از 11 همه عملیات با کسری. عملیات با کسرهای معمولی

496. پیدا کردن ایکس، اگر:

497. 1) اگر 10 1/2 را به 3/10 یک عدد مجهول اضافه کنید، 13 1/2 بدست می آید. شماره ناشناخته را پیدا کنید.

2) اگر 10 1/2 را از 7/10 یک عدد مجهول کم کنید، 15 2/5 به دست می آید. شماره ناشناخته را پیدا کنید.

498 *. اگر 10 را از 3/4 یک عدد مجهول کم کنید و اختلاف حاصل را در 5 ضرب کنید، 100 به دست می آید. عدد را پیدا کنید.

499 *. اگر یک عدد مجهول را 2/3 آن افزایش دهید 60 بدست می آید. این چه عددی است؟

500 *. اگر همین مقدار را به عدد مجهول و همچنین 20 1/3 اضافه کنید، 105 2/5 به دست می آید. شماره ناشناخته را پیدا کنید.

501. 1) عملکرد سیب زمینی با کاشت خوشه مربعی به طور متوسط ​​150 سانتی متر در هکتار و با کاشت معمولی 3/5 این مقدار است. در صورت کاشت سیب زمینی به روش خوشه مربعی چه مقدار سیب زمینی بیشتر از سطح 15 هکتار می توان برداشت کرد؟

2) یک کارگر باتجربه 18 قطعه را در 1 ساعت تولید کرد و یک کارگر بی تجربه 2/3 این مقدار را تولید کرد. یک کارگر باتجربه در یک روز 7 ساعته چند قطعه دیگر می تواند تولید کند؟

502. 1) پیشگامان جمع آوری شده در داخل سه روز 56 کیلوگرم دانه های مختلف. روز اول 3/14 از کل مقدار، در روز دوم یک و نیم برابر بیشتر و در روز سوم بقیه دانه جمع آوری شد. پیشگامان در روز سوم چند کیلوگرم بذر جمع کردند؟

2) هنگام آسیاب کردن گندم نتیجه این شد: آرد 4/5 کل گندم بلغور - 40 برابر کمتر از آرد و بقیه سبوس است. هنگام آسیاب کردن 3 تن گندم به طور جداگانه چه مقدار آرد، بلغور و سبوس تولید شد؟

503. 1) سه گاراژ می توانند 460 خودرو را در خود جای دهند. تعداد ماشین‌هایی که در گاراژ اول جا می‌شوند 3/4 تعداد ماشین‌هایی است که در گاراژ دوم جا می‌شوند و گاراژ سوم 1/2 برابر ماشین اول است. در هر گاراژ چند ماشین جا می شود؟

2) کارخانه ای با سه کارگاه 6000 کارگر دارد. در کارگاه دوم 1/2 برابر کمتر از کارگاه اول و تعداد کارگران کارگاه سوم 5/6 تعداد کارگران کارگاه دوم است. در هر کارگاه چند کارگر وجود دارد؟

504. 1) ابتدا 2/5 سپس 1/3 از کل نفت سفید از یک مخزن با نفت سفید ریخته شد و پس از آن 8 تن نفت سفید در مخزن باقی ماند. در ابتدا چقدر نفت سفید در مخزن بود؟

2) دوچرخه سواران به مدت سه روز مسابقه دادند. در روز اول 4/15 کل سفر، در دوم - 2/5 و در روز سوم 100 کیلومتر باقی مانده را طی کردند. دوچرخه سواران در سه روز چقدر مسافت را طی کردند؟

505. 1) یخ شکن به مدت سه روز در میدان یخ جنگید. روز اول 1/2 کل مسافت، روز دوم 3/5 مسافت باقی مانده و روز سوم 24 کیلومتر باقی مانده را پیاده روی کرد. طول مسیری که یخ شکن طی سه روز طی کرده است را بیابید.

2) سه گروه از دانش آموزان برای سبز شدن روستا درخت کاشتند. گروه اول 20/7 درخت، دومی 8/5 از بقیه درختان و سومی 195 درخت باقی مانده را کاشت. سه تیم در مجموع چند درخت کاشتند؟

506. 1) کمباین در سه روز از یک قطعه گندم برداشت کرد. در روز اول از 18/5 کل مساحت کرت، روز دوم از 13/7 مساحت باقیمانده و روز سوم از سطح باقی مانده 30/1/2 برداشت کرد. هکتار. به طور متوسط ​​از هر هکتار 20 سنت گندم برداشت شد. چه مقدار گندم در کل منطقه برداشت شد؟

2) شرکت کنندگان رالی در روز اول 11/3 کل مسیر، روز دوم 20/7 مسیر باقیمانده، روز سوم 13/5 باقیمانده جدید و روز چهارم بقیه مسیر را طی کردند. 320 کیلومتر. مسیر رالی چقدر است؟

507. 1) روز اول خودرو 3/8 کل مسافت را طی کرد، روز دوم 15/17 از مسافت اول و در روز سوم 200 کیلومتر باقی مانده را طی کرد. اگر ماشینی در طول 10 کیلومتر 1/3/5 کیلوگرم بنزین مصرف کند چقدر بنزین مصرف شده است؟

2) این شهر از چهار ناحیه تشکیل شده است. و 4/13 از کل ساکنان شهر در ناحیه اول، 5/6 از ساکنان ناحیه اول در ناحیه دوم، 4/11 از ساکنان ناحیه اول در ناحیه سوم زندگی می کنند. دو ولسوالی با هم، و 18 هزار نفر در ناحیه چهارم زندگی می کنند. اگر به طور متوسط ​​یک نفر در روز 500 گرم مصرف کند، کل جمعیت شهر برای 3 روز چقدر نان نیاز دارد؟

508. 1) گردشگر در روز اول 10/31 از کل سفر، در 9/10 دوم از آنچه که در روز اول پیاده روی کرده و در روز سوم بقیه راه را پیاده روی کرده و در روز سوم 12 مسیر را پیاده روی کرده است. کیلومتر بیشتر از روز دوم گردشگر در هر سه روز چند کیلومتر پیاده روی کرد؟

2) ماشین کل مسیر شهر A تا شهر B را در سه روز طی کرد. در روز اول خودرو 7/20 از کل مسافت را طی کرد، در روز دوم 8/13 مسافت باقی مانده را طی کرد و در روز سوم خودرو 72 کیلومتر کمتر از روز اول را طی کرد. فاصله بین شهرهای A و B چقدر است؟

509. 1) کمیته اجرایی زمینی را به کارگران سه کارخانه برای زمین باغ اختصاص داد. کارخانه اول 9/25 از تعداد کل قطعات، کارخانه دوم 5/9 از تعداد قطعات اختصاص داده شده برای اول، و سوم - قطعات باقی مانده اختصاص یافت. در صورتی که کارخانه اول 50 قطعه کمتر از کارخانه سوم به کارگران سه کارخانه اختصاص داده شد، در مجموع چند قطعه زمین به کارگران سه کارخانه اختصاص یافت؟

2) هواپیما طی سه روز یک شیفت کارگران زمستانی را از مسکو به ایستگاه قطبی تحویل داد. در روز اول 2/5 کل مسافت، در روز دوم - 5/6 از مسافتی که در روز اول طی کرد و در روز سوم 500 کیلومتر کمتر از روز دوم پرواز کرد. هواپیما در سه روز چقدر پرواز کرد؟

510. 1) کارخانه دارای سه کارگاه بود. تعداد کارگران کارگاه اول 2/5 کل کارگران کارخانه است. در کارگاه دوم 1/2 برابر کمتر از کارگاه اول و در کارگاه سوم 100 کارگر بیشتر از کارگاه دوم وجود دارد. چند کارگر در کارخانه وجود دارد؟

2) مزرعه جمعی شامل ساکنان سه روستای همجوار است. تعداد خانواده های روستای اول 3/10 از کل خانواده های مزرعه جمعی است. در روستای دوم تعداد خانوارها 1/2 برابر روستای اول و در روستای سوم 420 خانوار کمتر از روستای دوم است. چند خانواده در مزرعه جمعی وجود دارد؟

511. 1) آرتل 1/3 از موجودی مواد اولیه خود را در هفته اول و 1/3 از بقیه را در هفته دوم مصرف کرد. اگر در هفته اول مصرف مواد اولیه 3/5 تن بیشتر از هفته دوم بود چقدر مواد اولیه در آرتل باقی می ماند؟

2) از زغال سنگ وارداتی، 1/6 آن برای گرم کردن خانه در ماه اول و 3/8 مابقی در ماه دوم صرف شده است. اگر در ماه دوم 13/4 بیشتر از ماه اول استفاده شده باشد چقدر زغال برای گرم کردن خانه باقی می ماند؟

512. 3/5 از کل زمین مزرعه به کاشت غلات، 13/36 باقیمانده را باغات و مراتع، مابقی زمین جنگلی و سطح زیر کشت مزرعه کلکسی را اشغال می کند. 217 هکتار منطقه بیشتردر جنگل ها، 1/3 از زمین های اختصاص داده شده به غلات با چاودار و بقیه با گندم کاشته می شود. چند هکتار زمین گندم و چند هکتار چاودار کاشته شد؟

513. 1) مسیر تراموا 14 3/8 کیلومتر طول دارد. در طول این مسیر، تراموا 18 توقف دارد که به طور متوسط ​​تا 1 1/6 دقیقه در هر توقف صرف می کند. میانگین سرعت تراموا در کل مسیر 12 1/2 کیلومتر در ساعت است. چقدر طول می کشد تا یک تراموا یک سفر را کامل کند؟

2) مسیر اتوبوس 16 کیلومتر. در طول این مسیر اتوبوس 36 توقف هر کدام 3/4 دقیقه انجام می دهد. به طور متوسط ​​هر کدام میانگین سرعت اتوبوس 30 کیلومتر در ساعت است. اتوبوس برای یک مسیر چقدر طول می کشد؟

514*. 1) الان ساعت 6 است. عصرها چه بخشی از روز باقی مانده از گذشته و چه بخشی از روز باقی مانده است؟

2) یک کشتی بخار فاصله دو شهر را با جریان در 3 روز طی می کند. و در عرض 4 روز به همان مسافت برگردید. قایق ها چند روز در پایین دست از شهری به شهر دیگر شناور خواهند بود؟

515. 1) در اتاقی که طول آن 6 2/3 متر، عرض 5 1/4 متر است، اگر طول هر تخته 6 2/3 متر و عرض آن 3/3 باشد، برای کف سازی چند تخته استفاده می شود. 80 از طول؟

2) سکوی مستطیل شکل 45 1/2 متر طول دارد و عرض آن 5/13 طول آن است. این منطقه با مسیری به عرض 4/5 متر محدود شده است. مساحت مسیر را پیدا کنید.

