عملیات با کسرهای جبری مفاهیم پایه به صورت کسری جبری نشان داده می شود

این درس مفهوم کسری جبری را پوشش می دهد. مردم در ساده ترین موقعیت های زندگی با کسری مواجه می شوند: زمانی که لازم است یک شی را به چند قسمت تقسیم کنیم، به عنوان مثال، یک کیک را به طور مساوی به ده نفر تقسیم کنیم. بدیهی است که همه یک تکه از کیک را دریافت می کنند. در این حالت با مفهوم کسر عددی روبرو هستیم، اما موقعیتی ممکن است زمانی که یک جسم به تعداد نامعلومی از قطعات مثلاً توسط x تقسیم شود. در این صورت مفهوم عبارت کسری مطرح می شود. شما قبلاً در کلاس هفتم با کل عبارات (بدون تقسیم به عبارات دارای متغیر) و خصوصیات آنها آشنا شده اید. در ادامه به مفهوم کسری گویا و همچنین مقادیر قابل قبول متغیرها خواهیم پرداخت.

عبارات عقلی به دو دسته تقسیم می شوند عبارات عدد صحیح و کسری.

تعریف.کسر گویایک عبارت کسری از شکل است که در آن چند جمله ای ها هستند. - صورت، - مخرج.

نمونه هاعبارات منطقی:- عبارات کسری؛ - عبارات کامل در عبارت اول، برای مثال، صورت، و مخرج آن است.

معنی کسر جبریمثل هر کسی بیان جبری، بستگی به مقدار عددی متغیرهایی دارد که در آن گنجانده شده است. به طور خاص، در مثال اول مقدار کسری به مقادیر متغیرها و و در مثال دوم فقط به مقدار متغیر بستگی دارد.

بیایید اولین کار معمولی را در نظر بگیریم: محاسبه مقدار کسر گویابرای مقادیر مختلف متغیرهای موجود در آن.

مثال 1.مقدار کسری را برای a) ، b) ، c) محاسبه کنید.

راه حل.بیایید مقادیر متغیرها را در کسر مشخص شده جایگزین کنیم: a) , b) , c) - وجود ندارد (زیرا نمی توانید بر صفر تقسیم کنید).

پاسخ:الف) 3؛ ب) 1؛ ج) وجود ندارد.

همانطور که می بینید، دو مشکل معمولی برای هر کسری ایجاد می شود: 1) محاسبه کسری، 2) یافتن مقادیر معتبر و نامعتبرمتغیرهای حرف

تعریف.مقادیر متغیر معتبر- مقادیر متغیرهایی که عبارت در آنها معنی پیدا می کند. مجموعه تمام مقادیر ممکن متغیرها نامیده می شود ODZیا حوزه تعریف.

اگر مخرج کسری در این مقادیر صفر باشد، مقدار متغیرهای تحت اللفظی ممکن است نامعتبر باشد. در تمام موارد دیگر، مقادیر متغیرها معتبر هستند، زیرا کسری را می توان محاسبه کرد.

مثال 2.

راه حل.برای اینکه این عبارت معنی پیدا کند کافی و لازم است که مخرج کسر برابر با صفر نباشد. بنابراین، تنها مقادیری از متغیر نامعتبر خواهند بود که مخرج آنها برابر با صفر باشد. مخرج کسری برابر است، پس معادله خطی را حل می کنیم:

بنابراین، با توجه به مقدار متغیر، کسر معنایی ندارد.

پاسخ: -5.

از حل مثال، قانون یافتن مقادیر نامعتبر متغیرها به شرح زیر است - مخرج کسری برابر با صفر است و ریشه های معادله مربوطه پیدا می شود.

بیایید به چند نمونه مشابه نگاه کنیم.

مثال 3.تعیین کنید که کسر در چه مقادیری از متغیر معنی ندارد .

راه حل..

پاسخ دهید..

مثال 4.تعیین کنید که کسر در چه مقادیری از متغیر معنی ندارد.

راه حل..

فرمول های دیگری از این مشکل وجود دارد - پیدا کنید حوزه تعریفیا محدوده مقادیر بیان قابل قبول (APV). این به معنای یافتن تمام مقادیر معتبر متغیرها است. در مثال ما، اینها همه مقادیر هستند به جز . به راحتی می توان دامنه تعریف را بر روی یک محور عددی به تصویر کشید.

