تولید رویدادها قضیه ضرب احتمال

فصل 3.

قضایای اساسی نظریه احتمال و پیامدهای ناشی از آنها

قضیه اضافه کردن احتمالات ناسازگار

مناسبت ها

فصل دوم نشان داد که چگونه می توان احتمال یک رویداد تصادفی خاص را در صورت تحقق شرایط خاص تعیین کرد. همانطور که می دانید، عملیات حسابی را می توان با رویدادهای تصادفی انجام داد که اصلی ترین آنها جمع و ضرب رویدادها است. نظریه احتمال با استفاده از قضایای اساسی خود امکان می دهد تا احتمال مجموع و حاصلضرب رویدادها را بیابد. یا احتمال وقوع حداقل یکی از وقایع مورد بررسی یا احتمال وقوع همزمان این رویدادها را تعیین کنید.

قضایای اصلی نظریه احتمال عبارتند از:

1. قضیه جمع احتمالات.

2. قضیه ضرب احتمال.

اجازه دهید قضیه جمع احتمالات را برای یک مورد خاص در نظر بگیریم. بیایید وانمود کنیم که آو که دررویدادهای ناسازگار، و ما فرض خواهیم کرد که احتمالات این رویدادها شناخته شده یا قابل یافتن است.

قضیه 3.1.احتمال وقوع یکی از دو رویداد ناسازگار برابر است با مجموع احتمالات این رویدادها، یعنی.

اثباتاجازه دهید n – تعداد کلهمه رویدادهای ابتدایی آزمون ممکن است که در آن رویدادها ظاهر شوند آیا که در. اجازه دهید با نشان دادن t Aو تلویزیونتعداد رویدادهای ابتدایی مطلوب برای رویدادها آو که دربه ترتیب. از زمان وقایع آو که درناسازگار هستند، پس مجموع این رویدادها آ + که درلطف t A+ تلویزیونرویدادهای ابتدایی از همین رو .

قضیه ثابت شده است.

نتیجه.احتمال وقوع یکی از چندین رویداد ناسازگار زوجی برابر است با مجموع احتمالات این رویدادها، یعنی.

اثباتانجام با استفاده از روش استقراء ریاضی دشوار نیست.

مثال 3.1. یک جعبه حاوی 8 توپ سفید، 5 توپ سیاه و 10 توپ قرمز است. یک توپ به صورت تصادفی انتخاب می شود. احتمال اینکه این توپ سفید نباشد چقدر است؟

راه حل. اجازه دهید رویداد آ- انتخاب یک توپ سیاه، که در- انتخاب یک توپ قرمز سپس رویداد با = آ + که درانتخاب یک توپ غیر سفید (چه سیاه یا قرمز) را تعیین می کند.

طبق فرمول کلاسیک . با قضیه 3.1 در نهایت .■ را به دست می آوریم

مثال 3.2. این شرکت دارای دو موقعیت خالی است که سه مرد و پنج زن برای آنها متقاضی هستند. اگر انتخاب متقاضیان به صورت تصادفی انجام شود، این احتمال را پیدا کنید که در بین افراد استخدام شده حداقل یک نفر وجود داشته باشد.

راه حل. اجازه دهید رویداد بااین است که در میان افراد استخدام شده حداقل یک مرد وجود خواهد داشت. بدیهی است که رویداد بازمانی رخ خواهد داد که یکی از دو رویداد ناسازگار زیر رخ دهد: آ- دو مرد استخدام شدند؛ که در- یک زن و یک مرد استخدام شدند. بدین ترتیب، با = آ + که در.

بیایید احتمالات وقایع را پیدا کنیم آو که در، با استفاده از فرمول کلاسیک، دریافت می کنیم

و .