516. میانگین را پیدا کنید اعداد حسابی:

517. 1) میانگین حسابی دو عدد 6 1/6 است. یکی از اعداد 3 3/4 است. شماره دیگری پیدا کنید

2) میانگین حسابی دو عدد 14 1/4 است. یکی از این اعداد 15 5/6 است. شماره دیگری پیدا کنید

518. 1) قطار باری سه ساعت در راه بود. در ساعت اول 36 و 1/2 کیلومتر، در دومی 40 کیلومتر و در ساعت سوم 39 کیلومتر 4/3 پیمود. میانگین سرعت قطار را بیابید.

2) ماشین در دو ساعت اول 81 کیلومتر و در 2 1/2 ساعت بعد 95 کیلومتر را طی کرد. به طور متوسط ​​در ساعت چند کیلومتر پیاده روی کرد؟

519. 1) راننده تراکتور کار شخم زدن زمین را در سه روز به پایان رساند. روز اول 12/2 هکتار، روز دوم 15/3/4 هکتار و روز سوم 14/1/2 هکتار شخم زد. یک راننده تراکتور به طور متوسط ​​روزانه چند هکتار زمین را شخم می زد؟

2) گروهی از دانش‌آموزان در یک سفر توریستی سه روزه، روز اول 6 و نیم ساعت و روز دوم 7 ساعت در راه بودند. و در روز سوم - 4 2/3 ساعت. دانش آموزان مدرسه به طور متوسط ​​چند ساعت در روز سفر می کردند؟

520. 1) سه خانواده در خانه زندگی می کنند. خانواده اول دارای 3 لامپ برای روشنایی آپارتمان، دومی دارای 4 لامپ و سومی دارای 5 لامپ است. اگر همه لامپ ها یکسان باشند و کل قبض برق (برای کل خانه) 7 1/5 روبل باشد، هر خانواده چقدر باید برای برق بپردازد؟

2) یک پولیش در حال صیقل دادن کف آپارتمانی بود که سه خانواده در آن زندگی می کردند. خانواده اول دارای مساحت 36 1/2 متر مربع بودند. متر، دومی 24 1/2 متر مربع است. متر، و سوم - 43 متر مربع. متر برای تمام کار، 2 روبل پرداخت شد. 08 کوپ. هر خانواده چقدر پرداخت کرد؟

521. 1) در قطعه باغ، سیب زمینی از 50 بوته با 1/10 کیلوگرم در بوته، از 70 بوته با 4/5 کیلوگرم در بوته، از 80 بوته با 9/10 کیلوگرم در بوته جمع آوری شد. از هر بوته به طور متوسط ​​چند کیلوگرم سیب زمینی برداشت می شود؟

2) خدمه صحرایی در زمینی به مساحت 300 هکتار برداشت 20 1/2 قنات گندم زمستانه در هر هکتار، از 80 هکتار به 24 قنتل در هر هکتار و از 20 هکتار - 28 1/2 قنتل در هر هکتار دریافت کردند. 1 هکتار متوسط ​​عملکرد در یک تیپ با 1 هکتار چقدر است؟

522. 1) مجموع دو عدد 7 1/2 است. یک عدد 4 4/5 بزرگتر از دیگری است. این اعداد را پیدا کنید

2) اگر اعداد بیان کننده عرض تنگه تاتار و کرچ را با هم جمع کنیم، 10/7 کیلومتر 11 بدست می آید. پهنای تنگه تاتار 10/3 کیلومتر بیشتر از تنگه کرچ است. عرض هر تنگه چقدر است؟

523. 1) مجموع سه عدد 35 2 / 3 است. عدد اول 5 1/3 از عدد دوم بزرگتر و 3 5/6 از عدد سوم بزرگتر است. این اعداد را پیدا کنید

2) جزایر زمین جدیدساخالین و سورنایا زملیا با هم مساحتی معادل 196 7/10 هزار متر مربع را اشغال می کنند. کیلومتر مساحت Novaya Zemlya 44 1/10 هزار متر مربع است. کیلومتر مساحت بیشتر Severnaya Zemlyaو 5 1/5 هزار متر مربع کیلومتر بزرگتر از منطقه ساخالین. مساحت هر یک از جزایر ذکر شده چقدر است؟

524. 1) آپارتمان از سه اتاق تشکیل شده است. مساحت اتاق اول 24 3/8 متر مربع است. متر و 13/36 کل مساحت آپارتمان است. مساحت اتاق دوم 8 1/8 متر مربع است. متر بیشتر از مساحت سوم است. مساحت اتاق دوم چقدر است؟

2) یک دوچرخه سوار طی یک مسابقه سه روزه در روز اول به مدت 4/3 ساعت در جاده بود که 43/13 کل زمان سفر بود. در روز دوم او 1/2 ساعت بیشتر از روز سوم سوار شد. دوچرخه سوار در روز دوم مسابقه چند ساعت سفر کرد؟

525. وزن سه قطعه آهن با هم 17 1/4 کیلوگرم است. اگر وزن قطعه اول ۱/۲ کیلوگرم کاهش یابد، وزن قطعه دوم ۲/۱/۴ کیلوگرم باشد، آنگاه هر سه قطعه دارای وزن یکسان خواهند بود. وزن هر قطعه آهن چقدر بود؟

526. 1) مجموع دو عدد 15 1/5 است. اگر عدد اول 3 1/10 کاهش یابد و عدد دوم 3 1/10 افزایش یابد، این اعداد برابر خواهند بود. هر عدد برابر با چه عددی است؟

2) 38 1/4 کیلوگرم غلات در دو جعبه وجود داشت. اگر 4/3/4 کیلوگرم غلات را از یک جعبه در جعبه دیگر بریزید، در هر دو جعبه به مقدار مساوی غلات وجود دارد. در هر جعبه چقدر غلات وجود دارد؟

527 . 1) مجموع دو عدد 17 17 / 30 است. اگر 5 و 1/2 را از عدد اول کم کنید و به عدد دوم اضافه کنید، آنگاه عدد اول همچنان 2 17/30 از عدد دوم بزرگتر خواهد بود. هر دو عدد را پیدا کنید.

2) 24 1/4 کیلوگرم سیب در دو جعبه وجود دارد. اگر 3 1/2 کیلوگرم را از جعبه اول به جعبه دوم منتقل کنید، در جعبه اول هنوز 3/5 کیلوگرم سیب بیشتر از جعبه دوم خواهد بود. در هر جعبه چند کیلوگرم سیب وجود دارد؟

528 *. 1) مجموع دو عدد 8 11/14 و اختلاف آنها 2 3/7 است. این اعداد را پیدا کنید

2) قایق با سرعت 15/1/2 کیلومتر در ساعت در امتداد رودخانه حرکت می کرد و در برابر جریان با سرعت 8/1/4 کیلومتر در ساعت حرکت می کرد. سرعت جریان رودخانه چقدر است؟

529. 1) 110 ماشین در دو گاراژ وجود دارد و در یکی از آنها 1/5 برابر بیشتر از دیگری وجود دارد. در هر گاراژ چند ماشین وجود دارد؟

2) مساحت یک آپارتمان متشکل از دو اتاق 47 1/2 متر مربع است. متر مساحت یک اتاق 8/11 مساحت اتاق دیگر است. مساحت هر اتاق را پیدا کنید.

530. 1) آلیاژی متشکل از مس و نقره 330 گرم وزن دارد وزن مس در این آلیاژ 28/5 وزن نقره است. چه مقدار نقره و چه مقدار مس در آلیاژ وجود دارد؟

2) مجموع دو عدد 6 3/4 و ضریب آن 3 1/2 است. این اعداد را پیدا کنید

531. مجموع سه عدد 22 1/2 است. عدد دوم 3 و 1/2 برابر و عدد سوم 2 1/4 برابر است بیشتر از اولی. این اعداد را پیدا کنید

532. 1) اختلاف دو عدد 7 است. ضریب تقسیم عدد بزرگتر بر عدد کوچکتر 5 2/3 است. این اعداد را پیدا کنید

2) تفاوت بین دو عدد 29 3/8 و نسبت مضرب آنها 8 5/6 است. این اعداد را پیدا کنید

533. در یک کلاس تعداد دانش آموزان غایب 3/13 تعداد دانش آموزان حاضر است. در صورت حضور 20 نفر بیشتر از غایب، طبق لیست چند دانش آموز در کلاس هستند؟

534. 1) تفاوت بین دو عدد 3 1/5 است. یک عدد 5/7 عدد دیگر است. این اعداد را پیدا کنید

2) پدر 24 سال از پسرش بزرگتر است. تعداد سنوات پسر برابر با 13/5 سنوات پدر است. پدر چند سال دارد و پسر چند سال دارد؟

535. مخرج کسری 11 واحد بزرگتر از صورت آن است. ارزش کسری چقدر است که مخرج آن 4/3 برابر صورتگر باشد؟

شماره 536 - 537 شفاهی.

536. 1) عدد اول 1/2 عدد دوم است. عدد دوم چند برابر بزرگتر از عدد اول است؟

2) عدد اول 3/2 عدد دوم است. کدام قسمت از عدد اول عدد دوم است؟

537. 1) 1/2 عدد اول برابر است با 1/3 عدد دوم. کدام قسمت از عدد اول عدد دوم است؟

2) 2/3 عدد اول برابر است با 3/4 عدد دوم. کدام قسمت از عدد اول عدد دوم است؟ کدام قسمت از عدد دوم عدد اول است؟

538. 1) مجموع دو عدد 16 است. اگر 1/3 عدد دوم برابر با 1/5 عدد اول باشد این اعداد را بیابید.

2) مجموع دو عدد 38 است.اگر 2/3 عدد اول برابر با 3/5 عدد دوم باشد این اعداد را بیابید.

539 *. 1) دو پسر با هم 100 قارچ جمع کردند. 3/8 از تعداد قارچ های جمع آوری شده توسط پسر اول از نظر عددی برابر است با 1/4 تعداد قارچ های جمع آوری شده توسط پسر دوم. هر پسر چند قارچ جمع کرد؟

2) این موسسه 27 نفر شاغل دارد. اگر 2/5 از کل مردان برابر با 3/5 کل زنان باشد، چند مرد و چند زن کار می کنند؟

540 *. سه پسر یک توپ والیبال خریدند. سهم هر پسر را مشخص کنید، با دانستن اینکه 1/2 سهم پسر اول برابر است با 1/3 سهم دوم یا 1/4 سهم سوم، و سهم سوم است. پسر 64 کوپک بیشتر از سهم اول است.