برای انجام این کار، همانطور که در شکل نشان داده شده است، یک نقطه روی آن برش می دهیم:

برنج. 1

بنابراین، دامنه تعریف کسریهمه اعداد به جز 3 وجود خواهد داشت.

پاسخ دهید..

مثال 5.تعیین کنید که کسر در چه مقادیری از متغیر معنی ندارد.

راه حل..

اجازه دهید راه حل حاصل را روی محور عددی به تصویر بکشیم:

برنج. 2

پاسخ دهید..

مثال 6.

راه حل.. برابری دو متغیر را به دست آورده ایم، مثال های عددی می آوریم: یا و غیره.

اجازه دهید این راه حل را روی یک نمودار در سیستم مختصات دکارتی به تصویر بکشیم:

برنج. 3. نمودار یک تابع

مختصات هر نقطه ای که در این نمودار قرار دارد در محدوده مقادیر کسری قابل قبول گنجانده نشده است.

پاسخ دهید..

در مثال های مطرح شده با وضعیتی مواجه شدیم که تقسیم بر صفر اتفاق افتاد. اکنون موردی را در نظر بگیرید که در آن وضعیت جالب تری با تقسیم نوع ایجاد می شود.

مثال 7.تعیین کنید که کسر در چه مقادیری از متغیرها معنی ندارد.

راه حل..

معلوم می شود که کسر در . اما می توان استدلال کرد که اینطور نیست زیرا: .

ممکن است به نظر برسد که اگر عبارت نهایی برابر با 8 در باشد، می توان آن را نیز محاسبه کرد و بنابراین در . با این حال، اگر آن را به عبارت اصلی جایگزین کنیم، دریافت می کنیم - معنی ندارد.

پاسخ دهید..

برای درک بیشتر این مثال، اجازه دهید مشکل زیر را حل کنیم: کسری نشان داده شده در چه مقادیری برابر با صفر است؟

این مقاله در ادامه مبحث تبدیل کسرهای جبری می گوید: چنین عملی را کاهش کسرهای جبری در نظر بگیرید. بیایید خود اصطلاح را تعریف کنیم، یک قانون کاهش را تدوین کنیم و مثال های عملی را تجزیه و تحلیل کنیم.

معنی کاهش کسر جبری

در مطالب مربوط به کسرهای مشترک، به کاهش آن نگاه کردیم. ما تقلیل کسری را به صورت تقسیم صورت و مخرج آن بر یک عامل مشترک تعریف کردیم.

کاهش یک کسر جبری نیز عملیات مشابهی است.

تعریف 1

کاهش کسری جبریتقسیم صورت و مخرج آن بر یک عامل مشترک است. در این حالت، بر خلاف کاهش یک کسر معمولی (مخرج مشترک فقط می تواند یک عدد باشد)، عامل مشترک صورت و مخرج کسری جبری می تواند یک چند جمله ای، به ویژه، یک تک جمله یا یک عدد باشد.

به عنوان مثال، کسر جبری 3 x 2 + 6 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 را می توان با عدد 3 کاهش داد و به این نتیجه رسید: x 2 + 2 x y 6 x 3 · y + 12 · x 2 · y 2 . می‌توانیم همان کسر را با متغیر x کاهش دهیم، و این عبارت 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2 را به ما می‌دهد. همچنین می توان یک کسر معین را با یک تک جمله کاهش داد 3 xیا هر یک از چند جمله ای ها x + 2 y، 3 x + 6 y ، x 2 + 2 x y یا 3 x 2 + 6 x y.

هدف نهایی از کاهش یک کسر جبری، کسری از یک شکل ساده تر، در بهترین حالت یک کسر غیر قابل تقلیل است.

آیا همه کسرهای جبری در معرض کاهش هستند؟

باز هم از مواد روی کسرهای معمولی می دانیم که کسرهای تقلیل پذیر و غیر قابل تقلیل وجود دارد. کسرهای تقلیل ناپذیر به کسری گفته می شود که فاکتورهای صورت و مخرج مشترکی غیر از 1 ندارند.