مناسبت ها آو که در- ناسازگار هستند، بنابراین، می‌توانیم قضیه 3.1 را اعمال کنیم. ما گرفتیم. ■

هنگام حل مثال 3.2، تنها اتفاق ممکنی که در نظر گرفته نشد این بود که دو زن استخدام شوند. بیایید آن را با حرف نشان دهیم Dو احتمال آن را بیابید. با اعمال فرمول کلاسیک، دریافت می کنیم

درک آن وقایع دشوار نیست آ, که درو Dیک گروه کامل برای آزمون تشکیل دهید: انتخاب دو نفر از هشت نفر. مجموع احتمالات این رویدادها را پیدا کنیم: . نتیجه به دست آمده را می توان به صورت کلی ارائه کرد.

قضیه 3.2.مجموع احتمالات رخدادهایی که یک گروه کامل را تشکیل می دهند برابر با 1 است.

اثباتاجازه دهید رویدادها آ 1 , آ 2 , …, A nیک گروه کامل برای آزمایش تشکیل دهید. سپس طبق تعریف، در نتیجه این آزمایش، قطعاً یکی از اتفاقات رخ می دهد، یعنی. مجموع این رویدادها یک رویداد معین است. احتمال یک رویداد قابل اعتماد 1 است. بنابراین، برابری درست است:

به یاد بیاورید که با تعریف یک گروه کامل، از رویدادهای ناسازگار تشکیل شده است. سپس با نتیجه قضیه 3.1 به دست می آوریم

قضیه ثابت شده است.

نتیجه. مجموع احتمالات وقایع متضاد برابر با 1 است.

اثباتبه طور مستقیم از این واقعیت ناشی می شود که رویدادهای متضاد یک گروه کامل را تشکیل می دهند، بنابراین، با قضیه 3.2، این فرمول برقرار است.

(3.3)

جایی که آو Ā - حوادث متضاد

تحقیقات ثابت شده است.

هنگام حل مسائل، فرمول تبدیل شده (3.3) بیشتر مورد استفاده قرار می گیرد، یعنی

(3.4)

مثال 3.3. از 9 نامزد برای انتخاب این سه سمت، پنج نفر با رتبه ممتاز فارغ التحصیل شدند. همه شانس یکسانی برای انتخاب شدن برای این موقعیت ها دارند. احتمال اینکه در بین برگزیدگان حداقل یک نفر دارای مدرک ممتاز باشد را تعیین کنید.

راه حل. اجازه دهید رویداد آبه این معنی که از بین داوطلبان انتخاب شده حداقل یکی دارای مدرک ممتاز باشد. بدیهی است که رویداد Ā مقابل آاین خواهد بود که هر سه نفر انتخاب شده دارای مدرک ممتاز نیستند. بیایید احتمال رویداد مخالف را پیدا کنیم. برای انجام این کار، فرمول کلاسیک را اعمال می کنیم، دریافت می کنیم

با استفاده از فرمول (3.3) احتمال وقوع را پیدا می کنیم آ:

. ■

راه حل مثال 3.3 را نیز می توان به روش طولانی تر دیگری به دست آورد. درک این رویداد دشوار نیست آمجموع رویدادهای زیر است:

آ 1- در بین برگزیدگان فقط یک نفر دارای مدرک دیپلم با ممتاز است.

آ 2- از بین دو داوطلب منتخب دارای مدرک دیپلم ممتاز؛

آ 3 – از بین سه داوطلب منتخب دارای مدرک دیپلم ممتاز.

با استفاده از فرمول کلاسیک به دست می آوریم

بدیهی است که حوادث آ 1 , آ 2 , آ 3 ناسازگار هستند، بنابراین می توانیم قضیه 3.3 را اعمال کنیم. بدین ترتیب

واضح است که راه حل اول بسیار ساده تر است.

در قضایا و مثال‌هایی که در بالا بحث شد، ناسازگاری رویدادهای تصادفی مربوطه فرض شد. طبیعتاً ممکن است مشکلی پیش بیاید که در آن لازم است احتمال وقوع حداقل یکی از رویدادهای مشترک را بیابید. قضیه 3.1 را نمی توان در این مورد اعمال کرد. بیشتر وجود دارد فرم کلیقضیه احتمال جمع، که از مفهوم احتمال حاصلضرب رویدادها استفاده می کند.