541 *. 1) یک عدد 6 از دیگری بیشتر است اگر 2/5 یک عدد برابر با 2/3 عدد دیگر باشد این اعداد را بیابید.

2) اختلاف دو عدد 35 است اگر 1/3 عدد اول برابر 3/4 عدد دوم باشد این اعداد را بیابید.

542. 1) تیم اول می تواند برخی از کارها را در 36 روز و تیم دوم در 45 روز تکمیل کند. در چند روز هر دو تیم با همکاری یکدیگر این کار را به پایان خواهند رساند؟

2) یک قطار مسافربری مسافت بین دو شهر را در 10 ساعت و یک قطار باری این فاصله را در 15 ساعت طی می کند. هر دو قطار همزمان از این شهرها به سمت یکدیگر رفتند. چند ساعت دیگر ملاقات خواهند کرد؟

543. 1) یک قطار سریع مسافت بین دو شهر را در 6 ساعت و نیم و یک قطار مسافربری در 7 و نیم ساعت طی می کند. اگر این قطارها همزمان هر دو شهر را به سمت یکدیگر ترک کنند چند ساعت بعد به هم می رسند؟ (پاسخ به نزدیکترین 1 ساعت.)

2) دو موتورسوار به طور همزمان از دو شهر به سمت یکدیگر حرکت کردند. یک موتورسوار می تواند کل مسافت بین این شهرها را در 6 ساعت و دیگری در 5 ساعت طی کند. چند ساعت بعد از حرکت موتورسواران ملاقات خواهند کرد؟ (پاسخ به نزدیکترین 1 ساعت.)

544. 1) سه وسیله نقلیه با ظرفیت حمل مختلف می توانند مقداری محموله را حمل کنند، به طور جداگانه کار می کنند: اولی در 10 ساعت، دومی در 12 ساعت. و سومی در 15 ساعت در چند ساعت می توانند یک محموله را با همکاری یکدیگر حمل کنند؟

2) دو قطار به طور همزمان از دو ایستگاه به سمت یکدیگر حرکت می کنند: قطار اول فاصله بین این ایستگاه ها را در 12 1/2 ساعت طی می کند و قطار دوم در 18 3/4 ساعت. چند ساعت بعد از حرکت قطارها به هم می رسند؟

545. 1) دو شیر به وان حمام متصل است. از طریق یکی از آنها می توان حمام را در 12 دقیقه پر کرد، از طریق دیگری 1 1/2 برابر سریعتر. اگر هر دو شیر را به طور همزمان باز کنید چند دقیقه طول می کشد تا 5/6 کل وان پر شود؟

2) دو تایپیست باید دستنوشته را دوباره تایپ کنند. راننده اول می تواند این کار را در 3 1/3 روز کامل کند و دومی 1 1/2 برابر سریعتر. اگر هر دو تایپیست به طور همزمان کار کنند چند روز طول می کشد تا کار را کامل کنند؟

546. 1) استخر با لوله اول در 5 ساعت پر می شود و از طریق لوله دوم ظرف 6 ساعت می توان آن را تخلیه کرد اگر هر دو لوله همزمان باز شوند بعد از چند ساعت کل استخر پر می شود؟

توجه داشته باشید. ظرف یک ساعت، استخر به اندازه (1/5 - 1/6 ظرفیت خود) پر می شود.

2) دو تراکتور در 6 ساعت زمین را شخم زدند. تراکتور اول که به تنهایی کار می کند می تواند این مزرعه را در 15 ساعت شخم بزند، تراکتور دوم که به تنهایی کار می کند چند ساعت طول می کشد تا این مزرعه را شخم بزند؟

547 *. دو قطار به طور همزمان از دو ایستگاه به سمت یکدیگر حرکت می کنند و پس از 18 ساعت به هم می رسند. پس از آزادی او اگر قطار اول این فاصله را در 1 روز و 21 ساعت طی کند، قطار دوم چقدر طول می کشد تا فاصله بین ایستگاه ها را طی کند؟

548 *. استخر با دو لوله پر شده است. ابتدا لوله اول را باز کردند و بعد از 3/4 ساعت که نیمی از استخر پر شد لوله دوم را باز کردند. بعد از 2 و نیم ساعت کار با هم، استخر پر شد. اگر در لوله دوم 200 سطل آب در ساعت ریخته شود ظرفیت استخر را تعیین کنید.

549. 1) یک قطار پیک لنینگراد را به مقصد مسکو ترک کرد و 1 کیلومتر را در 3/4 دقیقه طی می کند. 1/2 ساعت پس از خروج این قطار از مسکو، قطار سریعی از مسکو به مقصد لنینگراد حرکت کرد که سرعت آن برابر با 3/4 سرعت قطار سریع السیر بود. اگر فاصله بین مسکو و لنینگراد 650 کیلومتر باشد، 2 ساعت و نیم بعد از حرکت قطار پیک، قطارها از یکدیگر چه فاصله ای خواهند داشت؟

2) از مزرعه جمعی تا شهر 24 کیلومتر. یک کامیون از مزرعه جمعی خارج می شود و 1 کیلومتر را در 2 1/2 دقیقه طی می کند. بعد از 15 دقیقه پس از خروج این خودرو از شهر، دوچرخه سواری با سرعتی نصف سرعت کامیون به سمت مزرعه جمع آوری شد. چه مدت پس از حرکت دوچرخه سوار با کامیون ملاقات می کند؟

550. 1) یک عابر پیاده از یک روستا بیرون آمد. 4 و نیم ساعت بعد از رفتن عابر پیاده، دوچرخه سواری در همان جهت حرکت کرد که سرعتش 2 و نیم برابر سرعت عابر پیاده بود. چند ساعت پس از خروج عابر پیاده، دوچرخه سوار از او سبقت می گیرد؟

2) یک قطار سریع 187 کیلومتر را در 3 ساعت و یک قطار باری 288 کیلومتر را در 6 ساعت طی می کند. 7 1/4 ساعت بعد از حرکت قطار باری، آمبولانسی در همان جهت حرکت می کند. قطار سریع السیر چقدر طول می کشد تا به قطار باری برسد؟

551. 1) از دو مزرعه جمعی که راه منتهی به مرکز منطقه از میان آنها می گذرد، دو کشاورز جمعی همزمان سوار بر اسب به منطقه رفتند. اولی آنها 8 3/4 کیلومتر در ساعت را طی کرد و دومی 1/7 برابر بیشتر از اولی بود. دومین کشاورز دسته جمعی بعد از 3 و 4/5 ساعت با کشاورز اول روبرو شد. فاصله بین مزارع جمعی را تعیین کنید.

2) 26 1/3 ساعت پس از حرکت قطار مسکو - ولادیوستوک که میانگین سرعت آن 60 کیلومتر در ساعت بود، یک هواپیمای TU-104 در همان جهت با سرعت 14 و 1/6 برابر سرعت پرواز کرد. از قطار چند ساعت بعد از حرکت هواپیما به قطار می رسد؟

552. 1) فاصله شهرها در کنار رودخانه 264 کیلومتر است. کشتی بخار این مسافت را در پایین دست طی 18 ساعت طی کرد و 1/12 این زمان را صرف توقف کرد. سرعت رودخانه ۱/۲ کیلومتر در ساعت است. یک کشتی بخار چقدر طول می کشد تا 87 کیلومتر را بدون توقف در آب ساکن بپیماید؟

2) یک قایق موتوری 207 کیلومتر در امتداد رودخانه را در 13 و نیم ساعت طی کرد و 1/9 از این زمان را در توقف سپری کرد. سرعت رودخانه ۱/۳/۴ کیلومتر در ساعت است. این قایق می تواند چند کیلومتر را در آب ساکن در ۲ و نیم ساعت طی کند؟

553. این قایق مسافت 52 کیلومتری را در عرض 3 ساعت و 15 دقیقه بدون توقف طی کرد. علاوه بر این، این قایق با حرکت در امتداد رودخانه بر خلاف جریان، که سرعت آن 13/4 کیلومتر در ساعت است، 28 و 1/2 کیلومتر را در 2 1/4 ساعت طی کرد و 3 توقف با مدت زمان مساوی انجام داد. قایق در هر توقف چند دقیقه منتظر ماند؟

554. از لنینگراد به کرونشتات در ساعت 12. کشتی بخار بعدازظهر حرکت کرد و تمام مسافت بین این شهرها را در 1 و نیم ساعت طی کرد. در راه با کشتی دیگری برخورد کرد که در ساعت 12:18 بعد از ظهر کرونشتات را به مقصد لنینگراد ترک کرد. و راه رفتن با سرعت 1/4 برابر سرعت اول. این دو کشتی در چه ساعتی با هم ملاقات کردند؟

555. این قطار باید مسافت 630 کیلومتری را در 14 ساعت طی می کرد. وی با طی کردن 2/3 این مسافت به مدت 1 ساعت و 10 دقیقه بازداشت شد. با چه سرعتی به سفر خود ادامه دهد تا بدون معطلی به مقصد برسد؟

556. ساعت 4:20 بامداد در صبح، یک قطار باری با میانگین سرعت 31 1/5 کیلومتر در ساعت کیف را به مقصد اودسا ترک کرد. پس از مدتی قطار پستی از اودسا بیرون آمد که سرعت آن 17/39 برابر سرعت قطار باری بود و 6 و نیم ساعت بعد از حرکت با قطار باری برخورد کرد. اگر فاصله بین کیف و اودسا 663 کیلومتر است، قطار پستی در چه زمانی اودسا را ​​ترک کرد؟

557*. ساعت ظهر را نشان می دهد. چه مدت طول می کشد تا عقربه های ساعت و دقیقه بر هم منطبق شوند؟

558. 1) کارخانه دارای سه کارگاه می باشد. تعداد کارگران کارگاه اول 20/9 کل ​​کارگران کارخانه است، در کارگاه دوم 1/2 برابر کارگاه اول و در کارگاه سوم 300 کارگر کمتر از کارگاه اول است. دومین. چند کارگر در کارخانه وجود دارد؟

2) سه مدرسه متوسطه در شهر وجود دارد. تعداد دانش آموزان مدرسه اول 3/10 از کل دانش آموزان این سه مدرسه است. در مدرسه دوم 1/2 برابر بیشتر از مدرسه اول و در مدرسه سوم 420 دانش آموز کمتر از مدرسه دوم وجود دارد. در سه مدرسه چند دانش آموز وجود دارد؟