در مورد کسرهای جبری هم همینطور است: ممکن است فاکتورهای مشترکی در صورت و مخرج داشته باشند، یا ممکن است نداشته باشند. وجود عوامل مشترک به شما امکان می دهد کسر اصلی را از طریق کاهش ساده کنید. وقتی فاکتورهای مشترکی وجود نداشته باشد، بهینه سازی یک کسر معین با استفاده از روش کاهش غیرممکن است.

در موارد کلی، با توجه به نوع کسر، درک اینکه آیا می توان آن را کاهش داد بسیار دشوار است. البته در برخی موارد وجود عامل مشترک بین صورت و مخرج مشهود است. به عنوان مثال، در کسر جبری 3 x 2 3 y مشخص است که عامل مشترک عدد 3 است.

در کسر - x · y 5 · x · y · z 3 ما همچنین بلافاصله متوجه می شویم که می توان آن را با x، یا y، یا x · y کاهش داد. و با این حال، اغلب نمونه هایی از کسرهای جبری وجود دارد، زمانی که فاکتور مشترک صورت و مخرج چندان آسان نیست و حتی بیشتر اوقات، به سادگی وجود ندارد.

به عنوان مثال، ما می توانیم کسری x 3 - 1 x 2 - 1 را به x - 1 کاهش دهیم، در حالی که عامل مشترک مشخص شده در ورودی وجود ندارد. اما کسر x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 · x + 4 قابل کاهش نیست، زیرا صورت و مخرج عامل مشترکی ندارند.

بنابراین، مسئله تعیین تقلیل پذیری یک کسر جبری چندان ساده نیست، و اغلب کار با کسری از یک شکل معین آسان تر از تلاش برای یافتن این است که آیا کسر قابل تقلیل است یا خیر. در این حالت، چنین تبدیل هایی صورت می گیرد که در موارد خاص، تعیین ضریب مشترک صورت و مخرج یا نتیجه گیری در مورد تقلیل ناپذیری کسری را ممکن می سازد. در پاراگراف بعدی مقاله این موضوع را به تفصیل بررسی خواهیم کرد.

قانون کاهش کسرهای جبری

قانون کاهش کسرهای جبریشامل دو عمل متوالی است:

• یافتن عوامل مشترک صورت و مخرج؛
• اگر موردی یافت شود، عمل کاهش کسر به طور مستقیم انجام می شود.

راحت‌ترین روش برای یافتن مخرج مشترک، فاکتور کردن چندجمله‌ای موجود در صورت و مخرج کسر جبری معین است. این به شما امکان می دهد بلافاصله وجود یا عدم وجود عوامل مشترک را به وضوح مشاهده کنید.

عمل کاهش یک کسر جبری بر اساس ویژگی اصلی یک کسری جبری است که با برابری تعریف نشده بیان می شود، که در آن a، b، c چند جمله ای هستند و b و c غیر صفر هستند. اولین مرحله کاهش کسر به شکل a · c b · c است که در آن بلافاصله متوجه عامل مشترک c می شویم. مرحله دوم انجام یک کاهش است، یعنی. انتقال به کسری از شکل a b.

نمونه های معمولی

علیرغم برخی بدیهیات، اجازه دهید حالت خاصی را که صورت و مخرج کسری جبری برابر است، روشن کنیم. کسرهای مشابه به طور یکسان برابر با 1 در کل ODZ متغیرهای این کسری هستند:

5 5 = 1 ; - 2 3 - 2 3 = 1 ; x x = 1 ; - 3، 2 x 3 - 3، 2 x 3 = 1; 1 2 · x - x 2 · y 1 2 · x - x 2 · y ;

از آنجایی که کسرهای معمولی مورد خاصی از کسرهای جبری هستند، اجازه دهید به یاد بیاوریم که چگونه آنها کاهش می یابند. اعداد طبیعی که در صورت و مخرج نوشته می‌شوند در ضرایب اول قرار می‌گیرند، سپس عوامل مشترک لغو می‌شوند (در صورت وجود).

