورد به اصطلاح ارائه خواهد شد روش های تکراریراه حل های سیستم های خطی که امکان حل این سیستم ها را با استفاده از تقریب های متوالی مجهولات فراهم می کند.