559. 1) دو اپراتور کمباین در یک منطقه کار می کردند. پس از برداشت یک کمباین کننده 9/16 از کل قطعه، و 3/8 دوم از همان قطعه، مشخص شد که ترکیب اول 97 و 1/2 هکتار بیشتر از دومی برداشت کرده است. به طور متوسط ​​از هر هکتار 32 1/2 قنت کوبیده شد. هر یک از اپراتورهای ترکیب چند سانتی متر دانه را کوبیدند؟

2) دو برادر یک دوربین خریدند. یکی 5/8 و دومی 4/7 از هزینه دوربین و اولی 2 روبل ارزش داشت. 25 کوپک بیشتر از دومی همه نصف هزینه دستگاه را پرداختند. چقدر پول برای همه باقی مانده است؟

560. 1) یک خودروی سواری شهر A را به مقصد شهر B ترک می کند، فاصله بین آنها 215 کیلومتر است، با سرعت 50 کیلومتر در ساعت. در همان زمان یک کامیون شهر B را به مقصد شهر A ترک کرد. اگر سرعت کامیون در ساعت 25/18 سرعت ماشین سواری بود، خودروی سواری قبل از ملاقات با کامیون چند کیلومتر را طی کرد؟

2) بین شهرهای A و B 210 کیلومتر. یک خودروی سواری شهر A را به مقصد شهر B ترک کرد. در همان زمان یک کامیون شهر B را به مقصد شهر A ترک کرد. اگر خودروی سواری با سرعت 48 کیلومتر در ساعت حرکت می کرد و سرعت کامیون در ساعت 3/4 سرعت خودروی سواری بود، کامیون قبل از ملاقات با خودروی سواری چند کیلومتر را طی کرد؟

561. مزرعه جمعی گندم و چاودار را برداشت می کرد. 20 هکتار بیشتر از چاودار کشت گندم شد. کل برداشت چاودار 6/5 کل برداشت گندم با عملکرد 20 درجه سانتی گراد در هر هکتار برای گندم و چاودار بود. مزرعه جمعی 7/11 از کل محصول گندم و چاودار را به دولت فروخت و بقیه غلات را برای رفع نیازهای خود گذاشت. کامیون های دو تنی باید چند سفر انجام دهند تا نان فروخته شده به ایالت را خارج کنند؟

562. آرد چاودار و گندم به نانوایی آورده شد. وزن آرد گندم 3/5 وزن آرد چاودار بود و 4 تن آرد چاودار بیشتر از آرد گندم آورده شد. در صورتی که نانوایی ها 5/2 آرد کل آرد را تشکیل می دهند، نانوایی چه مقدار گندم و چه مقدار نان چاودار از این آرد خواهد پخت؟

563. طی سه روز، تیمی از کارگران 3/4 کل کار تعمیر بزرگراه بین دو مزرعه را تکمیل کردند. در روز اول 2/2/5 کیلومتر از این بزرگراه، روز دوم 1/2 برابر روز اول و روز سوم 5/8 از آنچه در دو روز اول با هم تعمیر شد تعمیر شد. طول بزرگراه بین مزارع جمعی را بیابید.

564. جاهای خالی جدول را پر کنید، جایی که S مساحت مستطیل است. آ- قاعده مستطیل الف ساعت-ارتفاع (عرض) مستطیل.

565. 1) طول قطعه زمین مستطیلی 120 متر و عرض قطعه 2/5 طول آن است. محیط و مساحت سایت را پیدا کنید.

2) عرض قسمت مستطیل شکل 250 متر و طول آن 1/2 برابر عرض است. محیط و مساحت سایت را پیدا کنید.

566. 1) محیط مستطیل 6 1/2 اینچ است، پایه آن 1/4 اینچ بزرگتر از ارتفاع آن است. مساحت این مستطیل را پیدا کنید.

2) محیط مستطیل 18 سانتی متر، ارتفاع آن 2 1/2 سانتی متر کمتر از قاعده است. مساحت مستطیل را پیدا کنید.

567. مساحت شکل های نشان داده شده در شکل 30 را با تقسیم آنها به مستطیل و یافتن ابعاد مستطیل با اندازه گیری محاسبه کنید.

568. 1) برای پوشش سقف اتاقی که طول آن 4 و نیم متر و عرض آن 4 متر است، در صورتی که ابعاد ورق گچ 2 متر در لیتر 1/2 متر باشد، چند ورق گچ خشک لازم است؟

2) چند تخته به طول 4 1/2 متر و عرض 1/4 متر برای چیدن کفی به طول 4 1/2 متر و عرض 3 1/2 متر لازم است؟

569. 1) یک قطعه مستطیل شکل به طول 560 متر و عرض 3/4 طول آن با لوبیا کاشته شد. اگر در هر هکتار 1 سانتیمتر کاشته شود، برای کاشت قطعه چند بذر لازم است؟

2) برداشت گندم 25 قنتل در هکتار از مزرعه مستطیل شکل جمع آوری شد. اگر طول مزرعه 800 متر و عرض آن 3/8 طول آن باشد، چه مقدار گندم از کل مزرعه برداشت شده است؟

570 . 1) زمینی مستطیل شکل به طول 78 3/4 متر و عرض 56 4/5 متر به گونه ای ساخته شده است که 4/5 مساحت آن را ساختمان ها اشغال کرده اند. مساحت زمین زیر ساختمان ها را تعیین کنید.

2) در زمینی مستطیل شکل که طول آن 20/9 کیلومتر و عرض آن 9/4 طول آن است، مزرعه جمعی در نظر دارد باغی را احداث کند. اگر برای هر درخت به مساحت متوسط ​​36 مترمربع نیاز باشد چند درخت در این باغ کاشته می شود؟

571. 1) برای روشنایی معمولی نور روز اتاق، لازم است مساحت تمام پنجره ها حداقل 1/5 سطح کف باشد. تعیین کنید که آیا در اتاقی که طول آن 5 و 1/2 متر و عرض آن 4 متر است نور کافی وجود دارد یا خیر.

2) با استفاده از شرط مشکل قبلی، متوجه شوید که آیا نور کافی در کلاس شما وجود دارد یا خیر.

572. 1) انبار دارای ابعاد 5 1/2 متر × 4 1/2 متر × 2 1/2 متر است اگر به اندازه 3/4 ارتفاع آن پر شود و اگر 1 مکعب باشد چه مقدار یونجه (به وزن) در این انبار جا می شود. . متر یونجه 82 کیلوگرم وزن دارد؟

2) شمع چوب دارای شکل است متوازی الاضلاع مستطیلی، که ابعاد آن 2 1/2 m x 3 1/2 m x 1 1/2 m می باشد وزن شمع چوب چقدر است اگر 1 مس. متر هیزم 600 کیلوگرم وزن دارد؟

573. 1) یک آکواریوم مستطیل شکل تا 3/5 ارتفاع آن با آب پر می شود. طول آکواریوم 1/2 متر عرض 4/5 متر ارتفاع 3/4 متر داخل آکواریوم چند لیتر آب ریخته می شود؟

2) استخری به شکل متوازی الاضلاع مستطیلی به طول 6 و 1/2 متر، عرض 4 متر و ارتفاع 2 متر است که تا 3/4 ارتفاع آن از آب پر می شود. مقدار آب ریخته شده در استخر را محاسبه کنید.

574. باید حصاری در اطراف زمین مستطیلی به طول 75 متر و عرض 45 متر ساخته شود. اگر ضخامت تخته 2 1/2 سانتی متر و ارتفاع نرده 2 1/4 متر باشد، چند متر مکعب تخته باید وارد ساخت آن شود؟

575. 1) دقیقه و چه زاویه ای است عقربه ساعتساعت 13؟ ساعت 15؟ ساعت 17؟ ساعت 21؟ ساعت 23:30؟

2) عقربه ساعت در 2 ساعت چند درجه می چرخد؟ ساعت 5؟ 08:00؟ 30 دقیقه.؟

3) قوس برابر با نصف دایره چند درجه دارد؟ 1/4 دایره؟ 1/24 دایره؟ دایره 24/5؟

576. 1) با استفاده از نقاله،: الف) زاویه قائمه را رسم کنید. ب) زاویه 30 درجه؛ ج) زاویه 60 درجه؛ د) زاویه 150 درجه؛ ه) زاویه 55 درجه.

2) با استفاده از نقاله، زوایای شکل را اندازه بگیرید و مجموع تمام زوایای هر شکل را بیابید (شکل 31).

577. این مراحل را دنبال کنید:

578. 1) نیم دایره به دو قوس تقسیم می شود که یکی از آنها 100 درجه بزرگتر از دیگری است. اندازه هر کمان را بیابید.

2) نیم دایره به دو قوس تقسیم می شود که یکی از آنها 15 درجه کمتر از دیگری است. اندازه هر کمان را بیابید.

3) نیم دایره به دو قوس تقسیم می شود که یکی از آنها دو برابر دیگری است. اندازه هر کمان را بیابید.

4) نیم دایره به دو قوس تقسیم می شود که یکی از آنها 5 برابر کوچکتر از دیگری است. اندازه هر کمان را بیابید.

579. 1) نمودار "سواد جمعیت در اتحاد جماهیر شوروی" (شکل 32) تعداد افراد باسواد را در هر صد نفر از جمعیت نشان می دهد. بر اساس داده های نمودار و مقیاس آن، تعداد مردان و زنان باسواد را برای هر یک از سال های ذکر شده تعیین کنید.

نتایج را در جدول بنویسید:

2) با استفاده از داده های نمودار "نمایندگان شوروی در فضا" (شکل 33)، وظایف ایجاد کنید.

580. 1) با توجه به نمودار دایره ای "روال روزانه برای دانش آموز کلاس پنجم" (شکل 34)، جدول را پر کنید و به سوالات پاسخ دهید: چه بخشی از روز به خواب اختصاص داده شده است؟ برای تکلیف خانه؟ به مدرسه؟

2) یک نمودار دایره ای در مورد برنامه روزانه خود بسازید.

این بخش اقدامات با کسرهای معمولی. در صورت نیاز به انجام یک عملیات ریاضی با اعداد مختلط، کافی است کسر مختلط را به کسر فوق العاده تبدیل کرده، عملیات لازم را انجام داده و در صورت لزوم، نتیجه نهایی را مجدداً به صورت یک عدد مختلط ارائه کنید. . این عملیات در زیر توضیح داده خواهد شد.