به عنوان مثال، 24 1260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105

حاصل ضرب ضرایب ساده یکسان را می توان به صورت توان نوشت و در فرآیند کاهش کسری از خاصیت تقسیم توان با پایه های یکسان استفاده کرد. سپس راه حل فوق این خواهد بود:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 5 7 = 2 105

(صورت و مخرج تقسیم بر یک عامل مشترک 2 2 3). یا برای وضوح، بر اساس خواص ضرب و تقسیم، جواب را به شکل زیر می‌دهیم:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105

بر اساس قیاس، کاهش کسرهای جبری انجام می شود که در آن صورت و مخرج دارای تک جمله هایی با ضرایب صحیح هستند.

مثال 1

کسر جبری داده شده است - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z. باید کاهش یابد.

راه حل

می توان صورت و مخرج یک کسر معین را به عنوان حاصل ضرب عوامل و متغیرهای ساده نوشت و سپس کاهش را انجام داد:

27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 · 3 · 3 · a · a · a · a · a · b · b · c · z 2 · 3 · a · a · b · b · c · c · c · c · c · c · c · z = = - 3 · 3 · a · a · a 2 · c · c · c · c · c · c · c = - 9 a 3 2 c 6

با این حال، یک راه منطقی تر نوشتن راه حل به عنوان یک عبارت با قدرت است:

27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 · a 5 · b 2 · c · z 2 · 3 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 2 · 3 · a 5 a 2 · b 2 b 2 · c c 7 · z z = = - 3 3 - 1 2 · a 5 - 2 1 · 1 · 1 c 7 - 1 · 1 = · - 3 2 · a 3 2 · c 6 = · - 9 · a 3 2 · c 6 .

پاسخ:- 27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 9 a 3 2 c 6

هنگامی که صورت و مخرج یک کسر جبری حاوی ضرایب عددی کسری باشد، دو راه ممکن برای اقدام بعدی وجود دارد: یا این ضرایب کسری را به طور جداگانه تقسیم کنید، یا ابتدا با ضرب صورت و مخرج در یک عدد طبیعی، از شر ضرایب کسری خلاص شوید. آخرین تبدیل به دلیل ویژگی اصلی یک کسری جبری انجام می شود (می توانید در مورد آن در مقاله "کاهش کسری جبری به مخرج جدید" بخوانید).

مثال 2

کسر داده شده 2 5 x 0، 3 x 3 است. باید کاهش یابد.

راه حل

کاهش کسر به این صورت امکان پذیر است:

2 5 x 0، 3 x 3 = 2 5 3 10 x x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2

بیایید سعی کنیم با خلاص شدن از شر ضرایب کسری مشکل را متفاوت حل کنیم - صورت و مخرج را در کمترین مضرب مشترک مخرج های این ضرایب ضرب کنیم. در LCM (5، 10) = 10. سپس دریافت می کنیم:

2 5 x 0، 3 x 3 = 10 2 5 x 10 0، 3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 3 x 2.

پاسخ: 2 5 x 0، 3 x 3 = 4 3 x 2

وقتی کسرهای جبری عمومی را کاهش می دهیم، که در آن صورت و مخرج می توانند تک جمله ای یا چند جمله ای باشند، ممکن است مشکلی پیش بیاید که عامل مشترک همیشه بلافاصله قابل مشاهده نباشد. یا علاوه بر این، به سادگی وجود ندارد. سپس برای تعیین عامل مشترک یا ثبت واقعیت عدم وجود آن، صورت و مخرج کسری جبری را فاکتور می گیرند.

مثال 3

کسر گویا 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 داده شده است. باید کاهش یابد.

راه حل

اجازه دهید چند جمله ای ها را در صورت و مخرج فاکتور بگیریم. بیایید آن را خارج از پرانتز قرار دهیم:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49)

می بینیم که عبارت داخل پرانتز را می توان با استفاده از فرمول های ضرب اختصاری تبدیل کرد:

2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7)

به وضوح مشاهده می شود که می توان یک کسری را با یک عامل مشترک کاهش داد b 2 (a + 7). بیایید کاهش دهیم:

2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

اجازه دهید یک راه حل کوتاه بدون توضیح به عنوان زنجیره ای از برابری ها بنویسیم:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

پاسخ: 2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 a + 14 a b - 7 b.