قضیه ضرب احتمالات رویداد

اجازه دهید آزمایشی را در نظر بگیریم که در آن یک رویداد تصادفی ممکن است رخ دهد آ. اگر به غیر از شرایط آزمون، هیچ محدودیتی برای رویداد وجود ندارد آوجود ندارد، پس احتمال رویداد آتماس گرفت احتمال بی قید و شرطاگر شرایط اضافی مشخص شود، پس احتمال شرطیاین رخداد. اغلب، شرایط اضافی با وقوع یک رویداد تصادفی دیگر همراه است. بنابراین، هنگام تجزیه و تحلیل یک پدیده خاص، ممکن است این سوال مطرح شود: آیا امکان وقوع یک رویداد خاص تأثیر می گذارد. آوقوع یک رویداد تصادفی دیگر که درو اگر این کار را می کند، چگونه؟ مثلاً تهاجمی که درمنجر به وقوع اجباری یک واقعه می شود آیا برعکس، احتمال وقوع یک رویداد را منتفی می کند آ، یا شاید فقط مقدار احتمال را تغییر می دهد. به راحتی می توان فهمید که اگر یک رویداد که دربرای رویداد مطلوب است آ، سپس هنگامی که رویداد رخ می دهد که دررویداد آهمیشه رخ می دهد، یا اگر آو که در- دو رویدادی که در یک آزمون معین ناسازگار هستند، سپس زمانی که رویداد رخ می دهد که دررویداد آهرگز اتفاق نخواهد افتاد. با این حال، این موارد به اصطلاح Edge Case هستند. بیشترین علاقه زمانی به وجود می آید که وقوع یک رویداد که دربه نحوی احتمال وقوع یک رویداد را تغییر می دهد (افزایش یا کاهش می دهد). آ، بدون اینکه در شرایط جدید آن را به یک رویداد قابل اعتماد یا غیرممکن تبدیل کند. ویژگی چنین تأثیرگذاری یک رویداد بر رویداد دیگر، احتمال مشروط است.

احتمال مشروطمناسبت ها آبا توجه به اینکه که دراحتمال یک رویداد نامیده می شود آ، با این فرض محاسبه می شود که رویداد که درقبلا اتفاق افتاده است.

به طور مشابه، ما می توانیم احتمال شرطی یک رویداد را تعیین کنیم که در، مشروط بر اینکه رویداد آقبلا اتفاق افتاده است.

مثال 3.4. بگذارید 6 توپ سفید و 8 توپ سیاه در یک کوزه وجود داشته باشد. دو توپ به طور تصادفی یکی پس از دیگری بدون تعویض از کوزه جدا می شوند. احتمال سفید شدن توپ دوم را پیدا کنید اگر توپ اول نیز سفید کشیده شده باشد؟

راه حل . اجازه دهید رویداد آاین است که توپ دوم سفید خواهد بود، و رویداد که درکه توپ اول سفید است. مشکل مستلزم یافتن احتمال یک رویداد است آ، مشروط بر اینکه رویداد که دراتفاق افتاد، یعنی پیدا کردن . اگر رویداد که دراتفاق افتاده است، سپس 13 توپ در کوزه باقی مانده است که 5 توپ سفید هستند. بنابراین، احتمال رسم یک توپ سفید از 13، که در میان آنها 5 سفید هستند، برابر است با .■

به دو نکته توجه کنیم.

اول، برای رویداد آنه تنها احتمال مشروط آن را می توان یافت، بلکه به اصطلاح احتمال کل رویداد را نیز می توان یافت. احتمال اینکه توپ دوم سفید باشد وقتی توپ اول انتخاب شود. یافتن چنین احتمالی در پاراگراف 3.4 مورد بحث قرار خواهد گرفت.