کاهش کسری

عملیات ریاضی. کاهش کسری

برای کاهش کسر \frac(m)(n) باید بزرگترین مقسوم علیه و مخرج آن را پیدا کنید: gcd(m,n) و سپس صورت و مخرج کسر را بر این عدد تقسیم کنید. اگر GCD(m,n)=1 باشد، کسر را نمی توان کاهش داد. مثال: \frac(20)(80)=\frac(20:20)(80:20)=\frac(1)(4)

معمولاً، یافتن فوری بزرگترین مقسوم علیه مشترک کار دشواری به نظر می رسد، و در عمل، یک کسری در چندین مرحله کاهش می یابد و گام به گام عوامل مشترک آشکار را از صورت و مخرج جدا می کند. \frac(140)(315)=\frac(28\cdot5)(63\cdot5)=\frac(4\cdot7\cdot5)(9\cdot7\cdot5)=\frac(4)(9)

تقلیل کسرها به مخرج مشترک

عملیات ریاضی. تقلیل کسرها به مخرج مشترک

برای آوردن دو کسر \frac(a)(b) و \frac(c)(d) به مخرج مشترک شما نیاز دارید:

• کمترین مضرب مشترک مخرج ها را پیدا کنید: M=LMK(b,d);
• صورت و مخرج کسر اول را در M/b ضرب کنید (پس از آن مخرج کسر برابر با عدد M می شود).
• صورت و مخرج کسر دوم را در M/d ضرب کنید (پس از آن مخرج کسر برابر با عدد M می شود).

بنابراین، کسرهای اصلی را به کسری با مخرج یکسان (که برابر با عدد M خواهد بود) تبدیل می کنیم.

برای مثال، کسرهای \frac(5)(6) و \frac(4)(9) دارای LCM(6,9) = 18 هستند. سپس: \frac(5)(6)=\frac(5\cdot3) (6 \cdot3)=\frac(15)(18);\quad\frac(4)(9)=\frac(4\cdot2)(9\cdot2)=\frac(8)(18) . بنابراین، کسرهای حاصل یک مخرج مشترک دارند.

در عمل، یافتن حداقل مضرب مشترک (LCM) مخرج ها همیشه کار ساده ای نیست. بنابراین عددی برابر حاصلضرب مخرج کسرهای اصلی به عنوان مخرج مشترک انتخاب می شود. برای مثال، کسرهای \frac(5)(6) و frac(4)(9) به یک مخرج مشترک N=6\cdot9 تقلیل می‌یابند:

\frac(5)(6)=\frac(5\cdot9)(6\cdot9)=\frac(45)(54);\quad\frac(4)(9)=\frac(4\cdot6)( 9\cdot6)=\frac(24)(54)

مقایسه کسرها

عملیات ریاضی. مقایسه کسرها

برای مقایسه دو کسر معمولی نیاز دارید:

• اعداد کسرهای حاصل را مقایسه کنید. کسری با یک عدد بزرگتر بزرگتر خواهد بود.

برای مثال، \frac(9)(14)

هنگام مقایسه کسرها، چندین مورد خاص وجود دارد:

1. از دو کسر با مخرج های یکسانکسری که صورتش بزرگتر است بزرگتر است. برای مثال، \frac(3)(15)
2. از دو کسر با همان اعدادبزرگتر کسری است که مخرج آن کوچکتر است. برای مثال، \frac(4)(11)>\frac(4)(13)
3. آن کسری که به طور همزمان صورت بزرگتر و مخرج کوچکتر، بیشتر. برای مثال، \frac(11)(3)>\frac(10)(8)

توجه!قانون 1 برای هر کسری اعمال می شود که مخرج مشترک آنها یک عدد مثبت باشد. قوانین 2 و 3 برای کسرهای مثبت (کسانی که هم صورت و هم مخرج آنها بزرگتر از صفر است) اعمال می شود.

جمع و تفریق کسرها

عملیات ریاضی. جمع و تفریق کسرها

برای اضافه کردن دو کسر نیاز دارید:

• آنها را به یک مخرج مشترک بیاورید.
• اعداد آنها را اضافه کنید و مخرج را بدون تغییر رها کنید.

مثال: \frac(7)(9)+\frac(4)(7)=\frac(7\cdot7)(9\cdot7)+\frac(4\cdot9)(7\cdot9)=\frac(49 )(63)+\frac(36)(63)=\frac(49+36)(63)=\frac(85)(63)

برای تفریق کسر دیگری از یک کسر به موارد زیر نیاز دارید:

• کسرها را به مخرج مشترک کاهش دهید.
• صورت کسر دوم را از کسر اول کم کنید و مخرج را بدون تغییر رها کنید.

مثال: \frac(4)(15)-\frac(3)(5)=\frac(4)(15)-\frac(3\cdot3)(5\cdot3)=\frac(4)(15) -\frac(9)(15)=\frac(4-9)(15)=\frac(-5)(15)=-\frac(5)(3\cdot5)=-\frac(1)( 3)

اگر کسرهای اصلی در ابتدا دارای مخرج مشترک باشند، مرحله 1 (کاهش به مخرج مشترک) حذف می شود.

تبدیل عدد مختلط به کسر نامناسب و بالعکس

عملیات ریاضی. تبدیل عدد مختلط به کسر نامناسب و بالعکس

برای تبدیل کسر مختلط به کسر نامناسب، کافی است کل کسر مختلط را با جزء کسر جمع کنید. حاصل چنین جمعی کسر نامناسبی خواهد بود که صورت آن برابر با حاصل جمع کل جزء با مخرج کسر با کسر مختلط است و مخرج آن ثابت می ماند. برای مثال، 2\frac(6)(11)=2+\frac(6)(11)=\frac(2\cdot11)(11)+\frac(6)(11)=\frac(2\cdot11+ 6)(11)=\frac(28)(11)

برای تبدیل کسر نامناسب به عدد مختلط:

• تقسیم کسری بر مخرج آن؛
• باقیمانده تقسیم را به صورت شمارنده بنویسید و مخرج را ثابت بگذارید.
• نتیجه تقسیم را به صورت یک جزء صحیح بنویسید.

به عنوان مثال، کسری \frac(23)(4) . هنگام تقسیم 23:4=5.75، یعنی کل قسمت 5 است، باقیمانده تقسیم 23-5*4=3 است. سپس عدد مختلط نوشته خواهد شد: 5\frac(3)(4). \frac(23)(4)=\frac(5\cdot4+3)(4)=5\frac(3)(4)

تبدیل اعشار به کسری

عملیات ریاضی. تبدیل اعشار به کسری

برای تبدیل کسر اعشاری به کسری معمولی باید:

1. n ام توان ده را به عنوان مخرج بگیرید (در اینجا n تعداد ارقام اعشاری است).
2. به عنوان شمارنده، عدد را بعد از نقطه اعشار بگیرید (اگر قسمت صحیح عدد اصلی برابر با صفر نباشد، تمام صفرهای ابتدایی را نیز بگیرید).
3. قسمت صحیح غیرصفر در همان ابتدا در صورتگر نوشته می شود. قسمت عدد صحیح صفر حذف شده است.

مثال 1: 0.0089=\frac(89)(10000) (4 رقم اعشار وجود دارد، بنابراین مخرج دارای 10 4 = 10000 است، از آنجایی که قسمت صحیح 0 است، شمارنده شامل عدد بعد از اعشار بدون صفرهای ابتدایی است)

مثال 2: 31.0109=\frac(310109)(10000) (در صورتگر عدد را بعد از اعشار با تمام صفرها می نویسیم: "0109" و سپس قبل از آن کل قسمت عدد اصلی "31" را اضافه می کنیم)

اگر تمام قسمت یک کسر اعشاری غیر صفر باشد، می توان آن را به کسر مختلط تبدیل کرد. برای انجام این کار، عدد را به یک کسری معمولی تبدیل می کنیم که گویی کل قسمت برابر با صفر است (نقاط 1 و 2) و به سادگی کل قسمت را در مقابل کسر بازنویسی می کنیم - این قسمت کل عدد مختلط خواهد بود. . مثال:

3.014=3\frac(14)(100)

برای تبدیل کسر به اعشار کافی است که صورت را بر مخرج تقسیم کنید. گاهی اوقات شما با یک اعشار بی نهایت مواجه می شوید. در این صورت باید به رقم اعشار مورد نظر گرد شود. مثال ها:

\frac(401)(5)=80.2;\quad \frac(2)(3)\ approx0.6667

ضرب و تقسیم کسرها

عملیات ریاضی. ضرب و تقسیم کسرها

برای ضرب دو کسر معمولی، باید صورت و مخرج کسرها را ضرب کنید.

\frac(5)(9)\cdot\frac(7)(2)=\frac(5\cdot7)(9\cdot2)=\frac(35)(18)

برای تقسیم یک کسر مشترک بر کسر دیگر، باید کسر اول را در متقابل کسر دوم ضرب کنید ( کسری متقابل- کسری که در آن صورت و مخرج با هم عوض می شوند.

\frac(5)(9):\frac(7)(2)=\frac(5)(9)\cdot\frac(2)(7)=\frac(5\cdot2)(9\cdot7)= \frac(10)(63)

اگر یکی از کسرها یک عدد طبیعی باشد، قوانین ضرب و تقسیم بالا به قوت خود باقی است. فقط باید در نظر بگیرید که یک عدد صحیح همان کسری است که مخرج آن برابر با یک است. به عنوان مثال: 3:\frac(3)(7)=\frac(3)(1):\frac(3)(7)=\frac(3)(1)\cdot\frac(7)(3) = \frac(3\cdot7)(1\cdot3)=\frac(7)(1)=7

محتوای درس

جمع کردن کسری با مخرج مشابه

دو نوع جمع کسر وجود دارد:

1. جمع کردن کسری با مخرج مشابه
2. جمع کسری با مخرج های مختلف

ابتدا جمع کسری با مخرج مشابه را بیاموزیم. اینجا همه چیز ساده است. برای جمع کردن کسرهایی با مخرج یکسان، باید اعداد آنها را جمع کنید و مخرج را بدون تغییر رها کنید. به عنوان مثال، بیایید کسرها و . اعداد را اضافه کنید و مخرج را بدون تغییر رها کنید:

این مثال را به راحتی می توان فهمید اگر پیتزا را به یاد بیاوریم که به چهار قسمت تقسیم شده است. اگر پیتزا را به پیتزا اضافه کنید، پیتزا دریافت خواهید کرد:

مثال 2.کسر و .