این اتفاق می افتد که عوامل مشترک با ضرایب عددی پنهان می شوند. سپس، هنگام کاهش کسر، بهینه است که عوامل عددی را در توان های بالاتر صورت و مخرج خارج از پرانتز قرار دهیم.

مثال 4

با توجه به کسر جبری 1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 . در صورت امکان کاهش آن ضروری است.

راه حل

در نگاه اول، صورت و مخرج یک مخرج مشترک ندارند. با این حال، بیایید سعی کنیم کسر داده شده را تبدیل کنیم. بیایید ضریب x را از صورتگر خارج کنیم:

1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2

اکنون می توانید شباهت هایی بین عبارت داخل پرانتز و عبارت در مخرج به دلیل x 2 y ببینید. . اجازه دهید ضرایب عددی توان های بالاتر این چند جمله ای ها را برداریم:

x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x - 2 7 - 7 2 1 5 + x 2 y 5 x 2 y - 1 5 3 1 2 = = - 2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10

اکنون عامل مشترک قابل مشاهده است، ما کاهش را انجام می دهیم:

2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 x

پاسخ: 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = - 2 35 x .

اجازه دهید تأکید کنیم که مهارت کاهش کسرهای گویا به توانایی عامل چندجمله‌ای بستگی دارد.

اگر خطایی در متن مشاهده کردید، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

پس از دریافت اطلاعات اولیه در مورد کسرها، به سراغ عملیات با کسرهای جبری خواهیم رفت. شما می توانید هر کاری را با آنها انجام دهید، از جمله بالا بردن آنها به یک قدرت. وقتی آنها را انجام می دهیم، در نهایت به یک کسری جبری می رسیم. همه نکات باید به صورت متوالی تحلیل شوند.

عملیات با کسرهای جبری مشابه عملیات با کسرهای معمولی است. بنابراین، شایان ذکر است که قوانین برای هر عمل انجام شده با آنها یکسان است.

اضافه کردن کسرهای جبری

جمع را می توان در دو حالت انجام داد: با مخرج های یکسان، با مخرج های مختلف.

اگر نیاز به جمع کسرهایی با مخرج یکسان دارید، باید اعداد را جمع کنید و مخرج را بدون تغییر رها کنید. این قانون به شما امکان می دهد از جمع کسرها و چندجمله ای هایی که در اعداد هستند استفاده کنید. ما آن را دریافت می کنیم

a 2 + a b a b - 5 + 2 a b + 3 a b - 5 + 2 b 4 - 4 a b - 5 = a 2 + a b + 2 a b + 3 + 2 b 4 - 4 a b - 5 = = a 2 + 3 a b - 1 + 2 b 4 a b - 5

اگر کسری با اعداد متفاوت وجود دارد، لازم است این قانون را اعمال کنید: از کاهش به مخرج مشترک استفاده کنید و کسرهای حاصل را اضافه کنید.

مثال 1

لازم است کسرهای x x 2 - 1 و 3 x 2 - x را اضافه کنید

راه حل

ما به یک مخرج مشترک از شکل x 2 x · x - 1 · x + 1 و 3 · x + 3 x · (x - 1) · (x + 1) کاهش می دهیم.

بیایید اضافه را انجام دهیم و آن را دریافت کنیم

x 2 x (x - 1) (x + 1) + 3 x + 3 x (x - 1) (x + 1) = x 2 + 3 x + 3 x (x - 1) · (x + 1) = x 2 + 3 · x + 3 x 3 - x

پاسخ: x 2 + 3 x + 3 x 3 - x

مقاله جمع و تفریق این گونه کسرها دارای اطلاعات دقیقی است که هر عمل انجام شده بر روی کسری را به تفصیل شرح می دهد. هنگام انجام جمع، ممکن است کسری تقلیل پذیر ظاهر شود.

تفریق

تفریق به همان روش جمع انجام می شود. اگر مخرج ها یکسان باشند، اعمال فقط در صورت انجام می شود، مخرج بدون تغییر باقی می ماند. برای مخرج های مختلف، کاهش به مخرج مشترک انجام می شود. فقط پس از این می توانید شروع به محاسبه کنید.

مثال 2

بیایید به تفریق کسرهای a + 5 a 2 + 2 و 1 - 2 · a 2 + a a 2 + 2 ادامه دهیم.