ثانیاً، شرط مثال را می توان تغییر داد تا رنگ اولین توپ انتخاب شده به هیچ وجه بر احتمال وقوع رویداد تأثیری نداشته باشد. آ. فرض می‌کنیم که توپ‌ها پس از تثبیت رنگ، به داخل کوزه بازگردانده می‌شوند. سپس، بدیهی است، احتمال رویداد آبه این بستگی ندارد که اولین توپ چه رنگی انتخاب شده است، یعنی. از وقوع (یا عدم وقوع) یک رویداد که در. در این مورد ، یعنی احتمال وقوع یک رویداد آمنطبق با احتمال مشروط این رویداد است. خود حوادث آو که دردر این آزمون مستقل هستند.

دو رویداد آو که درنامیده می شوند مستقل،در صورتی که احتمال وقوع هر یک از آنها به وقوع یا عدم وقوع رویداد دیگری بستگی ندارد. در غیر این صورت، رویدادها نامیده می شوند وابسته

از تعریف چنین بر می آید که برای رویدادهای مستقل آو که درفرمول های زیر معتبر هستند:

. (3.5)

بیایید فرمولی برای یافتن احتمال شرطی با استفاده از تعریف کلاسیک بدست آوریم. اجازه دهید آزمون شامل nرویدادهای ابتدایی به همان اندازه ممکن تعداد رویدادهایی که به نفع رویداد هستند آ، برابر است t A; رویداد که در – تلویزیون; تولید رویدادها AB – t AB. بدیهی است که . از زمان رویداد که دربه نفع تلویزیوننتایج، که فقط t Aلطف آ، پس احتمال شرطی برابر است با

. بالاخره می رسیم

(3.6)

توجه به این نکته ضروری است که مخرج در فرمول (3.6) با صفر متفاوت است، زیرا به شرط وقوع رویداد که درممکن است اتفاق بیفتد، یعنی تلویزیونبرابر با صفر نیست

با استدلال مشابه، می‌توانیم فرمولی برای احتمال شرطی یک رویداد به دست آوریم که در: . اما از زمان وقوع ABتفاوتی با رویداد ندارد VAو ، سپس احتمال شرطی رویداد که دررا می توان با فرمول تعیین کرد

(3.7)

در کامل ترین دروس نظریه احتمال با رویکرد بدیهی، فرمول (3.6) و (3.7) به عنوان تعریف احتمال شرطی و فرمول (3.5) به عنوان تعریف رویدادهای مستقل در نظر گرفته شده است.

قضیه ضرب احتمال زیر مستقیماً از فرمول های (3.6) و (3.7) ناشی می شود.

قضیه 3.2.احتمال وقوع همزمان دو رویداد تصادفی برابر است با حاصل ضرب احتمال یک رویداد و احتمال مشروط دیگری که با این فرض محاسبه می شود که اولین رویداد قبلاً رخ داده است، یعنی.

(3.8)

نتیجه.احتمال وقوع همزمان چندین رویداد تصادفی برابر است با حاصلضرب احتمال یک رویداد و احتمالات مشروط همه رویدادهای دیگر، در حالی که احتمال هر رویداد بعدی با این فرض محاسبه می شود که همه رویدادهای قبلی قبلاً رخ داده اند، یعنی.

مثال 3.5. 20 بلیط در قرعه کشی وجود دارد که 5 بلیط برنده است. 3 بلیط به صورت تصادفی یکی پس از دیگری بدون بازگشت انتخاب می شوند. احتمال برنده شدن بلیط های اول، دوم و سوم را تعیین کنید.

راه حل. اجازه دهید رویداد آاین است که بلیط برنده ابتدا انتخاب می شود، رویداد که در- اینکه بلیت دوم برنده خواهد شد و در نهایت با- بلیط سوم برنده است. بدیهی است که .