جواب کسری نامناسب بود. هنگامی که پایان کار فرا می رسد، مرسوم است که از شر کسرهای نامناسب خلاص شوید. برای خلاص شدن از شر کسری نامناسب، باید کل قسمت آن را انتخاب کنید. در مورد ما، کل قسمت به راحتی جدا می شود - دو تقسیم بر دو برابر یک:

اگر پیتزای دو قسمتی را به یاد بیاوریم، این مثال را به راحتی می توان فهمید. اگر پیتزای بیشتری به پیتزا اضافه کنید، یک پیتزا کامل دریافت می کنید:

مثال 3. کسر و .

دوباره اعداد را جمع می کنیم و مخرج را بدون تغییر می گذاریم:

این مثال را به راحتی می توان فهمید اگر پیتزا را به یاد بیاوریم که به سه قسمت تقسیم شده است. اگر پیتزای بیشتری به پیتزا اضافه کنید، پیتزا دریافت خواهید کرد:

مثال 4.مقدار یک عبارت را پیدا کنید

این مثال دقیقاً به همان روش قبلی حل شده است. اعداد باید اضافه شوند و مخرج بدون تغییر باقی بماند:

بیایید سعی کنیم راه حل خود را با استفاده از یک نقاشی به تصویر بکشیم. اگر پیتزا را به یک پیتزا اضافه کنید و پیتزاهای بیشتری اضافه کنید، 1 پیتزا کامل و پیتزا بیشتر خواهید داشت.

همانطور که می بینید، هیچ چیز پیچیده ای در مورد جمع کسری با مخرج یکسان وجود ندارد. کافی است قوانین زیر را درک کنید:

1. برای اضافه کردن کسرهایی با مخرج یکسان، باید اعداد آنها را اضافه کنید و مخرج را بدون تغییر رها کنید.

جمع کسری با مخرج های مختلف

حالا بیایید یاد بگیریم که چگونه کسری را با مخرج های مختلف جمع کنیم. هنگام جمع کردن کسرها، مخرج کسرها باید یکسان باشد. اما آنها همیشه یکسان نیستند.

به عنوان مثال، کسرها را می توان اضافه کرد زیرا آنها دارند مخرج های مشابه.

اما کسرها را نمی توان فوراً اضافه کرد، زیرا این کسرها مخرج های مختلفی دارند. در چنین مواردی، کسرها باید به یک مخرج (مشترک) کاهش یابد.

روش های مختلفی برای کاهش کسرها به مخرج یکسان وجود دارد. امروز ما تنها به یکی از آنها نگاه خواهیم کرد، زیرا روش های دیگر ممکن است برای یک مبتدی پیچیده به نظر برسند.

ماهیت این روش این است که ابتدا LCM مخرج هر دو کسر جستجو می شود. سپس LCM بر مخرج کسر اول تقسیم می شود تا اولین عامل اضافی به دست آید. آنها همین کار را با کسر دوم انجام می دهند - LCM بر مخرج کسر دوم تقسیم می شود و یک عامل اضافی دوم به دست می آید.

سپس صورت و مخرج کسرها در ضرایب اضافی آنها ضرب می شوند. در نتیجه این اعمال، کسری هایی که مخرج های متفاوتی داشتند به کسری هایی تبدیل می شوند که مخرج های یکسانی دارند. و ما قبلاً می دانیم که چگونه چنین کسرهایی را اضافه کنیم.

مثال 1. بیایید کسرهای و را جمع کنیم

اول از همه، ما کمترین مضرب مشترک مخرج هر دو کسر را پیدا می کنیم. مخرج کسر اول عدد 3 و مخرج کسر دوم عدد 2 است. کمترین مضرب مشترک این اعداد 6 است.

LCM (2 و 3) = 6

حال به کسرها و . ابتدا LCM را بر مخرج کسر اول تقسیم کنید و اولین عامل اضافی را بدست آورید. LCM عدد 6 است و مخرج کسر اول عدد 3 است.

عدد 2 حاصل اولین ضریب اضافی است. آن را تا کسر اول یادداشت می کنیم. برای انجام این کار، یک خط مایل کوچک روی کسری ایجاد کنید و فاکتور اضافی موجود در بالای آن را بنویسید:

با کسر دوم هم همین کار را می کنیم. LCM را بر مخرج کسر دوم تقسیم می کنیم و عامل اضافی دوم را بدست می آوریم. LCM عدد 6 است و مخرج کسر دوم عدد 2 است.

عدد 3 حاصل، دومین ضریب اضافی است. آن را تا کسر دوم یادداشت می کنیم. مجدداً یک خط مایل کوچک روی کسر دوم ایجاد می کنیم و فاکتور اضافی موجود در بالای آن را می نویسیم:

اکنون همه چیز را برای اضافه کردن آماده کرده ایم. باقی مانده است که صورت و مخرج کسرها را در عوامل اضافی آنها ضرب کنیم:

با دقت نگاه کنید که به چه چیزی رسیده ایم. ما به این نتیجه رسیدیم که کسری هایی که مخرج های متفاوتی دارند به کسری هایی تبدیل می شوند که مخرج های یکسانی دارند. و ما قبلاً می دانیم که چگونه چنین کسرهایی را اضافه کنیم. بیایید این مثال را تا آخر بیان کنیم:

این مثال را کامل می کند. معلوم می شود که اضافه می کند.

بیایید سعی کنیم راه حل خود را با استفاده از یک نقاشی به تصویر بکشیم. اگر پیتزا را به پیتزا اضافه کنید، یک پیتزا کامل و یک ششم دیگر پیتزا دریافت خواهید کرد:

کاهش کسرها به مخرج یکسان (مشترک) نیز می تواند با استفاده از یک تصویر به تصویر کشیده شود. با کاهش کسرها و به یک مخرج مشترک، کسرها و . این دو کسر با همان تکه های پیتزا نشان داده می شوند. تنها تفاوت این است که این بار آنها به سهام مساوی تقسیم می شوند (به همان مخرج تقلیل می یابد).

اولین نقاشی نشان دهنده کسری (چهار قطعه از شش قطعه) و نقاشی دوم نشان دهنده یک کسری (سه قطعه از شش قطعه) است. با اضافه کردن این قطعات به دست می آید (هفت قطعه از شش). این کسر نامناسب است، بنابراین کل قسمت آن را برجسته کردیم. در نتیجه، ما دریافت کردیم (یک پیتزا کامل و ششمین پیتزا).

لطفا توجه داشته باشید که ما این مثال را با جزئیات بیش از حد توضیح داده ایم. که در موسسات آموزشینوشتن با این جزئیات مرسوم نیست. شما باید بتوانید به سرعت LCM مخرج ها و فاکتورهای اضافی به آنها را بیابید و همچنین عوامل اضافی یافت شده را به سرعت در صورت و مخرج خود ضرب کنید. اگر در مدرسه بودیم، باید این مثال را به صورت زیر بنویسیم:

اما همچنین وجود دارد سمت عقبمدال ها اگر در مراحل اول مطالعه ریاضیات جزییات یادداشت برداری نکنید، سوالاتی از این دست ظاهر می شوند. «این عدد از کجا می آید؟»، «چرا کسرها ناگهان به کسرهای کاملاً متفاوت تبدیل می شوند؟ «.

برای آسان تر کردن جمع کردن کسر با مخرج های مختلف، می توانید از دستورالعمل های گام به گام زیر استفاده کنید:

1. LCM مخرج کسرها را بیابید.
2. LCM را بر مخرج هر کسری تقسیم کنید و برای هر کسر یک عامل اضافی بدست آورید.
3. صورت و مخرج کسرها را در فاکتورهای اضافی ضرب کنید.
4. کسری را اضافه کنید که مخرج یکسانی دارند.
5. اگر جواب کسری نامناسب بود، کل قسمت آن را انتخاب کنید.

مثال 2.مقدار یک عبارت را پیدا کنید .

بیایید از دستورالعمل های داده شده در بالا استفاده کنیم.

مرحله 1. LCM مخرج کسرها را پیدا کنید

LCM مخرج هر دو کسر را پیدا کنید. مخرج کسرها اعداد 2 و 3 و 4 هستند

مرحله 2. LCM را بر مخرج هر کسری تقسیم کنید و برای هر کسری یک عامل اضافی بدست آورید.

LCM را بر مخرج کسر اول تقسیم کنید. LCM عدد 12 است و مخرج کسر اول عدد 2 است. 12 را بر 2 تقسیم می کنیم، عدد 6 به دست می آید. اولین عامل اضافی 6 را به دست می آوریم. آن را بالای کسری اول می نویسیم:

اکنون LCM را بر مخرج کسر دوم تقسیم می کنیم. LCM عدد 12 است و مخرج کسر دوم عدد 3 است. 12 را بر 3 تقسیم کنید، عدد 4 بدست می آید. دومین عامل اضافی 4 را بدست می آوریم. آن را بالای کسر دوم می نویسیم:

اکنون LCM را بر مخرج کسر سوم تقسیم می کنیم. LCM عدد 12 است و مخرج کسر سوم عدد 4 است. 12 را بر 4 تقسیم کنید، عدد 3 به دست می آید. سومین عامل اضافی 3 را بدست می آوریم. آن را بالای کسر سوم می نویسیم:

مرحله 3. صورت و مخرج کسرها را در فاکتورهای اضافی ضرب کنید

صورت‌ها و مخرج‌ها را در فاکتورهای اضافی ضرب می‌کنیم:

مرحله 4. کسری با مخرج یکسان را اضافه کنید

ما به این نتیجه رسیدیم که کسری هایی که مخرج های متفاوتی دارند به کسری هایی تبدیل می شوند که مخرج های یکسانی (مشترک) دارند. تنها چیزی که باقی می ماند اضافه کردن این کسرها است. اضافه کنید:

اضافه در یک خط جا نمی شد، بنابراین ما عبارت باقی مانده را به خط بعدی منتقل کردیم. این در ریاضیات مجاز است. وقتی یک عبارت در یک خط قرار نمی گیرد به سطر بعدی منتقل می شود و لازم است علامت مساوی (=) در انتهای سطر اول و در ابتدای سطر جدید قرار دهیم. علامت مساوی در خط دوم نشان می دهد که این ادامه عبارتی است که در خط اول بود.

مرحله 5. اگر جواب کسری نامناسب بود، کل قسمت آن را انتخاب کنید

جواب ما کسر نامناسبی بود. ما باید یک بخش کامل از آن را برجسته کنیم. برجسته می کنیم:

جواب گرفتیم

تفریق کسری با مخرج مشابه

دو نوع تفریق کسرها وجود دارد:

1. تفریق کسری با مخرج مشابه
2. تفریق کسری با مخرج های مختلف

ابتدا بیایید یاد بگیریم که چگونه کسرها را با مخرج مشابه کم کنیم. اینجا همه چیز ساده است. برای تفریق کسر دیگری از یک کسر، باید صورت کسر دوم را از صورت کسر اول کم کنید، اما مخرج را ثابت بگذارید.