راه حل

مشاهده می شود که مخرج ها یکسان هستند، به این معنی که a + 5 a 2 + 2 - 1 - 2 a 2 + a a 2 + 2 = a + 5 - (1 - 2 a 2 + a) a 2 + 2 = 2 a 2 + 4 a 2 + 2 .

بیایید کسر 2 را کاهش دهیم · a 2 + 4 a 2 + 2 = 2 · a 2 + 2 a 2 + 2 = 2.

جواب: 2

مثال 3

بیایید 4 5 · x و 3 x - 1 را کم کنیم.

راه حل

مخرج ها متفاوت هستند، بنابراین بیایید آن را به 5 x (x - 1) مشترک کاهش دهیم، 4 5 x = 4 x - 1 5 x (x - 1) = 4 x - 4 5 x (x - 1) به دست می آوریم و 3 x - 1 = 3 5 x (x - 1) 5 x = 15 x 5 x (x - 1) .

حالا بیایید آن را انجام دهیم

4 5 x - 3 x - 1 = 4 x - 4 5 x (x - 1) - 15 x 5 x (x - 1) = 4 x - 4 - 15 x 5 x · (x - 1) = = - 4 - 11 · x 5 · x · (x - 1) = - 4 - 11 · x 5 · x 2 - 5 · x

پاسخ: - 4 - 11 x 5 x 2 - 5 x

برای اطلاعات دقیق به مقاله جمع و تفریق کسرهای جبری مراجعه کنید.

ضرب کسرهای جبری

با کسرها، می توانید ضرب را شبیه به ضرب کسرهای معمولی انجام دهید: برای ضرب کسرها، باید صورت و مخرج را جداگانه ضرب کنید.

بیایید نمونه ای از چنین طرحی را بررسی کنیم.

مثال 4

وقتی 2 x + 2 را در x - x · y y از قانون ضرب می کنیم، به دست می آوریم که 2 x + 2 · x - x · y y = 2 · (x - x · y) (x + 2) · y.

اکنون باید تبدیل ها را انجام دهید، یعنی یک تک جمله ای را در یک چند جمله ای ضرب کنید. ما آن را دریافت می کنیم

2 x - x y (x + 2) y = 2 x - 2 x y x y + 2 y

ابتدا باید کسر را به چند جمله ای تجزیه کنید تا کسر را ساده کنید. پس از آن می توانید کاهش دهید. ما آن را داریم

2 x 3 - 8 x 3 x y - y 6 y 5 x 2 + 2 x = 2 x (x - 2) (x + 2) y (3 x - 1 ) · 6 · y 5 x · (x + 2) = = 2 · x · (x - 2) · (x + 2) · 6 · y 5 y · (3 · x - 1) · x · x + 2 = 12 · (x - 2) · y 4 3 · x - 1 = 12 · x · y 4 - 24 · y 4 3 · x - 1

در مقاله ضرب و تقسیم کسرها می توان بحث مفصلی در مورد این عمل پیدا کرد.

بخش

بیایید به تقسیم با کسرهای جبری نگاه کنیم. بیایید این قانون را اعمال کنیم: برای تقسیم کسرها، باید اولی را در متقابل دومی ضرب کنید.

کسری که متقابل یک کسر معین باشد کسری با صورت و مخرج معکوس در نظر گرفته می شود. یعنی این کسر را متقابل آن می گویند.

بیایید به یک مثال نگاه کنیم.

مثال 5

تقسیم x 2 - x · y 9 · y 2: 2 · x 3 · y.

راه حل

سپس کسر معکوس 2 · x 3 · y به صورت 3 · y 2 · x نوشته می شود. این بدان معنی است که ما دریافت می کنیم که x 2 - x y 9 y 2: 2 x 3 y = x 2 - x y 9 y 2 3 y 2 x = x x - y 3 y 9 · y 2 · 2 · x = x - y 6 · y

پاسخ: x 2 - x y 9 y 2: 2 x 3 y = x - y 6 y

افزایش کسری جبری به توان

اگر قوه طبیعی وجود دارد، باید قاعده افعال را با بالا بردن به قوه طبیعی اعمال کرد. در چنین محاسباتی از این قانون استفاده می کنیم: هنگام افزایش به توان، باید صورت و مخرج را جداگانه به توان برسانید و سپس نتیجه را یادداشت کنید.