احتمال شرطی یک رویداد که درمشروط بر اینکه رویداد آاتفاق افتاد، یعنی یک بلیط برنده از قرعه کشی انتخاب شد، برابر با (19 بلیط باقی مانده است که 4 بلیط برنده است).

احتمال شرطی یک رویداد بابه شرطی که رویدادها آو که دراتفاق افتاد، یعنی دو بلیط برنده انتخاب شد، برابر با .

در نتیجه قضیه 3.2، احتمال حاصلضرب برابر است با

لازم به ذکر است که مشکل 3.5 را می توان با استفاده از فرمول کلاسیک و فرمول های ترکیبی حل کرد:

قضیه 3.2 برای هر رویداد تصادفی صادق است آو که در. در مورد خاص زمانی که حوادث آو که درمستقل هستند، عبارت زیر درست است.

قضیه 3.3 . احتمال وقوع همزمان دو رویداد ناسازگار آو که دربرابر است با حاصل ضرب احتمالات این رویدادها، یعنی.

اثباتمناسبت ها آو که در- مستقل. با قضیه 3.2، با در نظر گرفتن فرمول (3.5)، به دست می آوریم

قضیه ثابت شده است.

بنابراین، قضیه 3.3 می گوید که احتمال حاصلضرب رویدادهای مستقل با فرمول (3.9) پیدا می شود. عکس آن نیز صادق است.

قضیه 3.4.اگر فرمول (3.9) برای دو رویداد صادق باشد، آنگاه این رویدادها مستقل هستند.

اجازه دهید چندین مورد را بدون مدرک ارائه کنیم. خواص مهم، برای رویدادهای مستقل معتبر است.

1. اگر رویداد که دربستگی ندارد آ، سپس رویداد آبستگی ندارد که در.

2. اگر حوادث آو که در- مستقل هستند، سپس رویدادها مستقل هستند آو .

3. اگر دو رویداد مستقل باشند، حوادث مقابل آنها نیز مستقل هستند.

قضیه 3.3 را می توان به تعداد محدودی از رویدادها تعمیم داد. با این حال، قبل از انجام این کار، لازم است در مورد مفهوم استقلال از سه یا چند رویداد با جزئیات بیشتری صحبت کنیم.

برای گروهی متشکل از سه یا چند رویداد، مفهوم استقلال زوجی و استقلال در مجموع وجود دارد.

مناسبت ها آ 1 , آ 2 , …, A nنامیده می شوند مستقل جفتی، اگر هر دو از این رویدادها مستقل باشند.

مناسبت ها آ 1 , آ 2 , …, A nنامیده می شوند مستقل در مجموع (یا به سادگی مستقل)، اگر آنها به صورت زوجی مستقل باشند و هر رویداد و همه محصولات ممکن سایر رویدادها مستقل باشند.

به عنوان مثال، سه رویداد آ 1 , آ 2 , آاگر رویدادهای زیر مستقل باشند، 3 مجموعا مستقل هستند:

آ 1 و آ 2 , آ 1 و آ 3 , آ 2 و آ 3 ,

آ 1 و آ 2 آ 3 , آ 2 و آ 1 آ 3 , آ 3 و آ 1 آ 2 .

قضیه 3.5 . اگر حوادث آ 1 , آ 2 , …, A nدر مجموع مستقل هستند، سپس احتمال وقوع همزمان آنها با فرمول محاسبه می شود:

اثباتاجازه دهید نشان دهیم که فرمول برای سه رویداد صحیح است. اگر بیش از سه رویداد وجود داشته باشد، صحت فرمول با روش استقرای ریاضی اثبات می شود.

بنابراین، بیایید آن را نشان دهیم. با توجه به شرایط قضیه رویداد آ 1 , آ 2 , آاین 3 در مجموع مستقل هستند. بنابراین، برای مثال، دو رویداد مستقل هستند آ 1 آ 2 و آ 3. با توجه به فرمول (3.9)، به دست می آوریم. بر اساس شرایط رویداد آ 1 و آ 2 نیز مستقل هستند. با اعمال فرمول (3.9) روی عامل اول، در نهایت به دست می‌آییم.