برای مثال، بیایید مقدار عبارت را پیدا کنیم. برای حل این مثال، باید صورت کسر دوم را از صورت کسر اول کم کنید و مخرج آن را بدون تغییر رها کنید. بیا انجامش بدیم:

این مثال را به راحتی می توان فهمید اگر پیتزا را به یاد بیاوریم که به چهار قسمت تقسیم شده است. اگر پیتزا را از پیتزا جدا کنید، پیتزا دریافت خواهید کرد:

مثال 2.مقدار عبارت را پیدا کنید.

باز هم از صورت کسر اول، کسر دوم را کم کنید و مخرج را بدون تغییر رها کنید:

این مثال را به راحتی می توان فهمید اگر پیتزا را به یاد بیاوریم که به سه قسمت تقسیم شده است. اگر پیتزا را از پیتزا جدا کنید، پیتزا دریافت خواهید کرد:

مثال 3.مقدار یک عبارت را پیدا کنید

این مثال دقیقاً به همان روش قبلی حل شده است. از شماره‌گذار کسر اول باید شمارنده‌های کسرهای باقی‌مانده را کم کنید:

همانطور که می بینید، هیچ چیز پیچیده ای در مورد تفریق کسری با مخرج یکسان وجود ندارد. کافی است قوانین زیر را درک کنید:

1. برای تفریق کسر دیگری از یک کسر، باید صورت کسر دوم را از کسر اول کم کنید و مخرج را بدون تغییر رها کنید.
2. اگر جواب کسری نامناسب بود، باید کل قسمت آن را برجسته کنید.

تفریق کسری با مخرج های مختلف

به عنوان مثال، می توانید یک کسری را از یک کسر کم کنید، زیرا کسرها مخرج های یکسانی دارند. اما شما نمی توانید کسری را از یک کسر کم کنید، زیرا این کسرها مخرج های مختلفی دارند. در چنین مواردی، کسرها باید به یک مخرج (مشترک) کاهش یابد.

مخرج مشترک با استفاده از همان اصل که ما هنگام جمع کردن کسری با مخرج های مختلف استفاده می کردیم، پیدا می شود. اول از همه، LCM مخرج هر دو کسر را پیدا کنید. سپس LCM بر مخرج کسر اول تقسیم می شود و اولین عامل اضافی بدست می آید که بالای کسر اول نوشته شده است. به همین ترتیب، LCM بر مخرج کسر دوم تقسیم می شود و یک عامل اضافی دوم به دست می آید که بالای کسر دوم نوشته می شود.

سپس کسرها در عوامل اضافی خود ضرب می شوند. در نتیجه این عملیات، کسری هایی که مخرج های متفاوتی داشتند، به کسری هایی تبدیل می شوند که مخرج های یکسانی دارند. و ما قبلاً می دانیم که چگونه چنین کسرهایی را کم کنیم.

مثال 1.معنی عبارت را پیدا کنید:

این کسرها مخرج های مختلفی دارند، بنابراین باید آنها را به یک مخرج (مشترک) کاهش دهید.

ابتدا LCM مخرج هر دو کسر را پیدا می کنیم. مخرج کسر اول عدد 3 و مخرج کسر دوم عدد 4 است. کمترین مضرب مشترک این اعداد 12 است.

LCM (3 و 4) = 12

حال به کسرها و

بیایید یک عامل اضافی برای کسر اول پیدا کنیم. برای انجام این کار، LCM را بر مخرج کسر اول تقسیم کنید. LCM عدد 12 است و مخرج کسر اول عدد 3 است. 12 را بر 3 تقسیم کنید، عدد 4 را بدست می آوریم. بالای کسر اول یک عدد چهار بنویسید:

با کسر دوم هم همین کار را می کنیم. LCM را بر مخرج کسر دوم تقسیم کنید. LCM عدد 12 است و مخرج کسر دوم عدد 4 است. 12 را بر 4 تقسیم کنید، عدد 3 بدست می آید. روی کسر دوم یک عدد سه بنویسید:

اکنون برای تفریق آماده هستیم. باقی مانده است که کسرها را در عوامل اضافی آنها ضرب کنیم:

ما به این نتیجه رسیدیم که کسری هایی که مخرج های متفاوتی دارند به کسری هایی تبدیل می شوند که مخرج های یکسانی دارند. و ما قبلاً می دانیم که چگونه چنین کسرهایی را کم کنیم. بیایید این مثال را تا آخر بیان کنیم:

جواب گرفتیم

بیایید سعی کنیم راه حل خود را با استفاده از یک نقاشی به تصویر بکشیم. اگر پیتزا را از پیتزا جدا کنید، پیتزا می گیرید

این نسخه دقیق راه حل است. اگر در مدرسه بودیم، باید این مثال را کوتاه‌تر حل می‌کردیم. چنین راه حلی به شکل زیر است:

کاهش کسرها به مخرج مشترک نیز می تواند با استفاده از یک تصویر به تصویر کشیده شود. با تقلیل این کسرها به یک مخرج مشترک، کسرهای و . این کسری ها با تکه های پیتزا یکسان نشان داده می شوند، اما این بار به سهم های مساوی تقسیم می شوند (به مخرج یکسان کاهش می یابد):

تصویر اول کسری را نشان می دهد (هشت قطعه از دوازده) و تصویر دوم کسری را نشان می دهد (سه قطعه از دوازده). با بریدن سه تکه از هشت تکه، از دوازده تکه پنج قطعه بدست می آید. کسری این پنج قطعه را توصیف می کند.

مثال 2.مقدار یک عبارت را پیدا کنید

این کسرها مخرج های مختلفی دارند، بنابراین ابتدا باید آنها را به یک مخرج (مشترک) کاهش دهید.

بیایید LCM مخرج این کسرها را پیدا کنیم.

مخرج کسرها اعداد 10، 3 و 5 هستند که کمترین مضرب مشترک این اعداد 30 است.

LCM(10، 3، 5) = 30

اکنون برای هر کسری فاکتورهای اضافی پیدا می کنیم. برای این کار، LCM را بر مخرج هر کسر تقسیم کنید.

بیایید یک عامل اضافی برای کسر اول پیدا کنیم. LCM عدد 30 است و مخرج کسر اول عدد 10 است. 30 را بر 10 تقسیم کنید، اولین عامل اضافی 3 را بدست می آوریم. آن را بالای کسر اول می نویسیم:

اکنون یک عامل اضافی برای کسر دوم پیدا می کنیم. LCM را بر مخرج کسر دوم تقسیم کنید. LCM عدد 30 است و مخرج کسر دوم عدد 3 است. 30 را بر 3 تقسیم کنید، ضریب دوم اضافی 10 به دست می آید. آن را بالای کسر دوم می نویسیم:

اکنون یک عامل اضافی برای کسر سوم پیدا می کنیم. LCM را بر مخرج کسر سوم تقسیم کنید. LCM عدد 30 است و مخرج کسر سوم عدد 5 است. 30 را بر 5 تقسیم کنید، سومین عامل اضافی 6 را بدست می آوریم. آن را بالای کسر سوم می نویسیم:

اکنون همه چیز برای تفریق آماده است. باقی مانده است که کسرها را در عوامل اضافی آنها ضرب کنیم:

ما به این نتیجه رسیدیم که کسری هایی که مخرج های متفاوتی دارند به کسری هایی تبدیل می شوند که مخرج های یکسانی (مشترک) دارند. و ما قبلاً می دانیم که چگونه چنین کسرهایی را کم کنیم. بیایید این مثال را تمام کنیم.

ادامه مثال در یک خط قرار نمی گیرد، بنابراین ادامه را به خط بعدی منتقل می کنیم. علامت مساوی (=) را در خط جدید فراموش نکنید:

معلوم شد که پاسخ کسری منظم است، و به نظر می رسد همه چیز برای ما مناسب است، اما بیش از حد دست و پا گیر و زشت است. باید ساده ترش کنیم چه کاری می توان کرد؟ می توانید این کسر را کوتاه کنید.

برای کاهش یک کسری، باید صورت و مخرج آن را بر (GCD) اعداد 20 و 30 تقسیم کنید.

بنابراین، gcd اعداد 20 و 30 را پیدا می کنیم:

اکنون به مثال خود باز می گردیم و صورت و مخرج کسر را بر gcd یافت شده تقسیم می کنیم، یعنی بر 10.

جواب گرفتیم

ضرب کسری در عدد

برای ضرب کسری در یک عدد، باید صورت کسری را در آن عدد ضرب کنید و مخرج آن را بدون تغییر رها کنید.

مثال 1. کسری را در عدد 1 ضرب کنید.

عدد کسری را در عدد 1 ضرب کنید

ضبط را می توان به صورت نیمی از 1 بار در نظر گرفت. به عنوان مثال، اگر یک بار پیتزا بخورید، پیتزا دریافت می کنید

از قوانین ضرب می دانیم که اگر ضرب و ضریب مبادله شوند، حاصلضرب تغییر نمی کند. اگر عبارت به صورت نوشته شود، محصول همچنان برابر خواهد بود. دوباره، قانون ضرب یک عدد کامل و یک کسری کار می کند:

این نماد را می توان به عنوان گرفتن نیمی از یک درک کرد. به عنوان مثال، اگر 1 پیتزا کامل باشد و نصف آن را برداریم، پیتزا خواهیم داشت:

مثال 2. مقدار یک عبارت را پیدا کنید

عدد کسر را در 4 ضرب کنید

پاسخ کسری نامناسب بود. بیایید تمام قسمت آن را برجسته کنیم:

این عبارت را می توان به صورت دو چهارم 4 بار در نظر گرفت. به عنوان مثال، اگر 4 پیتزا بگیرید، دو پیتزا کامل دریافت خواهید کرد

و اگر ضریب و ضریب را عوض کنیم، عبارت . همچنین برابر با 2 خواهد بود. این عبارت را می توان به صورت گرفتن دو پیتزا از چهار پیتزا کامل فهمید:

عددی که در کسری ضرب می شود و مخرج کسری در صورتی حل می شود که ضریب مشترک آنها بیشتر از یک باشد.

به عنوان مثال، یک عبارت را می توان به دو صورت ارزیابی کرد.