مثال 6

بیایید به مثال کسری 2 x x - y نگاه کنیم. اگر لازم است آن را به توانی برابر با 2 برسانیم، مراحل زیر را انجام می دهیم: 2 x x - y 2 = 2 x 2 (x - y) 2. سپس مونومی به دست آمده را به توان افزایش می دهیم. پس از تکمیل مراحل، متوجه می شویم که کسر به شکل 4 x 2 x 2 - 2 x x y + y 2 است.

یک راه حل دقیق برای چنین مثال هایی در مقاله افزایش کسری جبری به توان مورد بحث قرار گرفته است.

هنگام کار با توان های کسری، به یاد داشته باشید که صورت و مخرج به طور جداگانه به توان ها افزایش می یابد. این به طور قابل توجهی فرآیند حل و ساده سازی کسری را ساده می کند. ارزش توجه به علامت جلوی مدرک را دارد. اگر علامت منفی وجود داشته باشد، برای سهولت محاسبه، چنین کسری باید معکوس شود.

اگر خطایی در متن مشاهده کردید، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

WikiHow مانند یک ویکی کار می کند، به این معنی که بسیاری از مقالات ما توسط چندین نویسنده نوشته شده اند. در طول ایجاد این مقاله، 9 نفر از جمله به صورت ناشناس برای ویرایش و بهبود آن تلاش کردند.

در نگاه اول، کسرهای جبری بسیار پیچیده به نظر می رسند و دانش آموز ناآماده ممکن است فکر کند که با آنها کاری نمی توان کرد. انباشتگی متغیرها، اعداد و حتی درجات، ترس را برمی انگیزد. با این حال، قوانین مشابه برای کاهش کسرهای رایج (مانند 15/25) و کسرهای جبری استفاده می شود.

مراحل

کسر کسر

با عملیات با کسرهای ساده آشنا شوید. عملیات با کسرهای معمولی و جبری مشابه هستند. به عنوان مثال، کسری 15/35 را در نظر بگیرید. برای ساده کردن این کسر، باید مقسوم علیه مشترک پیدا کنید. هر دو عدد بر پنج بخش پذیر هستند، بنابراین می توانیم 5 را در صورت و مخرج جدا کنیم:

15 → 5 * 3 35 → 5 * 7

حالا شما می توانید کاهش عوامل رایجیعنی 5 را در صورت و مخرج خط بزنید. در نتیجه، کسر ساده شده را دریافت می کنیم 3/7 . در عبارات جبری، عوامل مشترک مانند عبارات معمولی مشخص می شوند. در مثال قبلی به راحتی توانستیم 5 را از 15 جدا کنیم - همین اصل در مورد عبارات پیچیده تری مانند 15x – 5 صدق می کند. بیایید عامل مشترک را پیدا کنیم. در این صورت 5 خواهد بود، زیرا هر دو عبارت (15x و -5) بر 5 بخش پذیر هستند. مانند قبل، عامل مشترک را انتخاب کنید و آن را جابجا کنید. سمت چپ.

15x – 5 = 5 * (3x – 1)

برای بررسی اینکه آیا همه چیز درست است، فقط عبارت داخل پرانتز را در 5 ضرب کنید - نتیجه همان اعداد اول خواهد بود. اعضای پیچیده را می توان به همان روشی که اعضای ساده جدا کرد. در مورد کسرهای جبری همان اصولی که برای کسرهای معمولی اعمال می شود. این ساده ترین راه برای کاهش کسری است. کسری زیر را در نظر بگیرید:

(x+2)(x-3)(x+2) (x+10)

توجه داشته باشید که هر دو صورت (بالا) و مخرج (پایین) دارای یک عبارت (x+2) هستند، بنابراین می توان آن را به همان روشی که عامل مشترک 5 در کسر 15/35 کاهش داد:

(x+2) (x-3) → (x-3)(x+2) (x+10) → (x+10)

در نتیجه، یک عبارت ساده شده دریافت می کنیم: (x-3)/(x+10)