قضیه ثابت شده است.

لازم به ذکر است که اگر رویدادها به صورت زوجی مستقل باشند، نتیجه نمی شود که در مجموع مستقل باشند. و برعکس، اگر رویدادها در مجموع مستقل باشند، بدیهی است که بنا به تعریف، به صورت زوجی مستقل خواهند بود.

بیایید نمونه ای از رویدادهایی را در نظر بگیریم که به صورت زوجی مستقل هستند، اما به طور جمعی وابسته هستند.

مثال 3.6. بگذارید یک جعبه حاوی 4 کارت یکسان باشد که اعداد روی آنها نوشته شده باشد:

به طور تصادفی یک کارت را انتخاب می کند. رویداد آبه این معنی است که شما کارتی را انتخاب کرده اید که شماره 1 روی آن است، یک رویداد که درفرض می کند که کارت انتخاب شده دارای شماره 2، رویداد است با– شماره 3. پیدا کنید که آیا رویدادها هستند آ, که درو بامستقل جفتی یا مشترکا مستقل.

راه حل. احتمال هر رویداد آ, که درو بارا می توان با استفاده از فرمول کلاسیک پیدا کرد (در مجموع 4 کارت وجود دارد که دو عدد از آنها به ترتیب دارای اعداد 1، 2، 3 هستند): .

اجازه دهید آن وقایع را نشان دهیم آ, که درو بامستقل جفتی بیایید هر دو رویداد را انتخاب کنیم، برای مثال، آو که در. احتمال محصول آنها این است، زیرا ظاهر همزمان اعداد 1 و 2 فقط می تواند در یک کارت از چهار کارت باشد.

بنابراین، برابری درست است . توسط قضیه 3.4 رویدادها آو که درمستقل. به همین ترتیب می توانیم استقلال رویدادها را نشان دهیم که درو باو همچنین رویدادها آو با. استقلال زوجی ثابت شده است.

اجازه دهید نشان دهیم که این رویدادها در مجموع مستقل نیستند. احتمال وقوع همزمان هر سه رویداد، یعنی. ظاهر هر سه عدد برابر است، زیرا از هر چهار کارت فقط یک کارت دارای هر سه عدد است. حاصل ضرب احتمالات رویداد برابر است با . بدین ترتیب، بنابراین در مجموع استقلال وجود ندارد. ■

از قضیه ضرب احتمالات و قضیه جمع احتمالات رخدادهای ناسازگار، قضیه جمع احتمالات رویدادهای ناسازگار مستقیماً به دست می آید.

\(\blacktriangleright\) اگر برای اجرای رویداد \(C\) لازم است هر دو رویداد مشترک (که می تواند به طور همزمان رخ دهد) و \(B\) (\(C=\(A\) را اجرا کنیم. ) و \( B\)\))، سپس احتمال رخداد \(C\) برابر است با حاصل ضرب احتمالات رویدادهای \(A\) و \(B\) .

توجه داشته باشید که اگر رویدادها ناسازگار باشند، احتمال وقوع همزمان آنها برابر با \(0\) است.

\(\blacktriangleright\) هر رویداد را می توان با یک دایره نشان داد. سپس اگر رویدادها مشترک باشند، دایره ها باید قطع شوند. احتمال یک رویداد \(C\) احتمال ورود همزمان به هر دو دایره است.

\(\blacktriangleright\) برای مثال، هنگام پرتاب قالب، احتمال \(C=\) (عدد \(6\)) را پیدا کنید.
رویداد \(C\) را می توان به صورت \(A=\) (قطع کردن یک عدد زوج) و \(B=\) (قطع کردن عددی که بر سه بخش پذیر است) فرموله کرد.
سپس \(P\,(C)=P\,(A)\cdot P\,(B)=\dfrac12\cdot \dfrac13=\dfrac16\).

وظیفه 1 #3092