راه اول. عدد 4 را در صورت کسر ضرب کنید و مخرج کسر را بدون تغییر رها کنید:

راه دوم. چهار ضرب و چهار در مخرج کسر را می توان کاهش داد. این چهار را می توان به 4 کاهش داد، زیرا بزرگترین مقسوم علیه مشترک برای دو چهار، خود چهار است:

ما همان نتیجه را گرفتیم 3. پس از کاهش چهار عدد، اعداد جدیدی به جای آنها تشکیل می شود: دو عدد. اما ضرب یک در سه و سپس تقسیم بر یک چیزی را تغییر نمی دهد. بنابراین، راه حل را می توان به طور خلاصه نوشت:

حتی زمانی که تصمیم گرفتیم از روش اول استفاده کنیم می توان کاهش را انجام داد، اما در مرحله ضرب عدد 4 و عدد 3 تصمیم گرفتیم از کاهش استفاده کنیم:

اما برای مثال، عبارت را فقط می توان به روش اول محاسبه کرد - 7 را در مخرج کسری ضرب کنید و مخرج را بدون تغییر رها کنید:

این به این دلیل است که عدد 7 و مخرج کسری مقسوم علیه مشترک بزرگتر از یک ندارند و بر این اساس لغو نمی شوند.

برخی از دانش آموزان به اشتباه عدد در حال ضرب و عدد کسری را کوتاه می کنند. شما نمی توانید این کار را انجام دهید. به عنوان مثال، ورودی زیر صحیح نیست:

کاهش کسری به این معنی است هم صورت و هم مخرجبه همان عدد تقسیم خواهد شد. در وضعیت عبارت، تقسیم فقط در صورت شمار انجام می شود، زیرا نوشتن این همان نوشتن است. می بینیم که تقسیم فقط در صورت انجام می شود و در مخرج تقسیم صورت نمی گیرد.

ضرب کسرها

برای ضرب کسرها باید صورت و مخرج آنها را ضرب کنید. اگر جواب کسری نامناسب بود، باید کل قسمت آن را برجسته کنید.

مثال 1.مقدار عبارت را پیدا کنید.

جواب گرفتیم. توصیه می شود این کسر را کاهش دهید. کسر را می توان به 2 کاهش داد. سپس محلول نهایی به شکل زیر خواهد بود:

این عبارت را می توان به صورت گرفتن پیتزا از نصف پیتزا فهمید. فرض کنید نصف پیتزا داریم:

چگونه دو سوم از این نیمه را بگیریم؟ ابتدا باید این نیمه را به سه قسمت مساوی تقسیم کنید:

و از این سه قطعه دو عدد بردارید:

پیتزا درست میکنیم به یاد داشته باشید که وقتی پیتزا به سه قسمت تقسیم می شود چه شکلی می شود:

یک تکه از این پیتزا و دو تکه ای که ما برداشتیم ابعاد یکسانی دارند:

به عبارت دیگر، ما در مورد پیتزای هم اندازه صحبت می کنیم. بنابراین ارزش عبارت است

مثال 2. مقدار یک عبارت را پیدا کنید

صورت کسر اول را در کسر دوم و مخرج کسر اول را در مخرج کسر دوم ضرب کنید:

پاسخ کسری نامناسب بود. بیایید تمام قسمت آن را برجسته کنیم:

مثال 3.مقدار یک عبارت را پیدا کنید

صورت کسر اول را در کسر دوم و مخرج کسر اول را در مخرج کسر دوم ضرب کنید:

جواب کسری منظم بود اما اگر کوتاه می شد خوب بود. برای کاهش این کسر باید صورت و مخرج این کسر را بر بزرگترین مقسوم علیه مشترک (GCD) اعداد 105 و 450 تقسیم کنید.

بنابراین، بیایید gcd اعداد 105 و 450 را پیدا کنیم:

اکنون صورت و مخرج پاسخ خود را بر gcd که اکنون پیدا کرده ایم، یعنی بر 15 تقسیم می کنیم.

نمایش یک عدد کامل به صورت کسری

هر عدد کامل را می توان به صورت کسری نشان داد. به عنوان مثال، عدد 5 را می توان به صورت . این معنی پنج را تغییر نمی دهد، زیرا این عبارت به معنای "عدد پنج تقسیم بر یک" است و همانطور که می دانیم برابر با پنج است:

اعداد متقابل

اکنون با بسیار آشنا می شویم موضوع جالبدر ریاضیات به آن "اعداد معکوس" می گویند.

تعریف. معکوس به عددآ عددی است که وقتی در آن ضرب شودآ یکی می دهد.

بیایید در این تعریف به جای متغیر جایگزین کنیم آشماره 5 و سعی کنید تعریف را بخوانید:

معکوس به عدد 5 عددی است که وقتی در آن ضرب شود 5 یکی می دهد.

آیا می توان عددی را پیدا کرد که با ضرب در 5 یک عدد بدست آورد؟ معلوم می شود امکان پذیر است. بیایید پنج را به صورت کسری تصور کنیم:

سپس این کسر را در خودش ضرب کنید، فقط صورت و مخرج را عوض کنید. به عبارت دیگر، بیایید کسر را در خودش ضرب کنیم، فقط وارونه:

در نتیجه این اتفاق چه خواهد شد؟ اگر به حل این مثال ادامه دهیم، یکی به دست می آید:

این بدان معنی است که معکوس عدد 5 عدد است، زیرا وقتی 5 را در ضرب می کنیم یک به دست می آید.

متقابل یک عدد را می توان برای هر عدد صحیح دیگری نیز یافت.

شما همچنین می توانید متقابل هر کسری دیگر را پیدا کنید. برای انجام این کار، فقط آن را برگردانید.

تقسیم کسری بر عدد

فرض کنید نصف پیتزا داریم:

بیایید آن را به طور مساوی بین دو تقسیم کنیم. هر نفر چقدر پیتزا می گیرد؟

مشاهده می شود که پس از تقسیم نصف پیتزا دو تکه مساوی به دست آمد که هر کدام یک پیتزا را تشکیل می دهند. بنابراین همه یک پیتزا می گیرند.

1º. اعداد صحیح - اینها اعدادی هستند که در شمارش استفاده می شوند. مجموعه تمام اعداد طبیعی با N نشان داده می شود، یعنی N=(1، 2، 3، ...).

کسرعددی است که از چند کسر واحد تشکیل شده است. کسر مشترکیک عدد از شکل است که در آن یک عدد طبیعی است nنشان می دهد که یک واحد به چند قسمت مساوی و یک عدد طبیعی تقسیم می شود مترنشان می دهد که چه تعداد از چنین قسمت های مساوی گرفته شده است. شماره مترو nبر این اساس نامیده می شوند صورت کسرو مخرجکسری

اگر صورت از مخرج کوچکتر باشد، کسر نامیده می شود درست; اگر صورت مساوی یا بزرگتر از مخرج باشد، کسر فراخوانی می شود اشتباه. عددی متشکل از یک عدد صحیح و یک جزء کسری نامیده می شود شماره های درهم.

مثلا،
- کسرهای معمولی مناسب،
- کسرهای معمولی نامناسب، 1 عدد مختلط است.

2 درجه هنگام انجام عملیات با کسرهای معمولی، باید قوانین زیر را به خاطر بسپارید:

1)خاصیت اصلی کسری. اگر صورت و مخرج کسری در یک عدد طبیعی ضرب یا تقسیم شود، کسری برابر با عدد داده شده به دست می آید.

به عنوان مثال، الف)
; ب)
.

تقسیم صورت و مخرج کسری بر مقسوم علیه مشترک آنها غیر از یک نامیده می شود. کاهش کسری.

2) برای نشان دادن یک عدد مختلط به عنوان کسر نامناسب، باید تمام قسمت آن را در مخرج جزء کسری ضرب کنید و صورت جزء کسری را به حاصل ضرب اضافه کنید، مقدار حاصل را به عنوان صورت کسر بنویسید. و مخرج را یکسان رها کنید.

به همین ترتیب، هر عدد طبیعی را می توان به صورت کسری نامناسب با هر مخرجی نوشت.

به عنوان مثال، الف)
، زیرا
; ب)
و غیره.

3) برای نوشتن یک کسر نامناسب به عنوان یک عدد مختلط (یعنی جدا کردن یک جزء صحیح از یک کسر نامناسب)، باید صورت را بر مخرج تقسیم کنید، ضریب تقسیم را به عنوان یک عدد صحیح و باقیمانده را به عنوان صورت‌گر بگیرید. ، و مخرج را یکسان رها کنید.

به عنوان مثال، الف)
، از سال 200: 7 = 28 (4 باقی مانده)؛ ب)
، از 20: 5 = 4 (0 باقیمانده).

4) برای کاهش کسرها به کمترین مخرج مشترک، باید حداقل مضرب مشترک (LCM) مخرج این کسرها را پیدا کنید (کمترین مخرج مشترک آنها خواهد بود)، کمترین مخرج مشترک را بر مخرج این کسرها تقسیم کنید. یعنی عوامل اضافی برای کسرها را بیابید)، صورت و مخرج هر کسر را در ضریب اضافی آن ضرب کنید.

برای مثال، کسری را می دهیم
به کمترین مخرج مشترک:

,
,
;

630: 18 = 35, 630: 10 = 63, 630: 21 = 30.

به معنای،
;
;
.

5) قوانین عملیات حسابی روی کسرهای معمولی:

الف) جمع و تفریق کسری با مخرج یکسان طبق قاعده انجام می شود:

.

ب) جمع و تفریق کسری با مخرج های مختلف طبق قاعده الف انجام می شود، پس از اینکه ابتدا کسرها را به کمترین مخرج مشترک تقلیل دادیم.

ج) هنگام جمع و تفریق اعداد مختلط، می توانید آنها را به کسرهای نامناسب تبدیل کنید و سپس از قوانین الف و ب پیروی کنید.

د) هنگام ضرب کسرها از قانون زیر استفاده کنید:

.

ه) برای تقسیم یک کسر بر کسری دیگر، باید سود تقسیمی را در متقابل تقسیم کننده ضرب کنید:

.

و) هنگام ضرب و تقسیم اعداد مختلط، ابتدا آنها را به کسرهای نامناسب تبدیل می کنند و سپس از قواعد د) و ه) استفاده می شود.

3 درجه. هنگام حل مثال برای همه عملیات با کسری، به یاد داشته باشید که ابتدا عملیات داخل پرانتز انجام می شود. هم داخل پرانتز و هم بیرون پرانتز، ابتدا ضرب و تقسیم و سپس جمع و تفریق انجام می شود.

بیایید با استفاده از یک مثال به اجرای قوانین بالا نگاه کنیم.

مثال 1. محاسبه کنید:
.

1)
;

2)
;

5)
. جواب: 3.