کاهش کسرهای جبری

عامل مشترک را در صورت، یعنی در بالای کسر بیابید. هنگام کاهش یک کسر جبری، اولین قدم ساده کردن هر دو طرف است. با شماره‌گر شروع کنید و سعی کنید تا حد امکان آن را در فاکتورهای بیشتری قرار دهید. در این بخش کسری زیر را در نظر بگیرید:

9x-3 15x+6

بیایید با صورت‌گر شروع کنیم: 9x – 3. برای 9x و -3، ضریب مشترک عدد 3 است. بیایید 3 را از داخل پرانتز خارج کنیم، همانطور که با اعداد معمولی انجام می‌شود: 3 * (3x-1). حاصل این تبدیل کسری زیر است:

3 (3x-1) 15x+6

فاکتور مشترک را در صورتگر بیابید. بیایید با مثال بالا ادامه دهیم و مخرج را بنویسیم: 15x+6. مانند قبل، بیایید دریابیم که هر دو قسمت بر چه عددی بخش پذیر هستند. و در این مورد ضریب مشترک 3 است، بنابراین می توانیم بنویسیم: 3 * (5x +2). بیایید کسر را به شکل زیر بازنویسی کنیم:

3 (3x-1) 3 (5x+2)

همان اصطلاحات را کوتاه کنید. در این مرحله می توانید کسر را ساده کنید. همان اصطلاحات را در صورت و مخرج لغو کنید. در مثال ما این عدد 3 است.

3 (3x-1) → (3x-1) 3 (5x+2) → (5x+2)

تعیین کنید که کسر ساده ترین شکل را دارد. کسری زمانی کاملا ساده می شود که هیچ عامل مشترکی در صورت و مخرج باقی نماند. توجه داشته باشید که نمی توانید عباراتی را که در داخل پرانتز ظاهر می شوند لغو کنید - در مثال بالا راهی برای جدا کردن x از 3x و 5x وجود ندارد، زیرا عبارت های کامل (3x -1) و (5x + 2) هستند. بنابراین، کسر را نمی توان بیشتر ساده کرد و پاسخ نهایی به شرح زیر است:

(3x-1)(5x+2)

کاهش کسرها را به تنهایی تمرین کنید. بهترین راه برای یادگیری روش این است که خودتان مشکلات را حل کنید. پاسخ های صحیح در زیر مثال ها آورده شده است.

4 (x+2) (x-13)(4x+8)

پاسخ:(x=13)

2x 2 -x 5 برابر

پاسخ:(2x-1)/5

حرکات ویژه

علامت منفی را خارج از کسر قرار دهید. فرض کنید کسر زیر به شما داده می شود:

3 (x-4) 5 (4-x)

توجه داشته باشید که (x-4) و (4-x) "تقریبا" یکسان هستند، اما نمی توان آنها را فورا کاهش داد زیرا "معکوس" هستند. با این حال، (x - 4) را می توان به صورت -1 * (4 - x) نوشت، همانطور که (4 + 2x) را می توان به صورت 2 * (2 + x) نوشت. به این حالت "برگشت علامت" می گویند.

-1 * 3 (4-x) 5 (4-x)

اکنون می توانید عبارت های یکسان (4-x) را کاهش دهید:

-1 * 3 (4-x) 5 (4-x)

بنابراین، پاسخ نهایی را می گیریم: -3/5 . یاد بگیرید که تفاوت بین مربع ها را تشخیص دهید. تفاوت مربع ها زمانی است که مربع یک عدد از مربع یک عدد دیگر کم شود، همانطور که در عبارت (a 2 - b 2) وجود دارد. تفاوت مربع های کامل را همیشه می توان به دو قسمت تقسیم کرد - مجموع و اختلاف ریشه های مربع مربوطه. سپس عبارت به شکل زیر در می آید:

A 2 - b 2 = (a+b)(a-b)

این تکنیک برای یافتن اصطلاحات رایج در کسرهای جبری بسیار مفید است.

• بررسی کنید که آیا این یا آن عبارت را به درستی فاکتور گرفته اید یا خیر. برای انجام این کار، عوامل را ضرب کنید - نتیجه باید همان عبارت باشد.
• برای ساده کردن کامل یک کسر، همیشه بزرگترین عوامل را جدا کنید.